eşitlik - eşitsizlik

EŞİTLİK - EŞİTSİZLİK
EġĠTLĠK
HAZİNE-1
IġIK-1
a=a
( yansıma )
Her sayı kendisine eĢittir.
ÜÇ HAL KURALI:
a ve b gerçel sayıları için;
a < b veya
a = b veya
a > b ifadelerinden
biri ve yalnız biri doğrudur.
IġIK-2
a=b  b=a
(simetri )
EĢitlikte terimler yer değiĢtirebilir.
DNA-1
100 den büyük olmayan üç doğal sayının
toplamı 234 ise
bu sayılardan en küçüğü en az kaç
olabilir?
A)32
B)33
C)34
D)35
E)36
ÇÖZÜM
a+b+c = 234
a’nın küçük olması isteniyorsa
b ve c en büyük değerleri almalıdır.
100 den büyük olmayan en büyük
sayı 100 dür.
GENETĠK KOPYA-1
10 dan küçük olmayan üç doğal sayının
toplamı 45 ise
bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
olabilir?
B)23
Tersi de doğrudur.
IġIK-4
a=b  a.c=b.c
(c  0)
EĢitliğin her iki tarafı aynı terim ile
çarpılırsa, eĢitlik bozulmaz.
Sıfırdan farklı ortak çarpanlar için ,
tersi de doğrudur.
YOKSA !!!
a=b
var sayalım.
EĢitlikte yerlerine yazıldığında;
a+100+100 = 234
a+200 = 234
a=234-200
a=34 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)22
IġIK-3
a=b  a  c=b  c
EĢitliğin her iki tarafına aynı terim
eklenir veya çıkarılırsa, eĢitlik bozulmaz.
C)24
D)25
E)26
Her iki tarafı a ile çarpalım.
a2=a.b olur.
Her iki taraftan b2 yi çıkaralım.
a2-b2=a.b-b2 bulunur.
Çarpanlara ayıralım.
(a+b)(a-b)=b(a-b) elde edilir.
Ortak çarpanları yok edelim.
a+b=b olacaktır.
a=b=1 aldığımızda,
1+1=1 ve……………..
2=1 ??? bulunur.
!!!
!!!
HATA! HATA!! HATA!!!
a=b verildiğinden,
a-b=0 dır.
Eşitlikte ortak çarpan 0 ise, kısaltma
yapılamaz.
UYARI
(a.b.c)2 = (2.3.5)2 eĢitliğinden;
a.b.c=-30 da olabilir. Soruda a,b,c  R 
verildiğinden, çarpımın pozitif değeri
alınır.
GENETĠK KOPYA-2
a,b,c  R  için
a.b = 3
a.c = 7
b.c = 21 ise
IġIK-5
a = b ve
c=d  a  c=b  d
a.c=b.d
a.b.c çarpımının değeri kaçtır?
(c,d  0)
a:c=b:d
Ġki eĢitlik, taraf tarafa toplanabilir,
çıkarılabilir, çarpılabilir.
Bölenler sıfırdan farklı ise taraf tarafa
bölünebilir.
IġIK-6
a = b ve b = c  a = c
(geçiĢme)
A)9
B)14
C)21
D)24
E)28
DNA-3
A, B ve C gerçek sayılar,
A+B=32
B+C=27
C+A=-4 ise;
A+B+C toplamı kaçtır?
A)10
DNA-2
a,b,c  R  için
a.b = 4
a.c = 9
b.c = 25 ise
B)20
C)30
D)40
C)23 D)27,5 E)34
ÇÖZÜM
Verilen eĢitlikler taraf tarafa toplanırsa
A+B+B+C+C+A=32+27+(-4)
2(A+B+C)=55
A+B+C=27,5 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
a.b.c çarpımının değeri kaçtır?
A)10
B)18,5
E)50
ÇÖZÜM
Verilen eĢitlikler taraf tarafa çarpılırsa;
(a.b)(a.c)(b.c)=4.9.25 olur.
a2.b2.c2 = 22.32.52
(a.b.c)2 = (2.3.5)2
a.b.c = 2.3.5 = 30 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-3
x, y, z, t, k gerçek sayıları için;
x+y=10
y+z=-7
z+t=3
t+k=11
k+a=1 ise,
x+y+z+t+k
toplamı kaçtır?
A)3
B)6
C)9
D)12
E)15
DNA-4
(x+y)(x+y+z) = 120
(y+z)(x+y+z) = 96
(x+z)(x+y+z) = 72
x=4 ve y=6 ve z= 2 bulunduğundan;
x.y.z=4.6.2=48 olur.
Doğru Seçenek A dır.
ise
x.y.z çarpımının pozitif değeri kaçtır?
A)48
B)52
C)56
D)60
E)64
ÇÖZÜM
Verilen
eĢitlikler
taraf
tarafa
toplanırsa:
(x+y)(x+y+z)+ (y+z)(x+y+z)+ (x+z)(x+y+z)
=120+96+72 olur.
Sol taraf (x+y+z) ortak parantezine
alındığında;
(x+y+z)[(x+y)+(y+z)+(x+z)] = 288
(x+y+z)[2x+2y+2z]=288
(x+y+z)[2(x+y+z)]=2.144
(x+y+z)(x+y+z)=144
(x+y+z)2=122
x+y+z=12 bulunur.
Bulunan bu değer ilk eĢitlikte yerine
yazılırsa;
(x+y)(x+y+z) = 120
x+y+z=12 ve
(x+y)12=10.12
x+y=10 olur.
x+y+z=12 ve x+y=10 olduğundan;
10+z=12
z=2 bulunur.
Aynı yöntem ile;
(y+z)(x+y+z) = 96 ve x+y+z=12
(y+z)12=96
y+z=8 olur. x+y+z=12 idi
x+8=12 ve x=4 olur.
(x+z)(x+y+z) = 72 ve x+y+z=12
(x+z)12=72
x+z=6 olur. x+y+z=12 idi
y+6=12 ve y= 6 olur.
GENETĠK KOPYA-4
x(x+y)=21
y(x+y)=28 ise
x.y çarpımı kaçtır?
A)7
B)10
C)12
D)14
E)16
DNA-5
a,b,c sıfırdan farklı reel sayılar ve
a+b+c=0 ise
ab ac bc


?
c
b
a
Ġfadesinin değeri nedir?
A)-3
B)-1
ÇÖZÜM
a+b+c = 0
C)0
D)1
E)3
eĢitliğinden;
a+b =-c
a+c =-b
b+c =-a
elde edilir.
Bu değerler istenen eĢitlikte yerlerine
yazılırsa;
𝑎+𝑏
𝑐
+
𝑎+𝑐
𝑏
+
𝑏+𝑐
𝑎
=
−𝑐
𝑐
+
−𝑏
𝑏
+
−𝑎
𝑎
= (-1)+(-1)+(-1)
𝑎+𝑏
𝑐
+
𝑎+𝑐
𝑏
+
𝑏+𝑐
𝑎
= -3
bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-5
a,b,c sıfırdan farklı reel sayılar ve
a+b+c=0 ise
(a+b)(a+c)(b+c)
Ġfadesinin
eĢiti
hangisidir?
A)abc
aĢağıdakilerden
B)-abc C)-1
D)1
E)0
DNA-7
a, b, c gerçek sayıları için;
a=b2
b=c3
a=64 ise,
c nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
A)1
B)2
C)3
D)4
E)6
ÇÖZÜM
a=64 eĢitliğinde a yerine,
a=b2 olduğundan, eĢiti olan b2 yazalım.
DNA-6
x  x  11
x
11
x
b2=64 olur.
ise
b=c3 verildiğinden,
b2=(c3)2=c6 dır.
?
Ġfadesinin değeri nedir?
A)10
B)11
C)12
D)13
E)14
c6=64 bulunur.
ÇÖZÜM
x
11
ifadesinde;
x
b2=64 eĢitliğinde de b2 yerine eĢiti olan
c6 yazıldığında;
26=64 ve (-2)6=64 olduğundan,
c yerine 2 veya -2 yazılabilir.
c’nin alabileceği iki farklı değer vardır.
Doğru Seçenek B dir.
x+ x=11 verildiğinden,
11 yerine eĢiti olan
yazıldığında;
(x+ x yerine de 11 yazıldığında)
x x
x
x x
x
 x  x  1  11  1  12 olur.
Doğru Seçenek C dir.
ve
1 1 1
− =
c b 6
a’nın değeri kaçtır?
A)2
B)3
C)5
5
A)− 9
GENETĠK KOPYA-6
1 1 1
+ =
a b c
GENETĠK KOPYA-7
a=-3 olduğuna göre;
3a-a3b+11=5 ise
b nin değeri kaçtır?
D)6
E)7
ise
1
B) − 9
C)0
1
D) 9
E)
5
9
DNA-8
a+b-c = 8
a.b.c = 210
eĢitliklerini gerçekleyen
a,b,c doğal sayıları için;
a+b+c toplamı kaçtır?
A)10
B)12
C)13
D)16
E)18
ise
Ġfadesinin değeri nedir?
B)8
C)9
D)10
E)12
ÇÖZÜM
Verilen eĢitliğin her iki tarafı
3
ile çarpılır.
2
Bu değerini
a.b.c = 210=2.3.5.7
eĢitliğinde yerine yazalım.
a.b(a+b-8) = 2.3.5.7 bulunur.
3a
c 3
  2b    .6
23
4 2
a,b ve c doğal sayılar, sağ tarafta da bir
takım doğal sayıların çarpımı olduğundan
deneme yolu ile:
a=6 ve b=7 olarak eĢitliği sağlayan
sayılar bulunabilir.
a+b-c=8
eĢitliğinde
yazıldığında;
6+7-c=8 ve c=5 bulunur.
yerlerine
xyz = 30
ise
2yz+3xz+4xy
ifadesinin değeri nedir?
A)98
C)150
D)172
a
3c
 3b 
9
2
8
ve
olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-9
x 3y
+ + 3z = 12
2 8
ise
x y
+ + 2z
3 4
Ġfadesinin değeri nedir?
a+b+c=6+7+5=18 olur.
Doğru Seçenek E dir.
B)120
a
c
 2b   6
3
4
a
3c
 3b 
?
2
8
A)6
ÇÖZÜM
a+b-c = 8 eĢitliğinde
c yi yalnız bırakalım.
a+b-8 = c olur.
GENETĠK KOPYA-8
2 3 4
+ + = 6 ve
x y z
DNA-9
E)180
A)6
B)9
C)12
D)18
E)24
DNA-10
DNA-11
1
1

 1 ise
x3 x3
1
1

?
x2 x2
x  1
1
2
B) 11
3
A)1-x
4
C) 11
E) 11
𝑥+3 − 𝑥−3
𝑥−3 𝑥+3
Son eĢitlikten de;
x2-9=6 ve x2=15
=
6
𝑥 2 −9
=1
olur.
1
− 𝑥+2 =
bulunur.
𝑥+2 − 𝑥−2
𝑥−2 𝑥+2
1
1
E) 𝑥 − 𝑥
1
den
y
1
 1 x
y
ve
y
1
1 x
bulunur,
1
1
 1
1 x
z
4
= 𝑥 2 −4
olur.
1
1
1 x 1  x
 1


z
1 x
1 x
1 x
z
x 1
1
 1
x
x
Son durumda, x2 yerine bulunan
x2=15 değeri yerine yazılırsa;
1
1
4
4
4

 2


x  2 x  2 x  4 15  4 11
bulunur.
1
diğer eĢitlikte yerine yazılırsa :
Diğer taraftan, istenen ifadede iĢlem
yapıldığında;
1
𝑥−2
ise
C)1 − 𝑥
D) 1 + 𝑥
x  1
eĢitliğinde iĢlem yapıldığında;
=
1
z
ÇÖZÜM
1
1

1
x3 x3
1
− 𝑥+3
y  1
B)1+x
5
D) 11
ÇÖZÜM
1
𝑥−3
ve
z’ nin x türünden eĢiti nedir?
Ġfadesinin değeri nedir?
A) 11
1
y
Doğru Seçenek D dir.
ve
bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-11
1
1
a=b + 1 ve
b=c + 1
ise
c’nin a türünden eĢiti nedir?
A)a-1
GENETĠK KOPYA-10
1
1
−
= 1 ise
x−1 x+1
a−1
D)2−a
1
1
+
x−2 x+2
Ġfadesinin değeri nedir?
A)-6
B)-4
C)-2
D)2
E)4
a−1
a+1
B)a+1
C)
a+1
E)a−2
DNA-12
2
7
3
GENETĠK KOPYA-12
1
1
1
+ + =X
11
4
+8+9=A
1
7
1
8
1
9
+ + =B
ise
A ve B arasında aĢağıdaki bağıntılardan
hangisi vardır?
A)A=2B
B)A+B=3
C)A+5B=3
D)5A+B=3
E)3A+B=3
ÇÖZÜM
Ġlk eĢitlikte verilen kesirlerin pay ve
paydaları arasındaki fark aynı olup 5 tir.
Ġkinci eiĢitliği 5 ile çarpar, birinci
eĢitlikle taraf tarafa toplarsak;
5
1
7
1
8
+ +
1
9
= 5B
5 5 5
+ + = 5B
7 8 9
2 3 4
+ + =A
7 8 9
5 2
5 3
5 4
+ + + + +
= 5B + A
7 7
8 8
9 9
1+1+1=A+5B
5A+B=3 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
10
11
12
13
11
12
+ 12 + 13 = Y
ise
X ve Y arasında aĢağıdaki bağıntılardan
hangisi vardır?
A)X+Y=1
B)X+Y=3
C)Y=11X
D)X+11Y=3
E)11X+Y=3
DNA-13
a ve b birer tamsayıdır.
1
1
+
=1
a−3 a+b
olduğuna göre,
a.b kaçtır?
A)-15
B)-2
C)-1
D)7
E)15
ÇÖZÜM
x ve y tamsayılar olmak üzere;
1 1
+ =1
x y
ise
x=y=2 dir.
a-3=2 ⇒ a=5
a+b=2 ⇒ 5+b=2 ⇒ b=-3 olmalıdır.
a.b=5(-3)=-15
bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-13
x ve y birer tamsayıdır.
1
1
+
=1
x+2 x−y
olduğuna göre,
x.y kaçtır?
A)-4
B)-2
C)0
D)2
E)4
GENETĠK KOPYA-1
3x6-6x2+3x
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
-ÖZDEŞLİKLERÇARPANLARA AYIRMA
TANIM
Ġçindeki değiĢkenlerin her değeri için
doğru olan eĢitliklere özdeĢlik denir.
TANIM
n, sayma sayısı olmak üzere;
n. dereceden bir ifadeyi, daha küçük
dereceden iki veya daha fazla ifadenin
çarpımı
Ģeklinde
yazma
iĢlemine
çarpanlara ayırma denir.
IġIK-1
a(b+c) = ab+ac
DNA-1
8x4-4x3+10x2
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)3x2
B)3x6
D) x5-2x+1
biri
C)x5+2x+1
E) x5+2x-1
DNA-2
9x2(2x+7)-12x(2x+7)
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
biri
A)3x-4
B)2x-7
C)3x+4
D)3x2
E)2x+3
ÇÖZÜM
9x2(2x+7)-12x(2x+7)=3x.3x(2x+7)-4.3x(2x+7)
=3x(2x+7)(3x-4)
Doğru Seçenek A dır.
biri
A)4x2
B)4x2+2x+5
C)4x2-2x+5
D)4x2-2x-5
E)40x3
ÇÖZÜM
Ortak çarpan parantezine alma yöntemi;
Terimlerin tümünün OBEB’i bulunur.
Ortak çarpan (OBEB) parantez dıĢına,
diğerleri parantez içine yazılır.
8x4-4x3+10x2=2x2.4x2-2x2.2x+2x2.5
=2x2.(4x2-2x+5)
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-2
x3y2+3x2y+5x5y3
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)x3y2
B)x2y3
D) y-3x+5x2y2
biri
C)y+3x+5x2y2
E) y+3x-5x2y2
DNA-3
a3-a2+a-1
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(a+1)
B)(a-1)
3
D)(a -1)
E)a2
C)(a2-1)
biri
ÇÖZÜM
Gruplandırma yöntemi;
Terimlerin tümünde ortak çarpan yoksa,
terimler gruplandırılarak ortak çarpan
aranır.
a3-a2+a-1=(a3-a2)+(a-1)
=(a2.a-a2.1)+(a-1)
=a2(a-1)+(a-1)
=(a-1)(a2+1)
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-3
3x3-2x2+12x-8
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
GENETĠK KOPYA-4
x3+6x2-3x-18
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)x-6
biri
B)x+6
C)x2+3
D)x+3
E)x2-6
IġIK-2
a2-b2 = (a+b)(a-b)
Ġki kare farkı
biri
A)x-2
B)x+2
C)x2+4
D)3x+2
E)2x-3
DNA-5
25x2-9
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
biri
A)25x-3
B)25x+3
C)5x+9
D)5x-9
E)5x-3
DNA-4
x5-3x3-2x2+6
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
2
A)x -2
3
biri
2
B)x -3
C)x +3
2
D)x +2
E)x -3
3
ÇÖZÜM
x5-3x3-2x2+6=(x5-3x3)-(2x2-6)
=(x3.x2-3.x3)-(2.x2-2.3)
=x3(x2-3)-2(x2-3)
=(x2-3)(x3-2)
Doğru Seçenek E dir.
ÇÖZÜM
25x2-9=(5x)2-32=(5x+3)(5x-3)
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-5
a2-16
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)a-8
B)a+8
C)a-4
D)a+16
E)a+2
biri
DNA-6
a4-16
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)a-8
Tam kare ifadelerde;
biri
İlk ve son terim birer tamkare,
Ortadaki
terim,
bunların
çarpımlarının iki katıdır.
B)a+8
C)a-4
D)a+16
E)a+2
ÇÖZÜM
a4-16 = (a2)2-42=(a2-4)(a2+4)
=(a2-22)(a2+4)
=(a-2)(a+2)(a2+4)
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-6
x4-81
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)x-9
GENETĠK KOPYA-7
a2-6a+9
ifadesinin
eĢiti
hangisidir?
aĢağıdakilerden
A)(a+3)2
B)(a+3)2
C)(3a+1)2
D)(3a-1)2 E)2(a-3)
biri
B)x+9
C)x-3
2
D)x +3
E)x -3
2
DNA-8
4m2+12mn+9n2
ifadesinin
eĢiti
hangisidir?
aĢağıdakilerden
A)2(2m+3n) B)(2m+3n)2 C)(2m-3n)2
D)(2n-3m)2 E)(2n+3m)2
IġIK-3
(a-b)2 =(a-b)(a-b)= a2-2ab+b2
(a+b)2 =(a+b)(a+b)= a2+2ab+b2
DNA-7
x2-20x+100
ifadesinin
hangisidir?
eĢiti
aĢağıdakilerden
A)(x-4)(x-25) B)(x-5)2 C)(x+5)2
D)(x-10)2
E)(x+10)2
ÇÖZÜM
x2-20x+100 = x2-2.x.10+102
= (x-10)2
Doğru Seçenek D dir.
ÇÖZÜM
4m2+12mn+9n2 = (2m)2+2.2m.3n+(3n)2
= (2m+3n)2
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-8
25x2-15xy+9y2
ifadesinin
eĢiti
hangisidir?
aĢağıdakilerden
A)2(5x-3y) B)(5x+3y)2 C)(5x-3y)2
D)(3x-5y)2
E)(3x+5y)2
DNA-9
427+41000+4n
ifadesini tam kare yapan n’in en büyük
değeri kaçtır?
A)514
B)986
C)1000
D)1972
E)2000
ÇÖZÜM
4 sayısını 22 Ģeklinde alıp verilen ifadede
yerine yazdığımızda;
427+41000+4n = (22)27+(22)1000+(22)n
=254+22000+22n
olur.
Ġki tane terimin tam kare, üçüncü
terimin de diğer ikisinin çarpımının iki
katı olması gerekir.
GENETĠK KOPYA-9
211+28+2n
ifadesi bir tam kare ise n kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
DNA-10
x2+8x+k = (x+m)2
olduğu bilindiğine göre;
k+m toplamı kaçtır?
A)16
B)18
C)20
D)22
E)24
ÇÖZÜM
(x+m)2=x2+2mx+m2=x2+8x+k
254=(227)2
22000=(21000)2 olarak alındığında;
2m=8 ⇒ m=4
22n=21028 olmak zorundadır.
k+m=16+4=20 dir.
Doğru Seçenek C dir.
254+22000+22n=(227)2+2.(227).(21000)+ (21000)2
=254+21028+22000
bulunur.
254+22000+22n = (227+21000)2=254+21028+22000
Bu durumda; 2n=1028 ve
n=514 olur.
m2=k
⇒ 42=k
⇒ k=16
Veya;
GENETĠK KOPYA-10
(x-r)2=x2-6x+p
olduğu bilindiğine göre;
r+p toplamı kaçtır?
254+22000+22n=(227)2+2.(227).(2n)+(2n)2
=254+228+n+22n bulunur.
A)6
254=(227)2
22n=(2n)2 olarak alındığında;
22000=228+2n
54
2 +2
2000
+2
2n
olmak zorundadır.
= (227+2n)2 = 254+228+n+22n
Bu durumda; 28+n = 2000 ve
n=1972 olur.
Bulunan n değerlerinden en büyüğü
n=1972 dir.
Doğru Seçenek D dir.
B)9
C)10
D)12
E)15
DNA-11
a
1
6
a 1
a  1 
2

DNA-12
A = x2-6x+11
ifadesinin
alabileceği en küçük değer kaçtır?
ise
1
a  1
2
A)0
?
Ġfadesinin değeri nedir?
A)23
B)25
C)27
D)34
E)36
ÇÖZÜM
Ġstenen
ifadenin
terimleri
(a-1)
türünden olduğundan, bizde verilen
ifadeyi a-1 türünden yazmalıyız.
Bunun için eĢitliğin her iki tarafından
1 çıkaralım.
𝑎−1+
1
𝑎−1
= 5 olur.
Her iki tarafın karesini aldığımızda;
1
𝑎 − 1 + 𝑎−1
2
= 52
𝑎−1
2
+2 𝑎−1 .
𝑎−1
2
+2+
𝑎−1
2
+
1
𝑎−1
1
𝑎−1 2
1
𝑎−1 2
+
1
𝑎−1 2
= 25
= 25
5
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 +
= 23
B)27
E)11
ÇÖZÜM
Verilen ifadeyi tam kareli bir toplam
Ģekline getirelim.
A = x2-6x+11 = x2-6x+9+2
A = (x-3)2+2
Tam kare bir ifadenin alabileceği en
küçük değer 0 dır.
(x-3)2 =0 ⇒ x=3 olduğunda;
A = (x-3)2+2 ifadesi en küçük değeri alır
A=2 dir.
Doğru Seçenek B dir.
UYARI
y=a(x-r)2+k parabolünün
Tepe Noktası T.N(r,k) nın
ordinatı olan k, fonksiyonun alabileceği
en küçük (büyük) değerdir.
=?
C)39
GENETĠK KOPYA-12
K=x2+8x-2
ifadesinin
alabileceği en küçük değer kaçtır?
A)-18
ise;
Ġfadesinin değeri nedir?
A)21
D)6
bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
25
𝑥+3 2
C)3
y=(x-3)2+2 parabolünde; T.N(3,2)
GENETĠK KOPYA-11
𝑥 + 1 + 𝑥+3 = 5
B)2
D)47
E)49
B)-16
C)-2
D)0
E)4
DNA-13
A=-x2+6x+5
ifadesinin
alabileceği en büyük değeri kaçtır?
GENETĠK KOPYA-14
B=(x+2)2+(x-6)2
toplamının
alabileceği en küçük değeri kaçtır ?
A)3
A)-2
B)5
C)6
D)12
E)14
B)6
C)16
D)32
E)64
ÇÖZÜM
A=-x2+6x+5 =-(x2-6x-5)=-(x2-6x+9-14)
A= -[(x-3)2 -14]=14 - (x-3)2
(x-3)2=0 ⇒ x=3 olduğunda;
A=14 - (x-3)2 ifadesi
en büyük değerini alır.
DNA-15
A=x2+y2+2x-2y+3 ifadesinin
alabileceği en küçük değeri kaçtır?
A=14 tür.
A)-1
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-13
B=-x2+10x+5
ifadesinin
alabileceği en büyük değeri kaçtır?
A)5
B)10
C)15
D)25
E)30
DNA-14
A=(x-3)2+(x+5)2
toplamının
alabileceği en küçük değeri kaçtır ?
A)-5
B)-1
C)3
D)32
ÇÖZÜM
(x-a)2+(x-b)2
toplamı
en küçük değerini alır.
E)64
a+b
2
x=
için
x-3=0 ⇒ x=3
x+5=0 ⇒ x=-5
x=
−5+3
2
= −1 için
A en küçük değerini alır.
A=(x-3)2+(x+5)2 = (-1-3)2+(-1+5)2
=16+16=32 en küçük değerdir.
Doğru Seçenek D dir.
B)1
C)2
D)3
E)4
ÇÖZÜM
Verilen ifadeyi tam kareli bir toplam
Ģekline getirelim.
A = x2+y2+2x-2y+3
=x2+2x+1+y2-2y+1+1
=(x+1)2+(y-1)2+1
x=-1 ve y=1 için tam kare ifadeler
0 olacağından, ifade en küçük değeri olan
1 değerini alır.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-15
A=x2+y2-4x+6y+9 ifadesinin
alabileceği en küçük değer kaçtır?
A)-4
B)-3
C)2
D)6
E)9
DNA-16
x2+y2+2x-8y+17 = 0 eĢitliğini sağlayan
(x,y) tamsayı ikilisi için
x+y toplamı kaçtır?
DNA-17
x2+6x+8
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)-1
A)x-8
B)3
C)4
ÇÖZÜM
Ġfadeyi
tamkareli
dönüĢtürelim.
D)7
E)17
toplam
Ģekline
x2+y2+2x-8y+17 =x2+2x+1+y2-8y+16
=(x+1)2+(y-4)2=0
Tam
kare
ifadelerinin
toplamının
sıfır olması için, ifadelerin sıfır olması
x+1=0 ⇒ x=-1
y-4=0 ⇒ y=4
bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-16
x2+y2-2x+6y+10=0
eĢitliğini sağlayan
(x,y) tamsayı ikilisi için
x+y toplamı kaçtır?
A)-3
B)-2
B)x-4
C)x-2
D)x+8
E)x+4
ÇÖZÜM
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
Ġfadesinde;
sabit terim, iki sayının çarpımı,
x’in katsayısı, o iki sayının toplamıdır.
x2 + 6x + 8 = x2+(2+4)x+2.4
2+4
2.4
= (x+2)(x+4)
Doğru Seçenek E dir.
gerekir.
x+y=-1+4=3
biri
C)-1
D)0
IġIK-4
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
Ġkinci dereceden üç terimli
E)2
GENETĠK KOPYA-17
x2-6x+8
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
biri
A)x-8
B)x+8
C)x-2
D)x+2 E)x+4
DNA-18
x2+2x-8
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
biri
A)x-8
B)x-4
C)x+2
D)x+8 E)x+4
ÇÖZÜM
x2 + 2x - 8 = x2 +(-2+4)x+(-2).4
-2+4 -2.4
=(x-2)(x+4)
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-18
x2-2x-8
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
biri
A)x-8
B)x-2
C)x+2
D)x+8 E)x+4
A)3x+7
B)3x-7
C)x-2
D)3x-2
E)3x+2
ÇÖZÜM
(ax+b)(cx+d) = acx2+(ad+bc)x+bd
Ġfadesinde;
Sabit terimin çarpanları ile,
x2 nin katsayısının çarpanlarının
köĢegensel çarpımlarının toplamı
x’in katsayısını vermektedir.
3x2+13x+14 = 3.1x2+13x+2.7
1.3
3.x
1.x
7
2
köĢegen çarpımlarını topladığımızda;
3.x.2+1.x.7=6x+7x=13x
olur ki
Bu istenen terimdir.
Tabloyu satırlar halinde ayrı parantezler
içine yazdığımızda;
3x2+13x+14 = (3x+7)(x+2) bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
IġIK-5
(ax+b)(cx+d) = acx2+(ad+bc)x+bd
Ġkinci dereceden üç terimli
DNA-19
3x2+13x+14
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
3.x
1.x
GENETĠK KOPYA-19
2x2+5x-3
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)2x+1
biri
biri
B)x-3
C)2x+3
D)x+1
E)2x-1
DNA-20
5x2-17x+6
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
biri
A)5x-3
B)x-2
C)5x-2
D)x+3
E)5x+3
ÇÖZÜM
5x2-17x+6 =1.5x2-17x+(-2)(-3)
1.5
(-2).(-3)
2.7
2
7
köĢegen çarpımlarını topladığımızda;
3.x.7+1.x.2=21x+2x=23x
olur ki
bu istenen terim değildir.
Çarpanların yerlerini değiĢtirelim.
1.x
5.x
-3
-2
KöĢegen çarpımlarını topladığımızda;
1.x(-2)+5x(-3)=-2x-15x=-17x
olur ki bu ortadaki terimdir.
5x2-17x+6 = (1.x-3)(5x-2)
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-20
10x2+7x-12
Ġfadesinin
çarpanlarından
aĢağıdakilerden hangisidir?
biri
A)2x-3
B)5x+4
C)3x-2
D)5x-4
E)4x-5
IġIK-6
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
GENETĠK KOPYA-21
(a-2b)3 ifadesinin eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A) a3+6a2b+12ab2+8b3
B) a3-6a2b+12ab2-8b3
C) a3+3a2b+3ab2+b3
D) a3-3a2b+3ab2-b3
E) a3-8b3
IġIK-7
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)3 = a3+3ab(a+b)+b3
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
(a-b)3 = a3-3ab(a-b)-b3
Olarak alınabilir.
DNA-21
(a-b)3(a+b)3
Ġfadesinin
hangisidir?
6
eĢiti
4 2
2 4
aĢağıdakilerden
6
A) a +3a b +3a b +b
B) a6-3a4b2+3a2b4-b6
C) a6-b6
D) a6+b6
E) a6-2a3b3+b6
ÇÖZÜM
(x.y)3=x3.y3 olduğundan;
(a-b)3(a+b)3=[(a-b)(a+b)]3
Ģeklinde yazılabilir.
2
2
(a-b)(a+b)=a -b iki kare farkı
[(a-b)(a+b)]3 =(a2-b2)3 Ģekline dönüĢür
(a2-b2)3 =(a2)3-3(a2)2b2+3a2(b2)2-(b2)3
=a6-3a4b2+3a2b4-b6 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
DNA-22
x
1
3
x
x3 
ise ;
1
?
x3
Ġfadesinin değeri kaçtır?
A)16
B)18
C)20
D)24
E)27
ÇÖZÜM
x
1
3
x
eĢitliğinin
her iki tarafının kübünü alalım;
1
x+
x
3
= 33
1
1
1
x 3 + 3x 2 . + 3x. 2 + 3 = 27
x
x
x
x3 + 3 x +
1
3
x
x
1
1
+ 3 = 27
x
x
değerini yerine yazalım.
1
x 3 + 3 3 + 3 = 27
x
x3 +
1
= 27 − 9 = 18
x3
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-22
1
x- x = 2 ise,
x3-
1
x3
A)2
Ġfadesinin değeri kaçtır?
B)6
C)8
D)14
ÇÖZÜM
x3 = 1 ⇒ x3-1 = 0
iki küp farkı olarak çarpanlarına ayıralım
x3-1 = (x-1)(x2+x+1) = 0 olur.
Çarpımları 0 olan sayılardan en az biri
0 olmak zorunda olacağından;
x-1 = 0 ⇒
x=1
olamayacağından
2
2
x +x+1 = 0 ⇒ x +x = -1 dır.
x2+x = -1
değeri
2
2
(x +x+3)(x +x+4)
ifadesinde yerine
yazılırsa;
(x2+x+3)(x2+x+4) = (-1+3)(-1+4) = 2.3 = 6
olur.
Doğru Seçenek A dır.
E)16
GENETĠK KOPYA-23
x3 = 1 ve x  1 için;
(1+x-x2)(1-x+x2)
ifadesinin
nedir?
A)0
B)2
C)4
D)6
değeri
E)9
IġIK-8
a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
iki küp farkı ve iki küp toplamı
IġIK-9
n sayma sayısı olmak üzere;
an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+ … +abn-2+bn-1)
DNA-23
x3 = 1 ve x  1 için;
(x2+x+3)(x2+x+4)
ifadesinin değeri
nedir?
IġIK-10
n tek sayı olmak üzere;
A)6
an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+…-abn-2+bn-1)
B)9
C)12
D)15
E)18
DNA-24
1110-1
sayısının son iki basamağı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)00
B)09
C)10
D)19
E)99
ÇÖZÜM
an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+ … +abn-2+bn-1)
özdeĢliğinden yararlanıp çarpanlarına
ayıralım.
1110-1 = (11-1)(119+118+117+ … +1) = 10.A
A sayısı, birler basamağı 1 olan on tane
sayının
toplamı
olduğundan
birler
basamağı 0 dır.
Çarpımın son iki basamağı 00 olur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-24
222+221+220+…+1
Ġfadesinin
eĢiti
hangisidir?
HAZĠNE-1
BĠNOM AÇILIMI
n doğal sayıları için;
 n  n  n  n-1
n
n
 a +   a b+…+   an-rbr+…+   bn
0 1
r
n
(a+b)n= 

𝐶 𝑛, 𝑟 =
𝑛
=
𝑟
𝑛!
𝑛−𝑟 !𝑛!
(a+b)0=1
(a+b)1=1a+1b
(a+b)2=1a2+2ab+1b2
(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3
aĢağıdakilerden
A)223
B)223-1
C)223+1
D)224-1
E)224+1
(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
…………………..
EĢitliklerinin,
5.
kuvvete
kadar
olanlarının bilinmesinde yarar vardır.
Açılımdaki katsayılar
yazıldığında;
Buraya kadar;
(a+b)2 =(a+b)(a+b)= a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b)= a2-2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
özdeĢliklerini gördük ve inceledik.
Acaba aynı Ģekilde;
(a+b)4, (a+b)5 , …. , (a+b)n
eĢitlerini bulabilirmiyiz?
(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
ifadelerinin
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
………………
PASCAL ÜÇGENĠ !!!
tablo
olarak
IġIK-11
Herhangi bir satırdaki ardıĢık iki terimin
toplamı, ikinci sayının altında bulunur.
IġIK-12
Aynı terimde bulunan a ve b nin
kuvvetleri toplamı, parantezin kuvvetine
eĢittir.
IġIK-13
Ġlk terimden baĢlayarak, a nın kuvveti
azalırken, b nin kuvveti artar.
UYARI
(a-b)n açılımı, (a+b)n açılımında b yerine
-b yazılarak bulunur.
A=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
Ġfadesinin sayısal değeri kaçtır?
B)15
C)27
A)5
B)7
C)20
D)625
E)74
DNA-26
x-y = 6 ve x2-y2 = 72 ise
x3-y3 değeri kaçtır?
A)792 B)702 C)678 D)614 E)504
ÇÖZÜM
x2-y2 = 72 iki kare farkıdır.
x2-y2 = (x-y)(x+y) = 72 olur.
x-y = 6 değerini yerine yazalım.
(x-y)(x+y) =6(x+y) = 72
x+y = 12 bulunur.
x-y = 6 ile taraf tarafa toplarsak,
DNA-25
x=7 ve y=-4 için;
A)3
GENETĠK KOPYA-25
x=6 için;
N=x4-4x3+6x2-4x+1
Ġfadesinin sayısal değeri kaçtır?
D)81
E)243
2x=18 ⇒ x=9 ve
x+y=12 ⇒ 9+y=12 ⇒ y=3 olur.
x3-y3 = 93-33 = 729-27 = 702 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
ÇÖZÜM
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
olduğundan;
GENETĠK KOPYA-26
x+y = 6 ve x2-y2 = 48 ise
x3+y3 değeri kaçtır?
A=(x+y)5 tir.
x=7 ve y=-4 için;
A=(7-4)5=35=243
olur.
Doğru Seçenek E dir.
A)504 B)512 C)548 D)576 E)590
DNA-27
a-b = 9 ve b-c = 9 ise
a2-2b2+c2 değeri kaçtır?
A)160 B)161 C)162 D)163 E)164
ÇÖZÜM
a2-2b2+c2 =a2-b2-b2+c=a2-b2+c2-b2
Ģeklinde yazılıp çarpanlara ayrılırsa;
a2-b2+c2-b2 = (a-b)(a+b)+(c-b)(c+b)
bulunur.
Burada; a-b = 9 ve b-c = 9 ⇒ c-b=-9
Değerlerini yerlerine yazdığımızda
(a-b)(a+b)+(c-b)(c+b) =9(a+b)+(-9)(c+b)
= 9a-9c = 9(a-c) olur.
a-b = 9
b-c = 9 eĢitlikleri taraf tarafa
toplandığında a-c=18 bulunur.
Bulunan bu değer yerine yazıldığında da
a2-2b2+c2 =9(a-c)=9.18=162 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-27
x-y=3 ve y-z=3 ise
x2-2y2+z2
değeri kaçtır?
A)3
B)6
C)9
D)12
B)64
224-1=(212)2-12 =(212-1)(212+1) dir.
Yerine yazdığımızda;
248-1 = (224-1)(224+1)
= (212-1)(212+1)(224+1)
ve benzer biçimde;
212-1 = (26)2-12 =(26-1)(26+1)
248-1=(26-1)(26+1)(212+1)(224+1)
olacağından sayının istenen çarpanlar
26-1 =64-1= 63 ve
26+1 =64+1= 65 dir.
Toplamları: 63+65 =128 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-28
324-1
sayısının 20 ile 30 arasındaki
tamsayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
A)45
B)48
C)52
D)54
E)56
E)18
DNA-28
248-1 sayısının 60 ile 70 arasındaki
tamsayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
A)63
ÇÖZÜM
Sayının
bölenleri
istendiğinden,
çarpanlarına ayıralım.
248-1 =(224)2-12 olduğundan;
248-1 = (224-1)(224+1) iki kare farkı.
C) 65 D)128 E)129
DNA-29
87.86+87.85-86.85
Ġfadesinin
eĢiti
hangisidir?
A)872-2
B)872-1
D)862-1
E)862
aĢağıdakilerden
C)862-2
ÇÖZÜM
87.86+87.85-86.85
Ġfadesindeki orta terimi ele aldığımızda;
1
16
1
3
1
4
=
2
87.85 = (86+1)(86-1) = 86 -1 dir.
BaĢtaki ve sondaki terimlerde ortak
çarpan olan 86 parantezine alalım;
87.86-86.85 =86(87-85) = 2.86 olur.
1
16
=
1 2
4
4
9
− + =
1 2
4
1
4
−3+9=
3−4.2
3.4
2 2
−3
5
5
= − 12 = 12
UYARI
𝑥2 = 𝑥
GENETĠK KOPYA-29
1999.2001+1 = a2 ise
a kaçtır?
YOKSA !!!
A)200
B)2000
C)2001
D)1999
E)2002
4 − 10 +
4  10  9  15
25
4
5 2
2
5
5
5
 3
2
2
1
B) − 6
1
C) 6
D)
???
25
4
5 2
2
2
!!!
Nerede hata yapıldı?...
GENETĠK KOPYA-30
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
5
bulunur.
5
2
A) − 12
2
−3
= 32 − 2.3. 2 +
5
5


 2    3  
2
2


1 1 4
  ?
16 3 9
1
4
eĢitliğinin
ekleyelim.
= 9 − 15 +
22 − 2.2. 2 +
23
=
25
4
her iki tarafına
DNA-30
tam kare
Doğru Seçenek E dir.
Bir arada düĢündüğümüzde;
87.86+87.85-86.85 = 862-1 + 2.86
= 862 + 2.86 + 1 -2
=(86+1)2-2
=872-2 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
2
2 2
3
olduğu görülebilir.
−3
1
1 1
4 3
− 2. . +
1
6
4 3 9
− +
25 5 16
5
E) 12
ÇÖZÜM
Karekök içindeki ifadeyi incelediğimizde;
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
7
A)- 20
3
B) - 4
2
C) 5
7
D) 20
11
E) 15
IġIK-15
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
GENETĠK KOPYA-31
𝑥 2 −25
5𝑥−𝑥 2
IġIK-16
(a + b + c)3 =
a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3ab2+3bc2
+3ac2+6abc
Ġfadesinin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)
𝑥+5
B) −
𝑥
D) –
𝑥+5
C)
𝑥
𝑥−5
biçimi
𝑥−5
𝑥
E) -5
𝑥
IġIK-17
(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
DNA-32
𝑥 2 −5𝑥−14
𝑥 2 −3𝑥+2
Bu bölümde de öğrendiğimiz bilgileri,
rasyonel ifadelerde kullanarak, ifadeleri
daha sade Ģekle getirmeye çalıĢalım.
D)
𝑥 2 −9𝑥+20
Ġfadesinin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
B)
𝑥+4
D)
𝑥−4
𝑥+4
𝑥+2
C)
𝑥−5
E)
biçimi
𝑥−4
𝑥−5
𝑥+2
𝑥 2 −9𝑥+20
=
𝑥−4 (𝑥+2)
𝑥−5 (𝑥−4)
=
𝑥+2
𝑥+2 2
𝑥−1 (𝑥−7)
𝑥+2 2
𝑥−1 (𝑥+7)
𝑥 2 −5𝑥−14
𝑥 2 −4
.
2
2
𝑥 −3𝑥+2 𝑥 −14𝑥+49
𝑥+2 𝑥+2
𝑥−2
B)
E)
biçimi
C)
𝑥−2 2
𝑥−1 (𝑥−7)
=
𝑥−7 (𝑥+2) 𝑥−2 (𝑥+2)
. 𝑥−7) 2
𝑥−2 (𝑥−1)
𝑥+2 2
𝑥−1 (𝑥−7)
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-32
𝑚2 − 9
3−𝑚
:
2
𝑚 + 5𝑚 + 6 𝑚 + 2
ĠĢleminin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
𝑥−5
Doğru Seçenek B dir.
𝑥+2 2
𝑥+1 (𝑥−7)
ÇÖZÜM
Kesirlerin pay ve paydalarını çarpanlarına
ayırıp iĢlemi yapacağız.
= 𝑥−1 . 𝑥−7 =
ÇÖZÜM
Pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına
ayırıp, ortak çarpanları kısaltacağız.
𝑥 2 −2𝑥−8
𝑥 2 −14𝑥+49
𝑥+2
𝑥−1 (𝑥−7)
DNA-31
𝑥 2 −2𝑥−8
𝑥+2
𝑥 2 −4
ĠĢleminin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)
A)
.
A) -1
B)0
C)1
D)2
E)3
biçimi
DNA-33
DNA-34
x
18  x
 2
?
x  3 x  x  12
ĠĢleminin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)
𝑥−6
𝑥+4
B)
𝑥+6
D) 𝑥−4
𝑥+6
𝑥+4
1
x ?
1
x
x
1
C)
E)0
biçimi
ĠĢleminin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
𝑥−6
𝑥−4
𝑥
1
A) 𝑥+1
ÇÖZÜM
Paydalar çarpanlarına ayrılarak, OKEK
bulunur. Paydalar eĢitlenerek iĢlem
yapılır.
x
18  x
 2
?
x  3 x  x  12
B) 𝑥+1
1
C) 𝑥−1
biçimi
𝑥
D) 𝑥−1
E) -1
ÇÖZÜM
Pay ve paydada ayrı ayrı iĢlemler
yapıldıktan sonra bölme iĢlemi ve
kısaltmalar yapılır.
1
1+𝑥
1
𝑥
𝑥−
x
18  x
x( x  4)  18  x



x  3 ( x  4)( x  3)
( x  4)( x  3)
x 2  3x  18 ( x  6)( x  3) x  6


=
( x  4)( x  3) ( x  4)( x  3) x  4
=
x 1
x
1
x  x  1.

2
x ( x  1)( x  1) x  1
x 1
x
Doğru Seçenek C dir.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-34
x=999
GENETĠK KOPYA-33
x 1
x4
x3
 2
 2
?
x  x  6 x  4x  3 x  x  2
2
ĠĢleminin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
biçimi
A)
𝑥 2 −6𝑥−18
𝑥−3 𝑥+2 (𝑥−1)
B)
𝑥 2 +6𝑥−18
𝑥−3 𝑥+2 (𝑥−1)
C)
𝑥 2 −6𝑥+18
𝑥−3 𝑥+2 (𝑥−1)
D)
𝑥 2 +6𝑥+18
𝑥−3 𝑥+2 (𝑥−1)
E)
𝑥 2 −6𝑥−18
𝑥−3 𝑥+2 (𝑥+1)
iken
1
x ?
1
1
x
x
ifadesinin sayısal değeri kaçtır?
A)1
B)10
C)100
D)999
E)1000
Çarpanlara ayırma iĢlemi, bundan önceki
konuda olduğu kadar, bundan sonra
iĢlenecek
konularda
da
çok
kullanılacağından iyice pekiĢtirmekte
yarar vardır. Bu yüzden birkaç farklı
örnek ile konuyu incelemeyi sürdürelim.
DNA-35
x4+4
ifadesi
çarpanlarına
ayrıldığında,
aĢağıdakilerden hangisi çarpanlarından
biri olur?
A)x2+2
B)x2-2
C)x+2
2
2
D)x +2x+2 E)x +x+2
ÇÖZÜM
Verilen ifade hiçbir özdeĢlik kalıbına
uymamaktadır.
Ġfadeyi çarpanlarına ayırabilmek için, bir
özdeĢliğe benzetmemiz gerekir.
Bu yüzden;
Ġfadeye 4x2 terimini ekleyelim.
Verilen ifadenin değerinin değiĢmemesi
içinde 4x2 terimini çıkaralım.
x4+4x2+4-4x2
ifadesinin ilk üç terimi
bir tam karedir.
(x2)2+2.x2.2+22-4x2 =(x2+2)2-4x2
Ġki kare farkından
=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2
=(x2-2x+2)(x2+2x+2)
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-35
m4+m2+1
ifadesi
çarpanlarına
ayrıldığında,
aĢağıdakilerden hangisi çarpanlarından
biri olur?
2
A) m +1
B) m+1
C) m-1
2
2
D) m +m-1 E) m +m+1
Kendinizi
sınamak
için
aĢağıdaki
çarpanlara ayırma iĢlemlerini yapıp,
çözümlerini karĢılaĢtırınız.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
4a2-9 =
x3-1 =
x3+1 =
a2-3 =
xy+20+4x+5y =
8x3-y3 =
x3+x2+x+1 =
x2-5 =
a3+125 =
x4-y4 =
(n+1)2+2n(n+1) =
27-3y2 =
64x3-1 =
(x+5)2-(x-1)2 =
2x2-21x+10 =
a3-b3+2(a2+ab+b2) =
n(n+1)(2n+1)+n(n+1) =
a6-b6 =
p2-q2-p+q =
p4+8pk3 =
(x2+1)2-4x2 =
x2-4y2-2x-4y =
a3+8b3+2a2-8b2 =
x4+2x2+9 =
ÇÖZÜM
1.
2.
3.
4.
5.
4a2-9 = (2a-3)(2a+3)
6.
8x3-y3 = (2x-y)(4x2+2xy+y2)
x3-1 = (x-1)(x2+x+1)
x3+1 = (x+1)(x2-x+1)
a2-3 = (a- 3 )(a+ 3 )
xy+20+4x+5y
= x(y+4)+5(y+4) = (y+4)(x+5)
7.
x3+x2+x+1
= x2(x+1)+(x+1) = (x+1)(x2+1)
8.
9.
10.
x2-5 = (x- 5 )(x+ 5 )
11.
(n+1)2+2n(n+1) = (n+1)(n+1+2n)
= (n+1)(3n+1)
12.
13.
14.
27-3y2 = 3(9-y2) = 3(3-y)(3+y)
15.
16.
17.
18.
a3+125 = (a+5)(a2-5a+25)
4
4
2
2
2
2
x -y = (x -y )(x +y )
= (x-y)(x+y)(x2+y2)
64x3-1 = (4x-1)(16x2+4x+1)
(x+5)2-(x-1)2
= (x+5-x+1)(x+5+x-1)
= 6(2x+4) = 6.2(x+2) = 12(x+2)
23.
a3+8b3+2a2-8b2
= (a+2b)(a2-2ab+4b2)+2(a2-4b2)
= (a+2b)(a2-2ab+4b2)+2(a-2b)(a+2b)
= (a+2b)(a2-2ab+4b2+2a-4b)
24.
x4+2x2+9 = x4+2x2+9+4x2-4x2
= x4+6x2+9-4x2 = (x2+3)2-4x2
= (x2+3-2x)(x2+3+2x)
ĠĢlem
alıĢkanlıklarınızı
geliĢtirmek
amacıyla, aĢağıdaki iĢlemleri yapıp,
sonuçları çözümlerle karĢılaĢtırınız.
1.
3
x2
 2

x 1 x 1
2.
4
2x  3
 2

x  3 x  5x  6
3.
x 1 x 1 1

 
x 1 x 1 x
4.
8
6
 2

x  9 x  5x  6
5.
x7
3 x
 2

x  x  6 x  5x  6
6.
mn mn
4mn

 2

m  n m  n m  n2
2x2-21x+10 = (2x-1)(x-10)
a3-b3+2(a2+ab+b2)
= (a-b)(a2+ab+b2)+2(a2+ab+b2)
= (a2+ab+b2)(a-b+2)
n(n+1)(2n+1)+n(n+1)
= n(n+1)(2n+1+1)
= n(n+1)(2n+2) = 2n(n+1)2
a6-b6 = (a3)2-(b3)2 = (a3-b3)(a3+b3)
= (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)(a2-ab+b2)
2
2
19.
p2-q2-p+q = (p-q)(p+q)-(p-q)
= (p-q)(p+q-1)
20.
p4+8pk3 = p(p3+8k3)
= p(p+2k)(p2-2pk+4k2)
21.
(x2+1)2-4x2 = (x2+1-2x)(x2+1+2x)
= (x-1)2(x+1)2
7.
a
b
c



a b a b ba
22.
x2-4y2-2x-4y
= (x-2y)(x+2y)-2(x+2y)
= (x+2y)(x-2y-2)
8.
a 2  ab  b 2 
a 3  b3

ab
9.
10.
ax
a2  x2

ax

a2  c2
 2a 
c

ÇÖZÜM
1.
 a

 :   1 

 c
3
x2
 2

x 1 x 1
3
x2

x  1  x  1 x  1

11.
12.
13.
3
x 
6
x 1
x
x4
1
m
n
m2  n2
 2m
n
2.
a ac

c ac 
ac c

ac a
m 1  2 x 1

m 3  8 x 3
15.
5  13x 1  6 x 2

5  8 x 1  4 x 2
1
 x2
x

1
1  x
x
4
2x  3
 2

x  3 x  5x  6
4
2x  3


x  3  x  2  x  3


14.
16.
3x  3  x  2
4x 1

 x  1 x  1  x  1 x  1
3.
4.
4x  8  2x  3
2 x  11

 x  2  x  3  x  2  x  3
x 1 x 1 1

 
x 1 x 1 x
2
2
x  x  1  x  x  1   x  1 x  1

x  x  1 x  1

x3  2 x 2  x  x3  2 x 2  x  x 2  1
x  x  1 x  1

2 x3  x 2  2 x  1
x  x  1 x  1
8
6
 2

x  9 x  5x  6
8
6


 x  3 x  3  x  2  x  3
2

8 x  16  6 x  18
 x  3 x  2  x  3

2 x  34
 x  3 x  2  x  3
5.
x7
3 x
 2

2
x  x  6 x  5x  6
x7
3 x


 x  3 x  2   x  2  x  3

a2  x2

ax
 a  x  a  x   a 2  x 2
ax

ax
a  x  a 2  x 2 2 x 2


ax
ax
 x  2  x  7    x  2  3  x 
 x  2  x  2  x  3
x 2  9 x  14  x 2  5 x  6

 x  2  x  2  x  3

9.
2
10.
2 x 2  4 x  20
 x  2  x  2  x  3
2

a2  c2   a

 2a 
 :   1 
c  c


2
2
 2ac  a  c   a  c 

:

c

  c 
 a  c
c

.
ca
c
ac
2
6.
mn mn
4mn

 2

m  n m  n m  n2
mn mn
4mn



m  n m  n  m  n  m  n 
 m  n    m  n   4mn
 m  n  m  n 
2

2
11.
0
7.
a
b
c



a b a b ba
a
b
c



a b a b a b
a
bc


a b a b
a 2  ab  ab  ac  b 2  bc

 a  b  a  b 
a 2  2ab  ac  b 2  bc

 a  b  a  b 
8.
a3  b3
a  ab  b 

ab
 a  b   a 2  ab  b2   a3  b3

ab
3
3
3
a  b  a  b3
2b3


ab
ab
2
2
12.
3
x 
6
x 1
x
2
x  4x  3
 x  1 x  3
 2 x

x  x  6  x  3 x  2 
x
x 1

x2
x4
1
m
n

m2  n2
 2m
n
nm
nm
n
 2

2
m  n  2mn  n  m 2
n
1

nm
13.
14.
a ac

c ac 
ac c

ac a
a 2  ac  ac  c 2
c a  c
a a  c
 2

2
a  ac  ac  c
c a  c
a a  c
m 1  2 x 1

m 3  8 x 3
1 2

m
x

1
2
 3
3
m x
1 2

m x

2
1 
 1 2  1
 2
   2 
 m x   m mx x 
1
1

 2
1
2
1
x  2mx  m 2


m 2 mx x 2
m2 x 2
 mx 


 xm
15.
2
5  13x 1  6 x 2

5  8 x 1  4 x 2
13 6
5 x 2  13x  6
5  2
x x 
x2

8 4
5x2  8x  4
5  2
x x
x2
 5 x  2  x  3  x  3

 5 x  2  x  2  x  2
1
 x2
x

16.
1
1  x
x
3
1 x
1  x  1  x  x 2 
x


x  1  x2
1  x  x2
x
 1 x
ŞAKA. ..
2x2+2y2+5z2-2xy-4yz-4x-2z+15
ifadesinin alabileceği en küçük
değer kaçtır?
2x2+2y2+5z2-2xy-4yz-4x-2z+15
ifadesi
x2-2xy+y2+y2-4yz+4z2+x2-4x+4+z2-2z+1+ 10
Ģeklinde parçalara ayrıldığında;
(x-y)2+(y-2z)2+(x-2)2+(z-1)2+10
olarak yazılabileceği görülür.
Tam kare ifadelerin alabileceği en
küçük değer 0 (sıfır) olacağından
;
x-2=0 , x=2
z-1=0 , z=1
x-y=0 , x=y=2
y-2z=0 , y=2z=2
değerleri için ifade en küçük
değeri olan 10 değerini alır.
5. 𝑦
KONU TESTĠ
1. (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
Ġfadesinin
hangisidir?
16
A)x -1
eĢiti
aĢağıdakilerden
16
B)x
C)x +1
32
D)x -1
E)x +1
= y2
kaç tane
𝑦−1
𝑦+4 (𝑦+5)
D)
eĢitliğini sağlayan
pozitif tamsayı ikilisi vardır?
B)6
C)8
D)12
6. x
3. (x+y)2 =2(x2+y2)
E)16
ise
A)x=2y
B)2x=y
C)x =y
2
D)x=y
E)x=y
7.
1
𝑎
𝑥 7 +2𝑥 6 +𝑥 5
Ġfadesinin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)
𝑥+1 6
D)
B)
𝑥2
𝑥+1 5
𝑥+1 5
E)
E)


2
𝑦+4 (𝑦+5)
𝑦−1
𝑦−4 (𝑦−5)
𝑦−1
2
C)4+x
biçimi
D)x2
E)4x2
a
b
 2

2
ab  b
a  ab
1
𝑏
D) a-b
8
𝑥3
𝑦+4 (𝑦+5)
𝑦+1

B)4x
A) −
𝑥3
C)
ĠĢleminin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
2
𝑥+1
𝑦+1
𝑦+4 (𝑦+5)
B)
ĠĢleminin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
x ve y arasında nasıl bir bağıntı vardır?
𝑥3
biçimi
 1  4x 2
x 2  1  4x 2

=?
x 2  2x  1
x 2  2x  1
2
A)4
4.
=?
32
2. x2+315
A)4
𝑦 2 −1
𝑦 +5
ĠĢleminin
kısaltılmıĢ
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)
16
2 +5𝑦+4
1
𝑎
B) +
1
𝑏
biçimi
C)
1
𝑎𝑏
E) a+b
biçimi
8. 4x4+3x2y2+9y4
C)
𝑥2
𝑥+1 6
𝑥4
𝑥+1 6
ifadesi
çarpanlarına
ayrıldığında,
aĢağıdakilerden hangisi çarpanlarından
biri olur?
A)2x+3y
B)2x-3y
C)2x+3y+1
D)2x+3y+3xy E)2x+3y-3
9. x  1  3
ise ;
x
x4 
Ġfadesinin değeri nedir?
A)47
B)49
C)51
D)79
14.
1
?
x4
x y yz


 +3 = ?
 zx xz
3
Ġfadesinin değeri kaçtır?
E)81
A)1
B)2
C)3
15.
(a+
1 2
) =1
a
D)4
E)5
10.
A=x2+y2+2x-2y+4 ifadesi en
küçük değeri aldığına göre (x,y)
ikilisi aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(0,0)
B)(-1,-1)
C)(-1,0)
D)(1,0)
E)(-1,1)
B)0
C)1
D)2
1
=?
a3
E)3
2y=4-x2
2x=4-y2
sistemini sağlayan kaç tane
(x,y) doğal sayı ikilisi yazılabilir?
A) 1
a 3-
Ġfadesinin değeri kaçtır?
A)-1
11.
iken
B)2
C)3
D)4
16.
2
x+y = 2
xy-z = 1 sisteminin
çözümünü
veren
(x,y,z)
aĢağıdakilerden hangisidir?
E)6
üçlüsü
A)(1,0,0)
B)(0,1,0)
C)(1,1,0)
D)(0,1,1)
E)(1,1,-1)
12.
x+y=12 iken x2+y2 toplamının
A)36
B)45
en küçük değeri kaçtır?
13.
x+y=6
toplamının
C)72
D)108 E)144
iken
x2+y2
en küçük değeri kaçtır?
A)12
B)18
C) 24
D)30
E)36
1.A
7.B
12.C
2.B
3.E
4.C
5.C
6.B
8.D
9.A
10.E
11.D
13.B
14.B
15.B
16.C
EġĠTSĠZLĠK
TANIM
a,b  R için a + c = b olacak Ģekilde bir
c  R+ varsa
a küçük b dir denir,
a < b yazılır.
a gerçel sayısına, pozitif bir c gerçel
sayısı eklendiğinde bir b sayısına eĢit
olabiliyorsa;
a sayısı, b den küçüktür denir.
Veya tersini söylersek; b sayısı, a dan
büyüktür denir.
2+3=5 ⇒ 2 < 5
-2+5=3 ⇒ -2 < 3
-5+2=-3 ⇒ -5 < -3
(5>2)
gibi.
IġIK-1
Farkları negatif olan iki sayıdan, ilk sayı
diğerinden küçüktür.
a-b< 0  a < b
IġIK-5
Sayı ekseni üzerinde bir gerçel sayıya
karĢı gelen nokta, baĢka bir gerçel
sayıya karĢı gelen noktanın solunda
kalıyorsa;
soldaki
sayı
diğerinden
küçüktür.
a<b
a<0
0<d
c<d
b<c
gibi.
IġIK-6
a< b  a  c < b  c
EĢitsizliğin her iki tarafına aynı terim
eklenir
veya
çıkarılırsa,
eĢitsizlik
değiĢmez.
IġIK-7
a< b ve 0 < c  a . c < b . c
tersi de doğrudur.
eĢitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif
terim ile çarpılırsa, eĢitsizlik değiĢmez.
IġIK-2
Pozitif gerçel sayıların tümü, 0 dan
büyüktür.
IġIK-8
a< b ve c < 0  a . c > b . c
𝑎𝜖𝑅 + ⇔ 𝑎 > 0
IġIK-3
Negatif gerçel sayıların tümü, 0 dan
küçüktür.
𝑎𝜖𝑅 − ⇔ 𝑎 < 0
IġIK-4
Negatif gerçel sayıların tümü, pozitif
gerçel sayıların her birinden küçüktür.
eĢitsizliğin her iki tarafı aynı negatif
terim ile çarpılırsa, eĢitsizlik yön
değiĢtirir.
IġIK-9
a< b ve c < d  a + c < b + d
Aynı yönlü iki eĢitsizlik taraf tarafa
toplanabilir.
IġIK-10
a< b ve b < c  a < c
GeçiĢme özelliği
DNA-1
2  a  4 ve 4  b  6 için;
IġIK-11
en büyük değerlerin toplamı kaçtır?
1 1
0< a< b veya a < b < 0 
>
a b
A)1
Her ikisi de pozitif veya her ikisi de
negatif iki gerçel sayının çarpımsal
tersleri
alındığında, eĢitsizlik yön
değiĢtirir.
IġIK-13
a< b veya a = b  a  b
IġIK-14
a< b ve b < c  a< b< c
IġIK-15
a sayısı pozitif ise -a negatif,
a sayısı negatif ise -a pozitiftir.
UYARI
-a sayısının önünde – iĢareti olması,
sayının negatif olduğunu göstermez.
IġIK-16
1
pozitif,
a
1
a negatif ise
negatiftir.
a
a pozitif ise
IġIK-17
a ve b pozitif ise a+b ve a.b pozitiftir.
a ve b negatif ise a+b negatif,
a.b pozitiftir.
IġIK-18
a.b pozitif ise a ve b aynı iĢaretli,
a.b negatif ise a ve b ters iĢaretlidir.
1 1
+
a b
nin alabileceği en küçük ve
B)
6
5
7
8
C) 6
D) 7
E) 2
ÇÖZÜM
1 1 1
 
4 a 2
1 1 1
 
6 b 4
2  a  4 için
4b6
için
olur.
EĢitsizlikler taraf tarafa toplanırsa :
5 1 1 3
  
12 a b 4
bulunur.
En küçük ve en büyük değerlerin toplamı
5
3
5+3.3
14
7
+ =
= =
olur.
12
4
12
12
6
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-1
3≤x≤5 ve 2≤y≤4 için;
1
x
1
+y
toplamının alabileceği en küçük ve
en büyük değerlerin toplamı kaçtır?
A)
7
6
71
B) 60
6
C) 5
77
D) 60
E)
39
30
DNA-2
x ve y tam sayılar,
2 < x ≤ 9 ve
-3 ≤ y < 6 olduğuna göre,
3x+2y toplamının
alabileceği en küçük ve
değerlerinin toplamı kaçtır?
en
A)39
E)48
B)40
C)42
D)45
büyük
ÇÖZÜM
Toplamın en küçük değeri alabilmesi için;
x ve y en küçük değerleri almalıdır.
x’in alabileceği en küçük değer 3,
y’nin alabileceği en küçük değer -3 tür.
3x+2y=3.3+2(-3)=9-6=3 olur.
ÇÖZÜM
2 < x ≤ 9 eĢitsizliğini 3 ile çarpalım.
3.2 < 3.x ≤ 3.9
⇒ 6 < 3x ≤ 27
Toplamın en büyük değeri alabilmesi için;
x ve y en büyük değerleri almalıdır.
x’in alabileceği en büyük değer 9,
y’nin alabileceği en büyük değer 5 tir.
3x+2y=3.9+2.5=27+10=37 olur.
Bulunan
eĢitsizlikler
taraf
toplandığında;
6+(-6) < 3x+2y < 27+12 ve
0 < 3x+2y < 39 olacaktır.
En küçük ve en büyük değerlerin toplamı
3+37=40 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-2
x ve y tam sayılar,
1 ≤ x < 10 ve
-4 <y ≤7 olduğuna göre,
2x+3y toplamının
alabileceği en küçük ve
değerlerinin toplamı kaçtır?
A)29
B)31
C)32
D)35
en
büyük
E)36
3x+2y toplamının
alabileceği en küçük ve en büyük tamsayı
değerlerinin toplamı kaçtır?
B)40
C)42
D)45
tarafa
EĢitsizliği sağlayan en küçük tam sayı
değeri 1,
en büyük tamsayı değeri 38 dir.
Toplam: 1+38=39 olur.
Doğru Seçenek A dır.
UYARI
DNA-2 ve DNA-3 te veriler benzer
olmakla birlikte, çözümleri farklıdır.
Çünkü: DNA-2 de değiĢkenler tamsayı
verildiğinden,
eĢitsizlikleri
sağlayan
tamsayılar istenen toplamda yerlerine
yazılır.
DNA-3 te ise eĢitsizlikler arasında
iĢlemler yapılarak bulunan yeni eĢitsizliği
sağlayan tamsayılar aranan çözümdür.
GENETĠK KOPYA-3
1 ≤ x < 10 ve
-4 <y ≤7 olduğuna göre,
DNA-3
2 < x ≤ 9 ve
-3 ≤ y < 6 olduğuna göre,
A)39
-3 ≤ y < 6 eĢitsizliğini 2 ile çarpalım.
2.(-3) ≤ 2.y < 2.6 ⇒ -6 ≤ 2y < 12
E)48
2x+3y toplamının
alabileceği en küçük ve en büyük tamsayı
değerlerinin toplamı kaçtır?
A)29
B)31
C)32
D)35
E)36
DNA-4
-4 ≤ a < 15 ve
2 ≤ b < 17 olduğuna göre,
DNA-5
a, b, c farklı pozitif tamsayılar,
a-b
farkının en küçük ve en büyük
tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A)-20
B)-8
C)8
D)12
E)20
ÇÖZÜM
Ġlk eĢitsizliği olduğu gibi bırakıp,
ikinci eĢitsizliği -1 ile çarpalım.
-4 ≤ a < 15
-17 < -b≤-2
-1 ile çarpılan eşitsizlik
yön değiştirmiştir.
EĢitsizlikleri taraf tarafa toplayalım,
-4+(-17) < a+(-b) < 15+(-2)
-21 < a-b < 13
eşitsizliklerde taraf tarafa
çıkarma işlemi yapılamaz.
OluĢan son eĢitsizlikte;
a-b nin alabileceği en küçük tamsayı
değeri -20,
a-b nin alabileceği en büyük tamsayı
değeri 12 dir.
bu değerlerin toplamı: -20+12=-8 dir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-4
4 ≤ a < 15 ve
-2 ≤ b < 17 olduğuna göre,
a-b
farkının en küçük ve en büyük
tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A)-12
a+b+c toplamının
en küçük değeri kaçtır?
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
ÇÖZÜM
Dikkat !!!
Dikkat !!!
ab
 4 ve
b
bc
 5 olduğuna göre;
c
B)-4
C)4
D)12
E)17
ab
a
a
 4   1  4   3  a  3b
b
b
b
bc
b
b
 5   1  5   4  b  4c
c
c
c
Toplamın küçük olması istendiğinden,
terimleri küçük seçmek gerekir.
b en küçük terim olduğundan,
b yi 1 olarak seçtiğimizde;
bulunan eĢitsizlikleri sağlayan en küçük
pozitif tamsayılardan
a=4 ve c=2 alınır.
toplam: a+b+c=4+1+2=7 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-5
a, b, c farklı pozitif tamsayılar,
ab
 3 ve
b
bc
 4 olduğuna göre;
c
a+b+c toplamının
en küçük değeri kaçtır?
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
DNA-6
DNA-7
a, b  N için;
1 1 1 1
    A ise
4 5 6 7
AĢağıdakilerden
doğrudur?
hangisi
kesinlikle
A) 1<A< 2 B) 4<A<7 C) 2<A<4
4
4
D) <A<1
E) 0 <A<
7
7
ÇÖZÜM
Toplamdaki tüm terimleri, en küçük sayı
1
olan 7 alırsak;
1
7
1
7
1
7
1
7
+ + + =
4
7
1
4
1
5
1
6
1
7
< + + + =𝐴
Toplamdaki tüm terimleri, en büyük sayı
1
olan
alırsak;
1
4
1
5
4
1
6
1
7
1 1
4 4
1
4
1
4
+ + + =𝐴< + + + =1
OluĢan eĢitsizlikler geçiĢme özelliğinden
4
7
17
 1 ve
a2
ise
a+b toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)17
B)18
C)19
D)20
E)21
ÇÖZÜM
17
 1 ⇒ 17 < a+2
a2
b  11
1
12
⇒ a > 15
⇒ b+11 > 12 ⇒ b > 1
a'nın en küçük doğal sayı değeri 16,
b’nin en küçük doğal sayı değeri 2 dir.
a+b=16+2=18 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
<A<1 yazılabilir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-7
x ve y doğal sayıları için;
GENETĠK KOPYA-6
1
3
b  11
1
12
1
1
+4+5 = T
13
< 1 𝑣𝑒
x+1
ise
AĢağıdakilerden
doğrudur?
hangisi
kesinlikle
A) 1<T<2
B) 2<T<3 C) 3<T<4
1
3
3
D) 2 <T<5
E) 5 <T<1
y+7
> 1 𝑖𝑠𝑒
9
x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)13
B)14
C)15
D)16
E)17
TANIM
Kapalı aralık
𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,
𝑎, 𝑏, 𝑥𝜖𝑅 = [𝑎, 𝑏]
HAZĠNE-1
a,b 𝜖 𝑅 , x değiĢken olmak üzere;
A= ax+b ifadesinin iĢareti
ax+b=0 ⇒ x= −
Sağdan kapalı aralık
𝑥: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏,
𝑎, 𝑏, 𝑥𝜖𝑅 = (𝑎, 𝑏]
Açık aralık
𝑥: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏,
IĢın
𝑥: 𝑥 ≥ 𝑐,
IĢın
𝑥: 𝑥 ≤ 𝑐,
için, A=0
𝑏
x < − 𝑎 için,
a’nın iĢaretinin AYNI
𝑎, 𝑏, 𝑥𝜖𝑅 = (𝑎, 𝑏)
𝑐, 𝑥 ∈ 𝑅 = [𝑐, +∞)
DNA-8
3x-6 < 0 ise
x için aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x<2
Yarı doğru
𝑥: 𝑥 > 𝑐,
𝑎
x < − 𝑎 için, a’nın iĢaretinin TERSĠ
𝑏
Soldan kapalı aralık
𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏,
𝑎, 𝑏, 𝑥𝜖𝑅 = [𝑎, 𝑏)
𝑏
𝑐, 𝑥 ∈ 𝑅 = (𝑐, +∞)
𝑐, 𝑥 ∈ 𝑅 = (−∞. 𝑐]
B) x≤2
C) x>2
D) x≥2
E) x=2
ÇÖZÜM
EĢitsizlik çözümünde veya ifadenin
iĢaretinin incelenmesinde;
Önce ifadeyi sıfır yapan değer bulunur.
3x-6=0 ⇒ 3x=6 ⇒ 3x=3.2 ⇒ x=2
ĠĢaret tablosu yapılır.
Yarı doğru
𝑥: 𝑥 < 𝑐,
𝑐, 𝑥 ∈ 𝑅 = (−∞. 𝑐)
a=3 > 0
Doğru Seçenek A dır.
YADA !!!
ax+b < 0 veya ax+b > 0
gibi birinci dereceden eĢitsizliklerde:
ax+b < 0 ⇒ ax < -b ⇒ x < −
𝑏
𝑎
𝑏
ax+b > 0 ⇒ ax > -b ⇒ x > − 𝑎
Doğruluk kümesi: x <0 veya x≥0
Doğru Seçenek E dir.
çözümleri daha kolaydır.
3x-6 < 0 ⇒ 3x < 6 ⇒ 3x < 3.2
⇒ x<2
GENETĠK KOPYA-8
2x+4≤0 ise
x için aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
GENETĠK KOPYA-9
𝑥
<0
ise
𝑥−3
x için aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x≤ 0
B)x≥3
C) 0<x< 3
D) x≤ 0 veya x>3 E)x< 0 veya x≥3
A) x<-2
B) x≤ −2
C) x>-2
D) x≥ −2
E) x=-2
DNA-10
x
2x
<
x3 x3
eĢitsizliğinin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
DNA-9
x3
0
x
ise
x için aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x≤ 0
B)x≥3
C) 0<x≤ 3
D) x≤ 0 veya x≥3 E)x< 0 veya x≥3
ÇÖZÜM
Pay ve paydanın (çarpanların) ayrı ayrı
iĢaretlerini inceleyelim.
x-3=0 ⇒ x1=3
x=0
⇒ x2=0
Bulduklarımızı sayı ekseni üzerine
yerleĢtirip iĢaret tablosunu yapalım.
A)(-3.0)
B)(0,3)
D)(-3,0)∪ (3,9)
aralığı
C)(3,9)
E)(-3,9)
ÇÖZÜM
Önce eĢitsizliğin bir tarafı 0 yapılır.
2x
x

0
x3 x 3
ĠĢlemini yaptığımızda;
x( x  9)
0
( x  3)( x  3)
olur.
Tüm çarpanları 0 yapan değerler bulunur.
x1=0
x-9=0 ⇒ x2=9
x-3=0 ⇒ x3=3
x+3=0 ⇒ x4=-3
Sayı ekseni üzerine yerleĢtirip,
iĢaret tablosunu yapalım.
5-4x < 2x-5 ⇒ 6x > 10
⇒ x < 5/3
ve
2x-5 < 1 ⇒ 2x < 6
⇒ x < 3 olur ki
5/3 < x < 3 olmalıdır
Doğru Seçenek D dir.
Çözüm kümesi (doğruluk kümesi);
(-3,0)∪ (3,9)
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-10
x − 2 (x + 3)
<0
x
EĢitsizliği
aĢağıdaki
aralıkların
hangisinde sağlanır?
A)x<-3
B)2<x<3
D)0<x<3
E)3<x
C)-3<x<0
GENETĠK KOPYA-11
1 < x-2 < 8-x
eĢitsizliğinin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)x >3
aralığı
B)x <5
C)x<3 veya x<5
D) 3<x<5
E) -2<x<8
DNA-12
0 < x≤1 ise xy=-1 ifadesinde;
x artan değerler alırken y nasıl değiĢir?
A)Sabit kalır.
B)Azalarak -1 olur.
C)Artarak -1 olur.
D)Negatif olarak azalır.
E)-1 den sıfıra doğru artar.
DNA-11
5-4x < 2x-5 < 1
eĢitsizliğinin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) x<5/3
D) 5/3 < x < 3
aralığı
B)x>3
C) x>0
E) x<5/3 veya x>3
ÇÖZÜM
üçlü eĢitsizliklerde, eĢitsizlikler ikiĢer
ikiĢer alınarak çözüm yapılır.
Bulunan çözüm kümelerinin kesiĢimi
aranan çözümdür.
5-4x < 2x-5 < 1
⇒ 5-4x < 2x-5 ve 2x-5 < 1
dir.
ÇÖZÜM
1
xy=-1 ⇒ y = − x olur.
0 < x≤1 olmak üzere x’e artan değerler
verelim;
1
x=1000 ⇒ y=-1000
x=
1
100
⇒ y=-100
1
x=10 ⇒ y=-10
x=1 ⇒ y=-1
x artarak 1’e yalaĢtığında, y de artarak
-1’e yaklaĢır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-12
0 < x≤1 ise xy=1 ifadesinde;
x azalan değerler alırken y nasıl değiĢir?
DNA-14
0 < a < b olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisi yanlıĢtır?
A)Sabit kalır.
B)Azalarak 1 olur.
C)Artarak 1 olur.
D)Pozitifolarak artar.
E)0 dan bire doğru doğru artar.
A)
a−b
b
b−a
a
B)
<0
a+b
a
D)
C)
>0
E)
<1
a+b
b
a−b
b
<1
>1
ÇÖZÜM
a+b a b
b
= + =1+ >1
a
a a
a
Olur ki D seçeneği yanlıĢtır?
Doğru Seçenek D dir.
DNA-13
x  x3  x 4  x 2
EĢitsizliğini doğrulayan x gerçel sayıları
için aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x<-1
B)-1<x<0
C) x>1
D)0<x<1 E)-1<x<1
ÇÖZÜM
!!! 0 < x < 1 için
… < x4 < x3 < x2 < x
x−y
y
A)
y−x
x
B)
>0
x+y
x
D)
C)
<0
E)
<2
x+y
y
x−y
y
< −1
<2
ve
!!! -1 < x < 0 için
x < x3 < x5 < … … < x4 < x2
Ç = (-1, 0) dır.
GENETĠK KOPYA-14
0 < x < y olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
olduğundan
Doğru Seçenek B dir.
DNA-15
a+b < c+d
ve
d+e < a+b ise ;
AĢağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
GENETĠK KOPYA-13
a  R ve 0< a< 1
x,y,z  N+ ve ax< ay< az için;
x.y=90 olduğuna göre
z nin en büyük değeri kaçtır?
A)6
B)8
C)9
UYARI
a  R ve 0< a< 1
x,y 𝜖 N+ ve x<y
ax > ay dir.
D)10
ise
E)15
A) e < d
B) e > d
D) e = c
C) e < c
E) e > c
ÇÖZÜM
a+b < c+d ve d+e < a+b
⇒ d+e < c+d
⇒ e < c bulunur.
⟺ d+e < a+ b < c+d
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-15
a.b < c.d ve d.e < a.b ise ;
AĢağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A) e < d
B) e > d
D) e = c
C) e < c ve d<0
A)1
B)
4
3
A)1
E) e > c ve d<0
DNA-16
x,y,z,t reel sayılar,
0  x  y  z  t ve
x+y+z+t = 4 ise
y+z toplamının alabileceği
değer kaçtır?
C) 2
D)
8
3
en
büyük
E)3
ÇÖZÜM
x+y+z+t=4 toplamı verilmiĢ iken,
y+z toplamının büyük olması istenirse;
x+t toplamının, x’in ve t’nin küçük olması
gerekir.
x’in en küçük değeri 0 dır.
y+z+t=4 olurki,
t’nin alabileceği en küçük değer y’nin
alabileceği değerdir.
y=z=t alınırsa;
4
y+z+t=4 ve y=z=t=
3
4
4
8
y+z=3 + 3 = 3 tür.
GENETĠK KOPYA-16
x,y,z,t reel sayılar,
0  x  y  z  t ve
x+y+z+t = 4 ise
z+t toplamının alabileceği
değer kaçtır?
Doğru Seçenek D dir.
4
B) 3
C) 2
D)
8
3
en
E)4
büyük
MUTLAK DEĞER
IġIK-1
Sayının mutlak değeri ile toplamsal
tersinin mutlak değeri eĢittir.
Sayının mutlak değeri en az sıfır olmak
üzere pozitiftir.
TANIM
Bir gerçel sayının mutlak değeri;
sayı ekseni üzerinde, kendisine karĢı
gelen noktanın, 0 baĢlangıç noktasından
uzaklığıdır.
|-2|=2
|3|=3
a  a 0
a b  ba
DNA-1
3|x-2|+2|y-3| = 0 ise
x+y toplamı kaçtır?
A)2
B)3
C)4
D)5
E)6
ÇÖZÜM
Mutlak değerli ifadelerin toplamı 0 ise,
her biri 0 olmak zorundadır.
EĢitliğin sağlanması için ;
|x-2|=0 ⇒ x-2=0 ⇒ x = 2
|y-3|=0 ⇒ y-3=0 ⇒ y = 3
DeğiĢkene bağlı ifadenin mutlak değeri;
Ġfade pozitif ise kendisine eĢittir.
Ġfade 0 ise 0 dır.
Ġfade negatif ise ters iĢaretlisine
eĢittir.
|x-2|=
x-2 ;
0 ;
-x+2 ;
x>2 için
x=2 için
x<2 için
olmalıdır.
x+y = 2+3 = 5 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-1
|a+2|+|b-3|=0 ise
a-b farkı kaçtır?
A)-5
B)-2
C)-1
D)1
E)5
IġIK-2
Mutlak değeri alınan değer; mutlak
değerinden küçük veya eĢit, mutlak
değerinin ters iĢaretlisinden büyük veya
eĢittir.
IġIK-6
𝑥 = 𝑐 ⇔ 𝑥 = ±𝑐
Denklemin kökleri;
sayı ekseninde, baĢlangıç noktasından
uzaklığı c birim olan noktalardır.
-a a a
a<0 için; -|a|=a<|a|
Ç={-c,c}
-|-2|=-2<|-2|
IġIK-7
x  c  c  x  c
a>0 için; -|a|<a=|a|
EĢitsizliğinin çözüm kümesi;
sayı ekseninde, baĢlangıç noktasından
uzaklığı c br.den den az olan noktalardır.
-|2|<2=|2|
IġIK-3
Çarpımın
mutlak
değeri,
değerlerinin çarpımına eĢittir.
mutlak
a.b  a . b
Ç=(-c,c)
IġIK-4
Bölümün
mutlak
değeri,
değerlerinin bölümüne eĢittir.
a
a

b
b
mutlak
b  0
IġIK-8
x  c  x  c veya x  c
EĢitsizliğinin çözüm kümesi;
sayı ekseninde ,baĢlangıç noktasından
uzaklığı c br.den fazla olan noktalardır.
IġIK-5
Toplamın
mutlak
değeri,
mutlak
değerleri toplamından küçük veya eĢit,
mutlak
değerleri
farkının
mutlak
değerinden büyük veya eĢittir.
Üçgen eĢitsizliği
a  b  ab  a  b
Ç=(-∞, -c) ∪ (c,+ ∞)
IġIK-9
xa b
Farkın mutlak değeri, mutlak değerleri
farkından büyük veya eĢittir.
a  b  a b
a ve b aynı iĢaretli ise; |a+b|=|a|+|b|
a ve b ters iĢaretli ise; |a+b|<|a|+|b|
Denkleminin kökleri;
sayı ekseninde, a dan uzaklığı b birim
olan noktalardır.
DNA-2
|x-2|=8
EĢitliğini
sağlayan
x
aĢağıdakilerden hangisidir?
ÇÖZÜM
sayıları
A){-6,10}
B){-10.6}
C){-8,8}
D){-6}
E){10}
x<
1
için;
2
1-x > 0 dır.
Tanım gereği |1-x|=1-x olur.
Yerine yazdığımızda;
1-|x-|1-x||=1-|x-(1-x)| =1-|x-1+x|
=1-|2x-1| bulunur.
ÇÖZÜM
|x-2|=8
⇒ x-2= 8 ⇒ x=10
veya
x-2= -8
⇒ x=-6
Ç={-6,10}
x < 1/2 için 2x-1 < 0 dır.
|2x-1|=-(2x-1)=-2x+1 olur.
Yerine yazdığımızda;
1-|2x-1|=1-(-2x+1)=1+2x-1=2x
bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-3
Doğru Seçenek A dır.
UYARI
|x-a|=b denkleminin çözüm kümesi
Ç={x1 , x2} iken;
𝑥 +𝑥
𝑥 −𝑥
𝑎= 1 2
ve x1<x2 için 𝑏 = 2 1
2
x  32 için;
x x x ?
A)0
B)32
değeri kaçtır?
C)64
D)96
E)128
2
GENETĠK KOPYA-2
|x+5|=4
EĢitliğini
sağlayan
x
aĢağıdakilerden hangisidir?
sayıları
IġIK-10
|x-a|<b
EĢitsizliğinin çözüm kümesi;
sayı ekseninde, a dan uzaklığı b birimden
az olan noktalardır.
A){-1,9}
B){1,9}
C){-1,-9}
D){1,-9}
E){-5,4}
IġIK-11
|x-a|>b
EĢitsizliğinin çözüm kümesi;
sayı ekseninde, a dan uzaklığı b birimden
fazla olan noktalardır.
DNA-3
xR , x 
1
2
olduğuna göre;
ifadesinin eĢiti
1 x  1 x
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B)2+x
C)2-x
D)x-2
E)2x
DNA-4
|2x-1|<5
EĢitsizliğinin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)x<-2
B)x>3
D)x<-2 veya x>3
kümesi
C)-2<x<3
E) ∅
ÇÖZÜM
IġIK-7 den;
|2x-1|<5 ⇒ -5 < 2x-1 < 5
⇒ -4 < 2x < 6
⇒ -2 < x < 3
bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)8
B)9
C)10
kümesi
C)-9<x<5
E) R
x 1  2  3  1
denkleminin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
kümesi
C)[-4,2]
E) ∅
ÇÖZÜM
IġIK-8 den;
|x+1|≥ 3 ⇒ x+1≤-3 veya x+1≥3
x+1≤-3 ⇒ x≤-4
x+1≥3 ⇒ x≥2
kümesi
ÇÖZÜM
Ġç içe mutlak değer bulunan ifadelerde;
En dıĢtaki mutlak değerden baĢlayarak,
sırası ile diğerlerine geçilir.
||x-1|-2|-3 = 1
A)(-∞,-4]
B)[2,+ ∞)
D) (-∞,-4]∪[2,+ ∞)
E)12
DNA-6
x 1  2  3  1
DNA-5
|x+1|≥ 3
EĢitsizliğinin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
D)11
A){-5,-3}
B){1,5,7}
C){-,1,1,5,7}
D){-5,-3,-1,5,7} E){-5,-3,1,5,7}
GENETĠK KOPYA-4
|x+2|<7
EĢitsizliğinin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)x<-9
B)x>5
D)x<-9 veya x>5
GENETĠK KOPYA-5
|2x+5|>9
EĢitsizliğini sağlamayan kaç tane tamsayı
vardır?
veya
olmalıdır.
Bulunan x değerleri
(-∞,-4]∪[2,+ ∞) aralığının elemanlarıdır
Doğru Seçenek D dir.
ise;
veya ||x-1|-2|-3 = -1
||x-1|-2|-3 = 1 alındığında;
||x-1|-2| = 4 ise
|x-1|-2 = 4 veya |x-1|-2 = -4
|x-1|-2 = 4 alındığında;
|x-1| = 6 ise
x-1 = 6
veya x-1 = -6 bulunur.
x-1 = 6 ⇒ x=7
x-1 = -6 ⇒ x=-5
olur.
|x-1|-2 = -4 alındığında;
|x-1| = -2 bulunur ki, !!!
Mutlak değer pozitif veya en az
0 olacağından, mutlak değeri -2 olan bir
sayı bulunamaz.
EĢitliği sağlayan bir x sayısı yoktur.
||x-1|-2|-3 = -1 alındığında;
||x-1|-2| = 2 ise
|x-1|-2 = 2
veya
|x-1|-2 = -2
DNA-7
A=|x-3|+|x-7|
Ġfadesinin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
|x-1|-2 = 2 alındığında;
|x-1| = 4 ise
x-1=4
veya
x-1=-4 bulunur.
A)2
UYARI
Mutlak değerli denklemlerde, bulunan x
değerlerini denklemde yerlerine yazıp,
denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol
edilmelidir. Denklemi sağlamayan sayılar,
çözüm
kümesinin
elemanı
olarak
alınamazlar.
GENETĠK KOPYA-6
x−2 −2 = 2
Denkleminin
çözüm
kümesi
elemanlıdır?
C)3
D)4
D)5
E)7
x-7<0 ve |x-7|= -(x-7)=-x+7 dir.
A=|x-3|+|x-7|=(-x+3)+(-x+7)=-2x+10 olur.
Bulunan x değerleri, çözüm kümesinin
elemanlarıdır.
Ç={-5,-3,1,5,7} olur.
Doğru Seçenek E dir.
B)2
C)4
ÇÖZÜM
x < 3 için; x-3<0 ve |x-3|=-(x-3)=-x+3
x-1=4 ⇒ x=5
x-1=-4 ⇒ x=-3 olur.
|x-1|-2 = -2
alındığında;
|x-1| = 0
ise
x-1=0 ⇒ x=1 bulunur.
A)1
B)3
E)5
kaç
3≤x<7 için; x-3≥ 0 ve |x-3|=x-3
x-7<0 ve |x-7|=-x+7 dir.
A=|x-3|+|x-7|=(x-3)+(-x+7)=4 olur.
x≥7 için; x-3>0 ve |x-3|=x-3
x-7≥0 ve |x-7|=x-7 dir.
A=|x-3|+|x-7|=(x-3)+(x-7)=2x-10 olur.
x’e verilecek değerler için, A’nın
alabileceği en küçük değer 4 tür.
Doğru Seçenek C dir.
YADA !!!
x-3=0 ⇒ x=3 ve x-7=0 ⇒ x=7
3<x<7 için A en küçük değerini alır.
x=5 için A=4 olur.
GENETĠK KOPYA-7
A=|x+1|+|x-3|
Ġfadesinin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
A)0
B)1
C)2
D)3
E)4
IġIK-12
A=|x-a|+|x-b|
Ġfadesi; a < x < b değerleri için sabit
bir değer alır. Bu değer A’nın alabileceği
en küçük değerdir.
DNA-8
K=|x-1|-|x-5|
Ġfadesinin alabileceği tamsayı değerleri
kaç tanedir?
A) 6
B)7
C) 8
D)9
E)10
ÇÖZÜM
x<1 için; x-1<0 ve |x-1|=-x+1
x-5<0 ve |x-5|=-x+5 dir.
K=|x-1|-|x-5|=(-x+1)-(-x+5)=-4 olur.
1≤x<5 için; x-1>0 ve |x-1|=x-1
x-5<0 ve |x-5|=-x+5 dir.
K=|x-1|-|x-5|=(x-1)-(-x+5)=2x-6 olur.
x≥5 için; x-1>0 ve |x-1|=x-1
x-5≥0 ve |x-5|=x-5 dir.
K=|x-1|-|x-5|=(x-1)-(x-5)=4 olur.
x’e verilecek değerler için, K’nın
alabileceği en küçük değer -4 , en büyük
değer 4 tür.
-4≤K≤4 olduğundan, alabileceği tamsayı
değerleri : -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 ve 4 olmak
üzere 9 tanedir.
Doğru Seçenek D dir.
YADA !!!
x-1=0 ⇒ x=1 ve x-5=0 ⇒ x=5
x≤1 ve
x≥5 için K en küçük ve en
büyük değerlerini alır.
IġIK-13
A=|x-a|-|x-b|
Ġfadesi; x≤a ve x≥b (a<b ) için en
küçük ve en büyük değerlerini alır.
GENETĠK KOPYA-8
B=|x-2|-|x+3|
Ġfadesinin
alabileceği
tamsayı
değerlerinden
biri
aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)-6
B)-2
C)6
D)7
E)8
IġIK-14
N=|x-a|+|x-b|+|x-c|
Ġfadesi; a<b<c ise
x=b için en küçük değerini alır.
DNA-9
0< a< 10 için |x-a|+|x-10|+|x-a-10|
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
A)0
B)3
C)5
D)8
E)10
ÇÖZÜM
x-a=0 ⇒ x=a
x-10=0 ⇒ x=10
x-a-10=0 ⇒ x=a+10
a<10<a+10 olduğundan verilen ifade x=10
için en küçük değerini alır.
10 − a + 10 − 10 + 10 − a − 10
=10-a+0+a
=10 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-9
x  10  x  9  ..  x  ..  x  9  x  10  ?
toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)0
B)10
C)50
D)100
E)110
DNA-11
x ve y sıfırdan farklı sayılar olmak üzere
x
x

y
toplamının alabileceği
y
kaç farklı değer vardır?
A)1
DNA-10
|2x+1| < 5
ve 2 < |y+3| < 5 ise
2
2
x +y
toplamının en büyük tamsayı
değeri kaçtır?
A)64
B)67 C)69 D)72 E)73
B)2
C)3
D)4
E)5
ÇÖZÜM
Mutlak değer tanımından;
|x|=  x ve |y|=  y
dir.
Bu değerler toplamda yerlerine yazılırsa
toplam;
𝑥
𝑥
+
𝑦
𝑦
= 𝑥 +𝑦 = 1+1= 2
𝑥
𝑥
+
𝑦
𝑦
=
−𝑥
𝑥
+
2<|y+3|< 5 ⇒ 2 < y+3 < 5 veya 2 < -y-3 < 5
𝑥
𝑥
+
𝑦
𝑦
=
−𝑥
𝑥
+ = −1 + 1 = 0
2 < y+3 < 5 ⇒ -1 < y < 2 ⇒ 0< y2< 4
veya
𝑥
𝑥
+
𝑦
𝑦
= +
ÇÖZÜM
|2x+1| < 5 ⇒ -5 < 2x+1 < 5
⇒ -3 < x < 2 ⇒ 0 < x2< 9
ve
2 < -y-3 < 5 ⇒ -8 < y < -5 ⇒ 25< y2< 64
Bulunan eĢitsizliklerden;
x2+y2< 64+9 = 73 olur.
En büyük tamsayı değeri 72 dir.
Doğru Seçenek D dir.
𝑥
𝑥
𝑥
𝑦
−𝑦
𝑦
= −1 + −1 = −2
𝑦
𝑦
−𝑦
𝑦
= 1 + (−1) = 0
Toplam; -2, 0 ve 2 olmak üzere
üç farklı değer alır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-11
a,b,c sıfırdan farklı sayılar iken,
GENETĠK KOPYA-10
a  10  2 ve
b  6  1 iken
a-b farkının alabileceği en büyük ve
en küçük tamsayı değerlerinin toplamı
kaçtır?
A)2
B)4
C)6
D)8
E)10
a
b
c
+
+
a
b
c
toplamının alabileceği
kaç farklı değer vardır?
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
DNA-12
DNA-13
x y
x 2  x
EĢitliğini sağlayan x gerçel sayıları için,
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x > 0
B) x≥0
C) x < 0
D)x≤0
E) x=1
ÇÖZÜM
𝑥2 = 𝑥
olduğundan;
𝑥 2 = 𝑥 = −𝑥 ve
𝑥 = −𝑥
bulunur.
Mutlak değer tanımından;
𝑥 = −𝑥 ⇒ x < 0 veya x=0 dır.
Kısaca ;
x  0 dır.
Doğru Seçenek D dir.
x y
kesrinin
alabileceği en büyük değeri kaçtır?
A) -1
A) x > 0
B) x≥0
C) x < 0
D)x≤0
E) x=1
C) 0
1
D) 2
E) 1
ÇÖZÜM
Kesrin en büyük değeri alması için;
|x+y|
nin en büyük,
|x|+|y| nin en küçük olması gerekir.
Üçgen eĢitsizliğinden;
𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 dir.
|x+y|
nin en büyük,
küçük olması demek
x y  x  y
|x|+|y|
nin en
olması demektir.
x y
Bu durumda;
GENETĠK KOPYA-12
x+|x| = 0 ise
x
gerçel sayıları için, aĢağıdakilerden
hangisi doğrudur?
1
B) − 2
x y
=1 olur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-13
|x+y| = |x|+|y|
ise
x ve y sayıları için aĢağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A) x.y < 0
B) x.y≤0
C) x.y >0
D) x.y≥0
E) x+y < 0
DNA-14
|2x-1| = |4x+3|
Denkleminin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
DNA-15
kümesi
A){-2,-1/3}
B){-1/3,2} C){1/3.2}
D){-2,1/3}
E){2}
ÇÖZÜM
Mutlak değer içindeki ifadelerin ikisini
de aynı iĢaretli düĢündüğümüzde;
|2x-1| = |4x+3| ⇒ 2x-1 = 4x+3
⇒ 2x = -4 ⇒ x = -2 veya
Mutlak değer içindeki ifadelerin ters
iĢaretli olduğu düĢünüldüğünde de;
|2x-1| = |4x+3| ⇒ 2x-1 = -4x-3
⇒ 6x = -2 ⇒ x = -1/3 olur.
Ç={-2, -1/3} bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
5 x  3
eĢitsizliğini sağlamayan
kaç tane tamsayı vardır?
A)7
B)10
C)14
D)15
E)16
ÇÖZÜM
Önce; eĢitsizliği sağlayan sayıları bulalım
5 − 𝑥 > 3 ⇒ 5-|x|>3 veya 5-|x|<-3
5-|x|>3 ⇒ |x|<2 ⇒ -2<x<2
5-|x|<-3 ⇒ |x|>8 ⇒ x>8 veya x<-8
Bu sayılar dıĢında kalan tamsayılar;
-8  x  2 ve 2  x  8 dir.
14 tane tamsayı vardır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-15
x  4  4  x ise x  4  x  5  ?
Ġfadesinin değeri kaçtır?
GENETĠK KOPYA-14
x 3  2x 3
denkleminin
A)-4
B)-1
C)0
D)1
E)4
kökler toplamı kaçtır?
A)1
B) 6
C) 9
D) 10
E) 12
DNA-16
Sayı ekseninde;
x
sayısına
karĢı
gelen
noktanın
baĢlangıç noktasından uzaklığı,
-2 ye karĢı gelen noktadan uzaklığından
az olduğu bilindiğine göre,
x sayıları için aĢağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A)x<1 B)x>1 C)x<-1 D)x>-1 E)x=-1
ÇÖZÜM
x’in baĢlangıç noktasından uzaklığı |x|,
-2 den uzaklığı |x+2| ile
ifade edildiğinde:
|x| < |x+2| eĢitsizliği elde edilir.
Bu eĢitsizliğin çözüm kümesini bulalım.
x < -2 için :
-x < -x-2 ⇒
0 < -2
-2  x < 0 için :
-x < x+2 ⇒ -2 < 2x
çözüm yok.
⇒ x > -1
x0
için :
x < x+2 ⇒ 0 < 2
her x için doğru.
Bu durumda çözüm kümesi ;
x > -1 dir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-16
2x  3  4  x
Çözüm aralığının uzunluğu kaç birimdir?
A)6
B)7
C)8
D)9
eĢitsizliğinin
B)23
C)24
ÇÖZÜM
|x|+|y|<4 verildiğinden;
|x|+|y|=0
|x|+|y|=1
|x|+|y|=2
|x|+|y|=3
olabilir.
D)25
|x|+|y|=2 ⇒ |x|=2 ⇒ x=  2 ve
|y|=0 ⇒ y=0
veya |x|=0 ⇒ x=0 ve
|y|=2 ⇒ y=  2
veya |x|=1 ⇒ x=  1 ve
|y|=1 ⇒ y=  1
|x|+|y|=3 ⇒ |x|=3 ⇒ x=  3 ve
|y|=0 ⇒ y=0
veya |x|=0 ⇒ x=0
ve
|y|=3 ⇒ y=  3
veya |x|=2 ⇒ x=  2 ve
|y|=1 ⇒ y=  1
veya |x|=1 ⇒ x=  1 ve
|y|=2 ⇒ y=  2
olmak üzere 25 tane tamsayı ikilisi
vardır.
Doğru Seçenek D dir.
|x|+|y|  n eĢitsizliğini sağlayan
2n2+4n+1
tane (x,y) tamsayı ikilisi
vardır.
tam sayı çözümleri kaç tanedir?
A) 22
y=0
x=  1 ve
y=0
x=0
ve
y=  1
USTA ÇÖZÜM
n pozitif tam sayı olmak üzere;
|x|+|y| < n eĢitsizliğini sağlayan
2n2-2n+1
tane (x,y) tamsayı ikilisi
vardır.
E)10
DNA-17
x  y 4
|x|+|y|=0 ⇒ x=0 ve
|x|+|y|=1 ⇒ |x|=1 ⇒
|y|=0 ⇒
veya |x|=0 ⇒
|y|=1 ⇒
E)26
UYARI
Analitik düzlemde;
x+y=4 ve x-y=4 ve x+y=-4 ve
x-y=-4 doğruları ile sınırlı bölgede
koordinatları tamsayı olan noktaların
sayısı 25 tir.
GENETĠK KOPYA-17
x  x2 5
ise
AĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x<-3/2
B)x>7/2
D)x<-3/2 veya x>7/2
C)-3/2<x<7/2
E)x=2
GENETĠK KOPYA-18
|3|x=9
Denkleminin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
kümesi
A){-3} B){3} C){-3,3} D){3,6} E){-3,6}
DNA-19
DNA-18
|15x2-32x-28|
sayısının asal olduğu bilindiğine göre,
x’in alabileceği tamsayı değerlerinin
toplamı kaçtır?
A)-1
B)2
C)3
D)4
E)5
ÇÖZÜM
|15x2-32x-28| = |(5x-14)(3x+2)|
=|5x-14||3x+2|
Çarpımın
bir
asal
olması
için
çarpanlardan biri 1 , diğeri asal sayı
olmalıdır.
|5x-14|=1 için ;
5x-14=1 ⇒
x=3
veya
5x-14=-1 ⇒
x=13/5 olmalıdır.
|3x+2|=1 için;
3x+2=1 ⇒
x=-1/3 veya
3x+2=-1 ⇒
x=-1 olmalıdır.
Verilen Sayı x=3 için; 11
x=-1 için 19 dur.
x’in
alabileceği tamsayı değerlerinin
toplamı: -1+3=2 dir.
Doğru Seçenek B dir.
a b a b
2
?
Ġfadesinin
hangisidir?
eĢiti
A) max(a;b)
D) b
aĢağıdakilerden
B) min(a;b)
E) 0
C) a
ÇÖZÜM
a≥b için;
a b a b
2

a b a b
a
2

abab
b
2
a < b için;
a b a b
2
Ġfade; a ve b den büyük olana eĢittir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-19
ab ab
2
?
Ġfadesinin
hangisidir?
A) max(a;b)
D) b
eĢiti
aĢağıdakilerden
B) min(a;b)
E) 0
C) a
5. m,n  N
KONU TESTĠ
için;
49 < n < 101 ve 19 < m <51 ise
1. a, b, c, d
tamsayılardır.
a < b < -2 < c < d olduğuna göre;
c+d-a-b iĢleminin sonucu en az kaçtır?
nedir?
A) -6
A) 1
B) -5
C) -1
D) 0
E) 1
2. 700 paket eĢya, araba veya hamalla
taĢınabilmektedir.
En çok 60 paket götürebilen araba her
gidiĢ için 8 YTL,
en çok 20 paket götürebilen hamal ise
her gidiĢ için 3 YTL almaktadır.
EĢyanın tümü en az kaç YTL ye
taĢınabilir?
A) 88
D) 105
B) 94
E) 112
B) 2
C) 3
D) 50
E) 100
6. a
ve b pozitif tamsayılar,
a > b > 3 ise;
aĢağıdaki kesirlerden hangisi en
büyüktür?
A)
b
a 1
B)
a
b
a
b 1
D)
C)
E)
b
a
a
b 1
C) 96
3. 0 < x 
1 ise xy = 1 ifadesinde
x artan değerler alırken y nasıl değiĢir?
A) Sabit kalır.
B) Azalarak 1 olur.
C) Artarak 1 olur.
D) Pozitif olarak artar.
E) 1 den sıfıra doğru azalır.
4. x ve y sıfırdan farklı gerçel sayılar,
x y
  2 olduğuna göre,
x y
aĢağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A) x < y < 0
C) x < 0 < y
nm
ifadesinin en büyük değeri
n
B) y < x < 0
D) y < 0 < x
E) 0 < x < y
7. a < b < 0
olduğuna göre
aĢağıdakilerden hangisi pozitiftir?
A) a-b
B) a+b
D)
1 1

a b
1 1

a b
b a
E) 
a b
C)
8. x-y > x
ve x+y < y ise
aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A) x > y
C) x < y < 0
E) x < 0 ve y > 0
9.
x
x
B) x < y
D) x < 0 ve y < 0
 1 eĢitsizliğinin çözüm
kümesi aĢağıdakilerden hangisidir?
A) Z-
B) Z+
C) Z
D) R-{0}
E) R
x2 x2

x2 x2
10.
15.
A) 2
eĢitsizliğinin çözüm aralığı
aĢağıdakilerden hangisidir?
x ve y pozitif tamsayılardır.
x > y ve |y-x|+|y-1|=5 ise
x kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
11.
2x+y=-6 ve -2 < y  2 ise
x için aĢağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A) -2 < x  4
C) 2 < x  4
E) 1 < x < 3
B) 4 < x  4
D) -4  x < -2
A) -2 < x < 0 veya x > 2
B) x < -2 veya 0 < x < 2
C) x < 0 veya x < 2
D) -2 < x < 2
E) x > -2
16.
1
1
1
 2  2  .... ise
2
2
3
4
1
1
1
ifadesinin A
1  2  2  2  ....
2
3
4
türünden eĢiti hangisidir?
12.
Hangi sayının 3 fazlası, 3
eksiğinin üç katıdır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
A= 1 
A)
E) 9
1
-A
4
A
2
A 1
D)
2
B)
A
2
2
C)
E) A-
1
2
5.B
13.
x+y=1 ve x2+y2=2 iken
x3+y3 toplamının değeri kaçtır?
A) 2,4
B) 2,5
D) 2,8
E) 3
C) 2,6
1.A
2.B
3.B
4.D
7.C
8.D
9.D
10.E
13.B
14.
x ve y tamsayıları için ;
0 < x < 10 , 0 < y < 10 ve
1 x
 1
2 y
ise
x ve y aralarında asal olmak üzere
kaç farklı
A) 12
x
sayısı yazılabilir?
y
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
14.B
15.A
11.D
16.B
6.E
12.D
KONU TESTĠ
6. a+b+c = 0
ise
a3+b3+c3
ifadesinin
eĢiti aĢağıdakilerden hangisidir?
1. x ve y reel sayıları için;
x2+y2-6x-4y+13 = 0
x.y çarpımı kaçtır?
ise
A)2
D)6
B)3
C)4
A)0
B)-3 C)3 D)-3abc E)3abc
E)8
7. a=3
2. Yedi katı, 70 den küçük olan kaç tane
doğal sayı vardır?
A)8
B)9
A)24
C)10
D)11
C)8
Ġfadesinin
hangisidir?
D)9
C)34
5. x3+3x2y2+3xy4+y6
ifadesinin
hangisidir?
eĢiti
E)29
eĢiti
aĢağıdakilerden
E)10
9. x+y = 1
sayıları,
{-7,-5,-3,-2,2,4,6,13} kümesinin farklı
elemanları olmak üzere;
(a+b+c+d)2+(e+f+g+h)2 toplamının
alabileceği en küçük değer kaçtır?
B)32
D)28
A)x5-243
B)x5+243
C)243x
5
5
D)x -81x
E)x +81x
4. a,b,c,d,e,f,g,h
A)30
C)27
8. (x-3)(x4+3x3+9x2+27x+81)
Ġfadesinin değeri nedir?
B)7
B)26
ifadesinin
E)12
3. x  1  3 ise ;
x
1
x2  2  ?
x
A)6
için
(a+1)(a2-a+1)
değeri kaçtır?
D)40
E)50
aĢağıdakilerden
A)(x+y)3
B)(x-y)3
C)(x+y2)3
D)(x-y2)3
E)(x2+y)3
ve x2+y2 = 2 ise
x3+y3 değeri kaçtır?
A)1
B)1,5
C)2
D)2,5
E)3
10.
Küpleri farkı 602 olan ardıĢık iki
tek doğal sayı x ve y ise
2
x +xy+y2 değeri kaçtır?
A)300 B)301 C)302 D)303 E)304
11.
a2-2ab+b2-9
ifadesinin
eĢiti
hangisidir?
aĢağıdakilerden
Kesrinin değeri kaçtır?
A)(a-b-3)(a-b+3) B)(a-b-3)(a+b+3)
C)(a+b-3)(a-b+3) D)(a-3)(b+3)
E)(ab-3)(ab+3)
12.
x2-m2-4mn-4n2
ifadesinin
eĢiti
hangisidir?
aĢağıdakilerden


Kesrinin değeri kaçtır?
A)26
B)28
C)80 D)82 E)242
14.
888889 2  111112 2
?
666667 2  333334 2
Kesrinin değeri kaçtır?
A)
7
3
B)2
C)
9
5
5
D) 3
E) 1
E) 1
B) 674321870
D) 674321872
16.
x=(0,5)6 ve y=26 ise
(x+y)2-(x-y)2 Ġfadesinin değeri kaçtır?
1.D
6.E
11.A
15.B
316  1
?
38  1 3 4  1

A) 674321869
C) 674321871
A)1
A) (x+m-2n)(x+m+2n)
B) (x-m-2n)(x-m+2n)
C) (x-m-2n)(x+m+2n)
D) (x-m)(x+n)
E) (x-m-2)(x+m+2)
13.
15.
674321870
?
674321871  674321870.674321872
2
B)2
C)3
D)4
E)5
2.C
3.B
4.C
7.D
8.A
9.B
12.C
13.C
16.D
5.C
10.B
14.A
KONU TESTĠ
6.
1. x+x-1 = 3
kökler çarpımı kaçtır?
iken
Ġfadesinin değeri kaçtır?
x3+x-3
A)3
B)6
C)9
D)12
x  x  1  x  2  3 denkleminin
A) 0
D) 3
E) 6
x  2  y iken
x y  yx ?
Ġfadesinin değeri kaçtır?
2. A=3 +3
-x
ise
9x+9-x
ifadesinin A türünden eĢiti
hangisidir?
A)A2-2
C) 2
E)18
7.
x
B) 1
B)A2-1 C)A2 D)A2+1 E)A2+2
A)-4
B)-2
8. 2x+3y
C)0
D)2
E)4
 42
eĢitsizliğini sağlayan kaç tane (x,y)
pozitif tamsayı ikilisi vardır?
3. x,y  Z+
için 2x+1 = y2
x.y çarpımı kaçtır?
A)3
B)6
C)8
D)9
ise
E)12
A)13 B)19 C)72 D)95 E)133
9. A=|2x+6|
ifadesinin en küçük
değerini alması için x kaç olmalıdır?
4. 1 
A)3
x 5
B)2
C)0
D)-2
E)-3
EĢitsizliğini doğrulayan kaç tane tamsayı
vardır?
A)4
5.
B)5
C)8
D)9
E)10
2 x  1  x  3  4 ise
10.
|1-x|=7
EĢitliğini sağlayan x sayılarının toplamı
kaçtır?
A)-2
B)0
C)2
D)4
E)6
AĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x<-2
B)x>8
D)x<-2 veya x>8
C)-2<x<8
E)x<0
11.
|3x-5|<10
EĢitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı
vardır?
A)5
B)6
C)7
D)8
E)9
12.
|1-2x|>9
EĢitsizliğinin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
kümesi
A) (-∞,-4]
B) [5,+ ∞) C) [-4,5]
D) (-∞,-4]∪[5,+ ∞) E) R
16.
değeri kaçtır?
A)6
13.
2x  5
x2  4
B)7
C)8
D)9
E)10
0
EĢitsizliğinin
çözüm
aĢağıdakilerden hangisidir?
C)x>5/2
kümesi
A) ∅
B)x<5/2
14.
D)x<0 E)R
abc üç basamaklı sayısı için ;
abc
abc
oranı en çok kaç olabilir?
A)10
x,y,z birer tam sayı,
5  x  9 , 3  y  7 ve 2  z  6 ise
4 x  10
kesrinin en büyük
3y  z
B)33
15.
C)50
AĢağıdaki
yanlıĢtır?
D)75 E)100
ifadelerden
hangisi
A) 94.98 < 962
B) 23.24.26.27 < 254
1
 2 dir.
a
D) a>0 , b>0 ve a  b ise a2+b2>2ab
a b
E) a>0 , b>0 ve a  b ise
 =2 dir.
b a
C) a>0 ise a+
1.E
6.A
11.B
15.E
2.A
3.D
4.C
7.E
8.E
9.E
12.D
13.A
16.B
5.C
10.C
14.E