modern mantık 5

Oluşturma Kuralları
Şimdi, buraya kadar ortaya konan biçimsel dili daha kesin olarak tanımlamaya geçebiliriz.
Önermeler mantığının dilinde olduğu gibi burada da dilin söz dağarcığını iki kısma ayırıyoruz:
yorumlanması yani nasıl anlaşılacağı her bağlam için değişmeden kalan mantıksal semboller ve
yorumlanması konudan konuya değişen mantıksal-olmayan semboller.
Mantıksal Semboller
Mantıksal operatörler: ‘’, ‘’, ‘’, ‘’, ‘’
Niceleyiciler:
Değişkenler:
Parantezler:
‘’, ‘’
‘u’dan ‘z’ye kadar olan küçük harfler
‘(‘, ‘)’
Mantıksal-olmayan Semboller
Ad harfleri:
‘a’dan ‘t’ye kadar olan küçük harfler
Yüklem harfleri:
bütün büyük harfler
Harflerin yetmediği durumlarda, burada da numaralandırmaya gidilebilir: a3, P143 gibi.
Bu dil içindeki bir biçim, bu dilin mantıksal veya mantıksal-olmayan söz dağarcığından
oluşturulmuş sonlu bir dizidir.
Bir atomik biçim, ya tek başına bir yüklem harfi veya bir yüklem harfi ile onu takip eden bir
dizi ad harfinden oluşur. Hiçbir ad harfinin takip etmediği yüklem harfleri, önermeler mantığının
cümle harfleri olarak yorumlanırlar. Bunlar, bir cümlenin içsel yapısını biçimsel dile yansıtmak gerekli
olmayan durumlarda bütün bir cümleyi göstermek için kullanılırlar. Eğer yüklem harfini takip eden ad
harflerinin sayısı n ise, bu yüklem n-değişkenli bir yüklem demektir. Bu durumda cümle harfleri de
sıfır-değişkenli yüklemler olarak görülebilir.
Yüklemler mantığında iyi-kurulmuş biçim (ikb) kavramı, aşağıdaki oluşturma kuralları ile
tanımlanmıştır. Burada biçimsel dildeki bir ifadeyi göstermek için yine Yunan alfabesinden alınma
harfleri kullanacağız.
(1) Herhangi bir atomik biçim bir ikb’dir.
(2) Eğer Φ bir ikb ise Φ de bir ikb’dir.
(3) Eğer Φ ve Ψ birer ikb ise (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) de birer ikb’dir.
(4) Eğer Φ, içinde α ad harfi geçen bir ikb ise,βΦβ/α veya βΦβ/α şekline sahip her biçim de
birer ikb’dir. Burada Φβ/α başlangıçtaki ikb olan Φ’de kullanılmış bir veya daha fazla α ad harfi
yerine Φ’de kullanılmamış bir β değişkeninin yazılması ile elde edilmiş biçimdir.
Sadece bu dört kuralın kullanılması veya tekrar tekrar uygulanması ile elde edilen biçimler ikb’dir.
Görüldüğü üzere kural 2 ve 3, önermeler mantığındaki kurallarla aynıdır. Kural 1, öncekine
kıyasla biraz daha geniştir, zira atomik biçimin tanımı daha fazla çeşitten atomik biçimlere izin
vermektedir. Kural 4 ise tamamen yenidir. Bu kuralın nasıl işlediğini anlamak için Φ gibi belirli bir
ikb’den bu kuralın uygulanması ile nicelenmiş biçimlerin nasıl oluşturulduğuna bakalım. Φ dediğimiz
ikb ‘(Fa Gab)’ olsun. (Bunun bir ikb olduğunu söyleyebiliriz, çünkü ‘Fa’ ve ‘Gab’, kural 1 gereği birer
ikb’dir ve ‘(Fa Gab)’ ise kural 3 gereği bir ikb’dir.) Şimdi Φ, iki tane ‘a’ ve ‘b’ diye ad harfi içeriyor.
Bunlardan herhangi birisini kuraldaki α olarak seçebiliriz. Burada ‘a’yı seçelim. Kural bize diyor ki,
Φ’de bulunmayan β diye bir değişken seçin. Bunun için burada herhangi bir değişkeni seçebiliriz, zira
Φ hiçbir değişken içermiyor. Öyleyse β için ‘x’ değişkenini seçelim. Bu durumda Φ’de α yerine (yani
‘a’ yerine) β yazmakla (yani ‘x’ yazmakla) elde edeceğimiz üç tane Φβ/α şeklinde biçim vardır:
(Fx Gxb)
(‘a’ların hepsi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
(Fx Gab)
(‘a’ların birincisi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
(Fa Gxb)
(‘a’ların ikincisi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
Bu biçimlerin kendileri ikb değildir, ama kural 4’ün dediğine göre bunlardan birinin önüne evrensel
niceleyiciyi ve onu takiben ‘x’i yazmakla elde edilen biçim, yani βΦβ/α bir ikb’dir. Demek ki,
x (Fx Gxb)
x (Fx Gab)
x (Fa Gxb)
(‘a’ların hepsi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
(‘a’ların birincisi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
(‘a’ların ikincisi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
kural 4 gereği birer ikb’dir. Aynı kural bunlardan birinin önüne varlıksal niceleyiciyi ve onu takiben ‘x’i
yazmakla elde edilen biçimin de, yani βΦβ/α bir ikb olduğunu söylemektedir. O halde,
x (Fx Gxb)
x (Fx Gab)
x (Fa Gxb)
bunlar da ikb’dir. Böylece kural 4’ü, nicellenmemiş ‘(Fa Gab)’ ikb’sine tek bir ad harfi için
uygulayarak altı tane nicelenmiş ikb elde ettik. Ad harfi ‘b’yi α olarak seçerek veya β olarak ‘x’ten
farklı değişkenler seçerek başka ikb’ler de elde edilebilir. Örneğin artık ‘x (Fx Gxb)’nin bir ikb
olduğunu bildiğimize göre α olarak ‘b’yi ve β olarak ‘y’yi seçmek suretiyle buna kural 4’ü ikinci defa
uygulayarak aşağıdaki iki ikb’yi elde ederiz:
yx (Fx Gxy)
yx (Fx Gxy)
Dikkat edilirse, kural 4 bir ikb’ye değişkenleri ekleyebilmemizi sağlayan kuraldır ve bir ikb’ye
bir değişkeni ancak bu ikb’nin önüne bu değişkene karşılık gelen bir niceleyiciyi yazmak suretiyle
ekleyebiliriz. Demek ki bir biçim bir değişken içeriyorsa ama bu değişkene karşılık gelen bir niceleyici
bulunmuyorsa (örneğin ‘Fx’ gibi) bir ikb değildir. Aynı şekilde, bir biçimin önüne bir niceleyici artı bir
değişken yazılmışsa ama bu değişken, biçimin içinde kullanılmamışsa (örneğin ‘x Pa’ gibi) bu biçim
bir ikb sayılmaz.
Kural 4’te “Φ’de kullanılmamış bir β değişkeni” denilmesinin sebebi, aynı değişkeni kullanan
niceleyicilerin aynı biçimin çakışan/üst üste binen kısımlarına uygulanmasını engellemektir. Mesela,
‘xOxa’ kural 1 ve 4 gereği bir ikb olsa da, kural 4’te geçen sözü edilen ifade ‘x’ değişkenini kullanan
yeni bir niceleyicinin eklenmesini ve ‘xxOxx’ şeklinde bir biçimin elde edilmesini engellemektedir,
ki bu biçimin yanlış kurulmuş olduğunu yukarıdaki 2. hususta belirtmiştik. Kural 4’teki sözü edilen
ifade, ayrıca ‘x (FxxGx)’ gibi biçimleri de kural dışı bırakmaktadır, çünkü bu biçim ancak
‘(FaxGx)’ şeklindeki ikb’ye kural 4’ün uygulanması ile elde edilebilir, oysa bu ikb’de ‘x’ değişkeni
zaten kullanılmış durumdadır. Fakat kural 4 ‘(xFxxGx)’ gibi biçimlere izin verir, çünkü aynı
değişken, biçimin çakışmayan kısımlarına uygulanmıştır. Bu biçim gerçekten de bir ikb’dir zira
kendileri de kural 1 ve 4 gereği birer ikb olan ‘xFx’ ve ‘xGx’e kural 3’ün uygulanması ile elde
edilmiştir.
Özetle, bir biçimin bir ikb olduğunu göstermek için, onun oluşturma kuralları ile
kurulabildiğini gösteririz.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
6.7 ‘x (FxzGzx)’ biçiminin bir ikb olduğunu gösteriniz.
ÇÖZÜM
Kural 1 gereği ‘Fa’ ve ‘Gba’ birer ikb’dir. Bu durumda, kural 2 ve 4 gereği,
sırasıyla ‘Fa’ ve ‘zGza’ birer ikb’dir. Bu iki biçime kural 3’ün uygulanması
‘(Fa zGza)’nın bir ikb olduğunu gösterir. Dolayısıyla, kural 4 gereği
‘x (Fx zGzx)’ bir ikb’dir, ki buradan da kural 2 gereği
‘x (Fx zGzx)’ bir ikb’dir.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
xL xz
(Fa)
(x FxGx)
x (Fx)
(x Fx)
x y Fx
xx (FxGx)
xFxxGx
ÇÖZÜM
(a) ‘z’ değişkenine karşılık gelen bir niceleyici yok.
(b) Atomik ikb’ler paranteze alınmaz (bkz. kural 1).
(c) ‘x’ değişkeni, son kullanımı için nicelenmemiş. Bununla beraber
‘x (FxGx)’nin bir ikb olduğuna dikkat ediniz.
(d) Gereksiz parantezler.
(e) Gereksiz parantezler.
(f) ‘y’ niceleyicisi ‘y’nin ikinci kez kullanılmasını gerektiriyor (bkz. kural 4).
(g) Niceleyiciler mantıksal biçimin çakışan kısımlarına uygulanmış.
(h) Parantezler eksik.
Önermeler mantığında olduğu gibi burada da en dış parantezlerin kaldırılması şeklindeki
istisnayı uygulayacağız. Bu yüzden, örnek 6.8 (h)’deki biçim resmi olarak bir ikb olmasa da bunu
kısaltılmış bir yazım olarak göreceğiz. Bununla birlikte, parantezler en dış parantezler olmadıklarında
onları kaldırmaya izin yoktur. Bu yüzden, örneğin ‘x(Fx Gx)’ biçimindeki parantezleri
kaldıramayız.