Slayt 1 - yarbis - Yıldız Teknik Üniversitesi

SAYISAL YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
SAYISAL
YÖNTEMLER
4.HAFTA İÇERİĞİ
-Regula Falsi (Yer
Değiştirme)Yöntemi
-Sekant Yöntemi
-Örnekler
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Regula Falsi (Yer Değiştirme) Yöntemi
f(x) fonksiyonunun a ve b değerleri için f(a)
ve f(b) ters işaretli ise ( f(a) ·f(b) < 0 ) bu
aralıkta bir kök vardır.
Bu yöntemde (a,b) aralığında fonksiyon
uygun bir doğru ile yer değiştirilerek
kök aranır.
SAYISAL
YÖNTEMLER
Kökün c ile b arasında olma şartı
f(a) ·f(c) > 0
Fks.nun f(a) ile f(b) arasında
kalan yayı doğru halinde
getirildiğinde x eksenini
kesen c noktası kök
değerine daha yakındır.
f(b)
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
y
f(x)
0
a
c
b
f(c)
f(a)
SAYISAL
YÖNTEMLER
x
kök
c ile a aynı tarafta ise ( f(a) ·f(c) > 0 )
kök c ile b arasında aranır.
Kökün a ile c arasında olma şartı
SAYISAL
YÖNTEMLER
f(a) ·f(c) < 0
Fks.nun f(a) ile f(b) arasında
kalan yayı doğru halinde
getirildiğinde x eksenini
kesen c noktası kök
değerine daha yakındır.
y
f(b)
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
f(x)
kök
0
f(c)
a
c
f(a)
b
x
c ile b aynı tarafta ise ( f(a) ·f(c) < 0 )
kök a ile c arasında aranır.
c noktasının hesabı
SAYISAL
YÖNTEMLER
f(a) ·f(c) < 0
a, c, f(a) üçgeni ile b, c, f(b)
üçgeni benzerdir.
y
f(b)
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
f(x)
kök
0
f(c)
a
c
b
x
ac
f(a)
bc
c  a  f(a)

bc
f(b)

cf(a)
cf(b)

af(a)
bf(b)
b  f(a)  a  f(b)
c
f(a) - f(b)
İşlem sırası
SAYISAL
YÖNTEMLER
olmalı)
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
1) Uygun alt (a) ve üst (b) değer seçilir (f(a) ·f(b) < 0
2) Bu değerler için f(a) ve f(b) hesaplanır.
3) c değeri bulunur
4) f(c) değeri hesaplanır. Eğer f(c) = 0 ise kök c dir.
f(c) ≠ 0 ise işleme devam
5) f(a) ·f(c) > 0 ise a = c
f(a) ·f(c) < 0 ise b = c
alınarak 1. basamağa geri dönülür.
Regula Falsi (yer değiştirme) yönteminde iterasyona iki
şekilde son verilir.
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
İterasyona son verme
1) Bulunan c değeri için f(x) fonksiyonunun değeri 0 ise
(f(x) = 0 ise);
2) |εt|< εk ise; iterasyona son verilir.
Eğer bu durumlar sağlanmıyorsa c yer değiştirilerek
işlemler tekrarlanır.
SAYISAL
YÖNTEMLER
SAYISAL
YÖNTEMLER
a=0,5 ve b=1,5 alarak Regula
yöntemiyle çözünüz. (εk=0.001)
1)
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
ÖRNEK: f(x) = x3 – 6x2 + 13,5x- 9 denkleminin kökünü,
f(x)
y
0
0,5
2) f(a) = -3,62
f(b) = 1,125
1
1,5
Falsi
2
x
f(a) ·f(b) < 0
olduğundan (a,b)
aralığında kök
vardır
b  f(a)  a  f(b)
 1,263157
3) c 
f(a) - f(b)
SAYISAL
YÖNTEMLER
5)
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
4) f(c) = 0,4946
f(c) ≠ 0 ol.dan
işleme devam
f(a) ·f(c) < 0 olduğu için b = c
yazılarak 1. basamağa geri dönülür
1) a = 0,5 b= 1,263157
2) f(a) = -3,62
f(b) = 0,4946
3) c = 1,171520
4) f(c) = 0,1886
5)
f(c) ≠ 0 ol.dan
işleme devam
f(a) ·f(c) < 0 olduğu için b = c
yazılarak tekrar 1. basamağa geri
dönülür
t  k
SAYISAL
YÖNTEMLER
a
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
…
b
…
… …
0,5 1,17520
f(a)
f(b)
c
f(c)
f(a). f(c)
…
…
…
…
…
-3,62
…
0,1886
…
…
1,138305 0,06763
εt
…
…
<0
-0,0782
-0,02917
0,5 1,138303 -3,62
0,06763 1,126614 0,0237
<0
-0,0103
0,5 1,126614 -3,62
0,023
1,122544 0,0082
<0
-0,00362
0,5 1,122544 -3,62
0,0082
1,121132 0.00285
<0
-0,00125
0,5 1,121132 -3,62
0,0028
1,120643 0.00098
<0
-0,00043
Kök c= 1.120643
| εt |< εk
olduğu için iterasyona
son verilir.
ÖDEV:
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
SAYISAL
YÖNTEMLER
1)
f(x)= 2x2 -5sinx denkleminin kökünü a =1,2 b=2 için
εk = 0.0001 hassasiyetle Regula Falsi yöntemini
kullanarak bulunuz.
2)
x3 =79 denkleminin kökünü ikiye bölme ve Regula
Falsi yöntemleriyle bulunuz εk = 0.0001 (alt ve üst
değerleri grafik çizip kendiniz belirleyeceksiniz)
Sekant Yöntemi
SAYISAL
YÖNTEMLER
Newton-Raphson yönteminin uygulanması sırasında türev
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
alınmasında zorluklarla karşılanabilir.
y
f(xk)
f(xk-1)
0
xk-1
kök
xk
x
Böyle
durumlarda türev
geriye doğru
sonlu farklar
yaklaşımı ile
bulunur.
SAYISAL
YÖNTEMLER
Sonlu farklar yaklaşımıyla :
y
f(xk)
f(x k -1 )  f(x k )
f (x k ) 
x k -1 - x k
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
f(xk-1)
0
xk-1
kök
xk
x
Newton-R. nın genel hali
f(x k )
x k 1  x k 
f (x k )
f(x k )  (x k 1  x k )
x k 1  x k 
f(x k -1 ) - f(x k )
Bu yöntemde hesaplamalara başlamak için 2 tane ilk
tahmine ihtiyaç duyulur. Fakat tahminler arasında f(x)
işaret değiştirmek zorunda değildir.
SAYISAL
YÖNTEMLER
ÖRNEK: f(x) = e-x –x denkleminin kökünü Sekant
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
yöntemiyle çözünüz. (xk-1= 0, xk=1, εk=0.001)
f(x k )  (x k 1  x k )
x k 1  x k 
f(x k -1 ) - f(x k )
f(xk-1) = f(0) = e0 – 0 = 1
f(xk) = f(1) = e-1 – 1 = -0,63212
- 0.63212  (0  1)
x k 1  1 
 0.61270
1 - (-0.63212)
εt 
x k 1  x k 0.61270  1

 0.63212
x k 1
0.61270
SAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
xk-1
xk
f(xk-1)
f(xk)
εt
xk+1
0
1
1
-0.63212
0.61270 -0.6321
1
0.61270
-0.63212
-0.07081
0.5638
0.61270 0,5638
-0.07081
0.0051
0.56717 0.0059
0.5638
0.005181
-4.2x10-5
0.56717 0
0,56717
0.0867
Kök = 0.56717
SAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
ÖDEV:
1)
f(x)= 7.sinx.e-x -1 denkleminin kökünü Sekant
yöntemini kullanarak bulunuz. (xk-1=0.5 , xk= -0.4,
εk = 0.0001 )
2)
f(x)= 2.x2 - 5.sinx denkleminin kökünü Sekant
yöntemini kullanarak bulunuz. (εk = 0.0001 , ilk
tahmin değerlerini fonksiyonun grafiğini çizerek
kendiniz belirleyiniz. )