Sorular

1
Ksm I
TOPOLOJ SORULARI
1
Topological Notions
1. Her açk aralk salt topolo jiye göre
2.
n∈Z
olmak üzere
(n, n + 1)
uzaynda açktr. Gösteriniz.
R
aralklarnn bile³imi açktr. Gösteriniz.
3.
{0} =
∞
\
1 1
(− , )
n
n
n=1
(1)
e³itli§ini kullanarak sonsuz sayda açk kümelerin arakesitinin açk olmayabilece§ini gösteriniz.
4.
Q
rasyonel saylar kümesinin, salt topolo jiye göre
R
uzaynda ne açk ne de kapal oldu§unu gös-
teriniz.
5. Salt topolo jiye göre
uzaynda bir
R
(a, b)
açk aral§nn her
x ∈ (a, b)
ö§esi için bir kom³uluk
oldu§unu gösteriniz.
6.
(0, 1) =
S∞
1
n=2 [ n , 1
− 1n]
oldu§unu gösterinz. Buradan ³u sonucu çkarnz: Sonsuz sayda kapal
kümelerin bile³imi kapal olmayabilir.
7. Daha ince topolo jiye göre yo§un bir alt-küme daha kaba topolo jiye göre de yo§undur. Ba³ka bir
deyi³le, topoloji inceldikçe yo§un alt-kümeler azalr, topoloji kabala³tkça yo§un alt-kümeler ço§alr.
8. Hiç bir yerde yo§un bir kümenin kaplamnn da hiç bir yerde yo§un oldu§unu gösteriniz.
9. Her gerçel saynn rasyonel saylar kümesinin bir y§lma noktas oldu§unu; yani her
x ∈ Q̃
10.
R
x ∈ R
için
oldu§unu gösteriniz.
üzerindeki salt topolo jiye göre
do§al saylar kümesinin hiç bir y§lma noktas olmad§n
N
gösteriniz.
S = (0, 1) ∪ {3}
11.
R
üzerindeki salt topolo jiye göre
12.
R
üzerindeki salt topolo jiye göre, bir
gerekli ve yeterli ko³ul,
S
kümesi içinde
kümesinin y§lma noktalarn bulunuz.
a saysnn bir S alt kümesinin y§lma noktas olmas için
a saysna yaknsayan ve sabit olmayan bir dizinin varl§dr.
Bunu simgesel olarak,
a ∈ S̃ ⇐⇒ ∃(an ) ⊂ S : (n 6= m ⇒ (an 6= am )
biçiminde yazabiliriz.
13. Bir kümenin içlemi, kapsad§ açk kümeler arasnda en büyük olandr. Gösteriniz.
14. Bir kümenin açk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, hiç bir kenar noktasn içermemesidir. Ba³ka
bir deyi³le,
(X; T )
uzaynda
T ∈ T ⇔ ∂T ∩ T = ∅
dir.
15.
(X; T )
uzaynnn
AX
alt kümesi için
Ā = ∂A ∪ A = ∂A ∩ A◦
olur.
16. Topolojik Toplam Uzay:
2
BASIS
2
17. Topolojiler Toplam:
(Xı , Tı )
uzaylar verilsin.
ı 6=  ⇒ Xı ∩ X = ∅
olsun. Bu ko³ulu sa§layan
uzaylar ailesine ayr³k (dijoint) uzaylar denir.
S = ∪Tı = ∪{T : (∃ı ∈ I) T ∈ Tı }
bile³imi üzerinde
T
ailesini ³öyle tanmlayalm:
U ∈ T ⇔ U ∩ Xı ∈ Tı , (ı ∈ I)
(S, T )
bir topolojik uzaydr. Gösteriniz. (Bu uzaya
(Xı , Tı )
uzaylarnn topolojik toplam uzay
denilir.)
18. Hiç bir has alt kümesi yo§un olmayan uzay ayrk bir uzay mdr?
19. Saylabilir her alt kümesi kapal olan uzay ayrk bir uzay mdr?
2
Basis
3
Neigborhoods
1.
(X, ≤) tam sralanm³ bir küme olsun. Her a, b ∈ X ö§e çiftine kar³lk {x ∈ X : x > a}, {x ∈
X : x < b} ve {x ∈ X : a < x < b} kümeleri tanmlanyor. a, b ö§eleri bütün X kümesini
tarad§nda elde edilecek bütün bu kümelerden olu³an ailenin X kümesi üzerinde bir topolo ji taban
oldu§unu gösteriniz. Bu tabann üretti§i topolojiye sra topolojisi denir. Bu topolo jik uzayn kapal
kümelerinin nasl oldu§unu belirleyiniz.
2. Salt topolo jiye göre
vardr; yani
R uzaynda herhangi farkl iki noktann birbirleriyle kesi³meyen birer kom³ulu§u
x, y ∈ R x < y noktalar için U ∩ V = ∅ olacak biçimde U ∈ B(x) ve V ∈ B(y)
kom³uluklar vardr.
4
Seperation Axioms
1.
R2
düzleminde
[a, b) × [c, d) = {(x, y)|
yar-açk diktörtgenlerinin do§urdu§u topolo jiyi
a ≤ x < b, c ≤ y < d}
T
ile gösterelim.
üzerindeki rasyonel koordinatl noktalarn olu³turdu§u küme
(i) A
ve
(ii) A
B
ve
kümeleri
B
(R2 , T )
A
Y = {(x, y)|x + y = 1} do§rusu
B = Y − A diyelim.
olsun ve
uzaynda kapaldr;
nin birbirinden ayrk birer kom³ulu§u olamaz; yani
(R2 , T )
normal bir uzay
de§ildir.
2. Bir
T1
uzaynda sonlu bir kümenin hiç bir y§lma noktas yoktur. Gösteriniz.
3.
T0
uzaynn her alt uzay da
T0
dr. Gösteriniz.
4.
T1
uzaynn her alt uzay da
T1
dr. Gösteriniz.
5.
T2
uzaynn her alt uzay da
T2
dr. Gösteriniz.
6.
T0
uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de
T0
uzaydr. Gösteriniz.
7.
T1
uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de
T1
uzaydr. Gösteriniz.
8.
T2
uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de
T2
uzaydr. Gösteriniz.
9.
X = {a, b, c}
kümesi üzerinde
T = {∅, X, {a}, {b, c}}
topolojisi veriliyor.
(X, T )
nn normal bir
uzay oldu§unu ama Hausdor olmad§n gösteriniz.
10.
X = {x ∈ R|0 < x < 1/2, 1/2 < x < 1} kümesi veriliyor. Sabit bir α ∈ [0, 1/2] ve sabit bir
β ∈ [1/3, 1] gerçel saysna kar³lk Tαβ = {x ∈ X|α < x < β} kümesini olu³turalm. T =
{Tαβ |0 ≤ a ≤ 1/2, 1/2 ≤ β ≤ 1} ailesinin X üzerinde bir topoloji olu³turdu§unu gösteriniz. Bu
uzay normaldir, ama Hausdor de§ildir. Neden?
5
FUNCTIONS
3
11. Tamamen düzenli
(X, V )
uzay üzerinde tanml bütün sürekli fonksiyonlar kümesi
C(X) = {f : X −→ (R, T ) f
olsun.
C(X)
sürekli
(2)
uzaynn noktalar ayrd§n gösteriniz.
12.
X = (R × {0}) ∪ (R × {1}) ⊂ R2
kümesi üzerinde
(x, 0) ∼ (x, 1) ⇐⇒ x 6= 0
ba§nts veriliyor. Gösteriniz ki;
(a) Bu ba§nt bir denklik ba§ntsdr.
(b)
X/ ∼
bölüm uzay yerel Öklidyendir.
(c)
X/ ∼
bölüm uzay kinci saylabilme Aksiyomu'nu sa§lar.
(d)
X/ ∼
bölüm uzay Hausdor de§ildir.
13. Ayr³k (disjoint) Hausdor uzaylarn topolojik toplam da Hausdor uzaydr. Gösteriniz.
5
Functions
1. Sonlu sayda açk dönü³ümlerin çarpm açk bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
2. Sonlu sayda kapal dönü³ümlerin çarpm kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
3. Topolo ji inceldikçe sürekli fonksiyonlar artar, topolo ji kabala³tkça sürekli fonksiyonlar azalr.
4.
5.
f (x) = tan( π2 x)
(X, T )
dönü³ümünün
(−1, 1)
den
R
ye bir e³yap dönü³ümü oldu§unu gösteriniz.
uzaynn ayrk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul,
X
uzayndan her
Y
T
topolojisi kurunuz ki, her
uzayna tanml
fonksiyonlarn sürekli olmasdr.
6. Bo³ olmayan bir
uzayndan
7.
(X, T )
X
kümesi veriliyor.
X
üzerinde öyle bir
(Y, S )
uzayna tanml her fonsiyon sürekli olsun. Bu topolojiyi belirleyiniz.
f : (X, T ) → (Y, S ) sürekli ve örten bir fonksiyon ise, X
uzaynn yo§un alt kümelerini
Y
uzaynn
yo§un alt kümelerine resmeder; yani
Ā = X ⇒ f (A) = Y
(3)
olur. Gösteriniz.
8.
f : (X, T ) → (Y, S )
fonksiyonu
X
uzaynn yo§un alt kümelerini
Y
uzaynn yo§un alt kümelerine
resmederse, sürekli midir? Simgelerle söylersek,
Ā = X ⇒ f (A) = Y
olmas
9.
f
fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir mi? Neden?
f : (X, T ) → (Y, S )
sürekli ve örten bir fonksiyon ise
bir tabanna resmeder mi? Simgelerle söylersek,
ailesi
10.
S
(4)
B
T topolojisinin bir tabann S topolojisinin
T topolojisinin bir taban oldu§unda f (B)
ailesi
topolojisinin bir taban olur mu? Neden?
I : (X, T ) → (X, T )
özde³lik (birim) fonksiyonu her
x ∈ X
için
I(x) = x
olan fonsiyondur.
I
özde³lik dönü³ümünün bir topolo jik e³yap dönü³ümü (homeomorphism) oldu§unu gösteriniz.
11.
f : (X, T ) → (Y, S )
fonksiyonu bire-bir-içine (injective) olsun. E§er
ikisi de sürekli iseler,
f
g : X → f (X)
Gösteriniz
f
ve
f −1
fonksiyonlarnn her
fonksiyonuna bir gömme dönü³ümüdür , denilir. Bu durumda, her
diye tanmlanan
g
x∈X
için
fonksiyonu bir topolo jik e³yap dönü³ümüdür (homeomorphism).
6
LIMIT
6
4
Limit
1. A³a§daki dizilerin herbirisinin, varsa, limit ve y§lma noktalarn bulunuz:
(a) Her
n∈N
(b) Belli bir
için
n0
(n = 3)
diye tanmlanan
(an )
sabit dizisi.
indisinden sonra terimleri sabit olan dizi; yani
(
n, n ≤ n0
an =
a, n > n0 , a
biçiminde tanmlanan
(an )
dizisi.
(c) Genel terimi
an = 5 −
5
n
(d) Genel terimi
an = 7 +
7
n
(e) Genel terimi
an = (−1)n n1
(f ) Genel terimi
an = n
(g) Genel terimi
an ≡ n (mod 3)
(h)
olan
(an )
dizisi.
olan
(an )
dizisi.
olan
(5)
sabit
olan
(an )
(an )
dizisi.
dizisi.
olan
(an )
dizisi.
f : N −→ Q ∩ [0, 1] fonksiyonu f (n) = n1 diye
üzere, an = f (n) dizisi. [Böyle bir fonksiyonun
tanmlanan bire-bir-içine bir fonksiyon olmak
varl§n gösteriniz.]
2. Dizileri, genellikle, genel terimini belirten bir ifade ile yazarz. Örne§in,
(1/n), (n2 ), (1/(n2 +1)), . . ..
Bazen de genel terimi belirli klmaya yetecek kadar terimi ard arda yazarak diziyi belirleyebiliriz Örne§in,
(0, 2, 4, 6, 8, . . .)
dizisinin genel teriminin
(2n)
oldu§u hemen görülüyor. Ama baz
dizilerin genel terimini bulmak için snama-deneme yolundan ba³ka bir yöntem olmayabilir. A³a§daki dizilerin genel terimlerini snama-deneme yoluyla bulunuz:
(1, 4, 9, 16, . . .)
(6)
(2, 5, 10, 17, 26, . . .)
(7)
(1, 3, 6, 10, 15, . . .)
(8)
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
Fibonacci dizisi
(9)
Çözümler, srasyla, a³a§dadr:
(n2 ),
(n2 + 1),
3. Genel terimi recursive olarak
(n(n + 1)/2),
(an+2 = an+1 + an )
(an+2 = an+1 + an )
biçiminde tanmlanan Fibonacci dizisinin salt
topolojiye göre raksayan bir dizi oldu§unu gösteriniz.
4. Yaknsak bir dizinin her alt dizisinin de yaknsak ve ayn limite sahip oldu§unu gösteriniz.
5.
R
üzerindeki salt topolo jiye göre, bir
gerekli ve yeterli ko³ul,
S
kümesi içinde
a saysnn bir S alt kümesinin y§lma noktas olmas için
a saysna yaknsayan ve sabit olmayan bir dizinin varl§dr.
Bunu simgesel olarak,
a ∈ S̃ ⇐⇒ ∃(an ) ⊂ S : (n 6= m ⇒ (an 6= am )
biçiminde yazabiliriz. Gösteriniz.
7
Compactness
1.
8
PRODUCT SPACES
8
5
Product Spaces
1.
2.
(Xi , Ti ) uzaylarnn herbiri içinde kapal olan bir Ki ⊂ Xi kümesi veriliyor. K1 × K2 × K3 × · · · ×Kn
kümesinin X1 × X2 × X3 × · · · × Xn çarpm uzaynda kapal oldu§unu gösteriniz.
A
saylamayan bir küme olsun. Her
α ∈ A
için
Xα = {0, 1}
kümesini tanmlayalm ve her birisi
üzerinde ayrk topolo ji var olsun.
X = Πα∈A Xα = {0, 1}A
(10)
Xα uzaylarnn çarpm topolojisi konulmu³ olsun. “imdi p =
pα = 1 olacak biçimde seçelim. q = (qα ) ∈ X noktasn ise
d³nda qα = 0 olacak biçimde seçelim; yani ancak saylabilir saydaki
kartezyen çarpm kümesi üzerinde
(pα ) ∈ X
noktasn her
saylabilir saydaki
1
bile³eni
(a)
p
α
α ∈ A
indisi
için
e e³it olsun. Bu durumda, gösteriniz ki,
noktasnn saylabilir bir kom³uluklar taban yoktur.
(b) Kapsama ba§ntsna göre sralanm³ bir kom³uluklar taban yoktur.
(c)
K̄ = X
(d)
K
içinde
(e) Her
H
ve
p
λ∈Λ
kümesi
K
nn saylabilir bir alt kümesi ise
H̄ ⊂ K
olur.
noktasna yaknsayan bir a§ bulunuz.
için bir
Xλ
uzay ile bunun bir
Aλ ⊂ Xλ
alt-kümesi verilmi³ olsun.
λ∈Λ
A = ΠAλ ,
kartezyen çarpmn dü³ünelim.
i. E§er
Aλ
kümeleri açk ve hemen her
λ ∈ Λ için Aλ = Xλ
ise
A kümesinin çarpm uzayda
açk oldu§unu biliyoruz. Bunun kar³tnn da do§rulu§unu gösteriniz.
ii.
A
kartezyen çarpmnn kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul
Aλ
çarpanlarnn her-
birisinin kapal olmasdr. Gösteriniz. Buradan
Ā = ΠĀλ ,
λ∈Λ
e³itli§ini çkarnz.
iii.
A
kümesi ne zaman çarpm uzay içinde yo§un olur?
n do§al says için Xn kümesi 0 ile 1 ö§elerinden olu³an kümeye e³it olsun; yani Xn = {0, 1}
X = ΠXn , n ∈ N çarpm
uzayn dü³ünelim. Her n do§al says için Vn = {0} kümesi çarpan uzaylarda açktr. Ama
V = ΠVn , n ∈ N, kartezyen çarpm, çarpm uzay içinde açk bir küme de§ildir. Gösteriniz.
(f ) Her
olsun. Bu kümeler üzerinde ayrk topolo jiyi varsayalm. “imdi
(g)
X
ile
Y
iki topolo jik uzay ve
A⊂B
ile
B⊂Y
kapal iseler
A×B
nin çarpm uzayda kapal
oldu§unu gösteriniz.
(h)
X
ile
i.
Y
iki topolojik uzay ve
π1 (W ) ⊂ X
ile
W ⊂X ×Y
π2 (W ) ⊂ Y
çarpm uzayda açk ise
izdü³ümlerinin açk kümeler oldu§unu gösteriniz.
ii. Yukardaki özeli§in kapal kümeler için genel olarak sa§lanmad§n bir örnekle gösteriniz.
(i)
(Xi , Ti ) uzaylarnn herbiri içinde kapal olan bir Ki ⊂ Xi kümesi veriliyor. K1 × K2 × K3 ×
· · · × Kn kümesinin X1 × X2 × X3 × · · · × Xn çarpm uzaynda kapal oldu§unu gösteriniz.
(j) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn örten oldu§unu gösteriniz.
(k) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn sürekli oldu§unu gösteriniz.
(l) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn açk oldu§unu gösteriniz.
(m)
f : (X, T ) → (Y, S )
fonksiyonu
X
uzaynn yo§un alt kümelerini
Y
uzaynn yo§un alt
kümelerine resmederse, sürekli midir? Simgelerle söylersek,
Ā = X ⇒ f (A) = Y
olmas
f
fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir mi? Neden?
(11)
9
QUOTIENT SPACES
9
6
Quotient Spaces
1.
ϕ : X −→ Y
bir bölüm dönü³ümü ise,
ϕ
nin bir doymu³ açk ya da kapal alt kümeye kstlanm³
da bir bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz.
2.
X
bir topolo jik uzay ise
∆ = {(x, x) : x ∈ x} ⊂ X × X
kö³egeninin
X ×X
(12)
çarpm uzaynda kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul
X
uzaynn Hausdor
olmasdr.
3. Bir çarpm uzaydan bile³en uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlar birer bölüm dönü³ümüdür; yani
(Xi , Ti )
uzaylar verilmi³se
pii : X1 × X2 × X3 × · · · × Xn −→ Xi
(i = 1, 2, 3, . . . , n)
dönü³ümleri birer bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz.
4.
X
bir topolo jik uzay ise
∆ = {(x, x) : x ∈ x} ⊂ X × X
kö³egeninin
X ×X
(13)
çarpm uzaynda kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul
X
uzaynn Hausdor
olmasdr.
5. Bir çarpm uzaydan bile³en uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlar birer bölüm dönü³ümüdür; yani
(Xi , Ti )
uzaylar verilmi³se
πi : X1 × X2 × X3 × · · · × Xn −→ Xi
(i = 1, 2, 3, . . . , n)
dönü³ümleri birer bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz.
6.
X = (R × {0}) ∪ (R × {1}) ⊂ R2
kümesi üzerinde
(x, 0) ∼ (x, 1) ⇐⇒ x 6= 0
ba§nts veriliyor.
(a) Bu ba§nt bir denklik ba§ntsdr.
(b)
X/ ∼
bölüm uzay yerel Öklidyendir.
(c)
X/ ∼
bölüm uzay kinci saylabilme Aksiyomu'nu sa§lar.
(d)
X/ ∼
bölüm uzay Hausdor de§ildir.
oldu§unu gösteriniz.
7. Sonlu sayda açk dönü³ümlerin çarpm açk bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
8. Sonlu sayda kapal dönü³ümlerin çarpm kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
10
1.
Connected Spaces
X
ba§lantl bir uzay ve
ise,
∂A ∩ C 6= ∅
C
ba§lantl bir alt uzay olsun.
A⊂X
kümesi için
A ∩ C 6= ∅ ve A0 ∩ C 6= ∅
oldu§unu gösteriniz.
2. A³a§daki kümelerin
(a) Cantor kümesi.
R
içinde,salt topolojiye göre, tamamen ba§lantsz olduklarn gösteriniz:
11
COMPARISONS OF TOPOLOGIES
7
(b) Rasyonel saylar kümesi.
(c) rrasyonel saylar kümesi
3.
X uzaynn ba§lantl bile³enlerinin kümesini X ile gösterelim. X üzerinde bölüm topolojisi var olsun.
X bölüm uzaynn tamamen ba§lantsz oldu§unu gösteriniz.
4. Tamamen ba§lantsz uzayn her alt uzay da tamamen ba§lantszdr. Gösteriniz.
5. Tamamen ba§lantsz uzaylarn çarpm uzay da tamamen ba§lantszdr. Gösteriniz.
6.
Rn
içinde,salt topolo jiye göre, açk ve ba§lantl iki alt kümenin arakesiti ba§lantl olmayabilir. Bir
örnekle gösteriniz.
11
Comparisons of Topologies
1. Bir
X
kümesi üzerideki
T1
T2
ve
topolojileri arasnda
T1 ≤ T2
ba§nts var ise
T10 ≤ T20
ba§n-
tsnn da oldu§unu gösteriniz.
2. kinci Saylabilme Aksiyomunu sa§layan uzay, Birinci Saylabilme Aksiyomunu da sa§lar. Gösteriniz.
3.
12
Metric Spaces
1.
13
Nets
1. Do§al saylar kümesinin
2.
Tanm ??
deki
(iii)
≤
ba§ntsna göre yönlenmi³ bir küme oldu§unu gösteriniz.
ko³ulu yerine daha güçlü olan a³a§daki ko³ulun konulabilece§ini gösteriniz:
λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ Λ
Sonlu sayda
ö§elerine kar³lk
λ1 ≤ λ, λ2 ≤ λ, . . . , λn ≤ λ
e³itsizlikleri sa§layan bir
3.
X, T )
4. Kapal
uzaynda
[a, b]
x
λ∈Λ
noktasnn
aral§nda bir
f
ö§esi vardr.
B(x)
kom³uluklar ailesinin yönlenmi³ bir sistem oldu§unu gösteriniz.
fonksiyonunun Riemann integrali tanmlanrken
[a, b]
aral§nn
a = a0 < a1 < a2 < a3 < . . . < an = b
bölüntüleri kurulur ve en büyük
larnn
inf
ve
sup
[ai−1 , ai ]
(14)
alt aral§nn uzunlu§u sfra giderken, Riemann toplam-
??)
de§erlerinin olup olmad§na baklr. Alt aralklar iç-içe olan (
bölüntülerinin
yönlenmi³ bir sistem olu³turduklarn gösteriniz.
5.
X
kümesi üzerinde
T1 ≤ T2
ko³ulunu sa§layan
T1
ve
T2
topolojileri varsa, bir a§n bu topolo jilere
göre yaknsamalar arasndaki fark nedir?
6. çindeki her a§ her noktasna yaknsyorsa, uzay ayrk de§ildir. Gösteriniz.
7. Ayrk bir uzay a§larn yaknsamas ile belirleyebilir misiniz?
8.
9.
(xλ )
X
a§
x
limitine yaknsyorsa, her alt a§nn da ayn noktaya yaknsad§n gösteriniz.
kümesi üzerinde
T1
ve
T2
topolojileri veriliyor.
topolojisine göre yaknsak olan a§n
10.
X
kümesi üzerinde
T1
ve
T2
T1
topolojileri veriliyor.
topolojisine göre yaknsak olan a§n
T1
T1 ≤ T2
olmas için gerekli ve yeterli ko³ul,
T2
topolojisine göre de yaknsak olmasdr. Gösteriniz.
T1 ≤ T2
olmas için gerekli ve yeterli ko³ul,
topolojisine göre de yaknsak olmasdr. Gösteriniz.
T2
14
FILTERS
8
11.
Önerme ??
12.
{Xı | ı ∈ I}
yi ispatlaynz.
X = Πı∈I Xı
topolojik uzaylarnn çarpm uzay
verilsin. Tabii bu a§n her
xλ
ö§esi
X = Πı∈I Xı
olsun.
X
içinde bir
(xλ ), λ ∈ Λ,
a§
çarpm uzaynn bir ö§esi oldu§undan
xλ = (xλı ), ı ∈ I, xλı ∈ Xı
Xı bile³eni (çarpan uzay) üzerinde
x = (xı ) ∈ X noktasna yaknsamas için
gerekli ve yeterli ko³ul her ı ∈ I için Xı bile³eni üzerindeki {(xλı ) : λ ∈ Λ} a§nn xı ∈ Xı noktasna
biçiminde olacaktr. Bu demektir ki,
bir
(xλı ), λ ∈ Λ
ı
sabit klnd§nda, her
(xλ )
a§ olu³ur. Gösteriniz ki
a§nn bir
yaknsamasdr.
14
Filters
1. Yalnzca iki ö§esi olan
X = {x, y}
kümesi üzerinde ayrk olmayan topolo ji var olsun.
(a)
S = {{x}, {x, y}}
ailesinin bir süzgeç oldu§unu gösteriniz.
(b)
S
x,
süzgecinin hem
hem
y
noktasna yaknsad§n gösteriniz.
(c) Buradan, bir süzgecin limitinin tek olmayabilece§i sonucunu çkarnz.
2. Sonlu bir
X
kümesi üzerindeki her
U
a³kn süzgeci için
U = {A : A ⊂ X, x ∈ A}
olacak ³ekilde bir
3.
4.
X
kümesi içinde
x∈X
noktas vardr. Gösteriniz.
(xλ ), (λ ∈ Λ)
a§ verilsin. Her
(a)
F = {Fı : ı ∈ I}
ailesinin
(b)
xı → p ⇔ F → p
oldu§unu gösteriniz.
F ⊂ P(X)
X
süzgeç taban verilsin.
ı
için
F ı = {x :  ≥ ı}
kümesi tanmlanyor.
kümesi üzerinde bir süzgeç taban olu³turdu§unu gösteriniz.
F
üzerinde
ba§nts a³a§daki gibi tanmlanyor:
U V ⇔U ⊆V
(a)
(F, )
sisteminin tikel sral bir sistem oldu§unu gösteriniz.
(b) Her
(xU )U ∈F ∈ ΠU ∈F U
ö§esinin
X
içinde
(xU )U ∈F ⊂ X
(c) Bu ³ekilde seçilen her
a§n belirledi§ini gösteriniz.
(xU )U ∈F ⊂ X
a§ için
F → p ⇔ xU → p
oldu§unu gösteriniz.
5. Birinci saylabilme Aksiyomunu sa§layan
x ∈ Ā
(X, T ) topolojik uzaynn bir A ⊂ X alt kümesi veriliyor.
A kümesi içinde x ö§esine yaknsayan bir (xn , (n ∈ N)
olmas için gerekli ve yeterli ko³ul
dizisinin olmasdr. Gösteriniz.
6.
(X, T )
(a)
topolojik uzaynn bir
A⊂X
alt kümesi veriliyor.
x ∈ Ā olmas için gerekli ve yeterli
Λ) a§nn olmasdr. Gösteriniz.
ko³ul
A
kümesi içinde
x
ö§esine yaknsayan bir
(xλ ), (λ ∈
(b) Yukarda "a§" yerine "dizi" konulursa ne olur?
(c)
x ∈ Ā
olmas için gerekli ve yeterli ko³ul
P(A)
içinde
x
ö§esine yaknsayan bir
F
süzgecinin
olmasdr. Gösteriniz.
7.
X
kümesi üzerindeki en küçük süzgeç hangisidir?
8.
X
kümesinin birden çok ö§esi varsa, bu küme üzerindeki süzgeçler ailesinin en büyük ö§esi yoktur.
15
COMPACT SPACES
15
9
Compact Spaces
1.
X
tkz ve
Y
2.
Y
tkz ise
π1 : X × Y → Y
3.
Y
tkz ve hausdor ise
Hausdor ise sürekli
f :→ Y
fonksiyonu kapaldr. Gösteriniz.
izdü³ümü kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
f :X→Y
dönü³ümünün sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul
Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X}
gra§inin
4.
5.
X ×Y
içinde kapal olmasdr.
f : X → Y dönü³ümü kapal, sürekli ve bire-bir-örten olsun. Y
f −1 ({y}) ⊂ X tkz ise, X uzaynn da tkz oldu§unu gösteriniz.
tkz oldu§unda, her
y ∈ Y
için