PowerPoint Sunusu
advertisement
•Elektrik + manyetizmaElektromanyetizma Elektrostatik duran veya çok yavaş hareket eden elektrik yüklerini inceleyen bir bilim dalıdır. Elektrostatik elektrik yüklerinin bir birine kuvvet uygulamasından doğar ve Coulomb yasası ve Gauss yasası ile incelenir. Coulomb Yasası İki yük Q1 ve Q2 arasındaki Elektrostatik kuvvetin büyüklüğü yüklerin büyüklüklerinin çarpımı ile doğru orantılı iken yükler arası uzaklığın karesi ile ters orantılıdır. Gauss Yasası Gauss Yasası şunu belirtir: «Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam elektrik akısı o yüzeyin içindeki elektriksel yük ile doğru orantılıdır". Matematiksel olarak Gauss Yasası integral formda gösterilebilir: Manyetizma’nın Tarihçesi • Magnetizma olgusu üzerine ilk önemli yapıtın yazarı İngiliz bilim adamı William Gilbert(15441600)’dir. • 1600 yılında yayınlanan “De Magnet” adlı yapıtında Gilbert dünyanın de bir mıknatıs olduğunu ve pusulanın ibresinin dünyanın manyetik kutbunu gösterdiğini söyledi. • Manyetizmanın, elektrik ile ilgisi 1820 yılına kadar anlaşılamamıştır. • 1820 yılında Hans Christian Oersted(1775-1851) pusula iğnesinin yakınındaki bir telden akım geçtiğinde pusula iğnesinin saptığını gördü. • Oersted, bir telin içinden akım geçirildiğinde telin çevresinde manyetik alan oluştuğu sonucuna da vardı. • Yine aynı yıl Fransız matematikçi ve fizikçi Andre Marie Ampere (1775-1836) üzerinden akım geçen iki telin birbirlerine kuvvet etkittirdiğini gözlemledi. • Tellerden geçen akımlar aynı yönlü iken teller birbirini çekiyor, zıt yönlü iken itiyordu. • Ampere, manyetik alan ile bu alanı doğuran akım arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak formülize etmeyi başardı. • İngiliz kimyacı ve fizikçi Michael Faraday(1791-1867) mıknatısların elektrik akımı yarattığını ve değişen manyetik alanın elektrik alanı doğurduğunu buldu. •Elektromanyetizma ve Maxwell Denklemleri •Elektromanyetik kuramın kurucusu İskoç bilim adamı James Clerk Maxwell(1831-1879) •Elektrik ve manyetizmanın temel kanunlarını Maxwell denklemleri olarak bilinen dört tane diferansiyel denklemde birleştirdi. •Elektrik + manyetizmaElektromanyetizma •Maxwell, ışığın bir elektromanyetik dalga olduğu görüşünü benimsedi. James Clerk Maxwell (İskoçyalı fizikçi, 1831-1879) Bütün bu olguları birleştiren Maxwell, bir bölgede zamanla değişen elektrik ve manyetik alanlar nedeniyle elektromaynetik bir bozulmanın uzayda bir bölgeden diğerine ilerleyebilmesinin mümkün olduğu fikrini öne sürdü. ELEKTROMAYNETİK DALGALAR Durgun bir yük sabit elektrik alan oluşturur. Hareket eden bir yük manyetik alan oluşturur. Yük sabit hızla hareket ederse, sabit bir akım ve sabit bir manyetik alan oluşturur. Bir ortamda elektrik ve manyetik alan olmasına rağmen eğer bu alanlar zaman içerisinde değişmiyor ise manyetik alan ile elektrik alan birbiriyle etkileşmediği için her ikisi bağımsız olarak ele alınır. Yük osilasyon hareketi yaparsa değişken bir manyetik alan oluşturur. Değişken bir manyetik alan da elektrik alan oluşturur. Aynı zamanda değişken elektrik alan da manyetik alan oluşturur. Böylece osilasyon hareketi yapan bir yük elektromanyetik alan oluşturur. Bu bozulmanın ilerlemesine uzayın boşluktan meydana gelmesi mani değildir. Böyle bir bozulma, dalga özelliği taşımak zorundadır. Bu dalgalara ELEKTROMANYETİK dalgalar denir. Diyebiliriz ki 19. yy‘a gelince, fizikteki en önemli buluş Coulomb, Ampere, Gauss, Orsted ve Faraday ile başlayan ve James Clerk Maxwell tarafından sentezlenen ‘klasik elektromanyetik teori’dir. ELEKTROMANYETİK DALGALAR Düşey düzlemde elektrik alan Yatay düzlemde manyetik alan • Elektromanyetik Dalgaların Önemli Özellikleri: • 1. Enine dalgadır, E ve B birbirlerine diktir aynı zamanda her ikisi de dalganın yayılma doğrultusuna diktir. Dalganın yayılma yönü E x B vektörel çarpımın yönündedir. • 2. E ve B’nin büyüklükleri arasında E=cB şeklinde bir oran vardır. • 3. Dalga boşlukta kesin ve değişmeyen bir süratle ilerler. • 4. Mekanik dalgalarının aksine, elektromanyetik dalgaların yayılması için maddesel bir ortama ihtiyaç yoktur. MAXWELL DENKLEMLERİ Elektrik ve manyetik alanlar ve bunların kaynakları arasındaki bağıntılar Maxwell denklemleri olarak bilinen dört denklem ile verilmektedir. Maxwell denklemleri elektromanyetizmanın bütünü için temel denklemleridir. Manyetik ve dielektrik madde yokken (boşlukta) Maxwell denklemlerinin integral biçimleri: 𝑄 𝐴 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝜖 : 𝐸 için Gauss Yasası (1.a) 𝐴 𝐵. 𝑑 𝐴 = 0 : 𝐵 için Gauss Yasası (1.b) 𝑙 𝐸. 𝑑𝑙 = − 𝑙 𝐵. 𝑑 𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0 0 𝜕∅𝐵 𝑑𝑡 : Faraday Yasası (1.c) 𝑑∅𝐸 𝑑𝑡 : Yer değiştirme akımını da içeren Amper yasası (1.d) Yer değiştirme akımı 1. 𝑄 𝐴 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝜖 0 : 𝐸 için Gauss Yasası (1.a) Elektrik alan için Gauss yasasıdır ve herhangi bir kapalı yüzey üzerinden 𝐸 ’nin 1 integralinin, 𝜖 ile yüzey içindeki net Q yükünün çarpımına eşit olduğunu ifade eder. 0 2. 𝐴 𝐵. 𝑑𝐴 = 0 : 𝐵 için Gauss Yasası (1.b) İkincisi (1.b), manyetik alanlar için benzer bir bağıntıdır ve 𝐵 ’nın kapalı bir yüzey üzerinden yüzey integralinin daima sıfır olduğunu ifade eder. Bu ifadenin anlamı, başka bir şeylerin yanında, manyetik alan kaynağı gibi davranan manyetik monopollerin (tek manyetik yükler) var olamayacağıdır. (Burada 𝐸 , elektrik alanı ) 𝐸’nin; 𝐵 ise 𝐵’nin seçilen kapalı yüzeye dik bileşenlerini temsil eder). • Magnetik tek-kutup yoktur..! S N Magnetik tek-kutup yani manyetik yük (monopol) yoktur. Bir mıknatısı 2’ye bölerseniz iki yeni mıknatıs elde edersiniz. 3. 𝑙 𝐸. 𝑑𝑙 = − 𝜕∅𝐵 𝑑𝑡 : Faraday Yasası (1.c) Üçüncü denklem (1.c) Faraday yasasıdır ve değişen bir manyetik alan veya manyetik akının bir indüksiyon elektrik alanına neden olduğunu ifade eder. (burada ∅𝐵 manyetik akıdır). Eğer değişken bir manyetik akı varsa, (1.c) denklemindeki çizgi integral sıfırdan farklıdır, değişen manyetik akı 𝐸 alan oluşturur. 4. 𝑑∅ 𝐸 𝐵. 𝑑 𝑙 = 𝜇 𝐼 + 𝜇 𝜖 0 0 0 𝑙 𝑑𝑡 Yer değiştirme akımını da içeren Amper yasası (1.d) Dördüncü denklem yer değiştirme akımını da kapsayan Amper yasasıdır. 𝑑∅ Burada 𝐼 iletkenlik akımı ve 𝐼𝐷 = 𝜖0 𝑑𝑡𝐸 yer değiştirme akımı manyetik alan kaynağı gibi davranır (burada ∅𝐸 elektrik akısıdır). İletkenlik akımının oluşturduğu manyetik alan ve Amper Yasası: Elektrik akımı Manyetik alan S yüzeyi İçinden akım geçen bir telin oluşturduğu manyetik alan, telin çevrelediği kapalı bir yol boyunca alınır. C B.ds 0 I 0 j .da S C eğrisi Akım yoğunluğu Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Biçimi Maxwell denklemleri, çoğu kez denklem 1’de verilen integral biçiminden daha kullanışlı olan DİFERANSİYEL BİÇİMİ ile verilmektedir. Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimlerini elde etmek için matematik derslerinden bildiğimiz iki integral teoremini kullanacağız. DİVERJANS TEOREMİ Üç boyutlu uzayda kapalı bir 𝐴 yüzeyi ele alalım. Kapalı yüzey ve bunun içinde kalan 𝑉 hacminde tanımlı bir 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) vektör alanı olsun. 𝐹 vektörünün her bir bileşeninin kısmi türevleri sürekli ise 𝐴 𝐹 . 𝑑𝐴 = 𝑉 𝛻. 𝐹 𝑑𝑉 (2) dir. Bu teorem bir 𝐹 vektör fonksiyonunun bir yüzey üzerindeki integrali ile diverjansının bu yüzeyin kuşatmış olduğu hacim üzerinden integrali arasında bir bağlantı kurar (Gauss veya Ostrogradsky teoremi olarak da bilinir). 𝛻 işlemcisine del işlemcisi denilir ve Kartezyen koordintlarda, 𝜕 𝜕 𝜕 𝛻 = 𝑖 𝜕𝑥 + 𝑗 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕𝑧 (3) Biçiminde tanımlanmıştır. 𝛻. 𝐹 = 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝑧 (4) ifadesine 𝐹’nin diverjansı denilir. STOKES TEOREMİ 𝐹 vektör alanının kapalı bir yol boyunca çizgi integrali yerine, 𝐴 yüzeyi üzerinde 𝑟𝑜𝑡 𝐹’nin integarli alınabilir. ç𝑖𝑧𝑔𝑖 𝐹. 𝑑𝑙 = 𝐴 𝑟𝑜𝑡 𝐹 . 𝑑 𝐴 = 𝛻 × 𝐹. 𝑑𝐴 (5) Burada 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 𝛻 × 𝐹’ye 𝐹 vektör alanının rotasyoneli denir. 𝑖 𝑗 𝑘 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 𝛻 × 𝐹 = det 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 (6.a) veya 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 𝛻 × 𝐹 = 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑧 𝑖+ 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝑥 𝑗+ 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑦 𝑘 (6.b) Şimdi bu iki integral teoremini kullanarak Maxwell denklemlerinin boş uzaydaki diferansiyel biçimlerini elde edeceğiz. 𝑄 1. 𝐴 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝜖 : 𝐸 için Gauss Yasası (1.a) 0 Diverjans (Gauss) teoremini ile verilen Gauss Yasasına uygulayalım: 𝐴 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝑄 𝛻. 𝐸 𝑑𝑉 = 𝜖 𝑉 (7) 0 Şimdi elektrik yükü 𝑄, yük yoğunluğu 𝜌’nun hacim integrali olarak yazılabilir: 𝑄 = 𝑉 𝜌 𝑑𝑉 (8) Bunu 7-denkleminde kullanırsak 1 𝑉 𝛻. 𝐸 𝑑𝑉 = 𝜀 0 𝑉 𝜌 𝑑𝑉 (9) yazabiliriz. Bu eşitliğin her iki tarafında da aynı hacim üzerinde alınan integraller bulunmaktadır. Hacimlerin büyüklükleri ve şekilleri ne olursa olsun bunun doğru olabilmesi için integrantların eşit olması gerekir. 𝜵. 𝑬 = 𝝆 𝝐𝟎 Bu eşitlik Gauss teoreminin diferansiyel biçimidir. (10) 2. 𝐴 𝐵. 𝑑𝐴 = 0 : 𝐵 için Gauss Yasası (1.b) Maxwell denklemlerinin ikincisi olan 𝐴 𝐵. 𝑑 𝐴 = 𝑉 𝛻. 𝐵 𝑑𝑉 = 0 eşitliği de aynı şekilde incelenirse 𝜵. 𝑩 = 𝟎 bulunur. (11) 3. 𝑙 𝐸. 𝑑𝑙 = − 𝜕∅𝐵 𝑑𝑡 : Faraday Yasası (1.c) Şimdi stokes teoremini Maxwell denklemlerinin üçüncüsüne uygulayalım: 𝑙 𝐸. 𝑑𝑙 = 𝛻 × 𝐸. 𝑑𝐴 = − 𝜕∅𝐵 𝜕𝑡 (12) Manyetik akı ∅𝐵 = 𝐴 𝐵. 𝑑𝐴 olduğundan, 𝜕 𝛻 × 𝐸. 𝑑𝐴 = − 𝜕𝑡 𝐴 𝐵. 𝑑𝐴 (13) 𝜕𝐵 𝐵’nin konuma da bağlı olması nedeniyle 𝜕𝑡 kısmi türevini kullandık. Bunlar aynı yüzey üzerinden alınan integrallerdir. Bu eşitliğin herhangi bir yüzey için, hatta çok küçük bir yüzey bile olsa doğru olması bize, 𝜵×𝑬=− 𝝏𝑩 𝝏𝒕 (14) denklemini verir. Bu Maxwell’in diferansiyel biçimindeki üçüncü denklemidir. 4.Magnetik İndüksiyon ve Faraday Yasası Magnetik akının değişimi elektrik akımı İndüksiyon akımı İndüksiyon akımını meydana getiren kuvvet= İndüksiyon emk S yüzeyinden geçen manyetik akı B B.da S Magnetik akıdaki değişim bir elektrik voltajı (emk) üretir İndüklenmiş emk elektrik alan cinsinden ifade edilebilir d B dt E.ds C d B E.ds dt C d dt S Faraday Kanunu B.da 4. 𝑙 𝑙 𝐵. 𝑑 𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0 𝐵. 𝑑 𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0 𝑑∅𝐸 𝑑𝑡 Yer değiştirme akımını da içeren Amper yasası (1.d) 𝑑∅𝐸 𝑑𝑡 Stokes teoremini uygulayalım ve ∅𝐸 = 𝜕 𝐴 𝛻 × 𝐵. 𝑑𝐴 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0 𝜕𝑡 𝐴 𝐴 𝐸. 𝑑𝐴 yazalım: 𝐸. 𝑑𝐴 (15) İletim akımı I’yı 𝐽 akım yoğunluğu cinsinden yazılabilir: 𝐼= 𝐴 𝐽. 𝑑 𝐴 (16) O zaman Maxwell’in dördüncü denklemi şu biçimi alır: 𝜕 𝐴 𝛻 × 𝐵. 𝑑𝐴 = 𝜇0 𝐽. 𝑑 𝐴 + 𝜇0 𝜖0 𝜕𝑡 𝐴 𝐸. 𝑑𝐴 (17) Büyüklüğü ve biçimi ne olursa olsun bu eşitliğin sağlanması için eşitliğin iki tarafındaki integrallerin integrantlarının birbirlerine eşit olmaları gerekir: 𝜵 × 𝑩 = 𝝁𝟎 𝑱 + 𝝁𝟎 𝝐𝟎 𝝏𝑬 𝝏𝒕 (18) BOŞ UZAYDA MAXWELL DENKLEMLERİ İntegral Biçimi 1 Diferansiyel Biçimi 𝜌 𝛻. 𝐸 = 𝜖0 𝑄 𝐸. 𝑑 𝐴 = 𝜖0 2 𝛻. 𝐵 = 0 𝐵. 𝑑 𝐴 = 0 3 4 𝜕∅𝐵 𝐸. 𝑑 𝑙 = − 𝑑𝑡 𝐵. 𝑑 𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0 𝛻×𝐸 =− 𝑑∅𝐸 𝑑𝑡 𝜕𝐵 𝜕𝑡 𝛻 × 𝐵 = 𝜇0 𝐽 + 𝜇0 𝜖0 𝜕𝐸 𝜕𝑡 Maxwell denklemlerine göre durağan bir nokta yük statik 𝑬 elektrik alanı üretirken, 𝑩 manyetik alanı üretmez. Öte yandan sabit hızla hareket eden bir yüklü parçacık 𝑬 ve 𝑩 alanlarının her ikisini de üretir. Ancak elektromanyetik alan üretmez. Bu yüklü parçacığın elektromanyetik alan üretebilmesi için ivmelenmesi gerektiği Maxwell denklemleri kullanılarak gösterilebilir. Maxwell denklemlerinin önemli bir sonucu da, ivmelendirilen her yüklü parçacığın elektromanyetik dalga ışımak zorunda olmasıdır. Bir yüklü parçacığın elektromanyetik dalga ışımasını sağlamasının bir yolu, parçacığa bir harmonik salınım yaptırmaktır. Elektromanyetik Dalga Denklemi: Serbest yükün ve akımın olmadığı uzay bölgesinde (𝜌 = 0 ve 𝐼 = 0) Maxwell denklemleri 1 𝛻. 𝐸 = 0 2 𝛻. 𝐵 = 0 3 𝜕𝐵 = −𝛻 × 𝐸 𝜕𝑡 4 𝜕𝐸 𝛻 × 𝐵 = 𝜇0 𝜖0 𝜕𝑡 Şimdi 3 ve 4 denklemlerinin her iki tarafının t’ye göre türevlerini alalım: 𝜕2 𝐵 𝜕𝑡 2 𝜕𝐸 = −𝛻 × 𝜕𝑡 𝜕𝐸 𝜕𝑡 (3.denkelemden) 1 𝛻 0 𝜖0 =𝜇 ×𝐵 𝜕2𝐵 1 1 = −𝛻 × 𝛻 × 𝐵 = − 𝛻× 𝛻×𝐵 𝜕𝑡 2 𝜇0 𝜖0 𝜇0 𝜖0 𝜕2 𝐸 𝜇0 𝜖0 𝜕𝑡 2 𝜕2 𝐸 𝜕𝑡 2 =𝛻× 1 𝛻 0 𝜖0 =𝜇 𝜕𝐵 𝜕𝑡 𝜕𝐵 = −𝛻 × 𝐸 𝜕𝑡 (4. denklemden) 1 𝛻 0 𝜖0 × −𝛻 × 𝐸 = − 𝜇 × 𝛻×𝐸 𝜕2 𝐸 𝜕t2 𝜕2 𝐵 𝜕t2 = = 1 − μ ∈ 𝛻x 0 0 1 − μ ∈ 𝛻x 0 0 𝛻x𝐸 = 𝛻x𝐵 = 1 −μ ∈ 0 0 2 𝛻 𝛻. 𝐸 − 𝛻 𝐸 1 −μ ∈ 0 0 0 𝛻 𝛻. 𝐵 − 0 𝛻 2𝐵 𝜕2𝐸 1 = 𝛻 2𝐸 2 𝜕t μ0 ∈ 0 𝜕2 𝐵 𝜕t2 = 1 𝛻2𝐵 μ0 ∈0 1 𝜕2𝐸 𝛻 𝐸= 2 2 𝐶 𝜕t 2 1 𝜕2 𝐵 𝜕t2 𝛻2𝐵 = 𝐶 2 1 μ0 ∈0 𝑐= (∈0 ≃ 8.85x10−12 C 2 N. m2 ve μ0 = 4πx10−7 N A2 olduğunu biliyoruz. Buradan c ≃ 3x108 m s elde edilir). Her hangi bir 𝐴 vektörel alan için 𝛻x 𝛻x𝐴 = 𝛻 𝛻. 𝐴 − 𝛻 2 𝐴 𝛻. E = 0 ve 𝛻. B = 0 yazıldığını biliyoruz. Burada 𝜕 𝜕 𝜕 𝛻 2 𝐸 = 𝛻 2 𝐸𝑥 𝑖 + 𝛻 2 𝐸𝑦 𝑗 + 𝛻 2 𝐸𝑍 𝑘 𝛻 = i 𝜕x + j 𝜕y + k 𝜕z ve 𝛻 2 𝐴 = 𝛻 2 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝛻 2 𝐴𝑦 𝑗 + 𝛻 2 𝐴𝑧 𝑘 𝛻 2 𝐵 = 𝛻 2 𝐵𝑥 𝑖 + 𝛻 2 𝐵𝑦 𝑗 + 𝛻 2 𝐵𝑍 𝑘 Şimdi elektrik ve manyetik alan dalga denklemlerini kullanarak elektrik alanı 𝑦 doğrultusunda, manyetik alanı 𝑧 doğrultusunda olan yayılma yönü +𝑥-ekseni yönünde olan elektromanyetik dalganın denklemini yazalım: 𝐸 alanı 𝑦 doğrultusunda olduğu için 𝜕2 𝐸 𝜕t2 türevinin sadece 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕t2 bileşeni olacaktır. Dalga 𝑥-ekseni yönünde ilerlediği için 𝛻 2 𝐸 vektörünün sadece 𝛻 2 𝐸𝑦 bileşeni olacaktır 𝛻 2 𝐸 = 𝛻 2 𝐸𝑥 𝑖 + 𝛻 2 𝐸𝑦 𝑗 + 𝛻 2 𝐸𝑍 𝑘 0 𝛻 2 𝐸𝑦 0 = 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕x2 + 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕y2 + 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕z2 𝐸𝑦 'nin 𝑦 ve 𝑧'e göre türevleri sıfır olmak zorundadır. Bu durumda 2𝐸 𝜕 𝑦 𝛻 2 𝐸𝑦 = 𝜕x 2 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕x2 = 1 𝜕2 𝐸𝑦 c2 𝜕t2 𝜕2 𝐵𝑧 𝜕x2 = 1 𝜕2 𝐵𝑧 c2 𝜕t2 𝐸 alan vektörünün sadece 𝑦 −bileşeni olduğu için 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) 𝐵 alan vektörünün sadece 𝑧 −bileşeni olduğu için 𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) şeklinde ifade edilecektir. (şekil 3). Dalga denklemlerinin çözümü 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕x2 𝜕2 𝐵𝑧 𝜕x2 = = 1 𝜕2 𝐸𝑦 c2 𝜕t2 1 𝜕2 𝐵𝑧 c2 𝜕t2 𝐸𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐸0 cos 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝑗 𝐸0 cos 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 𝐵𝑧 𝑥, 𝑡 = 𝐵0 cos 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝑘𝐵0 cos 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 Burada 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) ve 𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) herhangi bir t anında elektrik ve manyetik alan vektörlerinin x-eksenine göre enine yer değişimleridir. 𝐸0 ve 𝐵0 bu alanların maksimum değerleri veya genlikleri, 𝑤 açısal frekans (𝑤 = 2𝜋𝑓); 𝑘 dalga sayısı 2𝜋 ve dalga boyudur. UYARI: 𝑘 sembölünün iki anlamı vardır. İki farklı 𝑘 olduğuna dikkat ediniz; +z-yönünde birim vektör 𝑘 ve dalga sayısı k. Şekil-3'de +𝑥-ekseni yönünde ilerleyen doğrusal kutuplanmış bir sinüzoidal elektromanyetik dalgayı göstermektedir. 𝐸 ve 𝐵 alanları birbiriyle uyum içinde (aynı fazda salınmaktadırlar, yani 𝐸 ve 𝐵 aynı anda maksimum veya sıfırdırlar. Ayrıca eğer 𝐸 vektörü +𝑦 yönünde ise 𝐵 vektörü eksi +𝑧 yönündedir. 𝐸 × 𝐵 vektörü uzayın bütün noktalarında dalganın yayılma doğrultusundadır (+ 𝑥 yönünde). Şekil-3'deki dalga 𝑦 −doğrultusunda kutuplanmıştır; 𝐸 alan vektörü daima y-eksenine paraleldir. Bu tür dalgalar 𝑥𝑦 −düzlemine paralel olan bütün düzlemlerde aynı tür alanlara sahiptir ve DÜZLEM DALGALAR olarak tanımlanır. 𝐸 = 𝐸0 cos 𝑘. 𝑟 − 𝑤𝑡 𝐵 = 𝐵0 cos 𝑘. 𝑟 − 𝑤𝑡 Elektromanyetik Dalgalarda Enerji 𝐸 ve 𝐵 alanlarının bulunduğu bir boş uzay bölgesinde u toplam enerji yoğunluğunun 𝐽 𝑚3 aşağıdaki bağıntıyla verildiğini biliyoruz (Temel Fizik II dersinde incelediniz): 2 1 1 𝐵 𝑢 = 𝜖0 𝐸 2 + 2 2 𝜇0 𝐵= 1 1 𝑢 = 2 𝜖0 𝐸 2 + 2𝜇 0 𝜖0 𝜇0 𝐸 𝐸 𝑐 2 = 𝜖0 𝜇0 𝐸 boşlukta = 𝜖0 𝐸 2 Bu denklemin gösterdiğine göre, boşlukta dalganın 𝐸 elektrik alanındaki enerji yoğunluğu, 𝐵 manyetik alanındaki enerji yoğunluğuna eşittir. Elektromanyetik dalgada, elektrik alanın 𝐸 büyüklüğü konumun ve zamanın bir fonksiyonudur; o halde 𝑢 toplam enerji yoğunluğu da konum ve zamana bağlıdır. Elektromanyetik Enerji Akışı ve Poynting vektörü Elektromanyetik dalgalar bir bölgeden diğerine enerji aktaran ilerleyen dalgalardır. Bu enerji aktarımını, dalganın ilerleme doğrultusuna dik bir yüzey için, birim zamanda birim kesit alana aktarılan enerji veya birim alandaki güç cinsinden tanımlayabiliriz. Enerji akışı ile elektrik ve manyetik alan arasındaki ilişkiyi anlamak için, 𝑥 −eksenine dik olan ve herhangi bir zamanda dalga cephesiyle örtüşen bir durgun düzlem düşünelim. Bir 𝑑𝑡 zamanından sonra, dalga cephesi düzlemin sağına doğru 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑑𝑡 mesafesi kadar ilerler. Bu durgun düzlem içinde bir 𝐴 yüzey alanını ele alırsak (Şekil-4), bu alanın sağında bulunan uzaydaki enerjinin yeni konumuna ulaşmak için 𝐴 alandan daha önceden geçmiş olması gerekir. Söz konusu bölgenin 𝒅𝑽 hacmi, 𝑨 taban alanı ile 𝒄 𝒅𝒕 mesafesinin çarpımına eşittir ve bölgedeki 𝒅𝒖 enerjisi ise 𝒖 enerji yoğunluğuyla bu 𝒅𝑽 hacminin çarpımına eşittir: 𝑑𝑢 = 𝜖0 𝐸 2 𝐴 𝑐 𝑑𝑡 (boşlukta) Poynting Vektörü: 𝑺 Bu enerji 𝐴 alanından 𝑑𝑡 zamanı içinde geçer. Birim zamanda ve birim alandan geçen enerji akışı için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz: 𝑆= 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖/𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝐴𝑙𝑎𝑛 = 𝐺üç 𝐴𝑙𝑎𝑛 = 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝐴 = 𝜖0 𝑐𝐸 2 𝑑𝑢 = 𝜖0 𝐸 2 𝐴 𝑐 𝑑𝑡 𝑆’nin anlık değeridir. 𝑆= 𝜖0 𝐸2 𝜖0 𝜇0 = 𝜖0 𝜇0 2 𝐸 𝜇0 = 𝜖0 𝜇0 𝐸 𝜇0 𝐸 1 𝑆 = 𝐸𝐵 𝜇0 𝑺: "𝒃𝒊𝒓𝒊𝒎 𝒛𝒂𝒎𝒂𝒏𝒅𝒂 𝒃𝒊𝒓𝒊𝒎 𝒂𝒍𝒂𝒏𝒅𝒂 𝒕𝒂ş𝑖𝒏𝒂𝒏 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒋𝒊 = 𝒃𝒊𝒓𝒊𝒎 𝒂𝒍𝒂𝒏𝒅𝒂 𝒈üç" SI birim sisteminde 𝑆'nin birimi 𝑊 𝑚2 'dir. Enerji akış hızının büyüklüğünü ve yönünü birlikte açıklayan bir niceliği tanımlayabiliriz. 1 𝑆 =𝜇 𝐸×𝐵 0 (7) 𝑆 vektörüne İngiliz fizikçi John Poynting'in (1832-1914) anısına Poynting vektörü denir. Vektör yönü dalga yayılma yönü ile aynıdır. 𝐸 ve 𝐵 birbirine dik olduklarından 1 𝑆 = 𝑆 = 𝜇 𝐸 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝜃 = 900 olduğunda 1 𝑆 = 𝜇 𝐸𝐵 dir. 0 𝑷𝒐𝒚𝒏𝒕𝒊𝒏𝒈 𝒗𝒆𝒌𝒕ö𝒓ü𝒏ü𝒏 𝒐𝒓𝒕𝒂𝒍𝒂𝒎𝒂𝒔𝑖 = Işıma şiddeti Sinüzoidal ve diğer karmaşık dalgalar için, herhangi bir noktadaki elektrik ve manyetik alanlar ve dolayısıyla Poynting vektörü zamanla değişir. Tipik elektromanyetik dalgaların frekansları çok yüksek olduğundan, Poynting vektörünün zamanla değişimi çok hızlıdır. Bu nedenle onun ortalamasına bakmak daha uygundur. 𝑆’nin ortalama değerinin herhangi bir noktadaki büyüklüğüne o noktadaki ışımanın ŞİDDETİ denir. Bir elektromanyetik dalganın şiddet ifadesini çıkaralım: 1 1 𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝜇 𝐸 𝑥, 𝑡 × 𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝜇 𝑗𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 × 𝑘𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 0 0 𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝑖 1 𝐸 𝐵 𝜇0 0 0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) 𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝑖 1 𝐸 𝐵 1 + cos2(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) 2𝜇0 0 0 Bunun tam bir devir üzerinden ortalamasını alarak 1 𝑆𝑜𝑟𝑡 = 𝑖𝑆𝑜𝑟𝑡 = 𝑖 𝐸 𝐵 2𝜇0 0 0 elde edilir. Bir sinüzoidal dalga için 𝑆’nin ortalama değerinin büyüklüğü dalganın 𝐼 şiddetini verir 𝑆 ve 𝑆’nin maksimum değerinin yarısıdır. 𝑆𝑜𝑟𝑡 = 2 𝐸0 = 𝑐𝐵0 ve 𝜖0 𝜇0 = 1 𝑐2 Şiddet ifadesini 𝐸𝑟𝑚𝑠 = şeklinde de yazabiliriz. 𝐼 = 𝑆𝑜𝑟𝑡 = 𝐸0 2 𝐸0 𝐵0 2𝜇0 eşitliğini kullanarak 1 2 𝐼 = 𝑆𝑜𝑟𝑡 = 𝐸 𝑐𝜇0 𝑟𝑚𝑠 = 𝐸02 2𝑐𝜇0 1 =2 𝜖0 2 𝐸 𝜇0 0 = 1 2 𝜖 𝐸 0 0 2 𝑐 GÜÇ: Herhangi bir kapalı yüzeyden birim zamanda geçen toplam enerji akışı (yani güç, P) 𝑆’nin yüzey üzerinden integraline eşittir. 𝑃= 𝑆. 𝑑𝐴 𝐺üç ŞİDDET: Şiddet için 𝐴𝑙𝑎𝑛 ifadesinin bir periyotluk zaman ortalaması alındığına göre, nokta kaynak için şiddet ifadesi 𝐺üç 𝑃 𝐼 = 𝐴𝑙𝑎𝑛 = 4𝜋𝑟 2 şeklinde yazılabilir. Bu ifade de görüldüğü gibi dalganın şiddeti 𝑟 2 ile ters orantılıdır. Bu ifade şiddet için ters kare yasası olarak bilinir. Madde İçindeki Elektromanyetik Dalgalar Elektromanyetik dalgalar maddesel ortamda (havada, suda, camda,...) 𝑐’den farklı bir hızla yayılırlar. Burada incelemelerimizi elektromanyetik dalgaların iletken olmayan yani dielektrik ortamlarda yayılması üzerine yoğunlaştıracağız. Madde içinde ilerleyen elektromanyetik dalgaların 𝑣 hızı 𝑣= 1 1 1 𝑐 = = 𝜖𝜇 𝑚 𝜖0 𝜇0 𝑚 Burada maddenin göreceli elektrik geçirgenlik sabiti ya da dielektrik sabiti, 𝜖 ise dielektrik geçirgenliğidir (𝜖 = 𝜖0 ). 𝑚 dielektriğin göreceli manyetik geçirgenlik sabiti, 𝜇’de manyetik geçirgenliğidir (𝜇 = 𝑚 𝜇0 ). Yalıtkan malzemelerin çoğu için 𝑚 ’nin değeri 1 civarındadır (İletken ferromanyetik malzemeler hariç). 𝑣= Malzeme Vakum (boşlu) Hava (1 atm) Hava (100 atm) Teflon Polietilen Benzen Mika 1 1.00059 1.0548 2.1 2.25 2.28 3-6 1 1 1 𝑐 = = 𝜖𝜇 𝑚 𝜖0 𝜇0 Malzeme Polivinil klorür Pleksiglas Cam Neopren Germanyum Gliserin Su 3.18 3.40 5-10 6.7 16 42.5 80.4 Tablo 1. Bazı malzemelerin 20 ‘de dielektrik sabitleri Maddenin dielektrik sabiti statik elektrik alanlarda ölçüldüğünden, Tablo 1’de verilen değerlerini hız ifadesinde denklemde kullanamayız. Elektrik ve manyetik alanlar hızla salındığından düzgün alanlarda oluşan elektrik dipollerin kısa bir süre içinde yönlerini yeniden ayarlamaları mümkün değildir. Hızla değişen alanlardaki değerleri genelde Tablo 1’de verilen değerlerden çok küçüktür. Örneğin suyun katsayısı Tablo 1’de 80.4 olarak veriliyor, fakat görünür ışık frekans aralığında sadece 1.80 civarında değerler alır. Bu nedenle, dielektrik sabiti aslında frekansın bir fonksiyonudur ve ileri seviyedeki incelemelerde dielektrik fonksiyonu olarak bilinir. (Dispersiyon)
