Ölçme Sonuçları Üzerinde İstatistiksel İşlemler

Ölçme Sonuçları Üzerinde İstatistiksel İşlemler
Ölçme sonuçları ve bunlar üzerinde yapılan istatistiksel
işlemler aşağıda verilmiştir.
Okullarda
yapılan
çeşitli
ölçme
uygulamaları
(sınavlar)
sonucunda sayısal değerler (puanlar) elde edilir. Bu puanlar
öğrencilerin başarı durumlarının sayısal ifadesidir ve genelde her
bir öğrencinin başarısının değerlendirilmesinde kullanılır. Bununla
birlikte, ölçme sonuçları, tek tek öğrenciler hakkında bilgi verdiği
gibi uygulandığı grubun tümü hakkında da bilgi verir ve hem
öğrencilerin
hem
de
eğitim
sisteminin
değerlendirilmesinde
kullanılır. Ölçme sonuçlarının betimlenmesi, özetlenmesi, birbirleri
ile
karşılaştırılması
ve
yorumlanması
bunlar
üzerinde
çeşitli
istatistiksel işlemlerin yapılmasını gerektirmektedir. Bu işlemler
aşağıda örneklerle açıklanmıştır.
Ölçme Sonuçlarının (Puanların) Düzenlenmesi
Ölçme
sonuçları
ilk
elde
edildiklerinde
çok
sayıda
ve
düzensizdirler. Bu yüzden bunları yorumlamak ve sonuç çıkarmak
mümkün değildir. Bu nedenle veriler üzerinde yapılacak ilk iş
onların
düzenlenmesidir.
gereken
onların
Verilerin
büyüklük
düzenlenmesinde
sırasına
konulmasıdır.
yapılması
Sıralama
büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe doğru yapılabilir.
Aşağıda
testinden
60
almış
öğrencinin
oldukları
50
soruluk
puanların
bir
sayısal
küçükten
yetenek
büyüğe
doğru
sıralanmış hali örnek olarak tablo 1'de verilmiştir.
Puanların
sıralaması
büyüğe doğru yapılabilir.
büyüktün
küçüğe
ya
da
küçükten
Tablo 1: Öğrencinin Sayısal Yetenek Puanlarının Sıralanmış Hali
15
28
32
37
42
19
28
33
37
42
22
29
33
37
43
22
29
33
37
43
23
29
34
37
43
23
29
34
38
43
24
30
34
38
44
25
30
36
39
44
25
31
36
39
45
26
31
36
40
45
26
32
37
40
47
28
32
37
40
47
Tablo değerleri:
(x) puanlar
(f) frekans
(tf) toplam frekanslar
(%) yüzdeler ve
(%tf) toplamlı yüzdeler.
Tablodaki veriler incelendiğinde puanların 15 ile 47 arasında
değiştiği açıkça görülmektedir. Sınavda hiç bir öğrencinin testteki
50
sorunun
tamamına
doğru
cevap
veremediği,
ayrıca
bazı
puanların bir, bazılarının da birden fazla olduğu gözlenmektedir.
Ancak, bu bilgiler yalnız başına verilerin yorumlanması için yeterli
değildir.
Frekans Tablosunun Hazırlanması
Verilerden daha fazla bilgi elde etmek için yapılan
diğer bir işlem, frekans tablosu hazırlamadır. Bu tabloda
puanlar (X), frekans (f), ve toplamlı frekanslar (ti),
yüzdeler (%) ve toplamlı yüzdeler (%tf) yer alır. Tablo
1'de sıralı halde verilmiş olan verilerin frekans tablosu
Tablo 2'de verilmiştir.
Tablo 2: 60 Öğrencinin Sayısal Yetenek Puanlarının Frekans Tablosu
x
15
19
22
23
24
25
26
28
29
30
31
32
33
37
36
37
38
39
40
42
43
f
1
1
2
2
1
2
2
3
4
2
2
3
3
3
3
7
2
2
3
2
4
tf
1
2
4
6
7
9
11
14
18
20
22
25
28
31
34
41
43
45
48
50
54
%
2
2
3
3
2
3
3
5
7
3
3
5
5
5
5
12
3
3
5
3
7
%tf
2
4
7
10
12
15
18
23
30
33
36
41
46
51
56
68
71
73
78
81
88
44
45
47
Toplam
2
2
2
60
56
58
60
3
3
3
98
91
94
98
Frekans tablosunun ilk sütunu, testten alınmış olan puanların
büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe doğru sıralanarak
yazılmış halini gösterir, ikinci sütunda frekanslar yer almaktadır.
Bir verinin frekansı, o veriden, grupta kaç tane olduğunu gösterir.
Örneğin Tablo 2'de 60 öğrenciden 3'ü 28, 4'ü 29 puan almıştır.
Frekans tablosundaki frekanslar toplamının veri sayısına eşit
olması gerekmektedir. Tablo oluşturulduktan sonra bu kontrolün
yapılması istenir. Tablo 1'deki verilerin toplam sayısı 60'tır ve
frekanslar toplamı da 60 bulunmuştur. Bu bilgi bize, frekanslar
toplamının alınmasında ve verilerin tabloya geçirilmesinde bir
hatanın yapılıp yapılmadığını gösterir.
Tablo 2'nin üçüncü sütunundaki toplamlı (yığmalı) frekanslar,
bir veriye ait frekans ile ondan önceki tüm verilere ait frekansların
toplamıdır. Toplamlı frekansın son değerinin veri sayısına eşit
olduğuna dikkat edilmelidir. Toplamlı frekanslar, frekansla elde
edilen bilgiye ek olarak bireylerin aldıkları puana göre diğerleri ile
karşılaştırılmasına imkan sağlar. Örneğin 30 puan alan 2 öğrenci,
60 kişilik grupta 29 ve daha düşük puan alan 18 öğrenciden daha
yüksek puan almışlardır. Ancak, grupta bu 2 öğrenciden daha
yüksek puan alan 40 kişi vardır. Bu iki öğrenci gruptaki 18
öğrenciden daha yüksek fakat 40 öğrenciden daha düşük bir başarı
göstermişlerdir.
Frekans tablosuna yüzdeler ve toplamlı yüzdeler
eklenerek veriler hakkında daha fazla yorum yapılabilir.
Yüzde, bir veriye ait frekansın toplam frekansa bölünüp
100 ile çarpılması ile elde edilir. Yüzde değerlerinin
toplamının 100 olması gerekir. Ancak, Tablo 2'de bu
değer 98 olarak görülmektedir. Bunun nedeni yapılan
bölme
ilgilidir.
işleminde
Yüzde
çıkan
ve
değerlerin
toplamlı
yuvarlanması
yüzdelere
ile
bakarak
öğrencilerin grup içindeki yeri (%'de kaçından daha
başarılı olduğu ya da başarısız olduğu vb.) belirlenebilir.
Verilerin
sıraya
konulması,
frekans
tablosunun
düzenlenmesi vb. işlemler veriler hakkında çok genel
bilgiler vermektedir. Bu işlemler verilerin tümü hakkında
bilgi vermez. Düzenlenmiş verilerin yorumlanması ve
daha ileri düzeydeki işlemler için verilerin bütününe ait
özelliklen belirtecek bilgilere ihtiyaç vardır. Verilerin
bütününe ait özellikleri ortaya koymada merkezi eğilim
ölçüleri (merkeze yığılma ölçüleri) ve dağılım (değişme)
ölçülerinden yararlanılmaktadır.
Merkezi Eğilim Ölçüleri (Merkeze Yığılma Ölçüleri)
En sık kullanılan merkezi eğilim ölçüleri aritmetik
ortalama,
ortanca
ve
mod'dur.
Bu
ölçüler
verilerin
gruplândırılmış olması ve olmaması durumlarında farklı
yollarla
(formüllerle)
aritmetik
ortalama,
geldikleri
hesaplanmaktadır.
ortanca
ve
gruplândırılmamış
mod'un
veriler
ne
için
Aşağıda
anlama
yapılan
hesaplama örnekleriyle birlikte verilmiştir.
Mod (Tepe Değer):
Bir
veri
grubunda
en
çok
tekrar
eden
ölçme
sonucuna mod denir. Mod, verilerin en çok tekrar eden
değer etrafında toplandığını ifade eden bir ölçüdür. Veri
grubunu betimlemede, tüm verilerden ziyade en çok
tekrar eden verinin kullanılmasından dolayı mod, diğer
merkezi eğilim ölçülerine kıyasla veriler hakkında en az
bilgi veren ölçüdür.
Bir
veri
grubunda
en
çok
tekrar
eden
ölçme
sonucuna mod denir.
Örnek 1:
a) 10 öğrencinin bir sınavdan aldıkları puanlar sırasıyla 80, 72, 65, 73,
72, 57, 41,
72, 41
ve 65'tir. Bu veri kümesinde en çok tekrarlanan puan
72'dir. Dolayısıyla bu verilerin mod'u 72'dir.
b) Tablo 2'deki frekans tablosunda görülen 60 öğrencinin sayısal yetenek
testi puanlarına ait dağılımda, en yüksek frekans 7 ve buna ait ölçme sonucu 37
olduğundan, bu dağılımın modu 37'dir. Yani sayısal yetenek testi puanları 37
etrafında yığılma göstermektedir.
Bir veri grubundaki bütün ölçme sonuçlan aynı değeri alırsa dağılımın
modu olmaz. Bir veri kümesinde birden fazla modun olduğu durumlar da
bulunabilir. Böyle durumlarda mod, verilerin toplandığı grup hakkında bilgi
vermez. Bu gibi durumlarda mod kullanılmaz.
Ortanca (medyan):
Sıralanmış bir veri grubunu tam ortadan ikiye ayıran noktaya rastlayan
ölçme sonucuna ortanca denir. Veriler sıraya konulduktan sonra, baştan ve
sondan
n 1
inci sıradaki ölçme sonucu sayılarak bulunur. Bulunan değer
2
ortancadır. Sık kullanılan merkezi eğilim ölçülerinden biridir.
Örnek 2. (veri sayısının tek olması durumunda):
2, 3, 5, 6, 7, 9, 10 şeklinde sıralı halde verilmiş olan puan dağılımının
ortancası, bu puanların tam orta noktasına rastlayan ölçme sonucu olan 6'dır.
Örnek 3. (veri sayısının cin olması durumunda):
12, 13, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 25, 26, 27 şeklinde sıralı halde verilmiş
olan puan dağılımının ortancası 17+18/2 = 17,5' tir.
Sıralanmış bir veri grubunu tam ortadan ikiye ayıran noktaya rastlayan
ölçme sonucuna ortanca denir.
Aritmetik Ortalama:
En çok kullanılan ve diğerlerine göre daha fazla bilgi veren merkezi
eğilim ölçüsüdür. Aritmetik ortalamanın hesaplanmasında, ortanca ve mod da
olduğu gibi, sadece bir kaç veri değil verilerin tamamı dikkate alınmaktadır.
Çoğu yerde sadece ortalama olarak ifade edilir. Aritmetik ortalama verilerin
tamamının veri sayısına bölünmesi ile elde edilir. Aritmetik ortalama formülü,
X1+X2+X3+....+Xn verileri, "n" de veri sayısını göstermek üzere;
X
X1  X 2  ....  X n
’dir.
n
Aritmetik ortalama;
En çok kullanılan ve diğerlerine göre daha fazla bilgi veren merkezi
eğilim ölçüsüdür.
Örnek 4:
7 öğrencinin yabancı dil testinden aldıkları puanlar, 75, 53, 81, 55, 67, 39,
49 olsun. Bu puanların aritmetik ortalaması,
X
75  53  81  55  67  39  49
 59.86 ’dır.
7
Bu sonuç, 7 öğrencinin
yabancı dil sınavından aldıkları puanların 59,86 civarında olduğunu gösterir. Bu
değer grubun tümüne ait ve grubun tümünü temsil eden bir değerdir.
Dağılım (Değişim) Ölçüleri
Bir puan dağılımı betimlemede kullanılan diğer bir ölçü, dağılım
ölçüleridir. Dağılım ölçüleri, verilerin yığılma gösterdikleri noktadan ne kadar
uzakta olduklarını, başka bir deyişle merkeze yığılma ölçüsüne göre ne kadar
dağıldıklarını belirten bir sayıdır. Başlıca dağılım ölçüleri; ranj ve standart
kaymadır.
Ranj:
Bir veri grubunda en büyük ölçme sonucu ile en küçük ölçme sonucu
arasındaki farka ranj denir. Ranj sembollerle aşağıdaki gibi gösterilebilir.
Ranj = XEB - XEK
XEB : En büyük ölçme sonucu
XEK: En küçük ölçme sonucu
Ranj, veri grubundaki iki değere (en büyük ve en küçük) bağlı
olduğundan verilerin dağılımı hakkında fazla bilgi vermez. Bu yüzden çok
kullanışlı değildir. Merkeze yığılma ölçüsü olarak sadece modun kullanılabildiği
verilerde dağılım ölçüsü olarak da ranj kullanılır.
Ranj:
Bir veri grubunda en büyük ölçme sonucu ile en küçük ölçme sonucu
arasındaki farka ranj denir. Ranj sembollerle aşağıdaki gibi gösterilebilir.
Örnek 5:
Tablo 4'deki verilerin ranjını bulalım. Verilerin en büyüğü 47, en küçüğü
15 olduğundan,
Ranj= 47- 15 = 32dir.
Bu değer bize öğrencilerin testten aldıkları puanların 15 ile 47 arasında
değiştiğini göstermektedir.
Standart Kayma (Sapma):
Bir veri grubundaki ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamadan farklarının
karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküne standart kayma denir. Standart
kayma, bir veri grubunda verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığının
ortalama bir ölçüsünü verir. Bir veri grubu için merkezi eğilim ölçüsü olarak
aritmetik ortalamanın kullanıldığı durumlarda dağılma ölçüsü olarak standart
kayma kullanılır. Standart kayma aşağıdaki formülle hesaplanır.
Bir veri grubundaki ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamadan farklarının
karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküne standart kayma denir.
Standart sapma bize hangi tür istatistiksel bilgi verir?
S
 (X
 X) 2
n 1
i
Bu formülde S standart kaymayı, Xi ölçülen özelliğin değerlerini
(ölçme sonuçlarını), X ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamasını, n de veri
sayısını göstermektedir.
Örnek:
Bir testten öğrencilerin almış oldukları puanlar 25, 19, 21, 14, 15, 13, 11,
22 olsun. Bu ölçme sonuçlarının standart kaymasını hesaplamak için Çizelge
17'deki gibi bir işlem tablosunun hazırlanması işlemleri kolaylaştırır.
Verilerin aritmetik ortalaması;
X = (25+19 + 21 + 14+15+13+ 11 +22)/8= 140/8= 17,5dir
Tablo 3: Standart Kaymanın Hesaplanması için Çalışma Tablosu
x
x-x
(x-x)2
11
11 – 17,5 = -6,5
42,25
13
13 – 17,5 = -4,5
20,25
14
14 – 17,5 = -3,5
12,25
15
15 – 17,5 = -2,5
6,25
19
19 – 17,5 = 1,5
2,25
21
21 – 17,5 = 3,5
12,25
22
22 – 17,5 = 4,5
20,25
25
25 – 17,5 = 7,5
56,25
Toplam
0,00
172
S
172
 4.95 ’dir.
8 1
Diğer bir dağılım ölçüsü olan varyans hesaplanan standart sapma
değerinin karesinin alınması ya da standart sapma formülündeki karekökün
işleme dahil edilmemesi suretiyle elde edilir. Standart sapma için yapılmış olan
açıklamalar varyans için de geçerlidir.
Şunu vurgulamakta yarar vardır ki, merkezi eğilim ve dağılım ölçüleri için
burada verilmiş formüller ve hesaplanma yollarından başka verilerin
özelliklerine ve büyüklüğüne bağlı olarak diğer hesaplama yolları ve formülleri
mevcuttur. Bu kısımda az sayıdaki veriler üzerinde bu işlemlerin nasıl
yapılacağına ilişkin açıklamalarda bulunulmuş, diğer işlem yollarına ilişkin
hesaplama örnekleri verilmemiştir. Ayrıca, bir puan dağılımını betimleme de
kullanılan farklı grafiksel yöntemler, dağılımı yorumlamada kullanılan bağıl
değişkenlik, çarpıklık, basıklık ve standart puanlar gibi kavramlar ve işlem
yollan bu bölümün kapsamı dışında bırakılmıştır.
Değerlendirme ve Not verme
Değerlendirme
Değerlendirmenin genel anlamda, bir ölçme işlemi sonunda elde edilen
ölçme sonuçlarının bir ölçütle karşılaştırılması ve buna bağlı olarak bir değer
yargısına ulaşma işi olduğu ve ölçme sonucu, ölçüt ve karar olmak üzere üç
öğesinin bulunduğu daha önce vurgulanmıştı.
Değerlendirme bir karar verme işlemi olup bu yönü ile ölçmeden
ayrılmaktadır. Değerlendirme kapsam açısından daha geniş bir kavramdır.
Ölçme, değerlendirme için gerekli sayısal değerlerle ilgilidir ve değerlendirme
kavramının gözlem ve veri toplama kısmını içine alır. Ölçmenin temel özelliği,
sonuçların "sayısal" olarak ifade edilmesi, değerlendirme ise, ölçme sonuçlarının
belirli ölçütlere göre yorumlanarak yargılara varılmasıdır (Özcelik,1992 ;
Özgüven, 1994)
Değerlendirme bir karar verme işlemi olup bu yönü ile ölçmeden
ayrılmaktadır.
Değerlendirmenin Eğitim Sistemi İçindeki İşlevleri
Özçelik'e göre (1992) eğitimdeki değerlendirmeler göz önüne alındığında
bunların çoğunda, ya öğrenmeler ya da öğretim üzerinde durulduğu görülür.
Ölçmenin temel özelliği, sonuçların "sayısal" olarak ifade edilmesi,
değerlendirme ise, ölçme sonuçlarının belirli ölçütlere göre yorumlanarak
yargılara varılmasıdır.
Öğrenmeler değerlendirilirken ya öğrenciyi tanıma ve yerleştirme, ya
öğrenme eksiklikleri ile güçlükleri belirleyerek bunları ortadan kaldırma, ya da
öğrenme düzeyini belirleyerek not, sertifika vb. verme amaçlanmaktadır.
Öğretim değerlendirilirken de ya öğretim programının sağlamlık ve işe yarama
derecesini ya da öğretim hizmetinin etkililiğini ortaya koyma söz konusudur.
Bloom ve arkadaşları, öğretim ve değerlendirmenin, istendik davranışın
oluşmasında eğitim sürecinin ayrılmaz iki unsuru olduğunu belirterek
değerlendirme
olmadan
öğretim
durumu
hakkında
karar
vermenin
olanaksızlığını ortaya koymakta ve değerlendirmenin fonksiyonunu, hedeflerle
belirlenen değişmelerin olup olmadığını, olmuşsa gerçekleşme derecesini
belirleyen kanıtların toplanması olarak belirtmektedirler (Bilen, 1996).
Astin ve Panos (1971) değerlendirmenin asıl amacının, eğitimle ilgili
kararlar alınırken kullanılabilecek bilgileri elde etmek olduğunu belirterek ölçme
ve
değerlendirmenin
eğitimdeki
kullanılış
amaçlarını
önem
sırası
gözetilmeksizin şu şekilde sıralamaktadır. Ölçme ve değerlendirme:
1. Eğitsel ve meslekî rehberliğin etkili bir biçimde gerçekleştirilmesi için
gerekli bilgileri sağlar,
2. Öğrencilere not verme ve velilerine öğrenci ile ilgili
rapor vermek için
gerekli bilgileri sağlar,
3. Öğrenme ile ilgili problem ve zorlukların belirlenmesini sağlar,
4. Öğrencinin öğrenme kapasitesinin değerlendirilmesini sağlar,
5. Öğretim metodlarının değerlendirilmesini sağlar,
6. Öğrencilerin çeşitli programlara, liselere yada diğer çeşitli eğitsel,
meslekî, endüstriyel ve askeri programlara seçilmesini sağlar,
7. Ders öğretmenlerinin öğretime ilişkin etkililiklerinin değerlendirilmesini
sağlar,
8. Eğitim kurumunun bir bütün olarak değerlendirilmesi için gerekli bilgileri
sağlar.
Ertürk (1993) program geliştirmenin son ve tamamlayıcı halkası olarak
ele aldığı değerlendirmenin eğitimde başlıca beş hizmeti olduğunu belirtmiştir.
Ertürk'e göre değerlendirme:
1. Bayıltılan, hedefleri, yaşantıları ve şartları kontrol ederek, mevcut eğitim
ve öğretim faaliyetlerinin ıslahına yardım eder,
2. Ancak
bazı
hedeflere
göre
yapılabileceğinden,
değerlendirme
faaliyetlerini ifa etmek, eğitimcileri eğitim hedeflerini daha ileri seviyede
sınıflamaya ve tanımlamaya yani işe-vuruklaştırmaya zorlar,
3. Öğrencilerin öğrenme faaliyetlerinde nelere önem verecekleri, nasıl ve ne
üzerinde sınava tabi tutulduklarına bağlı olduğundan ve değerlendirme
işlem yolları da sınavları ihtiva ettiğinden, değerlendirme süreci öğrenciyi
ileri öğrenmeye doğru güdüler,
4. Süreci içinde her öğrenci hakkında elde edilecek bilgi rehberlik
maksatları için işe koşulabilir,
5. Öğretmenlere, öğrencilere ve diğer eğitimcilere işlerinin ve eserlerinin
gerçekçi bir tablosunu çizmek sureti ile yardımcı olabilir. Bu gerçekçi
tablo, eğitimcilere hem kendi kendini tanıyıp değerlendirme hem de okul
hakkında ilgili kimseleri aydınlatma maksatlarına hizmet edecek şekilde
kullanılabilir.