Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Bir Fonksiyonun Dört Farklı

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
Bir nicelik bir diğerine bağlı olduğunda ortaya fonksiyonlar çıkar.
Şimdi dört farklı durumu düşüneceğiz:
1. Bir dairenin alanı A, yarıçağı r ye bağlıdır. Bu bağlılık A = πr2
eşitliği ile gösterilir. Her pozitif r değerine karşılık bir A değeri
vardır ve bu, A nın r nin bir fonksiyonu olması ile ifade edilir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
1/ 107
Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
Örneğin,
P (1950) ≈ 2.560.000.000
Zaman t nin her değerine
karşılık gelen bir P değeri
olduğundan, P nin zaman
t nin bir fonksiyonu
olduğunu söyleriz.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
3/ 107
Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
2. P ile gösterilen dünya nüfusu, t zamanına bağlıdır. Tablo,
Dünya nufusu P (t) yi t yıllarında yaklaşık olarak vermektedir.
Yıl
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
3. Bir mektubun posta ücreti C, ağırlığı w ye bağlıdır. w ile C
arasında kolayca ifade edilebilecek basit bir formüll olmamasına
karşın, posta idareleri w bilindiğinde C yi belirleyen kurallar
kullanırlar.
Nüfus(milyon)
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6070
MAT 1009 Matematik I
2/ 107
4. Bir depremde yer kabuğunun düşey ivmesi a, sismograflar
tarafından geçen t süresinin fonksiyonu olarak belleğe
kaydedilmektedir. Şekil 1 de, 1994 de Los Angles kentindeki sismik
hareketin grafiği verilmektedir. Verilen t değerine karşılık gelen a
değerini grafikten okuyabiliriz.
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
Şekil
1 : Northridge depreminde
düşey yer ivmeleri
4/ 107
Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi
Tanım: Fonksiyon
Bu örneklerin tümü, verilen bir sayıya (r, t, w, veya t) karşılık diğer
bir sayıyı veren (A, P, C, veya a) bir kural belirler. Her bir
durumda ikinci sayı birincisinin fonksiyonudur.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
f nin tanım kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole,
bağımsız değişken denir.
Görüntü kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole,
bağımlı değişken denir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
5/ 107
Tanım: Fonksiyon
MAT 1009 Matematik I
7/ 107
Fonksiyon
Bir fonksiyonu en iyi anlamanın yolu grafiğidir. Tanım kümesi A
olan bir fonksiyonun grafiği
Bir f fonksiyonu, bir A kümesinin her x öğesini, bir B kümesinin
tek bir f (x) öğesine taşıyan bir kuraldır.
Genellikle A ve B kümelerinin gerçel sayıların kümeleri olduğu
fonksiyonları düşüneceğiz.
A kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir.
f (x) sayısına f fonksiyonunun x deki değeri denir.
x sayısı A kümesi içinde değişirken, f (x) in tüm olası değerlerinin
kümesine f nin görüntü kümesi denir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
6/ 107
{(x, f (x))|x ∈ A}
ile betimlenen sıralı ikililer kümesidir.
Başka bir deyişle, f
nin grafiği, x tanım
kümesinde ve
y = f (x) olmak
koşulu ile
düzlemdeki (x, y)
noktalarının
kümesidir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
Şekil 2 :
MAT 1009 Matematik I
8/ 107
Örnek...
Fonksiyon
Grafik, f nin tanım ve görüntü kümelerini, sırası ile x− ve y−
ekseni üzerinde Şekil 3 deki gibi şekillendirmemize de yardımcı olur.
Taban alanı (2w) × w = 2w2
⇒
taban maliyeti 10(2w2 ) YTL.
İki yanyüzün alanı w × h, ikisinin alanı ise 2w × h dir. Buradan
yanyüzlerin alanı 2(wh) + 2(2wh) olur. Dolayısıyla yanyüzlerin
maliyeti 6 × [2(wh) + 2(2wh)] dir.
Toplam maliyet ise
C = 10(2w2 ) + 6[2(wh) + 2(2wh)] = 20w2 + 36wh
olur.
Şekil 3 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
9/ 107
Örnek
MAT 1009 Matematik I
11/ 107
Örnek...
Örnek Üstü açık dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun
hacmi 10m3 tür. Tabanın uzun kenarı, kısa kenarının iki katıdır..
Tabanda kullanılacak malzemenin metrekaresi 10 YTL, yan
yüzlerde kullanılacak malzemenin metrekaresi 6 YTL ise, maliyet
fonksiyonunu kısa kenarın fonksiyonu olarak bulun.
C yi w nin bir fonksiyonu olarak ifade edebilmek için h yi yok
etmemiz gerekir. Hacim 10m3 olduğu için
w × (2w) × h = 10
ve dolayısıyla
5
10
= 2
2
2w
w
dir. Bunu C nin ifadesinde yerine koyarak
180
5
2
C = 20w + 36w
= 20w2 +
2
w
w
h=
Çözüm Şekil 4 da
kısa kenar w, uzun
kenar 2w ve
yükseklik h olarak
gösterilmiştir.
elde ederiz.
180
,
w>0
w
denklemi, C yi w nin fonksiyonu olarak ifade eder.
C(w) = 20w2 +
Şekil 4 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
10/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
12/ 107
Fonksiyon
Fonksiyonlar - Parçalı tanımlı fonksiyon
Bir fonksiyonun grafiği xy− düzleminde bir eğridir. Bu durumda
akla bir soru geliyor: xy−düzlemindeki hangi eğriler bir
fonksiyonun grafiğidir?
Tanım kümesinin farklı parçalarında farklı biçimde tanımlanmış
fonksiyona parçalı fonksiyon denir.
1 − x, x ≤ 1
f (x) =
x2 ,
x>1
x ≤ 1 iken f (x) in değeri 1 − x, x > 1 iken f (x) in değeri x2 dir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
13/ 107
Fonksiyon
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
15/ 107
Fonksiyonlar - Parçalı tanımlı fonksiyon
Düşey doğru ölçütü xy− düzlemindeki bir eğrinin x in bir
fonksiyonunun grafiği olması için gerekli ve yeterli koşul, her düşey
doğrunun bu eğriyi en fazla bir noktada kesmesidir.
Parçalı tanımlı fonksiyonlara vereceğimiz bir sonraki örnek mutlak
değer fonksiyonudur.
x ,x ≥ 0
|x| =
−x , x < 0
Şekil 5 : Düşey Doğru Ölçütü
Şekil 6 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
14/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
16/ 107
Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon
Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon
Tanım kümesindeki her x için f (−x) = f (x) koşulunu sağlayan f
fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
Tanım kümesindeki her x için f (−x) = −f (x) koşulunu sağlayan f
fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
Örneğin f (x) = x2 fonksiyonu için
Örneğin f (x) = x3 fonksiyonu tektir çünkü
f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)
f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x)
sağlandığından f çifttir.
dir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
17/ 107
Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
19/ 107
Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon
Bu fonksiyonların önemi, grafiklerinin y− eksenine göre simetrik
olmasıdır(Şekil 7). Yalnızca x ≥ 0 için grafik çizildiğinde, tüm
grafik y− eksenine göre simetri alınarak bulunur.
Tek fonksiyonların grafikleri başlangıç noktasına göre
simetriktir.(Şekil 8).
Şekil 8 :
Eğer x ≥ 0 değerleri için grafik biliniyorsa, tüm grafik eldeki
grafiğin başlangıç noktaı etrafında 180◦ döndürülmesiyle elde edilir.
Şekil 7 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
18/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
20/ 107
Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar
I aralığındaki her x1 < x2 için f (x1 ) < f (x2 ) ise, f fonksiyonu I
aralığında artandır denir.
I aralığındaki her x1 < x2 için f (x1 ) > f (x2 ) ise, f fonksiyonu I
aralığında azalandır denir.
Şekil 9 :
Şekil 9 daki grafik A dan B ye kadar yükselmekte, B den C ye
kadar düşmekte ve C den D ye kadar tekrar yükselmektedir. f
fonksiyonu [a, b] aralığında artan, [b, c] aralığında azalan, [c, d]
aralığında ise yine artandır.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
21/ 107
Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
23/ 107
Fonksiyonlar - Periyodik Fonksiyonlar
Her bir x değeri için, p > 0 iken
f (x + p) = f (x)
eşitliğini sağlayan fonksiyonlara p periyoduna sahip periyodik
fonksiyon denir.
x1 ve x2 noktaları a ve b arasında, x1 < x2 koşulunu sağlayan
herhangi iki nokta ise, f (x1 ) < f (x2 ) olduğuna dikkat ediniz. Bu
özelliği artan fonksiyonun tanımı için kullanacağız.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
22/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
24/ 107
Fonksiyonlar - Polinomlar
Fonksiyonlar - Polinomlar
n bir tamsayı, a0 , a1 , a2 , . . . , an sabit gerçel sayılar olmak üzere
İkinci dereceden polinomların grafiği parabol olur ve grafikleri, bir
sonraki bölümde göreceğimiz gibi y = ax2 parabolünün
kaydırılması ile elde edilir. a > 0 ise, parabolun ağzı yukarıya,
a < 0 ise aşağıya doğru açıktır (Şekil 10).
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
şeklindeki fonksiyonlara polinom denir.
Her polinomun tanım kümesi R = (−∞, ∞) kümesidir.
a0 , a1 , a2 , . . . , an sayılarına polinomun katsayıları denir. Eğer ilk
katsayı an 6= 0 ise, n sayısına polinomun derecesi denir.
Şekil 10 : y = x2 + x + 1
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
25/ 107
Fonksiyonlar - Polinomlar
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
y = −2x2 + 3x + 1
MAT 1009 Matematik I
27/ 107
Fonksiyonlar - Polinomlar
Örneğin,
√
2
P (x) = 2x6 − x4 + x3 + 2
5
derecesi 6 olan bir polinomdur.
Derecesi 3 olan bir polinom
ax3 + bx2 + cx + d
Derecesi 1 olan polinom P (x) = mx + b biçiminde olacağından,
doğrusal bir fonksiyondur.
biçimindedir ve kübik fonksiyon adını taşır.
Derecesi 2 olan bir polinom P (x) = ax2 + bx + c biçimindedir ve
kuadratik fonksiyon (veya ikinci dereceden polinom) adını taşır.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
26/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
28/ 107
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise
n = 1, 2, 3, 4 ve 5 olduğu f (x) = xn fonksiyonlarının grafikleri
aşağıdaki grafiklerde görülmektedir. (Bunlar yalnızca bir terimi
olan polinomlardır.)
a sabit bir sayı olmak üzere,
f (x) = xa
biçimindeki fonksiyonlara kuvvet fonksiyonları denir.
Bazı özel durumları düşünelim:
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
29/ 107
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
MAT 1009 Matematik I
MAT 1009 Matematik I
30/ 107
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise
n = 1, 2, 3, 4 ve 5 olduğu f (x) = xn fonksiyonlarının grafikleri
aşağıdaki grafiklerde görülmektedir. (Bunlar yalnızca bir terimi
olan polinomlardır.)
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
30/ 107
n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise
n = 1, 2, 3, 4 ve 5 olduğu f (x) = xn fonksiyonlarının grafikleri
aşağıdaki grafiklerde görülmektedir. (Bunlar yalnızca bir terimi
olan polinomlardır.)
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
30/ 107
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi n artarken f (x) = xn , 0
yakınında düzleşmekte, |x| ≥ 1 için dikleşmektedir.
√
n = 3 durumunda f (x) = 3 x, tanım kümesi R olan
(her gerçel sayının küp-kökü vardır) küp-kök fonksiyonudur ve
grafiği aşağıda verilmiştir.
n tek ise, (n > 3)
√
y = n x nin grafiği
√
y = 3 x fonksiyonunkine
benzer.
(x küçükse, x2 daha küçük, x3 daha da küçük, x4 ondan da küçük,
v.b. olacaktır.)
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a =
f (x) = x1/n =
√
n
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
31/ 107
MAT 1009 Matematik I
33/ 107
Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları
1
n
ise
a = −1 ise
Şekil de, f (x) = x−1 = 1/x in grafiği verilmiştir.
x fonksiyonuna kök fonksiyonu denir.
√
n = 2 ise, f (x) = x, tanım kümesi [0, ∞), grafiği ise x = y 2
parabolünün üst kolu olan kare-kök fonksiyonudur.
n tamsayısının çift olması
durumunda, y = x1/n
fonksiyonunun grafiği
√
y = x fonksiyonunun
grafiğine benzer.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
32/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
34/ 107
Fonksiyonlar - Rasyonel Fonksiyonlar
Fonksiyonlar - Cebirsel Fonksiyonlar
P ve Q gibi iki polinomun oranı olarak ifade edilebilen
f (x) =
Polinomlardan(toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma gibi)
cebirsel işlemler ile elde edilebilen f fonksiyonuna cebirsel fonksiyon
denir. Rasyonel fonksiyonlar cebirsel fonksiyonlardır.
P (x)
Q(x)
f fonksiyonuna rasyonel (kesirli) fonksiyon denir.
Tanım kümesi: Q(x) 6= 0 olan tüm x sayılarıdır.
f (x) =
Tanım kümesi {x|x 6= 0} olan f (x) = 1/x fonksiyonu da rasyonel
bir fonksiyondur.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
35/ 107
Fonksiyonlar - Rasyonel Fonksiyonlar
p
x2 + 1
g(x) =
√
x4 − 16x2
√ + (x − 2) 3 x + 1
x+ x
fonksiyonları da cebirsel fonksiyonlardır.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
37/ 107
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Kalkülüste açı birimi olarak (aksi belirtilmediği sürece) radyan
kullanılır. Örneğin, f (x) = sin x ile radyan ölçümü x olan açının
sinüsünü anlarız. Dolayısı ile, cosinüs ve sinüs fonksiyonlarının
grafikleri, şekil de gösterildiği gibidir.
f (x) =
2x4 − x2 + 1
x2 − 4
fonksiyonu da tanım kümesi {x|x 6= ±2} olan olan bir rasyonel
fonksiyondur.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
36/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
38/ 107
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Kalkülüste açı birimi olarak (aksi belirtilmediği sürece) radyan
kullanılır. Örneğin, f (x) = sin x ile radyan ölçümü x olan açının
sinüsünü anlarız. Dolayısı ile, cosinüs ve sinüs fonksiyonlarının
grafikleri, şekil de gösterildiği gibidir.
Sinüs fonksiyonunu sıfırları π nin tamsayı katlarıdır; başka bir
değişle n tamsayı olmak üzere,
x = nπ için sin x = 0 dır.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının en önemli özelliği periyodik
olmaları ve periyodlarının 2π olmasıdır. Bu, x in tüm değerleri için
sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x
olması demektir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
38/ 107
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
40/ 107
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Tanjant fonksiyonunun sinüs ve kosinüs fonksiyonalrı ile ilişkisi,
sin x
cos x
denklemleriyle verilir. Grafiği aşağıda da verilmiştir.
tan x =
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesi (−∞, ∞), görüntü
kümesi [−1, 1] kapalı aralığıdır. Bu nedenle her x için
−1 ≤ sin x ≤ 1
− 1 ≤ cos x ≤ 1
ya da mutlak değer gösterimi ile
| sin x| ≤ 1
| cos x| ≤ 1
olur.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
39/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
41/ 107
Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar
Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar
x = ±π/2, ±3π/2, . . . değerleri için cos x = 0 olduğundan, bu
değerlerde tanımlı değildir.
Görüntü kümesi (−∞, ∞) aralığıdır.
Tanjant fonksiyonu periyodiktir ve periyodu π dir:
tan(x + π) = tan x.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
42/ 107
Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
44/ 107
Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar
Üstel fonksiyonların en çok kullanılanı ex (doğal üstel fonksiyon)
fonksiyonudur. Buradaki e sayısı üstel fonksiyonun y− eksenini
eğimi 1 olacak şekilde kesmesini saylayan sayıdır.
Bu tür fonksiyonlar, taban a nın pozitif bir sabit olduğu
f (x) = ax
biçimindeki fonksiyonlardır. Her iki durumda da tanım kümesi
(−∞, ∞) ve görüntü kümesi (0, ∞) dur.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
43/ 107
e sayısı irrasyonel bir sayıdır ve e sayısının ilk 5 basamağı
e ≈ 2.71828 dir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
45/ 107
Örnek
Fonksiyonlar - Cebirsel Olmayan Fonksiyonlar
ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların türlerini belirleyiniz.
Transandantal (aşkın) fonksiyonlar olarak da bilinen bu tür
fonksiyonlar trigonometrik, üstel ve logaritma fonksiyonlarını
içerdikleri gibi, hiç bir ad verilmemiş diğer pek çok fonksiyonu da
içerirler.
(a)
f (x) = 5x
(c)
h(x) =
1+x
√
1− x
(b)
g(x) = x5
(d)
u(t) = 1 − t + 5t4
ÇÖZÜM:
(a) f (x) = 5x fonksiyonu üstel bir fonksiyondur. (Kuvveti x dir.)
(b) g(x) = x5 fonksiyonu bir kuvvet fonksiyonudur. (Taban x
dir.) aynı zamanda derecesi 5 olan bir polinomdur.
1+x
√ cebirsel bir fonksiyondur.
(c) h(x) =
1− x
(d) u(t) = 1 − t + 5t4 derecesi 4 olan bir polinomdur.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
46/ 107
Örnek
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
47/ 107
Eski Fonksiyonlardan Yenilerini Elde Etmek
ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların türlerini belirleyiniz.
(a)
f (x) = 5x
(c)
h(x) =
1+x
√
1− x
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
(b)
g(x) = x5
(d)
u(t) = 1 − t + 5t4
MAT 1009 Matematik I
Bu bölümde, önceki bölümde öğrendiğimiz temel fonksiyonlardan
başlayacağız ve grafiklerini kaydırarak, gererek ve yansıtarak yeni
fonksiyonlar elde edeceğiz. Ayrıca, bir fonksiyon çiftinin standart
aritmetik işlemler ve bileşkeyle nasıl birleştirildiğini göstereceğiz.
47/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
48/ 107
Fonksiyonların Dönüşümleri
Fonksiyonların Dönüşümleri
c > 0 olmak üzere
Bir fonksiyonun grafiğine dönüşümler uygulayarak yeni fonksiyonlar
elde edebiliriz.
Bu fikirler bize bir çok fonksiyonun grafiğini hızlıca çizebilme
yeteneğini kazandıracaktır.
Aynı zamanda, verilen grafiklerin denklemlerini bulabileceğiz.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
49/ 107
Fonksiyonların Dönüşümleri
MAT 1009 Matematik I
51/ 107
Fonksiyonların Dönüşümleri
Yatay ve düşey kaydırmalar c > 0 olsun.
Önce ötelemeleri düşünelim.
Eğer c pozitif bir sayı ise, y = f (x) + c fonksiyonunun grafiği
y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru c birim
kaydırılması ile elde edilir (bunun nedeni tüm y-koordinatlarının c
kadar arttırılmasıdır).
g(x) = f (x − c) ile tanımlanan g fonksiyonunun x sayısındaki
değeri, f nin x − c sayısındaki değeridir (başka bir deyişle, x in c
birim solundaki değer). Bu nedenle, y = f (x − c) fonksiyonunun
grafiği, y = f (x) grafiğinin c birim sağa kaydırılmış halidir
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
50/ 107
y = f (x) + c nin grafiğini elde etmek için,
y = f (x) grafiğini yukarı doğru c birim kaydırınız.
y = f (x) − c nin grafiğini elde etmek için,
y = f (x) grafiğini aşağıya doğru c birim kaydırınız.
y = f (x − c) nin grafiğini elde etmek için,
y = f (x) grafiğini sağa doğru c birim kaydırınız.
y = f (x + c) nin grafiğini elde etmek için,
y = f (x) grafiğini sola doğru c birim kaydırınız.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
52/ 107
Fonksiyonların Dönüşümleri
Fonksiyonların Dönüşümleri
Yatay ve düşey germe ve yansıma
c > 1 olsun.
y = cf (x) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğini düşey olarak c kadar geriniz.
Şimdi germe ve yansıma dönüşümlerini ele alalım.
c > 1 ise, y = cf (x) fonksiyonunun grafiği, y = f (x)
fonksiyonunun grafiğinin düşey doğrultuda c kadar gerilmesi ile elde
edilir (çünkü her y-koordinatı aynı c sayısı ile çarpılmıştır).
y = −f (x) fonksiyonun grafiği, y = f (x) grafiğinin x− eksenine
göre yansımasıdır, çünkü (x, y) noktası (x, −y) noktası ile yer
değiştirmektedir.
y = (1/c)f (x) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğini düşey olarak c kadar büzünüz.
y = f (cx) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğini yatay olarak c kadar büzünüz.
y = f (x/c) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğini yatay olarak c kadar geriniz.
y = −f (x) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğinin x− ekseninde yansımasını alınız.
y = f (−x) in grafiğini elde etmek için,
y = f (x) in grafiğinin y− ekseninde yansımasını alınız.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
MAT 1009 Matematik I
55/ 107
Örnek
Fonksiyonların Dönüşümleri
√
Örnek : Verilen y√= x in grafiğine dönüşümler uygulayarak
√
√
√
√
y = x − 2, y = x − 2, y = − x, y = 2 x ve y = −x
fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
c > 1 ve c 6= 0 olmak üzere
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
53/ 107
MAT 1009 Matematik I
54/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
56/ 107
Örnek
Örnek...
√
Örnek : Verilen y√= x in grafiğine dönüşümler uygulayarak
√
√
√
√
y = x − 2, y = x − 2, y = − x, y = 2 x ve y = −x
fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
√
Çözüm : y = x in grafiği:
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
2 birim sağa kaydırarak y =
x − 2 fonksiyonun grafiği:
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
56/ 107
Örnek...
√
MAT 1009 Matematik I
58/ 107
Örnek...
2 birim aşağı kaydırarak y =
√
√
x− ekseninde yansımasını alarak y = − x in grafiği:
x − 2 fonksiyonunun grafiği:
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
57/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
59/ 107
Örnek...
Örnek
Örnek : f (x) = x2 + 6x + 10 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
√
düşey yönde 2 birim gererek y = 2 x in grafiği:
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
60/ 107
Örnek...
MAT 1009 Matematik I
62/ 107
Örnek
y− ekseninde yansıma alarak y =
√
Örnek : f (x) = x2 + 6x + 10 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Tam kareye tamamlayarak, grafiğin denklemini
−x in grafiği:
y = x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1
olarak yazarız. İstenilen grafiği, y = x2 parabolünü önce 3 birim
sola, sonra 1 birim yukarıya kaydırarak buluruz.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
61/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
62/ 107
Örnek
Fonksiyonların Birleşimleri
Örnek : y = |x2 − 1| fonksiyonunun garfiğini çiziniz.
f ve g gibi iki fonksiyon, sayıların toplanması, çıkarılması,
çarpılması ve bölünmesine benzer şekilde birleştirilerek, f + g,
f − g, f g ve f /g gibi yeni fonksiyonlar elde edilebilir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
63/ 107
Örnek
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
64/ 107
Fonksiyonların Birleşimleri
Örnek : y = |x2 − 1| fonksiyonunun garfiğini çiziniz.
Çözüm: Önce y = x2 − 1 parabolünü çizeriz. Bu, y = x2
parabolünün 1 birim aşağıya kaydırılmasıyla elde edilir.
−1 < x < 1 iken x2 − 1 parabolü x-ekseninin altında kaldığından,
y = |x2 − 1| in grafiğini, bu kısmın grafiğini x− eksenine göre
yansıtarak buluruz.
f + g toplamını,
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(1)
ile tanımlarsak, denklem 1 in sağ tarafı ancak f (x) ve g(x) in her
ikisininde tanımlı olduğu, diğer bir deyişle, x in hem f nin hem de
g nin tanım kümesinde olduğu zaman anlamlıdır. f nin tanım
kümesi A, g nin tanım kümesi B ise, f + g fonksiyonunun tanım
kümesi, bu iki tanım kümesinin kesişimi A ∩ B dir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
63/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
65/ 107
Örnek
Fonksiyonların cebiri
f ve g, tanım kümeleri A ve B olan fonksiyonlar olsun.
f + g, f − g, f g, ve f /g fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır.
(f + g)(x)
= f (x) + g(x)
tanım kümesi = A ∩ B
(f − g)(x)
= f (x) − g(x)
tanım kümesi = A ∩ B
(f g)(x)
= f (x)g(x)
tanım kümesi = A ∩ B
(f /g)(x)
= f (x)/g(x)
tanım kümesi = {x ∈ A ∩ B : g(x) 6= 0}
√
√
Örnek : f (x) = x, g(x) = 4 − x2 ise, f + g, f − g, f g, ve
f /g fonksiyonlarını bulunuz.
√
Çözüm : f (x) = x fonksiyonunun tanım kümesi [0, ∞) dur.
√
g(x) = 4 − x2 fonksiyonunun tanım kümesi, 4 − x2 ≥ 0, yani
x2 ≤ 4 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinden oluşur.
Her iki tarafın kare kökünü alırsak, |x| ≤ 2, veya −2 ≤ x ≤ 2 elde
ederiz.
Dolayısıyla, g fonksiyonunun tanım kümesi [−2, 2] aralığıdır.
f ve g nin tanım kümelerinin kesişimi
[0, ∞) ∩ [−2, 2] = [0, 2]
kümesidir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
66/ 107
Örnek
MAT 1009 Matematik I
67/ 107
Örnek...
√
√
Örnek : f (x) = x, g(x) = 4 − x2 ise, f + g, f − g, f g, ve
f /g fonksiyonlarını bulunuz.
Böylece tanımlardan,
(f + g)(x)
(f − g)(x)
(f g)(x)
f
(x)
g
√
√
= x + √4 − x 2
√
− 4 − x2 √
= x√
√
= 4x − x3
= x√ 4 − x2 r
x
x
=√
=
4 − x2
4 − x2
0≤x≤2
0≤x≤2
0≤x≤2
0≤x<2
buluruz. f /g nin tanım kümesinde g(x) = 0 veren x = ±2
noktalarının olmaması gerektiğinden, f /g nin tanım kümesi [0,2)
aralığıdır.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
67/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
68/ 107
Örnek
Fonksiyonların Bileşkesi
Örnek : f (x) = x2 ve g(x) = x − 3 ise, f ◦ g ve g ◦ f bileşke
fonksiyonlarını bulunuz.
Verilen f ve g fonksiyonları için f ◦ g bileşke fonksiyonu (ya da f
ve g nin bileşkesi),
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
olarak tanımlanır.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
69/ 107
MAT 1009 Matematik I
71/ 107
Örnek
Fonksiyonların Bileşkesi
Örnek : f (x) = x2 ve g(x) = x − 3 ise, f ◦ g ve g ◦ f bileşke
fonksiyonlarını bulunuz.
f ◦ g fonksiyonunun tanım kümesi, g nin tanım kümesindeki, g nin
görüntüsü f nin tanım kümesinde olan x lerden oluşur.
Başka bir deyişle, (f ◦ g)(x), hem g(x) hem de f (g(x)) tanımlı
olduğu zaman tanımlıdır.
Çözüm:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 3) = (x − 3)2
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 − 3
Not : Örnekte görüldüğü gibi, genelde f ◦ g 6= g ◦ f dir. f ◦ g,
önce g sonra f nin uygulanması ile bulunur. Örnekteki f ◦ g
fonksiyonu, önce 3 çıkartan sonra da kare alan fonksiyon iken, g ◦ f
önce kare alan sonra 3 çıkartan fonksiyondur.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
70/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
71/ 107
Örnek
Örnek...
√
√
Örnek : f (x) = x ve g(x) = 2 − x ise aşağıdaki fonksiyonları
ve tanım kümelerini bulunuz.
(a) f ◦ g (b) g ◦ f (c) f ◦ f (d) g ◦ g
p
√
√
(b)
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g( x) = 2 − x
√
x fonksiyonun tanımlı olması için x ≥ 0 olmalıdır.
p
√
√
2 − x fonksiyonunun tanımlı olması için 2 − x ≥ 0 olmalıdır.
√
Bu, x ≤ 2 veya x ≤ 4 olmasını gerektirdiğinden, 0 ≤ x ≤ 4 olur.
Buradan g ◦ f fonksiyonunun tanım kümesi olarak [0, 4] bulunur.
(c)
p√
√
√
x= 4x
(f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f ( x) =
f ◦ f fonksiyonunun tanım kümesi [0, ∞) aralığıdır.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Örnek
MAT 1009 Matematik I
73/ 107
Örnek...
√
√
Örnek : f (x) = x ve g(x) = 2 − x ise aşağıdaki fonksiyonları
ve tanım kümelerini bulunuz.
(a) f ◦ g (b) g ◦ f (c) f ◦ f (d) g ◦ g
Çözüm:
(a)
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
72/ 107
p√
√
√
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( 2 − x) =
2−x= 42−x
f ◦ g fonksiyonunun tanım kümesi
(d)
p
√
√
(g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g( 2 − x) = 2 − 2 − x
Bu ifadenin
tanımlı olması için 2 − x ≥ 0 ya da x ≤ 2 ve
√
2 − 2 − x ≥ 0 olmalıdır.
√
Son eşitsizlik 2 − x ≤ 2 ya da 2 − x ≤ 4 olmasına denktir.
Bu da −2 ≤ x ≤ 2 demek olduğundan, g ◦ g nin tanım kümesi
[−2, 2] kapalı aralığıdır.
{x|2 − x ≥ 0} = {x|x ≤ 2} = (−∞, 2]
dir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
72/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
74/ 107
Örnek
Örnek...
Böylece
Örnek : Verilen F (x) = cos2 (x + 9) için, F = f ◦ g ◦ h olacak
biçimde f , g ve h fonksiyonlarını bulunuz.
h(x) = x + 9
g(x) = cos x
f (x) = x2
olarak alırsak,
(f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))) = f (g(x + 9)) =
f (cos(x + 9)) = [cos(x + 9)]2 = F (x)
elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
75/ 107
Örnek
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
76/ 107
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Örnek : Verilen F (x) = cos2 (x + 9) için, F = f ◦ g ◦ h olacak
biçimde f , g ve h fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm: F (x) = [cos(x + 9)]2 olduğundan F fonksiyonu önce 9 ile
toplama, sonra toplamın kosinüsünü alma ve en sonunda da kare
alma demektir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
75/ 107
Aynı değeri iki kez almayan bir f fonksiyonuna, başka bir deyişle
x1 6= x2 için f (x1 ) 6= f (x2 )
koşuluna sağlayan bir fonksiyona, bire-bir fonksiyon denir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
77/ 107
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Şekil 11 de görüldüğü gibi yatay bir doğru f nin grafiğini birden
fazla noktada kesiyorsa, f (x1 ) = f (x2 ) olan farklı x1 ve x2
olacağından f fonksiyonu bire-bir değildir.
f , tanım kümesi A, görüntü kümesi B olan bire-bir bir fonksiyon
olsun.
f fonksiyonunun tersi, f −1 , tanım kümesi B, görüntü kümesi A
olan ve B kümesindeki her y için
f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y
ile tanımlanan fonksiyondur.
Şekil 11 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
78/ 107
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
80/ 107
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
f −1 in tanım kümesi = f nin görüntü kümesi
f −1 in görüntü kümesi = f nin tanım kümesi.
Bu nedenle, bir fonksiyonun bire-bir olması için aşağıdaki
geometrik ölçütü verebiliriz.
Yatay Doğru Ölçütü Bir fonksiyonun bire-bir olması için gerek ve
yeter koşul, hiç bir yatay doğrunun grafiği bir kezden fazla
kesmemesidir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
79/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
81/ 107
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Birebir fonksiyonun tersini bulmak
Örneğin, f (x) = x3 fonksiyonun tersi f −1 (x) = x1/3
fonksiyonudur.
Eğer y = x3 ise,
f
−1
(y) = f
−1
3
3 1/3
(x ) = (x )
=x
ADIM 1
y = f (x) yazınız.
ADIM 2
Bu denklemde x i y cinsinden çözünüz (olanaklıysa).
ADIM 3 f −1 fonksiyonunu x in fonksiyonu olarak yazabilmek
için x ve y nin yerlerini değiştiriniz. Bu da y = f −1 (x) biçiminde
bir ifade verir.
dir.
Uyarı : f −1 gösterimindeki −1 bir kuvvet değildir. Başka bir
deyişle, f −1 ile 1/f (x) birbirine eşit değildir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
82/ 107
MAT 1009 Matematik I
84/ 107
Örnek
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
Geleneksel olarak x ile bağımsız değişkeni gösterdiğimizden, eğer
f −1 ile çalışıyorsak tanımda x ve y nin yerlerini değiştirip
f −1 (x) = y ⇔ f (y) = x
Örnek : f (x) = x3 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz.
(2)
yazarız.Tanımda y yi ve (2) de x i yerine koyarak, yok etme
kuralları olarak bilinen
f −1 (f (x)) = x
f (f −1 (x)) = x
x∈A
x∈B
formüllerini elde ederiz.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
83/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
85/ 107
Örnek
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
f fonksiyonunun tersini bulma adımlarında x ile y nin yerlerini
değiştirme adımı, bize f −1 fonksiyonunun grafiğini f nin
grafiğinden bulma yöntemini de verir.
Örnek : f (x) = x3 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm: Yukarıda verilen adımlara uyarak, önce
f (a) = b için yeterli ve gerekli
koşul f −1 (b) = a olduğundan,
(a, b) noktasının f nin grafiği
üzerinde olması için yeterli ve
gerekli koşul (b, a) noktasının
f −1 in grafiği üzerinde olmasıdır.
Diğer yandan (b, a) noktasının
y = x doğrusuna göre
yansımasıdır.
y = x3 + 2
yazarız. Sonra, bu denklemi x için çözeriz:
x3 = y − 2
x =
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
√
3
y−2
MAT 1009 Matematik I
85/ 107
Örnek...
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
87/ 107
Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar
f nin grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması, f −1
fonksiyonunun grafiğini verir.
x=
p
3
y−2
Son olarak, x ile y nin yerlerini değiştiririz:
√
y = 3x−2
Dolayısıyla, verilen fonksiyonun tersi f −1 (x) =
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
√
3
MAT 1009 Matematik I
x − 2 dir.
86/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
88/ 107
Örnek
Örnek...
Örnek: Aynı düzlemde f (x) =
grafiklerini çiziniz.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
√
−1 − x fonksiyonunun ve tersinin
MAT 1009 Matematik I
89/ 107
Örnek
Grafiği doğrulama amacıyla, f −1 in ifadesinin, x > 0 için
f −1 (x) = −x2 − 1 olduğuna dikkat ediniz. Dolayısıyla, f −1
fonksiyonunun grafiği, y = −x2 − 1 parabolünün sağ yarı koludur,
ve bu sonuç grafik uyumludur.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
90/ 107
Logaritma Fonksiyonları
√
Örnek: Aynı düzlemde f (x) = −1 − x fonksiyonunun ve tersinin
grafiklerini çiziniz.
√
Çözüm: Önce, y = −1 − x eğrisini (y 2 = −1 − x, ya da
x = −y 2 − 1 parabolünün üst yarı kolu) çizeriz. Daha sonra bunu
y = x doğrusuna yansıtıp, f −1 in grafiğini buluruz.
a > 0 ve a 6= 1 için, f (x) = ax fonksiyonu artan veya azalan
olduğundan, Yatay Doğru Ölçütü gereğince, bire-birdir. Bu
nedenle, tersi f −1 vardır.
Bu fonksiyona a tabanına göre logaritma fonksiyonu adı verilir
ve
loga
ile gösterilir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
89/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
91/ 107
Logaritma Fonksiyonları
Logaritma Fonksiyonları
loga x logaritma fonksiyonunun tanım kümesi (0, ∞), görüntü
kümesi ise R dir. Grafiği ise y = ax fonksiyonunun y = x
doğrusuna göre yansımasıdır.
Ters fonksiyon için
f −1 (x) = y ⇐⇒ f (y) = x
koşulunu kullanırsak,
loga x = y ⇐⇒ ay = x
elde ederiz.
Bu nedenle, 0 < x için loga x, a tabanının x sayısını vermesi için
gerekli olan üssüdür.
Örneğin 10−3 = 0, 001 olduğundan, log10 0.001 = −3 dür.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
92/ 107
Logaritma Fonksiyonları
Şekil 12 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
94/ 107
Logaritma Fonksiyonları
Şekil 12, 1 < a için bir örnektir. ( En önemli logaritma
fonksiyonlarının tabanı a > 1 dir.)
Yok etme kuralları f (x) = ax ve f −1 (x) = loga x özelinde
kullanılırsa
loga (ax ) = x ,
aloga x = x ,
0 < x için y = ax
fonksiyonu çok artan bir
fonksiyon olduğundan,
1 < x değerleri için
y = loga x fonksiyonu çok
yavaş artan bir
fonksiyondur.
x∈R
x > 0 elde edilir.
Şekil 13 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
93/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
95/ 107
Logaritma Fonksiyonları
Doğal Logaritma
e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve özel bir
göseterime sahiptir:
Şekil 13, a sayısının farklı değerleri için loga x fonksiyonlarının
grfiklerini vermektedir.
loge x = ln x
doğal logaritma fonksiyonunu tanımlayan özellikler
loga 1 = 0 olduğundan, tüm logaritma fonksiyonlarının grafikleri
(1, 0) noktasından geçerler.
ln x = y ⇐⇒ ey = x
ln(ex ) = x
eln x = x
x∈R
x>0
biçimini alır.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
96/ 107
Logaritma Kuralları
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
98/ 107
Doğal Logaritma
Özel olarak x = 1 alırsak,
x ve y pozitif sayılar için
1
2
3
ln e = 1
loga (xy) = loga x + loga y
x
= loga x − loga y
loga
y
loga (xr ) = r loga x (Burada r gerçel sayıdır.)
elde ederiz. Herhangi tabana göre logaritmayı aşağıdaki gibi ifade
edebiliriz.
ln x
,
ln a
a > 0, a 6= 1
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
loga x =
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
97/ 107
99/ 107
Örnek
Doğal Logaritma
Üstel fonksiyon y = ex in ve tersi doğal logaritma fonksiyonunun
grafikleri Şekil 14 de gösterilmiştir. y = ex eğrisi, y− eksenini 1
eğimle kestiğinden, y = ln x eğrisi, x− eksenini 1 eğimle keser.
Örnek: y = ln(x − 2) − 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Şekil 14 te verilen y = ln x fonksiyonunun grafiğini sağ
tarafa iki birim kaydırarak y = ln(x − 2) grafiğini, sonra da aşağıya
bir birim kaydırarak y = ln(x − 2) − 1 fonksiyonunun grafiğini elde
ederiz.
Şekil 14 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
100/ 107
Örnek
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
101/ 107
Doğal Logaritma
Artan bir fonksiyon olan ln x, 1 < x değerleri için çok yavaş artar.
ln x, x in tün pozitif kuvvet fonksiyonlarından daha yavaş büyür.
√
Bu gerçeği görmek için y = ln x ve y = x1/2 = x fonksiyonlarının
grafikleri Şekil 15 ve 16 da çizilmiştir. Başlangıçta iki fonksiyon da
benzer davranış gösterirken, daha sonra kök fonksiyonunun
logaritmadan daha hızlı büyüdüğü görülmektedir.
Örnek: y = ln(x − 2) − 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Şekil 15 :
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
101/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
Şekil 16 :
MAT 1009 Matematik I
102/ 107
Parametrik Eğriler
Parametrik Eğriler
Bir parçacığın Şekil 17 deki C eğrisi üzrinde hareket ettiğini
varsayalım.
t ile gösterilen parametrenin her zaman zamanı göstermesi şart
değildir ve aslında parametre için t den başka harfide
kullanabilirdik.
Yinede çoğu uygulamada t zamanı gösterir ve bu nedenle,
(x, y) = (f (t), g(t)) gösterimini bir parçacığın t zamanındaki
konumu olarak yorumlayabiliriz.
x = f (t)
Şekil 17 :
C eğrisi, Düşet Doğru Ölçütü nedeni ile y = f (x) gibi bir
denklemle betimlenemez. Ama parçacığın x− ve y− koordinatları
zamanın fonksiyonlarıdır, ve dolayısıyla x = f (t) ve y = f (t)
yazabiliriz.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
y = g(t)
a6t6b
parametrik denklemleri ile betimlenen eğrinin başlangıç noktası
(f (a), g(a)), bitiş noktası ise (f (b), g(b)) dir.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
103/ 107
MAT 1009 Matematik I
105/ 107
Örnek
Parametrik Eğriler
Böyle bir denklem çifti, bir eğriyi betimlemek için çoğu zaman
uygun bir yoldur ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
x ve y üçüncü bir değişken ( parametre olarak adlandırılan) t nin
fonksiyonları olarak
x = f (t)
Örnek: Parametrik denklemleri x = cos t, y = sin t, 0 6 t 6 2π
olan eğriyi bulunuz.
y = g(t)
(parametrik denklemler olarak adlandırılan) denklemleriyle
verilmiş olsun.
t nin her değeri düzlemde bir (x, y) noktası belirler. t değiştikçe
(x, y) = (f (t), g(t)) noktalarıda değişir ve bir C eğrisi izler.
Böyle tanımlanan eğrilere parametrik eğri diyeceğiz.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
104/ 107
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
106/ 107
Örnek
Örnek: Parametrik denklemleri x = cos t, y = sin t, 0 6 t 6 2π
olan eğriyi bulunuz.
Çözüm: Üzerinde belirleyeceğimiz noktaları birleştirerek fikir sahibi
olabileceğimiz bir eğrinin bir daire olabileceği anlaşılıyor. Bu savı
doğrulamak için yine parametre t yi yok edelim.
x2 + y 2 = cos2 t + sin2 t = 1.
Buna göre, (x, y) noktası birim çember x2 + y 2 = 1 üzerinde
hareket eder.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
106/ 107
Örnek...
Bu örnekte parametre t, Şekil 18 de gösterildiği gibi, (radyan
olarak ölçülen) açı olarak yorumlanabilir.
Şekil 18 :
t değerleri 0 dan 2π ye artarken, (x, y) = (cos t, sin t) noktası
çemberin üzerinde (1,0) noktasından başlayıp saat yönünün tersi
yönünde bir kere dolanır.
Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak
MAT 1009 Matematik I
107/ 107

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Bir Fonksiyonun Dört Farklı

Products

Support

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Bir Fonksiyonun Dört Farklı

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib