METALURJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 2015 METALURJİ MÜHENDİSLERİ İÇİN STATİK Doç. Dr. İlven MUTLU [email protected] DERS İÇERİĞİ 1 - Giriş 2 - Vektörler 3 - Maddesel Noktanın Dengesi 4 - Rijit Cisimlerin Dengesi 5 - Yayılı Yükler, Kütle Merkezi, 6 - Kafesler, Yapı Analizi 7 – Çerçeveler, Makineler 8 - Kirişler 9 - Kablolar 10 - Atalet Momenti 11 – Sürtünme, Sanal İş Metodu K Sı ısa na v ARASINAV (%40) DEĞERLENDİRME ARA SINAV % 40 KISA SINAV % 10 BİTİRME SINAVI % 50 GİRİŞ MEKANİK Mekanik: Çeşitli kuvvetlerin etkisi altındaki cisimlerde denge, eylemsizlik ve hareket şartlarını inceleyen bir bilim dalıdır. RİJİT CİSİM MEKANİĞİ Cisimler dış kuvvetlerin etkisinde şekil değiştirirler, ama bunlar genellikle cismin boyutları ile karşılaştırıldığında küçüktür. Kuvvetlerin etkisi altında şekil değiştirmediği varsayılan cisme rijit cisim denir. Rijit cisimler mekaniği ikiye ayrılır: Rijit Cisim Statiği Rijit Cisim Dinamiği DİNAMİK Kuvvetlerin etkisi altındaki cismin zaman içinde uzaydaki hareketi incelenir. Dinamik, kinematik ve kinetik diye ikiye ayrılır. Kinematik, Hareketin geometrisi incelenir, harekete neden olan kuvvet araştırılmaz. İvme, hız ve yer değiştirmeyle ilgilenir Kinetik hareket yasalarını kullanarak kuvvet ile kinematik büyüklükleri ilişkilendirir. Kuvvetlerin etkisiyle cismin yapacağı hareket incelenir. Kuvvet, moment ve kütleyle ilgilenir. STATİK Rijit cisim statiği, denge koşullarını kullanarak duran cisimlere etkiyen bağ kuvvetlerini araştırır. Statik’te duran cisimler ile kuvvet arasındaki denge incelenir. Uzama ile uğraşılmaz. Gerçekte kuvvet altında cisimler az da olsa şekil değiştirir. Bu şekil değiştirmeler, çok küçük olduklarında cismin şekil değiştirmediği farz edilir. Statikte üç ana büyüklük vardır; Kuvvet Uzay (Uzunluk) Cisim (Kütle) Mühendislik Yapıları MUKAVEMET (Şekil Değiştirebilen Cisimler Mekaniği) Cisimler dış kuvvetlerin etkisinde şekil değiştirirler. Yük kaldırıldığında cisim ilk haline dönerse Elastikliklik, şekil değiştirmiş olarak kalırsa buna Plastiklik denir. Mukavemet; elastik cisimlerin mekaniğidir. Mukavemet, yapıların yükler altında görevlerini yapacak şekilde boyutlandırılmasını araştıran bir mühendislik bilimidir. Mukavemet cisimlerde meydana gelen iç kuvvetlerin cisimlerin kesitlerinde nasıl dağıldıklarını, cisimlerin kuvvetler altında nasıl ve ne kadar şekil değiştirdiklerini araştırır. Mukavemetin İlgi Alanları 1- Yük etkisindeki cisimlerde gerilme ve şekil değiştirme. 2- Yapıların hasar görmeden, işlevini kaybetmeden taşıyabileceği en büyük yükün, ve bu yükü ne kadar süre taşıyabileceğinin bulunması. 3- Yüklere karşı uygun malzemenin seçimi ve şeklinin belirlenmesi (boyutlandırma). Gereksiz malzeme ve işçilikten kaçınarak, elemanlara yeterli boyut verilmesi. KUVVETLER DIŞ KUVVET Bir cisme diğer cisimler tarafından yapılan etkiye dış kuvvet denir. a) Doğrudan doğruya belli olanlar; (Kendi ağırlığı, yüklenmiş ağırlıklar) b) Mesnet tepkileri İÇ KUVVET Bir cismin iki parçasının birbirine yaptığı etkiye iç kuvvet denir. Dış kuvvetler altındaki cisim şu zorlamalarla karşı karşıya kalmaktadır. 1. Normal kuvvet (çekme, basınç) 2. Kesme kuvveti 3. Eğilme momenti 4. Burulma momenti Statik Bilgisi Ne İşe Yarar ? İnşaat Mühendisleri büyük yapıları ve binaları tasarlamak için Statik bilmelidir Örneğin bu yapıdaki her bir elemandaki kuvveti hesaplayabiliriz. Böylece yapıları maruz kalacakları yüklere dayanabilecek şekilde tasarlayabiliriz. Makine Mühendisleri makineleri tasarlamak için Statik bilmelidir Metalurji ve Malzeme Mühendisleri hasarlara dayanmaları için malzemelerin mikroyapılarını ve mekanik özelliklerini tasarlamak için Statik bilmelidir. Fiyat/performans bakımından kullanımda hasara uğramayacak en uygun malzemeyi seçmeli, mikroyapısını tasarlamalıdır. Kaynak Mühendisleri Statik bilmelidir Tahribatsız Muayene (NDT) Mühendisleri Statik bilmelidir Biyomedikal Mühendisleri / Malzeme Mühendisleri protez tasarlamak için Statik bilmelidir Yapay protezin ihtiyacı olacağı yükü bulabiliriz. Yük dağılımı, statik/dinamik analiz protez tasarımı Malzeme seçimi TEMEL KAVRAMLAR Newton Mekaniğinde, Uzay, Zaman, Kütle mutlak kavramlardır ve birbirinden bağımsızdırlar. Bunlar tam olarak tanımlanamaz, tecrübelerimize dayanarak kabul edilirler. Kuvvet diğer üçünden bağımsız değildir. Kuvvet cismin kütlesine ve hızının zamanla değişimine bağlıdır. TEMEL KAVRAMLAR Zaman Bir olayı tanımlamak için uzaydaki yeriyle beraber zamanı da verilmelidir. Bir olayın peş peşe oluşunun aralığıdır. Bütün zaman sınıflandırmaları sezgilerimize dayanır. Zaman skaler bir büyüklüktür. TEMEL KAVRAMLAR Kütle Cisimleri karakterize etmek ve karşılaştırmakta kullanılır. Kütlesi aynı iki cisim Dünya tarafından aynı tarzda çekim etkisindedir. Maddenin atalet özelliğinin değişmesine karşı direncidir. ölçüsüdür. Cismin hızının TEMEL KAVRAMLAR Uzay Bir P noktasının yeri kavramı ile ilgilidir. P nin yeri bir karşılaştırma noktası veya başlangıçtan itibaren verilen üç doğrultuda ölçülen üç uzunlukla tanımlanır. Bu uzunluklara P nin koordinatları denir. Uzay incelenecek fiziksel olayın ortaya çıktığı geometrik bölgeye denir ve tek boyutlu, iki boyutlu, üç boyutlu olabilir. TEMEL KAVRAMLAR Kuvvet Bir cismin diğeri üzerindeki etkisidir. Bir kuvvet, uygulama noktası, şiddeti, doğrultusu ve yönü olan Vektörel bir büyüklüktür. Duran cismi harekete geçiren, hareketli cismi durduran, cismin doğrultusunu değiştiren, cisimlerin biçimlerinde değişiklik yapan etkiye kuvvet denir. Kuvvet ya temas ile ya da uzaktan uygulanır. Yer çekimi, uzaktan uygulanan kuvvettir. Kablo kuvveti ise doğrudan etkiyen kuvvettir. TEMEL KAVRAMLAR Cisim - Fiziksel olayın etkilerinin ölçüldüğü geometrik bölgeye verilen isimdir. Mekanikte cisimler rijit, elastik, elasto-plastik, vizkoelastik olarak sınıflanır. Statikte cisimler rijit cisim olarak kabul edilir. Madde - Madde, uzayda yer kaplayan her şeydir. Bir cisim, kapalı bir yüzeyle çevrelenmiş bir maddedir. Parçacık (maddesel nokta) – Boyutları ele alınan problemin boyutları yanında ihmal edilebilecek mertebede küçük olan cisme denir ve kütlesi bir noktada toplanmış kabul edilir. Rijit cisim – Boyutları kuvvetler etkisinde değişmediği kabul edilen ideal cisimdir. Kuvvetin uygulanmasından önce ve sonra birbirlerine göre sabit yerler işgal eden çok sayıda noktanın birleşimidir. MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Mekanik, deneylerden elde edilen altı ilkeye dayanır. Bunlar matematiksel yoldan elde edilemez. • Paralelkenar İlkesi • Kaydırılabilme İlkesi • Newtonun 1. Kanunu • Newtonun 2. Kanunu • Newtonun 3. Kanunu • Newtonun Evrensel Çekim Kanunu MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Paralelkenar İlkesi Bir maddesel noktaya etki eden iki kuvvetin yerine bir tek kuvvet koymak mümkündür. Bileşke denen bu kuvvet, kenarları verilen kuvvetlere eşit bir paralelkenarın köşegenini çizerek elde edilir. MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Kaydırılabilme İlkesi Bir rijit cismin bir noktasına etkiyen bir kuvvetin yerine, aynı tesir çizgisinde, aynı şiddet, doğrultu ve yönde, fakat başka bir noktaya etkiyen bir kuvvet konursa, rijit cismin denge ve hareket durumunda değişiklik olmaz MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ • Newtonun 1. Yasası Maddesel noktaya etkiyen bileşke kuvvet sıfırsa maddesel nokta hareketsiz kalır veya bir doğru üzerinde sabit hızla hareketine devam eder. MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Newton’un 2. Yasası Bir maddesel noktaya etkiyen kuvvet sıfır değilse, madde, bileşke kuvvetin şiddeti ile orantılı ve kuvvetin doğrultu ve yönünde bir ivme kazanır. Dinamik konusunda çok daha önemlidir. MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ • Newton’un 3. Yasası Birbirine değen cisimler arasında etki ve tepki kuvvetleri aynı şiddettedir, aynı tesir çizgisi üzerindedir ve zıt yönlüdür. MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ • Newton’un Çekim Yasası Mm F =G 2 r GM W = mg, g = 2 R • Kütleleri M ve m olan iki madde eşit ve zıt yönlü F ve -F kuvvetleri ile birbirini çeker. r iki nokta arasındaki uzaklıktır. G çekim sabiti denilen evrensel bir sabittir (6,6732 e-11 N m2 /kg2). • Dünyanın uyguladığı F kuvveti maddesel noktanın W ağırlığıdır. M dünyanın kütlesine m maddesel noktanın kütlesine ve R dünyanın yarıçapına eşit alırız. KUANTUM MEKANİĞİ Einstein relativite (izafiyet) teorisini ortaya atana kadar, mekaniğin temel prensipleri (Newton mekaniği) tartışılma konusu olmamıştır. Fakat, atomların ve gezegenlerin hareketlerinin incelenmesi sırasında, Newton mekaniğinde eksiklik olduğu, Newton mekaniğinin ışık hızına sahip cisimlere, atom içindeki hareketlere, uygulanamayacağını göstermiştir. Fakat hızların küçük olduğu günlük yaşantıda veya mühendislikte Newton mekaniğinin yanlışlığı henüz ispat edilememiştir. Newton mekaniğinde uzay, zaman ve kütle birbirinden bağımsız, mutlak kavramlardır. Kuvvet ise diğer üçünden bağımsız değildir. Relativistik mekanikte bir olayın zamanı yerine bağlıdır; cismin kütlesi hızı ile değişir. Cisim hızlandıkça kütlesinin bir kısmı enerjiye dönüşür, zaman yavaş akar, boyu kısalır. STATİĞİN İLKELERİ * Paralelkenar ilkesi * Denge ilkesi * Süperpozisyon ilkesi * Etki-tepki ilkesi Etki-tepki ilkesi. Birbirine değen iki cisimdeki tepki kuvvetleri aynı şiddette, aynı tesir çizgisi üzerinde ve birbirine zıt yönlüdür. BİRİMLER MALZEMELERİN MEKANİK ÖZELLİKLERİ Malzemelerin Mekanik Özellikleri Malzemelerin mekanik yükler altındaki davranışlarına “Mekanik Özellikler” denir. Mekanik özellikler atomlar arası bağ kuvvetlerinden kaynaklanır. Bunun yanında malzemenin mikroyapısının da etkisi vardır. Mekanik Özellikler – Çekme/Basma mukavemeti – Sertlik – Darbe direnci, Kırılma tokluğu – Yorulma direnci – Sürünme direnci ÇEKME DENEYİ Parçaya yavaşça artan çekme yükü uygulanır. Deney sırasında uygulanan kuvvet ve parçadaki uzama ölçülür. Deney, parça kopuncaya kadar sürdürülür. Her metalin farklı bir gerilme-şekil değiştirme ilişkisi vardır. BASMA DENEYİ Genellikle gevrek malzemelere (Beton – Seramik) uygulanır Mühendislik gerilmesi ÇEKME EĞRİSİ Mühendislik birim şekil değişimi Elastik bölgede Hook kanunu geçerlidir. Denklemdeki E sabitine elastiklik modülü (E) denir. Gerilme ile şekil değişimi lineer değişir. Kuvvet kalkınca, elastik uzama ortadan kalkar. E büyüdükçe malzeme daha rijit olur (daha zor şekil değiştirir). (HOOK KANUNU) Akma mukavemeti, kalıcı uzamanın oluştuğu gerilmedir. Yapılar gerilme altında elastik şekil değiştirecek şekilde tasarlanır. Plastik deforme olan (kalıcı şekil değiştiren) bir parça görevini yerine getiremez. PLASTİK DEFORMASYON Malzeme akma noktasından daha fazla deforme edildiğinde, Hooke Kanunu geçerliliğini yitirir ve kalıcı plastik deformasyon oluşur. Çekme Dayanımı Gerilme-şekil değişimi eğrisindeki maksimum gerilmedir. Bu noktada numunede boyun oluşumu meydana gelir. Bu noktadan sonra deformasyon sadece boyun bölgesinde meydana gelir. Süneklik ve Tokluk Kırılmaya kadar malzemede oluşabilecek deformasyon miktarına Süneklik denir. Kırılmaya kadar çok az plastik deformasyon gösteren malzemelere gevrek denir. Çekme eğrisinin altındaki alan Tokluğu verir. Rezilyans Bir malzemenin elastik şekil değiştirme sırasında enerji absorbe etme, yük kaldırıldığında bu enerjiyi geri verebilme kabiliyetidir. Eleastik bölgenin altındaki alana eşittir. SERTLİK Sertlik, malzemenin plastik deformasyona (batma veya çizilmeye) karşı gösterdiği direncin ölçüsüdür. Sertlik cihazıyla ölçülür. DARBE TESTİ Belli bir potansiyel enerjiye sahip çekiç, numuneye çarptırılır. Numunenin kırılması için gereken enerji “Darbe Enerjisi” saptanır. Bu deney malzemenin gevrek kırılmaya eğilimini belirlemek için yapılır. YORULMA Malzemelerin akma dayanımlarından daha düşük tekrarlı gerilmelerin etkisinde, belirli bir çevrim sonrasında kırılması ile oluşan hasar. Süspasiyon yayı SÜRÜNME Sabit bir gerilmenin, yüksek sıcaklıkta malzemeye etkimesi durumunda, malzemenin zamana bağlı olarak kalıcı şekil değiştirmesine sürünme denir. VEKTÖRLER MEKANİKTE BÜYÜKLÜKLER Mekanikte kullanılan matematiksel büyüklükler üçe ayrılır; 1) Skaler büyüklük. (30=1) sıfırıncı mertebeden büyüklüktür. Pozitif ve negatif olarak bir büyüklüğün şiddetidir. Şiddeti olup yönü olmayan parametrelerdir. Örneğin, kütle, yoğunluk, hacim, enerji ve sıcaklık. 2) Vektörel büyüklükler, şiddet, doğrultu ve yön belirtir. (31 =3) Birinci mertebeden büyüklüktür. Örneğin, hız, yer değiştirme, ivme , kuvvet, moment. 3) Tansör, n. mertebeden bir büyüklüktür ve karşılığı olan sayı adedi 3n dir. 2. mertebeden bir tansör 32 =9 sayıyla ifade edilir. VEKTÖRLER Şiddeti, doğrultusu ve yönü bulunan, paralelkenar kanununa göre toplanan matematiksel ifadelere VEKTÖR denir. Şekildeki F vektörünün doğrultusunu bir doğru, yönünü ok, şiddetini okun boyu belirler. F vektörünün zıt yönlüsü -F ile gösterilir ve (-) işareti yön değişikliğini belirtir, vektörler skaler büyüklüklerde olduğu gibi artı ya da eksi değer almazlar. VEKTÖRLER • Bağlı vektör • Serbest vektör • Kayan vektör Bağlı Vektör Belirli bir uygulama noktası olan (maddesel nokta) ve değiştirilemeyen vektörlerdir. Bu vektörler hareket ettirilirse problemdeki şartlar değişmiş olur. Bir serbest vektör ile noktanın oluşturduğu vektördür. Dinamik’te önemlidir (ivme vektörü). Statikte maddesel nokta durumunda önemlidir !!! Serbest Vektör Yönü ve şiddeti korunmak şartı ile uzayda serbestçe hareket edebilen vektörler. Lineer cebirde önemlidir. Örnek olarak, kuvvet çiftinin moment etkisi gösterilebilir. Kayan Vektör Kendisi ile aynı doğrultu üzerinde olmak koşulu ile tesir çizgileri üzerinde istenilen herhangi bir noktaya uygulanabilen vektörlere denir. Bir vektör ile buna paralel bir doğrunun oluşturduğu vektördür (rijit cisme uygulanan kuvvet). !!! Statikteki kuvvetler kayan vektörlerdir. Birim Vektör İKİ KUVVETİN BİLEŞKESİ • Kuvvet: Bir cismin diğer bir cisme etkisidir; Uygulama noktası, yönü, şiddeti ve doğrultusu ile tanımlanır. • Bileşke kuvvet (R), kenarları komşu iki kuvvetten (P ve Q) oluşan paralelkenarın köşegenine eşittir VEKTÖRLERİN TOPLANMASI • Üçgen Kuralı • Vektörlerin toplanması komütatiftir. r r r r P+Q =Q+P C B C B Vektörlerin Çıkarılması • Kosinüs Kuralı C B C B • Sinüs Kuralı sin A sin B sin C = = Q R P • Üçgen kuralının tekrarlanması yöntemiyle üç veya daha fazla vektörün toplanması • Üç veya daha fazla vektörün poligon (çokgen) yöntemiyle toplanması • Vektörlerin toplanması asosyasiftir. r r r r r r r r r P+Q+ S = (P+Q) +S = P+(Q+ S) • Vektörün bir skaler ile çarpımı KUVVETLERİN BİLEŞKESİ Bir maddesel noktaya etki eden birden çok kuvvetin yerine hepsinin vektörel toplamına eşit bir bileşke kuvvet konabilir. KUVVETİN DİK BİLEŞENLERİ: BİRİM VEKTÖRLER • Bir kuvvet dik bileşenlerine ayrılabilir. r r r F = Fx + Fy Kuvvet vektörünün dik bileşenleridir. r r r F = Fx i + Fy j Birim vektörlerdir Fx ve Fy ye F nin skaler bileşenleri denir. Dik Bileşenlerin Toplanması ile Kuvvetlerin Toplanması Kuvvetlerin bileşkesinin bulunması, r r r r R = P+Q+S Her bir kuvvet bileşenlerine ayrılır r r r r r r r r Rxi + Ry j = Pxi + Py j +Qxi +Qy j + Sxi + Sy j r r = ( Px +Qx + Sx )i + Py +Qy + Sy j ( ) R x = Px + Q x + S x R y = Py + Q y + S y = ∑ Fx = ∑ Fy Bileşkenin yönü ve şiddetinin bulunması R= Rx2 + Ry2 θ = tan Problem F1 = 2i – 3j + 4k ve F2 = 4i + 10j + 6k vektörleri için vektörel toplama ve çıkarma işlemleri F1 + F2 ile F2 - F1 yi yapınız −1 Ry Rx Çözüm F1 = 2i – 3j + 4k F2 = 4i + 10j + 6k F1 + F2 = (2i – 3j + 4k) + (4i + 10j + 6k) = (2+4)i + (-3 + 10)j + (4+6)k = 6i + 7j + 10k F2 - F1 = (4i + 10j + 6k) - (2i - 3j + 4k) = (4-2)i + (10 - (-3))j + (6-4)k = 2i + 13j + 2k Problem ÇÖZÜM Birim Vektör Problem (şiddeti) Problem Cıvataya etki eden iki kuvvetin yerine geçecek bir tek bileşke kuvvet bulunuz. • Trigonometrik Çözüm (Kosinüs bağıntısı) R 2 = P 2 + Q 2 − 2 PQ cos B = (40 N )2 + (60 N )2 − 2(40 N )(60 N ) cos155° R = 97.73N Sinüs bağıntısı, sin A sin B = Q R sin A = sin B Q R = sin 155° 60 N 97.73N A = 15.04° α = 20° + A Problem α = 35.04° Problem A cıvatasına dört kuvvet etki etmektedir. Cıvataya etkiyen bileşke kuvveti bulunuz. Kuvvetlerin x ve y bileşenleri bulunur. r F1 r F2 r F3 r F4 şid det 150 80 110 x + 129 . 9 − 27 . 4 0 y + 75 . 0 + 75 . 2 − 110 . 0 100 + 96 . 6 − 25 . 9 Rx = +199.1 R y = +14.3 Şiddet ve doğrultunun bulunması. R = 199.12 + 14.32 tan α = 14.3 N 199.1 N R = 199.6 N α = 4.1° Vektörel Çarpım • P ve Q gibi iki vektörün vektörel çarpımı bir V vektörüdür. (1) V nin tesir çizgisi P ve Q nun bulunduğu düzleme diktir. (2) V nin şiddeti P ve Q nun şiddetleri ile P ve Q nun teşkil ettiği θ açısının (180 den küçük) sinüsünün çarpımına eşittir V = P Q sin θ (3) V nin yönü sağ el kuralı ile bulunur. P ve Q nun vektörel çarpımı matematikte aşağıdaki gibi gösterilir V=PxQ İki Vektörün Vektörel Çarpımı Komutatif değildir Distribütiftir Q × P = −( P × Q ) P × (Q1 + Q2 ) = P × Q1 + P × Q2 Assosyasif değildir (P × Q )× S ≠ P × (Q × S ) Vektörel Çarpımın Dik Koordinatları r r i ×i = 0 r r r i× j =k r r r i ×k = − j r r r j × i = −k r r j× j =0 v r r j×k = i r r r k ×i = j r r r k × j = −i r r k ×k = 0 Vektörel Çarpım 1. YOL (Eksi) (Eksi) 2. YOL (Kulanma !!!) İki Vektörün Skaler Çarpımı • P ve Q vektörlerinin skaler çarpımı (iç çarpım), P ve Q vektörlerinin şiddetleri ile P ve Q nun yaptığı θ açısının kosinüsünün çarpımıdır. r r P • Q = PQcosθ • Bu ifade bir vektör olmayıp, bir skalerdir !!! İki Vektörün Skaler Çarpımı r r P • Q = PQcosθ • Skaler çarpım: - komütatiftir, r r r r P•Q = Q• P - distribütiftir, r r r r r r r P • (Q1 + Q2 ) = P • Q1 + P • Q2 - Asosyasif değildir, (Pr • Q )• S = Tanımsız r r İki Vektörün Skaler Çarpımı • P ve Q gibi iki vektörün skaler çarpımını vektörlerin dik koordinatları cinsinden ifade edersek r r r r r r r r P • Q = (Px i + Py j + Pz k ) • (Qx i + Q y j + Qz k ) • Birim vektörlerin çarpımı ya sıfır yada bir dir. r r r r r r r r r r v r i •i =1 j • j =1 k •k =1 i • j = 0 j •k = 0 k •i = 0 • Böylece P.Q için: İki Vektör Arasındaki Açı r r P •Q = PQ cos θ = Px Qx + Py Qy + Pz Qz cos θ = Px Qx + Py Qy + Pz Qz PQ Bir Vektörün Bir Eksendeki İzdüşümü POL = P cos θ r r P • Q = PQ cos θ r r P •Q = P cos θ = POL Q • OL üzerindeki vektör, λ birim vektörü ise POL r r = P•λ = Px cosθ x + Py cosθ y + Pz cosθ z Skaler Çarpım Skaler Çarpım Üç Vektörün Karışık Üçlü Çarpımı • S, P ve Q vektörlerinin karışık üçlü çarpımını, S vektörü ile P ve Q nun vektörel çarpımının skaler çarpımından elde edilen skaler ifade ile tanımlarız. r r r S • P × Q = skaler ( ) • Üçlü karışık çarpım, mutlak değer bakımından kenarları S, P ve Q vektörleri olan paralelyüzlünün hacmine eşittir. Üç Vektörün Karışık Üçlü Çarpımı • S, P ve Q ile yapılabilecek altı karışık üçlü çarpımın hepsi aynı mutlak değerde olacak, fakat aynı işarette olmayacaktır. r r r r r r r r r S • (P × Q ) = P • (Q × S ) = Q • (S × P ) r r r r r r r r = − S • (Q × P ) = − P • (S × Q ) = −Q • (P × S ) Üç Vektörün Karışık Üçlü Çarpımı r r r S • (P×Q) = Sx PyQz − PzQy + Sy (PzQx − PxQz ) + Sz PxQy − PyQx ( ) ( ) Sx Sy Sz = Px Py Pz Qx Qy Qz Problem F1 = 2i – 3j + 4k ve F2 = 4i + 10j + 6k vektörleri için 1) Vektörel çarpımı bulunuz. Birim vektörü elde ediniz. 2) A = F1 . F2 skaler çarpımını bulunuz = F1 x F2 = (-18-40)i – (12-16)j + (20 + 12)k (Vektörel çarpım) = -58i + 4j + 32k = -0,87i + 0,06j + 0,48k (Birim Vektör) A= F1.F2 = (2i – 3j + 4k) . (4i + 10j + 6k) = 2.4 – 3.10 + 4.6 =2 (Skaler çarpım) Problem Problem Problem Aşağıdaki vektörlerin vektörel çarpımını bulunuz Problem Aşağıdaki kuvvetlerin bileşkesini bulunuz Problem 60 kg’lik yükü dengeleyen iplerdeki gerilmeleri bulunuz MADDESEL NOKTANIN DENGESİ MADDESEL NOKTANIN DENGESİ • Maddesel noktanın (parçacığın) dengede olabilmesi için gerek şart nokta üzerine etki eden tüm kuvvetlerin bileşkelerinin sıfır olmasıdır. Bileşke kuvvet sıfırsa nokta ya hareketsiz kalır (baştan hareketsiz), veya sabit hızla bir doğru üzerinde hareket eder (baştan hareketli). • İki kuvvetin etkisindeki parçacığın dengede olması, iki kuvvetin aynı şiddette, aynı tesir çizgisinde ve zıt yönde olması ile mümkündür. • Parçacığın dengesine ait bir durum aşağıdadır. Burada Kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır ve parçacık dengededir. • Bir parçacığın dengede olabilmesi için için şu sonuçlara varırız. r r R = ∑F = 0 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 İki boyutlu düzlemde denge şartı MADDESEL NOKTANIN 3 BOYUTTA DENGESİ • A noktasına etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa A noktası dengededir. Aşağıdaki denklemler, uzayda bir noktanın dengesi ile ilgili gerek ve yeter şartları gösterir. ∑F ∑F ∑F x =0 y =0 z =0 SERBEST CİSİM DİYAGRAMLARI Durum Diyagramı Serbest Cisim Diyagramı (SCD) Problemin fiziksel şartlarını göstermek için çizilen şekil veya şemaya denir. Seçilen bir maddesel noktaya etkiyen bütün kuvvetleri gösteren şema. Problem Yanda görülen yük boşaltma işleminde otomobilin ağırlığı 10 kN (3500 lb) olduğuna göre AB ve AC kablolarındaki kuvvetleri (gerilimleri) bulunuz. ÇÖZÜM T TAB 3500 lb = AC = sin 120° sin 2° sin 58° T AB = 3570 lb (10.2 kN) TAC = 144 lb (411 N) Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri • O noktasına etkiyen F kuvvetinin doğrultusunu saptamak için OBAC düzlemini çizelim. Düzlemin konumu xy düzlemiyle yaptığı Φ açısıyla tanımlanır. F kuvvetinin konumu y ekseniyle yaptığı θ açısıyla tanımlanır. F kuvveti yatay Fh ve düşey Fy bileşenlerine ayrılabilir. Fh = F sin θ y Fy = F cos θ y Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri Fh da x ve z eksenleri doğrultusunda Fx ve Fz dik bileşenlerine ayrılabilir. Fx = Fh cos φ = F sin θ y cos φ Fy = Fh sin φ = F sin θ y sin φ Böylece verilen F kuvveti üç koordinat ekseni doğrultusunda, Fx, Fy ve Fz dik vektörel bileşenlerine ayrılmış oldu. Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri Şekildeki taralı üçgenlere Pythagoras teoremini uygularsak; (F)2=(OA)2 = (OB)2 + (BA)2 = (Fy)2 + (Fh)2 (Fh)2=(OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = (Fx)2 + (Fz)2 Bu denklemlerden F yi çözersek, F nin şiddeti ile skaler dik bileşenleri arasında aşağıdaki bağıntıyı elde deriz F = Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri F kuvveti ile kuvvetin Fx, Fy, Fz bileşenleri arasındaki bağıntıyı canlandırmak için yandaki gibi, kenarları, Fx, Fy, Fz olan bir kutu çizilebilir. F in x ve z eksenleriyle yaptığı açıları θx ve θz ile gösterirsek şu formüller çıkarılır. Fx = F cosθx Fy = F cosθy Fz = F cosθz r r r r F = Fx i +Fy j +Fz k r r r = F(cosθxi +cosθy j +cosθz k ) r = Fλ r r r r λ =cosθx i +cosθy j +cosθz k Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri θx, θy ve θz açıları F kuvvetinin doğrultusu ve yönünü tanımlar. θx, θy ve θz açılarının kosinüslerine F kuvvetinin doğrultman kosinüsleri denir. x, y ve z eksenleri doğrultusundaki birim vektörleri i, j ve k ile gösterirsek, F yi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri λ ya F in tesir çizgisi üzerindeki Birim Vektör denir. Birim vektör λ in bileşenleri F in doğrultman kosinüslerine eşittir. Birim vektörünün şiddeti 1 dir ve F ile aynı doğrultudadır. (λx)2 + (λy)2 + (λz)2 = 1 λz=cosθz λx=cosθx λy=cosθy Şiddet ve Tesir Çizgisi Üzerindeki İki Nokta ile Tanımlanan Kuvvet Uygulamaların çoğunda F kuvvetinin doğrultusu tesir çizgisindeki M ve N gibi iki noktanın koordinatları yardımıyla tanımlanır. M ( x1 , y1 , z1 ) ve N ( x2 , y 2 , z 2 ) r d = M ve N yi birleştiren vektör r r r =d i +d j +d k x y z d x = x2 − x1 r r F = Fλ r λ = 1 (d ir + d x d Fx = d y = y2 − y1 Fd x d y d z = z2 − z1 r r j + dz k Fy = ) Fd y d Fz = Fd z d Problem Bir kule kılavuz kablosu, ankraj bulonu yardımıyla A ya bağlanmıştır. Kablodaki kuvvet 1200 kg dir (2500 N) (a) bulona (A) etkiyen kuvvetin Fx, Fy, Fy bileşenlerini, (b) kuvvetin doğrultusunu tanımlayan θx, θy, θz açılarını bulunuz. r r r AB = (− 40 m ) i + (80 m ) j + (30 m )k AB = (− 40 m )2 + (80 m )2 + (30 m )2 = 94.3 m r − 40 r 80 r 30 r i + j + k 94.3 94.3 94.3 r r r = −0.424 i + 0.848 j + 0.318k λ = r r F = Fλ r r r = (2500 N )(− 0.424 i + 0.848 j + 0.318k ) r r r = (− 1060 N )i + (2120 N ) j + (795 N )k r r r λ = cos θ x i + cosθ y j + cos θ z k r r r = −0.424 i + 0.848 j + 0.318k r θ x = 115.1o θ y = 32.0o θ z = 71.5o Problem Problem Problem Problem