OLASILIaGA G˙IR˙IS I DERS˙I

OLASILIĞA GİRİŞ I DERSİ
ÖDEV 4 ÇÖZÜMLER
2.
Cevap 1. Ω = {a, b, c, d} ise Ω nın kuvvet kümesi:
P(Ω) =
{Ω, ∅, {a} , {b} , {c} , {d} , {a, b} , {a, c} , {a, d} ,
{b, c} , {b, d} , {c, d} , , {a, b, c} , {a, b, d} , {b, c, d}}
şeklindedir ve kuvvet kümesi P(Ω), σ −cebir olabilmenin üç şartınıda sağlamaktadır.(En büyük sigma cebir) A = {{a}} bir sınıf olmak üzere bu sınıfı kapsayan
iki σ − cebir
U1
U2
= {Ω, ∅, {a} , {a}c }
= P(Ω)
şeklinde yazılabilir. A = {{a}} yı kapsayan en küçük σ − cebir yani σ(A)
c
σ(A) = {Ω, ∅, {a} , {a} }
dir.
Cevap 2. Ω = {a, b} olsun.
{Ω, ∅, {a} , {b} , {{a} , {b}} , {∅, {a}} , {Ω, {a}} , ,
S = {A : A, Ω da bir sınıf} = {∅, {b}} , {Ω, {b}} , {Ω, ∅} , {Ω, ∅, {a}} , {Ω, ∅, {b}} ,
{∅, {a} , {b}} , {Ω, {a} , {b}} , {Ω, ∅, {a} , {b}}}
dir. S nin elemanlarından
U1
U2
= {Ω, ∅}
= {Ω, ∅, {a} , {b}}
n
olmak üzere 2 tanesi σ − cebir dir. Ω nın eleman sayısı n (Ω) ise Ω da 22 − 1
tane sınıf oluşturulabilir.
Cevap 3.
Ω = {a, b, c, d} olmak üzere
A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b, c, d}}
1
sigma cebir değildir.Çünkü {a} ∈ A olmasına karşın {a}c = {b, c, d} ∈
/ A
olduğundan σ − cebir in tanımındaki ikinci şart bozulur.
Ω = R olmak üzere
A = {∅, R}
bir sigma cebirdir ve bu R deki en küçük sigma cebirdir.
Ω = N olmak üzere
A = P(N)
Ω = N nin kuvvet kumesi olduğundan bir sigma cebirdir ve bu N deki en büyük
sigma cebirdir.
Ω = R olmak üzere
A = P(N)
N nin kuvvet kumesidir Rnin değildir. Bu nedenle kuvvet kümesi diye sigma cebirdir demek hatalı olabilir. Nitekim {1} ∈ A olmasına karşın {1}c = (−∞, 1) ∪
(1, ∞) ∈
/ A olduğundan σ − cebir in tanımındaki ikinci şart bozulur. P(N), R
de σ − cebir değildir.
Ω = R olmak üzere
A = {{x} : x ∈ R}
c
sınıfı için {1} ∈ A olmasına karşın {1} = (−∞, 1) ∪ (1, ∞) ∈
/ A olduğundan
σ − cebir in tanımındaki ikinci şart bozulur.A = {{x} : x ∈ R}, R de σ − cebir
değildir.
Ω = R olmak üzere
A = B1
sigma cebir değildir.Çünkü a, b ∈ R, a < b için (a, b) ∈ B1 olmasına karşın
(a, b)c = (−∞, a] ∪ [b, ∞) ∈
/ B1 olduğundan σ − cebir in tanımındaki ikinci şart
bozulur.
3. B1 , R deki açık aralıkların sınıfı, B, R de Borel Cebiri, a, b ∈ R ve a < b
olmak üzere Borel Cebrinin bazı elemanları aşağıdaki gibi elde edilebilir:
µ
µ
¶
¶
1
1
1
1
a+ ,b +
a + ,b +
∈ B1 , n = 1, 2, . . . =⇒
∈ B, n = 1, 2, . . .
n
n
n
n
µ
¶
T∞
1
1
a
+
,
b
+
∈B
=⇒
n=1
n
n
=⇒
(a, b] ∈ B
Yukarıda 1. satırın yazılma nedeni: Borel Cebri R deki açık aralıkların
sınıfını kapsayan en küçük σ − cebir olması sebebiyle B ⊃ B1 dir. 1. satırdan
2
2. satıra Teorem 7(b) kullanılarak geçilmiştir.
µ
µ
¶
¶
1
1
1
1
a− ,b −
a − ,b −
∈ B1 , n = 1, 2, . . . =⇒
∈ B, n = 1, 2, . . .
n
n
n
n
µ
¶
T∞
1
1
=⇒
a
−
,
b
−
∈B
n=1
n
n
=⇒
[a, b) ∈ B
Yukarıda 1. satırın yazılma nedeni: Borel Cebri R deki açık aralıkların
sınıfını kapsayan en küçük σ − cebir olması sebebiyle B ⊃ B1 dir. 1. satırdan
2. satıra Teorem 7(b) kullanılarak geçilmiştir.
µ
µ
¶
¶
1
1
−n, a −
−n, a −
∈ B1 , n = 1, 2, . . . =⇒
∈ B, n = 1, 2, . . .
n
n
µ
¶
S∞
1
−n,
a
−
∈B
=⇒
n=1
n
=⇒
=⇒
=⇒
(−∞, a) ∈ B
[a, ∞) ∈ B
Yukarıda 1. satırın yazılma nedeni: Borel Cebri R deki açık aralıkların
sınıfını kapsayan en küçük σ − cebir olması sebebiyle B ⊃ B1 dir. 1. satırdan
2. satıra σ − cebir tanımındaki koşul (iii) kullanılarak geçilmiştir. 3. satırdan 4.
satıra σ − cebir tanımındaki koşul (ii) kullanılarak geçilmiştir. Buradan şöyle
bir sonuç daha çıkmaktadır:(−∞, a) ∈ B ve [a, ∞) ∈ B ve B de Borel sigma
cebiri olduğundan Teorem 7(c) den (−∞, a) ∪ [a, ∞) = R ∈ B dir. Teorem 7(a)
dan da ∅ ∈ B yazılabilir.
µ
µ
¶
¶
1
1
a + , n ∈ B1 , n = 1, 2, . . . =⇒
a + , n ∈ B, n = 1, 2, . . .
n
n
¶
µ
S∞
1
=⇒
n=1 a + , n ∈ B
n
=⇒
(a, ∞) ∈ B
=⇒
(−∞, a]
Yukarıda 1. satırın yazılma nedeni: Borel Cebri R deki açık aralıkların
sınıfını kapsayan en küçük σ − cebir olması sebebiyle B ⊃ B1 dir. 1. satırdan 2. satıra σ − cebir tanımındaki koşul (iii) kullanılarak geçilmiştir. 3.
satırdan 4. satıra σ − cebir tanımındaki koşul (ii) kullanılarak geçilmiştir.
Böylece, (a, b] , [a, b) , (−∞, a) , [a, ∞) , (a, ∞) (−∞, a] , R, ∅ ∈ B olduğu gösterilmiştir. Bir Hatırlatma: Derste a ∈ R olmak üzere {a} ∈ B ve a, b ∈ R, a ≤ b
olmak üzere [a, b] ∈ B olduğu ispatlanmıştır.
3
4. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve U = {{1} , {3} , {5} , {2, 4, 6}} olmak üzere U
sınıfını kapsayan en küçük σ − cebir (σ (U)) aşağıdaki gibidir:
σ (U) = {{1} , {3} , {5} , {2, 4, 6} , Ω, ∅, {2, 3, 4, 5, 6} , {1, 2, 4, 5, 6} , {1, 2, 3, 4, 6} ,
{1, 3, 5} , {1, 3} , {1, 5} , {2, 4, 5, 6} , {2, 3, 4, 6} , {3, 5} , {1, 2, 4, 6}}
4