1.4 Topolojinin Tabanı

10
1. Topolojik Uzaylar
1.4
Topolojinin Tabanı
Bir matematiksel yapının en etkin ve hizli anlaşılmasının yollarından biri o
yapıyı ”üreten”, ” taban kavramını” iyi analiz edebilmektir. Bu nedenle bir
topolojinin, topolojik uzayın taban kavramını tanımlamadan yola devam etmek kolay olmayabilir.
Bu kısımda bir topolojik uzayın tabanı ve onunla ilgili temel sonuçlarcoğunlukla problemler kısmında verilecektir.
X boş kümeden farklı bir küme olamak üzere, B ⊂ P(X) kümesi sonlu
arakesit işlem kapalı ve 6= ∅ = ∪U = Y ise,
τ = {∪V ∈V V : V ⊂ U},
kümesi Y üzerinde bir topoloji olmasına karşın, X = Y olmadığı sürece, X
üzerinde bir topoloji değildir. Gerçekten X üzerinde topoloji olması için gerekli
ve yeterli koçul X = Y olmasıdır.
Tanım 1.9. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. B ⊂ τ kümesi verilsin. X’nin
boş kümeden farklı her açık kümesi, B’nin bazı elemanlarının birleşimi olarak
yazılabiliyor ise, yani,
τ \ {∅} ⊂ {∪U : U ⊂ B}
ise, B’ye X uzayının ( ya da τ topolojisinin) topolojik tabanı ya da açık
tabanı denir.
Birkaç gözlem yapalım: (X, τ ) bir topolojik uzay olsun.
- τ , X üzerinde bir topoloji ise, τ , X uzayı için bir topolojik tabandır.
Elbet de bu taban, ilginç bir taban değildir.
- Bazı topolijik uzayıların tabanların elemanları tek elemanlı kümelereden
oluşabilir. Örneğin, τ , X üzerinde en ince topoloji ise,
{{x} : x ∈ X},
bu uzayın topolojik tabanıdır ve boş kümeyi içermez.
- τ , X üzeindeki en kaba topoloji ise, bu uzayın tek bir tane tabanı vardır
ve o de B = {X} dir.
- B, X uzayının bir tabanı ise, U , V ∈ B ve x ∈ U ∩ V olduğunda,
x ∈ W ⊂ U ∩ V özelliğinde W ∈ B vardır.
- X üzerinde B = {∅} tarafından üretilen topoloji τ = {∅, X} olmasına
karşın, B bir topolojik taban değildir.
1.4. Topolojinin Tabanı
11
Aşağıki teoremin kanıtı barizdir.
Teorem 1.3. X boşkümeden farklı bir küme olmak üzere
τ = {∪V ∈V V : V ⊂ B}
olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) τ bir topolojidir.
(ii) B, (X, τ ) uzayının bir topolojik tabandır.
(iii) τ , B tarafından üretilen topolojidir.
Bir topolojik uzayın tabanı sonlu arakesit işlem kapalı olamayabilir. Ama
olması bazı işlemleri kanıtları kolaylaştırır. Örneğin, Alexander’in Öntaban
Teoremi’nde (Theorem ???) Alexander’in Öntaban Teoremi kullanılacaktır.
Bu nedenle aşağıdaki tanımlama anlamlıdır.
Tanım 1.10. (X, τ ) bir topolojik uzay ve B0 boş kümeden farklı bir küme
olmak üzere,
B = {∩ni=1 Bi : n ∈ N, Bi ∈ B0 }
X uzayının bir tabanı ise, B0 ’ye bu uzayın öntabanı denir.
Bir (X, τ ) bir topolojik uzay olmak üzere, τ topolojinin birden fazla tabanı olabilir. Elemanları kardinaller olan bir küme iyi sıralı küme olduğundan,
elemanları X’nin tabanlarının kardinaliteleri olan kümenin en küçük elemanı
vardır. Bu gözlem nedeniyle aşağıdaki tanımıları vermek anlamlıdır ve kullanılacaktır.
Tanım 1.11. X bir topolojik uzay olsun.
w(X) = min{|B| : BX’nin topolojik tabanıdır}
olarak tanımlanan w(X)’e topolojik uzayın ağırlığı denir.
Tanım 1.12. X topolojik uzay ve w(X) ≤ ℵ0 ise, X’e ikinci dereceden
sayılabilir uzay denir.
Tanım 1.13. (X, τ ) bir topolojik uzay, x ∈ X verilsin.
B(x) ⊂ {U ∈ τ : x ∈ U }
kümesi ”verilen her U ∈ X ve x ∈ U için V ⊂ U olacak biçimde V ∈ B(x)
vardır” özelliğini sağlıyor ise, B(x)’e, x noktasının bir açık tabanı denir.
12
1. Topolojik Uzaylar
Tanım 1.14. X bir topolojik uzay üzere her x ∈ X için x noktasının topolojik
tabanlarının kümesini Bx olmak üzere,
w(x, X) = min{|B| : B ∈ Bx }
ile tanımlanan ve österilen w(x, X) kardinal sayısına, x noktasının karakteri
denir.
Bir X topolojik uzayında her x ∈ X için w(x, X) ≤ w(X) olduğu barizdir.
Dolayısı ile
χ(X) = sup{w(x, X) : x ∈ X}
vardır ve X uzayının karakteri denir. Uzayın karakteri ℵ0 ’den daha küçük
ya da eşit ise, yani χ(X) ≤ ℵ0 ise X’e birinci dereceden sayılabilir uzay
denir.
Alıştırmalar
1.30. X boşkümeden farklı bir küme ve B ⊂ P(X) verilsin. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) B, X üzerinde B tarafından üretilen topoloji için bir tabandır.
(i) X = ∪B∈B B ve B1 , B2 ∈ B olmak üzere x ∈ B1 ∩ B2 olduğunda x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2
özelliğinde B ∈ B vardır.
1.31. τ , X üzerinde B tarafından üretilen topolojinin bir öntabanının B ∪ {X} olduğunu
gösteriniz.
1.32. X boşkümeden farklı bir küme olmak üzere, B ⊂ P(X) tarafından üretilen topolojinin
tabanının
{∩U ∈U U : U ⊂ B sonlu}
olduğunu gösteriniz.
1.33. X kümesi üzerinde tanımlı en kaba topolojinin, yani {∅, X} topolojisinin tabanı ve
öntabanının {X} olduğunu gösteriniz.
1.34. X kümesi üzerinde tanımlı en ince topolojinin, yani P(X) topolojisinin tabanı ve öntabanının {{x} : x ∈ X} olduğunu gösteriniz.
1.35. τ , X üzerinde en ince topoloji olsun. Aşağıdakileri gösteriniz.
(i) Her x ∈ X için w(x, X) = 1.
(ii) χ(X) = 1.
(iii) w(X) = |X|.
1.36. B, bir X topolojik uzayının bir açık tabanı ise, her x ∈ X için,
B(x) = {U ∈ X : x ∈ U }
olarak tanımlanan küme, x noktasının açık tabanıdır.
1.37. Bir X topolojik uzayında her x ∈ X içn B(x), x noktasının açık tabanı ise,
B = ∪x∈X B(x)
kümesinin, bir açık taban olduğunu gösteriniz.
1.4. Topolojinin Tabanı
13
1.38. (X, τ ) bir topolojik uzay, B bu uzayın bir topolojik tabanı ve ∅ 6= Y ⊂ X verilsin. τB , Y
üzerinde tanımlanan τY = {Y ∩ U : U ∈ τ } topolojisi için bir taban olduğunu gösteriniz.
1.39. B bir topolojik uzay X için bir taban olsun. Boşkümeden farklı her B ∈ B için xB ∈ B
seçlim.
A = {xB : ∅ =
6 B ∈ B}
kümesinin yoğun olduğunu, yani A = X olduğunu gösteriniz.
1.40. Ikinci sayılabilir topolojik uzayların ayrılabilir olduğunu gösteriniz.
Kanıt: X bir topolojik uzay ve {Un : n ∈ N}, X’nin sayılabilir bir tabanı olsun. Her
n ∈ N için xn ∈ Un seçelim. A = {xn : n ∈ N}, X’de yoğundur.
1.41. (X, τ ) bir topolojik uzay ve B açık taban ise |X| ≤ |P(B)| olması için yeterli koşulu
belilryiniz
Kanıt: Her x ∈ X için B(x) = {U ∈ B : x ∈ U } olarak tanımlayalım. B(x) = B(y)
durumunda x = y olsun
X → {B(x) : x ∈ X} ⊂ P(B),
x → B(x)
olarak tanımlanan fonksiyon 1-1 dir. Bu kanıtı tamamlar.
1.42. (X, τ ) bir topolojik uzay, A, X’nin yoğun alt kümesi (yani A = X) ise
|X| ≤ |P(P(A))|
olması için yeterli koşlu belirleyiniz.
Kanıt: Her x ∈ X için B(x) = {U ∈ τ : x ∈ U } olmak üzere,
A(x) = {U ∩ A : U ∈ B(x)}
olarak tanımlayalım. x 6= y için A(x) 6= A(y) olduğu varsayalım. Her açık U ⊂ X için
U ∩ A = U olmasından hemen elde edilir.
X → {A(x) : x ∈ X} ⊂ P(P(A)),
x → A(x)
olarak tanımlanan fonksiyon 1-1 dir ve bu kanıtı tamamlar.
1.43. (H. Furstenberg, 1955) Her a,b ∈ Z, b > 0 için
Ba,b := a + bZ
olarak tanımlansın. Aşağıdak’ler’n doğruluğunu gösteriniz.
(i) x ∈ Ba,b ise Bx,b = Ba,b .
(ii) x ∈ Ba,b ∩ Bc,d ise x ∈ Bx,bd ⊂ Bx,b ∩ Bx,d .
(iii) a,b,c ∈ Z ve b,c > 0 için, d, b ve c’nin en küçük ortak katı olmak üzere
Ba,b ∩ Ba,c = Ba,d .
(iv) x ∈ Z \ Ba,b ise x ∈ Bx,b \ Ba,b .
(v) B = {Ba,b : a, b ∈ Z, b > 0} kümesi topolojik taban olma aksiyomlarını sağlar.
Z üzerinde B tarafından üretilen topoloji τ olsun ve P asal sayıların kümesini göstersin.
(vi) Boşkümeden farklı her açık küme sonsuzdur.
(vii) ∪p∈P B0,b = Z \ {1, −1}.
(vii) (Euclid Theorem) P sonsuzdur.
1.44. R’de aşağıdaki kümeleri tanımlıyalım.
14
1. Topolojik Uzaylar
(i) B1 = {(a, b) : a, b ∈ R}.
(ii) B2 = {[a, b) : a, b ∈ R}.
(ii) B3 = {(a, b] : a, b ∈ R}.
B1 , B2 , B3 kümelerinin, kendileri tarafından üretilen topolojiler için taban olduğunu
gösteriniz. B2 tarafından üretilen topolojiye alt limit topoloji ve B3 tarafından üretilen
topolojiye üst limit topoloji denir. Bu topolojilerin biri diğerinden daha ince midir? Bi
(i = 1, 2, 3) tanımında ”a, b ∈ R” yerine ”a, b ∈ Q” alındığında, bu kümeler tarafından
üretilen topolojilerin yapısını inceleyiniz.
1.45. R’de K = { n1 : n ∈ N} olmak üzere B4 = {(a, b) \ K : a, b ∈ R} tarafından üretilen
topolojik uzayın özelliklerini inceleyiniz.
1.46. (X, τ ) bir topolojik uzay ve B bir topolojik taban olsun.
|π(U)| ≤ |U| ve ∪π(U) = ∪U
özelliğinde
π : P(τ ) \ {∅} → P(B) \ {∅}
fonksiyonunun varlığını gösteriniz.
Kanıt: U ⊂ τ verilsin. Her ∅ =
6 U ∈ U için ∅ =
6 s(U ) ⊂ U özelliğinde s(U ) ∈ B seçelim.
π(U) = {s(U ) : U ∈ U}
olarak tanımlıyalım. Bu biçimde tanımlanan π : P(τ ) \ {∅} → P(B) \ {∅} fonksiyonu
istenen özelliktedir.
1.47. (X, τ ) bir topolojik uzay ve w(X) ≤ m olsun. ∅ 6= I olmak üzere (Ui )i∈I , açık kümelerin
bir ailesi olsun.
I0 ⊂ I, |I| ≤ m ve ∪i∈I Ui = ∪i∈I0 Ui ,
özelliğinde I0 kümesinin varlığını gösteriniz.