13 Sonlu Boyutlu Uzaylarda Lineer Operatörler ve Fonksiyoneller

13
Sonlu Boyutlu Uzaylarda Lineer Operatörler
ve Fonksiyoneller
Önerme 13.1 M; n-boyutlu bir X vektör uzay¬n¬n bir gerçek alt uzay¬ ve f ,
M üzerinde lineer bir fonksiyonel olsun. X üzerinde fe jM = f olacak şekilde
lineer bir fe fonksiyoneli mevcuttur. (Bu fonksiyonele f ’nin M ’den X’e lineer
genişlemesi denir.)
1 3 2
matrisine karş¬l¬k gelen T operatörünü elde ediniz.
2 1 0
Bu operatör s¬n¬rl¬m¬d¬r?
Çözüm: Bu matris T : R3 ! R2 bir lineer dönüşüm tan¬mlar. Bu dönüşümü
0
1
x1
1 3 2 @
x1 + 3x2 + 2x3
x2 A =
2 1 0
2x1 + x2
x3
Soru 13.1
matris çarp¬m¬ ile ifade edebiliriz. O halde T dönüşümü her (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3
için T (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + 3x2 + 2x3 ; 2x1 + x2 ) ile tan¬ml¬ dönüşümdür. R3
sonlu boyutlu oldu¼
gundan T lineer operatörü s¬n¬rl¬d¬r.
Soru 13.2 R3 uzay¬nda f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g baz¬n¬n dual baz¬n¬bulunuz.
0; i 6= j
Çözüm: Dual baz tan¬m¬ndan i; j = 1; 2; 3 için fi (ej ) =
ola1; i = j
cak şekilde fi fonksiyonellerini belirleyelim. O halde fi (x1 ; x2 ; x3 ) = xi tan¬mlarsak ffi : i = 1; 2; 3g kümesi aran¬lan dual bazd¬r.
Soru 13.3 ff1 ; f2 ; f3 g ; R3 ’ün fe1 = (1; 1; 1); e2 = (1; 1; 1); e3 = (1; 1; 1)g
baz¬n¬n dual baz¬olsun. x = (1; 0; 0) olmak üzere f1 (x); f2 (x) ve f3 (x) de¼
gerlerini belirleyiniz.
Çözüm: ff1 ; f2 ; f3 g, f(1; 1; 1); (1; 1; 1); (1; 1; 1)g baz¬n¬n dual baz¬oldu
g¼undan fi (ej ) = ji oldu¼
gunu biliyoruz. Şimdi x vektörünü baz cinsinden ifade
edelim. Bunun için a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 = x olacak şekilde a1 ; a2 ; a3 skalerlerini
belirlemeliyiz. a1 (1; 1; 1) + a2 (1; 1; 1) + a3 (1; 1; 1) = (1; 0; 0) yazarsak bue1 + e3
radan a1 = 1=2; a2 = 0 ve a3 = 1=2 elde ederiz. Yani x =
şeklinde bir
2
gösterime sahiptir. Şimdi f1 fonksiyoneli lineer oldu¼
gundan
f1 (x)
=
=
=
=
f1
e1 + e3
2
1
(f1 (e1 ) + f1 (e3 ))
2
1
(1 + 0)
2
1
2
28
elde edilir. Benzer şekilde f2 (x) = 0 ve f3 (x) = 1=2 bulunur.
1
(x1 x3 )
2
3
e
ile tan¬mlanan f fonksiyonelinin R ’e, f (1; 1; 1) = 3 olacak şekilde lineer bir fe
genişlemesini bulunuz.
1
Çözüm: R3 üzerinde fe(x) = (x1 x3 ) + 3x2 ile tan¬ml¬ fe fonksiyonelini
2
alal¬m. Key… x; y 2 R3 ve key… ; skalerleri için
Soru 13.4 R3 ՟n Z = x 2 R3 : x2 = 0 alt uzayŸzerinde f (x) =
fe( x + y)
=
=
=
=
fe( x1 +
1
( x1 +
2
1
(x1
2
fe(x) +
y1 ; x2 + y2 ; x3 + y3 )
y1
x3
x3 ) + 3x2
fe(y)
y3 ) + 3 ( x2 + y2 )
+
1
(y1
2
y3 ) + 3y2
oldu¼
gundan fe lineerdir. Ayr¬ca x2 = 0 olacak şekilde her x 2 R3 için fe(x) =
f (x) ve fe(1; 1; 1) = 3 oldu¼
gundan fe fonksiyoneli f ’nin koşullara uyan bir genişlemesidir (Bu genişleme tek midir?).
29