ÖZ DEĞERLER VE ÖZ VEKTÖRLER

ÖZ DEĞERLER VE ÖZ
VEKTÖRLER
Öz değer problemi Ax =  x
lineer sistemi X = 0 dışında
çözümlere sahip olacak şekilde 
sayılarının belirlenmesini gerektirir.
Bu sayılara Öz değerler denir. Buna
karşılık gelen çözümlere de öz
vektörler denir. Bu bölümde öz
değerler ve öz vektörlerle ilgili
nümerik çözüm yöntemleri ele
alınacaktır
A   a jk  ,
1)Öz değerler hakkında genel bilgi
2) Kuvvet iterasyon yöntemi
3) House-holder 3’lü köşegenleştirme yöntemi
4) QR çarpanlarına ayırma yöntemi.
nxn tipindeki bir matris ve x de n bileşenli bir vektör olsun.
Bu durumda,
Ax =  x (1.1)
olacak şekilde  skalerleri ve sıfırdan
farklı x vektörlerini bulma problemine, öz değer -öz vektör problemi ve  skalerlerine
de A matrisinin öz değerleri yada karekteristik değerleri denir. Genel olarak  skalerleri
ve x vektörleri kompleks elemanlı olabilirler. A matrisinin tüm öz değerlerinin kümesine A nın
spektrum'u (spectrum) denir. Dikkat edilirse (1.1) denkleminde Ax çarpımı x
vektörünü yine kendi skaler katına dönüştürmektedir. Bundan dolayı (1.1) denklemi
(A-  I)x = 0
(1.2)
şeklinde yazılabilir. Burada I , nxn tipinde birim matristir. (1.2) sistemi homojen bir sistem
olup bu sistemin sıfır çözümü her zaman vardır. Sıfırdan farklı çözüm olabilmesi için karekteristik
determinant
det(A-
 I) = 0
olmalıdır. Dikkat edilirse bu determinant hesaplandığı zaman  ya göre n.dereceden bir
polinom elde edilir, bu polinoma karekteristik polinom denk. Bu polinomun kökleri

öz
değerleridir. Biz genellikle A matrisinin öz değerlerini :
 1 ,  2 , ………,  n
şeklinde göstereceğiz.
Örnek. Aşağıdaki matrisin öz değerleri ve öz vektörlerini bulunuz.
A =
2
1
1
2
3
4
1 1  2
Çözüm. Bir A matrisinin öz değer ve öz vektörlerinin, sırasıyla Ax =

 x denklemini sağlayan
sayıları ve x vektörleri olduğunu biliyoruz. Bu eşitlikten (A -  I)x = 0 ve bu da bir
homojen denklem sistemi olduğundan
sıfırdan farklı çözümünün var olabilmesi için | A-  I|=0 sonucuna varılır. Buna göre:
0=[A -  I ]x =
2
1
1
2
3
4
1
1
2
=(  -1 )(  -1 ) (3 +  )
olur. Buradan verilen matrisin öz değerleri :
1  1, 2  1, 3  3
olarak bulunur.
 1 ,  2 ,  3 öz değerlerine karşılık gelen öz vektörleri bulmak için bu öz değerleri tek
tek (A -
 I)x = O denklem sisteminde yerine koyup, elde edilen denklem sistemlerini çözeceğiz.
 1 = l için:
 x1   0 
2
3
4  x2  =  0 
 
 1  1  2  x3   0 
2
A =
1
1
olur. Buradan :
 x1   1
x1 =  x2  = 1 
 
 x3   0 
elde edilir. Benzer işlemlerle,
x2
0 
= 1 
 
 1
1
ve
= -l ve
x3
 3 = 3 için de
2 
= 3 
 
 1
öz vektörleri bulunur
l.Tanım. B matrisi nxn tipinde bir matris olsun. Eğer
B  T 1 AT
olacak şekilde bir T matrisi varsa B matrisi A matrisine benzerdir denir.
l .Teorem. Benzer matrislerin öz değerleri aynıdır. Eğer x , A matrisinin
özvektörü ise, y = T-1x de B matrisinin öz vektörüdür.
1
t
2.Tanım. nxn tipindeki bir A matrisi için A  A ise, A
matrisine ortogonal matris denir.
2.Teorem. Öz değer ve öz vektörlerle ilgili aşağıdaki özellikler vardır.
(a) A matrisi tekil ise en az bir öz değer sıfırdır. A matrisi tekil değilse tüm
öz değerler sıfırdan farklıdır.
(b) Birim matrisin bütün öz değerleri l dir.
(c) A köşegen bir matris ise, öz değerler köşegen elemanlarıdır.
(d) A simetrik bir matris ise tüm öz değerleri reel dir.
(e) A Hermitsel bir matris ise tüm öz değerleri reel dir.
1
(f) A matrisin öz değeri, A nın öz değerinin tersine eşittir.
(g) Reel simetrik bir matrisin tüm öz vektörleri karşılıklı ortogonaldir.
t
(h) A ve A matrislerinin öz değerleri aynıdır.
(i) Eğer bir A matrisinin
 öz değerine karşılık gelen öz vektörü v ise,
c bir sabit olmak üzere cv de A matrisinin öz vektörür.
A  a jk  , n  n tipinde bir matris ve
7. Teorem. (Schur teoremi):
A  a jk  nın öz değerleri de 1........n olsun. Bu durum da
n
n
n
|  |  | a
2
i 1
j 1 k 1
jk
|2
olur.
Örnek: Aşağıda verilen matrisin öz değerlerini bulunuz ve bu öz değerler için Schur
eşitsizliğini kullanarak bir sınır bulunuz.
 26 2 2 


A =  2 21 4 
 4 2 28 


Çözüm: verilen matrisin öz değerleri
1  30, 2  25, 3  20 olarak bulunur.
Schur eşitsizliğinden
|  |
1949
302  252  202  1925
Buradan
1925<1949 elde edilir
elde edilir.
olarak bulunur.
.