C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi
Fen Bilimleri Dergisi (2003)Cilt 24 Sayı 1
Çoğul-Değerli Fonksiyonların Almost D-Süreklilikleri Üzerine
Metin AKDAĞ ve Savaş TEMİZİŞLER
Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas
E-posta: [email protected]
Received;07.02.2003, Accepted;04.04.2003
Y
Özet: Bu çalışmada bir topolojik uzay üzerindeki Fσ ve Gδ kümelerden yararlanılarak 2
üzerinde
D + ve D − topolojileri tanımlandı. Bilinen Vietoris topolojileri ile karşılaştırılarak D + ≤ V + ve
D − ≤ V − olduğu görüldü. Daha sonra F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu için a-D-ü.y.s. ve a-Da.y.s. olması tanımları verildi ve denk koşulları veren teoremler ifade ve ispat edildi. Bu sürekliliklerin
daha zayıf tipleri olan w-D-ü.y.s., w-D-a.y.s. tanımları çoğul-değerli fonksiyonların bu tür süreklilikleri
için karakterizasyonlar verildi.
Anahtar Kelimeler: Çoğul-değerli fonksiyonlar, D-Süreklilik.
On the Almost D-Continuity of Multifunctions
Abstract: In this paper, we study upper ( lower ) almost D-continuous of multifunctions and obtain some
characterizations and some basic properties of such a multifunction. Also we give some comparisions
with upper ( lower ) D-continuity and weakly upper ( lower ) D-continuty.
Keywords: Multifunction, D-continuity
1
1. Giriş ve Bazı Tanımlar
Tek değerli fonksiyonların zayıf süreklilikleri ile ilgili çalışmalar 1922 yılında
H.Blumberg ile başladı [1] . 1966 yılında T.Husain [ 2] ve 1968 de Singal and Singal
[3]
tek değerli fonksiyonların almost sürekliliklerini tanımladılar ve çalıştılar. Bu
çalışmamıza örnek olan tek değerli fonksiyonların sürekliliği 1922 yılında J.K.Kohli
tarafından tanımlandı [ 4] . Bu makale üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde
makalede geçen kavramlar ve önceki çalışmalar özetlenmektedir. İkinci bölümde bir
topolojik uzay üzerindeki Fσ ve Gδ kümelerden yararlanılarak 2Y üzerinde D + ve D −
topolojileri tanımlandı. Bilinen Vietoris topolojileri ile karşılaştırılarak
D + ≤ V + ve
D − ≤ V − olduğu görüldü. Daha sonra F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu için D-ü.y.s.
ve D-a.y.s. olması tanımları verildi. Çoğul-değerli fonksiyonların bu tür süreklilikleri
için karakterizasyonlar araştırıldı. Son olarak bu makalede geçen süreklilik türleri
arasındaki ilişkiler incelendi.
X , Y topolojik uzaylar ve F , X ’den Y ’ye bir çoğul-değerli fonksiyon,
A⊆ X ,
B ⊆ Y olsun.
{
}
F ( A) = ∪ F ( x ) x ∈ A ,
F − ( B) = { x F ( x) ∩ B ≠ ∅} ,
F # ( A) = { y F − ( y ) ⊆ A} ve F + ( B) = { x F ( x) ⊆ B} kümelerine sırasıyla A ’nın F
altındaki büyük görüntüsü, B ’nin F altındaki büyük ters görüntüsü A ’nın F altındaki
küçük görüntüsü, B ’nin F altındaki küçük ters görüntüsü denir (Ponomarev, 1964 [5]
). X , Y topolojik uzaylar ve F , X ’den Y ’ye bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Her
B ⊂ Y kapalı alt kümesi için F − ( B ) , X ’in kapalı alt kümesi oluyorsa F ’ye üstten yarı
süreklidir veya kısaca ü.y.s. dir denir, her A ⊂ Y açık alt kümesi için F − ( A) , X ’in
açık alt kümesi oluyorsa F ’ye alttan yarı süreklidir veya kısaca a.y.s. dir denir, F
çoğul-değerli fonksiyonu ü.y.s. ve a.y.s. ise F ’ye süreklidir denir.(Long and
Herrington, 1975 [6]
) X , Y topolojik uzaylar ve F : X → Y bir çoğul-değerli
fonksiyon olsun. G ( F ) , F ’nin grafiği olmak üzere her bir ( x, y ) ∈ X × Y − G ( F )
için (U × V ) ∩ G ( F ) = ∅
 (U × V ) ∩ G (F ) = ∅  olacak şekilde


X
içinde
x
noktasının bir U , Y içinde y noktasının bir V komşuluğu varsa F ’ye
grafiği kapalıdır (kuvvetli kapalıdır) denir.
2
(Y ,τ ) bir topolojik uzay olsun. Y kümesi üzerindeki τ topolojisinden
yararlanılarak
2Y
kümesi
üzerinde
çeşitli
topolojiler
tanımlanabilir.
Bunlardan ikisini şöyle tanımlayacağız. G ∈ τ olmak üzere (G ) = { A ⊂ Y
A ∩ G ≠ ∅} ve 〈G〉 = { A ⊂ Y A ⊂ G} küme ailelerini tanımlayalım. 2Y kümesi
üzerinde
{(G ) G ∈τ }
ailesini taban kabul eden topolojiye alt Vietoris
topoloji,
{〈G〉 G ∈τ }
ailesini alt taban kabul eden topolojiye üst Vietoris
topoloji denir. Bu topolojiler sırasıyla V − ve V + ile gösterilir. Ayrıca 2Y
üzerinde V = V − ∨ V + topolojisine de Vietoris topoloji denir (Michael, 1951
[7]). X , Y topolojik uzaylar ve F : X → Y çoğul-değerli bir fonksiyon olsun. F
fonksiyonunun a.y.s.(ü.y.s., sürekli) olması için gerekli ve yeterli koşul
X ’den 2Y − {∅} ’ye tanımlı olan ve F ’ye karşılık gelen
f
tek-değerli
fonksiyonunun V − (V + , V ) topolojisine göre sürekli olmasıdır [8].
( X , τ ) bir topolojik uzay olsun. Bir A ⊆ X için A nın her açık
örtüsünün kapanışları A ’yı örten bir sonlu altörtüsü varsa, A ’ya quasi Hkapalıdır denir. Eğer X uzayının kendisi quasi H-kapalı ise uzaya quasi Hkapalıdır denir. Eğer X uzayı hem quasi H-kapalı hem de Hausdorff ise
uzaya H-kapalıdır denir [9]. X uzayının bütün kapalı alt kümeleri quasi Hkapalı ise uzaya C-kompakt uzay denir [10].
X
uzayında her
x∈ X
noktasının quasi H-kapalı olan bir U açık komşuluğu varsa uzaya yerel Hkapalı uzay denir. Bir X uzayında her farklı x, y noktaları için x ∈ U , y ∈ V
ve U ∩ V = ∅ olacak biçimde U ve V açık kümeleri varsa X uzayına
Uryshon uzay denir (Singal and Arya, 1969 [11]). ( X , τ ) bir topolojik uzay
o
o
ve A ⊆ X olsun. Eğer A = A ( A = A) ise A ’ya regüler kapalı (regüler açık)
küme denir. Her bir x ∈ X ve x noktasını bulundurmayan her bir A regüler
kapalı kümesi için x ∈ U , A ⊆ V ve U ∩ V = ∅ olacak şekilde U , V açık
kümeleri varsa ( X , τ ) ’ya hemen hemen regüler (almost regüler) uzay denir
[11] (Dorsett, 1982 [10]). Her bir x ∈ X ve x noktasını bulundurmayan her
bir A yarı kapalı kümesi için x ∈ U , A ⊆ V ve U ∩ V = ∅ olacak şekilde U ,
3
V yarı açık kümeleri varsa ( X , τ ) ’ya yarı regüler (semiregular) uzay denir.
2. 2Y Üzerinde D + , D − Topolojileri
Bu bölümde bir topolojik uzaydaki Fσ ve Gδ -kümelerinden
yararlanarak 2Y üzerinde iki yeni topoloji tanımlayacağız. Öncelikle Fσ küme ve Gδ -küme tanımlarını verelim.
Tanım 2.1: (Eisenberg, 1974 [12]) (A) ( X , τ ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X olsun.
Eğer A kümesi sayılabilir tane kapalı kümenin birleşimine eşit ise A ’ya X ’de bir Fσ ∞
küme denir. Sembolik olarak A = U Fn , Fn ∈ τ K ise A bir Fσ -kümedir. (B) ( X , τ ) bir
n =1
topolojik uzay ve A ⊂ X olsun. Eğer A kümesi sayılabilir tane açık kümenin keşimi
∞
olarak yazılabiliyor ise A ’ya X ’de bir Gδ -küme denir. Sembolik olarak A = IU n ,
n =1
U n ∈ τ ise A bir Gδ -kümedir.
Önerme 2.1: (Y ,τ ) bir topolojik uzay olmak üzere β1 = {2Y \(V ) V , kapalı Gδ küme} ve β 2 = {2Y \ < V > V , kapalı Gδ -küme} ∪ {∅} aileleri sırasıyla 2Y
üzerinde farklı iki topoloji için taban ve alt taban olurlar.
İspat: (i) V = ∅ bir kapalı Gδ -kümedir ve (V ) = ∅ olacağından 2Y \(V ) =
2Y ∈ β1 olur.
(ii) 2Y − (V1 ) , 2Y \(V2 ) ∈ β1 olsun.  2Y \(V1 )  ∩  2Y \(V2 )  = 2Y \(V1 ∪ V2 ) ve
(V1 ∪ V2 ) kapalı Gδ -küme olacağından β1 , 2Y üzerinde bir topoloji için taban
olur.
β 2 ’nin de alt taban oluşu benzer biçimde gösterilir.
Önermedeki β1 ve β 2 ailelerinin taban ve alt taban olduğu topolojileri
sırasıyla D + ve D − ile gösterelim.
Önerme 2.3: ( X , τ ) bir topolojik uzay olmak üzere 2Y üzerindeki D + , D − ,
V + ve V − topolojileri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
a) D + ≤ V +
4
b) D − ≤ V −
İspat:(a) 2Y − (V ) ∈ β1 olsun. Burada V kapalı Gδ -kümedir. 2Y − (V ) = < Y \V >
olduğundan ve Y \V ⊂ Y açık bir küme olduğundan < Y \V > ∈ V + olur. O halde
D + ≤ V + dir.
(b) Benzer biçimde 2Y − < V >= (Y \V) olduğundan D − ≤ V − dir.
Tanım 2.4:[14] F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon ve x0 ∈ X olsun.
F ( x0 ) ∩ V = ∅ olan bir Y \V açık
Fσ -kümesi için
x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V = ∅
gerektirmesini sağlayan en az bir U x0 ⊂ X açık kümesi varsa, F ’ye x0 ∈ X
noktasında D-üstten yarı sürekli veya kısaca D-ü.y.s. denir.
Teorem 2.5: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonunun x0 ∈ X ’de D-ü.y.s.
olması için gerekli ve yeterli koşul F ’ye karşı gelen her x ∈ X
için
f ( x) = F ( x) biçiminde tanımlı f : X → (2Y , D + ) tek değerli f fonksiyonunun
x0 ∈ X ’de sürekli olmasıdır.
İspat (⇒): V , kapalı Gδ -küme, f ( x0 ) ∈ 2Y \ (V ) olsun. f ( x0 ) ∈< Y \ V > ve
f ( x0 ) ⊂ Y \ V olur. O halde f ( x0 ) = F ( x0 ) olduğundan F ( x0 ) ∩ V = ∅ olur. Y \V
açık Fσ -küme ve F , D-ü.y.s. olduğundan x0 ’ı bulunduran bir U x0 ⊂ X açık
kümesi
x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V = ∅
x ∈ U x0 ⇒ f ( x) ∉ V
yani
olacak
f ( x) ∈ 2Y \ (V )
şekilde
olur.
vardır.
Böylece
Bu
durumda
f : X → (2Y , D + )
fonksiyonu x0 ∈ X de sürekli olur.
(⇐): f , x0 ’da sürekli olsun. F ( x0 ) ∩ V = ∅ olan Y \ V açık Fσ -kümesi
alalım.
F ( x0 ) ⊂ Y \ V ⇒ F ( x0 ) ∈< Y \V >⇒ F ( x0 ) ∈ 2Y \ (V ) olur.
olduğundan
f ( x0 ) ∈ 2Y \ (V ) olur.
f ( x) = F ( x)
f , x0 ’da sürekli olduğundan en az bir
U x0 ⊂ X açık kümesi vardır öyle ki x ∈ U x0 ⇒ f ( x) ∈ 2Y \ (V ) dir. Buradan
F ( x) ∈< Y \ V > ise F ( x) ⊂ Y \ V ve F ( x) ∩ V = ∅ olur. Her x ∈ U x0 için elde
edilir. Böylece F , D-ü.y.s olur.
Önerme 2.6: Y , bir C-kompakt, regüler ve Hausdorff uzay olsun. F : X → Y
kuvvetli kapalı grafikli bir çoğul-değerli fonksiyon ise F , D-ü.y.s. dir.
5
İspat : Kabul edelim ki G ( F ) kuvvetli kapalı olsun. K ⊂ Y tümleyeni açık
Fσ -küme
ve
x ∉ F − (K )
olsun.
F ( x) ∩ K = ∅
tur.
( x, y ) ∉ G ( F ) ’tir. G ( F ) kuvvetli kapalı olduğundan
{V
kümeleri vardır öyle ki F (U y ( x)) ∩ Vy = ∅ tur.
y
y∈K
Her
için
x ∈ U y ( x) , y ∈ Vy açık
y∈K
}
ailesi K ’nın bir
açık örtüsünü oluşturur. K tümleyeni açık Fσ -küme olduğundan kapalıdır ve
uzay C-kompakt olduğundan K quasi H-kapalı kümedir. y1 , y2 ,…, yn ∈ K
n
noktaları vardır öyle ki K ⊂ UVyi dir. Her i için V y ’ye karşı gelen U yi ( x) ’ler
i
i =1
n
için U = IU yi ( x )
olsun.
x ∈U
ve U ⊂ X
açıktır. Ayrıca her i için
i =1
F (U yi ( x)) ∩ Vyi = ∅ olduğun- dan
n
K ⊂ UVyi
olduğundan
n
F (U ) ∩ Vyi = ∅ ve F (U ) ∩ UVyi = ∅ tur.
i=1
F + ( F (U )) ∩ F − ( K ) = ∅
dır
ve
U ⊂ F + ( F (U ))
i =1
olduğundan U ∩ F − ( K ) =
∅ tur. Sonuç olarak
x ∈ U ⊂ X − F − ( K ) olur.
Buradan X − F − ( K ) açık ve F − ( K ) kapalıdır. Böylece F , X ’de D-ü.y.s.
olur.
Tanım 2.7:[13]
X, Y
topolojik uzaylar, F : X → Y
bir çoğul değerli
fonksiyon ve x0 ∈ X olsun. F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ve Y − V kapalı Gδ -küme olan bir
V
kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan en az bir
U x0 ⊂ X açık kümesi varsa F ’ye x0 ∈ X noktasında D-alttan yarı sürekli
veya kısaca D-a.y.s. denir.
Önerme 2.8: X , Y topolojik uzaylar, F : X → Y bir çoğul değerli fonksiyon
olsun. F ’nin x0 ∈ X ’de D-a.y.s. olması için gerekli ve yeterli koşul F ’ye
karşı gelen f : X → (2Y , D − ) tek-değerli fonksiyonu- nun x0 ∈ X ’de sürekli
olmasıdır.
İspat: Teorem 2.5. e benzer olarak yapılır.
6
3. Çoğul Değerli Fonksiyonların Almost D-Üstten ve Alttan Sürekliliği
Tanım 3.1: (Kohli, 1992 [4]) ( X , τ ) bir topolojik uzay ve β , ( X , τ ) topolojik
uzayının bütün açık Fσ alt kümelerinin ailesini göstersin. İki açık Fσ kümenin kesişimi bir açık Fσ -küme olduğundan β ailesi X üzerinde bir τ ∗
topolojisi için bir taban olur. Açıkça τ ∗ ⊂ τ olur. Özellikle ( X , τ ) kompakt,
sayılabilir kompakt, lindelöf, bağlantılı veya ayrılabilir ise bu durumda
( X , τ ∗ ) ’da öyledir. Ek olarak eğer X ’deki her bir tek nokta kümesi bir Gδ küme ise bu durumda ( X , τ ) T 1 -uzay olduğunda ( X , τ ∗ ) ’da T 1 -uzaydır.
Tanım 3.2 :(Heldermann, 1981 [14]) ( X , τ ) bir topolojik uzay ve x ∈ X
olsun. x ’i içeren her bir U açığı için x ∈ V ⊂ U olacak şekilde X ’in bir V
açık Fσ -alt kümesi varsa ( X , τ ) uzayına D-regüler uzay denir.
Tanım 3.3: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyon olsun. F ( x0 ) ∩ V = ∅ olan her
V
o
kapalı Gδ -kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V = ∅ gerektirmesini sağlayan
x0 ’ın bir U x0 açık komşuluğu varsa F x0 ’da almost D-üstten yarı süreklidir
denir ve bu durum kısaca almost D-ü.y.s. biçiminde ifade edilir.
Önerme 3.4: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu x0 noktasında almost Dü.y.s. olması için gerekli ve yeterli koşul f : X → (2Y , D + ) , f ( x) = F ( x) tek
değerli fonksiyonunun almost sürekli olmasıdır.
İspat (⇒): F , x0 noktasında almost D-ü.y.s. olsun. G kapalı bir Gδ -küme
olmak üzere
f ( x0 ) ∈ 2Y \ (G )
alalım. Bu durumda
f ( x0 ) ∈< Y \ G >
olur.
Buradan f ( x0 ) = F ( x0 ) ⊂ Y \G elde edilir. Y \G açık Fσ -küme ve F , almost Dü.y.s.
olduğundan
x0 ’ın
öyle
bir
o
U x0
açık
komşuluğu
vardır
ki
o
x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ Y − G gerektirmesi sağlanır. Buradan f ( x) = F ( x) ∈ < Y − G >
o
o




ve f ( x) ∈  2Y − (G )  dir. Dolayısıyla f (U x0 ) ⊂  2Y − (G)  ve böylece f , x0 ’da








almost süreklidir.
7
(⇐): F ( x0 ) ⊂ V ,
f ( x0 ) = F ( x0 ) ∉ (V )
V
açık
Fσ -küme
⇒ f ( x0 ) ∈ 2Y \(V ) .
f,
olsun.
Bu
durumda
x0 ’da sürekli olduğundan
x0 ’ı
o
bulunduran bir U x0 açık kümesi vardır öyle ki
f (U x0 ) ⊂ 2 \(V ) . Buradan
Y
o
o
x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∈ 2 \(V ) olur. Böylece x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∉ (V ) ⇒ F ( x) ⊂< Y\V > .
Y
Teorem 3.5: X bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y çoğuldeğerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir.
a) F , x0 ’da almost D-ü.y.s.dir.
0
0


b) F ( x0 ) ⊂ V olan her V açık Fσ -kümesi için x0 ∈  F + (V )  dir.


0
c) F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık Fσ -kümesi için x0 ∈  F + (V )  dir.
d) F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık Fσ -kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x0 ) ⊂ V
gerektirmesini sağlayan x0 ’ın bir U x0 açık komşuluğu vardır.
e) x0 ’a yakınsayan her (aλ ) λ∈∆ ⊂ X ağı ve F ( x0 ) ⊂ V olan her V
regüler açık Fσ -kümesi için λ ≥ λ0 iken F (aλ ) ⊂ V olan en az bir λ0 ∈ ∆
vardır.
İspat : (a)⇒(b): F , x0 ’da hemen her yerde D-ü.y.s. olsun. F ( x0 ) ⊂ V olan
bir V
açık F σ -kümesini alalım. Tanım 3.1.5.’den
x0 ’ın bir açık U x0
o
komşuluğu vardır öyle ki x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V sağlanır. Bu durumda F + ’nın
0
o


tanımından x ∈ U x0 ⇒ x ∈ F  V  elde edilir ki bu da x0 ∈  F + (V ) 
 


+
0
olması
demektir.
(b)⇒(c): V , F ( x0 ) ⊂ V olan bir regüler açık Fσ -küme olsun. V regüler
o
açık
olduğundan
0
V =V
dir.
O
halde
(b)’de
bunu
yerine
yazarsak
0


0
x0 ∈  F + (V )  = F + (V ) elde edilir.


[
]
(c)⇒(d): V , F ( x0 ) ⊂ V olan bir regüler açık Fσ -küme olsun. (c)’den
8
x0 ∈  F + (V ) 
0
dir. U x0 =  F + (V ) 
0
dersek x ∈ U x0 ⇒ x ∈ F + (V ) olur. Buradan
x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V olur.
(d)⇒(a): F ( x0 ) ⊂ V olan açık Fσ -küme V olsun. V , açık Fσ -küme ve
o
V
o
da açık Fσ -kümedir. Buradan F ( x0 ) ⊂ V
kapalı olduğundan V
olur.
o
(d)’den
x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V
gerektirmesini sağlayan
x0 ’ın bir açık U x0
o
komşuluğu vardır. V = V olduğundan da F , x0 ’da hemen her yerde D-ü.y.s.
olur.
(d)⇒(e): (aλ ) λ∈∆ ⊂ X , x0 ’a yakınsayan bir ağ olsun. V , F ( x0 ) ⊂ V olan
bir
regüler
açık
Fσ -küme
olsun.
(d)’den
x0 ’ın
x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V
gerektirmesini sağlayan bir U x0 komşuluğu vardır. (c)⇔(d) olduğundan
0
U x0 =  F + (V )  alınabilir. (aλ ) → x0 ∈ U x0 olduğundan en az bir λ0 ∈ ∆ vardır
0
öyle ki her λ ≥ λ0 için aλ ∈  F + (V )  ⊆ F + (V ) olduğundan aλ ∈ F + (V ) ve
F (aλ ) ⊂ V elde edilir. Böylece λ ≥ λ0 için F (aλ ) ⊆ V olur.
(e)⇒(d): Kabul edelim ki (d) doğru olmasın. G regüler açık Fσ kümesi için, x0 ’ı bulunduran her U ⊂ X açık kümesinde öyle ki au ∈ U vardır
ki F (au ) ⊄ G olur. ϑx0 = {U ⊂ X x0 ∈ UveUaçık } ve Ω = {(au , U )
U ∈ ϑx0 ve
F (au ) ⊄ V } olsun. “ (au ,U ) ≤ (au, ,U , ) ⇔ U , ≤ U ” koşulu ile Ω ’yi yönlendirelim.
Φ : (Ω, ≤) → X , Φ ( au , U )  = au X üzerinde x0 ’a yakınsayan bir ağdır. Ancak
her bütün (au ,U ) ∈ Ω ’ler için F (au ) ⊄ V olur. Bu ise hipotezle çelişir. O halde
(d) doğrudur.
Teorem 3.6., Teorem 3.7., Teorem 3.8. ve Teorem 3.9.’in ispatı
Teorem 3.5.’in ispatına benzer olduğundan yapılmayacaktır.
Teorem 3.6: X bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay ve F : X → Y bir
çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir.
a) F , almost D-ü.y.s. dir.
9
0
  0 
b) V ⊂ Y açık Fσ -kümesi için F (V ) ⊂  F +  V   dir.
  
+
c) V ⊂ Y regüler açık Fσ -kümesi için F + (V ) açıktır.
0
d) V ⊂ Y açık Fσ -kümesi için F +  V  açıktır.
 
o 

e) H ⊂ Y kapalı Gδ -kümesi için  F − ( H )  ⊂ F − ( H ) ’dır.


f) H ⊂ Y regüler kapalı Gδ -kümesi için F − ( H ) kapalıdır.
Teorem 3.7: X bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y bir çoğuldeğerli fonksiyon olsun. Aşağıdakiler denktirler.
a) F , x0 ’da almost D-ü.y.s.dir.
0
 + 0 
b) F ( x0 ) ⊂ V olan her açık küme için x0 ∈  F (V )  dir.


0
c) F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler açık küme için x0 ∈  F + (V )  dir.
d) F ( x0 ) ⊂ V
olan her regüler açık küme için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V
gerektirmesini sağlayan açık bir U x0 komşuluğu vardır.
e) x0 ’a yakınsayan her (aλ ) λ∈∆ ⊂ X ağı ve F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler
açık V kümesi için λ ≥ λ0 iken F (aλ ) ⊂ V olacak şekilde en az bir λ0 ∈ ∆
vardır.
Teorem 3.8: X herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y
bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir.
a) F , almost D-ü.y.s. dir.
0
 +  0 
b) Her V ⊂ Y açık kümesi için F (V ) ⊂  F  V   dir.
  
+
c) Her V ⊂ Y regüler açık kümesi için F + (V ) açıktır.
o
d) Her V ⊂ Y açık kümesi için F +  V  açıktır.
 
10
  o 
e) Her V ⊂ Y kapalı kümesi için  F −  V   ⊂ F − (V ) dir.
  
f) Y ’nin regüler kapalı her V alt kümesi için F − (V ) kapalıdır.
Teorem 3.9: X herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay olsun.
F : X →Y
bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler
eşdeğerdir.
a) F , almost D-ü.y.s.’dir.
0
  0 
b) Her V ⊂ Y açık kümesi için F (V ) ⊂  F +  V   dir.
  
+
c) Her V ⊂ Y regüler açık kümesi için F + (V ) ⊂ X açıktır.
o
d) F ( x0 ) ⊂ V olan her V ⊂ Y açık kümesi için x0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ V
gerektirmesini sağlayan bir U x0 açık komşuluğu vardır.
e) x0 ’a yakınsayan her (aλ ) λ∈∆ ⊂ X ağı ve F ( x0 ) ⊂ V olan her regüler
açık V kümesi için λ ≥ λ0 için F (aλ ) ⊂ V olacak şekilde en az bir λ0 ∈ ∆
vardır.
11
4.Çoğul-Değerli Fonksiyonların Almost D-Alttan Yarı Süreklilikleri
Bu bölümde çoğul-değerli fonksiyonların almost D-a.y.s. olması
tanımlanarak bu sürekliliğe denk koşullar verildi.
F : X →Y
Tanım 4.1:
bir çoğul-değerli fonksiyon,
F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅
ile
o
tümleyeni kapalı Gδ -küme olan her V kümesi için x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ V ≠ ∅
gerektirmesini sağlayan bir U x0 ⊂ X açık kümesi varsa F ’ye x0 ∈ X ’de
almost D-alttan yarı süreklidir denir ve bu durum kısaca F x0 ’da almost Da.y.s. biçiminde ifade edilir.
Teorem 4.2: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonunun x0 ∈ X ’de almost Da.y.s. olması için gerekli ve yeterli koşul f : X → (2Y , D − ) her x ∈ X için
f ( x) = F ( x) biçiminde tanımlı f , tek-değerli fonksiyonunun almost sürekli
olmasıdır.
İspat (⇒): F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyonu x0 ∈ X ’de almost D-a.y.s.
olsun.
x0 ∈ X
f ( x0 ) ∈ 2Y − < G >∈ β 2
için
alalım.
2Y − < G >= (Y − G )
ve
F ( x0 ) = f ( x0 ) olduğundan F ( x0 ) ∈ (Y − G ) ’dir. Buradan F ( x0 ) ∩ (Y − G ) ≠ ∅ ve
Y − (Y − G ) = G kapalı Gδ -kümedir. F , x0 ’da almost D-a.y.s. olduğundan
o
x0 ’ın
x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ∩ Y − G ≠ ∅
gerektirmesini sağla- yan açık bir U x0
0
komşuluğu vardır.
0
0
(Y − G ) = (Y − G ) = 2 Y − < G >
ve
0
f ( x) = F ( x) ∈ 2Y − < G >
o
olduğundan
x ∈ U x0 ⇒ f ( x) ∈ 2 − < G >
Y
olur. O halde
f,
x0 ’da almost
süreklidir.
(⇐): f : X → (2Y , D − ) tek-değerli fonksiyonu
x0 ’da almost sürekli,
F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ve Y − V , kapalı Gδ -küme olsun. Buradan
(V ) = 2Y − < Y − V >∈ β 2
olur. f,
f ( x0 ) = F ( x0 ) ∈
x0 ’da almost sürekli olduğundan
x0 ’ın
o
x ∈ U x0 ⇒ f ( x) ∈ 2 − < Y − V > gerektirmesini sağlayan açık bir U x0 komşuluğu
Y
12
0
o
vardır. Buradan x ∈ U x0 ⇒ f ( x) = F ( x) ∈  V  , F ( x) ∩ V ≠ ∅
 
olur. F , x0 ’da
almost D-a.y.s. dir.
Aşağıdaki Teorem 4. 3., Teorem 4. 4., Teorem 4. 5., Teorem 4. 6. ve
Teorem 4. 7.’nin ispatları Teorem 3. 7’nin ispatına benzer olduğundan
yapılmayacaktır.
Teorem 4.3: X herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y
bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir.
a) F , almost D-a.y.s.’dir.
o
o


b) Fσ -açık her V ⊂ Y kümesi için F (V ) ⊂  F − (V )  dir.


−
c) Fσ -açık her V ⊂ Y regüler açık kümesi için F − (V ) ⊂ X açıktır.
o
d) Fσ -açık her V ⊂ Y kümesi için F −  V  ⊂ X açıktır.
 
o 

e) Gδ -kapalı her H ⊂ Y kümesi için  F + ( H )  ⊂ F + ( H ) olur.


f) H , kapalı Gδ , regüler kapalı küme ise F + ( H ) ⊂ X kapalıdır.
Teorem 4.4: X , herhangi bir topolojik uzay, Y D-regüler ve semiregüler
uzay ve F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Aşağıdakiler eşdeğerdir
a) F , almost D-a.y.s. dir.
o
b) Her V ⊂ Y açık kümesi için F −  V  ⊂ X açıktır.
 
c) Her V ⊂ Y regüler açık kümesi için F − (V ) ⊂ X açıktır.
o
d) Fσ -açık her V ⊂ Y açık kümesi için F −  V  ⊂ X açıktır.
 
o 

e) Her H ⊂ Y kapalı kümesi için  F + ( H )  ⊂ F + ( H ) olur.


f) Her H ⊂ Y regüler kapalı kümesi için F + ( H ) ⊂ X kapalıdır.
Teorem 4.5:
F : X →Y
X , herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay ve
bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler
13
eşdeğerdir.
a) F , x0 ’da almost D-a.y.s. dir.
0
0


b) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan Fσ -açık her V kümesi için x0 ∈  F − (V )  dir.


c) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan Fσ -açık her regüler V açık kümesi için x0 ∈
0
 F − (V )  dir.
d) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan açık Fσ her regüler açık V kümesi için x0 ’ın
x ∈ U x0 ⇒ F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan bir U x0
açık komşuluğu
vardır.
e) x0 ’a yakınsak olan her (a λ ) λ∈∆ ağı ve F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan açık Fσ her
regüler açık V kümesi için λ ≥ λ0 iken F (aλ ) ∩ V ≠ ∅ olacak şekilde en az bir
λ0 ∈ ∆ vardır.
Teorem 4.6: X , herhangi bir topolojik uzay, Y semiregüler uzay, F : X → Y
çoğul-değerli bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir.
a) F , x0 ’da almost D-a.y.s.dir.
0
0


b) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan her V ⊂ Y açık kümesi için x0 ∈  F − (V )  dir.


c) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan her V ⊂ Y regüler açık kümesi için x0 ∈  F − (V ) 
0
dir.
d) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan her V ⊂ Y
regüler açık kümesi için x0 ’ın
x ∈ U x0 ⇒ F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan bir U x0
açık komşuluğu
vardır.
e) x0 ’a yakınsak olan her (aλ )λ∈∆ ağı ve F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan her V ⊂ Y
regüler açık kümesi için en az bir λ0 ∈ ∆ vardır öyle ki her λ ≥ λ0 için
F (aλ ) ∩ V ≠ ∅ olur.
Teorem 4.7: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu D-a.y.s. ise almost D-a.y.s.
dir.
İspat: F , D-a.y.s. olsun. Bir x ∈ X için F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan bir V açık Fσ -
14
kümesini alalım. F D-a.y.s. olduğundan z ∈ U x iken F ( z ) ∩ V ≠ ∅ olan X
içinde x ’i bulunduran bir U x açık kümesi vardır. V açık ve her z ∈ U x için
o
F ( z ) ∩ V ≠ ∅ olduğundan öyle ki F ( z ) ∩ V ≠ ∅ olur. Bu F ’nin x ∈ X ’de
almost D-a.y.s. olmasını verir. x ∈ X keyfi olduğun-dan F , X üzerinde
almost D-a.y.s. olur.
Teorem 4.8: F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu D-ü.y.s. ise almost D-ü.y.s.
dir.
İspat : F D-ü.y.s. olsun. Bir x ∈ X için F ( x) ⊂ V olan bir V açık Fσ kümesini alalım. F D-a.y.s. olduğundan z ∈ U x iken F ( z ) ⊂ V olan X içinde
x ’i bulunduran bir U x açık kümesi vardır. V açık ve her z ∈ U x için F ( z ) ⊂ V
o
olduğundan öyle ki F ( z ) ⊂ V olur. Bu F ’nin x ∈ X ’de almost D-ü.y.s.
olmasını verir. x ∈ X keyfi olduğundan F , X üzerinde almost D-ü.y.s. olur.
Sonuç 4.9: Y , C-kompakt ve Hausdorff uzay olsun. Eğer
F : X →Y
fonksiyonu kuvvetli kapalı grafikli ise F , almost D-ü.y.s.dir.
İspat : F , kuvvetli kapalı grafikli olduğundan Önerme 2.6’dan F , Dü.y.s.dir. Teorem 4.8. den de F , almost D-ü.y.s.dir.
Teorem 4.10: Y , C-kompakt, Hausdorff ve kapalı kümeleri Gδ -küme olan
uzay ve F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu nokta kompakt ise aşağıdakiler
eşdeğerdir.
a) F , almost D-ü.y.s.dir.
b) G(F), kuvvetli kapalıdır.
c) F , D-ü.y.s.dir.
Teorem 4.11: Y , regüler ve kapalı kümeleri Gδ -kümelerden oluşan uzay
olsun. Bu durumda F : X → Y çoğul-değerli fonksiyonu almost D-a.y.s.dir.⇔
F , a.y.s.dir.
İspat (⇒): F , bir x 0 ∈ X ’de almost D-a.y.s. olsun. V , F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan bir
açık küme olsun. y ∈ F ( x0 ) ∩ V alalım. Bu durumda y ∈ F ( x0 ) ve y ∈ V dir. Y ,
regüler uzay olduğundan y ∈ G ⊂ G ⊂ V olan bir açık G ⊂ Y kümesi vardır.
Dolayısıyla y ∈ F ( x0 ) ∩ G ≠ ∅ dır. Y − G , kapalı Gδ -küme ve F , x 0 ’da almost
15
o
D-a.y.s. olduğundan x 0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x0 ) ∩ G ≠ ∅ gerektirmesini sağlayan
0
bir açık U x0 ⊂ X komşuluğu vardır. Buradan G ⊂ V olduğundan x ∈ U x0 iken
F ( x) ∩ V ≠ ∅ olur. Dolayısıyla F , x0 ’da a.y.s.dir. x 0 ∈ X keyfi olduğundan
F , X üzerin- de a.y.s. olur.
(⇐): F , a.y.s. olduğundan ∀ V ⊂ Y açığı için F − (V ) ⊂ X açıktır. V ,
açık Fσ -küme olduğunda F − (V ) ’de açık olur. O halde F , D-a.y.s. dir.
Dolayısıyla Teorem 4.7’den F , almost D-a.y.s. dir.
Teorem 4.12: X , herhangi bir topolojik uzay, Y , regüler ve kapalı alt
kümeleri Gδ -küme olan uzay olsun. F : X → Y nokta parakompakt bir çoğuldeğerli fonksiyon olsun. Bu durumda F almost D-ü.y.s. dir ⇔ F ü.y.s. dir.
İspat (⇒): F , herhangi bir x 0 ∈ X ’de almost D-ü.y.s. ve V , F ( x0 ) ⊂ V olan
bir açık küme olsun. y ∈ F ( x0 ) için
{ y} ⊂ V
dir. Y regüler uzay olduğundan
y ∈ Gy ⊂ Gy ⊂ V
Gy ⊂ Y
açık kümesi vardır. Buradan
F ( x0 ) ⊂
U
olan en az bir
Gy ⊂
y∈F ( x0 )
{
U
Gy ⊂ V
olur.
F ( x0 )
parakompakt
oldu-
ğundan,
y∈F ( x0 )
}
ϑ = G y y ∈ F (x0 )
{
}
örtüsünün F ( x0 ) ’ı örten yerel sonlu bir γ = Ty y ∈ F ( x0 )
inceliği vardır. Buradan
U
Ty = T
dersek F ( x0 ) ⊂ T ⊂ T ⊂
U
Gy ⊂ V
y∈F ( x0 )
y∈F ( x0 )
olur. Y − T , kapalı ve dolayısıyla kapalı Gδ -kümedir. F , almost D-ü.y.s.
o
olduğundan x0 ’ın x ∈ U x0 ⇒ F ( x) ⊂ T ⊂ T
⊂ V gerektirmesini sağlayan bir
U x0 ⊂ X açık komşuluğu vardır. O halde F , x0 ’da ü.y.s.dir. x0 ∈ X keyfi
olduğundan F , X üzerinde ü.y.s. dir.
(⇐): F , ü.y.s. olduğundan ∀ V ⊂ Y kapalısı için F − (V ) ⊂ X kapalıdır.
V , kapalı Gδ -küme olduğunda F − (V ) ’de kapalı olur. O halde F , D-ü.y.s.
dir. Dolayısıyla Teorem 4.8’den F , almost D-ü.y.s. dir.
16
5.
Çoğul
Değerli
Fonksiyonların
Zayıfça
D-Üstten
(Alttan)
Yarı
Süreklilikleri
Tanım 5.1: F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon ve x0 ∈ X olsun.
a) F ( x0 ) ⊂ V olan V ⊂ Y açık kümesi için her x ∈ U x0 iken F ( x) ⊂ V
olacak şekilde en az bir U x0 ⊂ X açık komşuluğu varsa F ’ye x0 ’da zayıfça
üstten yarı sürekli denir.
b)
F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olan V ⊂ Y
açık kümesi için her
x ∈ U x0
iken
F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ olacak şekilde en az bir U x0 ⊂ X açık komşuluğu varsa F ’ye
x0 ’da zayıfça alttan yarı sürekli denir.
c) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ile tümleyeni kapalı Gδ -küme olan her V kümesi için
x ∈ U x0 için F ( x) ⊂ V gerektirmesini sağlayan x0 ’ın U x0 ⊂ X açık komşuluğu
varsa F ’ye x0 ’da zayıfça D-ü.y.s. denir.
d) F ( x0 ) ∩ V ≠ ∅ ile tümleyeni kapalı Gδ -küme olan her V kümesi için
x ∈ U x0
için
F ( x) ∩ V ≠ ∅
gerektirmesini sağlayan
x0 ’ın
U x0 ⊂ X
açık
komşuluğu varsa F ’ye x0 ’da zayıfça D-a.y.s. denir.
Önerme 5.2: F : X → Y bir çoğul-değerli fonksiyon olsun.
a) F , D-ü.y.s. ise zayıfça D-ü.y.s. dir.
b) F , almost D-ü.y.s. ise zayıfça D-ü.y.s. dir.
c) F , D-a.y.s. ise zayıfça D-a.y.s. dir.
d) F , almost D-a.y.s. ise zayıfça D-a.y.s. dir.
İspat : Tanımlardan açıktır.
Tanım 5.3: ( X , τ ) bir topolojik uzay olsun. θ ⊂ τ için ∩θ ∈ τ oluyorsa bu
uzaya doymuş uzay denir.
Önerme 5.4: X doymuş uzay, Y regüler ve Hausdorff uzay, F : X → Y bir
çoğul-değerli fonksiyonu nokta kompakt olsun. F , D-ü.y.s. ise zayıfça ü.y.s.
dir.
İspat : F , D-ü.y.s, nokta kompakt ve herhangi bir x0 ∈ X alalım. F ( x0 ) ⊂ V
(V ⊂ Y ) açık küme olsun. Y Hausdorff ve F ( x0 ) kompakt ve F ( x0 ) ⊂ V
17
olduğundan F ( x0 ) ⊂ W ⊂ W ⊂ V olan en az bir W kapalı Gδ -kümesi vardır.
Ayrıca her y ∉ W için Y , regüler ve Hausdorff uzay olduğundan, en az bir
y ∈ H y ⊂ Y açık ve W ⊂ Fy ⊂ Y kapalı kümeleri vardır öyle ki H y ∩ Fy = ∅
tur. W ⊂ Fy olduğundan, W ∩ H y = ∅ tur. Diğer yandan y ∈ H y açığı için Y
regüler olduğundan en az bir G y ⊂ Y açığı vardır. Buradan y ∈ G y ⊂ G y ⊂ H y
olur ve G y kapalı Gδ -kümedir. Buradan F ( x0 ) ⊂ W ⊂ Y − G y tümleyeni kapalı
Gδ -kümedir. F ,D-ü.y.s. olduğundan x0 ’ın F (U y ) ⊂ Y − G y olan bir U y ⊂ X
açık komşuluğu vardır. X uzayı doymuş olduğundan U x0 =
IU
denirse,
y
y∉W
U x0 açık ve F (U x0 ) ⊂ W ⊂ V olur. Böylece F , x0 ’da zayıfça ü.y.s. dir. x0 ∈ X
keyfi olduğundan F , X üzerinde zayıfça ü.y.s. dir.
Önerme 5.5: X ve Y uzayları regüler ve F , X ’den Y ’ye açık, kapalı ve
tek nokta kapalı dönüşüm ise F , zayıfça D-ü.y.s. dir.
İspat : Kabul edelim ki F , x0 ∈ X ’de zayıfça D-ü.y.s. olmasın. Bu durumda
F ( x0 ) ⊂ V koşulunu sağlayan ve kapalı Gδ -küme olan V ⊂ Y kümesi vardır,
x0 ’ı bulunduran her U açık kümesi için F (U ) ⊄ V olur. Buradan her U ∈ nx0
için F (U ) ∩ (Y − V ) ≠ ∅ dur. Ayrıca F kapalı dönüşüm olduğundan F (U ) ⊂ Y
kapalıdır. Böylece
{F (U ) ∩ (Y − V )
}
U ∈ nx0
ailesi, Y − V ’nin kapalı alt
kümelerinden oluşan ve içleri sonlu arakesit özelliğine sahip olan bir ailedir.
Gerçekten
en
az
bir
n 0 ∈N
0
n0
I  F (U ) ∩ (Y − V ) 
için
i
=∅
olsaydı,
i =1
0
I [F (U )]
n0
i
∩ (Y − V ) =∅
i=1
I[
n0
i =1
0
]
olup
0
I [F (U )]
n0
i
⊂V
olurdu.
Buradan
i=1
0
0
0
 n0

 n0

 n0

F (U i ) = I F( U i ) ⊂ V ve  F (IU i ) ⊂ V ve  F (IU i ) ⊂ V elde ederiz.
 i =1

 i =1

 i =1

0
 n0   n0

U i ’ler açık ve F açık dönüşüm olduğun- dan F  IU i  =  F (IU i ) ⊂ V dir.
 i =1   i =1

18
Bu ise F ’nin x0 da zayıfça D-ü.y.s. olmasını verir. Öyleyse kabulümüz ile
çelişki doğar. Y uzayı D-regüler uzay olduğundan
I
F (U ) ∩ (Y − V ) ≠ ∅
U ∈nx0
y ∈Y
olur. Bir
I
için y∈
F (U ) ∩ (Y − V ) dir.
F ( x0 ) ⊂ V
olduğundan
U ∈nx0
y ∈ F ( x0 ) dır. Buradan F − ( y ) ∩ { x0 } = ∅ ve x0 ∉ F − ( y ) olur. X uzayı regüler
ve F − ( y ) kapalı olduğundan en az bir U1 , U 2 ⊂ X açık kümeleri
x0 ∈ U1 ,
F − ( y ) ⊂ U 2 ve U1 ∩ U 2 = ∅ olacak şekilde vardır. U1 ∩ F − ( y ) = ∅ olur. Sonuç
olarak y ∉ F (U1 ) olur ki y ∈
I
F (U ) ∩ (Y − V ) oluşu ile çelişir. Bu çelişkiye
U ∈nx0
F , x0 ’da zayıfça D-ü.y.s. olmasın demekle düştük. O halde F , x0 ’da zayıfça
D-ü.y.s. dir.
F : X →Y
çoğul-değerli
bir
fonksiyon
olsun.
Her
x∈ X
için
F ( x) = F ( x) ile F : X → Y bir yeni fonksiyon tanımlayalım.
Önerme 5.6: F : X → Y zayıfça D-ü.y.s. ise F : X → Y zayıfça D-ü.y.s. dir.
İspat : x ∈ X ve F ( x) ⊂ W olduğundan Y − W tümleyeni kapalı Gδ -küme
olsun.
F ( x) = F ( x) ⊂ W
olduğundan, bir x ∈ U x ⊂ X
Buradan
F (U ) ⊂ W
ise
F ( x) ⊂ W
olduğundan,
dir.
F , zayıfça D-ü.y.s.
açık kümesi vardır öyle ki F (U ) ⊂ W
F (U ) ⊂ W
tır.
F (U ) = U F ( x) = U F (U ) ⊂
x∈U
dir.
F (U )
x∈U
olduğundan F (U ) ⊂ W tır ve böylece F , x ∈ X ’de zayıfça D-ü.y.s. dir.
Kaynaklar
[1] H. Blumberg, New Properties Of All Real Functions, Trans. Amer. Math.
Soc. 24 (1922), 113-128.
[2] T. Husaın, Almost Continuous Mapping, Proae.Math. 10 (1966), 1-7
[3] C.T.R. Borgers, A Study Of Multivalued Functions, Pasific. J. Math., 23
(1967), 45-1461.
[4] M.K. Sıngal and Sıngal, Almost Continuous Mappings, Yokohama Math.
J., 16, (1968), 63-73.
19
[5] J.K.Kohlı, D-Continuous Functions, D-Regular Spaces and D-Hausdorff
Spaces, Bull. Cal. Math. Soc. 84 (1992), 39-46.
[6] V.I. Ponomarev, A New Space Of Closed Sets and Multivalued
Continuous Mappings Of Bicompacta, Amer. Math. Soc. 38 (1964),95-118.
[7] P.E. Long and L.L. Herrıngton, Functions With Strongly-Closed Graphs,
Boll. U.M.I. (Italy) (4), 12, (1975), 381-384.
[8] E. Mıchael, Topologies On Spacies Of Subsets, Trans. Amer. Math. Soc.,
71 (1951), 152-182.
[9] G. Choquet, Convergence, Grenoble Universıty Annalles, 23 (1947), 57112.
[10] Y. Küçük, M. Akdağ, 2 Y -Üzerinde Çeşitli Topolojiler Ve Çoğul-Değerli
Fonksiyonların H-Süreklilikleri, IV. Ulusal Matematik Sempozyumu Bildiri
Özetleri Kitapçığı, 1991.
[11] C. Dorset, Semi-regular spaces, Soochow J. Math. vol 8, 1982, 45-53.
[12] M.K. Sıngal and S.P. Arya, On Almost-Regular
Spaces, Glasnik
Matematicki, (24), 4, (1969), 89-99.
[13] M. Eısenberg, Topology, Holt Rinehart and Winston, Inc. 1974.
[14] M. Akdağ, On The Upper Lower D-Continuous Multifunctions, Appl.
Math. E-Notes, 1 (2001), 104-110.
[15] N.C. Heldermann, Developability and Some New Regularity Axioms,
Canad, J. Math. 33-641,1981.
[16] Y. Küçük, M. Akdağ, Çoğul-Değerli Fonksiyonların H-Almost Süreklilikleri Üzerine, C. Ü. Fen-Edb. Fak., Fen Bil. Dergisi, Sayı:15, Kasım 1993.
20