tıklayınız

TRİGONOMETRİ
Dik üçgenlerde trigonometri, kenarların oranlanması anlamına gelmektedir.
Her iki kenar oranı farklı trigonometrik oranlar ile gösterilir.
8.sınıf müfredatında 4 çeşit trigonometrik oran göreceksiniz.
Trigonometrik oranlarımızda şimdilik dar açılı üçgenleri kullanacağız.
TRİGOMOMETRİK ORANLAR:
1. SİNÜS(SİN): Bir dük üçgende bir açının karşısındaki kenarın,hipotenüse oranıdır.
A
̂=
𝑺𝒊𝒏𝑨
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒙
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝒛
̂=
𝑺𝒊𝒏𝑪
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝒚
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝒛
̂=
𝑺𝒊𝒏𝑨
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟒
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝟓
̂=
𝑺𝒊𝒏𝑪
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟑
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝟓
𝒛
𝒚
.
B
C
𝒙
A
ÖR:
5cm
𝟑cm
.
C
𝟒cm
B
2. KOSİNOS(COS): Bir dik üçgende bir açının komşu dik kenarının hipotenüse oranıdır.
A
𝒛
𝒚
.
C
𝒙
B
̂=
𝑪𝒐𝒔𝑨
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒚
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝒛
̂=
𝑪𝒐𝒔𝑪
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝒙
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝒛
A
ÖR:
𝟑cm
B .
5cm
𝟒cm
C
̂=
𝑪𝒐𝒔𝑨
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟑
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝟓
̂=
𝑪𝒐𝒔𝑪
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟒
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝟓
3. TANJANT(TAN): Bir dik üçgende karşı dik kenarın, komşu dik kenara oranına denir.
A
̂=
𝑻𝒂𝒏𝑨
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝒚
=
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒙
̂=
𝑻𝒂𝒏𝑪
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝒙
=
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒚
𝒛
𝒙
.
C
𝒚
B
A
ÖR:
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟒
=
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟑
̂=
𝑻𝒂𝒏𝑪
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟑
=
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟒
5
𝟑
B
̂=
𝑻𝒂𝒏𝑨
.
C
𝟒
4.KOTANJANT(COT): Bir dik üçgende komşu dik kenarın, karşı dik kenara oranına denir.
A
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒙
̂=
𝑪𝒐𝒕𝑨
=
𝒛
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝒚
𝒙
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒚
̂=
𝑪𝒐𝒕𝑩
=
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝒙
.
𝒚
C
B
A
ÖR:
̂=
𝑪𝒐𝒕𝑨
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟑
=
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟒
̂=
𝑪𝒐𝒕𝑩
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟒
=
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟑
𝟓
𝟑
B
.
C
𝟒
′
𝟑𝟎𝑶 , 𝟔𝟎𝑶 , 𝟗𝟎𝑶 𝒍𝒊𝒌 𝒅𝒊𝒌 üç𝒈𝒆𝒏𝒍𝒆𝒓𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒌 𝒐𝒓𝒂𝒏𝒍𝒂𝒓
A
𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎𝒐 =
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝒐 =
𝟏
𝟐
𝟑𝟎𝟎
𝟐𝒄𝒎
√𝟑𝒄𝒎
𝟔𝟎𝟎
.
B
𝟏𝒄𝒎
C
𝑻𝒂𝒏𝟑𝟎𝒐 =
𝟏
√𝟑
𝑪𝒐𝒕𝟑𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟏
𝑻𝒂𝒏𝟔𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟏
𝑪𝒐𝒕𝟔𝟎𝒐 =
𝟏
√𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎𝒐 =
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝒐 =
𝟏
𝟐
𝑻𝒂𝒏𝟑𝟎𝒐 =
𝟏
𝑻𝒂𝒏𝟔𝟎𝒐 =
√𝟑
𝑪𝒐𝒕𝟑𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟏
√𝟑
𝟏
𝑪𝒐𝒕𝟔𝟎𝒐 =
𝟏
√𝟑
Yukarıdaki eşleşmelere bakarsanız;
𝑠𝑖𝑛30𝑜 = 𝑐𝑜𝑠600 , 𝑐𝑜𝑠30𝑜 = 𝑠𝑖𝑛60𝑜 , 𝑡𝑎𝑛30𝑜 = 𝑐𝑜𝑡60𝑜 𝑣𝑒 𝑐𝑜𝑡30𝑜 = 𝑡𝑎𝑛60𝑜
DİKKAT:
 İKİ TÜMLER AÇIDAN BİRİNİN SİNÜSÜ,DİĞERİNİN COSİNÜSÜNE EŞİTTİR.
 İKİ TÜMLER AÇIDAN BİRİNİN TANJANTI,DİĞERİNİN COTANJANTINA EŞİTTİR.
ÖR: 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟐𝒐 = 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟖𝒐
𝒕𝒂𝒏𝟏𝟓𝒐 = 𝒄𝒐𝒕𝟕𝟓𝒐
𝒄𝒐𝒕𝟒𝟎𝒐 = 𝒕𝒂𝒏𝟓𝟎𝒐
′
𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒐 = 𝒔𝒊𝒏𝟕𝟖𝒐
𝟒𝟓𝒐 , 𝟒𝟓𝒐 , 𝟗𝟎𝒐 𝒍𝒊𝒌 𝒅𝒊𝒌 üç𝒈𝒆𝒏𝒍𝒆𝒓𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒌 𝒐𝒓𝒂𝒏𝒍𝒂𝒓
A
𝟒𝟓𝒐
𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓𝒐 =
√𝟐
1
𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓𝒐 =
B
𝟒𝟓𝒐
.
1
C
𝒕𝒂𝒏𝟒𝟓𝒐 =
𝟏
√𝟐
𝟏
√𝟐
𝟏
=𝟏
𝟏
𝒄𝒐𝒕𝟒𝟓𝒐 =
𝟏
=𝟏
𝟏
ÖZEL DURUMLAR:
̂=
𝒕𝒂𝒏𝑨
̂
𝒔𝒊𝒏𝑨
̂
𝒄𝒐𝒔𝑨
̂
𝒄𝒐𝒔𝑨
̂=
𝒄𝒐𝒕𝑨
̂
𝒔𝒊𝒏𝑨
̂ . 𝒄𝒐𝒕𝑨
̂=𝟏
𝒕𝒂𝒏𝑨
̂ )𝟐 + (𝒄𝒐𝒔𝑨
̂ )𝟐 = 𝟏
(𝒔𝒊𝒏𝑨
DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR TABLOSU
Yandaki tabloda ;

𝟒𝟓𝟎 ve daha küçük açılar üstteki
trigonometrik oranlardan bulunur.
𝟒𝟓𝟎 ve daha büyük açılar alttaki
trigonometrik oranlardan bulunur.
==> Tablomuz sembolik olarak
verilmiştir.Tüm tabloyu vermeye gerek
yok,önemli olan tablonun nasıl kullanılacağını
bilmek.

ÖR: 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟒𝒐 = 𝟎, 𝟓𝟓𝟗𝟐 (üstten bakılarak bulundu.)
𝒔𝒊𝒏𝟓𝟕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟖𝟕 (alttan bakılarak bulundu.)
𝒕𝒂𝒏𝟒𝟏𝒐 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝟓 (üstten bakılarak bulundu.)
𝒄𝒐𝒕𝟔𝟓𝒐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟒 (alttan bakılarak bulundu.)
𝑪𝒐𝒔𝟒𝟖𝒐 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟗𝟏 (alttan bakılarak bulundu.)
𝒄𝒐𝒕𝟐𝟔𝒐 = 𝟏, 𝟗𝟗𝟓𝟗 (alttan bakılarak bulundu.)
ÖRNEKLERLE TRİGONOMETRİ
SORU 1 : 𝒔𝒊𝒏 𝒙 =
𝟔
𝟏𝟎
ise 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒕𝒂𝒏𝒙, 𝒄𝒐𝒕 𝒙 değerlerini bulunuz.
A
CEVAP:
𝒔𝒊𝒏 𝒙 =
𝟏𝟎
𝟔
Pisagor teoreminden 𝒚=𝟖 öyleyse;
𝒙
.
B
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟔
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝟏𝟎
𝒚=𝟖
C
𝒄𝒐𝒔 𝒙 =
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟖
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏ü𝒔
𝟏𝟎
𝒕𝒂𝒏 𝒙 =
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟔
=
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟖
𝒄𝒐𝒕 𝒙 =
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟖
=
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝟔
SORU 2 :
Şekildeki ağacın gölgesinin
uzunluğu 15 m ve güneş ışınlarının
yatayla yaptığı açı 𝟓𝟖𝒐 olduğuna
göre ağacın boyu kaç m’dir?
(tan58=1,6)
𝟓𝟖𝒐
CEVAP:
𝒕𝒂𝒏 𝟓𝟖𝒐 =
ağaç
𝒙𝒎
𝒙
𝒙
𝟏𝟔
= 𝟏, 𝟔 =>
=
=> 10𝒙 = 𝟏𝟔. 𝟏𝟓
𝟏𝟓
𝟏𝟓 𝟏𝟎
𝟓𝟖𝒐
𝟏𝟓 𝒎
ağacın
gölgesi
SORU 3:
𝒌𝒂𝒓ş𝚤 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓
𝒙
=
𝒌𝒐𝒎ş𝒖 𝒅𝒊𝒌 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓 𝟏𝟓
𝟏𝟎𝒙 = 𝟐𝟒𝟎 ==> 𝑥 = 24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒
𝟒
. 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒐 + √𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎𝒐
√𝟑
√𝟐. 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓𝒐 + 𝟐. 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝒐
İşleminin sonucu kaçtır?
CEVAP : Özel açılı üçgenlerimizden yararlanarak çözeceğiz bu soruyu.
𝟑𝟎𝒐
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟐
𝑺𝒊𝒏𝟔𝟎𝒐 =
√𝟑
𝟐
√𝟑
𝟔𝟎𝒐
.
𝟏
𝑺𝒊𝒏𝟒𝟓𝒐 =
𝟏
𝟒𝟓𝒐
.
𝟏
𝟒 √𝟑
√𝟑
𝟑 𝟕
.
+ √𝟑.
𝟐+𝟐 𝟐 𝟕 𝟏 𝟕
𝟐
𝟐
√𝟑
=
= = . =
𝟏
𝟐
𝟏
+
𝟐
𝟑 𝟐 𝟑 𝟔
+ 𝟐. 𝟐
√𝟐.
√𝟐
𝟏
√𝟐
𝟒𝟓𝒐
√𝟐
𝟒
𝟒 √𝟑
√𝟑
. 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒐 + √𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎𝒐
. 𝟐 + √𝟑. 𝟐
√𝟑
= √𝟑
𝟏
𝟐
√𝟐. 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓𝒐 + 𝟐. 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝒐
+ 𝟐. 𝟐
√𝟐.
√𝟐
𝑪𝒐𝒔𝟔𝟎𝒐 =
𝟏
𝟐
EĞİM
1. DİK ÜÇGENLERDE EĞİM: Dik üçgenlerde yatay ile yapılan açının tanjantı eğimi verir.
𝑨
ÖR:
Şeklimizin eğimi;
𝒆ğ𝒊𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝒂 =
𝟒
𝑩
𝒂
𝟑
𝟒
𝟑
Dikeydeki açının tanjantı eğimi vermez.
𝑪
2. DOĞRUDA EĞİM: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 doğru denklemlerinde y yalnız kalmak şartıyla, x’in katsayısı
eğimi verir.
ÖR: 𝟐𝒚 − 𝟑𝒙 = 𝟒 doğru denkleminin eğimini bulunuz.
𝟐𝒚 − 𝟑𝒙 = 𝟒 ==>
𝟒 𝟑𝒙
𝟑
2𝑦 = 4 + 3𝒙 ===> 𝑦 = +
𝒊𝒔𝒆 𝒆ğ𝒊𝒎 = 𝒎 =
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
3. DOĞRU GRAFİKLERİNDE EĞİM: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 doğru denklemlerinde eğimi grafik çizerek de
bulabiliriz fakat genelde x’in katsayısından eğimi bulmak daha kısa yoldur. Grafik
çizimlerinde oluşan dik üçgenlerin tanjantını alarak eğimi buluruz.
ÖR: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟓 doğrusunun eğimini bulunuz.
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟔 doğrusunda y yalnız olduğu için eğim x’in katsayısıdır. Dolayısıyla eğim 2’dir.
Fakat eğimi grafik çizerek bulacağız;
𝑦 = 2𝑥 + 6 denkleminde;
6
𝑦 = 0 𝑖ç𝑖𝑛 𝑥 = − = −3 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑚𝚤𝑧 (−3,0)
2
𝑥 = 0 𝑖ç𝑖𝑛 𝑦 = 6 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑚𝚤𝑧 (0,6)
𝟔
𝒂
−𝟑
Oluşan üçgende;
𝒆ğ𝒊𝒎 =
𝟔
=𝟐
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝒂 𝒃𝒊𝒛𝒆 𝒆ğ𝒊𝒎𝒊 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒊