cos ∙ ∙ = dF W

BÖLÜM 7
İŞ VE KİNETİK ENERJİ
ĠĢ ve
• Enerji kavramı (ve enerjinin korunumu), en önemli
fizik konularından birisidir.
Kinetik Enerji
KONULAR
1. Sabit kuvvetin yaptığı iĢ
2. Ġki vektörün skaler çarpımı
3. DeğiĢken bir kuvvetin yaptığı iĢ
4. Kinetik enerji ve ĠĢ-kinetik enerji teoremi
6. Güç
• Enerji, genel olarak iş yapabilme yeteneği olarak
bilinir.
• Buraya kadar bir parçacığın konumu, hızı, ivmesi
ve parçacığa etki eden kuvveti Newton un ikinci
yasasından yararlanarak anlamaya çalıştık. Her
problem Newton un ikinci yasası ile
çözümlenemez. Bazen başka yolları denemek
lazım. Bu çözüm yollarından biriside enerjidir.
Rüzgar tarlasında hareket eden hava yelpaze
üzerine iş yapar ve elektrik motorunun rotorunu
döndürür. Enerji rüzgar değirmeni sisteminden
elektrik enerjisine dönüşür.
Sabit bir kuvvetin yaptığı Ġġ
Hız, ivme, kuvvet ve benzeri fizik terimleri günlük hayatımızda aynı
anlamda kullanırız. Fizikte iş günlük hayatımızdaki anlamından farklı
kullanılır.
AĢağıdaki resimde tahta silgisi görülmektedir. Silgi yatay düzlem
üzerinde farklı açılarda aynı büyüklükte kuvvetler ile kaydırılmaya
çalıĢılmaktadır. (Üç farklı yönde aynı büyüklükte F kuvveti uygulanıyor)
Sabit bir
kuvvetin yaptığı
Ġġ
(bir fizikçi tanımıyla)
Eğer bir kuvvet cisme uygulandığında onun konumunu değiĢtiriyorsa
cisim üzerine iĢ yapılmıĢ olur.
a) Silgi kaydırılabilir
(Zor hareket)
b) Silgi kaydırılabilir
(Kolay hareket)
c) Silgi kaydırılamamaktadır.
(Hareket yok)
Bir kuvvetin iĢ yapıyor olması için büyüklüğü ve yönü önemli.
Tanım: Bir cisim net bir F kuvvetinin etkisiyle d
yerdeğiĢtirmesi yaparsa, bu kuvvetin yaptığı iĢ:
W  F  d  cos 
1
Ağırlık kaldırmayla yapılan iş!
En güçlü adam taĢı kaldırıyor ve yatay olarak d kadar
uzağa götürüyor.
a) Adamın taĢ üzerinde yaptığı iĢ nedir?
b) Kütle-çekim kuvvetinin taĢ üzerinde yaptığı iĢ nedir?
W  F  d  cos 
a) TaĢ mg ağırlığında bir kuvvetle h kadar kaldırıldığında, düĢey
yerdeğiĢtirme sırasında yapılan iĢ W=Fdcos0=mgh dır. Yatay
yerdeğiĢtirme sırasında taĢa uygulanan kuvvet dik olduğundan
yapılan iĢ sıfırdır. Yapılan net iĢ=mgh dır.
b) DüĢey yerdeğiĢtirme sırasında yerçekimi kuvveti yerdeğiĢtirmeye
ters olduğundan taĢ üzerinde yaptığı iĢ W=-mgh dır. Yatay
yerdeğiĢtirme sırasında yapılan iĢ sıfırdır.
TaĢ üzerinde yapılan toplam iĢ W=mgh-mgh=0 olur.
Ġġ KAVRAMI HAKKINDA
•
•
•
•
İş bir enerji aktarımıdır.
İş skaler bir niceliktir (vektör değil)
Birimi (SI sistemde) Joule (J)(=Newton-metre)
Bir cisim bir çok kuvvetin etkisinde sabit yada değişken hızla
hareket ediyorsa, yapılan toplam iş, tüm kuvvetlerin yaptığı iş
miktarlarının cebirsel toplamıdır. Yada


Wtoplam  Fnet  d net
İşaret geleneği:
W pozitif:
Eğer F ve d paralelse
Eğer enerji sisteme (cisme) aktarılırsa
SABĠT BĠR KUVVETĠN
YAPTIĞI Ġġ
F = 10 N
Blok sürtünmesiz ortamda
yatay yerdeğiştirme
yaparsa
• kütle çekim kuvveti
• normal kuvvet
• F kuvveti
tarafından yapılan iş nedir?
 = 60°
d = 10m
Sürtünmesiz yatay düzlemdeki bu cisme etki eden kütle
çekim kuvveti ve n normal kuvveti cisim üzerinde bir iş
yapmıyorlar.
Cisim üzerinde iş yapan tek kuvvet F kuvvetidir.
W=(10)(10)cos60=50 Newton-metre
ÖRNEK:
Bir eşek yatayla 30º açıda F = 500 N
büyüklüğünde bir kuvvetle bir yük
arabası çekiyor.
500
N
Yük arabası 1 mil (1648 m) çekildiğinde
eşek tarafından yapılan işi hesaplayın.
ÇÖZÜM:
W  F  d  cos 
W  (500)(1648) cos 30
W  713605 J
W negatif:
Eğer F ve d anti paralelse
Eğer enerji sistemden dışarı aktarılırsa
2
DEĞĠġKEN BĠR KUVVETĠN YAPTIĞI Ġġ
ÖRNEK:
x-y düzleminde hareket eden bir parçacık, F = (5.0i + 2.0j) N luk sabit bir
kuvvetin etkisiyle d = (2.0i + 3.0j) m lik yerdeğiştirme yapıyor.
(a) Yerdeğiştirme ve kuvvetin büyüklüklerini hesaplayın.
(b) F Tarafından yapılan işi hesaplayın.
(c) F ve d arasındaki açıyı hesaplayın.
ÇÖZÜM:
(a)
d
(c)
x
Bu ifade iĢaretli dikdörtgenin alanıdır. Fx in x ile değiĢen ifadesini bu tür
dikdörtgenlere bölersek yapılan toplam iĢ:
xs
x 2  y 2  2 2  32  3.6 m
W   Fx x
F  Fx2  Fy2  52  2 2  5.4 N
(b)
Bir cisim x ekseni üzerinde xi ‘den xs ‘ye yerdeğiĢtirsin. Ancak kuvvet Ģekildeki gibi
değiĢkense öğrendiğimiz iĢ denklemini, sabit kuvvet altında geçerli olduğundan
kullanamayız.
ġekildeki gibi küçük bir x yerdeğiĢtirmesi için kuvvet yaklaĢık olarak sabittir. Bu
durunda bu küçük x yerdeğiĢtirmesi için kuvvetin yaptığı iĢ: W  F x
xi
Alan
W  F  d  (5i  2 j)  (2i  3j)
 5i  2i  5i  3j  2 j  2i  2 j  3j
 10  0  0  6  16 Nm  16 J
A  B  AB cos 
Ġġ
16
  cos
 35
(3.6)(5.4)
1
xs
Bir Yayın Yaptığı İş
DEĞĠġKEN BĠR KUVVETĠN YAPTIĞI Ġġ
x yerdeğiştirmeleri sıfıra yaklaştırılırsa toplamdaki
terimlerin sayısı sonsuza gider. Ancak toplamın değeri
Fx eğrisi altındaki alana eşit olur:
Bu belirli integral sayısal olarak F x in x’e göre değişim
eğrisinin altındaki alana, xi - xs arası için, eşittir.
O halde cismin xi den xs’a yerdeğiştirmesi halinde F x
kuvvetinin yaptığı iş:
Bir parçacık üzerine birden fazla kuvvet etki ederse
yapılan iş bileşke kuvvetin yaptığı iştir:
xs
xs
xs
xi
xi
lim  Fx x   Fx x
x 0
xs
DeğiĢken
W   Fx dx kuvvetin
yaptığı iĢ
xi
W  W
net
Alan
xs
   Fx dx
xi
Yay gerilir yada sıkıĢtırılırsa cisim üzerine
uygulanan kuvvet:
Fs  k  x
Ġġ
xs
xs
İş; Fx - x eğrisi
altında kalan
alana eşittir.
ĠĢareti: yayın etkidiği kuvvet ile
yerdeğiĢtirme zıt yönlüdür
k: yay sabiti (sert yay için büyüktür)
x: cismin yerdeğiştirmesidir.
3
ÖRNEK 7.6 Yayın kuvvet
sabitinin bulunması
Kuvvetin Yay üzerine Yaptığı İş
Bir m kütlesi yaya asılınca yay d
kadar gerilir ve dengeye gelir. Yukarı
doğru olan yay kuvveti aşağı doğru
olan mg kuvvetiyle dengelenir.
m kütlesini biliyorsak d mesafesini
ölçerek yayın kuvvet sabiti bulunur.
Yayı xi=0 ‘dan xs=xmax’a yavaşça
geren bir dış kuvvet Fuy ise, bu
kuvvet Fs yay kuvveti ile eşit ve
zıt yönlü olacaktır.
Fuy   kx  kx
xs
xi
Dolayısıyla bir dış kuvvetin
yaptığı iş:
WFuy 
xmaks
F
uy
dx 
xmaks
0

0
0.50 kg kütleli bir cisim yay asıldığında yay x = 0.2 m uzarsa;
(a) Yayın yay sabiti nedir?
(b) Kütle çekim kuvvetinin cisim üzerinde yaptığı iş nedir?
(c) Yay kuvvetinin cisim üzerinde yaptığı iş nedir?
Fs  kd  mg
1 2
kxdx  kxmaks
2
k
KİNETİK ENERJİ VE İŞ-KİNETİK ENERJİ TEOREMİ
v süratiyle hareket eden m kütleli bir
parçacığın kinetik enerjisinin tanımı:
K
d
 Ki  K
(ĠĢ-kinetik
enerji teoremi)
1
1
W  0  kd 2   (24.5)(0.2) 2  0.49 J
2
2
KİNETİK ENERJİ VE İŞ-KİNETİK ENERJİ TEOREMİ
d
 max
Buna göre yapılan net iş (bileşke
kuvvetin yaptığı iş eşitliğinden)
xs
xs
W    F dx   ma dx
x
x
xi
xi
xs
a
vi
v
2 vs
W  m 2
vi
dv dv dx
dv

v
dt dx dt
dx
(bunu yerine
yazarsak)
vs
dv
W   mv dx dx   mvdv
xi
Kinetik enerji skalerdir ve iş ile aynı birime sahiptir. Bu eşitliği
sabit bir net kuvvet için türettik ancak bu eşitlik kuvvet değişken
olsa da geçerlidir. GÖRELİM:
1 2 1
kd  (24.5)(0.2) 2  0.49 J
2
2
Parçacık üzerine x yönünde etkiyen net
kuvvet Newton’un 2. yasasına göre
x

s
mg (0.5)(9.80)

 24.5 N/m
d
0.2
F
1 2
mv
2
F kuvvetinin
Buna göre sabit net bir
parçacık üzerinde yaptığı iş onun kinetik
enerjisindeki değişime eşittir:
W K
WFuy 


m 2 2
vs  vi
2

1
W  2 mv
2
s
1
 mvi2
2
Bir parçacık üzerinde yapılan net iş
kinetik enerjisindeki değişime eşittir.
4
KİNETİK SÜRTÜNMEYİ İÇEREN DURUMLAR
ÖRNEK:
Bir cisim yatay yüzeyde d kadar
kaysın. vi ilk hız, vs son hız olsun.
m = 0.020 kg kütleli bir mermi 500 m/s de hareket ediyor.
m = 1000 kg kütleli bir kamyon 5 m/s hareket ediyor.
Hangisinin kinetik enerjisi daha fazla?
Newton’un 2. yasasına göre x yönünde cisme etkiyen tek kuvvet
sürtünme kuvveti olduğundan;  f  ma
1
K  mv2
2
k
Her iki tarafı da d ile çarpar
ve vxs2  vxi2  2ax d
eĢitliğini kullanırsak
1
K  (0.020)(500) 2  2500 J
2
x
 f k d  (max )d  12 mvxs2  12 mvxi2
K sürtünme   f k  d
(Sürtünmeden dolayı
kinetik enerji kaybı)
Kaybolan bu kinetik enerji cismin ve yüzeyin ısınmasına harcanır.
Böylece bir cismin üzerine diğer kuvvetler ile sürtünme kuvveti de
etkidiğinde iĢ-kinetik enerji teoremi:
1
K  (1000)(5) 2  12500 J
2
Ki  Wdiger  f k  d  K s
ÖRNEK:
W
diger
Sürtünme dıĢındaki kuvvetlerin
yaptığı iĢlerin toplamı
ÖRNEK:
Bir adam tüm kuvvetiyle (2000 N) kütlesi 10,000 kg
olan bir kamyonu sürtünmesiz bir yüzeyde 10.0
m çekiyor.
(a) Adam ne kadar iş yapar?
(b) 10 m sonra kamyonun hızı nedir?
(c) Eğer sürtünme olsaydı (sürtünme katsayısı
0.0153) kamyonun 10 m sonraki hızı ne olur?
Bir adam tüm kuvvetiyle (2000 N) kütlesi 10,000 kg
olan bir kamyonu sürtünmesiz bir yüzeyde 10.0
m çekiyor.
(a) Adam ne kadar iş yapar?
(b) 10 m sonra kamyonun hızı nedir?
(c) Eğer sürtünme olsaydı (sürtünme katsayısı
0.0153) kamyonun 10 m sonraki hızı ne olur?
ÇÖZÜM:
(a) Ağırlık normal kuvvetle dengeleniyor.
Yerdeğiştirme yatay doğrultuda yani bu iki kuvvet
iş yapmaz. Sürtünme kuvveti olmadığından etkiyen
net dış kuvvet 2000 N dur. Bu kuvvetin yaptığı iş:
ÇÖZÜM:
(c)
W  F  d  cos   (2000)(10)  20000 J
(b) Kinematik eşitliklerini kullanabiliriz (ivmeyi bulup zamansız hız
formülünü kullan).
Enerji yaklaşımını kullanırsak: İlk kinetik enerji sıfır olduğundan;
W  K s  Ki 
2W 40000
1 2
2

4
mvs  0 vs 
m 10000
2
W  F  d  cos   (2000)(10)  20000 J
W  K s  Ki 
1 2
2W 40000
mvs  0 vs2 

4
m 10000
2
v  2 m/s
v  2 m/s
5
ÖRNEK 7.9 Eğik düzlem gerekli işi azaltır mı?
Bir adam bir buzdolabını bir eğik düzlem yardımıyla
kamyonete yüklemek istiyor. Eğik düzlemin uzunluğu
artarsa adam daha az iş yapar mı? Sürtünmeyi ihmal edin.
GÜÇ
Bir cisme bir dıĢ kuvvet uygulanırsa ve bu kuvvetin t
süresinde yaptığı iĢ W ise bu sürede harcanan
ortalama güç:
P
W
t
Güç genel olarak
enerji aktarma hızıdır.
Ani güç: t sıfıra yaklaĢırken ortalama gücün limit değeri olarak
tanımlanır.
W dW
P  lim

(dW: iĢ artıĢı)
t 0
t
dt
Bir ds yerdeğiĢtirmesi için yapılan iĢ artıĢı dW=Fds dir. Buradan ani güç:
P
Uzun eğik düzlem daha az kuvvet ama daha fazla yol
demektir. Yapılan iş aynı kalır ve mgh kadardır.

dW  ds  
 F .  F .v
dt
dt
SI sisteminde güç birimi: Watt (W) = Joule/saniye (J/s)
Diğer güç birimi: 1 HP = 1 BG = 746 W
1 kilowatt-saat (kWh): 1 saatte sabit hızla 1 kW lık tüketilen veya
dönüĢtürülen enerji miktarı: 1 kWh=(10 3W)(3600s)=3.6x106 J
ÖRNEK 7.12 Bir asansör motorunun verdiği güç
ÖRNEK 7.12 Bir asansör motorunun verdiği güç
Bir asansör kabini 1000 kg ve toplam 800 kg
kütleli yolcu taşımaktadır. 4000 N luk sabit bir
sürtünme kuvveti ile şekildeki gibi harekete karşı
koyuyor. (a) Asansör kabini 3 m/s lik sabit bir
süratte kaldırmak için motorun verdiği minimum
güç ne olmalıdır?
Bir asansör kabini 1000 kg ve toplam 800 kg
kütleli yolcu taşımaktadır. 4000 N luk sabit bir
sürtünme kuvveti ile şekildeki gibi harekete karşı
koyuyor. (b) Motoru yukarı doğru 1.0 m/s 2 lik ivme
sağlayacak şekilde tasarlanmış ise herhangi bir
anda ne kadar güç vermelidir?
ÇÖZÜM:
Motor asansörü yukarı çekmek için T kuvvetini
sağlamalıdır. Sürat sabit olduğundan
ÇÖZÜM:
Şimdi ivme sıfır değil.
Bu gücü (a) daki ile kıyaslarsak, aynı hız için daha büyük güç elde ederiz.
6
POTANSĠYEL ENERJĠ
POTANSĠYEL ENERJĠ VE ENERJĠNĠN KORUNUMU
1. Potansiyel enerjisi
2. Korunumlu ve korunumsuz
kuvvetler
3. Korunumlu kuvvetler ve
Potansiyel enerji
4. Mekanik enerjinin korunumu
5 Korunumsuz kuvvetlerin yaptığı
iş
6. Korunumlu kuvvetlerle
Potansiyel enerji arasındaki
bağıntı
7. Genelde enerjinin korunumu
Arka arkaya çekilen bu resimde sırıkla atlayıcının enerjisinde sürekli
olarak değiĢim olmaktadır. Yerçekiminden kaynaklanan potansiyel düĢey
doğrultuda değiĢmektedir. Sırığın eğilmesinde ise baĢka bir potansiyel
vardır.
Potansiyel enerji bir sistemin depoladığı, iş yapabilen enerji
şeklidir.
Uygulanan kuvvetler sisteme kinetik enerji kazandırabilir
veya kaybettirebilirler. Fakat sistemin toplam enerjisi her
zaman aynıdır. Bu duruma enerjinin korunumu denir.
Potansiyel enerji evrende değişik şekillerde olabilir:
Kütle çekim, elektromanyetik, kimyasal ve nükleer gibi.
Bataryadaki kimyasal enerji elektrik enerjisine dönüşerek bir
motoru döndürebilir.
Enerjinin bir formdan diğerine dönüşümü fiziğin, kimyanın,
mühendisliğin, biyolojinin, jeolojinin ve astronominin önemli
kısmını oluştururlar.
Kütle çekim potential enerjisi
Yüksekten bırakılan bir cisim iĢ yapma
potansiyeline sahiptir. Cisim düĢerken hız yani
kinetik enerji kazanır. Potansiyel enerji cisim
düĢerken kinetik enerjiye dönüĢür.
Kütle çekimi potansiyel enerjisi
Ug  m g  y
m kütleli bir cisim baĢlangıçta yi yüksekliğinden
düĢerken etkiyen tek kuvvet mg kütle-çekim
kuvvetidir (havanın direnci ihmal)
AĢağı doğru d yerdeğiĢtirmesinde çekim kuvvetinin
yaptığı iĢ:
 
Wg  (mg )d  (mgˆj )( ys  yi ) ˆj  mgyi  mgys
Kütle çekim potansiyel enerjisi
Bir cisim hem yatay hem düşey yerdeğiştirme yaparsa;
d  ( xs  xi )iˆ  ( ys  yi ) ˆj
Kütle çekim kuvvetinin yaptığı iş;  mgˆj ( xs  xi )iˆ  0 olduğundan
Wg  mgyi  mgys
Yani Kütle çekim kuvvetinin yaptığı iş yatay yerdeğiştirmeye bağlı değildir,
sadece y değişimine bağlıdır. Kütle çekim kuvvetinin yaptığı iş
Wg  U i  U s  (U s  U i )  U g
Kütle çekim potansiyel enerjisinin birimi: Joule (J) ve skaler bir niceliktir.
Potansiyel enerji sadece yüksekliğe (y) bağlıdır, yatay mesafeye bağlı değildir (x),
Potansiyel enerji problemlerini çözerken bir referans noktası seçilmelidir.
7
Esneklik potential enerjisi
Sürtünmesiz yatay bir düzlemde
yayın bloğa uyguladığı kuvvet
Fs  kx
Yayın blok üzeride yaptığı iş:
Ws 
1
1
kxi2  kxs2
2
2
Buna göre yayda depolanan esneklik
potansiyel enerjisi
Us 
1 2
kx
2
Sistemin esneklik potansiyel
enerjisi sıkıştırılmış veya gerilmiş
yayda depolanan enerjidir.
(a) Deforme olmamıĢ bir yay ve
sürtünmesiz yüzey.
(b) m kütleli cisim yayı x kadar
sıkıĢtıracak Ģekilde itilir.
(c) SıkıĢmıĢ yay serbest bırakılırsa yayda
depolanmıĢ potansiyel enerji bloğa kinetik
enerji olarak aktarılır.
KORUNUMLU KUVVETLERE ÖRNEKLER
1. Kütle-çekim kuvveti: Bu kuvvetin yaptığı iş;
Wg  mgyi  mgys
olduğundan cismin sadece ilk ve son y-koordinatları
önemlidir. Yani gidilen yoldan bağımsızdır.
Kapalı yol boyunca hareket ederse; y  y  W  0
i
s
g
2. Yaya bağlı herhangi bir cisme uygulanan kuvvet:
Kütle-yay sisteminde yay kuvvetinin yaptığı iş:
Ws 
1
1
kxi2  kxs2
2
2
olduğundan cismin ilk ve son x-koordinatlarına bağlıdır. Ve
herhangi bir kapalı yol için sıfırdır.
Genel olarak korunumlu bir kuvvetin bir cisim üzerinde
yaptığı iş:
Wc  U i  U s  U
KORUNUMLU KUVVETLER
1. Bir kuvvetin, iki nokta arasında hareket eden
bir parçacık üzerinde yaptığı iş, parçacığın
yolundan bağımsızsa kuvvet korunumludur.
2. Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan bir yol
boyunca (kapalı yol) hareket eden bir parçacık
üzerinde yapılan iş sıfırdır.
KORUNUMSUZ KUVVETLER
Mekanik Enerji: E=Kinetik Enerji+Potansiyel Enerji
Yani;
E  K U
Eğer bir kuvvet mekanik enerjide bir değişime neden
oluyorsa bu kuvvet korunumsuzdur.
ÖRNEK: Kinetik sürtünme kuvveti:
Sürtünmeli yüzeyde kayan bir cisim için sürtünme kuvveti
cismin kinetik enerjisini azaltır. Mekanik enerji değiştiği için
kuvvet korunumsuzdur.
8
MEKANĠK ENERJĠNĠN KORUNUMU
Bir sistemin toplam mekanik enerjisi, kinetik ve potansiyel enerjilerinin
toplamı olarak tanımlandığından; Toplam Mekanik Enerji:
E  K U
Yerden h yüksekliğinde tutulan cismin kütle-çekim potansiyel enerjisi
mgh dır. Cisim bu yükseklikten bırakılırsa düşme sırasında potansiyel
enerjisi azalırken, cismin sürati dolayısıyla kinetik enerjisi artar. Ancak
bu sırada mekanik enerji sabit kalır.
Enerjinin korunumu ilkesi:
Ei  Es
Ki  U i  K s  U s
Yalıtılmış bir sistemin
mekanik enerjisi sabittir.
Bu eĢitlik sadece sisteme enerji eklenip çıkarılmadığı durumlarda geçerlidir. Ayrıca
sistem içinde iĢ yapan korunumsuz kuvvet bulunmamalıdır.
Bir cisme birden fazla kuvvet etki ederse sistemin mekanik enerjisi;
Ki  U i  K s  U s
KORUNUMSUZ KUVVETLERĠN YAPTIĞI Ġġ
Cisme korunumsuz kuvvetler etki ediyorsa sistemin mekanik
enerjisi sabit kalmaz.
ÖRNEK 1: Uygulanan bir kuvvetin yaptığı iĢ
Bir cismi belli bir yüksekliğe kaldırırsak uyguladığımız kuvvet cisme W uy
işini yapsın. Bu sırada kütle çekim kuvveti de cisim üzerinde W g işini yapar.
Cisim üzerinde yapılan net iş kinetik enerjideki değişime bağlıdır.
a) Kütlesi m olan bir top h yüksekliğinden
bırakılıyor. Hava direnci ihmal edilirse, yerden y
yükseklikte iken topun süratini bulalım:
Ki  U i  K s  U s
1 2
mvs  mgy
2
vs2  2 g h  y 
0  mgh 
vs  2 g h  y 
b) Top h yüksekliğinde bırakıldığında v i ilk
süratine sahipse y yüksekliğinde topun sürati ne
olur?
1 2
1
mvi  mgh  mvs2  mgy
2
2
vs  vi2  2 g h  y 
ÖRNEK 2: Kinetik sürtünmeyi içeren durumlar
Kinetik sürtünme korunumsuz kuvvet örneğidir.
Sürtünmeli yatay yüzeyde hareket ettirilen bir cisim kinetik sürtünme
kuvveti ile yavaşlatılır ve durdurulur. Başlangıçtaki cismin kinetik enerjisi
cisim ile sürtünen yüzeyde iç enerjiye dönüşür. (7. bölümden)
K sürtünme   f k d
Cisim sürtünmeli eğik düzlemde hareket ederse;
E  K  U   f k d
Wuy  Wg  K
Kütle-çekim kuvveti korunumlu olduğunda yaptığı iş
ÖRNEK 8.2. Serbest DüĢen Top
Wg  U olacağından
Wuy  K  U
Sistemin toplam mekanik enerjisini uyguladığımız kuvvetle
değiştirdiğimiz için uygulanan kuvvet korunumsuzdur. Uygulanan kuvvet
sisteme enerji verebilir, alabilir.
Burada;
Ei  E  Es
Problem çözerken buradaki gibi sürtünme kuvveti varsa yani mekanik
enerji korunmuyorsa toplam son mekanik enerji ile toplam ilk mekanik
enerji arasındaki fark sürtünmeden kaynaklanan iç enerjiye eşittir.
9
KORUNUMLU KUVVETLER VE POTANSĠYEL
ENERJĠ ARASINDAKĠ BAĞLANTI
Önceki kısımlarda korunumlu bir kuvvet x yerdeğiştirmesine neden
olduğunda kuvvetin yaptığı iş, potansiyel enerjideki değişimin negatifi idi.
Yani;
W  Fx x  U
Yerdeğiştirme sonsuz küçükse (dx), sistemin potansiyel enerjisindeki
sonsuz küçük dU değişimini yazarsak;
dU   Fx dx
Buna göre korunumlu kuvvet; F   dU
x
dx
Yani, bir sistem içindeki bir cisme etkiyen korunumlu bir kuvvet, sistemin
potansiyel enerjisinin x’e göre türevinin negatifine eşittir.
Şekli değişmiş yay için; U s 
Fs  
GENEL OLARAK ENERJĠNĠN KORUNUMU
Pürüzlü bir yüzeyde kayan cismin kaybettiği mekanik enerji
cisimde geçici depolanan iç enerjiye dönüşür. Bu cismin
sıcaklığındaki artış olarak görülür. Bu iç enerji, atomların
denge konumları etrafındaki titreşimleriyle ilişkilidir.
Yalıtılmış bir sistemde toplam enerji korunur. Ancak bir
biçimden diğerine dönüştürülebilir.
Toplam enerji daima korunur.
1
kx2 olduğundan
2
dU s
d 1

   kx2   kx
dx
dx  2

olur. Bu ise yayın geri
çağırıcı kuvvetidir.
10