Slayt Başlığı Yok

SAYILAR
RAKAMLAR
Sayıları ifade etmek için kullandığımız {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
kümesinin elemanlarının her birine
rakam denir.
Rakamların birlikte oluşturduğu
çokluğa
sayı
adı
verilir.
Her
rakam bir sayıdır, ancak her sayı
bir rakam değildir.
SAYI KÜMELERİ
  3,14
R
2
3
11
1
2
5

8 -3
11
4
e 2,718
Q
Z
-2
-
N
.0 .1
.2 .3
-5
-20
-11
-e
0, 7
e
N  N  Z  Q  R
ÇiFT SAYILAR
{...,
-4,
-2,
0,
2,
4
.....}
kümesinin
elemanları çifttir.
n  Z olmak üzere 2n, 4n, 6n + 2,
8n + 10, 12n - 4 sayıları birer çift sayıdır.
TEK SAYILAR
{..., -3, -1, 1, 3, .....} kümesinin elemanları tektir.
n  Z olmak üzere 2n - 1, 2n + 1,
8n + 5, 10n + 5, 10n + 1 sayıları birer
tek sayıdır.
NOT
n  Z olmak üzere
Çift doğal sayılar 2n
Tek doğal sayılar 2n - 1 ile ifade edilir.
UYARI
1. Ç  Ç = Ç
4. Ç . Ç = Ç
2. T  T = Ç
5. Ç . T = Ç
3. T  Ç = T
6. T . T = T
Sonuç :
Tn = T n  N
Çn = Ç n  N+
1.
20
9
+
7
6
sayısının tek mi
çift mi olduğunu bulunuz?
ÇÖZÜM
920 tek 67 çift olduğundan
20
9

+
7
6
= Tek sayıdır.

Tek + Çift = Tek
2. a, b, c  Z+ olmak üzere
aşağıdakilerden hangisi tek
sayıdır?
A) (2a)b + (6b)c B) (123)5 + (17)c
C) 5a + 7b
D) (2a + 1)4 + 4c
E) (2c)13 + (4b)2
ÇÖZÜM
Tn = T, Çn = Ç olduğunu
hatırlarsak,
A) (2a)b + (6b)c = Ç + Ç = Ç
B) (123)5 + (17)c = T + T = Ç
a
b
C) 5 + 7 = T + T = Ç
D) (2a + 1)4 + 4c = T + Ç = T
E) (2c)13 + (4b)2 = Ç + Ç = Ç
ARDIŞIK SAYILAR
Ardışık sayılar
 n, n + 1, n + 2,...
Ardışık çift sayılar  2n, 2n + 2, 2n + 4,...
Ardışık tek sayılar  2n-1, 2n+1, 2n+3,...
Şeklinde ifade edilir.
ÖRNEK 3
a, b, c ardışık doğal sayılar
a<b<c
a b
ca
, (a  c)
(ab)
ifadelerini hesaplayalım
a = 0, b = 1, c = 2 alınırsa
a b
ca
(a  c)

0-1
2-0
(a b)

1
2
 (0  2)
(0 1)
 ( 2)
( 1)

1
2
ÖRNEK 4:
Ardışık
15
pozitif
tamsayının
toplamı 2085 olduğuna göre,
bu sayıların en küçüğü kaçtır?
A) 127 B) 129 C) 130 D) 132 E) 138
ÇÖZÜM
(x-7) + (x-6) + ... + (x-1)+ (x) + (x+1) + ... + (x+6) + (x+7)
= 15x = 2085
ise x = 139
x – 7 = 139 – 7 = 132
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ARDIŞIK TAMSAYILARIN
TOPLAMI
1 + 2 + 3 ......+ n =
n.(n  1)
2
2 + 4 + 6 ......+ 2n = n . (n + 1)
1 + 3 + 5 ......+ 2n-1 = n2 dir.
ÖRNEKLER
1 + 2 + 3 ......+ 20 =
20.(20  1)
= 210
2
10 + 11 + 12 + ... + 30 =
30.31
2

9.10
2
 420
2 + 4 + 6 + ...+ 40 = 20 . 21 = 420
12 + 14 + 16 + ... + 50 = 25 . 26 – 5 . 6 = 620
1 + 3 + 5 + ... + 17 = 92 = 81
15 + 17 + 19 + ... + 41 = 212- 72 = 392
UYARI
Ardışık terimler arasındaki
farkın eşit olduğu bütün
sayı dizilerinde
(İlk Terim+Son Terim). Terim sayısı
Bütün Terimler Toplamı =
2
Son terim - ilk terim
Terim Sayısı =
+1
ortak fark
formülleri bulunur.
ÖRNEK 5:
18 + 21 + 24 + .... + 96
toplamının sonucu kaçtır?
ÇÖZÜM
Terim sayısı =
96  18
3
1
Bütün terimlerin toplamı =
78
+ 1 = 27
3
(18  96).27
2
= 18 + 21 + 24 + .... + 96 = 1539
SAYILARIN
ÇÖZÜMLENMESİ
ab iki basamaklı, abc üç basamaklı, abcd dört
basamaklı birer doğal sayı olmak üzere
ab = 10a + b
abc = 100a + 10b + c
abcd = 1000a + 100b + 10c + d
UYARI
+
ab
ab
abc
ba
ba
cba
11(a + b)
-
9(a - b)
-
X9Y
X+Y=9
ÖRNEK 6:
ab
iki
basamaklı
sayısı
rakamları
toplamının x katı, ba iki basamaklı sayısı
rakamları toplamının y katıdır.
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 22
ÇÖZÜM
ab = (a + b) . x
+
ba = (a + b) . y
11(a + b) = (a + b) . (x + y)
x + y = 11
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 7:
abc ve cba rakamları farklı üç basamaklı
doğal sayılar
abc sayısının birler ve yüzler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde
sayı 594 küçülüyor. Kaç farklı abc sayısı
yazılabilir?
A) 40
B) 32
C) 30
D) 24
E) 18
ÇÖZÜM
-
abc
a b c
cba
7 - 1  8 tane
99 (a - c) = 594 ise
a–c=6
8 - 2  8 tane
9 - 3  8 tane
Toplam 24 tane
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 8:
Ardışık
4
tane
çift
tamsayının
toplamı 196 ise en büyük sayı
kaçtır?
A) 44 B) 46
C) 48
D) 50
E) 52
ÇÖZÜM
En küçük sayı : x alınırsa
Ardışığı olan çift tamsayılar :
(x + 2), (x + 4), (x + 6) şeklindedir.
x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 196
4x + 12 = 196
4x = 184 ise
x = 46
Doğru cevap (B) seçeneğidir.
ÖRNEK 9:
İki basamaklı ve birbirinden farklı 4
pozitif çift tamsayının toplamı 86 dır.
Bu sayıların en büyüğü en çok kaç
olabilir?
A) 30 B) 40
C) 50
D) 58
E) 64
ÇÖZÜM
En büyük sayıyı bulmak için diğer üç sayının
mümkün olan en küçük sayı olmaları gerekir.
En küçük iki basamaklı üç çift sayı : 10, 12 ve
14 tür. O halde,
10 + 12 + 14 + x = 86
36 + x = 86 ise x = 50
Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.
ÖRNEK 10: (ÖSS / 1994)
x, y, z sıfırdan farklı birer tamsayı ve
x + y = z olduğuna göre
x + y + z toplamı aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
A) 16 B) 22
C) 24
D) 33
E) 36
ÇÖZÜM
x + y = z verilmiş x + y + z toplamındaki
(x + y) nin yerine z yazılırsa
x + y + z = z + z = 2z olur.
z bir tamsayı olduğuna göre 2z çift sayıdır.
Cevap şıklarında 16
22
24
33
36 sayılarından
sadece 33 tek sayıdır.
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 11:
Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı 4
tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı yer
değiştirdiğinde
oluşan
yeni
sayı,
abc
sayısından 297 küçüktür.
Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı
kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
ÇÖZÜM
abc sayısının birler basamağı 4 ise c = 4 tür.
abc - cba = 297
99.(a – c) = 297
a–c=3
a–4=3
a=7
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 12:
102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile
kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır?
A) 9875
B) 10100
D) 11250
C) 10350
E) 11375
ÇÖZÜM
Toplamı istenen sayılar
105 + 110 + ... + 350 dir.
Terim sayısı :
350  105
Terim sayısı = 50
+1
5
105 + 110 +... + 350 =
50(105  350)
2
= 25 . 455 = 11375
Doğru cevap (E) seçeneğidir.
ÖRNEK 13:
25 ile 107 arasındaki 4 ile tam bölünebilen
tamsayıların toplamı kaçtır?
A) 1350
D) 1320
B) 1340
C) 1330
E) 1310
ÇÖZÜM
Toplamı istenen sayılar: 28 + 32 + ... + 104
Terim sayısı =
Terim sayısı =
Son Terim –İlk Terim + 1
Ortak fark
104 – 28
+ 1 = 20
4
(104 + 28).20
Toplam =
= 1320
2
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 14:
11  13  ...  (3a  5) = 200 eşitliğinde sol
tarafta
ardışık
teksayıların
toplamı
verilmiştir.
Buna göre, a kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
ÇÖZÜM:
1 + 3 + 5 ......+ (2n-1) = n2 dir.
11 + 13 + ... + (3a + 5) = 200
Verilen eşitliğin her iki tarafına 1 + 3 + 5 + 7 + 9
toplamını eklersek
1 + 3 + 5 + ...+ (3a + 5) = 225
n2 = 225 ise n = 15 tir.
2n – 1 = 3a + 5 olduğundan n = 15 için
a=8 bulunur.
Doğru cevap (B) seçeneğidir.
ÖRNEK 15:
İki basamaklı birbirinden farklı dört tane
tamsayının toplamı 321 ise bu sayıların en
küçüğü en az kaç olabilir?
A) 27
B) 26
C) 25
D) 24
E) 23
ÇÖZÜM:
Sayılardan birinin en küçük olması için geri
kalan üç sayının verilen şartları sağlayan en
büyük iki basamaklı tamsayılar olması gerekir.
Bu sayılar 99 , 98 , 97 alınırsa toplamları 294
olur.
En küçük sayı = 321 – 294 = 27 bulunur.
Doğru cevap (A) seçeneğidir.
ÖRNEK 16:
İki basamaklı rakamları farklı olan dört
farklı tamsayı toplanıyor. Toplam 101 ise
en büyük sayı en fazla kaç olabilir?
A) 43
B) 47
C) 54
D) 64
E) 65
ÇÖZÜM:
Sayılardan birinin en büyük olması için geri
kalan üç sayının verilen şartları sağlayan en
küçük iki basamaklı doğal sayılar olması
gerekir.
Bu sayılar 10 , 12 , 13 alınırsa toplamları 35
olur. Bu durumda diğer sayı 66 olacağından
verilen şarta uygun olmaz. O halde sayıları
10 , 12 , 14 alırsak toplamları 36 olur.
En büyük sayı = 101 – 36 = 65 bulunur.
Doğru cevap (E) seçeneğidir.
ÖRNEK 17:
2a + 3b
4
c
ve
a, b, c  Z ise aşağıdakilerden hangisi
kesinlikle doğrudur?
A) a tek sayıdır
B) b tek sayıdır
C) c tek sayıdır
D) a ve b tek sayıdır
E) b çift sayıdır
ÇÖZÜM :
2a + 3b
 4 ise 2a + 3b = 4c
c
Ç
Ç
3b nin çift olması gerekir. 3b nin çift olması için
b daima çift olmalıdır.
Doğru cevap (E) seçeneğidir.
ÖRNEK 18:
n pozitif tek sayı ve m pozitif çift sayı
olmak üzere aşağıdakilerden hangisi tek
sayıdır?
A) nm  n
B) mn  m
D) n2  m2
C) 3n  5m
E) n2  n3
ÇÖZÜM :
Kuvvetlerin çiftlik ve tekliğe etkisi
olmayacağından kuvvetleri silip n = 1 , m =0
alınıp cevaplarda yerine yazılırsa
A)
B)
C)
D)
E)
1+1=
0+0=
3+1=
1+0=
1+1=
2
0
4
1
2
çift
çift
çift
tek
çift
O halde doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 19:
İki basamaklı ab sayısının 28 eksiği a - b
farkının 4 katına eşit ise a  b toplamı
kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
ÇÖZÜM :
ab – 28 = 4.(a-b)
10a +b – 4a + 4b = 28
6a + 5b = 28
b = 2 alınırsa a = 3 olacağından
a + b = 3 + 2 = 5 bulunur.
Doğru cevap (A) seçeneğidir.
ÖRNEK 20:
Rakamlarının
eksiğinin
toplamı
kendisinin
9
1
una eşit olan üç basamaklı
10
kaç sayı vardır?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 9
E) 10
ÇÖZÜM :
Sayımız üç basamaklı abc olsun. Verilen şarta
göre, abc – 9 = 10 (a + b + c )
100a + 10b + c – 9 = 10 a + 10 b + 10c
90a = 9c + 9
10a = c +1 olacağından
c = 9 için a = 1 olur. Sayımız 1b9 olur.
b nin alabileceği değerler rakamlar kümesinin
Tamamı olacağından b 10 farklı değer alır.
Doğru cevap (E) seçeneğidir.
ÖRNEK 21:
Üç basamaklı bir sayının yüzler basama-
ğındaki rakam ile onlar basamağındaki
rakamın yerleri değiştirildiğinde sayı 270
küçülmektedir. Yerleri değiştirilen rakamların farkı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ÇÖZÜM :
Üç basamaklı sayı abc olsun. Yüzler basamağı ile
onlar basamağı yer değiştirirse sayı bac olur.
Sayı 270 küçüleceğinden
abc – bac = 270 olur.
90 (a-b) = 270
a – b = 3 bulunur.
Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.
ÖRNEK 22:
a ve b 1 den büyük
tamsayılar
ve
3a + 7b = 40 ise a + b toplamı kaçtır?
A) 13
B) 10
C) 8
D) 6
E) 4
ÇÖZÜM :
3a + 7b = 40
7b = 40 – 3a
a = 4 alınırsa b = 4 olur.
a + b = 4 + 4 = 8 bulunur.
Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.
ÖRNEK 23:
abc ile cba üç basamaklı sayılardır.
A) 6
a bc
Yandaki çıkarma
c ba
işleminde Ia - cI
3 96
farkı kaçtır?
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
ÇÖZÜM :
abc – cba = 396 ise
99 (a – c) = 396
a – c = 4 bulunur.
Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.
ÖRNEK 24:
Ardışık iki tek sayının kareleri farkı 48 ise
küçük sayı kaçtır?
A) 15
B) 11
C) 10
D) 9
E) 7
ÇÖZÜM :
Sayılar x ile x + 2 olsun
(x + 2)2 - x2 = 48
4x + 4 = 48 ise x = 11 bulunur.
Doğru cevap ( B) seçeneğidir.
FAKTÖRİYEL
n  N+ olmak üzere 1 den n ye kadar olan
doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir
ve
1 . 2 . 3 . 4 .... n = n !
şeklinde gösterilir.
0! = 1
1! = 1
2! = 2 . 1 = 2
n! = n.(n-1)!
3! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
n  5 için n! in birler basamağı daima sıfırdır.
ÖRNEK 25:
12! 11!
10! 9!
A) 100
işleminin sonucu kaçtır?
B)110
C) 120
D)130
E)150
ÇÖZÜM
12! 11!
10! 9!

12.11! 11!
10.9! 9!

(12  1).11!
(10  1).9!
11 . 10 = 110
Doğru cevap (B) seçeneğidir.

11!
9!

11.10.9!
9!

AÇIKLAMA:
a asal sayı, b , n , x  Z + iken n! = a x.b ise x
in alabileceği en büyük değer , n in a ve a nın
kuvvetlerine bölümündeki bölümler toplamı
kadardır.
n
a
p
a
r .....
a
t
(t <a)
x in en büyük değeri = p +r +....+ t
ÖRNEK 26:
x , y  Z + ve 12! = 2x .y ise x in alabileceği
en büyük değer kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
ÇÖZÜM
12
2
6
2
3
2
1
x in en büyük değeri = 6 +3 +1 = 10 bulunur.
Doğru cevap (B) seçeneğidir.
ÖRNEK 27:
x , y  Z + ve 12! = 8x .y ise x in alabileceği
en büyük değer kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
ÇÖZÜM
12
12! = 23x.y
2
6
2
3
3x
6 +3 +1
3x
10
2
1
olacağından x in en büyük değeri
3 olmalıdır.
Doğru cevap (C) seçeneğidir.
ÖRNEK 28:
x , y  Z + ve 20! = 12x .y ise x in
alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 11
ÇÖZÜM
20!=22x.3x.y 2 nin ve 3 ün kuvvetlerini
hesaplayalım. Kuvveti az olan x in alabileceği en
büyük değerdir
20
2
10
2
5
2
2
2
1
2x
10+5+2+1
2x
18
x in en büyük değeri 9
20
3
6
3
2
x in en büyük değeri = 6 +2 = 8
x in alabileceği en büyük değer kuvveti
küçük olan olacağından x in en büyük değeri
8 dir.
Doğru cevap (C) seçeneğidir.
NOT
n! sayısının sondan kaç basamağının sıfır
olduğunu
bulmak
için
içindeki
çarpanının sayısını bulmak gerekir.
5
ÖRNEK 29:
97!
sayısı
hesaplandığında
sayının
sondan kaç basamağı sıfırdır?
A)19
B) 20
C)21
D)22
E)23
ÇÖZÜM
97! sayısının içinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu
bulmalıyız.
İşlemi yapacak olursak
97
5
19
5
 19 + 3 = 22 bulunur.
3
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 30:
A, n birer doğal sayı
A=
43!
3
ise n doğal sayısının en büyük
n
değeri kaçtır?
A)15
B)16
C) 17
D)18
E)19
ÇÖZÜM
n doğal sayısının alabileceği en büyük değer 43!
sayısının içindeki 3 çarpanlarının sayısına eşittir.
43! içindeki 3 çarpanının sayısı
43
3
3
4
3
1
 n in en büyük değeri
14 + 4 + 1 = 19 bulunur
Buna göre doğru cevap (E) seçeneğidir.
DOĞAL SAYILAR
KÜMESİNDE BÖLME
a, b, c ve k doğal sayılar
a > b ve 0  k < b
a : bölünen
a
b
c
k
b : bölen
c : bölüm
k : kalan
Bölme işlemine göre;
a
c
1) a = b . c + k
a nın b ile bölümünden kalan k dir.
b
k
2) k < b
kalan daima bölenden küçük olur.
3) k = 0 ise a , b ye tam (kalansız) bölünüyor
denir.
a = b.c eşitliğinde b ile c ye a sayısının
çarpanları adı verilir.
ÖRNEK 31
x ve y pozitif tamsayılar.
4x + 7
6
bölme işlemine göre
5
y
x in en büyük değeri kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
ÇÖZÜM
Bölme işleminde kalan, bölenden daima küçük
olacağından (y < 6) y en fazla 5 olabilir.
Bölünen = Bölen . Bölüm + Kalan özelliğinden,
4x + 7 = 6 . 5 + y  4x + 7 = 30 + y
y yerine 5 yazalım.
4x + 7 = 30 + 5  4x = 28
x = 7 dir.
Doğru cevap (B) seçeneğidir.
UYARI
Bir bölme işleminde kalan, bölümden küçük
ise; bölen ile bölüm yer değiştirilerek bölme
işlemi yapılırsa yine aynı kalan elde edilir.
Örneğin :
72 5
5
72 14
14 
22
40 5
2
kalan
20
2
kalan
(5 ile 14 yer değiştirilip bölme yapılırsa
aynı kalan elde edilir.)
ÖRNEK 32: (ÖSS / 1984)
94
??
8
Yandaki bölme işlemin-
de kalan ne olur?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
ÇÖZÜM
Soruyu 94
8
şeklinde düşünerek buluruz.
??
94
8
8
11
kalan 6 olur.
14
8
6
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 33: (ÖSS / 1996)
Bir bölme işleminde bölünen ve bölenin
toplamı 83, bölüm 9, kalan 3 olduğuna
göre, bölen kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
ÇÖZÜM
Bölünen x, bölen y olsun. x + y = 83
Bölünen Bölen
Bölüm
x

9
Kalan
x + y = 83
y
3
 x = 9y + 3
 9y + 3 + y = 83
 10y = 80
 y = 8 bulunur.
Cevap D’dir.
ÖRNEK 34:(ÖSS-1998)
K
L
L
M
.
5
.
4
3
2
Yukarıdaki bölme işlemlerinde K,L,M harfleri
birer pozitif tamsayıyı göstermektedir. Buna
göre,
K + L + M – 20 işleminin sonucu
kaçtır ?
5M
A) 3
B)4
C) 5
D) 6
E) 7
ÇÖZÜM
K
.
L
5
L
M
.
4
3
2
Verilen bölme işlemlerinin sağlamaları
yapılırsa :
K = 5L + 2
(1)
L = 4M + 3
(2)
(2) deki L değeri (1) de yerine yazılırsa
K = 5 ( 4M + 3) + 2
K = 20 M + 17
K + L +M –20
5M
ifadesinde K ve L değerlerini
yerine yazalım.
20M + 17 + 4M + 3 + M – 20
=
25M
= 5 bulunur.
5M
5M
Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.
BÖLÜNEBİLME
KURALLARI
2 İle Bölünebilme
Çift sayılar (birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8
rakamlarından biri bulunan) 2 ile tam
bölünürler.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
ÖRNEĞİN
246, 1350, 87532, ... sayıları 2 ile tam
bölünür.
83, 11, 2467, 9999 sayılarının 2 ile
bölümünden kalan 1 dir.
3 İle Bölünebilme
Rakamları toplamı 3 ve 3 ün katı olan her
sayı 3 ile tam bölünür.
UYARI:
Bir sayının 3 ile bölümündeki kalan sayının
rakamları
kalandır.
toplamının
3
e
bölümündeki
ÖRNEĞİN
a) A = 73251 için
7 + 3 + 2 + 5 + 1 = 18 (3 ün 6 katı) olduğundan
A = 73251 sayısı 3 ile tam bölünür.
b) A = 49382 için;
4 + 9 + 3 + 8 + 2 = 26, 26 nın 3 ile bölümünden
kalan 2 olduğundan A sayısının da 3 ile
bölümünden kalan 2 dir.
4 İle Bölünebilme
Son iki basamağı 00 veya 4 ün katı olan her
sayı 4 ile tam bölünür.
UYARI:
4 ile bölümdeki kalan sayının son iki
basamağının 4 e bölümündeki kalandır.
ÖRNEĞİN
a) 432516 sayısında son iki rakamın oluşturduğu 16
sayısı 4 ün katı olduğundan, 432516 sayısı 4 ile tam
bölünür.
b) 98327 sayısı için; son iki rakamın oluşturduğu sayı
27
dir.
27
nin
4
ile
bölünmesinden
kalan
3
olduğundan 98327 nin de 4 e bölümünden kalan 3
tür.
5 İle Bölünebilme
Son rakamı (birler basamağı) 0 veya 5 olan
sayılar 5 ile tam bölünür.
UYARI:
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, bu
sayının son rakamının 5 e bölümündeki
kalandır.
ÖRNEĞİN
a) 63875, 9300, 827315, ... sayıları 5 ile tam
bölünürler.
b) 379 un 5 ile bölümünden kalan 9 - 5 = 4 tür.
c) 83227 nin 5 ile bölümünden kalan 7 - 5 = 2 dir.
d) 12834 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 tür.
(4 ün 5 ile bölümünden kalan yine 4 olur.)
e) 20731 sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 dir.
6 İle Bölünebilme
Hem 2 hem de 3 ile bölünen sayılar,
6 ile tam bölünürler.
ÖRNEĞİN
a) 8376 sayısı 2 ile tam bölünür.
(Son rakamın çift)
8 + 3 + 7 + 6 = 24 (3 ün katı) olduğundan 3 ile
tam bölünür.
O halde 8376 sayısı 6 ile tam bölünür.
b) 222 sayısı hem 2, hem de 3 ile bölündüğü için
6 ile tam bölünür.
8 İle Bölünebilme
Son üç basamağı 000 veya 8 in katı olan her
sayı 8 ile tam bölünür.
UYARI:
8 ile bölümdeki kalan sayının son üç
basamağının 8 e bölümündeki kalandır.
ÖRNEĞİN
a) 975120, 8 ile bölünür.
(Çünkü 120 sayısı 8 ile tam bölünür)
b) 345193 sayısının 8 ile bölümünden kalan;
193 8
16
24
1 dir.
c) 354000 gibi son üç
33
rakamı 0 olan sayılar 8
32
ile tam bölünürler.
1
9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar,
9 ile tam bölünürler.
UYARI: Bir sayının 9 ile bölümünden kalan,
rakamlarının toplamının 9 a bölümünden
elde edilen kalana eşittir.
ÖRNEĞİN
a) 728136 sayısı 9 ile bölünür mü?
Rakamların toplamı 7 + 2 + 8 + 1 +3 + 6 = 27 dir.
27sayısı 9 ile tam bölündüğü için 728136 da 9
ile tam bölünür.
b) 3452 sayısının 9 ile bölümünden kalan
kaçtır?
3 + 4 + 5 + 2 = 14, 14 ün 9 a bölümündeki kalan
5 olduğundan, 3452 nin de 9 ile bölümündeki
kalan 5 tir.
10 İle Bölünebilme
Birler basamağı sıfır olan sayılar 10 ile tam
bölünürler.
UYARI:
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan o sayının
birler basamağındaki rakamdır.
ÖRNEĞİN
a) 19720, 83510, 111230 .... sayıları 10 ile tam
bölünürler.
b) 2378 sayısının 10 ile bölümünden kalan 8 dir.
11 İle Bölünebilme
Bir A sayısının basamaklarındaki rakamlar
sağdan başlanarak + - + - + - .... şeklinde
işaretlenir. (+) gruplarla (-) grupların toplamı
0 veya 11 in katı olan her sayı 11 ile tam
bölünür.
UYARI:
11 ile bölümdeki kalan (+) (-) gruplar
toplamının 11 e bölümündeki kalandır.
ÖRNEĞİN
a) 76329 sayısı için:
7 6 3 2 9  (9 + 3 + 7) - (2 + 6) = 11 olduğundan,
+-+-+
73629 11 ile tam bölünür.
b) 8 1 3 4 6 sayısı için
+-+-+
(6 + 3 + 8) - (4 + 1) = 17 - 5 = 12, 12 nin 11 ile
bölümünden kalan 1 olduğundan 81346 nında
11 ile bölümünden kalan 1 dir.
ÖRNEK 35:(ÖSS-1992)
a = b olmak üzere dört basamaklı a23b
sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre, a + b
toplamı en çok kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 14
E) 16
ÇÖZÜM:
a = b iken a23b sayısının 6 ile bölünebilmesi
için hem 2, hem 3 ile tam bölünebilmeli.
2 için b= {0,2,4,6,8} olmalı.
(a+b) en büyük olacağından b=8 alalım.
a238 3 ile bölünebilmesi için
a +2+3 + 8 = 3k olmalı
a + 13 = 3k olması için
a= {2,5,8} olmalı. a = b olacağından a nın en
büyük değeri 5 tir.
a + b = 5 + 8 = 13 bulunur.
Doğru cevap (C) seçeneğidir.
ÖRNEK 36:(ÖSS-1994)
Beş basamaklı 561ab sayısı 30 ile
bölünebildiğine göre, a yerine gelebilecek en
büyük rakam kaçtır ?
A)9
B)8
C)7
D)6
E)5
ÇÖZÜM:
Sayının 30 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 10
ile tam bölünebilmeli.
10 için 561ab sayısının birler basamağı 0
olmalı.
b= 0 için sayı : 561a0 3 ile bölünebilmesi için
rakamlar toplamı 3 veya 3 ün katı olmalı.
5 + 6 + 1 + a + 0 = 3k
12 + a =3k
a= {0 , 3 , 6 , 9 }
O halde a nın alabileceği en büyük değer = 9
bulunur.
Doğru cevap (A) seçeneğidir.
ÖRNEK 37:
Beş
basamaklı
3a8a2
sayısı
36
ile
bölünüyor. Buna göre a yerine yazıla-
bilecek sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9
ÇÖZÜM:
3a8a2 sayısının 36 ile bölünebilmesi için 4 ve
9 ile tam bölünebilmeli.
4 için son iki basamak (a2) nin 4 ün katı
olması gerekir. Bunun için
a = {1, 3, 5, 7, 9 } olmalı.
9 için 3 + a + 8 + a + 2 = 9k olmalı
2a + 13 = 9k
a = 7 için
2.7 + 13 = 27 = 9k olduğundan
3a8a2 sayısı 9 ile bölünür.
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 38:
Rakamları birbirinden farklı olan, üç
basamaklı 3KM sayısı 3 ve 5 ile kalansız
bölünebiliyor.
Buna göre, K kaç farklı değer alabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
ÇÖZÜM:
3KM sayısının 5 ile kalansız bölünebilmesi
için M=0 veya M=5 olmalı.
Sayılar : 3K0 ile 3K5 tir.
3K0 sayısının 3 ile bölünebilmesi için
K={0, 3, 6, 9} olmalı.
Rakamlar farklı olacağından K= 0 ile K= 3
olamaz.
K={ 6, 9 } olmalı.
3K5 sayısının 3 ile bölünebilmesi için
K= { 1 , 4, 7 } olmalı.
O halde K nın alabileceği 5 değer vardır.
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 39:
573ab sayısının 20 ile tam bölünebilmesi
için
a
yerine
yazılabilecek
sayıların
toplamı kaçtır?
A) 27
B) 24
C) 20
D) 18
E) 12
ÇÖZÜM:
Sayının 20 ile tam bölünebilmesi için 5 ve
4 ile tam bölünebilmeli.
5 için b = {0,5} olmalı
4 için b = 5 olamaz b = 0 olmalı.
Sayının 4 e bölünebilmesi için a0 sayısının
4 ile tam bölünmesi gerekir.
Bunun için
a = {0 , 2 , 4 , 6, 8 } olmalı.
Toplamları = 0+2+4+6+8= 20 bulunur.
Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.
ÖRNEK 40:
Üç basamaklı 39a sayısının 6 ile kalansız
bölünebilmesi için a kaç tane farklı değer
alabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ÇÖZÜM:
6 ile bölünebilmesi için 2 ve 3 ile tam
bölünebilmeli.
2 için a = {0,2,4,6,8} olmalı.
3 için a + 3 + 9 = 3k olmalı.
O halde a = {0 , 3, 6, 9} olmalı.
Her iki durumu sağlayan a = {0 , 6}
a iki farklı değer alır.
Doğru cevap (B) seçeneğidir.
ASAL SAYILAR :
1 ve kendisinden başka hiçbir sayıya
bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara
asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... sayıları birer asal
sayıdır. Görüldüğü gibi 2 den başka, çift
asal sayı yoktur.
ARALARINDA ASAL SAYILAR :
1 den başka ortak böleni olamayan doğal
sayılara, aralarında asal sayılar denir.
8 ile 15,
9 ile 10,
16 ile 21, {3,6,20} gibi
UYARI
Sayıların
aralarında
asal
olmaları
için,
kendilerinin asal sayı olmaları şart değildir.
3 ile 8 aralarında asaldır.
9 ile 33 aralarında asal değildir.
Çünkü 3, her ikisinin de bölenidir.
7, 12, 13 aralarında asal sayıdır.
ÖRNEK 41
a < b olmak üzere a - 2 ile b + 3 aralarında asal
sayılardır.
(a - 2) . (b + 3) = 24 olduğuna göre, b yerine
yazılabilecek tamsayıların toplamı kaçtır?
A) 18
B) 21
C) 26
D) 31
E) 41
ÇÖZÜM
a<b
a - 2 ile b + 3 aralarında asal olduklarına göre 24 ü
aralarında asal iki sayının çarpımı olarak yazmalıyız.
Şu haller mümkündür:
i) (a - 2) . (b + 3) = 1 . 24  a - 2 = 1 ise a=3
b + 3 = 24
b = 21
3 <21
a<b şartını sağlar
ii) (a - 2) . (b + 3) = 2 . 12 (olamaz, çünkü 2 ile 12
aralarında asal değildir.)
iii) (a - 2) . (b + 3) = 3 . 8  a - 2 = 3 ise a= 5
b + 3 = 8 ise b = 5
5 <5 doğru değildir.
iv) (a - 2) . (b + 3) = 4 . 6 (olamaz.) diğer durumlarda
a < b şartı sağlanmaz
O halde b yerine yazılabilecek tam sayıların toplamı
21 olur.
Doğru cevap (B) seçeneğidir.
BİR SAYININ ASAL ÇARPANLARA
AYRILMASI:
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar, x, y, z pozitif
tamsayılar olmak üzere bir A sayısının
A = ax .
by . cz şeklinde yazılmasıdır.
Burada a, b, c asal sayılarına, A nın asal
çarpanları denir.
360 sayısını çarpanlarına ayıralım.
360
2
180
2
90
2
45
3
15
3
5
5
asal sayılar
1
360 = 23 . 32 . 5 şeklinde yazılır.
2, 3 ve 5 sayıları 360 ın asal çarpanlarıdır.
ÖRNEK 42:
6000 sayısının kaç tane asal çarpanı
vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ÇÖZÜM
6000 = 6 . 103 = 2 . 3 (2 . 5)3
= 2 . 3 . 23 . 53
= 24 . 3 . 53 şeklinde asal çarpanlarına
ayrılır.
6000 sayısının 3 tane asal çarpanları olup bunlar 2, 3
ve 5 tir.
Doğru cevap (C ) seçeneğidir.
BİR SAYMA SAYISININ POZİTİF
BÖLENLERİNİN SAYISI:
a, b, c ... birbirinden farklı asal sayılar olmak
üzere bir A sayma sayısının çarpanlara ayrılmış
şekli;
A = ax . by . cz ... olsun.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı;
(x + 1) . (y + 1) . (z + 1) çarpımı kadardır.
A sayısının pozitif bölenlerinin sayısı kadar da
negatif tam böleni vardır.
ÖRNEĞİN
a) 60 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını
bulalım.
60 2
60 = 22 . 3 . 5 = 22 . 31 . 51 dir.
30 2
O halde 60 ın;
15 3
(2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 3 . 2 . 2 = 12
5
tane pozitif tam bölenleri vardır.
5
1
(Bunlar : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60 dır.)
60 ın 12 tane de negatif tam bölenleri olur.
b) 9 un kaç tane böleni vardır?
9 = 32  9 un (2 + 1) = 3 tane pozitif tam böleni,
3 tane negatif tam böleni, dolayısıyla 6 tane tam
böleni vardır.
Bunlar : -9, -3, -1, 1, 3, 9 dur.
ÖRNEK 43:
270 in kaç tane asal olmayan pozitif tam
böleni vardır?
A) 8
B) 9
C) 12
D) 13
E) 163
ÇÖZÜM
270 2
270 = 2 . 33 . 5
135 3
270 in (1 + 1) . (3 + 1) . (1 + 1) = 2 . 4 . 2
45
3
15
3
pozitif
5
5
kümesinden oluşan 3 tane asal böleni
1
= 16 tane
tam
böleni
ve
{2,
3,
vardır.
Asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı da
16 - 3 = 13 tür.
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
5}
BİR SAYMA SAYISINI BÖLEBİLEN
DOĞAL SAYILARIN TOPLAMI:
Bir A sayısı : A = ax . by . cz ... şeklinde asal
çarpanlara ayrılmış olsun. A sayısını tam bölen
doğal sayılarının toplamı:
a x 1  1 b y1  1 c z 1  1
.
.
...
a 1
b 1
c 1
dir.
ÖRNEK 44:
120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı
kaçtır?
A) 420 B) 360
C) 320
D) 280
E) 240
ÇÖZÜM
120 = 23 . 3 . 5
120 yi tam bölen doğal sayıların toplamı :
120 2
60
2
30
2
15
3
5
5
2

3 1
11
11
1 3
1 5
1
.
.
2 1
3 1
5 1
15
1
.
8
2
.
24
4
 360 dır.
1
Doğru cevap (B) seçeneğidir.
UYARI-1:
120 = 23 . 31 . 51 sayısının tam bölenlerinin
toplamı:
(20 + 21 + 22 + 23) . (30 + 31) . (50 + 51) = 15 . 4 . 6
= 360
şeklinde de bulunabilir.
UYARI-2:
120 nin negatif tam bölenlerinin toplamı
-360
olup,
sıfırdır.
tüm
bölenlerinin
toplamı
ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB):
İki veya daha fazla doğal sayıyı aynı anda
bölebilen en büyük sayıya bu sayıların OBEB i
denir.
a<b olsun a ile b nin OBEB i (a,b) şeklinde
gösterilir.
UYARI –1
a<b ise (a,b) < a < b dir.
UYARI –2
b= a.k ise (k  Z + )
(a,b) = a
UYARI –3
Aralarında asal sayıların OBEB i 1 dir.
Örneğin;
(8,15) = 1
(9,15, 20) = 1
NOT
İki veya daha fazla doğal sayısının OBEB ini
bulmak için sayılar birlikte çarpanlarına ayrılır.
Verilen sayıları aynı anda bölen asal çarpanlar
çarpılır.
ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ (OKEK):
İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan
katlarının en küçüğüne denir.
Veya
İki veya daha fazla sayıya aynı anda bölebilen en
küçük sayıdır.
a ile b nin OKEK i [a,b] şeklinde gösterilir.
UYARI –1
a<b ise a < b < [a,b] dir.
UYARI –2
b= a.k ise (k  Z + )
[a,b] = b
UYARI –3
Aralarında asal iki sayının OKEK i sayıların
çarpımıdır.
UYARI –4
a<b ise (a,b) < a < b < [a,b]
UYARI –5
a ve b gibi iki doğal sayı için
(a,b).[a,b] = a.b
NOT
En az iki sayının OKEK ini bulmak için verilen
sayılar aynı anda asal çarpanlara ayrılır. Bütün
asal çarpanların çarpımı OKEK i verir.
8 12
2
4
6
2
2
3
2
1
3
3
1
[8, 12] = 22 . 3
= 24
Örneğin
a) [3, 8] = 3 . 8 = 24
b) [6, 11] = 6 . 11 = 66
c) [1, 15] = 1 . 15 = 15
ÖRNEK 45:
72 ile 120 nin OBEB ve OKEK ini bulalım.
ÇÖZÜM
72 120
2  (aynı anda bölen)
36
60
2  (aynı anda bölen)
18
30
2  (aynı anda bölen)
9
15
3  (aynı anda bölen)
3
5
3
1
5
5
1
(72, 120) = 23 . 3 = 24
[72, 120] = 23 . 32 . 5 = 360
ÖRNEK 46:
a, b, c, d asal sayılar olmak üzere,
A = a2 . b4 . c2
B = a . b3 . c5 . d ise A ve B sayılarının OBEB ve
OKEK i nedir?
ÇÖZÜM
Eğer sayılar ayrı, ayrı asal çarpanlara ayrılmamışsa,
ortak asal çarpanlardan üssü küçük olanların
çarpımı OBEB i ortak asal çarpanlardan üssü
büyük olanlar ile ortak olmayanların tümünün
çarpımı OKEK i verir. Buna göre;
A = a2 . b4 . c2
(A, B) = a . b3 . c2
B = a . b 3 . c5 . d
[A, B] = a2 . b4 . c5 . d olur.
KURAL
Rasyonel sayıların OKEK ini bulmak için önce
paydalar
eşitlenir.
Sonra
payların
alınarak, ortak paydaya bölünür.
OKEK
i
ÖRNEK 47:
1
10
ile
2
9
un OKEK ini bulalım.
ÇÖZÜM
Önce payda eşitlenir.
1
10
(9)
,
2
9

(10)
Böylece
9
90

,
20
olur.
90

1 , 2  [9,20]
10 9
90
9.20 180


 2 dir.
90
90
(9 ile 20 aralarında asal olduklarından OKEK’leri
9.20 = 180 dir.)
KURAL
a ve b aralarında asal iki sayma sayısı
olmak
üzere,
hem
a
hem
de
b
ile
bölünebilen bir sayı a . b ile de tam bölünür.
Tersinin de doğru olduğunu biliyoruz.
ÖRNEĞİN:
a) 3 ve 5 ile bölünebilen bir sayı 3 . 5 = 15 ile
tam bölünüyor.
b) 4 ve 9 ile bölünebilen bir sayı 4 . 9 = 36 ile
tam bölünür.
c) 24’e tam bölünebilen bir sayı hem 3’e, hem
de 8’e tam bölünür.
d) Hem 4’e hem de 6’ya bölünen bir 4 . 6 = 24’e
bölünmeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal
değildir.
Örneğin
12 sayısı hem 4’e, hem de 6 ya tam
bölünür ama 24 e bölünmez.
KURAL
a ve b herhangi iki sayma sayısı olsun. Hem
a hem de b ile tam bölünen sayılar
[a, b] ile tam bölünürler.
Örneğin
Hem 12, hem de 15 ile tam bölünen
sayılar [12, 15]= 60 ile tam bölünür.
ÖRNEK 48:
İki doğal sayının OKEK i 80 olduğuna göre bu
iki sayının toplamı en çok kaç olabilir?
A) 80
B) 100
C) 120
D) 140
E) 160
ÇÖZÜM
a < b < [a,b] olacağından
a < b < 80
a = b = 80 alınırsa
a + b = 160 bulunur.
Doğru cevap (E) seçeneğidir.
ÖRNEK 49:
Farklı iki doğal sayının OKEK i 80 olduğuna
göre bu iki sayının toplamı en çok kaç olabilir?
A) 80
B) 100
C) 120
D) 140
E) 160
ÇÖZÜM
a < b < [a,b] olacağından
a < b < 80
b = 80 alınırsa a sayısı 80 nin kendisinden
farklı en büyük böleni olmalı.
a= 40 alınırsa
a + b = 120 bulunur.
Doğru cevap (C) seçeneğidir.
ÖRNEK 50:
İki doğal sayının OBEB i 10 , OKEK i 150
dir.Bu iki sayının toplamı en çok kaç olabilir?
A) 80
B) 100
C) 120
D) 160
E) 180
ÇÖZÜM
NOT: İki sayının toplamının alabileceği en
büyük değer OKEK + OBEB dir.
a + b = 10 +150 = 160 bulunur.
Doğru cevap (D) seçeneğidir.
ÖRNEK 51:
İki doğal sayının OBEB i 20 , OKEK i 240 dır.
Bu iki sayının toplamı en az kaç olabilir?
A)120
B) 140
C) 150
D) 160 E)180
ÇÖZÜM
OKEK = k.OBEB
240 = k.20 ise k = 12
k= 12 = 3.4 ( sayıların toplamının en küçük
olması için k nın çarpanları birbirine yakın
olan aralarında asal iki sayı olmalı.)
1. Sayı = 3.20 = 60
2. Sayı = 4.20 = 80
Bu iki sayının toplamı = 60 + 80 = 140
bulunur.
Doğru cevap (B) seçeneğidir.
ÖRNEK 52:
Mert bilyelerini üçer, dörder, beşer
saydığında her seferinde 2 bilyesi artıyor.
Mert’in bilyeleri 300 den fazla olduğuna göre,
en az kaç tanedir?
A) 301
B) 302
C)307
D) 312 E) 317
ÇÖZÜM
Bilye sayısı = [3,4,5].k + 2 > 300
= 60.k +2 >300
k=5 alınırsa
Bilye sayısı = 60.5 +2 = 302 bulunur.
Doğru cevap ( C ) seçeneğidir.
ÖRNEK 53:
Mustafa bilyelerini dörder, beşer, altışar
saydığında her seferinde 3 bilyesi artıyor.
Mustafa’nın bilyeleri 500 den az olduğuna
göre, en çok kaç tanedir?
A) 453
B) 463
C)473
D) 483 E) 493
ÇÖZÜM
Bilye sayısı = [4,5,6].k + 3 < 500
= 60.k +3 < 500
k=8 alınırsa
Bilye sayısı = 60.8 +3 = 483 bulunur.
Doğru cevap ( D ) seçeneğidir.
ÖRNEK 54:
Boyutları 600 m. ile 800m. olan dikdörtgen
şeklindeki bir arsa en büyük ölçüde eş kare
parsellere ayrılacaktır. Bu kare parsellerden
kaç tane oluşur ?
A)12
B)16
C)18
D) 20
E) 24
ÇÖZÜM
Yeni parsel
Var olan parsel 600
800
Yeni parsel küçük olacağından boyutu
dikdörtgenin boyutlarının OBEB i olmalı.
(800,600) = 200
Kare parsel sayısı =
Alan dikdörtgen
Alan kare
800.600
=
200.200
= 4.3 =12 bulunur
Doğru cevap (A) seçeneğidir.
ÖRNEK 55:
Boyutları 2 , 4 , 6 cm. olan dikdörtgenler
prizması şeklindeki kutuların en az kaç
tanesiyle en küçük boyutlu bir küp
yapılabilir ?
A) 30
B) 36
C) 42
D) 48
E) 60
ÇÖZÜM
Var olan
Yeni
Yeni cisim daha büyük olacağından küpün
boyutu dikdörtgenler prizmasının
boyutlarının OKEK i olmalı.
[2 , 4 , 6 ] = 12
Kutu sayısı =
Hacim küp
Hacim prizma
=
12.12.12
2.4.6
= 6.3.2
= 36 bulunur.
Doğru cevap (B) seçeneğidir.