FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 9. KİTAP UZAY

FEN VE MÜHENDİSLİKTE
MATEMATİK METOTLAR
9. KİTAP
UZAY – ZAMAN SİMETRİLERİ
 
1
İÇİNDEKİLER
SEMBOLLER VE İŞLEMLER LİSTESİ
I.
DİFERANSİYEL OPERATÖR ( DO ) TEMSİLLERİ
A) Öteleme Jeneratörleri
B) Dönme Jeneratörleri
C) 3-Vektörler
D) İtilme Jeneratörleri
II.
UZAY – ZAMAN ve GRUP YAPILARI
A) Grup Hiyerarşileri
B) 4-Vektörler
C) Kütle ve Spin
D) Uzay – Zaman Tersinmeleri
E) Örnekler ve Denklemler
III.
CLIFFORD CEBİRLERİ
A) 3 - Boyut
B) Spin ve SU(2) Grubu
C) 3 + 1 - Boyut
D) Denklemlerin Soyağacı
EKLER VE NOTLAR
2
SEMBOLLER VE İŞLEMLER LİSTESİ
A :
3-Vektör
A B :
İki 3-Vektörün skalar çarpımı
A  A1  iA2
A  A A :
 A

A

:
4-Vektör
 Ao Bo  A  B :
A, B
 A
,A
o
3-Vektör Normu

:
A, A
A , B 
4-Vektör Normu
 AB  BA
A ,

B

a ,

B
A ,

B
C
:

C
:

c
 Ai ,
:
İki 4-Vektörün skalar çarpımı
:
Komütatör
B j 

a , Bi 

 Ai ,
3
 C
k 1
B j 
Ci

ijk
k
ifadesinin kestirme yazılışı
ifadesinin kestirme yazılışı
c ij
ifadesinin kestirme yazılışı
3
I.
DİFERANSİYEL OPERATÖR ( DO ) TEMSİLLERİ
A) Öteleme Jeneratörleri
Tek boyutlu Uzay-Zaman’da ötelemelerin hermitsel bir
x
exp (i k a) 
temsilinin
r
i
xa

x
olarak gerçekleştirildiği ve
jeneratörü kullanılarak
k ’nın diferansiyel operatör
olduğu görülmüştü. Üç boyuta genellemenin
exp (i k  a ) 
jeneratörlerinin
k
r a
[ ki , kj ] =
Zamanda öteleme ise
t
diferansiyel operatör temsili
0
olması ve
ile temsil edilen
{
k1 , k2 , k3 }
sağlaması doğaldır.
exp (i ko c ) 
i
i 
1 
c t
t 
biçiminde tanımlanır ve
ko ’ın
olur.
B) Dönme Jeneratörleri

z - ekseni etrafında
x  x cos   y sin 
açısıyla saat yönünde döndürme işlemi
;
y  x sin   y cos 
;
z  z
dönüşümüne yol açar. Bu dönüşüm global olarak
x,y,z
exp ( i L3  ) 
 x cos   y sin  , x sin   y cos  , z
veya
  d
x,y,z
L3 
yerel dönmeler için
i
x  y d , y  x d , z  x , y , z
d
olarak yazılır.
Önce bu ifadenin payına sıfır etkili bir toplam ekleyerek
4
 x  y d , y  x d , z  x  y d , y , z  x  y d , y , z  x , y , z 
i 

d


sonra da terim çiftlerini birim etkili iki değişik terimle çarparak
  x  y d , x d  y , z  x  y d , y , z 
 x , y , z  x  y d , y , z 
i  x 
  y

x d
y d


 
 
elde edilir. Parantez içinde yer alan terimlerin kısmi türev ifadeleri olduğu saptanarak da
x,y,z
 
 
 i  x  y  x , y , z
x 
 y
L3
sonucuna ulaşılır. Böylece
L3
etrafında dönmelerin jeneratörünün diferansiyel operatör temsili
x  y  z  x
olmaktadır.
z -ekseni
 
 
 i x  y 
x 
 y
koordinat çevrim dönüşümünden yararlanarak dönme
jeneratörlerinin tamamı
L1
 
 
 i y  z 
y 
 z
,
L2
 
 
 i z  x 
z 
 x
,
L3
 
 
 i x  y 
x 
 y
ile verilir.
C)
3-Vektörler
Li
operatörlerinin, konum vektörü bileşenleri ile komütatörlerinin
[ Li , rj ]  i
 r
ijk
k
olduğu kolayca görülür. Vektör olma şartının dönmeler altında
k
r
gibi davranmak olduğu anlayışıyla vektörler
[ L i , Vj ]  i
 V
ijk
k
olarak
k
tanımlanırlar.
Buna göre

{ k1 , k2 , k3 }    i



 
, i
, i

x
y
z 
ve
{ L1 , L2 , L3 } ’ün kendisi de vektör olmaktadır. Skalar’ların ise dönmeler altında değişmez
büyüklükler olarak tanımlanmaları doğaldır. Buna göre
Rnˆ     Skalar  Rnˆ1      Skalar 
veya Baker-Hausdorff Lemma ’sı kullanılarak
5
[ Li , Skalar ] =
0
olur. İki vektörün ‘Skalar’ çarpımının skalar, ‘Vektör’ çarpımının ise
r ×k  L
vektör olacağı kolayca gösterilebilir. Nitekim
[ Li , Vj ]  i
Bundan böyle
 V
ijk
k
olduğu görülmektedir.


ifadesi, kestirme bir yazılımla
k
olarak ifade edilecektir. Benzer şekilde
 Y , Ui 
 Vi
için ise
 Y , U
Ui , Vj  = Y ij
 V
için
U , V 
,
  i

 Y
;
kestirme yazılımları kullanılacaktır.
D) İtme Jeneratörleri
x - ekseni boyunca uo sabit hızı ile hareket işlemi,
ct  ct cosh   x sinh 
;
tanh  =
uo
c
olmak üzere
x  ct sinh   x cosh 
dönüşümüne yol açar. Bu dönüşüm global olarak
ct , x
exp i M1   =
 ct cosh   x sinh  , ct sinh   x cosh 
veya
ct , x
  d
M1
 i
yerel dönüşümleri için
ct  x d , x  ct d   ct , x
d
olarak yazılır.
Önce bu ifadenin payına sıfır etkili bir toplam ekleyerek
 ct  x d , x  ct d   ct  x d  , x  ct  x d  , x  ct , x 
i 

d


sonra da terim çiftlerini birim etkili iki değişik terimle çarparak
  ct  x d  , x  ct d   ct  x d  , x 
 ct  x d  , x  ct , x  
i ct 
  x

ct d
x d



 
elde edilir. Parantez içinde yer alan terimlerin kısmi türev ifadeleri olduğu saptanarak da
6
M1
ct , x
1
 
  i  ct  x

c t 
 x
ct , x
sonucuna ulaşılır. Böylece
x - ekseni
boyunca sabit hızla hareket etme jeneratörünün diferansiyel operatör temsili
M1
1
 
  i  ct  x

c t 
 x
olmaktadır.
x  y  z  x
koordinat çevrim
dönüşümünden yararlanarak jeneratörlerin tamamı
M1
1
 
  i  ct  x
 ,
c t 
 x
M2
 
1
,
  i  ct  y
c t 
 y
olarak bulunur. ‘İtme’ olarak adlandırılacak
Mi
M3
1
 
  i  ct  z

c t 
 z
operatörlerinin de
L , M
 iM
sağlayan vektör operatörler oldukları görülmektedir.
PROBLEMLER
P.1.1 )
x,k }
{
1
[ x , k ] i
durumu :
{

{
x cos   k
sin  , x sin   k cos  }
komütasyon bağıntısını aynı bıraktığını gösterin.
x,k}
 { k , x } dönüşümünü
1
dönüşümünün
  2
 =  x ) ki
özel
x k  
 1
Legendre diferansiyel operatörüne uygulayın ve sonucu teşhis edin.
P.1.2 )
L ×L
P.1.3 )
L , U  V 
 0
P.1.4 )
L , U× V
 i  U× V 
ifadesini değerlendirin.
olduğunu gösterin.
olduğunu gösterin.
7
P.1.5 )
II.
L2 , V    2 i L × V  2 V
ve
L2 , V   2 i V ×L + 2 V
özdeşliklerini elde edin.
UZAY – ZAMAN ve GRUP YAPILARI
A) Grup Hiyerarşileri
Zamanda öteleme ve uzayda öteleme, dönme, itilme jeneratörleri
k
o
, k, L, M,
10 elemanlı bir küme oluştururlar. Bunların aralarındaki komütasyon bağıntıları 3 + 1
boyutta Euclid :
" E "  3,1 , veya kısaca ‘Poincare grubu’nun Lie cebrini oluşturur. (1)
,
L
M
k
ko
L
iL
i M
i k
M
iM
i L
i ko
i
0
k
ik
i ko
k
ko
0
i
k
0
0
0
0
Poincare grup jeneratör komütatörlerinin kendi içinde kapalı alt küme’leri iki ayrı
‘Alt Grup’lar hiyerarşisi oluştururlar :
k
o
, k, L, M 
L ,
M 
L 

 L3 
"E"(3,1)
SO(3,1)
SO(3)
SO(2)
Poincaré
Lorentz
Dönme
Dönme
8
veya
k
o
,k,L,M 
L , k 
 L3 , k1 ,

k2


 k1 
"E"(3,1)
E(3)
E(2)
E(1)
Poincaré
Euclid
Euclid
Euclid
B) 4-Vektörler
k
o

,k
ifadesi, bir 4-Vektör örneği olarak benimsenerek, 4-Vektörlerin tanımı :
 L , Vo 
 0
 M , Vo 
 i V
 L , V
,
,
 x
  ct , r 
 
1 

 
,  
 c t

 p

 po
, p 
k 

k
,k
 A

A
o
,A  V
J 

J
o
,J
o
 iV
 M , V
;
  i Vo
olarak yapılır.
: 4-Konum
 E c , p

:



: 4-Türev

: 4-Momentum
4 - “Momentum”
c
,A

 c , J 
: 4-Potansiyel
: 4-Akım
fizikte sık karşılaşılan 4-Vektörlerdir.
4-Vektörlerin skalar çarpımlarında doğal olarak
girer ve
A, B
 Ao Bo  A  B
 , , ,  
Minkowski metriği devreye
olur. (2) Bu skalar çarpımların dönmeler ve itmeler
altında değişmedikleri kolayca gösterilebilir. Doğanın gözlemciden bağımsız, dolayısıyla
objektif yasaları, matematiksel olarak bu skalar çarpımlara dayanmak zorundadır.
9
C) Uzay – Zaman Tersinmeleri
Değişkenlerin sınıflandırılmasında şu ana kadar
L , V 
3-Boyutta
 iV
sağlayan 3-Vektörler ve
L , Skalar 
 0
sağlayan skalarlar olduğu, ancak 3+1 boyuta geçince bazı skalarların bir 4-Vektörün
Vo
0 ’ıncı bileşeni rolünü üstlenerek
 L , Vo 
4-Vektörünün bileşenlerinin
 M , Vo 
Ancak
L
 i V
,
M
,
oldukları ve
 M , V
 0
  i Vo
V

,
 L , V
 Vo
, V
 iV
;
sağladıkları görülmüştü.
ve elektromagnetik alan benzeri 3-Vektörlerin birer
0 ’ıncı bileşen
edinip 4-Vektöre tamamlanmadıkları da ortadadır. Bu noktada daha derin bir analiz ile
değişkenlerin Uzay ve Zaman Tersinmeleri altında davranışları incelenecektir.
Uzay tersinmesi
 operatörünün 1-Boyuttaki etkileri
x   x
,
k
  k
;
 x   x
,
 k   k
olarak özetlenmişti.
Zaman tersinmesi operatörü

, uzay tersinmesinden farklı olarak lineer bir operatör
değildir. Anti lineer bir operatör olan

r 
 r
bilindiğine göre

i 
 i
ve
 ’nın

p 
 p
 r , k   i
1
,
 i   i
dolayısıyla
özelliğinin arkasında

k 
 k
olduğu
komütasyon bağıntısının aynı kalabilmesi için
olması gerektiği yatmaktadır.
 x
  ct , r 
örneği ele alınırsa uzay
ve zaman tersinmeleri altında Konum 4-Vektörünün davranışı
 x


 ,  
 ,  
olarak gösterilecektir. Önemli 4-Vektörlerin davranışları aşağıdaki tablo ile özetlenebilir :
10


 
 ,  
 ,  
i 
 ,  
 ,  
 p , k 
 ,  
 ,  
 A
 ,  
 ,  
J 
 ,  
 ,  
Bu tablonun bize öğrettiği şeylerden ilki, zaman tersinmesi davranışı beğenilmeyen bir
4-Vektörü
 p

i ’ile çarparak arzu edilen sonucun elde edilişidir. Ayrıca bu tablo
k 
,
k 
 i

,
 p

 p  e  A
2
,
 A 
o  J 
denklemlerini sağlam bir zemine oturtmaktadır.
Son olarak bu tablodan olağan 4-Vektör davranışının

V 

 ,  
 ,  
olduğu görülmektedir. Bir 4-Vektörün parçası olmayan 3-Vektörler ise Dönme, İtme
jeneratörleri, elektromagnetik alanlar ve dipol momentleridir. İtme jeneratörleri, elektrik
alan ve dipol moment bileşenleri aynen konum vektörü
değiştirip,

r
gibi
 altında işaret
altında aynı kalırlar, bunlara ‘Polar vektör’ denir.
Öte yandan Dönme jeneratörleri, magnetik alan ve dipol moment bileşenleri ise
altında aynı kalıp,


altında işaret değiştirerek aykırı bir davranış sergilerler. Bu aykırı
3-Vektörler ‘Sözde vektör’ olarak adlandırılırlar. Sözde olsun, olmasın, bir 4-Vektörün
parçası olmayan 3-Vektörler genelde antisimetrik bir tensörün (matrisin) elemanlarını
oluştururlar.
11
D) Kütle ve Spin
Fizikte önemli yeri olan bir 4-Vektörün önce sıfırıncı bileşeni
tanımlanır; daha sonra
 M , Vo 
 i V
Wo  L  k
bağıntısından
olarak
W  L k o + M×k
elde edilir. (3) Bir Lie grubunun tüm jeneratörleri ile komütasyon bağıntıları sıfır olan
operatörler ‘Casimir operatörü’ olarak adlandırılır. Poincare grubunun iki Casimir
operatörü vardır :
Q 1  k , k  k o2  k  k
ve
Q 2  W, W  Wo2  W  W
.
Bu iki Casimir operatörü de birer sabit oldukları için tüm jeneratörlerle komütatörleri sıfır
Q1
olmaktadır.
’in
m 2c 2
2
olduğu bilinmektedir. Daha karmaşık olan
Q
2
’nin
hesaplanmasında, ifadenin Minkowski uzayında bir skalar çarpım olduğu ve Lorentz
k  0 , ko 
dönüşümleri altında değişmezliğinden yararlanılır.
 W =   r × k   k ,  r × k  k o + M  k 
çerçevesinde
Q
2
 0
  0
Lorentz
olacağı için
elde edilir. Ancak, ileride görülecek biçimde açısal momentumun cebirsel
genelleştirilmesi
L
Lorentz çerçevesinde
dolayısıyla
mc
 J  LS
W = 

0,
Q 2  W, W  
mc
m2c 2
2

S 

S2
olarak yapılınca
k  0 , ko 
mc
,
elde edilir. Bu sonuç, evrenin
yapıtaşları olan temel parçacıkların Kütle ve Cebirsel Açısal Momentum (Spin) ile
sınıflandırılması gereğine işaret etmektedir.
12
E) Örnekler ve Denklemler
Bazı temel özdeşlikler ve denklemler :
,

1 2
 2 2  2
c t
2
: Dalga operatörü
 p 
k
: Planck-DeBroglie Kuantum aksiyomu
k
 
: Diferansiyel operatör temsili
 i
 p   p  q A
: Minimal Elektromagnetik etkileşme
,A

1 Ao
  A  0
c t
: Lorentz ayar şartı
,J


  J  0
t
: Yerel yük korunumu
p,p
 m2 c 2
k,k

: Kütle tanımı
m2c 2
:
2
p  qA , p  qA
,
 0
,
 A 
,
 
 m2c 2
“
: Minimal E-M Etkileşmeli Kütle tanımı
: Kaynaksız dalga denklemi
2
 A 
m2c 2
2

o  J 
: Kaynaklı dalga denklemi
: Klein-Gordon denklemi
13
PROBLEMLER
P.2.1 )
E(2) grubunun Casimir operatörünü inşa edin.
P.2.2 )
E(3) grubunun Casimir operatörlerini inşa edin.
P.2.3 )
L ,
P.2.4 )
e
 po  eAo , p  eA  i
E


c
U,V

 0
M ,
;
U, V

 0
olduğunu gösterin.
sonucunu doğrulayın ve dolayısıyla elektrik
alanın bir Polar 3-Vektör olduğunu gösterin.
P.2.5 )
 p  eA , p  eA  ie B


sonucunu doğrulayın ve dolayısıyla magnetik
alanın bir Sözde 3-Vektör olduğunu gösterin.
P.2.6 )
ve
 A
1 A1 
E1   c  o 
  c
c t 
 r1
xyzx

1
Ao 
o
A1 
koordinat çevrim dönüşümleri ile
 A
A2 
B1   3 
 
r3 
 r2

F
ile tanımlanan anti simetrik Alan matrisinin

F


A 
 0

E
 1c

 E2
 c
 E3
 c


E1
A
c
0

E2
3
c
 B3
B3
0
 B2
B1
A2 
2
E3 
c

B2 

 B1 


0 

A3 
ve koordinat çevrim dönüşümlerini doğrulayın.

olduğunu gösterin.
14
III.
CLIFFORD CEBİRLERİ
A) 3 - Boyut
V
V 
vektörünün Norm’u
V

V12  V22  V32
V  1V1  2V2  3V3
cinsinden lineer olarak
,
vektörünün bileşenleri
V
i , j  1, 2 , 3
katsayılarının basit sayılar olamayacağı görülür. Bu cebirsel katsayıların,
Vi , V j   0
olmak üzere,
i  j   j i 
00  i
 j
ve

Vi ,  j   0
 i 
 Det i  

 1
D
 1
D
0
Det i  j  j  
olmak üzere
Vx  iVy 
 Vz
V  
Vz 
Vx  iVy
,
sağlamaları
D D
için
Det   j i  j  
 1
D
Det i 
Pauli Spin matrisleri olarak bilinmektedir. Böylece
1
i  j
1

 D : Çift
Yukarıdaki özellikleri taşıyan ve hem hermitsel, hem de üniter olan
3  

0 1
1
operatörlerinin
matris temsillerinin çift boyutlu olması gereğinin kısa bir ispatı :
 i    j i  j
i2 
varsayımları ile,
i  j   j i  2 i j
veya kısaca
gerektiği görülür. Anti komütatif bir cebir oluşturan
i  j    j i
 i 
biçiminde yazılmak istenirse
i   i
olmaktadır.
0 1 
1  

1 0 
2 2
,
olarak verilir.
matrisler
0 i 
0 
2  
i
,
ile verilmekte ve dolayısıyla
 i 
operatörlerinin oluşturduğu
anti komütatif cebir Clifford cebri olarak adlandırılır.
C) Spin ve SU(2) Grubu

  
 2 , 2   i 2
bağıntısı da cebirsel bir açısal momentuma işaret etmektedir.
15
Hele
Spin :
 p  eA , p  eA  0




S
2
sağlayan elektromagnetik etkileşme durumlarında
’nin magnetik alanla
 iS
VC
vektörleri
S , VC 
L , VC 
ve
 0
 i VC
S , VM 
 i Vtüm
 J , Utüm  Vtüm 
L , L 
 0
 p
 0
 V
sağlaması doğaldır. Mekanik, cebirsel veya
  p1  ip2 


2 p  p  p3   p  p3 
L3 2 
 1
J  L+S
tanımlanarak
gibi melez bir skalar çarpımın özvektörleri

p
3
p  
p

 1 ip2
, ortonormal spinörleri ise
1
 iL
 i VM
elde edilir.
 p
u 
p1  ip2 
 p3 
matrisinin
 p  p3 


2 p  p  p3   p1  ip2 
1
ile verilir. SO(3) grubunun Lie cebrinin
ilişkisine paralel olarak SU(2) grubunun jeneratörleri de aynı
komütasyon bağıntılarını
exp  i
L , VM 
sağlarlar. İki ayrı nitelikte yapının elemanlarının
‘Spinör’ olarak adlandırılır. Bir örnek olarak
u 
tanımıyla
şartı geliştirilir; bunların oluşturacakları skalarlar için ise
3-Boyutta Clifford cebri ürünü
ve
2
olan grup SU(2) olarak adlandırılır. Bu uzayın ‘Cebirsel’
melez tüm vektörler için geçerli bir ayraç olarak
özdeğerleri


aynen koordinat uzayının ‘Mekanik’ vektörlenince
sağlanması gibi
 J , Vtüm 
S
veya
oluşu soyut bir uzayda dönme jeneratörünün varlığına işaret eder. (4)
1 ,  2 ,  3
Jeneratörleri
’ye benzer biçimde etkileşmesi kuantum

  
,

i
 2
2 
2
fiziğinin büyük başarılarındandır.
S , S
L
S , S
 iS
olarak sağlarlar ancak önemli bir fark
olma gereğidir. İçinde yaşadığımız 3-Boyutlu konum uzayında 360
o
dönmek bizi aynı noktaya götürür, halbuki soyut bir spinör uzayında bu şart geçerli
olmayabilir ve onun yerini daha genel
exp i
S3 2 
 1
ifadesi alır.
16
C) 3 + 1 - Boyut
V 
Minkowski uzayında bir 4-Vektörün Norm’u
V 
Bu norm bileşenler cinsinden lineer olarak
o2 
yazılmak istenirse
i  j   j i 
1
0 i,j
cinsinden kısaca
i2  
,
1
Vo2  V12  V22  V32
ile verilir.
 oVo  1V1  2V  3V3
i o  o i 
,
 1, 2 , 3 ; i  j
      2 g


0 i
veya uzayın metriği
1 ,
biçiminde
 1, 2 , 3

;
 , , ,  
 0 , 1, 2 , 3 ; i  j

olması
gerekir. Bu Clifford cebrinin matris temsillerinin de çift boyutlu olacakları açıktır.
4  4 boyutta mümkün olmaktadır. Bjorken-Drell temsili
En küçük boyutlu temsil ancak
olarak adlandırılan özel temsil ise
   

1
0
o  

0 1 
,
 0
i  
  i
i 
ile verilir.
0 
tanımıyla Dirac denkleminin, dolayısıyla relativistik kuantum fiziğinin temelini
oluşturan bu temsil de modern fiziğin büyük başarılarındandır.
3+1 – Boyutta ise
4  4 matrislerden oluşan
4-Vektörü kullanılarak oluşturulan
spinörleri, bir spin-
 ,p

1
2
 
  o ,  
 , p   o po    p
operatörünün 4-Boyutlu
, parçacık-anti parçacık çiftini tasvir eder.
  mc 
veya
p 
  mc 
( Feynman )
Dirac denklemi, elektron-pozitron çiftinin elektromagnetik etkileşmelerini büyük bir başarı
ile açıklamış ve Kuantum Elektrodinamik yolunda ilk adımı atmıştır.
D) Denklemlerin Soyağacı
 ,p

  mc 
 ,p
2

 ,p
2
 p, p
 m2 c 2

Dirac denkleminden, 2. mertebe Dirac denklemi :
oluşturulursa
özdeşliği kullanılarak
 p  , pv   0
p, p

 m2 c 2
olduğu için

Klein-Gordon denklemi elde edilir. Matematiksel fiziğin birçok temel denklemi arasında
benzer ilişkiler ve geçişler vardır. Bu temel denklemlerin soyağaçları, kütleli ve kütlesiz
durumlar için aşağıda sunulmaktadır. Bazı geçişler ise, gerekli ipuçlar verilerek problem
olarak verilecektir.
17
i) Kütleli Durum
Telegraph
Klein-Gordon
Schrödinger
po2  p2  m2c2
2. mertebe
Dirac
Pauli
Dirac
18
ii) Kütlesiz Durum
(  p)    po 
po2  p 2
Weyl
 0
2
 Q
2
Kaynaklı
Dalga
Dalga
2  0
2  Q
Laplace
Poisson
19
PROBLEMLER
P.3.1 )
  A   B    A  B 1  i    A  B 
P.3.2 )
A    A  i   A
P.3.3 )
SU(n) grubunun



Bazı tamsayı çiftleri için,

özdeşliğini doğrulayın.
özdeşliğini doğrulayın.
n2  1 ,
SO(m) grubunun ise
SU(2)  SO(3)
m  m  1
2
durumunda olduğu gibi,
İpucu : #5 :
P.3.4 )
SU(2) grubu elemanları
bir matris aracılığıyla
ve SO(m)
çiftini
SU(64)  SO(91)
G
G  a, b, c  ’nin, izi sıfır olan, en genel
a  ib 
  c
 exp  i 

c  
  a  ib
doğrulayın. Lie grup jeneratörleri için geçerli
SU(2)
SU(n)
 n, m 
gruplarının benzeşimi söz konusu olur. Bu benzeşimi sağlayan ilk 5
bulun.
jeneratörü vardır.
k  i
2  2 hermitsel
olarak ifade edilebileceğini
G
 k
formülünü kullanarak
i 0
grubu jeneratörlerinin Pauli Spin matrisleri olduğunu gösterin.
P.3.5 ) 2+1 – Boyutlu bir evrende “Dirac” denklemini inşa edin. Bu durumda Pauli ve
Schrödinger denklemlerinin alacakları biçimleri saptayın.
 J
P.3.6 ) Uzayın kaynaksız
 0

bölümlerinde
4-Potansiyel bileşenleri için geçerli olan, daha temel
denkleminin çözümlerinin
ˆ
A
  ko , k
2  ko2  A  r   0
k, k
A
sağlayan
 
olduğunu doğrulayın ve elektrik alanının
yönünde olduğunu gösterin.
[ Bu yüzden
 o
, 
Polarizasyon 4-Vektörü olarak adlandırılmaktadır ]
20
P.3.7 ) Poincaré grubu jeneratörlerinin genelleştirilmesi :
k
'Cebirsel' ;
L
k
k 
genelleştirmelerinde
M
ve
vektörlerine
4-Vektörüne ise 'Fonksiyonel' eklemeler yaparak sağlanır.
 LS

L
e
 MM  MC
M
,
,
A
MC
, MC

 i S
varsayımı ile komütasyon
tablosunun
,
J
J
i
M
i
k e A
M
J
i
M
i
M
J
k e A
e 

i  k  A
0


e 
e 


i  ko  Ao  i  k  A 




e 
e  

i  k  A  i  ko  Ao 


 
ko  e Ao
e 

i  k  A


0
ko  e Ao
e
i
i
B
e
E
c
e
E
c
i
0
olduğunu gösterin.
P.3.8 )
 1 2
m 2c 2 
2



 r ,t   0
 c 2 t 2
2 



mc 2 
  r , t   exp  i
t   r, t 


2w
w
 k
 a 2 2 w  bw
2
t
t
Klein-Gordon denklemine
çözümünü yerleştirerek
“Telegraph”
DD’inin
b  0
halini elde edin.
21
P.3.8 ) Yukarıda elde edilen Telegraph DD’inin
c  
limitinde Serbest parçacık
Schrödinger denklemine dönüştüğünü gösterin.
EKLER VE NOTLAR
(1) Aslında
" E "  3,1
çelişkili bir adlandırmadır. Euclid geometrisi temelde
G
=
1
demektir, ancak bunu başka metriklere de genellemek adlandırmalarda ekonomi sağlar.
 , , ,  
Minkowski uzayının sözde Euclid geometrisinin yol açtığı 10 parametreli
Poincaré grubuna da
(2) Metrik için yapılan
" E "  3,1 ismi yakıştırılabilir.
 , , ,  
seçimi, Parçacık Fizikçilerinin tercihi olup, Genel
relativite uzmanlarının tercihinden farklıdır.
(3)
Wo
ifadesi için
E  3 grubunun Casimir operatörünün seçilmesi rastlantı değildir.
(4) Tamamen cebirsel bir operatör olan
olan
L

bileşenlerinin, aynen mekanik bir operatör
bileşenleri gibi, zaman tersinmesi altında işaret değiştirmesi dikkat çekicidir.
22