Slayt 1 - Murat GÜNER

www.muratguner.net
HER ÖĞRENCİ
MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR
MURAT GÜNER
ATAŞEHİR-2013
ÜSLÜ İFADELER KONUSU SORU DAĞILIMI
2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
5
2
Üslü ifadeler konusundaki soru tipleri genel olarak şu şekilde
gruplandırılabilir.
 Basit Üslü Sorular
 Cinsinden - Türünden
 Üslü Denklemler
 Sıralama
 Eşitsizlik
 Sadeleştirme
 Üslü sayının 1’e eşitliği
www.muratguner.net
A. ÜSLÜ İFADELER
a bir reel sayı ve n bir pozitif tamsayı olsun
a.a.a.a.a.a.a…..a = an olacak şekilde, n tane a'nın çarpımı
n tane
olan an ' ye üslü ifade denir.
ÖRNEK
a ) 3.3.3.3.3.3.3 = 37
7 tane
b ) (- 8 ).( - 8 ) .( - 8 ) .( - 8 ) = ( - 8 )4
4 tane
c ) ( 2 )6  2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3
3 3 3 3 3 3
UYARI
a bir reel sayı ve n bir pozitif tamsayı olsun
a +a +a +…..+ a = n.a olduğu için an ile n.a ifadeleri birbiri
n tane
ile karıştırılmamalıdır. ( Yani,
an  n.a )
ÖRNEK
2.2.2.2.2.2.2 = 27 = 128
2+2+2+2+2+2+2 = 7. 2 = 14
7 tane
7
2
 7.2
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1993
ÖRNEK
1986
t2 = t + 1 olduğuna göre t5 sayısının değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A ) 3t
B ) 3t + 2
C ) 3t – 3
D ) 3t – 2
ÇÖZÜM
t5 = t2.t2.t
= ( t + 1 ). ( t + 1 ). t
= ( t2 + 2t + 1 ). t
= ( ( t +1) + 2t + 1 ). t
= ( 3t + 2 ). t = 3t2 + 2t = 3( t + 1) + 2t = 5t + 3
E) 5t + 3
NOT
 a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, a = 1 dir.
 0 ifadesi tanımsızdır.
 1 = 1 dir. n IR
n
ÖRNEK
4 0
) 1
5
8= 1
(
27,673 = 1
115 = 1
( 3 
1 –40 = 1
2 )0  1
B. ÜSSÜN ÜSSÜ
Bir üslü ifadenin üssü, üslerin çarpımıdır.
Yani, ( am )n = am.n dir
ÖRNEK
( 42 )3 = 42.3 = 46
 1  2 
   

 3  

4
 1
  
 3
[ ( 4 3 )0 ] –2 = 43.0.( –
2)
2.4
1
 



 3
= 40 =1
8
UYARI
mn
1- a
ifadesi bilinemez.Çünkü, n sayısının; m nin üssü
mü yoksa am nin üssü mü olduğu belli değildir.
2- (a )  a
m n
n
(m )
ÖRNEK
(3 )  3
3 2
(3 )  27
3 2
2
(3 )
2
olduğunu gösterelim.
(32 )
 729
3
O halde (3 )  3
3 2
 3 9  19683
2
(3 )
dir
UYARI
(am )n  am.n
(an )m  an.m
(an )m  (am )n
ÖRNEK
( 23 )2  ( 22 )3 olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM
( 23 )2  23.2  26  64
( 22 )3  22.3  26  64
(23 )2  (22 )3
ÖRNEK
2x = y olduğuna göre 8x in y türünden eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM
8x = ( 23 )x = ( 2x )3 = y3
ÖRNEK
3a = b
olduğuna göre
bulunuz.
5.81a nın
ÇÖZÜM
4
5.81a = 5. ( 34 )a = 5 ( 3a )4 = 5b
b
türünden eşitini
ÖRNEK
1990
3( a2 )3 – 2 ( a3 )2 – a5
İfadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir.?
A ) 0 B ) a6 C ) a6 – a5 D ) a6 – 2a5
E) 2a6 – 3 a5
ÇÖZÜM
3( a2 )3 – 2( a3 )2 – a5 = 3.a2.3 – 2a3.2 – a5
= 3.a6 – 2.a6 – a5
= a6 – a5
ÖRNEK
1992
x – a = 2 olduğuna göre ( x 2a – 1 ) – 1 in x türünden değeri
nedir?
A)x
B ) 2x
C ) 3x
D ) 4x
E) 5x
ÇÖZÜM
x 
2a 1 1
 x
2a 1
x
2a
a 2

(
x
) . x  22. x
.x
 4x
ÖRNEK
1995
2 a – 1 = 4 olduğuna göre 4a – 1 değeri kaçtır?
A)8
B ) 16 C ) 32
D ) 64
E) 128
ÇÖZÜM
2
a–1=
4
  2a 1  2  42


2 
2
a 1
 16
4 a 1  16
YA DA
2 a – 1 = 4 olması için
a= 3 olmalı
Buna göre;
4a – 1=43 – 1= 16
ÖRNEK
ÇÖZÜM
2005
ÖRNEK
C. NEGATİF ÜS
a bir reel sayı olmak üzere , a
n
1
 n
a
dir.
Benzer şekilde a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
a
 
b
-n
n
b
   dir.
a
ÖRNEK
5 1  5 2  ?
ÇÖZÜM
5
1
5
2
1
1
1
1
5 1
6
 2  



5
5( 5 ) 25
25
5
25
ÖRNEK
1
1

2
?
3
3
ÇÖZÜM
1
1
1
54  1
53
1
3
2
3 
 27 


3
3
2
2
2
2
ÖRNEK:
2
1
 2 
 4 
    ?
 3 
 5 
ÇÖZÜM
2
 2 
 4 
   
 3 
 5 
1
2
1
9 5
9  5 14 7
 3   5 
      



2
4 4
4
4
 2   4 
ÖRNEK
1997
( 2– 1 + 20 ) – 2.32 işleminin sonucu kaçtır?
A)2
B)3
C) 4
D)5
E)6
ÇÖZÜM
2
(
2– 1 +
20
)
– 2.32
1

=   1  .3 2
2

1
; 2 
2
1
2
 3 
2

 .3
 2 
2
 2  2
4

 .3 
. 9 4
3


9
ve 2= 1
ÖRNEK
ÇÖZÜM
2010
ÖRNEK
1996
24.10 3
?
4
4
1
6  3.2  5.2  3.2
A ) 1600
B ) 2000
C ) 2500
D ) 4000
E) 8000
ÇÖZÜM
24.10 3
24.10 3

4
4
1
1
1
6  3.2  5.2  3.2
6  (3  5 ). 4  3.
2
2
2 4.10 3
16000


 2000
1
1
3
6  8.2 4  3.
6 
2
2 2
D. BİR REEL SAYININ ÜSSÜ
 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. ( a > 0  an >0 )
ÖRNEK
42 =
4
2
1 2
1
( ) 
0
4
16
16 > 0
1
1
 2 
0
4
16
40 = 1 > 0
( 0,1982520354781475)
2
>0
 Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir.
( a > 0 ve n çift sayı ise ( – a )n = an >0 )
ÖRNEK
( – 4 )2 = 42 = 16 > 0
(4 )
2
4
2
1
1
 2 
0
4
16
( – 4 )0 = 40 = 1 > 0
 Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir.
( a > 0 ve n tek sayı ise ( – a )n = – an < 0 )
ÖRNEK
( – 4 )3 = – 43 = – 64 < 0
(4 )
3
 4
3
1
1
 3 
0
4
64
( – 4 )1 = – 4 = – 4 < 0
1
(4 )  4    0
4
1
1
UYARI
( a > 0 ve n çift sayı ise ( – a )n  – an
Örneğin;
( – 2 )4  – 24 tür. Çünkü,
( – 2 )4 = 24 = 16
– 24 = – 16
ÖRNEK
( – 3 )3 + ( – 52 ) + ( – 4 )2 = ?
ÇÖZÜM
( – 3 )3 + ( – 52 ) + ( – 4 )2 = – 27 + ( – 25 ) + 16
= – 27 – 25 + 16
= – 36
ÖRNEK
( – 22 )3 + ( – 33 )2 = ?
ÇÖZÜM
( – 22 )3 + ( – 33 )2 = – 26 + 36 = – 64 + 729 = 665
ÖRNEK
(  2 )3  (  32 )
?
2
2
5 (  4 )
ÇÖZÜM
8 9
1
(  2 )3  (  32 )  8  (  9 )



2
2
25  16
25  16
9
5 (  4 )
ÖRNEK
 1 
  
 2 
1989
1 3

 ?

1
B) 3
2
1
A)  3
2
1
C) 6
2
D ) – 26
E) – 23
ÇÖZÜM
 1 
  
 2 
1
3



3
1 1
3
1 3
1 3

2
  2   ( 1) 2 



 23
ÖRNEK
3 2
 1  
     ?
 2  
A ) – 1 / 32
2001
B ) – 1 / 16
C ) 16
D ) 32
E) 64
ÇÖZÜM
 1 
  
 2 
3
2


1 3
  2


   2
2

1 6
 ( 1)
6
2 
1 6
 26  64
E ) ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM
1 .TOPLAMA - ÇIKARMA
Tabanları ve üsleri aynı olan ifadeler kendi aralarında
toplanır veya çıkarılabilir.
axn ± bxn = ( a ± b ) xn
ÖRNEK
8.103 + 4.103 = ( 8 + 4 )103 = 12.103
710 + 4.710 = 1.710 + 4.710 = ( 1 + 4 )710 = 5.710
7.45 – 4.45 = ( 7 – 4 ).45 = 3.45
2.5m + 4.5m – 3.5m = ( 2 + 4 – 3 ).5m = ( 6 – 3 ).5m= 3.5m
4.xk – 5.yn + 2xk + 10yn = ( 4 + 2 ).xk + ( 10 – 5 ).yn
= 6xk + 5yn
UYARI
6xk + 5yn toplamı yapılamaz.Çünkü , bu iki sayının
tabanları ve üsleri farklıdır.
a5 + a2 toplamı yapılamaz. Çünkü, bu iki sayının tabanları
aynı ama üsleri farklıdır.
ile
toplanmaz
2 .ÇARPMA
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında taban
değişmez üsler, toplanır.
xn . xm = xm + n
ÖRNEK
103 . 104 = 103 + 4 = 107
5– 3. 56 .58 = 5– 3 + 6 + 8 = 511
(x + y ) 3. ( x+ y )2 = ( x + y )5
a3m+2 . a3 – 3m
= a3m + 2 + 3 – 3m = a5
ÖRNEK
ÖRNEK
3x = p olduğuna göre 9x+1 ifadesinin p türünden değeri
nedir?
ÇÖZÜM
9 x 1  9 x. 9  ( 32 )x . 9  ( 3x )2. 9
 p2 . 9
ÖRNEK
1993
5x = 4 olduğuna göre 125x + 5x + 2 = ?
A ) 164
B ) 116
ÇÖZÜM
125x
+
5x + 2
= 5
3

x
 5
C ) 104


x
 5x . 52
3
 5x . 52
= 43 + 4 . 25
= 64 + 100
= 164
D ) 84
E) 24
ÖRNEK
2002
Bir kültürdeki bakteri sayısı her 1 saatlik süre sonucunda iki
katına çıkmaktadır.Başlangıçta 128 tane bakterinin
bulunduğu bu kültürde 12 saatin sonunda kaç bakteri olur?
A) 220
B) 219
C) 218
D) 215
E) 212
ÇÖZÜM
128
1 saat
27
256
512
1024
2048
…
210
211
…
1 saat
28
7 +12 =19
29
1 saat
219
ÖRNEK
2010 YGS
ÖRNEK
ÇÖZÜM
2005
 Üsleri aynı olan iki ifadenin çarpımında tabanlar çarpılır
edilen çarpıma ortak üs olarak yazılır.Yani üs değişmez.
xm . ym = ( x.y )m
ÖRNEK
25 . 35 = ( 2.3 )5 = 65
5 3. 23 .43 = ( 5.2.4 )3 = 403

85. 

5
5
9 2 
9 2 
5
.
     8. .

12

4 3 
4 3 
5
ÖRNEK
1998
14a  14a
 32
a
a
a
a
7 7 7 7
A)1
B)2
C) 4
D) 5
E) 6
ÇÖZÜM
14a  14a
2.14 a
 32 
 32
a
a
a
a
a
7 7 7 7
4.7
2.2 a.7 a
2a
 32 
 32

a
4.7
2
 2a  64  2a  26  a  6
ÖRNEK
1996
2x = a , 3x = b
olduğuna göre 72m nin a ve b türünden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir
A ) a3b3
ÇÖZÜM
B ) a3b2
C ) a2b3
D ) a2b2
E) ab
ÖRNEK
2001
3m = a , 7m = b olduğuna göre ( 147 )m nin a ve b
türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir
A ) ab
ÇÖZÜM
B)
ab2
C)
a2b
D)
a2b2
1 2
a b
E)
3
ÖRNEK
15a = 3a – 2 olduğuna göre, 5a nın değerini bulursanız
mesud ve bahtiyar olacağım.
ÇÖZÜM
ÖRNEK
6 x+
1
1994
= 3 x+2
A)1
olduğuna göre 2 x + 1 = ?
B)2
C) 3
D) 4
E) 6
ÇÖZÜM
6 x+
1
= 3 x+2 
( 2 . 3 ) x+
1
= 3 x + 1+1

2 x + 1. 3 x+1 = 3 x + 1 . 31

2 x+1 = 3
3. BÖLME
Tabanları aynı olan üslü iki ifadenin bölümünde taban
değişmez ,üslerin farkı üs olur.
m
a
m n

a
n
a
ÖRNEK
28
8 5
3
2

2

23
56  56
2.5 6
62
4


2.5

2.5
52
52
ÖRNEK
1984
3 4.a 5  x
2
12x ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
3 .a
A ) 9ax+4
B ) 6ax+4
D ) 9a6 – x
E) 2a6 – 3 x
ÇÖZÜM
3 4.a 5  x
2
4 x
x4
4 2
5  x 1 2x

3
.a

9a
3
.a

32.a 12x
C ) 6a6 – 3x
 Tabanları farklı, üsleri aynı olan iki ifadelerin bölümünde
tabanlar bölünür, üs değişmez.
a
 a 
 
n
b
 b 
n
n
ÖRNEK
12 5
125
5
(
)


2
 32
5
6
6
( 14.15 )3
14.15 3
143.15 3
3
 27

3

(
)

3
3 3
10.7
( 10.7 )
10 .7
ÖRNEK
1984
5
3
(0,027) .10 5  ?
A) 3 –3
ÇÖZÜM
B ) 35
C ) 33
D ) 34.10
E) 34.102
ÖRNEK
7x = m olduğuna göre
ÇÖZÜM
21x 1
in m türünden değeri nedir?
x 1
3
21 x
21x 1
21x
21x.211
1
) . 21. 3
 x 1  x .21.3  (
x 1
3
3
3
3 .3
 7 x. 21. 3
 63m
ÖRNEK
1993
293  292
?
94
2
A ) 1/4
B ) 1/8
C ) 1/16
D ) 1 / 32
ÇÖZÜM
293  292
292 ( 2  1 ) 2  1 1



94
92
2
2
2 .2
4
4
E) 1 /64
ÖRNEK
ÇÖZÜM
2005
ÖRNEK
1995
ÖRNEK
1997
3n1  3n 2n  2n1

?
n2
n2
2.3
2
A ) 20
ÇÖZÜM
B ) 18
C ) 16
D ) 14
E) 12

ÖRNEK
1
x y
a
1
1982

1
ay  x  1
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) ax+y B) ax
ÇÖZÜM
C) 1
D) a
E) ax-y
F ) ÜSLÜ DENKLEMLER
1- Tabanları eşit olan denklemler
Tabanları eşit olan denklemlerin üsleri de eşittir.
a  0 , a  1 , a  – 1 olmak üzere am = an  m = n
ÖRNEK
2m = 25
m=5
3x = 81
 3x = 34  x = 4
1
5 
125
1
5  3
5
x

x

5 x  5 3
 x = –3
ÖRNEK
2 x + 8 = 8 olduğuna göre x = ?
ÇÖZÜM
2 x + 8 = 8  2 x + 8 = 23  x + 8 = 3  x = – 5
ÖRNEK
3 x–7 = 9 x+2
olduğuna göre x = ?
ÇÖZÜM
3 x – 7 = 9 x +2  3 x – 7 = ( 32 ) x +2 
3 x – 7 = 32.( x +2 )
 3 x – 7 = 32x +4
 x – 7 = 2x + 4
 – 7 – 4 = 2x – x
 – 11 = x
ÖRNEK
5 x 1
x 3 eşitini sağlayan x değerini bulursanız bana

125
5 2 x
haber verin.
ÇÖZÜM
ÖRNEK
 0,018 


 0,006 
A ) 1/3
1996
a 1
 271a  a  ?
B ) 1/ 2
C) –3
D)–4
E) 1/4
ÖRNEK
1994
1 m
)  8 olduğuna göre m + n ?
m ve n birer tamsayı ve (
n
A)–1
ÇÖZÜM
B)–2
C) –3
D)–4
E) – 5
ÖRNEK
1
b n
a
 3 , ( )  27 olduğuna göre n kaçtır?
a
b
A) –1
ÇÖZÜM
B)3
C) 9
D) –1/9
1992
E) – 1 / 3
ÖRNEK
ÇÖZÜM
6
2
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ÖRNEK
1999
ÖRNEK
2x+1 + 6.2x + 4.(2
1987
x–1
) = 80 denkleminin çözümü nedir?
A)5
B)4
C) 3
ÇÖZÜM
2x + 1 + 6.2 x + 4( 2x – 1 ) = 80
D) 2






E) 1
x
2
2.2 x  6.2 x  4.
 80
2
2.2 x  6.2 x  2.2 x  80
10.2 x  80
2x  8
2 x  23
x 3
ÖRNEK
2004
x  1 olmak üzere 22x+y – 2x+y+1 – 2x + 2 = 0 olduğuna
göre x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A ) 2x + y = 0
B ) 2x – y = 0
C ) x + 2y = 0
D) x–y=0
E) x + y = 0
ÇÖZÜM
22x + y – 2 x + y + 1 – 2x + 2 = 0  2 x + x + y – 2 x + y + 1 – 2x + 2 = 0
 2 x + y ( 2x – 2 ) – 2x + 2 = 0
 2 x + y ( 2x – 2 ) – ( 2x – 2 ) = 0
(
2x
– 2≠0 )
 ( 2 x – 2 ) ( 2 x+y – 1 ) = 0
 2 x+ y – 1 = 0
 2 x+ y = 1  x + y = 0
2- Üsleri eşit olan denklemler
Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanlar eşit ,
üs çift sayı ise tabanlar eşit ya da tabanların biri diğerinin
ters işaretlisine eşittir.
n tek sayı ve an = bn  a = b
n çift sayı ve an = bn  a = b veya a = – b
ÖRNEK
x3 = 53

x2 = 52
 x=5
x –2 = 5 – 2
x=5
x – 3 = 5– 3
veya x = – 5
 x=5
veya x = – 5
 x=5
ÖRNEK
( x + 3 )3 = ( 3x – 11 )3 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
3 tek sayı olduğu için tabanlar eşittir.Buna göre
x + 3 = 3x – 11
11 + 3 = 3x – x
14 = 2x
7 =x
ÖRNEK
( 2x + 3 )4 = ( x – 2 )4 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
4 çift sayı olduğu için
2x + 3 = x – 2
2x + 3 = – ( x – 2 )
2x – x = – 3 – 2
2x + 3 = – x + 2
x=–5
2x + x = – 3 + 2
3x = – 1
1
x
3
O halde x değeri – 5 veya – 1 / 3 olmalıdır.
ÖRNEK
1992
1
n
12n.n  ( 2a.n )n  a  ?
A) 4
ÇÖZÜM
B)5
C) 6
D)7
E) 8
3 . Xn = 1 denklemi
Xn denkleminin çözümde 3 durum vardır.
x = 1…………………………….. 1.durum
Xn = 1

n = 0 ve x  0 ……………...….. 2.durum
x = – 1 ve n çift sayı ..........….. 3.durum
ÖRNEK
 18 = 1
 50 = 1
( Çünkü 1 in bütün
kuvvetleri 1 dir. )
( Çünkü 0 hariç bütün reel
sayıların 0 ncı kuvveti 1 dir.)
 ( –1 )12 = 1
(Çünkü – 1 in bütün
çift kuvvetleri 1 dir. )
ÖRNEK
53x – 15 = 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
53x – 15 = 1

3x – 15 = 0

3x = 15


ÖRNEK
15
x
3
x 5
( 5x + 3 )7 = 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
( 5x + 3 )7 = 1
 5x + 3 = 1 
5x = 1 – 3

5x = – 2

2
x
5
ÖRNEK
( x + 3 )6 = 1 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
( x + 3 )6 = 1

x+3=1
veya
x + 3 = –1
x =1–3
x = –1 – 3
x =–2
x =–4
ÖRNEK
( x + 5 )x – 2 = 1 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
x + 5 = 1………………………………………………... 1.durum
x – 2 = 0 ve x + 5  0……………………………..... 2.durum
x + 5 = – 1 ve x – 2 çift sayıdır……………………. 3.durum
 x=1–5  x=–4
x–2=0  x=2
x + 5 = –1  x = – 1 – 5  x = – 6
1.durum: x + 5 = 1
2.durum:
3.durum:
( Bu kök tabanı sıfır yapmadığı için alınır.)
O halde denklemi sağlayan x değerleri :
– 4 , 2 ve – 6 dır
( Bu kök
yazıldığında
üs çift sayı
olacağı için
bu kök de
alınır.)
ÖRNEK
( x 2)
x 2 4
1
eşitliğini sağlayan x değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM

x2 – 4 = 0 
 x=–1
 x = 2 veya
1.durum: x + 2 = 1
x=1–2
2.durum:
x2 = 4

x=–2
( Üssü sıfır yapan değerlerden tabanı sıfır yapmayanlar kök olarak alınır )
3.durum: x + 2 = – 1
G.
ÖRNEK
ÖRNEK
1996
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ÖRNEK
1984
0,9.10 3  0,03.10 2
?
4
1,2.10
A ) 10 – 2
ÇÖZÜM
B ) 10 – 1
C) 1
D ) 10
E) 102
ÖRNEK
2003
ÖRNEK
1984
5. ( 0,003 )3 işleminin sonucu kaçtır?
A ) 0,45 B ) 1,35 C ) 45.10 – 6 D ) 45.10 – 7
ÇÖZÜM
E)135.10– 6
ÖRNEK
ÇÖZÜM
2011
ÖRNEK
2003