Lineer Olmayan Korunumlu Sistemler

Lineer Olmayan Korunumlu Sistemler
Bilindi¼
gi üzere herhangi bir dinamik sistemin işleyişinde ço¼
gunlukla bir çeşit
sürtünmeden dolay¬enerji kayb¬olur. Bununla beraber, belli durumlarda bu
kay¬p o kadar yavaşt¬r ki k¬sa zaman aral¬klar¬nda ihmal edilebilir. Böyle
durumlardaenerjinin korunum yasas¬n¬n varl¬g¼¬, yani kinetik enerji ve potansiyel enerji toplam¬n¬n sabit oldu¼
gu varsay¬l¬r. Bu çeşit bir sistem korunumlu
sistem ad¬n¬al¬r.
Bu bölümde
d2 x
+ f (x) = 0
(1)
dt2
denklemi ile tan¬ml¬ lineer olmayan korunumlu bir sistem ele al¬nacakt¬r.
Burada sönüm kuvveti s¬f¬rd¬r ve sonuç olarak enerji kayb¬yoktur.
m
(1) denklemi
8
>
>
>
<
otonom sistemine eşde¼
gerdir.
dx
=y
dt
>
>
>
: dy =
dt
(2)
f (x)
m
(2) sisteminden
dy
=
dx
f (x)
y
(3)
diferensiyel denklemi elde edilir. (3) denklemi (2) nin yörüngelerinin diferensiyel denklemidir.
x(t0 ) = x0 ; y(t0 ) = y0
olmak üzere (3) denklemi çözülürse,
1 2
my +
2
Zx
1
f (s)ds = my02 +
2
0
elde edilir. Burada
Zx0
f (s)ds
0
1 2 1 dx 2
my = m( )
2
2
dt
1
(4)
ve
V (x) =
Zx
f (s)ds
0
s¬ras¬yla, dinamik sistemin kinetik ve potansiyel enerjileridir. Bu yüzden (4)
eşitli¼
gi
1
E = my02 + V (x0 )
2
sistemin sabit toplam enerjisi olmak üzere
1 2
my + V (x) = E
2
şeklinde enerjinin korunumu yasas¬n¬ifade eder.
(5)
(5) eşitli¼
gi, (3) denkleminin çözülmesi ile elde edildi¼
ginden, (2) nin yörüngelerinin denklemidir.
(2) sisteminin kritik noktalar¬ f (x) = 0 denkleminin kökleri xc ler olmak
üzere (xc ; 0) noktalar¬d¬r.
Teorem 1. (xc ; 0) (2) sisteminin kritik noktas¬olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki
özellikler sa¼
glan¬r:
(i) V (x), x = xc de bir yerel minimuma sahip ise, bu durumda (xc ; 0) merkez
nokta olup kararl¬d¬r.
(ii) V (x), x = xc de bir yerel maksimuma sahip ise, bu durumda (xc ; 0) bir
semer noktas¬olup karars¬zd¬r.
(iii) V (x), x = xc de bir yatay büküm noktas¬na sahip ise, bu durumda
(xc ; 0) bir dejenere nokta olup karars¬zd¬r.
Örnek 1.
d2 x
+ (4x 4x3 ) = 0
(6)
dt2
diferensiyel denklemi ile tan¬ml¬olan sistemin yörüngellerini ve kritik noktalar¬n¬bulunuz, kritik nokta türünü belirleyiniz.
Çözüm. (6) denklemine eşde¼
ger sistem
8
dx
>
>
=y
>
<
dt
>
>
dy
>
:
= 4x3
dt
2
(7)
4x
dir. (7) sisteminin yörüngeleri
1 2
y
2
olup,
V (x) =
Zx
x4 + 2x2 = E
f (s)ds =
x4 + 2x2
(8)
0
potansiyel enerji fonksiyonudur. (7) sisteminin kritik noktalar¬ aç¬k olarak
(0; 0); (1; 0) ve ( 1; 0) d¬r. (8) den görülebilir ki, V (x) potansiyel enerji
fonksiyonu x = 0 da bir yerel minimuma, x = 1 ve x = 1 de yerel maksimuma sahiptir.
Buna göre Teorem 1 den (0; 0) kritik noktas¬bir merkez nokta olup kararl¬d¬r,
( 1; 0) ve (1; 0) noktalar¬da semer noktalar¬olup karars¬zd¬r.
3