Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar Some results on soft multi
advertisement
SAÜ. Fen Bil. Der. 17. Cilt, 3. Sayı, s. 371-379, 2013 SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar İsmail Osmanoğlu, Deniz Tokat* Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Nevşehir 15.05.2012 Geliş/Received, 13.12.2012 Kabul/Accepted ÖZET Bu makalede ilk olarak esnek çoklu küme kavramı hatırlatılmıştır. Daha sonra esnek çoklu kümeler üzerinde elde ettiğimiz bazı sonuçlar verilmiştir. Ayrıca bu çalışmada esnek çoklu topoloji kavramı tanıtılmış ve esnek çoklu topoloji üzerinde elde ettiğimiz bazı sonuçlar ve esnek çoklu baz kavramı sunulmuştur Anahtar Kelimeler: esnek çoklu küme, esnek çoklu topoloji, esnek çoklu baz, esnek çoklu alt uzay Some results on soft multi topology ABSTRACT In this article, at first we recall the concept of soft multiset. Then some results which we obtained on soft multisets were given. Moreover, in this paper, the notion of soft multi topology was introduced and some results on soft multi topology and the concept of the soft multi base were presented* Keywords: soft multiset, soft multi topology, soft multi base, soft multi subspace * Sorumlu Yazar / Corresponding Author İ. Osmanoğlu, D. Tokat 1. GİRİŞ (INTRODUCTION) Molodtsov [1] tarafından ortaya atılan esnek çoklu küme teorisi, içerdikleri belirsizlikler yüzünden klasik metotlarla çözülemeyen karmaşık ekonomi, mühendislik ve çevre problemlerinin çözümüne yardımcı olacak matematiksel bir araçtır. Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar 2.ESNEK ÇOKLU KÜMELER (SOFT MULTISETS) 2.1. Esnek Çoklu Kümeler (Soft Multisets) Tanım 2.1.1 [1] evrensel küme ve parametrelerin bir kümesi olsun. , nun kuvvet kümesini ve , nin boştan farklı bir alt kümesini göstersin. , sıralı ikilisi üzerinde bir esnek küme olarak adlandırılır. Molodtsov [1,2] ilk çalışmalarında esnek kümeler teorisini bir fonksiyonun pürüzsüzlüğü, oyun teorisi, Riemann integrali, Perron integrali ve ölçü teorisi gibi birçok alana başarıyla uygulamıştır. Molodtsov'un çalışmalarından sonra bir çok yazar [3-7] esnek küme teorisini diğer alanlara ve gerçek hayatta karşılaştığımız problemlere uygulamamışlardır. Shabir ve Naz [8] esnek kümelerin topolojik yapılarını ve esnek topolojik uzaylardaki ayırma aksiyomlarını çalıştılar. Daha birçok yazar [9-14] esnek topoloji üzerinde çalışmalardır. Bir başka deyişle, üzerinde bir esnek küme, evrensel kümesinin alt kümelerini parametrize edilmiş bir ailesidir. ∈ için , , esnek kümesinin yaklaşık elemanlarının kümesi olarak düşünülebilir. Klasik küme teorisinde kümenin elemanlarının tekrarına izin verilmez. Ancak bazı durumlarda elemanların tekrarı kullanışlı olabilmektedir. Eğer bir kümenin elemanlarının tekrarına izin verilirse bu küme teorisi çoklu küme olarak bilinir. Bu metot, güncel hayatta bilgisayar bilimleri, tıp, bankacılık, mühendislik, bilgi depolama ve bilgi analizi gibi bir çok konuda kullanılabilmektedir. Bu durumda bir esnek küme tanımlamak, pahalı evler, güzel evler ve diğerlerini belirtmek anlamına gelir. Burada , : → şeklinde bir dönüşümdür. Örnek 2.1.2 Kabul edelim ki, , göz önüne alınan şartlar altındaki evlerin kümesi ve , parametrelerin kümesi olsun. Her bir parametre bir kelime ya da cümledir. , ü , ş , , ç , , , ö ü , esnek kümesi Mr. X in satın alacağı "evlerin çekiciliği" ni belirtiyor. Çoklu küme teorisi, Cerf ve arkadaşları [15] tarafından ortaya konulmuştur. Peterson [16] ve Yager [17] çoklu küme teorisinin ilerlemesinde katkı sağlamışlardır ve birçok sonuç ortaya koymuşlardır. Bu çalışmışlar Jena ve arkadaşları [18] tarafından sürdürülmüştür. Manjunath ve John [19] çoklu küme bağıntısında ilk çalışma yapanlardır. Girish ve John [20] çoklu küme bağıntısı ve çoklu küme fonksiyonunu tanımlamışlardır. Bu yazarlar [21] çoklu küme bağıntılarını kullanarak çoklu kümeler üzerinde topoloji ve bazı topolojik yapıların tanımlarını vermişlerdir. , , , , , ile verilen Kabul edelim ki, evrenselinde 6 ev olsun ve ʻ ʼ parametresini, ʻ ü ʼ parametresini, ʻ ş ʼ parametresini, ʻ ʼ parametresini, ʻ ç ʼ parametresini , , , , şeklinde göstermek üzere, verilsin. Kabul edelim ki, , , , , , , , , , , olsun. , esnek kümesi kümesinin alt kümelerinin ∶ 1,2, … ,5 parametrize edilmiş bir ailesidir ve bir nesnenin yaklaşık tanımlarının bir koleksiyonunu verir. Esnek küme ve çoklu küme kavramlarını birleştirerek esnek çoklu küme kavramı ilk olarak Babitha ve John [22] tarafından tanımlanmıştır. [23] de esnek çoklu küme kavramının daha genel bir tanımı yapılarak bu küme üzerinde esnek çoklu topoloji inşa edilmiştir. Bu nedenle, biz , esnek kümesini aşağıdaki gibi yaklaşımların bir koleksiyonu olarak gösterebiliriz: Biz bu çalışmada esnek çoklu kümeler üzerinde bazı yeni sonuçları, esnek çoklu kümenin içi, kapanışı, yığılma noktası ve esnek çoklu baz gibi esnek çoklu topolojinin önemli topolojik yapılarını inceleyeceğiz. , , , , , , ş , ç , , , ü , Tanım 2.1.3 [18] kümesinden alınan bir : → fonksiyonu ile temsil edilir. kümesi çoklu , ,…, kümesinde bir çoklu kümesi / , / ,…, / şeklinde gösterilir. Burada , nin tekrar sayısıdır. Bu ∈ şeklinde gösterilir. 372 SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 İ. Osmanoğlu, D. Tokat Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar , çoklu kümesindeki in tekrar sayısını gösterir. çoklu kümesinin elemanı olmayan elemanlar için sıfır olarak yazılır. Yani, ∉ U için 0 dır. Örnek 2.1.4 çoklu kümesi Burada , , kümesinden alınan bir 3/ , 2/ , 5/ şeklinde verilsin. 2, 5 dir. 3, Eşitlik: , , ⊆ , Tanım 2.1.6 [23] bir çoklu küme evrenseli, parametrelerin kümesi ve ⊆ olsun. , ikilisine bir esnek çoklu küme denir. Burada dönüşümü : → ∗ şeklinde tanımlıdır. Ayrıca ∀ ∈ için çoklu kümesi ∶ ∗→ fonksiyonu ile temsil edilir. çoklu küme evrenseli, çoklu kümelerin oluşturduğu ∗ kümedir. kümesi kümesinin destek kümesini göstermektedir. Herhangi bir 1/ , 2/ , 3/ , 4/w esnek kümesinin destek kümesi ∗ , , , w şeklinde ifade edilir. ∗ 2/ , 4/ , 1/ , 3/w ve dönüşümü , , şeklinde tanımlansın. O halde , bir esnek çoklu ∶ ∗→ kümedir. ∀ ∈ için çoklu kümesi fonksiyonu ile , , 3/ , 1/ , 2/w dır. 1, 0, 1, , ⊆ 0, 2, 2 1/ , 2/ , 1/ , 2/w , , Tanım 2.1.8 [23] U üzerindeki çoklu kümeleri için, eğer ,∀ ∈ ∗ ve , , Birleşim: ve dir. , Kesişim : ve dir. , Fark : max ⇔ , , ∪ max , Tümleyen : , dönüşümü ∀ ∈ , ve , ∩ , , , Burada ,∀ ∈ , Burada ,∀ ∈ , min , ⊆ ∗ \ , Burada , 0 , ∀ ∈ ∗, ∀ ∈ , ∗ ∪ ,∀ ∈ ∩ , ∀ ∈ dır. Burada : → ∗ \ şeklinde tanımlıdır , ∀ ∈ ∗ , ∀ ∈ dır. Tanım 2.1.10 [23] Eğer ∀ ∈ için ∅ ise U üzerindeki , esnek çoklu kümesine boş esnek çoklu küme denir ve Φ şeklinde gösterilir. 1/ , 2/ , 1/ , 2/w , 3/ , 1/ , 2/w , 1, 2, 0, 0, 0, 3, şeklinde tanımlıdır. O halde Eğer ise , , ∀ ∈ ∗, ∀ ∈ esnek çoklu kümesine , esnek çoklu kümesinin tam esnek çoklu alt kümesi denir. Tanım 2.1.9 [23] üzerinde herhangi iki esnek çoklu küme , ve , olsun. Tanım 2.1.5 [18] ve , kümesinden alınan iki çoklu küme olsun. O halde her ∈ için ise dir. ise ⊆ dir. max , ise ∪ dir. min , ise ∩ dir. Örnek 2.1.7 olsun. : → ise , esnek çoklu kümesine , esnek çoklu kümesinin esnek çoklu alt kümesi denir ve , ⊂ , şeklinde gösterilir. esnek Tanım 2.1.11 [23] , , üzerinde bir esnek çoklu olması demek ∀ ∈ için küme ve ∈ ∗ . ∈ , ∈ olması anlamına gelir. Yani, ∈ , ⇔ ∀ ∈ için ∈ dır. Ancak bazı ∈ için ∉ ise ∉ , dır. Not 2.1.12 ∀ ∈ ve ∈ ∗ için 1 şeklinde yazılır. Aksi belirtilmediği ise ∈ ifadesinin yerine ∈ ifadesi sürece ∈ kullanılacaktır. Tanım 2.1.13 [23] çoklu küme evrenselinin boştan farklı bir alt kümesi olsun. ∀ ∈ için ise , esnek çoklu kümesi şeklinde gösterilir. Açıkça , esnek çoklu kümesi şeklinde gösterilir. esnek çoklu kümesi üzerinde tanımlanan en geniş esnek çoklu kümedir. ,∀ ∈ SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 373 İ. Osmanoğlu, D. Tokat Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar Tanım 2.1.14 [23] ∈ ∗ olsun. O zaman esnek çoklu kümedir. Burada ∀ ∈ için dır. , bir Örnek 2.1.15 4/ , 3/ , 2/ ve , , , olsun. , esnek çoklu kümesi , 1/ , 1/ , 1/ , 1/ , , , şeklinde tanımlıdır. Aslında , esnek çoklu kümesi bir esnek kümedir. Tanım 2.1.16 [23] , , üzerinde bir esnek çoklu küme ve çoklu küme evrenselinin boştan farklı bir alt kümesi olsun. V üzerinde , esnek çoklu , şeklinde kümesinin alt esnek çoklu kümesi gösterilir ve ∀ ∈ için ∩ şeklinde tanımlanır.Burada , ∀ ∈ ∗ dır. , V∩ , , Başka bir ifadeyle dir. 2.2. Esnek Çoklu Kümelerde Bazı Sonuçlar (Some Results on Soft Multisets) Önerme 2.2.1 üzerinde bir esnek çoklu küme olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. 1 2 3 4 5 6 , , , , , , , ⊆ , ∪ , ∩ , ∪ , ∩ ⊆ , ∪ , ∩ , ∪ , ∩ , ve , ∪ , , ∪ , , , ∩ ⇒ , ∪ , ∩ , , , , [24]. İspat : Burada sadece 1 ifadesinin ispatını vereceğiz. Diğerleri aşikardır. 1 , ⊆ , ve , ∀ ∈ ∗ ve ∀ ∈ için ∗ ve ∀ ∈ için 374 olduğunu gösterir. Sonuç 2.2.3 üzerinde bir esnek çoklu küme , ve , ∈ esnek çoklu küme ailesi olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. 1 , 2 , [24]. ∪ ∩∈ ∩ ∪∈ Önerme 2.2.4 , ve , 1 , ⊆ 2 , ⊆ 3 , ∩ 4 , ⊆ , , , , ∪ ∩ ∪ ∩ , , , [24] üzerinde iki esnek çoklu küme olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. , ⇔ , ∪ , , , , , , ⇔ , ∩ , , , Φ⇒ , ⊆ , ⊆ , . , ⇒ , Önerme 2.2.5 [23] küme , ve , sağlanır. 1 2 , , ∩∈ ∪∈ üzerinde iki tam esnek çoklu olsun. O halde aşağıdakiler , , , , ∩ ∪ , , , . Tanım 3.1 [23] çoklu küme evrenseli ve parametrelerin kümesi olsun. üzerinde tanımlı bütün esnek çoklu kümelerin koleksiyonuna esnek çoklu sınıf ile gösterilir. denir ve Yani, çoklu küme evrenselinden alınan çoklu kümeler ile kümesinden alınan parametrelerin oluşturduğu sınıfının içerisinde kalır. bütün esnek çoklu kümeler , ∪ ∪ , , ∩ , ⊆ , , , TOPOLOGY) , ∩ ∩ ve ∀ ∈ için dır. Bu da , ⊆ 3.ESNEK ÇOKLU TOPOLOJİ (SOFT MULTI üzerinde üç esnek çoklu küme , , olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. , , ∗ Sonuç 2.2.6 üzerinde tam esnek çoklu küme ailesi , ∈ olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. 1 ∪∈ , ∩∈ , , , ∪∈ , . 2 ∩∈ ∪ , , , ∩ , , , ∪Φ , [24], ∩ Φ Φ [24], ∪ [24], ∩ , [24]. Önerme 2.2.2 , ve , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , , ∀ ∈ ⊆ , olsun. O halde ve ∀ ∈ dır. Dolayısıyla Tanım 3.2 [23] ⊆ ve ⊆ olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan sınıfına üzerinde bir topoloji ve , ikilisine de üzerinde bir topolojik uzay denir. . Φ, ∈ . . sınıfındaki sonlu sayıda esnek çoklu kümenin kesişimi sınıfına aittir. Yani, dır. , , ... , , , , ∈ için ∩ , ∈ SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 İ. Osmanoğlu, D. Tokat Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar . sınıfındaki esnek çoklu kümelerin birleşimi sınıfına aittir. , ∈ dır. Yani, ∀ ∈ , , ∈ için ∪ ∈ , topolojik uzayında sınıfının her bir elemanına esnek çoklu açık küme ve tümleyeni açık olan esnek çoklu kümeye esnek çoklu kapalı küme denir. Örnek 3.3 [23] 2/ , 3/ , 4/ , 5/ , , , , , , , , , , , ve Φ, , , , , , , , , , , olsun. Buradaki esnek çoklu kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlıdır. 1/ , 2/ 2/ 3/ , 2/ , 3/ , 4/ 1/ , 5/ 1/ , 4/ 2/ 1/ , 4/ , 3/ , 3/ , 1/ , , , 3/ , 1/ , O halde sınıfı üzerinde bir esnek çoklu topoloji , bir esnek çoklu topolojik uzaydır. tanımlar ve Örnek 3.4 [23] Φ, olsun. sınıfı üzerinde bir esnek çoklu topoloji tanımlar. sınıfına esnek çoklu ayrık olmayan topoloji denir. ise sınıfına esnek çoklu ayrık topoloji Eğer denir. Tanım 3.5 , bir esnek çoklu topolojik uzay ve esnek çoklu açık kümelerin bir sınıfı olsun. sınıfının her elemanı sınıfına ait olan bir takım kümelerin birleşimi olarak yazılabiliyorsa sınıfına topolojisinin bir esnek çoklu bazı denir.Yani [B1] ⊆ . [B2] Her , , şekilde Not 3.6 ⊆ ∈ için , ∈ vardır. ise Φ ∪ ∈∅ , ∪∈ , olacak olur. Örnek 3.7 1/ , 2/ , 4/ , , ve , , , , , , , , , , , Φ, , olsun. Buradaki , , , , , , , , , , , esnek çoklu kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlıdır. 1/ 2/ 4/ 1/ , 2/ 1/ , 4/ 2/ , 4/ , , , , , , SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 1/ 2/ 4/ 1/ , 2/ 1/ , 4/ 2/ , 4/ O halde sınıfı üzerinde bir esnek çoklu topoloji tanımlar ve , bir esnek çoklu topolojik uzaydır. Φ, , , , ∪ ∪ , , , , , , , , , alalım. , , , , ∪ ∪ , , , , ∪ , olur. Yani sınıfı esnek çoklu topolojisi için bir esnek çoklu bazdır. Gerçekten sınıfının her bir elemanı sınıfının elemanlarının birleşimi olarak yazılabilir. Önerme 3.8 Eğer sınıfı üzerindeki ve esnek çoklu topolojileri için ayrı ayrı birer esnek çoklu bir baz ise bu topolojiler aynıdır. İspat : , ∈ olsun. sınıfı esnek çoklu topolojisi için bir esnek çoklu baz olduğundan , , olacak şekilde , ∈ vardır. sınıfı ∪∈ aynı zamanda esnek çoklu topolojisi için de bir esnek , ∈ olup çoklu baz olduğundan her bir ∈ için , ∈ den ⊆ dır. Benzer şekilde ⊆ gösterilir. Buradan elde edilir. , bir esnek çoklu topolojik uzay ve Tanım 3.9 esnek çoklu açık kümelerin bir sınıfı olsun. sınıfındaki elemanların sonlu arakesitinden oluşan sınıfı topolojisi için bir esnek çoklu baz ise sınıfına topolojisinin bir esnek çoklu alt bazı denir O halde sınıfı topolojisi için bir esnek çoklu alt bazıdır ancak ve ancak topolojisindeki her esnek çoklu açık küme sınıfındaki kümelerin sonlu arakesitlerinin keyfi birleşimi olarak yazılır. Not 3.10 ⊆ ise X ∩ ∈∅ , olur. , ∈ ) Önerme 3.11 Eğer sınıfı üzerindeki ve esnek çoklu topolojileri için ayrı ayrı birer esnek çoklu bir alt baz ise bu topolojiler aynıdır. İspat : Önerme 3.8. ve esnek çoklu alt baz tanımını kullanılarak ispatlanabilir. Tanım 3.12 [23] , bir esnek çoklu topolojik uzay ve çoklu küme evrenselinin boştan farklı bir alt kümesi olsun. O zaman , ∶ , ∈ sınıfına üzerinde bir esnek çoklu topoloji ve , esnek çoklu topolojik uzayına , esnek çoklu topolojik uzayının esnek çoklu alt uzayı denir. 375 İ. Osmanoğlu, D. Tokat Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar Örnek 3.13 Örnek 3.3. deki , esnek çoklu topolojisini göz önüne alalım ve 1/ , 2/ , 3/ olsun. O halde Φ, , , , , , , , , , , esnek çoklu topolojisi , , , , , , , , , ve esnek çoklu kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlıdır. 1/ 1/ 1/ 2/ 2/ , 2/ , 2/ , 2/ , , 3/ , 3/ , , 3/ , , 3/ , ∅ 1/ , 2/ , 3/ 1/ ∅ 1/ , , olduğundan Burada Φ, , , , , , , , , şeklinde yazılır ve görüldüğü üzere , esnek çoklu topolojik uzayı , esnek çoklu topolojik uzayının esnek çoklu alt uzayıdır. Örnek 3.14 [23] Herhangi esnek çoklu ayrık topolojik uzayın alt uzayı da esnek çoklu ayrık topolojik uzaydır. Ayrıca herhangi esnek çoklu ayrık olmayan topolojik uzayın alt uzayı da esnek çoklu ayrık olmayan topolojik uzaydır. Önerme 3.15 , bir esnek çoklu topolojik uzay ve çoklu küme evrenselinin boştan farklı bir alt kümesi olsun. Eğer sınıfı esnek çoklu topolojisi için bir esnek çoklu baz ise , ∩ ∶ , ∈ esnek çoklu topolojisi için bir sınıfı da üzerindeki esnek çoklu bazdır. İspat : , , ∩ ∈ ise , ∈ dır. sınıfı esnek çoklu topolojisi için bir esnek çoklu baz olduğundan , ∪∈ , olacak şekilde , ∈ vardır.Buradan , ∪∈ , ∩ olacak şekilde , ∩ ∈ vardır. , bir esnek çoklu topolojik uzay Tanım 3.16 [23] de bir esnek çoklu küme olsun. , ve , , esnek çoklu kümesini kapsayan bütün esnek çoklu kapalı kümelerin kesişimine , esnek çoklu şeklinde gösterilir. kümesinin kapanışı denir ve , Yani, , esnek çoklu kümesini kapsayan esnek çoklu kapalı kümelerin sınıfı , olmak üzere , ∩ , ∈ , , , esnek çoklu kümesini dır. Açıkça , , kapsayan en küçük esnek çoklu kapalı kümedir. 376 Önerme 3.17 , bir esnek çoklu topolojik uzay ve , ve , , de iki esnek çoklu küme olsun. Aşağıdaki ifadeler doğrudur. 1 2 3 4 5 6 7 8 Φ Φ ve , ⊆ , , kapalıdır , kapalı kümedir ⇔ , , , ⊆ , , ⊆ , ⇒ , , ∪ , , ∪ , ⊆ , ∩ , , ∩ , , İspat : Tanım 3.16. den 1 , 2 ve 3 ifadeleri açıktır. nın 4 Eğer , esnek çoklu kapalı küme ise , ⊆ , dır. Diğer yandan 2 den tanımından , , dır. , ⊆ , dır. O halde , Tersine , , kapalıdır. Dolayısıyla kümedir. ise 3 den dolayı , , da esnek çoklu kapalı esnek çoklu kapalı küme olduğundan ve 4 5 , den dolayı , , dır. 6 Eğer halde ∩ , , ∈ ⊆ , , ise , ⊆∩ ⇔ , , , ⊇ , ∈ , , ⊆ , dır. O dır. 7 , ⊆ , ∪ , , ∪ , , ∪ , Tersine ⊆ , , den , , ∪ , 8 , ∩ , ∩ , den , , ∩ , , ⊆ ⊆ ⊆ , ⊆ , olduğundan , dır. Buradan , , ∪ , ⇔ , dır. , ∪ , den ve , ⊆ , ∪ , ∪ , dır. Buradan ∪ , elde edilir. , den ve , ∩ , ⊆ , dır. Buradan ⊆ , ∩ , elde edilir. ve , , , , ∪ , ⊆ , ⊆ , , ⊆ ⊆ , ∩ , ⊆ , ∪ ∪ ∪ ⊆ Tanım 3.18 [23] , bir esnek çoklu topolojik uzay, de bir esnek çoklu küme ve ∈ ∗ olsun. , , Eğer ∈ , ⊆ , olacak şekilde , ∈ esnek çoklu açık kümesi varsa noktasına , esnek çoklu kümesinin bir iç noktası denir. , esnek çoklu kümesinin bütün esnek çoklu iç noktalarının kümesine SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 İ. Osmanoğlu, D. Tokat Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar , esnek çoklu kümesinin içi denir ve şeklinde gösterilir. ° , , bir esnek çoklu topolojik uzay ve Önerme 3.19 , , de bir esnek çoklu küme olsun. O halde , ° ∪ , ⊆ , : , ∈ dır. İspat : Eğer ∈ , ° ise Tanım 3.18. den ∈ , ⊆ , olacak şekilde , ∈ vardır. O halde ∈∪ , ⊆ , : , ∈ . , ⊆ , : Tersine eğer ∈∪ , ⊆ , olacak şekilde bulunduğundan ∈ , ° dır. , ∈ bir ∈ ise , ∈ , bir esnek çoklu topolojik uzay ve Önerme 3.20 de iki esnek çoklu küme olsun. , ve , , Aşağıdaki ifadeler doğrudur. 1 2 3 ° , , , ⊆ , açıktır açıktır ⇔ ° ° , , esnek çoklu kümesinin kapsadığı en 4 , °, , geniş esnek çoklu açık kümedir 5 6 7 8 ° ° , , , , ⊆ ∪ ° ∩ ° , , , ⇒ ⊆ , ° ° ° ⊆ , , ∪ , , ∩ , 7 , , , , ° ° , ⊆ ° ∪ , den ° ∪ , ve , ∪ , den ° , ∪ , dır. Buradan ° ° , ⊆ , ∪ , elde edilir. ⊆ ⊆ ° ⊆ ° ∪ , , 8 , ∩ , ⊆ , den ° ⊆ , ° ve , ∩ , , ∩ , ⊆ , den ° ⊆ , ° dır. , ∩ , Tersine , °⊆ , ve , °⊆ , ° ° ∩ , ⊆ , ∩ , ve olduğundan , ° , ∩ , elde buradan da , ° ∩ , ° ⊆ ° , ∩ , edilir. Buradan , °∩ , ° elde edilir. , bir esnek çoklu topolojik uzay ve Teorem 3.21 , , de bir tam esnek çoklu küme olsun. O zaman, ° , 6 , ⊆ , olsun. Eğer ∈ , ° ise ∈ , ⊆ , olacak şekilde , ∈ vardır. Buradan ∈ , ⊆ , ⊆ , ve de ∈ , ° olup , ° ⊆ , ° dır. , , , , esnek çoklu 2 Önerme 3.19 den , °, kümesini içerdiği açıkların birleşimi olduğundan açıktır. , ⊆ , : , 3 , ° ∪ ∈ olduğundan , esnek çoklu kümesi açık ise , dır. , ° ∩ , ∪ , , ∪ , , ise , esnek çoklu kümesi Tersine , ° açıktır. Çünkü , ° esnek çoklu kümesi açıktır. , esnek çoklu , ° esnek çoklu kümesi kümesinin kapsadığı en geniş esnek çoklu açık kümedir. ∪ , : , : , ∩ , , ° 4 , ∪ , ⊆ , : , ∈ olduğundan , ⊆ , olacak şekildeki her , esnek çoklu açık kümesi için , ⊆ , ° dır. O ° , , esnek çoklu kümesinin kapsadığı halde , en geniş esnek çoklu açık kümedir ° , açık ise , ° dır. , , ° , , ° : : : , , , ü , ü , ç ü , ⊆ ⊆ ⊆ , , , ° ç ü , ⊆ , ü , ⊆ , elde edilir. Tanım 3.22 [23] , bir esnek çoklu topolojik uzay, , , de bir esnek çoklu küme ve ∈ ∗ olsun. Eğer ∈ , ⊆ , olacak şekilde , ∈ esnek çoklu açık kümesi varsa , esnek çoklu kümesine noktasının bir esnek çoklu komşuluğudur denir. noktasının bütün esnek çoklu komşuluklarının kümesi şeklinde gösterilir. Yani, , SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 , . İspat : Sonuç 2.2.6, Tanım 3.16, Önerme 3.19 kullanılarak, ° İspat : 1 Tanım 3.18 den açıktır. 5 , ° açık ve olduğundan , ° ° , ° ∶ , ∈ , ∈ , 377 İ. Osmanoğlu, D. Tokat Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar Önerme 3.23 , bir esnek çoklu topolojik uzay ve , , de bir esnek çoklu küme olsun. , esnek çoklu açık kümedir ancak ve ancak , esnek çoklu kümesi her noktasının bir esnek çoklu komşuluğudur. İspat : Eğer , , alındığında komşuluğu olur. açık ve ∈ , ise , , kümesi in bir esnek çoklu Tersine eğer her ∈ , için ∈ , ⊆ , olacak şekilde , ∈ esnek çoklu açık kümesi varsa , olup esnek çoklu açık , ∪ ∈ , kümelerin keyfi birleşimleri açık olacağından , esnek çoklu kümesi açıktır. , bir esnek çoklu topolojik uzay, Tanım 3.24 , , de bir esnek çoklu küme ve ∈ ∗ olsun. Eğer noktasının her , esnek çoklu açık komşuluğu için , \ , ∩ , Φ ise ∈ ∗ noktasına , esnek çoklu kümesinin bir yığılma noktası denir. , esnek çoklu kümesinin bütün esnek çoklu yığılma noktalarının kümesi , ile gösterilir. , bir esnek çoklu topolojik uzay ve Önerme 3.25 , ve , , de iki esnek çoklu küme olsun. Aşağıdaki ifadeler doğrudur. 1 2 3 , , , ⊆ ∪ ∩ , , , ⇒ , ⊆ , , ⊆ İspat : 1 Eğer , ⊆ , ⊆ , olduğu açıktır. , 2 , , , , , ⊆ ⊆ , ⊆ , ⊆ , ∪ , , ∪ ∩ , , , , ∪ , ⊆ , , ⊆ ise Tanım 3.24. den ∪ 3 , ∩ , ∩ , ∩ , , ∩ , ⊆ , ∩ , , ∩ , , , ⊆ , ise ⊆ , ve , ise ⊆ , olduğundan ⊆ , ∩ , dır. 4.SONUÇ (CONCLUSION) Bu çalışma kapsamında esnek çoklu kümeler hatırlatılarak esnek çoklu kümelerde bazı yeni sonuçlar elde edildi. Esnek çoklu kümeler yardımıyla tanımlanan esnek çoklu topolojide bir esnek çoklu kümenin içi, kapanışı ve esnek çoklu bir kümenin yığılma noktalarıyla ilgili önemli teoremler incelendi. Ayrıca esnek çoklu baz kavramı ilk defa bu çalışmada tanımlandı. Bu çalışmanın devamı olarak, esnek çoklu topolojik uzaylar arasında sürekli fonksiyonlar tanımlanabilir. Ayrıca esnek çoklu topolojik uzayların çarpımı, kompaktlığı ve bağlantılılığı araştırılabilir. [1] [3] [4] ∪ , olduğundan , ∪ , ⊆ , ∪ , ifadesini ispat etmek için sağ tarafın doğru olduğunu gösterelim. Bunun için ∉ , ∪ , olsun. ve ∉ , olacağından Buradan ∉ , ∩ , ⊆ , ve , olacak şekilde in , , ∩ , ⊆ , ve , esnek çoklu açık komşulukları vardır. Burada , ∩ , in bir esnek çoklu açık komşuluğu olup 378 , ∩ , ∪ , ∩ , ∪ , ∩ ∩ , ∪ , ∩ , den , ∩ , ∩ , ∪ , ⊆ , olup ∉ , ∪ , dır. Bu sağ tarafın dolayısıyla 2 deki ifadenin ispatını tamamlar. [2] , , , KAYNAKLAR (REFERENCES) , ∪ , ve ∪ , olup 1 den ∪ , ve ∪ , olduğundan ⊆ , ∪ , dır. , ∪ , ∩ ⊆ ⊆ Diğer yandan ⇔ ∩ , [5] [6] [7] Molodtsov, D.A. (1999) ‘Soft set theory-first results’, Computers and Mathematics with Applications, vol. 37, pp. 19-31. Molodtsov, D.A., Leonov, V.Y., Kovkov, D.V. (2006) ‘Soft sets technique and its application’, NechetkieSistemyiMyagkieVychisleniya, vol. 1, no. 1, pp. 8-39. Maji, P.K., Biswas, R., Roy, R. (2002) ‘An application of soft sets in a decision making problem’, Comput.Math.Appl. vol. 44, pp. 10771083. Maji, P.K., Biswas, R., Roy, R. (2003) ‘Soft set theory’, Comput.Math.Appl. vol. 45, pp. 555562. Chen, D. (2005) ‘The parametrization reduction of soft sets and its applications’, Computers and Math. with Appl. vol. 49, pp. 757-763. Pie D., Maio, D. (2005) ‘From soft sets to information systems’, Granular computing, IEEE Inter. Conf. pp. 617-621. Aktaş H., Çağman, N. (2007) ‘Soft sets and soft groups’, Inf. Sci. vol. 177, pp. 2726-2735. SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 , İ. Osmanoğlu, D. Tokat Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] Shabir, M., Naz, M. (2011) ‘On soft topological spaces’, Computers and Mathematics with Applications vol. 61, pp. 1786-1799. Min, W.K. (2011) ‘A note on soft topological spaces’, Comput. Math.Appl. vol. 62, pp. 35243528. Çağman, N., Karataş, S. and Enginoğlu, S. (2011) ‘Soft topology’, Computers and Mathematics with Applications vol. 62, pp. 351358. Aygünoğlu, A., Aygün, H. (2012) ‘Some notes on soft topological spaces’, Neural Comput&Applic vol. 21, pp. 113-119. Zorlutuna, I., Akdağ M., Min, W.K. and Atmaca, S. (2012) ‘Remarks on soft topological spaces’, Ann. Fuzzy Math. Inform. vol. 3, no. 2, pp. 171185. Varol, B.P., Aygün, H. (2012) ‘On soft Hausdorff spaces’, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics vol. 5(1), pp. 15-24.4 Peyghan, E., Samadi, B. and Tayebi, A. (2012) ‘On Soft Connectedness’, arXiv:1202.1668. Cerf, V., Fernandez, E., Gostelow, K., Volausky, S. (1971) ‘Formal control and low properties of a model of computation’, Report ENG 7178, Computer Science Department, University of California, Los Angeles, CA, December, p. 81. Peterson, J. (1976) ‘Computation sequence sets’, Journal of Computer System Science vol. 13, no. 1, pp. 1-24. Yager, R.R. (1986) ‘On the theory of bags’, International Journal General System vol. 13, pp. 23-37. Jena, S.P., Ghosh, S.K., Tripathy, B.K. (2001) ‘On the theory of bags and lists’, Information Sciences vol. 132, pp. 241-254. Manjunath, A.S., Jhon, S.J. (2006) ‘On bag relations’, Bulletin of Kerala Mathematics Association vol. 3, no. 2, pp. 15-22. Girish, K.P., Jhon, S.J. (2009) ‘Relations and functions in multiset context’, Information Sciences vol. 179, pp. 758-768. Girish, K.P., Jhon, S.J. (2012) ‘Multiset topologies induced by multiset relations’, Information Sciences vol. 188, pp. 298-313. Babitha, K.V., Jhon, S.J. (2013) ‘On soft multi sets’, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics vol. 5, no. 1, pp. 35-44. Tokat, D., Osmanoğlu, İ. ‘Soft multiset and soft multi topology’, submitted. Tokat, D., Osmanoğlu, İ. (2013) ‘Connectedness on soft multi topological spaces,J New Results Sci vol. 2, pp. 8-18. Koçak, M. (2011) Genel topolojiye giriş ve çözümlü alıştırmalar, Eskişehir : Kampüs yayıncılık. SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 [26] Mucuk, O. (2010) Topoloji ve kategori, Ankara: Nobel yayın dağıtım. 379
