OLASILIK ve İSTATİSTİK DERSİ 2.ÖDEV SORULARI 1. Ortalamaları

OLASILIK ve İSTATİSTİK DERSİ
2.ÖDEV SORULARI
1. Ortalamaları E(X) ve E(Y) olan X ve Y kesikli rasgele değişkenlerinin ortak olasılık
fonksiyonu f  xi , y j  , i  1, 2,..., m, j  1, 2,..., n olsun. E(X+Y)=E(X)+E(Y) eşitliğinin ispatını
yazın.
2. X ve Y bağımsız, sürekli rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu
f  xi , y j  , i  1, 2,..., m, j  1, 2,..., n olsun. E(XY)=E(X)E(Y) eşitliğini ispatlayın.
3. X ve Y rasgele değişkenleri için aşağıdaki eşitlikleri ispatlayın.
a. Cov(X,Y) = Cov (Y, X)
b. Cov(aX+b,Y) = aCov (X, Y)
c. Var(X, Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)
4. X ve Y sürekli rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
24 xy, 0  x,0  y,0  x  y  1
f  x, y   
0, d . y.
ise aşağıdakileri bulun.
a. E(X)
b. E(Y)
c. E(XY)
g. Var(Y)
h. Cov(X,Y) i. Cor(X,Y)
d. f X  x 
e. fY  y 
f. Var(X)
j. Cov(3X,5Y)
5. X ve Y rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu
f  x, y   c  x 2  y 2  , x  0,1, 2, y  0,1, c  
olsun.
a. c sabit değerini bulun.
b. X ve Y’nin marjinal olasılık fonksiyonlarını bulun.
c. E(X), E(Y), Var(X), Var(Y)
6. X r.d.’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu f  x  
1
2
e
1
 x2
2
1
,    x   olsun. Y  X 3 ’ün
olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulun.
7. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiş olsun
x
2

 1
f  x   2
3  x

 2
0
,0  x  1
,1  x  2
,2  x  3
, d . y.
a) F(x) dağılım fonksiyonunu bulun.
b) F(x) ve f(x)’in grafiklerini çizin.
8. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
 x  1 , 1  x  0

f  x   2 x  6 ,3  x  c
0
, d . y.

olsun.
a) c?
b) F(x) dağılım fonksiyonunu bulun. c) P  X  c / 2  olasılığını
hesaplayın.(c>3)
9. X ve Y sürekli rasgele değişkenler olsun. Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
8 xy , 0  x  y  1
f  x, y   
0 , d . y.
olsun. Aşağıdakileri bulun.
a) F(x,y) ortak dağılım fonksiyonunu bulun.
b)
f  y x
c)
f  x y
d) P  X  0.5 Y  0.75 
e) P  X  0.5 Y  0.75 
10. X ve Y rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
2
  x  1 , 0  x  1, 0  y  1
f  x, y    3
0
, d . y.
olsun. Aşağıdakileri bulun.
a)
fX  x
b) fY  y 
c) f  y x 
d) P  X  Y  1
11. X ve Y sürekli rasgele değişkenler olsun. Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
60 x 2 y ,0  x, 0  y,0  x  y  1
f  x, y   
, d . y.
0
olsun. Aşağıdakiler bulun.
a)
fX  x
b) f  y x 
c) P Y  0.1 X  0.5
12. X ve Y sürekli rasgele değişkenler olsun. Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
2  x  y  ,0  x  y  1
f  x, y   
, d . y.
0
a) P Y  2 X 
b) f X  x 
c) f  x y 
1
13. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f  x   , 0  x  2 olduğuna göre
2
a) P(0.5<X<1.5)
b) P(X>0.25)
c) P(X<0.75)
d) P(X>3)
14. Y=4X+3 ve E(X)=5, Var(X)=2 olsun. E(Y) ve Var(Y) nedir?
15. X sürekli rasgele değişkeni f  x   e  ( x  2) ,  2  x   olsun.
a) X’in moment çıkaran fonksiyonunu bulun.
b) Moment çıkaran fonksiyonu kullanarak E  X  ve E  X 2  ’yi bulun.