1 ba˘gıntılar ve fonks˙ıyonlar

1
¼
BAGINTILAR
VE FONKSI·YONLAR
Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Ba¼
g¬nt¬
kavramn¬ verip daha sonra ise Fonksiyon tan¬m¬ verip genel özelliklerini inceleyece¼
giz.
Tan¬m 1 A B kümesinin her alt kümesine A dan B ye bir ba¼g¬nt¬ denir.
Ba¼g¬nt¬lar genellikle ; ; ; :::gibi sembollerle gösterilir. E¼ger ba¼g¬nt¬A dan A
ya ise, A da bir ba¼g¬nt¬ veya A üzerinde bir ba¼g¬nt¬ denir. , A dan B ye bir
ba¼g¬nt¬yani
A B olsun. (x; y) 2 ise x ile y ba¼g¬nt¬l¬d¬r denir ve x y ile
gösterilir. E¼ger (x; y) 2
= ise x /y ile gösterilir.
Örnek 2 A = f1; 2; 3g ; B = fa; bg kümeleri için A
f(1; a) ; (2; a) ; (3; b)g kümesi bir ba¼g¬nt¬d¬r.
Örnek 3
B kümesinin
=
, A dan B ye bir ba¼g¬nt¬ olsun.
1
= f(b; a) : (a; b) 2 g
1
olarak tan¬mlanan
ba¼g¬nt¬s¬na
1
; B den A ya bir ba¼g¬nt¬d¬r.
n¬n ters ba¼g¬nt¬s¬ denir. Bu durumda
Örnek 4 A = f1; 2; 3g ; B = fa; bg olmak üzere
ba¼g¬nt¬s¬n¬n tersi
1
= f(a; 1) ; (a; 2) ; (b; 3)g
= f(1; a) ; (2; a) ; (3; b)g
ba¼g¬nt¬s¬d¬r.
1.1
Ba¼
g¬nt¬n¬n Özellikleri
Bu k¬s¬mda herhangi bir A kümesi üzerinde tan¬mlanan
lerini inceleyece¼
giz.
ba¼
g¬nt¬s¬n¬n özellik-
Tan¬m 5 A kümesinden al¬nan her x eleman¬ için x x oluyorsa
Yans¬ma özelli¼gine sahiptir denir.
Örnek 6 A = f1; 2; 3g ve
Bu durumda
ba¼g¬nt¬s¬
= f(x; y) : x; y 2 A ve x = yg ba¼g¬nt¬s¬ verilsin.
8x 2 A ) (x; x) 2
gerçeklendi¼ginden
yans¬yand¬r.
Tan¬m 7
ba¼g¬nt¬s¬ A kümesi üzerinde tan¬mlans¬n. Her x; y 2 A için x y
oldu¼gunda y x oluyorsa ba¼g¬nt¬s¬na simetriktir denir. Yani,
simetriktir , 8 (x; y) için [(x; y) 2
olur.
1
) (y; x) 2 ]
Örnek 8 A = f1; 2; 3g olmak üzere
= f(1; 1) ; (1; 2) ; (2; 3) ; (2; 1) ; (3; 2) ; (3; 3)g
simetrik bir ba¼g¬nt¬d¬r.
Tan¬m 9 ; A kümesi üzerinde tan¬ml¬bir ba¼g¬nt¬olsun. Her x; y; z 2 A için
x y ve y z oldu¼gunda x z oluyorsa ba¼g¬nt¬s¬n¬ Geçişken özelli¼gi vard¬r veya
Geçişken bir ba¼g¬nt¬d¬r denir. O halde
Geçişkendir , 8 (x; y; z) için [(x; y) 2
ve (y; z) 2
) (x; z) 2 ]
d¬r.
Örnek 10 A = f1; 2; 3g olmak üzere
= f(1; 1) ; (1; 2) ; (2; 3) ; (1; 3) ; (3; 2) ; (3; 3)g
geçişken bir ba¼g¬nt¬d¬r.
1.2
Denklik Ba¼
g¬nt¬
Tan¬m 11 A kümesi üzerinde tan¬mlanan bir ba¼g¬nt¬s¬yans¬yan, simetrik ve
geçişken ise ba¼g¬nt¬s¬na A kümesi üzerinde bir Denklik Ba¼g¬nt¬s¬d¬r denir.
Örnek 12 A = f1; 2; 3g olmak üzere
= f(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; (2; 1) ; (2; 2) ; (2; 3) ; (3; 1) ; (3; 2) ; (3; 3)g
ba¼g¬nt¬s¬ yans¬yan, simetrik ve geçişken oldu¼gundan bir Denklik Ba¼g¬nt¬s¬d¬r.
Tan¬m 13 A boştan farkl¬bir küme olmak üzere A kümesinin altkümelerinin bir
ailesi P olsun. E¼ger P ailesi aşa¼g¬daki özellikleri sa¼gl¬yorsa, P ye A kümesinin
bir parçalanmas¬ denir.
1. P deki tüm kümeler boş olmayan kümelerdir.
2. P deki kümeler ikişer ikişer ayr¬k yani, her A1 ; A2 2 A için A1 \ A2 = ;
dir.
3. A kümesinin her eleman¬, P ye ait bir kümenin de eleman¬d¬r.
Tan¬m 14 A kümesi üzerinde tan¬ml¬ bir denklik ba¼g¬nt¬s¬ olsun. (x; y) 2
ise, y eleman¬na ba¼g¬nt¬s¬ile ba¼gl¬x eleman¬na Denk Eleman denir. A kümesi
üzerinde x eleman¬na denk olan bütün elemanlar¬n kümesine x in denklik s¬n¬f¬
denir. Başka bir ifadeyle x 2 A için
A (x) = fy 2 A : y xg
ile tan¬mlana A (x) kümesine ba¼g¬nt¬s¬n¬n bir Denklik s¬n¬f¬denir.A kümesinden al¬nan her eleman için denklik s¬n¬f¬ oluşturulabilir.
2
Örnek 15 Tamsay¬lar kümesi olan Z de
= f(x; y) : x; y 2 Z ve x
y tek tamsay¬g
bir denklik ba¼g¬nt¬s¬d¬r. Şimdi 1 ve 2 elemanlar¬n¬n denklik s¬n¬‡ar¬n¬ bulal¬m.
A (1)
= fy : y 2 Z ve 1
y tek tamsay¬g
= fy : y 2 Z ve 1
y tek tamsay¬g
= f:::; 4;
2; 0; 2; 4; :::g
ve
A (2)
= f:::; 3;
1; 1; 3; 5; :::g
elde edilir. Dikkat edilecek olursa A (1) bütün çift tamsay¬lar¬n kümesini A (2)
ise bütün tek tamsay¬lar¬n kümesini oluşturmaktad¬r. Burada sadece A (1) ve
A (2) denklik s¬n¬‡ar¬n¬ elde edebiliriz. Örne¼gin A (1) = A (7) ve A (2) = A (0)
d¬r.
Ayr¬ca parçalanma tan¬m¬na dikkat edilirse A (1) ve A (2) ; Z nin bir parçalanmas¬n¬ oluştururlar.
Lemma 16 A boş olmayan bir küme ve A kümesi üzerinde tan¬ml¬ bir denklik
ba¼g¬nt¬s¬ olsun. Bu durumda her x 2 A için A (x) 6= ; dir.
Proof.
ba¼
g¬nt¬s¬yans¬yan oldu¼
gundan x 2 A (x) olup A (x) 6= ; dir.
Lemma 17 x; y 2 A olsun. x 2 A (y) ise, y 2 A (x) olur.
Proof. x 2 A (y) olsun. Bu durumda
y 2 A (x) bulunur.
simetrik oldu¼
gundan x y ) y x olup
Lemma 18 x 2 A (y) ise A (x) = A (y) dir.
I·spat:
I·spat¬iki ad¬mda yapaca¼
g¬z. I·lk olarak A (x) A (y) oldu¼
gunu
gösterelim. a 2 A (x) olsun. O halde a x dir. Hipotezden x 2 A (y) oldu¼
gundan
x y olup geçişme ba¼
g¬nt¬s¬ndan a y yani a 2 A (y) bulunur. Böylece
A (x)
A (y)
(1)
elde edilir. Şimdi a 2 A (y) olsun. O halde a y dir. Hipotezden x 2 A (y)
oldu¼
gundan x y olup simetriden dolay¬ y x olup geçişme ba¼
g¬nt¬s¬ndan a x
yani a 2 A (x) bulunur. Böylece
A (y)
A (x)
elde edilir. (1) ve (2) den A (x) = A (y) bulunur.
Lemma 19 x 2
= A (y) ise A (x) \ A (y) = ; dir.
3
(2)
I·spat:
Lemman¬n kontrapoziti…ni ispat edelim. Bu durumda A (x) \
A (y) 6= ; ise x 2 A (y) dir. A (x) \ A (y) 6= ; oldu¼
gundan en az bir a 2
A (x) \ A (y) vard¬r. Bu taktirde a x ve a y dir. Simetriden dolay¬x a olup
geçişkenlikten x y bulunur. Böylece x 2 A (y) elde edilir.
Teorem 20 ; A üzerinde bir denklik ba¼g¬nt¬s¬olsun. n¬n denklik s¬n¬‡ar¬n¬n
P toplulu¼gu A kümesinin bir parçalanmas¬n¬ oluşturur.
I·spat:
Lemma (16) den denklik s¬n¬‡ar¬n¬n hiç birisi boş de¼
gildir. x; y 2
A verildi¼
ginde Lemma (18) ve Lemma (19) den A (x) = A (y) olabilmesi için
gerek ve yeter şart A (x) \ A (y) 6= ; oldu¼
gu aç¬kt¬r. O halde, P deki kümeler
ikişer ikişer ayr¬kt¬r. x 2 A (x) oldu¼
gundan , A kümesindeki her eleman P deki
kümelerden birisine aittir. Böylece parçalanman¬n üç şart¬da sa¼
glanm¬ş olur.
Teorem 21 P boş olmayan bir A kümesinin bir parçalanmas¬olsun. x; y 2 A
olmak üzere, A kümesi üzerindeki ba¼g¬nt¬s¬ aşa¼g¬daki gibi tan¬mlans¬n:
"x y olmas¬ için gerek ve yeter şart x ve y nin P parçalanmas¬na göre ayn¬
kümenin eleman¬ olmas¬d¬r."
Bu durumda ; A kümesi üzerinde bir denklik ba¼g¬nt¬s¬d¬r.
Tan¬m 22 A kümesi üzerinde tan¬ml¬ bir denklik ba¼g¬nt¬s¬ olsun.
t¬s¬n¬n A cümlesinden ay¬rd¬¼g¬tüm denklik s¬n¬‡ar¬n¬n kümesine A n¬n
t¬s¬na göre Bölüm Kümesi denir ve A= ile gösterilir.
ba¼g¬nba¼g¬n-
Örnek 23 = f(x; y) : x; y; k 2 Z ve (x + y) = 3kg ba¼g¬nt¬s¬ Z üzerinde bir
denklik ba¼g¬nt¬s¬d¬r. Bu ba¼g¬nt¬n¬n denklik s¬n¬‡ar¬ ,
A (0)
A (1)
A (2)
= f:::; 9;
6;
3; 0; 3; 6; 9; :::g
4;
1; 2; 5; 8; 11; :::g
= f:::; 8;
5;
2; 1; 4; 7; 10; :::g
= f:::; 7;
elde edilir. Buna göre Z= = fA (0) ; A (1) ; A (2)g dir.
1.3
K¬smi S¬ralamalar
Tan¬m 24 ba¼g¬nt¬s¬ A kümesi üzerinde tan¬mlans¬n. Her x; y 2 A için x y
ve y x oldu¼gunda x = y ise ba¼g¬nt¬s¬na antisimetriktir denir.
Tan¬m 25 A kümesi üzerinde bir ba¼g¬nt¬s¬yans¬yan, antisimetik ve geçişken
ise bu ba¼g¬nt¬ya A kümesinin bir K¬smi S¬ralamas¬ denir.
(x; y) 2 , x
dir. x
y ifadesi
R de tan¬mlanan
y
s¬ralamas¬na göre x; y den önce gelir diye okunur.
ba¼
g¬nt¬s¬bir k¬sm¬s¬ralama ba¼
g¬nt¬s¬d¬r.
4
Tan¬m 26 A kümesi üzerinde tan¬ml¬ bir s¬ralama ba¼g¬nt¬s¬
olmak üzere,
x; y 2 A için x
y ya da y
x ise x ve y elemanlar¬na
ba¼g¬nt¬s¬na göre
karş¬laşt¬r¬labilir elemanlar denir.
Tan¬m 27 A kümesinin her x; y eleman çifti bu küme üzerinde tan¬mlanan
ba¼g¬nt¬s¬na göre karş¬laşt¬r¬labiliyorsa, A kümesine Tam S¬ral¬ küme denir. Bu
tan¬ma göre A kümesinin tam s¬ral¬ olmas¬ için gerek ve yeter şart
8x; y 2 A için x
y_y
x
olmas¬d¬r.
Tan¬m 28 E¼ger ; A kümesi üzerinde bir k¬smi s¬ralama ise (A; ) ikilisine
K¬smi s¬ralanm¬ş küme, bir tam s¬ralama ise (A; ) ikilisine bir Tam S¬ralanm¬ş küme ya da k¬saca S¬ral¬ Küme denir.
Örnek 29 R;
ba¼g¬nt¬s¬ ile s¬ral¬ bir kümedir.
Örnek 30 A = f0; 1g olmak üzere A kümesinin P (A) kuvvet kümesi üzerinde
tan¬ml¬ ba¼g¬nt¬s¬bir k¬smi s¬ralama ba¼g¬nt¬s¬oldu¼gu halde tam s¬ralama de¼gildir.
Örne¼gin f0g 2 P (A) ve f1g 2 P (A) oldu¼gu halde f0g * f1g ve f1g * f0g d¬r.
Teorem 31 Bir A kümesinde tan¬mlanan bir s¬ralama ba¼g¬nt¬s¬n¬n tersi A kümesi
üzerinde tan¬ml¬ bir s¬ralama ba¼g¬nt¬s¬d¬r.
5