elektromagnetik büyüklüklerin tanımlanması. boyutları. birim

ELEKTROMAGNETİK BÜYÜKLÜKLERİN TANIMLANMASI.
BOYUTLARI. BİRİM SİSTEMLERİ VE BOYUT ANALİZİNİN KULLANILIŞI
YASAR EPSOY
UDK: 621.3.081
ÖZET
Elektromagnetik büyüklüklerin boşlukta ve cisim
içerisinde aynı ilkelerle mantıklı tanımları,
farklı boyut sistemlerinde büyüklüklerin boyutla
rı açıklanıp çıkartılmıştır. Daha sonra, elektro
magnetik büyüklüklerin uluslararası simgelerle
birimlerinin, birimler arasındaki bağıntıların ve
farklı birim sistemlerinde Maxwell denklemlerinin
çizelgeleri yapılmıştır. Elektromagnetik büyük
lüklerin boyutlarının kullanılışı iki örnekle a
çıklanmıştır.
SUMMARY
A logical consistent set of definitions of
e
lectromagnetic guantities in vacuum and material,
dnd their dimensions in different systems of di
mensions are explained and derived. Depending upon
the dimensions of electromagnetic guantities, the
systems of units are set up. Furthermore, the units
of
electromagnetic quantities with their inter
national symbols, the relations between them, and
Maxwell 's eçuations in different systems of units
are tabulated. The use of dimensions of electro
magnetic guantities are explained in two examples.
1.
GÎRÎŞ
Fizik yasaları, çevremizde meydana gelen gerçekle
ri açıklayabilmek için kendimizin tanımladığı ya
da türettiği kavramlar yardımıyla matematiksel o
larak yazılır. Eğer bu kavramlar arasındaki iliş
kiler tam anlaşılmıyorsa, bu yasaların anlamı ek
siktir ya da anlamsızdır diyebiliriz. Bununla be
raber, bu kavramların doğuşu ve geçerli oluşu yi
ne deneysel gerçeklerdir. Böylece yeni bir fizik
sel büyüklük eksiksiz olarak tanımlanacaksa, bu
büyüklüğün nasıl ölçüldüğü, eğer dolaylı bir yolla
ölçülüyorsa, bunu tanımlayan büyüklüklerin nasıl
ölçüldüklerinin bilinmesi gerekmektedir, örneğin,
elektromagnetik büyüklüklerin duran ve hareket
durumundaki cisim içerisinde farklı tanımlanmış
olmaları [ 1,2 ] ve bu büyüklüklerin cisim içeri
sinde ölçülemez oluşları, elektromagnetik büyük
lüklerin sağladığı Maxwell denklemlerinin farklı
görünmesine' yol açmakta ve aynı büyüklüğün farklı
birimlere sahip olabildiği görülmektedir [ 3 J.
Ayrıca özel durumlarda tanımlanan bir büyüklüğün,
genel durumlarda da aynı şekilde kullanılması,
ölçülemeyen büyüklüklerin ana büyüklükler olarak
seçilmesi yanlışlıklardan sayılabilir.
Yaşar Ersoy, öğretim Görevlisi, ODTÜ
Elektrik Mühendisliği 215
Öte yandan fizikte kullanılan sabitlerle değiş
kenlerin birbirlerinden farklı boyutları vardır.
Aynı büyüklüğün birçok boyutu ve birimi vardır.
Bu boyutlar, seçilen temel boyutlara ve fizik bü
yüklükleri kapsayan ana fizik yasalarına bağlı
dırlar [ 4 3 . Örneğin, mekanikteki ana yasalar,
Nevton'un ikinci hareket yasası ve yerçekimi ya
sasıdır; seçilen temel boyutlar ise geometrik, kine
matik ve dinamik büyüklüklerin herbirinden birer
tane almakla mümkün olur. Şöyle ki; uzunluk, za
man, kütle ya da hacim, hız, iş vb.
Böylece
seçilen temel boyutlara ve klasik fiziğin ana ya
salarına göre diğer fiziksel büyüklüklerin boyut
ları türetilir. Eğer fiziksel büyüklüklerin boyut
ları biliniyorsa; unutulan bir formülün doğrulu
ğunu kontrol etmede, boyut analizi ile laboratu
varda değişkenler arasındaki bağıntıların bulunma
sında, denklemlerin boyutsuz duruma getirilmesin
de ve ayrıca birim sistemlerinin düzenli olarak
öğrenilmesi ve birinden öbürüne geçilmesinde ya
rarı olur [ 4,5 ] .
Bu yazıda amacımız, elektromagnetik büyüklüklerin
tanımını verdikten sonra, boyutlarını ve en çok
kullanılan birim sistemlerini sistemli bir biçim
de tanıtmaktır. Ayrıca en çok kullanılan birim
sistemlerinde Maxwell denklemlerini yazıp farklı
lıkları belirlemek ve boyut analizinin nasıl kul
lanıldığını örnekle gösterip tanıtmaktır.
2. ELEKTROMAGNETÎK BÜYÜKLÜKLERİN
TANIMLANMASI
Bir fiziksel kuram matematik büyüklüklerle ilgili
bir küme ve bu büyüklükleri birbirine bağlayan e
şitliktir. Eğer n tane büyüklük ve bu büyüklükler
arasında k tane bağıntı varsa, genel olarak bü
yüklüklerden nk tanesi ya bağımsız olarak tanım
lanmış, ya bir sezgi olarak kalmış, ya da kümenin
tanımlanmamış doğurucu öğeleridir. Buradaki k ta
ne büyüklük kuramsal bağıntılar yardımıyla biçim
sel (formal) olarak tanımlanmışlardır. Eğer nk
tane bağımsız büyüklük tanımlanmamışsa, sonuçta oluşan
kuram soyuttur, örneğin grup kuramı vb. Bununla
beraber, eğer bağımsız büyüklüklerden nk tanesi
dışardan etkiyen fiziksel büyüklükler yardımıyla
epistemik (epistemic) olarak tanımlanmışsa, sonuç
ta tüm büyüklüklerin oluşturduğu küme ve bağıntı
lara fiziksel kuram denir. Örneğin, elektromagne
tik kuramın ana büyüklüklerinden elektrik ve
magnetik alan, mekanik büyüklükler ve deney yar
dımı ile tanımlanırlar. Bu nedenle elektromagne
tik kuram soyut bir kuram olmayıp, fiziksel bir
kuramdır.
Elektromagnetik kuramda, en önemli büyüklükler
hacimsel büyüklükler olan elektrik yükü (q), akım
şiddeti (i), magnetik akı (*); ve yoğun büyüklük
ler olan elektrik yük yoğunluğu (p), elektrik akım
59i
yoğunluğu (J), elektrik alan şiddeti (E), magne
tik akı yoğunluğu (B), elektrik akı yoğunluğu ya
d;| elektrik indüksiyon (D), magnetik alan şiddeti
(H), polarizasyon (P) ve magnetizasyon (M)dir. Bu
büyüklükler genel olarak yerin ve zamanın işlevi
dirler. Hacimsel büyüklükler epistemik olarak ta
nımlanabilirler ve yoğun büyüklükler biçimsel ta
nımlara bağlıdırlar. Bununla birlikte, özel du
rumlarda yoğun büyüklükler de epistemik^olarak
tanımlanabilirler. Örneğin, t , B , 5 ve H boşluk
ta, p, J, M ve P ise cismin her noktasında aynı
ise tanımlanırlar.
Uluslararası Elektroteknik Komisyonu'na (Interna
tional Electrotechnical Commission, IEC) bağlı
komitelerden bazıları uluslararası elektroteknik
terimler üzerinde çalışmakta ve büyüklükleri ta
nımlamaktadırlar. Şimdi elektromagnetik büyüklük
lerin ne şekilde tanımlandıklarını görelim:
1. Elektrik yükü "boşlukta", r noktasında bulu
nan q yüküne, r' noktasında bulunan q' yükünün
etkidiği kuvvet F(r),
rM
3
(rr')
(1)
olan Coulomb yasası Lle tanımlanır. (1) denklemin
deki kj değişmez bir sayıdır. (*)
2. t ve § "boşlukta", birim hacimdeki Coulomb Lorentz yasası
?=p? + JxS
(2)
ile tanımlanır. (2) denkleminde?nin tanımında
birim hacimdeki sınama yükü p ve 3 nin tanımında
akım ilmiği (currentloop) kullanılır. Deney sıra
sında bu büyüklükler için boşlukta kullanılan ba
ğıntılar
v'S = 0
VxE* = (3)
35
(4)
olduğu için J+ —rr nin bir vektör potansiyelden
türetilebileceği a n l a ş ı l ı r . Bu nedenle H
(8)
diferansiyel denklemi (Ampere yasasının Maxwell
tarafından değiştirilmiş durumu) ile kapalı ola
rak tanımlanır. Tekrar (8) denkleminin H için çö
zümünde teklik koşulu çözüme yeni sınıtlamalar
getirir.
(58) denklemlerinden, H nin gerçekte elektrik a
kım dağılımından meydana gelen ve temelde magne
tizma ile ilgisi olmayan bir vektör potansiyel
olduğu anlaşılır. Bu nedenle tanımlarda 3 tane
mantığa uyaıı ayırım görülür: Biri H ve 5 çiftinin,
öbürü t ve 8 çiftinin tanımıdır. Üçüncüsü ise fi
şimden cisime değişen bünye denklemlerindeki e
lektrik ve magnetik geçirgenliklerdir.
Eğer t ve p verilmişse ît, B ve H, D nin tanımları
ortak değildirler. Gerçekte^j ve p bilinmeyen bü
yüklüklerdir, fakat j nin, E nin Ohm yasası
j = oit
ile azalmayan tek değerli işlevi olduğu varsayı
lır. Daha sonra (36, 89) denklemleri gözönüne
alınırsa, elde 3 tane vektör, 3 tane skalar, 12
tane birbirinden bağımsız olmayan denklem ve 4
ter«si vektör olmak üzere 12 tane bilinmeyen var
dır.
4. Maxwell denklemleri, (3,i,6,8) denklemleri
"boşlukta" deneysel olarak sağlanırlar.
Boşlukta soyutlanmış elektrik yükü durgun, yani
zamanla değişmeyen E yi ve boşlukta soyutlanmış
akım taşıyan £elde durgun B yi oluşturur. Oluşan
alanlar D ve H için (6) va (8) diferansiyel denk
lemlerini sıjğlar|ar. Çöylece boşlukta ve durgun
halde D ve H yi E ve B ile orantılı olarak serbest
çe tanımlayabiliriz.
dir. Böylece E ve S nin cisim içerisindeki tanımın
da (3) ve (4) denklemlerinin her noktada sağlan
ması gerekmektedir. (4) denklemi Faraday yasası
olarak bilinir ve (3) denkleminin anlamı da magne
tik yüklerin olmadığıdır.
3. S ve H "boşlukta", diferansiyel denklemler
yardımıyla tanımlanır. Bu büyüklükler elektrik
yükünün korunumu ilkesi
Mff.o
ve D
(5)
(9)
(10)
1
(11)
"o
(10) ve (11) denklemlerindeki (') işareti, büyük
lüklerin durgun değerlerini, alttaki (b) ise boş
luktaki değerlerini göstermektedir. Son iki denk
lem, büyüklüklerin zamanla değişmesi durumunda da
doğrudur. Bu genelleştirme (3) denkleminin
için her zaman çözümü olan Gauss denklemi
'Hb
ile kapalı olarak tanımlanabilir. (6) denkleminin
çözümünün tekliğini sonra gözönüne alacağız ve
(5) denklemi (6) denkleminin yardımıyla
(12)
=
olmasını gerektirir; ve bulada H ye uygun vıj> kat
makla, (8) denklemini etkilemediği kolaylıkla an
laşılır. Bir başka genelleştirme ise (4) ve (10)
denklemleri yardımıyla (boşlukta T=0)
4
(7)
yazılabilir. Bir vektörün rot'unun div'i sıfır
dir. (4) denkleminden yararlanarak
(*)
592
Tanımların kolaylıkla anlaşılır olması için,
bu kısımda değişmezlerin rasyonel m k s A bi
rim sistemindeki değerini yazarak kullanaca
ğız ve daha sonraki bölümde bu durumu açıkla
yacağız.
n2
=
0
(14.a)
Elektrik Mühendisliği 215
*
3t
yazılır. cQ
Mo
=
olup, E ve S
=
°
14
( b)
ışığın boşluktaki hızı olmak üzere
1
(14.c)
Böylece, boşlukta E^ve B^yi açıkça tanımlarken,
bunlar yardımı ile D ve H yi de tanımlamak mümkün
olmaktadır. Cisim içerisinde ise bu büyüklüklerin
tanımlanması için ayrıca Maxwell denklemleri ve
sınır koşullarına gerek vardır. Cisim için çoğu
zaman, P ve M ile gösterilen iki yardımcı büyük
lük tanımlanır (*).
(14) denklemini sağlar.
5. Cisim içerisinde elektrik ve magnetik alanlar
doğrudan doğruya ölçülemezler, fakat varlıkları
cismin çevresindeki alanlar yardımıyla anlaşılır.
Cisim boşlukta bir yere konmadan önce bir noktada
var olan alan, cisim konduktan sonra azalma ya da
artma şeklinde bir değişikliğe uğrar.
6. Cisim içerisinde t, B, D ve H arasındaki bağın
tılar yereldir. Bu bağıntılar, her noktada değiş
tiği gibi, her yönde de değişebilir. Ayrıca bu
büyüklükler arasındaki bağıntı doğrusal olabildi
ği gibi, doğrusal olmayabilir de. Bunlara ek ola
rak geçmişteki olaylar da büyüklükler arasındaki
bağıntılara etki eder. Bu bağıntılar cisimden ci
sime değişir ve aralarındaki bağıntılar deneyler
den yararlanarak ampirik olarak ya da sürekli or
tamlar kuramının aksiyomları kullanılarak buluna
bilir [ 6 ] .
7. t, B, D ve H cisim içerisinde ve cismin dışın
da Maxwell denklemlerini, cisimle çevresi arasın
da ise sınır koşullarını sağlarlar. Stoke ve Gauss
teoremlerinin Maxwel^ denklemlerine uygulanmasıyla
ve sonlu E, B, 0 ve ti değerleri için aşağıdaki
sınır koşulları elde edilir, n cismin yüzeyine
dik birim vektör olmak üzere
x n = 0
(15)
M • n = 0
(16)
M x n = Js
(17)
(18)
dir. Burada [£ ]] simgesi, içindeki büyüklüğün
cisim dışında ve cisim içerisindeki farkını, Js
yüzeysel akım şiddeti yoğunluğunu, us ise yüzey
sel elektrik yükü yoğunluğunu göstermektedir.
Cismin içerisinde elektrik ve magnetik alan ta
nımlanmak istendiğinde, cisim içerisinde düşünü
len içerisi boş olan küçük kovukların kenarların
da bu sınır koşullarının sağlanması istenir. Ci
sim tam yalıtkansa u s =0 dır ve (18) denklemi daha
çok bu durum için kullanılır. Bu arada, bu sınır
koşulları cisim içerisinde ve dışında elektromag
netik büyüklükler farklı olduğu için cismin özel
likleri hakkında bilgi edinmek için de kullanılır.
Örneğin, disk şeklindeki örnek bir cisim üzerinde
ki ooS yardına ile 5 ile E arasındaki bağıntı, ibre seki
linde bir çisim üzerindeki Js yardımı ile de B ile H
arasındaki bağıntılar hakkında bilgi edinilir.
9. Cisim içerisindeki ?, 5, 3 ve H arasındaki ba
ğıntılar (bünye denklemleri) basit fiziksel kısıt
lamalarla denklemlerin çözümünün tek olmasını ga
rantiler.
Elektrik Mühendisliği 215
X? E B ^ f
(19)
X'M E ^6H
(20)
(19) ve (20) denklemlerinde, rasyonel birim sis
teminde X=X'= 1 ve rasyonel olmayan birim sistem
lerinde X=X' =4ır dir.
3.
ELEKTROMAGNETÎK BÜYÜKLÜKLERİN B O Y U T LARI
Elektromagnetik büyüklüklerin boyutlarını, mekanik
büyüklüklerin boyutlarından yararlanmadan belir
lemek, ya da elektromagnetik büyüklüklerin boyut
larını, yalnız mekanik büyüklükler için seçilen
temel boyutlar cinsinden pratikte yazmak mümkün
değildir. Bu nedenle, mekanikte seçilen uzunluk,
kütle ve zaman büyüklüklerinin boyutlarına ek o
larak, hacimsel büyüklüklerden ya da yoğun büyük
lüklerden herhangi birinin seçilmesi, veya D ile
£ yi, g ile ft yi birbirine bağlayan dielektrik
sabiti (elektrik geçirgenlik) e ve magnetik sa
bit (geçirgenlik) u den birinin seçilmesi ile e
lektromagnetik büyüklüklerin boyutları elde edi
lir. Bir seçim yapıldıktan sonra elektromagnetik
kuramın ana büyüklüklerinin ve türetilen büyük
lüklerin boyutları, seçilen temel büyüklüklerin
boyutlarına ve elektromagnetik kuramın temel ya
salarına bağlıdır. Seçilen temel büyüklük genel
likle elektrik yükü (q) ya da akım şiddeti (I),
dielektrik sabiti (elektrik geçirgenlik, e) ve
magnetik sabit (geçirgenlik, u) dir. Temel yasa
lar olarak da 2. bölümde verdiğimiz yasalar alı
nır. Doğaldır ki mekanik büyüklükler için yukar
daki seçimin dışında, başka büyüklükleri seçmek
mümkündür [ 4] ve buna göre de elektromagnetik
büyüklüklerin boyutları değişecektir.
Bir fiziksel büyüklüğün boyutunu gösterirken bu
büyüklüğü köşeli ayraj^içinde göstereceğiz, örne
ğin, hızın boyutunu £v J biçiminde göstereceğiz.
Vektörel büyüklüklerin boyutunu yazarken bazı ko
laylıklar sağlaması için bu büyüklükleri de ska
lar gibi kabul edeceğiz. (**) Bir büyüklüğün boyu
(*) Bu tanım Giorgi^Sommerfe^ld tanımıdır/ Giorgi
Kennelly ise X'M = B ~ v H seklinde tanımlamak
tadır. [_ 3 ]. Öbür tanımlar Çizelge 4'de gö
rülmektedir.
(**) Gerçekte vektör büyüklüklerinin boyutları bu
büyüklüğün doğrultusundaki yer vektörünün bo
yutuna göre yazılır. Eğer doğrultu bilinmiyor
sa, Dekart (karteziyen) koordinat sisteminde
yer vektörünün boyutu (Lx Ly Lz)5 dür. Ayrıca
kütleyi de"eylemsizlik ve gravitasyon kütlele
rinin boyutları olarak ayrı ayrı yazmak müm
kündür. Bu durumda bir büyüklüğün boyutunun
karışık görünmesine rağmen, boyut analizi île
problem çözülürken denklem sayısında bir art
ma yaptığı için tercih edilir. Fakat bu, bü
yüklüğün bir birim sistemindeki birimini de
ğiştirmez.
593
tunu bulurken, bir sistem içerisinde her fiziksel
büyüklüğün bir boyutu olduğunu ve aynı boyuttaki
büyüklüklerin toplanabileceğini gözönüne alırız;
büyüklüklerin tanımından ve fizik yasalarından
yararlanarak boyutları buluruz.
Örneğin ,
L V ]=[ uzunluk ] [ zaman J"1 . Aynı şekilde türev
ve integrallerin tanımından boyutlarını bulmak
mümkündür:
Uzunluk, kütle ve zamanın boyutlarını L, M ve T
ile gösterir ve elektromagnetizma içinde temel
büyüklük elektrik yükü q alınır ve [q] = Q ile
gösterilirse, elektromagnetik büyüklüklerin boyutları,
(5) denkleminde her terimin aynı boyuta sahip
olması (toplanabilmesi için) gerektiğinden.
[at]
[î] = L"2TQ
olur. Aynı şekilde (2) denkleminden! veJ3 nin, (6)
denkleminden 3 nin, (8) denkleminden H nin, (9)
denkleminden o nin, (10) denkleminden e0 in, (11)
denkleminden u0 in; (19) ve (20) denklemlerinden
de P ve M nin l'nci çizelgede gösterilen boyutları
elde edilir. Ayrıca bilinen tanımlardan öbür e
lektromagnetik büyüklüklerin boyutları kolaylıkla
bulunur. Bu durumda (1) denklemindeki ki boyutlu
bir sabittir ve
ı
= L 3 MT 2n2
dir.
Eğer elektrik yükü değil de dielektrik sabiti te
mel boyut seçilseydi, (1) denklemi skalar olarak
F =
gq.'
T
(rr
(21)
1
yazılır ve buradan
[q]=[q']= L* M* T " 1 e±
bulunurdu. Benzer şekilde, önceki bağıntılar kul
lanılarak l'nci çizelgede gösterilen boyutlar el
de edilir. Eğer magnetik sabit temel boyut seçil
seydi, Coulomb yasası magnetik kutup şiddetleri
m ve m' için
(22)
F =
(rr')
y a z ı l ı r ve buradan
(23)
elde edilir, öteki
den [ H ]= L ^ M ^ T " 1 u~ 2
büyüklüklerin boyutları Çizelge l'de görülmekte
dir.
Benzer şekilde I akım şiddetinin temel boyutunu,
U da potansiyel farkının boyutunu göstermek üzere
LMTI ve LTUI boyut sistemlerini tanımlamak ve Çi
zelge l'deki büyüklüklerin boyutunu elde etmek
mümkündür. Örneğin, LMTI sisteminde
[?]=
3
1
, [ e ]=L" M~ T"*I
2
ve aynı
1
büyüklükler LTUI s i s t e m i n d e i s e [ t "1 = L" U ,
[e] = LİTUl dir.
L
J
Son durumda, iki elektromagnetik temel boyut ve
mekanik büyüklüklerden de kütlenin boyutu alın
maksızın elektromagnetik büyüklüklerin boyutu el
de edilmiştir. Bu tarzda tanımlanacak sistemlerde
ki elektromagnetik büyüklüklerin boyutları, sistem
li bir şekilde birim sistemlerini açıklamakta ve
kullanmakta(*),boyut analizi ile problem çözmekte
ve denklemleri boyutsuz duruma sokmakta kullanı
lır. Herbirinin öbürüne göre sağladığı üstünlük
ler olduğu gibi, sakıncalar da vardır. En yaygın
olanı ve pratikte kullanılanı LMTQ ya da LMTI
dır. Bu arada elektrostatik problemler içinLMTc,
magnetostatik için de LMTu sisteminin yeğ tu
tulduğu ve özellikle birim sistemlerinin çıkartı
lışında kullanıldığını belirtmek gerekir.
4. E L E K T R O M A G N E T İ K B Î R İ M S İ S T E M L E R İ
Elektrik ve magnetizma konuları ile ilgili birim
lerin hem karışık, hem de şaşırtıcı bir geçmişi
vardır. Uzun yıllar kavramların nasıl tanımlana
cağı, hangi birim sisteminin kullanılacağı, eğer
farklı sistemler kullanılıyorsa birinden ötekine
nasıl geçileceği birçok fizikçi ve mühendisi uğ
raştırmıştır. özellikle 1960'dan önce yazılan ki
taplarda ve araştırmalarda, şu an yapılan bazı
kuramsal araştırmalarda bile birbirlerinden fark
lı birim sistemleri kullanıldığı için bildiğimiz
fizik yasasının bazı terimlerinde bize yabancı
gelen bazı birimli ya da bir imsiz katsayılar gö
zükür. Kullanılan birim sistemi mekanik ve termo
dinamikli birim sistemlerine benzemiyorsa, bu
durum, denklemin gerisinde yatan fiziksel gerçe
ğin anlaşılmasında daha da
şaşırtıcı olmak
tadır. (**) Şimdi yeni yazılan kitaplarda u
<.*)Pratxk amaçlar için elektrik mühendisliğinde
kullanılmakta olan msVA (metre, saniye, volt,
ampere) birim sistemi, LTUI boyut sistemine
dayanır. Gerçekte, kütlenin boyutunu enerji
boyutu cinsinden (ve [enerji] = VI olduğun
dan; yazmak mümkündür. Bu, bir anlamda görelik
2
kurammdaki enerji = mco dir.
2
[m] = [m1] = L* M± T "
1
elde edilir ve daha sonra da H nin tanımı için
kullanılan
594
H=
{**)Göreliklikuantum alan kuramı ve öğesel (eleman
ter tanecikler kuramı ile uğraşan fizikçiler,
iki evrensel değişmez olan Plank değişmezi
34
h6,6256 + 0,0005 x 10~ Js ve ışığın boşluktaki
8
hızı CQ^2,997925 + 0,000003 x 10 m/s yi boyutsuz
ve miktarını da 1 olarak kabul edip kullanır
lar. Oluşan birim sisteminde bir tane birim
vardır ve o da genellikle uzunluk birimi ca dir.
Elektrik Mühendisliği 215
luslararası birim sistemi kullanılıyorsa da,
eski klasik kitaplar ve yeni araştırmaların bir
bölüğünde bu durum devam etmektedir. Bu neden
ledir ki, bu yazıda, bu konuyu aydınlığa kavuş
turmak, birim sistemlerini ve bu birim sistemle
rinde kullanılan birimleri uluslararası simgeler
le tanıtmak, kullandığımız birim sisteminin ne
olduğunu daha iyi açıklayabilmek amacımız olmuş
Elektromagnetik kuramdaki büyüklükler için kulla
nılan çeşitli birimler ve bu birimler cinsinden
yazılan elektromagnetik kuramın yasaları ilk ba
kışta oldukça karışık ve şaşırtıcıdır. Bu karışık
lığın ve şaşırtıcılığm sebebi elektromagnetik
kuramda seçilen temel boyutlar, temel yasaların
seçimi ve temel boyutların ölçüldüğü birimlerdir.
Bu nedenledir ki eğer büyüklüklerin boyutları bi
liniyorsa ve bir birim sistemi tam öğrenilmişse
diğerlerine geçiş oldukça kolaydır. Unutulmaması
gereken noktalardan biri, bir büyüklüğün belli bir
boyut sisteminde bir tane boyutu varken, birçok
biriminin olabileceğidir.örneğin, LMTQ sisteminde
2
2
erg ,
enerjinin boyutu L MT~ iken, birimleri
joule, kWh vb. olabilir. Bir başka önemli nokta
da, bir büyüklüğün şiddetinin birimi ile ters o
rantılı olduğudur.
Elektromagnetik büyüklüklerle ilgili formüller
yazılırken iki eğilim görülür. Birinde bazı terim
lerin önünde 4w gibi bir katsayı olurken, diğe
rinde 4ır değişmezi yoktur. Bu durum herneka
dar büyüklüklerin boyutunu etkilemezse de, birim
lerini değiştirir. Eğer hareketsiz duran elektrik
yükleri için yazılan Coulomb yasası ve akım taşı
yan tel için Ampere yasasında 4TT yazılmışsa bu
sisteme rasyonel, yazılmamışsa bu sisteme rasyo
nel olmayan birim sistemi denir. Böylece se
çilen temel boyutlar ne olursa olsun, yani is
ter LMTQ, LMTI, LMTe, LMTy ve diğerleri, herbiri
için rasyonel ve rasyonel olmayan birim sistemle
ri tanımlanıp, büyüklükler için birimler türeti
lebilir.
rüldü. Temel mekanik boyutları için m, kg, s ve
elektrik yükü için de Coulomb (C)un birim seçil
mesi ile, elektromagnetik büyüklüklerin birimle
rini hem rasyonel, hem de rasyonel olmayacak şe
kilde tanımlamak ve formülleri yazmak mümkündür.
Fakat rasyonel olmayan sistem kullanılmadığı için
biz yalnız rasyonel sistemi inceleyeceğiz. Pratik
te elektrik yükünün C olarak ölçülmesinden çok a
kım şiddeti Ampere (A) olarak ölçüldüğünden ve
1C=1As olduğundan m k s A (metre, kilogram, sa
niye, Ampere) birimlerinden oluşan rasyonel birim
sistemine Giorgi birim sistemi denir (*). 1960 yı
lında toplanan uluslararası bir kongrede, m kg s A
birimlerine, termodinamik sıcaklık birimi Kelvin
(K), ışık şiddeti birimi olarak mum (cd)un eklen
mesi ile Uluslararası Birim Sistemi (Systeme In
ternational d'Un i t es SI) oluşmuştur[ 8 J.
Çizelge l'den yararlanarak, elektromagnetik büyük
lüklerin birimleri Çizelge 2'de uluslararası sim
geleri ile görülmektedir [ 7 J. Bu sistemde bi
rimli iki değişmez olup, bunlar e 0 v e V o d ^ r v e
(14.c) denklemini sağlarlar.
4.2. Elektrostatik (es) ve Elektromagnetik
(em) cgs Birim Sistemleri
Mutlak es cgs ve mutlak em cgs birim sistemleri
birbirinden bağımsız durgun elektrik ve durgun
magnetizma için oluşturulmuş en uygun birim sis
temleridir. Başlangıçta elektrik ve magnetizma,
birbirinden ayrı fizik olayları olarak biliniyor
du. Şimdi de elektromagnetik kuram öğretilirken
aynı tarihsel gelişim izlenirse bu sistemlerin
kullanılışı hesaplama bakımından kolaylıklar sağ
lar. Şöyle ki: Durgun elektrikteki büyüklüklerin
birimlerini, Coulomb yasasındaki boşluğun dielek
trik sabitini 1 alarak, santimetregramsaniye
(cm g s) cins inden elde etmek mümkündür. Aynı şekil
de magnetik kutup şiddetleri için yazılan Coulomb
yasasında boşluğun magnetik sabitini 1 alarak,
magnetizmadaki büyüklüklerin birimlerini c m g s
cinsinden elde etmek mümkündür. Diğer taraftan bu
iki fiziksel olaydaki büyüklüklerden ikisi, k2
değişmez olmak üzere Ampere yasası
H «ds = k 2 i
Burada elektromagnetik kuram için yukardaki boyut
sistemlerinden çıkartılabilecek bütün elektromag
netik birim sistemlerini değil, pratikte ve ders
kitaplarında en çok kullanılan uluslararası birim
sistemi ile, sürekli yayınlarda çıkan kuramsal ve
deneysel araştırmalarda kullanılan birim sistemle
rinin doğuşunu ve ötekilerle ilişkisini inceleye
ceğiz. Eğer LMTQ temel boyut seçilmişse, mekanik
bUyUklükler için temel birimlerin metre (m), ki
logram (kg) ve saniye (s)nin genellikle seçilmesi,
eğer LMTe ve LMTu temel boyut seçilmişse mekanik
büyüklükler için, santimetre (cm), gram (g) ve
(s)nin genellikle seçilmesi kullanılan birim sis
temlerinin sayısını azaltır. Aksi halde, örneğin
foot (ft), pound (lb) gibi, ingilizlerin kul
lanmış oldukları mekanik birimler de gözönüne a
lınırsa bu sayı daha da artacaktır.
4.1. Giorgi (ve SI) Birim Sistemi
Elektromagnetik büyüklüklerin LMTQ boyut siste
mindeki boyutlarının elde edilişi 3.bölümde gö
Elektrik Mühendisliği 215
(24)
ile birbirlerine bağlıdırlar. Bu durumda, örneğin
akım şiddeti için her iki birim sisteminde bulu
nan birimler
(''elektrik = cm? gi s" 2
(25.a)
(*)ölçmede birimlerin kullanılmasının ve birim
sistemlerinin oluşum tarihi eskidir. Burada ta
rihinden söz etmek uzun olacağı için, bu konu
ile ilgili kısaca şunları söylemekte yarar
vardır. Prof. Giorgi 1903 yılında mekanikte
kullanılmakta olan m kg s birim sistemi ile e
lektromagnetizmadan seçtiği dördüncü büyüklüğün
birimini {boşluğun magnetik sabiti (geçirgen
liği) 4^ x10~7 birim) birleştirerek,
oluşan
sistemi pratikte kullanılır duruma sokmuştur.
1935 yılında IEC'nin yaptığı toplantıda ise
Giorgi'nin önerisi benimsenmiş ve bu öneri 1948
yılında toplanan uluslararası, ağırlık ve ölçme
lerle ilgili konferansa getirilmiştir. Böylece
1950 yılında mkgs ye ek olarak A in de akım
şiddeti birimi olması kararlaştırılmıştır.
595
ELEKTROMAGNETÎK
BÜYÜKLÜKLER
* 0 Y U T
S Î S T E M L E R İ
SÎMGESÎ
LHTQ
LMTe
elektrik
yükü
q
Q
L M*T"le*
akım şiddeti
t
elektrik
alan şiddeti
t
LMT2Ç1
magnetik akı
yoğunluğu
5
L" Q
magnetik alan
şiddeti
iî
L" TİQ
elektrik akım
yoğunluğu
T
L" 2 TQ
dielektrik
sabiti
e
L" 3 MİT 2 Q2
magnetik
sabit
V
LMQ"2
L*M*T^ ,*
2
ı
L*M*T" 2 .*
E
L 2 TV 1
L 2 T 2 u X
u
fi
elektrik skalar
potansiyel
L 2 MT" 2 (? 1
LVT»U*
LMT^Ç" 1
L*M*T" u*
magnetik vektör
potansiyel
A
magnetik
kutup şiddeti
m
sığa
C
L^M 1 ^ 2
direnç
R
L 2 MT" 1 Q" 2
özindüksiyon
L
•e
magnetik akı
LİMİT"1e"*
L 2 Q
polarizasyon
magnetizasyon
l
L*M*«*
elektrik akı
yoğunluğu
LMTu
L 2 MQ" 2
l^MT" 1 !?" 1
Çizelge 1. Ble/ctromagneti/c Büyüklüklerin Boyutları
1
Le
L^Te"1
LT^u
L"xT2en
L Vî" 1 U *
ELEKTROMAGNETIK
BÜYÜKLÜKLER
SİM
GESİ
elektrik
yükü
q
akım şiddeti
I
B İ R İ M
S İ S T E M L E R İ
G i o r g i ( m k s A)
es cgs
em cgs
statC (stC)
Coulomb (C)
abC
Franklin (Fr)
As
1 C = 2,99810 9 stC
stC
= İO"1 abC
Bi s
9
abA
stA
Ampere (A)
Birimler Arasındaki
Bağıntılar
Gauss
1 A = 2,99810 stA
1
= İO" abA
stA
Biot(Bi)
elektrik
alan şiddeti
1
Nevton C* (NC" )
stV cm
• Vm<
elektrik akı
yoğunluğu
5
Cm"
dielektrik
s ab it
e
Fm"
magnetik akı
yoğunluğu
S
2
stC cm"2
1
em birim
1
abV cm"
stV
em birim
stC
cm"
1
5
İVm"
6
=10 em birim
—2
cm
2
5
m"2
Wb
es birim
cm 2 s 2
es birim
Gauss(Gs)
2
Mx cm"
Gs
es birim
Oersted(Oe)
Oe
cm 2 s 2
em birim
T e s l a (T)
Am"1
magnetik
alan şiddeti
es birim
u
lFm" =l,129'10 es birim
ıo
2 2
= l,25710 cm" s
1 T = 3,33610" 7 es birim
= İO" Gs
Lenz (Lz)
lAm^3,76610 8 es birim
=1,257•10"20e
lHrn n =8,8910" ı6 cm 2 s 2
magnetik
geçirgenlik
u
elektrik
potansiyel
u
Volt (V)
StV
abV
stV
1 V = 3,33610" 3 stV
= İO8 abV
direnç
R
Ohm (Cl)
sta
abC!
stn
1 » = l,11310" ı 2 stf!
= İO9 abn
sığa
C
Farad (F)
abF
stF
Hm"
1
em b irim
L
Henry (H)
stF
gtH
abH
stH
cm
magnetik akı
*
elektrik
iletkenlik
G
polarizasyon
?
Heber (Wb)
es birim
Siemens ( S )
s t mho
n"
1
Cm"
2
fi
Am"
Mx
Maxwell(Mx)
1 F = 8.98710
11
stF
= 10" 9 abF
1 H = l,113'10" ı 2 stH
9
= İÖ abH
lWb = 3,336I0" u e8 birim
= İO8 Mx
11
ab
st mho
mho
1 S = 8.9881O st mho
9
= 10" ab mhd
dipol moment
4ı ıı vj momGnt
cm3
magnetizasyon
5
=7,9810 em birim
cm
Bzindüksiypn
2
lCm" =3,33610" stC cm"
=10 6 em birim
ı
1
1
=3,33610" stV cm"
magnetik
moment
1
cm3
magnetik
moment
cm3
cm3
Çizelge 2. Elektromagnetik Büyüklüklerin Birimleri ve Birimlerin Oranları
1
(i)magnetik = emi gi s"
(25.b)
olup, birbirlerinden farklıdırlar. Bu örnekte ol
duğu gibi bütün büyüklüklerin es ve em birimleri
bulunur ve bu birimlerin oranları alınırsa, bu o
ranların cm/s nin *1 ve *2 ci kuvvetleri olduğu
görülür. Bu durum "aynı iki fiziksel büyüklüğün
oranı, değişmez ve bir imsiz bir sayıdan başka bir
şey olamaz" aksiyomunu bozar. Bundan başka, örne
ğin aynı akım şiddetini her iki birimde ölçen am
permetreler yapılsa göstergelerin 1 'e yakın olma
10
sından çok 1/(3'1Q ) kadar olduğu görülür. Böyle
ce iki birim sistemindeki birimlerin oranı ve bu
oranın sayısal değeri bakımından bu iki sistem
bir arada anlamlı olmazlar. 0 halde elektromagne
tik büyüklükler mekanikteki c m g s birimleri kul
lanılarak ele «lınacaksa aşağıdaki yollardan bi
rinin seçilmesi gerekir.
Elektrik Mühendisliği 215
a. Mutlak elektrostatik cgs ve mutlak elektromag
netik cgs birim sistemleri:(*)
Bu iki sistem eskiden kullanılan ve oldukça
şaşırtıcı birim sistemleridir. Çünkü elek
trostatik cgs birim sisteminde cismin elektrik
geçirgenliğinin boyutsuz ve böylece birimsiz ka
bul edilmesi sonucunda elektromagnetik büyüklük
lerin hepsinin birimi cm, g ve s cinsinden elde
(*)Kitaplarda kullanılmakta olan es cgs ve em cgs
birim sistemleri eski ve yeni durumu ile kulla
nılırken isim karışıklığı olmaktadır. Buradaki
"mutlak" dey iminin anlamı elektromagnetik büyük
lükler için yalnız cm, g ve s nin alınması ile
oluştuğudur ve öbürü ile karıştırılmaması için
kullanılır.
597
ELEKTROMAGNETÎK
BÜYÜKLÜKLER
StMGESt
BİRİK SİSTEMLERİ
es cgs
em cgs
1
elektrik yükü
q
cmVs
akım şiddeti
i
cm g s ~
elektrik
alan şiddeti
t
cm~ ? g2s~ 1
elektrik akı
yoğunluğu
dielektrik
sabit
cnT^g^s""
e=D/E
magnetik akı
yoğunluğu
magnetik
alan şiddeti
magnetik
sabit
fi.
U=B/H
2
1
1
cmigi
1
cm s "
cm^g^s"
1
1
cm s""
1
cm2g2s~2
cm" s
cm~*g^
cm s " 1
cm 2 s~ 2
cm * s ^
İgîs~l
cm~*gi
cm
cmigzs"2
cmTîgis" 1
CHTV
es birim
em birim
1
cm" s
cm s " 1
2
1
cm s
cmîgis" 2
cm"1 s
2
potansiyel
farkı
u
sığa
C
direnç
R
cm" s
özindüksiyon
L
cm"1s2
cm
cm2s2
magnetik akı
*
cm*g*
cm^g^s" 1
cm s
magnetik
kutup şiddeti
m
cm 5 g 5
cm^g^s" 1
cm"1 s
cm^gzs 1
cm 2 g 2
elektrik akı
cmigîs"1
cm
1
cm" s
1
2
cm s~
cm s "
1
cm s
1 1
2
2
2
2
cm s ı
çizelge 3. Mutlak es cgs ve Mutlak em cgs Birim Sistemlerindeki
Büyüklüklerin Birimleri ve Oranları
*•
BİRİM SİSTEMLERİ
elektrostatik
cgs
elektromagnetik
cgs
Gauss (cgs)
»•
D, H
D=E+4ıTP
1
1
c
1
o
2
2
H=C0 B4TTM
1
1
MAXWELL DENKLEMLERİ
V5=4ırp,
Lorentz
kuvveti
(birim
yük için)
*
VxH=4nj"+ | r
?+vx5
vx£+ | f = o, vS=o
D= r ^ î + 4 7 1 ^
'o
$D=4iTp, VxH=4ırî+fr
tf=S4ırf4
^ ? + | | = o . $S=o
ot
1
fî=S47rft
LorentzHeavis ide
(cgs)
34+?
1
1
^ £ + J l f =0, ?.3=0
Û=3M
'"o
Giorgi
(rasyonel m k s A)
10
f r 3 p ,f c d W +| |
7
4wc 0 2
Mi"*
3 t
7
4wx10~
tf= L 5M"
î+VxS
$x?+ || =0, $S=0
dX
fizelge 4. Maxwell Denklemlerinin Çeşitli Birim Sistemlerinde Yazılışı
Edilir. Büyüklüklerin mutlak es cgs birim siste
mindeki birimleri Çizelge 3'de görülmektedir. Ay
ıı şekilde elektromagnetik cgs birim sisteminde
:ismin magnetik sabiti (geçirgenliğinin boyutsuz
ye birimsiz varsayılması sonucunda, elektromagne—
tik büyüklüklerin hepsinin birimi cm, g ve s cin
sinden elde edilmektedir* Büyüklüklerin mutlak em
;gs birim sistemindeki birimleri ve birimlerin
iki sistemdeki oranı Çizelge 3'de görülmektedir.
3. es cgs ve em cgs birim sistemleri:
3u birim sistemleri, LMÎ boy utlarına elektrik büyüklük
Lerden yada magnetik büyüklüklerden dördüncü bir
joyut seçimi ile oluşmuştur, es cgs birim sistemi
MTE, em cgs birim sistemi de LMTu boyutları ile
ilgilidirler. Bu nedenle önceki bölümde olduğu
?ibi ne e, ne de V birimsiz değildirler. Giorgi
jirim sistemine benzer tarzda, e ve V için temel
sirim değil de, es cgs birim sisteminde elektrik
rükû için, em cgs birim sisteminde akım şiddeti
Lçin cm, g ve s ye ek olarak dördüncü birim seçi
lir, es cgs birim sisteminde elektrik yükünün bi
rimi statCoulomb (stC) ya da eşdeğerdeki Franklin
[Fr)dir (oysa mutlak es cgs birim sisteminde y^k
1
birimi emi gi s" dir). em cgs birim sisteminde
akım şiddetinin birimi abAmpere (abA) ya da eşde
ğerdeki Biot (Bi)dur (oysa mutlak em cgs birim
sisteminde akım şiddeti birimi emi gi s"1 dir).
3bür büyüklüklerin her iki birim sistemindeki bi
Elektrik Mühendisliği 215
rimleri Çizelge 2'de görülmektedir. Çizelgenin
fazla karışık olmaması için öteki büyüklüklerin
1
birimleri , temel birimlerin biri cinsinden veril
miştir. Bu birimlerin kolaylıkla eşdeğerleri bu
lunabilir. Bu iki birim sisteminde bir büyüklüğün
n
oranı c o (n=±l, *2)dir.
c. Gauss ve LorentzHeaviside Birim Sistemleri:
mksA (Giorgi) birim sistemi kadar çok kullanılan
bir başka birim sistemi de, Gauss birim sistemi
dir. Giorgi birim sistemi makroskopik cisimler i
çin ne kadar uygunsa, Gauss ve LorentzHeaviside
birim sistemi de mikroskopik cisimler için uygun
dur. Gauss birim sistemi, rasyonel olmayacak şe
kilde Coulomb ve Ampere yasalarının yazılmaları,
es cgs ve em cgs birim sistemlerinden ortaklaşa
seçilen birimlerle oluşturulur. Büyüklüklerin Ga
uss birim sistemindeki birimleri Çizelge 2'de,
Maxwell denklemleri ise Çizelge A'de görülmekte
dir. Eğâi Coulomb yasaları ve Ampere yasası ilk
önce rasyonel yapılıp, sonra es cgs ve em cgs bi
rim sistemleri birleştirilirse, LorentzHeaviside
birim sistemi cüretilmiş olur.
Bu bölümde ele alınan birim sistemlerinde yazıla
cak Maxwell denklemleri, birim elektrik yükü üze
rine etki eden Lorentz kuvvetinin görünüşü bakımın
dan birbirlerinden farklıdırlar, çizelge 4'de bu
denklemler bir arada görülmektedirler [ 9 ].
599
a
5. BOYUT ANALÎZtNÎN ELEKTROMAGNETÎK
KURAMA UYGULANMASI
z
w
d/D = CJ. eyfn v B
Bu kısımda amacımız boyut a n a l i z i i ç i n k u l l a n ı l a n
yöntemleri anlatmak ve ne şekilde uygulandığını
kuramsal olarak açıklamak d e ğ i l , daha çok i k i ö r nek üzerinde boyut a n a l i z i n i n n a s ı l k u l l a n ı l d ı ğ ı nı kısaca göstermektir.
a. Varsayalım k i , d i r e n c i R, özindüktansı L, sığa
sı C olan b i r e l e k t r i k devresinin frekans ( s ı k l ı k )
formülü
t
(28
)
olarak a l a b i l i r i z . Eğer (28) denklemi doğru ise,
bilinmeyenler öyle olmalıdır ki, her iki tarafın
boyutu aynı olmalıdır, yani
(29)
d/D
d i r . Çizelge l'deki LMTQ boyut sistemi kullanıla
rak ve d/D nin boyutsuz olduğuna dikkat ederek
1
O
f =
(26)
2TT(L
L°M°T Q
(30)
O
)B
yazılır. (30) denklemi yalnız ve ancak
şeklinde olsun. (26) denkleminde a ve B hatırla
yamadığımız bilinmeyenler olsunlar. Büyüklüklerin
Çizelge l'deki boyutlarından yararlanarak a ve 6
değerlerini buluruz.
x + w = 0,
z+t = 0
wt = 0,
yt = 0
(31)
Çizelge l'de LMTQ boyut sisteminden kolaylıkla
ise sağlanır. (31) denklem sisteminde 5 bilinme
yen ve 4 tane de doğrusal bağımsız denklem olduğu
için, genel çözümü yapılırsa
[ R ] = L2MTİI?2, [ C ] = LZMİT^ 2 ,
[ L ] = L2MQ~2 ve tanımından [ f ] = T"1 dir.
(26) denkleminin sağ tarafındaki ifadenin payın
daki işlemin yapılabilmesi için RaL / C nin bo
yutsuz olması gerekir. Yani
0
L° M T V
[c]
dır.K , L veC nin boyutları yerine konur ve e
şitliğin sağlanması için o=2 olduğu görülür. Yi
ne (26) denkleminin doğru olabilmesi için her iki
tarafın boyutunun birbirine eşit olması zorunlu
dur. Buradan,
]=[
ı 1
yazılır. Büyüklüklerin boyutu yazılıp, denklem
çözülürse 8 = 1/2 bulunur. Böylece (26) formülü
nün doğru şeklinin
1
'"4 C
2ır/UC
anlaşılır.
b. Uzunluğu !• olan bir televizyon tüpü içerisine
elektrik yükü e, kütlesi m olan bir elektron v
hızı ile giriyor. Eğer elektronun hızına dik ola
rak bu tüp içerisinde magneeik akı yoğunluğu B
olan bir alan varsa, elektron . ilk doğrultusundan
birim uzunlukta ne şekilde sapar?
Varsayalım ki elektron fırlatıldığı doğrultudan
birim uzunlukta d/D kadar sapsın. Bu sapma miktarı
diğer değişkenlerin bir işlevi olarak düşünü
lürse
d/D = f(t, e,
B)
(27)
yazılır. (27) denkleminde f yi değişkenlerin bir
kuvvet serisi olarak yazıp bu serinin herhangi
bir terimini, C değişmez bir sayı, o, y, z, w ve
t bilinmeyen olmak üzere
600
(32)
bulunur. (32) denkleminde birim sapmanın diğer
değişkenlere ne şekilde bağlı olduğu görülüyor.
Buradaki C katsayısı deneysel ya da analitik yol
la bulunur. Eğer uzunluk boyutları vektörel yazıl
saydı a nin değeri de bulunabilecekti.
KAYNAKLAR
[l] Tai, C.S1., "A Study of Electrodynamics of
Moving Media", Proc. IEEE, Cilt 52, s.685
689, 1964
[2] Penfield, P.Jr. ve H.A. Haus, Electrodynamics
of Moving Media, Cambridge, Mass.: MİT, 1967
[3] "Coulombs Lav Commitee of the AAPT", Am. J.
Phys., Cilt 18, s. 125, 6988, 1950
[4] ODTÜ Mühendislik Bilimleri Bölümü, ES100
"Engineering Computations" ders notu, Ankara
1972
f =
olduğu
d/D =
[5] Douglas, J.F. , An Introduction to Dimensional
Analysis for Engineers, London: Sir Isaac
Pitman and Sons Ltd., 1969
[ö] Coleman, S.D. ve E.H. Dili , "Thermodynamic
Restrictions on the Constitutive Equations
of Electromagnetic Theory", Zeitschrift für
angevardte Math. und Physik, Cilt 22, s.691
702, 1971
[7] Hvistendahl, H.S., Engineering Units and
Physical Quantities, London: Macmillan and
Co. Ltd., 1964
[8] Chisttellv B. ve E.CM. Grigg , SI Units,
Sydney: John Wiley and Sons, Aust. Pty. Ltd,
1971
[9] Jackson, J.D., Classical Electrodynamics,
New York, N.Y: John Wiley and Sons, Inc.,
1967
Elektrik Mühendisliği 215