RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ

1
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ
Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiği, rijit cisme etki eden kuvvetler ile cismin şekli, kütlesi ve bu
kuvvetlerin yarattığı hareket arasındaki bağıntıları inceler. Parçacığın kinetiği konusunda cismi
yalnızca kütle merkezinden ibaret bir nokta gibi ele almıştık ve cisme etkiyen tüm kuvvetler bu
noktadan geçmek zorundaydı. Rijit cisimde ise cismin gerçek boyutları ile birlikte, kuvvetlerin cisme
uygulandıkları noktaların yeri de göz önüne alınacaktır. Cismin tamamının yaptığı hareketin yanı sıra,
cismin kendi kütle merkezi etrafındaki hareketi de incelenecektir.
Kütle-Kuvvet-İvme Bağıntıları - Genel Hareket Denklemleri
Statikte rijit cisme etki eden genel bir kuvvet sisteminin keyfi olarak alınan bir noktada bir bileşke
kuvvetle bir bileşke kupl momentine indirgenebildiğini, yani kuvvet sisteminin sonsuz sayıda bu iki
unsurlu bileşkeyle yer değiştirebildiğini görmüştük. Eğer bu keyfi noktayı rijit cismin G kütle merkezi
olarak alır ve bileşkeyi kuvvet unsurunun doğrultusu bu noktadan geçecek şekilde yerleştirirsek dış
kuvvet sisteminin etkisine cismin verdiği dinamik yanıtı (dynamic response) aşağıdaki şekillerde
görüldüğü gibi canlandırabiliriz:
Eşdeğer kuvvet-kupl diyagramı
SCD
F1
“m”
G
F2
Kinetik diyagram

 MG


F

HG
“m”

“m”
G
Fn
G
F3
(b)
(a)

ma
(c)
a) Cisme etkiyen dış kuvvetlerin gösterildiği SCD
b) Bileşke kuvvetin G’ ye indirgendiği eşdeğer kuvvet-kupl diyagramı
c) Bunların sonucunda cismin bunlara verdiği dinamik yanıt (davranış)-Kinetik diyagram


 F = ma


H
M
 G= G
RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKET DENKLEMLERİ
xy düzleminde genel hareket yapan bir rijit cismi göz önüne alalım. Cismin G kütle merkezi a
doğrusal ivmesine, kendisi de belirtilen yönlerde  açısal hızı ve açısal ivmesine sahip olsun.  ve

’ nın her ikisi de s.i.ty. olduğu için skaler değerleri de pozitif alınabilir. Yukarıdaki  M G  H
G
bağıntısına açıklık getirmek üzere genel hareket yapan bu cismin G kütle merkezine göre H G açısal
momentumunun neye eşit olduğunu çıkaralım ve daha sonra bunun zaman türevini alalım.
y
Bu amaçla cismi oluşturan parçacıklardan herhangi birini

temsilen mi parçacığından yararlanacağız. Bu parçacığın G’

ye göre açısal momentumu:
mi
a




i
H Gi  i  mi



x
i : parçacığın G’ den itibaren alınan konum vektörü
G

 

i  v i    i : parçacığın çizgisel hızı





 i   i cos  i  sin  j
  k


 
H Gi  i  mi   i 


2
Rijit cismin G’ ye göre açısal momentumu, onu oluşturan tüm parçacıkların G’ ye göre açısal
momentumlarının toplamına eşit olacaktır.













 
H G   H Gi    i  m i    i     i cos  i  sin  j  m i k   i cos  i  sin  j







H G  I

m i  i cos  j  m i  i sin  i




H G   m i  i2  cos 2   sin 2  k   m i  i2 k


1


H G  Ik
I
I katı cismin G’ ye göre (veya G’ den geçen ve şekil düzlemine dik olan z eksenine göre) kütle
eylemsizlik (atalet) momentidir.
n 
I  kgm 2
n
I   m i  i2    2 dm
i 1
mi


 MG  HG
HG
d
d
 I  I
 I
dt
dt
dt

 MG 

 M G  I

1) ÖTELENME
a) Doğrusal Ötelenme (Rectilinear Translation):
SCD

F1
G’ nin
yörüngesi
“m”
d
A
P
“m”

G
F2
 Fd.k. = ma
 Fx dk  ma x
 M G dk  0
 M A dk  0
 M P dk  mad
Kinetik diyagram
ma
x
G
d
A
Fn
P
dk : dış kuvvet
F3
b) Eğrisel Ötelenme (Curvilinear Translation):

SCD
 Fn d.k. = ma n
F1
F2
Kinetik diyagram
“m”
t
G
G’ nin
yörüngesi

“m”
B
dB
G
A
dA
ma t  mr  F t dk  ma t
 M G dk  0
t
ma n  m2 r
F3
 M A dk  ma n d A
 M B dk  ma t d B
n
n
Cismin G kütle merkezinin eğrisel bir yörünge izlemesi kendisinin açısal bir hareket yaptığı anlamına
gelmez.
3
SABİT EKSEN ETRAFINDA DÖNME
Sabit bir O noktası etrafında dönme hareketinde, cismin tüm noktaları dönme ekseni etrafında daireler
çizerler, cismin yine tek bir  ve ’ sı vardır. n-t koordinatlarda kütle merkezi G’ nin ivme
bileşenlerine a n ve a t dersek a t  r ve a n  r2 olur. SCD ve kinetik diyagram da şekildeki gibi
elde edilir.
Böylece hareket denklemleri;


F
  ma

 MG  I
F1
G
r
r
olur. Kuvvet denkleminin skaler bileşenleri;
 F t  mr
 Fn  mr

G
F2
O
2
I 
t
O
F3
olur.
G
ma n
O
n
RO
n
Kinetik diyagram
SCD
O noktasındaki mesnet tepkisi SCD’ nda unutulmamalıdır.
ma t
Sabit eksenli dönme hareketinde, moment denkleminin doğrudan O noktasına uygulanması bazen
kolaylık sağlar.
 MO  I o 
olur.
 MO  I  mra t
paralel eksenler teoreminden; I O  I  mr 2 ,
I  I O  mr 2
 MO  IO  mr 2   mrr  IO
Eğer dönme ekseni G’ den geçiyorsa a  0 ve

F  0
olur, sadece
 MG  I
kalır.
GENEL DÜZLEMSEL HAREKET
Ötelenme ve dönmenin birlikte olması halidir.
Hareket denklemleri:

F
  ma
 MG  I
F2
Kuvvet eşitliği yine iki skaler bileşene
ayrılarak kullanılır.
Herhangi bir P noktasına göre yazılan
alternatif moment denklemi de kullanılabilir:
 MP  I  mad

F1

G
d
P
ma
I 
G
d
P
F3
SCD
Kinetik diyagram
t
4
Analiz Yöntemi
Rijit cisimlerin hareketleri ile kuvvet-kütle-ivme problemleri çözülürken aşağıdaki sıra izlenir:
1) Kinematik : Öncelikle ne tip bir hareket olduğu tanımlanmalı ve bilinmeyen gerekli doğrusal-açısal
ivme değerleri kinematik bağıntılar kullanılarak belirlenmelidir.
2) Diyagramların çizilmesi : SCD ve kinetik diyagram oluşturulup uygun eksen takımı seçilmelidir.
3) Hareket denklemlerinin uygulanması
Kütle Atalet Momenti
O
dm kütleli sonsuz küçük bir elemanın OO eksenine göre kütle atalet momenti dI
z
olarak tanımlanır.
dI=r2dm
dm
m kütleli cismin toplam atalet momenti I ise
I   dI   r 2 dm
rx
x
r
rz
dm
ry
z
y
x
I her zaman pozitiftir, birimi kg.m2’ dir.


I z   rz2 dm  x 2  y 2 dm
y
O

I x   rx2 dm  y 2  z 2 dm

I y   ry2 dm  x 2  z 2 dm
Paralel Eksenler Teoremi:
Herhangi bir eksene göre kütle atalet momenti;
I O  I  md 2
Bazı Geometrik Şekillerin Kütle Atalet Momentleri
İnce Çubuk
y
l/2
İnce dairesel plaka
y
Ix  0
G
I y  Iz 
l/2
z
x
1 2
ml
12
G
z
1 2
mr
2
1
I y  I z  mr 2
4
Ix 
r
x
İnce dikdörtgen plaka
1
1
Ix  m b2  h 2
I y  mb 2
12
12
y
1
I z  mh 2
12
z
h
G

b
Jirasyon (Atalet) Yarıçapı
Bir doğruya göre kütle atalet momenti:
I  k 2m
k
I
m
k: jirasyon yarıçapı

x