5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Rijit Cisimde Denge
Düzlem Kuvvetlerde Denge Hali
Düzlemde Serbestlik Derecesi
Bağ Çeşitleri
Pandül Ayak
Düzlem Taşıyıcı Sistemler
Düzlem Taşıyıcı Sistemlerde Yükleme Durumları
Düzlem Taşıyıcı Sistemlerin Mesnetlenmesi
 Örnekler
Çok Parçalı Sistemlere Giriş
5.9
 Örnekler
PROBLEMLER
103
103
105
106
107
109
112
115
119
123
125
129
İsviçreli matematikçi önce tıp eğitimi gördü sonra matematiğe merak sardı. Diferansiyel denklemler kuramına, yelkenlerle ilgili matematik bilgilerine ve optik bilimine
katkıları oldu. Bugün L’Hospital kuralı olarak bilinen yöntemi de Paris’te L’Hospital’e
ileten kişidir. İlk kez Galilei’nin ortaya attığı yalnız kütle çekiminin etkidiği bir parçacığın bir noktadan öbürüne en kısa zamanda aldığı yolun denklemini, kendisi gibi çok
ünlü bir matematikçi olan abisi Jakob Bernoulli ile birbirlerinden ayrı olarak ve farklı
yöntemlerle çözme çalışmaları sırasında yeni bir disiplin olan değişimler hesabının
temellerini attılar. Hayatının son yıllarını mekaniğin ilkeleri üzerindeki çalışmalara
ayırdı.
Johan BERNOULLI (1667-1748)
5.1
RİJİT CİSİMDE DENGE
Rijit cisim ve denge kavramının, statiğin ana felsefesini oluşturduğunu
geçtiğimiz bölümlerde gördük. Bu bölümde, rijit cismin düzlemde dengesini incelenecek. Eğer bir rijit cisme etkiyen bütün dış kuvvetler sonuçta
sıfıra eşdeğer bir kuvvet  kuvvet çifti sistemi oluşturuyorsa, ya da dış
kuvvetler sıfır kuvvet  kuvvet çiftine indirgenebiliyorsa, denge oluşur. Şu
halde; F1 , F2 ,..., Fn tane kuvvetin etkisinde ve denge halindeki bir cisimde, her zaman,
üï
ïý
M i =  (ri ´ Fi ) = 0 ïïþ
Fi = 0
,
(i = 1, 2,..., n)
(5.1)
denklemleri sağlanır. Bunlar:
Fi = 0
:
 Mi = 0
:
İzdüşüm denge denklemi olup, rijit cismin hiç bir doğrultuda ötelenmediğini ifade eder.
Bu koşul moment denge denklemi olup, incelenen rijit
cismin hiç bir keyfi doğrultu etrafında dönmediğini ifade
eder.
5.2
DÜZLEM KUVVETLERDE DENGE HALİ
Düzlem halde denge durumu incelenecek bir rijit cismin üstünde üç
skaler denge denklemi yazılabilir. Eğer Şekil (5.1a) daki rijit cisim dengede ise; cisim keyfi eksenler doğrultusunda öteleme yapmaz ve düzlemine dik doğrultuda bir nokta etrafında dönmez. Düzlemde bunu destekleyen denge denklemleri,
104
STATİK
Fx = 0
,
Fy = 0
,
M A = 0
(5.2)
olabilir. Burada A tamamen keyfi bir noktadır. Fakat (5.2) yazılabilecek
tek denklem sınıfı değildir. Örneğin, (5.2) de Fy = 0 yerine Şekil (5.1b)
deki gibi gene keyfi seçilmiş bir B noktasında da moment denge denklemi yazılabilir. O zaman denklem takımı,
Fx = 0
,
M A = 0 ,
M B = 0
(5.3)
olur. Yalnız bu durumda AB hattı y ekseninden farklı bir doğrultuda
olmalıdır (Şekil 5.1b). Ya da istersek, Şekil (5.1c) de görüldüğü gibi A ve
B noktalarına ek olarak bir başka keyfi nokta olan C seçilip, daha sonra
bu üç noktada moment denge denklemleri yazılabilir. O zaman denklem
takımı,
M A = 0 ,
M B = 0 ,
M C = 0
(5.4)
olur. Eğer (5.4) den yararlanılarak cismin dengesi araştırılacaksa, dikkat
edilmesi gereken husus; A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde olmamalıdır (Şekil 5.1c).
Bir rijit cisimde denge durumunu incelerken yazılacak denklem sınıfları
(5.2), (5.3) ve (5.4) den herhangi birini kullanmaya başlamadan önce bu
rijit cisme ait bir serbest cisim diyagramı (SCD) nın çizilmiş olması
gerekir. Bu eserde kullanılması gerektiğinde hep "SCD" kısaltması yazılacaktır. Aşağıda SCD nın anlamını ve nasıl çizileceğini açıklayalım.
Serbest Cisim Diyagramı (SCD): Rijit cismin dengesi incelenirken, cisme etkiyen tüm kuvvetleri gösteren ölçeksiz şekle verilen isimdir.
SCD çizerken izlenecek yol
1.
Ayrıklaştırma: İncelenecek cisim, onu dengede tutan bağlarından ve
diğer cisimlerden ayrıklaştırılır.
2.
Kuvvetler: SCD da üstünde cisme etkiyen tüm kuvvetler gösterilir.
Bu kuvvetler iki sınıfa ayrılırlar:
 Yönleri ve şiddetleri bilinenler: Cismin ağırlığı, cisme doğrudan
etkiyen servis yükleri gibi yönü ve şiddeti bilinen kuvvetler çizilirken bunların yönleri bir ok ucu ile gösterilirken, şiddetleri de
okların üstüne yazılır
 Başlangıçta yönleri ve şiddetleri bilinmeyenler: Başlangıçta vektörel özellikleri bilinmeyen bağ kuvvetleri keyfi yönlerde çizilirler ve sonra hesap sonuçlarına bakılarak bunlar belirlenir.
3.
Cismin Boyutları: moment denge denklemlerinde kullanılacağından
SCD da yer alır. Boyutlandırma, iki nokta arasında uçlarında okları
olan bir doğru çizilerek ve bu çizginin üstünde bu iki nokta arasın-
110
STATİK
ÇİZELGE (5.1): Çeşitli bağ tanımları.
Kayıcı Mafsal
ve
Cilalı Yüzey
Kablo
Cilalı Yarık
Pandül Ayak
SERBESTLİK
DERECESİ
BAĞ KUVVETLERİ
Bu kuvvetlerin tesir çizgilerinin doğrultuları bellidir
BAĞ ÇEŞİTLERİ
1
1
1
1
Sabit Mafsal
ve
Mafsal
2
Sürtünmeli
Yüzey
2
Ankastre
Mesnet
3
111
5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ
ÇİZELGE (5.2) Taşıyıcı eleman olarak çeşitli çubuk geometrileri.
Konik helisel merdiven kirişi
Parabolik helisel yay
ÇİZELGE (5.3) Yüzeysel taşıyıcılar ve çok parçalı sistemler.
Yüzeysel Taşıyıcılar
Çok Parçalı Sistemler
5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ
Bağ kuvvetlerine örnek teşkil etmek üzere, Şekil (5.12a) da tekil P kuvvetiyle yüklü kirişe ait SCD Şekil (5.12b) de sunulmuştur. Burada A mesnedi düşey ve yatay öteleme hareketlerine kapalı olurken, B mesnedi
sadece düşey doğrultuda öteleme hareketlerine kapalıdır. O nedenle bilinmeyen ya da hesaplanması gereken mesnet tepkileri
Ax , Ay ve B y
dir. Bazı taşıyıcı sistemler ise iki ya da ihtiyaca göre daha fazla parçanın
birleştirilmesi sonucu üretilebilir. Bu durumda parçaları birbirlerine yeteri
sayıda mafsal ile bağlamak mümkündür. Şekil (5.13a) daki AGB sisteminde A ve B mesnetleri sabit mafsallı olarak verildiğinden bunlar birbirine dik keyfi iki doğrultuda (örneğin x ve y eksenleri doğrultularında)
ötelemeye izin vermezler. O halde sistemin SCD Şekil (5.13b) de görüldüğü gibi çizilir ve bağ kuvvetleri de,
Ax , Ay , B x ve B y
olur. Öte yandan G noktasındaki mafsal, bu noktada birleşen taşıyıcı parçalarının ötelemelerini eşit kılarken, dönmeye karşı tam bir serbestlik
tanır ve M G = 0 olur. AG ve GB parçalarını bağlayan G mafsalındaki
bağ kuvvetleri G x ile G y Şekil (5.13c) de etkitepki kuralına göre çizilmiştir. Bu bağ kuvvetlerini klasik dış kuvvetlerden biraz farklı değerlendirmek gerekir. Şöyle ki; eğer taşıyıcı sistem Şekil (5.13b) de görüldüğü
gibi bir bütün olarak ele alınırsa o zaman ara mafsaldaki bağ kuvvetleri
G x ile G y birer iç kuvvet olur. Yok eğer; taşıyıcı sistemi oluşturan parçalar ayrı ayrı ele alınırsa, o zaman SCD ları Şekil (5.13c) de görüldüğü
gibi çizilir ve bu durumda her bir parça için mafsal kuvvetleri G x ile G y
birer dış kuvvet olur. Şu halde kısaca özetlersek; eğer taşıyıcı sistem iki
parça halinde çözülecekse;
Ax , Ay , G x , G y :
AG parçası için bağ kuvvetleri
B x , B y , G x , G y : GB parçası için bağ kuvvetleri
Gx , G y
:
AG ile GB parçaları arasındaki etkileşim kuvvetleri olup, AB çubuğu için iç kuvvetlerdir.
5.8
DÜZLEM TAŞIYICI SİSTEMLERİN MESNETLENMESİ
Düzlem halde bir taşıyıcı sistemin bilinmeyen bağ kuvvetlerini bulmak
için sistem üstünde üç adet denge denklemi yazılabilir. O zaman buna
göre de en fazla üç adet bilinmeyen mesnet tepkisi (bağ kuvveti) çözülebilir. Doğal olarak bir taşıyıcı sistem çeşitli biçimlerde bağlı olabilir ve o
nedenle problemin çözümüne geçmeden önce sistemin mesnet koşulları-
115
125
5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ
olur. Yukarıdaki ek mafsal koşulları gereği, taşıyıcı sistem statikçe belirlidir. Bir sisteme Gerber kirişi denebilmesi için gerekli iki şart vardır:


Sürekli taşıyıcı sistem statikçe belirli olmalıdır
Kirişin yatay hareketi sadece tek bir bağ koşulu ile engellenmeşidir.
Örneğin Şelil (5.22c) de A mesnedi bu işlevi yerine getiriyor.
Gerber kirişlerinde yük taşıma özelliği, kısaca, basit sistemlerin birbirleri
üstüne bindirilmiş hali gibi düşünebilir. Örneğin Şekil (5.21c) deki
Gerber kirişi A sabit mesnedinden başlanarak Şekil (5.22) deki görüldüğü
gibi çizilebilir. Tabii bunu sadece yük taşıma özelliğini açıklamak için
yaptık. Şu durumda P1 ve P2 yüklerinin etkisi sadece ABG1 kirişi üstünde hissedilir ve G1CG 2 ile G 2 D parçaları bunlardan etkilenmez. P3
yükü hem G1CG 2 de hem de ABG1 parçalarında hissedilirken, mevcut
yükleme durumunda, G 2 D parçası hiç yük taşımamaktadır.
ÖRNEK 5.8: Şekil (P8.1) de yükleme durumu verilmiş olan Gerber kirişinde
mesnet tepkilerini hesaplayınız. G noktası mafsaldır. Kiriş üzerindeki
yayılı yüklemeler q1 = 3kN/m , q2 = 2 kN/m ve kiriş boyutları a = 3m ,
b = 2 m dir.
ÇÖZÜM: Sistemin Şekil (P8.2) deki SCD da bilinmeyen bağ kuvvetleri
Ax , Ay , M A , B y dir. Bu dört bilinmeyen, eldeki üç denge denklemi ve
mafsaldan gelen ek koşul M G = 0 kullanılarak çözülebilir. Bunun için
kiriş mafsal noktası G den ikiye ayrılırsa, G mafsalındaki etki  tepki kuvvetleri Gx ile Gy de problemin bilinmeyenleri arasına katılınca, toplam
bilinmeyen sayısı altıya yükselir. Yalnız kiriş iki parçaya ayrıldığından,
AG ve GB parçalarının dengesi sırayla inceleneceğinden toplam üçerden
altı denklem yazılır ve tüm bilinmeyenler elde edilir.
GB parçası: Şekil (P8.3) deki SCD dan yararlanılarak yazılacak denge
denklemlerinden bulunacak bağ kuvvetleri:
Fx = 0;
M G = 0;
1´ 4 - 2 By = 0


Gx = 0
B y = 2 kN 
Download

5.1 Rijit Cisimde Denge 103 5.2 Düzlem Kuvvetlerde Denge Hali