Dışbükey (konveks) çokgenler

TARİHÇE
Geometri uzayın ve uzayda tasarlanabilen biçimlerin, kurallara uyularak
incelenmesini konu alan matematik dalıdır.
İlk geometrilerin tümü, kendi doğası nedeniyle sezgiseldir. Bunlar daha çok ilk
insanların çevresinde görülen doğal şekillerdir. Bu geometriler daha çok görsel
türdedir. İkinci olarak şekillerin ölçülmesi aşaması gelir.
Eski Mısır'da görülen geometri bilgileri, yüzey ve hacim hesapları olarak
karşımıza çıkmaktadır. Mısırlılar, kare ve dikdörtgen alanlarını, doğru bir şekilde
hesaplayabiliyorlardı. Düzgün olmayan bir yüzeyin planını ise, dörtgenleştirme yoluyla
elde ediyorlardı. Üçgen alanı bilgisinden hareket ederek de, yamuğun alanını elde
ediyorlardı.
Dörtgenlerin ve üçgenlerin ölçülmesi ilk kez Mısır’da Ahmes’in (İ.Ö.1550)
papirüsünde görülür. Bu papirüs İ.Ö.1580 tarihinden önce yazılmıştır. b tabanlı ve h
yükseklikli ikiz kenar üçgenin alanının bh/2 olduğu verilmiştir. Yine aynı papirüste d
çaplı bir dairenin alanının (d-d/9)2 yazımına eşdeğer olduğu yazılmıştır. Bu yazımlara
göre pi sayısı yaklaşık olarak 3.1605 dolaylarındadır. Bu formül geometrik şekilden
yaklaşık olarak elde edilmiştir.
Mısırlılar'ın; üç boyutlu cisimlerden; silindir, koni, piramit, dikdörtgen prizma
ve kesik prizma hacimlerini de bildikleri anlaşılmaktadır. Kesik piramidin hacminin
hesaplanması, zamanın geometrisi için son derece önem taşımaktadır.
Ord.Prof.Dr.Aydın Sayılı; Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve
Tıp adlı eserinde konu ile ilgili geniş bilgi verdikten sonra şunları yazar: "Mısırlılar'ın,
aritmetiklerinde olduğu gibi geometri problemlerinin çözümünde de, tamamıyla
somut özel hallerin ele alınmasından ileri gidilmiyor. Karşılaşılan bütün örneklerde
ortak bir vasıf Mısır geometrisinde genel formül kavramının mevcut olmayışıdır.
Zihinde bir nevi genel formül fikri ve belli genellemeler vardı. Açı geometrisi mevcut
değildi. Bunun yanında Doğru geometrisi gelişmiş durumdaydı." Burada doğru
geometrisi ile ölçü için; sadece doğruları kullanan ve açı kavramına başvurmayan bir
geometri kastedilmektedir. Alan ve hacim hesapları, doğruların yardımıyla
yapılmaktadır. En, boy, taban, dikme, köşegen, çap ve çevre, hem ölçülebilen, hem
de ölçüde aracı rolünü kullanıyordu. Bugünkü ifadeyle; 45 derecenin, bazı
trigonometrik özelliklerini de bildikleri anlaşılmaktadır.
Burada akla şöyle bir soru gelmektedir; Mısırlılar, ilkel geometri bilgisi
diyebileceğimiz, ama bugünkü geometrinin temel bilgilerini, hangi ihtiyaçları sonucu
ortaya koymuşlardır?
Başta da belirttiğimiz gibi Nil Nehrinin belli aralıklarla taşması sonucu silinen
arazi hudutlarının tekrar belirlenmesi amacıyla bir ihtiyaç olarak doğmuştur. Mısır
mezar lahitlerinin, piramitlerin, tahta işlerinin estetik bakımdan üstünlük sağlaması,
hem çalışmaların ihtiyacından doğmuş ve hem de zaman için var olan ölçü tekniği ile
basit de olsa bu ölçülerin hesaplama tekniğinin kısmen ileri derecede olması
geometrinin temellerinin oluşmasında katkı sağlamıştır.
Zamanımıza kadar ulaşmış tabletlerin değerlendirilmesi sonucu Mezopotamya
matematiği hakkında bilgiler elde edilmektedir. Bu tabletler bilim tarihinde; Susa,
Vatikan 8512, Tell Halman, Plimpor 322, British Museum 85114 ve Elam tabletleri
şeklinde adlandırılmıştır. Bugün, Thales Teoremi olarak bilinen teoremin varlığı,
Thales'ten (batı felsefesinin ilk filozofu) 1700 yıl ve Öklid'ten 2000 yıl kadar önce
biliniyordu. Aydın Sayılı; adı geçen eserinde, Susa tabletlerine dayanarak Thales
Teoremlerinin nasıl ortaya çıktığını belirtir. Bu teoremlerin, Öklid tarafından bilindiğini
ve Elementler adlı eserinin, 6. ve 8. teoremler olarak açıklandığını yazar.
Kaynaklardan şu sonucu çıkarmaktayız. Bugünkü klasik geometri veya Eski Yunan
geometrisinin temsilcileri olarak görülen, Thales, Pisagor ve Öklid'e dayalı geometri
bilgilerinin temelinde Mezopotamya matematiği bulunmaktadır. Başka bir ifade ile
Mezopotamyalılar tarafından, bu geometri bilgileri, eski Yunan matematikçilerinden,
çok önceki yıllarda bilinmekte olduğu anlaşılmaktadır.
Thales’e atfolunan bilgiler, aslında, Mezopotamya geometrisine dayanmaktadır.
O bilgiler şunlardır:
1. Thales Teoremi:
a. Benzer dik üçgenlerde (veya iki üçgenin açıları eşitse) kenar uzunlukları oranları
eşittir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 4)
b. Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından hipotenüse indirilen dikmenin iki
tarafında kalan iki üçgen birbirine ve asıl üçgene benzer üçgenlerdir (Öklid,
Geometrinin Unsurları, VI, 8).
2. Çapı gören çevre açısı bir dik açıdır. Çap, çemberi iki eşit kısma böler.
3. Bir ikizkenar üçgende, taban açılarının eğimleri eşittir.
4. Thales, tıpkı Mezopotamya’da olduğu gibi, açı yerine, ancak dik açıya dayanarak,
eğimleri göz önünde bulundurmuştur; ve, ‘eşit açılar’a ‘benzer açılar’ adını vermiştir;
dairede ise çapı gören dik açıyı söz konusu etmiştir; ikizkenar üçgende ‘taban
açılarının eşitliği’ yerine ‘taban açılarının eğimlerinin eşitliğini düşünmüştür. Ters
açıların eşit olduğunu fark etmiştir.
5. Birer kenarı ile ikişer açıları eşit olan üçgenler eşittir.
Kaynaklar geometri konusunda şu bilgileri de vermektedir. Çemberi de, ilk önce
360 dereceye Mezopotamyalıların ayırdığı, bu geleneğin Mezopotamya menşeli olup
Yunanlılara, Mezopotamyalılardan geçtiği bilinmektedir. Kesik piramidin hacminin
ortaya konması ve ispatlanması geometride önemli bir yer tutar. Mezopotamyalılar,
kesik piramit hacmine ek olarak, piramit hacim formülünü de bilmiş olmaları
gerekiyor.
Babilliler, bugün Eski Yunandan beri Pisagor Bağıntısı diye adlandırılan teoremi
biliyorlardı. M.Ö. 18. yüzyıla (Birinci Babil İmparatorluğu Devri) ait tablette, bugün
Pisagor Bağıntısı dediğimiz : c2 = a2 + b2 formülüyle bağlı; a, b, c gibi sayılar üç
sütun üzerine sıralanmış; birinci sütuna c ikinci sütuna a, üçüncü sütuna da, b gibi
sayılar kaydedilmiş, c lere karşılık olan sayılar belirtilmemiş. Pisagor'dan on iki yüzyıl
önce, bu gibi sayılara ait özellikleri bilen Mezopotamyalılar'ın soyut aritmetik
problemlerine dayanarak, sayılar teorisi esasları üzerinde zihni bir merak aşamasına
varmış oldukları anlaşılmaktadır.
Mezopotamya geometrisi hakkında bir fikir vermek üzere, düzgün olmayan
şekillerin alanlarının nasıl bulunduğu hakkında bir resim aşağıda göstermiştir.
Mezopotamya'da, düzgün olmayan yüzeylerin
alanını hesaplama şekli
Eski Yunanlılar, Eski Mısır yörelerini uzun yıllar dolaşmışlar. Bu yöreleri ilk
dolaşan ve Eski Yunan'ın ilk bilgini (bilgesi) sayılan Thalestir (M.Ö. Miletes 640 ? -548
?). Thales'ten sonra Pisagor'un ve Öklid'in bu yöreleri uzun yıllar dolaştıkları tarihi bir
gerçektir. Bu bilginler, buralardan elde ettikleri geometri bilgilerini almışlardır.
Bilahare de, geometriyi sistemli ispatlara dayanan müstakil bir bilim haline
getirmişlerdir. Eski Yunanlılar'ın başarısı, geometriyi sistemleştirip, müstakil bir
matematik dalı haline getirmiş olmalarıdır.
Eski Yunan matematikçilerinden Demokrit'te, gelişmiş bir geometri bilgisi
görülmektedir. Ancak kaynaklar; Demokrit'in Eski Mısır matematiği ile temasta
olduğunda hemfikirdir. Thales, ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğunu
bulmuştur.Ancak üçgenin iç açılarının 180 derece olduğu bilgisinin Thales'e ait
olmadığı anlaşılmıştır. Pisagor, geometri çalışmalarında, güney İtalya'da Kroton'da
okullar açmış ve geometrinin gelişmesini sağlamıştır. Öklid, “Elementler” adlı
geometri kitabını yazmakla ün yapmıştır. Bu eserdeki geometri bilgileri 2000 yıl kadar,
fazla bir değişikliğe uğratılmadan, geometri derslerinde okutulmuştur. Bu eserin, bazı
kısımlar günün ihtiyaçlarına cevap vermek için, 1700 yılından itibaren
modernleştirilmiştir. Bugünkü geometride bilinen birçok bilgiler, Elementler'de vardır.
Matematiğin; aritmetik, cebir ve trigonometri dallarında kurucu denecek kadar eser
ortaya koyan, 8. ile 16. yy Türk-İslam Dünyası alimleri; Yunan klasiklerini,
geometrilerini, fen bilimlerini ve felsefelerini Arapça’ya çevirmişlerdir. Kaybolmaya yüz
tutmuş Yunan klasiklerini, matematiklerini ve düşüncelerini Arapça çevirileriyle
Avrupaya iletmişlerdir. Geometri dalında da, temel teşkil edecek, zamanı için orijinal
ve kıymetini uzun yıllar koruyan eserler ortaya koymuşlardır. İlk defa, cebiri
geometriye tatbik etme fikri, ilmi metotlarla çalışan, bu devir matematikçilerinin eseri
olmuştur. Bu durum, geometrinin çok kısa zamanda gelişmesini sağlamıştır. Özellikle,
Eski Yunan alimlerinin ortaya koydukları geometri konularını kapsayan eserler, uzun
yıllar anlaşılamamıştır. Ne zaman ki; İslam alimlerinin bu eserlere yazdıkları
yorumlamalar sonucu, Öklid ve çağdaşlarının eserleri ancak anlaşılabilirlik
kazanmıştır. Bunlardan;
a) Harezmi ve Geometri
Matematikte yeni sayılabilecek bir dal olan, analitik geometri ile ilgili eserler,
analitik geometriyi, 16. yüzyıl Fransız matematikçi Descartes'ın, 1637 yılında yazdığı
La Geometri adlı eseri ile başlatırlar. Gerçekte, Harezmi tarafından 830 yılında Arapça
olarak yazılan Cebri ve'l Mukabele adlı eserde, analitik geometriye ait ilk bilgiler
ortaya konmuştur. Hatta, Ömer Hayyam'ın Cebir adlı eserinde de, analitik geometriye
ait bilgilerin varlığı görülür.
Descartes, kendisinden önceki yıllarda var olan analitik geometri bilgilerini toplayarak
sistemleştirmiş ve kısmen de genişletmiştir.
Cebirin geometriye tatbikatı demek olan, analitik geometriyi münferit bir
geometri dalı haline getirme metotlarını ilk olarak Harezmi tarafından ortaya
konmuştur.
b) Sabit bin Kurra ve Geometri
Trigonometrinin Avrupa'da duyulup dağılmasına etkisi olanların başında gelen
Sabit bin Kurra, geometri konularındaki çalışmaları ile de adını zamanımıza kadar
sürdürmüş olan ünlü matematikçilerimizden biridir. “Konikler” kitabı ile Apolonyos'a
şerh yazdı. Huneyn bin İshak tarafından Öklid'in Elementler adlı eserine yazılan şerhi,
ilaveler yaparak düzeltti. Menalaus, Apolonyos, Fisagor, Archimed, Öklid ve
Theodosus'un eserlerini Arapçaya şerh etmekle, geometriye, zaman için orijinal olan,
yeni bilgiler kazandırmıştır.
Georges Rivoire şunları yazar : " ...Cebirin geometriye uygulamasını,
müslümanlara borçluyuz. Bu da, 900 yılında vefat etmiş Sabit bin Kurra'nın eseridir."
c) Ebu'l Vefa ve Geometri
Trigonometri çalışmaları dışında, düzgün çokyüzlüler konusuyla da uğraşmıştır. 7
ve 9 kenarlı düzgün çokgenlerin yaklaşık çizimlerine dair yeni bir geometrik yöntem
ortaya koymuştur. Kısmen Hint modellerine dayalı olarak ortaya koyduğu geometrik
çizimleri, geometri bakımından önem taşır. Ebu'l Vefa'nın çizim geometrisine ait
ortaya koyduğu çalışmalarına dair bir fikir verebilmek için üç ayrı problemini örnek
olarak belirtelim. Bunlar:
1) Pergelle daire içine, açıklığını bozmadan kare çizmek.
2) Verilen bir doğru parçasını, pergel yardımıyla eşit parçalara bölmek.
3) Verilen bir kare içine, eşkenar bir üçgen çizmek.
Matematik tarihi incelendiğinde; ünlü matematikçilerden, Thales, Öklid,
Pisagor'un hazırladıkları eserler ve bu eserlerinde ortaya attıkları teoremler; Harezmi,
Ömer Hayyam, Sabit bin Kurra, Beyruni, Nasirüddin Tusi'nin yazdıkları şerhler ve
ortaya koydukları görüşler sonucu, geometri yeni boyutlar kazanmıştır.
İ.Ö.1100 yıllarında yazıldığı sanılan Çinlilerin ünlü Nine Sections (Dokuz Bölüm)
kitabında dik açılı üçgen ve ispatsız olarak Pisagor Teoremi vardır. Daha sonraki Çin
geometrilerinde ölçümleri içeren çok zeki buluşlar vardır. Yine geometrik görünümle
Pisagor teoreminin ispatı yapılmıştır. Bu geometrik şekille verilen kitabın İ.Ö. 2000
yıllarında yazıldığı sanılıyor.
Hintlilerin yerli geometrilerinde ise matematiksel ispat yoktur. Daha çok görsel
ve deneysel ölçülere dayanan kuralları vardır. Bunlar da o kadar ileri bir geometri
oluşturmaz. Bin yıllık bir süre boyunca kullanılan Yunan geometrisi ise daha çok
görseldir. Eski Roma geometrisi daha çok kullanım alanlarına yöneliktir.
Geometrinin kilometre taşları şöyle sıralanabilir:
İsa’dan önce Thales, Euclides, Apollonios, Archimedes ilk akla gelenlerdir. Daha sonra
Descartes (1637), Desarques (1639), Lazer Carnot(1803), Jean Victor Poncelet
(1822), Janos Bolyai (1823), Michei Chasles (1837), N.Lobaçevsky (1840), Bernard
Riemann (1867), C.Felix Klein (1872), DavidHilbert (1899) ve Albert Einstein
(1921)olarak sayılabilir.
Çokgenler
Çokgen, düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n tane (n ³ 3)
noktayı ikişer ikişer birleştiren parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir.
Çokgenlerin elemanları
-A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir. Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır.
-İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir.
-İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir.
-Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir.
Çokgen Çeşitleri
Çokgenler ikiye ayrılır.İçbükey (konkav) çokgenler ve dışbükey (konveks) çokgenler
olmak üzere ikiye ayrılır.
1) İçbükey (konkav) çokgenler
Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey
çokgen denir.
Dışbükey (konveks) çokgenler
Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir.
Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri
a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı
(n – 2) . 180°
Dörtgen için (4 – 2) . 180° = 360°Üçgen için (3 – 2) . 180° = 180°
Beşgen için (5 – 2) . 180° = 540°
b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde,
Dış açılar toplamı =360°

c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin
n(n-3)/2
Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.
n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir.
Düzgün Çokgenler
Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere
düzgün çokgen denir.
a. Düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember
geçer. Bu çembere çevrel çember denir.
b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.
c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir.
d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı
ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade
edilir
e. n kenarlı düzgün bir çokgende bir iç açının ölçüsü
(n – 2) . 180°/ n
f. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış
açısının ölçüsü
360° / n
Dörtgenler
Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla
birleştirilmesinden elde edilen çokgene DÖRTGEN denir.
A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına
ise kenarları denir.
*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 3600’dir.
m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600
*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 3600’dir.
m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=3600
Dikdörtgen
Dikdörtgen, karşılıklı kenarları birbirine eşit, dik ve paralel olan dörtgene denir.
Özellikleri
-Dikdörtgenin dört iç açısı da 90 derecedir. İç açıları toplamı 360 derecedir.
-Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine eşittir.
-Dikdörtgen simetrik bir şekildir.
-Dikdörtgenin iki tane köşegeni vardır. Uzunlukları eşittir.
-Dikdörtgenin çevre uzunluğu Ç=2(a+b) dir
-Dikdörtgenin alanı A=a.b dir.
Kare
Bütün kenarları ve açıları (90'ar derece) birbirine eşit olan dörtgendir. Matematiğin en
temel geometrik şekilleri arasındadır. Aynı zamanda dikdörtgendir ve eşkenar
dörtgendir. Bu iki özel dikdörtgenin tüm özelliklerini taşır.Aynı zamanda kare bir
düzgün çokgendir.
Özellikleri
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Dört kenarının da uzunluğu birbirine eşittir.
Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
Dört açısı da 90 derecedir.
İki adet köşegeni vardır. Bu köşegenler aynı zamanda açıortaylardır ve
uzunlukları birbirlerine eşittir. Köşegenleri birbirini dik ortalar.
Köşegenlerin kesim noktası 90 derecedir.
Köşegenlerin kesiştikleri nokta karenin ağırlık merkezidir.
Çevresi a.4 veya 'a+a+a+a'ya eşittir.
Alanını bulmak için bir kenar uzunluğunun karesi alınır.
Paralelkenar
Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralel kenar denir. (Şek.12)
[AB] // [DC] ve [BC] // [AD]
Özellikleri:
1- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. [AB]=[DC], [AD]=[BC]
2-Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. m(A)=m(C), m(B)=m(D)
3-Aynı kenara ait bitişik açılar birbirlerinin bütünleridir.
m(A)+m(B)=180, m(B)+m(C)=180, m(C)+m(D)=180, m(D)+m(A)=180
4-Köşegenler birbirlerini ortalar.(Şek.13) [AO]=[OC], [BO]=[OD]’dir.
5-Köşegenler paralel kenarı 4 eş alana ayırırlar.
A(OAB)=A(OBC)=A(OCD)=A(ODA)
Eşkenar Dörtgen
Geometride bir eşkenar dörtgen (baklava dilimi, rhombus veya rombus da denir), dört
kenarı eşit uzunlukta bir dörtgendir. Kısaca kenar uzunlukları birbirine eş olan
dörtgene eşkenar dörtgen denir.
Eşkenar Dörtgenin Özellikleri
-Karşı açılar eşittir.
-Bitişik açılar bütünlerdir
-Köşegenler birbirine diktir.
-Köşegenler açıortaydır.
-İki köşegen birbirini ikiye böler
-Eşkenar dörtgen bir teğetsel dörtgendir.Yani, dört kenarına da teğet olan bir dış
teğet çember vardır.
Not: Her eşkenar dörtgen bir paralelkenardır.
Yamuk
En az 2 kenarı paralel olan dörtgenlere yamuk denir.
Şekildeki ABCD yamuğunda [AB] // [DC] dir.
1. Yamukta açılar
[AB] // [DC] olduğundan
x + y = 180°
a + b = 180°
2. Yamuğun Alanı
ABCD yamuğunda paralelkenarlar arasındaki uzaklığa yamuğun yüksekliği denir.
Alt tabanı |DC| =a,
üst tabanı |AB| = c
yüksekliği |AH| = h
ABCD yamuğunun alanı
Yamukta Orta Taban
a. ABCD yamuğunda E ve F kenarların orta noktaları ise EL doğrusuna orta taban denir.
[AB] // [EF] // [DC]
İkizkenar Yamuk
Paralel olmayan kenarları eşit olan yamuklara ikizkenar yamuk denir.
a. İkizkenar yamukta taban ve tepe açıları kendi aralarında eşittir.
b. İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenlerin kesiştiği noktaya E dersek
|AE| = |EB|
|DE| = |CE|

Köşegen uzunlukları birbirine eşit olan her yamuk ikizkenardır.
c. İkizkenar yamukta üst köşelerden alt tabana dikler çizilmesiyle ADK ve BCL eş dik üçgenleri
oluşur. |DC| = a
|KL| = c
Dik Yamuk
Kenarlarından biri alt ve üst tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir.
|AD| = h aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.
ETKİNLİK-1
DERS
: Matematik
SINIF
:7
ÖĞRENME ALANI
: Ölçme
ALT ÖĞRENME ALANI : Dörtgensel Bölgelerin Alanı
KAZANIMLAR
: Çevre uzunluğu ile alan arasındaki ilişkiyi açıklar.
ARAÇ VE GEREÇLER : Cetvel, açıölçer, kareli-noktalı veya izometrik kâğıt,
çalışma
yaprağı, geometri tahtası
SÜREÇ:
TARİHÇE:
Mısırlılar, kare ve dikdörtgen alanlarını, doğru bir şekilde hesaplayabiliyorlardı.
Düzgün olmayan bir yüzeyin planını ise, dörtgenleştirme yoluyla elde ediyorlardı.
Üçgen alanı bilgisinden hareket ederek de, yamuğun alanını elde ediyorlardı.
MOTİVASYON:
Öğretmen sınıfa araç gereçleriyle girer. Öğrencilere anlatacağı konuyla ilgili
giriş soruları sorar.
1) Çevrenizde ne gibi şekiller görüyorsunuz?
Öğrencilerden beklenen cevaplar: yıldız, masa, pencere, kapı, futbol topu vb.
2) Bu şekiller size herhangi bir şey çağrıştırıyor mu?
Öğrencilerden beklenen cevaplar: Matematiksel şekilleri çağrıştırıyor.
3) Peki, matematiksel şekillere örnek verebilir misiniz?
Öğrencilerden beklenen cevaplar: Dörtgenler, Kare, üçgen, dikdörtgen,
paralelkenar…
4)Bu şekillerin çevresini , alanlarını nasıl bulursunuz?
Bugünkü dersimizde çeşitli dörtgenlerin çevrelerini va alanlarını bulmaya çalışacağız.
KEŞFETME:
Tangram, taş, kemik, plastik veya tahtadan yapılmış olan geometrik biçimlerdeki
yedi adet parçayı bir araya getirerek çeşitli formlar oluşturma esasına dayalı yaratıcı
bir zeka oyunudur. Hedeflenen form, geometrik bir şekil, hareket halindeki bir insan
figürü, hayvan figürü, alfabedeki bir harf ya da benzeri bir şey olabilir. Hedef olarak
belirlenen formu oluşturabilmek için, yedi parçanın tamamını kullanmak gerekir. Bu
parçalar, farklı büyüklüklerdeki beş adet üçgen, bir adet kare ve bir
adet paralelkenardır.
Öğrenciler gruplara ayrılır ve tangram parçaları gruplara dağıtılır.
b
b
b
b
a
a
a


1)
c
a
b
Gruplar kendi aralarında çeşitli şekiller oluştururlar. Verilen uzunluk isimlerine
göre oluşturdukları şeklin çevresini hesaplarlar.
Bulunan değerler tahtaya yazılır ve karşılaştırılır.
Çevresi = a + a + a + b + c + a
= 4a + b + c
Alanı = yeşil alan + mavi alan + pembe alan
2)
Çevresi = b + b + a + b + b – a + a + a + c – b
= 3b + 2a +c
Alanı = yeşil alan + mavi alan + pembe alan
Sonuç; birinci şeklimizin çevresi ile ikinci şeklimizin çevre uzunluklarının eşit olmadığı
açıkça görülmektedir.
Çevresi= a+a+a+b-a+a+b-a+b+a+a
= 4a+3b
Alanı= Kırmızı+ Mavi+Yeşil Alan
Çevresi= a+a+a+b-a+a+a+a+a
= 6a+b
Alanı= Kırmızı+ Mavi+Yeşil Alan
Sonuç; birinci şeklimizin çevresi ile ikinci şeklimizin çevre uzunluklarının eşit olmadığı
açıkça görülmektedir.
AÇIKLAMA
Bu örnekleri sayıca arttırabiliriz. Bu şekilde örnekleri çoğaltarak şu sonuca
ulaşırız:
Alanları aynı olan şekillerin çevreleri farklı olabilir.
ETKİNLİK-2
DERS
SINIF
ÖĞRENME ALANI
ALT ÖĞRENME ALANI
BECERİLER
KAZANIMLAR
ARAÇ VE GEREÇLER
: Matematik
:7
: Ölçme
: Dörtgensel bölgelerin alanı
: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme
: Yamuksal bölgenin alan bağıntısını oluşturur.
:Cetvel, kareli-noktalı veya izometrik kâğıt, çalışma
yaprağı, makas
KEŞFETME


Öğrenciler 4 kişilik gruplara ayrılır.
Gruplardan tahtaya çizilen yamuğu kareli kâğıda çizmeleri istenir.
Yükseklik: h
Üst kenar: a
Alt kenar: b olan yamuk



Verilenlere göre yamuğun alan formüllerini keşfetmeleri istenir.
Gruplar kendi aralarında beyin fırtınası yaparlar.
Elde edilen sonuçlar tahtaya yazılır.
1. grup: Yamuğu paralelkenar ve üçgen olmak üzere iki parçaya ayırdık.
Paralelkenar ve üçgenin alanlarını ayrı ayrı bulup topladık.
a
h
a
b-a
Yamuğun alanı = Paralelkenarın alanı + Üçgenin alanı
= a.h + [(b-a).h]/2
= [a.h.2 + b.h-a.h]/2
= [a.h + b.h]/2
= [(a+b).h]/2
= [(Yamuğun alt kenarı + Yamuğun üst kenarı). Yükseklik]/2
2. grup:
Yamuğun aynısını çizdik. İkinci yamuğumuzu ters çevirip birinci
yamuğumuza ekledik ve paralelkenar oluşturmuş olduk. Paralelkenarın alanını
bulup ikiye böldük ve yamuğun alanını bulmuş olduk.
a
b
h
b
a
Yamuğun alanı = Paralelkenarın alanı/2
= [(a+b).h]/2
= [(Yamuğun alt kenarı + Yamuğun üst kenarı). Yükseklik]/2
3. grup: Yamuğun köşegenini çizip iki üçgen oluşturduk. Üçgenlerin alanlarını
ayrı ayrı bulup topladık ve yamuğun alanını elde ettik.
a
1
h
2
b
Yamuğun alanı = 1. üçgenin alanı + 2. üçgenin alanı
= a.h/2 + b.h/2
= [(a+b).h]/2
= [(Yamuğun alt kenarı + Yamuğun üst kenarı). Yükseklik]/2
4. grup ve 5. grup bir sonuca ulaşamadılar.
6. grup ise 2. grup ile aynı sonuca ulaştı.
AÇIKLAMA
Grupların buldukları sonuçlar üzerinde tartışılarak yamuğun alanının formülü bulunur.
Yamuğun alanı= [(a+b).h] /2 olduğu sonucuna varılır. Daha sonra dik yamuk ve
ikizkenar yamuk şekli çizilir ve formüle ulaştıkları yolları bu yamuklar üzerinde
uygulamaları istenir. Bulunan formülün bütün yamuklar için geçerli olduğu anlaşılır.
Öğretmen de yamuğun alanının formülünün [(a+b).h] /2 olduğunu söyler. Çalışma
yaprağı ile öğrenilenler pekiştirilir.
Bulduğumuz formülü dik yamuk üzerinde de uygulayalım.
1. sonuca göre; yamuğu paralelkenar ve bir dik üçgen olmak üzere iki parçaya
ayırdık. Dik üçgen ve paralelkenarın toplamından dik yamuğun alanına ulaştık.
a
h
b
Yamuğun alanı = Paralelkenarın alanı + Üçgenin alanı
= a.h + [(b-a).h]/2
= [a.h.2 + b.h-a.h]/2
= [a.h + b.h]/2
= [(a+b).h]/2
2. sonuca göre; dik yamuğun aynısını çizdik. İkinci yamuğumuzu ters çevirip
birinci yamuğumuza ekledik ve dikdörtgen oluşturmuş olduk. Dikdörtgenin alanını
bulup ikiye böldük ve dik yamuğun alanını bulmuş olduk.
a
b
h
b
a
Yamuğun alanı = dikdörtgenin alanı/2
= [(a+b).h]/2
= [(Yamuğun alt kenarı + Yamuğun üst kenarı). Yükseklik]/2
3. sonuca göre; Yamuğun köşegenini çizip iki üçgen oluşturduk. Üçgenlerin
alanlarını ayrı ayrı bulup topladık ve dik yamuğun alanını elde ettik.
a
Dik Yamuğun alanı = 1. üçgen + 2. üçgen
= a.h/2 + b.h/2
= [(a+b).h]/2
=[(dik yamuğun alt kenarı + dik
yamuğun üst kenarı). Yükseklik]/2
h
b
Değerlendirme çalışması olarak çalışma kâğıdı dağıtılır, öğrencilere yaptırılır.
1)
ABCD bir ikizkenar yamuk
Şekildeki verilere göre, ABCD ikizkenar yamuğunun alanı kaç cm² dir.
2)
Şekildeki AEK üçgenin alanı 4 cm², CKF üçgenin alanı 8 cm² olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı
kaç cm² dir?
3)
4)
ETKİNLİK-3
DERS
SINIF
ÖĞRENME ALANI
ALT ÖĞRENME ALANI
BECERİLER
KAZANIMLAR
oluşturur.
ARAÇ VE GEREÇLER :
: Matematik
:7
: Ölçme
: Dörtgensel bölgelerin alanı
: İletişim, ilişkilendirme, akıl yürütme
: Eşkenar dörtgensel bölgelerin
alan
bağıntılarını
Cetvel, kareli-noktalı veya izometrik kâğıt, çalışma yaprağı,
makas
DİKKAT ÇEKME
Öğretmen: Günlük hayattan eşkenar dörtgen örnekleri verebilir misiniz?
- Baklava dilimi vb.
Eşkenar dörtgen geometrik şekillerden hangisine benzer?
- Paralelkenara benzer.
Paralelkenarın özellikleri nelerdir?
- Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eşittir. Karşılıklı açıların toplamı
180 dereceye eşittir. Köşegenler birbirini ortalar, ancak dik kesişmez.
Peki, eşkenar dörtgen paralelkenarın tüm özelliklerini taşır mı?
- Çoğu özelliğini taşır. Farklı olarak eşkenar dörtgenin köşegenleri dik
kesişir.
Bir de eşkenar dörtgenin tüm kenarları birbirine eşittir.
KEŞFETME


Öğrenciler gruplara ayrılır. Gruplara kareli kâğıtlar ve makaslar verilir.
Eşkenar dörtgenin alan formülünün keşfedilmesi istenir.
e/2
f/2
Alt kenar: a
Yükseklik: h
Uzun köşegen: e
Kısa köşegen: f

Verilen süre sonunda gruplar sonuçlarını açıklarlar. Bütün grupların sonuçları
tartışılarak iki tane sonuç tahtaya yazılır.
1. Yol: Kâğıda eşkenar dörtgen çizilir. Eşkenar dörtgen makasla kesilir. Kesilen
eşkenar dörtgenin köşegenleri çizilir. Köşegenlerin oluşturduğu üçgenler de
kesilir. Bu üçgenlerden uygun bir şekilde dikdörtgen elde edilir. Dikdörtgenin
bir kenarı eşkenar dörtgenin köşegeninin birinin uzunluğuna, diğer kenarı ise
eşkenar dörtgenin diğer köşegeninin uzunluğunun yarısının uzunluğuna eşit
oldu. Dikdörtgenin alan formülünden eşkenar dörtgenin alan formülü
köşegenlerinin çarpımının yarısına eşit olduğu bulunur.
f/2
e/2
e/2
f
Eşkenar dörtgenin alanı = dikdörtgenin alanı = f. e/2
= (e.f)/2
= Eşkenar dörtgenin köşegenler çarpımı/2
2. Yol: Kareli kâğıda kısa kenarı dört birim, uzun kenarı altı birim olan dikdörtgen
çizilir. Dikdörtgenin içine kenarlarının orta noktaları birleştirilerek eşkenar
dörtgen çizilir. Kareler sayılarak eşkenar dörtgenin alanının dikdörtgenin
alanının yarısına eşit olduğu anlaşılır. Yani eşkenar dörtgenin alanının,
köşegenlerin çarpımının yarısına eşit olduğu bulunur.
Dikdörtgenin alanı = 24 kare
Eşkenar dörtgenin alanı = 12 kare
f
e
Eşkenar dörtgenin alanı = dikdörtgenin alanı/2
= (e.f)/2
= Eşkenar dörtgenin
köşegenler
çarpımı/2
3. Yol: Eşkenar dörtgen de bir paralelkenar olduğuna göre, eşkenar dörtgenin
alanını paralelkenarın alanını bulur gibi buluruz.
Eşkenar dörtgenin alanı = Yükseklik X Yüksekliğin indiği kenar
Değerlendirme çalışması olarak çalışma kâğıdı dağıtılır, öğrencilere yaptırılır.
1)
2)
3)
4)
ETKİNLİK 4
SINIF
: 6.Sınıf
ÖĞRENME ALANI
: Ölçme
ALT ÖĞRENME ALANI : Dörtgensel bölgelerin alanı
KAZANIM
: Düzlemsel Bölgenin Alanıyla İlgili Problemleri Çözer
ÖNBİLGİLER:
 Uzunluk ve alan ölçme birimleri bilinmelidir.
 Dikdörtgensel, üçgensel, paralelkenarsal, karesel bölgelerin alanları
bilinmelidir.
ARAÇ GEREÇLER: Etkinliğin uygulanabilmesi için geometri tahtası gerekmektedir.



Öğretmen etkinlikte kullanacağı geometri tahtalarıyla beraber sınıfa girerek
dikkati çekmeyi gerçekleştirir.
Daha önce değişik çokgensel bölgelerin alanını bulmayı öğrenmiştik diyerek
ön öğrenmeler hatırlatılır.
Her öğrenciye birer geometri tahtası dağıtılır. Aşağıdaki etkinlik yaptırılır.
KEŞFETME

Geometri tahtasında oluşturulmak istenen şekiller oluşturulur. Oluşturulan
şekle göre tablodaki boşluklar doldurulur. Verilere göre alan formülünün
keşfedilmesi istenir.
Oluşturulacak
şekil
1 br X 1 br lik kare
2 br X 2 br lik dik
üçgen
2 br X 2 br lik kare
3 br X 3 br lik dik
üçgen
2 br X 3 br lik
dikdörtgen
2 X 4 br lik
dikdörtgen
3 X 4 br lik üçgen
Lastiğin değdiği
çivi sayısı
Lastiğin içinde kalan çivi
sayısı
Kapladığı alan
Öğrencilerden oluşturulmasını istediğimiz tablo
Oluşturulacak
şekil
Lastiğin değdiği
çivi sayısı
Lastiğin içinde kalan Kapladığı alan
çivi sayısı
(birimkare cinsinden)
1 br X 1 br lik kare
4
0
1
2 br X 2 br lik dik
üçgen
6
0
2
2 br X 2 br lik kare
8
1
4
3 br X 3 br lik dik
üçgen
9
1
4,5
2 br X 3 br lik
dikdörtgen
10
2
6
2 X 4 br lik
dikdörtgen
12
3
8
3 X 4 br lik üçgen
8
3
6
Öğrenciler aşağıdaki formülü bulurlar ve öğretmen “aferin” diyerek öğrencilerini
pekiştirmiş olur.
Alan= ( Lastiğin değdiği çivi sayısı:2)+Lastiğin içinde kalan çivi sayısı-1
*Lastiğin içinde kalan çivi sayısı lastiğin değmediği çivi sayısını ifade eder.

Bu etkinlik tamamlandıktan sonra öğrencilere aşağıdaki şekil verilir ve
oluşturmaları istenir. Oluşturdukları şeklin alanını bulmaları istenir.
Düzgün olmayan çokgensel bölgelerin alanlarını bulmak için PİCK TEOREMİ diye
bir teoremin varlığından bahsedilir ve teoremin kuralı açıklanır.
AÇIKLAMA
Birim karelerden oluşan bir düzlemde bu karelerin köşelerini kullanarak
oluşturduğumuz çokgensel bölgelerin alanını bulmakta bazen zorlanabiliriz. Pick
Teoremi adı verilen bu teoremle bütün çokgensel bölgelerin alanlarını rahatlıkla
hesaplayabiliriz.
PROBLEM: Kenar uzunlukları 7br 9br 5br 4br ve 6br olan bir beşgensel bölge halıyla
kaplanmak istenmektedir. Kaç br2 halı gerekmektedir?
KAYNAKÇA
İlköğretim Matematik Dersi 6-8. Sınıflar Programı Ocak 2009
http://www.msxlabs.org/forum/matematik/10533-geometrinin-tarihcesi.html#ixzz2BYiWMWXc
http://www.herturlu.org/geometrinin-tarihcesi/#ixzz2BYoDRlfG
http://www.matematiktutkusu.com/ilkogretim-matematik/16-pick-teoremi-ispati-nedir.html
http://www.renkliweb.com/soru-cevap-2/dortgen-cesitleri-ve-ozellikleri-nelerdir-orneklerleaciklayiniz.html