fonksiyonlarin bileskesi-4411-

MATEMATİK
DÖNEM ÖDEVİ
KONU: FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
ÖĞRETMENİN ADI VE SOYADI:
ÖĞRENCİNİN ADI VE SOYADI :
OKUL NUMARASI VE SINIFI :
FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
F: A → B, x → y=F (x) Ve g: B → C, y→ z=g (x) fonksiyonları için, gof : A →
C x → Z=(gof)(x)=g[f(x)] fonksiyonuna, f ile g’nin bileşke fonksiyonu denir. gof
yazılışındaki “o” simgesi, bileşke simgesidir.
BİLEŞKE FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
F,g ve h fonksiyonları için ;
1) Fonksiyonlarda bileşke işleminin degişme özelligi yoktur. Yani genel olarak
fog=gof dir.
Örnek : f :R → R, f(x)=3x-1; g:R →R, g(x)=2x+1 ise (fog)(x) ve (gof)(x)
fonksiyonlarının kuralını bulalım.
Çözüm : (fog)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=3(2x+1)-1=6x+2
(gof)(x)=g(f(x))=g(3x-1)=2(3x-1)+1=6x-1
fog = gof dır.

Ancak, fog = gof olduğu durumlar da olabilir.
Örnek : R → R ye, f(x)=2x-1 ve g(x)=2-x fonksiyonları veriliyor. Fog
ve gof fonksiyonlarının kurallarını bulalım :
Çözüm: (fog)(x)=f[g(x)]
(gof)(x)=g[f(x)]
=f(2-x)
=g(2x-1)
=2(2-x)-1
=2-(2x-1)
=3-2x
=3-2x
Burada, (fog)(x)=(gof)(x)=3-2x olduğu görülüyor. Ancak bu örnekte fog =
gof olması, fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliğinin olduğunu
göstermez.
2) (fog)oh=fo(goh) birleşme özelligi vardir.
Örnek: R → R, f(x)=2x+1, g(x)=3x-1, h(x)=5x ise, [fo(goh)](x)=[(fog)oh](x)
kuralını bulalım.
Çözüm:[fo(goh)](x)=f(g(h(x)))=f(g(5x))=f(3.(5x)-1)=30x-1
[(fog)oh](x)=f(g(h(x)))=f(g(5x))=f(3(5x)-1)=30x-1
(fog)oh=fo(goh) dır.
3) I birim (özdeşlik) fonksiyonu ve f bir fonksiyon olmak üzere foI=Iof=f tir. I
bileşke fonksiyonuna göre birim (etkisiz) fonksiyondur.
TEOREM : I birim fonksiyon ise , Iof=foI=f dir.
4) I birim fonksiyon olmak üzere, fof=fof=I dır.
Örnek: (fof)(3x-1)=14 ise x kaçtır ?
Çözüm: (fof)(3x-1)=I(3x-1)=3x-1=14 - x=5 tir.
5) (fog)=g o f dir.
6) F fonksiyonu için (f ) =f dir.
Örnek:Tanımlı olduğu değerler için f(x)=_2 ve (fog)= x+1 ise g(x) nedir?
x-3
2x-1
Çözüm: (fog ) (x) =((g ) of )(x)= (gof )(x)= x+1
2x-1
(gof of)(x)= x+1 of(x),
g(x)= x+1 O 2 = 2/ (x-3)+1
2x-1
2x-1
x-3 2(2/x-3)-1
=x-1 . x-3 = x-1 ' dir.
x-3 7-x 7-x
ÖRNEKLER
1) F: R → R, f(x)=ax+1
g: R → R, g(x)=3x+b fonksiyonları veriliyor. Fog birim fonksiyon ise a-b nin
değeri kaçtır ?
Çözüm: (fog)(x)=(ax+1) o (3x+b)= a(3x+b)+1=3ax+ab+1=x
3a=1 → a=1/3
ab+1=0 → b= -3
a-b=1/3-(-3)=10/3
2) f ve g ; 1-1 ve örten fonksiyonlar, (fog )(x)=2x-3, gof(x)=5x-1 ise (fof)(2) nin
değeri kaçtır ?
Çözüm: [(fog )o(gof)](x)=(2x-3)o(5x-1)=2(5x-1)-3
(fog ogof)(x)=(fof)(x)=10x-5
(fof)(2)=10.2-5=15 'dir.
3) (gof)(x)= 2x+1 , g(x)=x+3 ise f(x) fonksiyonu nedir ?
x-1
Çözüm: (gof)(x)=g(f(x))=f(x)+3=2x+1 f(x)=2x+1 -3=-x+4
x-1
x-1
x-1
4) Tanımlı olduğu değerler için f[ 1 ]= _ x
x-2 3x-1
Çözüm : y= 1
x-2
ise f( 1 ) nedir ?
x
f(x)=[2x+1 /x] / [3(2x+1/x)-1= 2x+1 . x/5x+3 =2x+1/5x+3
f(1/x)=[(2.1/x+1) / 5.1/x+3=2+x/5+3x
y = 2x+1
x
5)
2x+1, x>1
{
f: R→R, f(x)=
x+1, x<1 g: R→R, g(x)=
(fog)(-1)+(gof)(2) nin toplamı kaçtır ?
x+2, x>0
{
Çözüm : (fog)(-1)=f(g(-1))=f(2(-1)-1)=f(-3)=(-3)+1=10
(gof)(2)=g(f(2))=g(2.2+1)=g(5)=5+2=7
(fog)(-1)+(gof)(2)=10+7=17 dir.
2x-1, x<0 ise
6)
f:R → R, y=f(x) biçiminde tanımlanan f(x) fonksiyonuna göre;
a)(fof)(3) kaçtır ?
b)(fof)(-7) kaçtır ?
c)(fof)(x-2)=-2 olan x lerin toplamı kaçtır ?
Çözüm: Grafiğine göre x< -4 için f(x)=5, f(-2)=f(3)=f(6)=0, f(0)=-2 V f(5)=4
a)(fof)(3)=f(f(3))=f(0)=-2 dir.
b) (fof)(-7)=f(f(-7))=f(5)=4 tür.
c)(fof)(x-2)=f(f(x-2))=-2 → f(x-2)=0 olmalıdır. → x-2=-2; x-2=3;x-2=6 dır.
X=0; x=5; x=8 dir. Toplam x, 0+5+8=13
7) f(x)=4x-1 (g of)(x)=2x+1 dir. g(x)=?
Çözüm: (g of)(x)=2x+1→ (g of) (x)=__x-1 → (f og)(x)=_x-1
fo(f og)=g olduğundan
2
2
g(x)=(4x-1)o(x-1/2)
g(x)=4. x-1/2=2x-3 bulunur.
8) f:R → R g:[2,+~) → [3, +~) f(x)=3x-2 ve g(x)=x-4x+7 dir. (g of) (s) nedir?
Çözüm: f(x)=3x-2 → f (x)=x+2 / 3 → (g of) (s)=(f og)(s) → f [g(s)] → f (12) →
12+2 / 3 → 14 / 3 olur.
9) f(x)=ax+3, g(x)=5x+b ve (gof)(x) birim fonksiyon ise a.b çarpımı nedir?
Çözüm: (gof)(x)=g(ax+3)
=5(ax+3)+b
=5ax+15+b
→5ax+15+b=x
→5a=1 ve 15+b=0
→a=1/5 ve b= -15
→a.b=1/5.(-15)= -3
bulunur.
10)
Şekilde R →R ye y=f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. (fofof)(-3) neye
eşittir ?
Çözüm: (fofof)(-3) ifadesinde sondan başlayarak,
f(-3)=a
f(a)=o
→ (fofof)(-3)= c bulunur.
f(o)=c
11) g:R →R, g(x)=x-2
f:R → R, f(xy)=x+2y olduğuna göre, (gof)(2,1)= ?
3x-y
Çözüm: f(2,1)=2+2 = 4
g(4)=4 -2=-6
6-1 5
5 5
5
(gof)(2,1)=g[f(2,1)]= g(_4_)= - _6_
5
5
tir.
12) f(x)=x-3 + 7-x fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir ?
Çözüm: x-3> 0 V -x>0 olmalıdır.
x-3>0 --- x>7
En geniş tanım kümesi [3,7] kapalı aralığıdır.
13) f ve g fonksiyonları R de bire-bir örten fonksiyonlardır.(f og)(x)=x-5 / 2 ve
f(3)=2 ise g(2) nedir?
Çözüm: f og =(gof) olduğundan, (fog)(x)=(gof) (x)=x-5/2 → (gof)(x)=2x+5
tir. Buna göre,
(gof)(x)=2x+5 → (gof)(3)=2.3+5
g(f(3))=11
g(2)= 11 dir.
14) I: x →I(x)=x birim fonksiyonu ile f(x)=2x-1/x+3 ile tanımlı f fonksiyonu
veriliyor.gof=1 ise g(1) nedir?
Çözüm: f(x)=2x-1/x+3 → g(x)=f (x)=-3x-1/x-2 olduğundan,
g(1)=-3.1-1/1-2=-4/-1= 4 tür.
15) I:x → I(x)=x ve (f oI)(x)=-5x+4/x+2 olduğuna göre, f(-3) nedir?
Çözüm: I birim fonksiyonu bileşke işleminde etkisiz olduğundan, f oI=f
dir. Öyleyse,
(f oI)(x)=-5x+4/x+2 → f (x)=-5x+4/x+2
f(x)=-2x+4/x+5 Buna göre, f(-3)=-2(-3)+4/-3+5=5 tir.
x/2,x çift ise
16) f:N → N fonksiyonu f(x)=2x-1 ile, g:N → N fonksiyonu g(x)= 0, x tek ise
ile tanımlıdır. (gof )(6)=?
Çözüm: (gof)(6)=g(f(6))=g(2.6-1)=g(11)=0
(gof)(6)=0
17) f: R → R ve g: R → R fonksiyonları, f(x)= x ve g(x)=3 ile veriliyor. (fog)(x)
neye eşittir?
Çözüm: (fog)(x)=f(g(x))=f(3 )=(3 ) = 3
(fog)(x)=3
18) a,b ER dir. F:R → R fonksiyonu, f(x)=x+a ile tanımlıdır.
g:R →R fonksiyonu, g(x)=bx ile tanımlıdır. (fog)(x)=(gof)(x)
olması için a ile b arasında nasıl bağıntı olmalıdır ?
Çözüm:
(fog)(x)=f(g(x))=f(bx)=bx+0
(gof)(x)=g(f(x))=a(x+a)=b(x+a)=bx+ba dır.
(fog)(x)=(gof)(x) →bx+a=bx+ba
→a=ba
→a(1-b)=0 dır.
19) f:R →R fonksiyonu, bire-bir örten fonksiyondur. (f of).(2x+1)=9 ise x nedir?
Çözüm: f of birim(özdeş) fonksiyon olduğundan,
(f of)(2x+1)=2x+1 dir.
(f of)(2x+1)=9 → 2x+1=9
x=4 tür.
20) R den R ye f ve g fonksiyonları için (gof)(x)2x+3, g(x)=x-5 tir. f(a)=2 ise a
nedir ?
Çözüm: g(x)=x-5 ise, (gof)(x)=9(f(x))=f(x)-5 tir.
(gof)(x)=2x+3 → f(x)-5=2x+3
f(x)=2x+8 dir. Buna göre f(a)=2 → 2a+8=2
a=-3 tür.
21) f ve g fonksiyonları için f(x)=x+2/x-1 (gof)(x)=3x+4 olduğuna göre,a(-2)
hangi sayıya eşittir ?
Çözüm: y=f(x)=x+2/x-1 ise, x=y+2/y-1 dir. Buna göre,
(gof)(x)=3x+4 → g(f(x))=3x+4
g(y)=3.y+2/y-1 +4 dür.
Öyleyse, 9(2)=3. -2+2/-2-1 +4= 3.0+4=4 tür.
22) f: R → R fonksiyonu f(x,y)=[(2x+1),(3y-2)] ile tanımlıdır. (fof) (2,-2) nedir ?
Çözüm: f(x,y)=(2x+1, 3y-2) ise
(fof)(2,-2)=f(f(2,-2))
=f(2.2+1, 3(-2)-2)
=f(5,-8)
=(2.5+1, 3(-8)-2)
= (11, -26) olur.
23) f: R → R, x → f(x)= 2 fonksiyonu için; (fof)(2)= ?
Çözüm: (fof)(2)=f(f(2))
→ f(2 )
→f(2 )= 2
→2
→2
24) R de tanımlı f ve g fonksiyonlrı için, f(x)=1/3x+2, g(x)=ax-b dır. fog nin birim
fonksiyon olması için a ne olmalıdır ?
Çözüm: (fog)of(g) → 1/3 (ax-b)+2
ax-b/3 + 2/(3)
ax-b+b/3
ax/3
x'in katsayısının 1 olması için a' nın 3 olması lazım. Bu durumda a=3 için
3x/3=x
25) f: R→ R fonksiyonu, f(x)= 3-2x, x<0 ise
3x+c,x>0 ise ile veriliyor. (fof)(-1)=18 ise c=?
Çözüm: (fof)(-1)=18
f(f(-1))=18 (3-2x, x<0 ise)
f(3-2(-1)=18
f(5)=18 (3x+c, x>0 ise)
f(3.5+c)=18
15+c=18
c=3
x-x,
26) f:R→ R, f(x)=
{
x>-2 ise
x+3, -2<x<1 ise
2-x, x>1 ise
fonksiyonu veriliyor. (fof)(-2)
değeri kaçtır ?
Çözüm: (fof)(-2)=
f(f(-2))= (-2< x>1 ise
f(-2)=x+3
→ -2+3
→ -1
(fof)(-2)=1
27)
x+x-1, x<0 ise
f(x)= 3x+2, 0<x<5 ise
-x+4, 5<x ise
Çözüm: fof(f(-2))
f(-2)=4-2-1 (x<0 ise)
=1
f(5)=-25+4
= -21
(5<x ise)
(fofof)(-2)= -21
f(1) (x>1 ise)
f(1)=2-(1)
f(1)=1
(fofof)(-2)= ?
f(f(1))=
f(1)=3.1+2
(0<x<5 ise)
f(1)=5
28) f: R → R, f(x) =
2x-4, x>0 ise
x,
x<0 ise fonksiyonu veriliyor. (fof)(x)=4 eşitliğini
sağlayan x sayılarının toplamı kaçtır ?
Çözüm: f(f(x))=4
x>0 → f(x)= 2x-4 = 4
→ 2x=8
→ x=4
x<0 → f(x) → x=4
→x=2
4+2=6
29) f:R→ R fonksiyonu f(x)= 2x+1
g:R→ R fonksiyonu g(x)= x+k ile veriliyor. (gof) (1)=2 olduğuna göre "k"
neye eşittir ?
Çözüm: (f o g )(1)=2
f (g (1))=2
f (1-k)=2
f (1-k)=1-k-1/2=2
→ -k= 4
→ k= -4
f (x)= x-1/2
g (x)= x-k
g (1)=1-k
2x-1, x<1 ise
30) f ve g fonksiyonları R den R ye f(x)= 1-x, 1<x<4 ise ve
2x, x>0 ise
g(x)= x+1, x<0 ise kuralları ile
tanımlanıyor. g [(fof)(2)] ifadesi kaça eşittir ?
Çözüm: g [(fof)(2)]=(parantezin içi yapılır)
(fof)2= f(f(2))= (1<x<4)
f(2)=1-2 → -1
f(-1)=2. -1-1 (x<1 ise)
→ -3
g (f(f(2))=g (f(-1))=g (-3) (x<0)
= x-1
= -3-1
= -4
2, x>4 ise
31) R+ kümesinde tanımlı iki fonksiyon f(x)=x ve g(x)=3x+2 ise (f og) -(x)=?
Çözüm: (g of)(x)=g (f(x))
=g (x )
= x-2/3
*g = x-2/3
32) Tanımlı olduğu değerler için f(x)= 2x-1 / x-3 ise f(2x) in f(x) cinsinden
ifadesi nedir ?
Çözüm: f(2x)= 2(2x)-1 / 2x-3 = 4x-1 / 2x-3
f(x)= 2x-1 / x-3 → x-f(x)-3f(x)=2x-1
→ xf(x)-2x= 3f(x)-1
→ x= 3f(x)-1 / f(x)-2
f(x)=4x-1 / 2x-3= 4. [3f(x)-1/f(x)]-1 / 2.[3f(x)-1 / f(x)-2]-3= 11f(x)-2 / 3f(x)+4 tür.
33) f(x) doğrusal fonksiyon ve (fof)(x)=4x-3 ise f(x) ne olabilir ?
Çözüm: f(x)= ax+b
f(f(x))=a(ax+b)+b= ax +ba+b=4x-3
a =2
ba+b= -3
ba+b= -3
a = -2 2b+b= -3
-2b+b= -3
3b= -3
-b=3
b= -1
b=3
Bu durumda; f(x) =2x-1
(ax+b)
İkiside olabilir.
f(x) = -2x+3
34) (1994 ÖSS Sayısal Sorusu / Soru 23)
f(x)= x +2x
(fog)(x)=x +6x+8 oldığuna göre, g(x) aşağidakilerden hangisi olabilir ?
a) x +x
b) x -2
c) x +2
d) x-2
e) x+2
Çözüm: f(g(x))= [g(x)] + 2[g(x)]
x +6x+8=[g(x)] + 2[g(x)]
(x+2) + 2(x+2)=[g(x)] + 2[g(x)] olduğundan g(x)=x+2 olabilir.
35) (1997 ÖSS Sayısal Sorusu / Soru 27)
f(x): R→ R
f(x)=2x+1 - f(x+1)
f(4)=2 olduğuna göre f(2) nin değeri kaçtır ?
Çözüm: x+1=4→ x=3 için
f(3)=2.3+1-f(4)
f(3)=6+1-2 → f(3)=5
x+1=3→ x=2 için
f(2)=2.2+1-f(3)
f(2)=4+1-5→ f(2)=0
36)
Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. Grafikteki bilgilere
göre, __g(1)+(fog)(2)__ = ?
f(4)
Çözüm: g(x), x=1 için a(1)=2
fog(x)=f(g(x))=f(g(2))
x=2 için g(2)=3 ve f(g(2))=f(3) → 0
f(x), x=4 için f(4)= -2 Bu durumda ,
g(1)+(fog)(2) = 2+0 = -1
f(4)
-2