tc gaziantep üniversitesi fen bilimleri enstitüsü minkowski uzayında

OCAK 2016
T.C
GAZİANTEP ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Yüksek Lisans - Matematik
MİNKOWSKİ UZAYINDA KÜRESEL GÖSTERGE
EĞRİLERİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
RAMAZAN ÇAPIN
RAMAZAN ÇAPIN
OCAK 2016
Minkowski Uzayında Küresel Gösterge Eğrileri
Gaziantep Üniversitesi
Matematik
Yüksek Lisans Tezi
Danışman
Yrd. Doç. Dr. İlkay GÜVEN
Ramazan ÇAPIN
Ocak 2016
© 2016 [Ramazan ÇAPIN]
İlgili tezin akademik ve etik kurallara uygun olarak yazıldığını ve kullanılan tüm
literatür bilgilerinin referans gösterilerek ilgili tezde yer aldığını beyan ederim.
Ramazan ÇAPIN
ÖZET
MİNKOWSKİ UZAYINDA KÜRESEL GÖSTERGE EĞRİLERİ
ÇAPIN, Ramazan
Yüksek Lisans Tezi, Matematik. Bölümü
Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. İlkay GÜVEN
Ocak 2016, 65 sayfa
Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, çalışmanın amacı ve kapsamı
belirtilmiştir. İkinci bölümde, konu ile alakalı temel tanım ve kavramlara yer
verilmiştir. Üçüncü bölümde ise 3-boyutlu Minkowski uzayındaki eğrilerin Frenet
vektör alanları T, N, B nin birim Hiperbolik kürenin ( H 02 ) veya birim Lorentz kürenin
( S12 ) merkezine taşınması ile elde edilen küresel gösterge eğrileri incelenmiş ve bazı
önemli sonuçlar elde edilmiştir. Timelike ve spacelike küresel gösterge eğrilerinin yay
uzunlukları bulunmuştur. Bu gösterge eğrilerinin geodezik eğrilikleri E13 ve S12
 veya H  küresine göre, Gauss denklemi kullanılarak hesaplanmıştır.
2
0
Anahtar Kelimeler: Minkowski uzay, Lorentz iç çarpım, Gauss denklemi, küresel
göstergeler, yay uzunluğu, Darboux vektörü, geodezik eğrilik.
ABSTRACT
SPHERICAL INDICATOR CURVES IN MINKOWSKI SPACE
ÇAPIN, Ramazan
M.Sc. Thesis, Department of Mathematics
Supervisor: Assist. Prof. Dr. İlkay GÜVEN
January 2016, 65 pages
This thesis consists of three chapters. First chapter reveals the aim and the scope of the
study. In the second chapter, basic definitions and terms related to the subject have
been given. In the third chapter, Frenet vector fields of the curves in 3-dimensional
Minkowski space, the spherical indicator curves obtained by T, N, B’s being moved
to the centre of unit Lorentzian sphere ( S12 ) or unit Hyperbolic sphere ( H 02 ) have been
examined and some significant findings have been obtained. Arc lengths of timelike
and spacelike spherical indicator curves have been found. The geodesic curvatures of
these spherical indicator curves have been calculated according to E13 and S12  or H 02 
spheres using Gauss equation.
Key Words: Minkowski space, Lorentz inner product, Gauss equation, Spherical
indicators, Arc length, Darboux vector, Geodesic curvature.
TEŞEKKÜR
Bu çalışma süresince tüm bilgilerini benimle paylaşmaktan kaçınmayan, her türlü
konuda desteğini esirgemeyen ve tezimde büyük emeği olan Gaziantep Üniversitesi
öğretim üyelerinden danışman hocam, Sayın Yrd. Doç. Dr. İlkay GÜVEN ´e sonsuz
minnet ve teşekkürlerimi sunarım.
Ders aşamasında bilgilerinden yaralandığım bölüm hocalarıma, tez jüri üyelerine
teşekkürlerimi sunarım.
vii
İÇİNDEKİLER
ÖZET........................................................................................................................................ v
ABSTRACT ........................................................................................................................... vi
TEŞEKKÜR .......................................................................................................................... vii
İÇİNDEKİLER...................................................................................................................... viii
ŞEKİLLER LİSTESİ .............................................................................................................. ix
SEMBOLLER LİSTESİ .......................................................................................................... x
BÖLÜM 1: GİRİŞ ................................................................................................................... 1
BÖLÜM 2: TEMEL KAVRAMLAR …................................................................................. 2
BÖLÜM 3:MİNKOWSKİ UZAYINDA KÜRESEL GÖSTERGE EĞRİLERİ..................... 21
3.1 Timelike Eğrilerin Küresel Gösterge Eğrileri ........................................................... 21
3.2 Asli Normali Timelike Olan Spacelike Eğrilerin Küresel Gösterge Eğrileri ........... 37
3.2 Binormali Timelike Olan Spacelike Eğrilerin Küresel Gösterge Eğrileri ................ 50
KAYNAKLAR....................................................................................................................... 66
viii
ŞEKİLLER LİSTESİ
sayfa
Şekil 2.2.1
E13 Uzayında Lorentz Birim Küre.......................................................15
Şekil 2.2.2
E13 Uzayında Hiperbolik Birim Küre..................................................15
Şekil 2.3.1
Future-Pointing Timelike Eğrinin Teğetler Göstergesi..…..…….….18
Şekil 2.3.2
Future-Pointing Timelike Eğrinin Binormaller Göstergesi..…….….18
ix
SEMBOLLER LİSTESİ
E3
3-boyutlu Öklid uzayı
E13
3-boyutlu Minkowski uzayı
<,>
Lorentz iç çarpım
S12
Lorentz birim küre
H 02
Hiperbolik birim küre
S1*2
Hareketli Lorentz birim küre
H*2
0
Hareketli hiperbolik birim küre
E13 uzayında norm

E13 uzayında vektörel çarpım
W
Darboux ani dönme vektörü
D
E13 uzayının konneksiyonu
D
S12 küresinin konneksiyonu
D
H 02 küresinin konneksiyonu
C
Sabit pol eğrisi

Eğrinin eğriliği

Eğrinin burulması
x
BÖLÜM 1
GİRİŞ
Bu çalışmanın amacı E 3 , 3-boyutlu Öklid uzayındaki eğrilerin küresel gösterge tanım
ve teoremlerinden yola çıkarak E13 , 3-boyutlu Minkowski uzayındaki eğrilerin küresel
göstergelerinin yay uzunluklarını ve geodezik eğriliklerini hesaplamaktır.
3-boyutlu Minkowski uzayında Öklid iç çarpım yerine  , ,   işaretli Lorentz iç
çarpım kullanılır. Lorentz iç çarpım pozitif tanımlı olmadığından bu uzaydaki eğriler
ve yüzeyler çeşitlilik gösterir. Yani spacelike, timelike ve null(lightlike) olmak üzere
üç sınıfa ayrılır. Her sınıftaki kavram diğer sınıftaki kavramdan çok farklıdır. Fakat
spacelike olan vektörler, eğriler ve yüzeyler Öklid uzayındakilerle büyük benzerlik
taşırlar [1,2]. E13 uzayında timelike ve spacelike eğrilerin Frenet formülleri E 3
uzayındakinden farklı olduğundan, küresel göstergelerin yay uzunlukları ve geodezik
eğrilikleri de farklılık gösterir. E 3 uzayındaki bir eğrinin Frenet 3-ayaklısından elde
edilen küresel göstergeler S 2 birim küresi üzerinde oluşurlarken [4], E13 uzayındaki
bir timelike veya spacelike eğri için küresel göstergeler ise S12 Lorentz birim küresi
veya H 02 hiperbolik birim küresi üzerinde oluşurlar.
1
BÖLÜM 2
TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR
2.1 Lorentz Uzayı
Tanım 2.1.1 (Non Dejenere Form)
g, V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form olmak üzere
i)
v  0 iken g  v, v   0 [< 0] ise pozitif [negatif ] tanımlı,
ii)
Her v  V için g  v, v   0 [<0 ] ise pozitif [negatif] yarı tanımlı,
iii)
Her w  V için g  v, w   0 iken v  0 ise nondejeneredir [1].
Tanım 2.1.2. (Skalar çarpım uzayı)
V bir reel vektör uzayı ve u , v  V olsun. V üzerinde tanımlı
g : VV  V
 u , v   g  u , v   u , v 
dönüşümü bilineer, simetrik ve nondejenere ise g ye V üzerinde bir iç çarpım, bu
durumda V vektör uzayına da bir skalar çarpım uzayı denir [1].
Tanım 2.1.3. (Simetrik bilineer formun indeksi)
V bir skalar çarpım uzayı, W da üzerindeki skalar çarpım negatif tanımlı olacak şekilde
V nin en büyük boyutlu altuzayı olsun. Bu durumda W nın boyutuna g skalar
çarpımının indeksi denir. g skalar çarpımının indeksi v ise 0  v  boyV dir. Ayrıca V
skalar çarpım uzayının indeksi, üzerinde tanımlı g skalar çarpımının indeksi olarak
tanımlanır [1].
Tanım 2.1.4. (Lorentz uzayı)
V bir skalar çarpım uzayı olsun. V nin indeksi v olmak üzere v = 1 ve boyV  2 ise V
skalar çarpım uzayına bir Lorentz uzayı denir [1].
2
Tanım 2.1.5. (Space-like, time-like, light-like (null) vektör)
V bir Lorentz uzayı olsun. v  V için,
g  v, v   0 veya v  0 ise v’ye space-like vektör,
g  v, v   0 ise v’ye time-like vektör,
v  0 iken g  v, v   0 ise v’ye light-like (null) vektör
denir [1].
Tanım 2.1.6. (Bir vektörün normu)
V skalar çarpım uzayı ve v  V olsun.
v   g( v, v ) 
12
eşitliği ile tanımlı v reel sayısına v vektörünün normu denir. Normu 1 olan vektöre
de birim vektör denir [1].
Tanım 2.1.7. (Space-like, time-like, light-like altuzay)
V bir Lorentz uzayı ve W, V nin bir altuzayı olsun. Bu durumda
g |W pozitif tanımlı ise W ya space-like altuzay,
g |W nondejenere ve indeksi 1 ise W ya time-like altuzay,
g |W dejenere ise W ya light-like altuzay
denir [1].
Teorem 2.1.1. V bir Lorentz uzayı, V nin bir altuzayı W ve boyW  2 olsun. Bu
durumda aşağıdaki önermeler birbirine denktirler [1].
i)
W time-like altuzay ise W bir Lorentz vektör uzayıdır.
ii)
W uzayı iki tane lineer bağımsız null vektör içerir.
iii)
W uzayı bir tane time-like vektör içerir.
Tanım 2.1.8. (Metrik tensör)
M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerinde simetrik, nondejenere ve sabit
indeksli (0,2)-tipinden g tensör alanına bir metrik tensör denir. Başka bir deyişle g, M
manifoldunun her p noktasına
Tp M
tanjant uzayı üzerinde bir
3
gp
skalar çarpımı
karşılık getirir ve g skalar çarpımının indeksi her p  M için aynıdır [1].
Tanım 2.1.9. (Yarı-Öklidyen uzay)
R n , n-boyutlu standart reel vektör uzayı üzerinde her p  R n ve v p , w p  Tp R n için
n v
v p , w p   vi w i 
i 1
n

i  n  v 1
vi w i
eşitliğiyle verilen v-indeksli metrik tensörle birlikte elde edilen uzaya yarı-Öklidyen
uzay denir ve E nv ile gösterilir. Burada 1≤i≤n olmak üzere, sırasıyla v i ve w i ler v p
ve w p tanjant vektörlerinin bileşenleridir [1].
Tanım 2.1.10. (Minkowski uzayı)
E nv , yarı-Öklidyen uzayında v  1 ve n  2 ise E nv yarı-Öklidyen uzayına Minkowski
n-uzayı denir [1].
Tanım 2.1.11. (Minkowski 3-Uzay)
n-boyutlu, v-indeksli E nv yarı-Öklidyen uzayının boyutunu 3 ve indeksini 1 olarak
alalım. O zaman E3 üzerinde her p  E 3 ve v p , w p  TE3  P  için
v p , w p  v1w1  v 2 w 2  v3 w 3
eşitliğiyle verilen 1-indeksli metrik tensörle birlikte elde edilen uzaya 3-boyutlu
Minkowski uzayı denir ve E13 ile gösterilir [1].
Tanım 2.1.12. (Yarı-Riemann manifoldu)
M diferensiyellenebilir bir manifold ve g de M üzerinde sabit indeksli bir metrik tensör
olmak üzere (M,g) ikilisine bir yarı-Riemann manifoldu denir [1].
Bundan sonraki gösterimlerde (M, g) yarı-Riemann manifoldunu sadece M ile
göstereceğiz.
Tanım 2.1.13. (Lorentz manifoldu)
M bir yarı-Riemann manifoldu olsun. boyM  2 ve M nin indeksi 1 ise M ye bir
4
Lorentz manifoldu denir. Bu tanıma göre bir M Lorentz manifoldu için
n 1
g p  v p , wp    vi
i 1
p
wi
p
- vi n wi n , p  M ve v p , w p  Tp M
dir [1].
Tanım 2.1.14. (Spacelike, Timelike ve Null Eğri)
M bir Lorentz manifoldu için  : I  R  M bir eğri olsun. eğrisinin teğet vektör
alanı T olmak üzere
g(T, T)  0 ise  eğrisine space-like eğri,
g(T, T)  0 ise  eğrisine time-like eğri,
g(T, T)  0 ve T  0 ise  eğrisine null eğri
denir. Eğrinin bir özel hali olan doğru gözönüne alınsın. Doğrunun doğrultman vektörü
space-like ise doğru space-like doğru, doğrultman vektörü time-like ise doğru timelike doğru, doğrultman vektörü null ise doğru null doğrudur [1].
Teorem 1.1.2. : V Lorentz uzayı ve iki time-like vektör v, w olsun. Bu durumda
g  v, w   v w
eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlikte eşitlik olması için gerek ve yeter şart v ve w nin lineer
bağımlı olmasıdır. Buna göre,
i) v, w time-like vektörleri aynı timekoniye ait iseler
g  v, w    v w cosh 
olacak şekilde bir tek   0 sayısı vardır. Bu φ sayısına v ve w timelike vektörleri
arasındaki hiperbolik açı denir.
ii) v ve w aynı timekoniye ait değilseler, o zaman
g  v, w   v w cosh 
dir [1].
Teorem 1.1.3. : V Lorentz uzayında spacelike vektörler v ve w olmak üzere
g(v, w)  v w cos 
5
olacak şekilde bir tek 0     sayısı vardır. Bu sayıya v ve w spacelike vektörleri
arasındaki açı denir ve v ye w spacelike vektörleri için
g(v, w)  v w
eşitsizliği vardır [1].
Tanım 2.1.15. (Timelike Vektörler Arasındaki Timelike Açı )
3-boyutlu Minkowski uzayında v ve w pozitif (negatif) timelike vektörler olsun. v ve
w aynı timekoniye ait olmak üzere
 v, w  v w cosh   v w cosh
olacak şekilde bir tek   0 sayısı vardır. Bu φ sayısına v ve w timelike vektörleri
arasındaki timelike (hiperbolik) açı denir [8].
Tanım 2.1.16. (Spacelike Vektörler Arasındaki Timelike Açı)
v ve w, 3-boyutlu Minkowski uzayında timelike alt vektör uzayını geren spacelike
vektörler olsun. Bu durumda
v, w  v w cosh 
olacak şekilde bir tek pozitif φ reel sayısı vardır. Bu φ reel sayısına v ve w spacelike
vektörleri arasındaki timelike açı denir [8].
Tanım 2.1.17. (Spacelike Vektörler Arasındaki Spacelike Açı)
v ve w, 3-boyutlu Minkowski uzayında spacelike alt vektör uzayını geren spacelike
vektörler olsun. Bu durumda
v, w  v w cos 
olacak şekilde bir tek 0≤θ≤π sayısı vardır. Bu sayıya v ve w spacelike vektörleri
arasındaki spacelike açı denir [8].
Tanım 2.1.18. (Spacelike Vektör ile Timelike Vektör Arasındaki Timelike Açı)
3-boyutlu Minkowski uzayında v spacelike ve w timelike vektör olmak üzere
v, w  v w sinh 
  0 sayısına v ve w vektörleri arasındaki timelike açı denir [8].
Teorem 2.1.4. : v  E13 vektörü için
6
i)
v 0
ii)
v  0 ⟺ v bir null vektördür.
iii)
v bir timelike vektör ise v   v, v
iv)
v bir spacelike vektör ise v  v, v
2
2
dir [10].
Tanım 2.1.19. (Future-Pointing ve Past-pointing Timelike Vektörler)
v, E13 Minkowski uzayında bir timelike vektör olsun. e   0, 0,1 olmak üzere
i)
v, e  0 ise v ye future-pointing timelike vektör,
ii)
v, e  0 ise v ye past-pointing timelike vektör denir [10].
Tanım 2.1.20. (Yarı-Riemann Altmanifoldu)
M bir yarı-Riemann manifoldu ve M , M nin bir altmanifoldu olsun. j: M →M
inclusion(içerme) dönüşümü olmak üzere ∀p∈ M için
 j g   p  g  j p 
*
şeklinde tanımlı j*  g  dönüşümü M üzerinde bir metrik tensör ise M ye M nin bir
yarı-Riemann altmanifoldu denir [1].
Bundan sonraki gösterimlerde M üzerindeki metrik tensör ile M üzerindeki
metrik tensörü g ile göstereceğiz.
Teorem 2.1.5 : M , M nin bir yarı–Riemann altmanifoldu ve M üzerinde Levi-Civita
konneksiyonu D olsun. Her V, W  (M) için
D V W  tan D V W
şeklinde tanımlı D fonksiyonuna M üzerinde bir Levi-Civita konneksiyonudur [1].
Tanım 2.1.21. (İndirgenmiş konneksiyon)
7
M , M nin bir yarı-Riemann altmanifoldu ve M üzerindeki Levi-Civita konneksiyonu
D olsun.
D :  M  M   M
in M ye indirgenmiş olan
D :  M   M   M
fonksiyonuna M den
M
yarı-Riemann altmanifoldu üzerine indirgenmiş
 
konneksiyon denir. Buradaki χ M , M nin herbir p noktasına Tp M de bir tanjant
 
vektör karşılık getiren vektör alanlarının ℑ M -modülü göstermektedir [1].
Tanım 2.1.22. (Şekil Tensörü)
M , M nin yarı-Riemann altmanifoldu olsun.
II :   M     M     M 

 V, W   II  V, W   norD V W
 
Dönüşümü ℑ M -bilineer ve simetriktir. Burada II ye M nin şekil tensörü (veya
ikinci temel form tensörü) denir [1].
Tanım 2.1.23. (Yarı-Riemann Hiperyüzeyi)
n -boyutlu bir yarı-Riemann manifoldunun (n -1)-boyutlu bir M yarı-Riemann
altmanifolduna M nin bir yarı-Riemann hiperyüzeyi denir [1].
Tanım 2.1.24. (Şekil Operatörü)
M nin bir yarı-Riemann hiperyüzeyi M ve M nin birim normal vektör alanı N olsun.
 
Her V, W   M için
g  S  V  , W   g  II  V, W  , N 
8
şeklindeki (1,1)-tipinden tensör alanı S ’ye, M ’nin N ’den elde edilen şekil operatörü
denir. Diğer bir deyişle, S şekil operatörü, N birim normal vektör alanı olmak üzere,
M nin her p noktasında
S : Tp  M   Tp  M 
X P  S  X p   D XP N
bir lineer operatördür [1].
Teorem 2.1.6. : M nin bir yarı-Riemann hiperyüzeyi M ve S, M nin birim normali
olan N den elde edilen şekil operatörü olsun. Bu durumda V    M  için
S  V   D V N
dir ve ayrıca S şekil operatörü self-adjointdir. M nin bir yarı-Riemann hiperyüzeyi M
olsun. M nin N birim normalinden elde edilen şekil operatörü S olmak üzere,
 
Her V, W   M için
II  V, W   g S  V  , W  N
dir. Burada
 g  N, N  dir. Yarı-Riemann hiperyüzeyleri için Gauss denklemi, Her
 
V, W   M olmak üzere
DV W  DV W  g S  V  , W  N
biçiminde verilir [1].
Tanım 2.1.25 (Bir Eğrinin Geodezik Eğriliği)
E 3 Öklid uzayında s-yay parametresi ile verilen bir α eğrisinin birim teğet vektörü
T   T1 , T2 , T3  olmak üzere
K g  DT T 
d 2
ds 2
ifadesine α eğrisinin α(s) noktasına karşılık gelen geodezik eğriliği denir. E13
Minkowski uzayında da bir eğrinin geodezik eğriliği benzer şekildedir [4].
Tanım 2.1.26 (Yay Uzunluğu)
 , E13 3-boyutlu Minkowski uzayında s  I yay parametrisi ile verilmiş bir eğri olsun.
a ≤ s ≤ b olmak üzere α eğrisinin a ve b noktaları arasındaki yay uzunluğunu
9
b
s = 
a
d
ds=  T ds
ds
a
b
dir[1].
Tanım 2.1.27. (Skalar çarpım)
E13 , Minkowski 3-uzayında iki vektör v   v1 , v 2 , v3  ve w   w1 , w 2 , w 3  olmak
üzere bu iki vektörün skalar çarpımı
,  L : E13  E13 
IR
 v, w  
v, w
L
 v1w1  v 2 w 2  v3 w 3
biçiminde tanımlanır. Eğer v  w ise
v
eşitliği ile tanımlı v
L
L
 v, v
12
L
reel sayısına, v vektörünün Lorentz anlamında normu denir.
Normu 1 olan vektöre de Lorentz anlamında birim vektör denir [1].
Tanım 2.1.28. (Vektörel Çarpım)
E13 , Minkowski 3-uzayında iki vektör v   v1 , v 2 , v3  ve w   w1 , w 2 , w 3  olmak
üzere
 e1
det  v1
 w1
e2
v2
w2
e 3 
v3   (v 2 w 3  v3 w 2 , v3 w1  v1w 3 , v 2 w 1  v1w 2 )
w 3 
vektörüne v ve w nin vektörel çarpımı (dış çarpımı) denir. v  w veya v  w
şeklinde gösterilir [5].
Teorem 2.1.7. : E13 , Minkowski 3-uzayında üç vektör u   u1 , u 2 , u 3  v   v1 , v 2 , v3 
ve w   w1 , w 2 , w 3  olmak üzere
i)
ii)
u  v, w  det  u, v, w 
 u  v  w  
u, w v  v, w u
iii)
u  v, u  0 ve u  v, v  0
iv)
u  v, u  v   u, u v, v   u, v
dir [9].
10

2
Teorem 2.1.8. : E13 , Minkowski 3-uzayında iki u ve v olsun.
i)
u ve v spacelike vektör ise u  v timelike vektördür.
ii)
u spacelike ve v timelike vektör ise u  v spacelike vektördür.
iii)
u spacelike ve v null vektör olmak üzere u, v  0
ise u  v null
vektör, u, v  0 ise u  v spacelike vektördür.
iv)
u ve v null vektörler ise u  v spacelike vektördür.
v)
u timelike ve v null vektör ise u  v spacelike vektördür.
vi)
u ve v timelike vektörler ise u  v spacelike vektördür [9].
2.2 3-Boyutlu Minkowski Uzayında Spacelike ve Timelike Yüzeyler
Tanım 2.2.1 (I. Temel Form)
M yarı-Riemann manifoldu olarak 3-boyutlu Minkowski uzayı ve M yarı-Riemann
hiperyüzeyi olarak da (U,𝜑) parametrizasyonu ile verilen,
 : U  R 2  R13
 u, v     u, v    1 (u, v), 2 (u, v), 3 (u, v) 
ile belirli olan   U  yüzeyi gözönüne alınsın. Lineer bağımsız u , v  cümlesi,
yüzeyin vektör alanlarının bir bazıdır. Yüzeyin birim normali
N
u v
u v
ile belirlidir. Yüzeyin I. temel formunu, yani metriğini hesaplamadan önce bazı
eşitlikler verilecektir.
E=< u u >,
F=< u v >,
G=< v v >
olup,
N, N
L

u v u v
,
u v u v
L
ve
11
uv
2
L
 u  v, u  v
  u, u
L
L
v, v
  u, v
L
L

2
Langrange özdeşliği’nden
N, N
L
  u   v
L

2
 u  u
v  v
L
L
N, N  F2  EG
elde edilir. Yüzeyin I. temel formunu hesaplamak için, φ nin tam diferensiyeli


du 
dv
u
v
d 
ile belirlidir. Buradan
I   ds   d, d
2
=<
 
 
 
,
>(du)2+2<
,
>dudv+<
,
>(dv)2
u u
u v
v v
 E  du   2Fdudv  G  dv 
2
2
bulunur. Böylece
 ds 
2
 dv 
2
2
du
 du 
 E    2F  G
dv
 dv 
du ' (ds) 2
ve λ=
, I 
olmak üzere
dv
(dv) 2
I'  E 2  2F  G
elde edilir. M yüzeyi üzerindeki I   ds  indirgenmiş metriğinin pozitif tanımlı veya
2
indefit olup olmadığını incelemek ile I   dv  I' olduğundan I ' yü incelemek
2
aynıdır[1].
Tanım 2.2.2. (Non-dejenere yüzey)
E13 , 3 boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. ∀p∈ M ve v p , w p  Tp M için
 v p , w p  0  v p  0 önermesi sağlanıyorsa M ye E13 uzayında bir non-dejenere
12
yüzey denir [2]. M yüzeyi üzerindeki metriğin matris formu
E F 
F G


ile belirlidir. M yüzeyi üzerindeki metriğin non-dejenere olması için gerek ve yeter
şart
E F 
det 
≠0 veya EG−F2≠0

F G
olmasıdır [1].
Tanım 2.2.3. (Space-like yüzey)
E13 , 3 boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. M yüzeyi üzerine indirgenmiş
metrik pozitif tanımlı ise M ye E13 de bir space-like yüzey denir [2].
Teorem 2.2.1 : E13 , 3 boyutlu Minkowski uzayında (U,φ) parametrizasyonu ile verilen
bir
 : U  IR 2  E13
 u, v     u, v    1  u, v  , 2  u, v  ,
3  u, v  
yüzeyinin spacelike bir yüzey olması için gerek ve yeter şart, yüzeyinin normalinin
timelike bir vektör alanı, yani
N, N  0
olmasıdır. Burada N, M yüzeyinin normal vektör alanıdır [9].
İspat : M yüzeyi üzerine indirgenmiş metrik I   dv  I' ve I'  E 2  2F  G dir. λ
2
ya göre ikinci dereceden olan bu denklemin diskriminantı
  4  F2  EG   4 N, N
dir. I ' nun pozitif tanımlı olması için I'  0 olmalıdır. I'  0 olması için gerek ve yeter
şart Δ<0 olmasıdır. O halde N, N  0 dır.
13
Tanım 2.2.4. (Time-like yüzey)
E13 , 3 boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. M yüzeyi üzerine indirgenmiş
metrik Lorentz metriği ise M ye E13 de bir time-like yüzey denir [3].
Teorem 2.2.2 : E13 , 3 boyutlu Minkowski uzayında bir M yüzeyinin timelike yüzey
olması için gerek ve yeter şart, yüzeyin normalinin spacelike bir vektör alanı, yani
N, N  0
olmasıdır [9].
İspat : M yüzeyi üzerine indirgenmiş metrik I   dv  I' ve I'  E 2  2F  G dir. λ
2
ya göre ikinci dereceden olan bu denklemin diskriminantı
  4  F2  EG   4 N, N
dir. I ' nun Lorentz metriği olması için I'  0 olmalıdır. I'  0 olması için gerek ve yeter
şart Δ>0 olmasıdır. O halde N, N  0 dır. Buradan bir M yüzeyinin timelike olması
için gerek ve yeter şart, yüzeyin normalinin spacelike vektör alanı olmasıdır.
Tanım 2.2.5. (Gauss eğriliği)
E13 , 3 boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M ve M nin şekil operatörüne karşılık
gelen matris S olsun. p∈ M için
K p 
detSp ,
ifadesine, M yüzeyinin p noktasındaki Gauss eğriliği ve K: M ⟶IR fonksiyonuna
M yüzeyinin Gauss eğrilik fonksiyonu denir. ℰ=<N, N>=±1 ile belirlidir. N, M
yüzeyinin birim normal vektör alanıdır. M yüzeyi space-like ise ℰ=<N, N>=−1 dir. Bu
durumda, K=−detS dir. M yüzeyi time-like ise ℰ=<N, N>=1 dir. Bu durumda, K=detS
dir [1].
Tanım 2.2.6 (Lorentz Birim Küre ve Future hiperbolik birim küre)
n≥2 ve 0≤v≤n olsun. O zaman
i)
E vn 1 yarı-Riemann uzayında Q  q 1  r 2  bir hiperbolik yüzey olmak
üzere r>0 yarıçaplı, n-boyutlu ve v indeksli
s nv (r)  q 1 (r 2 )  {v  E nv 1 ;  v, v  r 2 }
küresine yarı-küre, E13 Minkowski uzayında r=1 ise
s12  q 1 (1)  {v  E13 ;  v, v  1}
14
küresine Lorentz birim küre denir.
ii)
E vn11 yarı-Riemann uzayında Q  q 1  r 2  bir hiperbolik yüzey olmak
üzere r>0 yarıçaplı, n-boyutlu ve v indeksli
H 02 (r)  q 1 (r 2 )  {v   nv 11 ;  v, v  r 2 }
küresine yarı-hiperbolik uzay, E13 Minkowski uzayında r=1 ise
H 02  q 1 (1)  {v  13 ;  v, v  1}
küresine Hiperbolik birim küre denir [1].
Şekil 2.2.1 : E13 Uzayında Lorentz Birim Küre
Şekil 2.2.2 : E13 Uzayında Hiperbolik Birim Küre
15
E13 Minkowski uzayında S12 küresi bir timelike yüzeydir. Yani ℇ=<N,N>=1 dir.
Gerçekten S12 yüzeyinin parametrik ifadesi
S12    u, v    sinhucosv, coshusinv, coshu 
olmak üzere,
u   sinhucosv, sinhusinv, coshu 
v   coshusinv, coshucosv, 0 
yüzeyinin normali N 
u   v
u   v
dir.
u  v   cosh 2 ucosv, ch 2 usinv, sinhucoshu 
u  v  coshu
N   coshucosv, coshusinv, sinhu 
olur. O halde
 N, N  cosh 2 u  sinh 2 u
=1
 N, N  1  0 olduğundan N spacelike bir vektör alanıdır. O halde S12 bir timelike
yüzeyidir.
E13 Minkowski uzayında H 02 hiperbolik birim küresi spacelike bir yüzeydir.
Yani   N, N  1 dir. Gerçekten H 02 yüzeyinin parametrik ifadesi
H 02    u, v    sinhucosv, sinhusinv, coshu ∣ 0  v  2 , u IR
olmak üzere
u   sinhucosv, sinhusinv, coshu 
v   sinhusinv, sinhucosv, 0 
yüzeyinin normali N 
u   v
u   v
dir.
u  v   sinh 2 ucosv, sinh 2 usinv, sinhucoshu 
u  v  sinhu
16
N   sinhucosv, sinhusinv, coshu 
olur. O halde
 N, N  sinh 2 u  cosh 2 u
=−1
 N, N  1  0 olduğundan N timelike bir vektör alanıdır. O halde H 02 bir spacelike
yüzeyidir.
2.3 3-Boyutlu Minkowski Uzayında Bir Eğrinin Küresel Göstergeleri
Tanım 2.3.1 :  , E13 3-boyutlu Minkowski uzayındaki bir spacelike veya timelike
eğri olsun.  eğrisinin bir (s ) noktasındaki Frenet 3-ayaklısı T, N, B olsun. T, N,
B Frenet vektörlerinin başlangıç noktaları eğriyi çizerken uc noktalarının S12 Lorentz
birim küresi veya H 02 hiperbolik birim küresi üzerinde oluşturdukları eğrilere sırasıyla
 eğrisinin teğetler göstergesi(birincil küresel göstergesi), asli normaller
göstergesi(ikincil küresel göstergesi) ve binormaller göstergesi(üçüncül küresel
göstergesi) denir ve (T), (N), (B) ile gösterilir [7].
Bu gösterge eğrilerinin denklemleri sırası ile
T  T
N  N
B  B
dir.
Tanım 2.3.2 : E13 , 3-boyutlu Minkowski uzayında bir  eğrisinin teğetleri futurepointing ise  eğrisine future-pointing timelike eğri, past-pointing ise past-pointing
timelike eğri denir [7].
17
Şekil 2.3.1: Future-Pointing Timelike Eğrinin Teğetler Göstergesi
Şekil 2.3.2 : Future-Pointing Timelike Eğrinin Binormaller Göstergesi
Tanım 2.3.3 (3-Boyutlu Minkowski Uzayında Bir Eğrinin İnvolütü)
E13 , 3-boyutlu Minkowski uzayında bir timelike eğrinin teğetlerine dik olan spacelike
veya timelike binormalli bir spacelike eğriye, asal normali timelike olan spacelike
eğrinin teğetine dik olan bir timelike eğriye ve binormali timelike olan spacelike
eğrinin teğetine dik olan spacelike veya timelike binormalli bir spacelike eğriye, her
durum için verilen eğrinin bir involütü denir [7].
Tanım 2.3.4 : E13 3-boyutlu Minkowski uzayında bir  eğrisi üzerindeki bir P noktası
eğriyi çizerken T, N ve B vektörleri değişirler ve küresel göstergeleri oluştururlar.
Eğrinin
T, N, B
üç ayaklısının her s anında, bir eksen etrafında, bir ani helis
hareketi yaptığı kabul edilir. Bu eksene, eğrinin bu s parametresine karşılık gelen s)
noktasındaki Darboux ani dönme ekseni denir [7].
18
Eğrinin herhangi bir noktasındaki Frenet vektörleri T, N, B olmak üzere, Frenet
vektörleriyle türev vektörleri arasındaki ilişki ve Darboux vektörleri aşağıdaki gibidir.
i)
3-boyutlu Minkowski uzayında   (s ) timelike eğrisini göz önüne
alalım. Bu eğrinin herhangi bir P noktasındaki teğet, asli normal ve binormal birim
vektörlerden meydana gelen T, N, B Frenet üç-ayaklısı vardır. Bu  timelike eğrisi
için Frenet formülleri,
dT
 N
ds
dN
 T  
ds
dB
 N
ds
yani,
 T'   0  0   T 
 ' 
 
 N     0    N 
 B'   0  0   B 
 
(2.3.1)
şeklindedir [6]. Bu durumda Darboux vektörü de
W  T  B
(2.3.2)
dir[11].
ii)
3-boyutlu Minkowski uzayında   (s ) asli normali timelike olan
spacelike eğrisini göz önüne alalım. Bu eğrinin herhangi bir P noktasındaki teğet, asli
normal ve binormal birim vektörlerden meydana gelen T, N, B Frenet üç-ayaklısı
vardır. Bu eğri için Frenet formülleri,
dT
 N
ds
dN
 T  
ds
dB
 N
ds
yani,
 T'   0  0   T 
 ' 
 
 N    0   N
 B'   0  0   B 
 
(2.3.3)
19
şeklindedir [6]. Bu durumda Darboux vektörü de
W  T  B
(2.3.4)
dir [11].
iii)
3-boyutlu Minkowski uzayında   (s ) binormali timelike olan
spacelike eğrisini göz önüne alalım. Bu eğrinin herhangi bir P noktasındaki teğet, asli
normal ve binormal birim vektörlerden meydana gelen T, N, B Frenet üç-ayaklısı
vardır. Bu eğri için Frenet formülleri,
dT
 N
ds
dN
 T  
ds
dB
 N
ds
yani,
 T'   0  0   T 
 ' 
 
 N     0    N 
 B'   0  0   B 
 
(2.3.5)
şeklindedir [6]. Bu durumda Darboux vektörü de
W  T  B
(2.3.6)
dir [11].
20
BÖLÜM 3
MİNKOWSKİ UZAYINDA KÜRESEL GÖSTERGE EĞRİLERİ
3.1. Timelike Eğrilerin Küresel Göstergeleri
3-boyutlu Minkowski uzayında  timelike eğrisi s  I yay parametresi ile verilsin.
 eğrisinin (N) ve (B) gösterge eğrileri S12 Lorentz birim küresi üzerinde ve (T)
gösterge eğrisi de H 02 hiperbolik küresi üzerinde bulunurlar. Buna göre,
T, T  1, N, N  B, B  1
olmak üzere
T  N   B, N  B  T, B T   N
şeklindedir.  eğrisinin (s ) noktasındaki eğriliği  ve burulması da  olsun. Bu
durumda W Darboux ani dönme vektörü (2.3.2) den,
W  T  B
idi. Buna göre
W, W   2  2
olup, W nin karakteri için iki durum söz konusudur.
i)
ii)
 2  2  0
 2  2  0
Şimdi sırasıyla bu iki durumu inceleyelim.
 2  2  0 olsun. Bu durumuda W vektörü spacelike vektör olur. T
i)
timelike vektörü ile W spacelike vektörü arasındaki açı formülünden,
T, W  T W sinh 
T, T  B   W sinh 
2   W sinh 
  W sinh 
21
bulunur. Benzer şekilde B spacelike vektörü ile W spacelike vektörü arasındaki
timelike açı formülünden,
B, W  B W cosh 
B, T  B  B W cosh 
 2   W cosh 
  W cosh 
elde edilir. O halde
  W cosh 
(3.1.1)
  W sinh 
yazılabilir. W darboux ani dönme vektörü yönündeki birim vektörü C ise,
C
W
W
C


T
B
W
W
C  sinh   cosh B
(3.1.2)
elde edilir.
 2  2  0 olsun. Bu durumuda W vektörü daima timelike vektördür.
ii)
Bu durumda da benzer şekilde
  W sinh 
(3.1.3)
  W cosh 
yazılabilir. W Darboux ani dönme vektörü yönündeki birim vektörü C ise,
W
C
W
C


T
B
W
W
C  cosh   sinh B
(3.1.4)
olduğu görülür. Burada , T ve C vektörleri arasındaki hiperbolik açıdır.
Teorem 3.1.1 : 3-boyutlu Minkowski uzayındaki bir timelike α eğrisinin (T) spacelike
teğetler göstergesi ve (B) spacelike binormaller göstergesi, (C) sabit
spacelike(timelike) pol eğrisinin iki tane küresel involütüdür [7].
22
İspat : (C) sabit pol eğrisi ile hareketli pol eğrisinin teğetleri ortaktır. (C) eğrisi
C  C  s  ile yani W darboux vektörü yönündeki birim vektör ile verildiğinde (C) nin
teğeti için, W spacelike ise
C  sinh   cosh B
dir. (2.3.1) ve (3.1.1) den
dC
 C '  (sinh ) ' T  (cosh ) 'B  sinh N  cosh N
ds
 (sinh ) ' T  (cosh ) ' B  sinh  W cosh N  cosh  W sinh N
C'  (sinh ) ' T  (cosh ) ' B
(3.1.5)
bulunur. Öte yandan (T) ve (B) göstergelerinin teğetleri, sırası ile,
dT
 T '  N
ds
dB
 B'  N
ds
olduğundan,

dC dT
,
 0
ds ds

dC dB
,
 0
ds ds
ve
bulunur. Bunlarda gösterir ki, (T) ve (B); (C) nin birer küresel involütüdür. Benzer
şekilde W timelike olması halinde de (T) ve (B); (C) nin birer küresel involütü olduğu
görülür.
3.1.1 Timelike Eğrilerin Küresel Göstergelerinin Yay Uzunlukları
 , 3-boyutlu Minkowski uzayında s  I yay parametrisi ile verilmiş bir timelike eğri
olsun. a ≤ s ≤ b olmak üzere α eğrisinin yay uzunluğunun
b
s = 
a
d
ds=  T ds
ds
a
b
İfadesi ile verildiğini biliyoruz. Buradan (T), (N), (B) ve (C) eğrilerinin yay
uzunluklarını hesaplayabiliriz.
23
(T) için yay uzunluğu,
s
sT  
0
s
dT
ds=  T' ds
ds
0
(2.3.1) ve (3.1.1) den
s
  (s) N(s) ds
0
s
  ds
0
dir. Buradan da W spacelike ise (3.1.1) den,
s
sT   W cosh ds
0
ve W timelike ise (3.1.3) den
s
sT   W sinh ds
0
olarak hesaplanır.
(N) için yay uzunluğu,
s
sN  
0
s
dN
ds=  N' ds
ds
0
(2.3.1) ve (3.1.1) den
s
  (s)T(s)  (s)B(s) ds
0
s

2   2 ds
0
s
  W ds
0
dir.
(B) için yay uzunluğu,
s
sB  
0
s
dB
ds=  B' ds
ds
0
24
(2.3.1) ve (3.1.1) den
s
  (s) N(s) ds
0
s
  ds
0
dir. Buradan da W spacelike ise (3.1.1) den,
s
sT   W sinh ds
0
ve W timelike ise (3.1.3)
s
sT   W cosh ds
0
olarak hesaplanır.
(C) için yay uzunluğu,
s
sC  
0
s
dC
ds=  C' ds
ds
0
(2.3.1), (3.1.1) ve (3.1.5) den,
s
  (sinh ) 'T  (cosh ) 'B ds
0
s
   '(cosh T  sinh B) ds
0
s
   ' sinh 2   cosh 2  ds
0
s
   'ds
0
 (s)  (0)
dir.
3.1.2 Timelike Eğrilerin Küresel Göstergelerinin Geodezik Eğrilikleri
3-boyutlu Minkowski uzayında s yay parametrisi ile verilen bir timelike eğrinin teğet
birim vektörü
25
T   T1 , T2 , T3 
olmak üzere,
k g  DT T 
d 2
ds 2
ifadesine α eğrisinin α(s) noktasına karşılık gelen geodezik eğriliği denir.
Şimdi, α eğrisinin (T), (N), (B) ve (C) gösterge eğrilerinin geodezik
eğriliklerini hesaplayalım. Fakat küresel göstergeler ve pol eğrileri, S12 Lorentz birim
küresi veya H 02 hiperbolik birim küre üzerinde oluştuklarından, bunların geodezik
eğriliklerini S12 veya H 02 ye göre de hesaplamak gerekmektedir.
3.1.2.1 (T), (N), (B) ve (C) Gösterge Eğrilerinin 3-Boyutlu Minkowski Uzayına
Göre Geodezik Eğrilikleri
(T) teğetler göstergesi için:
(T) nin parametresi s T ve teğet birim vektörü TT olsun. (T) nin E13 deki
geodezik eğriliği k t olmak üzere,
k t  DTT TT
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve teğet birim vektörü T olmak üzere, (T) nin
denklemi
T  T
idi.
dT
 TT
dsT
olmak üzere,
d dT ds

dsT ds dsT
TT  N
ds
dsT
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
26
1 
ds
ds T
ds 1

ds T 
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa
TT  N
(3.1.6)
olur. Ayrıca
DTT TT 
dTT
dsT

dTT ds
ds dsT

dN ds
ds ds T
 (   B)
1


DTT TT  T  B

(3.1.7)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (T) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k t  DTT TT

2
1
2
dir. Eğer W spacelike ise (3.1.1) den,
kt 
tanh 2   1 
1
cosh 
ve eğer W timelike ise (3.1.3) den,
kt 
coth 2   1 
1
sinh 
yazılabilir.
(N) Asli Normaller Göstergesi için:
(N) nin parametresi s N ve teğet birim vektörü TN olsun. (N) nin E13 deki
geodezik eğriliği k n olmak üzere,
27
k n  DTN TN
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve asli normal birim vektörü N olmak üzere, (N) nin
denklemi
N  N
idi.
d N
 TN
ds N
olmak üzere,
d dN ds

ds N ds ds N
TN  (   
ds
ds N
dir. Her iki tarafın normu alınırsa,
1 W
ds
ds N
ds
1

ds N
W
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa
TN 


T
B
W
W
elde edilir. Eğer W spacelike ise (3.1.1) den
TN  cosh T  sinh B
(3.1.8)
olur. Ayrıca
DTN TN 
dTN
ds N

dTN ds
ds ds N

d
ds
(cosh  T  sinh  B)
ds
ds N
28
 (' sinh T  ' cosh   cosh  N sinh  N)

DTN TN 
1
W
1
' sinh T  ' cosh    cosh 2   sinh 2 ) W N 

W
'
(sinh T  cosh B)  N
W
(3.1.9)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (N) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k n  DTN TN
2

 ' 

  1
 W 
olarak hesaplanır. Benzer şekilde eğer W timelike ise, (N) nin E13 deki geodezik
eğriliği,
k n  DTN TN
 ' 
 1  

 W 
2
olarak bulunur.
(B) Binormaller Göstergesi İçin:
(B) nin parametresi s B ve teğet birim vektörü TB olsun. (B) nin E13 deki
geodezik eğriliği k b olmak üzere,
k b  DTB TB
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve binormal birim vektörü B olmak üzere, (B) nin
denklemi
B  B
idi.
d B
 TB
ds B
olmak üzere,
29
d dB ds

ds B ds ds B
TB  N
ds
ds B
bulunur. Her iki tarafın normu alınırsa
1 
ds
ds B
ds 1

ds B 
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa,
TB  N
(3.1.10)
olur. Ayrıca
DTB TB 
dTB
ds B

dTB ds
ds ds B

dN ds
ds ds B
 (   B)
DTB TB 
1


TB

(3.1.11)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (B) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k b  DTB TB
2
 1 2

olarak hesaplanır. Eğer W spacelike ise (3.1.1) den,
k b  1  coth 2 
1
sinh 2 



1
sinh 
30
ve eğer W timelike ise de (3.1.3) den,
k b  1  tanh 2 
1
cosh 2 

1
cosh 

yazılabilir.
(C) Sabit Pol Eğrisi İçin:
(C) nin parametresi sC ve teğet birim vektörü TC olsun. (C) nin E13 deki
geodezik eğriliği k c olmak üzere,
k c  DTC TC
dir. α eğrisinin yay parametresi s olmak üzere, W spacelike iken (C) nin denklemi
 C  C  sinh  T  cosh B
idi.
dC
 TC
dsC
olmak üzere,
d dC ds

dsC ds dsC

TC   sinh   T   cosh   B
'
'
 dsds
C
 '  cosh T  sinh B 
ds
dsC
bulunur. Her iki tarafın normu alınırsa,
1  '
ds
dsC
ds
1
 '
ds C 
31
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa
TC   cosh T  sinh B 
(3.1.12)
olur. Ayrıca
DTC TC 
dTC
dsC

dTC ds
ds dsC

d
ds
(cosh  T  sinh  B)
ds
dsC
 1
 (' sinh T  ' cosh   cosh  N sinh  N)   ' 
 
1
 '  ' sinh T  ' cosh    cosh 2   sinh 2 ) W N 

DTC TC  sinh T  cosh B 
W
'
N
(3.1.13)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (C) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k c  DTC TC
2
kc 
 W 
 '  1
  
olarak hesaplanır. Benzer şekilde W timelike ise (C) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k c  DTC TC
2
kc 
 W 
 '  1
  
yazılabilir.
3.1.2.2 (T), (N), (B) ve (C) Eğrilerinin S 12 veya H 02 e Göre Geodezik Eğrilikleri
Gösterge eğrilerinin S12 veya H 02 ye göre geodezik eğriliklerini hesaplayabilmek için
S12 deki D ve H 02 deki D konneksiyonlarını kullanmalıyız. E13 deki konneksiyon D
olduğuna göre, S12 ve H 02 nin normal birim vektör alanları  ile gösterilmek üzere,
32
  , 
D x Y  D x Y   S(X), Y  ,
D X Y  D X Y   S(X), Y ,
  , 
Gaus denklemlerinden yararlanarak
S12 ve H 02 deki konneksiyonlara geçebiliriz.
Burada S, S12 ve H 02 nin şekil operatörleri olup
 1 0 
S  I 2  

 0 1
dir.
(T) eğrisi H 02 , (N) ve (B) eğrileri de S12 küresi üzerinde oluştuklarından, geodezik
eğrilikleri de bu kürelere göre hesaplanacaktır.
(T) Teğetler Göstergesi İçin:
(T) nin H 02 daki geodezik eğriliği  t olmak üzere
 t  DTT TT
dir. Gauss denkleminden,
DTT TT  DTT TT   S(TT ), TT   
yazılabilir. Burada
  T, T  1 , S(TT )  TT ve (3.1.6) dan S(TT ), TT  TT , TT  1
olup, H 02 nin birim normal vektör alanı T olacağından
DTT TT  DTT TT  T
bulunur. Bu ifade (3.1.7) ile birleştirilirse
DTT TT  T 

BT


DTT TT   B

bulunur. Her iki tarafın normu alınırsa
DTT TT 


33
elde edilir. Buradan da (T) nin H 02 daki geodezik eğriliği için, W spacelike ise (3.1.1)
den,
 t  tanh 
ve W timelike ise;
 t  coth 
yazılabilir.
(N) Asli Normaller Göstergesi İçin:
(N) nin S12 daki geodezik eğriliği  n olmak üzere
 t  DTN TN
dir. Gauss denkleminden,
DTN TN  DTN TN   S(TN ), TN   
dir. Burada
  N, N  1 , S(TN )  TN ve (3.1.8) den, S(TN ), TN  TN , TN  1
olup, S12 nin birim normal vektör alanı N olacağından
DTN TN  DTN TN  N
bulunur. Bu ifade (3.1.9) ile birleştirilirse
DTN TN 
'
 sinh T  cosh B  N  N
W
'
DTN TN 
 sinh T  cosh B
W
bulunur. Her iki tarafın normu alınırsa
DTN TN 
'
W
DTN TN 
'
W
cosh 2   sinh 2 
34
elde edilir ve buradan da (N) nin S12 deki geodezik eğriliği için
n 
'
W
olarak hesaplanır.
(B) Binormaller Göstergesi İçin:
(B) nin S12 daki geodezik eğriliği  b olmak üzere
 b  DTB TB
dir. Gauss denkleminden,
DTB TB  DTB TB   S(TB ), TB   
dir. Burada
  B, B  1 , S(TB )  TB ve (3.1.10) dan S(TB ), TB  TB , TB  1
olup, S12 nin birim normal vektör alanı B olacağından
DTB TB  DTB TB  B
bulunur. Bu ifade (3.1.11) ile birleştirilirse

TBB


DTB TB  T

DTB TB 
bulunur. Her iki tarafın normu alınırsa
DTB TB 


elde edilir ve buradan da (B) nin S12 daki geodezik eğriliği için, W spacelike ise (3.1.1)
den
 t  coth 
ve W timelike ise;
 t  tanh 
olarak yazılabilir.
35
(C) Sabit Pol Eğrisi İçin:
W spacelike olması durumunda, (C) nin S12 daki geodezik eğriliği  c olmak
üzere,
 c  DTC TC
dir. Gauss denkleminden,
DTC TC  DTC TC   S(TC ), TC   C
dir. Burada
  C, C  1 , S(TC )  TC ve (3.1.12) den S(TC ), TC  TC , TC  1
olup, S12 nin birim normal vektör alanı C olacağından
DTC TC  DTC TC  C
bulunur. W spacelike iken,
C  sinh T  cosh B
idi. Bu ifadeler (3.1.13) ile birleştirilirse
DTC TC  sinh  T  cosh  B
W
DTC TC  sinh  T  cosh  B
W
DTC TC 
'
'
NC
N  sinh T  cosh B
W
N
'
bulunur. Her iki tarafın normu alınırsa
DTC TC 
W
'
elde edilir ve buradan da (C) nin S12 deki geodezik eğriliği için
c 
W
'
olarak hesaplanır. Benzer şekilde W vektörünün timelike olması durumunda da (C)
nin H 02 deki geodezik eğriliği için aynı sonuca ulaşılabilir.
36
3.2 Asli Normali Timelike Olan Spacelike Eğrilerin Küresel Göstergeleri
3-boyutlu Minkowski uzayında asli normali timelike vektör olan bir  spacelike eğrisi
s  I yay parametresi ile verilsin.  eğrisinin (T) ve (B) gösterge eğrileri S12 Lorentz
birim küresi üzerinde ve (N) gösterge eğrisi de H 02 hiperbolik küresi üzerinde
bulunurlar. Buna göre,
N, N  1, T, T  B, B  1
olmak üzere
T  N   B, N  B   T, B T  N
şeklindedir.  eğrisinin (s ) noktasındaki eğriliği  ve burulması da  olsun. Bu
durumda W darboux ani dönme vektörü,
W  T  B
idi. Buna göre
W, W   2  2
olup,  2  2  0 olduğundan W vektörü daima spacelike vektördür. T spacelike
vektörü ile W spacelike vektörü arasındaki açı formülünden,
  w cos 
(3.2.1)
  W sin 
yazılabilir.
W darboux ani dönme vektörü yönündeki birim vektörü C ise,
C
W
W
C


T
B
W
W
C   sin T  cos B
(3.2.2)
yazılabilir. Burada  T ve C vektörleri arasındaki açıdır.
Teorem 3.2.1: E13 3-boyutlu Minkowski uzayındaki asli normali timelike vektör olan
bir α spacelike eğrisinin (T) timelike teğetler göstergesi ve (B) timelike binormaller
göstergesi, (C) sabit spacelike pol eğrisinin iki tane küresel involütüdür [7].
37
İspat: (C) sabit pol eğrisi ile hareketli pol eğrisinin teğetleri ortaktır. (C) eğrisi C=C(s)
ile yani W Darboux vektörü yönündeki birim vektör ile verildiğinde (C) nin teğeti için,
C   sin T  cos B
dir ve
dC
 C '  'cos T  ' sin B  sin N  cos N
ds
C'  '   cos T  sin B 
(3.2.3)
bulunur. Öte yandan (T) ve (B) göstergelerinin teğetleri, sırası ile,
dT
 T '  N
ds
dB
 B'=N
ds
olduğundan,

dC dT
,
 0
ds ds

dC dB
,
 0
ds ds
ve
bulunur. Bunlarda gösterir ki, (T) ve (B); (C) nin birer küresel involütüdür.
3.2.1 Asli Normali Timelike Olan Spacelike Eğrilerin Küresel Göstergelerinin
Yay Uzunlukları
 , 3-boyutlu Minkowski uzayında s  I yay parametrisi ile verilmiş asli normali
timelike vektör olan bir spacelike eğri olsun. a ≤ s ≤ b olmak üzere α eğrisinin yay
uzunluğunun
b
s = 
a
d
ds=  T ds
ds
a
b
İfadesi ile verildiğini biliyoruz. Buna göre (T), (N), (B) ve (C) eğrilerinin yay
uzunlukları hesaplanabilir.
38
(T) için yay uzunluğu,
s
sT  
0
s
dT
ds=  T' ds
ds
0
(2.3.3) ve (3.2.1) den,
s
  (s) N(s) ds
0
s
  ds
0
s
  W cosds
0
dir.
(N) için yay uzunluğu,
s
sN  
0
s
dN
ds=  N' ds
ds
0
(2.3.3) ve (3.2.1) den,
s
  (s) T(s)  (s) B(s) ds
0
s
   2  2 ds
0
s
=  W ds
0
dir.
(B) için yay uzunluğu,
s
sB  
0
s
dB
ds=  B' ds
ds
0
(2.3.3) ve (3.2.1) den,
s
  (s) N(s) ds
0
s
  ds
0
39
s
  W s in ds
0
dir.
(C) için yay uzunluğu,
s
sC  
0
s
dC
ds=  C' ds
ds
0
(2.3.3) ve (3.2.1) den,
s
  ( sin ) 'T  (cos ) 'B ds
0
s
   '( cos T  sin B) ds
0
s
   ' cos 2   sin 2 ds
0
s
   'ds
0
 (s)  (0)
dir.
3.2.2 Asli Normali Timelike Olan Spacelike Eğrilerin Küresel Göstergelerinin
Geodezik Eğrilikleri
3-boyutlu Minkowski uzayında s yay parametrisi ile verilen bir timelike eğrinin teğet
birim vektörü
T   T1 , T2 , T3 
olmak üzere
k g  DT T 
d 2
ds 2
ifadesine α eğrisinin α(s) noktasına karşılık gelen geodezik eğriliği denir.
Şimdi, α eğrisinin (T), (N), (B) ve (C) gösterge eğrilerinin geodezik
eğriliklerini hesaplayalım. Fakat küresel göstergeler ve pol eğrileri, S12 Lorentz birim
küresi veya H 02 hiperbolik birim küre üzerinde oluştuklarından, bunların geodezik
eğriliklerini S12 veya H 02 ye göre de hesaplamamız gerekmektedir.
40
3.2.2.1 (T), (N), (B) ve (C) Gösterge Eğrilerinin 3-Boyutlu Minkowski Uzayına
Göre Geodezik Eğrilikleri
(T) teğetler göstergesi için:
(T) nin parametresi s T ve teğet birim vektörü TT olsun. (T) nin E13 deki
geodezik eğriliği k t olmak üzere,
k t  DTT TT
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve teğet birim vektörü T olmak üzere, (T) nin
denklemi
T  T
idi.
dT
 TT
dsT
olmak üzere,
d dT ds

dsT ds dsT
TT  N
ds
dsT
bulunur. Her iki tarafın normu alınırsa,
1 
ds
ds T
ds 1

ds T 
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa,
TT  N
(3.2.4)
olur. Ayrıca
DTT TT 
dTT
dsT

dTT ds
ds dsT

dN ds
ds ds T
41
 (   B)
DTT TT  T 
1


B

(3.2.5)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (T) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k t  DTT TT

2
1
2
k t  tan 2   1 
1
cos 
olarak hesaplanır.
(N) Asli Normaller Göstergesi için:
(N) nin parametresi s N ve teğet birim vektörü TN olsun. (N) nin E13 deki
geodezik eğriliği k n olmak üzere,
k n  DTN TN
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve asli normal birim vektörü N olmak üzere, (N) nin
denklemi
N  N
idi.
d N
 TN
ds N
olmak üzere,
d dN ds

ds N ds ds N
TN  (   
ds
ds N
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
1 W
ds
ds N
42
ds
1

ds N
W
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa,
TN 


T
B
W
W
TN  cos T  sin B
(3.2.6)
bulunur. Ayrıca,
DTN TN 
dTN
ds N

dTN ds
ds ds N

d
ds
(cos  T  sin  B)
ds
ds N
 (' sin T  ' cos   cos  N  sin  N)
1
W
 (' sin T  ' cos   cos 2  W N  sin 2  W N)
DTN TN 
'
( sin T  cos B)  N
W
1
W
(3.2.7)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (N) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k n  DTN TN
2

 ' 

  1
 W 
olarak hesaplanır.
(B) Binormaller Göstergesi İçin:
(B) nin parametresi s B ve teğet birim vektörü TB olsun. (B) nin E13 deki
geodezik eğriliği k b olmak üzere,
k b  DTB TB
43
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve binormal birim vektörü B olmak üzere, (B) nin
denklemi
B  B
idi.
d B
 TB
ds B
olmak üzere,
d dB ds

ds B ds ds B
TB  N
ds
ds B
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
1 
ds
ds B
ds 1

ds B 
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa,
TB  N
(3.2.8)
bulunur. Ayrıca
DTB TB 
dTB
ds B

dTB ds
ds ds B

dN ds
ds ds B
 (   B)
DTB TB 
1


TB

(3.2.9)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (B) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k b  DTB TB
44
 1
2
2
 1  cot 2 

kb 
1
sin 2 
1
sin 
olarak hesaplanır.
(C) Sabit Pol Eğrisi İçin:
(C) nin parametresi sC ve teğet birim vektörü TC olsun. (C) nin E13 deki
geodezik eğriliği k c olmak üzere,
k c  DTC TC
dir. α eğrisinin yay parametresi s olmak üzere, (C) nin denklemi
 C  C   sin  T  cos B
idi.
dC
 TC
dsC
olmak üzere,
d dC ds

dsC ds dsC
TC 
d
ds
  sin T  cos B
ds
dsC
 '   cos T  sin B 
ds
dsC
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
1  '
ds
dsC
ds
1
 '
ds C 
45
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa,
TC   cos T  sin B
(3.2.10)
bulunur. Ayrıca,
DTC TC 
dTC
dsC

dTC ds
ds dsC

d
ds
( cos  T  sin  B)
ds
ds C
 (' sin T  ' cos   cos  N sin  N)
1
'
  ' sin T  ' cos    cos 2   sin 2 ) W N 
DTC TC  sin T  cos B 
W
'
1
'
(3.2.11)
N
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (C) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k c  DTC TC
 W 
 1  ' 
  
2
olarak hesaplanır.
3.2.2.2. (T), (N), (B) ve (C) Eğrilerinin S 12 veya H 02 e Göre Geodezik Eğrilikleri
(N) eğrisi H 02 küresi üzerinde,
(T) ve (B) eğrileri de S12 küresi üzerinde
oluştuklarından geodezik eğrilikleri de bu kürelere göre hesaplanacaktır.
(T) Teğetler Göstergesi İçin:
(T) nin S12 daki geodezik eğriliği  t olmak üzere
 t  DTT TT
46
dir. Gauss denkleminden,
DTT TT  DTT TT   S(TT ), TT   
yazılabilir. Burada
  T, T  1 , S(TT )  TT ve (3.2.4) den S(TT ), TT  TT , TT  1
olup, S12 nin birim normal vektör alanı T olacağından
DTT TT  DTT TT  T
bulunur. Bu ifade (3.2.5) ile birleştirilirse,
DTT TT  T 
DTT TT 

BT


B

olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
DTT TT  tan 
elde edilir ve buradan da (T) nin S12 daki geodezik eğriliği için
 t  tan 
bulunur.
(N) Asli Normaller Göstergesi İçin:
(N) nin H 02 daki geodezik eğriliği  n olmak üzere
 t  DTN TN
dir. Gauss denkleminden,
DTN TN  DTN TN   S(TN ), TN   
dir. Burada
  N, N  1,
S(TN )  TN ve (3.2.6) dan S(TN ), TN  TN , TN  1
47
olup, H 02 nin birim normal vektör alanı N olacağından
DTN TN  DTN TN  N
bulunur. Bu ifade (3.2.7) ile birleştirilirse,
DTN TN 
'
( sin T  cos B)  N  N
W
'
DTN TN 
( sin T  cos B)
W
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
DTN TN 
'
W
DTN TN 
'
W
cos 2   sin 2 
elde edilir ve buradan da (N) nin H 02 daki geodezik eğriliği için
n 
'
W
bulunur.
(B) Binormaller Göstergesi İçin:
(B) nin S12 daki geodezik eğriliği  b olmak üzere
 b  DTB TB
dir. Gauss denkleminden,
DTB TB  DTB TB   S(TB ), TB   
dir. Burada
  B, B  1 ,
S(TB )  TB ve (3.2.8) dan
olup, S12 nin birim normal vektör alanı B olacağından
DTB TB  DTB TB  B
48
S(TB ), TB  TB , TB  1
bulunur. Bu ifade (3.2.9) ile birleştirilirse

TBB


DTB TB  T

DTB TB 
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
DTB TB  cot 
elde edilir ve buradan da (B) nin S12 daki geodezik eğriliği için
 t  cot 
bulunur.
(C) Sabit Pol Eğrisi İçin:
W eğrisi spacelike olduğundan (C) eğrisi de S12 küresi üzerinde oluşur. (C) nin
S12 daki geodezik eğriliği  c olmak üzere
 c  DTC TC
dir. Gauss denkleminden,
DTC TC  DTC TC   S(TC ), TC   C
dir. Burada
  C, C  1 ,
S(TC )  TC ve (3.2.10) dan
S(TC ), TC  TC , TC  1
ve S12 nin birim normal vektör alanı C olacağından
DTC TC  DTC TC  C
bulunur. C   sin T  cos B olduğunu göz önüne alarak, bu ifade (3.2.11) ile
birleştirilirse,
DTC TC  sin  T  cos  B
DTC TC  sin  T  cos  B
W
'
W
'
NC
N  sin T  cos B
49
DTC TC  
W
'
N
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
DTC TC 
W
'
elde edilir ve buradan da (C) nin S12 daki geodezik eğriliği için
c 
W
'
olarak hesaplanır.
3.3. Binormali Timelike Olan Spacelike Eğrilerin Küresel Göstergeleri
3-boyutlu Minkowski uzayında binormali timelike vektör olan bir  spacelike eğrisi
s  I yay parametresi ile verilsin.  eğrisinin (T) ve (N) gösterge eğrileri S12 Lorentz
birim küresi üzerinde ve (B) gösterge eğrisi de H 02 hiperbolik küresi üzerinde
bulunurlar. Buna göre,
B, B  1, T, T  N, N  1
olmak üzere,
T  N  B, N  B   T, B T   N
şeklindedir. Bu durumda Darboux ani dönme vektörü,
W  T  B
idi. Buna göre
W, W  2   2
olup, W nin karakteri için iki durum söz konusudur.
i)
ii)
2   2  0
2   2  0
Şimdi sırasıyla bu iki durumu inceleyelim.
i)
2   2  0 olsun. Bu durumuda W vektörü spacelike vektör olup
50
  w sinh 
(3.3.1)
  W cosh 
yazılabilir. W Darboux ani dönme vektörü yönündeki birim vektörü C ise,
C
W
W
C


T
B
W
W
C  cosh   sinh B
(3.3.2)
yazılabilir.
2   2  0 olsun. Bu durumuda W vektörü timelike vektördür. W ve B
ii)
vektörü arasındaki hiperbolik açı  ise,
  W cosh 
(3.3.3)
  W sinh 
yazılabilir. Buradan W Darboux ani dönme vektörü yönündeki birim vektörü C ise,
C
W
W
C


T
B
W
W
C  sinh   cosh B
(3.3.4)
olduğu görülür.
Teorem 3.3.1: E13 3-boyutlu Minkowski uzayındaki binormali timelike vektör olan
bir α spacelike eğrisinin (T) spacelike teğetler göstergesi ve (B) spacelike binormaller
göstergesi, (C) sabit timelike(spacelike) pol eğrisinin iki tane küresel involütüdür [7].
İspat: (C) sabit pol eğrisi ile hareketli pol eğrisinin teğetleri ortaktır. (C) eğrisi
C  C(s) ile yani W Darboux vektörü yönündeki birim vektör ile verildiğinde (C)
nin teğeti için, W spacelike iken,
C  cosh   sinh B
dir ve
51
dC
 C '  (cosh ) ' T  (sinh ) 'B  cosh N  sinh N
ds
 (cosh ) ' T - (sinh ) ' B +cos h  W sinh N  sinh  W cosh N
C'  (cosh ) ' T  (sinh ) ' B
(3.3.5)
bulunur. Öte yandan (T) ve (B) göstergelerinin teğetleri sırası ile,
dT
 T '  κN
ds
dB
 B'=N
ds
olduğundan,

dC dT
,
 0
ds ds

dC dB
,
 0
ds ds
ve
bulunur. Bunlarda gösterir ki, (T) ve (B); (C) nin birer küresel involütüdür. W timelike
olması durumunda da benzer şekilde (T) ve (B); (C) nin birer küresel involütü olduğu
görülebilir.
3.3.1. Binormali Timelike Olan Spacelike Eğrilerin Küresel Göstergelerinin Yay
Uzunlukları
 , 3-boyutlu Minkowski uzayında s  I yay parametrisi ile verilmiş binormali
timelike vektör olan spacelike bir eğri olsun. a ≤ s ≤ b olmak üzere α eğrisinin yay
uzunluğunun
d
ds=  T ds
ds
a
b
b
s = 
a
İfadesi ile verildiğini biliyoruz. Buna göre (T), (N), (B) ve (C) eğrilerinin yay
uzunluklarını hesaplayabiliriz.
(T) için yay uzunluğu,
s
sT  
0
s
dT
ds=  T' ds
ds
0
52
(2.3.5) den,
s
  (s) N(s) ds
0
s
  ds
0
dir.
(N) için yay uzunluğu,
s
sN  
0
s
dN
ds=  N' ds
ds
0
(2.3.5) den,
s
  (s) T(s)  (s) B(s) ds
0
s

2   2 ds
0
s
  W ds
0
dir.
(B) için yay uzunluğu,
s
sB  
0
s
dB
ds=  B' ds
ds
0
(2.3.5) den,
s
  (s) N(s) ds
0
s
  ds
0
dir.
(C) için yay uzunluğu,
s
sC  
0
s
dC
ds=  C' ds
ds
0
W spacelike iken,
53
s
  (cosh )' T  (sinh)'B ds
0
s
   '(sinh T  cosh B) ds
0
s
   ' cosh 2   sinh 2 ds
0
s
   'ds
0
 (s)  (0)
dir. Benzer şekilde W timelike olması durumunda da aynı sonuca ulaşılır.
3.3.2. Binormali Timelike Olan Spacelike Eğrilerin Küresel Göstergelerinin
Geodezik Eğrilikleri
3-boyutlu Minkowski uzayında s yay parametrisi ile verilen bir timelike eğrinin teğet
birim vektörü
T   T1 , T2 , T3 
olmak üzere
k g  DT T 
d 2
ds 2
ifadesine α eğrisinin α(s) noktasına karşılık gelen geodezik eğriliği denir.
Şimdi, α eğrisinin (T), (N), (B) ve (C) gösterge eğrilerinin geodezik
eğriliklerini hesaplayalım. Fakat küresel göstergeler ve pol eğrileri, S12 Lorentz birim
küresi veya H 02 hiperbolik birim küre üzerinde oluştuklarından, bunların geodezik
eğriliklerini S12 veya H 02 ye göre de hesaplamamız gerekmektedir.
3.3.2.1. (T), (N), (B) ve (C) Gösterge Eğrilerinin 3-Boyutlu Minkowski Uzayına
Göre Geodezik Eğrilikleri
(T) teğetler göstergesi için:
(T) nin parametresi s T ve teğet birim vektörü TT olsun. (T) nin E13 deki
geodezik eğriliği k t olmak üzere,
k t  DTT TT
54
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve teğet birim vektörü T olmak üzere, (T) nin
denklemi
T  T
idi.
dT
 TT
dsT
olmak üzere,
d dT ds

dsT ds dsT
TT  N
ds
dsT
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
1 
ds
ds T
ds 1

ds T 
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa,
TT  N
(3.3.6)
bulunur. Ayrıca
DTT TT 
dTT
dsT

dTT ds
ds dsT

dN ds
ds ds T
 (  B)
DTT TT  T 
1


B

(3.3.7)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (T) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k t  DTT TT
55
 1
2
2
olarak hesaplanır. Buradan da eğer W spacelike ise (3.3.1) den,
k t  1  coth 2  
1
sinh 
ve eğer W timelike ise (3.3.3) den,
k t  1  tanh 2  
1
cosh 
yazılabilir.
(N) Asli Normaller Göstergesi için:
(N) nin parametresi s N ve teğet birim vektörü TN olsun. (N) nin E13 deki
geodezik eğriliği k n olmak üzere,
k n  DTN TN
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve asli normal birim vektörü N olmak üzere, (N) nin
denklemi
N  N
idi. Burada
d N
 TN
ds N
olmak üzere,
d dN ds

ds N ds ds N
TN  (  
ds
ds N
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
1 W
ds
ds N
56
ds
1

ds N
W
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa,
TN  


T
B
W
W
elde edilir. W spacelike ise,
TN   sinh T  cosh B
(3.3.8)
olur. Ayrıca
DTN TN 
dTN
ds N

dTN ds
ds ds N

d
ds
( sinh  T  cosh  B)
ds
ds N
 (' cosh T  ' sinh   sinh  N cosh  N)

DTN TN 
1
W
1
 ' cosh T  ' sinh   cosh 2   sinh 2 ) W N 
W
'
(sinh T  cosh B)  N
W
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (N) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k n  DTN TN
2

 ' 

  1
 W 
olarak hesaplanır. Benzer şekilde eğer W timelike ise,
k n  DTN TN
 ' 
 1  

 W 
2
elde edilebilir.
57
(3.3.9)
(B) Binormaller Göstergesi İçin:
(B) nin parametresi s B ve teğet birim vektörü TB olsun. (B) nin E13 deki
geodezik eğriliği k b olmak üzere,
k b  DTB TB
dir. α eğrisinin yay parametresi s ve binormal birim vektörü B olmak üzere, (B) nin
denklemi
B  B
idi. Burada
d B
 TB
ds B
olmak üzere,
d B dB ds

ds B ds ds B
TB  N
ds
ds B
olur. Her iki tarafın normu alınırsa,
1 
ds
ds B
ds 1

ds B 
ve bu yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa
TB  N
(3.3.10)
olur. Ayrıca
DTB TB 
dTB
ds B

dTB ds
ds ds B

dN ds
ds ds B
 (  B)
1

58

DTB TB   T  B

(3.3.8)
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (B)nin E13 deki geodezik eğriliği,
k b  DTB TB
2
1
2

olarak bulunur. Buradan da eğer W spacelike ise,
kb 
kb 
tanh 2  
1
cosh 
olarak hesaplanır. Benzer şekilde eğer W timelike ise,
kb 
kb 
coth 2  
1
sinh 
olarak bulunur.
(C) Sabit Pol Eğrisi İçin:
(C) nin parametresi sC ve teğet birim vektörü TC olsun. (C) nin E13 deki
geodezik eğriliği k c olmak üzere,
k c  DTC TC
dir. α eğrisinin yay parametresi s olmak üzere, W spacelike iken (C) nin denklemi;
 C  C  cosh  T  sinh B
idi. Burada
dC
 TC
dsC
olmak üzere,
59
d C dC ds

dsC ds dsC

TC   cosh   T   sinh   B
'
'
 dsds
C
 '  sinh T  cosh B 
ds
dsC
dir. Her iki tarafın normu alınırsa,
1  '
ds
dsC
ds
1
 '
ds C 
ve bu yukarıda yerine yazılırsa
TC  sinh   cosh B
(3.3.12)
olur. Ayrıca
DTC TC 
dTC
dsC

dTC ds
ds dsC

d
ds
(sinh  T  cosh  B)
ds
dsC
1
 (' cosh T  ' sinh   sinh  N  cosh  N)  ' 
 
1
 '  ' cosh T  ' sinh    cosh 2   sinh 2 ) W N 

DTC TC  cosh T  sinh B 
W
'
N
dir. Her iki tarafın normu alınırsa, (C) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k c  DTC TC
2
kc 
 W 
 '  1
  
olarak hesaplanır. Benzer şekilde W timelike iken (C) nin denklemi;
(sC )  C(s)  sinh  T(s)  cosh B(s)
60
(3.3.13)
idi. Buradan da (C) nin E13 deki geodezik eğriliği,
k c  DTC TC
2
kc 
 W 
 '  1
  
olarak bulunur.
3.3.2.2. (T), (N), (B) ve (C) Eğrilerinin S 12 veya H 02 e Göre Geodezik Eğrilikleri
(B) eğrisi H 02 , (T) ve (N) eğrileri de S12 küresi üzerinde oluştuklarından, geodezik
eğrilikleri de bu kürelere göre hesaplanacaktır.
(T) Teğetler Göstergesi İçin:
(T) nin S12 daki geodezik eğriliği  t olmak üzere
 t  DTT TT
dir. Gauss denkleminden,
DTT TT  DTT TT   S(TT ), TT   
yazılabilir. Burada
  T, T  1 , S(TT )  TT ve (3.3.6) dan S(TT ), TT  TT , TT  1
olup, S12 nin birim normal vektör alanı T olacağından
DTT TT  DTT TT  T
bulunur. Bu ifade (3.3.7) ile birleştirilirse
DTT TT  T 
DTT TT 

BT


B

olur. Her iki tarafın normu alınırsa
DTT TT 


61
elde edilir ve buradan da (T) nin S12 daki geodezik eğriliği için, W spacelike ise;
 t  coth 
ve W timelike ise;
 t  tanh 
yazılabilir.
(N) Asli Normaller Göstergesi İçin:
(N) nin S12 daki geodezik eğriliği  n olmak üzere
 t  DTN TN
dir. Gauss denkleminden,
DTN TN  DTN TN   S(TN ), TN   
dir. Burada
  N, N  1 , S(TN )  TN ve (3.3.8) den S(TN ), TN  TN , TN  1
olup, S12 nin birim normal vektör alanı N olacağından
DTN TN  DTN TN  N
bulunur. Bu ifade (3.3.9) ile birleştirilirse
'
DTN TN 
 sinh T  cosh B  N  N
W
'
 sinh T  cosh B
W
DTN TN 
olur. Her iki tarafın normu alınırsa
DTN TN 
DTN TN
'
W
sinh 2   cosh 2 
'

W
elde edilir ve buradan da (N) nin S12 daki geodezik eğriliği için
62
n 
'
W
olarak hesaplanır.
(B) Binormaller Göstergesi İçin:
(B) nin H 02 daki geodezik eğriliği  b olmak üzere
 b  DTB TB
dir. Gauss denkleminden,
DTB TB  DTB TB   S(TB ), TB   
dir. Burada
  B, B  1 , S(TB )  TB ve (3.3.10) dan S(TB ), TB  TB , TB  1
olup H 02 nin birim normal vektör alanı B olacağından
DTB TB  DTB TB  B
bulunur. Bu ifadeyi de (3.3.8) ile birleştirirsek

DTB TB   T  B  B


DTB TB   T

olur. Her iki tarafın normu alınırsa
DTB TB 


elde edilir ve buradan da (B) nin H 02 daki geodezik eğriliği için, W spacelike ise;
 t  tanh 
ve W timelike ise;
 t  coth 
olarak yazılabilir.
63
(C) Sabit Pol Eğrisi İçin:
(C) nin S12 daki geodezik eğriliği  c olmak üzere
 c  DTC TC
dir. Gauss denkleminden,
DTC TC  DTC TC   S(TC ), TC   C
dir. Burada
  C, C  1 , S(TC )  TC ve (3.3.12) den S(TC ), TC  TC , TC  1
olup, S12 nin birim normal vektör alanı C olacağından
DTC TC  DTC TC  C
bulunur. W spacelike ise,
C  cosh T  sinh B
idi. Bu ifadeler (3.3.13) ile birleştirilirse
DTC TC  cosh T  sinh B 
W
DTC TC  cosh T  sinh B 
W
DTC TC  
W
DTC TC 
W
'
'
NC
N  cosh T  sinh B
N
'
olur. Her iki tarafın normu alınırsa
'
elde edilir ve buradan da (C) nin S12 daki geodezik eğriliği için
c 
W
'
olarak hesaplanır.
64
Örnek : x 22  1  x 32 ,
x1  0
hiperbolü verilsin. Bu eğri   t    0, cosh t,sinh t 
parametrik olarak ifade edilebilir.
 '(t)  (0,sinh t, cosh t) olmak üzere,
 ',  '  1 olduğundan  timelike eğridir. Buna göre küresel gösterge eğrileri,
T   '   0,sinh t, cosh t 

  '' 


   0, cosh t,sinh t 
N





'',

''




B  N  T  1, 0, 0 
olmak üzere,
   T', N   0, cosh t,sinh t  ,  0, cosh t,sinh t   1

  N', B   0,sinh t, cosh t  , 1, 0, 0   0
olarak hesaplanır. Burada
T, T  1,
N, N  B, B  1 olduğundan, (T) eğrisi
Hiperbolik birim küre üzerinde oluşurken, (N) ve (B) eğrileri de Lorentz birim küre
üzerinde oluşurlar.
65
KAYNAKLAR
[1] O’neill, B. (1983). Semi Riemann Geometry, Academic Press, New York, London.
[2] Beem, J.K. and Ehrlich, P.E. (1981). Global Lorentzian Geometry. Marcel Dekker
Inc., New York.
[3] Hacısalihoğlu, H. H. (2000). Diferensiyel Geometry I, Ankara, Gazi Üniversitesi
Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları.
[4] Hacısalihoğlu, H. H. (2000). Diferensiyel Geometry II, Ankara, Gazi Üniversitesi
Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları.
[5] Akutagawa, K. and Nishikawa, S. (1990). The Gauss Map and Spacelike Surfaces
with Prescribed Mean Curvature in Minkowski 3-Space, Töhoko Math., J. 42, 67-82.
[6] Woestijne, V.D.I. (1990). Minimal Surfaces of the 3-dimensional Minkowski
space. Proc. Congres “Géométrie différentielle et applications” Avignon (30 May
1988), Word Scientific Publishing. Singapore. 344-369.
[7] Bilici, M. (2009). Timelike veya Spacelike İnvolüt-Evolüt Eğri Çiftleri Üzerine,
Doktora Tezi, Ondokuz Mayıs Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Samsun.
[8] Ratcliffe, J. G. (1994). Foundations of Hyperbolic Monifolds, Springer - Verlag
New York.
[9] Turgut, A. (1995). 3-Boyutlu Minkowski Uzayında Spacelike ve Timelike Regle
Yüzeyler, Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
[10] Birman, G.S. and Nomizu, K. (1984). Trigonometry in Lorentzian Geometry, Am.
Math. Mont., 91, 543-549.
[11] Ugurlu, H.H. (1997). On The Geometry of Timelike Surfaces, Commun. Fac. Sci.
Ank. Series A1 V.46, pp. 211-223.
66