Enkısa zaman probleminin kuantizasyonu

Proje No: 20.01.0105.012
En Kısa Zaman (Brachistochrone) Probleminin Kuantizasyonu
Özet
Bu çalışmada lineer bir gravitasyon potansiyelinde, zaman fonksiyonunun
minimizasyonuna karşılık gelen brachistochrone eğrisi üzerinde klasik olarak hareket
eden kütleli bir parçacığın kuantum dinamiğini tartıştık. Parçacığın Lagranjiyenini ve
Hamiltoniyenini türettik. Bu Hamiltoniyen için bulunan Schrödinger denkleminin
çözümleri bir enerji tayfı ve dalga fonksiyonları olarak da konflüent hipergeometrik
fonksiyonları verir. Problem belirli limit durumlarda harmonik salınıcı ve sonsuz
kuyu potansiyeline karşılık gelir. Aynı zamanda, orijinal brachistochrone probleminin
periyodik açılımında, parçacığın Schrödinger denkleminin çözümlerini de araştırdık.
Floquet teorisinin, band yapısını ortaya çıkardığını ve problemin, sonsuz potansiyel
limitinde pozitif enerjili parçacık için periyodik  - potansiyeli problemine eşdeğer
olduğunu gösterdik.
Quantization For Brachistochrone Problem
Summary
In this study, we discuss the quantum dynamics of a massive particle, which
moves classically on the brachistochrone curve corresponding to the minimization of
the time functional, in a linear gravity potential. We derive the Lagrangian and the
Hamiltonian of the particle. The solutions of the Schrödinger’s equation for this
Hamiltonian give an energy spectrum, and the confluent hypergeometric functions as
the wave functions. The problem corresponds to the infinite-well and harmonic
oscillator potentials in definite limit cases. We also discuss the solutions of the
Schrödinger’s equation for the particle in the periodic extension of the original
brachistochrone problem. We show that the band structure arised from Floquet theory
and the problem is equivalent to the periodic  - potential problem for the particle
with positive energy in the limit of infinite potential.