Elektromanyetik Dalga Teorisi

Elektromanyetik Dalga
Teorisi
Ders-2
Dalga Denkleminin Çözümü
Düzlem Elektromanyetik Dalgalar
Enine Elektromanyetik Dalgalar
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar
Düzlem Dalgaların Polarizasyonu
Dalga Denkleminin Çözümü
Kartezyen koordinat sistemi, kaynaksız ve kayıpsız ortam
Kartezyen koordinat sisteminde
için genel çözüm aşağıdaki gibi yazılabilir.
Dalga Denkleminin Çözümü
‘yi bulmak için değişkenlere ayırma yöntemini kullanalım
Her terim bağımsız tek değişkene bağlı. Bu sebeple aşağıdaki gibi 3 denkleme ayrılabilir.
Her bir denklemin çözümü farklı formlarda olabilir
y
Duran Dalgalar
İlerleyen Dalgalar
Yandaki örnek için aşağıdaki gibi
seçilmelidir.
b
z
a
x
Potansiyeller için dalga denklemleri
Fazörler cinsinden skaler V potansiyelinin zamanda-harmonik dalga denklemi;
Örnek
İletken olmayan, elektrik geçirgenliği
ve manyetik geçirgenliği =0 olan bir
ortamdaki elektromanyetik dalganın elektrik alan şiddeti;
verilmektedir.
manyetik alan şiddetini ve ’nın değerini bulunuz.
Kosinüs referanslı fazörleri kullanarak elektrik alanı aşağıdaki gibi yazabiliriz.
Manyetik alan şiddeti Maxwell denkleminden hesaplanabilir.
’yı bulmak için diğer Maxwell denklemini kullanacağız
İki denklemi
eşitleyerek ’yı
bulabiliriz.
Düzlem Elektromanyetik Dalgalar
Düzgün Düzlem Dalga: E’nin , (benzer şekilde H’nin) yayılma yönüne dik sonsuz düzlemlerde,
aynı yöne, aynı genliğe ve aynı faza sahip olduğu özel bir Maxwell denklemleri çözümüdür.
Düzlem dalgalar gerçekte yoktur, çünkü oluşturulmaları için sonsuz boyutlarda kaynaklar gerekir.
Bununla birlikte eğer bir kaynaktan yeterince uzakta isek, Dalga Cephesi (sabit faz yüzeyi)
neredeyse küresel hale gelir ve dev bir kürenin yüzeyinin çok küçük bir kısmı bir düzleme çok
yakındır.
Düzlem Elektromanyetik Dalgalar
(a) Düzlem dalga
(b) Küresel dalga
Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar
1. Boşlukta Düzlem Dalgalar.
y-yönünde polarize olmuş, z
doğrultusunda yayılan
elektromanyetik dalganın
elektrik alan bileşeni;
Boşlukta, dalganın faz hızı ışık hızı c’ye eşittir.
Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar
1 boyutlu dalga denklemi
Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar
veya
k, dalga sayısı:
1 Boyutlu dalga (Helmzholtz) denklemi :
Zamanda Harmonik Düzlem Dalgalar
İkinci dereceden adi diferansiyel formda olan dalga denkleminin çözümü;
Kosinüs referansı çin E’nin anlık ifadesi;
Birinci terim +z yönünde, ikinci terim ise –z yönünde giden dalgayı göstermektedir.
Zamanda Harmonik Düzlem Dalgalar
Dalga boşlukta yayılmaktadır, dolayısıyla faz hızı
aşağıdaki gibi tanımlanır.
Örnek:
EM dalganın elektrik alanı y-yönünde polarize olmuştur ve z
yönünde ilerlemektedir. Dalga boyu 2 cm, genliği 2 V/m
olduğuna göre elektrik alan ifadesini yazınız.
Dalga boyu  = 0.02 m:
Dalga sayısı:
Manyetik Alan Şiddeti ve Karakteristik Empedans
Manyetik alan şiddeti Faraday yasasından bulunabilir;
Manyetik Alan Şiddeti ve Karakteristik Empedans
Ortamın Karakteristik Empedansı:
Serbest Uzay için:
Alan bileşenlerinden herhangi birini ve karakteristik empedansı
biliyorsak, diğer alan bileşenini bulabiliriz.
Örnek:
Aşağıda, boşlukta verilen elektrik alan şiddeti vektörüne eşlik eden
manyetik alan şiddeti ifadesini bulunuz.
Enine Elektromanyetik Dalgalar
+z yönünde yayılan bir düzgün düzlem dalga
Elektrik ve manyetik alanına sahiptir. E ve H birbirine diktir ve bunların
her ikisi de yayılma yönüne diktir. Böyle bir dalga enine elektromanyetik
(TEM) dalganın, özel bir durumudur.
y
x
+x ve +z yönlerinde ilerleyen
düzgün düzlem dalganın ydoğrultusundaki elektrik alan
şiddeti aşağıdaki gibi ifade edilir.
z
Dalga sayısı vektörü k
aşağıdaki gibi ifade edilir.
y
x
z
Bu elektrik alana eşlik eden manyetik alan H, aşağıdaki gibi bulunur.
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar
Eğer bir ortam iletken ise (≠0), elektrik alanın varlığından dolayı =
akımı akacaktır. Bu durumda;
=
=
=
olur.
Kayıplı ortamın kompleks geçirgenliği
=
İyi iletken
İyi yalıtkan
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar
Kayıplı ortamda dalga sayısı;
=0
=
=
=j
Düşük Kayıplı Dielektrikler
Düşük kayıplı bir dielektrik, iyi ancak mükemmel olmayan bir yalıtkandır
ve
veya
1 olacak şekilde sıfır olmayan bir eşdeğer öz
iletkenliği vardır. Bu koşul altında terimine binom açılımını uygularsak;
=
Zayıflama sabiti
Faz sabiti
Düşük Kayıplı Dielektrikler
Düşük kayıplı bir dielektriğin öz empedansı kompleks bir niceliktir.

=

 faz hızı
oranından elde edilir
 =

İyi İletkenler
veya 1
olan ortamlardır.
=
=
(1+j)
İyi iletkenin öz empedansı

 =
İyi İletkenler
İyi iletkende faz hızı
 =
İyi iletkende dalga boyu


Deri Kalınlığı: İlerleyen dalganın genliğinin
veya 0,368 çarpanı ile azaldığı 
mesafesine iletkenin deri kalınlığı veya nüfuz derinliği adı verilir.
=
İyi iletken için
olduğu için
=

yazılabilir.
Düzlem Dalgaların Kutuplaması
(Polarizasyonu)
Bir düzlem dalganın kutuplanması (polarizasyonu), elektrik alan
şiddeti vektörünün uzayda verilen bir noktadaki zamanla değişen
davranışını açıklar.
Örneğin bir düzlem dalganın E vektörü x yönüne sabitlenmişse,
dalgaya x- yönünde sabitlenmiş doğrusal kutuplanmıştır denir. ( Üç
tip polarizasyon vardır;
Resim şu anda görüntülenemiy or.
Polarizasyon tipleri
Doğrusal polarizasyon
Dairesel polarizasyon
Eliptik polarizasyon
Doğrusal polarizasyon
Yatay
Vertical
Dairesel polarizasyon
Eliptik polarizasyon
Doğrusal polarizasyon
Dairesel polarizasyon
Dairesel polarizasyon
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
İki doğrusal kutuplanmış dalganın üst üste bindirilmesini düşünelim. Biri x- yönünde kutuplanmış
diğeri de y- yönünde kutuplanmış ve zaman fazında 90 derece (veya /2 radyan) gecikmeli
olsun. Fazör gösterimi;
Burada
ve
E’nin anlık ifadesi ise;
Resim şu anda görüntülenemiy or.
bu iki doğrusal kutuplanmış dalganın genliğini gösteren reel sayılardır.
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
Verilen bir noktada t değişirken E’nin yön değişimini incelerken z=0 almak uygundur. Böylece
denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
t, 0’dan /2,  ve 3/2’ye artıp 2’de döngüyü tamamlarken E(0,t) vektörünün ucu saat
yönünün tersinde eliptik bir yörünge çizecektir.
E20
0
y


x
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
y

0

x
Birbirine uzayda ve zamanda dik iki
doğrusal kutuplanmış dalganın
toplamı olan E, eğer E20E10 ise Eliptik
Kutuplanmıştır. Eşit ise Dairesel
Kutuplanmış dalga denir.
E20=E10 olduğunda E’nin t=0’da xekseni ile yaptığı anlık  açısı aşağıdaki
gibi tanımlanır.
=t
Bu bir sağ-el veya pozitif dairesel kutuplanmış dalgadır.
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
Eğer zaman fazında E1(z)’nin 90 derece önünde bir E2(z) ile başlarsak sırasıyla,
olacaktır.
E, saat yönünde  açısal hızıyla dönecektir. Böyle bir dalga sol-el veya negatif
dairesel kutuplanmış dalga diye isimlendirilir.
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
Eğer E2(z) ve E1(z) uzayda dik ama zamanda eş fazlı ise E’nin z=0’daki ifadesi aşağıdaki gibi
olur.
Vektörün ucu t=0 iken P1 noktasında olacaktır. t açısı /2’ye doğru artarken vektörün
büyüklüğü sıfıra doğru azalacaktır. E Doğrusal Kutuplanmıştır.
E20
y
P1
E10
P2
x