Momentum ve Çarpışmalar

Momentum ve Çarpışmalar
Şimdiye kadar tek bir parçacığın hareketini inceleyerek, bu hareketi tarif etmek için bazı
büyüklükler tanımlandı ve kullanıldı. Bir parçacığın hareketinin çözülemeyecek kadar karmaşık
olması durumunda korunum kavramından yararlanıldı. Enerjinin korunumunun doğa olaylarına
açıklık getiren temel bir ilke olarak incelendi Bu bölümde parçacıklar sisteminin davranışı diğer
bir temel korunum ilkesi olan momentumun korunumundan yararlanılarak inceleyecektir.
Uygulanan kuvvet momentumun değişimine neden olduğundan, momentumun korunumu
Newton’un ikinci yasasının bir sonucudur. Yalıtılmış bir sistemin momentumu sabittir.
Momentumun korunumu özellikle çarpışan parçacıklardan oluşan sistemlerin davranışlarının
açıklanmasında önemli bir rol oynar. Sisteme uygulanan kuvvetlerin bilinmediği veya çok
karmaşık olduğu durumlarda bile momentumun korunumu uygulanabilmektedir.
Bir sistemin momentumu incelenirken, sistemi oluşturan parçacıkların hareketlerinden daha basit
bir hareket yapısına sahip olan özel bir nokta olan kütle merkezi tanımlanır. Sistemin kütle
merkezi tüm hareket süresince sadece sisteme dışarıdan uygulanan kuvvetlerin etkisi ile Newton’
un ikinci kanununa göre hareket eden bir nokta parçacık gibi davranır.
Doğrusal Momentum ve Korunumu
Önceki iki bölümde Newton yasaları ile kolayca çözümlenemeyecek kadar karmaşık durumları


incelemiştik. Aslında Newton da  F  ma biçimindeki ikinci kanununu, karmaşık durumlarda
kolayca uygulanabilecek az farklı bir biçimde kullanmıştır. Uçan bir rokette olduğu gibi kütlede
zamanla değiştiğinde eşitliğin bu biçimi daha kullanışlıdır. Bu durumu ifade eden yeni kavram
momentumdur.  hızı ile hareket eden m kütleli parçacığın doğrusal (çizgisel) momentumu;

ile tanımlanır. Bir m skaleri ile ν vektörünün çarpımı olduğundan, momentum, hız ile aynı yönde
vektörel bir büyüklüktür ve [M][L]/[T] boyutundadır. SI sisteminde birimi kgm/s’ dir.
İvme cismin hızındaki artışı gösterirken, enerji, iş yapabilmenin bir ölçüsü ve momentum bir
cismin sahip olduğu hareket miktarının bir ölçüsüdür.
Momentum kavramını daha iyi anlamak için aynı hıza sahip olan bir kelebek ile bir kamyonu
düşünülsün. Bu iki cisim aynı hıza sahip olmalarına karşın, karşılarına çıkabilecek herhangi bir
cisme verebilecekleri zarar oldukça farklıdır. Bu farkın nedeni, kütlelerinden dolayı taşıdıkları
hareket miktarının farklı oluşudur. Bundan dolayı, insan sağduyusal olarak her zaman hızı yavaş
da olsa bir kamyonun üzerine gelmesini istemez; ama kelebek için bu fazla önemsemez.
Newton’ un ikinci yasasını kullanarak parçacığın doğrusal momentumunu ona etki eden kuvvete
bağlanabilir:
 dp d mν 
 F  dt  dt
Parçacığın momentumunun zamana göre değişim hızı parçacığa etkiyen net kuvvete eşittir. Hız
vektörünün zamanla değişmesine ek olarak, roket hareketinde olduğu gibi kütlenin de zamanla
1
değişmesi durumunu bu eşitlik daha net ifade eder. Parçacığa etkiyen

F  0
olduğunda yani
sistem yalıtılmış ise momentum sabit kalır, bu da momentumun korunduğu anlamına gelir.
İ k i - P a r ç ac ı kl ı bi r S i s t e m i ç i n Momentumun Korunumu
Birbirleri ile etkileşen, çevrelerinden yalıtılmış iki parçacık ele alınıyor olsun. Böyle bir sistemde
parçacıkların birbirlerine kuvvet uygulamaları mümkün olabilir, ancak parçacık sistemine etki
eden herhangi bir dış kuvvet bulunmasın. Birinci parçacık ikinciye bir kuvvet uygularsa,
Newton’un üçüncü kanunu gereğince, ikinci parçacık da birinciye aynı büyüklükte fakat zıt yönde
bir kuvvet uygulayacaktır. Bir t anı için Newton’ un ikinci yasası uygulanırsa:




dp 1
dp 2
 F21  dt  F12  dt
p =m 
1
m1
1 1




F12  F21  F21  F12  0
F21
F12
m2


dp 1 dp 2 d  

 p1  p 2   0
dt
dt
dt
p2=m22
yazılabilir. Toplam momentumun zamana göre türevi sıfır olduğundan, sistemin toplam
momentumunun sabit kaldığı sonucuna varılır.

p top 


p  p
1

 p 2  sabit
sistem




Başka bir ifade ile sistemin ilk ve son momentumu aynıdır: p 1i  p 2i  p 1s  p 2 s
Momentum vektörel bir büyüklük olduğuna göre doğrusal momentumun x, y, z bileşenleri de ayrı
ayrı korunur.






 p ix   p sx ,  p iy   p sy ,  p iz   p sz
sistem
sistem
sistem
sistem
sistem
sistem
Yalıtılmış bir sistemde iki veya daha fazla parçacık etkileştiğinde sistemin toplam momentumu
sabit kalır.
2
İmpuls (İtme) ve Momentum
Bir cisme etkiyen kuvvet parçacığın momentumunu değiştirir. Bir parçacığın üzerine zamanla
değişen bir kuvvet uygulanırsa, Newton’ un ikinci yasasına göre
 
dp  Fdt
olur. Kuvvet belli bir zaman aralığında uygulanmış ise, momentum değişimi bu ifadenin integrali
ile belirlenir.
t
 s
 dp   Fdt
ti
Parçacığın ti anındaki momentumu pi ve ts anındaki momentumu ps ise
ts

  
p  p s  p i   Fdt
ti
Bu eşitliğin sağ tarafına t= ts - ti zaman aralığında parçacığa etkiyen kuvvetin impulsu denir.
 ts 

I   Fdt  p
İmpuls-Momentum Teoremi
ti
İmpuls-momentum teoremi olarak bilinen bu ifade Newton’ un ikinci yasasına eşdeğerdir. İmpuls
vektörünün yönü momentum değişiminin yönü ile aynıdır ve momentum boyutundadır.
İmpuls parçacığın kendi başına bir özelliği değildir. Uygulanan dış kuvvetin parçacığın
momentumunu değiştirmesi ile ilgili bir niceliktir.
Kuvvet genelde zamanla değişebildiğinden, bir ortalama kuvvet tanımlamak daha uygun olur.
Ortalama kuvvet, parçacığa t zaman aralığında değişen gerçek kuvvetin impulsuna eşit İmpuls
veren sabit bir kuvvettir ve ortalama değer teoremi ile kolaylıkla bulunabilir:
t
 

1 s
I
 Fort t
Fort 
F
dt
,
t ti
Pek çok fiziksel durumda İmpuls yaklaşımı ifadesi kullanılır. Bu yaklaşımda bir parçacık üzerine
uygulanan kuvvetlerden birinin kısa bir süre etki ettiği, fakat mevcut diğer kuvvetlerden daha
büyük olduğu varsayılır.
Bu yaklaşım, özellikle çarpışma gibi çok kısa süren olayları açıklamakta kullanışlıdır. Burada
kuvvete, impulsif kuvvet denir. Ayrıca, pi ve ps nin çarpışmadan hemen önce ve sonraki
momentumlar olduğuna dikkat etmek gerekir. Çarpışmadaki impulsif kuvvetin, mevcut dış
kuvvetlerden daha büyük olduğu kabul edilecektir.
F21
m1 m2
F12
m1 ve m2 kütleli iki cisim göz önüne alınırsa; bu iki cisim
çarpıştığında m2’nin m1 üzerine uyguladığı F21 kuvvetinin m1’in
momentumunda yol açacağı değişim
s 

p1   F21 dt
t
ti
ve benzer şekilde m1’nin m2 üzerine uyguladığı F12 kuvvetinin m2’in momentumunda yol açacağı
değişim
3
s 

p 2   F12 dt
t
ti
ile verilir ve Newton’ un üçüncü yasasına göre


p 1   p 2


p 1  p 2  0
yazılabilir.
Bu sonuç sistemin momentumunda bir değişim olmadığını, yani momentumun korunduğunu
gösterir. F12 ve F21 yani itme kuvvetleri iç kuvvetlerdir ve bu parçacık sistemine etkiyen bir dış
kuvvet olmaması durumunda momentum korunacaktır. Bu işlemlerin çarpışmadan hemen önce ve
sonrasındaki çok küçük bir zaman aralığında yapıldığı unutulmamalıdır.
Bir Boyutta Esnek ve Esnek Olmayan Çarpışmalar
Dış kuvvetlerin dikkate alınmadığı bir çarpışmada momentumun korunur; fakat çarpışmanın
oluşuna bağlı olarak kinetik enerji korunmayabilir. Bu nedenle çarpışmalar, esnek çarpışma ve
esnek olmayan çarpışma yani, kinetik enerjinin korunduğu ve korunmadığı çarpışmalar olarak ele
alınırlar.
T a m a m e n E s n e k O lm a y a n Ç a r pı ş m a l a r
m1
1i
2i
m1 m2
m1+m2
s
m2
m1 1i  m2 2i  (m1  m2 ) s
s 
m1 1i  m2 2i
m1  m2
4
E s n e k Ça r p ı ş m a l a r
m1 
1i
1s m1
2i
m2
m2
2s
m1 1i  m2 2i  m1 1s  m2 2 s
1
2
m1 12i  12 m2 22i  12 m1 12s  12 m2 22s
1
2
m1 12i  12 m2 22i  12 m1 12s  12 m2 22s
Enerji denklemi tekrar düzenlenirse



m1  12i   12s  m2  22s   22i

m1  1i   1s  1i   1s   m2  2 s   2i  2 s   2i 
Yukarıdaki son iki eşitlik taraf tarafa bölünür ve yeniden düzenlenirse
m1 1i  m2 2i  m1 1s  m2 2 s
m1  1i   1s   m2  2 s   2i 
Bu iki eşitlikten
 1i   1s   2 s   2i
 1i   2i   1s   2 s 
yerine konulursa
elde edilir. Bu durumda parçacıkların son hızları
m m 
 2m

2
2
 1i  
 2i
 1s   1
m
m
m
m


2 
2 
 1
 1
 2m

m m 
2
1
 2i
 1i   2
 2 s  
 m1  m2 
 m1  m2 
İki Boyutlu Çarpışmalar
Daha önce yalıtılmış iki parçacıklı sistemde momentumun korunduğunu gösterilmişti. Bu sonuç
iki parçacığın herhangi bir çarpışması için x, y, z doğrultularının her birinde momentumun
korunacağını ifade eder. Çarpışmaların büyük bir kısmı düzlemde gerçekleşir.
5
m1 1ix  m2 2ix  m1 1sx  m 2 2 sx
1s sin
1s
m1 1s cos
m1 
1i
m1 1iy  m 2 2iy  m1 1sy  m 2 2 sy

2i
m2

m2 2s cos
2s
-2s sin
m1 1i  m2 2i  m1 1s cos   m 2 2 s cos 
0  m1 1s sin   m2 2 s sin 
Kütle Merkezi
Bu kesimde, mekanik bir sistemin bütün hareketi, sistemin kütle merkezi olarak adlandırılan özel
bir nokta yardımıyla açıklanmaya çalışılacaktır. Çok parçacıktan oluşan bir sistemin hareketi
incelenmesinin bu özel nokta göz önüne alınarak yapılması, hareketin işlemlerini bir hayli
kolaylaştırır. Bu mekanik sistemde, sanki sistemin bütün kütlesi, kütle merkezinde yoğunlaşmış
gibi davranır. Öncelikle kütle merkezi şu şekilde tanımlanır:


M top rKM   mi ri

rKM  x KM ˆi  y KM ˆj  z KM kˆ
i
6

rKM 
xKM 
z KM 
 m x ˆi   m y ˆj   m z kˆ
i i
i
i
i
y
i i
i
i
m1
M top
m x
i i
m y
i
y KM 
i
M top
r1
i
i
M top
m2
r2
m z
m3
r3
x
i i
i
M top
Genelde sistem noktasal cisimlerden ziyade katı bir yapıdan oluşur ve sürekli bir kütle dağılımı
gösterir. Bu tür bir yapıda kütle merkezini belirlemek için bu kütle dağılımının n tane m
kütlesinden oluştuğu düşünülebilir. Bu yaklaşım ile
x KM 
 m x
i i
i
M top
olarak tanımlanabilir. Eğer bu dağılımı oluşturan parçacıkların sayısını sonsuz alınırsa yani
m  0 giderse toplam integrale dönüşür.
xKM  lim
i i
i
mi 0
M top
y KM  lim
m y
i
i
mi 0
z KM  lim
mi
 m x
M top
m z
mi 0
i i
i
M top
i


1
M top
 x dm
1
M top
 yi dm
1

M top
KM
i

ri

rKM
O
 z dm
i

Bu skaler ifadeler rKM vektörde yerine konulduğunda katı bir cisim için kütle merkezi

1 
rKM 
rdm
M top 
olarak bulunur.
Noktasal cisimler ve düzgün geometrik şekillere sahip katı cisimler için kütle merkezinin
hesaplanması kolaydır. Herhangi bir, simetrik cismin kütle merkezi, simetri ekseni ve simetri
düzlemi üzerinde bulunur.
7
Parçacıklar Sisteminin Hareketi


Kütle merkezinin fizikteki önemini anlamak için M top rKM   mi ri ifadesinin zamana göre
i
türevini alınırsa kütle merkezinin hızı için

1
ν KM 
M top

m ν
i
i
i

ifadesi elde edilir. Bu ifadedeki mi ν i , sistemi oluşturan parçacıklardan her birinin momentumu
olduğundan

1
ν KM 
M top

m ν
i
i
i

1 
p top
M top


p top  M top ν KM
elde edilir. Bu ifadenin zamana göre türevi ise kütle merkezinin ivmesini verecektir.


dν KM
1

a KM 
dt
M top

dν i
1
i mi dt  M
top

 mi a i 
i
1
M top

F
 i
i
Sistemi oluşturan parçacıklardan her birine etki eden kuvvet iç ve dış kuvvetleri içerir. Newton’un
üçüncü kanununa göre parçacıkların birbirleri üzerine etki ettirdikleri kuvvetler büyüklükçe eşit
8
ve zıt yönlü olduklarından bu toplama katkı yapmazlar (Birbirlerini yok ederler). Bu nedenle bu
kuvvet sisteme uygulanan dış kuvvettir.


dp top

 Fdis  M top a KM  dt
Bu çok önemli bir sonuçtur; çünkü sistemin hareketi çok karmaşık olsa bile, bu sistemi tüm
kütlesi kütle merkezinde toplanmış bir noktasal parçacık ve buna etki eden dış kuvvetin ise bu
özel noktaya etki ettiğini ifade eder. Bir çekicin fırlatıldığı düşünülürse, çekiç belki dönerek veya
salınarak gidecektir. Buna rağmen çekicin kütle merkezi eğik atış hareketinde olduğu gibi
parabolik bir yörünge izleyecektir. Bu nedenle çok parçacıklı sistemlerin hareketinin
incelenmesinde kütle merkezi sistemi laboratuar sistemine göre çok daha basit olacaktır.
Eğer sisteme uygulanan dış kuvvet sıfır ise toplam momentum sabit kalır yani momentum
korunur.


dp top

 Fdis  dt  0  p top  sbt
Fizikçiler kütle merkezi sisteminde çalışmayı severler. Bunun nedeni eğer sisteme etkiyen
herhangi bir dış kuvvet yoksa sistemin kütle merkezi sabit hızla hareket eder ve eğer kütle
merkezindeki bir referans sisteminden bu hareketi gözlemleniyorsa, kütle merkezi buna göre
hareketsiz kalacaktır. Eğer kütle merkezi hareketsiz ise, parçacıkların kütle merkezi sistemindeki
momentumları çarpışmadan önce ve sonra sıfır olur. Bu durum esnek çarpışma için incelenecek
olursa;
m1
u1i
u1s
KM
u2i
m1
m2
m2
u2s
m1u1s  m2 u 2 s  0
1
2
m1u12i  12 m2 u 22i  12 m1u12s  12 m2u 22s
u1s   u1i
u 2s   u 2i
Lab:



M top rKM  m1r1  m2 r2
Bu ifadenin zamana göre türevi alınırsa kütle merkezinin hızı bulunur.



m1 ν1  m2 ν 2
ν KM 
m1  m2
  
u1  ν 1  ν KM
 

u 2  ν 2  ν KM
Çarpışma esnek, esnek olmayan veya tamamen esnek olmayan çarpışmada olsa momentum
sıfırdır.
9
Özet
hızı ile hareket eden m kütleli bir parçacığın doğrusal momentumu şu şekilde tanımlanır:
Doğrusal momentumun korunumu yasası, yalıtılmış bir sistemin toplam momentumunun
korunacağını söyler: İki parçacık yalıtılmış bir sistem oluşturursa, bunlar arasındaki kuvvetin
kaynağı ne olursa olsun toplam momentum korunur.




p 1i  p 2i  p 1s  p 2 s
Bir parçacığa etkiyen F kuvvetinin impulsu (itmesi) parçacığın momentumundaki değişime eşittir:
 ts 

I   Fdt  p
ti
Bu ifade impuls-mementum teoremi olarak bilinir.
İtme (İmpuls) kuvvetleri, sisteme etkiyen diğer kuvvetlerle kıyaslandığında genellikle çok
şiddetlidirler ve çarpışmadak gibi çok kısa süre etkirler.
İki parçacık çarpıştığı zaman, sistemin çarpışmadan önceki toplam momentumu, çarpışmanın
tabiatına bakılmaksızın çarpışmadan sonraki momentuma eşit olur.
Esnek olmayan çarpışma, toplam kinetik enerjinin korunmadığı fakat momentumun korunduğu
bir çarpışmadır. Tam esnek olmayan çarpışma, çarpışmadan sonra cisimlerin birlikte yapışık
hareket ettiği bir çarpışmadır.
Esnek çarpışma ise, hem momentumun hem de kinetik enerjinin korunduğu bir çarpışmadır.
İki veya üç-boyutlu çarpışmada, üç doğrultudaki (x, y, z) momentum bileşenleri birbirinden
bağımsız olarak korunur.


Bir parçacıklar sisteminin kütle merkezinin yer vektörü rKM 
m r
i i
i
M
ile tanımlanır.
Burada M=  mi sistemin toplam kütlesi ve ri i nci parçacığın yer vektörüdür.
i
Bir katı cismin kütle merkezinin yer vektörü

1 
rKM 
rdm
M top 
ifadesi ile elde edilir.
Bir parçacıklar sisteminin kütle merkezinin hızı şu şekilde verilir:

1
ν KM 
M top

m ν
i
i
i
Bir parçacıklar sisteminin toplam momentumu toplam kütlenin, kütle merkezinin hızı ile
çarpımına eşit olur.
Parçacıklar sistemi için Newton’un ikinci kanunu şöyle verilir:


dp top

 Fdis  M top a KM  dt
10

Burada a KM , kütle merkezinin ivmesidir ve toplam bütün dış kuvvetler üzerinden alınır. Buna
göre kütle merkezi, toplam dış kuvvete maruz kalan M kütleli bir cisim gibi hareket eder.
Buradan ayrıca, eğer sisteme herhangi bir dış kuvvet etki etmiyorsa sistemin toplam
momentumunun korunacağı anlaşılır.
11