14.12 Oyun Teorisi

14.12 Oyun Teorisi
Muhamet Yıldız
Güz 2005
Ders 10: Alt-oyun Mükemmel Dengesi ve Uygulamaları
Yol haritası
1. Pazarlık - Geriye doğru tümevarım tamamlanması
2. Alt-oyun Mükemmel Dengesi
(a) Motivasyon
(b) Alt oyun nedir?
(c) Tanm
(d) Örnek
3. Ufak sınav
4. Pazarlık devam - Alt-oyun mükemmel denge
1
•Accept iff x2n-1 t G
•Offer (GG
•Accept iff y2n t 0.
•Offer (0,1).
i
t+1 gününde i’nin payı= Vt+1
The share of i at t+1 =
"! #1
Equilibrium
Behavior
" G"
!
1
1
! 1
"2
1 G" 1
! 1
1
• The proposer makes! an offer
that
·
§ G"!makes
¨ 21 ¸
¸
¨
1
the responder indifferent
between
© G"! 1 ¹
(xt,yt)
2
2
Reject
accepting
rejecting the offer;
(xt-1,yt-1and
)
1
Reject
• The responder accepts theAccept
offer.(Gxt,Gyt)
Accept
(xt-1,yt-1)
• The game end in the
first round: Proposer
makes
an offer and the 1other party2 1
"!11 1 G"! 2 1 G 1 G"! 1 1 G G "! 1
accepts
it. 2
2
"! 1
G"! 1
5
#21" 2 ! 1 1 G G 2#121"2G! 1 G 2#21" 2 ! 3
1 G G 2 1 G G 4#121" 2G! 3 G 2#21" 2 ! 5
.
.
.
1 G G 2 1 G G 4 1 G G 6#21" 2 ! 5
1 G 1 G 2 G 4 G 2 ! 1 G 2! 1
1G
6
2
n=2
%&
/&
!./01%#2/01%$
!./0#2/0$
/&
,)-)(+
'(()*+&
%&
!"#"$
,)-)(+
'(()*+&
!G./0#G2/0$&
!./01%#2/01%$&
'+&+&3&/01%#&
'+&+&3&/0#&
4'(()*+&566 ./01%& t G
4'(()*+&566&2/0&t "7&
Zaman dizgisi
- ∞ periyot
4866)9&!GG
4866)9&!"#%$7&
T = {1, 2, ..., n − 1, n..}
Eğer t tek sayıysa:
• 1. oyuncu (xt , yt ) önerir
• 2. oyuncu kabul eder ya da reddeder
• Eğer kabul ederse, oyun biter, δ t (xt , yt ) sonucu çıkar
• Aksi durumda, t+1 gününe devam ederiz.
3
Eğer t çift sayıysa:
• 2. oyuncu (xt , yt ) önerir
• 1. oyuncu kabul eder ya da reddeder
• Eğer kabul ederse, oyun biter, δ t (xt , yt ) sonucu çıkar
• Aksi durumda, t+1 gününe devam ederiz.
Bir Oyun
"#$%&'
#
(
/
*
(
0+123
.
)
+#
,
-
041(3#
,
051+3
06(153
0(173
)%89:%;<#=><?8@=A>
4
B C%>#D'#%EEF='<#A>FG#=>#E';H'8@#=>HA;&%@=A>#
$%&'I#AH#H=>=@'#JA;=KA>L
MA:#8%>#:'#'N@'><#@J=I#>A@=A>#@A#=>H=>=@'#
Geriye doğru tümevarm
Sadece sonlu ve kusursuz bilgili oyunlarda uygulanabilir.
Bunu sonsuz uzunluktaki oyunlara veya kusurlu bilgili oyunlara nasıl genelleyebiliriz?
Bir alt-oyun
Bir alt-oyun, kendi başına bir oyun olarak düşünülebilen
ve ana oyunun bir parçası olan bir oyundur.
• Tek bir başlangıç noktası olmalıdır,
• Başlangıç noktasından itibaren tüm karar noktaları
kapsamalıdır,
• Eğer bir karar noktası bir alt-oyunda ise, bu noktayı
kapsayan tüm bilgi kümesi de bu alt-oyunun içinde
olmalıdır.
5
Bir oyun
"#'()*
>
"
?
@
Į
į
AB=BC
>
(
A>=D!C
4
A!=?C
AE=EC
!
ve alt-oyunları
"#$%&'(%()*+,-.(
0 ,
/01234
6
$
Į
į
/5154
0 ,
$
/3164
/5154
6
"%+,-.
%
0
/01234
Bir oyun
"%+,-.
%
0
<
8
0
/61!4
;
7
6%
9
/=104%
:
/5164
9
/20154
:
/0134
!
Tanımlar
Bir alt-strateji, bir stratejinin bir alt-oyundaki izdüşümüdür.
Bir alt-oyun mükemmel Nash dengesi, alt-strateji vektörü
her alt-oyunda Nash dengesi olan bir Nash dengesidir.
7
Örnek
<=/47:#
+
>
<
@
>
EJFAH
D
EAFGH
?
A+
B
EIF>H+
C
B
EJFAH
E6>FJH
C
E>FKH
!
8
Geriye doğru tümevarım benzeri bir metod
!"#$%&'()*(#)%+,-./0&0).+1%/%&)*(#)%+,./0&)%+2&
30)%+,-./0&)(4(&)5%6$)7"&'"6(&(&)$"6"8+%/2&
9+,-./0&0&)*%:+%&'24)&.;,%62&%<)*0)5%6$)
7"&'"6(&(&);%=%&4+%#2&2)%,%/2&
DB",
9+,-./0&0)"+"/(&
A.&).+1%/%&)&.;,%)B%#)12C
!%/2#
!"#$%&'()*(#)>%+,-./0&?)5%6$)
@"&'"6(&(&)8%#4%62).+%#%;)$"6%8+%&%&
)"/+"1+"#)
9
Teorem
Sonlu ve kusursuz bilgili bir oyunda, alt-oyun mükemmel
dengelerin kümesi, geriye doğru tümevarımla hesaplanmış
strateji vektörlerinin kümesidir.
Bir alt-oyun mükemmel denge?
"#$%&'()*+,*-.*/0#*1%232&-2%)4
#
7
5
<8=>?
;
6
8#
9
:
<@=5?#
<A=8?
9
<+5=A?
:
<5=B?
;2)*32C*#D f ,*-2EF
;#G#H5=8=I=#C+5=C=IJ
K.#0#2$#EFF=
D
D
D
L3(M*-#5#E..*-$#$E)*#
<N0=M0?=
L3(M*-#8#"//*,0#E-#
:*O*/0$#0P*#E..*K.#0P*#E..*-#2$#"//*,0*F=#
0P*#'()*#*CF$#M2*3F2C'#
G0<N0=M0?=
K.#0#2$#*U*C
10 D L3(M*-#8#E..*-$#$E)*#
<N0=M0?=
D L3(M*-#5#"//*,0#E-#:*O*/0$#
0P*#E..*D K.#0P*#E..*-#2$#"//*,0*F=#
0P*#'()*#*CF$#M2*3F2C'#
,(ME..#<N0=M0?=
Zaman dizgisi - ∞ periyot
T = {1, 2, ..., n − 1, n..}
Eğer t tek sayıysa:
• 1. oyuncu (xt , yt ) önerir
• 2. oyuncu kabul eder ya da reddeder
• Eğer kabul ederse, oyun biter, δ t (xt , yt ) sonucu çıkar
• Aksi durumda, t+1 gününe devam ederiz.
Eğer t çift sayıysa:
• 2. oyuncu (xt , yt ) önerir
• 1. oyuncu kabul eder ya da reddeder
• Eğer kabul ederse, oyun biter, δ t (xt , yt ) sonucu çıkar
• Aksi durumda, t+1 gününe devam ederiz.
11
#
%&'&$#&( $)&( !&
’
#
%&'&$#&(
! $)&(
G $ # !!& ! G $ " !
’
!
of
$!
"
o
! G
! G
! G
! G $ # ! ! G $ " !
!
" of
$!

o
!A
G SPE:!*%&+,-.&%/&
G
! G
Bir ATD:
Her
t
anında,
0 123134+2 355+24&GG %3&%.+&3%.+2
A SPE:
0 *%&+,-.&%/&
,#6&)++14&!G 532&.784+95:
•0 123134+2
teklif
veren,
diğer oyuncuya
δ/(1 + δ) önerir
355+24&GG
%3&%.+&3%.+2
0 2+413#6+2&,--+1%4&,#&355+2&755
0
532&.784+95:<
0,#6&)++14&!G
4.+&;+%4&,%&9+,4%&GG
ve 1/(1 + δ) yı kendisine ister
0 2+413#6+2&,--+1%4&,#&355+2&755
0
4.+&;+%4&,%&9+,4%&GG <
• teklifi alan teklifi kabul eder ancak ve ancak
en az δ/(1 + δ) alırsa.
=,#)&>?#
Banka
!
=,#)&>?#
@
$ !
@
$
@
B2/2C
B2/2C
>&E&A&E&2&E&AF$
A@
>&E&A&E&2&E&AF$
A@
@
A@
A@
@
!
BA/$2DAC B$2DA/AC A@
A@
@
@
BA/$2DAC B$2DA/AC
@
$
@ B>/>C
B>/>C
$
@
!
A@
A@
A@
@
A@
A@ B>/>C
B$>DA/AC
A@
@ BA/$>DAC
B$>DA/AC BA/$>DAC
B>/>C
!"
12
!"