soyut cebir lineer cebir

ÖABT
2015
Soruları yakalayan
komisyon tarafından
hazırlanmıştır.
ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ
ÖABT
İLKÖĞRETİM
MATEMATİK
SOYUT CEBİR
LİNEER CEBİR
Konu Anlatımı
Özgün Sorular
Ayrıntılı Çözümler
Test Stratejileri
Çıkmış Sorular
Komisyon
ÖABT lkö retim Matematik Ö retmenli i
Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı
ISBN 978-605-364-967-0
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumlulu u yazarlarına aittir.
© Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satı hakları
Pegem Akademi Yay. E t. Dan. Hizm. Tic. Ltd. ti.ne aittir.
Anılan kurulu un izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da ba ka yöntemlerle ço altılamaz, basılamaz, da ıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlı ı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
1. Baskı: ubat 2015, Ankara
Proje-Yayın Yönetmeni: Ay egül Ero lu
Türkçe Redaksiyon: Elif Külah
Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. ti.
vedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A
Yenimahalle/ANKARA
(0312-394 55 90)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No:13987
leti im
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılayorha / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Da ıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Da ıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
nternet: www.pegem.net
E-ileti: [email protected]
ÖN SÖZ
Sevgili Ö retmen Adayları,
konu anlatımlı setimiz dört
ÖABT LKÖ RET M MATEMAT K Ö RETMENL
kitap hâlinde düzenlenmi tir. " lkö retim Matematik Ö retmenli i Soyut Cebir - Lineer Cebir
2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) lkö retim Matematik Ö retmenli i Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geli tirme sürecinde siz
de erli ö retmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmı tır.
Kitabın hazırlanı sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmı , bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı
maksimum derecede kar ılayacak bir ba ucu kitabı niteli inde olması hedeflenmi tir.
Detaylı, güncel ve anla ılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmı sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmi , her ünite içeri i ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla
peki tirilmi tir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmi tir.
Yo un bir ara tırma ve çalı ma sürecinde hazırlanmı olan bu kitapla ilgili görü ve önerilerinizi [email protected] adresini kullanarak bizimle payla abilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında eme i geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ay egül Ero lu ve Dizgicimiz
Gülnur Öcalan'a te ekkürü bir borç biliriz.
Gelece imizi güvenle emanet etti imiz siz de erli ö retmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet
içi e itimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Ba arılar...
MATEMAT K ÖABT LE LG L ÖNEML B LG LER
MATEMAT K ÖABT, 50 sorudan olu makta ve Matematik Ö retmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri,
Uygulamalı Matematik) ile Alan E itimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Ö retmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Ö retmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru da ılımı a a ıdaki tabloda belirtilmi tir.
Genel Yüzde
Alan Bilgisi Testi
Yakla ık Yüzde
% 80
1 - 40
a. Analiz
% 28
b. Cebir
% 18
c. Geometri
% 18
d. Uygulamalı Matematik
% 16
Alan E itimi Testi
% 20
Soru Numarası
41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve E itim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak girece iniz Ö retmenlik Alan Bilgisi Testi ile
ilgili verilen bu bilgiler 2013-2014 MATEMAT K ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmı tır. Sınav içeri inde yapılabilecek
olası de i iklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
Ç NDEK LER
1. BÖLÜM
SOYUT CEB R
1. Sayılar ve Özellikleri ................................................................................................................................................... 3
1.1. Rakam ................................................................................................................................................................. 3
1.2. Sayma Sayıları .................................................................................................................................................... 3
1.3. Do al Sayılar ....................................................................................................................................................... 3
1.4. Tam Sayılar................................................................................ ......................................................................... 3
1.5. Aralarında Asallık ................................................................................................................................................ 3
1.6. Rasyonel Sayılar ................................................................................................................................................. 3
1.7. rrasyonel Sayılar................................................................................................................................................. 3
1.8. Reel Sayılar ......................................................................................................................................................... 3
1.9. Tek ve Çift Sayılar................................................................................................................................................ 3
1.10. Ardı ık Sayılar ................................................................................................................................................... 4
1.11. Negatif ve Pozitif Sayılar ile lgili Özellikler ........................................................................................................ 4
1.12. Tam Sayılarda Bölünebilme ............................................................................................................................... 4
1.13. En Büyük Ortak Bölen ....................................................................................................................................... 6
1.14. En Küçük Ortak Kat ........................................................................................................................................... 7
2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler..................................................................................................... 8
3. Euler {-Fonksiyonu ................................................................................................................................................. 11
{-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri ............................................................................................................................ 11
4. Kongrüanslar ............................................................................................................................................................ 13
Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik ............................................................................................................................. 13
5. Asal Sayıların Bazı Özellikleri.................................................................................................................................. 15
6. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri.......................................................................................... 18
ki veya Daha Fazla De i kenli Lineer Kongrüanslar ............................................................................................... 18
7. kinci Dereceden Kalanlar ........................................................................................................................................ 19
8. Gruplar....................................................................................................................................................................... 29
8.1. Tek
lemli Cebirsel Yapı Türleri ........................................................................................................................ 29
8.2. Mertebe ............................................................................................................................................................. 31
9. Alt Gruplar ................................................................................................................................................................. 32
9.1. Normal Alt Gruplar ............................................................................................................................................. 34
10. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar ......................................................................................................... 35
11. Gruplarda Homomorfizm ve zomorfizm .............................................................................................................. 36
11.1. Homomorfizma ................................................................................................................................................ 36
11.2. zomorfizma ..................................................................................................................................................... 36
12. Bölüm Grupları ....................................................................................................................................................... 39
13. Devirli Gruplar......................................................................................................................................................... 40
13.1. Devirli Grupların Alt Grupları ........................................................................................................................... 41
13.2. Üreteç Sayısı ................................................................................................................................................... 42
14. Çarpım Grupları ...................................................................................................................................................... 42
zomorf olmayan Abelyan Gruplar ............................................................................................................................ 43
vi
15. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi ............................................................................................................................. 43
15.1. Alt Halka .......................................................................................................................................................... 45
15.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi ........................................................................................................................ 45
15.3. Bölüm Halkası .................................................................................................................................................. 46
15.4. deal .................................................................................................................................................................. 46
15.5. Nilpotent Eleman .............................................................................................................................................. 46
16. Polinom Halkası ...................................................................................................................................................... 46
17. Cisim ........................................................................................................................................................................ 47
17.1. Cebirsel Sayı .................................................................................................................................................... 47
17.2. Transandant Sayı ............................................................................................................................................. 47
17.3. Sayılabilir Küme................................................................................................................................................ 47
Çözümlü Test 1 ............................................................................................................................................................. 48
Çözümler ....................................................................................................................................................................... 50
Çözümlü Test 2 ............................................................................................................................................................. 52
Çözümler ....................................................................................................................................................................... 54
Çözümlü Test 3 ............................................................................................................................................................. 56
Çözümler ....................................................................................................................................................................... 58
Çözümlü Test 4 ............................................................................................................................................................. 60
Çözümler ....................................................................................................................................................................... 62
L NEER CEB R
1. Vektör Uzayları .......................................................................................................................................................... 68
1.1. Tanım ve Aksiyomlar .......................................................................................................................................... 68
1.2. Vektör Uzayı ile Aksiyomları ............................................................................................................................... 70
1.3. Önemli Vektör Uzayı Örnekleri ........................................................................................................................... 70
2. Alt Vektör Uzayı ........................................................................................................................................................ 74
2.1. Alt Uzayın Özellikleri........................................................................................................................................... 74
2.2. Boyut .................................................................................................................................................................. 76
3. ç Çarpım Uzayları .................................................................................................................................................... 78
3.1. ç Çarpım ............................................................................................................................................................ 78
3.2. Norm ................................................................................................................................................................... 79
4. Ortonormal Baz......................................................................................................................................................... 84
4.1. Schmidt Metodu.................................................................................................................................................. 84
4.2. Gram-Schmidt Metodu ....................................................................................................................................... 84
5. Alt Uzayın Bazları ..................................................................................................................................................... 89
6. Direkt Toplam Uzayı ................................................................................................................................................. 89
7. ç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları .......................................................................................................................... 89
8. Lineer Dönü ümler ................................................................................................................................................... 93
8.1. Temel Özellikler .................................................................................................................................................. 94
8.2. Germe Aksiyomu ................................................................................................................................................ 94
8.3. Lineer Ba ımsızlık .............................................................................................................................................. 94
8.4. Ortogonal zdü üm ............................................................................................................................................. 95
vii
9. Matrisler ve Matris Uzayları ..................................................................................................................................... 98
9.1. Matris Toplamı .................................................................................................................................................... 98
9.2. Skaler ile Matris Çarpımı .................................................................................................................................... 98
9.3. Matris Çarpımı .................................................................................................................................................... 99
9.4. Bir Matrisin Transpozu ...................................................................................................................................... 100
9.5. Kare Matrisler ................................................................................................................................................... 100
9.6. Bir Matrisin Tersi ............................................................................................................................................... 101
9.7. Matrisler ile Lineer Dönü üm Arasındaki li kiler .............................................................................................. 101
9.8. Bir Lineer Dönü üme Kar ılık Gelen Matris ..................................................................................................... 102
9.9. Herhangi ki Vektör Uzay Arasındaki Lineer Dönü ümlerinin Matris Gösterimi ................................................ 107
10. Bir Lineer Dönü ümün Rankı .............................................................................................................................. 108
10.1. Elemanter Operasyonlar (Basit
lemler)........................................................................................................ 108
11. Permütasyonlar..................................................................................................................................................... 114
12. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar ................................................................................................................... 118
n-Lineer Fonksiyonlar .............................................................................................................................................. 118
13. Determinantlar ...................................................................................................................................................... 120
13.1. Determinant Fonksiyonun Özellikleri .............................................................................................................. 120
13.2 Sarrus Kuralı.................................................................................................................................................... 122
13.3 Determinant Açılımları ..................................................................................................................................... 123
14. Bir Lineer Dönü ümün Determinantı ve zi ........................................................................................................ 130
Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı ................................................................................................................ 131
15. Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri ........................................................................................................... 131
15.1. Lineer Denklem Sistemlerinin Determinantlarla Çözümleri ............................................................................ 134
15.2. Cramer Olmayan Sistemlerin Determinantlarla Çözümleri ............................................................................. 134
16. Matrisler ve Lineer Dönü ümlerin Polinomları .................................................................................................. 136
16.1. Karakteristik De erler ve Karakteristik Denklemler ........................................................................................ 136
16.2. Karakteristik De erler ve Karakteristik Vektörler ............................................................................................ 137
16.3. Karakteristik Uzay........................................................................................................................................... 138
16.4. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem ............................................................................................. 138
Çözümlü Test 1 ........................................................................................................................................................... 140
Çözümler ..................................................................................................................................................................... 143
Çözümlü Test 2 ........................................................................................................................................................... 145
Çözümler ..................................................................................................................................................................... 147
Çözümlü Test 3 ........................................................................................................................................................... 149
Çözümler ..................................................................................................................................................................... 152
Çözümlü Test 4 ........................................................................................................................................................... 154
Çözümler ..................................................................................................................................................................... 156
Çözümlü Test 5 ........................................................................................................................................................... 158
Çözümler ..................................................................................................................................................................... 160
SOYUT CEB R
3
SOYUT CEB R
1. Sayılar ve Özellikleri
a, b, c
1.1 Rakam
3a + 6b – c = 24 e itli ini sa layan a, b ve c de erleri için en küçük a + b + c toplamının en küçük de eri
kaçtır?
Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.
Kullandı ımız onluk sistemdeki rakamların kümesi
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dir.
N olmak üzere
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Rakamlarla olu turulan ifadelere sayı denir.
1.2 Sayma Sayıları
{1, 2, 3, 4, ...} kümesi sayma sayıları kümesidir.
1.3 Do al Sayılar
Katsayısı büyük olana büyük de er verilir.
N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesidir. N+ pozitif do al sayılar kümesini ifade eder.
Sayılar aynı olabilece inden a = 0 = c seçilirse b = 4
bulunur.
1.4 Tam Sayılar
a + b + c = 4 olur.
Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesidir.
Tam sayılar kümesi üç ana bölümden olu ur. Negatif
tam sayılar (Z–), pozitif tam sayılar (Z+) ve {0} kümesidir.
Ayrıca Z = Z– {0} Z+ dir.
1.5 Aralarında Asallık
p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayılarını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p
ve q aralarında asaldır denir.
a ve b do al sayılardır.
56 . a = b3
e itli ini sa layan en küçük b de eri kaçtır?
1.6 Rasyonel Sayılar
Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q
0} kümesidir.
1.7 rrasyonel Sayılar
II = Q´ sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q
tipinde yazılamayan sayılardan olu ur. Yani rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı denir.
56 = 23.7
1.8 Reel Sayılar
56.a = 23.7.a = b3 dır.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların birle im kümesidir. R ile
gösterilir. R = Q Q´ dur.
Buradan a = 72 seçilirse b = 2.7 = 14 bulunur.
x, y, z
1.9 Tek ve Çift Sayılar
Z olmak üzere,
x . y = 12, y . z = 4 ve x . z = 3
e itliklerini sa layan x, y, z sayılarının en büyük toplamı en küçük toplamından kaç fazladır?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
x.y 12 x
=
& = 3 & x = 3.z bulunur.
y.z
4
z
Bu ifade x . z = 3 e itli inde yerine yazılırsa
3z2 = 3
Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.
z = " 1 bulunur.
2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile
tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift
sayılar 2n, tek tam sayılar 2n – 1 ile gösterilir (n Z).
1.9.1 Tek ve Çift Tam Sayılar le lgili Özellikler
1) T " T = Ç
5) Ç . Ç = Ç
2) Ç " Ç = Ç
6) T . T = T
3) T " Ç = T
7) n
N olmak üzere Tn = T
4) T . Ç = Ç
8) n
N+ olmak üzere Çn = Ç'dir.
Tek ve çift sayılarda bölme i lemine ait kural tanımlanamaz. Örne in 40 çift sayıdır.
z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8
z = –1 için x = –3 ve y = –4 olup x + y + z = –8 bulunur.
8 – (–8) = 16'dır. Do ru seçenek C olarak elde edilir.
40
40
40
= Ç,
= T,
sayısı ne tek ne de çifttir.
2
40
60
4
1.10 Ardı ık Sayılar
n Z olmak üzere n, n + 1, n + 2, ... sayılarına ardı ık
tam sayılar denir.
Kural:
R+ için
n
1 + 2 + ... + n =
n
n. ` n + 1 j
2
dir.
Z olmak üzere 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ... sayılarına
ardı ık tek sayılar denir.
Z+ için
n Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... sayılarına ardı ık
çift sayılar denir.
Kural:
Z+ için
2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1) dir.
Kural:
Ardı ık terimleri arasındaki artı miktarı e it olan dizide
Terim Sayısı =
1.12.6 8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basama ı (birler, onlar ve yüzler basama ı) 8 ile bölünebiliyor
ise sayı 8'e tam bölünür.
1.12.8 10 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama ı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür.
1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 dir.
n
1.12.5 7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sa dan sola do ru sırasıyla 3, 2, 1 sayıları yazılır.
Bu rakamlar altlarına yazdı ımız sayılar ile çarpılır. Daha
sonra sa dan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar
(+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise
verilen sayı 7 ile tam bölünür.
1.12.7 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünebilir.
Kural:
n
1.12.4 5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamaı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.
Son Terim – lk Terim
Artı miktarı
1.12.9 11 ile bölünebilme: Verilen sayı sa dan sola
do ru sırası ile (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya
11'in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür.
Verilen ba ıntılarda sayı istenilen sayıya
tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla
bulunur. Örne in 256 sayısının 5 ile
bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden
kalana e it ve 1'dir.
NOT
+1
ve
Hangi n do al sayıları için (n + 1)|(n2 + 1) dir.
Terim Toplamı =
Terim Sayısı . (Son terim + lk terim)
2
dir.
1.11 Negatif ve Pozitif Sayılar le lgili Özellikler
1) (–) . (–) = (+)
5) (–) / (–) = (+)
2) (–) . (+) = (–)
6) (–) / (+) = (–)
3) (+) . (+) = (+)
7) (+) / (+) = (+)
4) (+) . (–) = (–)
9) n
N olmak üzere
8) (+) / (–) = (–)
(–)2n
= (+) dir.
10) n
N olmak üzere (–)2n–1 = (–) dir.
11) n
N olmak üzere (+)n = (+) dir.
1.12 Tam Sayılarda Bölünebilme
m, n, r Z olmak üzere m . n = r olsun. Bu durumda m ve
n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı
denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m | r ile, aksi takdirde
m
) r ile gösterilir.
1.12.1 2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bölünür.
1.12.2 3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünebilir.
1.12.3 4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basama ı (birler ve onlar basama ı) 4 ile tam bölünebiliyor
ise verilen sayı 4 ile bölünür.
n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) oldu undan
(n + 1)| 2
(n – 1)
(n + 1)| 2
(n + 1)| 2
(n + 1) ve
(n – 1) oldu
n + 1| 2
n + 1| olur.
[(n + 1) – (n2 – 1)]
2
n
n
N için
dir.
N oldu undan ve n + 1
undan
2 olması gerekti inden
n = 0, 1 elde edilir.
Kural:
[1, x] aralı ında n ile bölünebilen do al sayıların sayısı
x
& 0 dir.
n
Kural:
a
Z ve m, n
n < m için
a2
n
N olsun.
+1
a
2m 1
dir.
Kural:
n
2 olmak üzere n ve k iki do al sayı olsun.
n – 1| k
n –1
dir.
5
Kural:
n bir do al sayı ve k bir tek sayı olsun.
(1 + 2 + ... + n)| k
(1 + 2k + ... + nk)
dır.
Kural:
N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) sayısının 41 ile bölünebilmesi için n en az kaç olmalıdır?
a, b Z olsun. a sayısı b ile bölündü ünde kalan r ise 2a
– 1 sayısı 2b – 1 ile bölündü ünde kalan 2r – 1'dir.
N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1)
{n2 + 18n – 22 : n
Z} kümesinin 103 ile bölünen,
= (12 + 1) + (22 + 2) + ... + (n2 + n)
1000'den küçük olan en büyük elemanını bulunuz.
= (12 + 22 + ... + n2) + (1 + 2 + ... + n)
=
n ` n + 1 j` 2n + 1 j
6
n ` n + 1 j` n + 2 j
=
3
n2 + 18n – 22 = 103 . k ise
n2
+ 18n – (103k – 22) = 0
denkleminin köklerini tam sayı yapan k tam sayılarını
bulalım. Köklerin tam sayı olması için
n. ` n + 1 j
+
2
sayısının 41 ile bölünebilmesi için n(n + 1) (n + 2) çarpanlarından en az biri 41'e bölünmelidir. n + 2 = 41
n = 39 olmalıdır.
= 81 + (103k – 22) = 103(k + 1), ifadesi bir tam sayının
karesi olmalıdır. Bunun için de a Z olmak üzere
k + 1 = 103 . a2
Teorem:
seçilmelidir. Bu durumda,
m, n ve r tam sayı olmak üzere,
n2
i)
m
Z iken al0 dır.
ii)
m
Z için ±1lm ve ±mlm dir.
+ 18n – (103k + 22) = 0 denkleminin kökleri n = –9 "
103 a biçiminde olacaktır. a = 9 seçilirse n = 918 olur.
{1, 2, ..., 600} dizisinde 13 ile bölünebilen kaç tane
do al sayı vardır.
iii)
ml
±1
iv)
ml
n
ise ±ml±n dir.
v)
ml
n
ve nlr ise mlr dir.
vi)
ml
n
ve nlm ise m = ±n dir.
vii)
c
viii)
'
ix)
600
1 = 46 adettir.
13
0 olmak üzere cmlcn ise mln dir.
m1
ml
m = " 1 dir.
n
n1
ve m2
n 2 ise
m 1 .m 2
n 1 .n 2
dir.
ve mlr ise mln+r dir.
Tanım:
1000'den küçük kaç do al sayı 17 ile bölünür?
(Asal Sayı) : n > 1 tam sayısının kendisinden ve birden
ba ka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir.
Tanım:
(Bile ik Sayı): Asal olmayan sayılara bile ik (= combined) sayı denir.
Tanım:
Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir.
[1, 1000] kümesinde
)
1000
3 = 58 ve 0
17
N için 17|0 olup toplam 58 + 1 = 59
adet sayı 17 ile bölünebilir.
Teorem:
Her bile ik sayının en az bir asal çarpanı vardır.
Teorem (Euclid):
Asal sayıların sayısı sonsuzdur.
6
Uyarı:
Bir sayının tüm bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının iki katıdır.
Kural
(Bir sayının asallık testi): Verilen sayının karekökü yakla-
ık olarak hesaplanır. Bu sayıya kadar olan asallar tespit
edilir. Verilen sayı bulunan asallara tam bölünmüyorsa
verilen sayı asaldır. Aksi hâlde bile ik sayıdır. Örne in;
421 sayısının asal olup olmadı ına bakalım.
421 , 20, 518 olup 20'ye kadar olan asal sayılar 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17, 19 olup bu sayılar 421 sayısını tam ola-
r1 0 ise r1, r2 ye bölünür ve kalanının sıfırdan farklı olması hâlinde bu bölmelere devam edilir. Bu ekilde pozitif tam sayıların azalan bir r1, r2, ..., rk–1, rk dizisi elde
edilir. n'den küçük pozitif tam sayıların sayısı sonlu oldu undan dizi sonlu olmalıdır. Yani belli bir k için rk+1 =
0 olmalıdır. Yani yukarıdaki bölmeler yardımıyla sonlu
adımdan sonra sıfır kalanı elde edilecektir. Kısaca algoritmada kalanı sıfır yapana kadar bölme yapılır.
Teorem:
Euclid algoritmasında yapılan kalanlı bölmelerde sıfırdan
farklı en son rk kalanı m ve n sayılarının obeb'idir. Yani
(m, n) = rk dır.
rak bölmez. Dolayısıyla 421 sayısı asal sayıdır. Burada
421 den küçük olan asal sayıları incelemek yeterlidir,
çünkü
421 den büyük bir asal çarpan varsa buna kar-
ılık bir de
olur.
972 ve 429 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?
421 den küçük olan bir asal çarpan mevcut
Teorem (Bölme Algoritması):
972 = 2 . 429 + 114
m, n
429 = 3 . 114 + 87
Z, m, n
0 ise m = q . n + r; 0 < r < |n|
114 = 1 . 87 + 27
olacak ekilde bir tek q ve r tam sayı ikilisi vardır.
87 = 3 . 27 + 6
1.13 En Büyük Ortak Bölen:
27 = 4 . 6 + 3 (ebob)
m ve n tam sayılar olmak üzere k|m ve k|n ise k'ya m ve
n'nin bir ortak böleni denir.
oldu undan obeb 3 bulunur.
6=2.3+0
m ve n'yi bölen en büyük pozitif d tam sayısına m ve n'nin
en büyük ortak böleni (=obeb = ebob) denir. d = (m, n)
ile gösterilir.
570, 810, 495 ve 125 sayıların en büyük ortak böleni
kaçtır?
Uyarı
1) Tanıma göre d'nin m ve n'nin obeb'i olması için gerek
ve yeter art
i) d|m ve d|n olması,
ii) k, k|m ve k|n özelli indeki bir ba ka ortak bölen iken
k|d olmasıdır.
2) kiden fazla sayının obeb'i de benzer ekilde tanım-
lanır.
Bu tip sorularda iki erli hesaplama yapılır.
(570,810) de erini bulalım.
810 = 1 . 570 + 240
Uyarı
Obeb verilen tam sayıların pozitif lineer toplamlarının en
küçü üdür.
Teorem:
570 = 2 . 240 + 90
240 = 2 . 90 + 60
90 = 1 . 60 + 30 (ebob)
60 = 2 . 30 + 0
Sıfırdan farklı iki tam sayının obeb'i tektir.
hesaplanır. imdi buldu umuz ebob ile sonraki sayının
ebob'unu bulalım. Burada
Tanım (Euclid Algoritması):
m, n sıfırdan farklı tam sayılar olsun. (m, n) = (–m, n)
= (m, –n) = (–m, –n) oldu undan genelli i bozmaksızın;
m, n N alabiliriz. m n olsun. Bölme algoritmasından,
(570, 810) yerine 30 yazılabilir.
m = q1 . n + r1 , 0
zabiliriz.
495 = 16 . 30 + 15
r1 < n olacak ekilde q1, r1
Z ya-
r1 = 0 ise n|m, bu durumda m ile n'nin obeb'i n olur.
r1 0 ise n = q2 . r1 + r2; 0 r2 < r1 olacak ekilde q2, r2
Z bulunabilir. (n'yi r1'e böldük.)
(30, 495, 125) ebob'unu bulalım. Bunun için
(30, 495) ebob'unu bulmalıyız.
30 = 2 . 15 + 0
Benzer metotla devam ederek (15, 125) = 5 olur. Buradan istenilen sonuç yani (520 . 810 . 495 . 125) = 5'dir.
7
Tanım:
n
2 olmak üzere hepsi birden sıfır olmayan
a1, ..., an tam sayıları için ayet (a1, ..., an) = 1 ise bu tam
sayılara aralarında asal denir. Ayrıca i j için (i, j = 1, 2,
..., n); (ai, aj) = 1 ise a1, ..., an sayılarına aralarında iki er
iki er asal sayılar denir.
x N olmak üzere p = x3 – 1 eklindeki tüm p asallarını bulunuz.
Teorem:
m ve n sıfırdan farklı tam sayılar olsun m ve n'nin aralarında asal olmaları için gerek ve yeter art 1 = mx + ny
olacak ekilde x, y Z nin bulunmasıdır.
P = (x – 1) (x2 + x + 1) sayısının çarpanları
Teorem: ^m, nh = d + b , l = 1'dir.
m n
d d
Teorem:
p.1
1.p
(–1) . (–p)
(a, b) = 1 ve (a, c) = 1 ise (a, b, c) = 1'dir.
(–p) . (–1) tipindedir.
x = 2, p = 22 + 2 + 1 = 7 asaldır.
x–1=1
Teorem:
x – 1 = –1
a|b . c ve (a, b) = 1 ise a|c dir.
x2 + x + 1 = 1
x = 0, p = –1 asal de ildir.
x (x + 1) = 0
x = 0 veya x = –1
p = –1 asal de il p = –2 asal de il
1.14 En Küçük Ortak Kat:
a, b sıfırdan farklı tam sayılar olsun.
a) k N olmak üzere a|k ve b|k ise k'ya a ve b'nin bir
ortak katı denir.
x2 + x + 1 = –1
x1,2 =
x2 + x + 2 = 0
1 " 1 4.2.1
gN
2
Çözüm kümesi x = {7} dir.
b) k, a ve b'nin bir ortak katı olsun. E er t; a ile b'nin bir
ba ka ortak katı iken k|t ise k'ya a ile b'nin en küçük ortak
katı (ekok) denir ve [a, b] = k ile gösterilir.
Teorem:
a, b
0 iki tam sayı ise (a, b) . [a, b] = |a . b| dir.
x N olmak üzere p = x2 – 1 olacak ekildeki tüm p
asal sayılarını bulunuz.
26x + 14y = (26,14) ba ıntısını sa layan öyle x ve y
tam sayıları bulunuz ki, x pozitif ve mümkün oldu u
kadar küçük olsun.
P = (x – 1) (x + 1) sayısının çarpanları
1.p
p.1
P asal oldu undan çarpanı 1 ve kendisidir.
(26,14) = 2 oldu undan
26x + 14y = 2
13x + 7y = 1 e itli ini sa layan en
küçük pozitif x tam sayısı bulunacaktır.
(–1) . (–p)
(–p) . (–1) tipindedir.
13x + 7y = 1
x–1=1
x = 2, p = 3 asaldır.
x+1=1
x = 0, p = –1 asal de il.
x – 1 = –1
x = 0, p = –1 asal de il
x + 1 = –1
x = –2 + x = –2
Çözüm kümesi p = {3} dir.
N
y = 1 13x = 1 + x 14x
7
7
1+x
=
7
2x
ifadesinin tam sayı olması için 1 + x = 7
lıdır.
x = 6 olma-
8
Tanımda verilen a ve b sayılarının obeb'i 1
ise her zaman Z'de çözüm vardır.
(a, 4) = 2 ve (b, 4) = 2 iken (a + b, 4) nedir?
NOT
Teorem:
ax + by = c Lineer Diophant Denkleminin bir çözümü olması için gerek ve yeter art d = (a, b) olmak üzere d|c
olmasıdır.
Çözüm
(a, 4) = 2 oldu undan a = 2m olacak biçimde bir m tek
sayısı ve (b, 4) = 2 oldu undan b = 2n olacak ekilde
bir n tek sayısı vardır. E er m ve n sayısı tek olmasaydı,
Teorem:
(a, 4) = (b, 4) = 4 olurdu.
(a, b) = d olmak üzere d|c olsun.
a + b = 2m + 2n = 2(m + n) olur.
Bu takdirde ax + by = c Lineer Diophant Denkleminin bir
çözümü (x0, y0) ise denklemin genel çözümü t Z için,
m ve n tek oldu undan, m + n çifttir.
m + n = 2k denirse a + b = 4k bulunur.
Bu durumda (a + b, 4) = (4k, 4) = 4(k, 1) = 4 bulunur.
Z
]] x = x 0 +
[
] y = y0
\
b
t
d
a
t
d
eklindedir.
2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif
Bölenler
Tanım:
a, b, c Z, a . b 0 olmak üzere x, y çözümleri tam sayı
olan ax + by = c eklindeki denklemlere lineer diophant
denklemi denir.
11x + 27y = 4 denkleminin çözümünü inceleyelim.
14x + 22y = 50 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
22 = 1 . 14 + 8
14 = 1 . 8 + 6
8=1.6+2
obeb (14,22)
6=3.2+0
2 = 8 – 6 = (22 – 14) – (14 – 8)
11 ve 27'nin lineer toplamı olarak verilmi Euclid algoritmasından
27 = 2 . 11 + 5
11 = 2 . 5 + 1
50 = 14 . (–75) + 22 . (50) olup (x0,y0) = (–75, 50) verilen
denklemin bir çözümüdür. Buradan genel çözüm; a =
14, b = 22, d = 2, c = 50 için
5=1.5+0
1 = (27,11) = 11 – 2 . 5 = 11 – 2 . (27 – 2 . 11)
1 = 11 . 5 + 27 (–2) e itli ini 4 ile çarparsak
4 = 11 . (20) + 27 . (–8) bulunur. Burada
x0 = 20, y0 = –8 bir özel çözümdür. Bu denklemin
(–34,14) ve (–7,3) gibi ba ka çözümleri de bulunabilir.
2x + 4y = 7 denkleminin Z'de çözümü
+
:;;
;; < tek
çift
yoktur veya 3x + 9y = denkleminin çözümü olması için e itli in sa tarafı 3'ün katı
olmalıdır. 3x + 9y = 14
Ç.K. = Ø dir.
2 = 14 . (–3) + 22 . (2)
e itli inin her iki tarafını 25 ile çarparsak
obeb
Her diophant denklemin çözümü olmak zorunda de ildir. Örne in;
= (22 – 14) – (14 – (22 – 14)) = 14 . (–3) + 22 . (2)
NOT
Z
]] x = x 0 +
[
] y = y0
\
b
.t
d
: tgZ
a
.t
d
olup
*
x = 75 + 11t
y = 50 7t
olarak bulunur. Bu tür denklemlerin özel çözümleri deneme yoluyla da bulunabilir.
Teorem:
p, asal sayısı için p|a . b ise p|a veya p|b dir.
9
p asal sayı de il ise bu teorem do ru
olmaz. Örne in;
8|4 . 2 fakat 8 A 4 ve 8 A 2 dir.
NOT
504 sayısının pozitif bölenlerini ve pozitif bölenlerinin
toplamını bulunuz.
Sonuç:
p asal ve p|a1 . a2 . ... . an ise en az bir 1 i n için p|ai dir.
504 = 23 . 32 . 71 olup s(504) = 4 . 3 . 2 = 24 olur.
Sonuç:
t ^504 h =
24 1 33 1 72 1
= 15.13.8 = 1560 ' dır.
.
.
2 1 3 1 7 1
p, p1, p2, ..., pn asal sayılar ve p|p1p2 ... pn ise en az bir 1
i n için p = pi dir.
Uyarı:
Teorem:
Örnekten de görüldü ü gibi t(n) de eri
n > 1 tam sayısı çarpanların sırası hariç bir tek ekilde
asal çarpanlarına ayrılabilir.
(P10 + P11 + P12 + ... + P 1 i ) . (P20+...+ P 2 2 ) ... (Pk0+...+
a
Pk k )
a
a
çarpımı ile de hesaplanabilir.
Uyarı:
Uyarı:
n = p1 . p2 ... pk yazılımında asal pi çarpımlarının bazıları
e it olabilir. pi çarpanı bu yazılımda i kez yer alıyorsa n
sayısı kısaca;
t
n = p 1a1 .p 2a2 ...p tat =
%p
ai
i
Özel olarak t(1) = s(1) = 1 tanımlanır.
Tanım:
˚ (t # k)
t(n) = 2n ise n tam sayısına mükemmel sayı denir.
i=1
eklinde yazılabilir. Bu son yazılıma n sayısının standart
formu denir.
n
–––
Örne in; 60 sayısının standart formu 60 = 22 . 31 . 51 dir.
1
1
2
3
3
4
4
7
5
6
6
12
n > 1 tam sayısının pozitif bölenlerinin sayısını s(n) ile gösterelim..
NOT
t(n)
––––
_
b
b
b
b lk dört mükemmel sayı
` 6, 28, 496 ve 8128'dir.
b
b
b
b
a
Teorem:
k
n=
%P
ai
i
k
& s (n) =
i=1
% ` a + 1 j dir.
k
ai
i
i=1
NOT
Bir do al sayının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
NOT
Teorem:
Teorem:
%P
p asal ise p mükemmel sayı olamaz.
i=1
n > 1 tam sayısının pozitif bölenlerinin toplamını t(n) ile gösterelim.
n=
Teorem:
i
k
& t (n) =
ai + 1 1
i
% PP
i=1
i
1
n > 1 tam sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı
dir.
s (n)
n 2 dir.
Teorem:
n > 1 tam sayısının
(–1)s(n) . ns(n) dir.
tüm
bölenlerinin
çarpımı