Mesnet Tepkileri

5
RİJİT CİSİM DENGESİ
İKİ BOYUTTA RİJİT BİR CİSMİN DENGESİ: Parçacıklara
etkiyen kuvvetlerin aksine, rijit cisimlere etkiyen kuvvetler, genellikle
tek bir noktadan geçmezler. Dolayısıyla, bu kuvvetlerden kaynaklı
momentlerin etkisi altında cisim dönme ve ötelenme eğilimine
sahiptir.
Bu durumda rijit bir cismin dengede
kalabilmesi için gerek ve yeter şart;
bileşke kuvvet ve kuvvet çiftinin
(momentin) sıfıra eşit olmasıdır.


 Fx  0 ;
 FR  0
 M 
R O
0
M
x
F
 0 ; M
y
y
F  0
 0 ; M  0
0 ;
z
z
RİJİT CİSMİN DENGE PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ
Öncelikle, incelenen gerçek sisteme
Daha sonra, ideal model üzerine etkiyen tüm dış
kuvvetleri (aktif ve tepki kuvvetleri) gösteren bir
serbest cisim diyagramı (SCD) çizilir.
eşdeğer ideal bir model oluşturulur.
En son aşamada, denge denklemleri oluşturulup çözülür ve bilinmeyenler elde edilir.
SERBEST ÇİZİM DİYAGRAMI
Rijit bir cismin dengesini ele alan bir problemin çözümünde ilk adım incelenen cismin serbest cisim
diyagramını çizmektir.
*1 Öncelikle serbest cisim diyagramı çizilecek
sistem zeminden ve diğer tüm cisimlerden
ayrılmalıdır.
*2 Tüm dış kuvvet ve kuvvet çifti momentleri gösterilir.
Mesnet Tepkileri
Ay
2m
1200 N
1-) Cisme Uygulanan Yükler
Ax
M
3m
W = m.g
2-) İhmal edilmemişse cismin ağırlığı
Denge denklemleri oluşturulup çözülür ve bilinmeyenler elde edilir (Ax, Ay ve M).
İki Boyutta Rijit Cisimde Oluşan Mesnet Tepkileri (Bağ Kuvvetleri)
*Bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini engelliyorsa, cisim üzerinde söz konusu
doğrultuda bir kuvvet ortaya çıkar.
* Aynı şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde bir kuvvet çifti momenti uygulanır.
Bağ Tipleri
Tepki
Bilinmeyen Sayısı
Bir bilinmeyen. Tepki kablo doğrultusunda elemandan
uzaklaşan yönde etkiyen bir çekme kuvveti.
Kablo
Bir bilinmeyen. Tepki bağlantı çubuğu ekseni
boyunca etkiyen bir kuvvet.
Ağırlıksız çubuk
Bir bilinmeyen. Tepki temas noktasında yüzeye dik
etkiyen bir kuvvet.
Tekerlek
Bir bilinmeyen. Tepki temas
noktasında yüzeye dik etkiyen bir
kuvvet.
Salınan ayak
Bir bilinmeyen. Tepki temas noktasında
yüzeye dik etkiyen bir kuvvet.
Pürüzsüz temas yüzeyi
Bir bilinmeyen.Tepki oluğa dik etkiyen bir kuvvet.
Pürüzsüz oluklu tekerlek veya pim
Bir bilinmeyen. Tepki çubuğa dik etkiyen bir kuvvet.
Eleman,pürüzsüz çubuk üzerindeki bileziğe pimle bağlı
İki bilinmeyen. Kuvvetin iki bileşeni veya bileşke kuvvetin
büyüklüğü ve  doğrultusu.  ve  ’nın eşit olması gerekmez.
Pürüzsüz pim veya mafsal
İki bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve çubuğa dik etkiyen bir
kuvvet.
Eleman,pürüzsüz çubuk üzerindeki bileziğe sabit bağlı
Üç bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve iki kuvvet bileşeni
veya kuvvet çifti momenti ve bileşke kuvvetin büyüklüğü ve
 doğrultusu.
Sabit mesnet
Örnek 1: Her birinin kütlesi 300 kg
olan pürüzsüz iki boru, traktörün
tırnakları arasında durmaktadır. Her bir
borun için ve iki borunun aynı anda
serbest cisim diyagramlarını çiziniz.
B‘nin A üzerindeki etkisi
A üzerine eğimli
alt tırnağın etkisi
A üzerine ağırlığın etkisi
A üzerine eğimli yan
tırnağın etkisi
Örnek 2: Aşağıda görülen mekanik sistemlerin serbest cisim diyagramlarını çiziniz.
Örnek 3: Yanda görülen kirişin ağırlığını ihmal
ederek A ve B noktalarındaki mesnetlerde oluşacak
tepki kuvvetlerinin belirleyiniz.
Örnek 4: Yanda görülen kirişin ağırlığını ihmal
ederek A noktasındaki pim ve B noktasındaki mesnet
de oluşacak tepki kuvvetlerinin belirleyiniz.
Örnek 5: Yanda görülen kamyonetin
arkasındaki rampanın oluşturduğu
ağırlık kuvveti 400 N olup rampanın
iki yanındaki kablo tarafından
taşınmaktadır.
Kablolarda
ve
rampanın kamyonete bağlandığı A
noktasındaki
pimlerde
oluşacak
mesnet tepkilerini belirleyiniz.
İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar
Bazı denge denklemlerinin çözümü, sadece iki veya üç kuvvete maruz olan elemanlara ayırt
edilebilirse kolaylaşabilir (aşağıdaki örnekte, sadece A ve B noktalarında etkiyen iki kuvvet
vardır).
Şekildeki elemana denge denklemleri uygulanırsa, A ve B noktalarındaki bileşke kuvvetlerin
büyüklüklerinin birbirine eşit, doğrultularının aynı ve AB doğrusu olduğu, yönlerinin ise zıt
olması gerektiği kolaylıkla görülür. Bir eleman üzerine hiç moment uygulanmıyor ve kuvvetler
sadece iki noktada uygulanıyorsa, bu elemana iki kuvvetli eleman denir.

F
 0

M  0
Yalnızca üç kuvvete maruz kalan bir elemanın (parçanın) dengede olabilmesi için, bu
kuvvetlerin etki çizgilerinin bir noktada kesişmesi gerekir (paralel doğrular, sonsuzda
kesişirler). Yani bu üç kuvvet ya aynı noktadan geçmeli, ya birbirine paralel olmalıdır.
Üç kuvvetin herhangi ikisinin etki çizgisi O noktasında kesişsin, O noktasına göre moment
dengesi koşulunun sağlanması için (ΣM=0) üçüncü kuvvet de O dan geçmelidir.
Örnek 6: ABC kolu A da mafsallıdır ve BD parçasına
bağlanmıştır. Elemanların ağırlıkları ihmal edildiğine göre,
A da mafsalın kol üzerine uyguladığı kuvveti bulunuz.
* DB çubuğu iki kuvvet elemanıdır. D ve B pimlerindeki bileşke
kuvvet; eşit, zıt yönlü ve aynı doğrultuda olmalıdır.
* Kuvvetin büyüklüğü bilinmiyor ama B ve D den geçen etki çizgisi
biliniyor.
* ABC kolu üç kuvvet elemanıdır.
* Moment dengesi için bir birine paralel olmayan üç kuvvet bir O
noktasından geçmek zorundadır.
* Kol üzerindeki F kuvveti B de bağlantı parçası üzerine etkiyen F
ye eşit fakat zıt yönlüdür.
* 400 N ve F kuvvetinin etki çizgileri bilindiğinden CO mesafesi
0.5m olmalıdır.
 0 .7 

  60.3
 0 .4 
  tan 1 
   Fx  0;
   Fy  0;
FA cos 60.3  F cos 45  400 N  0
FA sin 60.3  F sin 45  0
FA  1.07 kN
F  1.32kN
Örnek 7: C noktasındaki üzerindeki makaraya sarılmış halatta oluşan T
çeki kuvvetini ve C mafsalında oluşan tepki kuvvetini hesaplayınız.
Makaraların ağırlıkları ve sistemde oluşacak sürtünme kuvvetleri ihmal
edilecektir.
Örnek 8: Şekildeki aygıt, bir asansör kapısını açık tutmak için
kullanılmaktadır. Katsayısı k=40 N/m olan yay 0.2 m sıkıştırıldığına göre,
A pimindeki tepki kuvvetinin yatay ve düşey bileşenleri ile B tekerlek
yatağındaki bileşke kuvveti belirleyiniz.
FS = k.s= 40. 0,20= 8 N
AX
AY
150 mm
125 mm 30o FB
Örnek 9: Şekildeki pürüzsüz çubuğun, gösterildiği gibi θ konumunda
dengede olması için P yükünün yerini belirleyen d mesafesi ne
olmalıdır? Çubuğun ağırlığı ihmal ediliyor.
A
R
   Fy  0;
R cos   P  0
  M A  0;
 a 
 P d cos    R
0
cos



 a 
Rd cos 2   R

 cos  
a
d 
cos 3 
Örnek 10: Düzgün boru A, B ve C temas noktalarından duvara
yaslanmaktadır. 180 N luk düşey kuvveti tutmak için bu noktalarda
olması gereken tepkileri belirleyiniz. Hesaplamalarda borunun
kalınlığını ihmal ediniz.
RA
RB
RC
  M A  0;
   Fy  0;

RC cos 30 o  RB cos 30 o  180  0
RC  255.64 N
RB  47.8 N



 Fx  0;

180 cos 30 o 36   180 sin 30 o 8  RC 20   RB 8 tan 30 o  0
R A  47.8 sin 30 o  255.64 sin 30 o  0
R A  103.9 N
ÜÇ BOYUTTA DENGE: Üç boyutlu denge problemlerinin çözümünde de ilk basamak serbest
cisim diyagramlarının çizilmesidir. Ancak bundan önce üç boyutta bağ çeşitleri ve bunlarda
oluşacak tepki kuvvetlerinin bilinmesi gerekir.
MESNET TEPKILERI: İki boyutlu halde olduğu gibi kuvvet, bağlı elemanın ötelenmesini
kısıtlayan bir mesnet tarafından oluşturulur, buna karşı kuvvet çifti momenti, bağlı elemanın
dönmesini engellediğinde ortaya çıkar.
DENGE DENKLEMLERI: Bir cismin dengede olması için cisim üzerine etkiyen net kuvvet
ve net moment sıfır olmalıdır, yani:

F  0

M  0
Bu iki vektörel denge denklemi, 6 tane skaler denge denklemi olarak ifade edilebilir.
F
M
x
0
x
0
;
F  0 ; F  0
; M  0 ;
M  0
y
z
y
z
Moment toplamında kullanılacak eksenin, olabildiğince çok bilinmeyen kuvvetin etki
çizgisini kesecek şekilde seçilmesi tavsiye edilir Çünkü bu takdirde, bu eksen üzerindeki
noktalardan geçen veya bu eksene paralel kuvvetlerin momenti sıfır olur.
RIJIT CISIM IÇIN BAĞLAR:
Fazla Bağlar: Bir cisim, gereksiz, yani cismi dengede tutmak için gerekenden fazla, mesnede
sahip ise, o cisim statik olarak belirsiz hale gelir.
Statik olarak belirsizlik, cisim üzerindeki bilinmeyen yükleme sayısının bu yüklemelerin
çözümü için kullanılabilen denge denklemi sayısından daha fazla olduğu durumu ifade eder.
Uygunsuz Bağlar: Aşağıdaki örnekte, 6 adet bilinmeyen kuvvet olmasına rağmen cismin AB
ekseni etrafında dönmesine hiçbir engel yok.
Bazı durumlarda, bilinmeyen sayısı toplam denge
denklemi sayısına eşit olsa da, mesnetlerdeki
uygunsuz bağ kuvvetleri nedeni ile cismin
kararsızlığı ortaya çıkabilir (yandaki şekildeki gibi).
Örnek 11: Yandaki şekilde gösterilen 100 kg
kütleli homojen plak, kenarları boyunca kuvvet
ve kuvvet çifti momentine maruzdur. Plak A ’da
tekerlek, B ’de küresel mafsal ve C ’de bir
halatla yatay düzlemde dengede tutulmaktadır.
Mesnetlerde
oluşan
tepki
kuvvetlerini
belirleyiniz.
Örnek 12: Yandaki şekilde gösterilen sistemde,
A ’da küresel mafsal, B ’de pürüzsüz kaymalı
yatak ve C ’de bir tekerlek bulunmaktadır.
Mesnetlerde
oluşan
tepki
kuvvetlerini
belirleyiniz.
Örnek 12: Yandaki şekilde gösterilen direkte O ’da
küresel mafsal bulunmaktadır. AB ve AC halatlarındaki
çekme kuvvetlerini belirleyiniz. Saksının oluşturduğu
ağırlık kuvveti 75 Newtondur.
Örnek 13: Yandaki şekilde gösterilen levhanın A
noktasında bulunan küresel mafsalda oluşacak tepki
kuvvetlerini BD ve EC halatlarındaki çekme kuvvetlerini
belirleyiniz.
Örnek 14: Şekilde gösterilen çubuk A noktasında kaymalı
yatak, D noktasında küresel mafsal BC ipiyle
tutulmaktadır. Sadece bir denge denklemi kullanarak BC
ipindeki çekme kuvvetini belirleyiniz. A noktasındaki
kaymalı yatak çubuk üzerine uygun yerleştirilmiş olması
nedeniyle, sadece z ve y eksenleri doğrultusunda kuvvet
bileşeni taşımaktadır.
Skaler Çözüm;