İmpuls-Momentum

Lineer İmpuls-Lineer Momentum


m kütleli parçacığın uzayda eğrisel boyunca yaptığı hareketi inceleyelim. v  r


hızı yörüngeye teğet olup a  v ivmesi ise parçacık üzerine etkiyen tüm
kuvvetlerin bileşkesi

F
yönündedir.
Newton’un ikinci yasası




F  ma  mv
veya alternatif olarak,




d 
 d

F  mv  mv  
G G
dt
dt
Burada kütle ile hız çarpımı


G  mv parçacığın linear momentumu olarak
tanımlanır. “Parçacığın üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesi onun lineer
momentumunun
zamana
göre
değişimine
(lineer
momentumunun
zaman
türevine) eşittir.” Bu bağıntı parçacığın kütlesi sabit kaldığı sürece geçerlidir.
SI birim sisteminde momentumun birimi, kg.m/s veya N.s.
Lineer momentumun skaler bileşenleri

Fx  G x

Fy  G y
Bu skaler formüller x,y ve z eksenlerinde
uygulanır.

Fz  G z
birbirinden bağımsız olarak
Lineer İmpuls-Momentum Prensbi


 dG
F
dt
t2



Fdt 
t1



linear impulse
Lineer
impuls
  Fdt

G2


G1
 


dG  G2  G1  G

change
linear momentum
Lineer in
momentumdaki
değişim
kuvvetin lineer impulsu olarak adlandırılır ve vektörel olan bu
büyüklük ile de gösterilir. “m kütleli parçacığın üzerinde belirli süre etkili
olan toplam lineer impuls, aynı süre içinde onun lineer momentumunda
meydana gelen değişime eşittir” şeklinde ifade edilir.
Alternatif olarak,

G1 


Fdt  G2






I
yeklinde yazılabilir.
m


G2  mv2
v1


G1  mv1
=
+


Fdt
İmpuls integrali vektörel olup hem yönü hem de şiddeti zamanla değişebilir.
Bu durumda bağıntıyı skaler bileşenleriyle yazarsak;
t2
 F dt  mv
x
  mv x 1  G x
x 2
2
 G x1  G x
y2
 G y1  G y
t1
t2
 F dt  mv   mv   G
y
y 2
y 1
t1
t2
 F dt  mv
z
  mv z 1  Gz
z 2
2
 G z1  G z
t1
Bu bağıntılardan birinin varlığı bir diğerini gerektirmez. Kısaca bu skaler
bağıntılar birbirinden bağımsızdır.
Impuls ve momentumun birimleri eşit olup [ I ] = [ G ] = kg.m/s = N.s ’dir.
Parçacığa etkiyen F’ nin t ile değişimi deneysel yollardan veya yaklaşık
yöntemlerle saptanmışsa grafik veya nümerik integralle ilgili zaman aralığında
F-t eğrisi altında kalan alan impulsu verir.
t2

t1

F dt
Lineer Momentumun Korunumu

F
Belirli bir zaman aralığında parçacık üzerine etkiyen toplam kuvvet sıfır (   0 )
ise, bu aralıkta parçacığın lineer momentumu sabit kalır.



G  0  G1  G2


mv1  mv2
Lineer momentum belirli bir eksende korunurken diğerinde korunmayabilir.
Toplam lineer impulsun belirli bir doğrultuda korunup korunmadığı parçacığın
serbest cisim diyagramının dikkatlice incelenmesi sonucunda ortaya çıkar.
PROBLEMLER
1. 200 kg kütleli uzay aracı arka motoru ateşlendiğinde 6 m/s hızla ay
yüzeyine doğru inmektedir. Motor, 4 saniye boyunca zamanla şekilde
gösterildiği gibi değişen T itme kuvveti üretmektedir ve ardında motor
kapatılmaktadır. t=5 s’de aracın hızını hesaplayınız. Ay yüzeyine inmediğini
kabul ediniz. Ay yüzeyindeki yerçekimi ivmesi 1.62 m/s2’dir.
ÇÖZÜM
m  200 kg ,
v1  6 m / s ,
g  1.62 m / s 2
,
Fdt  mv 2  mv1
v2  ?
hareket
1
mg (5)  (800 ) 2  (800 )2  200 v2  6 
2
1620  800  1600  200 v2  6 
v2  6  3.9
v 2  2 .1 m / s
mg
t  5 s,
+
T
PROBLEMLER
2. 9-kg kütleli blok t=0 anında P kuvveti uygulandığında sağa doğru 0.6 m/s hıza
sahiptir. t=0.4 s’de bloğun hızını hesaplayınız. Kinetik sürtünme katsayısı
mk=0.3’tür.
y
ÇÖZÜM
hareket
x
W=mg
P
y doğrultusunda
F y  0

N
N  mg  0
N  9(9.81)  88 .3 N

Ff=mkN
F f  m k N  0.3(88 .3)
xindoğrultusunda
x direction
t
 Fdt  mv  mv
 72 dt   36 dt 
0
t1  0.2
0
2
1
t 2  0.4
t 2  0.4
t1  0.2
0
0.3(88 .3)dt  9(v2  0.6)
72 (0.2)  36 (0.2)  26 .49 (0.4)  9v2  5.4

v2  1.823 m / s
PROBLEMLER
3. Bir tenis oyuncusu top henüz yükseliyorken raketi ile tenis topuna
vurmaktadır. Vuruştan önce topun hızı v1=15 m/s, vuruştan sonra v2=22 m/s
olup doğrultuları şekilde gösterildiği gibidir. 60-g top 0.05 s raketle temas
ediyorsa, raketten topa uygulanan ortalama R kuvvetini hesaplayınız. Ayrıca
R’nin yatayla yaptığı b açısını bulunuz.
Çözüm

v2 y

v2
y
x doğrultusunda

t
0
Fx dt  mv 2 x  mv1 x
0.05
Rx t 0
 0.06 22 cos 20   0.06  15 cos10 
0.05 R x  2.127
20°

10° v

 1x
v1 y v1
 F dt  mv
y
0
Ryt
0.05
0

2 y
0.05 R y  0.325
R  43 .02 N
Rx
 mv1  y
0.05
 0.06 (9.81)t 0
 0.06 22 sin 20   0.06 15 sin 10 
R
R y  6.49 N
tan b 
x
W=mg
R x  42 .53 N
y doğrultusunda
t

v2 x
Ry
Rx

b  8.68 
Ry
Ry
b
Rx
R
PROBLEMS
4. 40 kg’lık çocuk yerde duran 5 kg kaykayı üzerine şekilde gösterildiği gibi 5
m/s hızla atlamaktadır. Kaykay ile çarpışması 0.05 s ise, yatay yüzey üzerindeki
son hızı ile çarpma esnasındaki yerden kaykaya etkiyen tepki kuvvetini
hesaplayınız.
PROBLEMLER
(mB+mS)g
y
x
N
x-doğrultusunda lineer momentum korunur;
mB vBx  mS vSx  mB  mS v
40  5 cos 30  0  40  5  v 
v  3.85 m / s
y doğrultusunda;
0.05
m B v By  mS v Sy 
 N  m
B
 mS g dt  0
0
 40  5 sin 30   0  N 0.05   45 9.810.05   0

N  2440 N veya
or N  2.44 kN
Lineer impuls ve lineer momentuma ek olarak ve onlara benzer bir biçimde açısal
impuls ve açısal momentumdan oluşan bir denklem takımı da vardır. Öncelike
açısal momentum kavramını tanımlayalım. Şekil m kütleli uzayda eğrisel yörünge
izleyen P parçacığını göstermektedir. xyz eksen takımının O orijinine göre konum

r
vektörü
‘dir.
y


 

m
v
Parçacığı hızı v  r ve lineer momentumu G  mv ‘dir.
lineer momentum
vektörünün O noktasına göre momenti
tanımlanmaktadır

Açısal momentum H O ,
el kuralı ile belirlenir.

HO
açısal momentumu olarak


  
H o  r  mv  r  G
 
r ile v
‘nin oluşturduğu A düzlemine diktir ve yönü sağ
Skaler bileşenleri aşağıdaki gibi belirlenebilir:

i

k

j



z  m yv z  zv y i  mzv x  xv z  j  m xv y  yv x k

Ho  m x
y
vx
vy

H ox  m yvz  zv y



H o  r  mv





vz
H oy  mzv x  xvz 
SI birim sisteminde, açısal momentumun birimi
kg.m2/s =N.m.s.

H oz  m xv y  yvx



F bileşke kuvvetinin O noktasına göre




H o  r  mv


Mo  r 


M o momenti
 
 

F  r  mv
ifadesinin zamana göre türevi alınırsa

 
 

d 
H o  r  mv   rm
v  r m
v

dt
 
a
r mr  0 m


Mo


Paralel iki vektörün vektörel çarpımı sıfır olacağı için v  mv



M o  Ho
Skaler bileşenleri cinsinden
M
ox
 H ox

M oy  H oy

M oz  H oz
sıfıra eşittir.
Açısal İmpuls-Momentum Prensibi
Sonlu bir zaman aralığı boyunca momentin açısal momentum üzerine etkisini


M o  H o ifadesi t1 ‘den t2’ ye integre edilerek;
belirlemek üzere

t2

veya

M o dt 
t1
t2


M o dt
H o 2 

   

dH o  H o
 1

Ho

2  Ho
1

 H o





 r2  mv2   r1  mv1   H o

t1


change
in angular momentum
Açısal momentumdaki
değişim
total angular
Toplam
açısal impulse
impuls
Sabit bir O noktasına göre toplam açısal impuls, O noktasınna göre
parçacığın açısal momentumunu değişimine eşittir.
Alternetif olarak,
 
 2
t2



H o 1    M o dt  H o
t1
Düzlemsel Hareket
Parçacığın düzlemsel hareketinde momentler yalnızca hareket düzlemine dik
bir eksene göre alınır (Örneğin x-y düzleminde hareket için z eksenine göre).
Böyle bir durumda açısal momentumun şiddeti veya yönü (-z, +z olarak)
değişebilir, fakat açısal momentum vektörünün doğrultusu x-y düzlemine dik
olarak kalır.
t2
M
o dt
H o 2  H o 1
t1
t2
  Fr sindt  mv d
2 2
t1
 mv1d1
Açısal Momentumun Korunumu
Belirli bir zaman parçacık üzerine etkiyen kuvvetlerin sabit bir O noktasına


H
göre toplam momentleri sıfır (  Mo  0 ) ise bu kez de parçacığın O açısal
momentumu sabit kalır.



H o  0  H O1  H O2
PROBLEMLER
1. Şekildeki sistem başlangıçta hareketsiz olup t saniye boyunca zincire
uygulanan
20
N’luk
kuvvetin
etkisi
altında
150
dev/dak
açısal
hıza
ulaşmaktadır. T’yi belirleyiniz. Sürtünmeyi ve 3 kg’lık dört adet küre dışındaki
kütleleri ihmal ediniz.
Çözüm

t2
t1



M z dt  H z2  H z1

v
  2  
0.4 150   0.4
3 
0.1 t  4 
20
 
60  


T r
r
m
küre link 
makara
vküre
t  15 .08 s

v

v

v
z
PROBLEMLER
2. Şekildeki sarkaç iki adet 3.2 kg’lık topaklanmış kütle ve hafif rijit çubuktan
oluşmaktadır. 300 m/s hızla giden 50 g kütleli mermi alttaki kütleye çarpıp
saplandığında
sarkaç
saat
yönünde
w=6
rad/s
hızla
salınım
hareketi
yapmaktadır. Çarpmadan hemen sonra sarkacın w açısal hızı ile sarkacın
maksimum  sapmasını hesaplayınız.
ÇÖZÜM
Çarpışma süresince açısal momentum korunur;

t
0
(2)





M O dt  H O2  H O1  0 , H O1  H O2

MO  0 
r  mv 1  r  mv 2
(1)
0.050 300 0.4 cos 20   3.20.22 6  3.20.42 6  0.050  3.20.42 w   3.20.22 w 
w   2.77 rad / s ( sity)

v1´
1
2

v2´
O

w´
v2
w
2
1
v1


v1´
1
2

v2´
O

w´
v2
w
2

1
v1
Çarpışmadan sonra enerji yaklaşımı;
(referans O’da)
T1  Vg1  T2  Vg 2
1
0.05  3.20.4  2.77 2  1 3.20.2  2.77 2  3.20.29.81  3.2  0.05 0.49.81
2
2
 0  3.20.29.81cos  3.2  0.05 0.49.81 cos
  52 .1o