ÇEVRE MODELLEMESİ

ÇEV-402 ÇEVRE MODELLEMESİ
Çevre kirlenmesi probleminin belirlenmesi ve çözüm yollarının bulunmasında matematiksel
modellerin kullanılması oldukça yenidir. Fakat sistem analizi kavramının neleri ihtiva ettiğinin belirlenmesi
çok zor olup ve genel bir tarif üzerinde bir fikir birliğine varmak da hemen hemen imkânsızdır. Sistem
analizi faaliyetlerinde değişik alternatiflerin ortaya konulması için matematiksel modeller ve bu
matematiksel modellerin bilgisayar teknikleriyle elde edilen modifikasyonları kullanılır. Matematiksel
modellerin bir sistemde uygulanmasını kavramak için sistem ile ilgili kavramların çok iyi bilinmesi gerekir.
Üzerinde araştırma yapmak maksadıyla sınırlandırılmış olan bir evren parçası bir malzeme ya da bir
teçhizata SİSTEM denir. Sistemi çevreleyen yere de ORTAM denir. Bu tarife göre sistemler 3 kısımda
incelenir.
1-İzole sistemler(ısı ve kütle alışverişi olmayan sistemler)
2-Kapalı sistemler(Madde alışverişi olmayan fakat ısı alışverişi olan sistemler)
3-Açık sistemler(Hem madde hem de ısı alışverişi olan sistemler)
Bir sistemi tanımlayabilmek için gerekli olan kütle(m),madde miktarı (n), hacim(V), basınç(P),
sıcaklık (T) ve derişim (X) gibi mutlak değerlerle ölçülebilen değişkenlere sistemin hal değişkenleri
denir. Bunlarda kendi aralarında, birbirleriyle eşitlik yazılabilen değişkenlere bağımlı değişken,
yazılamayanlara ise bağımsız değişken adı verilir. Sistemi tanımlayabilmek için yeterli olan ve şiddet
özelliği taşıyan bağımsız hal değişkenlerinin sayısına ve sistemin serbestlik derecesi denir.
Hal değişiklerinde madde miktarı, hacim gibi değişkenler sistemin kapasite özelliğini basınç, T, X
gibi değişkenler de sistemin şiddet özelliğini gösterir.
Bir sistem içerisinde tüm şiddet özelliklerinin aynı olduğu bölgelere faz denir. Buna göre de tek fazlı
sistemlere homojen, çok fazlı sistemlere de heterojen sistem denir.
Fiziksel ve kimyasal olaylarının meydana geldiği gerek kapalı ve gerekse açık sistemlerde hal
değişkenlerinden bazıları sabit tutulabilir. Buna göre;
T sabit ise İZOTERMİK SİSTEM
V sabit ise İZOKORİK SİSTEM
P sabit ise İZOBARİK SİSTEM
Isı alışverişi yok ise ADİYABATİK SİSTEM
Hiçbir kısıtlama olmayan sistemler POLİTROFİK SİSTEM adını alır.
Yine sistemler işlerin sürekliliğine bağlı olarak da iki kısımda incelenirler.
1. Sistemin özellikleri aynı ise ve sistemde birikme yok ise böyle sistemlere kararlı sistemler denir (Steady
State).
2. Sistemin özellikleri hergün aynı değil ve sistemde birikme varsa bu tür sistemlere kararsız hal sistemleri
denir (Unsteady State).
MATEMATİKSEL MODELLEME
Bir işlemin davranışlarını incelerken ilgili birimlerin ayrı ayrı ya da bir bütün olarak denklemlerle
gösterilmesi, bir başka deyişle matematiksel modellenmesi çevre mühendisliğinde çok büyük önem taşır.
Matematik, kimya ve fizik ve bazen de biyolojiden faydalanılarak geliştirilen model işlemin belli şartlar
altında nasıl davranacağını ortaya koyar. Bir model oluşturulurken şunlara çok dikkat edilmelidir.
Şekil 1. Matematiksel Modelin Akış Diyagramı
Teori: Burada daha önce yayınlanmış verilerden faydalanır. Şayet veri yoksa temel ilkelere göre bazı
tahminler yapılır.
Eşitlikler: Faydalanılan teoriler ilkeler matematiksel eşitliklere çevrilerek elde edilir.
Bilgi Akışı: Burada da çözüm mantık ve çabukluğu açısından yapılacak işlemlerin öncelik sıralaması
yapılır.Herhangi bir model yapılırken işlemin analizinde izlenecek adımlar şu şekilde sıralanabilir.
1-Sistemi tanımlayan matematiksel modelin oluşturulması
V= f (ta , T b ,Kc ,rd ,ce)
v=t
gibi
2-Modeli çözerek işlemin davranışlarının belirlenmesi
X=t1/2 ,T3 ,K0.75 ,r
1,5
es
x
0,50
1
0
1
3-Model sonuçlarının sistemin gerçek durumu ile karşılaştırılması
4-Modeldeki kısıtlayıcı şartların bulunması.
5-Sistem parametrelerinin işlem davranışı üzerindeki etkilerinin araştırılması
6-Çeşitli etkiler altında modelin davranışları incelenir ve tasarıma geçilir.
Bütün bunlar matematiksel modelin mantıki alt yapısı olup aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
Sistemin Durumu
Modelin yeniden
gözden geçirilmesi
Modelin
oluşturulması
Problemin
amaçları
Modelin
davranışı
Modelin öngördüğü değerlerle gerçek
durumun karşılaştırılması
Uygun
Amaca uygun
değerlerin
bulunması
Tasarım
Şekil 2. Matematiksel modellemenin mantık diyagramı
Matematiksel modellemede en fazla faydalanılan temel yasalar şunlardır.
1- Momentumun korunumu yasası: BASINÇ DENGESİ
2- Enerjinin korunumu yasası: ISI DENGESİ
3- Kütlenin korunumu yasası: KÜTLE DENGESİ
4- Matematiğin temel yasaları: İntegral, türev, diferansiyel, hata fonksiyonu ve diğer spesifik
uygulamalar.
5-Fizik ve kimyanın temel yasaları: Newton kanunları, termodinamik kanunları, kimyasal denge ve
kimyasal reaksiyon hız eşitlikleri
Sistemin tüm ayrıntıları ile ifade
edilmesi karmaşık denklemler
gerektirir.
Model
Mühendislik amacı ile
yeterli sonuçların
alınması daha basit
denklemler gerektirir.
Matematiksel modelleme ile yukarıda özetlenen iki durum arasında amaca uygun olarak bir çözüm
bulunur. Yukarıdaki bu yasaları teker teker kabaca incelemeye alalım.
1. Momentumun Dengesi: Kütle ve enerji dengesine benzer bunlardan ayrılan tek farkı vektörel
olmasıdır. Dolayısıyla toplam lineer momentum P= M*V (kütle*hız) bağıntısıyla bulunur. Newton’un I.
Hareket Yasasından başlanarak lineer momentum için bir momentum denge eşitliği geliştirilebilir.Bir
sistemde momentumun değişim hızı sistem üzerindeki tüm aktif kuvvetlerin zamanla değişim hızına eşit
olup herhangi bir yöndeki net kuvvetin yönü ile belirlenir.
=
ile ifade edilir. Bu denklem momentumun korunumu hali için bir Kontrol Hacmi
üzerinde şu şekilde yazılabilir.
Tek yönlü akış sisteminde momentum dengesi
K.H üzerinde
K.H. dışarıya
etkileyen
doğru
kuvvetlerin
momentum hızı
toplamı
V1
V2
P1
P2
K.H içerisine doğru
momentum hızı
K.H üzerinde
biriken
momentum hızı
y
x
Momentumun dengesi eşitliğin oldukça yaygın bir uygulaması tek yönlü yeni bir x yönünde akışın
olması halidir. Şekilde görüldüğü gibi bir kontrol hacmi üzerinde bir akışkanın aktığını düşünelim. Net hız
V=V*x olsun.Hacim üzerindeki net kuvvet;
=Fxg+Fxp+Fxs+Rx =
Fxg =Yerçekimi etkisi
Fxp= Basınç etkisi
Fxs=Sürtünme etkisi
Rx=Katı yüzeyin uyguladığı yüzey kuvveti.
Bu integral
Fxg+Fxp+Fxs+Rx =
ve
sınır şartları altında
–
Şayet
akım
olduğu
(Vx2)ort=
bu
alan
sabit
değilse,
geçiş
yüzey
alanı
değişiyorsa
olur. Bu durumda
Pxp =P2A2- P1A1
Rx = mV2-mV1+ P2A2- P1A1 olur.
2. Kütle Dengesi: Fiziğin temel kanunlarından biri olan kütlenin korunumu proses bazında herhangi bir
prosese giren tüm maddelerin toplam girişi prosesten çıkan ve proseste biriken maddelerin toplamına
eşittir.
A
B
Giren A= Çıkan B+biriken A, Giren A=Çıkan B
Çoğu durumda birikmede yoktur. Dolayısıyla giren madde miktarı doğrudan çıkan madde miktarına
eşittir. Madde dengesi problemlerini çözmek için aşağıda sıralandığı gibi bir seri işlemin sırasıyla yapılması
tavsiye edilir.
1. Prosesin basit bir akış diyagramı yapılır.
2. Proseste meydana gelen kimyasal eşitlikler yapılır.
3. Hesaplama için basit bir temel seçilir.
4. Madde dengesi hazırlanır.
Bütün bu basamaklara göre yapılan kütle denklikleri 3 grupta incelenir.
1. Genel bir kütle denkliği:
A
B
2. Geri döngülü kütle denklikleri: A
B
3. Kimyasal reaksiyonun olduğu durumdaki kütle denkliği
3.Enerji dengesi: Enerji birçok formda görünebilir. Mesela, potansiyel enerji, kritik enerji, entalpi,
elektrik, iş, ısı birer enerjidir. Enerji denkliğini kütle denkliğinden ayıran tek fark, enerji denkliği yapılırken
maddelerin 25oC ki standart reaksiyon entalpisi de dikkate alınmak zorundadır. Bu noktadan hareketle
herhangi bir prosese giren ısı ve enerji prosesten ayrılan veya malzeme ile birlikte çıkan enerjiye eşittir.
Matematiksel olarak,
-
H298) + q =
Şeklinde ifade edilir.
HR:Reaksiyona giren bütün maddelerin entalpi toplamları.
H=25oC ve 1atm deki herhangi bir maddenin standart entalpisidir.
q=Sisteme giren(ilave edilen) net enerji veya ısı.
Hp: 25oC ve 1atm deki referans durumuna göre sistemi terk eden maddelerin entalpi toplamıdır.
4.Fizik ve kimyanın temel yasaları:
a-) Kütlenin korunumu yasası: Bir kimyasal reaksiyona giren maddelerin kütlesi, reaksiyondan çıkan
maddelerin kütlesine eşittir. Yani bir kimyasal reaksiyonda madde korunur.
b-) Sabit oranlar yasası: Bir kimyasal reaksiyona giren ve çıkan maddelerin kütleleri arasında
yazılacak her bir oran toplam kütleden bağımsız olarak sabittir(prost)
c-) Katlı oranlar yasası: 2 element birbirleri ile birden fazla bileşik yapıyorsa bu elementlerden
birinin sabit kütlesi ile diğerinin değişen kütleleri arasında tamsayılarla ifade edilen basit bir oran
vardır.(john dalton)
d-) Gay luchas ve Avagadro yasası: Bir kimyasal reaksiyona giren ve çıkan gazların aynı şartlardaki
hacimleri arasında tamsayılarla verilen basit oranlar vardır.
e-) Bay-Mariot yasası: Molar miktarları ve sıcaklıkları aynı olan ideal gazların basınçları ile
hacimlerinin çarpımı sabittir.
f-) Dalton kısmi basıçlar yasası: Herhangi bir gaz karışımındaki bir gazın kısmi basıncı o gazın mol
kesri ile toplam basıncın çarpımına eşittir.
g-) Rough yasası: Bir seyreltik çözeltideki bileşenlerden birinin buhar basıncı o çözeltideki o
çözeltideki mol kesri ile çözeltinin buhar basıncının çarpımına eşittir.
h-)Henry yasası:Bir çözeltideki bileşenlerden birinin buhar basıncı o çözeltinin Henry sabiti ile mol
kesrinin çarpımına eşittir.
I-)Amagad Yasası:Bir karışımdaki herhangi bir gazın kısmi hacmi o gazın kısmi mol kesri ile toplam
hacminin çarpımına eşittir.
i-)Termodinamik kanunları:3 temel kanunu vardır:
1-Eylemsizlik:Cisme etki eden kuvvet bileşkesi sıfır ise cisim durur yada sabit hızla hareketine
devam eder.
2-F=m*a
3-Etki tepki=
5-Matematiğin Temel İlkeleri:
2 nolu ders notları
m0*a0=m1*a1