A. ARKSİNÜS FONKSİYONU f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı

Açı: Düzlemde, başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı, başlangıç
noktasına da açının köşesi denir.Açıyı meydana getiren iki ışından birine başlangıç kenarı,
diğerine ise bitim kenarı denir.
Açılar adlandırılırken, önce başlangıç kenarı, sonra bitim kenarı yazılır.
Yönlü Açı
Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki şekilde gidebilir:Saat
ibresinin dönme yönünün tersi olan, pozitif yön,Saat ibresinin dönme yönünün aynı
olan, negatif yöndür.
Bir AOB açısının ölçüsü m(AoB) ile gösterilir.
Açı Ölçü Birimler
Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak için, bir ölçü birimi
tanımlamalıyız. Açıyı ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.Genellikle
üç birim kullanılır.
Bunlar; derece, radyan ve grad dır
Birim çemberde
Ox eksenine kosinüs ekseni,Oy eksenine sinüs ekseni denir.Bir x reel sayısını cosx e eşleyen
fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.cos: R → [–1, 1], f(x) = cosx dir.Bir x reel sayısını sinx e
eşleyen fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.sin: R → [–1, 1], f(x) = sinx dir.Kosinüs ve sinüs
fonksiyonunun görüntü kümesi:[–1, 1] dir. Yani, her a ∈ R için,–1 ≤ cosa ≤ 1 ve –1 ≤ sina ≤
1 dir
Derece:
Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece
denir ve 1° ile gösterilir.
1 derece 60 dakikadır. Dakika ‘ simgesiyle gösterilir. (1’ = 1 dakika)
1 dakika 60 saniyedir. Saniye ‘’ simgesiyle gösterilir. (1’’ = 1 saniye)
1° = 60' dır.1’ = 60'' dir.1° = 3600'' dir.1° = 60' = 59' 60'' dir.
Radyan:
Yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyandenir ve
1 rad ile gösterilir.
Birim çemberin çevresi 360° veya 2π radyan olduğu için,360° = 2π rad dır.180° = π rad
dır..3
Grad:Bir tam çember yayının 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsüne 1 grad denir. ve ile
gösterilir.
Birim çemberin çevresi 360° veya 2π radyan veya 400 grad olduğu için,360° = 2π radyan =
400 grad veya180° = π radyan = 200 grad dır.
Birim çemberde
Ox eksenine kosinüs ekseni,Oy eksenine sinüs ekseni denir.Bir x reel sayısını cosx e eşleyen
fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.cos: R → [–1, 1], f(x) = cosx dir.Bir x reel sayısını sinx e
eşleyen fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.sin: R → [–1, 1], f(x) = sinx dir.Kosinüs ve sinüs
fonksiyonunun görüntü kümesi:[–1, 1] dir. Yani, her a ∈ R için,–1 ≤ cosa ≤ 1 ve –1 ≤ sina ≤
1 dir
Sinüs ve Kosinüs fonksiyonları
1. f(x)=sin(x) işlevi dik üçgen'de Karşı dik kenar'ın Hipotenüs'e oranıdır. Koordinat
Düzleminde "y" ekseni olarak tabir edilir.Bu işlevin tanım aralığı [-1,1] dir. Yani, Sinx -1 den
küçük 1 den büyük olamaz.
2. f(x)=cos(x) işlevi dik üçgende Komşu dik kenar'ın Hipotenüse oranıdır. Koordinat
düzleminde "x" ekseni olarak tabir edilir.Tanım aralığı f(x)=sinx işleviyle aynıdır.
Sinüs ve Kosinüs işlevleri arasında Pisagor teoreminden çıkarılabilen; Sin²x+Cos²x=1
bağıntısı vardır.
Tanjant ve Kotanjant işlevleri
3. f(x)=tanx işlevi dik üçgende Karşı dik kenar'ın Komşu dik kenara oranıdır. Koordinat
Düzleminde Birim çembere"x" ekseninin pozitif tarafında teğet ve x eksenine diktir.Tanım
aralığı [-∞,+∞] dır.ayrıca tanx.cotx=1 dir.
4. f(x)=cotx işlevi dik üçgende Komşu dik kenar'ın Karşı Dik kenara oranıdır. Koordinat
Düzleminde Birim çembere "y" ekseninin pozitif yönünde teğet ve y eksenine diktir.Tanım
aralığı [-∞,+∞] dır.
Tanjant ve Kotanjant işlevleri arasnda birim çemberde benzerlik yapılarak veya Pisagor
teoreminden bulunabilen Tanx.Cotx=1 bağıntısı vardır.
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu a, dik kenarlar b ve c olsun.
SinC = karşı dik kenar uzunluğu / hipotenüs uzunluğu
SinC = c / a
CosC = komşu dik kenar uzunluğu / hipotenüs uzunluğu
CosC = b / a
TanC = karşı dik kenar uzunluğu / komşu dik kenar uzunluğu
TanC = c / b
CotC = komşu dik kenar uzunluğu / karşı dik kenar uzunluğu
CotC = b / c
tanx = sinx / cosx
cotx = cosx / sinx
tanx . cotx = 1
sinx.sinx + cosx.cosx = 1
x açısı 0 derece ile 90 derece arasında;
Açı büyüdükçe sinx ve tanx artar, cosx ve cotx azalır.
I. PERİYODİK FONKSİYONLAR
f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.
f:A®B
Her x Î A için f(x + T) = f(x)
olacak şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa; f fonksiyonuna periyodik fonksiyon,
T ¹ 0 reel sayısına f nin periyodu denir. Bu eşitliği gerçekleyen birden fazla T reel sayısı
varsa, bunların pozitif olanlarının en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodudenir.
f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere,
f(x) in periyodu k × T dir.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI
olduğu için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.
sinx ve cosx fonksiyonlarının periyodu 2kp, tanx ve cotx fonksiyonlarının periyodu kp dir.
sinx ve cosx fonksiyonlarının esas periyodu (k = 1 için) 2p; tanx ve cotx fonksiyonlarının
esas periyodu p dir.
Kural
a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,
f(x) = a + b × sinm(cx + d)
g(x) = a + b × cosm(cx + d)
fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.
Bu durumda,
olur.
Kural
a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,
f(x) = a + b × tanm(cx + d)
g(x) = a + b × cotm(cx + d)
fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.
Bu durumda,
Kural
fonksiyonlarının esas periyodu, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak
katına (e.k.o.k. una) eşittir.
Uyarı
Buradaki kesirleri en sade biçimde olmalıdır.
Uyarı
f(x) = h(x) × g(x) olmak üzere, f(x) in esas periyodu, h(x) ve g(x) fonksiyonlarının esas
periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşit olmayabilir.
Eğer, f(x) = h(x) × g(x) in esas periyodu bulunacaksa, f(x) i fonksiyonların toplamı biçiminde
yazarız. Sonrada toplanan fonksiyonların esas periyotlarının en küçük ortak katı alınır.
Yukarıdaki açıklamalar bölünen fonksiyonlar için de geçerlidir.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR
sin 2 x + cos 2 x = 1
tan x = 1/cot x
tan x = sin x / cos x
cot x = cos x / sin x
cot x = 1/ tan x
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İŞARETLERİ
1. Bölgede ( 0< x < 90° veya 0 < x < π/2 ) : sin +
2. Bölgede ( 90° < x < 180° veya π/2 < x < π
) : sin +
cos tan cot 3. Bölgede ( 180° < x < 270° veya π < x < 3π/2 ) :
sin cos tan +
cot +
cos +
tan +
cot +
4. Bölgede ( 270° < x < 360° veya 3π/2 < x < 2π ) :
sin cos +
tan cot Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken
bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs
teoreminin uygulanışı şöyledir:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,
a2 = b2 + c2 – 2 × b × c × cosA dır.
b2 = a2 + c2 – 2 × a × c × cosB dir.
c2 = a2 + b2 – 2 × a × b × cosC dir.
Kosinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmada ve üç
kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır. Ayrıca bu teorem, sadece dik
üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını tüm üçgenler için geneller.
Sinüs teoremi
Sinüs teoremi, bir çembersel üçgende (kirişler üçgeni) bir kenar ve bu kenar karşısındaki
açının sinüsleri oranı sabittir. Sinüs, dik açılı üçgenlerde dik olmayan bir açının karşısında
kalan dik kenar ile hipotenüs (dik açının karşısında kalan kenar) ün birbirine oranıdır.
a, b, ve c üçgenin kenar uzunlukları, A, B ve C üçgenin iç açıları ve r çevrel çemberin yarı çapı
ise bunlar arasında Sinüs teoremine göre aşağıdaki bağıntı mevcuttur.
a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R
Toplam fark formülleri
Trigonometrik değerleri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini
hesaplamak için kullanılan formüllerdir. Bu formülleri şöyle sıralayabiliriz:
sin(α+β) = sin α.cos β + cos α.sin β
sin(α-β) = sin α.cos β - cos α.sin β
cos(α+β) = cos α.cos β - sin α.sin β
cos(α-β) = cos α.cos β + sin α.sin β
tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α . tan β)
tan(α-β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α . tan β)
cot(α+β) = (cot α . cot β - 1) / (cot α + cot β)
cot(α-β) = (cot α . cot β + 1) / (cot α - cot β)
Yarım Açı formülleri
sin 2a = 2 * sina * cosa
cos 2a = ( cos a )^2 - (sin a )^2 = 2( cos a )^2 - 1 = 1 - 2( sin a )^2
tan 2a= ( 2tan a )/ (1-( tan a )^2) seklinde olan formullerdir.
ornegin,
1) sin 2a = 2sina.cosa oldugunu gosterelim.
sin 2a = sin (a+a) dir.
sin (a+a)= sin a * cos a + sin a * cos a = 2 * sin a * cos a olur.
2) cos 2a = ( cos a )^2 - ( sin a )^2 = 2(cos a )^2 - 1 = 1 - 2( sin a )^2 oldugunu gosterelim.
cos 2a = cos (a +a) dir.
cos ( a + a ) = cos a * cos a - sin a * sin a
cos ( 2a ) = (cosa)^2 - (sin a)^2
(sin a )^2 + (cos a )^2 = 1 esitiginden (cos a )^2 = 1- (sin a ) ^2 veya ( sin a ) ^2 = 1- (cos a
)^2 yazabiliriz. bunlari, cos ( 2a ) = (cosa)^2 - (sin a)^2 ifadesinde yerine koyarsak
cos 2a = ( cos a )^2 - ( sin a )^2 = 2( cos a )^2 - 1 = 1 - 2( sin a )^2 esitligine ulasiriz.
3) tan 2a= ( 2tan a )/ (1-( tan a )^2) oldugunu gosterelim.
tan 2a = tan ( a + a ) dir.
tan ( a + a ) = ( tan a + tan a ) / ( 1- tan a * tan a )
tan 2a = ( 2tan a )/ (1-( tan a )^2) olur.
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri
sina.sinb= -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
sina.cosb=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosa.cosb=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
cosa.sinb=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
trigonometrik fonksiyonlarin carpiminin, toplam ve fark formullerine donusumudur.
ornegin,
1) sin a * sin b= -1/2*[cos (a+b)-cos (a-b)] oldugunu gosterelim.
toplam fark formullerinden giderek, esitiligin sag tarafindan baslayalim.
cos ( a + b) = cos a * cos b - sin b * sin a
cos (a - b) = cos * cos b + sin a * sin b olur ve taraf tarafa cikaralim.
-------------------------------------------cos ( a + b) - cos (a - b) = - 2 sin a * sin b
her iki tarafi -2 ye bolersek,
sin a * sin b = -1/2 [cos (a+b)-cos (a-b)] olur.
2) sina * cosb=1/2*[sin(a+b) + sin(a-b)] oldugunu gosterelim.
esitligin sag tarafindan baslayalim.
sin ( a + b ) = sin a * cos b + cos a * sin b
sin ( a - b) = sin a * cos b - cos a * sin b olur ve taraf tarafa toplayalim.
+
________________________________________
sin ( a + b ) + sin ( a - b) = 2 sin a * cos b
her iki tarafi ikiye bolersek
sina * cosb=1/2*[sin(a+b) + sin(a-b)] buluruz.
3) cosa * cosb=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] oldugunu gosterelim.
esitiligin sag tarafindan baslayalim.
cos (a + b) = cos a * cos b - sin a * sin b
cos (a - b) = cos a * cos b + sin a * sin b olur ve tarafa tarafa toplayalim.
+___________________________________
cos ( a + b) + cos ( a - b ) = 2 cos a * cos b
her iki tarafi ikiye bolersek
cosa * cosb=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] buluruz.
4) cosa * sinb=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] oldugunu gosterelim.
esitligin sag tarafindan baslayalim.
sin ( a + b ) = sin a * cos b + cos a * sin a
sin ( a - b ) = sin a * cos b - cos a * sin b olur ve taraf tarafa cikaralim.
-_______________________________________
sin ( a + b ) - sin ( a - b ) = 2 cos a * sin b
her iki tarafi ikiye bolersek
cosa * sinb=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] olur.
Ters trigonometrik fonksiyonlar
Matematikte ters trigonometrik fonksiyonlar, tanım kümesinde bulunan trigonometrik
fonksiyonların ters fonksiyonudur.
arcsin, arccos, arctan sırasıyla sin−1, cos−1, tan−1 olarak gösterilir. Fakat bu dönüşüm, sin2(x)
gibi yaygın kullanılan ifadelerde karmaşaya neden olabilir. Buradaki sayısal kuvvet, ters
çarpan ile ters fonksiyon arasında bir karmaşa meydana getirir.
Bilgisayar programlama dillerinde, arcsin, arccos, arctan fonksiyonları genellikle arcsin,
arccos, arctan olarak adlandırılır.
A. ARKSİNÜS FONKSİYONU
f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı
ve örten olur.
Bu durumda,
alınırsa bu fonksiyon bire bir
fonksiyonunun tersi,
f–1(x) = sin–1x veya f–1(x) = arcsinx
şeklinde gösterilir ve
B. ARKKOSİNÜS FONKSİYONU
f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı
[0, ] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,
f : [0, ]  [–1, 1]
f(x) = cosx
fonksiyonunun tersi,
f–1(x) = cos–1x veya f–1(x) = arccosx
şeklinde gösterilir ve
arccos : [–1, 1]  [0, ] dir.
C. ARKTANJANT FONKSİYONU
f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı
alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.
Bu durumda,
fonksiyonunun tersi,
f–1(x) = tan–1x veya f–1(x) = arctanx
şeklinde gösterilir ve
D. ARKKOTANJANT FONKSİYONU
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
fonksiyonuna cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant fonksiyonunun tersi,
şeklinde gösterilir.
Sonuç
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu fonksiyonun kendisine
eşittir.
sin(arcsinx) = x tir.
cos(arccosx) = x tir.
tan(arctanx) = x tir.
cot(arccotx) = x tir.
Sonuç
 = arcsinx ise, x = sin dır.
 = arccosx ise, x = cos dır.
 = arctanx ise, x = tan dır.
 = arccotx ise, x = cot dır.
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan
eşitliklere, trigonometrik denklemler denir. Denklemi sağlayan değerlere, denklemin kökleri; köklerin oluşturduğu
kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.
A. cosx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.
olmak üzere,C noktasına a + k × 2p ve
D noktasına –a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.
Bu durumda, cosx = a nın çözüm kümesi,
olur.
Sonuç
cosx = cosa biçimindeki denklemlerin çözüm kümesi:
dir.
B. sinx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Sinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.
olmak üzere,C noktasına a + k × 2p ve
D noktasına p – a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.
Bu durumda,
sinx = a nın çözüm kümesi,
olur.
C. tanx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Tanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.
olmak üzere,C noktasına a + k × 2p ve
E noktasına
p + a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.
Her iki açının da tanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.
Tanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan tanx = a nın çözüm kümesi,
D. cotx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Kotanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.
olmak üzere,C noktasına,
a + k × 2p ve
E noktasına,
p + a + k × 2p
reel sayısı karşılık gelir.
Her iki açının da kotanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.
Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan cotx = a nın çözüm kümesi,
Uyarı
Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde, denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine, … , –
1, 0, 1, … tam sayıları yazılarak kökler bulunur. Bu köklerden verilen aralıkta olanları alınır.
Trigonometri (Yunanca trigönon "üçgen" + metron "ölçmek"
), üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinenmatematik dalı.
Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik işlevlerin(fonksiyon) üzerine kurulmuştur
ve günümüzde fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır.
Tarihi
Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı
ögeleri, daha Babillilerve Eski Mısırlılardöneminde biliniyor, Sümerli astronomlar ilk kez bir
çemberi 360 eşit parçaya bölerek açı ölçümünü yaptılar. Eski Yunanlılar Menelaos’un küresel
geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının
kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin
yerine sinüsleri koyup; tanjant,kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler.[kaynak
belirtilmeli]
.
Batıda Nasirettin Tusi’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un üçgen üstüne adlı
eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda
ondalık sayılardan yararlandılar. John Napierlogaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri
trigonometri işlevlerinin ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra
da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern
trigonometrinin temellerini attı.
Trigonometrinin kullanım alanları
Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın
bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır:
jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik
mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı
kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus
bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji...
Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur.
Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda
bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili
incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier
serilerisayesinde trigonometrik işlevler farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu
sayede trigonometri birçok farklı dalda kullanım olanağı bulmuştur. Böylece ısı akışı ve
difüzyon başta olmak üzere özellikle periyodik özellik gösteren kavramların incelendiği
birçok dalda ve fenomende trigonometrik işlevler kullanılabilmiştir; akustik, radyasyon ve
elektronik gibi.