Matematik dergisi Asal Çarpanlara Ayırma sayı-6

MATEMATİK
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
AS AL Ç A R PA NL A R A AY I R MA
FA K TO R İYEL
Tanı m :
Tanı m :
Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya,
1 den n’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına
“asal çarpanlarına ayırma” denir.
“n faktoriyel” denir ve n! şeklinde gösterilir.
0!=1
1!=1
ÖRNEK
2!=2.1=2
120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
3!=3.2.1=6
4!=4.3.2.1=24
ÇÖZÜM
5!=5.4.3.2.1=120
3
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
120=2 .3.5 veya
6!=6.5.4.3.2.1=720
120
12 .
.
.
10
2 . 2. 3 . 2 .
5
.
3
120=2 .3.5
n!=n.(n–1).(n–2)........3.2.1
=n.(n–1)!
=n.(n–1).(n–2)!
ÖRNEK
150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.
9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1
=9.8!
=9.8.7!
ÇÖZÜM
150
15 . 10
=9.8.7.6! dir.
150= 2.3.52
Buradan; 2, 3 ve 5 olmak üzere, üç tane
– 5 ve 5’den büyük bütün faktöriyelli sayıların
asal çarpanı vardır.
3.5. 2.5
birler basamağı sıfırdır.
Toplamı 2+3+5=10 bulunur.
– 2 ve 2’den büyük bütün faktöriyelli sayılar
çifttir.
– Faktöriyelli sayılar toplanmaz, çıkarılmaz,
ÖRNEK
24 sayısı ile en küçük hangi tamsayı çarpılırsa, bir
çarpılmaz, bölünmez, dağılma özelli kulla-
tamsayının küpü oluşur?
nılmaz, kuvvet alınmaz.
ÇÖZÜM
2!+3!5!
8!:4!. 2!
5!–3! 2!
3!.(2!+5!) 3!.2!+3!.5!
3!.2! 6!
(3!)29!
3
24 = 3.8 = 3. 2
24.x = y3  3.23. x = y3  3.23.32  y3
32
 33. 23 = y3 = 63 olur.
ÖRNEK
7!8!
9!
Buradan, x = 32 = 9 olur.
işleminin sonucu kaçtır?
Matematik Dergi / Sayı 6
12
www.akademitemellisesi.com
MATEMATİK
32
ÇÖZÜM
7!8.7! 7 !.(1 8)
9
1


 bulunur.
9.8.7!
9.8.7!
9.8 8
3
10
3
3
3
1
ÖRNEK
13! sayısı 11! sayısının kaç katıdır?
14 tane 3 çarpanı var.
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
ÇÖZÜM
13! = k.11! olsun.
13! 13.12.11!
k

 156 katıdır.
11!
11!
ÖRNEK
10! sayısında kaç tane 2 çarpanı vardır?
31 tane 2 çarpanı var.
ÇÖZÜM
14 tane 3 3 . 3 . 3 ....... 3........ 3
31 tane 2 2 . 2 . 2 ........ 2
10!=10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
5.2
2.2.2 3 .2
14 tane 6 6 . 6 . 6 ....... 6
2 .2
Buradan şunu söyleyebiliriz. 6’nın çarpanlarından büyük
10!  2
.2
.2
.2
.2
.2
.2
.2.(5
.9
.
7
.3.
5.
3
.1)


28
olanından daha az bulunduğundan 6 dan da o kadar
A dersek
bulunur.
10!=28.A ve A tek tamsayıdır.
O halde, 6 yerine asal çarpanlarından büyük olan 3’e
10! Sayısında 8 tane 2 çarpanı vardır.
bakmamız yeterlidir.
10!  2
.2
.
2.
2.
2.
2
.2.(2
.5
.9
.7
.3
.5
.3
.1)


ÖRNEK
27
1.2.3.4...........60
çarpımında en çok kaç tane 8 çarpanı vardır?
A dersek
10!=27.A ve A çift tamsayıdır.
10! Sayısında 7 tane 2 çarpanı vardır.
ÇÖZÜM
1.2.3.4…….60 = 60! olur.
60! = 8x.A ve x, AZ olsun. 60! = 23x.A
60 2
30+15+7+3+1=56
30
2
60! = 256.A
15
2
3x  56
7
2
x = 18 (xZ) bulunur.
3 2
1
Bir faktöriyelin içinde çarpan aranırken;
a) Çarpan asal sayı ise, faktöriyeli çarpana
bölünemeyene kadar böleriz. Bölümlerin
toplamı faktöriyelin içinde kaç tane çarpan
olduğunu verir.
b) Çarpan asal sayı değilse, bu tür soruların
nasıl çözüldüğünü de diğer örneklerde vereceğiz.
ÖRNEK
Şimdi 10! sayısında kaç tane 2 olduğunu bulalım.
10 2
5 2
2 2
1
21! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?
ÇÖZÜM
21! sayısında kaç tane 10 çarpanı varsa, sayının sonunda da o kadar sıfır vardır.
10 asal sayı olmadığından,
5+2+1= 8 tane 2 çarpanı vardır.
2 . 5 çarpanlardan büyük olanına bakılır.
21
ÖRNEK
32! sayısında kaç tane 6 çarpanı vardır?
5
4 tane 5 çarpanı olduğundan
4 tane 10 çarpanı, 4 tane de sayının sonunda sıfır
vardır.
ÇÖZÜM
6 asal sayı olmadığından asal çarpanlarına (3 ve 2 ye)
bakılır.
Matematik Dergi / Sayı 6
13
www.akademitemellisesi.com
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
Toplanan veya çıkarılan faktöriyelli sayıların
ÖRNEK
35! + 47!
toplamının sonunda kaç sıfır vardır?
sonundaki sıfır sayısına bakarken eğer bu
sayılar ardışık ise, küçük olanına bakılmaz.
Paranteze alınarak çarpım durumuna getirilir.
ÇÖZÜM
Çarpanların sonundaki sıfır sayıları toplanır.
23000 3 sıfır
+ 47300 2 sıfır
13!+14!=13!+14.13!=13!(1+14)=13!.15 bulunur.
13 5 2 tane 5 çarpanı vardır.
2
70300 2 sıfır
örneğinde de olduğu gibi sayılardan hangisinde daha az
sıfır varsa toplama işleminin sonunda da o kadar sıfır
vardır.
35! sayısı 47! sayısından daha küçük olduğundan 35!
sayısının sonunda daha az sıfır vardır.
35 5
7
5 8 tane sonunda sıfır vardır.
1
15=3.5 1 tane 5 çarpanı
13!.15  2 + 1 = 3 tane 5 çarpanı olduğundan sayının
sonunda 3 tane sıfır vardır.
Or ta k Kat la rın En Kü çü ğü ( O KE K)
Tanı m :
İki ya da daha çok sayının “ortak katlarının en küçüğü”
demek; bu sayıların hepsine bölünen en küçük sayı
ÖRNEK
demektir.
20! . 30!
sayısının sonunda kaç sıfır vardır?
OKEK
ÇÖZÜM
20
 O sayılardan büyüktür.
5
4 tane 5 çarpanı olduğundan,
4 tane 10 çarpanı vardır.
 O sayılara tam bölünür.
 OKEK’ in her katıda verilen koşulları sağlar.
 OKEK den küçük herhangi bir sayı, OKEK’i
20! = 104.A, (AZ) şeklinde yazılabilir.
30 5
7 tane 5 çarpanı vardır.
6
5
1
alınan sayıların hepsine tam bölünemez.
7 tane 10 çarpanı vardır.
ÖRNEK
30!=107.B, (BZ) şeklinde yazılabilir.
3 ve 4 sayılarının ortak katlarının kümesi;
20!.30!= 104.A.107.B
{12, 24, 36, 48,...} dir. Bu elemanların en küçüğü
20!.30!=1011.A.B şeklinde yazılabilir.
(3,4)OKEK = 12 dir.
Buradan, sayının sonunda 11 tane sıfır olduğu bulunmuş olur.
ÖRNEK
3,4 ve 5 sayılarının en küçük katı 60 dır. 60 sayısından,
20!.30! sayısının sonundaki sıfır sayısı bulu-
küçük başka bir sayı 3,4 ve 5 sayılarına tam bölünemez.
nurken çarpanların sonundaki sıfır sayıları
bulunur ve toplanır.
ÖRNEK
20!  Sonunda 4 sıfır
12 ve 28 sayılarının OKEK’ini bulalım.
30!  Sonunda 7 sıfır
ÇÖZÜM
20!.30!  Sonunda 4 + 7 = 11 sıfır bulunur.
12 28 2
6 14 2
3 7 3
ÖRNEK
1
13! + 14!
(12,28)OKEK = 22.3.7=84
(sonuçların hepsi çarpılır.)
7 7
1
sayısının sonunda kaç sıfır vardır?
Ortak Bölenlerin E n Büyüğü
ÇÖZÜM
(OBEB)
14
www.akademitemellisesi.com
MATEMATİK
Tanım:
İki ya da daha çok sayının “ortak bölenlerin en büyüğü”
demek; verilen bu sayıları ortak bölen en büyük sayı
demektir.
36 48
2
18 24
2
9
12
9
6
2
9
3
3
3
1
3
(36, 48)OKEK = 24.32 = 144
1
OBEB
 O sayılardan küçüktür.
36 48
 O sayıları tam böler.
18 24
2
9 12
3
3
4
3
1
4
2
2
2
 OBEB den büyük herhangi bir sayı, bu
sayıların hepsini ortak bölemez.
2
(36, 48)OBEB = 22.3 = 12 (*) işaretli
çarpanlar ortak çarpanlardır.
1
ÖRNEK
36
2
ve
48
sayılarını
tam
bölenlerin
kümesi
{1, 2, 3, 4, 6, 12} dir. Bu elemanlardan en büyüğü,
(36, 48)OBEB = 12 dir.
ÖRNEK
ÖRNEK
108 ve 72 sayılarının OKEK ve OBEB’ini bulalım.
28 ve 36 sayılarının OBEB’ini bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
28 36 2 
108 72 2 
14 18 2 
7 9
3
7
3
3
7
1
7
54 36 2 
(28,36)OBEB = 2.2 = 4
27 18 3 
(ortak bölenlerin (*) çarpımı olur.)
1
3
3
2
2
9
6 3
(108,72)OKEK = 2 .3
3
2
3
(108,72)OBEB = 2 .3
1
2
2
1
A ve B gibi iki doğal sayı için,
ÖRNEK
A.B=OKEK(A,B).OBEB(A,B)
36 ve 48 sayılarının O.K.E.K.’i ve O.B.E.B.’i kaçtır?
eşitliği vardır.
ÇÖZÜM
36 2
48 2
18 2
9 3
24 2
12 2
36 = 22 . 32
3 3
6 2
1
3 3
48 = 24 . 31
ÖRNEK
5, 6 ve 7 ile bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük
pozitif tam sayı kaçtır?
ÇÖZÜM
1
En küçük pozitif tamsayı = x olsun.
(36, 48) OKEK = 2 4  3 2  144
x = okek (5, 6, 7) + 2
(36,48) OBEB  2  3  12
x = 210 + 2
2
1
x = 212 bulunur.
veya kısa yoldan,
Yukarıdaki eşitliklere göre,
En küçük poz. Sayı 212 dir.
Matematik Dergi / Sayı 6
15
www.akademitemellisesi.com
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
ÖRNEK
ÖRNEK
168 ve 264 sayılarının kaç tane ortak pozitif tamsayı
x, y, z pozitif tam sayılar olmak üzere,
böleni vardır?
A = 4x + 2
A = 5y + 3
ÇÖZÜM
A = 6z + 4
168 264 2
a. k A doğal sayısı kaçtır?
b. En küçük 3 basamaklı A doğal sayısı kaçtır?
84 132 2
42 66 2
c. En büyük 3 basamaklı A doğal sayısı kaçtır?
21
d. 640 < A < 670 olmak üzere A doğal sayısı kaçtır?
33 3
7
3
11
çarpımının pozitif tamsayı bölenleri bulunursa,
1
2 .3
ÇÖZÜM
23.3 ortak çarpanlar
(3+1).(1+1) = 4.2 = 8 olur.
A = 4x + 2
(4 – 2 = 2)
A = 5y + 3
(5 – 3 = 2)
A = 6z + 4
(6 – 4 = 2) olduğundan
ÖRNEK
342 sayısına en küçük hangi doğal sayı eklenmelidir
eşitliklerin her iki tarafına 2 eklenirse,
ki 8, 12 ve 15 ile tam bölünsün?
A + 2 = 4(x +1)
A + 2 = 5(y + 1)
ÇÖZÜM
A + 2 = 6(z + 1) olur.
okek (8, 12, 15) = 342 + x
(A + 2) = (4, 5, 6)O.K.E.K.= 60
120
240
360
a. A + 2 = 60  A = 58 bulunur.
b. 2 . 60 = 120  A + 2 = 120 A = 118 bulunur.
c.
9 9 9 60 A + 2 = 999 – 39 = 960
- . . . 16
A = 958 bulunur.
39
= 342 + x  x = 18 bulunur.
ÖRNEK
d. 640 < 660 < 670  A + 2 = 660  A = 658 bulunur.
327 sayısını bölünce 3 ve 448 sayısını bölünce 4
kalanını veren en büyük sayı kaçtır?
(660 = 60k (k  Z+))
ÇÖZÜM
ÖRNEK
Ayrıtlarının uzunlukları 8 cm, 9 cm, 12 cm olan tuğla-
–
lardan bir küp oluşturulmak istenirse, en az kaç
327 x
B1
–
448 x
B2
3
4
tuğla gerekir?
(327–3) = x.B1
ÇÖZÜM
324 ve 444 sayıları x’e tam bölünür.
obeb (324, 444) = x = 12 bulunur.
Bu tuğlalardan yan yana,
9 cm
üst üste konularak bir küp
ÖRNEK
oluşturulacağından küpün
bir kenarı
Otomatik 3 trafik lambası 30, 45, 60 dakikada bir sinyal
vermektedir.
8 cm
İlk kez aynı anda sinyal verdikten kaç saat sonra
dördüncü kez aynı anda sinyal verirler?
12 cm
(8, 9, 12)O.K.E.K = 72 cm olduğundan,
En az tuğla sayısı
=
=
(448–4) = x.B2
Küpün hacmi
Tuğlanın hacmi
ÇÖZÜM
okek (30, 45, 60) = 180
72.72.72
= 432 tane tuğla bulunur.
8.9.12
ilk kez sinyal verdikten sonra dördüncü kez sinyal vermesi için 3 kez daha sinyal vermelidir.
180  3 dakika  9 saat bulunur.
60 dakika
16
www.akademitemellisesi.com
MATEMATİK
ÇÖZÜMLÜ TEST
ÖRNEK
8 ile bölündüğünde 5, 12 ile bölündüğünde 9 kalanını veren iki basamaklı kaç doğal sayı vardır?
1.
ÇÖZÜM
x = 8a + 5  x+3 = 8(a+1)
x = 12b + 9  x+3 = 12 (b+1)
a ve b birer tamsayı olmak üzere,
15b = 4a2 + 10a + 25
olduğuna göre, b’nin en küçük değeri için a’nın
en küçük değeri kaçtır?
x+3 = okek(8,12) = 24
A) 10
x+3 toplamı 24, 48, 72, 96 olacağından iki basamaklı 4
doğal sayı vardır.
B) 6
C) 5
D) –5
E) –10
ÖRNEK
84, 96, 108 litrelik bidonlarda ki sütler, bidonlarda hiç
kalmaması koşuluyla aynı boyutlu en büyük hacimli
şişelerde satışa sunulacaktır.
2.
Bu iş için kaç şişeye ihtiyaç vardır?
B = 432.5x sayısının 117 tane asal olmayan
çarpanı varsa, x kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ÇÖZÜM
84 96 108 2 *
42 48
21 24
7
8
54 2 *
27 3 *
9
obeb = 2.2.3 = 12
7 + 8 + 9 = 24 şişeye ihtiyaç vardır.
3.
x, y  Z+ olmak üzere,
900.x = (y – 3)3 ise x+y toplamının en küçük
değeri kaçtır?
A) 30
B) 33
C) 63
D) 70
E) 72
ÖRNEK
Bir pazarcı limonlarını 7 şer 7 şer saydığında 5 limon,
10 ar 10 ar saydığında 8 limon artıyor.
Limon sayısı 250 ile 350 arasında olduğuna göre, en
az kaç limon vardır?
ÇÖZÜM
4.
250 < x < 350
x = 7a + 5  x + 2 = 7(a+1)
x ve y birer pozitif tamsayıdır.
3200.x = y3 olduğuna göre, y en az kaçtır?
A) 20
x = 10b + 8  x + 2 = 10(b+1)
B) 30
C) 35
D) 40
E) 50
x + 2 = okek (7, 10) = 70
x + 2 toplamı 70, 140, 210, 280 ,…….olabileceğinden
x + 2 = 280 , x = 278 bulunur.
5.
x, y, z pozitif tamsayılardır.
756 = 2x.3y.z eşitliğine göre, x + y + z toplamı
kaçtır?
A) 8
Matematik Dergi / Sayı 6
17
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
www.akademitemellisesi.com
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
6.
400.x2 = y3 eşitliğini sağlayan en küçük x ve y
pozitif tamsayıları için, x + y toplamı kaçtır?
A) 150
B) 200
C) 250
D) 300
11.
E) 350
0! + 1! + 2! + … + 25!
toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12. x doğal sayı olmak üzere,
11!
7.
2x
sayısı çift sayı olduğuna göre, x’in alabileceği
en büyük değer kaçtır?
60  4!6!
6!3  5!
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 6
A) 7
D) 12
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
E) 60
13. Bir sepetteki güller 6’şar 6’şar demetlenince 3 gül,
8.
n pozitif bir doğal sayı ve
n  1 !  15
n  n  1 !
7’şer 7’şer demetlenince 4 gül artmaktadır.
Sepetteki güllerin sayısı 150’den az olduğuna
göre, sepette en çok kaç gül vardır?
oldu-
ğuna göre, n kaçtır?
A) 113
A) 18
9.
38!
B) 17
C) 16
D) 15
D) 143
E) 153
4a = 5b
olduğuna göre, ekok (a, b)+ebob (a, b) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
A) 21
10. x ve A pozitif tamsayılar olmak üzere, 29! = 6x.A
15.
eşitliği veriliyor.
Buna göre, A’nın en küçük değeri için x kaç
olmalıdır?
B) 1
C) 5
D) 13
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
3 4 5
, ,
sayılarının tam olarak böldüğü en
7 5 4
küçük üç basamaklı doğal sayı kaçtır?
A) 20
A) 0
C) 133
14. a ve b doğal sayıları ve
oranı bir tamsayı olduğuna göre, x’in
5x
alacağı en büyük değer kaçtır?
A) 10
B) 123
E) 14
B) 35
C) 60
D) 120
E) 150
E) 25
18
www.akademitemellisesi.com
MATEMATİK
16. Boyutları 3, 5 ve 10 cm olan dikdörtgenler
ÇÖZÜMLER
prizması biçimindeki kutulardan en az kaç tanesiyle bir küp yapılabilir?
A) 180
B) 170
C) 160
D) 150
E) 140
1.
15b = (2a + 5)2
b = 15 için,
2a + 5 = –15 , 2a + 5 = 15
2a = –20
2a = 10
a = –10
a=5
a’nın en küçük değeri –10 bulunur.
Cevap E’dir.
2.
17. 60, 80 ve 120 kg’lık şeker çuvalları eşit miktarlarda
432 2
ve en az sayıda olmak üzere, birbirine karıştırılmadan paketlenmek isteniyor.
Bunun için en az kaç paket gereklidir?
216 2
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
108 2
54 2
432 = 24.33
27 3
E) 13
9 3
3 3
1
B = 24.33.5x sayısının pozitif tamsayı bölenleri
kadar çarpanı olduğundan,
5.4.(x+1) = 120(asal çarpanları dahil)
(x+1) = 6, x = 5 bulunur.
Cevap B’dir.
3.
18. 9, 12 ve 15 sayılarına bölündüğünde 8 kalanını
veren üç basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır?
A) 908
B) 914
C) 928
D) 990
E) 998
32.102.x = (y–3)3
32.102.(3.10) = (y–3)3 = 33.103
x = 30
y – 3 = 30, y = 33
x + y = 63 bulunur.
Cevap C’dir.
4.
19. x ve y doğal sayıları için obeb(x, y) = 9 ve x.y =
810 olduğuna göre, x+y toplamı en çok kaçtır?
A) 85
B) 89
C) 95
D) 99
E) 109
3200
1600
800
400
200
2
2
2
2
2
100
50
25
5
2
2
5
5
27.52.x = y3
x = 22.5 = 20
y3 = 29.53
y  23  5  40
1
Cevap D’dir.
5.
756 2
22.33.7 = 2x.3y.z
378 2
x=2
y=3
+ z=7
x + y + z = 12
189 3
63 3
20.
21 3
x = 4k + 3 = 5m + 4 = 6n + 5
eşitliğini gerçekleyen en küçük üç basamaklı x
doğal sayısı kaçtır?
A) 120
B) 119
Matematik Dergi / Sayı 6
C) 110
D) 109
7 7
1
Cevap E’dir.
E) 101
19
www.akademitemellisesi.com
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
6.
11.
4
2
2
2 .5 .x = y
400 2
200 2
(2.52)2
100 2
25 5
5 5
3
!


25
!
6 ile tam bölünür.
Kalan sı fı rolur.
Toplamın 6 ile bölümünden kalan 4 bulunur.
Cevap D’dir.
x = 50
y3 = 26.56
y = 22.52 = 4.25 = 100
50 2
0
!
1!

2! 


11 2  4
3
x + y = 100 + 50 = 150 bulunur.
1
Cevap A’dır.
12.
7.
60.4!  6.5.4!
6.5!  3  5!
=
11
2
5
2
2
4! 60  30
5! 6  3
2
1
5 + 2 +1 = 8 tane 2 vardır.
11!
4!90 30
5  4!3
=6
oranının çift olması için,
2x
x en büyük 8 – 1 = 7 olur.
=
Cevap A’dır.
Cevap C’dir.
8.
n  1  n  n  1!  15
n  n  1!
n + 1 = 15,
13. A = 6x + 3 = 7y + 4
A + 3 = 6x + 6 = 7y + 7
Okek(6,7) = 6.7 = 42
A + 3 toplamı 42, 84, 126, 168,… değerlerini alır.
A + 3 toplamı 150 den az en çok 126 olur.
A + 3 = 126
A = 123 bulunur.
Cevap B’dir.
n = 14 bulunur.
Cevap E’dir.
9.
38
5
7
5
1
7+ 1 = 8 bulunur.
Cevap C’dir.
14. 4a = 5b
a=5
b=4
Okek(a, b) + Obeb(a, b) = 20 + 1 = 21
Cevap A’dır.
10. 6x = 2x.3x olduğundan 29! içinde
29
3
9
3
3
3
1
15. Okek(3, 4, 5) = 60
9 + 3 + 1 = 13 tane 3 çarpanı olduğundan
x = 13 olmalıdır.
Cevap D’dir.
Üç basamaklı en küçük doğal sayı,
120
120

 120 bulunur.
Obeb(7, 5, 4)
1
Cevap D’dir.
20
www.akademitemellisesi.com
MATEMATİK
16. OKEK (3, 5, 10) = 30  Küpün bir kenar uzunluğu
Kutu sayısı =
KONU TEKRAR TESTİ 1
30  30  30
= 180
3  5  10
Cevap A’dır.
1.
350.m çarpımının tam kare olması için, m yerine gelebilecek en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
A) 13
17. OBEB(60, 80, 120) = 20  Bir paketin ağırlığı
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
60 kg ‘lık çuvaldan 3 paket
80 kg ‘lık çuvaldan 4 paket
120 kg ‘lık çuvaldan 6 paket
Toplam 13 paket gereklidir.
Cevap E’dir.
2.
18. Okek (9, 12, 15) = 3.3.4.5 = 180
120.a = (b–6)3 ifadesinde a, bZ+ olduğuna
göre, a’nın en küçük değeri için a+b toplamı
kaçtır?
A) 153
B) 164
C) 245
D) 261
E) 310
Üç basamaklı en büyük Okek = 180.5 = 900
Koşulu sağlayan en büyük üç basamaklı sayı
900 + 8 = 908 olarak bulunur.
Cevap A’dır.
3.
19. x = 9a
y = 9b
x.y = 9a.9b = 810
 81a.b = 810
Aşağıdakilerden hangisi 780 sayısının asal
çarpanlarından değildir?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 13
E) 17
 a . b = 10
1 10 (toplamın en büyük olması için)
x = 9.1 = 9
y = 9.10 = 90
x+y = 90 + 9 = 99
Cevap D’dir.
4.
96 sayısı ile en küçük hangi tamsayı çarpılırsa
bir tamsayının küpü oluşur?
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
20. x = 4k + 3 = 5m + 4 = 6n + 5
x + 1 = 4k + 3 +1 = 5m + 4 + 1 = 6n + 5 + 1
x + 1 = 4(k+1) = 5(m+1) = 6(n+1)
okek (4,5,6) = 60
üç basamaklı en küçük Okek = 120 olur.
x + 1 = 120  x = 119 bulunur.
Cevap B’dir.
Matematik Dergi / Sayı 6
5.
260 sayısının asal olmayan çarpanlarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –20
21
B) –10
C) 0
D) 10
E) 20
www.akademitemellisesi.com
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
6.
x ve y doğal sayılardır.
9.x = y3 eşitliğini sağlayan en küçük y değeri
kaçtır?
A) 0
7.
B) 3
C) 4
D) 5
11. 18! sayısının 119 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) (x+1)!
E) (x+2)2
E) 4
24
b!
olduğuna göre, a + b toplamı en az kaç olabilir?
a! 
C) (x+2)!
n  1!  n!.n  1
n  2! n  2!
B) 4
C) 7
D) 10
E) 12
13. 8, 12 ve 16 ile bölündüğünde daima 9 kalanını
veren en büyük iki basamaklı sayı kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
D) n(n+1)
D) 3
12. a ve b tamsayı olmak üzere,
A) 3
8.
C) 2
E) 6
xN+ için x!+(x+1)! + (x+2)!
toplamı aşağıdakilerden hangisi ile daima
bölünür?
A) (x+1)2
D) x+1
B) 1
B) 0
E) n
A) 39
B) 48
C) 57
D) 64
E) 96
C) n2–1
14. x, y ve z pozitif tamsayılar olmak üzere,
9.
75! – 42!
işleminin sonucunun sondan kaç basamağı
sıfırdır?
2x + 1 = 3y – 2 = 5z – 1 = K
olduğuna göre, K’nın alabileceği üç basamaklı
en küçük değer kaçtır?
A) 9
A) 100
B) 10
C) 11
D) 15
E) 18
B) 103
C) 105
D) 107
E) 109
27!
10.
15.
3  2b
a
ifadesi bir tamsayı olduğuna göre, b – a farkı
en çok kaç olabilir?
A)
1
23
B)
1
13
C) 10
D) 13
E) 23
9 ile bölümünden 8
6 ile bölümünden 5
4 ile bölümünden 3
kalanını veren en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
A) 8
22
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
www.akademitemellisesi.com
MATEMATİK
16.
x 9

y 8
KONU TEKRAR TESTİ 2
OKEK (x, y) = 2952
olduğuna göre, x, y sayılarının OBEB’i kaçtır?
A) 21
B) 31
C) 41
D) 51
E) 61
1.
Aşağıdakilerden hangisi 41! + 42! sayısının
asal çarpanı değildir?
A) 31
B) 37
C) 41
D) 43
E) 47
17. Boyutları 3 br, 6 br ve 12 br olan dikdörtgenler
prizması biçimindeki kutulardan en az kaç tanesiyle bir küp yapılır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
2.
120.n çarpımının tam kare olması için n yerine
gelebilecek en küçük doğal sayı kaçtır?
A) 10
18.
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
2 3
8
, ve sayıları ile tam bölünebilen en
11 5
3
küçük üç basamaklı pozitif tamsayı kaçtır?
A) 105
B) 110
C) 115
D) 120
E) 130
3.
a, b Z olmak üzere, 216.a2 = b5 eşitliğini sağlayan en büyük negatif a sayısı kaçtır?
A) –10
B) –6
C) –4
D) 0
E) 6
19. OKEK (a, 16) = 48
OBEB (a, 16) = 4
olduğuna göre, a doğal sayısı kaçtır?
A) 1
B) 4
C) 12
D) 30
E) 60
4.
700 sayısının asal çarpanları toplamı kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 20
E) 24
20. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,
a2
b  0
18
olduğuna göre, b’nin en küçük değeri için a
kaçtır?
A) 14
B) 12
Matematik Dergi / Sayı 6
C) 10
D) 8
5.
E) 6
nZ+ olmak üzere, 180.n sayısının bir doğal
sayının karesi olması için en küçük n değeri
kaç olmalıdır?
A) 2
23
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
www.akademitemellisesi.com
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
6.
10!8!
91 6!
işleminin sonucu kaçtır?
A) 27
B) 42
C) 45
11. 3! + 4! + 5! = 25.x olmak üzere,
3
!
3
!

3!




n tan e
D) 50
ifadesinin x ve n cinsinden eşiti nedir?
E) 56
A) n!.x
x
D)
n
B) (n+1).x
C) n.x
E) (n–x)!
12. Bir sınıfta 7 öğrenci daha olsaydı bu öğrenciler
7.
4’er 5’er 6’şar gruplara ayrılabiliyordu.
Buna göre, bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır?
n  1!n  1!
n3  1
ifadesinin sadeleştirilmiş hali aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
(n  1)!
n2
D) (n + 1)!
B)
1
n!
C)
A) 32
B) 39
C) 46
D) 53
E) 60
1
n 1
E) (n – 2)!
13. 90 cm ve 130 cm uzunluğundaki iki demir çubuk
birbirine eş parçalara ayrılacaktır.
Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?
8.
75! = 3x.y eşitliğini sağlayan en küçük y doğal
sayısı için en büyük x doğal sayısı kaçtır?
A) 37
B) 35
C) 33
D) 31
A) 10
B) 13
C) 15
D) 17
E) 22
E) 29
14. 30 cm, 42 cm, 54 cm boyutlarında olan dikdörtgenler prizması şeklinde bir pastadan hiç
parça arttırmadan küp şeklinde en az kaç parça
kesilir?
9.
A) 95
301! – 300!
farkının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 73
B) 74
C) 75
D) 76
B) 105
C) 115
D) 215
E) 315
E) 77
15. x ve y pozitif doğal sayılar olmak üzere,
OKEK (4x, 5y) = 240
x
OBEB (4x, 5y) =
2
Olduğuna göre, y kaçtır?
10. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere,
6! = 2x.y olduğuna göre, x en fazla kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
A) 6
E) 3
24
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
www.akademitemellisesi.com
MATEMATİK
16. Bir gardiyan suçluları üçer üçer, dörder dörder,
beşer beşer saydığında her seferinde iki suçlu artıyor. Suçluların sayısı 178 ile 184 arasındadır.
Buna göre, kaç suçlu vardır?
A) 176
B) 178
C) 180
D) 182
E) 184
17. a ve b ardışık iki doğal sayı olmak üzere,
Okek (a, b) = m + 14
Obeb (a, b) = m –15
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 11
D) 13
E) 15
18. x ve y aralarında asal iki sayı olmak üzere,
Okek (x, y) = 112 dir.
x sayısı y sayısından 9 fazla olduğuna göre,
x + y toplamı kaçtır?
A) 20
19.
B) 21
C) 22
D) 23
E) 32
2 3 9
, , sayıları ile tam bölünebilen en küçük
11 4 7
üç basamaklı pozitif tam sayı kaçtır?
A) 108
B) 126
C) 144
D) 162
E) 180
20. Rakamları asal olmayan en büyük iki basamaklı tek sayının en küçük asal çarpanı ile rakamları farklı iki basamaklı en küçük asal sayının
çarpımı kaçtır?
A) 39
B) 45
Matematik Dergi / Sayı 6
C) 50
D) 60
E) 65
25
www.akademitemellisesi.com