tr*gonometr - video.eba.gov.tr

sin
1
sin 
1
P(cos  ,sin  )

O
cos 
1
cos
1
TRİGONOMETRİ
22.02.2011
İbrahim KOCA
1
TRİGONOMETRİ
Trigonometrinin uygulama sahası çok geniştir. Astronomi çalışmaları,
haritacılık, rota tayini, kan basıncı ölçümü, optik, mekanik ve elektronik
mühendisliği bu sahalardan sadece birkaçıdır. Piyano tuşundan çıkan
sesten, telefon konuşmalarımıza, televizyon görüntü dalgalarından, uzay
çalışmalarına uzanan bir çok saha trigonometrinin uygulama alanına
girmektedir.
Trigonometri terimi, Yunanca üçgen anlamına gelen trigos ve ölçüm
manasına gelen metron kelimelerinin birleşiminden meydana
gelmiştir.
22.02.2011
İbrahim KOCA
2
Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri
1-) Yönlü Açılar:
Başlangıç noktası aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir.
[OB [OA

A
ışınlarının birleşimiyle
oluşan açıya;



AOB veya BOA veya O denir.
O
Açının köşesi
22.02.2011

B
Açının kenarları
İbrahim KOCA
3
Açıyı oluşturan iki ışının birini başlangıç kenarı, diğerini bitim kenarı olarak
adlandırdığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir. Açılar adlandırılırken önce
başlangıç kenarı sonra bitim kenarı yazılır.
Yönü saat yönünün tersi olan açılara pozitif yönlü, saat yönünde olan açılara
da negatif yönlü açı denir.
22.02.2011
İbrahim KOCA
4
2-)Birim Çember
Analitik düzlemde, merkezi başlangıç noktasında ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan
çembere birim ( trigonometrik) çember denir.
y
1
P(x,y)
1
-1
1
O
x
-1
Birim çemberin genel denklemi:
x  y 1
2
22.02.2011
İbrahim KOCA
2
5
Örnek-1)
(a  3) x 2  (b  1) y 2  a  b  c
İfadesi bir birim çember denklemi belirttiğine göre a, b ve c değerlerini bulunuz.
Örnek-2)
2
2
m

1
.
x

n
.
y
 mnk


ifadesi birim çember belirttiğine göre , m, n ve k kaçtır?
22.02.2011
İbrahim KOCA
6
Örnek-2)
 1 m
P
, 
3 3

22.02.2011
noktası birim çember üzerinde bir nokta ise m kaç olabilir?
İbrahim KOCA
7
Örnek-3)

2 x
P  
, 
 2 2
22.02.2011
noktası birim çember üzerinde bir nokta ise x kaç olabilir?
İbrahim KOCA
8
Açı Ölçü Birimleri
1-)Derece:
Bir tam çember yayı 360 eş parçaya bölündüğünde, bu eş yaylardan birini gören
merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve 1 ile gösterilir.
1
B
O
22.02.2011
AB 
A
İbrahim KOCA
2 r
360
9
1 derecenin
1 dakikanın
Yani;
22.02.2011
1
60
1
60
ine 1 dakika denir. Dakika, (‘) sembolü ile gösterilir.
ine 1 saniye denir. Saniye, (‘’) sembolü ile gösterilir.
1  60 '  3600 ''
İbrahim KOCA
10
Örnek-1)
10 20 '
kaç saniyedir?
Örnek-2)
750'4000''
ölçüsünü, derece-dakika-saniye cinsinden yazınız.
Örnek-3)
  20 18' 43''
 
22.02.2011
 
  14 35'22''
  2
olduğuna göre
değerlerini bulunuz
İbrahim KOCA
11
2-)Radyan:
Bir çemberde, yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki yayı gören merkez açının
ölçüsüne 1 radyan denir ve;
1R
veya 1 rad
ile gösterilir.
B
AB  r
r
r
O
360  2 R
1R
r
A
180   R
D
R

180 
22.02.2011
İbrahim KOCA
12
Örnek-4)
Aşağıda verilen açı ölçülerini diğer birim cinsinden yazınız.
100
 5 


 12 
R
210
 2 


5


R
22.02.2011
İbrahim KOCA
13
Örnek-5)
Aşağıdaki tabloda verilen açı ölçülerini diğer birime çeviriniz.
60
 
 
4
22.02.2011
90
R
 
 
9
120
R
 2 


 3 
150
R
 3 


 10 
240
R
 4 


 5 
İbrahim KOCA
R
270
315
 5 


 12 
 7 


 18 
R
R
14
Birim çemberin eksenlerle kesişen noktalardaki açılar
y
R
90 
2
0  0R
180   R
x
O
3
270 
2
22.02.2011
R
İbrahim KOCA
15
Şekilde verilen birim çemberde P noktasından geçen bitim kenarının belirlediği
açıyı radyan cinsinden bulunuz.
y

2
R
P
135
0R
R
2 R
O
3
2
22.02.2011
x
R
İbrahim KOCA
16
Esas Ölçü:
Örnek-6)
Aşağıda verilen açıların esas ölçülerini bulunuz.
7320
22.02.2011
7320
 75 


8


İbrahim KOCA
R
 75 


 8 
R
17
Örnek-7)
  30 42 '15''
22.02.2011
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
İbrahim KOCA
18
Örnek-8)
Aşağıda verilen açıların esas ölçülerini bulunuz.
9125
22.02.2011
5980
 127 


5


İbrahim KOCA
R
 327 


7


R
19
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
1-) Kosinüs Fonksiyonu:
Birim çember üzerindeki P noktasının apsisine  açısının kosinüsü denir ve
cos  şeklinde gösterilir.
y
P noktasının apsisi
1
P( x1 , y1 )
1

O
1
x1
x
1  x1  1
  R
veya
için,
x1
dir.
olduğundan,
1  cos   1
cos  : R   1,1
dir.
dir.
1
22.02.2011
İbrahim KOCA
20
y
y
1
P
P
1
1
O

cos 
1
1
x
1
cos 

O
1
x
1
1

0  
2

 
2
1  cos  0
0  cos   1
22.02.2011
1
İbrahim KOCA
21
y
y
1
1

1 cos
1
1
O

1
x
1
x
1
P
cos 
P
1
1
3
  
2
3
   2
2
1  cos  0
0  cos   1
Bir açının kosinüs değerini apsis yani x-ekseni belirlediğinden x eksenine kosinüs
ekseni diyebiliriz.
22.02.2011
İbrahim KOCA
22
2-) Sinüs Fonksiyonu:
Birim çember üzerindeki P noktasının ordinatına
sin  şeklinde gösterilir.
y
y1
P( x1 , y1 )

O
açısının sinüsü denir ve
P noktasının ordinatı
1
1

1
x
1  x1  1
  R
veya
için,
y1
dir.
olduğundan,
1  sin   1
sin  : R   1,1
dir.
dir.
1
22.02.2011
İbrahim KOCA
23
y
y
1
sin 
1
P
P
1

O
1
1
x
sin 

1
O
1
x
1
1

 
2

0  
2
0  sin   1
0  sin   1
22.02.2011
1
İbrahim KOCA
24
y
y
1
1

1
1
1
O
1
P

1
x
1
x
sin 
sin 
P
1
1
3
  
2
3
   2
2
1  sin   0
1  sin   0
Bir açının sinüs değerini ordinat yani y-ekseni belirlediğinden y eksenine sinüs
ekseni diyebiliriz.
22.02.2011
İbrahim KOCA
25
sin
(0,1)
sin 
P(cos  ,sin  )

(1.0)
O
cos 
(1, 0)
cos
(0, 1)
cos 0  1
sin 0  0
cos 90  0
cos180  1
sin 90  1
sin180  0
cos 270  0
sin 270  1
cos 360  1
sin 360  0
22.02.2011
İbrahim KOCA
26
Örnek-9)
A  3cos x 1
olduğuna göre, A nın alabileceği minimum ve maksimum değerleri bulunuz.
22.02.2011
İbrahim KOCA
27
Örnek-10)
B  2  4sin x
olduğuna göre, B nin alabileceği minimum ve maksimum değerleri bulunuz.
22.02.2011
İbrahim KOCA
28
Örnek-11)
A  sin 2790  cos 4500  cos 7290  sin 3690
olduğuna göre, A değerlerini bulunuz.
22.02.2011
İbrahim KOCA
29
Örnek-12)
B  sin
21
19
 cos
 sin 21  cos80
2
2
olduğuna göre, B değerlerini bulunuz.
22.02.2011
İbrahim KOCA
30
P
sin
(0,1)
1
(1.0)
O
1
P(cos  ,sin  )
B


(1, 0)
A
sin 
cos
O
A
cos 
(0, 1)
OAP dik üçgeninde Pisagor bağıntısından;
cos 2   sin 2   1
Örnek:
cos 2 25  sin 2 25  1
cos 2 210  sin 2 210  1
cos 2 A  sin 2 A  1
22.02.2011
İbrahim KOCA
31
Örnek-13)
sin x  cos x 
22.02.2011
1
3
ise
sin x.cos x
İbrahim KOCA
kaçtır?
32
Örnek-14)
0  
22.02.2011

2
İçin
2
cos  
3
İbrahim KOCA
ise
sin 
nedir?
33
3-) Tanjant Fonksiyonu:
x=1 doğrusu üzerindeki P noktasının ordinatına
tan  şeklinde gösterilir.
y
y1
1

açısının tanjantı denir ve
P noktasının ordinatı
P(1, y1 )
1

1
x
O
tan   y1
y1
dir. O halde,
dir.


tan  : R    k   (, )
2

x=1 doğrusuna tanjant ekseni denir.
1
x 1
22.02.2011
İbrahim KOCA
34
4-) KotanjantFonksiyonu:

y=1 doğrusu üzerindeki P noktasının apsisine
cot  şeklinde gösterilir.
y
y 1
açısının kotanjantı denir ve
P noktasının apsisi
co t   x1
1
x1
dir. O halde,
dir.
P( x1 ,1)
1

O
cot  : R  k   (, )
1
x1
x
y=1 doğrusuna kotanjant ekseni denir.
1
22.02.2011
İbrahim KOCA
35
tan
sin
(0,1)
(1.0)
cot
(1, 0)
O
cos
(0, 1)
tan 0  0
tan 90  Tanımsız
cot 0  Tanımsız
tan180  0
cot 90  0
cot180  Tanımsız
tan 270  Tanımsız
cot 270  0
tan 360  0
cot 360  Tanımsız
Örnek-14)
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
x  tan 37
22.02.2011
y  tan 36
z  tan 35
İbrahim KOCA
37
Örnek-15)
Aşağıdaki ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
5
x  cot
9
22.02.2011
2
y  cot
3
7
z  cot
9
İbrahim KOCA
38
Özellik:
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanımlı olduğu yerde;
sin 
tan  
cos 
22.02.2011
cos 
cot  
sin 
İbrahim KOCA
tan .cot   1
39
Örnek-16)
tan   cot   4
olduğuna göre,
tan   cot 
İfadesinin değerini bulunuz.
22.02.2011
İbrahim KOCA
40
Örnek-17)
tan x  cot x  3
22.02.2011
olduğuna göre,
İbrahim KOCA
tan 2 x  cot 2 x
kaçtır?
41
Örnek-18)
4sin 2   3cos 2   4
A
2cos 2   3sin 2   2
22.02.2011
ifadesini sadeleştiriniz
İbrahim KOCA
42
5-) Sekant ve Kosekant Fonksiyonları
y
D


sec  : R    k   R   1,1
2

S
B
P
1

A'
A
C
x
O
co sec  : R  k   R   1,1
B'
C noktasının apsisine

D noktasının ordinatına
22.02.2011
açısının sekantı denir ve

sec
açısının kosekantı denir ve
İbrahim KOCA
ile gösterilir.
co sec
ile gösterilir.
43
y
D
S
B
P
1

A'
A
C
x
O
B'
co sec 0  Tanımsız
co sec90  1
sec 0  1
sec90  Tanımsız
co sec180  Tanımsız
sec180  1
co sec 270  1
sec 270  Tanımsız
co sec 360  Tanımsız
sec360  1
22.02.2011
İbrahim KOCA
44
Özellik:
Sekant ve kosekantın tanımlı olduğu yerlerde;
1
sec  
cos 
1
co sec  
sin 
1  tan   sec 
2
22.02.2011
2
1  cot 2   co sec2 
İbrahim KOCA
45
Örnek-18)
sec2 x  tan 2 x
cos ec 2 x  cot 2 x
22.02.2011
ifadesini sadeleştiriniz.
İbrahim KOCA
46
Örnek-19)
cot x  1
1  tan x
22.02.2011
ifadesini sadeleştiriniz.
İbrahim KOCA
47
Örnek-20)
1
1

1  sin x 1  sin x
22.02.2011
ifadesini sadeleştiriniz.
İbrahim KOCA
48