GK_10_sinif_matematik

��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
ÖNSÖZ
MATEMATİK VADİSİ PROJESİ
Bu cinsten matematikle ilgili projelere sıra geldi. Ne mutlu bizlere, sevinmeliyiz. Çünkü bizim
aslımız, matematik ile iç içe idiler. Dillerini (Türkçemizi) matematik yapı ile kurdular. Bu kuruluşu her geçen zamanla daha iyi anlayabiliyoruz. Dünyamız hiçbir zaman alfabe problemini
çözemedi. Halen bu alfabe problemi zorlaşarak devam etmektedir. Öyle ki, iyi kurulamamış
alfabeler kısa zaman içinde ölüyorlar. Türkçemizi matematiğe önem veren atalarımız iyi bir temel, matematiksel yapı üzerine oturttular. Yüzyıllardır bu nedenle sarsılmadan yaşamaya devam
ediyor. Hele Türkçe için büyük Atatürk dünyaya örnek bir alfabe yazdıktan sonra bir bakıma
Shakespeare’in İngilizce için yazılmasını istediği ve halen yazılamamış olan alfabeyi biz Türkçe
için yazdık diyebiliriz (Necroponte, Being Digital).
Matematik dildir, dil matematiktir. Matematik-dil ikilisi daima beraber gezerler, gelişirler. Bu
nedenledir ki Cumhuriyetimizin kurucusu Atatürk bir matematik (geometri) kitabı yazmıştır.
Çünkü 19 uncu yüzyıl matematiğin insanlara el uzattığı yüzyıldır. Gerçekten bu yüzyıla kadar geçen beş milyar yılda insanoğlu sadece kağnı-kazma ve kürek ile meydana çıkabilmiş iken türevin
ortaya konması, diferensiyel integral hesabın sayesinde iki yüzyılda insanlığın kazandığı gelişme
ivmesi beş milyar yılı ne derece solladığını hayretle görüyoruz. Yani, Ay’a seyahat ve bilgisayar
dünyası matematiğin meyveleridir.
Bu nedenlerle matematikle ilgimizi artırmalı, enerjimizi matematikle birleştirmeli, tüm projelerimize matematiği de yardımcı seçmeliyiz.
Bu nedenlerledir ki, Matematik Vadisi projesini de bu anlamda görmek ve değerlendirmek gerekir. Projenin kapsamının “Matematikle ilgili olan herşey” diye seçilmiş olması tüm dünyayı kapsamı içine alması demektir. Zira matematik, her yerde, her olayda ve her zaman vardır.
Eğitim - öğretim dünyasında, bilhassa öğrencilerin hedeflediği başarılara ulaşmada Matematik
Vadisi projesinin yeri nedir?
Cevabımız, projenin yayınlarını dikkatle inceledikten sonra şöyle olacaktır:
Matematiği öğrenmede zorluk çeken, matematiği sevmeyen öğrenciler her zaman olmuştur ve
olacaktır. Matematiği öğrenmeyi kolaylaştırmak ve dolayısı ile sevdirmek bu projenin esas gayelerindendir. Bu projenin yayınları, öğrenme için kendi kendine yeterdirler.
Matematik korkusunu yenmek:
Matematikten korkan öğrenciler daima olmuştur ve daima olacaktır. Bu korkuyu yenmenin çeşitli
yolları vardır. Bu yollardan başlıcaları: matematik okumak, matematik yazmak, matematik çizmek, matematik dinlemek, matematik konuşmak ve matematik düşünmektir. Bu anayolu açmak
için Matematik Vadisi gibi projelere çok ihtiyaç vardır. Bu yol altı tane farklı aktivite içerir. Matematik Vadisi projesi bu altı özelikten sadece ilk üçüne yayınları ile cevaz verebilir niteliktedir.
Geri kalan üç özelik de projenin eserlerinin sınıflarda veya ortak bir grup ile incelenmesi esnasında hayata geçirilebilir.
DNA: Matematik Vadisinde, temel bilgileri vermek amacı ile ayrıntılı biçimde çözülmüş sorunun
adıdır. DNA’lar sayesinde benzer sorular çözülebilecek, böylece okuyucunun kendine güveni
artacak ve dolayısı ile okuyucu korkuyu yenecektir.
Bu şekilde çalışan okuyucu matematik korkusunu yenerken matematik sevgisini de kazanacaktır.
Sevgi, tanımayı, öğrenmeyi hem kolaylaştırır ve hem de hızlandırır. Buna biz matematik okumak,
matematik yazmak ve matematik çizmek de diyebiliriz. Eğer okuyucular bu projenin eserlerini
grup halinde ele alırlarsa veya bir sınıfta toplanır ve bir eğitimci eşliğinde incelerlerse o zaman
matematik dinlemiş ve matematik konuşmuş da olurlar.
Matematik düşünme işine sıra gelince ömür boyu yapacağımız ve devamlı geliştirmemiz gereken
bir sistemdir. Yukarıda sıralanan ilk beş aktivite ile kazanılır ve kazandırılır.
Matematiği Sevme - Sevdirme
Çok iyi bilinen bir husus, insanın tanımadığını sevmeyeceği, sevme işinin tanıma ile başlayacağı
hususudur. Demek ki sevmek için öncelikle tanımak, tadını ve kokusunu almak gerekir. O halde matematiği öğrendikçe sevme işi de kendiliğinden oluşacaktır. Matematik Vadisi projesinin
yayınlarının yukarıda sıralanan özellikleri ve onları hazırlayan kadronun seçkin bir kadro oluşu
nedeniyle bu proje matematiği öğretebileceği ve tanıtabileceği için matematiği sevdirmiş de olacaktır.
Prof. Dr. Hasan Hilmi HACISALİHOĞLU
Saygıdeğer Öğretmenler
Sevgili Öğrenciler
Matematik çoğu öğrencinin eğitim hayatı boyunca korkulu rüyası olmuştur. Birçok kimse nezdinde hak ettiğinin ötesinde olumsuz bir imaja sahiptir. Buna karşılık matematiği tutkuyla sevenler de vardır.
Matematiğe karşı duygusal tavrımız ne olursa olsun, hepimizin bildiği tartışma götürmez bir gerçek “matematik olmadan olmayacağı” gerçeğidir. Özellikle de bir öğrenci iseniz!
NEDEN MATEMATİK VADİSİ?
Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematik öğretmeninin; matematiği seven sevmeyen herkesin
matematikte en azından yeteri kadar başarılı olabileceğini göstermek için hayata geçirdiği bir projedir.
Matematik Vadisi, sloganından anlaşılacağı gibi, sadece matematikle ilgilenecektir. Matematikle ilgili her şey, ana sınıfından akademik hatta ansiklopedik düzeye kadar Matematik Vadisi’nin ilgi alanı içindedir.
Bu projenin bel kemiği, okullara takviye ve sınavlara hazırlık amaçlı hazırlanmış yayınlar olacaktır.
Temel iddiamız şudur: Matematik Vadisi’nin imza attığı her eserde usta eli değmiş dedirtecek özgünlüğü, ekip çalışması
sonunda varılabilecek bir olgunluğu ve pedagojik alt yapıyı hemen hissedeceksiniz.
Kısaca, Matematik Vadisi’nin uzmanlığını fark edeceksiniz.
GENETİK KOPYA YÖNTEMİ
Genetik Kopya Yöntemi ülkemizde yaygın olan, “matematik korkusu”nun aşılmasını sağlamak için geliştirilmiş bir
yöntemdir.
Temel tezi “Bu çözümü anladıysan çok benzerini de yapabilirsin, yapabildiğini görürsen daha da cesaretlenirsin.”
şeklinde özetlenebilir.
Bu kitabın sistematiğinde temel bilgiyi vermek amacıyla ayrıntılı şekilde çözdüğümüz soruyu, DNA diye adlandırıyoruz.
ikonu ile verilen sorular ise, DNA’da verilen soruya bire bir benzeyen niteliktedir. Yani onun Genetik Kopyası-
dır. Böylece DNA için yapılan çözüm anlaşılmış ise, bu soru da rahatça çözülebilecektir. Böylece öğrencinin, yapılan
çözümü kavraması, benzer soruları kendisi de çözerek iyice özümsemesi hedeflenmiştir. İnanıyoruz ki “Genetik Kopya” yöntemi ideal bir matematik öğrenme ve öğretme yöntemidir.
MATEMATİK VADİSİ’NİN KADROSU
Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematikçinin başını çektiği bir kadro tarafından kurgulanmıştır. Ankara’dan Alpaslan Ceran ve Saygın Dinçer, İstanbul’dan Eyüp Kamil Yeşilyurt, İskenderun’dan Taylan Oktay,
Konya’dan Gürkan Gülcemal, bu projenin mimarı olan kişilerdir.
Matematik Vadisinde içkin olan Matematik tutkusu, çok kısa sürede yayınlanacak onlarca özgün eserle, yeşerecektir.
Alpaslan CERAN
Matematik Vadisi Yayın Editörü
KİTABIMIZIN ORGANİZASYON ŞEMASI
HAZİNE veya IŞIK’lara ulaşabilmek
için yapılan araştırmalar bu ikonla
Hazine Avı
gösterilmiştir. Böylece, HAZİNE ve
IŞIK’ların zihninize daha net yerleşmesi sağlanmıştır.
Hazine 10
Hazine Avı’ndan elde ettiğimiz ve
DNA çözümlerinde işimize en çok
Bir P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan
 b
P − 
 a
yarayacak olan, teorem niteliğindeki
değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
dır.
Bazen Hazine Avı’ndan, bazen de Hazine
Işık 2
Avı’na ihtiyaç duyulmadan elde edilen ve
DNA çözümlerinde yolumuza IŞIK tutacak
n ∈ Z+ olmak üzere,
(an–bn) = (a – b) (an–1+an–2⋅b+an–3⋅b2+...+a⋅bn–2+bn–1)
olan, küçük teorem niteliğindeki değerli
bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
dir.
Bu Hazine’mizin Vadi Dili’ndeki karşılığı,
Bazı HAZİNE ve IŞIK’ları uzunca
söylemek yerine, o Hazine ve Işık’ları
anımsatacak birkaç kelimeden olu-
Polinom Eşitliği
şan slogan niteliğindeki ifadeler bu
olacaktır.
ikonla gösterilmiştir.
DNA 12
Kendinden
(m – 1)x2 – 3x – 1 = 0
denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna göre,
m nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
verilen
gerektiren KÖK SORU’lar bu ikonla
gösterilmiştir.
x–y=2
DNA’da kullanılan sorunun biraz değiştirilmiş şekli, yani Genetik Kopyası
olduğuna göre, ax – ay + bx – by kaçtır?
B) 8
önce
E) 2
a+b=6
A) 6
hemen
HAZİNE ve IŞIK’ların kullanımını
C) 9
D) 10
E) 12
bu ikonla gösterilmiştir.
Çözüm
P(x) = x4 – 1 = (x2)2 – 12
= (x2 – 1) (x2 + 1)
= (x2 – 12) (x2 + 1)
= (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
olduğundan, P(x) in 3 çarpanı asal polinomdur.
DNA için verilen ayrıntılı çözümler bu
ikonla gösterilmiştir.
a ile b den küçük olmayanını max(a, b) ile gösterir-
HAZİNE ve IŞIK’lar kadar yoğun kul-
sek,
lanılmayan, ancak yine de bilinmesi
|a+b|+|a−b|
max(a,b) =
2
gereken bazı bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
olur.
Uyarı
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
polinomu verilmiş olsun. O zaman,
Soruyu çözerken öğrencinin yapabileceği muhtemel hataya düşmemesi
için yapılan öğütler bu ikonla göste-
P[Q(x)] = a0 + a1 ⋅ Q(x) + ... + an ⋅ Qn(x)
rilmiştir.
olur.
Bu P[Q(x)] polinomunun katsayılarının toplamını bulabilmek için,
Kısayol
a + a ⋅ Q(x) + ... + a ⋅ Q (x)
0
1
n
n
ifadesindeki bütün x li terimlerin katsayılarının toplamı
a+b
1
1
=
−
bulunmalıdır. 1(ksayısı
elema− a) ⋅ (çarpma
k + b) kişleminin
− a k +etkisiz
b
nı olduğundan, x yerine 1 yazdığımızda, P[Q(x)] in
Sadece o tip soruda, kestirme çözüm
yolu için kullanılabilecek bilgiler bu
ikonla gösterilmiştir.
dir. Paydadaki
iki çarpan
arasındaki fark paya eşitse
katsayıları
toplamını
buluruz.
ayırım:
Demek ki, bir P[Q(x)] polinomunun katsayıları toplamı,
1
1
P[Q(1)] dir.
–
Büyük olanı
Küçük olanı
Örneğin, P(x + 3) ün katsayılarının toplamı,
İspat
şeklinde kolayca yapılabilir.
P(1 + 3) = P(4)
Hazine Avı’ndan değil de, doğrudan
P(x
– 2) nin katsayılarının toplamı,
Örneğin,
Bu eşitliğin nasıl sağlandığını da gösterelim.
2
P(1
5 – 2) = P(–1)
1
1
=  − 
 )+⋅ (C
x )+=3) tanxB− +2 tanxC
(x − B
2
−3
tan(
2
 ⋅ tan C

P(2x + x + 1) in katsayılarının
toplamı,
1 − tan
B
2
2
1
verilen bazı HAZİNE veya IŞIK’ların
ispatları bu ikonla gösterilmiştir.
1
− 
P(2
+1 + =1) = P(4)
 ) x+⋅ ⋅1m
)
m(B
( x(C
− )2=) 180
x −° −
2 m(xA
tür.
olduğundan
Nottan(180° − A ) =
 + tan C

tan B
 ⋅ tan C

1 − tan B
NOT etmemiz gereken, IŞIK ve

 tabloda
 tek katlı kökler biçiBundan sonraki
bölümlerde,
− tan
A
+ tan C
tan B
=
 ⋅ tan C

1
1 −biçiminde,
tan B
minde, çift katlı kökler
ifadeyi
tanımsız yapan
HAZİNE’lere nazaran daha az ihti-
İçler - dışlar
çarpımı
yapalım:
kökler
biçiminde,
ifadeyi
tanımsız yapan çift katlı kökler
gösterilmiştir.
yaç duyacağınız bilgiler, bu ikonla
 + tan A
 ⋅ tan B
 ⋅ tan C
 = tan B
 + tan C

biçiminde
− tangösterilecektir.
A
Eşitsizliği sağlayan
ise • biçiminde
içidoludur.
 ⋅ tan B
 ⋅köklerin
 = tan
 + tan
C
tan A
tan A
A + tan B
Ufofg gýt
elde edilir.
Beynin En iyi İlacı Jimnastik
Öğrenciyi dinlendirmek, biraz da bil-
Uzmanlar, insan beyninin bilgisayardan daha fazla
gilendirmek için hazırlanmış yazılar
fonksiyonu olduğunu, bunda beyin jimnastiğinin önemli
bu ikonla gösterilmiştir.
bir rolü bulunduğunu söylüyor. Düzenli bir jimnastik
yapıldığı taktirde beynin bir saat içinde 2.000 haneli
bir rakamın 1.140 hanesini aklında tuttuğunu ortaya
çıkardı.
Hatırlatma
f(x) = ...................
fonksiyonu verilmiş ise, f(k) değerini bulabilmek için, x
yerine k yazılır.
Örneğin,
f(x) = x2 + x – 1
fonksiyonu verilmiş olsun ve f(1), f(2) ve f(3) değerlerini bulmamız istensin.
O zaman yapacağımız şey:
Soruyu çözebilmek için gerekli olan
ancak farklı konularla ilgili olan bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
Kitabımızın Organizasyon Şeması................................................. Sayfa: 6 - 7
BÖLÜM - 01
Polinomlar.................................................................................. Sayfa: 9 - 70
BÖLÜM - 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması......................................... Sayfa: 71 - 112
BÖLÜM - 03
İkinci Dereceden Denklemler............................................... Sayfa: 113 - 166
BÖLÜM - 04
Eşitsizlikler............................................................................ Sayfa: 167 - 210
BÖLÜM - 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar............................................. Sayfa: 211 - 268
BÖLÜM - 06
Permütasyon - Kombinasyon - Binom................................... Sayfa: 269 - 330
BÖLÜM - 07
Olasılık................................................................................. Sayfa: 331 - 360
BÖLÜM - 08
Trigonometri......................................................................... Sayfa: 361 - 496
POLİNOMLAR - BÖLÜM 01
FONKSİYON - POLİNOM İLİŞKİSİ
DNA 1
GİRİŞ
Daha Giriş’in başındayken Polinom’un kelime anlamı üze-
P(x) = 2x2 – 3
rinde biraz duralım.
olduğuna göre, P(–1) kaçtır?
Polinom, Latin kökenli bir kelimedir.
A) –3
POLİ: “çok”, NOM: “terim” anlamına gelir.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 5
Yani,
Çözüm
POLİNOMLAR = ÇOK TERİMLİLER
dir.
P(–1) değerini bulabilmek için x yerine –1 yazmalıyız.
Benzer şekilde,
MONONOM = BİR TERİMLİ
x = –1 için,
BİNOM = İKİ TERİMLİ
anlamına gelir.
Biz bu bölümümüzde öncelikli olarak 9. sınıfta işlediğiniz
Fonksiyonlar konusundan bazı hatırlatmalar vereceğiz.
Daha sonra, Polinom’un tanımı ile konumuza devam edeceğiz.
Her polinom aynı zamanda bir fonksiyon olduğu için,
P(–1) = 2 ⋅ (–1)2 – 3
=2⋅1–3
=2–3
= –1
dir.
Fonksiyonlar’dan yapacağımız hatırlatmalar, bire bir ola-
Doğru Seçenek B
rak Polinomlar’da da kullanılabilecektir.
Hatırlatma
f(x) = ...................
fonksiyonu verilmiş ise, f(k) değerini bulabilmek için, x
P(x) = 1 + x + x2 + x3
yerine k yazılır.
olduğuna göre,
Örneğin,
A) –1
P(1)
oranı kaçtır?
P(0)
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
D) 4
E) 9
f(x) = x2 + x – 1
fonksiyonu verilmiş olsun ve f(1), f(2) ve f(3) değerlerini bulmamız istensin.
O zaman yapacağımız şey:
x = 1 için:
f(1) = 12 + 1 – 1 = 1
x = 2 için:
f(2) = 22 + 2 – 1 = 5
x = 3 için:
f(3) = 32 + 3 – 1 = 11
olduğuna göre, Q(1) + R(1) kaçtır?
işlemlerinden ibaret olacaktır.
Q(x) + R(x) = x2
A) –1
B) 0
C) 1
11. SINIF GEOMETRİ
Polinomlar - Bölüm 01
Fonksiyon - Polinom İlişkisi
Çözüm
Hatırlatma
f(ax + b) = .........
Önce, x yerine kaç yazmamız gerektiğini bulalım.
fonksiyonu verilmiş ise, f(k) değerini bulabilmek için,
2x – 1 = 5
önce,
⇒
ax + b = k
denklemini sağlayan x değeri bulunur. Daha sonra,
bulduğumuz bu değer f de yerine yazılır.
x=3
Şimdi, bu değeri yerine yazalım:
x = 3 için,
Örneğin,
P(2 ⋅ 3 – 1) = 32
f(3x + 4) = 2x2 – 1
fonksiyonu verilmiş olsun ve f(10) değerini bulmamız
istensin.
⇒
P(5) = 9
dur.
Çözüm şu şekilde yapılır.
Doğru Seçenek C
1. adım
3x + 4 = 10
⇒
3x = 6
⇒
x=2
Böylece, f(10) değerini bulabilmek için, x yerine 2 yazılması gerektiğini bulmuş olduk.
2. Adım:
x = 2 için,
f(3 ⋅ 2 + 4) = 2 ⋅ 22 – 1
P(4x + 1) = 2x2 – x – 1
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
⇒ f(10) = 8 – 1 = 7
A) –1
B) 0
C) 1
D) 3
E) 5
D) 8
E) 15
dir.
DNA 2
P(2x – 1) = x2
olduğuna göre, P(5) kaçtır?
A) 1
10
B) 4
C) 9
10. SINIF MATEMATİK
D) 16
E) 25
P(3x – 2) = x2 – 1
olduğuna göre, P(–8) kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 3
Polinomlar - Bölüm 01
Fonksiyon - Polinom İlişkisi
Çözüm
Hatırlatma
2x + 1 in tersi
f(ax + b) = .........
fonksiyonu verilmiş ise, f(x) fonksiyonunu bulabilmek
x −b
için, x yerine
yazılır. Bunun sebebi ise,
a
f ( x ) = ax + b ⇒ f −1( x ) =
O halde,
2
 x − 1
 x − 1
P( x ) = 4 
 −1
 + 6⋅
2
 2 


x −b
a
= 4⋅
oluşundandır.
( x 2 − 2x + 1)
x −1
+ 6⋅
−1
4
2
= ( x 2 − 2x + 1) + 3 ⋅ ( x − 1) − 1
Örneğin,
= x 2 − 2x + 1 + 3 x − 3 − 1
f(2x – 1) = x2 + x
x −1
dir.
2
fonksiyonu verilmiş olsun ve f(x) fonksiyonunu bulma-
= x2 + x − 3
mız istensin.
tür.
Çözüm şu şekilde yapılır.
1. adım
Doğru Seçenek A
2x – 1 in tersi
x +1
dir.
2
Demek ki, f(x) i bulabilmek için, x yerine
x +1
yazma2
mız gerekiyor.
2. Adım:
x=
x +1
için,
2
2
 x + 1
 x + 1   x + 1
f 2⋅
− 1 = 

 + 
2
 2 
  2 

2
 x + 1
 x + 1
⇒ f (x) = 
 + 

 2 
 2 
P(x – 1) = x2 + 2x
olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 2x + 3
B) x2 + 3x + 3
C) x2 + 3x + 4
D) x2 + 4x + 3
E) x2 + 4x + 4
dir.
DNA 3
P(2x + 1) = 4x2 + 6x – 1
olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x2
+ x – 3
C) x2 + x + 3
E) x2 + 2x – 3
B)
x2
–x–3
D) x2 – 2x + 3
P(2x) = 4x2 + 6x + 1
olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 3x + 1
B) x2 + x + 3
C) x2 – 3x + 1
D) x2 + x – 3
E) 2x2 + 3x + 1
10. SINIF MATEMATİK
11
Polinomlar - Bölüm 01
Fonksiyon - Polinom İlişkisi
DNA 4
P(x – 1) = 3x + 1
Q(2x + 3) = 4x
olduğuna göre, P[Q(x)] + Q[(P(x)] toplamı aşağıda-
B) 6x + 12
D) 9x + 12
P(2x – 1) = 2x + 1
Q(2x + 1) = 2x – 1
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
kilerden hangisine eşittir?
A) 6x – 12
C) 9x – 12
E) 12x – 12
P[Q(x)] + Q[P(x)] = 12
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 12
Çözüm
Öncelikle P(x) ile Q(x) i bulalım.
x – 1 in tersi x + 1 olacağından,
P(x) = 3 ⋅ (x + 1) + 1
= 3x + 4
tür.
2x + 3 ün tersi
x−3
olduğundan,
2
x−3
Q( x ) = 4 ⋅ 

 2 
P(x) = x2 – 1
Q(x) = x2 + 1
olduğuna göre, P[P(x)] – Q[Q(x)] aşağıdakilerden hangisine eşittir?
= 2x − 6
dır.
A) –4x2 – 2
B) –2x2 – 4
C) 4x2 – 2
D) 4x2 + 2
E) –2
Şimdi, bulduğumuz P(x) ve Q(x) değerlerini,
P[Q(x)] + Q[P(x)] toplamında yerine yazalım:
)
)

Q( x


P( x 

P [Q( x )] + Q [P( x )] = P (2x − 6) + Q (3 x + 4)
= [ 3 ⋅ ( 2 x − 6 ) + 4 ] + [ 2 ⋅ (3 x + 4 ) − 6 ]
= (6 x − 14) + (6 x + 2)
= 12x − 12
Not
9. Sınıf’ta işlediğiniz Fonksiyonlar konusunun birçok
DNA’sını burada da verebiliriz. Ancak ilk dört DNA’da gör-
buluruz.
Doğru Seçenek E
düğünüz gibi, bu DNA’ların çözümü için yeni bir bilgiye ihtiyaç duyulmadığından, bu tekrarı yapmamıza gerek yok.
12
10. SINIF MATEMATİK
Polinomlar - Bölüm 01
Fonksiyon - Polinom İlişkisi
TEST - 1
5.
olduğuna göre, P(–2) kaçtır?
A) 8
1.
olduğuna göre, P(–2) kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
2.
olduğuna göre, P[P(0)] kaçtır?
C) –2
D) –3
E) –8
D) 3
E) 4
E) 6
3.
B) 2
P(x) = x2 + 4x + 6
6.
A) 1
P(x – 1) = 5x – 3
B) 5
C) 6
P(x – 1) =
x2
+x
Q(x + 1) =
x2
–x
D) 8
P(2) = 4
olduğuna göre, Q(1) kaçtır?
A) 0
P(x) = 2x2 + 3x + 1
P(x) + Q(x – 1) = x2 + 1
B) 1
C) 2
E) 9
7.
eşitliği veriliyor.
P(1) = 3 olduğuna göre, a kaçtır?
A) –2
P(2x – 5) = x2 + ax
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
olduğuna göre, P[Q(1)] kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
 2x 
P   = x 2 − 2x − 4
 3 
4.
olduğuna göre, P(4) değeri kaçtır?
A) 10
E) 2
B) 16
C) 20
D) 24
8.
olduğuna göre, P[P(k)] = 9 eşitliğini sağlayan k
P(x) = x3 + 1
değeri kaçtır?
E) 32
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
10. SINIF MATEMATİK
E) 3
13
Polinomlar - Bölüm 01
Fonksiyon - Polinom İlişkisi
9.
x

olduğuna göre, P  + 1 polinomu aşağıdakiler2

P(x) = 2x – 6
den hangisine eşittir?
A) 2x – 6
D) x – 4
10. P(x) = 3x + 2
C) x + 6
A) 9x + 3
Q(x) = 3
olduğuna göre, x ⋅ P(x2) ⋅ Q(x3) çarpımı aşağıdaki-
B) 9x + 5
D) 9x + 11
A) 3x10 C) 9x + 7
E) 9x + 13
14.
E) 3x6
eşitliği veriliyor.
P(1) = 1 olduğuna göre, P(–1) kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
D) 8
E) 15
P(2x + 1) = 2x + 4
olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) –x + 4
B) x – 3
D) 2x + 1
C) x + 3
E) 2x + 4
15.
P(x – 1) + Q(2x – 1) = x2
P(0) = 0
olduğuna göre, Q(1) kaçtır?
A) 1 12. P(x) = x2 – x + 1
Q(x) = 2x3 – x2 + 2x – 2
C) 3x8
P(2x – 1) = x2 + x + a
A) –2 11. B) 3x9
D) 3x7
gisidir?
x
E) − 1
2
olduğuna göre, P(P(x) + 1) aşağıdakilerden han-
P(x) = x3
lerden hangisine eşittir?
B) 2x – 4
13. B) 2
C) 3
olduğuna göre, 2⋅P(x) + Q(x) aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) 2x3 + 2x2 + x – 1 B) 2x3 + x2 + x
16.
C) 2x3 – x2 – 1 D) 2x3 + x2
E) 2x3 –3x2
1.A
14
2.C
3.E
4.C
10. SINIF MATEMATİK
5.E
P(2x + a) = 4x2 + 4ax + a2 + 1
olduğuna göre, P(2) kaçtır?
A) 1 6.B
7.A
8.C
9.D
10.D
B) 2
11.C
C) 5
12.D
13.D
D) 8
14.B
E) 10
15.A
16.C
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
Çözüm
TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ..., an değişkenlerinin herbiri
I.
sayı olduğundan, polinomdur.
bir gerçek sayı olmak üzere,
II.
a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn
x7 – 3x4 + 5x ifadesinde x değişkeninin üsleri doğal
x 3 ifadesinde x değişkeninin üssü doğal sayı olduğundan, polinomdur.
kompozisyonuna x in bir polinomu denir.
3 ⋅ x3 +
III.
Örneğin,
2
+ 3 = 3 x3 + 2 ⋅ x −1 + 3 ifadesinde üslerin
x
tamamı doğal sayı olmadığından, polinom değildir.
1 + 2x + x
7
(–1 ∉ N)
1
1 2 1 3
⋅x +
⋅x + y
y
y2
IV. 2x 2 + x + 5 = 2x 2 + x 2 + 5 ifadesinde üslerin tamamı doğal sayı olmadığından, polinom değildir.
ifadeleri x in bir polinomu,
3x2 – 2(x2)4 + 3(x2)6
V.
ifadesi x2 nin bir polinomudur.
1

 ∉ N
2


x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3)
=
= x+3
x−3
x−3
olduğundan, bu ifade x in bir polinomudur. x = 3 için
x2 − 9
ifadesinin tanımsız olması bu durumu değişx−3
Bu ifade aynı zamanda x in de bir polinomudur.
tirmez.
Şimdi, polinomun tanımı ile ilgili birkaç DNA çözelim.
−2x 2 ifadesinin katsayısı gerçek sayı olmadığın-
VI.
dan, polinom değildir. ( −2 ∉ R)
Doğru Seçenek E
DNA 5
Aşağıdaki ifadelerden hangileri x in bir polinomudur?
I.x7 – 3x4 + 5x
II. x 3
2
III. 3 x + + 3
x
IV. 2x 2 + x + 5
V.
VI. −2x 2
Aşağıdaki ifadelerden hangileri x in bir polinomudur?
3
x2 − 9
x−3
A) II, III, VI
B) II, III
D) I, II
C) II, IV, VI
E) I, II, V
I.x2 – 3x
II. 2 x + x 2
3
3
III. x + 2 + 3
x
IV.x
V.4
A) I, II, IV
B) I, III, V
D) II, IV
C) II, III
E) I, IV, V
10. SINIF MATEMATİK
15
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
DNA 6
Aşağıdakilerden hangisi y nin bir polinomu değildir?
2
A)
y −1
y +1 C)
y
x
B) 2y 2 + 2 y
P(x) = 9xn–3 + 19x7–n – 7
ifadesinin x değişkenine bağlı bir polinom belirtmesini mümkün kılan n değerlerinin toplamı kaç-
D) y3 + 4 y + 3 y
tır?
E) x2 + x + 1
A) 8
B) 10
C) 15
D) 22
E) 25
Çözüm
Bir ifadenin polinom belirtmesi için x değişkeninin üsleri
doğal sayı olmalıdır. O halde,
Not
n – 3 ≥ 0 olması gerektiğinden n ≥ 3 ve
7 – n ≥ 0 olması gerektiğinden n ≤ 7
Verilen bir ifadenin polinom olup olmadığını tespit ederken “Bu ifadenin polinom olmasını engelleyici bir durum
var mı?” sorusunu cevaplamak, işimizi kolaylaştırır. Eğer,
verilen bir ifadenin polinom olmasını engelleyen bir durum
yoksa, o ifade polinomdur.
bulunur. İki eşitsizlik birleştirilirse 3 ≤ n ≤ 7 elde edilir.
n ∈ N olacağından, n sayısının alabileceği değerler
3, 4, 5, 6 ve 7 olup, toplamları:
Örneğin, bir ifadenin x in bir polinomu olup, olmadığını
3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25
araştırıyorsak,
tir.
(i)
x in, üssü doğal sayı olmayan bir terimi var mı?
1
,
x
x,
Doğru Seçenek E
x −1
, ...
x +1
gibi terimler var mı?
(ii) x in, katsayısı gerçek sayı olmayan bir terimi var mı?
−3 x 2 , ...
gibi terimler var mı?
P(x) = 11xa –x3–a + 3
ifadesi x değişkenine bağlı bir polinom olduğuna
sorularını cevaplamalıyız. Eğer her iki sorunun da cevabı
göre, a sayısı kaç farklı değer alır?
“YOK” ise, verilen ifade x in bir polinomudur.
A) 6
16
10. SINIF MATEMATİK
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
D) x4 – 2x2 – 1 = (x2)2 – 2(x2)1 – 1
P( x ) =
24
2x n
n
+ 3x 4
Polinom olmasını engelleyici bir durum yok.
Bu ifade, x2 nin bir polinomudur.
E)
x7 − 1 = ( x 2 ) 2 − 1
7
∉ N ⇒ x2 nin polinomu değil.
2
ifadesinin x değişkenine bağlı bir polinom belirtmesini mümkün kılan kaç değişik n sayısı vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
7
Doğru Seçenek D
DNA 7
Aşağıdakilerden hangisi x2 nin bir polinomudur?
A) 1 + x + x2
B) x2 + x3
C) 1 + x3 + x5
D) x4 – 2x2 – 1
E)
x7
–1
Aşağıdakilerden hangisi x3 ün bir polinomu değildir?
A) 1 + x3
B) 1 – x6
C) x12 – x18
D)
Çözüm
x15 + x 21
2
E) x3 ⋅ (x7 – 1)
Seçenekleri x2 nin kuvvetlerine göre düzenleyelim:
1
A)
1 + x + x 2 = 1 + ( x 2 ) 2 + ( x 2 )1
1
∉ N ⇒ x2 nin polinomu değil.
2
B)
x 2 + x3 = ( x 2 )1 + ( x 2 ) 2
3
∉ N ⇒ x2 nin polinomu değil.
2
3
Aşağıdakilerden hangisi x6 nın bir polinomu değildir?
3
5
C)
1 + x3 + x5 = 1 + ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) 2
A) x6 + x12
3
5
∉ N, ∉ N ⇒ x2 nin polinomu değil.
2
2
C) 3x42 + 4x36 + 1
B)
x18 − x 24
6
D) 72x66 – 66x72
E) 112x112
10. SINIF MATEMATİK
17
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
Çözüm
TANIM
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0
Polinomun
Polinomun
Polinomun
derecesi
başkatsayısı
sabit terimi
2x3 + 5x2 – 3
3
2
–3
3x + 2
1
3
2
–2x
1
–2
0
7
0
7
7
Polinom
polinomunda,
anxn, an–1xn–1, ..., a2x2, a1x, a0
ifadelerine polinomun terimleri denir.
an, an–1, ..., a2, a1, a0
gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir.
Derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun
başkatsayısı denir.
Yukarıdaki P(x) polinomunun başkatsayısı an dir.
Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun
derecesi denir ve
Aşağıda verilen tabloda boşlukları doldurunuz.
der[P(x)] veya d[P(x)]
Polinom
ile gösterilir.
Polinomun
Polinomun
Polinomun
derecesi
başkatsayısı
sabit terimi
3x3 + 5x2 – 2
Yukarıdaki P(x) polinomunun derecesi n dir.
P(x) polinomunda x değişkenini içermeyen terime polinomun sabit terimi denir. Yukarıdaki polinomun sabit terimi
a0 dır.
5x
2
3x − 3 x + 5
3
0
Not
Derece ile ilgili özelikler, daha sonra ayrıntılı bir şekilde
işlenecektir.
Aşağıda verilen tabloda boşlukları doldurunuz.
Polinom
DNA 8
Aşağıda verilen polinomların derecelerini, katsayılarını ve sabit terimlerini bulunuz.
I. 2x3 + 5x2 – 3
II. 3x + 2
III. –2x
IV. 7
18
10. SINIF MATEMATİK
1 2
x +x
2
4x + 2
3x3 + 2x2
x5 + x – 1
Polinomun
Polinomun
Polinomun
derecesi
başkatsayısı
sabit terimi
Tanımlar - Polinom Eşitliği
Polinomlar - Bölüm 01
b = 2 ⇒ a = 4 bulunur.
TANIM
O halde,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
P(x) = –a ⋅ b – 2a + 3 = –4 ⋅ 2 – 2 ⋅ 4 + 3 = –13
polinomu için,
tür.
Doğru Seçenek C
a1 = a2 = ... = an = 0
ise, o zaman, P(x) e bir sabit polinom denir.
Yani, P(x) = a0 polinomu bir sabit polinomdur.
Özel olarak, a0 = 0 ise, o zaman, P(x) e bir sıfır polinomu
denir.
Yani, P(x) = 0 polinomu bir sıfır polinomudur.
Tanımdan da anlaşılacağı üzere, her sıfır polinomu aynı
zamanda bir sabit polinomdur.
P(x) = (m – 3)x2 – 4x + nx + m + n
polinomu, bir sabit polinom olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –7
B) –1
D) 7
C) 1
E) 8
DNA 9
P(x) = (a – 2b)x2 + (b – 2)x – a ⋅ b – 2a + 3
polinomu, bir sabit polinom olduğuna göre, P(x)
polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –21
B) –15
C) –13
D) –3
E) 3
Çözüm
P(x), bir sabit polinom olduğundan, P(x) in sabit terimi hariç, diğer tüm katsayıları sıfır olmalıdır.
Buna göre,
a – 2b = 0 olacağından a = 2b ve
b – 2 = 0 olacağından b = 2 dir.
P(x) = (m – n)x2 + (2n – 6)x + 8
polinomu, bir sabit polinom olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –6
B) –3
C) 0
D) 3
10. SINIF MATEMATİK
E) 6
19
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
DNA 10
polinomu, bir sıfır polinomu olduğuna göre,
a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) 5
B) 3
C) 2
D) 0
P(x) = ax2 – 3x + 2x2 + bx
P(x) = (a – 2b)x3 + (b – 2)x2 + cx – d – 3
E) –3
polinomu, bir sıfır polinomu olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) –5
B) –1
Çözüm
C) 1
D) 3
E) 5
DNA 11
P(x), bir sıfır polinomu olduğuna göre, P(x) in tüm katsayı-
polinomu ikinci dereceden bir polinom olduğuna
a – 2b = 0 olacağından a = 2b,
b – 2 = 0 olacağından
b = 2,
c=0
P(x) = (b –2a)x3 + (a – 2)x2 + bx – a
ları sıfır olmalıdır. Buna göre,
göre, b aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) –4
–d – 3 = 0 olacağından d = –3 tür.
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
Çözüm
a = 2b = 2 ⋅ 2 = 4
P(x), ikinci dereceden bir polinom olduğundan içinde x3
tür.
bulunduran bir terim içeremez.
O halde,
O halde, b – 2a = 0 dır.
a+b+c+d=4+2+0–3=3
Aynı nedenle x2 li terimin katsayısı da sıfır olamaz.
olur.
Yani a – 2 ≠ 0 olmalıdır.
Doğru Seçenek B
b – 2a = 0 ise b = 2a olur.
a–2≠0
ise a ≠ 2 ve 2a ≠ 4, b ≠ 4 tür.
Doğru Seçenek E
P(x) = (a – 1)x4 + (b – 3a)x3 + cx2 + dx + e + 4
polinomu,
bir
sıfır
polinomu
olduğuna
göre,
a + b + c + d + e toplamı kaçtır?
A) –8
20
B) –4
10. SINIF MATEMATİK
C) –2
P(x) = (2m – n)x4 – (n + 4)x3 + (m + n)x – m
polinomu üçüncü dereceden bir polinom olduğuna
göre, m aşağıdakilerden hangisi olamaz?
D) 0
E) 4
A) –4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
DNA 12
P(x) = 2a+1 + xa–2
polinomunun derecesi 2 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32
P(x) = 7x3 – (a –3)x2 + 6
Q(x) = (b + 4)x3 + 2x2 + (c + 1)x – d – 1
polinomları P(x) = Q(x) eşitliğini sağladığına göre,
a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
Çözüm
P(x) ve Q(x) polinomlarını büyük dereceli terimlerden kü-
Hazine 1
çük dereceli terimlere doğru sıraya dizersek,
İki polinomun eşit olabilmesi için, aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
P(x) = anxn+ an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0
Q(x) = bn
xn
+ bn–1
xn–1
+ ... + b2
x2
+ b1x + b0
polinomları P(x) = Q(x) eşitliğini sağlıyor ise,
P(x) = 7x3 – (a – 3)x2 + 0x + 6
Q(x) = (b + 4)x3 + 2x2 + (c + 1)x – d – 1
olur. P(x) = Q(x) olduğundan aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
O halde,
b + 4 = 7 ⇒ b = 3
an= bn, an–1 = bn–1, ..., a2 = b2, a1 = b1, a0 = b0
dır.
–(a – 3) = 2
c+1=0
⇒
a – 3 = –2 ⇒ a = 1
⇒ c = –1
–d – 1 = 6 ⇒ d = –7
olur.
a + b + c + d = 1 + 3 + (–1) + (–7) = –4
bulunur.
Doğru Seçenek A
Bu Hazine’mizin Vadi Dili’ndeki karşılığı,
Polinom Eşitliği
olacaktır.
P(x) = 3x2 – (a – 1)x + b
Q(x) = (b – 1)x3 – (c – 1)x2 + 2x + d – 1
polinomları P(x) = Q(x) eşitliğini sağladığına göre,
a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) –8
B) –4
C) –2
D) 0
10. SINIF MATEMATİK
E) 2
21
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
Polinom Eşitliği’nden,
2=A+B
P(x) = ax2 + 2ax + b
Q(x) = bx2 + bx + 4x + c
3 = –2A – B
polinomları veriliyor.
buluruz.
P(x) = Q(x) olduğuna göre, c kaçtır?
Şu halde, A + B = 2 olduğu açıktır.
A) –4
B) –2
C) 2
D) 4
E) 6
A ile B yi ayrı ayrı bulmamıza gerek yok.
Doğru Seçenek A
DNA 13
2x + 3
x2 − 3x + 2
=
A
B
+
x −1 x − 2
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
4x − 5
E) 6
x2 + x − 2
=
A
B
+
x + 2 x −1
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) –5
B) –4
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
2x + 3
x2 − 3x + 2
⇒
⇒
2x + 3
x2 − 3x + 2
2x + 3
x2 − 3x + 2
A
B
+
x −1 x − 2
=
( x −2)
( x −1)
=
B ⋅ ( x − 1)
A ⋅ ( x − 2)
+
( x − 1) ⋅ ( x − 2) ( x − 1) ⋅ ( x − 2)
=
Ax − 2A + Bx − B
(
x
−
1)
⋅ (
x −
2)
x 2 −3 x + 2
⇒
⇒
2x + 3
2
x − 3x + 2
=
( A + B) ⋅ x + ( −2A − B)
2x + 3 = ( A + B) ⋅ x + ( −2A − B)
2
A
B
=
+
(2x − 1) ⋅ (2x + 1) 2x − 1 2x + 1
olduğuna göre, A ⋅ B çarpımı kaçtır?
A) –2
dir.
22
x2 − 3x + 2
10. SINIF MATEMATİK
B) –1
C) 1
D) 2
E) 6
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
TEST - 2
1.
5.
polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
Aşağıdakilerden hangisi x belirsizine göre bir po-
A) –20
linomdur?
A)
x2 − 1
x +1
P(x) = (2n – m)x2 + (m + 4)x – 2mn + n
−3 B)
D) x–2
C)
E)
B) –18
C) –16
D) –14
E) –12
1
x
x3
6.
polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c + d
P(x) = (a – 1)x3 + (b – 2a)x2 + cx + d + 1
toplamı kaçtır?
2.
ifadesinin bir polinom belirtmesini sağlayan n
P(x) =
2xn–2
+
7x8–n
–3
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 24
B) 35
C) 36
D) 44
E) 45
7.
18
3.
ifadesi bir polinom olduğuna göre, m nin alabile-
P( x ) = x3 − 2x m+1 + 7 xm−5 + 3
B) 4
C) 3
D) 2
A) –3
fonksiyonu üçüncü dereceden bir polinom oldu-
P( x ) = (5 − a)xa+1 + (b − 1)x 4 + (c − 2) x + 3
ğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
B) 2
C) 5
D) 7
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
E) 1
4.
A) 0
polinomu ikinci dereceden bir polinom olduğuna
göre, m aşağıdakilerden hangisi olamaz?
ceği değerler kaç tanedir?
A) 5
P(x) = (m + 2n)x3 + (n + 1)x2 + nx + m
8.
E) 10
Her x gerçek sayısı için,
(x2 + a)2 = x4 – (k – 1)x3 + 4x2 + a2
olduğuna göre, a + k toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
10. SINIF MATEMATİK
E) 6
23
Polinomlar - Bölüm 01
Tanımlar - Polinom Eşitliği
9.
P(x) = 3x – 11
Q(x) = mx + nx + 3m – n
polinomları P(x) = Q(x) eşitliğini sağladığına
B) –6
C) –2
D) 6
P( x ) = x n − 2 + x 2 + 1
ifadesi x in bir polinomu olduğuna göre, n nin
alabileceği kaç değişik tam sayı değeri vardır?
göre, m ⋅ n çarpımı kaçtır?
A) –10
3n −1
13.
A) 1 E) 10
14.
2x
10.
x2 − 1
=
A
B
+
x −1 x +1
A) –5 B) –1
C) 3
D) 4
E) 5
P(x) = xn–2 + x3–n + 4
ifadesi x in bir polinomu olduğuna göre, P(2) kaçtır?
olduğuna göre, 2A + 3B kaçtır?
B) 2
C) 3
A) 4 D) 5
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 13
15. P(x) bir polinom olduğuna göre, aşağıdakilerden
kaç tanesi polinomdur?
7x − 5
A
B
=
+
6 x 2 − 7 x − 3 3 − 2x 3 x + 1
11.
olduğuna göre, A + B kaçtır?
A) 1 B) 3
C) 5
D) 6
E) 7
1

I. P  x + 3 
2

1

II. P  2x + 
3

1

III. P  x + 
x

IV. P( x 2 + x )
V.P(0)
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12. Her x gerçek sayısı için,
x3 – ax2 – bx + 3 = (2 – x) ⋅ (cx2 + dx + e)
eşitliği sağlandığına göre, a + b + c + d + e kaç-
tır?
A) 4 1.A
24
2.B
B) 5
3.C
C) 6
4.C
10. SINIF MATEMATİK
D) 8
5.B
6.E
8.B
( x − 1)2
9.A
=
A
Bx + C
+
x − 1 ( x − 1)2
olduğuna göre, A + B – C kaçtır?
A) 2 E) 10
7.E
5x − 1
16.
10.D
B) 3
11.A
C) 4
12.A
13.C
D) 5
14.D
E) 6
15.C
16.C
Polinomlar - Bölüm 01
Sabit Terim - Katsayılar Toplamı
Hazine Avı
P(x) = (3 – 2m)x2 – 5mx + n – 2
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
polinomunun sabit teriminin a0 olduğunu biliyoruz.
polinomunun sabit terimi 2 olduğuna göre, n kaçtır?
A) –2
x yerine 0 yazarsak,
B) 0
D) 4
C) 2
E) 8
P(0) = a0 + a1 ⋅ 0 + a2 ⋅ 02 + ... + an ⋅ 0n
= a0 + 0 + 0 + ... + 0
= a0
olduğunu görürüz.
Şu halde, bir P(x) polinomunun sabit teriminin P(0) olduğu
gayet açıktır.
P(x) = x2 + 3x + 2
Q(x) = 2x3 – x + 3
olduğuna göre, 2P(x) + Q(x) polinomunun sabit terimi
Hazine 2
kaçtır?
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
polinomunun sabit terimi,
P(0) = a0
dır.
Uyarı
DNA 14
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
P(x) = (m – n)x2 – (3m + n)x + 8
polinomu verilmiş olsun. O zaman,
polinomunun sabit terimi kaçtır?
A) –8
B) –4
C) 0
P[Q(x)] = a0 + a1 ⋅ Q(x) + a2 ⋅ Q2(x) + ... + an ⋅ Qn(x)
D) 4
E) 8
olur.
Bu P[Q(x)] polinomunun sabit terimini bulabilmek için,
Çözüm
a0 + a1 ⋅ Q(x) + ... + an ⋅ Qn(x)
Hazine 2’den P(x) in sabit teriminin P(0) olduğunu biliyoruz. x = 0 için,
P(0) = (m – n) ⋅ 02 – (3m + n) ⋅ 0 + 8
P(0) = 8
dir.
Doğru Seçenek E
ifadesindeki bütün x ler yok edilmelidir.
Bunun için, yine x yerine 0 yazılır.
Demek ki, bir P[Q(x)] polinomunun sabit terimi P[Q(0)]
dır. Örneğin,
P(x + 1) in sabit terimi P(0 + 1) = P(1)
P(3x + 2) nin sabit terimi
P(3 ⋅ 0 + 2) = P(2)
P(x2 + x + 4) ün sabit terimi
P(0 + 0 + 4) = P(4)
10. SINIF MATEMATİK
25
Polinomlar - Bölüm 01
Sabit Terim - Katsayılar Toplamı
DNA 15
P(2x + 1) = x2 + 3x – 5
olduğuna göre,
P(x2
x = 0 için,
+ x + 1) polinomunun sabit
P(2x + 1) = x2 + 3x – 5
terimi kaçtır?
A) –7
B) –5
C) –1
D) 5
E) 13
⇒ P(0 + 1) = 0 + 0 – 5
⇒ P(1) = –5
buluruz.
Çözüm
Doğru Seçenek B
İyi anlaşılması açısından problemin çözümünü adım adım
verelim.
Hazine 2’den,
P(x2 + x + 1) polinomunun sabit terimini bulmak için, bu
ifadede x yerine 0 yazmamız gerektiğini biliyoruz.
x = 0 için: P(x2 + x + 1) = P(0 + 0 + 1) = P(1)
dir.
P(4x – 3) = x2 + 12x + 5
olduğuna göre, P(x2 + x + 1) polinomunun sabit terimi
kaçtır?
B) 18
A) 5
C) 33
D) 68
E) 90
Böylece, bize dolaylı olarak P(1) değerinin sorulduğunu
anladık.
“P(1) değerini bulmak için,
P(2x + 1) = x2 + 3x – 5
eşitliğinde, x yerine kaç yazmalıyım?”
Cevap:
2x + 1 = 1 ⇒ x = 0
P(2x) = x2 + x + 1
olduğuna göre, P(x3 + 2) polinomunun sabit terimi
Böylece, verilen polinomda x yerine 0 yazmamız gerekti-
kaçtır?
ğini gördük.
A) 1
26
10. SINIF MATEMATİK
B) 3
C) 7
D) 13
E) 21
Polinomlar - Bölüm 01
Sabit Terim - Katsayılar Toplamı
Çözüm
Hazine Avı
Hazine 3’ten,
P(x) = anxn+ an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0
P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) olacağından,
polinomunun katsayılarının an, an–1, ..., a0 olduğunu ve bu-
P(1) = (2 ⋅ 13 – 3 ⋅ 12)2 ⋅ (2 ⋅ 1 + 5)
nun sonucu olarak, katsayıları toplamının
= (–1)2 ⋅ 7 = 7
an + an–1 + ... + a0
olur.
olduğunu biliyoruz.
Doğru Seçenek E
x = 1 için:
P(1) = an + an–1 + ... + a2 + a1 + a0
olacağından, P(1) değeri P(x) polinomunun katsayıları
toplamını verir.
P(x) = (5x2 – 2x)2 ⋅ (x – 2)5
polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
A) –12
Hazine 3
B) –9
C) –6
D) –3
E) 0
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0
polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
DNA 16
P(x) =
(2x3–3x2)2
⋅ (2x + 5)
polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
A) –9
B) –7
C) –3
D) 3
P(x) = (x2 – 3x + 1)2008
E) 7
A) –22008
D) 1
B) –1
C) 0
E) 22008
10. SINIF MATEMATİK
27
Polinomlar - Bölüm 01
Sabit Terim - Katsayılar Toplamı
Çözüm
Uyarı
P(2x + 1) polinomunun katsayıları toplamı;
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
polinomu verilmiş olsun. O zaman,
x = 1 değeri için,
P[Q(x)] = a0 + a1 ⋅ Q(x) + ... + an ⋅ Qn(x)
P(2 ⋅ 1 + 1) = P(3)
olur.
tür.
Bu P[Q(x)] polinomunun katsayılarının toplamını bu-
x+3=3 ⇒ x=0
labilmek için,
olduğundan, P(3) değerinin bulunabilmesi için P(x + 3) po-
a0 + a1 ⋅ Q(x) + ... + an⋅ Qn(x)
ifadesindeki bütün x li terimlerin katsayılarının toplamı
bulunmalıdır. 1 sayısı çarpma işleminin etkisiz elema-
linomunda x = 0 yazılmalıdır.
O halde,
nı olduğundan, x yerine 1 yazdığımızda, P[Q(x)] in
P(x + 3) = 2x2 + 5x + 3
katsayıları toplamını buluruz.
⇒ P(0 + 3) = 2 ⋅ 02 + 5 ⋅ 0 + 3
P[Q(1)] dir.
⇒
Örneğin, P(x + 3) ün katsayılarının toplamı,
olur.
Demek ki, bir P[Q(x)] polinomunun katsayıları toplamı,
P(3) = 0 + 0 + 3 = 3
P(1 + 3) = P(4)
P(x2
Doğru Seçenek E
– 2) nin katsayılarının toplamı,
P(12 – 2) = P(–1)
P(2x2 + x + 1) in katsayılarının toplamı,
P(2 ⋅ 1 + 1 + 1) = P(4)
tür.
P(x + 1) = 3x3 + 2x2 + 5
olduğuna göre, P(x – 1) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 2
D) 4
E) 6
DNA 17
P(x + 3) = 2x2 + 5x + 3
olduğuna göre, P(2x + 1) polinomunun katsayıları
toplamı kaçtır?
A) –1
28
B) 0
C) 1
10. SINIF MATEMATİK
D) 2
E) 3
P(2x – 1) = x3 – x
olduğuna göre, P(x2 + x – 1) polinomunun katsayıları
toplamı kaçtır?
A) 0
B) 6
C) 24
D) 60
E) 120
Sabit Terim - Katsayılar Toplamı
Polinomlar - Bölüm 01
DNA 18
P(2x – 1) + Q(x – 1) = x2 + x + 1
olduğuna göre, (x + 1) ⋅ P(x + 2) polinomunun katsayı-
eşitliğinde P ile Q, x in polinomlarıdır.
ları toplamı kaçtır?
P(x) in katsayıları toplamı 2 olduğuna göre, Q(x) in
sabit terimi kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
P(x – 1) = x2 + 1
A) 17
B) 24
C) 27
D) 34
E) 45
E) 4
Çözüm
Hazine Avı
P(x) in katsayıları toplamı 2 olduğundan, P(1) = 2 dir.
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
polinomundaki çift dereceli terimler,
Q(x) in sabit terimi Q(0) dır.
a0 + a2x2 + a4x4, ...
Demek ki, P(1) verilmiş, Q(0) soruluyor.
tek dereceli terimler ise,
P(2x – 1) + Q(x – 1) = x2 + x + 1
a1x, a3x3, a5x5, ...
eşitliğinde x yerine 1 yazarsak;
tir.
P
(1) + Q(0) = 1 + 1 + 1

O halde, çift dereceli terimlerin katsayılarının toplamı,
2
⇒
2 + Q(0) = 3
⇒
Q(0) = 1
a0 + a2 + a4 + ...
tek dereceli terimlerin katsayılarının toplamı ise,
a1 + a3 + a5 + ...
buluruz.
tir.
Doğru Seçenek B
Şimdi, P(1) ve P(–1) değerlerine bir bakalım:
P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an
P(–1) = a0 – a1 + a2 – a3 + ...  an
P(1) + P(–1) = 2a0 + 2a2 + 2a4 + ...
= 2 ⋅ (a0 + a2 + a4 + ...)
P(x) + x ⋅ Q(x) = x2
eşitliğinde P ile Q, x in polinomlarıdır.
P(x2 + 1) in katsayıları toplamı –6 olduğuna göre,
Q(4x + 2) nin sabit terimi kaçtır?
A) 3
B) 4
⇒ a0 + a2 + a4 + ... =
C) 5
D) 6
E) 7
⇒
P(1) + P( −1)
2
P(1) – P(–1) = 2a1 + 2a3 + 2a5 + ...
= 2 ⋅ (a1 + a3 + a5 + ...)
a1 + a3 + a5 + ... =
P(1) − P( −1)
2
Artık, yeni bir Hazine verebiliriz.
10. SINIF MATEMATİK
29
Sabit Terim - Katsayılar Toplamı
Polinomlar - Bölüm 01
Hazine 4’ten,
Hazine 4
Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı,
Bir P(x) polinomunun sadece çift dereceli terimlerinin
P(1) + P( −1) 2100 + 2100 2 ⋅ 2100
=
=
= 2100 ve
2
2
2
katsayıları toplamı,
P(1) + P( −1)
2
Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı,
dir.
P(1) − P( −1) 2100 − 2100 0
=
= =0
2
2
2
.....................................................................................
Bir P(x) polinomunun sadece tek dereceli terimlerinin
katsayıları toplamı,
dır.
P(1) − P( −1)
2
Doğru Seçenek C
dir.
DNA 19
P(x) = (x2 + 1)100
polinomunun açılımında, x in çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı (I. sütun) ve tek dereceli
terimlerinin katsayıları toplamı (II. sütun) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
I
polinomunun açılımında, x in çift dereceli terimlerinin
katsayıları toplamı (I. sütun) ve tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı (II. sütun) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
II
P(x) = (x + 1)50
I
II
A)
0
250
A)
0
250
B)
250
250
B)
250
250
C)
250
0
D)
249
249
E)
249
0
C)
2100
0
D)
2100
2100
E)
0
2100
Çözüm
P(x) = (x2 + 1)100 polinomunda P(1) ve P(–1) değerlerini
bulalım.
P(1) = (12 + 1)100 = 2100 ve
P(–1) =
((–1)2
=
2100
linomunun sabit terimi 18 olduğuna göre, P(x) in çift
dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?
A) 6
dür.
30
+
1)100
P(x) polinomunun katsayıları toplamı 12, P(x – 1) po-
10. SINIF MATEMATİK
B) 15
C) 16
D) 24
E) 30
Polinomlar - Bölüm 01
Sabit Terim - Katsayılar Toplamı
TEST - 3
1.
polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
P(x) = (5x3 – 2x2)3 ⋅ (3x – 2)2
A) –12
2.
B) –2
C) 12
D) 19
5.
bağıntısı veriliyor.
P(x + 5) polinomunun katsayıları toplamı 49 olduğuna göre, Q(x + 4) polinomunun katsayıları
toplamı kaçtır?
E) 27
P(x) = (5x7 –3x5 –7x + 1) ⋅ (3x3 – 2x2 + 3x + n)2
polinomunun katsayıları toplamı –144 olduğuna
A) –21
B) –6
C) 0
D) 6
olduğuna göre, P(x + 2) polinomunun katsayıları
P(x – 2) = 3x2 – 2x – 5
B) 48
C) 32
D) 24
E) 18
olduğuna göre, P(2x + 3) polinomunun katsayıla-
P(x3 + 1) = 2x6 + 3x3 – 4
rı toplamı kaçtır?
A) 48
B) 40
E) –6
polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları
P(x) = (–3x4 + 2x3 + 4x2 + x) ⋅ (2x2 – 3x – 4)
toplamı kaçtır?
A) –9
B) –6
C) –5
D) –4
E) –2
7.
polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları
P(x) = (–2x3 + 3x2 – 4x + 1)3 ⋅ (x2 – 2x – 2)2
toplamı kaçtır?
A) 1072
4.
D) –8
toplamı kaçtır?
A) 60
C) –14
E) 8
3.
B) –18
6.
göre, n nin alacağı değerler toplamı kaçtır?
A) –8
P(x – 2) = x2 – 1 + Q(x – 3)
B) 928
D) 646
C) 868
E) 464
8.
olduğuna göre, P(x + 1) polinomunun tek derece-
P(x) = (x3 – 2x2 + x – 1)7
li terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?
C) 32
D) 24
E) 16
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
10. SINIF MATEMATİK
E) 2
31
Polinomlar - Bölüm 01
Fonksiyon - Polinom İlişkisi
9.
13.
bağıntısı veriliyor.
P(x – 4) polinomunun katsayıları toplamı 4 ol-
P(x – 2) = x2 + 1 + Q(x – 3)
duğuna göre, Q(x – 4) polinomunun sabit terimi
kaçtır?
A) –2
10.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
P(x) = (x2 + x + 1)2
olduğuna göre, P(x2 – x) in katsayıları toplamı
14.
B) 4
C) 9
D) 16
E) 25
eşitliğinde P ile Q, x in polinomlarıdır.
P(x) in katsayıları toplamı 4 olduğuna göre, Q(x)
in sabit terimi kaçtır?
A) –4 D) 4
E) 6
P(x2) = x4 + 4x2 + 1
olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılarının
B) –2
A) 1 D) 0
E) 7
16. P(x)
P(x – 1) in sabit terimi kaçtır?
2.A
3.A
1
2
C) 0
4.B
10. SINIF MATEMATİK
E) 7
B) 3
C) 4
D) 7
E) 8
dördüncü dereceden bir polinom olup, P(x)in
başkatsayısı 1 dir.
polinomu veriliyor.
B) −
D) 6
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
A) 1 P(2x + 1) = x2 – 1
A) –1 C) 5
P(–1) = 2 ⋅ P(1) + 1
C) –1
B) 4
yıları toplamının tek dereceli terimlerinin katsayıları
5
toplamına oranı − dir.
2
32
C) 0
15. Bir P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsa-
P(x) + Q(x – 1) = x2 + x + 1
1.E
B) –6
toplamı kaçtır?
A) 1 12.
P(1) = P(2) = 0
A) –9 tır?
11.
polinomu veriliyor.
kaçtır?
olduğuna göre, P(x) in katsayılarının toplamı kaç-
P(x) = 3x2 – ax + b
D) 3
5.C
6.A
E) 6
7.E
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 5
olduğuna göre, P(x) in sabit terimi kaçtır?
A) 19 8.D
9.E
10.C
B) 21
11.C
12.C
C) 24
13.E
D) 28
14.D
15.B
E) 29
16.E
Polinomlar - Bölüm 01
Derece
Işık 1
GİRİŞ
Sayfa 18’de derece’nin tanımını vermiştik.
a, c ∈ R \ {0} ve b, d ∈ R olmak üzere, P(x) bir polinom
Bu bölümde, derece tanımını tekrar hatırlatacak ve dere-
olsun. O zaman,
ce özelikleri üzerinde duracağız.
der[P(x)] = n ⇔ der[c ⋅ P(ax + b) + d] = n
dir.
TANIM
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
DNA 20
polinomu verilsin. (0 < 1 < 2 < ... < n)
O zaman, P(x) e, “n yinci dereceden bir polinom” veya
P(x) bir polinomdur.
”P(x) in derecesi n” denir ve bu durum kısaca,
d[P(x)] = n
der[P(x)] = 6
olduğuna göre, der[2P(3x + 1)] kaçtır?
der[P(x)] = n
B) 9
A) 6
C) 12
D) 18
E) 36
ifadelerinden biri ile gösterilir.
Özel olarak;
Çözüm
a ∈ R \ {0} olmak üzere, P(x) = a sabit polinomunun derecesi 0 dır.
P(x) = 0 polinomunun derecesi –∞ kabul edilmiştir.
IŞIK 1’den,
der[2P(3x + 1)] = der[P(x)]
Hazine Avı
=6
buluruz.
Doğru Seçenek A
Derecesi n olan bir P(x) polinomunu ele alalım.
Derece tanımından,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
olacağını biliyoruz.
P(x) polinomunda x yerine ax + b yazarsak;
P(ax + b) = a0 + a1 ⋅ (ax + b) + ... + an ⋅ (ax + b)n
= a0 + ... + an ⋅ an ⋅ xn
P(x) bir polinomdur.
der[P(2x – 1)] = 3
elde ederiz.
olduğuna göre, der[3 ⋅ P(x + 2)] kaçtır?
Bu eşitliği genelleyerek aşağıdaki IŞIK’ı verebiliriz.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
10. SINIF MATEMATİK
E) 12
33
Polinomlar - Bölüm 01
Derece
Örneğin,
P(x) = 1 + x2
P(x) bir polinomdur.
Q(x) = x – x2
der[2P(x) + 1] = 6
polinomları için,
olduğuna göre, 2 ⋅ der[P(x)] + 1 kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 12
D) 13
der[P(x)] = 2
E) 14
der[Q(x)] = 2
olduğu halde,
der[P(x) + Q(x)] = der[1 + x2 + x – x2]
Hazine Avı
Derecesi n olan bir P(x) polinomu ile derecesi m olan bir
Q(x) polinomunu ele alalım.
= der[1 + x]
=1
dir.
Derece tanımından,
Hazine 5
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Q(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bmxm
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
olacağını biliyoruz.
Amacımız; P(x)  Q(x) polinomlarının derecelerini bulmak.
der[P(x)] = n
der[Q(x)] = m
ve n > m ise
P(x)  Q(x) = (a0  b0) + (a1  b1)x + ... + an
xn
+ ...  bm
xm
eşitliğindeki m ve n doğal sayılarından hangisinin daha
büyük olduğunu ya da m ile n nin eşit olup olmadıklarını
bilmediğimiz için, der[P(x)  Q(x)] hakkında doğrudan bir
şey söyleyemeyiz.
der[P(x)  Q(x)] = n
dir.
...................................................................................
Dereceleri farklı olan iki polinomun toplam veya
farklarının derecesi, polinomlardan büyük dere-
Ancak, m ≠ n ise, m ile n den büyük olanının P(x)  Q(x)
celi olanın derecesine eşittir.
polinomunun derecesi olacağını söyleyebiliriz.
Peki m = n ise derece kaç olur?
Bu durumda en doğrusu “Derece en çok m dir.” demek
olacaktır.
a ile b den küçük olmayanını max(a, b) ile gösterirder[P(x)] = n
sek,
max(a,b) =
der[Q(x)] = n
34
⇒ der[P(x)  Q(x)] = n dir.
10. SINIF MATEMATİK
olur.
|a+b|+|a−b|
2
Polinomlar - Bölüm 01
Derece
DNA 21
P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
der[P(x)] = 6
der[P(x) + Q(x)] = 5
B) 1
C) 4
der[P(x)] = 4
der[P(x) – Q(x)] = 6
olduğuna göre, der[Q(x)] kaçtır?
olduğuna göre, der[Q(x)] kaçtır?
A) 0
D) 5
E) 6
A) 2
B) 4
D) 6
C) 5
E) 10
Çözüm
P(x) ile Q(x) in dereceleri farklı olsaydı, P(x) + Q(x) polinomunun derecesi, der[P(x)] ile der[Q(x)] ten hangisi büyük
ise, o olurdu.
der[Q( x )] < der
[P(
x
)]

=6
olması durumunda,
der[P(x) + Q(x)] = 6
P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
der[P(x)] = 8
der[Q(x)] = 12
olduğuna göre, der[2P(x) + 3Q(x)] kaçtır?
olacağını Hazine 5’ten biliyoruz.
A) 12
B) 20
C) 24
D) 36
E) 52
der
[P(
x
)] < der[Q( x )]

=6
olması durumunda,
der[P(x) + Q(x)]
in, 6 dan büyük bir tam sayı olacağını yine Hazine 5’ten
biliyoruz.
Hazine Avı
der[P(x) + Q(x)] = 5
P(x) = a0 + a1x + ... + anxn
olduğuna göre, yukarıdaki iki durumun da olması mümkün
Q(x) = b0 + b1x + ... + bmxm
değildir.
polinomlarını ele alalım.
Dolayısıyla,
der[Q(x)] = der[P(x)] = 6
Derece tanımından,
dır.
der[P(x)] = n
P(x) = x6
der[Q(x)] = m
Q(x) = x5 – x6
polinomlarının, istenen şartları sağladığını gözlemleyiniz.
Doğru Seçenek E
olacağını biliyoruz.
Şimdiki amacımız, P(x) ⋅ Q(x) çarpım polinomunun derecesini bulmak.
10. SINIF MATEMATİK
35
Polinomlar - Bölüm 01
Derece
P(x) ⋅ Q(x) = (a0 + a1x + ... + anxn) ⋅ (b0 + b1x + ... + bmxm)
= a0b0 + ... + anbm
Çözüm
xnxm
der[P(x)] = n diyelim.
olduğundan, P(x) ⋅ Q(x) polinomunun en büyük dereceli
terimi,
x polinomunun derecesi 1 olduğundan, Hazine 6’dan,
der[x ⋅ P(x)] = 12
anbmxn ⋅ xm
dir.
xn
⋅
xm
=
xn+m
olduğunu, 9. sınıfta üslü sayılarda öğren-
miştik.
⇒ der(x) + der[P(x)] = 12
⇒
⇒
1
+
n
= 12
n
= 11
buluruz.
Dolayısıyla, P(x) ⋅ Q(x) polinomunun derecesi n + m dir.
Yeniden Hazine 6’dan,
der[x2 ⋅ P(x)] = der(x2) + der[P(x)]
Hazine 6
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
=
2
+
n
=
2
+
11
= 13
buluruz.
der[P(x)] = n
Son olarak, Hazine 5’ten,
der[Q(x)] = m
der[x3 + x2 ⋅ P(x)]
ise,
= max{der(x3), der[x2 ⋅ P(x)]}
dir.
= max{3, 13}
...................................................................................
= 13
İki polinomun çarpımlarının derecesi, polinomların
buluruz.
der[P(x) ⋅ Q(x)] = n + m
derecelerinin toplamına eşittir.
Doğru Seçenek C
DNA 22
P(x) bir polinomdur.
P(x) bir polinomdur.
der[x ⋅ P(x)] = 12
olduğuna göre, der[x3 + x2 ⋅ P(x)] kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
olduğuna göre, [x2 – P(x)] kaçtır?
A) 3
36
10. SINIF MATEMATİK
der[(x2 + 1) ⋅ P(x)] = 6
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Polinomlar - Bölüm 01
Derece
P(x) = Q(x) ⋅ R(x)
⇒ (a0 + a1x + .. + anxn) = (b0 + b1x + ... + bmxm) ⋅ R(x)
P(x) bir polinomdur.
⇒ (a0 + a1x + ... + anxn) = (b0 + b1x + ... + bmxm) ⋅ (r0 + ... + rkxk)
der[P(x)] = n
olduğuna göre, der[x2 ⋅ P(x) + x] aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) n
B) n + 1
D) 2n
C) n + 2
E) 2n + 1
= b0r0 + ... + bmrkxm ⋅ xk
= ... + s ⋅ xm+k
dır.
Polinom Eşitliği’nden,
anxn = s ⋅ xm+k
Hazine Avı
Bu Hazine Avı’mızda belirli şartlar altında P(x) ve Q(x)
P( x )
bölüm poQ( x )
linomunun derecesini bulmaya çalışacağız.
⇒ m + k = n
⇒
k=n–m
buluruz.
polinomlarının verilmiş olması halinde,
k nın, R(x) polinomunun derecesi olduğu zaten âşikâr.
Belirli şartlar altında derken şunu kastediyoruz:
P( x )
in derecesinden bahsedebilmemiz için, bu ifadenin
Q( x )
bir polinom olması gerekir.
Hazine 7
Bunun için de, Q(x) polinomu, P(x) polinomunun bir çarpanı olmalıdır.
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .. + anxn
Q(x) = b0 + b1x + b2
x2
+ ... +
bmxm
P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x), P(x) in bir çarpanı
olmak üzere,
der[P(x)] = n
der[Q(x)] = m
olsun ve Q(x), P(x) in bir çarpanı olsun.
ise,
O zaman,
 P(x) 
der 
 =n−m
 Q(x) 
P(x) = Q(x) ⋅ R(x)
olacak biçimde bir R(x) polinomu vardır.
P( x ) Q( x ) ⋅ R( x )
=
= R( x )
Q( x )
Q( x )
 P( x ) 
olacağından, der 
 = der[R( x )] tir.
 Q( x ) 
dir.
...................................................................................
Bölen polinom, bölünen polinomun bir çarpanı olmak üzere, iki polinomun bölümlerinin derecesi,
polinomların derecelerinin farkına eşittir.
10. SINIF MATEMATİK
37
Polinomlar - Bölüm 01
Derece
Son olarak, Hazine 5’ten,
DNA 23
der[P(x) + Q(x)] = max{n, m}
P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x), P(x) in bir çarpanıdır.
 P( x ) 
der 
=6
 Q( x ) 
= max{9, 3}
=9
buluruz.
der[P(x) ⋅ Q(x)] = 12
Doğru Seçenek C
olduğuna göre, der[P(x) + Q(x)] kaçtır?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x), P(x) in bir çarpanıdır.
Çözüm
der[P(x)] = n ve der[Q(x)] = m olsun.
Hazine 7’den,
 P( x ) 
der 
=8
 Q( x ) 
der[P(x) ⋅ Q(x)] = 20
olduğuna göre, der[P(x) – Q(x)] kaçtır?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 14
E) 15
 P( x ) 
der 
=6
 Q( x ) 
⇒ n – m = 6 ... (i)
Hazine 6’dan,
der[P(x) ⋅ Q(x)] = 12
⇒ n + m = 12 ... (ii)
elde ederiz.
P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x), P(x) in bir çarpanıdır.
(i) ve (ii) denklemlerini birlikte çözersek;
n=9
m=3
buluruz.
38
 x ⋅ P( x ) 
der 
=8
 Q( x ) 
der[x ⋅ Q(x)] = 3
olduğuna göre, der[P(x)] kaçtır?
A) 6
10. SINIF MATEMATİK
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Derece
Polinomlar - Bölüm 01
Hazine Avı
DNA 24
P(x) dördüncü dereceden bir polinom olduğuna
Bundan sonra gösterimde kolaylık olması açısından,
göre, x2 ⋅ P(x3) polinomunun derecesi kaçtır?
[P(x)]n ifadesini genelde Pn(x) biçiminde göstereceğiz.
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Bu Hazine Avı’mızda; n bir doğal sayı olmak üzere, bir
P(x) polinomunun verilmesi halinde, Pn(x) polinomunun
Çözüm
derecesini bulmaya çalışacağız.
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + amxm
der[P(x)] = 4 ve der(x2) = 2 olduğu âşikâr.
Hazine 8’den,
olsun.
der[P(x3)] = 3 ⋅ der[P(x)]
der[P(x)] = m olduğu âşikâr.
Pn(x) = (a0 + a1x + .. + amxm)n
m
m
= (a0 + ... + am x ) ⋅ ... ⋅ (a0 + ... + am x )

=3⋅4
= 12
buluruz.
Hazine 6’dan,
n tane
der[x2 ⋅ P(x3)] = der(x2) + der[P(x3)]
= a0n + ... + (amxm)n
= 2 + 12
= ... + .. xm⋅n
= 14
Bu eşitliği, daha da genelleyerek aşağıdaki Hazine’yi ve-
buluruz.
Doğru Seçenek E
rebiliriz.
Hazine 8
P(x) polinomu 3. dereceden bir polinom olduğuna
göre, x3 ⋅ P2(x) polinomunun derecesi kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 11
E) 18
D) 16
E) 18
P(x) bir polinom ve n bir doğal sayı olsun.
der[P(x)] = m
ise,
der[Pn(x)] = der[P(xn)] = m ⋅ n
dir.
...................................................................................
Bir polinomun üssünün derecesi, polinomun derecesi ile üssün çarpımına eşittir.
P(x) bir polinomdur.
der[P2(x)] = 12
olduğuna göre, der[P(x3)] kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 15
10. SINIF MATEMATİK
39
Derece
Polinomlar - Bölüm 01
DNA 25
P(x) polinomunun derecesi, Q(x) polinomunun derecesinden 1 fazladır.
P(x) polinomunun derecesi, Q(x) polinomunun derecesinden 2 fazladır.
x ⋅ P(x3 )
P(x 3 )
polinomunun derecesi 24 olduğuna göre,
x ⋅ Q(x)
B) 9
C) 10
D) 11
polinomunun derecesi 12 olduğuna göre,
Q(x) polinomunun derecesi kaçtır?
P(x) polinomunun derecesi kaçtır?
A) 8
Q(x2 )
E) 12
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
D) 24
E) 32
Çözüm
der[Q(x)] = m dersek,
der[P(x)] = m + 1
P(x) bir polinomdur.
olur.
der[x2 ⋅ P2(x)] = 18
 P( x3 ) 
der 
 = 24
 x ⋅ Q( x ) 
olduğuna göre, der[P2(x2)] kaçtır?
A) 8
⇒
der[P(x3)] – der[x ⋅ Q(x)] = 24 (Hazine 7)
⇒
3 ⋅ der[P(x) ] – der[x ⋅ Q(x)] = 24 (Hazine 8)
⇒
3 ⋅ (m + 1) – {der(x) + der[Q(x)]} = 24 (Hazine 6)
⇒
3 ⋅ (m + 1) – 1 – m = 24
⇒
2m + 2 = 24
⇒
B) 12
C) 16
Bu bölümümüzü, avlama işini size bıraktığımız son bir Hazine ile bitiriyoruz.
Hazine 9
m = 11
ve buradan,
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
der[P(x)] = m + 1
= 11 + 1
= 12
der[P(x)] = n
der[Q(x)] = m
olsun. O zaman,
der[P(Q(x))] = m ⋅ n
buluruz.
der[Q(P(x))] = n ⋅ m
Doğru Seçenek E
dir.
40
10. SINIF MATEMATİK
der[P(P(x))] = n2
Polinomlar - Bölüm 01
Derece
5.
TEST - 4
polinomları tanımlanıyor.
n
= ( x 6 + 2)4n+5 ⋅ ( x 2 + 3 x ) 3
1.
polinomunun derecesi en az kaç olabilir?
A) 18
P( x )
B) 25
C) 30
D) 31
na göre, x3 ⋅ P(x2) polinomunun derecesi kaçtır?
B) 15
C) 17
D) 21
D) 8
E) 9
 P( x ) 
Der[P(x) ⋅ Q(x)] = 7 ve Der 
 =1
 Q( x ) 
olduğuna göre, Der[P(x) – Q(x)] kaçtır?
E) 30
A) 1 polinomunun derecesi 54 olduğuna göre, n kaç-
7.
tır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
P(x) = (2 – x4)3 ⋅ (x6 –x4 + x3 + 5)n
B) 5
C) 7
D) 10
E) 12
P(x) bir polinomdur.
Der[P(x)] = 2
olduğuna göre, Der[2x + 2 ⋅ P(3x – 1)] kaçtır?
A) 2 4.
C) 5
P ile Q, x in polinomlarıdır.
3.
A) 4
B) 4
E) 36
P(x) polinomu 5. dereceden bir polinom olduğu-
A) 13
Der[P(x) ⋅ Q(x)] = 9
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3 6.
2.
P(x) = 2 ⋅ xn + 1 ve Q(x) = x ⋅ xn + n
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
P(x) polinomunun derecesi Q(x) polinomunun derecesinden 1 fazladır.
x3 ⋅ P( x3 )
8.
Q( x 2 )
polinomunun derecesi 24 olduğuna göre, P(x)
A) 16
B) 17
C) 18
polinomunun derecesi kaçtır?
D) 19
E) 20
P(x) bir polinomdur.
Der[P(x – 2)] = 8
olduğuna göre, Der[x ⋅ P(x2 + 1)] kaçtır?
A) 9 B) 10
C) 15
D) 16
10. SINIF MATEMATİK
E) 17
41
Polinomlar - Bölüm 01
Derece
9.
13. P ile Q, x in polinomlarıdır.
P ile Q, x in polinomlarıdır.
Der[P(x)] = p ve Der[Q(x)] = q
olduğuna göre, aşağıdaki eşitliklerden kaç tanesi
daima doğrudur?
olduğuna göre, Der[x ⋅ P2(x) + (x – 1) ⋅ Q(x)] kaçtır?
I.Der[P(x) + Q(x)] = p + q
1
II.Der[P(x) – Q(x)] = (| p − q | + p + q)
2
III.Der[P(x) ⋅ Q(x)] = p + q
 P( x ) 
IV. Der 
 =p−q
 Q( x ) 
IV.Der[Pn(x)] = n ⋅ p (n ∈ Z+)
A) 1 Der[P(x)] = 2 ve Der[Q(x)] = 3
B) 2
A) 4 C) 3
14.
D) 4
E) 5
B) 5
C) 6
P( x ) = 2x + 3 x
4n + 2
n −1
D) 8
E) 9
+1
ifadesi x in bir polinomu olduğuna göre, Der[P(x)]
en çok kaç olabilir?
A) 4 B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
10. P(x) bir polinomdur.
Der[(x2 – x) ⋅ P(x)] = 6 ve P(1) = 0
 P(x) 
olduğuna göre, Der 
 kaçtır?
 x − 1
A) 2 B) 3
C) 4
D) 5
15. P(x) bir polinomdur.
E) 6
Der[P(x)] = 4
olduğuna göre, Der[(x2 + 1) ⋅ P2(2x3 + x2 + 1)] kaçtır?
11. P(x) bir polinomdur.
A) 6 B) 10
C) 12
D) 24
E) 26
Der[P(x)] = 3
olduğuna göre, Der[x2 ⋅ P2(x2)] kaçtır?
A) 14 B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
16. P ile Q, x in polinomlarıdır.
12. P(x) bir polinomdur.
A) 2 1.C
42
2.A
B) 4
3.C
olduğuna göre, Der[P(x)Der[Q(x)] ⋅ Q(x)Der[P(x)]] aşağıdakilerden hangisidir?
Der[P(x)] = 2
olduğuna göre, Der[P(P(x))] kaçtır?
Der[P(x)] = p ve Der[Q(x)] = q
C) 5
4.D
10. SINIF MATEMATİK
D) 6
5.B
6.D
E) 8
7.A
A) p + q
D) p2q2
8.E
9.B
10.B
11.A
B) 2p + 2q
12.B
C) pq
E) 2pq
13.B
14.D
15.E
16.E
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Toplama - Çarpma
Çözüm
GİRİŞ
Aslında, şu ana kadar polinomlarda toplama, çıkarma ve
P(x) = –3x3 + 2x2 – 7
çarpma işlemlerini defalarca yaptık. Burada yapacağımız
iş, bu işlemleri biraz daha ayrıntılandırmaktan öte gitmeyecektir.
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Q(x) = 2x3 + x2 – 2x – 5
polinomları için,
Q(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn
P(x) + Q(x) = –3x3 + 2x2 – 7 + 2x3 + x2 – 2x – 5
polinomları verilmiş olsun.
Bu iki polinomu toplarken veya çıkarırken, aynı dereceli
terimlerin katsayılarını toplar veya çıkarırız.
P(x)  Q(x) = (a0  b0) + (a1  b1)x + ... + (an  bn)xn
= –3x3 + 2x3 + 2x2 + x2 – 2x –7 – 5
= –x3 + 3x2 – 2x – 12
Bu iki polinomu çarparken, P(x) in her bir terimini, Q(x) in
bütün terimleri ile çarpıp, elde edeceğimiz sonuçları top-
P(x) – Q(x) = –3x3 + 2x2 –7 – (2x3 + x2 –2x – 5)
larız.
P(x) ⋅ Q(x) = (a0 + a1x + ... + anxn) ⋅ (b0 + b1x + ... + bnxn)
= a0b0 + a0b1x + ... + a0bnxn
= –3x3+ 2x2 – 7 – 2x3 – x2 + 2x + 5
= –3x3 – 2x3 + 2x2 – x2 + 2x – 7 + 5
= –5x3 + x2 + 2x – 2
Doğru Seçenek A
+ a1b0x + a1b1x2 + ... + a1bnxn+1
+ anb0xn + anb1xn+1 + ... + anbnx2n
Bir polinom, sabit bir sayı ile çarpılırken, polinomun her bir
terimi aynı sabit sayı ile çarpılır.
k ⋅ P(x) = ka0 + ka1x + ... + kanxn
Şimdi DNA zamanı.
DNA 26
P(x) = –3x3 + 2x2 – 7
Q(x) = 2x3 + x2 – 2x – 5
polinomları için P(x) + Q(x) ve P(x) – Q(x) polinom-
P(x) = –5x4 – 2x3 + x2 – 2
Q(x) = –2x4 + x2 + 5
polinomları için P(x) + Q(x) ve P(x) – Q(x) polinomları
ları aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak ve-
aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
rilmiştir?
P(x) + Q(x)
P(x) – Q(x)
P(x) + Q(x)
P(x) – Q(x)
A) –7x4 – x3 + 2x2 + 3
–3x4 – 2x3 – 2x2 –7
B) –7x4 – 2x3 + 2x2 + 3
–3x4 – 2x3 – 7
C) –3x4 – 2x3 + x2 + 7
–7x4 – 2x3 + 7
A) –x3 + 3x2 – 2x – 12
–5x3 + x2 + 2x – 2
B) x3 – 3x2 + 2x + 12
5x3 – 2x – 2
C) x3 – x2 + x + 12
–x3 + x2 – 2x – 2
D) x3 – 3x2 – 12
x3 – x2 – 2x – 2
D) –3x4 – 2x3 + 3
–7x4 + 2x2 – 7
E) –x3 + 3x2 + 2x + 12
5x3 – x2 – 2x – 2
E) –7x4 – 2x3 + 3
–3x4 – 2x3 + x2 + 7
10. SINIF MATEMATİK
43
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Toplama - Çarpma
(3x4 + 4x3 – 5x2 + 1) ⋅ (4x3 + 3x2 + x + 2)
P(x) = x3 – x2 + 1
Q(x) = x2 – 1
çarpımı yapıldığında, x5 li terimin katsayısı kaç olur?
P(x) + Q(x)
işleminin sonucu aşağıx
dakilerden hangisine eşittir?
olduğuna göre,
D) x2 + 1
C) –5
B) –1
D) 12
E) 13
C) x2
B) x + 1
A) x
A) –7
E) x3
DNA 27
DNA 28
(x4 – 3x2 + x – 1) ⋅ (x3 + 2x2 – x + 3)
çarpımı yapıldığında, x4 lü terimin katsayısı kaç
olur?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
P(x) = 2x – 1
Q(x) = x2 – x + 1
polinomları için 2 ⋅ P(x) ⋅ Q(x) çarpım polinomu
aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
A) 2x3 – 6x2 + 4x – 2
B) 2x3 – 6x2 – 2
C) 4x3 – 2x2 + 6x – 2
D) 4x3 – 6x2 + 6x – 2
E) 4x3 – 6x2 + 2x – 2
(x4 – 3x2 + x – 1) ⋅ (x3 + 2x2 – x + 3)
= ... + 3x4 + ... – 6x4 + ... + x4 + ...
Çözüm
olacağından, x4 lü terimin katsayısı:
3 – 6 + 1 = –2
2 ⋅ P(x) ⋅ Q(x) = 2(2x – 1) (x2 – x + 1)
dir.
Doğru Seçenek A
= (4x – 2) (x2 – x + 1)
= 4x3 – 4x2 + 4x – 2x2 + 2x – 2
= 4x3 – 6x2 + 6x – 2
olur.
(2x3 + 3x2 + 4x + 5) ⋅ (4x2 + 3x + 2)
çarpımı yapıldığında, x3 lü terimin katsayısı kaç olur?
A) 13
44
B) 14
10. SINIF MATEMATİK
C) 25
D) 29
E) 33
Doğru Seçenek D
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Toplama - Çarpma
Çözüm
P(x) = x2 + x
P(x) ve P(x + 1) polinomlarının toplamı birinci dereceden
Q(x) = x – 2
bir polinom olan 4x + 8 olduğuna göre, P(x) polinomu da
polinomları için P(x) ⋅ Q(x) çarpım polinomu aşağıda-
birinci dereceden olmalıdır.
kilerden hangisidir?
O halde,
A) x3 + x2 + 2
B) x3 – x2 – 2x
C) x3 – x2 + 2x
D) x3 + x2 – 2x
E) x3 – 2x2 – 2x
P(x) = mx + n
dir.
P(x) = mx + n ise,
P(x + 1) = m(x + 1) + n
olur.
Bu iki polinomun toplamı,
P(x) + P(x + 1) = mx + n + m(x + 1) + n
P(x) = x2 + x + 1
Q(x) = x – 1
⇒
4x + 8 = mx + n + mx + m + n
⇒
4x + 8 = 2mx + m + 2n
olduğuna göre, P(x) ⋅ Q(x) çarpım polinomu aşağıda-
bulunur.
kilerden hangisidir?
Polinom eşitliğinden,
A)
x3
C)
x3
– x + 1
–
2x2
– 1
B)
x3
–x–1
D)
x3
–1
E) x3 + 1
2m = 4 ⇒ m = 2 ve
m + 2n = 8 ⇒ 2 + 2n = 8 ⇒ n = 3 bulunur.
Şu halde, P(x) = 2x + 3 olduğu açıktır.
Doğru Seçenek D
DNA 29
P(x) + P(x + 1) = 4x + 8
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + 2
B) x + 3
D) 2x + 3
C) 2x + 1
E) 3x + 1
P(x) + P(x + 2) = 6x + 14
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 3
B) 2x – 3
D) 3x + 2
C) 2x + 4
E) 3x + 4
10. SINIF MATEMATİK
45
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Toplama - Çarpma
Polinom eşitliğinden,
2a = 4 ⇒ a = 2
P(x) bir polinomdur.
2b + 2a = 0 ⇒ 2b = –2a ⇒ b = –a ⇒ b = –2
P(x) + P(2x) = 6x + 2
olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 1
B) x + 2
D) 2x + 2
C) 2x + 1
E) 3x + 1
a + b + 2c = 8 ⇒ 2 – 2 + 2c = 8 ⇒ c = 4
bulunur.
Buna göre, P(x) = ax2 + bx + c polinomu,
P(x) = 2x2 – 2x + 4
olur.
Doğru Seçenek A
DNA 30
P(x) + P(x + 1) = 4x2 + 8
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2x2 – 2x + 4
B) x2 – 2x + 4
C) 2x2 – x + 4
D) x2 – x + 4
E) x2 – 2x – 2
P(x) + P(x + 2) = 2x2 + 6
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
P(x) ve P(x + 1) polinomlarının toplamı ikinci dereceden
A) 2x2 – x + 2
B) 2x2 – 2x + 2
C) x2 – 2x + 3
D) x2 – x + 2
E) x2 + x + 3
bir polinom olan 4x2 + 8 olduğundan, P(x) polinomu da
ikinci dereceden bir polinom olmalıdır. O halde,
P(x) = ax2 + bx + c
biçimindedir.
P(x) = ax2 + bx + c ise,
P(x + 1) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
olur.
Bu iki polinomun toplamı,
P(x) + P(x + 1) = ax2 + bx + c + a(x2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c
P(x) bir polinomdur.
⇒
4x2 + 8 = ax2 + bx + c + ax2 + 2ax + a + bx + b + c
⇒
4x2 + 8 = ax2 + ax2 + bx + 2ax + bx + c + a + b + c
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
⇒
4x2 + 8 = 2ax2 + (2b + 2a)x + a + b + 2c
A) –1
46
10. SINIF MATEMATİK
P(x) + P(x – 3) = 2x2 – 6x + 9
B) 1
C) 3
D) 5
E) 9
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Toplama - Çarpma
TEST - 5
1.
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
P(x – 1) + P(x + 1) = 2x – 6
hangisidir?
P(x) = 2x – 1
5.
Q(x) = x + 2
polinomları için 2x ⋅ P(x) + Q(x2) polinomu aşağı-
A) x – 7
B) x – 3
D) x + 5
C) x – 1
E) x + 7
dakilerden hangisidir?
A) 5x2 – 2x + 2 B) 5x2 + 2x – 1
C) 5x2 – 2x + 1 D) 5x2 + 3x – 1
E) 5x2 – 3x + 3
(1 + 2x + 3x2 + 4x3) ⋅ (4 + 3x + 2x2 + x3)
çarpımının sonucunda x3 lü terimin katsayısı
kaçtır?
A) 15 3.
B) 20
C) 24
P(x) + Q(x) = x2 – 3x + 1
P(x) – Q(x) = x2 + 3x + 1
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
P(x) + P(x – 3) = 2x2 – 4x + 10
D) 29
A) x2 + 2x + 2
7.
P, x in bir polinomudur.
hangisidir?
A) x2
B) x2 + 1
D) x2 + x – 1
B) x2 + 2x
D) (x – 2)2
C) x2 + x + 2
E) x2 + 2x – 2
E) 30
C) x2 – 1
P(x – 4) + P(x + 4) = 4x – 2
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
A) –1 B) 1
C) 3
D) 5
E) 7
E) x2 + x + 1
P(x) bir polinomdur.
8.
x ⋅ P(x) = 2x3 + 3x2 + 4x
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
4.
hangisidir?
2.
6.
olduğuna göre, x + P(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x2
+ 3x + 4
A)
C) 2x2 + 3x + 4
E) 2x2 + 3x + 5
B)
x2
P(x) + P(2x) = 5x2 + 3x – 2
olduğuna göre, P(x – 1) aşağıdakilerden hangisidir?
+ 4x + 4
D) 2x2 + 4x + 4
P, x in bir polinomudur.
A) x2 + x + 1 B) x2 + x – 1
D) x2 – x + 1
C) x2 – x – 1
E) x2 – 1
10. SINIF MATEMATİK
47
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Toplama - Çarpma
9.
13. P, x in bir polinomudur.
P, x in bir polinomudur.
P(x) + P(x + 1) = x2
olduğuna göre, P(5) – P(3) kaçtır?
A) 1 B) 4
P(x) + P(x + 2) = 4x2 + 6x + 6
C) 5
D) 7
olduğuna göre, P(x) in katsayıları toplamı kaçtır?
E) 8
A) 1
10. P, x in bir polinomudur.
A) –3 B) –1
C) 1
C) 4
D) 6
E) 7
14. P, x in bir polinomu olup, P(x) in başkatsayısı pozitif-
P(x) + P(x + 1) = 4x + 4
tir.
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
B) 2
D) 3
E) 5
P(P(x)) = 4x + 9
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
A) –11
B) –7
C) –3
D) 1
E) 5
11. P, x in bir polinomudur.
15. P(x) bir polinomdur.
P(x – 1) + P(x – 2) = 8x + 2
olduğuna göre, P(x2 – 1) in sabit terimi kaçtır?
A) 3 olduğuna göre, P(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 1
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
P(x – 1) + P(x) + P(x + 1) = 3x2 + 2
B) x2
D) x2 + x + 1
C) x2 + 1
E) x2 – x + 1
12. Bir P(x) polinomu her x gerçel sayısı için;
P(x) + P(2x + 1) = 2x2 + 3x – 1
eşitliğini gerçeklemektedir.
16. P(x) bir polinomdur.
P(x) in katsayıları toplamı a, P(2x + 1) in katsayı-
ları toplamı b olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) –1 1.A
48
2.E
B) 4
3.B
C) 13
4.D
10. SINIF MATEMATİK
5.B
D) 26
6.C
E) 43
7.B
8.C
x ⋅ P(x) – 1 = x3 + 3x2 + 4x + a
olduğuna göre, P(a) değeri kaçtır?
A) –1
9.D
10.D
B) 0
11.A
C) 1
12.B
13.A
D) 2
14.E
E) 4
15.B
16.D
Adi Bölme İşlemi
Polinomlar - Bölüm 01
Işık 2
GİRİŞ
A, B, C ve k doğal sayılar olmak üzere,
A
P(x) ve Q(x) birer polinom olsun.
P(x)
B
C
K(x)
k
bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm
ve k ya kalan dendiğini daha ilköğretim sıralarında iken
Q(x)
B(x)
Yukarıda verilen adi bölme işlemine göre,
(i)
P(x) = Q(x) ⋅ B(x) + K(x)
(ii) der[K(x)] < der[Q(x)]
hepimiz öğrenmiştik.
Ayrıca k < B olması gerektiğini ve k = 0 olması halinde,
“A sayısı B ile tam bölünür.” veya “A sayısı B nin tam ka-
(iii) der[P(x)] = der[Q(x)] + der[B(x)]
(iv) der[K(x)] < der[B(x)] ise Q(x) ile B(x) yer değiştirilebilir.
tıdır.” veya “B sayısı A nın bir çarpanıdır (bölenidir).” dediğimizi hatırlayalım.
DNA 31
Polinomlardaki adi bölme işlemi de yukarıdakine çok benzer biçimde yapılır. İki bölme işlemi arasındaki fark şudur:
x6 + 3x2 + 1 x3 + x + 1
Doğal sayılardaki bölme işleminde kalan, bölenden küçük
olurken; polinomlardaki bölme işleminde de kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük olur.
B(x)
K(x)
Yukarıda verilen bölme işlemine göre, der[K(x)] en
çok kaç olabilir?
B) 3
A) 2
TANIM
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm
Bir P(x) polinomunun, bir Q(x) polinomuna bölümündeki
IŞIK 2’den,
bölüm B(x) ve kalan K(x) olsun.
Bölünen
Bölen
P(x)
Q(x)
B(x)
K(x)
Bölüm
Kalan
= 3

der K( x ) < der  x3 + x + 1


olacağını biliyoruz.
Buradan,
der[K(x)] < 3
O zaman, P(x) polinomuna bölünen, Q(x) polinomuna
olup, der[K(x)] in en büyük değerinin 2 olacağını söyleriz.
bölen denir.
Doğru Seçenek A
Özel olarak, K(x) = 0 ise, “Q(x) polinomu, P(x) polinomunun bir çarpanıdır veya bölenidir.” denir.
10. SINIF MATEMATİK
49
Polinomlar - Bölüm 01
Adi Bölme İşlemi
DNA 32
x12 + 6x5 + x2
3x4 – x + 1
B(x)
polinomunun Q(x) = x2 + 1 polinomuna bölümün-
K(x)
P(x) = x3 – 3x2 + 2x – 2
den elde edilen bölüm ve kalan polinomları aşağı-
Yukarıda verilen bölme işlemine göre, K(x) polinomunun derecesi en çok kaç olabilir?
B) 3
A) 2
x8 + 4x7 + x6 – 1
C) 4
D) 8
E) 12
x3 – x
dakilerden hangisidir?
Bölüm
Kalan
A)
x – 3
x+1
B)
x2 – 1
2x – 1
C)
x + 3
x–1
D)
x – 3
3x – 2
E)
x + 3
3x + 1
B(x)
K(x)
Çözüm
Yukarıda verilen bölme işlemine göre, B(x) polinomunun derecesi kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
x3 – 3x2 + 2x – 2
E) 7
x2 + 1
x
 x3  x
–3x2
+x–2
x2 + 1 ifadesi x ile çarpılırsa x3 + x elde edilir.
Bir P(x) polinomu, bir Q(x) polinomuna bölünürken aşağıdaki adımlar uygulanır.
P(x) ve Q(x) polinomları x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
Çıkarma işlemi yapılacağından x3 + x ifadesinin işaretleri
değişir.
x3 – 3x2 + 2x 2
x2 + 1
 x3  x
x–3
–3x2
+x–2
±3x2
±3
x+1
“Bölen polinomun ilk terimi ne ile çarpılırsa bölünen polinomun ilk terimi bulunur?” sorusunun cevabı ile bölen
polinomun tüm terimleri çarpılarak aynı dereceli terimler
Aynı işlem tekrar edilir. x2 + 1 ifadesi –3 ile çarpılırsa
–3x2 – 3 elde edilir. Çıkarma işlemi yapılacağından
–3x2 – 3 ifadesinin işaretleri değişir.
alt alta gelmek koşuluyla bölünen polinomun altına yazılır
Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden
ve çıkarma işlemi yapılır.
küçük olduğundan bölme işlemi bitmiştir. O halde, P(x)
polinomunun, Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen
bölüm (x – 3), kalan (x + 1) dir.
Bu işlemler, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun
derecesinden küçük oluncaya kadar aynı biçimde devam
ettirilir.
50
10. SINIF MATEMATİK
Doğru Seçenek A
Polinomlar - Bölüm 01
Adi Bölme İşlemi
Çözüm
P(x) = 2x4 + 3x2 + 4x – 5
polinomunun Q(x) =
x2
Bölen polinomun derecesi 1 olduğundan, kalan polino-
– 2x + 3 polinomuna bölümün-
den elde edilen bölüm ve kalan polinomları aşağıdakilerden hangisidir?
Bölüm
3x – 15
B) x2 + 4x – 5
3x – 20
C)
2x2
– 4x + 2
B(x) olsun. O halde,
P(x) = (x – 1) ⋅ B(x) + K
x – 10
D) 2x2 + 4x + 5
2x – 20
E) 2x2 – 2x + 4
x – 20
yebiliriz.
P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan K, bölüm
Kalan
A) x2 – 2x + 5
mun derecesi 0 olmalıdır. O halde, K(x) = K (K ∈ R) di-
dır.
Aranan değer K olduğundan (x – 1) ⋅ B(x) ifadesi sıfır yapılmalıdır.
Buna göre, x = 1 yazılırsa,
P(1) = (1 – 1) ⋅ B(x) + K
P(1) = K
olur.
Yani bizden istenen değer aslında P(1) değeriymiş.
O halde,
P(1) = K = 13 – 2 ⋅ 12 – 3 ⋅ 1 + 7
P(x) = x3 + x2 + x + 1
polinomu x – 1 ile bölündüğünde bölüm Q(x) olmaktadır.
Buna göre, Q(1) kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
K=1–2–3+7
K=3
bulunur.
Doğru Seçenek D
DNA 33
P(x) = x3 – 2x2 – 3x + 7
polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3
B) –1
P(x) = 2x4 – x2 + 3x + 2
polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
C) 1
D) 3
E) 4
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
10. SINIF MATEMATİK
E) 2
51
Polinomlar - Bölüm 01
Adi Bölme İşlemi
Buna göre,
P(2) = K = –4 ⋅ 22 –2 + 3
P(x) = x3 + x – 1
polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır?
B) –1
A) –2
C) 0
D) 1
E) 2
K = –4 ⋅ 4 – 2 + 3
K = –16 – 2 + 3
K = –15
bulunur.
Doğru Seçenek B
DNA 34
P(x) = –4x3 – x + 3
polinomu veriliyor.
Buna göre, P(x – 1) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –17
B) –15
C) –9
D) –2
E) 7
P(x) = –2x2 – 3x + 1
polinomu veriliyor.
Buna göre, P(x – 3) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm
A) –4
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
P(x – 1) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan K, bölüm B(x) olsun.
O halde,
P(x – 1) = (x – 3) ⋅ B(x) + K
olur.
x = 3 değeri için (x – 3) ⋅ B(x) ifadesi sıfır olacağından,
x = 3 için:
P(3 – 1) = (3 – 3) ⋅ B(x) + K
P(2) = K
P(x) = x2 – 1
olduğuna göre, P(2x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –1
olur.
52
10. SINIF MATEMATİK
B) 0
C) 3
D) 8
E) 15
Polinomlar - Bölüm 01
Adi Bölme İşlemi
x2 nin içinde x2 1 kere var.
DNA 35
x 4 + 2x 2 − x + 2
x4 + 2x2 – x + 2
x2 + x + 2
x4 + x3 + 2x2
x2 – x + 1
–x3 – x + 2
–x3 – x2 – 2x
x2 + x + 2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
x2 + x + 2
x2 + x + 2
hangisidir?
A) x2 + x + 1
B) x2 + x – 1
C) x2 – x + 1
D) x2 – x – 1
0
Şu halde, cevabın
x2 – x + 1
E) x2 – x + 2
olduğu açıktır.
Doğru Seçenek C
Çözüm
x 4 − x3 − 4 x 2 + x + 1
Adi bölme işleminin iyi anlaşılması açısından bölme işlemini basamak basamak yapalım:
x4 + 2x2 – x + 2
x 2 − 2x − 1
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden han-
x2 + x + 2
gisidir?
A) x2 + x – 1
B) x2 + x + 1
C) x2 + 2x – 1
D) x2 – 2x – 1
E) x3 – x – 1
x4 ün içinde x2 çarpanı x2 kere var.
x4 + 2x2 – x + 2
x4
+
x3
+
x2 + x + 2
2x2
x2
–x3 – x + 2
–x3 ün içinde x2 çarpanı –x kere var.
x 4 − 9 x 2 + 16
x4 + 2x2 – x + 2
x4 + x3 + 2x2
–x3 – x + 2
–x3 – x2 – 2x
x2 +
x+2
x2 + x + 2
x2 – x
x2 − x − 4
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 3x – 4
B) x2 – 3x – 4
C) x2 + x – 4
D) x2 – x – 4
E) x2 – x + 4
10. SINIF MATEMATİK
53
Polinomlar - Bölüm 01
Adi Bölme İşlemi
Şu halde,
DNA 36
P(x) = x2 + x + 1
P(x) bir polinom olmak üzere,
olduğu açıktır.
(x – 1)2 ⋅ P(x) = x4 – x3 – x + a
Buradan,
olduğuna göre, P(1) değeri kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
P(1) = 12 + 1 + 1 = 3
E) 7
buluruz.
Doğru Seçenek B
Çözüm
Öncelikle a değerini bulalım.
x = 1 için:
(x – 1)2 ⋅ P(x) = x4 – x3 – x + a
⋅ P(1) = 1 – 1 – 1 + a
P(x) bir polinom olmak üzere,
⇒
⇒
0 = –1 + a
olduğuna göre, P(2) değeri kaçtır?
⇒
a=1
A) 5
0
(x – 2)2 ⋅ P(x) = 2x3 – 7x2 + 4x + a
B) 7
C) 11
D) 15
E) 18
dir.
Buradan,
x 4 − x3 − x + 1
P( x ) =
( x − 1)2
elde ederiz.
(x – 1)2 = x2 – 2x + 1 olduğunu hatırlatarak adi bölme
işlemi yapalım:
x4 – x3 – x + 1
x4
–
2x3
x3
+
x2
x2
– –x+1
x3 – 2x2 + x
x2 – 2x + 1
x2 – 2x + 1
0
54
10. SINIF MATEMATİK
x2 – 2x + 1
x2 + x + 1
P(x) bir polinom olmak üzere,
(x + 1)2 ⋅ P(x) = x3 + x2 – x + a
olduğuna göre, P(–1) değeri kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Polinomlar - Bölüm 01
Adi Bölme İşlemi
5.
TEST - 6
P, x in bir polinomudur.
1.
polinomunun x2 – 1 ile bölümünden elde edilen
P(x) = x3 –2x2 + 2
(x – 2) ⋅ P(x + 1) = x2 + 3x + a
olduğuna göre, P(3) kaçtır?
A) 3 B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
bölüm ile kalanın toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 2
B) 2x – 2
D) x – 2
C) x + 2
E) x
6.
eşitliğinde P(x) bir polinomdur.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
(x2 – 2) ⋅ P(x) = x3 – (m – 3)x + n
A) 5
2.
polinomunun x2 + 1 ile bölümünden elde edilen
B) 3
C) 0
D) –3
E) –5
P(x) = x5 – 2x3 – x2 – 1
bölüm ile kalanın toplamı Q(x) polinomu olduğuna göre, Q(–1) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
7.
polinomu x2 – 1 ile tam bölündüğüne göre, m
P(x) = 2x3 – 3x2 + mx + n
kaçtır?
A) –4
3.
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
P(x + 2) ⋅ x + a = 2x3 – 3x + 4
eşitliğindeki P, x in bir polinomu olduğuna göre,
a kaçtır?
A) –4 B) –2
C) –1
D) 0
E) 4
8.
P(x) polinomunun x3 + 1 ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalan birbirine eşit olduğuna göre,
P(x) polinomunun derecesi en çok kaç olabilir?
A) 4
4.
C) 6
D) 7
E) 8
P, x in bir polinomudur.
B) 5
(x – 1) ⋅ P(x) = x3 + ax – 1
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
A) –1 B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
9.
bölüm özdeşliğinde, m + n toplamı kaçtır?
A) –2
x3 + 2x + m = (x2 + x) ⋅ B(x) + n ⋅ x
B) –1
C) 1
D) 2
10. SINIF MATEMATİK
E) 3
55
Polinomlar - Bölüm 01
Adi Bölme İşlemi
10. 14.
P(x) = x3 – x2 + m – 1
polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden kalan
B) 3
C) 4
D) 5
polinomunun x – 1 ile bölümündeki bölüm polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
nx + 3 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 1
P(x) = x4 + 2x3 – 3x2 –x + 1
E) 7
A) x2 + 3x2 – 2x + 1
B) x3 + 3x2 + 2x – 1
C) x3 + 3x2 – 1
D) x3 + 3x2 + 1
E) x3 – 3x2 – 1
11. P(x) = Q(x) ⋅ B(x) + K(x)
bölüm özdeşliğinde,
olduğuna göre, P(x) polinomunun derecesi en az
d[B(x)] ≠ 0 ve d[K(x)] = d[B(x)] + 2
kaç olabilir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
15.
E) 7
P(x) = 3x5 – 4x4 + 3x2 + 2x – 1
polinomunun x2 + 2x + 3 ile bölümündeki bölüm
aşağıdakilerden hangisidir?
12. P(x) =
x3
+
2x2
+x+1
polinomunun x – 1 ile bölümündeki bölüm B(x)
olduğuna göre, B(x) in x – 2 ile bölümünden ka-
A) 3x3 – 10x2 + 11x + 11
B) 3x3 – 11x2 + 11x + 11
C) 3x3 – 11x2 + 10x – 11
D) 3x3 + 10x2 + 11x + 10
E) 3x3 –10x2 – 11x – 11
lan kaçtır?
A) 11
13. B) 14
C) 15
D) 18
E) 21
16.
P(x) = 2x9 + x6 – 3x3 – 1
olduğuna göre, P(x) in x3 – 2 ile bölümünden ka-
lan kaçtır?
A) 13
1.B
56
2.A
P(x) = 2x3 + x2 – 5x + 1
polinomunun x + 1 ile bölümündeki bölüm polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
B) 16
3.E
C) 17
4.E
10. SINIF MATEMATİK
5.E
D) 19
6.A
E) 29
7.B
8.B
A) –4 9.E
10.B
B) –3
11.C
12.B
C) –2
13.A
D) –1
14.C
15.A
E) 0
16.B
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
Çözüm
Hazine Avı
Bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden elde edi-
x – 2 = 0 ise x = 2 dir.
len bölüm B(x), kalan K ise,
O halde, P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan
P(x) = (ax + b) ⋅ B(x) + K
P(2) olur.
dır.
Kalan arandığı için (ax + b) ⋅ B(x) çarpımı yok edilmelidir.
Buna göre,
Bunun için x değişkeni yerine (ax + b) denkleminin kökü
b
olan x = − değeri yazılır. O halde,
a
 b   −b

P −  = a ⋅
+ b  ⋅ B( x ) + K
a
 a  
 
P(x) = 3x2 – 2x + 5
P(2) = 3 ⋅ 22 – 2 ⋅ 2 + 5
P(2) = 12 – 4 + 5
P(2) = 13
0
 b
P −  = K
 a
bulunur.
bulunmuş olur.
Doğru Seçenek A
Yani P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden elde
 b
edilen kalan K = P  −  dır.
 a
Hazine 10
Bir P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan
 b
P − 
 a
dır.
P(x) = 2x3 – 3x2 + x + 1
polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –9
Örneğin,
B) –7
C) –5
D) –2
E) 0
P(x) in x – 1 ile bölümünden kalan P(1),
 −1 
P(x) in 3x + 1 ile bölümünden kalan P   ,
3
P(x) in x ile bölümünden kalan P(0)
dır.
DNA 37
P(x) = 3x2 – 2x + 5
polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
E) 8
P(x) = x2 + x + a
polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 8 olduğuna
göre, a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
10. SINIF MATEMATİK
E) 5
57
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
DNA 38
DNA 39
P(x) = (m – 3)x2 – 2x + 1
P(x – 2) = 3x2 + 4x – 7
polinomunun çarpanlarından biri (x – 1) olduğuna
olduğuna göre, P(x) polinomunun (x – 1) ile bölü-
göre, m kaçtır?
münden kalan kaçtır?
A) –1
B) 2
C) 4
D) 5
A) 14
E) 8
Çözüm
B) 22
C) 26
D) 32
E) 44
Çözüm
(x – 1) ifadesi P(x) polinomunun çarpanlarından biri ise
P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan P(1) dir.
P(x) polinomu (x – 1) e tam bölünür, yani kalan sıfırdır.
P(x – 2) polinomunda x yerine 3 yazıldığında P(1) elde
edileceğinden,
O halde, P(1) = 0 dır.
P(x – 2) = 3x2 + 4x – 7
P(x) = (m – 3)x2 – 2x + 1
P(1) = (m – 3) ⋅ 12 – 2 ⋅ 1 + 1
0=m–3–2+1 ⇒ m=4
bulunur.
Doğru Seçenek C
P(3 – 2) = 3 ⋅ 32 + 4 ⋅ 3 – 7
P(1) = 27 + 12 – 7
P(1) = 32
bulunur.
Doğru Seçenek D
P(x) = (m – 1)x3 – 2x2 + 3
P(x – 1) = –2x3 + 3x + 2
polinomunun çarpanlarından biri (x + 1) olduğuna
olduğuna göre, P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümün-
göre, m kaçtır?
den kalan kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
P(x) = x4 + x3 + mx
A) –1
B) 1
C) 3
D) 4
E) 6
P(2x + 1) = x2 + x + 1
polinomunun çarrpanlarından biri x + 1 olduğuna
olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümün-
göre, m kaçtır?
den kalan kaçtır?
A) –2
58
B) –1
10. SINIF MATEMATİK
C) 0
D) 1
E) 2
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
E) 13
Polinomlarda Bölme
Polinomlar - Bölüm 01
P(x + 1) polinomunda P(1) i elde etmek için x = 0 yazıl-
Uyarı
malıdır.
P[Q(x)] polinomunun ax + b ile bölümünden kalan
Buna göre,
  b 
P Q  −   dır.
  a 
P(x + 1) = 5x3 – 19x + 6
Örneğin,
P(0 + 1) = 5 ⋅ 0 – 19 ⋅ 0 + 6
P(1) = 6
P(2x – 1) in x – 2 ile bölümünden kalan,
P(2 ⋅ 2 – 1) = P(3)
olur.
P(x2 + 1) in x + 3 ile bölümünden kalan,
P((–3)2 + 1) = P(10)
Doğru Seçenek D
P(x + Q(x)) in x – 1 ile bölümünden kalan,
P(1 + Q(1))
dir.
Yani, bölen polinomu sıfıra eşitleyip, x değerini bulduktan sonra, bulduğumuz değeri bölünen polinomdaki x yerine yazarız.
DNA 40
P(x – 2) = 2x3 – 3x2 + 4x – 2
olduğuna göre, P(x – 3) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır?
P(x + 1) =
5x3
– 19x + 6
A) –2
B) –1
D) 1
C) 0
E) 2
olduğuna göre, P(x – 1) polinomunun (x – 2) ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 12
B) 8
C) 7
D) 6
E) 2
Çözüm
x – 2 = 0 ise x = 2 dir.
P(x – 1) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalanı bulmak için P(x – 1) polinomunda x = 2 yazılmalıdır.
O halde, P(x – 1) polinomunun (x – 2) ile bölümünden
kalan,
P(x – 1) = x2 + 1
olduğuna göre, P(2x + 1) polinomunun x – 1 ile bölüP(2 – 1) = P(1)
dir.
münden kalan kaçtır?
A) 1
B) 5
C) 10
D) 17
10. SINIF MATEMATİK
E) 26
59
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
Burada dikkat edilmesi gereken en önemli husus, x değe-
Hazine Avı
rinin bulunmaması gerektiğidir.
Bir hataya düşmenizi önlemek için şöyle bir soru soralım:
Yani, bir P(x) polinomunun x2 – 2 ile bölümünden kalan
sorulduğunda; x2 – 2 = 0 ⇒ x2 = 2 değeri, yerine yazılır.
Daha açık söylemek gerekirse, x2 görülen yere 2 yazılır.
“x2 – 2 = 0 ise 2x2 + 3x + 1 nedir?”
A) 3 + 3 2 B) 3 − 3 2 D) 3x – 3
C) 6
x yerine  2 yazılmaz.
E) 3x + 3
DNA 41
Bu soruyu çözerken,
x2 – 2 = 0 ⇒
⇒
değerlerini bulduktan sonra,
x2 = 2
x= 2
2x2
P(x) = –3x2 + x
polinomunun (x2 + 1) ile bölümünden kalan aşağı-
+ 3x – 1 ifadesinde
dakilerden hangisidir?
x =  2 yazarsak, iki farklı cevap buluruz.
A) 2
Bu çözümde hata yok gibi görünse de, teorik olarak yapı-
lan çözüm yanlıştır.
B) x + 3
D) x + 4
C) 3
E) 4
Çözümü şu şekilde yapmalıydık:
x2 – 2 = 0 ⇒ x2 = 2
⇒ 2x2 + 3x – 1 = 2 ⋅ (2) + 3x – 1
= 3x + 3
Çözüm
P(x) polinomunun (x2 + 1) ile bölünmesinden elde edilen
Burada, dikkat etmeniz gereken çok önemli bir husus
kalanı bulmak için polinomda x2 görülen yerlere –1 yaz-
var.
malıyız. O halde kalan,
Hani hep alışageldiğimiz,
–3x2 + x = –3 ⋅ (–1) + x = x + 3
x–2=0 ⇒ x=2
tür.
çözümünü yaparken, yaptığımız işin x değerini bulmak
Doğru Seçenek B
olduğu düşüncesi. Oysa ki, yapılan iş x i bulmak değil,
derecesi en büyük olan terimi yalnız bırakmaktır.
Yani, x2 + x – 2 = 0 ifadesiyle karşılaşıldığında,
x2 + x – 2 = 0 ⇒ x2 = –x + 2
elde edip, x2 görünen yere, –x + 2 yazılmalıdır.
Bir P(x) polinomunun (axn + b) ile bölünmesinden elde
edilen kalanı bulmak için P(x) polinomunda,
b
x =−
a
n
P(x) = 2x4 – x2 + x
polinomunun (x2 – 1) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 1
yazılır.
60
10. SINIF MATEMATİK
B) x + 1
D) 4
E) 5
C) 2
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
Polinom eşitliğinden,
5–m=0 ⇒ m=5
P(x) = 1 + x +
x2
+
polinomunun 1 +
x2
ile bölümünden kalan aşağıdaki-
x3
lerden hangisidir?
A) 0
–8 + n = 0 ⇒ n = 8
B) 1 + x
D) 2x – 1
bulunur.
m ⋅ n = 5 ⋅ 8 = 40
C) 1 – x
olur.
E) x
Doğru Seçenek D
DNA 42
P(x) bir polinom olmak üzere,
P(x) bir polinom olmak üzere,
(x2 + 2) ⋅ P(x) + mx = x5 + 4x2 + x + n
olduğuna göre, m ⋅ n çarpımı kaçtır?
A) 21
B) 28
C) 32
D) 40
(x2 – 1) ⋅ P(x) = x4 + 3x3 – mx + n
olduğuna göre, m ⋅ n çarpımı kaçtır?
E) 54
A) –6
B) –3
C) 0
D) 3
E) 6
Çözüm
Önce verilen ifadeyi düzenleyelim.
(x2 + 2) ⋅ P(x) + mx = x5 + 4x2 + x + n
(x2 + 2) ⋅ P(x) = x5 + 4x2 + x + n – mx
(x2
+ 2) ⋅ P(x) =
x5
+
4x2
+ (1 – m)x + n
P(x) bir polinom olduğundan,
x5
+
4x2
P(x) bir polinom olmak üzere,
(x2 + x) ⋅ P(x) = x6 + x4 + mx2 + n
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 2
D) 3
E) 5
+ (1 – m)x + n
ifadesinin çarpanlarından biri x2 + 2 olmalıdır.
İfadede x2 = –2 yazılırsa,
DNA 43
(x2 + 2) ⋅ P(x) = x4 ⋅ x + 4x2 + (1 – m)x + n
(–2 + 2) ⋅ P(x) = (–2)2 ⋅ x + 4 ⋅ (–2) + (1 – m)x + n
0 = 4x – 8 + x – mx + n
0 = 5x –mx – 8 + n
0 = (5 – m)x – 8 + n
Üçüncü dereceden bir P(x) polinomu x2 + 2 ile kalansız bölünebilmektedir.
P(x) polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan 6x + 15
olduğuna göre, x ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 2
B) 6
C) 10
D) 16
E) 18
olur.
10. SINIF MATEMATİK
61
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
Çözüm
P(x) polinomu üçüncü dereceden bir polinom ve x2 + 2 ile
kalansız bölünebildiğine göre,
P(x) = (ax + b) ( x2 + 2)
biçiminde olmalıdır.
Üçüncü dereceden bir P(x) polinomu x2 + 1 ile kalansız
bölünebilmektedir.
P(x) polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan 2x + 4
olduğuna göre, x ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) 2
P(x) polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalanı bulmak
için P(x) polinomunda x2 = 1 yazdığımızda, kalanı;
K(x) = 6x + 15
bulmalıyız. O halde,
P(x) = (ax + b) (x2 + 2)
polinomunda x2 = 1 yazıp bu değeri K(x) = 6x + 15 e eşitleyelim.
(ax + b) (1 + 2) = 6x + 15
3ax + 3b = 6x + 15
Dördüncü dereceden bir P(x) polinomu x3 + x ile kalansız
bölünebilmektedir.
P(x) polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan 4x + 6
olduğuna göre, P(x) in katsayılarının toplamı kaçtır?
B) 10
A) 8
C) 12
D) 18
E) 20
olur.
Polinom eşitliğinden,
3a = 6 ⇒ a = 2 ve 3b = 15 ⇒ b = 5
bulunur.
Işık 3
Buna göre, P(x) polinomu,
P(x) = (ax + b) (x2 + 2)
Bir P(x) polinomu,
(x – a) ⋅ (x – b) ⋅ (x – c)
P(x) = (2x + 5) (x2 + 2)
çarpımına tam bölünüyorsa, (x – a) ya, (x – b) ye ve
olur.
P(x) polinomunun x ile bölümünden kalanı bulmak için
(x – c) ye tam bölünür.
P(x) te x = 0 yazmalıyız.
P(x) = (2x + 5) (x2 + 2)
P(0) = (2 ⋅ 0 + 5) (0 + 2)
P(0) = 10
DNA 44
P(x) = 3x3 + 2x2 + mx + n
polinomu (x – 1) ⋅ (x – 2) çarpımına tam bölündüğü-
bulunur.
Doğru Seçenek C
ne göre, m kaçtır?
A) –27
62
10. SINIF MATEMATİK
B) –18
C) –6
D) 6
E) 18
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
Çözüm
P(x) polinomu (x – 1) ⋅ (x – 2) çarpımına tam bölündüğüne
göre, (x – 1) ve (x – 2) ifadelerine de tam bölünür.
(x – 1) e tam bölündüğünden P(1) = 0 ve
P(x) = x3 + ax2 + bx
polinomu (x – 1) ⋅ (x + 2) ile tam bölünebildiğine göre,
a + b toplamı kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
(x – 2) ye tam bölündüğünden P(2) = 0 dır.
O halde,
P(x) = 3x3 + 2x2 + mx + n
P(1) = 3 ⋅ 13 + 2 ⋅ 12 + m ⋅ 1 + n
0 = 5 + m + n ⇒ m + n = –5
Hazine 11
Bölen polinom çarpanlarına ayrılabiliyor ise kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden en
olur.
az bir derece küçük seçilerek işlem yapılır.

P(2) = 3 ⋅ 23 + 2 ⋅ 22 + m ⋅ 2 + n
P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden kalan
sabit K sayısı olup, bölüm B(x) ise,
0 = 24 + 8 + 2m + n ⇒ 2m + n = –32
olur.
yazılarak işlem yapılır.

P(x) polinomunun (x – a) ⋅ (x – b) çarpımı ile bö-
m + n = –5 ve 2m + n = –32 denklemlerini ortak çözelim.
m + n = –5 ⇒ n = –5 – m ifadesini ikinci denklemde
yerine yazalım.
2m + n = –32 ⇒ 2m – 5 – m = –32 ⇒ m = –27
bulunur.
P(x) = (x – a) ⋅ B(x) + K
lümünden kalan K(x) = mx + n seçilip, bölüm B(x)
ise,
P(x) = (x – a) (x – b) ⋅ B(x) + K(x)
P(x) = (x – a) (x – b) ⋅ B(x) + mx + n
yazılarak işlem yapılır.

P(x) polinomunun (x – a) ⋅ (x – b) ⋅ (x – c) çarpımı
ile bölümünden kalan K(x) = mx2 + nx + k seçilip,
Doğru Seçenek A
bölüm B(x) ise,
P(x) = (x– a) (x – b) (x – c) ⋅ B(x) + K(x)
P(x) = (x – a) (x – b) (x – c) ⋅ B(x) + mx2 + nx + k
yazılarak işlem yapılır.
DNA 45
polinomunun x2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan
P(x) = 2x3 – mx2 + n – 1
polinomu (x – 1) ⋅ (x + 2) çarpımına tam bölünebildiğine göre, m kaçtır?
A) –12
B) –6
C) 0
P(x) = x3 + 2x2 + 5x + 4
D) 6
E) 12
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 12x – 4
B) 12x + 6
D) 16x + 4
C) 14x – 2
E) 18x – 6
10. SINIF MATEMATİK
63
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
Çözüm
–a – b = –12
+ 2a + b = 30
P(x) polinomu x2 – 3x + 2 polinomuna bölünerek kalan
buluruz.
bulunur.
Kalan polinom,
a = 18 ve b = –6
K(x) = 18x – 6
olur.
P(x) polinomunun,
x2 – 3x + 2 = (x – 2) (x – 1)
ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) olmak üzere, kalan
en fazla birinci dereceden bir polinomdur. (Bölen polinom
ikinci dereceden olduğundan)
x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ x2 = 3x – 2
dir.
P(x) polinomunda x2 yerine 3x – 2 yazarak kalan polinomu
bulabiliriz.
Kalan polinom K(x) = ax + b olsun.
P(x) = x3 + 2x2 + 5x + 4
P(x) = x2 ⋅ x + 2x2 + 5x + 4
O halde,
P(x) = (x2 – 3x + 2) ⋅ B(x) + K(x)
polinomunda x2 = 3x – 2 yazalım.
K(x) = (3x – 2) ⋅ x + 2(3x – 2) + 5x + 4
x3 + 2x2 + 5x + 4 = (x – 2) (x – 1) ⋅ B(x) + ax + b
= 3x2 – 2x + 6x –4 + 5x + 4
= 3x2 + 9x
13 + 2 ⋅ 12 + 5 ⋅ 1 + 4 = (
1 −
2)(
1
− 
1) ⋅ B(
x) + a ⋅ 1 + b

= 3(3x – 2) + 9x
= 9x – 6 + 9x
1 + 2 + 5 + 4 = a + b ⇒ a + b = 12
= 18x – 6
olur.
x = 1 için,
0
bulunur.
x = 2 için,
3
Doğru Seçenek E
2
2 + 2 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 + 4 = (
2 
− 2)(
−
1) ⋅ B(
x) + a ⋅ 2 + b
2
0
8 + 8 + 10 + 4 = 2a + b ⇒ 2a + b = 30
bulunur.
a + b = 12 ve 2a + b = 30 denklemlerini ortak çözelim.
a + b = 12 denklemini (–1) ile çarpıp diğer denklemle taraf
tarafa toplarsak,
P(x) = x4 – 2x3 + x2 + 3x + 1
polinomunun x2 – x – 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 1
64
10. SINIF MATEMATİK
B) 3x + 5
D) 4x – 1
C) 3x –7
E) 4x + 3
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
P(x) polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan 2x – 3
P(x) = x3 + x2 + x + 1
polinomunun x2 – x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 1
B) x – 1
C) 2x + 1
olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) –5
A) –7
C) –1
D) 1
E) 5
E) 3x + 1
D) 3x – 1
DNA 46
P(x) polinomunun x3 – 1 ile bölümünden kalan x2 + x + 1
olduğuna göre, P(x) in x – 1 ile bölümünden kalan kaç-
P(x) polinomunun x2 – 4 ile bölümünden kalan
5x – 3 olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 2 ile
bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) –13
B) –11
C) –6
D) –3
tır?
A) 1
D) 5
E) 8
E) –1
Çözüm
DNA 47
P(x) polinomunun x2 – 4 ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) olsun.
P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan 5,
(x – 3) ile bölümünden kalan 10 olduğuna göre,
P(x) polinomunun (x2 – x – 6) ile bölümünden ka-
O halde,
P(x) = (x2 – 4) ⋅ B(x) + 5x – 3
P(x) = (x + 2) (x – 2) ⋅ B(x) + 5x – 3
C) 3
B) 2
lan aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 9
B) x – 2
D) x + 11
C) x + 7
E) x + 23
olur.
P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan P(–2) olacağından,
Çözüm
P( −2) = (
−2
+ 2)(
−
2 
− 2) ⋅ B(
x ) + 5 ⋅ ( −2) − 3
0
P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan 5 ise,
P(–2) = –10 – 3 = –13
P(–2) = 5 ve x – 3 ile bölümünden kalan 10 ise P(3) = 10
dur.
bulunur.
Doğru Seçenek A
P(x) polinomunun (x2 – x – 6) ile bölümünden kalan en
az birinci dereceden seçilmelidir (Bölen ikinci derece olduğundan). O halde, K(x) = mx + n seçilmelidir.
10. SINIF MATEMATİK
65
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
Bölüm B(x) ise,
P(x) = (x2 – x – 6) ⋅ B(x) + K(x)
P(x) = (x + 2) (x – 3) ⋅ B(x) + mx + n
P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan –2,
(x + 2) ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre, P(x)
polinomunun x2 + x – 2 ile bölümünden kalan aşağı-
yazılır.
dakilerden hangisidir?
A) x – 3
x = –2 için,
B) 2x + 1
D) –3x + 1
C) –2x + 5
E) 3x – 1
P( −2) = (
−2
+ 2)(
−
2 
− 3) ⋅ B(
x ) + m ⋅ ( −2) + n
0
5 = –2m + n
buluruz.
P(x) polinomunun x – 1 ve x – 2 ile bölümünden kalan-
x = 3 için,
lar sırası ile 2 ve 3 olduğuna göre, P(x) in x2 – 3x + 2 ile
P(3) = (
3 
+ 2)(
3
−
3) ⋅ B(
x) + m ⋅ 3 + n
0
bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 1
10 = 3m + n
B) x + 1
D) x + 2
C) x – 2
E) 2x
bulunur.
–2m + n = 5 ve 3m + n = 10
��
denklemlerini ortak çözersek,
–2m + n = 5
⇒ n = 2m + 5
3m + n = 10 ⇒ 3m + 2m + 5 = 10
Yaptığı İşe Kendini Vermek
5m = 5
m = 1 ve n = 7
buluruz.
O halde kalan polinom K(x) = mx + n
K(x) = x + 7
Leonardo da Vinci, ünlü eseri “Son Yemek” tablosunu
olur.
Doğru Seçenek C
10 yılda tamamlamıştı. Kendisini öylesine önündeki
işe veriyordu ki, günlerce yemek yemeyi bile unutuyordu.
66
10. SINIF MATEMATİK
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
5.
TEST - 7
1.
bölümünden kalan nedir?
A) –x – 1 B) –x + 1
D) 2x + 1
polinomunun x4 – 2x3 ile bölümünden kalan nedir?
Bir P(x) polinomunun x3 – x ile bölümünden kalan x2 + 3x + 1 olduğuna göre, P(x) in x2 + x ile
A) 4x3 + x – 1
C) x3 + x + 1
C) 2x – 1
P(x) – 2x + 1 = x3 + xP(x) + a
eşitliğinde P, x in bir polinomu olduğuna göre,
B) –3
C) 3
D) 6
E) 9
P(x) = x4 – x3 + x2 – 2x + 1
polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan nedir?
A) 1 – 2x
4.
B) 1 – 3x
D) 3 – 2x
C) 2 – 3x
eşitliğinde P ile Q, x in polinomlarıdır.
P(x) in x2 – 3x + 1 ile bölümünden kalan 4x – 3
olduğuna göre, Q(x) in x2 – 3x + 1 ile bölümünden
kalan nedir?
A) 13x – 3
7.
D) 17x –6
a kaçtır?
C) 17x –3
E) 17x –9
P(2x + 1) = 3x3 – x2 + 1
polinomu veriliyor.
P(3x + 2) nin x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –89 polinomu (x – 2)2 ile tam bölünebildiğine göre,
B) 13x + 3
E) 3 – 3x
P(x) = x4 + ax3 + bx2 + 4
A) –4 P(x) + Q(x) = x3 + 4x2 – 3x + 1
3.
D) 3x3 + x – 1
E) –3x3 + x – 1
P(x + 1) in x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –9 B) –2x3 + x – 1
E) x – 2
6.
2.
P(x) = x7 – 4x5 + 3x3 + x – 1
8.
B) –27
C) 3
D) 21
E) 73
x2 ⋅ P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan
4 olduğuna göre, x ⋅ P2(x + 1) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
B) –3
C) –1
D) 0
E) 4
A) 1 B) 4
C) 8
D) 16
10. SINIF MATEMATİK
E) 48
67
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
9.
13.
P(x – 1) = x2 – 2x – 4
olduğuna göre, P(P(x)) in x – 1 ile bölümünden
kalan kaçtır?
A) –5 P(x) = x3 – 3x2 + 3x + 4
olduğuna göre, P(x) in x − 3 2 − 1 ile bölümünden
kalan kaçtır?
B) –4
C) 7
D) 11
E) 19
A) –1
in x – 2 ile bölümünden kalan 3 olduğuna
göre, x ⋅ P(x) in x – 2 ile bölümünden kalan kaç-
14. tır?
A) 2 B) 3
C) 4
D) 6
na göre, x2 ⋅ P2(x2) polinomunun x − 2 ile bölü-
polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 3 oldu-
B) 4 2 E) 16
P(x) = x2 – 2x + 5
A) x
A) −4 3 + 6 x2
1.D
68
2.A
3.E
C) –x + 2
E) –2x
polinomunun x3 – 8 ile bölümünden kalan
+ x + 1 olduğuna göre, P(x + 1) in x2 + 4x + 7 ile
bölümünden kalan nedir?
B) 2 3 D) 2 + 4 3 E) 7
B) x – 2
D) –x + 1
16. P(x)
kalan kaçtır?
D) 5
lan aşağıdakilerden hangisidir?
C) 8
olduğuna göre, P(x) in x − 3 − 1 ile bölümünden
C) 3
(x + 3) ile bölümünden kalan –3 olduğuna göre,
12.
B) 1
P(x) polinomunun (x2 + x – 6) ile bölümünden ka-
D) 8 2 E) 7
15. P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan 2,
münden kalan kaçtır?
C) 2
ğuna göre, m kaçtır?
E) 8
11. P(x + 1) in x – 1 ile bölümünden kalan 2 olduğu-
A) 4
4 P(x) = mx4 – 2x3 + x – 1
A) –1
3
B)
D) 5 2 10. P(x)
4.B
10. SINIF MATEMATİK
C) 7
E) 8 + 3 3
5.D
6.A
7.D
A) –x – 3
8.A
9.D
B) –x –4
D) x + 3
10.D
11.C
12.C
C) –x – 5
E) x + 4
13.E
14.C
15.A
16.B
Polinomlarda Bölme
Polinomlar - Bölüm 01
5.
TEST - 8
P(x) in x3 – 8 ile bölümünden kalan x2 + x – 1 olduğuna göre, P(2x) in x – 1 ile bölümünden kalan
kaçtır?
1.
P(x) polinomunun
x2
– 1 ile bölümünden kalan
A) –1 3x + 1 ise P(x) in x – 1 ile bölümünden kalan kaç-
B) 1
C) 5
D) 11
E) 19
tır?
A) –2 B) 1
C) 4
D) 7
E) 10
6.
2.
P(x) in x2 + 1 ile bölümünden kalan 3x – 1 dir.
i2 = –1
P(x) in x2 – x – 2 ile bölümünden kalan 4x – 1 ise
P(x + 1) in x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
olduğuna göre, P(i) aşağıdakilerden hangisidir?
A) –9 A) –i B) –5
C) –1
D) 3
E) 7
3.
P(0) = 0 ve Der[P(x)] = 1
olduğuna göre, P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –2 B) –1
7.
dır.
C) 0
D) 1
P(x + 1) in x + 2 ile bölümünden kalan 2 olduğuna
göre, a kaçtır?
E) 2
B) –3 C) 1 D) 5 E) 7
P(x) in x – 1 ile bölümünden kalan 2 dir.
E) –1
P(x) in (x + 1) ⋅ (x + 2) ile bölümünden kalan 3x + a
A) –5 4.
D) 3i – 1
C) 2 – i
P(x) in x – 1 ile bölümünden kalan 1 dir.
B) i
x ⋅ P(x) + a
polinomu x – 1 ile kalansız bölünebildiğine göre,
a kaçtır?
A) –2 8.
P(x) polinomunun x2 – 9 ile bölümünden kalan
2x + 1 ise x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) –1
C) 2
D) 3
E) 5
A) –5 B) –3
C) 1
D) 5
10. SINIF MATEMATİK
E) 7
69
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlarda Bölme
9.
13. Bir P(x) polinomunun x – 2 ile bölümündeki bölüm
P(x + 2) = 2x2 + 3x + a
B(x), kalan 3 tür.
polinomu veriliyor.
P(x) in x – 1 ile bölümünden kalan 2 ise, P(x) in x
göre, P(x2 – 1) in sabit terimi kaçtır?
ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0 10.
B) 1
C) 2
D) 3
A) –3 E) 5
14. P(x)
P(x) = x2 – 4x + a
polinomu veriliyor.
P(x) in x − 2 − 2 ile bölümünden kalan 4 oldu-
B) –2
D) 6
E) 8 2
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 2
D) 4x + 10
bölümünden kalan 1 olduğuna göre, P(x) in x4 – 1
1.C
70
B) x – 1
D) –x
2.E
3.B
10. SINIF MATEMATİK
5.C
6.D
A) x – 2
D) x + 1
C) x
E) x + 2
P(x) = –x5 + 2x3 + ax + b
polinomunun x3 – x2 – 1 ile bölümünden kalan
A) –2 7.D
B) x – 1
cx + 3 olduğuna göre, a + b – c kaçtır?
C) x + 1
E) –x + 1
4.A
E) 6x + 10
polinomunun x2 – 2 ile bölümünden kalan 0 ol-
16.
ile bölümünden kalan nedir?
A) x
C) 4x + 4
P(x) = x3 + x2 + ax + b
12. P(x) in x2 – 1 ile bölümünden kalan –1, x2 + 1 ile
B) 3x + 4
çarpanıdır?
olduğuna göre, P(0) kaçtır?
B) −
E) 6
duğuna göre, aşağıdakilerden hangisi P(x) in bir
P(1) = P(–1) = 0 ve P(3) = 4
A) –1 C) 4
11. P(x) ikinci dereceden bir polinomdur.
D) 4
polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan
A) 4
15.
C) 3
den kalan aşağıdakilerden hangisidir?
ğuna göre, a kaçtır?
A) −2 2 B) 0
3x + 1 olduğuna göre, P2(x) in x2 – 1 ile bölümün-
B(x) in x + 1 ile bölümünden kalan 1 olduğuna
8.E
9.E
10.D
B) –1
11.B
12.D
C) 0
13.B
D) 2
14.E
E) 3
15.D
16.E
POLİNOMLARIN ÇARPANLARA
AYRILMASI - BÖLÜM 02
POLİNOMLARIN ÇARPANLARA
AYRILMASI
Çözüm
TANIM
Bir P(x) polinomunun, Q(x) polinomuna bölümünde, bö-
P(x) = x4 – 1 = (x2)2 – 12
lüm B(x) ve kalan sıfır ise,
= (x2 – 1) (x2 + 1)
= (x2 – 12) (x2 + 1)
= (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
P(x) = Q(x) ⋅ B(x)
tir.
Bu eşitlikte Q(x) ve B(x) polinomlarına P(x) polinomunun
çarpanları, P(x) polinomuna da çarpanlara ayrılabilen
olduğundan, P(x) in 3 çarpanı asal polinomdur.
polinom denir.
Doğru Seçenek C
TANIM
Sabit olmayan, en az iki polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinom denir.
Örneğin,
x2 + x + 1, x2 + 2, 2x + 6, x – 1, –7x – 2, 3x + 6
polinomları indirgenemeyen polinomlardır.
TANIM
P(x) = 9x6 – 9x4 – x2 + 1
polinomunun kaç çarpanı asal polinomdur?
Başkatsayısı 1 olan indirgenemeyen polinomlara asal
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
polinomlar denir. Örneğin,
x + 5, x2 + 5, x2 – x + 1, x − 5 , x2 + 1
polinomları asal polinomlardır.
DNA 1
P(x) = x4 – 1
polinomunun kaç çarpanı asal polinomdur?
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
P(x) = x3 + 4x2 + 3x
polinomunun kaç çarpanı asal polinomdur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
10. SINIF MATEMATİK
E) 5
71
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
ÇAPRANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ
Çözüm
1. Ortak Çarpan Parantezine Alma:
(x + y) ⋅ (x – y) – (x + y)2 = (x + y) ⋅ (x – y) – (x + y) ⋅ (x + y)
Verilen ifadede ortak terimler varsa ifade bu ortak terimlerin parantezine alınır.
= (x + y) [(x – y) – (x + y)]
Şimdi bu durumu birkaç örnek üzerinde görelim.
= (x + y) [x – y – x – y]
• ax + ay = a(x + y)
= (x + y) (–2y)
= –2y ⋅ (x + y)
A(x) ⋅ B(x)  A(x) ⋅ C(x) = A(x) [B(x)  C(x)]
• a4b3 – a2b2 + a2b = a2b(a2b2 – b + 1)
• x3 + 2xy + 3x = x(x2 + 2y + 3)
• 2x3y2z + 4x2y2z + 6x2yz2 = 2x2yz(xy + 2y + 3z)
olduğundan ifadenin çarpanları –2y ve (x + y) dir.
Doğru Seçenek B

Ortak çarpan parantezine alınırken, ortak terimlerden derecesi en küçük olan ifade dikkate alınarak ortak çarpan parantezine alınır.

(a – b) = –(b – a) olduğundan (a – b) bir çarpan
iken (b – a) da bir çarpandır.
n ∈ N+ olmak üzere,
(a – b)2n = (b – a)2n
(a – b)2n+1 = –(b – a)2n+1
(x + 2) ⋅ (3y – 1) – (x – 2) (6y – 2)
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
dir.
A) x + 3
Uyarı
B) 6 – x
D) 3y + 1
C) 3y + 2
E) x + y
f(x) polinomu P(x) polinomunun bir çarpanı ise, –f(x)
polinomu da P(x) in bir çarpanıdır.
DNA 2
(x + y) (x – y) – (x + y)2
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –2x
72
B) –2y
D) 2x + y
10. SINIF MATEMATİK
E) x – y
C) 2x
x–y=2
a+b=6
olduğuna göre, ax – ay + bx – by kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
2. Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma:
Bir polinomun bütün terimlerinde ortak olan bir çarpan bulunmuyorsa, ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilerek bu gruplar ortak çarpan parantezine alınır.
2
a
− ab
−
b = a(a − b) + (a − b)

+a

a
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Birkaç örnek üzerinde görelim.
•
m2 + m ⋅ a + n ⋅ a + m ⋅ n + b ⋅ m + a ⋅ b
1
A) 2m + b
B) 2a + b
C) m + n + b
D) 2n + m + b
= (a − b)(a + 1)
E) 2b + a + n
2
•
x − xy − x + y = x( x − y ) − ( x − y )
 
−1
x
= ( x − y )( x − 1)
y − 2y 2 − 2x + 4 xy = y(1 − 2y ) − 2x(1 − 2y )
 
•
−2 x
y
= (1 − 2y )( y − 2x )
ax + x + ay + y
= 12
x+y
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 9
DNA 3
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
4ab – 4bx + xy – ay
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + a
B) y + b
D) y – 4b
C) x – 3b
E) y – 2a
3. Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma:
Özdeşliklerden yararlanarak çarpanlara ayırma konusuna
başlamadan önce özdeşliğin tanımını yapıp, denklem ve
özdeşlik arasındaki farktan bahsedelim.
Çözüm
4
− 4bx
− ay = 4b(a − x ) + y( x − a)
ab

 + xy

4b
y
TANIM
Tanımlı olduğu durumlarda, değişkenlerinin bütün değer-
= −4b( x − a) + y( x − a)
= ( x − a) ⋅ ( −4b + y )
= ( x − a) ⋅ ( y − 4b)
olduğundan çarpanlardan biri (y – 4b) dir.
4b – y ifadesinin de bir çarpan olduğuna dikkat ediniz.
Doğru Seçenek D
leri için sağlanan eşitliklere özdeşlik denir.
• a2(a + b) = a3 + a2b
• m2 – 2mn = m(m – 2n)
• (x + y) (x – y) = x2 – y2
Bu verdiğimiz eşitlikler birer özdeşliktir. Bu ifadelerde, değişkenler yerine verilen bütün değerler için eşitliğin solu
ve sağı aynı değeri verir.
10. SINIF MATEMATİK
73
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Denklem ise, değişkenlerinin belli değerleri için sağlanan
DNA 4
eşitliktir.
• x – 2 = 0
2732 – 2272 = 4600 ⋅ x
• x2 – 2x – 3 = 0
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadeleri ise birer denklemdir. Bu denklemler ancak bel-
A) 4
B) 5
C) 13
D) 39
E) 146
li değerler için sağlanır. İlk denklem sadece 2 sayısı için
sağlanırken ikinci ifade yalnız –1 ve 3 değerleri için sağlanır.
Çözüm
Şimdi özdeşlikleri verebiliriz:
2732 – 2272 = 4600 ⋅ x
a. İki kare farkı:
(x – y) ⋅ (x + y) çarpımı yapıldığında elde edilen özdeş-
(273 – 227) ⋅ (273 + 227) = 4600 ⋅ x
liktir.
46 ⋅ 500 = 4600 ⋅ x
(x – y) ⋅ (x + y) = x2 + xy – yx – y2
= x2 + xy – xy – y2
= x2 – y2
500 = 100 ⋅ x
olacağından x = 5 bulunur.
Doğru Seçenek B
olur.
O halde,
x2 – y2 = (x + y) (x – y)
dir.
Nasıl kullanacağımıza dair birkaç örnek verelim.
•
x2
•
9x2
•
x − 4 = ( x )2 − 22 = ( x − 2)( x + 2)
•
3 x 2 − 1 = ( 3 x )2 − 12 = ( 3 x − 1)( 3 x + 1)
– 16 =
–1=
x2
–
42
(3x)2
–
= (x – 4) (x + 4)
12
= (3x – 1) (3x + 1)
1232 – 1172 = 120 ⋅ x
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
• 16x4 – 1 = (4x2)2 – 12 = (4x2 – 1) (4x2 + 1)
= (2x2 – 12) (4x2 + 1)
= (2x – 1) (2x + 1) (4x2 + 1)
Hazine 1
x2 – y2 = (x – y) (x + y)
74
10. SINIF MATEMATİK
abcd dört basamaklı bir sayı olmak üzere,
20102 – 20092 = abcd
olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) 17
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
DNA 5
DNA 6
x, y ∈ Z+ olmak üzere,
(x – 3)5 + (3 – x)3
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
olduğuna göre, y kaçtır?
A) x + 4
x2 – y2 = 11
B) x + 3
D) x – 1
C) x + 2
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 11
E) x – 2
Çözüm
Çözüm
x2 – y2 = 11
(x – 3)5 + (3 – x)3 = (x – 3)5– (x – 3)3
= (x – 3)3 [(x – 3)2 – 1]
= (x – 3)3 [(x – 3 – 1) ⋅ (x – 3 + 1)]
= (x – 3)3 [(x – 4) ⋅ (x – 2)]
= (x – 3)3 ⋅ (x – 4) (x – 2)
(x + y) ⋅ (x – y) = 11
x, y ∈ Z+ olmak üzere, verilen çarpımın 11 (asal sayı) olabilmesi için çarpanlardan biri 1 iken diğeri 11 olmalıdır.
(x + y) ⋅ (x – y) = 1 ⋅ 11
ifadesinde iki durum söz konusudur.
olur.
Doğru Seçenek E
x, y ∈ Z+ olduğundan,
x + y = 11
x–y=1
olmalıdır. (x + y > x – y)
3
x −x
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
x2 + x
x + y = 11
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x
B) x – 1
D) x2 – x
+
x − y =1
C) x + 1
2x = 12
E) x2 + 1
⇒ x = 6 dır.
y değerini bulmak için x + y = 11 denkleminde x = 6 yazalım.
x + y = 11
(x – 5)4 – (5 – x)2
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 6
B) x – 3
D) x + 2
C) x – 2
6+y=1
y=5
tir.
Doğru Seçenek B
E) x + 4
10. SINIF MATEMATİK
75
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Birkaç örnek üzerinde görelim.
x, y ∈
Z–
2
olmak üzere,
x2 – y2 = 7
=
olduğuna göre, x kaçtır?
A) –1
B) –2
C) –3
2
3x 4y  4y 
 3x 4y 
 3x 
+
⋅
+

 =   + 2⋅

4
5
4
4 5  5 
 


•
D) –4
E) –5
9 x 2 6 xy 16 y 2
+
+
16
5
25
2
3y 

 3y   3y 
2
x −
 = x + 2⋅ x ⋅−  + − 
2


 2   2 
•
= x 2 − 3 xy +
2
= x2 − 2 +
x, y ∈ Z+ olmak üzere,
A) 6
B) 7
C) 8
D) 11
1
2
olduğuna göre, y kaçtır?
= x2 + 2 +
E) 13
2
x2
1
1  1

2
x +  = x + 2⋅x⋅ +  
x
x x

•
x2 – y2 = 13
2
9y2
4
1

 1  1
2
x −  = x + 2⋅ x ⋅−  + − 
x

 x  x
•
2
2
1
x2
Hazine 2
b. Tam kare açılımı:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(x + y  z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy  xz  yz)
(x + y)2 = (x + y) ⋅ (x + y)
= x2 + xy + yx + y2
= x2 + 2xy + y2
DNA 7
(x – y)2 = (x – y) ⋅ (x – y)
= x2 – xy – yx + y2
x⋅y=6
= x2– 2xy + y2
x–y=3
olduğuna göre, x2 + y2 toplamı kaçtır?
 (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy – xz – yz)
76
10. SINIF MATEMATİK
A) 19
B) 21
C) 23
D) 25
E) 27
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Çözüm
DNA 8
x – y = 3 ifadesinde eşitliğin iki tarafının karesini alırsak,
121 49 77
+
−
100 64 40
(x – y)2 = 32
işleminin sonucu kaçtır?
x2 – 2xy + y2 = 9
A)
x ⋅ y = 6 verilmişti.
7
40
Denklemde yerine yazalım:
x2
–2⋅6+
9
40
11
40
D)
2
2
=9
3
10
E)
13
40
121 49 77
7 ⋅ 11
 11 
7
+
−
=   +   − 2⋅
100 64 40
8 ⋅ 10
 10 
8
2
11 7  7 
 11 
=   − 2⋅
⋅ + 
10 8  8 
 10 
x2 + y2 = 21
C)
Çözüm
y2
x2 + y2 – 12 = 9
B)
buluruz.
 11 7 
= 
− 
 10 8 
Doğru Seçenek B
=
=
2
2
11 7
−
10 8
9
40
olur.
Doğru Seçenek B
x+y=6
x⋅y=8
olduğuna göre, x2 + y2 kaçtır?
A) 18
B) 20
C) 21
D) 24
E) 32
4
9
+2+
9
4
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3 B) 9 2
x ⋅ y = 11
x–y=6
B) 52
C) 54
D) 58
C) 13 6
D) 3
E) 9
2
169 64 208
+
+
25 121 55
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, x2 + y2 toplamı kaçtır?
A) 48
4
E) 62
A)
36
11
B)
182
55
C)
183
55
D)
37
11
10. SINIF MATEMATİK
E)
187
55
77
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
DNA 9
Kareleri farkı 6 olan iki sayının herbirinden 2 çıkarılırsa
yeni sayıların kareleri farkı 18 olmaktadır.
B) –3
C) –2
D) –1
yeni sayıların kareleri farkı –16 olmaktadır.
Buna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?
Buna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?
A) –4
Kareleri farkı 32 olan iki sayının her birinden 3 çıkarılırsa
E) 2
A) –4
B) –2
C) 2
D) 4
E) 8
Çözüm
Sayılar x ve y olsun. Kareleri farkı 6 olduğuna göre,
x2 – y2 = 6
dır.
Toplamları 12 olan iki sayının kareleri toplamı 80 ol-
Sayıların her birinden 2 çıkarıldığında oluşan yeni sayıla-
duğuna göre, bu iki sayının farkının mutlak değeri
rın kareleri farkı 18 olduğuna göre,
kaçtır?
(x – 2)2 – (y – 2)2 = 18
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
dir.
Bulduğumuz ikinci denklemde parantezleri açalım:
(x – 2)2 –(y – 2)2 = 18
x2 – 4x + 4 – (y2 – 4y + 4) = 18
x2 – 4x + 4 – y2 + 4y – 4 = 18
x 2 − y 2 − 4 x + 4 y = 18

6

(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y + x – y) ⋅ (x + y – x + y)
6 – 4(x – y) = 18
= 2x ⋅ 2y
–4(x – y) = 12
= 4xy
x – y = –3
bulunur.

x2 – y2 = 6
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 olduğundan,
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy dir.
Benzer biçimde,
( x + y )( x − y ) = 6

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 olduğundan,
(x + y) ⋅ (–3) = 6
x + y = –2
−3

bulunur.
Doğru Seçenek C
78
10. SINIF MATEMATİK
dir.
x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy dir.
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = (x – y)2 + 2xy veya
(x – y)2 = (x + y)2 – 4xy
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
DNA 10
x+
1
=6
x
2
B) 28
1
=4
x
olduğuna göre, 4x 2 +
1
olduğuna göre, x + 2 toplamı kaçtır?
x
A) 26
2x +
C) 32
D) 34
A) 12
1
x2
B) 14
kaçtır?
C) 16
D) 18
E) 20
E) 36
Çözüm
x+
1
= 6 eşitliğinin her iki tarafının karesini alalım.
x
2
1

2
x +  = 6
x

x2 + 2 ⋅ x ⋅
1
=3 2
x
x+
1
2
olduğuna göre, x + 2 toplamı kaçtır?
x
A) 10
B) 12
E) 18
1 1
+
= 36
x x2
x2 + 2 +
x2 +
1
x
2
1
x2
DNA 11
= 36
= 34
x+
1
=4
x
olduğuna göre, x −
olur.
tır?
x2 +
D) 16
C) 14
2
1
1
1

= x +  − 2⋅x⋅
2
x
x


x
1
farkının pozitif değeri kaçx
A) 2 2 B) 3
D) 4
C) 2 3
E) 3 2
Çözüm
= 62 − 2
2
1

2
x +  = 4
x

= 36 − 2
x2 + 2 ⋅ x ⋅
= 34
1 1
+
= 16
x x2
x2 + 2 +
olur.
Doğru Seçenek D
x2 +
1
x2
1
x2
= 16
= 14
bulunur.
10. SINIF MATEMATİK
79
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Bizden istenen x −
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
1
farkının da karesini alalım:
x
DNA 12
2
1
1 1

2
x −  = x − 2⋅x⋅ + 2
x
x x

x2 –3x + 1 = 0
1
2
olduğuna göre, x + 2 toplamı kaçtır?
x
2
1
1

2
x −  = x + 2 −2
x

x

A) 4
14
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
2
1

 x −  = 14 − 2
x

Çözüm
2
1

 x −  = 12
x

x−
x2 – 3x + 1 = 0
eşitliğinin her iki tarafını x e bölelim:
1
=2 3
x
x2 3x 1 0
−
+ =
x
x x x
olur.
İstenen değer pozitif olduğundan cevap 2 3 tür.
x−3+
1
=0
x
x+
1
=3
x
Doğru Seçenek C
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım:
2
1

2
x +  = 3
x

x+
1
=6
x
x2 + 2 ⋅ x ⋅
olduğuna göre, x −
1
farkının pozitif değeri kaçtır?
x
A) 2 6 D) 6
B) 2 7 1 1
+
=9
x x2
x2 + 2 +
C) 4 2
x2 +
E) 2 10
1
x2
1
x2
=9
=7
olur.
Doğru Seçenek D
x+
2
=4
x
olduğuna göre, x − 2 farkının negatif değeri kaçtır?
x
A) –2
80
B) −2 2 D) –4
10. SINIF MATEMATİK
E) –6
C) −2 3
x2 – 6x + 3 = 0
olduğuna göre, x 2 +
A) 24
B) 27
9
x2
kaçtır?
C) 30
D) 36
E) 40
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
(x – y)3 açılımında (–y) nin tek kuvvetleri negatif olacağından,
x−2 x =1
1
2
olduğuna göre, x + 2 toplamı kaçtır?
x
A) 24
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
B) 28
C) 30
D) 32
E) 34
olur.
(x + y)3 ve (x – y)3 için yaptığımız açılımlar daha büyük kuvvetler için de benzer biçimde yapılabilir. Ancak
büyük kuvvetlerde çarpım zorlaşacaktır. Bu nedenle
genel olarak (x + y)n açılımında aşağıdaki genel ifadeyi kullanabiliriz.
c. (a + b)n ifadesinin açılımı (Binom açılımı):
x, y ∈ R ve n ∈ N+ için,
Hazine Avı
(x + y)n = xn +
Şimdiye kadar ki bilgilerimizi gözden geçirelim.
(x – y)n açılımında (–y) nin tek kuvvetleri negatif olaca-
Her sayının (sıfır hariç) sıfırıncı kuvveti sıfırdır.
ğından,
Buna göre,
(x − y)n = xn −
(x + y)0= 1 dir.
Her sayının birinci kuvveti kendisidir. Buna göre,
n n−1
n(n − 1) n−2 2
⋅x
⋅y+
⋅x
⋅ y + ... + ( −1)n yn
1
2
olur.
Şimdi bu açılımları inceleyelim.
 (x + y)1 = x + y dir.
n n −1
n(n − 1) n − 2 2
⋅x
⋅y+
⋅x
⋅ y + ... + yn
1
2
Bir iki terimlinin karesi alınırken terimlerin kareleri toplamına, terimlerin çarpımlarının iki katı eklenir. Buna
(x  y)n açılımında,
• n + 1 tane terim vardır.
göre,
• Her terimin derecesi n dir. (x + y)n açılımındaki,
 (x + y)2 =x2 + 2xy + y2
 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Bir iki terimlinin diğer kuvvetlerini bulurken ne yapmamız gerektiğini bulalım:
 (x + y)3 = (x + y) (x + y)2
birer artmaktadır.
• Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları
x3
+
2x2y
+
xy2
+
yx2
+
2xy2
+
y3
=
= x3 + 2x2y + x2y + xy2 + 2xy2 + y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
olur.
celeri toplamı n – 2 + 2 = n dir.
• Birinci terimin üsleri birer azalırken, ikinci terimin üsleri
= (x +y) (x2 + 2xy + y2)
n(n − 1) n−2 2
terimine dikkat edersek, (diğer tex
⋅y
2
rimlerde de aynı durum söz konusu) x ve y nin dere-
eşittir.
• Bir terimin katsayısı biliniyorsa, bu katsayı birinci terimin üssü ile çarpılıp ikinci terimin üssünün bir fazlasına bölünürse sonraki terimin katsayısı elde edilir.
10. SINIF MATEMATİK
81
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Bir örnekle ifade edelim.
Işık 1
1⋅ 4 3 1 4 ⋅ 3 2 2
( x + y )4 = 1⋅ x 4 ⋅ y0 +
x ⋅y +
x ⋅y +
0 +1
1+ 1
 Pascal üçgeninde her satırın ilk ve son sayıları
6
4
1 dir.
6⋅2 1 3
4 ⋅1 0 4
⋅x ⋅y +
⋅x ⋅y
2 +1
3 +1
4
 Bir satırdaki ardışık iki sayının toplamı, bir alt satırda bu iki sayının arasına yazılan sayıyı verir.
1
 Görüldüğü gibi I. satır sıfırıncı kuvvete ait açılımın
= x 4 + 4 x3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy3 + y 4
katsayısını, II. satır birinci kuvvete ait açılımın katsayılarını, III. satır ikinci kuvvete ait açılımın katsa-
• (x – y)n açılımında katsayıların işaretleri +, –, +, –, ...
yılarını, IV. satır üçüncü kuvvete ait açılımın katsayılarını veriyor. Buna göre, n. satır (n – 1) inci
biçimindedir.
kuvvete ait açılımın katsayılarını vermelidir.
Bulduğumuz bu açılımları Hazine 3 ile toparlayalım.
Sık kullanılan birkaç örnek daha verelim.
• (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Hazine 3
• (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1
• (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
3
1
1
1

3
2 1
 x +  = x + 3x ⋅ + 3x ⋅ 2 + 3
x
x

x
x
•
• (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
= x3 + 3 x +
• (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
• (x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
• (x +
y)5
=
x5
+
5x4y
+
10x3y2
+
10x2y3
+
DNA 13
5xy4
+
y5
x, y ∈ R olmak üzere,
• (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5
3 1
+
x x3
x3 – y3 = 115
Yaptığımız bu açılıma binom açılımı da denir. Binom
x2y – x2y = 17
açılımını daha sonra ayrıntılı bir şekilde işleyeceğiz.
olduğuna göre, x – y farkı kaçtır?
A) 4
� ��
�
� ��
�
�
�
82
�
�
�
� ��
�
�
��
� ��
�
��
��
� ��
�
�
10. SINIF MATEMATİK
C) 8
D) 10
E) 12
Çözüm
Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı
�
B) 6
� ��
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
= x3 – y3 – 3(x2y –xy2)
= 115 – 3 ⋅ 17 = 64
(x – y)3 = 64 olduğundan x – y = 4 tür.
Doğru Seçenek A
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Çözüm
x, y ∈ R olmak üzere,
x3
x2y – xy2 = 30
–
y3
= 98
olduğuna göre, x – y farkı kaçtır?
B) 2
A) 1
x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1
C) 3
D) 4
E) 6
= x5 – 5x4 ⋅ 1 + 10x3 ⋅ 12 – 10x2 ⋅ 13 + 5x ⋅ 14 – 15
= (x – 1)5
= (4 – 1)5
= 35
= 243
olur.
Doğru Seçenek D
x3 + 3xy2 = 12
y3 + 3x2y = 15
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
x = 12 ve y = –10 olduğuna göre,
E) 7
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
işleminin sonucu kaçtır?
A) 16
B) 81
C) 96
D) 125
E) 256
DNA 14
x = 4 olduğuna göre,
x = 4 ve y = 2 olduğuna göre,
x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 32
D) 243
E) 1024
C) 125
x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6
işleminin sonucu kaçtır?
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
10. SINIF MATEMATİK
E) 256
83
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
d. İki terimin küplerinin toplamı ve farkı:
DNA 15
Bu kesimde x3 + y3 ve x3 – y3 ifadelerinin açılımlarını
vereceğiz.
x−
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
1
=1
x
1
3
olduğuna göre, x − 3 farkının değeri kaçtır?
x
x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Çözüm
Birkaç örnek üzerinde görelim.
• x3 – 1 = x3 – 13 = (x – 1) (x2 + x + 1)
• 27x3 + 1 = (3x)3 + 13 = (3x + 1) ⋅ (9x2 – 3x + 1)
x3 −
3
1
1 
1 1 
 1

= x3 −   =  x −  ⋅  x 2 + x ⋅ +

3
x
x
x x2 
 

 
x
• 8x – 8 = (23)x – 23 = (2x – 2) (22x + 2 ⋅ 2x + 22)
= (2x – 2) (4x + 2x+1 + 4)
x3 +
•
1 
1 

=  x −   x2 + 1 +

x 

x2 
3
2
1 
1  1 
 1

= x3 +   =  x +   x 2 − x ⋅ +   
x 
x x 
x

x3
1

1 
1

=  x +   x2 +
− 1
2
x


x

1
2
olduğundan sadece x + 2 ifadesinin eşitini bulmamız
x
yeterli olacaktır.
x2 +
1
x2
ifadesinin değerini bulmak için, x −
minde eşitliğin iki tarafının da karesini alalım:
2
1

2
x −  =1
x

3
x − 1 = (3 x )3 − 13 = (3 x − 1)( x 2 + 3 x + 1)
•
x2 − 2 ⋅ x ⋅
x − y = (3 x )3 − (3 y )3
•
3
=( x
−3
3 2
y )( x
x2 +
+3
x⋅y
+ 3 y2 )
1 1
+
=1
x x2
1
x2
x2 +
x3 −
x3
+
y3
84
(x2
– xy +
= (x + y) ⋅ [(x +
x3
= (x + y) ⋅
–
y3
= (x – y) ⋅
(x2
y)2
y)2
y2)
– 3xy]
+ xy +
= (x – y) ⋅ [(x –
10. SINIF MATEMATİK
−2 =1
1
x2
=3
bulunur.
Hazine 4
y2)
+ 3xy]
1
= 1 denklex
1
x3
1 
1


=  x −   x2 +
+ 1
2
x

x
 
 
1
= 1 ⋅ (3 + 1)
=4
olur.
3
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Birkaç örnek üzerinde görelim:
• a3 – b3 = (a – b) (a2 + a ⋅ b + b2)
2
1 
1  
1
1
x 3 − 3 =  x −   x −  + 3 ⋅ x ⋅ 
x
x
x
x

 


• a4 – b4 = (a – b) (a3 + a2 ⋅ b + a ⋅ b2 + b3)
• a5 – b5 = (a –b) (a4 + a3 ⋅ b + a2 ⋅ b2 + a ⋅ b3 + b4)
= 1 ⋅ (12 + 3) = 4
bulunur.
Doğru Seçenek C
Işık 3
n tek doğal sayı olmak üzere,
an + bn = (a+b)(a n–1–a n–2⋅b+a n–3⋅b 2–...–a⋅b n–2+b n–1)
x+
dir.
1
=2
x
1
3
olduğuna göre, x + 3 toplamının değeri kaçtır?
x
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Birkaç örnek üzerinde görelim.
• a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
• a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)
Görüldüğü gibi an + bn ifadesi ancak n tek doğal sayı olduğunda yukarıdaki gibi açılabilir.
Uyarı
x−
1
=3
x
olduğuna göre, x 3 −
A) 18
B) 24
a2n + b2n ifadesi IŞIK 3’te anlattığımız şekliyle çarpan1
x3
larına ayrılamaz. Ancak,
kaçtır?
C) 27
a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
D) 36
E) 48
gibi özdeşlikler yardımıyla ve iki kare farkı kullanılarak
çarpanlarına ayrılabilir.
DNA 16
Işık 2
n ∈ Z+ olmak üzere,
(an–bn) = (a – b) (an–1+an–2⋅b+an–3⋅b2+...+a⋅bn–2+bn–1)
dir.
x−
1
=3
x
1
4
olduğuna göre, x + 4 toplamının değeri kaçtır?
x
A) 98
B) 119
C) 142
D) 167
E) 196
10. SINIF MATEMATİK
85
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Çözüm
x−
DNA 17
1
= 3 ifadesinde eşitliğin iki yanının karesini alalım:
x
2
1

2
x −  = 3
x

2
x +
1
x2
x2 +
x–y=2
x3 – y3 = 98
olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır?
1 1
+
=9
x x2
x2 − 2 ⋅ x ⋅
A) 10
x2 +
x2
C) 20
D) 25
E) 30
−2=9
1
x2
Çözüm
= 11
olur.
1
B) 15
x3 – y3 = (x – y) ⋅ [(x – y)2 + 3xy]
= 11 ifadesinde eşitliğin iki yanının yeniden ka-
resini alalım:
2
 2 1 
2
 x + 2  = 11
x 

2
 1 
(x ) + 2 ⋅ x ⋅
+   = 121
x2  x2 
2 2
2
1
x4 + 2 +
x4 +
1
x4
1
x4
⇒ 98 = 2 ⋅ (22 + 3xy)
⇒ 49 = 4 + 3xy
⇒ 3xy = 45
⇒ xy = 15
tir.
= 121
Doğru Seçenek B
= 119
buluruz.
Doğru Seçenek B
x+
B) 4
C) 6
D) 8
olduğuna göre, x 8 +
A) 45
86
x3 + y3 = 56
1
x8
B) 47
10. SINIF MATEMATİK
toplamının değeri kaçtır?
C) 51
D) 55
A) –12
B) –8
C) –4
D) 4
E) 8
D) 80
E) 84
E) 12
1
x − =1
x
x+y=2
olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır?
1
=2
x
1
4
olduğuna göre, x + 4 toplamının değeri kaçtır?
x
A) 2
E) 64
x–y=4
x⋅y=1
olduğuna göre, x3 – y3 farkı kaçtır?
A) 68
B) 72
C) 76
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
x2 –xy – 2y2 = x2 – y ⋅ x – 2y2 = (x – 2y) (x + y)
a ≠ 0 olmak üzere, ax2 + bx + c üç terimlisinin çarpanlarına
ayrılmasını iki başlık altında inceleyeceğiz.
–2y
Çarpımları –2y2
+y
Toplamları –y
123
4. ax 2+bx+c üç terimlisinin çarpanlara ayrılması:
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Bunlardan biri a = 1 durumu, diğeri a ≠ 1 durumu.
Bu tip ifadeleri çarpanlarına ayırırken son terimi sabit
bir sayı gibi düşünüp çarpanlarına ayırırız.
x2 + bx + c ifadesi çarpanlarına ayrılırken toplamları b,
çarpımları c olan sayılar bulunur.
Toplamları b, çarpımları c olan sayılar m ve n olsun.
Yani,
x2 – 4xy + 3y2 = x2 – 4y ⋅ x + 3y2 = (x – 3y) (x – y)
b = m + n ve c = m ⋅ n
ise üç terimlinin çarpanlara ayrılmış hali,
–3y
Çarpımları +3y2
–y
Toplamları –4y
123
I. a = 1 iken ax2 + bx + c ifadesinin çarpanları:
x2 + bx + c = (x + m) (x + n)
dir.
Hazine 5
Birkaç örnek üzerinde görelim.
x2 – 5x + 4 = (x – 1) (x – 4)
Çarpımları +4
–4
Toplamları –5
123
–1
m + n = a ve m ⋅ n = b olmak üzere,
x2 + ax + b = (x + m) ⋅ (x + n)
dir.
4 ün çarpanları olan (–1) ve (–4) sayılarının toplamı x
in katsayısı olan (–5) i verdiğinden x2 – 5x + 4 ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi (x – 1) ⋅ (x – 4) tür.
DNA 18
x2 + 2x – 15 = (x + 5) (x – 3)
Çarpımları –15
–3
Toplamları +2
123
+5
x 2 − 5 x + 6 x 2 − 13 x + 36
−
x−2
x−4
ifadesinin eşiti kaçtır?
x2 –x –6 = (x – 3) (x + 2)
Çarpımları –6
+2
Toplamları –1
123
–3
A) –12
Toplamları –7
x2 – 4x – 12 = (x – 6) (x + 2)
–3
Çarpımları +6
x2
–2
Toplamları –5
E) 12
– 13x + 36 = (x – 4) (x – 9)
Çarpımları –12
–4
Çarpımları +36
–6
Toplamları –4
–9
Toplamları –13
123
+2
123
D) 6
x2 – 5x + 6 = (x – 3) (x – 2)
123
–5
123
Çarpımları +10
C) –3
Çözüm
x2 –7x + 10 = (x – 2) (x – 5)
–2
B) –6
10. SINIF MATEMATİK
87
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
x 2 − 5x + 6 x 2 − 13x + 36 ( x − 3) ( x − 2) ( x − 4) (x − 9)
−
=
−
x−2
x−4
( x − 2)
( x − 4)
Şimdi elde ettiğimiz bu ifadeden (mx + n) (px + q) çarpımını elde etmek için ne yapılması gerektiğine bakalım.
= ( x − 3) − ( x − 9)
mpx2 + (mq + np)x + nq
= x−3−x+9
mx
+n
=6
px
+q
+npx
+
+mqx
+(mq + np)x
olur.
Doğru Seçenek D
Oklar yönünde çarpma yapılıp bulunan npx ve mqx değerlerinin, toplanınca ortadaki terimi verdiğine dikkat ediniz.
Bu anlattıklarımızı birkaç örnek üzerinde görelim.
2
2
x − 4 x − 21 x − 9 x + 14
−
x+3
x−2
• 12x2 + x – 6 = (4x + 3) (3x – 2)
ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –14
C) 0
B) –7
D) 7
4x
+3
3x
–2
+9x
+
E) 14
–8x
+x
• 5x2 + 18x – 8 = (x + 4) (5x – 2)
B) –2
C) –1
5x
–2
+20x
+
–2x
• 8x2 –10xy – 3y2 = (4x + y) (2x – 3y)
işleminin sonucu kaçtır?
A) –4
+4
+18x
x 2 − 2x − 3 x 2 + x − 2
−
x +1
x+2
x
D) 1
E) 3
4x
+y
2x
–3y
+2xy
+
–12xy
–10xy
• abx2 +(a + b)x + 1 = (ax + 1) (bx + 1)
II. a ≠ 1 iken ax2 + bx + c ifadesinin çarpanları:
ax
+1
a ≠ 0 ve a ≠ 1 iken
bx
+1
ax2
+ bx + c üç terimlisinin çarpanlarına
ayrılmış hali,
+bx
+
+ax
(a + b)x
(mx + n) ⋅ (px + q)
olsun.
• ax2 +(2a + b)x + 2b = (x + 2) (ax + b)
(mx + n) (px + q) = mpx2 + mqx + npx + nq
= mpx2 + (mq + np)x + nq
olur.
88
10. SINIF MATEMATİK
•
x
+2
+2ax
ax
+b
+bx
+
(2a + b)x
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Hazine 6
m ⋅ n = a, p ⋅ q = c ve mq + np = b olmak üzere,
2x2 – 3x – 2 = (ax + b) ⋅ (cx + d)
olduğuna göre, ac + bd toplamı kaçtır?
ax2 + bx + c = (mx + p) ⋅ (nx + q)
A) –2
dur.
C) 0
B) –1
D) 1
E) 2
DNA 19
15x2 – 19x + 6 = (ax + b) ⋅ (cx + d)
eşitliğine göre, a ⋅ c + b ⋅ d ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –19
B) –15
C) 6
D) 15
E) 21
6x2 – x – 12 = (ax + b) (cx + d)
eşitliğine göre, a ⋅ c – b ⋅ d ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –12
B) –6
C) 6
E) 18
D) 12
Çözüm
15x2 – 19x + 6 =(ax + b) ⋅ (cx + d)
15x2 – 19x + 6 = acx2 + adx + bcx + bd
15x2– 19x + 6 = acx2 + (ad + bc)x + bd
III. Değişken değiştirerek ax2 + bx + c üç terimlisine
Polinom eşitliğinden,
dönüştürülebilen ifadeler:
a ⋅ c = 15
Verilen polinomlardaki benzer ifadeler değişken kullanılarak yeniden adlandırılır ve şimdiye kadar gördüğümüz
ad + bc = –19
çarpanlarına ayrılabilen ifadelerden birine dönüştürülür.
bd = 6
olur.
DNA 20
O halde,
ac + bd = 15 + 6 = 21
x4 – 10x2 + 9
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
dir.
hangisidir?
Doğru Seçenek E
A) x – 3
B) x – 2
D) x + 2
C) x
E) x + 4
10. SINIF MATEMATİK
89
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Çözüm
DNA 21
x2 = a dersek polinom,
(x2 + x)2 – 8(x2 + x) + 15
(x2)2 – 10 ⋅ x2 + 9 = a2 – 10 ⋅ a + 9
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
olur.
hangisidir?
Çarpanlarına ayırırsak,
A) 2x2 + x + 1
–9
–1
123
a2 –10a + 9 = (a – 9) ⋅ (a – 1)
B) x2 – x + 4
D) x2 – 2x + 3
C) x2 + x – 4
E) x2 + x – 3
Çarpımları +9
Toplamları –10
Çözüm
(a – 9) ⋅ (a – 1) = (x2 – 9) (x2 – 1)
= (x – 3) (x + 3) (x – 1) (x + 1)
Birinci terim ve ikinci terimdeki x2 + x ifadeleri ortak olduğundan x2 + x = t diyelim.
Çarpanlardan biri (x – 3) tür.
(x2 + x)2 –8(x2 + x) + 15 = t2 – 8t + 15
Doğru Seçenek A
–3
–5
123
Çarpımları +15
Toplamları –8
t2 – 8t + 15 = (t – 3) (t – 5)
= (x2 + x – 3) (x2 + x – 5)
Çarpanlardan biri (x2 + x – 3) tür.
x4 – 5x2 + 4
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangi-
Doğru Seçenek E
sidir?
A) x – 4
B) x – 3
D) x + 3
C) x + 2
E) x + 4
Aşağıdakilerden hangisi,
x4 + x2 – 6
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangi-
ifadesinin bir çarpanı değildir?
A) x − 2 D)
90
B) x + 2 2−x 10. SINIF MATEMATİK
(x2 –x)2 – (x2 – x) – 6
sidir?
C) x2 + 3
E) x – 2
A) x – 4
B) x – 2
D) x2 + x – 3
C) x – 1
E) x2 – x + 2
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
DNA 22
4x – 3 ⋅ 2x+1 + 9 = 0
4x –2x+3 + 15
ifadesinin çarpranlarına ayrılmış şekli aşağıdaki-
olduğuna göre, 8x kaçtır?
A) 9
lerden hangisidir?
A) (4x – 3) (4x – 5)
B) (4x + 3) (4x + 5)
C) (2x – 3) (2x – 5)
D) (2x + 3) (2x + 5)
E) (2x + 5) (2x – 3)
B) 18
C) 20
D) 24
E) 27
5. Terim ekleyip-çıkarma yolu ile çarpanlara ayırma:
Bazı polinomlar bir terim ekleyip - çıkararak ve özdeşlik-
Çözüm
lerden yararlanarak çarpanlarına ayrılabilir.
Önce verilen ifadeyi düzenleyelim.
DNA 23
4x – 2x+3 + 15 = (22)x – 2x ⋅ 23 + 15
= (2x)2 – 8 ⋅ 2x + 15
polinomun çarpanlarından biri aşağıdakilerden
Birinci ve ikinci terimdeki ortak ifadeler 2x olduğundan
2x
hangisidir?
= t diyelim.
–5
123
(2x)2 – 8 ⋅ 2x + 15 = t2 – 8t + 15
–3
x4 – 3x2 + 1
Çarpımları +15
A) x2 – 2x – 1
B) x2 – x – 1
C) x2 + x + 1
D) x2 + 2x – 1
Toplamları –8
E) 2x2 – x + 1
t2 – 8t + 15 = (t – 3) (t – 5)
Çözüm
= (2x – 3) (2x – 5)
olacağından verilen ifadenin çarpanlarına ayrılmış şekli,
(2x – 3) ⋅ (2x – 5)
x2 = t dersek polinom ikinci dereceden bir ifadeye dönüşür.
tir.
x4 – 3x2 + 1 (x2)2 – 3x2 + 1 = t2 – 3t + 1
Doğru Seçenek C
–3t = –2t – t biçiminde parçalanırsa,
t 2 − 2t − t + 1 = t2
− 2t +1 − t
( t −1)2
9x – 5 ⋅ 3x + 6
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
= (t – 1)2 – t
= (x2 – 1)2 – x2
= (x2 – 1 – x) (x2 – 1 + x)
olur.
Çarpanlardan biri (x2 – x – 1) dir.
A) 3x – 3
B) 3x – 1
D) 3x + 3
C) 3x + 1
Doğru Seçenek B
E) 3x + 5
10. SINIF MATEMATİK
91
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Çözüm
x4 – 2x2 + 1
x2 + 3y2 – 4xy + 6y – 9 = x2 – 4xy + 3y2 + 6y – 9
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x2
C)
x2
x2 – 4xy ifadesini tam kare yapabilmek için bu ifadeye
(2y)2 ifadesini ekleyip - çıkaralım:
– 1
+ 4
B)
x2
– 4
D)
x2
+x+1
x 2 − 4 xy + (2y )2 − (2y )2 + 3 y 2 + 6 y − 9

( x − 2 y )2
E) x2 – x + 1
= ( x − 2y )2 − 4 y 2 + 3 y 2 + 6 y − 9
= ( x − 2y )2 − ( y 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ y + 32 )
= ( x − 2y )2 − ( y − 3)2
= ( x − 2y + y − 3) ⋅ ( x − 2y − y + 3)
= ( x − y − 3) ⋅ ( x − 3 y + 3)
Doğru Seçenek E
Aşağıdakilerden hangisi,
x4 – 9x2 + 16
ifadesinin bir çarpanıdır?
x2 – 4xy + 3y2 + 2y – 1
A) x – 2
B) x + 2
C) x2 – x + 4
D) x2 + x + 4
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangi-
E) x2 + x – 4
sidir?
A) x – 3y + 1
B) x + 3y + 1
C) x + 3y – 1
D) x + y – 3
E) x + y + 3
DNA 24
x2 + 3y2 –4xy + 6y –9
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x + 3y + 3) ⋅ (x + y – 3)
B) (x + 3y – 3) ⋅ (x – y + 3)
C) (x – 3y – 3) (x + y – 3)
D) (x – 3y + 3) (x + y – 3)
E) (x – 3y + 3) (x – y – 3)
92
10. SINIF MATEMATİK
x2 – y2 – 2x – 2y
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (x – y + 1) (x + y – 1)
B) (x – y – 1) (x + y + 1)
C) (x – y – 2) (x + y + 1)
D) (x – y – 2) (x + y)
E) (x + y – 2) (x – y)
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
6. Tam kareye tamamlama:
Çözüm
a ≠ 0 olmak üzere, ax2 + bx + c ifadesinde başkatsayı
1 olacak biçimde,
9x2 + 24x + c = (3x)2 + 2 ⋅ 3x ⋅ 4 + c
b
c

ax 2 + bx + c = a  x 2 + x + 
a
a

olduğundan ifadenin tam kare olabilmesi için c = 42 = 16
olmalıdır.
işlem yapıldıktan sonra, parantez içindeki ifadeye orta te  b 2 
rim olan x in katsayısının yarısının karesi    ekle 2a  
Doğru Seçenek C
nip, çıkarılır.
Böylece, bir tam kare ifade elde edilmiş olur.
(x  a)2 = x2  2ax + a2
özdeşliğinin açılımında x in katsayısı olan 2a nın yarısının
karesi sondaki terim olan
a2
yi vermektedir.
4x2 + 9x + c
ifadesinin bir tam kare olabilmesi için c kaç olmalıdır?
Bir örnek üzerinde görelim:
A)
x2 + 6x + 5 = x2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 5
9
4
B)
49
16
C)
81
16
D)
25
4
E) 9
ifadesinin tam kare olabilmesi için ifadeye 32 sayısını ekleyip çıkaralım:
x2
+ 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 − 32 + 5 = ( x + 3)2 − 9 + 5
( x + 3 )2
= ( x + 3)2 − 4
x2 + 4x + (a – 1)
= ( x + 3)2 − 22
ifadesi bir tam kare olduğuna göre, a kaçtır?
= ( x + 3 − 2)( x + 3 + 2)
A) 3
C) 5
B) 4
D) 6
E) 7
= ( x + 1)( x + 5)
olur.
Işık 4
n ∈ N+ ve x, y ∈ R olmak üzere,
DNA 25
x2n + y2n = 0
ise x = 0 ve y = 0 dır.
9x2 + 24x + c
ifadesinin bir tam kare olabilmesi için c kaç olmalıdır?
A) 4
Tanımlı olduğu durumlarda herhangi bir sayının çift
kuvveti asla negatif olamaz. O halde çift kuvveti alınan
iki gerçek sayının toplamının sıfır olmasının tek yolu
B) 9
C) 16
D) 25
E) 36
bu iki sayının ayrı ayrı sıfır olmasıdır.
10. SINIF MATEMATİK
93
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
POLİNOMLARDA OBEB - OKEK
DNA 26
OBEB:
x2 + y2 + 6x + 10y + 34 = 0
Sıfırdan farklı ve sabit olmayan iki ya da daha çok polino-
olduğuna göre, x2 + y2 toplamı kaçtır?
A) 18
B) 24
C) 28
D) 30
E) 34
mun her birini tam bölen en büyük dereceli polinoma, bu
polinomların ortak bölenlerinin en büyüğü (OBEB) denir. OBEB bulunurken verilen polinom asal çarpanlarına
ayrılır. Ortak asal çarpanlardan derecesi en küçük olanla-
Çözüm
rın çarpımı OBEB i verir.
x2 + y2 + 6x + 10y + 34 = 0
x2 + 6x + y2 + 10y + 34 = 0
2
2
OKEK:
2
2
x
+ 2 ⋅ 3 ⋅ x + 3 + y + 2 ⋅ 5 ⋅ y + 5 = 0


( x +3 )2
Sıfırdan farklı ve sabit olmayan iki ya da daha çok polino-
( y +5 )2
mun her birine tam bölünebilen en küçük dereceli polino-
( x + 3)2 + ( y + 5)2 = 0
ma bu polinomların ortak katlarının en küçüğü (OKEK)
olur.
denir. OKEK bulunurken verilen polinomlar asal çarpanla-
x + 3 = 0 ve
y+5=0
x = –3
y = –5
ve
rına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan derecesi büyük olanlar ile ortak olmayanların çarpımı OKEK i verir.
tir.
x2 + y2 = (–3)2 + (–5)2 = 9 + 25 = 34
tür.
Doğru Seçenek E
DNA 27
P(x) = x2 – 3x + 2
Q(x) = x2 + x – 6
H(x) = x2 + 2x – 3
polinomlarının OKEK i ile OBEB i aşağıdakilerden
hangisinde doğru olarak verilmiştir?
x2 + y2 – 4x + 10y + 29 = 0
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) –5
94
B) –3
10. SINIF MATEMATİK
C) –2
D) 2
OKEK
OBEB
A) (x – 2) (x – 1) (x + 3)
1
B) (x – 2) (x – 3) (x + 3)
(x – 2)
C) (x – 1) (x + 1) (x + 3)
(x – 2)
D) (x – 1) (x + 1)
E) 3
E) (x –
2)2
⋅ (x +
3)2
1
(x – 1)
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
RASYONEL İFADELER
Çözüm
Paydası sıfır polinomundan farklı, pay ve paydası birer
polinom olan kesirli ifadelere “rasyonel ifade” denir. Yani
Polinomları çarpanlarına ayıralım.
P( x )
biçimindeQ( x )
P(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1) (x – 2)
rasyonel ifadeler Q(x) ≠ 0 olmak üzere,
Q(x) = x2 + x – 6 = (x + 3) (x – 2)
dir.
H(x) = x2 + 2x – 3 = (x + 3) (x – 1)
Rasyonel ifadelerde pay ve paydada bulunan ifadeler çar-
P(x), Q(x), H(x) polinomlarını aynı anda bölen bir polinom
panlarına ayrılarak varsa gerekli sadeleştirmeler yapılır.
Bunu DNA’larla gösterelim.
olmadığı için OBEB leri 1 dir.
OKEK leri ise
(x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x + 3)
DNA 28
tür.
x 2 − 16
OKEK üç polinoma da ayrı ayrı bölünebilmektedir.
Doğru Seçenek A
x2 − 3x − 4
:
x2 + 4x
x2 + x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x−4
x −1 D)
x −1
x−4 B)
x +1
x+4 C)
x+4
x +1
E) 1
Çözüm
P(x) = 4x2 –16x + 12
Q(x) = 2x2 – 2x – 12
x 2 − 16
2
x − 3x −
4

−4
+1
:
x2 + 4x
2
x +x
=
=
polinomlarının OKEK i ile OBEB i aşağıdakilerden
hangisinde doğru olarak verilmiştir?
OKEK
A) 2(x – 1) (x – 3) (x + 2)
OBEB
x–3
B) 2(x – 1) ⋅ (x – 3)2 ⋅ (x + 2)
2(x – 3)
C) 4(x – 1) (x – 3) (x + 2)
2(x – 3)
D) 4(x – 1) (x – 3)2 (x + 2)
x–3
E) (x – 1) (x – 3) (x + 2)
=
x 2 − 42
x ⋅ ( x + 4)
:
( x − 4)( x + 1) x ⋅ ( x + 1)
( x − 4) ( x + 4) x + 4
:
( x − 4) ( x + 1) x + 1
( x + 4)
( x + 1)
⋅
( x + 1)
( x + 4)
=1
olur.
Doğru Seçenek E
2(x – 3)
10. SINIF MATEMATİK
95
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Çözüm
1 − x 2 − 2y + y 2
–4
+1
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C)
x + y +1
y − x −1
x + y −1
x + y +1
B)
D)
x − y +1
x + y −1
Çarpımları –4
Toplamları –3
m2 + bm + c
2
m − 3m − 4
y − x +1
x + y −1
=
m−2
m +1
m2 + bm + c
m−2
=
(m − 4)(m + 1) m + 1
y − x −1
x + y +1
E)
123
m2 – 3m – 4 = (m – 4) (m + 1) dir.
x 2 + y 2 − 1 + 2xy
olduğundan payın çarpanlarından biri (m – 2) diğeri ise
(m – 4) tür.
O halde,
m2 + bm + c = (m – 2) ⋅ (m – 4)
m2 + bm + c = m2 – 6m + 8
olacağından b = –6 ve c = 8 dir.
b + c = –5 + 8 = 2
x2 − 3x + 2
x2 + x − 2
bulunur.
x2 + x
: 2
x + 3x + 2
Doğru Seçenek C
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x x−2
B) x − 2
x+2 D) x − 2 x C) x + 2
x
E) x – 2
x 2 + ax + b
x2 + x − 2
=
x +1
x −1
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 3
C) 5
B) 4
D) 6
E)7
DNA 29
m2 + bm + c
m2 − 3m − 4
ifadesinin en sade biçimi
b + c toplamı kaçtır?
A) –14
96
B) –2
C) 2
10. SINIF MATEMATİK
m−2
olduğuna göre,
m +1
D) 6
E) 14
x 2 − mx + 6
2
x − nx + 12
=
x−2
x−4
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –12
B) –6
C) 6
D) 12
E) 15
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
POLİNOM DENKLEMLER VE RASYONEL
DENKLEMLER
TANIM
7x – 11 = 12 – [4(7 – x) + 1]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisiP(x) derecesi sıfırdan farklı bir polinom olmak üzere, P(x) = 0
dir?
eşitliğine bir polinom denklem denir. P(x) = 0 şartını
A) {–2}
B) {–1}
C) {0}
D) {1}
E) {2}
D) 6
E) 7
sağlayan her x gerçek sayısına ise denklemin bir kökü
denir.
P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere,
P( x )
= 0 denklemine rasyonel denklem, varsa bu şarQ( x )
tı sağlayan her x gerçek sayısına ise denklemin bir kökü
denir.
olduğuna göre, x kaçtır?
Bir polinom denklemin ve rasyonel denklemin varsa kök-
A) 3
x – [x – (3x – 1)] = 14
C) 5
B) 4
lerini bulmak için yapılan işleme denklemi çözme, bütün
köklerden oluşan kümeye çözüm kümesi denir.
DNA 30
DNA 31
4x – 8 = 10 – [3x – (6 – x)]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
gisidir?
A) {–3}
2 – 5(5 – x) = 7(x – 2) – 2x
gisidir?
B) {–1}
C) {0}
D) {1}
 14 
A) −   13  E) {3}
Çözüm
4x – 8 = 10 – [3x – (6 – x)]
 13 
B) −   14  14 
D)   13 
13 
C)  
14 
E) ∅
Çözüm
4x – 8 = 10 – [3x – 6 + x]
4x – 8 = 10 – [4x – 6]
4x – 8 = 10 – 4x + 6
12 – 25 + 5x = 7x – 14 – 2x
4x + 4x = 16 + 8
–13 + 5x = 5x – 14
8x = 24
x=3
12 –5(5 – x) = 7(x – 2) – 2x
–13 = –14
–13 ≠ –14 olduğundan bu eşitliği sağlayan x değeri yoktur.
Yani çözüm kümesi boş kümedir (∅).
olduğundan çözüm kümesi {3} tür.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek E
10. SINIF MATEMATİK
97
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Çözüm
3(2x + 1) – 2(6x – 4) = 3(4 – 2x)
Verilen denklemin paydalarını eşitleyelim.
5x − 1 2
x 3 x − 1 2x
+
=
−
+
6
3
3
2
1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
 12 
A) −   11   11 
B) − 
 12  D) ∅
(1)
 11 
C)  
12 
( 2)
( 2)
(3 )
(6)
5 x − 1 + 4 2x − 3(3 x − 1) + 12x
=
6
6
E) R
5 x + 3 = 2x − 9 x + 3 + 12x
5x + 3 = 5x + 3
0=0
0 = 0 her zaman doğru olduğundan çözüm kümesi gerçek
sayılar kümesidir (R).
Doğru Seçenek E
3x + 1 = (a – 1)x + 2
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre,
a kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 2
D) 3
E) 4
3 x + 1 8 x 5 x 2x + 1
−
− = −
−x
2
3 6 2
3
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
 7
A) − 
 2  2
7 
C)  
B) −   7
2
E) R
D) ∅
DNA 32
5x − 1 2 x 3x − 1
+ = −
+ 2x
6
3 3
2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
 5
A) −   3  3
B) − 
 5 E) R
5 
D)   3 
98
10. SINIF MATEMATİK
3 
C)  
5 
3x − 1 4x + 1
=
6
8
denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) ∅
B) R
D)  1  3   1
 2
C) − 
E) − 1 , 1 
 2 3
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
DNA 33
DNA 34
ax + 7 = 4a – 3x
1
x−5
=
x + 3 x 2 − 2x − 15
denkleminde a nın hangi değeri için x hesaplana-
maz?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
A) –3
B) –2
C) 0
D) 2
gisidir?
E) 3
A) {–5, –3}
Çözüm
B) {–5, 3}
D) R – {–5, 3}
C) {–3, 5}
E) R – {–3, 5}
ax + 7 = 4a – 3x
ax + 3x = 4a – 7
x(a + 3) = 4a – 7
x=
4a − 7
a+3
Çözüm
x2 –2x – 15 = (x – 5) (x + 3)
olur.
–5
cağından,
+3
a+3=0
123
Rasyonel bir ifade paydası sıfır olduğunda tanımsız ola-
Çarpımları –15
Toplamları –2
ifadesinde paydayı sıfır yapan değerleri belirleyelim.
a = –3
değeri için x hesaplanamaz.
Doğru Seçenek A
x + 3 = 0
ise
x = –3 ve
x – 5 = 0
ise
x = 5 tir.
Bulduğumuz çözüm kümesinden bu değerleri çıkarmamız
gerekecek.
( x − 5)
1
=
x + 3 ( x − 5) ⋅ ( x + 3)
mx – 11 = 3m – 4x
1
1
=
( x + 3)
( x + 3)
denkleminde m nin hangi değeri için x hesaplanamaz?
A) 4
B) 2
C) 0
D) –2
E) –4
1= 1
Bulduğumuz sonuç bu eşitliğin tüm gerçek sayılar için
sağlandığını gösterir. Paydayı sıfır yapan değerleri gerçek sayılar kümesinden çıkarırsak çözüm kümesini elde
ederiz.
O halde çözüm kümesi R – {–3, 5} tir.
4x + 5 = mx + 6
denkleminde m nin hangi değeri için x hesaplanamaz?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
Doğru Seçenek E
E) 6
10. SINIF MATEMATİK
99
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
II. d[P(x)] < n olmak üzere,
P( x )
3
(ax + b)n
2
x − x − x +1
=0
x +1
A3
A1
A2
An
+
+
+ ... +
ax + b (ax + b)2 (ax + b)3
(ax + b)n
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 1}
B) {–1}
D) R – {–1}
C) {1}
E) R – {1}
ifadesi,
biçiminde yazılır ve polinom eşitliğinden A1, A2, ..., An sayıları bulunur.
III. ax2 + bx + c ifadesi çarpanlarına ayrılamayan bir ifade olmak üzere,
P( x )
(mx + n) ⋅ (ax 2 + bx + c )
ifadesi,
A
Bx + C
+
mx + n ax 2 + bx + c
1
x2 − 5x + 6
=
2
x2 + x − 6
biçiminde yazılır ve polinom eşitliğinden A, B, C sayıları
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Şimdi örnekler verelim:
A) {3}
bulunur.
B) {2}
D) {3, 2}
C) {9}
E) {3, 9}
•
3x + 5
kesrini,
x( x + 2)
3x + 5
A
B
= +
biçiminde yazdıktan sonra payx( x + 2) x x + 2
daları eşitleyip polinom eşitliğinden A ve B sayılarını bulacağız. A ve B sayılarının bulunmasını DNA
olarak zaten anlatacağız. Burada sadece hangi ifa-
POLİNOMLARIN BASİT KESİRLERE
denin nasıl yazılması gerektiğinden bahsedeceğiz.
AYRILMASI
Diğer örnekleri inceleyiniz.
P(x) ve Q(x) polinomları için d[P(x)] < d[Q(x)] olmak üzere,
P( x )
kesri basit kesirdir.
Q( x )
I. d[P(x)] < n olmak üzere,
P( x )
ifadesi
(a1x + b1) ⋅ (a2 x + b2 )...(an x + bn )
•
•
•
A1
A2
An
+
+ ... +
a1x + b1 a2 x + b2
an x + bn
•
biçiminde yazılır ve polinom eşitliğinden A1, A2, ..., An
•
sayıları bulunur.
100
10. SINIF MATEMATİK
5x + 2
( x + 2)2
3x − 2
3
( x + 5)
=
A
B
+
x + 2 ( x + 2)2
=
A
B
C
+
+
x + 5 ( x + 5)2 ( x + 5)2
x+2
( x − 1)( x + 3)2
x+5
( x + 1)( x 2 + 3)
=
A
B
C
+
+
x − 1 x + 3 ( x + 3)2
=
A
Bx + C
+
x − 1 x2 + 3
1
( x − 3)( x3 + 8 x + 1)
=
A
Bx 2 + Cx + D
+
x−3
x3 + 8 x + 1
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Son iki örneği dikkatli inceleyiniz. Paydada çarpanlarına
ayrılamayan bir ifade varsa, o ifadenin payına ondan bir
küçük dereceli genel polinomu yazıyoruz.
A, B ∈ R olmak üzere,
3x − 1
DNA 35
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) –1
x −1
A
B
=
+
( x + 2)( x − 3) x + 2 x − 3
A
B
+
x −1 x − 2
=
x2 − 3x + 2
C) 3
B) 2
D) 5
E) 8
eşitliğini sağlayan A ve B gerçek sayıları için
A + B toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
DNA 36
Çözüm
x+2
( x − 1)
A
B
=
+
( x + 2)( x − 3) ( x + 2) ( x − 3)
( x −3 )
2
x( x + 1)
=
A Bx + C
+
x x2 + 1
eşitliğini sağlayan A, B ve C gerçek sayıları için
(Paydaları eşitleyelim)
( x + 2)
A + B + C toplamı kaçtır?
( x − 1)
A( x − 3) + B( x + 2)
=
(Paydaları sadeleştirelim)
( x + 2)( x − 3)
( x + 2)( x − 3)
(x – 1) = A(x – 3) + B(x + 2)
x – 1 = Ax – 3A + Bx + 2B
x – 1 = (A + B)x –3A + 2B
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
(İfadeyi açalım)
Çözüm
x+2
2
x( x + 1)
olur. Polinom eşitliğinden,
x+2
2
A + B = 1 ve –3A + 2B = –1
x( x + 1)
bulunur.
İstenen değer A + B = 1 olur.
Doğru Seçenek A
=
=
A Bx + C
+
x x2 + 1
A( x 2 + 1) + x ⋅ (Bx + C)
x( x 2 + 1)
x + 2 = Ax2 + A + Bx2 + Cx
x + 2 = (A + B)x2 + Cx + A
olur.
Polinom eşitliğinden,
A + B = 0, C = 1 ve A = 2
B = –A = –2
2
2
x −4
=
A
B
+
x+2 x−2
ve buradan,
A + B + C = 2 + (–2) + 1 = 1
eşitliğini sağlayan A ve B gerçek sayıları için A – B
farkı kaçtır?
A) −
3
2
B) –1
C) −
1
2
bulunur.
Doğru Seçenek C
D) 0 E) 1
10. SINIF MATEMATİK
101
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
DNA 37
1
2
x( x + x + 1)
=
A
Bx + C
+
x x2 + x + 1
3
( x + 1) ⋅ ( x − 2)
eşitliğini sağlayan A, B, C gerçek sayıları için A + B + C
toplamı kaçtır?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) –1
A) –3
C) 0
D) 2
E) 3
A)
1
1
+
x +1 x − 2
B)
1
1
−
x +1 x − 2
C)
1
1
−
x − 2 x +1
D)
2
1
+
x − 2 x +1
1
3
−
x +1 x − 2
E)
1
A
B
=
−
( x − 4)( x − 5) x − 5 x − 4
Çözüm
olduğuna göre, A2 + B2 toplamı kaçtır?
B) 2
A) 1
C) 4
D) 7
(x + 1) – (x – 2) = 3
E) 9
olduğundan ve verilen ifadenin payı 3 olduğundan
KISAYOL’u kullanabiliriz.
x + 1 ile x – 2 den küçük olanı x – 2 olduğundan,
Basit kesirlere ayırmada aşağıdaki Kısayol’u kullanabili-
3
1
1
=
−
( x + 1)( x − 2) x − 2 x + 1
riz.
dir.
Kısayol
Doğru Seçenek C
a+b
1
1
=
−
(k − a) ⋅ (k + b) k − a k + b
dir. Paydadaki iki çarpan arasındaki fark paya eşitse
ayırım:
1
Küçük olanı
–
1
Büyük olanı
şeklinde kolayca yapılabilir.
Örneğin,
5
1
1
=
−
( x − 2) ⋅ ( x + 3 ) x − 2 x − 3
2
1
1
=
−
x ⋅ ( x − 2) x − 2 x
102
10. SINIF MATEMATİK
1
2
x −4
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
1
1
−
x−2 x+2 B)
1  1
1 
⋅
−

4  x −2 x + 2
C)
1  1
1 
⋅
−
 4  x + 2 x −2 D)
4
4
−
x−2 x+2
E)
1  1
1 
⋅
+

2  x + 2 x −2
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
TEST - 1
5.
olduğuna göre, x2 ⋅ z + y2 ⋅ z + z2 + 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ z ifa-
z = 6 ve x + y = 12
desinin sayısal değeri kaçtır?
1.
polinomunun kaç çarpanı asal polinomdur?
P(x) = x3 – 4x
A) 1
2.
B) 2
C) 3
D) 4
polinomdur?
A) x2 – 1
3.
B) 3x2 –x
D) x3 + 1
D) 900
C) x2
6.
a+b=4
c–a=2
(x – 3) ⋅ (x + 3) + (x + 3)2
ifadesinin çarpanlarından biri değildir?
A) 2
olduğuna göre, a2 + ab – ac – bc ifadesinin sayı-
A) –8
B) –4
C) 4
D) 8
E) 12
B) x
D) x + 3
7.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
C) 2x
E) 2x + 3
3x(y2 + 1) + y(x2 + 9)
A) x + 3
x = 3,444 ...
y = 0,444 ...
E) 1080
sal değeri kaçtır?
E) x – 3
C) 480
Aşağıdakilerden hangisi,
4.
B) 216
E) 5
Aşağıdakilerden hangisi bir indirgenemeyen
A) 169
sayıları için x2 – y2 farkı aşağıdakilerden hangisi-
8.
dir?
A) 3,26
B) 8,81
D) 11,6
C) 11,3
E) 12,5
B) xy + 3
D) 3x – y
C) x + y
E) y – 3x
a+b=5
a⋅b=3
olduğuna göre, a4 + b4 toplamı kaçtır?
A) 196
B) 255
C) 284
D) 343
10. SINIF MATEMATİK
E) 361
103
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
9.
a+
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
13. x, y z gerçek sayıları için,
1
=3
a
1
3
olduğuna göre, a + 3 toplamının değeri kaça
tır?
A) 9
B) 12
C) 18
D) 21
E) 27
x2 + y2 = 15
y2 + z2 = 5
z – x = –5
olduğuna göre, x + z toplamı kaçtır?
A) –5
2
10. 1
2
x = m3 − n3
A) –64m2n
B) –32mn2
C) –16mn
D) 32mn2
14. x+y=5
x⋅y=6
11. x ve y sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere,
−
1
y
2
=4
x
1 1
+ =4
x y
A)
1
5
B)
1
4
C)
2
5
D)
1
2
E)
ifadesinin çarpanlarından biri değildir?
A) x + y
1.C
104
3.E
a⋅b=1
10. SINIF MATEMATİK
5.D
6.A
8.D
B) 18
C) 15
yz – xy –xz = –16
E) 35
9.C
D) 12
E) 9
olduğuna göre, x2 + y2 + z2 toplamı kaçtır?
A) 43
7.B
D) 28
olduğuna göre, a3 + b3 toplamı kaçtır?
x–y–z=3
E) x2y
4.D
C) 25
16. C) x2 – y2
B) x – y
D) x2 + y2
2.E
a2 + b2 = 7
A) 21
x6 + y6 – x2y4 – x4y2
2
3
12. Aşağıdakilerden hangisi
B) 17
15. a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere,
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 5
olduğuna göre, x3 + y3 toplamı kaçtır?
A) 13
E) 64m2n
2
D) 2
1
sine eşittir?
1
C) –1
ve y = m 3 + n 3
olduğuna göre, (x2 – y2)3 aşağıdakilerden hangi-
B) –2
10.A
B) 41
11.C
12.E
C) 37
13.D
D) 31
14.E
15.B
E) 29
16.B
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
5.
TEST - 2
A)
a3 − b3
− ab
a−b
B) 2
C) 4
D) 5
x= 5− 3
y= 5+ 3
olduğuna göre, x4 – y4 farkı aşağıdakilerden han-
A) 32 15 B) 18 15 D) −32 15 3.
a b
− =4
b a
a–b=5
olduğuna göre,
A)
4.
17
49
+
1
toplamı kaçtır?
b2
C)
17
36
D)
17
25
E)
17
16
1
3
B)
2
3
b = 54
olduğuna göre, (a – b)2 – (a + b)2 farkı kaçtır?
B) –210
C) –28
D) –27
E) –26
C) −18 15
E) −64 15
7.
1 1
+ toplamı kaçtır?
a b
C)
3
4
D)
4
5
a = 10 − 3
b = 5 +2
olduğuna göre, (a2 + 6a)3 + (b2 – 4b)3 toplamı kaçtır?
E)
3
2
A) 1
B) 2
C) 8
D) 13
E) 25
1 1 5
− =
x y 2
x⋅y =
2
3
olduğuna göre, x2 + y2 toplamı kaçtır?
A)
a = (0,8)4
A) –212
gisidir?
B)
a
2
E) 7
6.
17
64
1
toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
2.
a2 + b2 = 17
olduğuna göre,
a = 2009 ve b = 2007 olduğuna göre,
a+b=1
1.
23
9
B) 4
C)
37
9
D)
41
9
E)
16
3
8.
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) –4
x2 + y2 – 4x + 4y + 8 = 0
B) –2
C) 0
D) 2
10. SINIF MATEMATİK
E) 4
105
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
9.
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
13. x y
− =3
y x
2 2
+ = 12
x y
A)
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
1
2
olduğuna göre, x + 2 toplamı kaçtır?
x
A) 23
olduğuna göre, x – y farkı kaçtır?
E)
x+y=6
14. x2y + xy2 = 18
olduğuna göre, x2 + y2 toplamı kaçtır?
A) 36
B) 34
11. ab2 + a2b = 6
a⋅b=2
C) 30
D) 28
A) –9
12. D) 6
3
toplamının değeri kaçtır?
a
A) –6
C) 3
106
2.E
3.D
4.C
10. SINIF MATEMATİK
5.A
6.B
D) 167
E) 194
1
x
olduğuna göre, 4 + x toplamı kaçtır?
4
B) 14
C) 23
D) 34
E) 47
E) 9
olduğuna göre, a +
1.C
C) 119
4x + 1 = 3 ⋅ 2x
16. D) 6
B) 79
A) 7
a2 – 3a + 3 = 0
B) –3
E) 62
E) 26
C) 3
D) 47
1
8
olduğuna göre, a + 8 toplamı kaçtır?
a
15. B) –6
C) 38
a4 – 4a2 + 1 = 0
A) 62
olduğuna göre, a3 + b3 toplamı kaçtır?
B) 34
5
2
10. x2 – 7x + 1 = 0
E) 9
7.B
8.C
9.A
x−
1
=3 5
x
olduğuna göre, x +
1
in pozitif değeri kaçtır?
x
A) 2
C) 5
10.C
B) 4
11.E
12.C
13.D
D) 7
14.E
E) 8
15.A
16.D
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
TEST - 3
5.
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
x2 + y2 – 10x + 8y + 41 = 0
A) 1
1.
sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölüne-
B) 4
C) 5
D) 7
E) 9
312 – 1
mez?
A) 14
B) 15
C) 70
D) 73
E) 130
6.
x2 + xy + z2 = 4
y2 + 2yz + 2xz + xy = 12
2.
x = 1+
y = 1−
1
olduğuna göre, x + y + z toplamının pozitif değeri
m
kaçtır?
1
A) 1
3
9m
olduğuna göre, y nin x cinsinden eşiti aşağıdaki-
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
lerden hangisidir?
A) 2x – x2
B) x2 – 2x
D) x2 – x
C) x – x2
E) x2 – 2
7.
32m + 22m = x
3m – 2m = y
olduğuna göre, 6m nin x ve y cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
x6 + 5x3 – 6
hangisi değildir?
A) x3 + 6
B) x3 – 1
D) x2 + x + 1
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
x2 – y2 – 6y – 2x –8
x+y
2
x−y
2 E)
C)
x2 − y2
2
x − y2
2
x+y=5
x⋅y=4
olduğuna göre,
x + y toplamının pozitif değe-
ri kaçtır?
hangisidir?
D)
B)
E) x2 – x + 1
4.
A) x + y – 2
x2 + y2
2
C) x – 1
8.
A)
B) x – y – 2
D) x – y – 4
C) x – y + 2
E) x + y – 4
A) 2
B)
D) 2 3 5
C) 3
E) 2 5
10. SINIF MATEMATİK
107
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
9.
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
13. x, y ∈ Z olmak üzere,
x2 – y2 = 19
10. C) 90
D) 110
4x + 2x+2 – 32
hangisidir?
14. x2 – y2 = 81
x–y=3
A) 2x – 4
B) 2x – 2
4
E) 9
4
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
C) 4x
A) 9
D) 2x + 2
D) 3 2
E) 180
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
C) 3 B) –3
2
kaçtır?
A) –110 B) –90
ifadesi bir tam kare olduğuna göre, a kaçtır?
A) − 3 olduğuna göre, x ⋅ y çarpımının en büyük değeri
x2 – 3x + a
B) 12
C) 18
D) 24
E) 27
E) 2x + 4
11. Aşağıdakilerden hangisi,
x4 – 10x2 + 9
ifadesinin çarpanlarından biri değildir?
A) x – 3
B) x – 2
D) x + 1
C) x – 1
15. x+y=3
a+b=6
E) x + 3
olduğuna göre, ax + by + bx + ay işleminin sonucu kaçtır?
A) 12
12. B) 15
C) 18
D) 24
E) 32
x4 + 64
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) (x2 – 2x + 8) (x2 + 2x + 8)
B) (x2 + 2x – 4) (x2 – 2x – 4)
16. C) (x2 – 4x + 8) (x2 + 4x + 8)
işleminin sonucu kaçtır?
D) (x2 + 4x – 8) (x2 + 4x + 8)
A) 2008
E) (x2 + 8x + 4) (x2 + 8x – 4)
1.B
108
2.A
3.E
4.D
10. SINIF MATEMATİK
5.A
6.D
7.E
8.C
9.C
2011 ⋅ 2009 + 1
B) 2009
D) 2011
10.A
11.B
12.C
C) 2010
E) 2012
13.E
14.E
15.C
16.C
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
5.
TEST - 4
1.
P(x) = x3 – x
x3
Q(x) =
H(x) = x4 + 3x2 – 4
+
H(x) = 3x2 + 12x – 15
A) x – 3
E) x2 + 1
6.
2.
P(x) = 3x3 – 3
Q(x) = 6 – 6x2
B) x – 1
D) x + 3
C) x + 1
E) x + 5
C) x2 – 1
B) x – 1
D) x2 – 2
polinomlarının OBEB i aşağıdakilerden hangisidir?
polinomlarının OBEB i aşağıdakilerden hangisi-
A) x + 1
Q(x) = x2 + 2x – 15
– 2x – 2
dir?
P(x) = 2x2 + 6x – 20
x2
P(x) = (x2 – 4) (9x2 – 4)
Q(x) = (3x2 – 8x + 4) (x2 + 3x + 2)
polinomlarının en büyük ortak böleni R(x) polinomudur.
polinomlarının OKEK i aşağıdakilerden hangisi-
Buna göre, R(x) polinomunun kaç çarpanı asal
dir?
polinomdur?
A) –6(x – 1) (x + 1) (x2 + x + 1)
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
B) 6(x – 1) (x + 1)
C) 3(x – 1) (x + 1)
D) –3(x – 1) (x + 1) (x2 + x + 1)
E) 4(x – 1) (x + 1) (x2 + x + 1)
7.
3.
P(x) = x3 – x2 – x + 1
4.
C) 5
D) 6
Buna göre, R(x) polinomunun x + 1 ile bölümün-
A) 24
E) 7
B) 36
C) 48
D) 60
E) 72
D) 15
E) 16
x + 2 ve 3x polinomlarının ortak katlarının en küçüğü aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x2 + 6x
B) 3x2 + x
C) 6x2 + 3x
D) 4x + 2
polinomlarının en küçük ortak katı R(x – 1) polinomu-
den kalan kaçtır?
ğuna göre, R(5) kaçtır?
B) 4
Q(x) = (x2 + 3x – 4) (x – 3)
dur.
Q(x) = x2 – 4x + 3
polinomlarının en büyük ortak böleni R(x) oldu-
A) 3
P(x) = (x2 + 2x – 15) (x – 1)
E) 2x – 2
x2 − 9
= 12
x−3
8.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 12
10. SINIF MATEMATİK
109
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
y 
x   3 xy 
⋅ 1 +  ⋅ 

x 
y x+y
9.
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
C) x
D) 3x
E) 3y
a
a
+
a +1
a
+
1
10. a
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
A) 1
A) 1
B) a
1
D)
a +1 C) a + 1
2
78 − 52
= 4x
169
olduğuna göre, x kaçtır?
11. A) 3
B) 4
A) 2a
xy − yx
12. 2
x2 − y2
E) 2ab
C) 2c
E) 2(a + b + c)
2a2 + 10ab
⋅
a2 − 4b2
a2 + 3ab − 10b2 a2 + 2ab
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
C) 5
:
B) 2b
D) 2(a + b)
D) 6
A) a
E) 8
x
5x + 5y
B) 2a
C)
x2 − 4y2
16. 2
D) 2a
sidir?
15. 2
C) b
a+b a+c b+c 1
+
−

:
a⋅c
b ⋅c  a ⋅b
 a ⋅b
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangi-
1
E)
a
B) a
14. 1 
 1
⋅
+

a− b a+ b 
dir?
3
B) y
3
A) x
a 2b − b 2
2ab
13. 2
x + 4 xy + 4 y
2
:
a
b
D)1 E) 2
x 2 − 2xy
x3 + 2x 2 y
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
dir?
A)
1.A
110
x
y
2.A
B)
y
x
3.B
C) –y
4.A
10. SINIF MATEMATİK
5.E
D) –5x
6.D
E) –5y
7.D
8.B
A) 1
D) x2
9.E
B) 2
10.B
11.C
E) x ⋅ y
12.E
C) x
13.A
14.B
15.E
16.C
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
TEST - 5
 x3 − 27 x 2 + 3 x + 9  x 2 − 4 x + 4
:

:
 x 2 − 9 x3 + x 2 − 6 x 
x 2 − 2x
x2 − 7x + m
5.
ifadesinin sadeleşebildiği bilindiğine göre, m nin
x2 − 9
alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
1.
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
A) –30
B) –18
C) –12
D) 18
E) 30
dir?
A)
1
1
B) 2
x x
D) x – 2
C) x
E) x2
6.
a ⋅ b + 4 a ⋅ b = 21
2.
 1
1  x + 1   ( x − 2x + 1) ⋅ ( x + x + 1) 
−

:

:
x
−
1
x
+ 1  x 2 − 1 


( x 2 − 1) ⋅ ( x3 − 1)

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
2
2
A)
A) 25
1
x −1
3.
B)
2
x −1
D) x – 1
x+2
+
−
x 2 + 4 x + 3 x 2 + 2x − 3 x 2 − 1
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangi
A)
x+3
x −1
B)
C) 49
D) 64
E) 81
E) 2x
2x + 4
1
B) 36
C) 2
x−3
x +1 1
D)
x −1 C)
1
x +1
1
E)
x+3
x y −y y
7.
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangi-
y + xy
sidir?
sidir?
olduğuna göre, (a – b)2 aşağıdakilerden hangisidir?
dir?
a + b = 10
A)
x+ y
B)
x− y C) x + y
E) x2 – y
D) x – y
x 2 + x − 12
4.
kesrinin en sade biçimi
x 2 + mx + n
oranı kaçtır?
1
A) −
B) –20
20
x−3
m
olduğuna göre,
x−5
n
8.
1
C) 2
1
D)
20
E) 20
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
P(x) = (x4 + 1)2 – 7(x4 + 1) + 10
polinomunun asal çarpanlarının sayısı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
10. SINIF MATEMATİK
E) 7
111
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Polinomların Çarpanlara Ayrılması - Bölüm 02
2x 2 + x − 3
= 4x + 1
x −1
9.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
gisidir?
1
1

1 − = 2 + 3 1 − 
x
x

10. 14. −1
kilerden hangisidir?
A) –1
B) −
1
2
2x + 5 −
A)
C) 1
D)
3
2
x4 +
A) 0
1
1
= 16 −
2−x
x−2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
1
4
gisidir?
1.E
112
B) {2}
2.C
3.C
C) {–2, 2}
4.D
10. SINIF MATEMATİK
5.B
1
2
6.D
7.B
A) –1
C)
3
4
D) 1
8.D
9.E
B) 1
E)
5
4
C) m
E) m ⋅ n
D) n
x
1
 3
= 1+
1 −  :
1
x  2x − 1

1−
x
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
E) ∅
D) {–1, 1}
B)
eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden han-
16. A) {–2}
2x 2 + 3 x − 9 x 5
= +
2x − 3
3 2
3mx − 2n mx − m2 mx 2
−
=
−
3n
2n
n 3
4
3
5x − 6
−
=
x + 2 x − 2 x2 − 4
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
E) {3}
gisidir?
12. D) {2}
E) 2
denkleminin kaç tane gerçek kökü vardır?
C) {1}
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
15. 11. =3
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
 1
 1
A) −  B)    2
2
E) ∅
D) {1}
eşitliğini sağlayan x değerlerinden biri aşağıda-
−1
gisidir?
 1
 1
B) −  C)    2
2
A) {–1}
x  
x 

1 +
 ⋅ 1 −

x+3 
x+3

13. 3
4
10.B
B) 1
11.B
C)
12.E
5
4
13.E
D)
14.C
3
2
15.C
E)
9
5
16.A
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
BÖLÜM 03
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
TANIM
a , b, c birer gerçek sayı ve a ≠ 0 iken,
(m + 2)x2 – 2mx + 2 = 0
ifadesi x değişkenine bağlı ikinci dereden bir denklem
ax2 + bx + c = 0
belirttiğine göre, m aşağıdakilerden hangisi olamaz?
biçimindeki denklemlere x değişkenine bağlı ikinci de-
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
receden bir bilinmeyenli denklem ya da kısaca ikinci
dereceden denklem denir.
Eğer varsa bu denklemi sağlayan x gerçek sayılarına
denklemin kökleri, bu köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Denklemde bulunan a, b, c gerçek sa
yıları ise denklemin katsayıları olarak adlandırılır.
6x2 – 2mx2 – 3mx + 4 = 0
ifadesi x değişkenine bağlı ikinci dereden bir denklem
belirttiğine göre, m aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) –3
DNA 1
B) –1
D) 3
C) 0
E) 4
(m – 5)x2 – 3x – 2 = 0
ifadesi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir
denklem belirttiğine göre, m aşağıdakilerden han-
KÜMESİNİN BULUNMASI
gisi olamaz?
A) –5
II. DERECEDEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM
B) –3
C) 0
D) 3
E) 5
İkinci dereceden bir denklemin çözüm kümesini bulmak
için çarpanlara ayırma yöntemini ve tam kareye tamamlama yöntemini kullanacağız. İkinci dereceden bir denklemin genel çözümü aslında tam kareye tamamlamadan
Çözüm
başka bir şey değildir. Şimdi ilk yöntemimiz olan çarpanlara ayırma ile başlayalım.
ax2 + bx + c = 0
ifadesinin ikinci dereceden bir denklem belirtmesi için
a ≠ 0 olması gerektiğinden,
1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
m –5 ≠ 0
m≠5
ax2 + bx + c = 0
denklemi çarpanlarına ayrıldıktan sonra, her bir çarpan
ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek x değerleri bulunur.
olmalıdır.
Doğru Seçenek E
Yani,
f(x) ⋅ g(x) = 0
ise f(x) = 0 veya g(x) = 0 dır.
10. SINIF MATEMATİK
113
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
III. denklem için,
DNA 2
I.3x2 – 12x = 0
II.x2
III.9x2 – 16 = 0
9x2 –16 = 0
(3x)2 – 42 = 0
–4=0
(3x – 4) (3x + 4) = 0 [İki kare farkı kullanıldı]
Yukarıdaki denklemlerin gerçek sayılardaki çözüm
O halde,
kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak
3x – 4 = 0
verilmiştir?
I
II
III
A) {3, –4}
{2}
{3, 4}
B) {0, 4}
{–2, 2}
{4}
C)
{0}
{2}
4
 
3 
D) {0, 4}
{–2, 2}
 4 4
− , 
 3 3
E) {4}
{–2}
 4

− , 4 
 3

x=
4
3
veya
3x + 4 = 0
veya
x= −
4
3
 4 4
olduğundan denklemin çözüm kümesi − ,  tür.
 3 3
Doğru Seçenek D
Çözüm
I. denklem için,
3x2 – 12x = 0
3x(x – 4) = 0 [3x ortak parantezine alındı]
O halde,
3x = 0
veya
x–4=0
x=0
veya
x=4
olduğundan denklemin çözüm kümesi {0, 4} tür.
II.4x2 – 36 = 0
Yukarıdaki denklemlerin gerçek sayılardaki çözüm
verilmiştir?
x2 – 4 = 0
x2 – 22 = 0
(x + 2) (x – 2) = 0 [İki kare farkı kullanıldı]
O halde,
x+2=0
veya
x = –2 veya
x–2=0
x=+2
olduğundan denklemin çözüm kümesi {–2, 2} dir.
114
I.2x2 – 6x = 0
kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak
II. denklem için,
10. SINIF MATEMATİK
I
II
A) {3}
{4, –9}
B)
{0, 3}
{–3, 3}
C)
{0}
{–4, 9}
D)
{3}
{3}
E)
{–3, 3}
{–3}
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
–1 dir. –3 ile +1 çarpanlarının toplamı x in katsayısı olan
–2 yi verdiklerinden denklemin çarpanlara ayrılmış hali,
I.2x2 – 6 = 0
II.3x2 – 16 = 0
x2 – 2x – 3 = 0
Yukarıdaki denklemlerin gerçek sayılardaki çözüm
kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak
verilmiştir?
I
(x – 3) (x + 1) = 0
olur.
O halde,
II
x – 3 = 0 veya
A) { 3}  3


 3 
B)
{−
3, 3}  3
,
−
 3
C)
{−
3, 3}  4 3 4 3
,
−

3 
 3
D)
{− 3 } E)
{–3, 3}
 4 4
− , 
 3 3
x = 3 veya x = –1
dir.
3

3 
 4 4
− , 
 3 3
x+1=0
Denklemin çözüm kümesi {–1, 3} olur.
Doğru Seçenek A
x2 – 3x – 28 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağı-
DNA 3
dakilerden hangisidir?
A) {–7, 4}
x2 – 2x – 3 = 0
B) {4, 7}
D) {–7, 3}
C) {–3, 4}
E) {–4, 7}
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 3}
B) {1, –2}
D) {1, 3}
C) {–1, –3}
E) {–1, 2}
Çözüm
Başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden bir denklem çarpanlarına ayrılırken sabit terimin çarpanlarına bakılır. Bu
çarpanlardan, toplamları x değişkeninin katsayısını veren
değerler kullanılarak denklem çarpanlarına ayrılır.
x2 – 2x – 3 = 0
denkleminde –3 sabitinin çarpanları –3 ile +1 veya +3 ile
Her x gerçek sayısı için,
(x – 9) (x + a) = x2 –6x – 27
eşitliği sağlandığına göre, a kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 1
D) 3
10. SINIF MATEMATİK
E) 4
115
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Benzer durum cx ile b arasında da olduğundan genel
DNA 4
olarak çarptığımızla değil diğeri ile paranteze alıyoruz demektir.
12x2 + x – 6 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
Şimdi, 12x2 + x – 6 = 0 denklemine dönelim.
gisidir?
12x2 + x – 6 = 0
 3 3
A) − ,   4 2
 2 3
B) − ,   3 4
 4 2
D) − ,   3 3
 3 2
C) − , 
 4 3
123
123
3x
–2
–8x
4x
+3
+ +9x
+x
 2 4
E) − , 
 3 3
4x ile –2, 3x ile +3 çarpılıp elde edilen –8x ve +9x toplandığında ortadaki +x elde edildi. O halde, 4x ile +3 ve 3x ile
Çözüm
–2 paranteze alınacağından ifadenin çarpanlara ayrılmış
hali,
Önce bir hatırlatma yapalım. Başkatsayısı 1 olmayan ikin-
(4x + 3) ⋅ (3x – 2) = 0
ci dereceden bir denklemin çarpanlara ayrılmış hali,
olur.
(ax + b) (cx + d) = 0
Buna göre,
olsun.
4x + 3 = 0
veya
3x – 2 = 0
4x = –3
veya
3x = 2
veya
x=
Denklemi açalım,
acx2 + adx + bcx + bd = 0
acx2
x=−
tür.
+ (ad + bc)x + bd = 0
olur.
Şimdi elde ettiğimiz bu denklemden ilk yazdığımız denkle-
3
4
2
3
 3 2
Denklemin çözüm kümesi, − ,  olur.
 4 3
Doğru Seçenek C
mi elde etmek için ne yapılması gerektiğine bakalım.
acx2 + (ad + bc)x + b ⋅ d = 0
123
123
ax
b
bcx
cx
d
+ adx
(ad + bc)x
Oklar yönünde çarpma yapılıp bulunan bcx ve adx değerleri toplanınca, ortadaki terimi verir. Elde etmek istediğimiz denklem,
5x2 + 18x – 8 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi(ax + b) (cx + d) = 0
dir?
2

A)  , 4  5

idi.
O halde, ax ile d yi çarpmamıza rağmen diğer çarpan olan
b ile paranteze olmak zorundayız.
116
10. SINIF MATEMATİK
 1 5
1 5
B) − ,  C)  , 
 4 2
4 2
 2

D) − , 4   5

2

E) −4, 
5

İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
Denklemin kökü olarak x = –4 gibi yalnız bir sayının bulunması, denklemin bir kökü olduğu anlamına gelmez. Bu
ax2
+ (2a + b)x + 2b = 0
tip denklemlerin birbirine eşit iki kökü (iki kat veya çift kat
denklemi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir
denklem olduğuna göre, bu denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
b

A) −2, −  a

 1 1
B)  ,  a b 
Denklemin çözüm kümesi ise bir elemanlı olup {–4} tür.
 1

C) − , b 
 a

 b

D) − , 2
 a

ta denir) vardır.
Doğru Seçenek D
1

E) −2, 
a

DNA 5
x2 + 8x + 16 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
4x2 – 16x + 16 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
A) {–4, 2}
B) {–2, 4}
D) {–4}
C) {–4, 4}
E) {4}
dir?
A) {–2}
B) {2}
D) {–2, 2}
C) {4}
E) {–2, –4}
Çözüm
(x  y)2 = x2  2 ⋅ x ⋅ y + y2
idi.
x2 + 8x + 16 = x2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x + 42 olduğundan,
= (x + 4)2
olur.
O halde,
x2 + 8x + 16 = 0
(x + 4)2 = 0
(x + 4) (x + 4) = 0
tür.
x + 4 = 0
veya
x = –4 veya
x2 + 9 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağı-
x+4=0
x = –4
dakilerden hangisidir?
A) {–3}
B) {3}
D) {–9}
C) {–3, 3}
E) { }
10. SINIF MATEMATİK
117
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
DNA 6
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
 5
A) 1,   3
(x – 2)2 = 3
(3x – 1)2 = 16
 5 
B) − , 1  3 
3

D) −1,  5

5

C) −1, 
3

 3

E) − , − 1
 5

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {− 3 , 3 } B) {2 − 3 , 3 }
C) {2 − 3 , 2 + 3 } D) {− 3 , 2 + 3 }
E) {−2 3 , 2 3 }
Çözüm
(3x – 1)2 = 16 ise
2. Tam Kareye Tamamlama:
2
(3 x − 1) = 16
Polinomlar tam kare haline getirilerek çarpanlarına ayrılabilirler.
|3x – 1| = 4
3x – 1 = 4
veya
3x – 1 = –4
3x = 5
veya
3x = –3
veya
x = –1
dir.
x=
Tam kare haline getirebilmek için ise,
(x  a)2 = x2  2 ⋅ a ⋅ x + a2
özdeşliği kullanılır. Özdeşliğin açılımında x in katsayısının
5
3
yarısının karesi sondaki sabit olan a2 yi verir. Soru çözümlerinde de ağırlıkla bu bilgiyi kullanacağız.
5

Denklemin çözüm kümesi −1,  tür.
3

DNA 7
Doğru Seçenek C
x2 – 10x + 16 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–4, 2}
(2x – 8)2 = 9
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
B) {–2, 4}
D) {2, 2 2} C) {–2, 8}
E) {2, 8}
Çözüm
dir?
 5 11

A)  ,
2 2   5 11

B) − ,
 2 2 
5

D) −2,  2

118
10. SINIF MATEMATİK
 11 5 
C) − , 
 2 2
11
 2
E) − , − 
2
 5
x2 – 10x + 16 = x2 – 2 ⋅ 5 ⋅ x + 16
olacağından denklemin bir tam kare olabilmesi için denkleme 52 eklenir ve çıkarılır.
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
O halde,
x2 – 2 ⋅ 5 ⋅ x + 16 + 52 – 52 = 0
x2 – 6x + 5 = 0
olur.
2
x 2
− 2⋅2
5 ⋅
x + 53
+ 16 − 52 = 0
1
2
( x −5 )
(x –5)2 + 16 – 25 = 0
(x – 5)2 – 9 = 0
(x – 5)2 – 32 = 0
(x – 5 – 3) (x – 5 + 3) = 0
(x – 8) (x – 2) = 0
x – 8 = 0
veya
x–2=0
x = 8
veya
x=2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) {1, 5}
C) {–1, 5}
D) {–5, 2}
E) {–2, 5}
A) {1, –5}
dir.
Denklemin çözüm kümesi {2, 8} olur.
x2 + 2x – 8 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {2, 4}
Dikkat edilirse denklem çarpanlarına ayrılabilen bir denk-
B) {–2, 4}
D) {–2, 2}
C) {–4, 2}
E) {–4, 4}
lemdir.
x 2 − 10 x + 
16 = 0
−2
−8
–2 ve –8 in çarpımları +16 yı, toplamları –10 u verdiğinden,
x2 –10x + 16 = 0
DNA 8
(x – 2) (x – 8) = 0
x – 2 = 0
veya
x–8=0
x = 2
veya
x=8
x2 + 10x + 12 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
olur.
gisidir?
Çözüm kümesi {2, 8} dir.
A) {−5 − 13 , − 5 + 13 } B) {5 − 13 , 5 + 13 }
C) {−5 13 , 5 13 } D)
Doğru Seçenek E
E)
{
13 − 5,
{
13 , 5}
13 + 5}
10. SINIF MATEMATİK
119
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Çözüm
Denklemin sabit terimi olan 12 nin herhangi iki çarpanının
toplamı x in katsayısı olan 10 u vermediğinden çarpanlarına ayıramayız. Tam kareye tamamlamak için,
x2 + 10x + 12 = x2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 12
olacağından denkleme 52 eklenir ve çıkarılır.
O halde,
x2 – 7x – 1 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {7 − 53 , 7 + 53 }  53 − 7 53 + 7 

,
B) 
2
2


 7 − 53 7 + 53 

,
C) 
2
2


D) {−7 53 , 7 53 }
E) {53 − 7 , 53 + 7 }
2
x12
+ 2⋅2
5 ⋅
x + 53
− 52 + 12 = 0
( x +5 )2
(x + 5)2– 25 + 12 = 0
(x + 5)2 – 13 = 0
(x + 5)2 = 13 ise
DNA 9
13
|x + 5| =
tür.
x + 5 = 13 veya
x + 5 = − 13
x = −5 + 13 veya
x = −5 − 13
2x2 – 8x – 1 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
olur.
Çözüm kümesi {−5 − 13 , − 5 + 13 } tür.
4 −3 2 4 + 3 2 

,
A) 
2
2


4 − 2 4 + 2 

,
B) 
2 
 2
C) {4 − 3 2 , 4 + 3 2 } D) {4 − 2 , 4 + 2 }
4 − 2 2 4 + 2 2 
,

E) 
3
3


Doğru Seçenek A
Çözüm
Şimdiye kadar çözdüğümüz tam kareye tamamlama sorularında x2 li terimin katsayıları 1 idi. Ancak bu soruda
başkatsayı 2. O halde tam kareye tamamlama yöntemini
kullanabilmek için önce başkatsayısının 1 yapılması gere-
x2 + 12x + 26 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağı-
kir. Bunun için denklemi 2 ye bölelim:
dakilerden hangisidir?
A) {−6 10 , 6 10 } C) {3 10 , − 3 10 } 2x2 – 8x – 1 = 0
B)
{
D) {− 10 − 6, 10 − 6}
E) {6 + 10 , 6 − 10 }
120
10. SINIF MATEMATİK
10 − 6, 10 }
x2 − 4x −
1
=0
2
x2 − 2 ⋅ 2 ⋅ x −
1
=0
2
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
Denkleme 22 sayısını ekleyip çıkaralım:
1
2
x12
− 2⋅2
2 ⋅
x + 23
− 22 − = 0
2
2
( x −2)
( x − 2)2 − 4 −
1
=0
2
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
9
( x − 2)2 − = 0
2
( x − 2)2 =
| x−2|=
| x−2|=
olur.
x−2 =
3 2
2
A)
9
2
5 −5
5
B)
D)
3
5+3 5
5
2 5 −5
5
C)
5−2 5
5
E)
5− 5
5
2
3 2
2
3 2
2
veya
x−2 = −
3 2
x = 2+
2
veya
3 2
x = 2−
2
4+3 2
2
veya
x=
x=
5x2 – 10x + 4 = 0
4−3 2
2
II. DERECEDEN DENKLEMLERİN GENEL ÇÖZÜMÜ
ax2 + bx + c = 0
ikinci dereceden denkleminin genel çözümünü elde edebilmek için DNA 9'da yaptığımız işlemin aynısını yapacağız.
Öncelikle başkatsayının 1 olması için eşitliği a ortak pa-
4 −3 2 4 + 3 2 
 dir.
,
Çözüm kümesi 
2
2


rantezine alalım.
ax2 + bx + c = 0
b
c

a  x2 + x +  = 0
a
a

Doğru Seçenek A
2
2

b
c
 b 
 b 
a  x2 + 2 ⋅
⋅x+
 −
 + =0
2
a2
a
 1
 2a 3

 2a 


2
b




 x+ 


 2a 
2

b 
b2
c
a  x +
 − 2 + =0
2a 
a 

4a
2

b 
b2
4a ⋅ c 
=0
a  x +
 − 2 +
2a 

4a
4a2 
2x2 – 6x – 1 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağı
dakilerden hangisidir?
3 − 2 5 3 + 2 5 

,
A) 
2
2


 3 − 11 3 + 11 

,
B) 
2 
 2
 4 − 3 11 4 + 3 11 

,
C) 
2
2


D) {4 − 3 11, 4 + 3 11}
E) {3 − 11, 3 + 11}
2  2

b 
b − 4ac  
  = 0
a  x +
 − 
2
2
a


 4a
 
ax2 + bx + c = 0
denklemi II. dereceden bir denklem olduğundan a ≠ 0 dır.
Dolayısıyla,
2  2
b 
b − 4ac 

 = 0
x +
 − 
2
2a 

 4a

dır.
10. SINIF MATEMATİK
121
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
O halde,
DNA 10
2
b 
b2 − 4ac

x +
 =
2a 

4a2
x+
b2 − 4ac
| 2a |
b
=
2a
2x2 – 7x + 6 = 0
denkleminin gerçek
3 
A)  , 2 2 
b
b2 − 4ac
x+
=
2a
2a
x=−
x=
sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
 2 
B) − , 3   3 
3

C) −2, − 
2

 3 
, 2
E) 
 2

D) {2}
b
b2 − 4ac

2a
2a
−b  b2 − 4ac
2a
olur.
Çözüm
Hazine 1
Önce denklemin D değerini bulalım.
a, b, c gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere,
a = 2, b = –7 ve c = 6 olduğundan,
ax2 + bx + c = 0
D = b2 – 4ac = (–7)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 49 – 48 = 1
denklemini sağlayan x değerleri,
−b + b2 − 4ac
x1 =
2a
ve
−b − b2 − 4ac
x2 =
2a
olur.
Kökler,
dır.
TANIM
Köklerin formülündeki b2 – 4ac değerine denklemin diskriminantı denir. D sembolü ile gösterilir ve "delta" diye
okunur.
−b + ∆
2a
olur.
122
10. SINIF MATEMATİK
ve
−b + ∆
2a
x1 =
−( −7) + 1
2⋅2
x1 = 2
ve
x2 =
−b − ∆
2a
ve
x1 =
−( −7) − 1
2⋅2
ve
x2 =
3
2
3

olacağından çözüm kümesi  , 2 olur.
2

Denklemleri yeniden yazarsak,
x1 =
x1 =
x2 =
−b − ∆
2a
Doğru Seçenek A
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
D nın İŞARETİ ve KÖKLERİN VARLIĞI
x2 – 5x – 8 = 0
Işık 1
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a, b, c gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere,
 5 − 2 13 5 + 2 13 

,
A) 
2
2


5 − 7 5 + 7 

,
B) 
2 
 2
 5 − 57 5 + 57 
 C) 
,
2
2


D) {5 − 13 , 5 + 13 }
E) {5 − 7 , 5 + 7 }
ax2 + bx + c = 0
denkleminin diskriminantı D = b2 – 4ac ve kökleri
x1, 2 =
I.
−b  ∆
idi.
2a
D > 0 olduğunda
∆ bir gerçek sayı olacağın-
dan denklemin iki farklı gerçek kökü vardır.
Yani D > 0 ise x1, 2 =
II.
D = 0 olduğunda
−b  ∆
dır.
2a
∆ = 0 olacağından denklemin
birbirine eşit iki gerçek kökü (çakışık kök, iki katlı
kök veya çift kat kök) vardır.
III. D < 0 olduğunda
2x2 – 8x – 1 = 0
4 − 2 4 + 2 
 ,
C) 
2 
 2
∆ bir gerçek sayı belirtme-
kümesi boş kümedir.
dakilerden hangisidir?
8 − 2 8 + 2 


,
B)  2
2 
b
dır.
2a
diğinden denklemin gerçek sayılardaki çözüm
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağı8 − 3 2 8 + 3 2 

,
A) 
2
2


Yani D = 0 ise x1 = x 2 = −
Sonuç olarak, ikinci dereceden bir denklemin
gerçek kökü veya köklerinin var olabilmesi için
D ≥ 0 olması gerektiği ortaya çıkar.
4 −3 2 4 + 3 2 

,
D) 
2
2


E) {8 − 4 2 , 8 + 4 2 }
DNA 11
4x2– 12x + 9 = 0
denkleminin gerçek
sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
3

A) −2,  2

3 
B)  
2  3

D) − , − 2  2

 3
C) − ,
 2

1

E) {–2}
10. SINIF MATEMATİK
123
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Çözüm
x2 – 3x – m + 1 = 0
denkleminin birbirine eşit iki gerçek kökü olduğuna
a = 4, b = –12 ve c = 9 olur.
göre, m kaçtır?
Denklemin D değerini bulalım.
D = b2 – 4ac = (–12)2 – 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 144 – 144 = 0
A) −
9
2
B) −
7
4
C) −
5
4
D) −
3
4
E) −
1
4
olduğundan denklemin çakışık iki kökü vardır ve bunlar,
x1 = x 2 = −
b
−12 3
=−
=
2a
2⋅4 2
dir.
3 
Çözüm kümesi   olur.
2
DNA 12
4x2 – 12x + 9 = 0
denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna göre,
m nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
denkleminin bir tam kare olduğunu farkedebilirseniz,
A) –3
4x2 – 12x + 9 = 0
(2x)2 – 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 0
(2x – 3)2 = 0
|2x – 3| = 0 ⇒
x=
3
2
D = b2 – 4ac > 0
10. SINIF MATEMATİK
(–3)2 – 4 ⋅ (m – 1) ⋅ (–1) > 0
9 + 4(m – 1) > 0
9 + 4m – 4 > 0
4m + 5 > 0
m>−
5
4
m > –1, 25
olur.
dakilerden hangisidir?
124
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağı-
 2 5
D) − ,   5 2
E) 2
Verilen denklem için a = m – 1, b = –3 ve c = –1 dir.
25x2 – 20x + 4 = 0
D) 1
D > 0 olmalıdır.
Doğru Seçenek B
5 
B)  
2 C) –1
İkinci dereceden bir denklemin iki farklı gerçek kökü varsa
3 
Çözüm kümesi   olur.
2
2
A)   5 
B) –2
Çözüm
olur.
(m – 1)x2 – 3x – 1 = 0
 2
C) − 
 5
 2
E) 0, 
 5
–1,25 ten büyük olan en küçük tam sayı –1 dir.
Doğru Seçenek C
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
Çözüm
Uyarı
İkinci dereceden bir denklemin kök ya da köklerinin olabil-
a ≠ 0 iken,
mesi için D ≥ 0 olmalı idi.
ax2 + bx + c = 0
Denklemin D değerini hesaplayalım:
denkleminde a ile c ters işaretli ise her zaman,
D = b2 – 4ac > 0
olacağından iki farklı gerçek kök vardır. Ancak bu ifadeden a ile c aynı işaretli ise "Denklemin iki farklı gerçek kökü olmaz." anlaşılmamalıdır.
D = b2 – 4ac
= (–6)2 – 4 ⋅ 3 ⋅ 5
= 36 – 60
= –24 < 0
dır.
D < 0 olduğundan denklemin gerçek kökü yoktur. Yani
gerçek sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir.
mx2 – 3x + 6 = 0
Doğru Seçenek E
ikinci dereceden denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna göre, m nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
2mx2 – 4x + 1 = 0
denkleminin çözüm kümesinin boş küme olmasını
x2 – 6x + m – 3 = 0
sağlayan m değerlerinin oluşturduğu küme aşağıdaki
denkleminin en az bir kökü gerçek olduğuna göre,
m nin en büyük değeri kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
sayı aralıklarından hangisidir?
A) (–∞, –3)
D) 11
E) 12
B) (–∞, 2)
D) (2, ∞)
C) (–∞, 0)
E) (3, ∞)
DNA 13
3x2 – 6x + 5 = 0
denkleminin gerçek
sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {3 − 6 , 3 + 6 } 3 − 6 3 + 6 
,

B) 
3 
 3
C) {−2 6 , 2 6 } D) {−3 6 }
E) ∅
x2 + 2x + 4 – m = 0
denkleminin çözüm kümesinin boş küme olmasını
sağlayan m değerlerinin oluşturduğu küme aşağıdaki
sayı aralıklarından hangisidir?
A) (–∞, 3)
B) (–∞, 2)
D) (2, ∞)
C) (–∞, 0)
E) (3, ∞)
10. SINIF MATEMATİK
125
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
DNA 14
(m – 2)x2 + 2mx + m – 1 = 0
denklemi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir
denklemdir.
Bu denklemin gerçek köklerinden biri 2 olduğuna
göre, diğer kökü kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
(m + 1)x2 – 3mx +m – 6 = 0
denklemi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklemdir.
Bu denklemin gerçek köklerinden biri –1 olduğuna
göre, diğer kökü kaçtır?
A) −
1
2
2x2 – 2mx + 2n = 0
B) 0
C)
1
2
E)
D) 1
5
2
Çözüm
Bulunan ya da verilen kök denklemi her zaman sağlar.
Yani x = 2 yazıldığında denklemin sıfır sonucunu vermesi
gerekir.
denkleminin kökleri –2 ve 1 olduğuna göre,
O halde x = 2 değerini denklemde yerine yazalım:
(m – 2) ⋅ x2 + 2mx + m – 1 = 0
(m – 2) ⋅ 22 + 2 ⋅ m ⋅ 2 + m – 1 = 0
4m – 8 + 4m + m – 1 = 0
9m – 9 = 0 ⇒ m = 1
kaçtır?
A) –2
B) −
2
3
C) −
D)
2
3
E) 2
Hazine Avı
olur.
Şimdi m = 1 değerini denklemde yerine yazalım:
(m – 2)x2 + 2mx + m – 1 = 0
(1 – 2)x2 + 2 ⋅ 1 ⋅ x + 1 – 1 = 0
–x2 + 2x = 0
olur.
a ≠ 0 iken ax2 + bx + c = 0 denkleminde b = 0 ise denklem
ax2 + c = 0 halini alır.
Bu durumda denklemi çözersek,
ax2 + c = 0 ⇒ ax2 = –c
Denklemin diğer kökünü bulmak için denklemi çarpanlarına ayıralım:
–x2 + 2x = 0
x2 = −
c
c
⇒|x|= −
a
a
olur.
–x (x – 2) = 0 ⇒ x = 0 veya x = 2 dir.
O halde denklemin kökleri,
O halde denklemin diğer kökü 0 dır.
Doğru Seçenek C
dır.
126
1
3
n
oranı
m
10. SINIF MATEMATİK
x1 = − −
c
ve
a
x2 = + −
c
a
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
�
İkinci Dereceden Denklemler
�
m = 2 değerini denklemde yerine yazalım:
�
�
��
�
x1 ve x2 kökleri sayı doğrusunda başlangıç noktası olan
sıfıra göre simetrik olduklarından simetrik kök olarak adlandırılırlar ve toplamları her zaman sıfırdır.
Yani x1 + x2 = 0 olur.
Kısaca ikinci dereceden bir denklemin simetrik iki gerçek
kökünün olması için,
2x2 + (2 – 2)x – 4 = 0
2x2 – 4 = 0
2x2 = 4
x2 = 2
|x| =
2
olur.
D > 0 ve b = 0
mx2 + (m – 2)x – 4 = 0
��
olmalıdır. Sadece simetrik iki kökünün olabilmesi için ise
b = 0 şartı yeterlidir.
Buna göre, x1 = − 2 ve x 2 = 2
olup büyük kök
2
dir.
Doğru Seçenek D
Işık 2
ax2 + bx + c = 0
denkleminin simetrik iki kökü varsa, b = 0 dır.
m ≠ 1 olmak üzere,
DNA 15
denkleminin simetrik iki gerçek kökü olduğuna göre,
denklemin küçük kökü kaçtır?
m ≠ 0 olmak üzere,
(m – 1)x2 + (m + 3)x + 15 + m = 0
mx2 + (m – 2)x – 4 = 0
denkleminin simetrik iki gerçek kökü olduğuna
A) − 3 D)
B) − 2 2 E)
C) 0
3
göre, denklemin büyük kökü kaçtır?
A) –2
D)
B) − 2 2 C) 0
E) 2
Çözüm
m ≠ 4 olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0
ikinci dereceden denkleminin simetrik iki gerçek kökünün
olabilmesi için D > 0 ve b = 0 olmalıdır.
O halde,
mx2 + (m – 2)x – 4 = 0
denkleminde m – 2 = 0 dır.
Buradan m = 2 bulunur.
mx2 – 4x2 – 8 = 0
denkleminin simetrik iki gerçek kökü olduğuna göre,
m nin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –4)
B) (–∞, 4) – {0}
C) (–4, ∞) – {0}
D) (4, ∞)
E) R – {0}
10. SINIF MATEMATİK
127
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Işık 3
a ≠ 0 iken ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve
3x2 –7x + 4 = 0 denkleminde a = 3, b = –7 ve c = 4 tür.
x2 olmak üzere,
c
i) a + b + c = 0 ise x1 = 1 ve x 2 =
dır.
a
ii) b = a + c ise x1 = –1 ve x 2 = −
c
dır.
a
a + b + c = 3 + (–7) + 4 = 0
olduğundan denklemin köklerinden biri x1 =
c
, diğeri
a
x2 = 1 dir.
Buna göre, x1 =
 4
4
olacağından çözüm kümesi 1, 
 3
3
olur.
DNA 16
Doğru Seçenek C
3x2 –7x + 4 = 0
denkleminin gerçek
sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
4

A) −1,  3

 4
B) − ,
 3
 4

D) − , − 1  3


1 
 4
C) 1, 
 3
E) {–1}
13x2 – 11x – 2 = 0
denklemini gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
 2
A) − ,
 13
Çözüm
2
B)  ,
 13

1 
2

C)  , − 1
 13


1 
2
E)  
 13 
D) {1}
Denklemin D değerini hesaplayalım.
D = b2 – 4ac = (–7)2 – 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 49 – 48 = 1 > 0
olduğundan denklemin iki gerçek kökü vardır ve bu kökler,
x1 =
−b + ∆
2a
ile x 2 =
−b − ∆
2a
dır.
O halde,
x1 =
−( −7) + 1 7 + 1 8 4
=
= = ve
2⋅3
6
6 3
x2 =
−( −7) − 1 7 − 1 6
=
= =1
2⋅3
6
6
73x2 – mx + 12 = 0
denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, diğer
kökü kaçtır?
dir.
 4
Çözüm kümesi 1,  olur.
 3
128
10. SINIF MATEMATİK
A) –1
B) −
11
72
C)
11
72
D)
12
73
E)
15
73
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
TEST - 1
5.
denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, m
2x2 + (m + n)x + 4 – n = 0
kaçtır?
A) –10
1.
ifadesi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir
2x2 – 4mx2 – 2mx + n = 0
B) –8
C) –6
D) –4
E) –2
denklem belirttiğine göre, m aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
B) −
A) –1
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
6.
x2 + 2x – 24 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
2.
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
3x2 – 27 = 0
A) {–2, 3}
B) {–2, 6}
D) {–4, 6}
C) {–3, 4}
E) {–6, 4}
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–3}
B) {–2}
D) {–3, 3}
C) {–3, 0}
E) {0, 3}
7.
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
3x2 –7x – 6 = 0
aşağıdakilerden hangisidir?
3.
Her x gerçek sayısı için,
(x – 6) (x + a) = x2 – 10x + 24
B) –2
C) 1
D) 2
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
x2 + 9 = 0
aşağıdakilerden hangisidir?
B) {–1, 1}
D) {3}
E) { }
E) {–3, –2}
E) 4
4.
A) {–3, 3}
3
 2 

B) − , 3  C) −1, 
2

 3 
2

D) −3, 
3

eşitliği sağlandığına göre, a kaçtır?
A) –4
A) {–3, 2}
C) {0, 3}
8.
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
(x – 1)2 = 2
aşağıdakilerden hangisidir?
{
2 − 1, 2 + 1}
A)
C) {1 − 2 , 2 + 1} B)
E)
{
2 + 1}
D) {− 2 , 2 }
{
2 , 2 + 1}
10. SINIF MATEMATİK
129
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
13. 9.
denkleminin büyük kökü aşağıdakilerden hangi-
x2 + 2 3 x + 1 = 0
2+ 3 A)
3 − 2 C)
B)
D) 2 − 3 A) –11
2− 3
x2
B) –10
C) –9
D) –8
E) –7
3 −2
E)
14. 10. denkleminin en az bir gerçek kökü olduğuna
göre, m nin en küçük değeri kaçtır?
sidir?
x2 + 8x – m + 5 = 0
– 4x + 1 – 2m = 0
x2 + 4x – m + 2 = 0
denkleminin gerçek köklerinin olmamasını sağ-
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
layan m değerlerinin oluşturduğu küme aşağıda-
bir elemanlı olduğuna göre, m kaçtır?
kilerden hangisidir?
A) −
3
2
C) −
B) –1
1
2
D)
1
2
E) 1
A) (3, ∞)
denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğu-
mx2 + (m – 1)x – 1 = 0
na göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
B) 1
C) 0
D) –1
E) (–∞, –3)
15. m ≠ 1 olmak üzere,
A) 2
C) (–∞, 0)
D) (–∞, –2)
11. m ≠ 0 olmak üzere, x değişkenine bağlı,
B) (2, ∞)
denklemi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir
(m – 1)x2 + 3mx – m – 2 = 0
denklemdir.
E) –2
Bu denklemin gerçek köklerinden biri –1 olduğuna göre, diğer kökü kaçtır?
A)
3
2
B) 1
C)
1
2
D) −
1
2
E) −
3
2
12. m ≠ 2 olmak üzere,
denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna göre,
(m – 2)x2 – 4x – 1 = 0
m aşağıdaki aralıklardan hangisinde bulunur?
16. A) (–4, ∞) – {2}
B) (–2, ∞) – {2}
C) (–∞, 3) – {2}
D) (–∞, 4) – {2}
1.D
130
3.A
4.E
10. SINIF MATEMATİK
5.C
denkleminin simetrik iki gerçek kökü olduğuna
göre, m kaçtır?
E) R – {2}
2.D
x2 + (9 – m2)x + m + 1 = 0
A) 3
6.E
7.B
8.C
9.C
10.A
B) 2
11.D
C) 0
12.B
13.A
D) –2
14.D
15.D
E) –3
16.E
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
5.
TEST - 2
Karesi, kendisinin 7 katının 12 eksiğine eşit olan
sayılar aşağıdaki kümelerden hangisinde doğru
olarak verilmiştir?
1.
m bir gerçek sayı olmak üzere,
denkleminin çift katlı bir kökü olduğuna göre,
A) {–4, –1}
x 2 − 4 x + m2 − 6m = 0
B) {–3, 2}
D) {–4, 3}
C) {3, 4}
E) {3, 5}
m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) –10
2.
B) –6
C) 0
D) 6
E) 10
m ≠ 1 olmak üzere,
ikinci dereceden denkleminin farklı iki gerçek
(m –
denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre,
3x2 – (m – 1)x + 3m + 4 = 0
diğer kökü kaçtır?
1)x2
6.
– 4x + 2 = 0
B) −
A) –3
8
3
C)
4
3
D)
8
3
E) 3
kökü olduğuna göre, m için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) m > –3 ve m ≠ 1
B) m < –3
C) m < 1 D) m < 3 ve m ≠ 1
E) m > 3
7.
Çevresi (5x – 8) birim, alanı (3x2 –5x – 88) birim
kare olan karenin alanı kaç birim karedir?
A) 36
3.
denkleminin birbirine eşit iki gerçek kökü oldu-
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
2x2 – 4x + m – 1 = 0
ğuna göre, m kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 0
D) 2
E) 3
8.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
(x + 1)x2–x–6 = 1
gisidir?
4.
denkleminin gerçek kökü olmadığına göre, m nin
x2 – (m – 1)x + 9 = 0
A) {–1, 0, 1}
B) {–2, 0, 2, 3}
alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
C) {–3, 0, 3}
D) {–3, 0, 1}
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
E) {–2, 0, 3}
10. SINIF MATEMATİK
131
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
13. 9.
denklemi x değişkenine bağlı ikinci dereceden
ax2 – (a2 + b)x + a ⋅ b = 0
bir denklem olduğuna göre, bu denklemin kökle-
A) –a
D)
b
a
A) 5
a
C)
b
B) –b
denkleminin simetrik iki gerçek kökü olduğuna
göre, bu denklemin küçük kökü kaçtır?
rinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
px2 – (p2 + p – 6)x – 18 = 0
B) 3
C) –1
D) –3
E) –5
E) a + b
14. a ≠ 0 olmak üzere,
10. ax2 + (a + b)x + b = 0
denklemi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir
denkleminin katsayıları arasında, a + b + c = 0 bağıntısı olduğuna göre, bu denklemin köklerinden
denklemdir.
biri aşağıdakilerden hangisidir?
Bu denklemin çakışık iki kökünün olduğuna
ax2 + bx + c = 0
göre, a ile b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden
A) –1
B) 0
C) 1
D)
hangisidir?
A) a + b = 0
B) a – b = 0
C) 2a – b = 0
D) 2b – a = 0
b
a
E) −
c
b
E) a + 2b = 0
15. a ≠ 0 olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0
11. 3x2 – 6mx + 2n = 0
ğıntısı olduğuna göre, bu denklemin köklerinden
biri aşağıdakilerden hangisidir?
x değişkenine bağlı ikinci dereceden denkleminin
kökleri –1 ve 2 dir.
Buna göre,
A) 4
A) –1
n
oranı kaçtır?
m
B) 2
denkleminin katsayıları arasında a + c – b = 0 ba-
C) –2
D) –4
x2 + (3m – 6)x – 2m + 1 = 0
denklemin kökler çarpımı kaçtır?
A) –6
1.D
132
2.D
B) –3
3.E
C) 3
4.B
10. SINIF MATEMATİK
D) 6
5.C
D)
b
a
E) −
c
b
89x2 – mx + 41 = 0
denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre,
diğer kökü kaçtır?
denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, bu
C) 1
E) –6
16. 12. B) 0
6.B
A) −
E) 8
7.C
8.E
9.D
89
41
D)
10.B
C) −
B) –1
41
89
11.E
12.B
E)
13.D
14.C
89
41
15.A
41
89
16.D
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
II. DERECEDEN DENKLEMLERDE
Yanda verdiğimiz kökler toplamı, kökler çarpımı ve
kökler farkı kullanılarak daha birçok kök-katsayısı
KÖK-KATSAYISI İLİŞKİSİ
bağıntıları bulunabilir.
Hazine Avı
lıştığımız daha da netleşecektir.
a ≠ 0 iken ax2 + bx + c = 0 denklemine ait kökler,
−b + ∆
x1 =
2a
Kökler toplamı:
x1 + x 2 =
1
1 x1 + x 2
+
=
=
x1 x 2
x1 ⋅ x 2
−b + ∆ −b − ∆
2b
b
+
=−
= − olur.
2a
2a
2a
a
−b + ∆ −b − ∆ ( −b)2 − ( ∆ )2
⋅
=
2a
2a
2a ⋅ 2a
=
=
=
=
olur.

Kökler farkı:
| x1 − x 2 | =
=
=
olur.

1
1
−
x1 x 2

∆
c
=
∆
c
2
c
 b
= −  − 2⋅
a
a


b2 − (b2 − 4ac )
4a2
=
b2 − b2 + 4ac
4a2
−b + ∆ −b − ∆
−
2a
2a
=
x12 + x 22 = ( x1 + x 2 )2 − 2 ⋅ x1 ⋅ x 2
4a2
4ac
∆
a
c
a
x − x1
= 2
=
x1 ⋅ x 2
Köklerin kareleri toplamı:
b2 − ∆
4a2
b
a = − b olur.
c
c
a
−
Köklerin çarpmaya göre terslerinin farkı:
Kökler çarpımı:
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı:

x1 ⋅ x 2 =

−b − ∆
ve x 2 =
idi.
2a
Buna göre,

Aşağıdaki örnekleri incelerseniz ne ifade etmeye ça-
=
c
a
=
b2
a
2
2ac
−
a2
b2 − 2ac
a2
olur.
Hazine 2
ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,
−b + ∆ + b + ∆
2a
x1 + x 2 = −
2 ∆
| ∆|
∆
=
=
2a
|a|
|a|
x1 ⋅ x 2 =
b
a
c
a
dır.
10. SINIF MATEMATİK
133
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
e)
DNA 17
Köklerin karelerinin farkının mutlak değeri
x12 − x 22 = ( x1 + x 2 ) ⋅ ( x1 − x 2 ) = 6 ⋅ 2 13 = 12 13
x2 –6x –4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, denklemin aşağıda istenen değerlerini
f)
Köklerin karelerinin toplamı
x12 + x 22 = ( x1 + x 2 )2 − 2x1x 2 = 62 − 2 ⋅ ( −4) = 36 + 8 = 44
bulunuz.
a)
Diskriminantı,
b)
Kökler toplamı,
c)
Kökler çarpımı,
g)
d)
Kökler farkının mutlak değeri,
e)
Köklerin karelerinin farkının mutlak değeri,
f)
Köklerin karelerinin toplamı,
g)
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı,
h)
Köklerin küpleri toplamı,
i)
(2x1 – 1) ⋅ (2x2 – 1) çarpımı,
k)
Köklerin değerleri
h)
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı
x + x2
1
1
6
3
+
= 1
=
=−
x1 x 2
x1 ⋅ x 2
−4
2
Köklerin küplerinin toplamı
x13 + x32 = ( x1 + x 2 ) ⋅ ( x12 − x1 ⋅ x 2 + x 22 )
= 6 ⋅ ( x12 + x 22 − x1 ⋅ x 2 )
= 6 ⋅ ( 44 − ( −4)) = 6 ⋅ 48 = 288
Çözüm
i)
Denklemde a = 1, b = –6 ve c = –4 tür.
(2x1 – 1) (2x2 – 1) = 4x1x2 – 2x1 – 2x2 + 1
= 4 ⋅ (–4) – 2(x1 + x2) + 1
= –16 – 2 ⋅ 6 + 1
= –16 – 12 +1 = –27
a)
Diskriminantı
D = b2 – 4ac = (–6)2– 4 ⋅ 1 ⋅ (–4) = 36 + 16 = 52
b)
Kökler toplamı
k)
Köklerin değerleri
b
−6
x1 + x 2 = − = −
=6
a
1
x1 + x2 = 6 ve x1 − x 2 = 2 13 denklemleri taraf ta-
c)
Kökler çarpımı
x1 ⋅ x 2 =
rafa toplanırsa,
d)
c −4
=
= −4
a
1
Kökler farkının mutlak değeri
∆
x1 − x 2 =
=
a
134
52
= 52 = 2 13
1
10. SINIF MATEMATİK
2x1 = 6 + 2 13 ⇒ x1 = 3 + 13 bulunur.
x1 değeri denklemlerin herhangi birinde yerine yazılırsa x 2 = 3 − 13 olarak bulunur.
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
DNA 18
x2 + 6x + 4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x2 – x + 9 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, denklemin aşağıda istenen değerlerini
tabloda uygun yerlere yazınız.
Buna göre,
x1 + x2 toplamının pozitif değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
a)
Diskriminantı
b)
Kökler toplamı
c)
Kökler çarpımı
d)
Kökler farkının mutlak değeri
e)
Köklerin karelerinin farkının mutlak değeri
f)
Köklerin karelerinin toplamı
A)
2 D)
B)
3 7 C)
E)
5
11
Çözüm
x1 + x 2 değerini bulacak herhangi bir formül vermedik. O halde bu değeri bulabilmek için x1 + x 2 toplamını bildiğimiz bir biçime dönüştürmek durumundayız.
x1 + x 2 = m diyelim.
g)
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı
h)
Köklerin küpleri toplamı
i)
(3x1 – 2) ⋅ (3x2 – 2) çarpımı
k)
Her iki tarafın karesini alalım. Aradığımız değerin m olduğunu da unutmayalım.
( x1 + x 2 )2 = m2
x1 + 2 x1 ⋅ x 2 + x 2 = m2
Köklerin değerleri
x1 + x 2 + 2 x1 ⋅ x 2 = m2
D
x1 + x2
x1 ⋅ x2
x1 – x2
x12 − x 22
x12 + x 22
olur.
x1 + x 2 = −
1
1
+
x1 x 2
x1 ⋅ x 2 =
x13 + x32
(3x1 – 2) (3x2 – 2)
x1
x2
b
−1
=−
= 1 ve
a
1
c 9
= = 9 değerlerini denklemde yerine yazalım.
a 1
1 + 2 ⋅ 9 = m2
1 + 2 ⋅ 3 = m2 ⇒ m2 = 7
m= 7
olur.
Yanıtlar:
x1 + x 2 toplamının pozitif değeri istendiğinden sonuç
a) 20
b) –6
f) 28
g) −
3
2
c) 4
d) 2 5 e) 12 5
h) –144
i) 76
7 olur.
Doğru Seçenek D
k) x1 = −3 + 5 , x 2 = −3 − 5
10. SINIF MATEMATİK
135
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Çözüm
x2 –x + 4 = 0
Denklemin kökler toplamı,
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 + x2 toplamının pozitif değeri aşağı-
Buna göre,
dakilerden hangisidir?
A)
2
x1 + x 2 = −
tür.
3
B)
D)
−4
=4
1
7 E)
C)
5
x1 + x2 = 4
11
ve
2x1 + x2 = 7
denklemlerini ortak çözelim.
Bunun için ilk denklemde eşitliğin iki tarafını –1 ile çarpıp
ikinci denklem ile toplayalım:
–x1 – x2 = –4
+
2x1 + x2 = 7
x1 = 3
x2 – (m – 1)x + 4 = 0
bulunur.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
Bu değer denklemlerin herhangi birinde yerine yazılırsa
x1 + x 2 = 3
tür.
x2 = 1 bulunur.
Buna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
Şimdi x1 ve x2 değerlerinden herhangi birini ilk denklemi-
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
mizde yerine yazarak m değerini bulalım.
x2 = 1 değeri daha pratik olacağından bu değeri kullanalım.
12 – 4 ⋅ 1 + 2m – 3 = 0
DNA 19
x2 –4x + 2m – 3 = 0
1 – 4 + 2m – 3 = 0
2m – 6 = 0
m=3
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
bulunur.
2x1 + x2 = 7
Doğru Seçenek D
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –1
136
B) 1
10. SINIF MATEMATİK
C) 2
D) 3
E) 5
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
Çözüm
1
1
4
+
=
x1 x 2 5
2x2 + 6x – m + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
(Eşitliğin sol tarafında payda eşitleyelim)
x1 – x2 = 5
x1 + x 2 4
=
x1 ⋅ x 2
5
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 9
B) 7
C) 5
D) 1
E) –2
olur.
Şimdi x1 + x2 ve x1 ⋅ x2 değerlerini bulup yerine yazalım:
x1 + x 2 = −
x1 ⋅ x 2 =
b
−4m
=−
= 4m
a
1
c 2m + 9
=
= 2m + 9
a
1
x1 + x 2 4
=
x1 ⋅ x 2
5
4m
4
=
2m + 9 5
(İçler-dışlar çarpımı yapalım)
x2 – (m + 3)x + 12 = 0
5 ⋅ 4m = 4(2m + 9)
denkleminin kökleri ardışık iki tam sayı olduğuna
göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
B) –6
A) –10
C) 4
D) 6
E) 10
20m = 8m + 36
12m = 36
m=3
bulunur.
Doğru Seçenek E
DNA 20
x2 –4mx + 2m + 9 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
1
4
+
=
x1 x 2 5
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 0
x2 + 5mx + 2m – 3 = 0
D) 1
E) 3
1
1
5
+
=−
x1 x 2
3
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 1
D) 3
10. SINIF MATEMATİK
E) 4
137
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
x1 + x2 ve x1 ⋅ x2 değerlerini denklemden bulalım.
mx2
x1 + x 2 = −
–(5m – 1)x + 3m = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
1
4
+
=
x1 x 2 3
x1 ⋅ x 2 =
c −2
=
= −2
a
1
dir.
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –3
b
−m
=−
=m
a
1
C) 1
B) –1
D) 3
( x1 + x 2 )2 − 2x1x 2
( x1 ⋅ x 2 )2
E) 5
m2 − 2 ⋅ ( −2)
( −2)2
=2
=2
m2 + 4
=2
4
DNA 21
m2 + 4 = 8
x2 – mx – 2 = 0
m2 = 4 ⇒ m =  2
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
x12
+
1
x 22
olur.
=2
m nin pozitif değeri istendiğinden m = +2 dir.
olduğuna göre, m nin pozitif değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
Doğru Seçenek B
Çözüm
1
x12
+
1
x 22
=2
(Eşitliğin sol tarafında payda eşitleyelim.)
x12 + x 22
=2
x12 ⋅ x 22
olur.
x12
+ x 22
2
= ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2
( x1 + x 2 )2 − 2x1x 2
2
( x1 ⋅ x 2 )
=2
x12 + x 22 = 43
olduğuna göre, m nin negatif değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –5
olur.
138
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
olduğundan,
x2 + (m – 6)x + m + 4 = 0
10. SINIF MATEMATİK
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
x2 + (m – 1)x + (m + 4) = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
x12
+
1
x 22
=
x2 + (x1 – 2)x – 2x2 = 0
denkleminin sıfırdan farklı kökleri x1 ve x2 sayılarıdır.
5
4
Buna göre, denklemin büyük kökü kaçtır?
olduğuna göre, m nin büyük değeri aşağıdakilerden
A) –6
B) –2
C) 1
D) 2
E) 6
hangisidir?
A) –54
B) –2
C) 2
D) 18
E) 54
x2 – (x1 – 2)x + 3x2 – 6 = 0
DNA 22
denkleminin kökleri x1 ve x2 sayılarıdır.
Buna göre, denklemin büyük kökü kaçtır?
x2 + (x2 + 3)x + 3x1 = 0
denkleminin kökleri sıfırdan farklı x1 ve x2 sayılarıdır.
A) –6
B) –2
C) 1
D) 2
E) 6
Buna göre, denklemin küçük kökü kaçtır?
A) 3
B) –3
C) –6
D) –9
E) –11
DNA 23
Çözüm
Kökler çarpımı,
x1 ⋅ x 2 =
c
⇒ x1 ⋅ x 2 = 3 x1 ⇒ x 2 = 3
a
x2 – mx + n = 0
denkleminin bir kökü 5,
x2 + (m – 3)x + k – 1 = 0
olur.
denkleminin bir kökü –4 olup diğer kökleri ortaktır.
Kökler toplamı,
Buna göre, m kaçtır?
x +3
b
x1 + x 2 = − ⇒ x1 + 3 = − 2
⇒ x1 + 3 = −(3 + 3)
a
1
x1 = −9
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Çözüm
olur.
x1 = –9 ve x2 = 3 olduğuna göre, küçük kök –9 dur.
Doğru Seçenek D
x2 –mx + n = 0 denkleminin köklerinden biri 5 ve diğeri a
olsun. O halde,
x2 + (m – 3)x + k – 1 = 0
denkleminin kökleri –4 ve a olur.
10. SINIF MATEMATİK
139
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
x2 –mx + n denklemi için kökler toplamı,
DNA 24
5 + a = –(–m) ⇒ 5 + a = m olur.
x2 + (m – 3)x + k – 1 = 0 denklemi için kökler toplamı,
–4 + a = –(m – 3) ⇒ –4 + a = –m + 3 olur.
5 + a = m
ise
–4 + a = –m + 3 ise
a = m – 5 ve
m=6
x2 + kx + 2x + 12 = 0
k kaçtır?
A) –2
m – 5 = –m + 7
2m = 12
x2 + kx – 2x – 4 = 0
denklemlerinin birer kökü ortak olduğuna göre,
a = –m + 7 olur.
Buna göre,
B) –1
C) 2
D) 5
E) 6
Çözüm
bulunur.
Doğru Seçenek B
Denklemlerin ortak kökü t olsun.
O halde t her iki denklemi de sağlamalıdır.
Kökü denklemlerde yerine yazalım.
t2 + k ⋅ t – 2t – 4 = 0
2x2
– mx + n = 0
denkleminin bir kökü 2,
x2
t2 + k ⋅ t + 2t + 12 = 0
İkinci denklemi –1 ile çarpıp iki denklemi toplayalım.
t2 + kt – 2t – 4 = 0
–(m + 3)x + k = 0
2
+ –t –kt – 2t – 12 = 0
denkleminin bir kökü –2 olup diğer kökleri ortaktır.
Buna göre, m kaçtır?
B) –14
A) –16
C) –12
D) –10
E) –8
–4t –16 = 0
–4t = 16
t = –4
bulunur.
Kök değerinin denklemi sağlaması gerektiğinden,
t2 + kt – 2t – 4 = 0
denkleminde t = –4 yazılırsa,
3x2 + 2mx + n = 0
(–4)2 + k ⋅ (–4) – 2 ⋅ (–4) – 4 = 0
denkleminin bir kökü –1,
x2 – 2mx + 2x + k = 0
denkleminin bir kökü 1 olup diğer kökler ortaktır.
Buna göre, n ile k arasındaki bağıntı aşağıdakilerden
hangisidir?
C) n + 3k = 0 D) 2n + k = 0
140
16 – 4k + 8 – 4 = 0
20 – 4k = 0
k=5
olur.
A) n – 3k = 0 B) 3n – k = 0
E) k + n = 0
10. SINIF MATEMATİK
Doğru Seçenek D
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
O halde verilen denklemler için,
x2
x2 + (k + 3)x – 7 = 0
m −(m + 1)
n
=
=
4
−6
n+2
+ (k – 2)x – 2 = 0
olur.
m −(m + 1)
=
⇒ 6m = 4(m + 1)
4
−6
denklemlerinin birer kökü ortak olduğuna göre, k kaçtır?
A) –3
B) –1
D) 3
C) 1
6m = 4m + 4 ⇒ m = 2
E) 4
dir.
m
n
2
n
=
⇒ =
⇒ 2(n + 2) = 4n
4 n+2
4 n+2
2n + 4 = 4n ⇒ n = 2
olur.
Buna göre, (m, n) ikilisi (2, 2) dir.
x2 + 3x – 7 + k = 0
x2 + 7x + 5 + k = 0
Doğru Seçenek A
denklemlerinin bir kökü ortak olduğuna göre, k kaçtır?
A) 5
C) 7
B) 6
D) 8
E) 9
3x2 – (m – 1)x + n = 0
2x2 –(m + 2)x + n + 1 = 0
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre,
DNA 25
(m, n) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–3, 1)
mx2
–(m + 1)x + n = 0
4x2
– 6x + n + 2 = 0
B) (–3, –1)
D) (3, 8)
C) (–8, –3)
E) (–8, –1)
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna
göre, (m, n) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, 2)
B) (–1, 2)
D) (–2, 2)
C) (2, –1)
E) (–3, 2)
Çözüm
Çözüm kümeleri aynı olduğundan, bu iki denklemden biri
bir t sayısıyla çarpıldığında diğeri elde edilmelidir. Dolayısıyla, denklemlerin katsayıları orantılı olmalıdır.
(m – 1)x2 + (m + 1)x + n + 1 = 0
2x2 + 3x + n – 1 = 0
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre,
m + n toplamı kaçtır?
A) –8
B) –2
C) 2
D) 6
10. SINIF MATEMATİK
E) 8
141
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
KÖKLERİ BİLİNEN II. DERECEDEN
DNA 26
DENKLEMİN BULUNMASI

a ≠ 0 iken, ax2 + bx + c = 0 denklemini a ortak paran-
Aşağıda kökleri ve başkatsayıları verilen ikinci de-
tezine alalım.
receden denklemleri bulunuz.
b
c

a  x2 + x +  = 0
a
a

Denklemin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
b
kökler toplamının, x1 + x 2 = − ve
a
kökler çarpımının x1 ⋅ x 2 =
olduğunu biliyoruz.
O halde,
b
= −( x1 + x 2 ) ve
a
c
a
a(x2 – (x1 + x2)x + x1 ⋅ x2) = 0
halini alır.
a ≠ 0 olduğundan,
dır.
Akılda rahat kalabilmesi için
x1 + x2 = T ve x1 ⋅ x2 = Ç
Başkatsayı
I
–2
–3
1
II
2
–3
2
III
–2
3
–2
IV
2
3
–1
Çözüm
I. denklem için,
x1 + x2 = –5, x1 ⋅ x2 = 6 olduğundan,
x2 – Tx + Ç = 0
olarak yazılabilir.
Bu şartlarda denklemin başkatsayısı 1 ve kökleri x1
II. denklem için,
x1 + x2 = –1, x1 ⋅ x2 = –6 ve başkatsayı 2 olduğundan,
2(x2 –(–1)x – 6) = 0
2x2 + 2x – 12 = 0
olur.
ve x2 dir.
III. denklem için,
Eğer başkatsayısı k, kökleri x1 ve x2 olan denklem
x1 + x2 = 1, x1 ⋅ x2 = –6 ve başkatsayı –2 olduğundan,
istenirse bulduğumuz
x2 –Tx + Ç = 0
x2 + 5x + 6 = 0
olur.
dersek bilinen ikinci dereceden denklem,
Denklem
x2 – (–5)x + 6 = 0
x2 – (x1 + x2)x + x1 ⋅ x2 = 0
x2
c
= x1 ⋅ x 2
a
denklemde yerine yazılırsa,
x1
denklemi k ile çarpılır. Yani,
k(x2 –Tx + Ç) = 0
–2(x2 – 1 ⋅ x – 6) = 0
olur.
IV. denklem için,
olur.

Kökleri x1 ve x2, başkatsayısı k olan ikinci dereceden
x1 + x2 = 5, x1 ⋅ x2 = 6 ve başkatsayı –1 olduğundan,
–1(x2 –5x + 6) = 0
denklemin çarpanlara ayrılmış hali,
k ⋅ (x – x1) ⋅ (x – x2) = 0
olacağından denklem kurulurken bu ifade de kullanılabilir.
142
–2x2 + 2x + 12 = 0
10. SINIF MATEMATİK
olur.
–x2 + 5x – 6 = 0
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
DNA 27
Kökleri 2 ve
3 − 2 olan ikinci dereceden denklem
Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin
aşağıdakilerden hangisidir?
köklerinden biri
3 − 1 olduğuna göre, bu denk-
A) x 2 − (2 3 − 4)x + 3 = 0
lem aşağıdakilerden hangisidir?
B) x 2 − 3 x + 2 3 − 4 = 0
A) x2 – 2x – 2 = 0
B) x2 –2x + 2 = 0
C) x 2 − 2 3 x + 2 3 = 0
C) x2 + 2x + 2 = 0
D) x2 + 2x – 2 = 0
E) x2 – 2x = 0
D) x 2 + 3 x − 2 3 − 6 = 0
E) x 2 + 2 3 x + 2 3 − 6 = 0
Çözüm
Denklem rasyonel katsayılı olduğundan köklerden biri
3 − 1 = −1 + 3 ise diğeri −1 − 3 olur.
Kökler toplamı,
−1 + 3 + ( −1 − 3 ) = −2
Kökleri 2 − 2 ve
2 , başkatsayısı 2 olan ikinci dere-
Kökler çarpımı,
( −1 + 3 ) ⋅ ( −1 − 3 ) = ( −1)2 − ( 3 )2
ceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x 2 + 4 x + 4 2 − 4 = 0
B) 2x 2 − 4 x + 4 2 + 4 = 0
Buna göre ikinci dereceden denklem,
= 1 – 3 = –2
C) 2x 2 − 4 x + 4 2 − 4 = 0
x2 – Tx + Ç = 0
D) 2x 2 − ( 4 2 x − 6)x + 4 = 0
x2 + 2x – 2 = 0
E) 2x 2 − 2 2 x − 2 3 = 0
olur.
Doğru Seçenek D
Işık 4
m, n, k rasyonel sayılar olmak üzere, rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri
m + n k ise diğeri m − n k dır.
Yani köklerden biri köklü ifade içeriyorsa diğeri onun
eşleniğidir.
Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin
köklerinden biri 2 − 2 olduğuna göre, bu denklem
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 4x + 2 = 0
B) x2 + 4x – 2 = 0
C) x2 + 4x + 2 = 0
D) x2 – 4x – 2 = 0
E) x2 – 2x – 2 = 0
10. SINIF MATEMATİK
143
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
X1 ⋅ X2 = (2x1 – 1) (2x2 – 1) = 4x1x2 – 2x1 – 2x2 + 1
x2 + mx + n = 0
rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden biri
2 − 2 olduğuna göre, m + n toplamı kaç-
tır?
A) –6
B) –2
C) 0
D) 2
E) 6
= 4 ⋅ (–5) – 2(x1 + x2) + 1
= –20 – 2 ⋅ 3 + 1
= –20 – 6 + 1
= –25
olur.
Kökleri X1 ve X2 olan ikinci dereceden denklem,
x2 – Tx + Ç = 0
x2 – 4x – 25 = 0
DNA 28
olur.
x2 – 3x – 5 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
X1 = 2x1 – 1 ⇒ x1 =
Kökleri 2x1 – 1 ve 2x2 – 1 olan ikinci dereceden
denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 2x – 25 = 0
B) x2 – 4x– 25 = 0
C) x2 + 2x + 25 = 0
D) x2 + 4x + 25 = 0
X1 + 1
2
olur.
x1 kökü x2 – 3x – 5 = 0 denkleminin bir kökü olduğundan
denklemi sağlamalıdır.
E) x2 + 4x – 25 = 0
O halde,
Çözüm
x2 – 3x – 5 = 0
x12 − 3 x1 − 5 = 0
 X1 + 1 
 X1 + 1 

 − 3
−5 = 0
 2 
 2 
X12 + 2 X1 + 1 3 X1 + 3
−
−5 = 0
4
2
X12 + 2 X1 + 1 − 6 X1 − 6 − 20
=0
4
X12 − 4 X1 − 25 = 0
2
Bizden istenen denklemin kökleri, X1 ve X2 olsun.
x2 – 3x – 5 = 0 denkleminin kökler toplamı ve çarpımını
bulalım.
b
−3
x1 + x 2 = − = −
=3
a
1
c −5
x1 ⋅ x 2 = =
= −5
a
1
tir.
Şimdi bizden istenen denklemin kökler toplamı ve kökler
olacağından denklem,
çarpımını bulalım.
x2 – 4x – 25 = 0
X1 + X2 = 2x1 – 1 + 2x2 – 1 = 2(x1 + x2) – 2
=2⋅3–2
=4
144
10. SINIF MATEMATİK
olarak bulunur.
Doğru Seçenek B
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
Uyarı
Kısayol
ax2 + bx + c = 0
2. Yol'u, kökleri x1 ve x2 olan denklem verilip, kökleri,
ax1 + b
ikinci derece denkleminin köklerinin,
ax2 + b
toplamaya göre terslerini kök kabul eden denk-
olan denklem sorulduğunda kullanabilirsiniz. Harici
lem,
bir durumda kullanamazsınız.
ax2 – bx + c = 0
çarpmaya göre terslerini kök kabul eden denklem,
cx2 + bx + a = 0
dır.
x2 – 5x – 4 = 0
denkleminin köklerinin 2 fazlasını kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 3x – 10 = 0
B) x2 + 3x – 9 = 0
C) x2 + 9x + 10 = 0
D) x2 – 9x –10 = 0
E) x2 – 9x + 10 = 0
��
4x2 – 5x – 3 = 0
denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök
kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden
Yukarıda yazan sayı kaçtır?
B) 3x2 + 5x – 4 = 0
C) 3x2 – 5x – 2 = 0
D) 3x2 + 5x – 2 = 0
Cevap :
A) 2x2 + 5x – 5 = 0
Elleri olan bir 3 olduğu için bu sayı 53 tür.
hangisidir?
E) 3x2 + 5x + 4 = 0
10. SINIF MATEMATİK
145
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
TEST - 3
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre,
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x2 – 4x + m = 0
x2 – x + 16 = 0
x1 + x2 toplamının pozitif değeri
kaçtır?
1.
5.
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
x1 – x2 = 2
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) –2
E) –3
2.
ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 olup
(2m – 1)x2 – (5 – m)x + n = 0
6.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olup, aralarında
1
1
5
+
=
bağıntısı vardır.
x1 x 2 2
köklerin aritmetik ortalaması 2 dir.
Buna göre, m kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
3.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
D) 1
x2 – 5mx + 3m + 2 = 0
E) 2
Buna göre, m kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
x2 + mx + n = 0
2x1 = x2
7.
dakilerden hangisidir?
denkleminin kökleri,
A) m2 – 9n = 0 B) 2m2 – 3n = 0
C) 2m2 – 9n = 0 D) 2m2 + 3n = 0
denkleminin köklerinden 4 er fazla olduğuna
olduğuna göre, m ile n arasındaki bağıntı aşağı-
A) −
4.
denklemi x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir
(m + 2)x2 – (3m –1)x – n = 0
göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
E) 2m2 + 9n = 0
x2 – (5m + 2)x + p = 0
3
2
C) −
B) –1
1
2
D) −
1
3
E) −
1
5
abx2 + (a2 + b2)x + 2ab = 0
denklem olup köklerinin toplamı, köklerinin çarpımına eşittir.
Buna göre, a ile b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a – b = 0 B) a + b = 0
C) 2a – b = 0 D) 2b – a = 0
E) 2a – 3b = 0
146
10. SINIF MATEMATİK
8.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre,
x2 – 4x – 8 = 0
|x1 –x2| ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2 3 B) 3 3 D) 5 3 C) 4 3
E) 6 3
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
9.
13. denkleminin kökleri x1 ve x2 olup kökler arasında
denkleminin iki gerçek kökü x1 ve x2 dir.
x1 – 3x2 = 0 bağıntısı olduğuna göre, a nın değer-
Köklerin aritmetik ortalaması 5 ve geometrik or-
x2 –4ax + a + 2 = 0
lerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
3
A) − 2
10. İkinci
2
C) − 3
B) –1
3
E)
2
D) 0
x2 + ax + b = 0
talaması 4 olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
A) –160
B) –80
D) 80
x1(2x2 – 1) – x2 = 2m + 4
14. x2 + 2ax + b = 0
x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1) = 2m
C) –10
E) 160
dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin
gerçek kökleri x1 ve x2 olup kökler arasında,
toplamı kaçtır?
bağıntıları olduğuna göre, m için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A) m ≤ 2
A) –3
B) m ≤ 1
D) m ≥ 0
denkleminin kökleri a ve b olduğuna göre, a + b
ax2 – (a – 1)x + b = 0
2x2 – 3x + b + 2 = 0
x2 – 2x + n = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökler arasında x12 − x22 = 8 bağıntısı olduğuna
göre, n kaçtır?
A) 3
göre, (a, b) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
B) (–2, 1)
D) (–2, 2)
denkleminin köklerinin aritmetik ortası, geomet-
x2 – (a + 3)x + 4a = 0
rik ortasına eşit olduğuna göre, a nın alabileceği
3.C
E) –3
denkleminin kökleri x1 ve x2 olup, kökler arasınx1 x2 10
+
=
bağıntısı olduğuna göre, a nın
x 2 x1
3
alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
A) −
değerlerin toplamı kaçtır?
2.D
D) –2
4x2 – (3a + 2)x + 3 = 0
da
1.A
C) –1
E) (–2, 3)
12. a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere,
B) 8
B) 2
C) (–1, 2)
16. A) 7
E) 3
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna
A) (–2, –1)
D) 2
E) m ≥ –1
11. C) 0
C) m ≤ 0
15. B) –2
C) 9
4.B
D) 10
5.D
6.A
E) 11
7.E
8.C
9.C
20
3
D)
10.C
B) −
10
3 11.A
10
3 12.D
E)
13.A
14.B
C) 2
20
3
15.E
10. SINIF MATEMATİK
16.A
147
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
TEST - 4
5.
rasyonel katsayılı ikinci dereceden denkleminin
x2 – mx + n = 0
köklerinden biri
2 − 1 olduğuna göre, m + n
toplamı kaçtır?
1.
x2
+ mx – 1 = 0
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
x12
+
1
x 22
=6
olduğuna göre, m nin negatif değeri aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
6.
İkinci dereceden x değişkenine bağlı bir denkle 1 1
min çözüm kümesi − ,  olduğuna göre, bu
 2 3
E) –5
denklem aşağıdakilerden hangisidir?
2.
denkleminin kökleri x1 ve x2 sayılarıdır.
Buna göre, denklemin büyük kökü kaçtır?
x2 – (x1 – 3)x + 2x2 – 3 = 0
A) –3
3.
B) –1
C) 1
D) 3
E) 5
C) 6x2 + x – 1 = 0
D) 3x2 + x – 3 = 0
7.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri x1 + 1 ve x2 + 1 olan ikinci dereceden
C) –11
4.
denkleminin bir kökü 2,
D) –7
A) x2 – 3x + 1 = 0
B) 2x2 – 3x + 2 = 0
C) 2x2 – 6x + 1 = 0
D) 2x2 – 6x + 3 = 0
8.
denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini
dakilerden hangisidir?
denkleminin bir kökü –1 olup diğer kökler ortaktır.
Buna göre, m kaçtır?
B) –1
10. SINIF MATEMATİK
3x2 – 5x – 2 = 0
kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağı-
x2 + (m – 1)x + k = 0
1
C) 2
E) 3x2 – 6x + 2 = 0
E) –5
x2 – (m + 1)x + n = 0
3
A) − 2
2x2 – 2x – 1 = 0
B) –13
E) x2 + x – 1 = 0
denklem aşağıdakilerden hangisidir?
2x2 + 3x + 2m + 3 = 0
A) –19
148
B) 6x2 – x + 1 = 0
x2 + x + m – 1 = 0
m kaçtır?
A) 6x2 –x – 1 = 0
denklemlerinin birer kökleri ortak olduğuna göre,
D) 1
3
E)
2
A) 2x2 – 5x – 1 = 0
B) 2x2 + 5x – 3 = 0
C) 2x2 – 3x + 5 = 0
D) x2 – 3x + 5 = 0
E) x2 – 5x + 3 = 0
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
9.
İkinci Dereceden Denklemler
13. x2 – 2(a + 1)x + a + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olup, kökler arasında
x12
+ x22
B) −
4
7
C)
2
7
D)
4
7
denkleminin sıfırdan farklı kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, x1 + x2 toplamı kaçtır?
= 30 bağıntısı olduğuna göre, a nın
alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
A) –7
x2 + (x1 – 2)x – 2x2 = 0
A) –6
B) –4
C) –1
D) 4
E) 6
E) 7
10. m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere,
x2 – m2 ⋅ n ⋅ x + 2m + n = 0
denkleminin kökler toplamı 16 olduğuna göre,
kökler çarpımının alabileceği en büyük değer
14. 11. B) 12
C) 15
D) 18
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre,
x1 ⋅ x2 çarpımı kaçtır?
kaçtır?
A) 9
x2 + (2 – x1)x + x2 + 6 = 0
A) 6
E) 21
B) 4
C) –1
D) –4
E) –6
5x2 – 3x – 5 = 0
denkleminin köklerinin toplamaya göre terslerini
kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
15. A) 3x2 – 5x –5 = 0
B) 3x2 + 5x – 5 = 0
C) 5x2 – 5x – 3 = 0
D) 5x2 + 3x – 5 = 0
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
x2 + 4x + 3 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, kökleri x1 ⋅ x2 ve x1 + x2 olan ikinci
dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 12x + 1 = 0 B) x2 – x + 12 = 0
C) x2 + x – 12 = 0
D) x2 – x – 12 = 0
16. 2.D
3.A
4.E
5.A
6.C
x2 – 6x – 18 = 0
denkleminin kökleri x1 – x2 ve x1 + x2 dir.
2
2
Buna göre, x1 + x2 toplamı kaçtır?
A) 18
E) x2 + 12x + 1 = 0
1.B
denkleminin kökleri m ve n olduğuna göre, m nin
değeri kaçtır?
E) 5x2 –3x + 5 = 0
12. 2x2 + 8x + m2 + n2 = 0
7.D
8.B
9.A
10.D
B) 27
11.D
12.C
C) 36
13.D
D) 48
14.B
15.A
10. SINIF MATEMATİK
E) 54
16.C
149
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
TEST - 5
5.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olup aralarında
x2 – (a – 1)x + a = 0
x1 – x2 = 1 bağıntısı olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
1.
denkleminin bir kökü m ve n ≠ 0 olmak üzere,
x2
– mx + m – 2 = 0
A) –6
B) –3
C) 0
D) 3
E) 6
(m + 1)x2 + (m + n)x + 2n = 0
denkleminin bir kökü n olduğuna göre, m ⋅ n çar-
pımı kaçtır?
A) –4
2.
B) –2
C) –1
D) 2
E) 4
6.
denkleminin köklerinden biri diğerinin çarpmaya
(a – 4)x2 + 4x – 2a + 5 = 0
x2 – 3x + a + 2 = 0
göre tersi olduğuna göre, a kaçtır?
x2 + 2x + a – 8 = 0
A) –3
B) –1
C) 0
D) 3
E) 4
denklemlerinin birer kökleri ortak olduğuna göre,
a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
3.
denkleminin bir kökü 2,
E) 2
x2 + mx + n = 0
x2
D) 1
7.
denkleminin köklerinden biri diğerinin iki katı ol-
2ax2 – ax + 1 = 0
duğuna göre, a kaçtır?
+ ax + b = 0
denkleminin bir kökü –4 ve bu iki denklemin di-
A) 9
B) 6
C) 3
D) –6
E) –9
ğer kökleri eşit olduğuna göre, a – m kaçtır?
A) –6
B) –2
C) 0
D) 2
E) 6
4.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olup aralarında
8.
x12 + x22 = 6 bağıntısı olduğuna göre, a nın alabi-
denkleminin kökleri m ve n dir.
Buna göre,
(a – 2)x2 – 2x – a = 0
leceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) –5
150
B) −2 5 D) 5
10. SINIF MATEMATİK
E) 8
C) 2 5
A) −
3x2 –8x + 2 = 0
8
3
1
3m2 − 8m
B) –1
+
1
3n2 − 8n
C) −
2
3
toplamı kaçtır?
D) 1 E)
8
3
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
9.
13. denkleminin kökleri x1 ve x2 olup aralarında
denkleminin kökler toplamı 5 olduğuna göre,
x1 ⋅ x22
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
–2x2 + (m + 1)x + 3 = 0
+ x2 ⋅ x12
= 3 bağıntısı bulunduğuna göre,
m kaçtır?
A) –5
10. B) –4
C) –3
D) 4
E) 5
14. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökler arasında (2x1 – 5) (2x2 – 5) = 45 bağıntısı
olduğuna göre, m kaçtır?
B) –35
ax2 + bx + c = 0
A) –1
5x2 + 20x + m = 0
A) –45
a(x – 2)2 + b(x – 2) + c = 0
C) –25
D) –15
E) –5
x2 – 2x – 4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
12
12
Buna göre kökleri
ve
olan ikinci
x1 + x 2
x1 ⋅ x 2
E) 4
a(x – 3)2 + b(x – 3) + c = 0
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
15. D) 3
denkleminin kökler toplamı 5 olduğuna göre,
A) –1
11. C) 2
ax2 + bx + c = 0
B) 1
B) 1
C) 5
D) 8
E) 11
x2 –8x + 9 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, x1 ⋅ x2 − x2 ⋅ x1 farkının pozitif değeri kaçtır?
dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 2 A) x2 –18x + 3 = 0
B) x2 + 3x + 2 = 0
C) x2 –3x + 2 = 0
D) x2 – 3x – 18 = 0
3
D)
B) 2 3 E)
C)
6
2
E) x2 + 3x – 18 = 0
12. x2
3 x 2 − 12xy + 2y 2
= y2
5
16. + mx + n = 0
denklemi x değişkenine bağlı ikinci dereceden
rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemdir.
Bu denklemin köklerinden biri 2 − n olduğuna
bileceği değerlerin toplamı aşağıdakilerden han-
göre, n kaçtır?
gisidir?
A) –3
1.B
2.C
B) –2
3.E
C) 1
4.D
D) 2
5.C
6.D
bir denklem olduğuna göre, x in y cinsinden ala-
A) 3y
E) 3
7.A
8.B
9.A
10.C
B) 4y
11.D
12.D
C) 5y
13.B
D) 6y
14.E
15.A
10. SINIF MATEMATİK
E) 8y
16.B
151
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
II. DERECEDEN DENKLEM YARDIMIYLA
ÇÖZÜLEBİLEN DENKLEMLER
(x – 3) (x + 3) (x – 2) – (x + 3) (x – 3) = 0
(x – 3) (x + 3) [(x – 2) – 1] = 0
denklemler:
(x – 3) (x + 3) (x – 3) = 0
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
(x – 3)2 (x + 3) = 0
a) P(x) ⋅ Q(x) = 0 ise P(x) = 0 veya Q(x) = 0 dır.
1.
Polinomların çarpımı veya bölümü biçimindeki
Yani çarpanlar ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökleri
bulunur.
b)
P( x )
= 0 ise P(x) = 0 ve Q(x) ≠ 0 dır.
Q( x )
(x – 3)2 = 0
ise
x=3
x + 3 = 0
ise
x = –3
olduğundan çözüm kümesi {–3, 3} olur.
Doğru Seçenek A
Yani paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yaptığından çözüm kümesine alınmaz.
DNA 29
(x – 3) (x2 + x – 6) = x2 – 9
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
(x + 1)(x2 –5x + 4) = x2 – 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
A) {–3, 3}
B) {–3, 2}
D) {–3}
C) {–2, 3}
E) {3}
dir?
A) {–1, 1} B) {–1, 5}
C) {–1, 1, 5} D) {1, 5}
E) {–5, –1, 1}
Çözüm
Uyarı
Eşitliğin iki yanında sadeleşebilecek durumda çarpanlar varsa ya sadeleştirme yapmayınız ya da sadeleştirdiğiniz çarpanların köklerinin çözüm kümesinde
olması gerektiğini dikkate alınız.
x2 –16 = (x – 4) (x2 + x – 12)
denkleminin çözüm kümesinin elemanlarının çarpımı
(x –
3)(x2
+ x – 6) =
x2
–9
(x – 3) (x + 3) (x – 2) = (x + 3) (x – 3)
152
10. SINIF MATEMATİK
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 64
B) 32
C) –16
D) –32
E) –64
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
DNA 30
( x 2 + 2x − 3)( x 2 − 4)
x2 + x − 6
=0
denkleminin çözüm kümesinin elemanlarının toplamı
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
kaçtır?
A) –2
gisidir?
A) {–3, –2, 1}
x +1 x +1
+
=0
x −1 x − 3
B) {–3, 1, 2}
B) –1
D) 1
C) 0
E) 2
C) {–3, 2}
E) ∅
D) {–2, 1}
Çözüm
Önce paydanın köklerini bulalım.
x2 + x – 6 = 0 ⇒ (x + 3) (x – 2) = 0
x + 3 = 0 veya x – 2 = 0
x = –3
veya x = 2
x
2
x −1
+
2
1
=
x + 1 x2 − 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–2, 1}
dir.
–3 ve 2 paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine dahil
B) {–2, 2}
C) {–2, –2}
E) ∅
D) {2, 2}
edilmez. Şimdi payın köklerini bulalım.
x2 + 2x – 3 = 0 ise (x + 3) (x – 1) = 0
x + 3 = 0veya
x–1=0
x = –3
x=1
veya
2. Değişken değiştirerek çözülebilen denklemler:
İçinde birbirinin aynısı ifadeler bulunduran denklemlerin
dir.
çözülebilmesi için, aynı ifade yerine başka bir değişken
x2 – 4 = 0
ise
(x + 2) (x – 2) = 0
x + 2 = 0veya
x–2=0
x = –2
x=2
veya
kullanılarak çözülebilen denklemler, değişken değiştirme
sonucunda ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülebilir. Bu işin nasıl yapıldığını DNA'larla gösterelim.
DNA 31
dir.
Payın kökleri –3, 1, –2 ve 2 dir. Ancak –3 ve 2 paydayı
(x2 – 1)2 – 11(x2 – 1) + 24 = 0
sıfır yaptığından çözüm kümesine alınmaz.
Yani çözüm kümesi {–2, 1} dir.
denkleminin çözüm kümesinin elemanlarının çarpımı kaçtır?
Doğru Seçenek D
A) –36
B) –12
D) 12
C) 0
E) 36
10. SINIF MATEMATİK
153
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Çözüm
(x – 2)2 + 7(x – 2) + 12 = 0
x2 – 1 ifadesi hem birinci, hem ikinci terimde ortak oldu-
ğundan,
denklemini sağlayan x gerçek sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
x2 – 1 = t
B) –3
A) –7
diyelim.
C) 0
D) 3
E) 7
O halde denklem,
t2 – 11t + 24 = 0
halini alır. Denklemi çarpanlarına ayırırsak,
DNA 32
(t – 3) (t – 8) = 0
t – 3 = 0 veya
t–8=0
t = 3
t=8
veya
9x – 28 ⋅ 3x + 27 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
bulunur.
A) {–1, 1}
x2 – 1 = t olduğundan,
x2 – 1 = 3
⇒
x2 = 4
⇒
x=2
x2 – 1 = 8
⇒
x2 = 9
⇒
x=3
B) {–3, 3}
D) {0, 3}
C) {0, 1}
E) {0, 4}
Çözüm
olur.
Önce denklemi 3x e göre düzenleyelim:
Buna göre, denklemin çözüm kümesi {–3, –2, 2, 3} olacağından bu değerlerin çarpımı 36 olur.
Doğru Seçenek E
9x – 28 ⋅ 3x + 27 = 0
(32)x –28 ⋅ 3x + 27 = 0
(3x)2 –28 ⋅ 3x + 27 = 0
3x ifadesi denklemin birinci ve ikinci teriminde ortak olduğundan,
3x = t
diyelim.
O halde denklem,
t2– 28t + 27 = 0
(x2 + 2)2 – 9(x2 + 2) + 18 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
halini alır. Denklemi çarpanlarına ayırırsak,
(t – 1) ⋅ (t – 27) = 0
dir?
A) {–2, –1, 1, 2}
B) {–3, –1, 1, 3}
C) {–2, –1, 0}
D) {0, 1, 2}
E) {–1, 1}
154
10. SINIF MATEMATİK
t – 1
veya
t – 27 = 0
t = 1
veya
t = 27
bulunur.
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
3. Köklü ifade içeren denklemlerin çözümü:
3x = t olduğundan,
3x = 1
⇒ 3x = 30 ⇒
x=0
3x = 27
⇒ 3x = 33 ⇒
x=3
n f (x)
= g( x )
biçimindeki denklemlerin çözülebilmesi için, eşitliğin her
olur.
iki tarafının verilen kökün derecesi kadar kuvveti alınır ve
Çözüm kümesi {0, 3} olur.
denklem kökten kurtarılır. Elde edilen yeni denklemin kökDoğru Seçenek D
leri bulunur. Ancak bulunan köklerin ilk verilen denklemi
sağlayıp sağlamadığına bakılmalıdır. Sağlamayan kök ya
da köklere yalancı kök denir.
DNA 33
4x – 3 ⋅ 2x+2 + 32 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {2, 3}
B) {0, 2}
D) {–2, 3}
C) {–2, –3}
E) {–2, 0}
x = 5 + x +1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 3}
B) {1, 3}
D) {3}
C) {3, 8}
E) {8}
Çözüm
Denklemde köklü ifade yalnız kalacak biçimde denklemi
düzenleyelim:
x = 5 + x +1
x − 5 = x +1
x
3x − 4 ⋅ 3 2 + 3 = 0
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım:
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–2, 0}
B) {–1, 0}
D) {1, 0}
C) {–1, 1}
E) {0, 2}
( x − 5)2 = ( x + 1)2
x 2 − 10 x + 25 = x + 1
x 2 − 11x + 24 = 0
10. SINIF MATEMATİK
155
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İfadeyi çarpanlarına ayıralım:
DNA 34
(x – 3) (x – 8) = 0
2x + 3 − x + 1 = 1
x – 3 = 0
veya
x–8=0
x = 3
veya
x=8
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
olur.
A) {–1}
x = 3 değeri x = 5 + x + 1 denklemini sağlamadığından
B) {–1, 1}
D) {–1, 3}
C) {1, 3}
E) {–3, 1}
çözüm kümesine dahil edilmez. Çözüm kümesi {8} olur.
Çözüm
Doğru Seçenek E
2x + 3 − x + 1 = 1
2x + 3 = 1 + x + 1
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım:
( 2x + 3 )2 = (1 + x + 1)2
2x + 3 = 1 + 2 x + 1 + x + 1
x−2 = x−2
2x + 3 = x + 2 + 2 x + 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
2x + 3 − x − 2 = 2 x + 1
dir?
A) {2, 3}
B) {0, 2}
D) {2}
x +1= 2 x +1
C) {0, 3}
E) {3}
Eşitliğin iki tarafının yeniden karesini alalım:
( x + 1)2 = (2 x + 1)2
x2 + 2x + 1 = 4(x + 1)
x2 + 2x + 1 = 4x + 4
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x – 3 = 0
veya
x+1=0
x = 3
veya
x = –1
olur.
x = 3 − x −1
2x + 3 − x + 1 = 1 denklemini sağladı-
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
3 ve –1 değerleri
dir?
ğından çözüm kümesi {–1, 3} olur.
A) {2, 5}
156
B) {0, 2}
D) {2}
10. SINIF MATEMATİK
E) {5}
C) {1, 2}
Doğru Seçenek D
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
DNA 35
2x − 1 + x − 1 = 1
x + 9 + x − 1 = 10 x
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
dir?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
A) {1, 5}
B) {2, 5}
D) {5}
gisidir?
C) {1}
 5

A) − , − 1 3


E) {2}
3

B) −1,  5

 5
D) 1,   3
 3 
C) − , 1
 5 
3 
E)  , 1
5 
Çözüm
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım:
x +1 + x −1 = 1
( x + 9 + x − 1)2 = ( 10 x )2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∅
5

B)  , 2 4

1
D)   2 x + 9 + 2 ( x + 9) ⋅ ( x − 1) + x − 1 = 10 x
1 3
C)  , 
2 2
2x + 8 + 2 x 2 + 8 x − 9 = 10 x
5 
E)  
4
2 x2 + 8x − 9 = 8x − 8
x2 + 8x − 9 = 4x − 4
Eşitliğin iki tarafının yeniden karesini alalım:
Uyarı

( x 2 + 8 x − 9 )2 = ( 4 x − 4)2
n pozitif bir tam sayı olmak üzere,
2n f ( x )
= g( x )
ifadesinde kökün içi ve eşitliğin sağ tarafı negatif
gerçek sayı olamaz. Yani,
f(x) ≥ 0 ve
g(x) ≥ 0 dır.
 n pozitif bir tam sayı olmak üzere,
2n+1 f ( x )
= g( x )
ifadesinde kökün içi ve eşitliğin sağ tarafı negatif
gerçek sayı olabilir.
x2 + 8x – 9 = 16x2 – 32x + 16
15x2 – 40x + 25 = 0
Eşitliğin iki tarafını 5 e bölelim.
3x2 –8x + 5 = 0
(3x – 5) (x – 1) = 0
3x – 5 = 0
veya
x–1=0
x=
5
3
veya
x=1
dir.
10. SINIF MATEMATİK
157
İkinci Dereceden Denklemler
x=
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
4. Mutlak değer içeren denklemlerin çözümü:
5
ve x = 1 değerleri,
3
Mutlak değerli denklemler çözülürken, mutlak değerli ifa-
x + 9 + x − 1 = 10 x
denin içini sıfır yapan x değerleri bulunur (Mutlak değerli
denkleminde yerine yazılırsa iki kökün de denklemi sağ-
landırılır). Bulunan x değerleriyle oluşturulan aralıklarda
ladığı görülür.
mutlak değerli ifadelerin işaretleri belirlenir ve her aralık
ifadenin içini sıfır yapan değerler kritik nokta olarak ad-
için ayrı ayrı çözüm yapılır.
 5
O halde çözüm kümesi 1,  tür.
 3
DNA 36
Doğru Seçenek D
x2 – |2x – 3| – 6 = 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {−1 − 10 , 1 + 10 } B) {−1 − 10 , 3}
C) {−3, 1 + 10 } D) {−3, − 1 − 10 }
E) {1 + 10 , 3}
x + 3 + x −1 = 2 x
Çözüm
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1}
B) {–1}
 3
D) 1, 
 4  3
C) − 
 4
 3 
E) − , 1
 4 
Mutlak değerli ifadenin kritik noktasını bulalım.
2x – 3 = 0 ⇒ x =
3
2
olur.
O halde, denklem x ≥
3
3
ve x <
için ayrı ayrı çözül2
2
melidir.
3
için |2x – 3| = 2x – 3 olacağından, çözülmesi gere2
ken denklem,
x≥
x2 – (2x – 3) – 6 = 0
dır.
x2 – 2x + 3 – 6 = 0
4 x + 16 + 4 x − 4 = 2 5 x
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 5}
158
B) {–5, 1}
D) {–5}
10. SINIF MATEMATİK
C) {1, 5}
E) {–1}
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x – 3 = 0
veya
x+1=0
x = 3
veya
x = –1
bulunur.
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Ancak x ≥
İkinci Dereceden Denklemler
3
olması gerektiğinden x = –1 çözüm kümesi2
ne dahil değildir.
3
x<
için |2x – 3| = –(2x – 3) = –2x + 3
2
olacağından çözülmesi gereken denklem,
x2 + 2x – 3 – 6 = 0
dır.
x|x – 5| = 6
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 2, 3, 6}
B) {–1, 2, 3, 4}
C) {–1, 2, 6}
D) {2, 3, 6}
x2
E) {–1, 3, 4}
– (–2x + 3) – 6 = 0
x2 + 2x – 9 = 0
Denklem çarpanlarına ayrılmadığından D değerini hesaplayalım.
D = b2 – 4ac = 22 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–9) = 4 + 36 = 40 > 0
DNA 37
olduğundan iki farklı gerçek kökü vardır.
−b  ∆ −2  40 −2  2 10
x1, 2 =
=
=
= −1  10
2a
2 ⋅1
2
x2 – 6x + 9 = 2|x – 3|
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaç-
olur.
Ancak x <
tır?
3
olması gerektiğinden x = −1 + 10 çözüm
2
A) –15
B) –5
C) 3
D) 5
E) 15
kümesine dahil değildir.
O halde çözüm kümesi {−1 − 10 , 3} olur.
Çözüm
Doğru Seçenek B
x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 dir.
(x – 3)2 = |x – 3|2
olarak yazılabildiğinden denklem,
|x – 3|2 = 2|x – 3|
olur.
|x – 3|2 – 2|x – 3| = 0
x2
= |2x – 3|
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–3, –1}
B) {–1, 3}
D) {–3}
C) {–3, 1}
E) {–1}
|x – 3| (|x – 3| – 2) = 0
|x – 3| = 0 veya
|x – 3| – 2 = 0
x – 3 = 0
veya
|x – 3| = 2
x = 3
veya
|x – 3| = 2
olur.
10. SINIF MATEMATİK
159
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Denklemi sağlayan x değerlerinden birinin 3 olduğunu
II. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ
bulduk. Diğer değerler için |x – 3| = 2 denklemini çözelim.
DENKLEMLER VE DENKLEM SİSTEMLERİ
|x – 3| = 2
a, b, c sayılarından en az ikisinin sıfırdan farklı olduğu ve
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
a, b, c, d, e, f sayılarının gerçek olduğu,
x – 3 = 2
veya
x – 3 = –2
x = 5
veya
x=1
biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan (x, y) ikilileri
bulunur.
ise denklemin çözüm kümesidir.
O halde denklemi sağlayan değerler x = 3, x = 5 ve x = 1
İki bilinmeyen içeren birinci dereceden en az iki denklemin
olup çarpımları, 3 ⋅ 5 ⋅ 1 = 15 olur.
oluşturduğu sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli
Doğru Seçenek E
denklem sistemi adı verilir. Bu denklemlerden en az bir
tanesi ikinci dereceden ise bu sistem ikinci dereceden
iki bilinmeyenli denklem sistemi adını alır.
Bu denklem sistemleri aslında yabancı olduğunuz denklemler değil. DNA'ları inceleyince göreceksiniz.
DNA 38
(x – 3)2 – |x – 3| –6 = 0
x2 – y2 = 64
x+y=6
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı aşağıdaki-
ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi-
lerden hangisidir?
ni sağlayan (x, y) ikililerinin çözüm kümesi aşağı-
A) 6
B) 4
C) 2
D) –4
dakilerden hangisidir?
E) –6
A) {(–1, 1)}
B) {(–5, 1)}
D) {(–1, 5)}
C) {(5, 1)}
E) {(–5, –1)}
Çözüm
x2 – y2 = 24 ise
(x – y) (x + y) = 24
(x – y) ⋅ 6 = 24
x–y=4
x + y = 6 ve x – y = 4 denklemleri taraf tarafa toplanırsa,
x+y=6
x 2 − 4 x = x 2 − 8 x + 16
+ x–y=4
denkleminin çözüm kümesinin elemanlarının toplamı
2x = 10 ⇒ x = 5
kaçtır?
A) –4
160
B) –3
10. SINIF MATEMATİK
C) –1
D) 3
E) 4
olur.
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
x = 5 değeri iki denklemden birinde yerine yazılırsa,
DNA 39
x+y=6
5+y=6
y=1
x2 + y2 = 106
x–y=4
denklem sistemini sağlayan (x, y) ikililerinin küme-
bulunur.
si aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm kümesi {(5, 1)} olur.
A) {(–5, 9), (1, 5)}
B) {(–5, –9), (9, 5)}
C) {(5, 1)}
D) {(7, 3)}
Doğru Seçenek C
E) {(11, 7)}
Çözüm
x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
olduğundan,
x2 + y2 = 106
x2 – y2 = 72
x–y=4
ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini sağlayan (x, y) ikililerinin kümesi aşağıdakilerden
(x – y)2 + 2xy = 106
42 + 2xy = 106
2xy = 90
xy = 45
olur.
x–y=4
hangisidir?
A) {(–11, 7)}
B) {(–7, 11)}
D) {(–11, –5)}
C) {(–11, 5)}
ise
x=y+4
tür.
x ⋅ y = 45 denkleminde x yerine y + 4 yazalım:
E) {(11, 7)}
(y + 4) ⋅ y = 45
y2 + 4y – 45 = 0
(y + 9) (y – 5) = 0
y + 9 = 0
veya
y–5=0
y = –9
veya
y=5
tir.
x ⋅ y = 45 olduğundan,
y = –9
için
x = –5
|x2 – y2| = 8
y = 5
için
x=9
|x – y| = 2
bulunur.
denklem sistemini sağlayan kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır?
A) 0
O halde çözüm kümesi {(–5, –9), (9, 5)} olur.
Doğru Seçenek B
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
10. SINIF MATEMATİK
161
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
Çözüm
x2 + y2 = 53
x–y=5
x2 – xy + y2 = 12
+
–x2 + xy – y2 = 12
x2 + xy + y2 = 18
+
x2 + xy + y2 = 18
denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
2x2 + 2y2 = 30
2xy = 6
hangisidir?
x2 + y2 = 15
xy = 3
A) {(–2, –7), (7, 2)}
B) {(2, –7), (–2, 7)}
C) {(–4, 1), (9, 4)}
D) {(3, –2), (2, –3)}
E) {(1, –4), (2, –3)}
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
= 15 + 2 ⋅ 3
= 21
⇒
x + y =  21
buluruz. x + y nin pozitif değeri istendiğinden cevap
21
dir.
Doğru Seçenek D
3x2 – 2y2 = 19
x2 – y2 = 5
denklem sistemini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi var-
x2 – xy + y2 = 7
dır?
x2 + xy + y2 = 19
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
olduğuna göre, x + y toplamının pozitif değeri kaçtır?
B) 5
A) 2 6 D)
29 E)
C)
26
30
DNA 40
x2 – xy + y2 = 12
x2+ xy + y2 = 18
olduğuna göre, x + y toplamının pozitif değeri kaç-
x2 + 3xy + y2 = 12
tır?
x2 + 5xy + y2 = 10
A)
15 162
D)
B)
21 10. SINIF MATEMATİK
17 E) 2 7
C) 2 5
olduğuna göre, xy kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
TEST - 6
x2 + 5x − 6
5.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
x2 − 3x + 2
=0
gisidir?
1.
denkleminin çözüm kümesinin elemanlarının
x2 – 4 = (x – 2) (x2 + 5x + 6)
çarpımı kaçtır?
A) –8
B) –4
C) 0
D) 4
A) {–6, 1}
B) {–2, 1, 2}
D) {1}
C) {–6, 1, 2}
E) {–6}
E) 8
1
1
=9−
3−x
x−3
x 2 − 5 x − 14
=0
2x + m
6.
denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğu-
2.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
na göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaç-
gisidir?
tır?
x2 +
A) {–3, 0, 3}
B) {–3, 0}
A) –14
C) {0, 3}
C) –6
D) –2
E) 2
E) ∅
D) {–3}
( x 2 − 8 x + 15)( x 2 + 7 x + 10)
=0
3.
denkleminin çözüm kümesinin eleman sayısı
( x + 2)( x 2 − 2x − 15)
(3 x + m)( x − 4)
=0
x−4
7.
denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi olamaz?
kaçtır?
A) 1
B) –10
B) 2
C) 3
D) 4
A) –12
E) 5
B) –6
C) –3
D) 6
E) 12
4.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
8.
gisidir?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
(x2 – 5x + 6) ⋅ (x2 –9) = 0
A) {–2, 1, 2}
B) {–1, 0, 1}
C) {–3, 2, 3}
D) {–2, –1, 2}
E) {–3, –2, –1}
x
x +1
5
=
+
x + 1 x − 4 x2 − 3x − 4
gisidir?
A) {1}
B) {–4}
D) {4}
C) {–1}
E) ∅
10. SINIF MATEMATİK
163
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
9.
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
(x2 – 1)2 + 5(x2 – 1) – 6 = 0
kaç elemanlıdır?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
2
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
kaç elemanlıdır?
E) 0
A) 0
10. x +1
6
−
−1= 0
3
x +1
C) 2
D) 3
14. Aşağıdakilerden hangisi,
gisidir?
denkleminin bir kökü değildir?
A) –2
B) {–4, 5}
D) {–1, 2}
C) {–2, 2}
E) {2, 4}
11. E) 4
x4 – 6x2 + 8 = 0
D)
2
B) − 2 C) 1
E) 2
2
 x+7 
 x+7 

 − 4
+3 =0
 2x − 1 
 2x − 1 
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
B) 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
A) {–3, 4}
2
1
 2 1


 x + 2 + 2 − 5 x +  + 4 = 0
x

x


13. A) {2, 8}
B) {–8, –2}
15. C) {–8, 1}
4x – 5 ⋅ 2x + 4 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
D) {–2, 8}
E) {–1, 8}
A) {–2, 2}
12. B) {–1, 2}
D) {–2, 0}
C) {–1, 0}
E) {0, 2}
(2x2 – 5x)2 + (2x2 – 5x) – 2 = 0
denklemini sağlayan x değerlerinden biri aşağı-
dakilerden hangisidir?
1
B) − 2
A) –1
1.B
164
2.D
3.B
5 + 11
E)
2
D) 1
4.C
10. SINIF MATEMATİK
5.E
6.B
7.A
x
16. 1
C)
2
2x − 6 ⋅ 2 2 + 8 = 0
denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
A) –8
8.E
9.C
10.B
B) –4
11.A
12.C
C) 2
13.C
D) 4
14.C
E) 8
15.E
16.E
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
İkinci Dereceden Denklemler
TEST - 7
5.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
2x + 3 + 3 x + 3 = 10 x + 11
gisidir?
1.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
2x − 9 − x + 8 = 0
A) ∅
B) {–1, 0}
C) {–1, 7}
D) {–1, 11}
E) {–1}
6.
11 + 3 x − 1 = 3
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
gisidir?
A) ∅
B) {8, 11}
D) {8}
C) {8, 17}
E) {17}
gisidir?
2.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
2x − 7 − 1 = x − 4
gisidir?
A) ∅
B) {4, 8}
D) {6, 8}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
A) {–7, 1}
B) {1}
B) {–1, 5}
D) {–1, 7}
C) {–7, –1}
E) {1, 7}
C) {–1, 0}
D) {0, 1}
4.
2x − 1 + 3 x − 2 = 2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
E) {–1, 1}
8.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
B) {0, 1}
C) {1, 41}
E) {41}
|2x + 10| ⋅ |x – 3| = 0
gisidir?
gisidir?
D) {1}
|2x – 5| = |x + 2|
gisidir?
gisidir?
E) {–63}
7.
x = −1 + x + 1
A) {–1, –41}
D) {–54}
C) {–26}
E) {8, 16}
B) {–7}
C) {4, 6}
A) {0}
A) ∅
3.
A) {–5, 3}
B) {–3, 5}
D) {–1, 3}
C) {–3, –1}
E) {–5, –3}
10. SINIF MATEMATİK
165
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci Dereceden Denklemler - Bölüm 03
9.
13. denkleminin gerçek köklerinin çarpımı kaçtır?
x2 – |x| – 6 = 0
A) –36
B) –9
C) –6
D) 9
x ⋅ |x| = 9
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 36
A) ∅
D) {–3}
14. 10. x2 – 9 = |x – 3|
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
11. E) 3
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
A) {–3, 3}
– 10x + 25 = 2|x – 5|
A) 15
B) 42
C) 70
D) 84
E) 105
D) {–3}
x2 + y2 = 20
x–y=2
tır?
B) {–2, 2}
15. x2 − 3x = x2 − 6x + 9
denkleminin çözüm kümesinin elemanlarının
A) {(2, 4), (4, 2)} B) {(–2, 4), (4, 2)}
C) {(–2, –4), (4, 2)} D) {(–2, 4), (–4, 2)}
B) –2
C) –1
D) 2
x2 + y2 = 8
x ⋅ y = –4
denklem sistemini sağlayan (x, y) ikililerinden
biri aşağıdakilerden hangisidir?
E) 3
E) {(–4, 2), (–2, 4)}
16. toplamı kaçtır?
A) –3
A) (–4, 1)
1.E
166
2.B
3.C
4.D
10. SINIF MATEMATİK
5.D
6.B
7.E
8.A
E) {–2}
denklem sisteminin çözüm kümesi olan (x, y) iki-
12. C) {–1, 1}
lileri aşağıdakilerden hangisidir?
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaç-
E) {3}
x2 + 9 = 6|x|
x2
C) {–3, 3}
gisidir?
denkleminin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
B) {–9, 9}
9.B
B) (–2, –2)
D) (–1, 4)
10.A
11.E
12.D
C) (–2, 2)
E) (2, 2)
13.E
14.A
15.C
16.C
EŞİTSİZLİKLER - BÖLÜM 04
EŞİTSİZLİKLER
GİRİŞ
TANIM
x ve y gibi iki gerçek sayı için iki durum söz konusudur.
x ve y sayıları ya eşittir ya da değildir. Eşitse x = y ile eşit
değilse x ≠ y ile gösterilir.
Açık Aralık: m ile n gerçek sayılar ve m < n olsun.
[m, n] kapalı aralığının uç noktaları olan m ve n sayıları
bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık
x ≠ y ise x sayısı ya y sayısından büyüktür ya da küçüktür.
adı verilir. Açık aralığı sayı doğrusunda,
x sayısı y sayısından küçükse x < y ile büyükse x > y ile
�
�
�
gösterilir.
Doğru üzerindeki her bir noktaya, gerçek sayılar kümesinin bir elemanının eşlendiği doğrulara sayı doğrusu
biçiminde gösteririz. m ve n sayıları arasındaki tüm gerçek
sayıları içine alan bu kümeyi (m, n) veya
{x| m < x < n, x ∈ R}
denir.
�
�
�
�
biçiminde ifade ederiz.
Sayı doğrusunda herhangi bir sayı sağındaki sayıdan küçük, solundaki sayıdan büyüktür. Yukarıdaki çizdiğimiz
sayı doğrusuna göre, en küçük sayı x, en büyük sayı z dir.
TANIM
O halde sayıları sıralarsak x < y < z olur.
Yarı Açık Aralık: m ile n gerçek sayılar ve m < n olsun.
x ve y gerçek sayılar olmak üzere, x sayısı y sayısından
[m, n] kapalı aralığının uç noktaları olan m ve n sayıların-
büyük ise x > y biçiminde,
dan biri aralıktan çıkarılırsa elde edilen aralığa yarı açık
x sayısı y sayısından büyük veya eşit ise x ≥ y biçiminde,
aralık denir.
x sayısı y sayısından küçük veya eşit ise x ≤ y biçiminde
[m, n] kapalı aralığından m sayısı çıkarılırsa elde edilen
gösterilir ve bu ifadelere eşitsizlik denir.
aralık sayı doğrusunda,
�
TANIM
�
�
biçiminde gösterilir. Bu aralığı (m, n] veya
Kapalı Aralık: m ile n gerçek sayılar ve m < n olsun.
m ve n sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm gerçek sayıları sayı doğrusunda,
�
biçiminde ifade ederiz.
[m, n] kapalı aralığından n sayısı çıkarılırsa, elde edilen
�
�
biçiminde gösteririz. m ve n sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm gerçek sayıları içine alan bu kümeyi [m, n] veya
{x| m ≤ x ≤ n, x ∈ R}
biçiminde ifade ederiz.
{x| m < x ≤ n, x ∈ R}
aralık sayı doğrusunda,
�
�
�
biçiminde gösterilir. Bu aralığı [m, n) veya
{x| m ≤ x < n, x ∈ R}
biçiminde gösteririz.
10. SINIF MATEMATİK
167
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Demek ki x = –2 değeri bu fonksiyonu sıfır yapan değer-
Işık 1
miş. Aşağıdaki tabloyu incelerseniz x yerine –2 den büyük
değerler verdiğimizde fonksiyonun pozitif değerler aldığı-
m ve n tam sayılar olmak üzere,
nı, –2 den küçük değerler verdiğimizde ise negatif değer-
•
[m, n] kapalı aralığında (n – m) + 1 adet tam sayı
ler aldığını göreceksiniz. x = –2 değerinde ise fonksiyon
vardır.
sıfır olduğundan işareti yoktur.
•
(m, n) açık aralığında (n – m) – 1 adet tam sayı
vardır.
•
x
(3x + 6)
[m, n) ve (m, n] yarı açık aralıklarında (n – m)
adet tam sayı vardır.
nın değeri
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
–9
–6
–3
0
3
6
9
12
–
–
–
+
+
+
+
(3x + 6)
nın işareti
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
İŞARETİ
YOK
1442443
1442443
x in katsayısı olan
x in katsayısı olan
3 ile ters işaretli
3 ile aynı işaretli
EŞİTSİZLİKLER
Tablodan da göreceğiniz gibi 3x + 6 fonksiyonu, kökü olan
TANIM
–2 nin sağında, başkatsayı olan 3 ile aynı işaretli, solunda
a ≠ 0 ve a ile b gerçek sayılar olmak üzere,
ters işaretlidir. Sizler de,
ax + b > 0
f(x) = 2x – 6 ve f(x) = 3 – x
ax + b ≥ 0
fonksiyonları için benzer tablolar yaparak bu ifadelerin
ax + b < 0
pozitif ve negatif olduğu yerleri bulunuz. Göreceksiniz ki
ax + b ≤ 0
fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu bölgeleri belirleyen
ifadelerinin her birine birinci dereceden bir bilinmeyenli
eşitsizlik denir.
başkatsayı ve kökten başka bir şey değil.
O halde artık bu durumu genelleyebiliriz.
Eşitsizliği sağlayan x gerçek sayılarının kümesine eşitsiz-
Hazine 1
liğin çözüm kümesi adı verilir.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesinin bulunabilmesi için ax + b = 0 denkleminin kökü
a ≠ 0 ve a, b gerçek sayılar olmak üzere,
f(x) = ax + b
bulunur. Bulunan köke göre kökün sağında ve solunda
ifadenin işareti incelenir ve çözüm kümesi belirlenir.
Şimdi bu anlattıklarımızı bir örnekle açıklayalım.
f(x) = 3x + 6
fonksiyonunun pozitif ve negatif olduğu bölgeleri belirleyelim.
3x + 6
ise
olur.
168
künü bulalım.
ax + b = 0 ise x = −
olur.
b
a
O halde f(x) = ax + b iki terimlisinin işaret tablosu aşağıdaki gibidir.
Önce, 3x + 6 = 0 denkleminin kökünü bulalım.
iki terimlisinin işaretini incelemek için denklemin kö-
10. SINIF MATEMATİK
3x = –6
x = –2
x
f(x)
–∞
−
b
a
∞
a ile ters
a ile aynı
işaretli
işaretli
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
DNA 1
–2x + 4 < 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –2)
C) (–2, ∞)
B) (–∞, 2)
D) (2, ∞)
E) (4, ∞)
5(4 – x) + 9 > 2x + 1
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –4)
B) (–∞, –2)
D) (2, ∞)
C) (–∞, 4)
E) (4, ∞)
Çözüm
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
EŞİTSİZLİKLER
Eşitlikmiş gibi davranarak çözüm yapalım:
–2x + 4 < 0
4 < 2x
2<x
TANIM
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
olduğundan çözüm kümesi (2, ∞) olur.
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ 0
–2x + 4 = 0
ax2 + bx + c ≤ 0
denkleminin kökünü bulup, işaret tablosunu yapalım.
–2x + 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
ifadelerinin her birine ikinci dereceden bir bilinmeyenli
eşitsizlik denir. Eşitsizliği sağlayan x gerçek sayılarının
dir.
x
f(x)
–∞
+
kümesine eşitsizliğin çözüm kümesi adı verilir.
∞
2
–
Bizden istenen –2x + 4 < 0 olduğundan çözüm kümesi
(2, ∞) olur.
Doğru Seçenek D
Hazine Avı
Eşitsizliklerin çözüm kümesinin bulunabilmesi için,
ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri bulunur. Bulunan kök ya da kökler
sayı doğrusuna yerleştirilerek fonksiyonun işareti belirle-
nir ve çözüm kümesi bulunur.
3x + 12 > 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için üç durum söz-
dir?
konusuydu.
A) (–4, ∞)
B) (–3, ∞)
D) (–∞, –3)
C) (–∞, –4)
E) (4, ∞)
Bunlar D > 0, D = 0 ve D < 0 durumlarıydı.
Şimdi bu durumları tek tek inceleyelim.
10. SINIF MATEMATİK
169
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
1. D > 0
Tablodan da göreceğiniz gibi,
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
f(x) = x2 – 3x + 2
f(x) = ax2 + bx + c = 0
fonksiyonu büyük kök olan 2 nin sağında başkatsayı (en
büyük dereceli terimin katsayısı) ile aynı işarete, iki kök
denkleminde,
arasında başkatsayı ile ters işarete, küçük kökün solunda
D = b2 – 4ac > 0
ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü var demek-
ise başkatsayı ile aynı işarete sahip.
Sizler de,
tir.
D > 0 olan ikinci dereceden bir fonksiyon seçip, fonksi-
f(x) = –x2 + 2x + 3
yonun hangi bölgelerde pozitif, hangi bölgelerde negatif
fonksiyonu için bir tablo yaparak, bu fonksiyonun pozitif ve
olduğunu bulalım.
negatif olduğu yerleri bulunuz.
Fonksiyonumuz,
Şimdi bu durumu genelleyelim.
f(x) = x2 – 3x + 2
olsun.
Köklerini bulmak için sıfıra eşitleyelim.
Hazine 2
x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ (x – 1) (x – 2) = 0
x – 1 = 0 veya x – 2 = 0
x=1
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
veya x = 2
f(x) = ax2 + bx + c = 0
olur.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. (x1 < x2 kabul ede-
Demek ki, x = 1 ve x = 2 değerleri bu fonksiyonu sıfır ya-
lim).
pan değerlermiş. Şimdi verdiğimiz tabloyu dikkatle ince-
D > 0 iken, f(x) = ax2 + bx + c üç terimlisinin işaret
leyelim.
tablosu aşağıdaki gibi olur.
x yerine 2 den büyük değerler verdiğimizde fonksiyonun
olur.
pozitif değerler aldığını, (1, 2) aralığında değerler verdi-
x
ğimizde negatif değerler aldığını, 1 den küçük değerler
–∞
f(x)
verdiğimizde ise yine pozitif değerler aldığını görüyoruz.
x1
∞
x2
a ile aynı
a ile ters
a ile aynı
işaretli
işaretli
işaretli
x = 2 ve x = 1 değerlerinde ise fonksiyon sıfır olduğundan
işareti yoktur.
–2
(x2 – 3x + 2) nin
değeri
(x2 – 3x + 2) nin
işareti
170
12
–1
6
0
1
2
0
İŞARETİ
+
+
+
YOK
3
7
2
4
−
1
4
–
−
2
0
4
2
6
+
+
İŞARETİ
YOK
1442443
1442443
1442443
Başkatsayı ile
Başkatsayı ile
Başkatsayı ile
aynı işaretli
ters işaretli
aynı işaretli
10. SINIF MATEMATİK
DNA 2
4
3
–
3
–x2 + 3x – 2 ≥ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –1]
B) (–∞, 2)
D) (1, 2)
E) [1, 2]
C) (1, 2]
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
Çözüm
–x2 + 3x – 2 = 0
x2 – x – 12 > 0
denkleminin köklerini daha rahat bulabilmek için denklemi
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
–1 ile çarpıp başkatsayıyı 1 yapalım.
dir?
x2 – 3x + 2 = 0
A) R – [–3, 4]
B) (–∞, –4) ∪ (3, ∞)
(x – 1) (x – 2) = 0
C) R – (–3, 4)
D) R – (–3, 4)
⇒
–x2 + 3x – 2 = 0
E) R – [3, 4]
olduğundan x1 = 1 ve x2 = 2 dir.
Kökleri sayı doğrusuna yerleştirip işaret tablosunu yapalım.
x
–∞
f(x)
1
–
∞
2
+
–
2. D = 0
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
Kökler –x2 + 3x – 2 = 0 denkleminin kökleri olduğundan
f(x) = ax2 + bx + c = 0
a nın işareti negatiftir. O halde büyük kökün sağında ve
denkleminde D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki kökü var-
küçük kökün solunda işaret negatif, kökler arasında po-
dır. (Çift kat kök, iki kat kök). Yani ifade bir tam karedir.
zitiftir.
İşaret tablosunu pratik olarak şöyle de yapabiliriz. Başkatsayının işaretini en büyük kökün sağına yazarız. Daha
sonra her köke gelindiğinde işaret değiştirerek sola doğru işaretleri yazarız. Bu soruda başkatsayı negatif, en
D = 0 olan ikinci dereceden bir fonksiyon seçip, fonksiyonun hangi bölgelerde pozitif, hangi bölgelerde negatif
olduğuna bakalım.
Fonksiyonumuz,
büyük kök 2. O halde 2 nin sağına (–) yazdıktan sonra
f(x) = x2 – 2x + 1
her kökte işaret değiştireceğimizden sola doğru işaretler
–, +, – olur.
olsun.
Bizden istenen fonksiyonun sıfırdan büyük ve sıfıra eşit
Köklerini bulmak için sıfıra eşitleyelim.
olduğu yerler olduğundan çözüm kümesi [1, 2] olur.
Doğru Seçenek E
x2 – 2x + 1 = 0
⇒
(x – 1)2 = 0
x – 1 = 0 veya x – 1 = 0
x = 1 veya x = 1
olur.
O halde, x1 = x2 = 1 olan çift katlı bir köke sahibiz. x = 1
değeri ise fonksiyonu sıfır yapan değer.
x2 – 5x + 6 < 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [2, 3]
B) (2, 3)
D) (–∞, 3)
C) (–∞, 2)
E) (3, ∞)
Şimdi aşağıdaki tabloyu inceleyelim. x yerine 1 den büyük
değerler verdiğimizde de, 1 den küçük değerler verdiğimizde de fonksiyonun pozitif değerler aldığını görüyoruz.
x = 1 değerinde ise fonksiyon sıfır olduğundan işareti yoktur.
10. SINIF MATEMATİK
171
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
x
(x2 – 2x + 1) in
değeri
(x2 – 2x + 1) in
işareti
–2
–1
0
1
2
3
4
9
4
1
0
1
4
9
+
+
x2 – 6x + 9 = 0
İŞARETİ
+
Çözüm
+
YOK
+
+
1442443
1442443
Başkatsayı ile
Başkatsayı ile
aynı işaretli
aynı işaretli
Tablodan da göreceğiniz gibi f(x) = x2 – 2x + 1 fonksiyonu
çift katlı kök olan 1 in sağında ve solunda başkatsayı ile
aynı işarete sahip.
denkleminin köklerini bulalım.
x2 – 6x + 9 = 0
ise (x – 3)2 = 0
x1 = x2 = 3
olur.
x1 = x2 = 3 olduğundan 3 bir çift katlı köktür.
x
Sizler de,
f(x) = –x2 + 4x – 4
–∞
x2 6x + 9
∞
3
+
+
fonksiyonu için bir tablo yaparak bu fonksiyonun pozitif ve
negatif olduğu yerleri bulunuz.
x2 – 6x + 9 ifadesinin başkatsayısı (+) işarete sahip oldu-
Şimdi bu durumu genelleyelim.
ğundan kökün sağında ve solunda fonksiyon (+) işaretlidir. İstenen, fonksiyonun sıfırdan büyük veya sıfıra eşit
Hazine 3
olduğu yerler olduğundan çözüm kümesi,
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
(–∞, 3) ∪ {3} ∪ (3, ∞) = R
f(x) = ax2 + bx + c = 0
olur.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
D = 0 iken f(x) = ax2 + bx + c üç terimlisinin birbirine
Eğer istenen x2 – 6x + 9 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
eşit iki kökü x1 = x2 olur.
olsaydı o zaman cevabımız (–∞, 3) ∪ (3, ∞) = R – {3}
İşaret tablosu ise aşağıdaki gibidir.
olurdu.
x
f(x)
–∞
∞
x1 = x2
a ile aynı
a ile aynı
işaretli
işaretli
Doğru Seçenek E
DNA 3
x2 – 6x + 9 ≥ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
25x2 + 10x + 1 ≤ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
A) (–∞, –3)
B) (–∞, –3) ∪ (3, ∞)
dir?
C) (3, ∞)
D) {3}
1

A)  −∞, −  5

E) R
172
10. SINIF MATEMATİK
 1

B)  − , ∞   5

D) R
E) ∅
 1
C) − 
 5
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
x
(x2 + x + 2) nin
değeri
9x2 + 12x + 4 < 0
(x2 + x + 2) nin
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
işareti
dir?
2

A)  −∞, −  3

 2

B)  − , ∞   3

D) R
–2
–1
0
1
2
3
8
4
2
2
4
8
14
+
+
+
+
+
+
+
144444424444443
 2
C) − 
 3
E) ∅
–3
Başkatsayı ile aynı işaretli
Tablodan da ortaya çıkan sonuç,
f(x) = x2 + x + 2
fonksiyonu, kökü olmadığı için hep başkatsayının işareti
olan (+) işaretine sahip.
Sizler de,
f(x) = –x2 + 2x – 3
3. D < 0
fonksiyonu için bir tablo yaparak fonksiyonun işareti ile il-
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
gili bilgi sahibi olmaya çalışın.
f(x) = ax2 + bx + c = 0
Bu durumu da genelleyelim.
denkleminde D < 0 ise denklemin gerçek kökü yoktur.
D < 0 olan ikinci dereceden bir fonksiyon seçip, fonksiyonun hangi bölgelerde pozitif, hangi bölgelerde negatif
Hazine 4
olduğuna bakalım.
Fonksiyonumuz,
f(x) = x2 + x + 2
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
f(x) = ax2 + bx + c = 0
olsun.
Köklerini bulmak için sıfıra eşitleyelim.
x2 + x + 2 = 0
olur.
denkleminde D < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.
O halde, f(x) = ax2 + bx + c üç terimlisinin işaret tablosu aşağıdaki gibi olur.
Ancak denklem çarpanlarına ayrılabilen bir denklem olma-
x
−b  ∆
dığından D değerini hesaplayıp, kökleri x1, 2 =
2a
f(x)
∞
–∞
a ile aynı işaretli
ifadesinden bulacağız.
D = b2 – 4ac = 12 – 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1 – 8 = –7 < 0
olduğundan denklemin gerçek kökü yoktur.
DNA 4
Denklemin gerçek kökleri olmadığı için pozitif ve negatif
olduğu bölgeleri bulamayacak mıyız? Elbette bulunacak.
Şimdi aşağıdaki tabloyu inceleyelim. x yerine verdiğimiz
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
çeşitli değerler için fonksiyon hep pozitif değerler alıyor.
gisidir?
İsterseniz siz daha farklı gerçek değerleri x yerine yazarak
fonksiyonun hangi değerler aldığını bulabilirsiniz. Ancak
sonucun değişmeyeceğini söyleyelim. Bu fonksiyon hep
x2 – x + 6 > 0
A) (–3, –2)
B) (2, 3)
D) ∅
C) (1, 6)
E) R
pozitif.
10. SINIF MATEMATİK
173
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Çözüm
Işık 2
Denklemin D değerini hesaplayalım.
D < 0 durumu için yazılanları dikkatle incelediyseniz,
a = 1, b = –1 ve c = 6 dır.
bu durumda bir fonksiyonun ya hep negatif ya da hep
D = b2 – 4ac = (–1)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 1 – 24 = –23
olur.
pozitif olduğunu farketmişsinizdir. O halde fonksiyonun hep aynı işarete sahip olması D < 0 olması halinde mümkün olur. Fonksiyonun hangi işarete sahip
D < 0 olduğundan denklemin gerçek kökü yoktur. Fonksiyonun işareti başkatsayı olan a nın işaretine bağlı olacaktır.
x
–∞
f(x)
+
+
+
+
Bu durumda aşağıdaki iki genellemeyi yapabiliriz:
a ≠ 0 olmak üzere her x gerçek sayısı için,
∞
+
olduğunu belirleyen ise başkatsayıdır.
1)
+
ax2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin daima sağlanması
(fonksiyonun daima pozitif olması) için D < 0 ve
a > 0 olmalıdır.
a = 1 > 0 olduğundan fonksiyon daima pozitiftir.
O halde eşitsizliğin çözüm kümesi (–∞, ∞) aralığı veya R
2)
ax2 + bx + c < 0 eşitsizliğinin daima sağlanması
(fonksiyonun daima negatif olması) için D < 0 ve
dir.
a < 0 olmalıdır.
Eğer x2 – x + 6 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi istenseydi,
cevabımız boş küme olacaktı.
Doğru Seçenek E
DNA 5
x bir gerçek sayı olmak üzere,
–x2 – 3x – 4 > 0
(k – 3)x2 + 4x + 1 > 0
eşitsizliğinin her x için sağlanmasını mümkün kı-
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
lan k sayılarının oluşturduğu küme aşağıdakiler-
dir?
den hangisidir?
A) (–4, 1)
B) (–1, 4)
D) ∅
C) (1, 4)
E) R
A) (–3, 7)
B) (–∞, 3)
D) (3, ∞)
C) (–∞, 7)
E) (7, ∞)
Çözüm
(k – 3)x2 + 4x + 1 > 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için a > 0 ve D < 0 olma-
x2 + 4x + 12 > 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
lıdır.
dir?
Denklemde a = k – 3, b = 4 ve c = 1 dir.
A) (–6, –2)
174
D) ∅
B) (–2, 6)
10. SINIF MATEMATİK
E) R
a>0 ⇒ k–3>0 ⇒ k>3
C) (–6, 2)
olur.
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
D = b2 – 4ac = 42 – 4 ⋅ (k – 3) ⋅ 1 < 0
ÇARPIM DURUMUNDAKİ EŞİTSİZLİKLER
16 – 4(k – 3) < 0
Çarpım durumunda verilen bir ifadede, her çarpanın ayrı
16 < 4(k – 3)
4<k–3
7<k
ayrı işareti incelenip tabloya yerleştirilir. Daha sonra çarpanların işaretlerinin çarpılmasıyla çarpımın işareti belirlenir.
DNA 6
olur.
k > 3 ve k > 7 eşitsizliklerinin ortak çözümü k > 7 olduğun
dan çözüm kümesi (7, ∞) olur.
x ⋅ (x + 3) (2 – x) (x2 – 2x – 3) > 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
Doğru Seçenek E
gisidir?
A) (∞, –3) ∪ (–1, 0) ∪ (2, 3)
B) (–3, –1) ∪ (0, 2) ∪ (3, ∞)
C) (–∞, –1) ∪ (0, ∞)
D) (–3, 0) ∪ (2, ∞)
E) (–1, 2) ∪ (3, ∞)
Her x gerçek sayısı için,
–5x2 + 5x + k + 5 < 0
eşitsizliği sağlandığına göre, k nın en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
25 

A)  −∞, −

4 

1

C)  −∞, − 
2

B) (–∞, –3)
 15

D)  , ∞   4

1

E)  , ∞ 
2

Çözüm
Her çarpanı sıfıra eşitleyerek köklerini bulalım.
x=0
x + 3 = 0
ise
x = –3
2 – x = 0
ise
x=2
x2 – 2x – 3 = 0 ise
(x – 3) (x + 1) = 0
x – 3 = 0 veya x + 1 = 0
x=3
veya x = –1
olur.
Bulduğumuz köklere göre işaret tablosunu düzenleyelim.
–∞
Her x gerçek sayısı için,
x
3x2 – 6x + k – 2 > 0
eşitsizliği sağlandığına göre, k nın en küçük tam sayı
değeri kaçtır?
A) 7
B) 6
x2
C) 5
D) 4
E) 3
–3
–1
0
2
∞
3
–
–
–
+
+
+
x+3
–
+
+
+
+
+
2–x
+
+
+
+
–
–
– 2x – 3
+
+
–
–
–
+
+
–
+
–
+
–
x(x + 3)(2 – x)(x2 – 2x – 3)
10. SINIF MATEMATİK
175
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Her bir çarpanın işaretini ayrı ayrı belirledikten sonra istenen, çarpımın işareti olduğundan her bir sütundaki işaretler çarpılarak çarpımın işareti bulunur.
BÖLÜM DURUMUNDAKİ EŞİTSİZLİKLER
P( x )
biçimindeki ifadelerin
Q( x )
işaretleri incelenirken pay ve paydadaki çarpanların kökQ(x) ≠ 0 olmak üzere, f ( x ) =
leri bulunarak ayrı ayrı işaretleri incelenir. Çarpanların işa-
x(x + 3) (2 – x) (x2 – 2x – 3) > 0
eşitsizliğinin çözümünü aradığımızdan çözüm kümesi,
retlerinin çarpılıp - bölünmesiyle f(x) in işareti bulunur. Bölüm durumundaki eşitsizliklerde dikkat edilmesi gereken
en önemli noktalardan biri paydayı sıfır yapan değerlerin
(–∞, –3) ∪ (–1, 0) ∪ (2, 3)
çözüm kümesinden çıkarılmasıdır.
olur.
Doğru Seçenek A
DNA 7
( x 2 + x + 1)( x 2 + 4 x + 3)
≥0
x+2
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
(x2
– x – 2)
(x2
+ x – 2) < 0
A) (–∞, –3] ∪ (–2, –1]
B) (–∞, –2] ∪ [–1, ∞)
C) (–∞, –1] ∪ [1, ∞)
D) [–3, –2) ∪ [–1, ∞)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
E) [–3, –1) ∪ [1, ∞)
dir?
A) (–∞, –2) ∪ (–1, 1) ∪ (2, ∞)
B) (–∞, –1) ∪ (0, 1) ∪ (2, ∞)
Çözüm
C) (–2, –1) ∪ (1, 2)
D) (–2, 1) ∪ (2, ∞)
Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek köklerini bulalım.
E) (–1, 1) ∪ (2, ∞)
x2 + x + 1 = 0
ifadesi çarpanlarına ayrılabilen bir ifade olmadığından D
değerini hesaplayalım.
D = b2 – 4ac = 12 – 4 ⋅ 1 ⋅1 = 1 – 4 = –3 < 0
olduğundan gerçek kök yoktur. Başkatsayının işareti (+)
olduğundan fonksiyon daima pozitiftir.
x(x + 4) (x2 + 2x – 15) < 0
eşitsizliğini sağlayan x pozitif tam sayılarının toplamı
176
ise
(x + 3) (x + 1) = 0
x + 3 = 0 veya x + 1 = 0
x = –3
dir.
kaçtır?
A) 2
x2 + 4x + 3 = 0
x + 2 = 0 ise x = –2
B) 3
10. SINIF MATEMATİK
C) 4
D) 5
E) 6
olur.
veya x = –1
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
Bulduğumuz köklere göre işaret tablosunu düzenleyelim.
x
–∞
–3
–2
Işık 3
∞
–1
x2 + x + 1
+
+
+
+
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözüm
x2 + 4x + 3
+
–
–
+
kümeleri tek bir tabloda, aşağıdaki işlemler yapılarak
x+2
–
–
+
+
bulunabilir.
–
+
–
+
•
(+) ⋅ (+)
( −)
( + ) ⋅ ( −)
( −)
( + ) ⋅ ( −)
(+)
(+) ⋅ (+)
(+)
2
2
( x + x + 1)( x + 4 x + 3 )
x+2
Pay ve paydadaki çarpanların kökleri varsa bulunarak sırayla tabloya yazılır.
•
Eşitsizliğin tamamı dikkate alınarak, bir kök değerinden tek sayıda varsa tek katlı kök, çift sayıda varsa çift katlı kök denir.
Terimler arasındaki işlem hangisiyse işaretler arasında da
aynı işlem yapılarak fonksiyonun işareti belirlenir.
2
•
Eşitsizliğin işareti belirlenir. Eşitsizliğin işareti her
çarpandaki en büyük dereceli terimlerin işaretle-
2
( x + x + 1)( x + 4 x + 3)
≥0
x+2
rinin çarpımıdır.
eşitsizliğinin çözüm kümesi istendiğinden payı sıfır yapan
•
Eşitsizliğin işareti tabloda bulunan en büyük kökün sağına yazılır. Tabloda sola doğru her tek
değerler çözüm kümesine alınır. Paydayı sıfır yapan de-
katlı köke rastladıkça işaret değiştirilerek, her çift
ğerler ifadeyi tanımsız yapacağından çözüm kümesine
katlı kökte işaret değiştirmeden tablo işaretlenir.
alınmaz.
O halde çözüm kümesi [–3, –2) ∪ [–1, ∞) olur.
Doğru Seçenek D
Not
Bundan sonraki bölümlerde, tabloda tek katlı kökler
minde, çift katlı kökler
kökler
biçi-
biçiminde, ifadeyi tanımsız yapan
biçiminde, ifadeyi tanımsız yapan çift katlı kökler
biçiminde gösterilecektir.
( x 2 + 1)( x 2 + x − 2)
<0
x−3
Eşitsizliği sağlayan köklerin ise • biçiminde içi doludur.
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x pozitif tam sayısı
vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
DNA 8
(x + 3) (x2 + x – 6) > 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han
3
2
gisidir?
x + x + 12x
≤0
x+3
A) (–∞, –3)
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
A) –6
B) –5
C) –3
D) –2
B) (–∞, 2)
D) (–3, ∞)
C) (–3, 2)
E) (2, ∞)
E) –1
10. SINIF MATEMATİK
177
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Çözüm
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
x + 3 = 0 ise x = –3
dir?
köklerden biridir.
x2 + x – 6 = 0
ise
x3 – x ≤ 0
Her bir çarpanın ayrı ayrı köklerini bulalım.
(x + 3) (x – 2) = 0
x + 3 = 0 veya x – 2 = 0
x = –3
A) [1, ∞)
B) (1, ∞)
C) [0, ∞)
D) (–∞, 1] ∪ [2, 3]
E) (–∞, –1] ∪ [0, 1]
veya x = 2
diğer köklerdir.
x = –3 çift katlı bir kök, x = 2 tek katlı bir köktür. Eşitsizliğin
işareti her çarpanın en büyük dereceli terimlerinin işaretlerinin çarpımı olduğundan (+) ⋅ (+) = + olur.
Işık 4
Şimdi işaret tablosunu yapalım.
x
–∞
–3
∞
2
•
Verilen eşitsizliğin her iki tarafında da değişkene
bağlı ifadeler varsa eşitsizliğin bir tarafı sıfır ya-
f(x)
–
–
+
pılır.
•
olduğu kesin bilinmiyorsa, içler-dışlar çarpımı
Eşitsizliğin işaretini en büyük kök olan 2 nin sağına yaz-
yapılmaz.
dıktan sonra, sola doğru tek katlı köklerde işareti değiştirerek, çift katlı köklerde işareti değiştirmeden tüm tablo
Eşitsizliklerde, çarpanların pozitif veya negatif
•
Bir eşitsizliğin her iki tarafında da değişkene bağlı sadeleşebilecek ifadeler varsa bu ifadeler sa-
doldurulur. İstenen, eşitsizliğin pozitif olduğu yerler oldu-
deleştirilmez. Bu terimlerden biri eşitsizliğin diğer
ğundan çözüm kümesi (2, ∞) olur.
tarafına alınarak işlem yapılır.
Doğru Seçenek E
DNA 9
(x – 2)2 ≥ (x – 2) ⋅ (2x + 6)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
(x – 2)2 ⋅ (x2 + x – 20) < 0
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı vardır?
A) 5
178
B) 6
10. SINIF MATEMATİK
C) 7
D) 8
E) 9
A) (–∞, –8)
B) (–∞, –3)
D) [–3, 2]
C) [–8, 2]
E) [2, ∞)
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
Çözüm
eşitsizliğini sağlayan x doğal sayıları kaç tanedir?
eşitsizliğinin sağ tarafını sıfır yapalım.
(x – 2) [(x – 2) – (2x + 6)] ≥ 0
(x – 2) [x – 2 – 2x – 6] ≥ 0
(x – 2) (–x – 8) ≥ 0
–(x – 2) (x + 8) ≥ 0
(x – 2) (x + 8) ≤ 0
x2 − 8x + 7
x = 2
f(x)
<0
A) (–∞, –2) ∪ (–2, 1)
B) (–2, 1)
C) (1, 7)
D) (2, ∞)
E) (7, ∞)
–8
+
E) 0
gisidir?
veya x = –8
İşaret tablosunu yapalım.
–∞
D) 1
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
olur.
x
( x + 2)2
ise x – 2 = 0 veya x + 8 = 0
C) 2
DNA 10
Bu durumda denklemin köklerini bulalım.
(x – 2) ⋅ (x + 8) = 0
B) 3
A) 4
(x – 2)2 – (x – 2) (2x + 6) ≥ 0
(x – 1)3 ≤ (x – 1)
(x – 2)2 ≥ (x – 2) (2x + 6)
∞
2
–
+
Çözüm
Pay ve paydanın köklerini bulalım.
(x – 2) ⋅ (x + 8) ≤ 0
istendiğinden aranan çözüm [–8, 2] olur.
Doğru Seçenek C
x2 – 8x + 7 = 0
ise
(x – 1) (x – 7) = 0
x – 1 = 0 veya
x–7=0
x=1
x=7
veya
olur.
(x + 2)2 = 0 ise x = –2
dir.
x = –2 kökü çift katlı bir kök olup paydayı sıfır yaptığından
çözüm kümesine dahil edilmez.
Şimdi işaret tablosunu yapalım.
x3 + 9 ≥ x2 + 9x
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik negatif x tam sayısı
vardır?
A) 0
x
f(x)
B) 1
C) 2
D) 3
–∞
–2
+
1
+
∞
7
–
+
E) 4
10. SINIF MATEMATİK
179
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizliğin işareti başkatsayıların işaretlerinin bölümü olacağından
Çözüm
(+)
= ( + ) olur.
(+)
1
x
≥
⇒
x x+2
Bizden istenen, eşitsizliğin sıfırdan küçük olduğu yerler.
1
x
−
≥0
x
x+2
(x+2)
O halde çözüm kümesi (1, 7) dir.
(x)
x+2
x2
−
≥0
x( x + 2) x( x + 2)
Doğru Seçenek C
x + 2 − x2
≥0
x( x + 2)
−x − 2 + x2
≤0
x( x + 2)
2x − 4
≤0
3x + 6
x2 − x − 2
≤0
x( x + 2)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
x2 – x – 2 = 0 ⇒ (x – 2) (x + 1) = 0
dir?
A) (–∞, –2)
B) (–2, 2)
olacağından kökler x = 2 ve x = –1 dir.
x(x + 2) = 0 ⇒ x = 0 veya x + 2 = 0
E) [2, ∞)
D) (–2, 2]
C) (–2, ∞)
olacağından kökler x = 0 ve x = –2 dir. Bu kökler paydayı
sıfır yapan değerlerdir.
Eşitsizliğin işareti başkatsayıların işaretlerinin bölümü ola(+)
= ( + ) olur.
(+)
İşaret tablosunu yapalım.
cağından
x2 + x − 6
>0
x +1
x
eşitsizliğini sağlayan kaç negatif x tam sayısı vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
–∞
f(x)
+
–2
–1
–
0
+
∞
2
–
+
E) 5
Bizden istenen, eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit
olduğu yerler.
O halde çözüm kümesi (–2,–1] ∪ (0, 2] olur.
DNA 11
Doğru Seçenek D
1
x
≥
x x+2
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
gisidir?
A) (–∞, –2) ∪ [–1, 0)
B) (–∞, –1) – {–2}
C) (–2, 0] ∪ [2, ∞)
D) (–2, –1] ∪ (0, 2]
E) [–1, ∞) – {0}
1
≥x
x
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –1] ∪ (0, 1]
B) [–1, 0) ∪ (0, 1]
C) [–1, ∞) – {0}
D) (0, ∞)
E) [1, ∞)
180
10. SINIF MATEMATİK
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
x
x 9
<
4 x
–∞
f(x)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –9) ∪ (0, 9)
B) (–∞, –6) ∪ (0, 6)
C) (–∞, 0) ∪ (6, ∞)
D) (–6, 0) ∪ (6, ∞)
E) (0, ∞)
–5
–1
–
+
1
∞
3
–
+
+
İstenen eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu
değerler olduğundan çözüm kümesi
(–∞, –5] ∪ [–1, 1) ∪ {3} olur.
x = 1 değeri paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine
dahil değildir.
Doğru Seçenek C
DNA 12
( x 2 − x − 42)(3 − x )
≥0
x +1
( x 2 + 6 x + 5)(3 − x )2
( x 2 − x + 10)( x − 1)
≤0
eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
A) 12
B) 15
C) 18
E) 25
D) 22
gisidir?
A) (–∞, –5) ∪ (–1, ∞)
B) (–∞, –1) ∪ (1, 3]
C) [–∞, –5] ∪ [–1, 1) ∪ {3}
D) [–5, –1] ∪ (1, ∞)
E) [–1, 1) ∪ [3, ∞)
( x 2 − x − 12) ⋅ ( x − 2)2
Çözüm
Her bir çarpanın köklerini bulalım.
x2 + x − 6
≤0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –2)
B) (–3, 4)
D) [2, ∞)
C) (2, 4]
E) [4, ∞)
x2 + 6x + 5 = 0 ⇒ (x + 5) (x + 1) = 0
olacağından kökler x = –5 ve x = –1 dir.
DNA 13
(3 – x)2 = 0 ⇒ x1 = x2 = 3 (Çift katlı kök)
x2 – x + 10 = 0 denkleminde D < 0 olacağından gerçek
kök yoktur.
x2 – (m – 3)x + 9 = 0
denkleminin birbirinden farklı iki gerçek kökü ol-
x – 1 = 0 ise kök x = 1 dir.
Eşitsizliğin işareti her bir çarpanın başkatsayılarının işareti
kullanılarak bulunuyordu.
O halde,
2
( + ) ⋅ ( −)
= ( + ) olur.
(+) ⋅ (+)
İşaret tablosunu yapalım.
duğuna göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A) (–∞, –3) ∪ (9, ∞)
B) (–∞, –1) ∪ (3, ∞)
C) R – {–3, 9}
D) R – {–1, 3}
E) R
10. SINIF MATEMATİK
181
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Çözüm
x2 – (m – 1)x + 1 = 0
İkinci dereceden bir denklemin farklı iki gerçek kökünün
olabilmesi için D > 0 olmalıdır.
denkleminin gerçek kökü olmadığına göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Verilen ikinci dereceden denklem için,
B) (–1, 3)
A) [–1, 1]
a = 1, b = –(m – 3) ve c = 9
dur.
D) (0, 1]
C) (–1, 2]
E) (0, 2)
D = b2– 4ac = [–(m – 3)]2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 9 > 0
(m – 3)2 – 36 > 0
(m – 3)2 – 62 > 0
(m – 3 – 6) (m – 3 + 6) > 0
(m – 9) (m + 3) > 0
DNA 14
Bir gerçek sayının karesi, kendisinin 6 fazlasından küçüktür.
Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç değişik tam
(m – 9) ⋅ (m + 3) = 0 denkleminin kökleri 9 ve –3 tür.
sayı değeri vardır?
Eşitsizliğin işareti (+) ⋅ (+) = (+) dır.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
İşaret tablosunu yapalım.
x
f(x)
–∞
–3
+
∞
9
–
+
Çözüm
Gerçek sayı x olsun. x in karesi kendisinin 6 fazlasından
küçük olduğundan,
x2 < x + 6
Eşitsizliğin sıfırdan büyük olduğu bölgeler istendiğinden,
çözüm kümesi (–∞, –3) ∪ (9, ∞) olur.
dır.
x2 < x + 6 ⇒ x2 – x – 6 < 0
Doğru Seçenek A
dır.
Denklemin köklerini bulalım.
x2 – x – 6 = 0 ⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
x2 – (m + 1)x + 4 = 0
na göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R
B) R – {–2, 2}
C) R – {–5, 3}
D) (–∞, –5) ∪ (3, ∞)
E) (–∞, –3) ∪ (5, ∞)
10. SINIF MATEMATİK
x – 3 = 0 veya x + 2 = 0
x=3
veya x = –2
dir.
denkleminin birbirinden farklı iki gerçek kökü olduğu-
182
Eşitsizliğin işareti (+) dır.
İşaret tablosunu yapalım.
x
f(x)
–∞
–2
+
∞
3
–
+
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
İstenen, eşitsizliğin sıfırdan küçük olduğu bölge olduğun-
Çözüm
dan çözüm kümesi (–2, 3) olur.
Demek ki, bu koşulu sağlayan tam sayılar –1, 0, 1 ve 2
Önce basit eşitsizlikler konusundan bildiğimiz bir hatırlat-
olup, 4 tanedir.
ma yapalım.
Doğru Seçenek B
Hatırlatma
0 < a < 1 ve
am < an ise m > n dir.
a > 1
am < an
ise m < n dir.
ve
2
2
1
2 x −5 x + 2 <
⇒ 2x −5 x + 2 < 2−2
4
Karesi, kendisinin 4 katının 5 fazlasından büyük olan
gerçek sayılar kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
olur.
A) (–∞, –1)
B) (–1, 5)
C) (–∞, –1) ∪ (5, ∞)
D) (–∞, 1) ∪ (4, ∞)
E) (–∞, 4) ∪ (9, ∞)
Buna göre, x2 – 5x + 2 < –2 olacağından çözmemiz gereken eşitsizliğin x2 – 5x + 4 < 0 olduğu ortaya çıkar.
Önce kökleri bulalım.
x2 – 5x + 4 = 0 ⇒ (x – 1) (x – 4) = 0
⇒ x – 1 = 0 veya
x=1
veya
x–4=0
x=4
olur.
Bir dikdörtgenin uzun kenarı x br, kısa kenarı (x – 4) br
olup alanı 12
br2
den küçük olduğuna göre, x in alabi-
Eşitsizliğin işareti pozitif olduğundan işaret tablosu aşağıdaki gibi olur.
leceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
A) 1
B) 2
C) 4
x
D) 5
E) 7
–∞
f(x)
1
+
∞
4
–
+
İstenen, eşitsizliğin sıfırdan küçük olduğu yerler olduğundan çözüm kümesi (1, 4) olur.
Doğru Seçenek D
DNA 15
2
1
2 x −5 x + 2 <
4
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, 1)
2
1
3 x −7 x + 3 <
27
B) [1, 4]
D) (1, 4)
C) (1, 4]
E) (4, ∞)
A) (–∞, 1)
B) (–1, 6)
D) (1, ∞)
C) (1, 6)
E) (6, ∞)
10. SINIF MATEMATİK
183
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Kökleri sayı doğrusuna yerleştirip, işaretlerini bulalım.
x
a ∈ R+ ve a < 1 olmak üzere,
2
a x + 2 < a5 x −2
f(x)
–∞
–1
+
0
–
∞
2
–
+
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Eşitsizliğin işaretlerini her çarpandaki en büyük dereceli
A) (–∞, 1)
B) (1, 4)
D) R – [1, 4]
C) (4, ∞)
E) R – {1, 4}
terimlerin işaretini çarparak belirliyorduk.
O halde
(+) ⋅ (+)
= ( + ) olur.
(+)
Eşitsizliğin işaretini en büyük kökün sağına yerleştirdik.
Tek katlı köklerde işaret değiştirerek, çift katlı köklerde
işaret değiştirmeden işaretleri yerleştirdiğimizde çözüm
Uyarı
kümesi (–∞, –1) ∪ [2, ∞) ∪ {0} olur. x = –1 değeri paydayı
sıfır yaptığından çözüm kümesine dahil etmedik. x = 2 ve
n > 1 ve n ∈ Z olmak üzere,
2n f ( x )
x = 0 değerleri ise payı sıfır yaptığından çözüm kümesine
ifadesi f(x) ≥ 0 için tanımlıdır.
alındı.
Doğru Seçenek B
DNA 16
x 2 ⋅ ( x − 2)
x +1
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
( x − 3)( x − 4)
x +1
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –1) ∪ [0, 2]
B) (–∞, –1) ∪ [2, ∞) ∪ {0}
C) (–1, 2] ∪ [2, ∞)
D) (–1, 0] ∪ [2, ∞)
A) (–∞, –1] ∪ [3, 4]
B) (–∞, –1) ∪ (4, ∞)
C) (–1, 3] ∪ [4, ∞)
D) (0, 3] ∪ [4, ∞)
E) [0, ∞)
E) [3, 4]
Çözüm
x 2 ⋅ ( x − 2)
x +1
ifadesinin tanımlı olabilmesi için
2
x ( x − 2)
≥ 0 olmalıdır.
x +1
Çarpanların köklerini bulalım.
⇒ x = 0 (Çift kat kök)
x2 = 0
x – 2 = 0 ⇒ x = 2
x + 1 = 0 ⇒ x = –1 (Paydayı sıfır yapan değer)
184
10. SINIF MATEMATİK
( x − 2)2 ⋅ ( x − 1)
x+2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R – [–2, –1]
B) R – (–2, 1]
C) R – (–2, –1)
D) R – [–2, 1)
E) R – [–1, 2]
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
TEST - 1
5.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
x2 – x – 2 < 0
hangisidir?
1.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
–3x – 6 > 0
A) (–∞, –2)
B) (–2, 1)
D) (–1, ∞)
C) (–1, 2)
E) (2, ∞)
hangisidir?
A) (–∞, –2)
B) (–∞, –1)
D) (1, ∞)
C) (–∞, 2)
E) (2, 7)
6.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
–x2 + 4x – 4 ≤ 0
hangisidir?
x−2
4−x
− 2x + 1 >
−x−2
2
3
2.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
A) ∅
B) R
D) (–∞, –2]
C) [2, ∞)
E) [–2, 2]
hangisidir?
A) (–∞, –4)
B) (–∞, –2)
D) (–∞, 2)
C) (–∞, 1)
E) (–∞, 4)
7.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
(4 – x) (x – 3) ≥ 0
hangisidir?
x−5
5−x
+ 3x > x −
2
3
3.
eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaç-
A) [–3, –4]
B) (–3, 4]
D) [3, 4)
C) (3, 4]
E) [3, 4]
tır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
8.
x bir gerçek sayı olmak üzere,
1− x
<5
3
4.
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
3<
dir?
B) 30
eşitsizliği her x için sağlandığına göre, m nin en
geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
kaçtır?
A) 55
(m + 1)x2 + 4x + 2 > 0
C) –30
D) –55
E) –77
A) (–∞, –1)
B) (–∞, 1)
D) (–1, ∞)
C) (–1, 1)
E) (1, ∞)
10. SINIF MATEMATİK
185
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
9.
13. eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
x2 – 4x + 8 < 0
hangisidir?
B) (–∞, 2)
D) ∅
10. x2 – 4x + 12 > 0
C) (2, 4)
E) R
B) (–6, 2)
D) ∅
C) (–2, 6)
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
E) R
(x2 + 2x – 3) ⋅ (x – 2) < 0
hangisidir?
A) (–∞, –3) ∪ (1, 2)
B) (–∞, –1) ∪ (2, 8)
C) (–3, 1) ∪ (2, ∞)
D) (–1, 2) ∪ (2, ∞)
(x + 2) (x2 – 2x – 3) (x2 – 3x + 5) < 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
E) (0, ∞)
(1 – x)3 ⋅ (x + 2) ≥ 0
15. 11. C) (–1, 0)
kaçtır?
A) (–6, –2)
B) (–∞, 0)
D) (0, 3)
14. hangisidir?
A) (–∞, –1)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–∞, –2)
(x2 – 3x) (x2 – 4x + 5) < 0
A) (–∞, –2) ∪ (–1, 3)
B) (–∞, –1) ∪ (3, ∞)
C) (–2, –1) ∪ (–1, 3)
D) (–2, –1) ∪ (3, ∞)
E) (–1, 2) ∪ (3, ∞)
E) (–1, 2) ∪ (3, ∞)
12. 16. (x – 3) (x2 – 5x + 6) ≤ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
A) (–∞, 2]
B) (–∞, 2] ∪ {3}
C) [2, 3]
D) [2, ∞)
E) [3, ∞) ∪ {2}
1.A
186
2.E
3.C
4.D
10. SINIF MATEMATİK
5.C
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
hangisidir?
(x2 – 1) (–x2 + x – 3) < 0
A) (–∞, –3) ∪ (3, ∞)
B) (–∞, –2) ∪ (2, ∞)
C) (–∞, –1) ∪ (1, ∞)
D) (–1, 1)
E) (–1, 1) ∪ (1, ∞)
6.B
7.E
8.E
9.D
10.E
11.A
12.B
13.D
14.B
15.A
16.C
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
TEST - 2
x2 + x − 6
<0
x−2
5.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
1.
eşitsizliğini sağlayan kaç x tam sayısı vardır?
(x + 3) (2x + 4) < (x + 3)2
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
A) (2, ∞)
B) (–3, ∞)
D) (–∞, 2)
C) (–3, 2)
E) (–∞, –3)
E) 6
2.
eşitsizliğini sağlayan x doğal sayılarının toplamı
(x – 4)3 ≤ x – 4
x 2 − 2x − 3
≤0
6.
eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları kaç tanedir?
A) 7
( x + 1)2
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
kaçtır?
A) 28
3.
B) 21
C) 15
D) 10
E) 6
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
x−3 ≤
hangisidir?
x−3
≤0
x +1
A) (–∞, –4] ∪ [3, ∞)
B) (–∞, –4] ∪ (–3, 4]
eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları kaç tanedir?
C) [–4, –3) ∪ [4, ∞)
D) [–4, –3] ∪ [3, ∞)
A) 6
B) 5
x2 + 4
C) 4
D) 3
E) 2
4.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
( x − 1)2
≥0
hangisidir?
7
x+3
7.
A) {–1, 1}
B) [–2, 2]
D) R – {–1}
C) ∅
E) R – {1}
E) [4, ∞)
x 5
≥
5 x
8.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–∞, –5] ∪ (0, 5]
B) (–∞, 0) ∪ [5, ∞)
C) (–∞, 0) ∪ (5, ∞)
D) [–5, 0) ∪ [5, ∞)
E) [–5, 0) ∪ (0, 5]
10. SINIF MATEMATİK
187
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
( x + 2)(1 − x )
9.
eşitsizliğini sağlayan kaç x tam sayısı vardır?
≤0
2
− x + 2x + 8
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
2
5 x −5 x −3 < 125
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 7
C) 9
D) 10
E) 15
A) (–∞, –5)
11. ≥0
eşitsizliğini sağlayan kaç x tam sayısı vardır?
14. eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
x2 + 3x + 4
A) 6
( 4 − x )3 ⋅ ( x − 3)2
≥0
x+2
10. 3 x −2 ⋅ ( 2x − x 2 )
13. B) (–∞, –1)
C) (–1, 6)
E) (6, ∞)
D) [1, 5]
( x 2 − 2x + 3)( x 2 − 4 x + 4)
≤0
5−x
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
15. m < 0 olmak üzere,
hangisidir?
A) (–∞, –1) ∪ {2}
B) (–∞, 2] ∪ {5}
C) [2, ∞) ∪ {–1}
D) (5, ∞) ∪ {2}
x −m
≤0
x−3
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı –3
olduğuna göre, m kaçtır?
E) (5, ∞)
A) –3
12. ( x − 3)88
( x + 1)88
hangisidir?
A) R – {–1}
1.A
188
B) {3}
3.C
D) 0
E) 1
10. SINIF MATEMATİK
5.E
6.D
eşitsizliğinin çözüm kümesi (–3, 5) olduğuna
göre, m + n toplamı kaç olabilir?
C) (–1, 3)
A) –10
E) [–1, 3]
4.E
x+m
<0
x −n
16. D) (–1, 3]
2.C
C) –1
≤0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
B) –2
7.B
8.D
9.B
10.C
B) –8
11.D
12.B
C) –6
13.D
D) –4
14.C
15.A
E) –2
16.B
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
5.
TEST - 3
Her x ∈ R için,
mx2 – 6x + m < 0
eşitsizliği sağlandığına göre, m nin en büyük tam
sayı değeri kaçtır?
1.
denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna
x2 – (m + 1)x + 4 = 0
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
göre, m nin alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –5) B) (–∞, –3)
C) (–∞, –3) ∪ (5, ∞) D) R – [–5, 3]
E) R – [–3, 5]
6.
a ∈ R+ ve a < 1 olmak üzere,
2
a x +3 > a7 x −7
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
2.
denkleminin gerek kökü olmadığına göre, m nin
x2 – (m + 3)x + 1 = 0
alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden
A) (–∞, 2)
B) (–∞, 5)
C) (2, 5)
D) (2, ∞)
E) (5, ∞)
7.
1
1
−
x x −1
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıda-
hangisidir?
A) (–∞, –5)
B) (–∞, 1)
D) (–1, 5)
2
2
x ( x − 3 x + 2)
C) (–5, –1)
E) (1, 5)
kilerden hangisidir?
3.
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
x2 + 4
≤0
vardır?
A) 2
4.
B) 3
C) 4
D) 5
Bir üçgenin kenarlarından birinin uzunluğu x birim ve
8.
C) 6
D) 5
E) (0, 1)
E) 3
Karesi, kendisinin 7 katının 10 eksiğinden küçük
hangisidir?
kaç değişik tam sayı değeri alabilir?
B) 8
D) (–1, 0)
C) (–∞, 1)
olan gerçek sayıların kümesi aşağıdakilerden
Üçgenin alanı 12 br2 den küçük olduğuna göre, x
A) 9
B) (–∞, 0)
E) 6
bu kenara ait yüksekliğin uzunluğu (x – 2) birimdir.
A) (–∞, –1)
A) (5, ∞)
B) (–5, –2)
D) (–2, 5)
C) (–5, 2)
E) (2, 5)
10. SINIF MATEMATİK
189
Eşitsizlikler
9.
Eşitsizlikler - Bölüm 04
13. 1 < m < n olmak üzere,
Her k ∈ R için,
eşitsizliği sağlandığına göre, k nın en küçük tam
B) 1
x2 − 4
10. x 2008
C) 2
D) 3
E) 4
vardır?
A) 6
11. n

A)  −∞, −  m

m

B)  −∞, −  n

m
 n
D)  − , −  n
 m
14. x−3 x−3
≤
x − 2 x +1
m n 
C)  , 
 n m
m 
E)  , ∞ 
n

≤0
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
sayı değeri kaçtır?
A) –1
m n 
x2 +  +  x + 1 < 0
 n m
kx2 – 4x + k + 3 > 0
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–∞, –3) ∪ (3, ∞)
B) (–∞, –1) ∪ (2, 3]
C) (–∞, 1] ∪ (2, 3)
D) [1, 2) ∪ (3, ∞)
(m – 2)x2 + mx – m + 1 = 0
E) R – {–1, 2}
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
1
+
>1
x1 x 2
olduğuna göre, m nin çözüm kümesi aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) (–∞, 0) ∪ (1, ∞)
B) (–2, 1)
C) (–∞, –1) – {–2}
D) (1, ∞) – {2}
( x 2 + x − 6) ⋅ 5 x −1
15. x2 + 3x + 4
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
vardır?
A) 6
16. 12. Küpü kendisinden küçük olan sayılar aşağıdaki
aralıkların hangisinde yer alır?
C) 4
D) 3
E) 2
A) (–∞, –1) ∪ (0, 1)
B) (–∞, –1) ∪ (0, 1)
C) (–∞, 0) ∪ (0, 1)
D) (–1, 0) ∪ (0, 1)
3.B
4.E
10. SINIF MATEMATİK
eşitsizliği her x gerçek sayısı için sağlandığına
gisidir?
 1 
A)  − , 0   2 
E) (0, 1)
2.C
–x2 + x – m2 < 0
göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
190
B) 5
E) (1, ∞)
1.D
≤0
5.B
6.C
7.E
8.E
9.C
 1
B)  0,   2
 1 1
E)  − , 
 2 2
D) (–1, 1)
10.C
11.D
12.A
C) (–1, 0)
13.D
14.B
15.A
16.E
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ
TANIM
x2 – 9 > 0
Birden fazla eşitsizliğin oluşturduğu sistemlere eşitsizlik
2–x<0
sistemi denir. Sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kü-
eşitsizlik sisteminin çözüm aralığı aşağıdakilerden
melerinin kesişimine sistemin çözüm kümesi denir.
hangisidir?
Eşitsizlik sistemlerinde her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı
A) (–∞, –3)
ayrı bulunur ve bu aralıkların kesişimleri alınır.
B) (–∞, 2)
C) (–3, 2)
E) (3, ∞)
D) (2, 3)
DNA 17
x2 – 4 < 0
4–x>0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –2)
B) (–∞, 2)
C) (–2, 2)
E) (4, ∞)
D) (2, 4)
Çözüm
x2
x2 + 2x – 15 ≥ 0
3–x≤0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
– 4 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
(x – 2) (x + 2) = 0
ise x – 2 = 0 veya
x=2
veya
x+2=0
x = –2
A) (–∞, –5)
D) [3, ∞)
dir.
B) (–∞, –3]
C) (–5, 3]
E) (–5, ∞)
4 – x = 0 denkleminin köklerini bulalım.
4 – x = 0 ise x = 4
tür.
Kökleri sayı doğrusuna yerleştirip, her eşitsizlik için ayrı
ayrı işaretleyelim.
x
–∞
–2
2
∞
4
x2 – 4
+
–
+
+
4–x
+
+
+
–
SİSTEM
DNA 18
x2 – 3x –10 < 0
x2 – 5x + 6 ≤ 0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerİşaret tablosundan da görüldüğü gibi sistemin çözüm kü-
den hangisidir?
mesi (–2, 2) aralığıdır.
A) (–2, 2)
Doğru Seçenek C
B) (–2, 2]
D) [2, 3]
C) (2, 3)
E) [3, 5)
10. SINIF MATEMATİK
191
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Çözüm
x2 – 3x –10 = 0
DNA 19
ise (x – 5) (x + 2) = 0
x – 5 = 0 veya
x+2=0
x=5
x = –2
x2 – 5x + 6 = 0
ise
veya
1
<0
x −1
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0
x +1
>0
x −1
veya
x–2=0
x = 3 veya x=2
den hangisidir?
A) (–∞, –1]
Bulduğumuz kökleri sayı doğrusuna yerleştirip, her eşit-
B) (–∞,–1)
C) [–1, 1)
E) (1, ∞)
D) (–1, 1)
sizlik için ayrı ayrı işaretleri belirledikten sonra iki eşitsizliği
de aynı anda sağlayan bölgeyi bulalım.
x
–∞
–2
2
3
∞
5
x2 – 3x– 10
+
–
–
–
+
x2 – 5x + 6
+
+
–
+
+
SİSTEM
Çözüm
x +1
> 0 eşitsizliği için pay ve paydadaki ifadelerin ayrı
x −1
ayrı köklerini bulalım.
İşaret tablosunda görüldüğü gibi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi [2, 3] aralığıdır.
Doğru Seçenek D
x2 + 2x – 24 < 0
x2 – x – 20 > 0
x + 1 = 0
ise
x = –1
x – 1 = 0
ise
x=1
olur.
1
< 0 eşitsizliği için paydadaki ifadenin kökünü bulax −1
lım.
x–1=0
ise
x=1
dir.
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç tam sayı değeri var-
İşaret tablosunu yapalım.
dır?
A) 1
B) 2
x2 + x – 2 ≤ 0
x2
C) 3
D) 4
–1
∞
1
x +1
x −1
+
–
+
1
x −1
–
–
+
>x
hangisidir?
A) [–2, 0]
192
–∞
SİSTEM
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
x
E) 5
B) [–2, 0)
D) [0, 1]
10. SINIF MATEMATİK
C) (–2, 1)
E) (0, 1]
Sistemin çözüm kümesi (–∞, –1) olur.
Doğru Seçenek B
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
Çözüm
x−3
<0
x−5
x 2 − 7 x + 12
( x − 3)2
x+2
>0
4−x
bulalım.
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–2, 3)
≤ 0 eşitsizliğinde pay ve paydanın köklerini
B) (–2, 4)
D) (3, 5)
C) (3, 4)
E) (4, 5)
x2 – 7x + 12 = 0 ise
(x – 4) (x – 3) = 0
x – 4 = 0 veya
x=4
x–3=0
veya x = 3
tür.
(x – 3)2 = 0 ise x1 = x2 = 3
olur.
x = 3 kökünden üç tane olduğundan tek katlı kök olup aynı
zamanda paydayı sıfır yapan değerdir.
6−x
≥0
x+2
( x + 1)( x + 3)2
x+3
<0
x−4
rini bulalım.
( x + 4)2
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
x + 1 = 0
ise x = –1
C) (–3, 6)
(x + 3)2 ise x1 = x2 = –3 (Çift kat kök)
E) (4, 6)
(x + 4)2 = 0 ise x1 = x2 = –4 (Çift kat kök)
hangisidir?
A) (–3, –2)
B) (–3, 4)
D) (–2, 4)
≥ 0 eşitsizliğinde pay ve paydanın kökle-
x = –4 değeri aynı zamanda paydayı sıfır yapan değerdir.
Şimdi işaret tablosunu yapalım.
x
DNA 20
x 2 − 7 x + 12
( x − 3)2
x 2 − 7 x − 12
( x − 3)2
( x + 1)( x + 3)2
≤0
( x + 4)2
( x + 1)( x + 3)2
≥0
( x + 4)2
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler
den hangisidir?
A) (–4, –3]
–∞
–4
–3
–1
3
4
∞
+
+
+
+
–
+
–
–
–
+
+
+
SİSTEM
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (3, 4] tür.
B) [–3, –1)
D) [–1, 3)
E) (3, 4]
C) [–3, 3)
Doğru Seçenek E
10. SINIF MATEMATİK
193
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Çözüm
( x + 3)( x − 2)2
( x − 1)2
( x − 1)( x + 3)
( x − 3)2
≤0
Eşitsizliği parçalarsak,
≥0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–∞, –3]
B) [–∞, –3] ∪ {2}
C) [–3, 1) ∪ {2}
D) [–3, 2]
x2 – 2x – 1 > 2
ise
x2 – 2x – 3 > 0
x2 – 2x – 1 ≤ 14
ise
x2 – 2x – 15 ≤ 0
dır.
O halde aslında sorulan soru,
x 2 − 2x − 3 > 0 


2
x − 2x − 15 ≤ 0 
E) [–3, 3)
eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı.
Denklemlerin köklerini bulalım.
x2 – 2x – 3 = 0 ise (x – 3) (x + 1) = 0
x−
x−
x–3=0
veya
x+1=0
x = 3
veya
x = –1
x2 – 2x – 15 = 0 ise (x – 5) (x + 3) = 0
1
x 2008
1
x
2009
<0
>0
x–5=0
veya
x+3=0
x=5
veya
x = –3
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
Bulduğumuz kökleri sayı doğrusuna yerleştirip sistemin
hangisidir?
çözüm kümesini bulalım.
A) (–∞, –1)
B) (–1, 0)
D) (0, 1)
C) (–1, 1)
E) (1, 7)
x
–∞
–3
–1
3
∞
5
x2 – 2x – 3
+
+
–
+
+
x2 – 2x – 15
+
–
–
–
+
SİSTEM
Çözüm kümesi [–3, –1) ∪ (3, 5] olduğundan sistemi sağ-
DNA 21
layan x tam sayılarının toplamı,
(–3) + (–2) + 4 + 5 = 4
2 < x2 – 2x – 1 ≤ 14
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
kaçtır?
A) 4
194
olur.
Doğru Seçenek A
B) 6
C) 8
10. SINIF MATEMATİK
D) 9
E) 12
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
II. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİN
KÖKLERİNİN VARLIĞI VE İŞARETİ
6<
x2
– 2x – 2 < 13
Hazine 5
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
A) (–5, –2) ∪ (3, 5)
B) (–3, –2) ∪ (4, 5)
C) (–3, –1) ∪ (3, 5)
D) (–3, 2) ∪ (4, 5)
ax2 + bx+ c = 0
denkleminde,
E) (–2, 4) ∪ (5, ∞)
D = b2 – 4ac = 0
ise denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü (x1 = x2)
vardır. Sıfırdan farklı birbirine eşit iki gerçek kökün
3<
c


çarpımı daima pozitif olacağından  x1 ⋅ x 2 = > 0 
a


b
köklerin işareti x1 + x 2 = − sayısının işaretine bağa
x2 − 3x + 8
<8
x +1
lıdır.
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) 35
B) 39
C) 40
D) 45
E) 51
x1 = x2 iken,
•
Kökler toplamı pozitif ise iki kök de pozitif olur.
Yani,
x1 + x 2 = −
��
Beynin En iyi İlacı Jimnastik
dir.
•
Kökler toplamı sıfır ise isi kök de sıfırdır. Yani,
bir rolü bulunduğunu söylüyor. Düzenli bir jimnastik
yapıldığı taktirde beynin bir saat içinde 2.000 haneli
x1 + x 2 = −
b
= 0 ise x1 = x2 = 0
a
dır.
•
Kökler toplamı negatif ise iki kök de negatiftir.
Uzmanlar, insan beyninin bilgisayardan daha fazla
fonksiyonu olduğunu, bunda beyin jimnastiğinin önemli
b
> 0 ise 0 < x1 = x2
a
Yani,
x1 + x 2 = −
b
< 0 ise x1 = x2 < 0
a
dır.
bir rakamın 1.140 hanesini aklında tuttuğunu ortaya
çıkardı.
DNA 22
Almanya’da beynin fonksiyonlarını geliştirmek için
kurulan klinikler var. İngiltere’nin Utah Üniversitesi
x2 + (m + 1)x + m + 1 = 0
Profesörü Kenneth Higbee, tekrar yapılmadığı tak-
tirde mezuniyetten 3 yıl sonra üniversitede öğrenilen
denkleminin iki gerçek kökü x1 ve x2 dir.
bilgilerin sadece % 40’ının hatırlandığını söylüyor.
Bilgilerinizi hatırlamak ve pekiştirmek istiyorsanız
onları mutlaka kullanmanız ve tekrar etmeniz şart.
Denemeler ve bol soru çözmeler bunu sağlayacak.
x1 = x2 < 0
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
10. SINIF MATEMATİK
E) 3
195
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Çözüm
Denklemin birbirine eşit iki kökü olduğuna göre, D = 0 dır.
Denklemde a = 1, b = m + 1 ve c = m + 1 dir.
denkleminin iki gerçek kökü x1 ve x2 dir.
D = b2 – 4ac = 0
(m + 1)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (m + 1) = 0
m2
(m – 3) (m + 1) = 0 ⇒
x1 = x2 > 0
olduğuna göre, m kaçtır?
m2 + 2m + 1 – 4m – 4 = 0
x2 –(m + 6)x + m + 21 = 0
A) –12
B) –4
C) 1
D) 4
E) 12
– 2m – 3 = 0
m – 3 = 0 veya m + 1 = 0
m=3
veya m = –1
dir.
Hazine 6
Kökler negatif olduğundan, köklerin toplamı da negatif
olur.
a ≠ 0 ve a, b, c gerçek sayılar olmak üzere,
b
x1 + x 2 = − < 0
a
−
ax2 + bx+ c = 0
denkleminde,
m +1
<0
1
–(m + 1) < 0
m+1>0
m > –1
D = b2 – 4ac > 0
ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
Denklemin kökleri x1 ve x2 ile ve x1 < x2 olsun.
•
olur.
Kökler çarpımı negatif ise kökler ters işaretlidir.
Kökler toplamının işaretine bakılarak hangi kökün mutlak değerce daha büyük olduğu bulunur.
m > –1 olduğundan m = 3 tür.
Yani,
Doğru Seçenek E
x1 ⋅ x 2 =
c
< 0 ise x1 < 0 < x2
a
dir.
•
Kökler çarpımı pozitif ise kökler aynı işaretlidir.
Köklerin işaretleri için kökler toplamının işaretine
bakılır. Yani,
x2 + (m – 1)x + m + 2 = 0
x1 ⋅ x2 > 0 iken x1 + x2 > 0 ise 0 < x1 < x2 dir.
x1 ⋅ x2 > 0 iken x1 + x2 < 0 ise x1 < x2 < 0 dır.
•
Kökler çarpımı sıfır ise köklerden biri sıfırdır. Diğer kökün işaretini bulmak için kökler toplamının
denkleminin iki gerçek kökü x1 ve x2 dir.
işaretine bakılır. Yani,
x1 = x2 < 0
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –7
196
B) –1
10. SINIF MATEMATİK
C) 1
D) 2
E) 7
x1 ⋅ x2 = 0 iken x1 + x2 > 0 ise 0 = x1 < x2 dir.
x1 ⋅ x2 = 0 iken x1 + x2 < 0 ise x1 < x2 = 0 dır.
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
DNA 23
Kökler çarpımı pozitif olduğundan, kökler aynı işaretlidir.
Yani, her ikisi pozitif veya her ikisi negatiftir. Hangisi olduğuna karar verebilmek için kökler toplamına bakalım:
k < 0 olmak üzere,
x1 + x 2 = −
k
x − (k − 1)x − = 0
2
2
b
−(k − 1)
=−
= k −1
a
1
denkleminin kökleri için aşağıda verilenlerden
dir.
hangisi doğrudur?
k < 0 olduğundan k – 1 < 0 olur.
A) Gerçek kökü yoktur.
Kökler toplamı negatif olduğundan, iki kök de negatiftir.
B) Köklerden biri sıfır, diğeri negatiftir.
Doğru Seçenek E
C) Köklerden biri pozitif, diğeri negatiftir.
D) Köklerin ikisi de pozitiftir.
E) Köklerin ikisi de negatiftir.
k < 0 olmak üzere,
x2 + (k – 4)x – 2k = 0
denkleminin kökleri için aşağıda verilenlerden hangisi
doğrudur?
Çözüm
A) Gerçek kökü yoktur.
B) Köklerden biri sıfır, diğeri pozitiftir.
Denklemin katsayıları,
k
a = 1, b = –(k – 1) ve c = −
2
dir.
C) Köklerden biri pozitif, diğeri negatiftir.
D) Köklerin ikisi de pozitiftir.
E) Köklerin ikisi de negatiftir.
D değerini hesaplayalım.
 k
D = b2 – 4ac = [–(k – 1)]2 – 4 ⋅ 1 ⋅  − 
 2
= k2 – 2k + 1 + 2k
= k2 + 1
olur.
k > 0 olmak üzere,
k2 + 1 değeri her şartta pozitif olacağından denklemin iki
gerçek kökü vardır.
denkleminin kökleri için aşağıda verilenlerden hangisi
Kökler çarpımına bakalım: (Kökler x1 ve x2 olsun)
k
−
c
k
x1 ⋅ x 2 = = 2 = −
a
1
2
doğrudur?
A) Köklerin ikisi de negatiftir.
B) Köklerin ikisi de pozitiftir.
C) Köklerden biri pozitif, diğeri negatiftir.
dir.
k < 0 olduğundan −
3
3k

x2 +  k +  x +
=0
2
4

k
> 0 dır.
2
D) Köklerden biri sıfır, diğeri negatiftir.
E) Gerçek kökü yoktur.
10. SINIF MATEMATİK
197
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
DNA 24
denkleminin iki farklı gerçek kökü olup, bu kökler
ters işaretli olduğuna göre, m nin çözüm kümesi
denkleminin iki gerçek kökünün de pozitif olmasını
sağlayan en küçük k tam sayısı kaçtır?
B) 4
A) 5
aşağıdakilerden hangisidir?
3

A)  −∞, −  2

x2 – kx – 3x + k – 3 = 0
3mx2 – 6x + 2m + 1 = 0
 3 1
B)  − , −   2 2
 1 
D)  − , 0   2 
C) 3
D) 2
E) 1
 3 1
C)  − , 
 2 2
E) (0, 1)
DNA 25
Çözüm
(m – 1)x2 – (3m – 1)x + m + 2 = 0
Denklemin kökleri ters işaretli olduğuna göre, D > 0 ve
denkleminin gerçek kökleri x1 ve x2 dir.
c
x1 ⋅ x 2 = < 0 olmalıdır.
a
Denklemin katsayıları,
olduğuna göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakiler-
x1 < 1 < x2
den hangisidir?
a = 3m, b = –6 ve c = 2m + 1
dir.
A) (–∞, –1) ∪ (1, ∞)
B) (–∞, 0) ∪ (2, ∞)
C) (–1, 0) ∪ (1, ∞)
D) (–∞, 1) ∪ (2, ∞)
x1 ⋅ x2 < 0 olması halinde D > 0 şartı kendiliğinden sağ-
E) (0, 1) ∪ (2, ∞)
lanır.
x1 ⋅ x 2 =
–∞
+
1
−
2
c 2m + 1
=
<0
a
3m
0
–
Çözüm
Denklemin katsayıları,
+∞
+
a = m – 1, b = –(3m – 1) ve c = m + 2
dir.
 1 
m∈ − , 0
 2 
Denklemin birbirinden farklı gerçek kökleri olduğundan
Doğru Seçenek D
D > 0 olmalıdır.
O halde,
D = b2 – 4ac = [–(3m – 1)]2 – 4 ⋅ (m – 1) (m + 2) > 0
(k + 2)x2 – (k – 1)x –k – 1 = 0
denkleminin iki gerçek kökü de negatif olduğuna göre,
k nın çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –2)
198
B) (–∞, –1)
D) (–2, 1)
10. SINIF MATEMATİK
C) (–2, –1)
E) (–1, 1)
= [9m2 – 6m + 1] – 4(m2 + m – 2) > 0
= 9m2 – 6m + 1 – 4m2 – 4m + 8 > 0
= 5m2 – 10m + 9 > 0
dır.
5m2 – 10m + 9 = 0
denkleminin D değerini hesaplayıp, kökleri olup olmadığına bakalım:
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
D = (–10)2 – 4 ⋅ 5 ⋅ 9 = 100 – 180 = –80 < 0
2−m
m −1
olduğundan gerçek kök yoktur. D < 0 ve başkatsayı pozitif
ifadesinde başkatsayıların işaretlerinin bölümü
( −)
= ( −) olacağından, tablonun en sağından (–) ile baş(+)
olduğundan,
5m2 – 10m + 9 > 0
daima sağlanır. Yani burdan m için elde ettiğimiz çözüm
layıp her kökte işaret değiştirerek işaret tablosunu dol2−m
< 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin
m −1
kümesi tüm gerçek sayılardır.
durduğumuzda
Şimdi x1 < 1 < x2 şartını ele alalım.
(–∞, 1) ∪ (2, ∞) olduğunu görürüz.
Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkarırsak,
Doğru Seçenek D
x1 – 1 < 0 < x2 – 1
elde ederiz.
x1 – 1 < 0 ve x2 – 1 > 0 olduğundan (x1 – 1) ⋅ (x2 – 1) < 0
her zaman sağlanmalıdır.
Parantezleri açalım.
x1 ⋅ x2 – x1 – x2 + 1 < 0
denkleminin gerçek kökleri x1 ve x2 dir.
x1 ⋅ x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1 < 0
123 1424
3
c
a
−
(m – 1)x2 + (2m – 6)x + m – 9 = 0
b
a
x1 < 2 < x2
olduğuna göre, m nin en büyük tam sayı değeri kaç-
m + 2  −(3m − 1) 
− −
 +1< 0
m −1 
m −1 
tır?
A) –1
m + 2 3m − 1 m − 1
−
+
<0
m −1 m −1 m −1
B) 0
D) 2
C) 1
E) 3
m + 2 − 3m + 1 + m − 1
<0
m −1
2−m
<0
m −1
olur.
Eşitsizliği çözmek için pay ve paydadaki ifadelerin köklerini bulalım.
2 – m = 0
ise
m = 2 ve
m – 1 = 0
ise
m=1
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
olur.
Bulduğumuz kök değerlerini sayı doğrusuna yerleştirip
işaret tablosunu yapalım.
x
2−m
m −1
–∞
x1 < x2 < 1
olduğuna göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
1
–
(m + 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0
∞
2
+
–
2

A)  −∞, −  3

B) (∞, –1)
D) (–1, ∞)
2

C)  −1, − 
3

 2 
E)  − , ∞ 
 3 
10. SINIF MATEMATİK
199
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER
DNA 26
Hazine 7
|2x – 4| ≤ 6
1)
a ≥ 0 olmak üzere,
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
•
|f(x)| ≤ a ise –a ≤ f(x) ≤ a dır.
A) 4
Çözüm kümesi sayı doğrusunda,
��
biçiminde gösterilir.
|f(x)| < a ise –a < f(x) < a olur.
dır.
Bu ifadenin çözüm kümesi ise sayı doğrusunda,
��
�
�
C) 6
D) 7
E) 8
Çözüm
�
�
B) 6
|2x – 4| ≤ 6
ise
–6 ≤ 2x – 4 ≤ 6
–6 ≤ 2x – 4 ≤ 6
Eşitsizliğin her tarafına 4 ekleyelim:
–6 + 4 ≤ 2x – 4 + 4 ≤ 6 + 4
biçiminde gösterilir.
•
|f(x)| ≥ a ise f(x) ≥ a veya f(x) ≤ –a dır.
Çözüm kümesi sayı doğrusunda,
��
Eşitsizliğin her tarafını 2 ye bölelim.
−
�
�
biçiminde gösterilir.
|f(x)| > a ise f(x) > a veya f(x) < –a dır.
Çözüm kümesi sayı doğrusunda,
��
2 2x 10
≤
≤
2 2
2
–1 ≤ x ≤ 5
–2 ≤ 2x ≤ 10
bulunur.
Eşitsizliğin çözüm kümesindeki tam sayılar,
{–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
�
�
olup 7 tanedir.
biçiminde gösterilir.
2)
a < 0 olmak üzere,
•
|f(x)| < a eşitsizliğinin çözüm kümesi boş kümedir
Doğru Seçenek D
(∅). Mutlak değerli hiçbir ifade, negatif bir sayıdan küçük olamaz.
•
|f(x)| > a eşitsizliğinin çözüm kümesi gerçek sayılardır (R). Mutlak değerli ifadeler, her zaman
negatif bir sayıdan büyüktür.
3)
0 < n < |f(x)| < m ise n < f(x) < m
200
veya
n < –f(x) < m dir.
10. SINIF MATEMATİK
|3x – 2| < 4
eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları kaç tanedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
|3 – 2x| < 7
x +1
m +1
>
3
3
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
eşitsizliğinin çözüm kümesi gerçek sayılar kümesi olduğuna göre, m nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 17
E) 18
B) –2
A) –3
C) –1
D) 1
E) 2
DNA 27
3x − 1
m−3
>
5
2
|3x – 7| < –1
eşitsizliğinin çözüm kümesi gerçek sayılar küme-
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
si olduğuna göre, m nin en büyük tamsayı değeri
dir?
kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
A) (–∞, –2)
D) ∅
8

C)  −∞, 
3

B) (–∞, 2)
E) R
Çözüm
Mutlak değerli bir ifade, negatif bir sayıdan her zaman büyük olacağından,
m−3
< 0 olmalıdır.
2
m−3
<0
2
ise
m–3<0
DNA 28
m<3
olur.
Buna göre, m nin en büyük tam sayı değeri 2 dir.
Doğru Seçenek D
|2x – 3| > 7
eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif x tam sayısı kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
10. SINIF MATEMATİK
E) –1
201
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Çözüm
|2x – 3| > 7
ise
2x – 3 > 7 veya
|3x + 2| > 10
eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı
2x – 3 < –7
kaçtır?
dir.
A) 1
C) 3
B) 2
D) 4
E) 5
2x – 3 > 7 eşitsizliğini çözelim:
2x – 3 > 7
ise
2x > 10
x>5
DNA 29
olur.
2x – 3 < –7
ise
2x < – 4
x < –2
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı var-
olur.
dır?
x için bulduğumuz eşitsizlikleri sayı doğrusunda görelim:
A) 2
��
3 ≤ |x – 3| < 5
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
�
�
Çözüm
Çözüm kümesi (–∞, –2) ∪ (5, ∞) olur.
O halde x in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri 6,
en büyük negatif tam sayı değeri ise –3 tür.
3 ≤ |x – 3| < 5
ise 3 ≤ x – 3 < 5 veya
3 ≤ – (x – 3) < 5
tir.
Doğru Seçenek C
3 ≤ x – 3 < 5
ise 3 + 3 ≤ x – 3 + 3 < 5 + 3
6≤x<8
olur.
3 ≤ – (x – 3) < 5 ise 3 ≤ –x + 3 < 5
3 – 3 ≤ –x + 3 – 3 < 5 – 3
0 ≤ –x < 2
0 ≥ x > –2
x değeri 6 ≤ x < 8 veya –2 < x ≤ 0 aralıklarından birinde
olmak zorunda olduğundan, x in alabileceği tam sayı de
ğerlerinin kümesi {–1, 0, 6, 7} olur.
|2x + 5| > 13
eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif x tam sayısı
kaçtır?
A) –9
202
O halde x, 4 farklı tam sayı değeri alabilir.
Doğru Seçenek C
B) –10
10. SINIF MATEMATİK
C) –11
D) –12
E) –13
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
Çözüm
2 < |x – 1| ≤ 4
–8 < x(x + 6) < 7
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ise
–8 < x2 + 6x < 7
olur.
x2 + 6x ifadesine 32 eklenirse ifade bir tam kare olur.
O halde eşitsizliğin her tarafına 32 = 9 ekleyelim:
–8 + 9 < x2 + 6x + 9 < 7 + 9
1 < (x + 3)2 < 16
Eşitsizliğin her tarafının karekökünü alalım:
1 < |x + 3| < 4
olur.
1 < |x + 3| < 4 ise 1 < x + 3 < 4 veya
tür.
3 ≤ |2x – 3| < 7
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
1 < x + 3 < 4
ise 1 – 3 < x + 3 – 3 < 4 – 3
B) 6
A) 4
1 < –(x + 3) < 4
C) 9
D) 11
E) 15
–2 < x < 1
olur.
1 < –(x + 3) < 4 ise 1 < –x – 3 < 4
1 + 3 < –x – 3 + 3 < 4 + 3
4 < –x < 7
–4 > x > –7
olur.
x değeri –2 < x < 1 veya –7 < x < –4 aralıklarından birinde
olmak zorunda olduğundan, x in alabileceği tam sayı değerlerinin kümesi {–1, 0, –6, –5} olur.
DNA 30
Bu sayıların toplamı,
(–1) + 0 + (–6) + (–5) = –12
–8 < x(x + 6) < 7
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
kaçtır?
A) –20
olur.
Doğru Seçenek C
B) –15
C) –12
D) –11
E) –7
10. SINIF MATEMATİK
203
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Çözüm
8 < x(x – 2) < 24
Verilen denklemde mutlak değerli ifade olan |x| in kökünü
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
bulalım.
|x| = 0 ise x = 0 olur.
B) 2
A) –3
C) 5
D) 7
E) 11
x = 0 değeri |x| in kritik noktası olduğundan,
x ≥ 0
için
|x| = x ve
x < 0
için
|x| = –x
olur.
x ≥ 0 için eşitsizlik x2 – 2x – 15 < 0 olur.
Eşitsizliği çözmek için köklerini bulalım.
x2 – 2x – 15 = 0
ise
x = 5 veya x = –3
olur.
0 < x2 – 4x < 5
(x – 5) (x + 3) = 0
x
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
–∞
x2 – 2x – 15
A) (–5, –4) ∪ (0, 1)
B) (–4, –1) ∪ (0, 1)
C) (–3, –2) ∪ (–1, 0)
D) (–1, 0) ∪ (4, 5)
E) (0, 1) ∪ (4, 5)
–3
∞
5
+
–
+
İşaret tablosunu yaptığımız x2 – 2x – 15 < 0 eşitsizliğinin
çözüm kümesi [0, 5) bulunur.
Şimdi eşitsizliği x < 0 için çözelim.
x < 0 için eşitsizlik x2 + 2x – 15 < 0 olur.
Köklerini bulalım.
x2 + 2x – 15 = 0
ise
x = –5 veya x = 3
olur.
DNA 31
x
x2 – 2|x| – 15 < 0
(x + 5) (x – 3) = 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
x2 + 2x – 15
–∞
–5
+
∞
3
–
+
gisidir?
A) (–5, –3)
204
B) (–5, 3)
D) (–3, 5)
10. SINIF MATEMATİK
E) (3, 5)
C) (–5, 5)
İşaret tablosunu yaptığımızda x2 + 2x – 15 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (–5, 3) olur. x < 0 olduğundan, çözüm
kümesi (–5, 0) dır.
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
Eşitsizliğin çözüm kümesi bulunan aralıkların birleşim kü-
Çözüm
mesi olacağından
Ç.K. = (–5, 0) ∪ [0, 5) = (–5, 5)
Mutlak değerli ifadenin içini sıfır yapan x = 3 değeri payı
olur.
sıfır yaptığından bir çözümdür.
Doğru Seçenek C
x ≠ 3 için |x – 3| daima pozitif olacağından eşitsizliğin sağlanması için x + 5 < 0 olması yeterli olur.
x + 5 < 0 ise x < –5 olur.
O halde çözüm kümesi (–∞, –5) ∪ {3} olur. (x = –5 değeri
x2 – 3|x| – 4 < 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine alınmaz.)
dir?
B) (–4, 4)
A) (–4, 1)
C) (–1, 1)
D) (–1, 4)
Uyarı
E) (1, 4)
Mutlak değerli çarpanın kökleri de kullanılarak tablo
yapıldığında, mutlak değerli ifadenin kökünün sağı ve
solu aynı işaretli olur (Çift katlı kök gibi davranılır).
Doğru Seçenek E
x2 – 5|x| + 4 < 0
eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları kaç tanedir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
DNA 32
| x−3|
≤0
x+5
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
| x − 5 | ( x + 3)
<0
x−7
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, 3) ∪ {5}
B) (–∞, –3)
A) (–7, –3) ∪ {5}
B) (–7, 3) ∪ {5}
C) (–∞, –3) ∪ {5}
D) (–∞, –5)
C) (–3, 7) – {5}
D) (3, 7)
E) (–∞, –5) ∪ {3}
E) R – {–3, 7]
10. SINIF MATEMATİK
205
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
İşaret tablosunu yapalım.
x
–∞
–8
–2
∞
2
2
( x + 1) | x − 2 |
<0
x+3
| x + 3 | −5
x+2
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –3) ∪ {2}
B) (–∞, –3)
C) (–∞, –1) ∪ {2}
D) (–3, ∞)
–
+
–
+
Çözüm kümesi [–8, –2) ∪ [2, ∞) dur.
Eşitsizliği sağlayan en küçük poztif tam sayı 2, en büyük
negatif tam sayı –3 olur.
E) (–1, ∞) – {2}
Toplamları –3 + 2 = –1 dir.
Doğru Seçenek C
DNA 33
|x +3|− 5
≥0
x+2
eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı
ile en büyük negatif x tam sayısının toplamı kaçtır?
| x + 1| − 3
≥0
x+2
eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
A) –4
B) –3
C) –1
D) 1
E) 2
Çözüm
Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini bulalım.
|x + 3| – 5 = 0
ise
|x + 3| = 5 tir.
|x + 3| = 5
ise
x + 3 = 5 veya x + 3 = –5
x = 2
veya x = –8
olur.
x + 2 = 0 ise x = –2
eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır?
A) –3
olur.
206
|x −3|− 3
≥0
x−3
10. SINIF MATEMATİK
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
1.
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
3x
<0
x2 − 1
B) (–∞, –2)
D) [2, ∞)
C) (–2, 2)
A) (–∞, –2)
B) (–∞, –2]
C) [–2, –1) ∪ [0, 1)
D) (–1, 0] ∪ [2, ∞)
E) [3, ∞)
–x2 + x – 6 < 0
A) (–∞, –3)
3.
E) R
7.
–x2 + 1 ≥ 0
x2 – 6x + 9 > 0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
A) (–∞, –1]
B) (–∞, 1]
D) [1, 3]
C) [–1, 1]
1− x
≥0
x
x+2
>0
x +1
B) (0, 1]
D) (–2, 0)
C) 2
D) 3
E) 4
x 2 − 2x + 4
<0
x +1
2−x
>0
(2 + x )( x + 1)
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
A) (–∞, –2)
B) (–2, 1)
C) (–1, 1)
E) (2, ∞)
D) (–1, 2)
C) (–1, 0)
E) (–2, –1)
(3 − x )2
x 2 − x + 10
≥0
x2 + 6x + 5
≤0
1− x
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
A) [1, 2]
B) 1
E) ∅
den hangisidir?
8.
4.
x3 – x2 ≤ 0
den hangisidir?
den hangisidir?
≤0
C) (–3, 1)
D) ∅
( x + 2)2
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi kaç eleman-
A) 0
B) (–∞, –1)
x2 − 8x + 7
lıdır?
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
–x2 + 2x – 1 ≤ 0
den hangisidir?
E) [2, ∞)
6.
2.
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3–x≤0
A) (–∞, –3]
x+2
≥0
x −1
x2 – 4 > 0
den hangisidir?
5.
TEST - 4
A) (–∞, –5] ∪ (1, 3]
B) (–∞, –1] ∪ (1, 3]
C) [–5, –1] ∪ (1, ∞)
D) [–1, 1) ∪ [3, ∞)
E) (1, ∞)
10. SINIF MATEMATİK
207
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
x 2 − 5 x − 14
9.
( x − 7)2
2
( x − 2)( x + 1)
13. ≤0
( x + 5)2
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
kaçtır?
≥0
A) –8
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
–3 < x2 + 4x < 12
B) –6
C) –4
D) 0
E) 3
den hangisidir?
A) (–∞, –1]
B) [–2, 7]
C) [–2, 7)
D) [2, 7) ∪ {–1}
E) [2, ∞) ∪ {1}
x2 − 4
14. x2
x−4
≤0
x+4
10. x−
x−
1
x1978
1
x1979
≥0
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç değişik x tam
sayısı vardır?
<0
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
>0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
den hangisidir?
A) (–∞, –1)
B) (–1, 0)
C) (–1, 1)
15. E) (1, ∞)
D) (0, 1)
x2 – 3x – 10 < 0
3x − 1
>0
x+3
eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının
toplamı kaçtır?
11. –4 < x2 – 6x + 1 < 8
A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 10
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
kaçtır?
A) 0
B) 4
x 2 + 2x − 3
12. x2 − 4x − 5
C) 6
D) 8
E) 12
16. >0
eşitsizlik sistemini sağlayan en büyük x tam sa-
1.E
208
2.E
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç değişik x tam
sayısı vardır?
yısı kaçtır?
A) –4
x +1
<0
x−5
(x + 1) (x2 – 3x – 4) < 0
x2 + x – 12 ≥ 0
B) –3
3.C
C) –1
4.B
10. SINIF MATEMATİK
5.B
D) 0
6.B
A) 1
E) 1
7.A
8.C
9.D
10.B
B) 2
11.C
C) 3
12.D
13.A
D) 4
14.C
E) 5
15.E
16.B
Eşitsizlikler - Bölüm 04
Eşitsizlikler
TEST - 5
5.
denkleminin birbirinden farklı negatif iki gerçek
x2 – (2 – m)x + 5 – m = 0
kökü olduğuna göre, m aşağıdaki aralıkların hangisinde yer alır?
1.
denkleminin gerçek kökü olmadığına göre, m nin
x2
– (m – 2)x – 2 + m = 0
alabileceği tam sayı değerlerinın toplamı kaçtır?
A) 7
B) 9
C) 12
D) 14
denkleminin iki gerçek kökü x1 ve x2 dir.
D) 6
denkleminin iki gerçek kökü x1 ve x2 dir.
denkleminin kökleri mutlak değerce birbirine eşit
m = 3
D) 
n < −2 m = 3
E) 
n = −2
denkleminin gerçek köklerinin ters işaretli ola-
mx2 – 7x + m + 2 = 0
olmalıdır?
A) (–∞, –2)
D) –4
denkleminin birbirinden farklı pozitif iki gerçek
x2 + (m – 4)x + m – 1 = 0
8.
denkleminin gerçek kökleri x1 ve x2 dir.
x2 + mx – m – 3 = 0
x1 < 0 < x2
kökü olduğuna göre, m aşağıdaki aralıkların han-
|x1| < x2
gisinde yer alır?
A) (–∞, 2) ∪ (10, ∞)
B) (1, 2)
C) (1, 4)
D) (2, 4)
E) (2, 4) ∪ (10, ∞)
C) (–2, –1)
E) (0, ∞)
D) (–2, 0)
B) (–∞, –1)
E) –5
4.
m = 3
C) 
n > −2
bilmesi için m aşağıdaki aralıkların hangisinde
x1 = x2 > 0
C) –3
m > 3
B) 
n = −2
7.
x2 – (m + 5)x + m + 5 = 0
B) –2
x2 – (m – 3)x + n + 2 = 0
m < 2
A) 
n = −2
E) 8
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –1
3.
dakilerden hangisi doğrudur?
x1 = x2 < 0
C) 4
E) (4, 5)
6.
x2 + (m – 2)x + m + 1 = 0
B) 2
D) (2, 5)
C) (2, 4)
E) 18
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 0
B) (–4, 2)
ve ters işaretli olduğuna göre, m ve n için aşağı-
2.
A) (–∞, –4)
olduğuna göre, m için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A) m > 0
B) –3 < m < 0
C) –2 < m < 0
D) m < –2
E) m < –3
10. SINIF MATEMATİK
209
Eşitsizlikler
Eşitsizlikler - Bölüm 04
9.
denkleminin gerçek kökleri x1 ve x2 dir.
mx2 + (m – 3)x – 2 = 0
x−6
<0
| x − 1|
13. eşitsizliğini sağlayan pozitif x tam sayılarının
m<0
toplamı kaçtır?
|x1| < |x2|
A) 17
B) 15
C) 14
D) 13
E) 11
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru-
dur?
A) x1 < x2 < 0
B) x2 < x1 < 0
C) x1 < 0 < x2
D) 0 < x1 < x2
x2 − 4
14. E) 0 < x2 < x1
| x2 − 4 |
<0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
( x 2 + x + 1) ⋅ 5 x +1
<0
|x|− 4
10. A) (–∞, –2)
B) (–∞, 2)
D) (–2, ∞)
C) (–2, 2)
E) (2, ∞)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) (–4, 0)
A) (–∞,–1)
D) (0, 4)
C) (–1, 1)
| x + 3 | ⋅ ( x 2 + 4 x + 3)
15. E) (–4, 4)
( x 2 + 9) ⋅ (| x − 8 | −1)
<0
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
kaçtır?
| x + 1| − 6
≤0
| x −2|
11. A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
vardır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 11
E) 12
16. m ve n negatif gerçek sayılar olmak üzere,
12. denkleminin kökleri için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
|–x2 + 2x – 3| < 6
A) Gerçek kökü yoktur.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
mx2 – (n – 6)x + (m ⋅ n + 6) = 0
B) Köklerin ikisi de pozitiftir.
hangisidir?
C) Köklerin ikisi de negatiftir.
A) (–3, 0)
1.C
210
B) (–3, 1)
D) (0, 3)
2.E
3.A
C) (–1, 3)
D) Ters işaretli iki kök vardır.
E) (1, 3)
4.B
10. SINIF MATEMATİK
5.D
6.D
E) Eşit iki kökü vardır.
7.D
8.B
9.B
10.E
11.E
12.C
13.C
14.C
15.A
16.D
İKİNCİ DERECEDEN
FONKSİYONLAR - BÖLÜM 05
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR
TANIM
a, b, c, x ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere
f:R→R
x → y = f(x) = ax2 + bx + c
biçiminde tanımlanan fonksiyonlara, gerçek sayılarda tanımlı ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.
İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerine
x
–2
y
8
−
3
2
9
2
–1
2
−
1
2
1
2
0
1
2
1
3
2
2
0
1
2
2
9
2
8
3 9
O halde y = 2x2 fonksiyonuna ait ikililer (–2, 8),  − ,  ,
 2 2
 1 1
 1 1
3 9
(–1, 2),  − ,  , (0, 0),  ,  , (1, 2),  ,  , (2, 8)
 2 2
2 2
2 2
dir.
ise parabol adı verilir.
y = x2 ve y = 2x2 fonksiyonlarına ait ikilileri analitik düzlemde yerleştirerek fonksiyonların grafiklerini çizelim:
y = ax2 FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
y = ax2 fonksiyonunda x in her değeri için y nin alacağı değerler hesaplanabilir. Elde edilen bu (x, y) ikilileri analitik
düzlemde işaretlenerek fonksiyonun grafiği elde edilir.
y = x2 ve y = 2x2 fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
y = x2 fonksiyonu için x yerine çeşitli değerler vererek y
değerleri elde edelim.
x
–2
y
4
−
3
2
9
4
–1
1
−
1
2
1
4
0
1
2
1
3
2
2
0
1
4
1
9
4
4
Grafikten de görüldüğü gibi y = 2x2 parabolünün kolları
 3 9
 1 1
Bulduğumuz (–2, 4),  − ,  , (–1, 1),  − ,  , (0, 0),
 2 4
 2 4
y = x2 parabolünün kollarına göre y eksenine daha yakın.
 1 1
3 9
 2 , 4  , (1, 1),  2 , 4  , (2, 4) ikililerini analitik düzlemde




rı y eksenine yaklaşıyor, küçüldükçe uzaklaşıyor.
belirtmeden önce y = 2x2 fonksiyonuna ait noktaları da
O halde başkatsayının değeri büyüdükçe parabolün kolla-
Orijin noktası [O(0, 0)], fonksiyonun alabileceği en küçük
değer olup bu değer sıfırdır. Bu noktaya daha sonra tepe
bulalım. Böylece iki fonksiyona ait grafikleri karşılaştırma
noktası diyeceğiz.
şansımız olur.
Parabolün kolları yukarı doğru olup, kollar x = 0 doğrusuna (y eksenine) göre simetriktir. Yani y ekseninin sağında
y = 2x2 fonksiyonu için x yerine çeşitli değerler vererek y
ve solunda kalan kollar y eksenine göre birbirinin simetriği
değerlerini elde edelim.
olan eğrilerdir.
10. SINIF MATEMATİK
211
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Hazine 1
a ve x gerçek sayılar, a ≠ 0 olmak üzere y = ax2 fonksiyonunda a > 0 ise fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi
olur.
x
–2
−
3
2
–1
−
1
2
0
y
–8
−
9
2
–2
−
1
2
0
1
2
−
1
2
1
–2
3
2
−
9
2
2
–8
 3 9
y = –2x2 için elde ettiğimiz ikililer (–2, –8),  − , −  ,
 2 2
 1 1
 1 1
3 9
(–1, –2),  − , −  , (0, 0),  , −  , (1, –2),  , −  ,
 2 2
2 2
2 2
(2, –8) dir.
y = –x2 ve y = –2x2 fonksiyonlarına ait ikilileri analitik düz-
Çıkardığımız sonuçları da özetleyelim:
leme yerleştirerek fonksiyonların grafiklerini çizelim:
a > 0 iken
•
Parabolün kolları yukarı doğrudur.
•
a nın değeri büyüdükçe parabolün kolları y eksenine yaklaşır, küçüldükçe uzaklaşır.
•
O(0, 0) noktası fonksiyonun en küçük değerini aldığı nokta olup, tepe noktası olarak adlandırılır.
•
x = 0 doğrusu (y ekseni) parabolün simetri eksenidir.
Şimdi başkatsayı olan a nın negatif olduğu durumlar için
benzer bir genelleme yapıp yapamayacağımızı inceleyelim. y = – x2 ve y = –2x2 fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
y = –x2 fonksiyonu için x yerine çeşitli değerler vererek y
değerleri elde edelim.
x
y
3
2
–2
−
–4
9
−
4
1
2
–1
−
–1
1
−
4
0
1
2
0
1
−
4
1
3
2
2
–1
9
−
4
–4
y = –x2 parabolünün kollarına göre y eksenine daha ya-
y = –x2 fonksiyonu için elde ettiğimiz ikililer (–2, –4),
1
 3 9
 1
 1 1
 − 2 , − 4  , (–1, –1),  − 2 , − 4  , (0, 0), ,  2 , − 4  ,






3 9
(1, –1),  , −  , (2, –4) olur.
2 4
Benzer biçimde y = –2x2 fonksiyonu için x yerine çeşitli
değerler vererek y değerleri elde edelim.
212
10. SINIF MATEMATİK
Grafikten de görüldüğü gibi y = –2x2 parabolünün kolları
kın. O halde başkatsayının değeri küçüldükçe parabolün
kolları y eksenine yaklaşıyor, büyüdükçe uzaklaşıyor. Orijin noktası fonksiyonun alabileceği en büyük değer olup
sıfırdır. Bu nokta fonksiyonun grafiğinin tepe noktasıdır.
Parabolün kolları aşağı doğru olup, kolları x = 0 doğrusuna (y eksenine) göre simetriktir. Yani y ekseninin sağında
ve solunda kalan kollar y eksenine göre birbirinin simetriği
olan eğrilerdir.
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Çözüm
Hazine 2
a ve x gerçek sayılar, a ≠ 0 olmak üzere y = ax2 fonk-
Başkatsayı pozitif iken (y = ax2 ve y = bx2 için) başkatsa-
siyonunda a < 0 ise fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi
yının değeri büyüdükçe parabolün kolları y eksenine yak-
olur.
laşacağından b > a dır.
Başkatsayı negatif iken (y = cx2 ve y = dx2 için)katsayısının
değeri küçüldükçe parabolün kolları y eksenine yaklaşacağından d < c dir. a ve b katsayıları pozitif, c ve d katsayıları negatif olduğundan büyükten küçüğe sıralama
Çıkardığımız sonuçları özetleyelim:
b > a > c > d olur.
a < 0 iken
•
Parabolün kolları aşağı doğrudur.
•
a nın değeri küçüldükçe parabolün kolları y ekse-
Doğru Seçenek D
nine yaklaşır, büyüdükçe uzaklaşır.
•
O(0, 0) noktası fonksiyonun en büyük değerini aldığı nokta olup, tepe noktası olarak adlandırılır.
•
x = 0 doğrusu (y ekseni) parabolün simetri eksenidir.
DNA 1
Yukarıda y = ax2, y = bx2, y = cx2 ve y = dx2 fonksiyonYukarıda y = ax2, y = bx2 ve y = cx2 fonksiyonlarının gra-
larının grafikleri verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a > b > c > d B) a > b > d > c C) b > a > d > c
D) b > a > c > d
E) b > c > a > d
fikleri verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a > b > c
B) a > c > b
D) c > b > a
C) c > a > b
E) b > c > a
10. SINIF MATEMATİK
213
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Yukarıda y = ax2, y = bx2 ve y = cx2 fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B) a > b > c
A) a > c > b
D) c > a > b
Grafikten görüldüğü gibi y = x2 – 1 fonksiyonu y = x2 fonk-
C) b > a > c
E) c > b > a
siyonunun y ekseni üzerinde negatif yöne doğru 1 birim
ötelenmiş (kaydırılmış) halidir. Benzer biçimde y = x2 +1
fonksiyonu y = x2 fonksiyonunun y ekseni üzerinde pozitif
yöne doğru 1 birim ötelenmiş halidir.
Hazine 3
a, c, x gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere y = ax2 + c
fonksiyonunun grafiği,
y = ax2 + c FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
Bu tür fonksiyonların grafiğini çizerken y = ax2 fonksiyonunun grafiğinden yararlanacağız. y = x2 – 1 ve y = x2 + 1
fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
y = x2 –1 fonksiyonu için x yerine çeşitli değerler vererek y
•
c > 0 ise y = ax2 eğrisi y ekseninin pozitif yönüne
doğru c birim kaydırılarak elde edilir.
•
c < 0 ise y = ax2 eğrisi y ekseninin negatif yönüne
doğru c birim kaydırılarak elde edilir.
değerlerini elde edelim.
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
8
3
0
–1
0
3
8
DNA 2
y = x2 – 1 fonksiyonu için elde ettiğimiz ikililer (–3, 8),
(–2, 3), (–1, 0), (0, –1), (1, 0), (2, 3) ve (3, 8).
y = x2 + 1 fonksiyonu için x yerine çeşitli değerler vererek
y değerlerini elde edelim.
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
10
5
2
1
2
5
10
y = x2 + 1 fonksiyonu için elde ettiğimiz ikililer (–3, 10),
(–2, 5), (–1, 2), (0, 1), (1, 2), (2, 5) ve (3, 10).
Bu iki fonksiyona ait ikilileri analitik düzleme yerleştirerek
fonksiyonların grafiklerini çizelim:
214
10. SINIF MATEMATİK
Yukarıda tepe noktasının koordinatları (0, 2) olan bir
parabolün grafiği çizilmiştir.
Buna göre, bu grafik aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisine ait olabilir?
A) y = –2x2 – 2
B) y = –x2 – 2
D) y = x2 – 2
C) y = –x2 + 2
E) y = x2 + 2
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Çözüm
Işık 1
Parabolün kolları aşağıya doğru olduğundan başkatsayı
negatif olmalıdır. Fonksiyon y ekseninin pozitif yönüne
a, b, c, x gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere A(m, n)
doğru 2 birim kaydırıldığından y = ax2 + 2 (a < 0) biçimin-
noktası y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği
de olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek seçenek
üzerinde ise A noktası denklemi sağlar. Yani x yerine
y=
–x2
+ 2 dir.
m değeri yazıldığında sonuç n olur.
Doğru Seçenek C
O halde, A(m, n) noktası için,
f(m) = n
a ⋅ m2 + b ⋅ m + c = n
olur.
DNA 3
Yukarıda tepe noktasının koordinatları (0, –2) olan bir parabolün grafiği çizilmiştir.
Buna göre, bu grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir?
A) y = –x2 – 2
B) y = x2 + 2
D) y = –2x2 + 2
C) y = 2x2 – 2
E) y = –3x2 – 2
Yukarıdaki şekilde, B köşesi y = –x2 –1 parabolü
üzerinde olan ABCD karesi çizilmiştir. A noktasının koordinatları (1, 0) olduğuna göre, ABCD karesinin alanı kaç birim karedir?
A) 1
B) 4
C) 9
D) 16
E) 25
Çözüm
Yukarıda tepe noktasının koordinatları (0, –1) olan bir parabolün grafiği çizilmiştir.
Buna göre, bu grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir?
A) y = x2 – 1
B) y = –2x2 + 1
D) y = –3x2 + 1
C) y = 3x2 – 1
E) y = –3x2 – 1
Karenin bir kenarı m birim olsun.
|AB| = |BC| = |CD| = |AD| = m birim.
10. SINIF MATEMATİK
215
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Karenin bir kenarı m birim olduğundan |OE| = m birim ve
DNA 4
E noktasının koordinatları (0, –m) dir. O halde, B noktasının koordinatları (1, –m) dir. B noktası parabolün üzerinde
Gerçek sayılarda tanımlı
olduğundan, parabol denklemini sağlar.
y = –x2 – 1
–m = –12 –1
–m = – 2
f(x) = ax2 +bx + c
fonksiyonunun grafiği, analitik düzlemde A(1, –1),
B(0, –1) ve C(2, 3) noktalarından geçmektedir.
Buna göre, bu fonksiyonun grafiği üzerindeki ap-
m = 2 bulunur.
sisi – 2 olan noktanın ordinatı kaçtır?
Alan(ABCD) = m2 = 22 = 4 birim karedir.
A) –4
B) 3
C) 5
D) 9
E) 11
Doğru Seçenek B
Çözüm
Grafiğin verilen üç noktadan geçmesi için, bu noktalar verilen fonksiyonun denklemini sağlamalıdır.
O halde fonksiyonun grafiği,
A(1, –1) noktasından geçtiğine göre f(1) = –1,
B(0, –1) noktasından geçtiğine göre f(0) = –1 ve
C(2, 3) noktasından geçtiğine göre f(2) = 3 tür.
(1, –1) noktası için,
f(x) = ax2 + bx + c
Yukarıdaki şekilde, B köşesi y = –x2 parabolü üzerinde
f(1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = –1 ise a + b + c = –1 dir.
olan OABC karesi çizilmiştir.
(0, –1) noktası için,
Buna göre karenin çevresi kaç birimdir?
f(x) = ax2 + bx + c
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 12
f(0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = –1 ise c = –1 dir.
(2, 3) noktası için,
f(x) = ax2 + bx + c
f(2) = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = 3 ise 4a + 2b + c = 3 tür.
a + b + c = –1 ve c = –1 olduğundan
a + b = 0 bulunur.
4a + 2b + c = 3
4a + 2b + (–1) = 3 ise 4a + 2b = 4 tür.
a + b = 0 ise a = –b olduğundan,
Yukarıdaki şekilde O, A ve C köşeleri y = –3x2 parabolü
üzerinde olan OABC karesi çizilmiştir.
4⋅(–b) + 2b = 4 ise –2b = 4
Buna göre, B noktasının ordinatı kaçtır?
A) −
4
3
216
B) –1
10. SINIF MATEMATİK
C) −
2
3
D) −
4a + 2b = 4
2
1
E) −
3
3
b = –2 olur.
a = –b olduğundan a = 2 dir.
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
y = ax2 + bx + c FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
Buna göre,
f(x) = 2x2 – 2x – 1
1. Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar:
olur. Bu fonksiyonun grafiği üzerinde apsisi –2 olan noktanın ordinatı,
tanın koordinatı (m, 0) biçimindedir. Örneğin (3, 0),
f(–2) = 2 ⋅ (–2)2 –2 ⋅ (–2) –1
=8+4–1
= 11
Analitik düzlemde x ekseni üzerindeki herhangi bir nok-
(–2, 0), (157, 0), (–43, 0) noktalarının hepsi x ekseni üzerinde yer alır.
O halde herhangi bir eğri x eksenini kesiyorsa, kestiği
dir.
Doğru Seçenek E
noktaların koordinatları (x1, 0) biçiminde olmalıdır. Nokta
eğrinin üzerinde olacağından, eğrinin denklemini de sağlar. Buna göre, eğer varsa y = 0 için bulunan değerler o
eğrinin x eksenini kestiği noktalardır.
y = f(x) = x2 + 2x – 3 fonksiyonunun grafiğini çizerek bu
durumu görelim. Grafiği elde edebilmek için x yerine çeşitli
değerler vererek y değerlerini bulalım.
x
–3
–2
–1
0
1
2
y
0
–3
–4
–3
0
5
(–3, 0), (–2 ,–3), (–1, –4), (0, –3), (1, 0) ve (2, 5) ikilileri-
Gerçek sayılarda tanımlı
ni koordinat düzlemine yerleştirerek fonksiyonun grafiğini
f(x) = –2x2 + mx – n
(parabolü) çizelim:
fonksiyonunun grafiği, analitik düzlemde A(–1, 1) ve
B(0, –2) noktalarından geçmektedir.
Buna göre, bu fonksiyonun grafiği üzerindeki apsisi 1
olan noktanın ordinatı kaçtır?
A) –11
B) –9
C) –5
D) –3
E) –1
Grafikten de görüldüğü gibi parabolün x eksenini kestiği
noktalar (–3, 0) ve (1, 0) noktalarıdır. y = 0 için fonksiyon
x2 + 2x – 3 = 0 denklemine dönüşür. Bu denklemin köklerini bulalım.
Gerçek sayılarda tanımlı
f(x) = ax2 + 3x + b
fonksiyonun grafiği, analitik düzlemde A(0, –1) ve B(–1, 1)
noktalarından geçmektedir.
Buna göre, bu fonksiyonun grafiği üzerinde bulunan
B) 15
C) 18
D) 21
x2 + 2x – 3 = 0
(x + 3) ⋅ (x – 1) = 0
(x + 3) = 0 veya (x – 1) = 0
x = –3 veya x = 1
olur.
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktalar ikinci dere-
ve apsisi 2 olan noktanın ordinatı kaçtır?
A) 12
E) 25
ceden denklemin kökleridir.
10. SINIF MATEMATİK
217
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Çözüm
Hazine 4
a, b, c, x gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere
I. Grafiğin x eksenini kesmemesi için
x2 –(m + 2)x + m + 10 = 0 denkleminde D < 0 olmalı-
dır.
II.
Grafiğin x eksenine teğet olması için
x2 –(m + 2)x + m + 10 = 0 denkleminde D = 0 olmalı-
dır.
III. Grafiği x eksenini iki farklı noktada kesmesi için
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri için,
•
D > 0 ise denklemin iki farklı gerçek kökü olaca-
dır.
ğından parabol x eksenini iki farklı noktada ke-
Şimdi bu üç seçeneği birlikte çözelim:
ser. (g(x) parabolü)
•
D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü
(çift kat kök) olacağından parabol x eksenine te-
•
x2 –(m + 2)x + m + 10 = 0 denkleminde D > 0 olmalı-
D = b2 – 4ac
= [–(m + 2)]2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (m + 10)
ğettir. (h(x) parabolü)
= m2 + 4m + 4 – 4m – 40
D < 0 ise gerçek kök olmayacağından parabol x
= m2 – 36 olur.
eksenini kesmez. (f(x) parabolü)
m2 – 36 ifadesinin işaretlerini inceleyelim:
m2 – 36 = 0 ise (m – 6) (m + 6) = 0
DNA 5
I.
Foksiyonun grafiğinin x eksenini kesmemesi için
m – 6 = 0 veya m + 6 = 0
m = 6 veya m = –6
İşaret tablosu yapalım.
m nin çözüm kümesi.
II.
X
Fonksiyonun grafiğinin x eksenine teğet olması
D
için m nin çözüm kümesi.
III. Fonksiyonun grafiğinin x eksenini iki farklı noktada kesmesi için m nin çözüm kümesi.
f(x) = x2 – (m + 2)x + m +10
fonksiyonu için yukarıda istenen bilgiler hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?
A) I (–6, 6)
II {–6, 6}
III
R–[–6, 6]
B) [–6 , 6]
(–6, 6)
R–[–6, 6]
C) [–6, 6]
R–[–6, 6]
{–6, 6}
D)
R–[–6, 6]
(–6, 6)
[–6, 6]
E) {–6, 6}
(–6, 6)
R–[–6, 6]
218
10. SINIF MATEMATİK
–6
–∞
= m2 – 36
+
∞
6
–
+
Grafiğin x eksenini kesmemesi için D < 0 olacağından çözüm kümesi (–6, 6) olur.
Grafiğin x eksenine teğet olması için D = 0 olacağından
çözüm kümesi {–6, 6} olur.
Grafiğin x eksenini iki farklı noktada kesmesi için D > 0 olacağından çözüm kümesi (–∞, –6) ∪ (6, ∞) = R – [–6, 6]
olur.
Doğru Seçenek A
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
DNA 6
I.
Foksiyonun grafiğinin x eksenini kesmemesi için m
nin çözüm kümesi.
II.
Fonksiyonun grafiğinin x eksenine teğet olması için
f(x) = 3x2 + (m + 1)x + 2n
g(x) = 2x2 + (2m – 3)x + 3n + 2
fonksiyonlarının grafiklerinin x eksenini kestiği
m nin çözüm kümesi.
noktalar aynı olduğuna göre, m – n farkı kaçtır?
III. Fonksiyonun grafiğinin x eksenini iki farklı noktada
A)
kesmesi için m nin çözüm kümesi.
f(x) = x2 + (m + 4)x + 2m + 5
31
20
D)
fonksiyonu için yukarıda istenen bilgiler hangi seçe-
43
20
B)
79
20
C)
E)
57
20
83
20
nekte doğru olarak verilmiştir?
I
II
III
A) (–2, 2)
R–[–2, 2]
{–2, 2}
B) [–2, 2]
{–2, 2}
R–(–2, 2)
C) (–2, 2)
{–2, 2}
R–[–2, 2]
D)
{–2, 2}
(–2, 2)
R–[–2, 2]
E) R–[–2, 2]
{–2, 2}
(–2, 2)
Çözüm
Fonksiyonların grafiklerinin (parabollerin) x eksenini kestiği noktalar aynı olduğunda aslında,
3x2 + (m + 1)x + 2n = 0
2x2 + (2m – 3)x + 3n + 2 = 0
denklemlerinin kökleri aynıdır. Kökler x1 ve x2 olsun.
Kökler toplamını her iki denklemden yazalım:
x1 + x 2 = −
I.
II.
Foksiyonun grafiğinin x eksenini kesmemesi için m
nin çözüm kümesi.
−
Fonksiyonun grafiğinin x eksenine teğet olması için
m nin çözüm kümesi.
kesmesi için m nin çözüm kümesi.
f(x) =
m +1
2m − 3
=−
ise 2m + 2 = 6m – 9
3
2
4m = 11
m=
III. Fonksiyonun grafiğinin x eksenini iki farklı noktada
x2
m +1
2m − 3
=−
olur.
3
2
+ (m – 2)x + m – 2
Benzer biçimde kökler çarpımını yazalım:
x1 ⋅ x 2 =
2n 3n + 2
=
olur.
3
2
2n 3n + 2
=
ise 4n = 9n + 6
3
2
fonksiyonu için yukarıda istenen bilgiler hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?
11
olur.
4
A) I (–6, 2)
II {–6, 2}
III
R–[–6, 2]
B) [–6, –2]
{–6, –2}
R–[–6, –2]
m−n =
C) (–6, –2)
{–6, –2}
R–[–6 , – 2]
D)
(–2, 6)
{–2, 6}
R–[–2, 6]
E) (2, 6)
{2, 6}
R–[2, 6]
5n = –6
n=−
6
olur.
5
11  6  11 6 79
− −
=
+ =
bulunur.
4  5  4 5 20
Doğru Seçenek D
10. SINIF MATEMATİK
219
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
x2 – 4x + m – 2 = 0 denkleminin kökleri toplamı
f(x) =
–x2
x1 + x 2 = −
+ (3m – 2)x + 3n
bulunur.
g(x) = x2 + (m + 1)x + 2n – 1
fonksiyonlarının grafiklerinin x eksenini kestiği noktalar aynı olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) −
9
20
B) −
1
20
1
20
C)
D)
7
20
−4
=4
1
E)
9
20
x1 + x2 = 4 ve x2 – x1 = 2 olduğundan bu iki denklem ortak
çözülürse x2 = 3 ve x1 = 1 olur.
Kökler çarpımı,
x1 ⋅ x 2 =
m−2
1
1 ⋅ 3 = m – 2 ise m = 5 bulunur.
f(x) = –mx2 + 2mx + n – 1
Doğru Seçenek D
g(x) = mx2 –2mx + n – 5
parabolleri yandaki grafikte
görüldüğü gibi x ekseni üzerindeki A ve B noktalarında
kesişmektedir.
Buna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 2
C) –2
D) –3
E) –4
Yanda f(x) = –x2 + 6x + 3 – m
DNA 7
parabolünün grafiği verilmiştir.
|AB| = 4 birim olduğuna
f(x) = x2 – 4x + m – 2
göre, m kaçtır?
parabolü yandaki grafikte
görüldüğü gibi x eksenini
A ve B gibi iki farklı nokta-
A) –3
B) –1
C) 3
D) 7
E) 8
da kesmektedir.
|AB| = 2 birim olduğuna göre, m kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Yanda f(x) = – x2 – 3x + m + 5
Çözüm
parabolünün grafiği verilmiştir.
A ve B noktaları x eksenini kesen noktalar olduğundan
|AB| = 5 birim olduğuna
aynı zamanda x2 – 4x + m – 2 = 0 denkleminin kökleridir.
göre, m kaçtır?
|AB| = 2 birim ise kökün biri diğerinden 2 fazla demektir.
O halde kökler farkı 2 dir. Kökleri x1 ve x2 olsun (x2 > x1
alalım.) x2 – x1 = 2 olur.
220
10. SINIF MATEMATİK
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
2. Parabolün y Eksenini Kestiği Nokta:
DNA 8
Analitik düzlemde y ekseni üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatı (0, n) biçimindedir. Örneğin (0, 3), (0, –1),
(0, 124), (0, –41) noktalarının hepsi y ekseni üzerinde yer
f(x) = –x2 + 8x + c
parabolü x eksenini negatif tarafta A noktasında,
alır.
O halde herhangi bir eğri eğer y eksenini kesiyorsa, kestiği
noktaların koordinatları (0, y1) biçiminde olmalıdır. Nokta
eğrinin üzerinde olacağından, eğrinin denklemini de sağlar. Buna göre, eğer varsa x = 0 için bulunan değerler o
pozitif tarafta B noktasında kesmektedir. |AB| = 12
birim olduğuna göre, parabolün y ekseni kestiği
noktanın ordinatı kaçtır?
A) 20
B) 10
C) 5
D) –10
E) –20
eğrinin y eksenini kestiği noktalardır.
Çözüm
y = f(x) = – x2 – 2x + 3 fonksiyonunun grafiğini çizerek bu
durumu görelim. Grafiği elde edebilmek için x yerine çeşitli
değerler vererek y değerlerini elde edelim.
Parabol x eksenini A ve B noktalarında kestiğinden, bu
x
–3
–2
–1
0
1
2
noktaların apsisleri aynı zamanda –x2 +8x + c = 0 denkle-
y
0
3
4
3
0
–5
minin kökleridir.
Elde edilen (–3, 0), (–2, 3), (–1, 4), (0, 3), (1, 0), (2, –5)
A noktasındaki negatif köke x1, B noktasındaki pozitif köke
ikililerini koordinat düzlemine yerleştirerek fonksiyonun
x2 diyelim. |AB| = 12 birim olduğundan x2 – x1 = 12 dir.
grafiğini (parabolü) çizelim:
–x2 + 8x + c = 0 denkleminde kökler toplamını bulalım.
x1 + x 2 = −
b
8
=− =8
a
−1
olur.
x2 – x1 = 12 ve x1 + x2 = 8 denklemleri ortak çözülürse
x2 = 10 ve x1 = –2 bulunur.
–x2 + 8x + c = 0 denkleminin kökler çarpımını yazalım:
Grafiğe ve grafiği çizmek için bulduğumuz noktalara dikkat ederek, x = 0 değeri için y = 3 olduğunu ve parabolün
bu noktadan geçtiğini görürüz.
x1 ⋅ x 2 =
c
a
( −2) ⋅ 10 =
c
c
ise − 20 =
−1
−1
c = 20 bulunur.
Hazine 5
y = f(x) = –x2 +8x + c fonksiyonunun grafiğinin y eksenini
kestiği noktanın koordinatları (0, y1) biçiminde olacağın-
a, b, c, x gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolünün y eksenini kestiği
nokta (0, y1) biçimindedir.
dan x = 0 için,
y = f(0) = –02 + 8 ⋅ 0 + c
y = c olur.
x = 0 için,
O halde parabol y eksenini (0, c) noktasında kesmektedir.
y = f(0) = a ⋅
02
+b⋅0+c
y = c olur.
c = 20 olduğunu zaten bulmuştuk.
Doğru Seçenek A
O halde, parabolün y eksenini kestiği noktanın koordinatları (0, c) dir.
10. SINIF MATEMATİK
221
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
f(x) = –2x2 +6x + 5m +1
parabolü x eksenini negatif tarafta A noktasında, pozitif tarafta B noktasında kesmektedir. |AB| = 9 birim
olduğuna göre, parabolün y eksenini kestiği noktanın
ordinatı kaçtır?
A) 12
B) 18
C) 24
E) 36
D) 28
Grafiği yorumlayalım.
Fonksiyon (1, –4) noktasına kadar azalıyorken, bu nokta-
f(x) = (m – 1)x2 – (2m + 1)x + m + 1
dan sonra artmaya başlıyor. O halde, (1, –4) noktası fonk-
parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, parabolün y
eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) −
5
4
B) −
3
4
C) −
1
4
D)
1
4
E)
5
4
siyonun tepe noktasıdır.
Parabolün x eksenini kestiği noktaların koordinatları
(–1, 0) ve (3, 0) noktaları tepe noktasının apsisi olan 1
e eşit uzaklıktadır. Benzer durum parabol üzerinde bulunan (–2, 5) ve (4, 5) noktaları için de geçerlidir. Parabol
üzerindeki bu noktalar, apsisi 1 olan noktadan geçen ve y
eksenine paralel olan doğruya eşit uzaklıktadır.
3. Tepe Noktasının Koordinatları:
Buna göre (1, –4) noktasından, yani tepe noktasından
geçen ve y eksenine paralel olan doğru (x = 1 doğrusu)
TANIM
parabolün simetri eksenidir. Parabolün x = 1 doğrusunun
solunda kalan kolu ile sağında kalan kolu, x = 1 doğrusu-
Çukur şeklindeki parabollerin azalmaktan artmaya geçtiği noktaya, tümsek şeklindeki parabollerin de artmaktan
azalmaya geçtiği noktaya parabolün tepe noktası denir.
na göre birbirinin simetriğidir.
Parabolün x eksenini kestiği noktaların koordinatları
(–1, 0) ve (3, 0) idi. x = 1 doğrusu bu iki noktaya da eşit
uzaklıkta olduğundan, –1 ve 3 değerlerinin aritmetik ortalaması tepe noktasının apsisini verir. –1 ve 3 değerle-
Hazine Avı
ri denklemin kökleri olduğundan tepe noktasının apsisi
Tepe noktasının özelliklerini f(x) = x2 – 2x – 3 fonksiyonu-
(r diyelim),
b
−
x + x2
b
r= 1
= a =−
2
2
2a
nun grafiğini çizerek inceleyelim.
Grafiği elde edebilmek için x yerine çeşitli değerler vereile bulunur.
rek y değerlerini elde edelim.
x
–2
–1
0
1
2
3
4
Fonksiyonun alabileceği en küçük değer y = –4 değeridir.
y
5
0
–3
–4
–3
0
5
En büyük değer ise yoktur (Parabolün kolları y ekseninin
elde ettiğimiz (–2, 5), (–1, 0), (0, –3), (1, –4), (2, –3), (3, 0)
pozitif tarafından sonsuza doğru uzanıyor). Bu en küçük
ve (4, 5) ikililerini koordinat düzlemine yerleştirerek para-
değer apsisi 1 olan noktaya denk geldiğinden (tepe nokta-
bolü çizelim:
sının apsisi) f(r) ile bulunur.
222
10. SINIF MATEMATİK
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Ele aldığımız fonksiyon f(x) = x2 – 2x – 3 idi. Bu fonksi-
Hazine 6
yonun başkatsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı doğrudur ve bir en küçük değeri vardır. Eğer başkatsayısı
negatif olan bir fonksiyonu inceleseydik kollar aşağı doğru
a, b, c, x ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ikinci dereceden
olacağından, fonksiyonun bir en büyük değeri olacaktı.
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası T(r, k)
olsun.
Elde ettiğimiz bilgileri toplarlayalım.
O zaman,
r=−
a, b, c, x gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere ikinci dereceden fonksiyon f(x) = ax2 + bx + c olsun. Buna göre,
•
Her parabolün bir tepe noktası vardır.
•
Çukur şeklindeki parabollerin tepe noktasının ordina-
b
2a
k = f (r ) =
tı aynı zamanda fonksiyonun en küçük değeri, tüm-
dır. Ayrıca x = r = −
sek şeklindeki parabollerin tepe noktasının ordinatı
eksenidir.
4ac − b2
4a
b
doğrusu bu parabolün simetri
2a
aynı zamanda fonksiyonun en büyük değeridir.
DNA 9
f:R→R
f(x) = mx2 + (5m + 3)x + 7
fonksiyonunun grafiğine ait simetri ekseninin
denklemi x + 2 = 0 olduğuna göre, m kaçtır?
•
Tepe noktasından geçen ve y eksenine paralel olan
doğruya parabolün simetri ekseni denir.
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
E) 3
f(x) = ax2 + bx + c parabolünün simetri ekseninin apsisi (r)
köklerin aritmetik ortalaması olduğundan
b
−
x1 + x 2
b
r=
= a =−
2
2
2a
dır.
•
Çözüm
Simetri ekseninin denklemi x + 2 = 0 olduğundan simetri
ekseni x = –2 doğrusudur.
Parabolün tepe noktasının ordinatı (bundan sonra k ile göstereceğiz) f(x) fonksiyonunda x yerine
b
r=−
yazılarak bulunur.
2a
Parabolün simetri ekseni x = r = −
x=r =−
O halde k değeri,
−2 = −
 b 
k = f (r ) = f  − 
 2a 
landığında k =
4ac − b2
bulunur. Buna göre tepe nokta4a
5m + 3
ise 4m = 5m + 3
2⋅m
dır.
 b 
Tepe noktasının ordinatını bulmak için f  −  hesap 2a 
b
2a
b
ile bulunduğundan
2a
m = –3
olur.
Doğru Seçenek A
sının koordinatları T(r, f(r)) = T(r, k) olur.
10. SINIF MATEMATİK
223
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
O halde,
f:R→R
f(x) = mx2 + 3x – 4
parabolünün simetri ekseninin denklemi x = 6 olduğuna göre, m kaçtır?
A) −
1
2
B) −
1
4
C) −
3
20
D)
1
4
E)
1
2
f(x) = y = x2 – 2x + c
f(1) = –2 = 12 – 2 ⋅ 1 + c
–2 = – 1 + c
c = –1 bulunur.
b + c = –2 + (–1) = –3 olur.
Doğru Seçenek E
f:R→R
f(x) = (m – 1)x2 – (3m + 1)x + 12
y = ax2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x = 1 doğrusu olduğuna
göre, m kaçtır?
parabolünün tepe noktasının koordinatları T(–2, 3) ol-
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
duğuna göre, c – 4a farkı kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) –2
E) –3
DNA 10
y = x2 + bx + c
parabolünün tepe noktasının koordinatları T(1, –2)
olduğuna göre, b + c toplamı kaçtır?
A) 3
B) 2
C) –1
y = mx2 – 2mx – 3m –11
D) –2
E) –3
parabolünün tepe noktasının apsis ve ordinat değerleri birbirine eşit olduğuna göre, m kaçtır?
A) 3
B) 2
C) –1
D) –2
E) –3
Çözüm
Parabolünün tepe noktasının apsisi r = −
b
ile bulunur.
2a
DNA 11
O halde,
r=−
b
2a
b
1= −
ise b = –2 olur. Buna göre parabolün denklemi
2 ⋅1
y = x2 – 2x + c olur. Tepe noktasının ordinatı f(r) ile bulunacağından parabol denkleminde x = 1 yazıldığında –2 yi
bulmalıyız.
224
10. SINIF MATEMATİK
f(x) = x2 – 2x + m2 – 3
parabolünün tepe noktası, analitik düzlemde dördüncü bölgede olduğuna göre, m nin değer aralığı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) m < –2
B) –2 < m < 2
D) m > 2
C) –1 < m < 3
E) m > 3
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Çözüm
f(x) = x2 + 4x + m2 – 5
Tepe noktasının apsisi,
r=−
b
−2
=−
=1
2a
2 ⋅1
parabolünün tepe noktası, analitik düzlemde üçüncü
bölgede olduğuna göre, m nin değer aralığı aşağıda-
dir.
kilerden hangisidir?
x2 nin işareti + ve tepe noktasının apsisi 1 olduğuna göre
A) m < –5
parabol aşağıdakilerden biri gibi olur.
B) m < –3
D) –3 < m < 3
C) –5 < m < –3
E) 3 < m < 5
y = x2 – 2ax + b
parabolü y eksenini (0, 1) noktasında kesmektedir.
Bu parabolün tepe noktası analitik düzlemde birinci
bölgede olduğuna göre, a aşağıdaki aralıkların hangiTepe noktasının apsisi 1 ve tepe noktası dördüncü
sinde olmalıdır?
bölgede olduğundan fonksiyonda x = 1 yazıldığında
A) (–1, 0)
y < 0 olmalıdır.
B) (–1, 1)
D) (0, 2)
C) (0, 1)
E) (–1, 2)
O halde
DNA 12
f(1) = y = 12 – 2 ⋅ 1 + m2 –3 < 0
1 – 2 + m2 – 3 < 0
Tepe noktası y ekseni üzerinde olan
m2 – 4 < 0 olur.
f(x) = mx2 – (m2 – 9)x – 5m + 3
m2 – 4 < 0 eşitsizliğini çözmek için
parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsisle-
m2 – 4 = 0 denkleminin köklerini bulup işaretini inceleyelim.
ri x1 ve x2 olduğuna göre, |x1 – x2| kaç olabilir?
m2 – 4 = 0 ise (m + 2)(m – 2) = 0
A)
m + 2 = 0 veya m –2 = 0
m = – 2 veya m = 2 olur.
m
m2 – 4
–∞
–2
+
B) 2
C)
8
3
D) 4
E) 5
Çözüm
2
–
4
3
∞
+
O halde m’nin değer aralığı –2 < m < 2 olur.
Doğru Seçenek B
Parabolün tepe noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre,
b
koordinatı (0, k) biçiminde olmalıdır. O halde r = −
=0
2a
olur.
r=−
b
−(m2 − 9)
⇒0=−
2a
2⋅m
m2 − 9 = 0
m = 3 bulunur.
10. SINIF MATEMATİK
225
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
m = + 3 için parabol denklemi,
y = 3x2 – (32 – 9)x – 5 ⋅ 3 + 3
Tepe noktası y ekseni üzerinde olan
y = 3x2 – 12 olur.
f(x) = (2m – 1)x2 – m2x – 4m +9
Parabolün x eksenini kestiği noktalar
parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsisleri x1
3x2 – 12 = 0 denkleminin kökleridir.
ve x2 olduğuna göre, |x1 – x2| kaçtır?
3x2 – 12 = 0 ise 3(x2 – 4) = 0
A) 2
x2 – 4 = 0
(x + 2)(x – 2) = 0
x1 = –2 veya x2 = 2 bulunur.
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
m = –3 için parabol denklemi,
y = –3x2 – ((–3)2 – 9)x – 5 ⋅ (–3) + 3
y = –3x2 +18 olur.
DNA 13
Parabolün x eksenini kestiği noktalar
–3x2 + 18 = 0 denkleminin kökleridir.
f:R→R
–3x2 + 18 = 0 ise –3 (x2 – 6) = 0
f(x) = mx2 – 4x + m + 1
parabolünün tepe noktası x ekseni üzerinde oldu-
x2 – 6 = 0
ğuna göre, m nin alabileceği değerlerin çarpımı
( x − 6 )( x + 6 ) = 0
kaçtır?
x1 = 6 veya x 2 = − 6 bulunur.
A) –6
B) –4
C) –2
D) 2
E) 4
x1 = –2 ve x2 = 2 için
|x1 – x2| = |–2 – 2| = 4 olur.
x1 = 6 ve x 2 = − 6 için
Çözüm
| x1 − x 2 | = | 6 − ( − 6 ) | = 2 6 olur.
Parabolün tepe noktası x ekseni üzerinde ise parabol x
O halde aradığımız cevap 4 veya 2 6 dır.
eksenine teğet demektir. O halde D = 0 olmalı.
Doğru Seçenek D
D = b2 – 4ac = (–4)2 – 4 ⋅ m ⋅ (m + 1) = 0
16 – 4m2 – 4m = 0
4 – m2 – m = 0
m2 + m – 4 = 0 olur.
m nin alabileceği değerleri çarpımı,
Tepe noktası y ekseni üzerinde olan
m1 ⋅ m2 =
y = mx2 + (4 – m2)x + 2 – 3m
c −4
=
= −4
a
1
tür.
parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsisleri x1
Doğru Seçenek B
ve x2 olduğuna göre, |x1 – x2| kaç olabilir?
A) 2
226
B) 4
10. SINIF MATEMATİK
C) 6
D) 8
E)
19
2
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
r=−
f(r) = k = 3 olduğundan,
f:R→R
b
−2m
=−
= m olur.
2a
2 ⋅1
f(x) = (m – 1)x2 – 3x + m
f(r) = f(m) = 3
parabolünün tepe noktası x ekseni üzerinde olduğuna
m2 – 2m ⋅ m + m + 3 = 3
göre, m nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
5
A) − 2
9
B) − 4
C) –2
3
D) − 2
m2 – 2m2 + m = 0
E) –1
–m2 + m = 0
–m(m – 1) = 0
– m = 0 veya m – 1 = 0
m = 0 veya m = 1
olur.
m nin alabileceği değerlerin toplamı 0 + 1 = 1 dir.
f:R→R
Doğru Seçenek C
f(x) = 3x2 – (m + 1)x –2 + m
parabolünün tepe noktası x ekseni üzerinde olduğuna
göre, m nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
A) 25
B) 20
C) 15
D) 10
E) 5
DNA 14
y = mx2 – 2mx – m – 2
y = x2 – 2mx + m + 3
parabolünün tepe noktası y = 2 doğrusu üzerinde ol-
parabolünün tepe noktası y = 3 doğrusu üzerinde
duğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin topla-
A) –3
mı kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
E) 3
Çözüm
Tepe noktası y = 3 doğrusu üzerinde olduğuna göre tepe noktasının koordinatları T(r, 3) tür.
y = x2 –4mx – m + 1
parabolünün tepe noktası y = – 3 doğrusu üzerinde
olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin çarpımı
kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
10. SINIF MATEMATİK
E) 2
227
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
DNA 15
Şekilde grafiği verilen
Şekilde grafiği verilen
y = f(x) = ax2 + bx + c para-
y = f(x) = ax2 + bx + c pa-
bolünün tepe noktası üçüncü
rabolünün tepe noktası
bölgededir.
ikinci bölgededir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) a + b > c
A) b ⋅ c > 0
B) a ⋅ b > 0
C) a + b < 0
B) b2 > 4ac
D) a ⋅ c < 0
C) a ⋅ b > 0
E) b ⋅ c > 0
E) a ⋅ c < 0
D) b2 > 4ac
Şekilde grafiği verilen
Çözüm
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktası birinci
Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan a < 0 dır.
bölgededir.
Parabolün y eksenini kestiği nokta f(0) idi.
f(0) = a⋅ 02 + b ⋅ 0 + c ise f(0) = c dir. Parabol y eksenini
pozitif bir değerde kestiğinden c > 0 dır.
Parabolün tepe noktasının apsisi x ekseninin negatif tarafında olduğundan
r=−
dır. −
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) b2 > 4ac
b
<0
2a
b
< 0 olması için, a < 0 olduğundan b < 0 olmalıdır.
2a
Parabolün x ekseni iki farklı noktada kesmesi için
B) b + c > a
D) ab – c > 0
C) ac – b < 0
E) b ⋅ c > 0
Hazine Avı
D = b2 – 4ac > 0 olmalıdır.
Çukur şeklindeki parabollerin tepe noktasının ordinatı
Bulduklarımızı seçeneklerle karşılaştıralım:
lindeki parabollerin tepe noktasının ordinatı aynı zamanda
aynı zamanda fonksiyonun en küçük değeri, tümsek şek-
b < 0 ve c > 0 olduğundan b ⋅ c < 0 dır. A seçeneği yanlış.
fonksiyonun en büyük değeri idi.
a < 0 ve b < 0 olduğundan a ⋅ b > 0 dır. B seçeneği doğru.
a, b, c, x ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere f(x) = ax2 + bx + c
a < 0 ve b < 0 olduğundan a + b < 0 dır. C seçeneği
doğru.
olsun.
b2 – 4ac > 0 ise b2 > 4ac olduğundan D seçeneği doğru.
a < 0 ve c > 0 olduğundan a ⋅ c < 0 dır. E seçeneği doğru.
Doğru Seçenek A
228
10. SINIF MATEMATİK
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
a > 0 ve a < 0 için f(x) fonksiyonunun grafiği, verilen gra-
O halde tepe noktasının koordinatları T(3, –5) tir. Yani
fiklere benzer olacağından,
fonksiyonun en küçük değeri –5, fonksiyonu en küçük ya-
•
a > 0 iken fonksiyonun en küçük değeri k = f(r), fonkb
siyonu en küçük yapan değer x = r = −
dır.
2a
•
pan x değeri ise 3 tür.
Doğru Seçenek E
a < 0 iken fonksiyonun en büyük değeri k = f(r), fonkb
siyonu en büyük yapan değer x = r = −
dır.
2a
f(x) = 2x2 – 8x + 5
Hazine 7
fonksiyonunun alabileceği en küçük değer ile fonksi-
a, b, c, x ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere f(x) = ax2 + bx + c
yonu en küçük yapan değerin toplamı kaçtır?
A) –3
olsun.
•
a > 0 iken fonksiyonun en küçük değeri
k = f (r ) =
C) –1
B) –2
D) 2
E) 3
4ac − b2
, fonksiyonu en küçük yapan
4a
değer x = r = −
b
dır.
2a
f(x) = m(x2 – 4x + 3 )
•
a < 0 iken fonksiyonun en büyük değeri
4ac − b2
k = f (r ) =
, fonksiyonu en büyük yapan
4a
değer x = r = −
fonksiyonunun alabileceği en küçük değer –3 olduğuna göre, m kaçtır?
A) –3
b
dır.
2a
B) –2
C) –1
D) 2
E) 3
DNA 17
DNA 16
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
f(x) = x2 – 6x + 4
fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 5
B) 3
f(x) = –2x2 – 4x + 5
C) –1
D) –3
A) –1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
E) –5
Çözüm
Çözüm
f(x) fonksiyonunun başkatsayısı negatif olduğundan fonksiyonun bir en büyük değeri vardır. Bu değer tepe nokta-
Fonksiyon, en küçük değerini tepe noktasında alıyordu. O
sında aldığı değerdir. O halde tepe noktasının koordinat-
halde tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
larını bulalım.
r=−
b
−6
=−
= 3 tepe noktasının apsisidir.
2a
2 ⋅1
Tepe noktasının ordinatı ise f(r) ile bulunuyordu.
f(r) = f(3) = 32 – 6 ⋅ 3 + 4 = 9 – 18 + 4 = – 5 olur.
r=−
b
−4
4
=−
=
= −1
2a
2 ⋅ ( −2) −4
tepe noktasının apsisidir.
Tepe noktasının ordinatı ise f(r) ile bulunuyordu.
10. SINIF MATEMATİK
229
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
f(r) = f(–1) = –2⋅(–1)2 – 4 ⋅ (–1) + 5
Çözüm
= – 2 + 4 + 5 = 7 olur.
O halde tepe noktasının koordinatları T(–1, 7) dir. Yani
f(x) parabolü x eksenini – 1 noktasında kestiğine göre (–1, 0)
fonksiyonun en büyük değeri 7, fonksiyonu en büyük ya-
noktası parabolün denklemini sağlar. Yani f(–1) = 0 dır.
f(x) = –x2 – 2mx + m + 7
pan x değeri ise –1 dir.
f(–1) = –(–1)2 – 2m⋅(–1) + m + 7 = 0
Doğru Seçenek D
–1 + 2m + m + 7 = 0
3m = –6
m = –2 olur.
m = – 2 değerini fonksiyon da yerine yazalım.
f(x) = –x2 –2⋅(–2)x + (–2) + 7
f(x) =
–x2
+ 2x – 3
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
f(x) = –x2 + 4x + 5
olur. f(x) in en büyük değeri için tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
r=−
b
4
=−
= 2 dir.
2a
2 ⋅ ( −1)
k = f(r) = f(2) = –22 + 4 ⋅ 2 + 5
fonksiyonunun alabileceği en küçük değer –1 olduğuna göre, m kaçtır?
8
3
B) −
5
2
C) –1
D) 1
k=–4+8+5
k = 9 olur.
Tepe noktasının koordinatları T(2, 9) olduğundan fonksi-
f(x) = mx2 – 2mx – m + 1
A) −
E)
yonun en büyük değeri 9, fonksiyonu en büyük yapan x
değeri ise 2 dir.
5
2
Doğru Seçenek D
DNA 18
Şekildeki grafik
f(x) = –x2 –2mx + m + 7
parabolüne aittir.
Uyarı
Şimdiye kadar çözdüğümüz tepe noktası sorularında,
Buna göre, f(x) in alabileceği en büyük değer kaçtır?
tepe noktasının ordinatını (fonksiyonun en büyük - en
A) 2
küçük değerini) k =
230
B) 5
C) 7
10. SINIF MATEMATİK
D) 9
E) 11
4ac − b2
formülü ile de bulabilirdik.
4a
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Çözüm
Şekildeki grafik
f(x) = x2 + mx + m + 2
parabolüne aittir.
Buna göre, f(x) in alabileceği en küçük değer kaçtır?
B) –6
A) –8
C) –4
D) –2
E) –1
|OA| = m dersek |OB| = 3m olur. Parabolün tepe noktasının apsisini bulalım.
r=−
b
−4
=−
=2
2a
2
olur.
x = 2 doğrusu simetri ekseni olduğundan A ve B noktaları C noktasına göre birbirinin simetriğidir. O halde
|AC| = |CB| olur.
|AC| = m + 2 birim olduğundan |CB| = m + 2 dir. |OC|= 2
ve |CB| = m + 2 olduğundan |OB| = m + 4 tür. |OB| = 3m
Şekildeki grafik
demiştik. O halde 3m = m + 4 ise m = 2 bulunur.
f(x) = –x2 – 4mx + m
m = 2 olduğundan A noktasının koordinatları A(–2, 0) ve B
noktasının koordinatları B(6, 0) olur. A veya B noktaların-
parabolüne aittir.
dan birini fonksiyonda yerine yazarak k değerini bulalım.
A noktasını kullanalım:
f(x) = x2 – 4x + k
Buna göre, f(x) i en büyük yapan x değeri kaçtır?
A) –5
B) –3
C) –2
D) –1
E) 2
f(–2) = (–2)2 – 4⋅ (–2) + k
0=4+8+k
k = –12 olur.
Doğru Seçenek A
DNA 19
Şekildeki grafik
Şekildeki grafik
f(x) = x2 – 4x + k
f(x) = –x2 – 2x + k
parabolüne aittir.
parabolüne aittir.
|OB| = 3|OA| olduğuna göre, k kaçtır?
A) –12
B) –6
C) –3
D) 6
|OA| = 3|OB| olduğuna göre, k kaçtır?
E) 12
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
10. SINIF MATEMATİK
E) 3
231
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Çözüm
Şekildeki grafik
Başkatsayı negatif olduğundan parabolün kolları aşağı
f(x) = mx2 – 4mx + m – 12
doğru olup bir en büyük değeri vardır ve bu değer tepe
parabolüne aittir.
noktasının ordinatıdır.
Tepe noktasının apsisi,
r=−
|AB| = 6 birim olduğuna göre, m kaçtır?
A) –2
B) –1
Tepe noktasının ordinatı,
D) 2
C) 1
b
8
=−
= 4 tür.
2a
2 ⋅ ( −1)
k = f(r) = f(4) = –42 + 8 ⋅ 4 + 3
E) 3
k = 19 olur.
Sonucu birde formülle elde edelim:
Işık 2
k=
• a > 0 iken parabolün grafiği ∪ biçiminde olduğun-
4ac − b2 4 ⋅ ( −1) ⋅ 3 − 82 −76
=
=
= 19
4a
4 ⋅ ( −1)
−4
O halde, görüntü kümesi (–∞, 19] olur.
dan alabileceği en küçük değer vardır. Yani paraDoğru Seçenek C
bol alttan sınırlı, üstten sınırlı değildir. Fonksiyonun
alabileceği en küçük değer tepe noktasının ordinatı
olan
f (r ) = k =
4ac − b2
değeridir.
4a
Fonksiyonun görüntü kümesi ise [k, +∞) dur.
•
a < 0 iken parabolün grafiği ∩ biçiminde olduğundan alabileceği en büyük değeri vardır. Yani
parabol üstten sınırlı, alttan sınırlı değildir. Fonksiyonun alabileceği en büyük değer tepe nokta-
f(x) = 2x2 + 8x + 11
sının ordinatı olan
f (r ) = k =
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden han-
4ac − b2
değeridir.
4a
gisidir?
Fonksiyonun görüntü kümesi ise (–∞, k] dır.
A) (–∞, –2]
B) (–∞, 3]
D) [–2, ∞)
C) [1, ∞)
E) [3, ∞)
DNA 20
f(x) = –x2 + 8x + 3
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden
f(x) = mx2 – 2mx – m +1
hangisidir?
A) (–∞, 4]
232
B) (–∞, 12]
D) [4, ∞)
10. SINIF MATEMATİK
C) (–∞, 19]
E) [19, ∞)
fonksiyonunun görüntü kümesi [–1, ∞) olduğuna göre,
m kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Çözüm
Işık 3
a, b, c, x gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere
f(x) = ax2 + bx + c
IŞIK 3’te verilenleri sırayla yapalım:
I.
fonksiyonunun grafiğini çizmek için,
I.
Başkatsayının işareti pozitif olduğundan parabolün
kolları yukarı doğrudur.
Başkatsayının işaretine göre parabolün kollarının
yönü belirlenir.
II.
Eğer mümkünse parabolün x eksenini kestiği
II.
Parabolün x eksenini kestiği noktaları bulmak için
noktalar bulunur. Bu noktalar ax2 + bx + c = 0
x2 + 4x + 9 = 0 denkleminin köklerine bakalım. İfade
denkleminin kökleridir.
çarpanlarına ayrılabilen bir ifade olmadığından D de-
III. Parabolün y eksenini kestiği nokta bulunur. Bu
ğerini bulalım.
nokta x = 0 değeri için bulunan f(0) değeridir.
IV. Parabolün tepe noktasının koordinatları bulunur.
D = b2 – 4ac = 42 – 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 16 – 36 = – 20 < 0
olduğundan gerçek kök yoktur. Yani fonksiyon x eksenini kesmez.
III. Parabolün y eksenini kestiği noktayı bulmak için f(0)
DNA 21
f:R→R
f(x) = x2 + 4x + 9
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
değerini hesaplayalım.
y = f(0) = 02 + 4 ⋅ 0 + 9 ise y = 9 olur.
IV. Parabolün tepe noktasının koordinatları için,
r=−
b
4
=−
= −2
2a
2 ⋅1
k = f(r) = (–2)2 + 4 ⋅ (–2) + 9
=4–8+9
k = 5 olur.
Kolları yukarı doğru, x eksenini kesmeyen y eksenini
(0,9) noktasında kesen ve tepe noktasının koordinatları
T(–2, 5) olan parabolü aradığımızdan A seçeneği doğru
cevaptır.
Doğru Seçenek A
10. SINIF MATEMATİK
233
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
DNA 22
f:R→R
f(x) = 2x2 + 8x + 5
f : [–2, 2] → R
f(x) = x2 – 2x – 3
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
f:R→R
f(x) = –x2 + 2x + 3
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
Işık 3’teki sıralamayı kullanalım.
I.
Başkatsayı pozitif olduğundan parabolün kolları yukarı doğrdur.
II.
Parabolün x eksenini kestiği noktalar,
x2 – 2x –3 = 0 ise (x – 3)(x + 1) = 0
x – 3 = 0 veya x + 1 = 0
x = 3 veya x = – 1 olur.
III. Parabolün y eksenini kestiği nokta için,
f(0) = 02 – 2 ⋅ 0 – 3
y=–3
IV. Parabolün tepe noktasının koordinatları,
b
−2
r=−
=−
=1
2a
2 ⋅1
olur.
234
10. SINIF MATEMATİK
k = f(r) = 12 – 2 ⋅ 1 – 3
k=1–2–3
k=–4
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
O halde aradığımız parabol, kolları yukarı doğru, (3, 0),
(–1, 0), (0, –3) noktalarından geçen ve tepe noktasının
koordinatları T(1, –4) olan eğri olur. Parabolü çizelim.
f : [–3, 1] → R
f(x) = – x2 – 4x + 5
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Ancak bu grafiğin DNA 21’de çözdüğümüz sorudan bir
farkı var. Soruda tanım kümesi olarak [–2, 2] aralığı verilmiş. O halde bu parabolün sadece x = –2 ve x = 2 doğruları arasında kalan kısmını alacağız demektir. Bu nedenle
x = –2 ve x = 2 değerleri için fonksiyonun değerlerini
hesaplamamız gerekiyor.
x = –2 için,
f(–2)= (–2)2 – 2 ⋅ (–2) –3 = 4 + 4 –3 = 5
x = 2 için,
f(2) = 22 – 2 ⋅ 2 – 3 = 4 – 4 – 3 = – 3 olur.
f : [–2, 1] → R
f(x) = x2 + 2x + 1
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Parabolün x = –2 ve x = 2 doğruları arasında kalan kısmı yukarıdaki gibidir. Fonksiyonun görüntü kümesi ise
[–4, 5] tir.
Doğru Seçenek C
Not
Bir parabolü belirli bir aralıkta çizdiğimiz de fonksiyonun
hem en büyük hem de en küçük değeri vardır. DNA 22’nin
grafiğini incelersek fonksiyonun en küçük değeri –4, en
büyük değeri ise 5 tir.
10. SINIF MATEMATİK
235
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Işık 4
r=−
b
6
=−
= 3 ∈ [0, 4] olduğundan
2a
2 ⋅ ( −1)
f(r) değerini de hesaplayalım.
m ile n gerçek sayılar ve m < n olmak üzere,
f : [m, n] → R
f(r) = f(3) = –32 + 6 ⋅ 3 + 8 = 17 olur.
f(0) = 8, f(4) = 16 ve f(3) = 17 olduğundan fonksiyonun
en büyük değeri 17, en küçük değeri 8 dir. Bu değerlerin
f(x) = ax2 + bx + c
çarpımı istendiğinden 8 ⋅ 17 = 136 bulunur.
fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulDoğru Seçenek E
mak için f(m), f(n) ve r ∈ [m, n] ise f(r) bulunur. Bulunan değerlerden en büyük değer fonksiyonun en
büyük değeri, en küçük değer fonksiyonun en küçük
değeridir.
f : [–8, 4] → R
DNA 23
f(x) = x2 + 12x + 5
f : [0, 4] → R
f(x) = –x2 + 6x + 8
fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerinin
toplamı kaçtır?
fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerinin
çarpımı kaçtır?
A) 38
B) 76
D) 128
A) 27
B) 38
C) 53
D) 61
E) 84
C) 102
E) 136
Çözüm
Fonksiyonun tanım kümesinin sınır değerleri olan x = 0 ve
f : [0, ∞] → R
x = 4 değerlerini fonksiyon da yerine yazalım.
f(x) = –x2 + 4x + 1
x = 0 için,
f(0) = – 02 + 6 ⋅ 0 + 8 = 8 dir.
x = 4 için,
malıdır?
A) 0
f(4) = –42 + 6 ⋅ 4 + 8 = 16 dır.
236
fonksiyonunun en büyük değeri alması için x kaç ol-
10. SINIF MATEMATİK
B) 1
C) 2
D) 5
E) 7
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
f(x) = ax2 + bx + c ile f(x) = a(x – r)2 + k
Hazine 8
Fonksiyonlarının İlişkisi
Tepe noktasının koordinatları T(r, k) olan parabolün
denklemi, a ∈ R – {0} olmak üzere,
Hazine Avı
f(x) = a(x – r)2 + k
Aslında yapacağız işlem, ikinci dereceden denklemlerde
dır.
gördüğümüz tam kareye tamamlama yönteminden başka
bir işlem değil.
f(x) = ax2 + bx + c
DNA 24
ifadesini a ortak parantezine alalım:
 b 
 2a 
 
b
c

f ( x ) = a  x2 + x + 
a
a


f:R→R
f(x) = (x – 1)2 – 4
b
c

f ( x ) = a  x2 + 2 ⋅
⋅x+ 
2a
a

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
2
ni ifadeye ekleyip çıkaralım:


2
2
 2
b
c
 b   b 
f (x) = a ⋅  x + 2 ⋅
⋅x+  −  + 
2
a
a
 2a 
  2a 
 


2
b 

 x+ 
 2a 


2

b 
b2
c
f ( x ) = a ⋅  x +
−
+

2a 
4a2 a


4a 

2

b 
b2
4ac 

f ( x ) = a ⋅  x +
−
+

2
2a 

4a
4a2 
2

b 
4ac − b2 

f ( x ) = a ⋅  x +
+

2a 

4a2 
olur.
Parabol denkleminde r = −
biliyoruz. O halde
b
4ac − b2
ve k =
olduğunu
2a
4a2
4ac − b
b
yerine –r ve
4a2
2a
zabiliriz. Buna göre parabol denklemi
f(x) = a(x –
halini alır.
r)2
+k
Çözüm
2
yerine k ya-
f(x) = (x – 1)2 – 4 fonksiyonunun başkatsayısı pozitif olduğundan parabolün kolları yukarı doğrudur. Genel denklemimiz f(x) = a(x – r)2 + k idi. O halde r = 1 ve k = – 4 tür.
Yani tepe noktasının koordinatları T(–1, 4) tür. Parabolün
y eksenini kestiği nokta için f(0) ı hesaplayalım:
f(0) = (0 – 1)2 – 4 = – 3 olur.
10. SINIF MATEMATİK
237
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
x eksenini kestiği nokta için (x – 1)2 – 4 = 0 denkleminin
köklerini bulalım.
(x – 1)2 – 4 = 0 ise (x – 1)2 – 22 = 0
f(x) = a (x + m)2 – n
(x – 1 – 2)(x – 1 + 2) = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x – 3 = 0 veya x + 1 = 0
x = 3 veya x = –1 olur.
parabolünün tepe noktasının koordinatları T(1, 3) olup
parabol (0, 2) noktasından geçtiğine göre, a kaçtır?
B) –1
A) –2
noktalarında ve y eksenini (0, –3) noktasında kesen eğridir.
D) 2
E) 3
Hatırlatma
O halde aradığımız parabol kolları yukarı doğru, tepe noktasının koordinatları T(1, –4), x eksenini (3, 0) ve (–1, 0)
C) 1
Analtik düzlemde A(x1, y1) ve B(x2, y2) gibi iki nokta
arasındaki uzaklığı bulalım.
Doğru Seçenek C
ACB dik üçgenine Pisagor Teoremi’ni uygularsak,
|AB|2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
f:R→R
f(x) = 2(x + 1)2 + 2
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
bulunur.
(x2 – x1)2 = (x1 – x2)2 ve (y2 – y1)2 = (y1 – y2)2 olduğunu
da hatırlarsak, analitik düzlemde verilen iki nokta arasındaki uzaklık,
| AB |= ( x1 − x 2 )2 + ( y1 − y 2 )2
ile bulunur.
DNA 25
f(x) = –x2 – 2x – 1
g(x) = x2 + 4x + 2
parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık
kaç birimdir?
A)
3
2
238
10. SINIF MATEMATİK
D)
B)
5 3 E) 3
C)
5
2
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Çözüm
f(x) = –x2 – 2x + m + 3
f(x) parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
(T1 diyelim)
g(x) = mx2 –2mx + m – 2
b
−2
r=−
=−
= −1
2a
2 ⋅ ( −1)
f(r) = k = f(–1) = –
(–1)2
parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık 2 5
–2 ⋅ (–1) – 1 = 0 olduğundan
birim olduğuna göre, m nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
T1 = (–1, 0) dır.
g(x) parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
A) –20
B) –12
C) 12
D) 16
E) 20
(T2 diyelim)
r=−
f(r) = k = f(–2) =
(–2)2
b
4
=−
= −2
2a
2 ⋅1
DNA 26
+ 4 ⋅ (–2) + 2 = – 2 olduğundan
Yandaki
y =2(x – 4)2 – 8
T2 (–2, –2) dir.
T1 = (–1, 0) ve T2 (–2, –2) noktaları arasındaki uzaklık,
2
parabolü y eksenini A
2
noktasında, x eksenini B
| T1 T2 | = ( −1 − ( −2)) + (0 − ( −2))
ve C noktalarında kes-
= 1+ 4
mektedir.
Buna göre, ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir?
= 5 birim
A) 24
olur.
B) 36
C) 48
D) 60
E) 72
Doğru Seçenek D
Çözüm
Parabolün x eksenini kestiği noktaların apsislerini bulursak |BC| nin kaç birim olduğunu da bulmuş oluruz.
x eksenini kestiği noktaların apsislerini bulmak için denklemde y = 0 yazarız. O halde
0 = 2(x – 4)2 – 8
8 = 2(x – 4)2
4 = (x – 4)2
2 = |x – 4|
f(x) = 4x2 – 8x + 5
x–4=2
x=6
g(x) = –3x2 + 12x – 7
x – 4 = –2
x=2
parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç
olur.
birimdir?
Buna göre B noktasının koordinatları B(2, 0), C noktasının
A) 3
B) 4
C)
17 D)
19 E) 5
koordinatları C(6, 0) dır.
10. SINIF MATEMATİK
239
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Yani |BC| = 6 – 2 = 4 birimdir.
DNA 27
Şimdi A noktasının koordinatlarını bulalım ([AO] ABC üçgeni-
nin yüksekliğidir.) A noktasının
parabolü x eksenine, eksenin negatif tarafında te-
apsisi 0 olduğundan, ordinatı
ğet olduğuna göre, m kaçtır?
y = 2(x – 4)2 – 8
y = 2(0 – 4)2 – 8
y = 24
olur.

A( ABC) =
y = x 2 + (m + 8)x + 5 – 2m
A) –22
B) –12
C) –2
D) 2
E) 12
Çözüm
4 ⋅ 24
= 48 birim kare
2
Parabol x eksenine teğet olduğuna göre D = 0 olmalıdır.
bulunur.
D = b2 – 4ac = (m + 8)2 – 4⋅ 1 ⋅ (5 – 2m) = 0
Doğru Seçenek C
Yandaki y = – (x + 2)2 + 16
parabolü y eksenini C noktasında, x eksenini A ve B
noktalarında kesmektedir.
m2 + 16m + 64 – 20 + 8m = 0
m2 + 24m + 44 = 0
(m + 2)(m + 22) = 0
m + 2 = 0 veya m + 22 = 0
m = –2 veya m = – 22
dir.
Parabol x eksenine negatif tarafta teğet olduğundan
r=−
b
< 0 olmalıdır.
2a
b
m+8
=−
ifadesi
2a
2
−2 + 8
= −3 < 0 ve
m = –2 için r = −
2
r=−
T noktası parabolün tepe noktası olduğuna göre, TAO
m = –22 için r = −
üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 32
B) 48
C) 52
D) 64
E) 72
−22 + 8
= 7 > 0 olur.
2
O halde aradığımız m değeri –2 dir.
Doğru Seçenek C
Yandaki y = (x + 1)2 – 36
parabolü y eksenini C noktasında, x eksenini A ve B
noktalarında kesmektedir.
f(x) = mx2 + mx – 2x + m
fonksiyonunun grafiğinin x eksenine, eksenin pozitif
T noktası parabolün tepe noktası olduğuna göre, TAO
üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 126
B) 138
240
10. SINIF MATEMATİK
C) 156
tarafında teğet olduğuna göre, m kaçtır?
A) –2
D) 184
E) 216
B) –1
C) −
2
3
D)
2
3
E) 2
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
4.
TEST - 1
f(x) = ax2 + bx + c
fonksiyonunun grafiği (–1, 1), (0, 3), (1, –3) noktalarından geçtiğine göre, a + b + c toplamı kaçtır?
1.
Gerçek sayılarda tanımlı,
A) 3
B) 2
C) –2
D) –3
E) –4
Yukarıda y = ax2, y = bx2 ve y = cx2 fonksiyonlarının
grafikleri çizilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) c > a > b
B) b > c > a
D) a > c > b
C) b > a > c
5.
Yandaki şekilde A ve
O köşeleri y = x2 pa-
E) a > b > c
rabolünün üzerinde
olan AOB eşkenar
2.
üçgeni çizilmiştir.
Buna göre, AOB üçgeninin alanı kaç birim karedir?
Yukarıda tepe noktasının koordinatları (0, 2) olan bir
A)
9
4
B) 2 3 D) 4 3 C) 3 3
E)
parabol çizilmiştir.
27 3
4
Buna göre, bu parabol aşağıdaki fonksiyonların
hangisine ait olabilir?
A) y = –5x2 + 2
B) y = –3x2 – 2
D) y = –x2 – 2
C) y = x2 + 2
E) y = –2x2 – 2
6.
3.
f:R→R
f(x) = 2x2 + mx + n
fonksiyonunun grafiği (1, –2) noktasından geçtiğine göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –6
B) –4
C) –2
D) 0
E) 2
f(x) = 2x2 + (m – 1)x + 2n – 1
g(x) = –x2 + (2m + 1)x + 3n
fonksiyonlarının grafiklerinin x eksenini kestiği
noktalar aynı olduğuna göre, m ⋅ n çarpımı kaçtır?
A) −
1
5
B) −
1
8
C) −
1
40
D)
1
40
10. SINIF MATEMATİK
E)
1
8
241
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
7.
Yandaki grafikte x ek-
11. senini A ve B noktala-
rında kesen
2x2
f(x) =
f(x) = (m + 3)x3 + (m – 2)x2 + x – 3
fonksiyonunun belirttiği eğri bir parabol olduğuna göre, bu parabolün x eksenini kestiği noktaların apsislerinin toplamı kaçtır?
– 4x – m + 2
parabolü çizilmiştir.
B) −
A) –1
1
2
C) −
1
5
D)
1
5
E)
1
2
|AB| = 6 birim olduğuna göre, m kaçtır?
A) –18
B) –16
C) –14
D) 16
E) 18
12. f:R→R
f (x) = (5m – 1)x2 + (2m + 1)x – 2
8.
f(x) = x2 – (2m – 1)x – 3m –
simetri
ekseninin
denklemi
4x + 1 = 0 olduğuna göre, m kaçtır?
f:R→R
parabolünün
1
2
A) 3
B) 2
C) 1
D) –2
E) –3
parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, m nin
alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
A) −
3
4
B) −
1
2
C)
1
2
D)
3
4
E)
3
2
13. 9.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği x
A) –4
– 4x + 5
A) y =
C) y = –x2 – 3x + 2
parabolünün
B) y =
x2
tepe
noktasının
koordinatları
T(–1, –2) olduğuna göre, m – n farkı kaçtır?
eksenini kesmez?
x2
y = 2x2 + mx + n
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
– 4x + 1
D) y = – 2x2 + 4x + 1
E) y = x2 – 4x – 1
14. 10. f:R→R
f(x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x – 3
aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
natı kaçtır?
1.E
242
B) –5
2.A
3.B
10. SINIF MATEMATİK
C) –3
4.D
D) 3
5.C
parabolünün tepe noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olduğuna göre, m nin çözüm
parabolünün y eksenini kestiği noktaların ordi-
A) –8
f(x) = 2x2 – 4x – m2 + 6
E) 5
6.C
A) (–2, 2)
7.E
8.D
B) (–2, 1)
D) R – [–2, 2]
9.A
10.C
11.D
C) (–1, 2)
E) R – [–1, 2]
12.A
13.E
14.D
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
TEST - 2
5.
fonksiyonunu en büyük yapan x değeri kaçtır?
f(x) = – 2x2 + 6x – 5
A) 1
1.
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
f:R→R
f (x) = (m + 1)x2 + (m – 1)x + m – 1
B)
parabolünün tepe noktası x ekseni üzerinde olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
6
A) − 5
3
B) − 5
1
C) − 5
2
D) − 3
3
E) −
2
6.
fonksiyonunun alabileceği en küçük değer ile
f(x) = x2 – 4x + 9
fonksiyonu en küçük yapan değerin toplamı kaçtır?
2.
parabolünün tepe noktası y = – 1 doğrusu üzerin-
A) –7
y = (m + 1)x2 + (m + 1)x + m + 1
B) –3
C) 3
D) 7
E) 10
de olduğuna göre, m kaçtır?
A) −
7
3
B) −
5
3
C) –1
D)
5
3
E)
7
3
7.
Şekildeki grafik
f(x) = –x2 + mx + 1 – m
parabolüne aittir.
3.
parabolünün tepe noktası y = 2 doğrusu üzerinde
y = –x2 – 4mx + m
olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
A) −
1
2
B) −
1
4
C) 1
4.
D)
1
2
E)
Buna göre, f(x) in alabileceği en büyük değer
kaçtır?
1
4
A) 9
B) 11
bolünün tepe noktası x
8.
E) 22
Şekildeki grafik
f(x) = x2 – 2mx + m – 3
eksenine T noktasında
parabolüne aittir.
teğettir.
D) 18
Şekilde grafiği verilen
y = ax2 + bx + c para-
C) 13
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A)
b2
= 4ac
B) a < 0
D) a + c < 0
C) c < 0
E) a ⋅ b > 0
Buna göre, f(x) in alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) –7
B) –9
C) –11
D) –18
10. SINIF MATEMATİK
E) –22
243
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
9.
Şekildeki grafik
12. f : (–3 ,3] → R
f(x) = x2 – 5x – k – 4
f (x) = x2 + 2x – 8
parabolüne aittir.
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
13.
f : [–1, 1] → R
hangisidir?
f(x) = x2 + 2x – 3
B) 2
C)
5
2
D) 6
E)
49
4
C) [–9, 3]
E) [–9, ∞)
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden
f(x) = –x2 + 4x – 2
A) (–∞, –2 ]
B) (–∞, 2]
D) [2, ∞)
C) (–∞, 4]
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
E) [4, ∞)
11.
f:R→R
f(x) = x2 + 2x – 15
B) [–5, 7]
D) [–9, 7]
10. A) [–3, 9]
A) –1
|OB| = 6|OA| olduğuna göre, k kaçtır?
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
14.
f : [–2, 4] → R
f(x) = –2x2 +4x + 7
fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –11
1.D
244
2.A
3.A
10. SINIF MATEMATİK
4.E
5.B
6.D
7.A
8.B
9.B
B) –9
10.B
C) –2
11.C
D) 0
12.D
13.A
E) 9
14.D
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
TEST - 3
5.
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 4 ten
f(x) = –2x2 – 4x + m – 3
küçük olduğuna göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
1.
parabolü x eksenine eksenin negatif tarafında te-
y = (a +
2)x2
– 2ax + 1
ğet olduğuna göre, a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
A) (–∞, –5)
B) (–∞, –1)
C) (–∞, 5)
E) (5, ∞)
D) (–1, 5)
E) 2
6.
Yandaki grafikte
f(x) = –x2 + 6x parabolü
verilmiştir.
2.
x = 2t + 1
A noktası parabol üzerinde bir nokta olduğuna göre,
AOB üçgeninin alanı en çok kaç birim kare olabilir?
y = 8t2 + 4t + 1
parametrik denklemleriyle verilen y = f(x) parabo-
A) 48
B) 45
C) 36
D) 27
E) 18
lünün tepe noktasının apsisi ile ordinatının toplamı kaçtır?
A) −
1
2
B) 0
C)
1
2
D) 1
E)
3
2
7.
Yandaki grafikte tepe
noktası T olan
f(x) = x2 + 4x + 4 + m
parabolü verilmiştir.
3.
x ∈ R olmak üzere kenar uzunlukları (2 – x) birim
ve (3x – 2) birim olan dikdörtgenin alanının en
|OT| = 4 birim olduğuna göre, m kaçtır?
A)
2 büyük değeri kaç birim karedir?
A)
2
3
B) 1
C)
4
3
D)
5
3
E) 2
B)
3 D) 2 2 8.
C) 2
E) 2 3
Yandaki grafikte y = –4x2
parabolü verilmiştir.
2
f ( x ) = 2x − 2 x −1
4.
fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
1
A) − 2
1
B) 4
1
C) 2
D) 1
E) 2
B noktası parabol üzerinde ve OCBA dikdörtgeninin alanı 32 birim kare olduğuna göre, OCBA
dikdörtgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 32
B) 36
C) 40
D) 48
10. SINIF MATEMATİK
E) 56
245
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
9.
AOB eşkenar üçgeninin
A köşesi y =
2x2
para-
11.
Yandaki grafikte y = x2 parabolü verilmiştir. A noktası pa-
bolü üzerindedir.
rabol üzerinde ve [AC] ^ OX
tir.
dir?
A)
1
2
|OB| = |AB| = 6 birim olduğuna göre, |AC| kaç birimdir?
Buna göre, eşkenar üçgenin çevresi kaç birim-
A) 3
B) 1
C) 3
D) 6
11 B)
C)
13 D) 11
E) 13
E) 9
12.
Yandaki grafikte tepe
noktasının
ordinatı
9 olan ve eksenleri
A, B, C noktalarında
kesen f(x) parabolü
verilmiştir.
10. f:R→R
f(x) = ax2 + bx + c
Buna göre, ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir?
fonksiyonunda a + b + c = 0,
A) 30
a + b < 0 ve
B) 25
C) 20
D) 15
E) 10
a ⋅ b ⋅ c > 0 olduğuna göre, y = f(x) fonksiyonunun
grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
13.
Yandaki grafikte
f(x) = x2 – 16 parabolü verilmiştir.
Buna göre, ABCD dörtgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 24
14. B) 48
f ( x) =
C) 72
D) 108
E) 144
7
2
x 2 − 2 x −3
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun alabileceği
en büyük değer kaçtır?
A) 112
1.B
246
2.D
3.C
10. SINIF MATEMATİK
4.B
5.C
6.D
7.E
8.B
9.B
B) 126
10.E
C) 140
11.D
12.D
D) 154
13.C
E) 168
14.A
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
PARABOL DENKLEMİNİN YAZILMASI
DNA 28
Hazine Avı
Analitik düzlemde A(1, 1), B(0, 2) ve C(–4, –2) noktalarından geçen parabolün denklemi aşağıdaki-
A(1, 2), B(0, 0) ve C(2, 1) noktalarından geçen parabo-
lerden hangisidir?
lün denklemini elde etmeye çalışalım. Parabolün genel
denklemi y = ax2 + bx + c idi. A, B ve C noktaları parabol
üzerinde olduğundan parabolün denklemini sağlar. O halde bu noktaları denklemde yazıp a, b ve c katsayılarını
bulabiliriz:
1
2
A) y = − x 2 − x + 2 5
5
3
2
B) y = − x 2 − x + 2
5
5
2
3
C) y = − x 2 − x + 2 5
5
D) y = –5x2 –2x + 2
E) y = –3x2 – 2x + 2
A(1, 2) noktası için,
y = ax2 + bx + c
2 = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c
2 = a + b + c olur.
Çözüm
B(0, 0) noktası için,
y = ax2 + bx + c
0 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c
y = ax2 + bx + c denkleminde A, B ve C noktalarını yerine
yazalım.
B(0, 2) noktası için,
0 = c olur.
C(2, 1) noktası için,
y = ax2 + bx + c
1 = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c
1 = 4a + 2b + c olur.
a + b + c = 2 ve c = 0 olduğundan a + b = 2 dir.
4a + 2b + c = 1 ve c = 0 olduğundan 4a + 2b = 1 dir.
a + b = 2 ve 4a + 2b = 1 denklemlerini ortak çözersek
3
7
a = − ve b = buluruz.
2
2
O halde, bu parabolün denklemi,
3
7
y = − x2 + x
2
2
tir. Şimdi aşağıdaki Hazine’yi verebiliriz:
Hazine 9
y = ax2 + bx + c
2 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c ise c = 2 dir.
A(1, 1) noktası için,
y = ax2 + bx + c
1 = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + 2 ise a + b = – 1 dir.
C(–4, –2) noktası için,
y = ax2 + bx + c
–2 = a ⋅ (–4)2 + b ⋅ (–4) + 2 ise 16a – 4b = –4
4a – b = –1 dir.
a + b = –1 ve 4a – b = – 1 denklemlerini ortak çözersek
a=−
2
3
ve b = − buluruz.
5
5
O halde, aradığımız denklem,
Parabole ait üç nokta verilmiş ise bu noktalar
y = ax2 + bx + c
denkleminde yerine yazılarak a, b ve c katsayıları bu-
dir.
2
3
y = − x2 − x + 2
5
5
Doğru Seçenek C
lunur. Böylece, parabolün denklemi bulunmuş olur.
10. SINIF MATEMATİK
247
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Başkatsayıyı bulmak için ise parabolün y eksenini kestiği
nokta olan (0, –15) i denklemde yerine yazalım.
Analitik düzlemde A(1, 4), B(–1, 1) ve C(0, 2) noktalarından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
3
1
A) y = − x 2 + x + 2 2
2
C) y =
1
3
B) y = − x 2 + x + 2
2
2
3 2 1
x + x+2 2
2
D) y =
1 2 3
x + x+2
2
2
E) y = 2x2 + 3x + 2
– 15 = a(0 + 3)(0 – 5)
– 15 = –15a
1=a
olur.
O halde, parabolün denklemi,
y = (x + 3)(x – 5)
y = x2 – 2x – 15
olur.
Hazine 10
Parabolün x eksenini kestiği noktalar olan (x1, 0) ve
(x2, 0) ile bu noktaların dışında bir nokta daha verilmiş
Yukarıdaki grafikte x eksenini – 3 ve 5 noktalarında, y ek-
ise parabol denklemi
senini –15 noktasında kesen parabol çizilmiştir.
Buna göre, bu parabolün denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y =
1 2
x − x − 15 2
ile bulunur.
B) y = x2 – 3x – 15
C) y = x2 – 2x – 15
E) y =
y = a (x – x1)(x – x2)
D) y = 2x2 – 3x – 15
5 2
x − 2x − 15
2
DNA 29
Yandaki grafikte x eksenini 1 ve 3 noktalarında
kesen ve (–1, 8) nokta-
Hazine Avı
sından geçen parabol
çizilmiştir.
DNA 28’in 2. Genetik Kopya’sındaki soru, x eksenini kestiği noktalar ve bu noktaların dışında başka bir nokta daha
verildiği için şu biçimde de çözülür.
Buna göre, bu parabolün denklemi aşağıdakiler-
Denklemin kökleri x = – 3 ve x = 5 olduğundan, bu denkle-
den hangisidir?
me ait çarpanlar (x + 3) ve (x – 5) tir. Ancak başkatsayıyı
A) y = 2x2 – 4x + 3
B) y = 2x2 – 4x + 8
C) y = x2 – 4x + 3
D) y = x2 – 4x + 8
bilmediğimizden parabol denklemi
y = a(x + 3)(x – 5)
tir.
248
10. SINIF MATEMATİK
E) y = x2 – 4x – 1
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Çözüm
Parabol x eksenini 1 ve 3 noktalarında kestiğinden denklem
y = a(x – 1)(x – 3)
Analitik düzlemde A(–2, 0), B(4, 0) ve C(2, –2) noktalarından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
biçimindedir.
A) y =
1 2 1
x − x − 2 4
2
B) y =
1 2 1
x + x−2
4
2
Parabol aynı zamanda (–1, 8) noktasından geçtiğinden bu
C) y =
1 2 1
x − x − 2 2
4
D) y =
1 2 1
x − x−2
2
4
nokta denklemi sağlamalı.
y = a(x – 1)(x – 3)
8 = a(– 1 – 1)(– 1 – 3)
8 = 8a
1 = a olur.
1
1
E) y = − x 2 − x − 2
2
4
Hazine Avı
O halde, parabolün denklemi
Bir önceki kesimde anlattığımız y = a(x – r)2 + k denk-
y = (x – 1)(x – 3)
y = x2 – 4x + 3
lemini hatırlayalım. Bu denklemde r ve k değerleri tepe
noktasının koordinatları olan T(r, k) idi. O halde, tepe noktasının dışında başka bir nokta daha biliyorsak parabol
denklemini rahatça elde edebiliriz.
olur.
Doğru Seçenek C
Bir örnekle açıklayalım.
Tepe noktasının koordinatları T(–1, 4) olan ve (0, 2) noktasından geçen parabolün denklemini bulalım.
Yandaki grafikte x eksenini –3 ve 1 noktalarında,
y eksenini 6 noktasında
kesen parabolün grafiği
çizilmiştir.
Buna göre, parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –x2 – 3x + 6
B) y = –x2 – 4x + 6
C) y = –2x2 – 3x + 6
D) y = –2x2 – 4x + 6
E) y = – 2x2 + 3x + 6
y = a(x – r)2 + k
y = a(x–(–1))2 + 4
y = a(x + 1)2 + 4
olur.
a değerini bulabilmek için (0, 2) noktasını denklemde yerine yazalım:
y = a (x + 1)2 + 4
2 = a (0 + 1)2 + 4
–2 = a olur.
O halde, parabolün denklemi,
y = – 2 (x + 1)2 + 4
olur.
10. SINIF MATEMATİK
249
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Hazine 11
Parabolün tepe noktasının koordinatları T(r, k) ve bu
nokta dışında bir nokta biliniyorsa parabolün denklemi
y = a(x – r)2 + k
Tepe noktasının koordinatları T(–1, 2) olan ve (1, 3)
noktasından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) y = − ( x + 1)2 − 2 4
ile bulunur.
C) y =
DNA 30
1
B) y = − ( x − 1)2 − 2
4
1
( x − 1)2 + 2 4
D) y =
E) y =
1
( x + 1)2 + 2
4
1
( x + 1)2 − 2
4
Yandaki grafikte tepe
noktasının
koordinat-
ları T(2, 3) olan ve y
eksenini 2 noktasında
kesen parabolün grafiği
çizilmiştir.
Buna göre, bu parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –(x – 2)2 + 3
1
B) y = − ( x + 2)2 − 3
2
1
C) y = − ( x − 2)2 + 3 2
1
D) y = − ( x + 2)2 − 3
4
Analitik düzlemde (3, 0) noktasından geçen ve tepe
noktasının koordinatları T(1, –4) olan parabolün denklemi y = ax2 + bx + c olduğuna göre, a + b + c toplamı
kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
1
E) y = − ( x − 2)2 + 3
4
Çözüm
T(2, 3) olan parabolün denklemi,
y = a (x – r)2 + k
y = a(x – 2)2 + 3 tür.
DNA 31
Parabol (0, 2) noktasından geçtiğinden, bu nokta denklemi sağlar.
y = a(x – 2)2 + 3
2 = a(0 – 2)2 + 3
Yandaki şekilde y ekseni 6
noktasında, x ekseni –2 ve
–3 noktalarında kesen f(x)
1
– 1 = 4a ise a = − olur.
4
Parabolün denklemi,
1
y = − ( x − 2)2 + 3
4
Buna göre, f(–5) kaçtır?
bulunur.
Doğru Seçenek E
250
10. SINIF MATEMATİK
parabolü vermiştir.
A) –6
B) –5
C) –1
D) 5
E) 6
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Çözüm
f(–5) değerini bulabilmek için öncelikle f(x) fonksiyonunu,
Yandaki grafikte tepe nokta-
yani parabolün denklemini bulalım. x eksenini kestiği nok-
sının koordinatları T(–1,–1)
talar ve bu noktanın dışında bir nokta verildiğinden
olan ve y eksenini –2 noktasında kesen f(x) parabolü
y = a(x – x1)(x – x2)
verilmiştir.
denklemini kullanalım. x1 = – 3 ve x2 = – 2 değerlerini
denklemde yerine yazalım.
y = a(x – x1)(x – x2)
y = a (x + 3)(x + 2)
Buna göre f(–2) kaçtır?
Parabol y eksenini (0, 6) noktasında kestiğinden bu nokta-
A) –6
B) –4
C) –2
D) 2
E) 4
yı parabol denkleminde yerine yazıp a değerini bulalım.
y = a(x + 3)(x + 2)
6 = a(0 + 3)(0 + 2)
6 = 6a ⇒ a = 1 olur.
O halde parabol denklemi,
Not
f(x) = (x + 3)(x + 2) dir.
DNA 31 ve DNA 31’in 2. Genetik Kopya’sının çözümünü
Buradan,
f(–5) = (– 5 + 3)(– 5 + 2)
f(–5) = (–2)(–3)
f(–5) = 6
aşağıdaki IŞIK’ı kullanarak çözünüz.
Işık 5
bulunur.
(i)
x eksenini x1 ve x2 noktalarında kesen bir f(x) parabolü için,
Doğru Seçenek E
f(x1 + k) = f(x2 – k)
dır.
(ii) Tepe noktasının apsisi r olan bir f(x) parabolü
için,
Yandaki grafikte y eksenini 3
noktasında, x eksenini 1 ve 3
f(r – k) = f(r + k)
dır.
�
noktasında kesen f(x) parabo-
�
lü verilmiştir.
�
�
Buna göre, f(–1) kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 4
D) –4
E) –6
�
��
��
�
�
��
�
��
10. SINIF MATEMATİK
�
251
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ
DNA 32
DURUMU
Bir parabol eğrisi ile bir doğru düzlemde üç faklı durumda
y = x + 2 doğrusu ve y = x2 + 3x + n parabolü iki
bulunabilir.
farklı noktada kesiştiğine göre, n nin en büyük tam
•
sayı değeri kaçtır?
Parabol ile doğru iki noktada kesişebilir. Bu durumda
aşağıdaki grafiğe benzer bir grafikle karşılaşırız.
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
Çözüm
Denklemleri eşitleyelim.
•
Doğru parabole teğet olabilir. Bu durumda aşağıdaki
x2 + 3x + n = x + 2
grafiğe benzer bir grafikle karşılaşırız.
x2 + 2x + n – 2 = 0
Parabol ve doğru iki farklı noktada kesiştiğine göre elde
ettiğimiz ikinci dereceden denklem için D > 0 olmalıdır.
D = b2 – 4ac = 22 – 4 ⋅ 1 ⋅ (n – 2) > 0
•
Parabol ve doğru kesişmezler. Bu durumda da aşağıdaki grafiğe benzer bir grafikle karşılaşırız.
4 – 4n + 8 > 0
4n < 12
n<3
olduğundan n nin en büyük tam sayı değeri 2 olur.
Doğru Seçenek D
Bu üç duruma bağlı olarak, aşağıdaki Hazine’yi verebi
liriz.
Hazine 12
a ≠ 0 ve a, b, c, m, n ∈ R olmak üzere
y = 2x + n
doğrusu y = x2 + 5x + 2 parabolüne teğet olduğuna
göre, n kaçtır?
A) −
1
2
y = 2x + n
B) −
1
4
C) 0
D)
1
4
E)
1
2
y = ax2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrusunun
düzlemdeki durumları incelenirken denklemler ortak
çözülür. Denklemler birbirine eşitlenip elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantına bakılarak parabol ile doğrunun durumları bulunur.
Elde edilen denklemde,
doğrusu ile y = x2 – 2x parabolü kesişmediğine göre,
•
D > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.
m nin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
•
D = 0 ise parabol ile doğru birbirine teğettir.
gisidir?
•
D < 0 ise parabol ile doğru kesişmezler.
252
10. SINIF MATEMATİK
A) (4, ∞)
B) (–4, ∞)
D) (–∞, 4)
C) (–∞,2 )
E) (–∞, –4)
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
O halde parabolün denklemi,
Işık 6
y= (x – 1)2 – 1 olur.
y = ax2 + bx + c
parabolü ile y = mx + n doğrusunun (eğer varsa) kesişim noktalarının apsisleri,
y = (x – 1)2 – 1 ve y = 4x denklemlerini ortak çözelim.
(x – 1)2 – 1 = 4x
ax2 + bx + c = mx + n
x2 – 2x + 1 – 1 = 4x
denkleminin kökleridir.
DNA 33
x2 – 6x = 0
x(x – 6) = 0
x = 0 veya x = 6 olduğundan parabol ve doğru apsisi 0 ve
Tepe noktasının koor-
6 olan iki noktada kesişiyor demektir. Orijinde kesiştiğini
dinatları T(1, –1) olan
zaten biliyoruz. O halde A noktasının apsisi 6 dır. Ordina-
f(x) parabolü orijin ve
A noktalarında y = 4x
doğrusu ile kesişmek-
tını bulmak için parabol veya doğru denklemlerinin birinde
x yerine 6 yazmak yeterli olacaktır.
tedir.
Doğru denklemini tercih edelim.
y = 4x ise y = 4 ⋅ 6 = 24 olur.
Buna göre, A noktasının ordinatı kaçtır?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 28
Buna göre, A noktasının ordinatı 24 tür.
Doğru Seçenek D
Çözüm
A noktası, y = 4x doğrusu ve f(x) parabolünün kesişim
noktalarından biri olduğundan ortak çözüm yaptığımızda
A noktasına ait koordinatları bulabiliriz. O halde önce f(x)
parabolünün denklemini elde etmeliyiz. Tepe noktasının
koordinatları bilinen parabol denkleminin,
x = 1 noktasında x ekseni-
y = a(x – r)2 + k
ne teğet olan ve y eksenini
biçiminde olacağını biliyoruz.
–2 noktasında kesen f(x)
T(1, –1) noktasını denklemde yerine yazalım.
parabolü y = x + n doğrusu
ile A ve B noktalarında ke-
y = a(x – 1)2 – 1
sişmektedir.
a yı bulabilmek için parabolün geçtiği O (0, 0) noktasını
denklemde yerine yazalım.
y = a(x – 1)2 – 1
0 = a (0 – 1)2 – 1 ise a = 1 olur.
Buna göre, A noktasının ordinatı kaçtır?
A) −
1
4
B) −
1
2
C) –1
D) −
4
3
10. SINIF MATEMATİK
E) −
5
3
253
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Tepe noktasının koordinatları T(1, 4) olan ve
y eksenini 3 noktasında kesen f(x) parabolü
y = x + n doğrusu ile A

ve B noktalarında ke-
Alan(OBA ) =
sişmektedir.
| OB | ⋅ | AB | 4 ⋅ 2
=
= 4 birim kare
2
2
dir.
Doğru Seçenek A
Buna göre, A ve B noktalarının apsislerinin toplamı
kaçtır?
B) −
A) –1
1
2
C)
1
4
D)
1
2
E) 1
Şekilde y = – x2 parabolü ve bu parabol ile O ve
DNA 34
A noktalarında kesişen
y = –2x doğrusunun grafiği çizilmiştir.
Şekilde y = x2 parabolü ve bu parabol ile A
ve O noktalarında kesişen y = 2x doğrusunun grafiği çizilmiştir.
Buna göre, OCAB dikdörtgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 24
Buna göre, OBA dik üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 16
Çözüm
Şekilde tepe noktası B
olan y = 2x – x2 – 1 pa-
y = x2 ve y = 2x denklemlerinin ortak çözümlerini bulalım.
rabolü ve bu parabol ile A
x2 = 2x ise x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 veya x – 2 = 0
x = 0 veya x = 2 olur.
ve B noktalarında kesişen
y = – 2x + n doğrusunun
grafiği çizilmiştir.
Buna göre parabol ve doğru apsisi 0 ve 2 olan iki noktada
kesişiyor demektir. Orijinde kesiştiklerini ve bu noktanın
apsisinin sıfır olduğunu zaten biliyoruz. O halde, A noktasının apsisi 2 dir. Ordinatını bulmak için y = 2x denkleminde
x = 2 yazalım. y = 2x ise y = 2 ⋅ 2 = 4 olur. A noktasının
koordinatları A(2, 4) olur.
254
10. SINIF MATEMATİK
A noktasının y ekseni üzerindeki dik izdüşümü D noktası olduğuna göre, CDA dik üçgeninin alanı kaç birim
karedir?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Işık 7
y = ax2 + bx+ c parabolüne başlangıç noktasından çi-
y = x2 – 5x + a – 1
parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğetler bir-
zilen teğetler birbirine dik ise,
birine dik olduğuna göre, a kaçtır?
ax2 + bx + c = 0
A) –7
denklemi için
B) –3
C) 1
D) 7
15
2
E)
D = –1
dir.
Bu IŞIK’ı ispatlama işini size bırakıyoruz.
y = ax2 – 3x + a+ 1
parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin
DNA 35
toplamı kaçtır?
A) –2
y = x2 – ax + 3
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre, a aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
3 B)
D)
11 5 C)
E)
7
13
İKİ PARABOLÜN BİRBİRİNE GÖRE
DURUMLARI
Hazine Avı
Bir parabol ile bir doğrunun düzlemdeki durumları gibi, iki
Çözüm
parabol de düzlemde üç farklı durumda bulunabilir.
Başlangıç noktasından çizilen teğetler dik olduğundan
a1 ≠ 0, a2 ≠ 0 ve a1, a2, b1, b2 c1, c2 ∈ R olmak üzere
y = a1 x2 + b1x + c1,
x2 – ax + 3 = 0 denklemi için D = – 1 dir.
ve
D = a2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = – 1
y = a2x2 + b2x + c2
a2
– 12 = – 1
parabollerinin düzlemdeki durumları incelenirken denklemler birbirine eşitlenir. Elde edilen ikinci dereceden
a2 = 11
a = 11 veya a = − 11 dir.
denklemin diskriminantına bakılarak parabollerin durumu
bulunur. Ortaya çıkan denklemin kaç farklı gerçek kökü
varsa paraboller o kadar farklı noktada kesişirler. Kesişim
noktası her iki geometrik şeklin üzerinde olduğundan, iki
Doğru Seçenek D
parabolün de denklemini sağlamalıdır. Bu nedenle eşitlenen denklemlerden elde edilen kök ya da kökler zaten her
iki denklemin de köküdür.
10. SINIF MATEMATİK
255
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
Denklemleri eşitleyelim:
a1 x2 + b1x + c1 = a2x2 + b2x + c2
(a1 – a2)x2 + (b1 – b2)x + c1 – c2 = 0
Bu denklemin kökü ya da kökleri, parabollerin kesişim
noktalarının apsisleridir.
x = 0 için y = x2 = 02 = 0 ve
Işık 8
x = 2 için y = x2 = 22 = 4 olur.
y = f(x) ve y = g(x) parabolleri verilmiş olsun.
O halde kesiştikleri noktaların koordinatları A(0, 0) ve
B(2, 4) tür. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,
f(x) – g(x) = 0
| AB | = ( x1 − x 2 )2 + ( y1 − y 2 )2
denklemi için;
•
D > 0 ise paraboller iki farklı noktada kesişir.
•
D = 0 ise paraboller teğettir.
•
D < 0 ise paraboller kesişmez.
| AB | = (0 − 2)2 + (0 − 4)2
| AB | = 4 + 16
| AB | = 2 5 birim
DNA 36
bulunur.
Doğru Seçenek D
y = x2
y = –x2 + 4x
parabollerinin ortak kirişinin uzunluğu kaç birimdir?
A) 3
B)
15 D) 2 5 C) 3 2
E) 2 6
Çözüm
Parabollere ait denklemleri eşitleyerek parabollerin kesim
noktalarının apsislerini bulalım.
y = x2 – x – m
y = – x2 + x + m – 2
parabolleri birbirine teğet olduğuna göre, m kaçtır?
A)
3
4
B) 1
C)
5
4
D)
3
2
E) 2
x2 = –x2 + 4x
2x2 – 4x = 0
2x(x – 2) = 0
2x = 0 veya x – 2 = 0
x=0
veya x = 2 olur.
O halde paraboller apsisi 0 ve 2 olan iki noktada kesişiyor. Kesiştikleri noktalara A ve B diyelim. Bu noktaların
ordinatlarını bulmak için parabol denklemlerinin herhangi
birinde x = 0 ve x = 2 yazmamız yeterli olur. y = x2 denklemini kullanalım.
256
10. SINIF MATEMATİK
y = 2x2 + m
parabolünün y = x2 + 4x + 9 parabolüne teğet olduğu
noktanın apsisi n olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 11
D) 13
E) 15
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
4.
TEST - 4
1.
Analitik düzlemde A(2, –1), B(0, 1) ve C(–1, 3)
noktalarından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
1 2 5
x − x + 1
3
3
5
1
B) y = − x 2 + x + 1
3
3
A) y =
1
5
C) y = − x 2 + x + 1 3
3
D) y =
5 2 1
x + x +1
3
3
1
5
E) y = − x 2 − x + 1
3
3
Yukarıdaki grafikteki eksenleri kestiği noktalar
verilen y = f(x) parabolünün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –x2 – 2x – 3
B) y = –x2 – 2x + 3
C) y = –x2 + 2x – 3
D) y = –x2 + 3x – 2
E) y = –x2 – 3x + 2
5.
Tepe noktasının koordinatları T(–1, 1) olan ve
A(0, 2) noktasından geçen parabolün denklemi
2.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x2 – 2x – 2
B) y = x2 – 2x + 2
C) y = x2 + 2x – 2
D) y = x2 + 2x + 2
E) y = –x2 + 2x + 2
Yukarıdaki grafikte verilen y = f(x) parabolünün
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x2 – 25x + 25
B) y = x2 – 25x
C) y = x2 – 5x
D) y = x2 – 4x
6.
E) y = x2 – x
Yukarıdaki grafikte tepe noktasının koordinatları
ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı verilen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
3.
y = ax2 + bx + c
parabolü eksenleri A(1, 0), B(3, 0) ve C(0, 3) noktalarında kestiğine göre, a ⋅ b ⋅ c çarpımı kaçtır?
A) –12
B) –10
C) 0
D) 10
E) 12
A) y = −
x2
+ 2x + 5 2
B) y = −
x2
+x+5
2
C) y = −
x2
+ 2x + 5 4
D) y = −
x2
− 2x + 5
4
E) y = −
x2
+x+5
4
10. SINIF MATEMATİK
257
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
7.
11.
Yandaki grafikye y eksenini 4 noktasında, x ekse-
Tepe noktasının koordinatları
T(–1,
5)
nini –4 ve 2 noktalarında
olan ve y eksenini
kesen f(x) parabolü veril-
3
miştir.
sen f(x) parabolü ile
noktasında
ke-
y = –x + n doğrusu A
ve B noktalarında keBuna göre, f(4) kaçtır?
A) –8
B) –6
sişmektedir.
C) –4
D) –2
E) 0
Buna göre, A ve B noktalarının apsislerinin toplamı kaçtır?
8.
Yandaki
grafikte
noktasının
A) −
tepe
1
4
B) −
1
2
D) −
C) –1
3
2
E) –2
koordinatları
T(1, 3) olan ve y eksenini
5 noktasında kesen f(x)
parabolü verilmiştir.
12.
y = x2 parabolü ile
y = –2x + 3 doğrusu
Buna göre, f(1) + f(–1) toplamı kaçtır?
A) 3
B) 7
C) 9
A ve B noktaların-
D) 11
da kesişmektedir. A
E) 14
noktasının x ekseni
üzerindeki dik izdü-
9.
– 2x – m – 1 parabolü
şümü D, B noktası-
iki farklı noktada kesiştiğine göre, m nin en kü-
nın x ekseni üzerin-
çük tam sayı değeri kaçtır?
deki dik izdüşümü C
y = x + m doğrusu ve y =
A) –2
B) –1
x2
C) 0
D) 1
E) 2
olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç
birim karedir?
A) 20
10.
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
Tepe noktasının
koordinatları
T(–1, –3) olan f(x)
13.
x
parabolü y =
3
doğrusu ile O ve
Yandaki grafikte
f(x) = 2x2 parabolü ve
bu parabol ile A ve
B(2, 8) noktalarında
A noktalarında
kesişen d doğrusu ve-
kesişmektedir.
Buna göre, A noktasının apsisi kaçtır?
A) –2
1.A
258
D) −
2.D
B) −
17
9
13
9
3.A
10. SINIF MATEMATİK
C) −
E) −
4.B
rilmiştir.
5
3
göre, A noktasının ordinatı kaçtır?
4
3
5.D
d doğrusu y eksenini (0, 2) noktasında kestiğine
A)
6.E
7.A
8.E
1
2
B) 1
9.B
C)
10.B
3
2
11.D
D) 2
12.A
E)
5
2
13.A
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
4.
TEST - 5
y = f(x) = –x2 + 2x + 3
�
parabolü y eksenini
1.
A noktasında kes-
Yandaki şekilde
�
�
y = f(x) parabolünün
��
grafiği gösterilmiştir.
�
��
�
�
B) 5
2.
A) 6
C) 6
D) 8
B) 8
5.
parabolü ile x + y = 0
doğrusu A ve B nok-
�
�
talarında kesişmiştir.
�
�
�
�
E) 12
y = x2 – 2
��
grafiği gösterilmiştir.
�
D) 10
�
y = f(x) parabolünün
��
�
C) 9
E) 9
Yandaki şekilde
�
OABC bir dikdörtgen olduğuna göre, Alan(OABC)
kaç birim karedir?
Buna göre, f(1) değeri kaçtır?
A) 4
�
�
�
��
miştir.
�
�
��
Buna göre, y = f(x) parabolü üzerindeki, eksenlere eşit uzaklıkta bulunan noktaların apsislerinin
lamı kaçtır?
toplamı kaçtır?
A) 3
B) 5
3.
C) 7
D) 8
��
A) –2
E) 9
Yandaki şekilde
�
y = f(x) parabolünün
Buna göre, A ve B noktalarının ordinatlarının top-
6.
B) –1
C) 0
D) 1
Yandaki şekilde
�
grafiği gösterilmiştir.
y = 3x2 – 3 ile
��
y = 2 – 2x2 para-
�
��
�
�
�
A) x – 1 = 0
B) x – 2 = 0
D) x + 1 = 0
C) x – 3 = 0
E) x + 2 = 0
�
�
Buna göre, y = f(x) parabolünün simetri ekseninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
bollerinin grafikleri
�
��
E) 2
�
�
gösterilmiştir.
��
Buna göre, ABCD dörtgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
10. SINIF MATEMATİK
E) 10
259
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
7.
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
y = x + 5 doğrusu ile y = x2 + 2x + 3 parabolünün
kesişim noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 2 3 B)
15 D) 3 2 C) 4
11.
y = –x2 + 7
y = 2x2 – 5
parabolleri iki farklı noktada kesişmektedir.
Buna göre, bu noktalar arasındaki uzaklık kaç bi-
E) 2 6
rimdir?
A) 2
B)
5
2
C) 3
D)
12.
8.
Yandaki
ve bu parabol ile A
ve B noktalarında
B) 8
C) 12
D) 16
kesişen d doğrusu
E) 20
verilmiştir.
Buna göre, a kaçtır?
A)
9.
y = 2x2 – mx + 4
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
13.
Yandaki
E)
5
2
grafikte
parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğet-
bir f(x) doğrusu ve
ler birbirine dik olduğuna göre, m aşağıdakiler-
g(x)
den hangisidir?
grafiği verilmiştir.
A) 2 7 B)
31 D) 6
E)
37
Buna göre, gof(2) kaçtır?
A) –3
y = –x2 + x + a
y = –x2 + 2x + m – 2
1.A
260
2.B
3.B
10. SINIF MATEMATİK
4.A
D) 1
5.D
7.D
E) 1
parabolleri birbirine teğet olduğuna göre, a kaç-
A) −
E) 2
6.A
D) 0
tır?
parabolleri birbirine teğet olduğuna göre, m kaçtır?
C) 0
C) –1
y = x2 – 3
y = x2 – 2x – m
B) –1
B) –2
14. 10.
A) –2
parabolünün
C) 4 2
grafikte
f(x) = ax2 parabolü
ğuna göre, m kaçtır?
E) 4
y = 4x – m doğrusu y = x2 parabolüne teğet oldu-
A) 4
7
2
8.A
25
23
B) −
8
8
9.B
10.C
C) −
11.E
11
4
12.C
D)
11
2
13.D
E)
25
8
14.A
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİK
Çözüm
yardımıyla ÇÖZÜMÜ
Eşitsizlik sistemlerinin grafikle çözümüne geçmeden önce
grafiği verilen bir fonksiyonun nerelerde pozitif, nerelerde
Verilen f(x) fonksiyonunun işaretlerini (hangi bölgede po-
negatif ve nerelerde sıfır olduğunu inceleyelim. Örnek ola-
zitif, hangi bölgede negatif olduğunu) belirleyelim. Fonksi-
rak aşağıdaki fonksiyonun grafiğine bakalım.
yonun x eksenini kestiği noktalar fonksiyonun kökleridir.
Bir fonksiyonun grafiğinde, fonksiyonun x
x ekseni üzerinde x in –4 ten küçük (x < –4) olduğu yerler-
eksenini kestiği nok-
de, f(x), x ekseninin üstünde olduğundan pozitiftir.
talar denklemin kökleridir. Çift kat köklerde ise fonksiyon x
eksenine teğet olup
kökün sağında ve solunda işaret aynı kalır. O halde grafiği verilen f(x) in kökleri –5, –1 ve 3 olup 3 değeri çift katlı köktür.
x ekseni üzerinde x in – 5 ten küçük olduğu (x < –5)
yerlerde f(x), x ekseninin üstünde olduğundan pozitiftir.
(f(x) > 0).
x ekseni üzerinde (–5, –1) aralığında f(x), x ekseninin altında olduğundan negatiftir. (f(x) < 0 )
x ekseni üzerinde (–1, 3) aralığında f(x), x ekseninin üze-
x ekseni üzerinde (–4, 2) aralığında f(x), x ekseninin altında olduğundan negatiftir.
x ekseni üzerinde (2, 6) aralığında, f(x), x ekseninin üstünde olduğundan pozitiftir.
x ekseni üzerinde x in 6 dan büyük (x > 6) olduğu yerlerde,
f(x), x ekseninin altında olduğundan negatiftir.
O halde fonksiyonun nerelerde pozitif nerelerde negatif olduğu belirlenmiş oldu. İstenen x ⋅ f(x) olduğundan x in de
rinde olduğundan pozitiftir. (f(x) > 0 )
işareti belirlenmeli. x in kökü sıfır olduğundan, sayı doğru-
x ekseni üzerinde x > 3 olduğu bölgede f(x), x ekseninin
sunda sıfırın sağında pozitif, solunda negatif değerler alır.
üstünde olduğundan pozitiftir. (f(x) > 0)
Şimdi işaret tablosu yapalım.
–5, –1 ve 3 değerleri için fonksiyon sıfır değerini alır. İşaret tablosunu da yapalım.
x
f(x)
–∞
–5
+
–1
–
∞
3
+
+
DNA 37
x
–∞
–4
0
2
∞
6
f(x)
+
–
–
+
–
x
–
–
+
+
+
x ⋅ f(x)
–
+
–
+
–
x ⋅ f(x) > 0 olduğu yerler (–4, 0) ∪ (2, 6) aralığı olup bu
aralıkta –3, –2, –1, 3 ,4 ve 5 tam sayı değerlerini alır.
Bu sayıların toplamı
(–3) + (–2) + (–1) + 3 + 4 + 5 = 6
Yukarıda verilen f(x) fonksiyonunun grafiğine göre
x ⋅ f(x) > 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının
toplamı kaçtır?
A) –5
B) –3
C) 3
D) 6
bulunur.
Doğru Seçenek D
E) 9
10. SINIF MATEMATİK
261
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
DNA 38
x – 3y + 6 ≤ 0
eşitsizliğini sağlayan noktalar kümesinin analitik
düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıda verilen f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
(x 2 − 1) ⋅ f(x)
≥0
x−4
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı vardır?
B) 6
A) 8
C) 4
D) 3
E) 1
Çözüm
Öncelikle x – 3y + 6 = 0 doğrusunun grafiğini çizelim. Bir
doğrunun grafiğini çizebilmek için iki nokta yeterlidir. Bu iki
noktayı bulurken kolaylık olması için x = 0 için y değerini
ve y = 0 için x değerini bulalım.
x = 0 için,
Yukarıda verilen f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
x ⋅ (x 6 + 5) ⋅ f(x)
2
x −4
y = 0 için,
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaç-
tır?
B) –13
262
10. SINIF MATEMATİK
y = 2 dir.
O halde noktalardan biri (0, 2) dir.
≤0
A) –15
x – 3y + 6 = 0 ise –3y = – 6
C) –12
D) –8
E) –3
x – 3y + 6 = 0 ise x + 6 = 0 dır.
x = – 6 dır.
O halde diğer nokta (–6, 0) dır.
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
Şimdi doğrunun grafiği çizelim.
x – 2y – 4 ≥ 0
eşitsizliğini sağlayan noktalar kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
Grafiği çizdikten sonra, doğru üzerinde olmayan herhangi
bir nokta eşitsizlikte yerine yazılır. Eğer eşitsizlik sağlanırsa noktayı aldığımız bölge, sağlanmazsa diğer bölge aranan noktalar kümesidir. Doğrunun altında yer alan O(0, 0)
noktasını eşitsizlikte yerine yazalım:
x – 3y + 6 ≤ 0
0 – 3⋅ 0 + 6 ≤ 0
6 ≤ 0 (yanlış)
Eşitsizlik sağlanmadığından O(0, 0) noktasının yer aldığı
doğrunun altındaki bölge değil, doğrunun üstü aradığımız
bölgedir. Eğer eşitsizlik x – 3y + 6 < 0 olarak verilmiş olsaydı doğruyu – – – – – biçiminde kesikli çizilecektik.
x–y–1>0
eşitsizliğini sağlayan noktalar kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Seçenek B
10. SINIF MATEMATİK
263
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
DNA 39
3y – x + 6 < 0
x+y–3≤ 0
eşitsizlik sistemini sağlayan noktalar kümesinin
analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden
3y – x + 6 < 0 eşitsizliğinde eşitlik olmadığından doğrunun
hangisidir?
kendisi çözüm kümesine dahil değildir. Dolayısıyla doğru
kesikli çizgilerle gösterilir. Hangi bölgeyi tarayacağımızı
bulmak için O(0, 0) noktasını eşitsizlikte yerine yazalım.
3y – x + 6 < 0
3⋅0–0+6<0
6<0
Eşitsizliği sağlamadığından O(0, 0) noktasının olduğu bölge değil, diğer bölge aradığımız bölgedir.
d2 doğrusunu çizip aranan bölgeyi bulalım.
x + y – 3 ≤ 0 eşitsizliğinde eşitlik olduğundan doğrunun
kendisi çözüm kümesine dahildir. Dolayısıyla doğru kesintisiz çizgiyle çizilir. Hangi bölgeyi tarayacağımızı bulmak
için O(0, 0) noktasını eşitsizlikte yerine yazalım.
Çözüm
x+y–3≤0
0+0–3≤0
d1 : 3y – x + 6 = 0 ve d2 : x + y – 3 = 0 doğrularının grafik-
–3 ≤ 0
lerini çizelim.
d1 doğrusu,
x = 0 için y = –2 ve y = 0 için x = 6 dır.
Yani d1 doğrusu (0, –2) ve (6, 0) noktalarından geçer.
d2 doğrusu,
x = 0 için y = 3 ve y = 0 için x = 3 tür.
Yani d2 doğrusu (0, 3) ve (3, 0) noktalarından geçer.
d1 doğrusunu çizip aranan bölgeyi bulalım.
264
10. SINIF MATEMATİK
Eşitsizlik sağlandığından O(0, 0) noktasının bulunduğu
bölge aradığımız bölgedir.
İki eşitsizliği aynı analitik düzlemde gösterelim.
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İki eşitsizliğin aynı anda sağlandığı bölge aşağıdaki gibi
Not
olur.
İkinci dereceden bir eşitsizliğin analitik düzlemde gösterilmesi istendiğinde, yine çözüm birinci dereceden eşitsizlik
gösterimine benzer biçimde yapılır.
Bunu DNA 40 ile gösterelim.
Doğru Seçenek D
DNA 40
y > x2 – 2x – 3
eşitsizliğini sağlayan noktalar kümesinin analitik
düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
y–x+3>0
y–x–3<0
eşitsizlik sistemini sağlayan noktalar kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
y = x2 – 2x – 3 parabolünü çizelim.
Tepe noktasının koordinatları,
r=−
b
−2
=−
=1
2a
2
k = f(r) = f(1) = 12 – 2 – 3 = –4
olduğundan T(1, – 4) tür.
10. SINIF MATEMATİK
265
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
x eksenini kestiği noktalar,
x2 – 2x – 3 = 0 ise (x – 3)(x + 1) = 0
x – 3 = 0 veya
x+1=0
x=3
x=–1
veya
olduğundan x eksenini kestiği noktalar (3, 0) ve (–1, 0) dır.
Yukarıda verilen taralı bölge aşağıdaki eşitsizliklerden
y eksenini kestiği nokta,
hangisi ile ifade edilir?
y = f(0) = 02 – 2 ⋅ 0 – 3 ise y = – 3
olduğundan y eksenini kestiği nokta (0, –3) olur.
A) y < –x2 – 2x – 8
B) y < –x2 + 2x – 8
C) y < –x2 – 2x + 8
D) y > x2 + 2x + 8
E) y > x2 + 2x – 8
y>
x2
– 2x – 3 eşitsizliğinde eşitlik olmadığından parabol
kesikli çizilmelidir.
Parabolün hangi bölgesinin istediğimiz bölge olduğunu
belirleyebilmek için O(0, 0) noktasını eşitsizlikte yerine
yazalım.
y > x2 – 2x – 3
0 > 02 – 2 ⋅ 0 – 3
0>–3
Eşitsizlik sağlandığından O(0, 0) noktasının bulunduğu
bölge aradığımız bölgedir. O halde eşitsizliğin görüntü kümesi aşağıdaki gibi olur.
Yukarıda verilen taralı bölge aşağıdaki eşitsizliklerden
hangisi ile ifade edilir?
A) y < x2 – 2x – 3
B) y < x2 + 2x – 3
C) y > x2 – 2x – 3
D) y > x2 + 2x – 3
E) y ≤ x2 – 3x + 2
Doğru Seçenek A
266
10. SINIF MATEMATİK
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
3.
TEST - 6
Şekilde
verilen
taralı
bölge aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi ile
ifade edilir?
1.
A) y < –x2 – 2x + 8
B) y < –x2 + 2x + 8
C) y < –x2 + 2x– 8
D) y > – x2 – 2x + 8
E) y > – x2 + 2x – 8
Yukarıda verilen f(x) fonksiyonunun grafiğine
göre, (x2 – 1) ⋅ f(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan en
büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam
4.
Şekilde verilen taralı
bölge aşağıdaki eşit-
sayının toplamı kaçtır?
A) –5
B) –2
C) –1
2.
x – 2y + 6 > 0
x–y+1<0
sizliklerden hangisi ile
D) 0
ifade edilir?
E) 1
eşitsizlik sistemini sağlayan noktalar kümesinin
analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden
A) y ≥ – x2 + 2x – 1
B) y > – x2 + 2x – 1
C) y > – x2 + 2x + 1
D) y ≤ – x2 + 2x – 1
E) y ≤ – x2 – 2x + 1
hangisidir?
5.
Yandaki grafikte A ve
B noktalarında kesişen
d doğrusu ve f(x) parabolü çizilmiştir.
Buna göre, taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin hangisi ile ifade edilir?
A) y ≤ – x2 + 4x – 6
y > –2x + 6
C) y ≤ – 2x2 + 4x + 6
y > –2x + 6
E) y ≤ –
B) y ≤ – 2x2 + 4x – 6
y > –x + 6
D) y ≤ – 2x2 – 4x + 6
y > 2x – 6
2x2
– 4x – 6
y > 2x + 6
10. SINIF MATEMATİK
267
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar - Bölüm 05
6.
Yandaki
8.
grafikte
eksenler üzerinde
kesişen d doğrusu
ve
f(x)
parabolü
verilmiştir.
Buna göre, taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik sis-
temlerinden hangisi ile ifade edilir?
sistemlerinden hangisi ile ifade edilir?
A) y ≤ x2 – x – 6 B) y ≤ x2 – x + 6 C) y ≤ x2 – x – 6
y ≥ 2x – 6
y ≥ 2x – 6
y ≤ 2x – 6
D) y ≤ x2 – x + 6
E) y ≥ x2 – x – 6
y ≥ 2x – 6
y ≥ 2x – 6
Yukarıda verilen taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik
A) y > x2 – 2x – 3
y <2−
B) y > x2 + 2x – 3
2
x 3
y < 6 – 3x
C) y < x2 – 2x – 3
y >3−
D) y < x2 + 2x – 3
3
x 2
y > 6 – 3x
E) y > x2 – 2x – 3
y < 6 – 2x
7.
Yandaki
grafikte
y = f(x) ve y = g(x)
fonksiyonlarının gra-
9.
fikleri çizilmiştir.
sistemlerinden hangisi ile ifade edilir?
Buna göre, taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinden hangisi ile ifade edilir?
A) y ≤ – x2 – 3x + 4 y≥
C) y ≤ –
x2
B) y ≤ – x2 + 3x – 4
y≥
+ x – 6
x2
D) y ≤ –
+ x + 6
y ≥ x2 + 3x – 4
y≥
1.D
268
10. SINIF MATEMATİK
–x–6
x2
x2
x2
A) y ≤ –x2 – 2x + 8 B) y < –x2 + 2x + 8
y≤ x+2
y < – x + 2
C) y < –x2 – 2x + 8 D) y < –x2 + 2x – 8
+x–6
y ≤ x – 2 y ≥ x2 – 3x + 4
E) y ≤ –
x2
Yukarıda verilen taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik
y≤x+2
E) y < –x2 – 2x – 8
– 3x – 4
y≤x–2
+x–6
2.E
3.A
4.D
5.C
6.E
7.A
8.A
9.B
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON
BİNOM - BÖLÜM 06
PERMÜTASYON
DNA 1
GİRİŞ
“Sayma” insanoğlunun temel becerilerinden biridir. Her ne
A şehrinden B şehrine 4 farklı karayolu ve 2 farklı de-
kadar, çok küçük yaşlarımızdan itibaren nesneleri saya-
miryolu ile gidilmektedir.
biliyor olsak da, bazen “sayma” işi çok zor olabilir. Örneğin, “10 kişiden 3 ü bir sıraya yanyana kaç farklı şekilde
dizilebilir?” sorusunu, olası tüm durumları tek tek sayarak
cevaplamak çok zahmetli ve sıkıcı bir iştir.
Buna göre, A şehrinden B şehrine kaç farklı yolla
gidilebilir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 16
Bu kısımda çabuk, hatasız ve sistematik olarak nasıl sa-
Çözüm
yabileceğimizi öğreneceğiz. Bunun için önce sayma yöntemlerini verip, sonra permütasyon kavramını tanımlayacağız.
Aynı anda hem karadan hem de havadan gitmek mümkün
SAYMA YÖNTEMLERİ
melerdir. O halde A şehrinden B şehrine
olmadığı için karadan ve havadan gidilen yollar ayrık kü-
2+4=6
1. Birebir eşleme yolu ile sayma yöntemi:
Bir sınıftaki öğrenci sayısının, bir kalem kutusundaki ka-
farklı yolla gidilebilir.
lem sayısının, bir kitaptaki sayfa sayısının belirlenmesi
Doğru Seçenek C
için söz konusu elemanları sayma sayıları ile birebir eşleriz. Örneğin, kitabın ilk sayfasına 1, ikinci sayfasına 2, .....
gibi isim vererek o kitapta kaç sayfa olduğunu bulabiliriz.
O halde, sayılmak istenen nesneleri sayma sayıları kümesinin elemanları olan N+ = {1, 2, 3, ....} ile eşleyerek
yapılan işleme birebir eşleme yoluyla sayma yöntemi
denir.
A ülkesinden B ülkesine 3 farklı karayolu, 3 farklı demiryolu ve 2 farklı havayolu ile gidilebilmektedir.
2. Toplama yolu ile sayma yöntemi:
Buna göre, A ülkesinden B ülkesine kaç farklı yolla
A ve B sonlu ve ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birle-
gidilebilir?
şiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının top-
A) 6
B) 8
C) 9
D) 18
E) 72
lamına eşittir. Yani,
s(A∪B) = s(A) + s(B)
dir.
O halde, ayrık iki işlemden birincisi m farklı şekilde, ikincisi
n farklı şekilde gerçekleşiyor ise bu işlemlerden biri ya da
diğeri m + n farklı şekilde gerçekleşir.
2 armut, 3 muz ve 5 portakal bulunan sepetten 1 çeşit
meyve seçmek isteyen bir çocuğun kaç farklı seçene-
Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını bu
ği vardır?
yolla bulmaya toplama yoluyla sayma yöntemi denir.
A) 10
B) 8
C) 7
D) 4
10. SINIF MATEMATİK
E) 3
269
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DNA 2
DNA 3
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak
Bir torbada 5 beyaz, 4 kırmızı bilye vardır.
Torbadan bir beyaz ya da bir kırmızı bilye kaç değişik yolla alınabilir?
A) 20
B) 10
oluşturulmak istenen rakamları tekrarsız, dört basamaklı bir sayının yüzler basamağına kaç farklı
rakam yazılabilir?
C) 9
D) 7
E) 2
A) 5
Çözüm
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Çözüm
5 bilye arasından bir beyaz bilye 5 yolla, 4 kırmızı bilye
arasından bir kırmızı bilye 4 yolla alınabilir.
Dört basamaklı sayımız için her bir basamak bir kutuya
gelecek şekilde dört kutu çizelim.
O halde torbadan bir beyaz veya bir kırmızı bilye
binler
yüzler
basamağı basamağı
5+4=9
birler
onlar
basamağı basamağı
Yüzler basamağında A kümesinin elemanlarının her biri
yolla alınabilir.
gelebilir. O halde A kümesinin eleman sayısı, aynı zamanDoğru Seçenek C
da yüzler basamağına kaç farklı rakam geleceğini de gösterir. Buna göre s(A) = 5 olur.
Doğru Seçenek A
4 pantolonu ve 3 ceketi olan Taner, bir pantolonu ya
da bir ceketi kaç değişik yolla seçebilir?
A) 2
B) 5
C) 6
D) 7
E) 12
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak
oluşturulmak istenen rakamları tekrarsız, üç basamaklı bir sayının yüzler basamağına kaç farklı rakam
gelebilir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
5 farklı matematik, 2 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı bir rafa
4 farklı gri, 5 farklı siyah ve 2 farklı beyaz çorabı olan
sıralanacaktır.
bir kişi, giydiği çorabı bir daha giymemek koşuluyla
Tüm farklı sıralanışlar için, rafın sol baştan ikinci sırası-
arka arkaya en fazla kaç gün çorap giyebilir?
na gelebilecek kaç farklı kitap vardır?
A) 3
270
B) 8
10. SINIF MATEMATİK
C) 11
D) 20
E) 40
A) 3
B) 7
C) 8
D) 10
E) 30
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
3. Çarpma yolu ile sayma yöntemi:
Çözüm
A ve B sonlu ve boş kümeden farklı kümeler olsun. A ve B
A
Y1
C
B
Y2
X3
kümelerinden sırayla birer eleman seçerek oluşturulabilecek bütün sıralı ikililerin sayısı
X1
X2
I.
A’dan B’ye gitmek için 3 farklı, B’den C’ye gitmek
için 2 farklı yol olduğundan A’dan C’ye gitmek için
s(A x B) = s(A) ⋅ s(B)
3 ⋅ 2 = 6 farklı yol vardır. Bu yolların ne olduğunu
dır.
bulalım.
O halde, iki işlemden birincisi m farklı şekilde gerçekleştikten sonra, ikinci işlem n farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa, birinci ve ikinci işlem ardışık olarak m ⋅ n farklı şekilde
gerçekleşebilir.
A’dan B’ye X1 yolunu tercih ederse C’ye ulaşmak için X1Y1
ya da X1Y2 yolunu seçebilir.
A’dan B’ye X2 yolunu tercih ederse C’ye ulaşmak için X2Y1
ya da X2Y2 yolunu seçebilir.
A’dan B’ye X3 yolunu tercih ederse C’ye ulaşmak için X3Y1
Sıralı iki işlemi bu yolla saymaya çarpma yoluyla sayma
ya da X3Y2 yolunu seçebilir.
yöntemi denir.
O halde,
X1Y2, X1Y2, X2Y1, X2Y2, X3Y1, X3Y2
olmak üzere 6 farklı şekilde gidilebilir.
II.
A’dan B’ye 3 farklı, B’den C’ye 2 farklı, C’den B’ye 2
farklı B’den A’ya 3 farklı yol olduğundan
DNA 4
3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 36
A şehrinden B şehrine 3 farklı, B şehrinden C şeh-
farklı şekilde gidilip dönülebilir.
rine 2 farklı yolla gidilebilmektedir. A şehrinden C
III. A’dan B’ye 3 farklı, B’den C’ye 2 farklı yolla gidilebi-
şehrine gitmek isteyen biri için aşağıdaki soruların
lir. Gittiği yolu dönüşte kullanamayacağı için C’den
yanıtları hangi seçenekte verilmiştir?
B’ye 1 farklı, B’den A’ya 2 farklı yolla dönebilir. Buna
göre
I. A şehrinden C şehrine kaç farklı şekilde gidilebilir?
II. A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidilip dönülebilir?
3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 12
farklı yoldan gidilip dönülebilir.
Doğru Seçenek B
III.A şehrinden C şehrine, gidilen yolların dönüşte kullanılmaması şartıyla kaç farklı şekilde gidilip dönülebilir?
I
II
III
A) 6
36
36
B) 6
36
12
C) 6
12
36
D) 6
12
12
E) 12
36
36
A şehrinden B şehrine 2 farklı, B şehrinden C şehrine 3
farklı yolla gidilebilmektedir.
Buna göre, A şehrinden C şehrine gidilen yollar dönüşte kullanılmamak üzere kaç farkı yoldan gidilip
dönülebilir?
A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
10. SINIF MATEMATİK
E) 36
271
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
A kentinden B kentine 5 farklı yol ve B kentinden C kenti-
3 farklı gömleği, 4 farklı pantolonu ve 2 farklı ceketi
ne 4 farklı yol vardır.
olan Ozan her gün gömlek, pantolon ve ceket giyme
Buna göre, A kentinden C kentine gidilen yoldan aynen dönmemek şartı ile kaç farklı yoldan gidilip dö-
koşuluyla ard arda kaç gün farklı giyinebilir?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 32
E) 48
nülebilir?
B) 380
A) 360
C) 400
D) 420
E) 440
DNA 5
Onur’un 4 farklı pantolonu ve 3 farklı gömleği vardır.
Buna göre Onur 1 pantolun ve 1 gömleği kaç farklı
sası vardır.
Bir monitör ve bir bilgisayar kasası alacak biri için kaç
şekilde seçebilir?
A) 6
Bir bilgisayar satıcısında 9 tip monitör ve 6 tip bilgisayar ka-
B) 7
C) 12
E) 34
D) 24
tane monitör - bilgisayar kasası seçeneği vardır?
A) 2
B) 9
D) 54
C) 27
E) 108
Çözüm
Aslında sorunun DNA 4’te çözdüğümüz sorudan bir farkı
yok, ancak ağaç diyagramını görebilmek için güzel bir örnek. Onur’un pantolon ve gömleklerini numaralandıralım.
DNA 6
Pantolonlar P1, P2, P3, P4, gömlekler G1, G2, G3 olsun.
G1
G1
P1
P3
G2
5 yüzücünün katıldığı bir yüzme yarışmasında birin-
G3
G3
ciye altın, ikinciye gümüş, üçüncüye bronz madalya
G1
G1
G2
G2
P2
P4
G3
verilecektir.
G2
Buna göre madalyalar kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
G3
A) 3
B) 15
C) 30
D) 60
E) 120
Görüldüğü gibi P1’i seçerse gömlek için 3 seçeneği, P2’yi
seçerse gömlek için 3 seçeneği, P3’ü seçerse gömlek için
3 seçeneği, P4’ü seçerse gömlek için 3 seçeneği olur.
Çözüm
Buna göre toplam 3 + 3 + 3 + 3 = 12 seçeneği vardır.
Çarpma yolu ile sayma yöntemiyle sonuca hemen ulaşalım.
Onur 4 pantolon ve 3 gömlek içinden 1 pantolon ve 1
gömleği 4 ⋅ 3 = 12 farklı şekilde seçebilir.
Doğru Seçenek C
272
10. SINIF MATEMATİK
Bu soruda ileride de çok sık kullanacağımız kutu yönteminden bahsedeceğiz. Toplam üç madalya dağıtıldığından her madalya için bir kutu çizelim.
5.
4.
3.
Altın
madalya
Gümüş
madalya
Bronz
madalya
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
Yarışmaya 5 yüzücü katıldığına göre altın madalyayı 5 ki-
Çözüm
şiden biri alacak demektir. Yani altın için 5 seçenek var.
Altın madalya verildiğinden, gümüş madalya için 4 seçenek var. Benzer şekilde gümüş madalyayı da verdiğimizden bronz madalya için 3 seçeneğimiz kalıyor. O halde bu
Sınava 4 kişi katıldığına göre katılanların her biri için bir
kutu çizelim.
madalyalar,
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60
farklı şekilde dağıtılabilir.
2
2
2
2
1. kişi
2. kişi
3. kişi
4. kişi
Katılanların her biri için sınav 2 şekilde sonuçlanabilir. BaDoğru Seçenek D
şarılı olurlar ya da başarısız olurlar.
O halde bu sınav başarı yönünden
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16
farklı şekilde sonuçlanabilir.
Doğru Seçenek C
7 kişilik bir gruptan bir başkan, bir başkan yardımcısı
ve bir genel sekreter kaç farklı şekilde seçilir?
A) 30
B) 42
C) 105
D) 144
E) 210
Her gün tişört giyen bir öğrencinin 5 farklı tişörtü vardır.
Ard arda iki gün aynı tişörtü giymeyen bu öğrenci hafta içi kaç farklı şekilde tişört giyebilir?
Bir rafta bulunan 5 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3
farklı kimya kitabı arasından bir matematik, bir fizik ve
A) 45
B) 5 ⋅ 44
C) 54
D) 4 ⋅ 54
E) 5 ⋅ 54
bir kimya kitabı kaç farklı şekilde seçilebilr?
A) 3
B) 15
C) 30
D) 60
E) 120
DNA 7
4 kişinin katıldığı bir sınavın sonucu “başarılı” ya da
10 soruluk bir sınavda her sorunun dört yanlış ve bir doğru
“başarısız” olarak değerlendirilmektedir.
olmak üzere 5 seçeneği vardır.
Buna göre, bu sınav kaç farklı şekilde değerlen-
Bu sınavın cevap anahtarı hazırlanırken, ard arda ge-
dirilebilir?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64
len iki sorunun doğru cevabı aynı seçenek olmayacak
biçimde kaç farklı cevap anahtarı hazırlanabilir?
A) 105
B) 511
C) 510
D) 4 ⋅ 510 E) 5 ⋅ 49
10. SINIF MATEMATİK
273
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DNA 8
4 mektup 5 farklı posta kutusundan postalanacaktır.
Her mektup farklı posta kutusundan postalanacağına göre, postalama işlemi kaç farklı şekilde ger-
3 elemanlı bir kümeden 7 elemanlı bir kümeye kaç
farklı fonksiyon tanımlanabilir?
B) 3 ⋅ 72
A) 21
C) 7 ⋅ 33
D) 73
E) 37
çekleştirilebilir?
A) 24
B) 30
C) 60
D) 90
E) 120
Çözüm
4 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı bir kümeye kaç
4 mektup postalayacağımıza göre hemen 4 kutu çizelim.
5
4
3
2
farklı birebir fonksiyon tanımlanabilir?
A) 45
C) 120
B) 54
D) 24
E) 20
1. mektup 2. mektup 3. mektup 4. mektup
1. mektup 5 farklı kutudan birine, 2. mektup geriye kalan
4 farklı kutudan birine, 3. mektup geriye kalan 3 farklı kutudan birine, 4 . mektup ise kalan 2 farklı kutudan birine
DNA 9
atılabilir.
Buna göre postalama işlemi,
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 120
A = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere
A kümesinin elemanları kullanılarak,
farklı şekilde gerçekleşebilir.
Doğru Seçenek E
I.
Üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
II.
Üç basamaklı, rakamları birbirinden farklı kaç
sayı yazılabilir?
III. Üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
Uyarı
Eğer her mektubu farklı kutudan postalama şartı yok-
IV. Üç basamaklı, rakamları birbirinden farklı kaç çift
sayı yazılabilir?
V.
Üç basamaklı, rakamları birbirinden farklı, 300
den büyük kaç çift sayı yazılabilir?
sa, yani soru “ 4 mektup 5 farklı posta kutusundan kaç
farklı şekilde postalanır ” biçiminde sorulsaydı, her
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdaki se-
mektup 5 kutudan herhangi birine konabileceğinden
çeneklerin hangisinde verilmiştir?
postalama işlemi 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 54 farklı şekilde gerçekleşir.
Bu soru karşınıza çok farklı şekillerde de çıkabilir.
Bir kaç örnek,
•
4 kişi 5 farklı asansöre kaç farklı şekilde binebilir?
•
4 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı bir kümeye
kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
274
10. SINIF MATEMATİK
I A) 125
B) II III IV V
60
60
40
18
125
50
60
24
18
C) 125
60
50
24
15
D) 125
60
40
48
15
E) 125
120
24
48
15
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Çözüm
I.
Permütasyon
IV.
3
4
2
{2, 4}
Üç basamak için üç kutu çizelim.
5
5
5
Sayının birler basamağı için {2, 4} kümesinin elemanlarından birini seçmeliyiz. Yani birler basamağı için 2 farklı
Yüzler basamağı için 5, onlar basamağı için 5, birler basa-
seçeneğimiz var. {2, 4} kümesinin elemanlarından birini
mağı için 5 farklı seçeneğimiz vardır.
seçtiğimize göre onlar basamağı için 4 farklı seçeneğimiz,
O halde, üç basamaklı
5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125
yüzler basamağı için 3 farklı seçeneğimiz olur.
O halde üç basamaklı, rakamları farklı
farklı sayı yazabiliriz.
II.
3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24
Üç kutuyu çizelim.
5
farklı çift sayı yazılabilir.
4
3
V.
Yine üç kutumuzu çizelim.
Yüzler basamağı için 5 farklı seçeneğimiz var. Rakamları
birbirinden farklı olacağından onlar basamağı için 4 farklı seçeneğimiz, birler basamağı için 3 farklı seçeneğimiz
{3, 4, 5}
{2, 4}
olacaktır.
Sayı çift olması gerektiğinden son basamağı {2, 4} küme-
O halde, rakamları birbirinden farklı
sinin elemanlarından biri, 300 den büyük olması gerekti-
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60
ğinden yüzler basamağına {3, 4, 5} kümesinin elemanlarından birinin gelmesi gerekir.
farklı sayı yazılabilir.
Son basamak için {2, 4} olmak üzere iki hakkımız var.
III.
Eğer son basamak için 2’yi kullanırsak, ilk basamak için
Uyarı
bir problem yaşanmaz. Ancak 4’ü kullanırsak bu sefer ilk
basamakta 4’ü kullanamayız. Bu nedenle soruyu iki adım-
Kutu yönteminde,
da inceleyeceğiz. Birinde son basamağa sadece 2 raka-
•
mını, diğerinde 4 rakamını yerleştireceğiz.
Kullanılan rakamlar belli şartlar gerektiriyorsa
şartlı kutular öncelikli olarak dikkate alınır.
•
3
3
1
Sorularda “rakamlar tekrarsız” ifadesi kullanılma-
dığı sürece, rakamlar istenen koşula uygun ola-
Son basamak için sadece 2’yi kullandığımızdan 1 seçe-
rak birden fazla basamakta kullanılabilir.
5
5
2
{2, 4}
Çift sayı elde etmeye çalıştığımızdan sayının birler basamağı için {2, 4} kümesinin elemanlarından birini seçme-
{3, 4, 5}
neğimiz var. Sayı 300 den büyük olması gerektiğinden ilk
basamak için 3 seçeneğimiz var. Sayılardan birini birler
basamağı için diğerini yüzler basamağı için kullandığımızdan onlar basamağı için 3 farklı seçeneğimiz kalır.
O halde
liyiz. Yani birler basamağı için 2 seçeneğimiz var. Diğer
basamaklar için herhangi bir şart olmadığından yüzler
{2}
3⋅3⋅1=9
basamağı için 5, onlar basamağı için 5 farklı seçeneğimiz
farklı sayı yazabiliriz.
vardır.
Şimdi de son basamağı 4 rakamını yerleştirelim.
O halde üç basamaklı
5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 50
farklı çift sayı yazabiliriz.
2
{3, 5}
3
1
{4}
10. SINIF MATEMATİK
275
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Son basamak için sadece 4’ü kullandığımızdan 1 seçeneğimiz var. 4 rakamını ilk basamakta kullandığımızdan
yüzler basamağı için 2 seçeneğimiz kalır. Birler ve yüzler
{3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları kullanılarak, üç
basamağı için birer sayı kullandığımızdan onlar basamağı
basamaklı rakamları birbirinden farklı ve 400 ile 600
için 3 seçeneğimiz kalır.
arasında kaç sayı yazılabilir?
O halde
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 24
2⋅3⋅1=6
farklı sayı yazabiliriz.
Buna göre rakamları birbirinden farklı, 300 den büyük,
DNA 10
9 + 6 = 15
çift sayı yazabiliriz.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere
Doğru Seçenek C
A kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı,
I.
Kaç farklı sayı yazılabilir?
II.
Rakamları tekrarsız kaç farklı tek sayı yazılabilir?
III. Rakamları tekrarsız, 9 ile bölünebilen kaç farklı
sayı yazılabilir?
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdaki seçeneklerin hangisinde verilmiştir?
A = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere
I
II
III
A) 343
90
12
A kümesinin elemanları kullanılarak,
B) 343
90
16
I.
Dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
C) 294
75
18
II.
Üç basamaklı, rakamları birbirinden farklı kaç tek
D) 294
75
26
sayı yazılabilir?
E) 294
75
34
III. Üç basamaklı, rakamları farklı 300 den büyük ve 5 ile
bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
IV. Üç basamaklı, rakamları çarpımı çift olan kaç farklı
sayı yazılabilir?
Bu sorunun DNA 9 da çözdüğümüz sorudan farkı var. Bu
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdaki seçe-
sefer kullandığımız kümenin içinde “0” rakamı da var. Di-
neklerin hangisinde verilmiştir?
ğer rakamların hepsi ilk basamakta kullanılabilirken, sıfır
I
II
III
IV
A) 625
36
9
27
B) 625
36
6
98
C) 625
18
18
125
D) 625
72
12
125
E) 625
36
12
81
276
10. SINIF MATEMATİK
ilk basamakta kullanılamaz.
I.
Öncelikli basamağımız yüzler basamağıdır. Çünkü
bu basamağa sıfır gelemez.
6
7
7
Yüzler basamağına sıfır hariç geriye kalan 6 rakamdan
biri gelebilir. Onlar ve birler basamağına ise 7 rakamdan
7 si de gelebilir.
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
O halde üç basamaklı,
Permütasyon
{1, 2, 6} kümesinin elemanları ile,
6 ⋅ 7 ⋅ 7 = 294
3
farklı sayı yazılabilir.
II. Öncelikli basamaklarımız birler ve yüzler basamakla-
2
ise 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 sayı
1
{1, 3, 5} kümesinin elemanları ile,
rıdır. Birler basamağı tek sayılardan oluşmalı ve yüzler
3
2
ise 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 sayı
1
basamağına sıfır gelmemeli.
5
5
3
{2, 3, 4} kümesinin elemanları ile,
3
{1, 3, 5}
2
ise 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 sayı
1
Sayı tek sayı olması gerektiğinden birler basamağına
O halde {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile ra-
{1, 3, 5} kümesinin elemanlarından biri gelmeli. Yani bu
kamları tekrarsız 9 ile bölünebilen ,
basamak için 3 seçeneğimiz var. Yüzler basamağı için
4 + 4 + 6 + 6 + 6 = 26
sıfırı ve birler basamağına kullandığımız bir rakamı kullanamayacağımızdan, yüzler basamağı için 5 seçeneğimiz
sayı yazılabilir.
vardır. Onlar basamağı için sıfırı kullanabiliriz. Yüzler ve
Doğru Seçenek D
birler basamağına birer rakam kullandığımızdan onlar basamağı için 5 seçeneğimiz var demektir.
O halde rakamlar tekrarsız,
5 ⋅ 5 ⋅ 3 = 75
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere
tek sayı yazabiliriz.
A kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı,
III. 9 ile bölünebilen sayıların rakamları toplamı 9 olaca-
I.
Rakamları tekrarsız kaç farklı sayı yazılabilir?
ğından öncelikle bu rakam üçlülerini (üç basamaklı olduğu
II.
Rakamları tekrarsız 200 ile 500 arasında kaç farklı
sayı yazılabilir?
için) belirleyelim.
III. Rakamları tekrarsız 5 ile bölünebilen kaç farklı sayı
{0, 3, 6}
yazılabilir?
{0, 4, 5}
Yukarıdaki soruların doğru cevapları hangi seçenekte
{1, 2, 6}
verilmiştir?
{1, 3, 5}
{2, 3, 4}
A) 36
60
60
B) 108
60
60
C) 180
90
55
D) 180
30
50
E) 180
60
30
Şimdi 9 ile bölünebilen rakamları farklı üç basamaklı sayıları bulabiliriz.
{0, 3, 6} kümesinin elemanları ile,
2
2
1
ise 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4 sayı
I
II
III
sıfır
gelemez
{0, 4, 5} kümesinin elemanları ile,
2
2
1
ise 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4 sayı
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları tekrarsız dört basamaklı kaç çift sayı
yazılabilir?
sıfır
gelemez
A) 210
B) 380
C) 540
D) 720
10. SINIF MATEMATİK
E) 750
277
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Çözüm
TANIM
Faktöriyel (Çarpansal):
Verilen bir çarpımın faktöriyel formunda yazılabilmesi için
çarpımın 1’den başlaması ve ardışık gitmesi gerekir.
n pozitif bir tamsayı olmak üzere 1’den n’ye kadar (n dahil) olan sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile
Buna göre verilen çarpımı 1’den başlatmamız gerekir.
6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ 105 =
gösterilir.
Bu çarpımı
=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .......⋅ (n – 1) ⋅ n = n!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7...105
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
105!
5!
Doğru Seçenek D
biçiminde ifade edebiliriz.
Özel olarak,
0! = 1
1! = 1
olarak tanımlanmıştır.
Şimdi bazı sayıların faktöriyellerini görelim.
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ ... ⋅ 144
1! = 1
2! = 2 ⋅ 1 = 2
3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅2 ⋅ 1 = 120
6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720
çarpımının faktöriyel formunda yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 272 ⋅ 72!
D)
B) 236 ⋅144!
144!
2!
C) 144! – 1
E) 72! – 2
DNA 11
6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ... 105
5 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ ... ⋅ 150
çarpımının faktöriyel formunda yazılışı aşağıdaki-
çarpımının faktöriyel formunda yazılışı aşağıdakiler-
lerden hangisidir?
den hangsidir?
A) 105!
278
B) 105! – 5
D)
105!
5!
10. SINIF MATEMATİK
C) 105! – 120
E) 5 ⋅ 105!
A) 5150 ⋅ 30!
D)
B) 560 ⋅ 7! 150!
50!
C) 530 ⋅ 30!
E) 150! – 50!
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
Işık 1
(n + 7)!
= 720
(n + 4)!
n! sayısını, soruları çözerken işimize geldiği gibi parçalayabiliriz. (Tabiki tanıma zarar vermeden.) Örneğin,
n! = n ⋅ (n − 1)(n − 2) ⋅ (1
n 44
− 34
) ⋅2
...444
⋅ 3 ⋅ 23
⋅1
eşitliğinde n sayısının değeri kaçtır?
A) 8
(n −3 )!
B) 7
C) 5
E) 3
D) 4
n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (1
n 44
− 2)2
⋅ (44
n − 33
)!
(n − 2)!
n! = n ⋅ (1
n4
−4
1)2
⋅ (n44
− 23
)!
(n −1)!
n! = n ⋅ (n − 1)!
(n + 1)!
= 2 ⋅ 40!
1 + 2 + 3 + ... + n
DNA 12
eşitliğinden n sayısının değeri kaçtır?
n!
= 2n + 4
(n − 2)!
A) 29
B) 31
D) 41
C) 39
E) 49
eşitliğinde n sayısının değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm
n!
= 2n + 4
(n − 2)!
Uyarı
eşitliğinde n! içinde (n – 2)! sayısı vardır. Bunun için n!
•
(2n)! ≠ 2n!
n(n − 1) ⋅ (n − 2)!
n!
=
= 2n + 4
(n − 2)!
(n − 2)!
•
(2n)! ≠ 2! ⋅ n!
•
(2n)! ≠ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 2n
n(n − 1) = 2n + 4
•
(2n)! = (2n) ⋅ (2n – 1) ⋅ (2n – 2) ⋅ ..... 3 ⋅ 2 ⋅ 1
sayısını (n – 2)! i elde edecek biçimde parçalayalım.
n2 − n = 2n + 4
n2 − 3n − 4 = 0
123
–4
+1
çarpımları –4
toplamları –3
(n – 4)(n + 1) = 0
n – 4= 0 veya n + 1 = 0
n = 4 veya n = –1 dir.
DNA 13
n!
(n − 2)!+ (n − 1)!
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
n pozitif bir tamsayı olması gerektiğinden n = 4 tür.
Doğru Seçenek C
A)
n
n −1
B)
D) n – 1
n −1
n C)
n +1
n
E) n + 1
10. SINIF MATEMATİK
279
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Çözüm
Çözüm
n!
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)!
=
(n − 2)!+ (n − 1)! (n − 2)!+ (n − 1) ⋅ (n − 2)!
=
=
Madem soru faktöriyelleri toplamamızı istiyor, öyle yapalım.
1! = 1
n ⋅ (n − 1). (n − 2)!
2! = 2 ⋅ 1 = 2
(n − 2)! ⋅ [1 + n − 1]
3! = 3 ⋅ 2! = 6
n ⋅ (n − 1)
n
4! = 4 ⋅ 3! = 24
5! = 5 ⋅ 4! = 120
6! = 6 ⋅ 5! = 720
7! = 6 ⋅ 6! = 5040
= n −1
Doğru Seçenek D
Böyle sürdürmeye devam edersek sonuca ulaşırız gibi.
Fakat devam etmemize gerek yok çünkü bizden istenen
sonucu çoktan bulduk. Çarpımlarda da görüldüğü gibi 5!
ve sonrasındaki tüm faktöriyellerin birler basamağı sıfırdır.
Bu nedenle 5! e kadar olan toplamın birler basamağındaki
rakam kaç ise A sayısının birler basamağındaki rakamda
aynı rakam olmak zorundadır.
(n + 3)! + (n + 4)!
(n + 2)! ⋅ (n + 4) + (n + 2)!
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) n + 3 A) n + 2 D) n + 5 C) n + 4
A = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ...+ 87!
A = 1 + 2 + 6 + 24 + 120+ ...+ 87!
A = 33 + 120 + ... + 87!
olacağından A sayısının birler basamağı 3 tür.
E) n + 6
Doğru Seçenek C
3 ⋅ 8!− 4 ⋅ 7!
0!⋅ 7!− (3!)!
0! + 1! + 2! +...+ 105!
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
160
3
B)
140
3
C) 20
D)
80
3
E)
70
3
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
DNA 14
A = 1! + 2! + 3! + 4 ! + ........+ 87!
1! + 2! + 3! +...+ 88!
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 1
280
B) 2
C) 3
10. SINIF MATEMATİK
D) 4
E) 5
toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
kitap 5! farklı şekilde dizilebildiğine göre 4 kitap 4! farklı
DNA 15
şekilde dizilir demektir. Ancak işimiz henüz bitmedi. İple
bağladığımız iki kitapta kendi içinde 2! farklı şekilde dizile-
Aralarında bir matematik ve geometri kitabının bu-
ceğinden, matematik ve geometri kitapları yanyana olmak
lunduğu 5 farklı kitap bir rafa yanyana dizilecektir. Bu
üzere bu 5 kitap
kitaplar,
4! ⋅ 2! = 24 ⋅ 2 = 48
I.
Kaç farklı şekilde dizilebilir?
II.
Matematik ve geometri kitapları yanyana olmak
farklı şekilde dizilebilir.
üzere kaç farklı şekilde dizilebilir?
III. Matematik ve geometri kitapları yanyana olmamak üzere kaç farklı şekilde dizilebilir?
III. Toplam durumdan, yanyana olma durumlarını çıkarırsak yanyana olmama durumları bulunmuş olur.
O halde,
120 – 48 = 72
IV. Matematik ve geometri kitabı arasında sadece
bir kitap olmak üzere kaç farklı şekilde dizilebilir?
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir?
I
II
III
IV
farklı şekilde dizilebilir.
IV. Matematik kitabını M ile geometri kitabını G ile diğer
üç kitabıda X, Y ve Z ile gösterelim.
M ile G arasına X te girebilir, Y de, Z de.
A) 120
24
18
72
Diziliş,
B) 120
24
18
36
X geldiği durumda MXG,
C) 120
48
36
72
D) 120
48
72
36
E) 120
48
72
72
Y geldiği durumda MYG,
Z geldiği durumda MZG
biçiminde olacaktır. Bu durumlardan bir tanesinin nasıl
dizildiğini bulup 3 le çarparsak (3 durum olduğundan) so-
Çözüm
nuca ulaşırız.
M ile G nin arasına X in geldiği durumu ele alalım. Bu üç
5 kitap olduğuna göre 5’li bir kutu çizelim. Bu bizim rafımız
kitabı bir kitap olarak düşünelim. Geriye kalan iki kitapla
olsun.
birlikte, toplam üç kitap varmış gibi düşünürsek, bu üç ki-
I.
5
4
3
2
1
Rafın en başına 5 kitaptan 5’inide koyabiliriz. Kitaplardan
tap kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanabilir. Ayrıca,
MXG dizilişinde M ile G kendi aralarında 2! farklı şekilde
dizilebilir. O halde, M ile G nin arasında X in olduğu,
birini yerleştirdiğimize göre ikinci raf için 4, üçüncü raf için
3, dördüncü raf için 2 ve beşinci raf için 1 seçeneğimiz
var.
O halde bu beş kitap rafa
3! ⋅ 2! = 12
farklı diziliş vardır.
Benzer düşünce Y ve Z için de geçerlidir. O halde, istenen
şartı sağlayan,
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5! = 120
farklı şekilde dizilebilir.
II.
Matematik ve geometri kitabı yanyana olmak zo-
runda olduğundan bu iki kitabı bir iple bağlayalım, yani
12 ⋅ 3 = 36
farklı dizilim vardır.
Doğru Seçenek D
bir kitap gibi düşünelim. Elimizdeki kitap sayısı 4 olur. 5
10. SINIF MATEMATİK
281
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
TANIM
5 farklı tarih, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı bir rafta
n farklı nesneden r tanesinin bir sıralamasına (bir sıraya
yanyana dizilecektir. Bu kitaplar,
yanyana dizilişine) n nesnenin r li permütasyonu denir.
I.
Kaç farklı şekilde dizilebilir?
n farklı nesnenin tüm r li permütasyonlarının sayısı P(n, r)
II.
Aynı derse ait kitaplar yanyana gelmek şartı ile kaç
ile gösterilir.
farklı şekilde dizilebilir.
Örneğin a, b, c nesnelerinin ikili permütasyonları,
III. Tarih kitapları yanyana olmak şartı ile kaç farklı şekilde dizilebilir?
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerden
hangisinde verilmiştir?
I
II
ab
ba
ca
ac
bc
cb
olmak üzere 6 tanedir. Bu durumu sembolik olarak,
P(3, 2) = 6
III
A) 12!
3! ⋅ 3! ⋅ 4! ⋅ 5!
8! ⋅5!
B) 12!
3! ⋅ 3! ⋅ 4! 7! ⋅5!
C) 12!
3! ⋅ 4! ⋅ 5!
8! ⋅5!
D) 12!
3! ⋅ 4! ⋅ 5!
7! ⋅5!
E) 12!
3! ⋅ 3! ⋅ 4! ⋅ 5!
7! ⋅5!
ile ifade edebiliriz.
P(n, r) ifadesinin anlamını iyice kavramak için aşağıdaki
örnekleri inceleyelim.
P(3, 2)= Farklı 3 nesneden 2 tanesinin bir sıraya yanyana dizilişlerinin sayısı
P(7, 4)= Farklı 7 nesneden 4 tanesinin bir sıraya yanyana dizilişlerinin sayısı
P(n, r) = Farklı n nesneden r tanesinin bir sıraya yanyana
dizilişlerinin sayısı
Amacımız P(n, r) ifadesinin belirttiği dizilişlerin sayısını
tek tek sayarak bulmak olmadığına göre, P(n, r) ifadesinin
değerini bulmak için bir formül geliştirmek zorundayız. Bu
formülü geliştirmek için gerekli olan Hazine Avı’nı başlatalım.
“ŞİMAL” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek
Hazine Avı
sesli harfle başlayıp sesli harfle biten kaç farklı sözcük oluşturulabilir?
A) 6
B) 12
C) 24
D) 48
E) 72
Somut örnekler üzerinden gideceğiz.
P(7, 4) ifadesinin değerini araştıralım.
P(7, 4) ifadesinin, farklı 7 nesneden 4 tanesinin düz bir
sıraya yanyana dizilişlerinin sayısı olduğunu biliyoruz. Biz
4 nesnenin sıralamasıyla ilgilendiğimize göre 4 tane kutu
çizelim.
7
6
5
4
Önceki DNA’larda yaptığımızın aynısını yapacağız.
282
10. SINIF MATEMATİK
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
Birinci kutuya 7 nesneden biri,
Hazine 1
İkinci kutuya geri kalan 6 nesneden biri,
Üçüncü kutuya geriye kalan 5 nesneden biri,
• P(n, r) = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ (n – (r – 1))
Dördüncü kutuya geriye kalan 4 nesneden biri
•
gelir. Buna göre, farklı 7 nesneden 4 ü,
P(n, r ) =
n!
(n − r )!
7⋅6⋅5⋅4
farklı şekilde düz bir sıraya yanyana dizilebilir. O halde,
DNA 16
P(7, 4) = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
eşitliğini yazma hakkına sahibiz. Buradaki 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 çar-
pımında 4 tane sayının bulunması tesadüf değildir, zira
2 ⋅ P(n, 2) + 50 = P(2n, 2)
olduğuna göre n kaçtır?
4 tane nesne sıralanıyor. Buna göre, P(7, 4) ifadesinin
A) 4
değerinin, 7 den başlayıp birer azaltarak, 4 tane sayının
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
çarpımı olduğunu söyleyebiliriz. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
Çözüm
P(7, 2) = 7 ⋅ 6
2 tane
P(n, 2) = n1
⋅ (2
n −4
1)
4
3
P(10, 3) = 10 ⋅ 9 ⋅ 8
2 tan e
3 tane
P(5, 5) = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
5 tane
O halde,
P(n, r) = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ (n – (r – 1))
eşitliğini gönül rahatlığıyla yazabiliriz. Böylece, aradığımız
P(2n, 2) = 2
n4
⋅ (2
2n4
−3
1)
1
2 tan e
2 ⋅ P(n, 2) + 50 = P(2n , 2)
2 ⋅ n ⋅ (n – 1) + 50 = 2n(2n – 1)
2n2 – 2n + 50 = 4n2 – 2n
50 = 2n2
25 = n2 olduğundan
tercih edebiliriz, zira elimizde ardışık doğal sayıların çar-
n = ± 5 olur.
pımı var.
–5 doğal sayı olmadığından n = 5 tir.
Hazine’yi bulmuş olduk. P(n, r) için yukarıdaki eşitliği kullanabileceğimiz gibi, faktöriyel formunda da bir gösterim
Örneğin,
Doğru Seçenek B
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 7!
7!
P(7, 4) = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 =
= =
3 ⋅ 2 ⋅1
3! (7 − 3)!
P(10, 3) = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 =
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 1 10!
10!
=
=
7 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 1
7! (10 − 3)!
Yukarıdaki örneklerden görüleceği gibi,
P(n, r ) =
eşitliğini de yazabiliriz.
n!
(n − r )!
P(2n, 2) = 22 ⋅ n
olduğuna göre n kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
10. SINIF MATEMATİK
E) 10
283
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Çözüm
P(n, 4) = 4 ⋅ P(n, 3)
Bu DNA’da sorulan, farklı 5 renkten 3 tanesinin bir sıraya
yanyana dizilişinden başka bir şey değildir.
olduğuna göre n kaçtır?
B) 7
A) 6
C) 8
D) 9
E) 10
Buna göre, aradığımız cevap,
P(5, 3) = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60
olur.
Doğru Seçenek D
Işık 2
P(n, 0) =
n!
n!
= =1
(n − 0)! n!
12 kişinin katıldığı bir yüzme yarışmasında ilk üç dere-
olduğundan P(n, 0) = 1 dir.
ce kaç farklı biçimde oluşabilir?
n ⋅ (n − 1)!
n!
P(n,1) =
=
=n
(n − 0)!
(n − 1)!
A) 1716
B) 1320
C) 990
D) 720
E) 504
olduğundan P(n, 1) = n dir.
P(n,n) =
n!
n! n!
= = = n!
(n − n)! 0! 1
olduğundan P(n, n) = n! dir.
Burada, özellikle, P(n, n) = n! eşitliğine dikkatinizi çekmek
Tiyatroya giden 4 öğrenci yanyana duran 10 farklı kol-
istiyoruz.
tuktan dördüne oturacağına göre bu oturma kaç farklı
şekilde gerçekleşir?
P(n, n) =Farklı n nesneden n tanesinin bir sıraya yanya-
A) 840
B) 1680
D) 5040
C) 3024
E) 7920
na dizilişlerinin sayısı = n!
Bu hiç unutmamamız gereken bir bilgidir, zira soru çözümlerinde sıkça kullanacağız.
DNA 18
DNA 17
Aralarında 2 subayın bulunduğu 7 kişilik bir asker grubu yanyana fotoğraf çektireceklerdir.
İki subayın yanyana gelmemesi koşulu ile bu grup
3 şerit 5 farklı renk ile her şerit farklı renkte olmak
kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir?
koşuluyla kaç farklı şekilde boyanabilir?
A) 5040
A) 10
284
B) 12
C) 36
10. SINIF MATEMATİK
D) 60
E) 72
B) 3600
D) 2520
E) 1440
C) 2880
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
Çözüm
2 subayın yanyana gelmemesi için, 2 subayın arasına 1
asker, 2 asker 3 asker, 4 asker ve 5 asker olduğu du-
Alpaslan ve Saygın’ın da aralarında bulunduğu 6 kişi yanyana fotoğraf çektireceklerdir.
rumları tek tek incelememiz gerekir. Bunun yerine çözüme
Alpaslan ve Saygın’ın arasında en az bir kişi olmak
bizden istenenin tam terisini bularak ulaşacağız. Yani su-
üzere bu grup kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir?
bayların yanyana olduğu durumları bulup tüm durumlar-
A) 180
B) 240
C) 360
D) 480
E) 540
dan çıkaracağız. Hiç bir koşul olmadan 7 kişi yanyana
P(7, 7) = 7! = 5040
farklı şekilde fotoğraf çektirebilir.
İki subayın yanyana olduğu durum için bu iki subayı iple
bağlayalım, yani tek kişi olarak düşünelim. 5 asker ve 1
DNA 19
subay olmak üzere 6 kişi
P(6, 6) = 6!
farklı şekilde fotoğraf çektirir. Tek kişi gibi düşündüğümüz
iki subay da 2! farklı şekilde dizileceğinden
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesindeki elemanların 3’lü permütasyonlarının
kaç tanesinde 1 bulunur?
A) 12
6! 2! = 1440
B) 24
C) 36
D) 48
E) 60
farklı şekilde fotoğraf çektirebilir.
Tüm durumların sayısından iki subayın yanyana geldiği
Çözüm
durumları çıkarırsak iki subayın yanyana gelmediği durum
sayısı ortaya çıkar.
5040 – 1440 = 3600
Doğru Seçenek B
3 lü permütasyonların içinde olmasını istediğimiz 1 rakamını daha sonra kullanmak üzere ayıralım. Kümemiz artık
4 elemanlı ve 2 li permütasyonları arıyoruz.
P(4, 2) = 4 ⋅ 3 = 12
4 elemanlı kümenin 2 li permütasyonlarının sayısını 12
Bilgisayar için monitör ve televizyon üretimi yapan bir fir-
bulduk. Şimdi sıra ayırdığımız 1 rakamında. Bulduğumuz
ma, birbirinden farklı 2 monitörü ve birbirinden farklı 4 te-
ikili permütasyonun hepsinde 1 i en başa, iki elemanın
levizyonu fuarda sergileyecektir.
arasına ve en sona koyabiliriz.
Bir masa üzerinde düz bir sıra halinde dizilecek olan
2 monitörün arasına en fazla 3 televizyon yerleştirile-
O halde içinde 1 rakamı olan 3 lü permütasyonların sayısı
cek biçimde bu altı elektronik cihaz kaç farklı şekilde
3 ⋅ 12 = 36
dizilebilir?
A) 144
B) 288
C) 360
D) 672
E) 720
olur.
10. SINIF MATEMATİK
285
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DAİRESEL PERMÜTASYON
İstenen durum = (Tüm durumlar) – (1’in olmadığı durumlar)
TANIM
= P(5, 3) – P(4, 3)
Sonlu bir kümenin elemanların bir çember etrafında birbir-
=5⋅4⋅3–4⋅3⋅2
lerine göre farklı sıralanışlarından her birine bu kümenin
= 60 – 24
= 36
bir dairesel (dönel) permütasyonu denir.
Farklı n nesnenin dairesel permütasyonlarının sayısını
veren formülü bulalım.
olur.
Doğru Seçenek C
Hazine Avı
A = {a, b, c} kümesinin elemanlarını kullanarak dairesel
permütasyonu inceleyelim.
Bu üç elemanı eğer bir sıraya dizmeye çalışırsak 3! = 6
farklı diziliş elde ederiz.
1. abc
2. bca
3. cab
4. acb
5. bac
6. cba
Bir sıraya dizdiğimizde elde ettiğimiz farklı dizilişleri çemA = {1, 2, 3, 4}
ber etrafında görelim.
kümesindeki elemanların 3’lü permütasyonların kaç
tanesinde 2 rakamı bulunur?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 36
E) 48
Dairesel sıralanışlara dikkat edilirse 1, 2 ve 3 numaralı
sıranışlar birbirinin aynısı, 4, 5 ve 6 numaralı sıralanışlar
birbirinin aynısıdır.
O halde bu üç eleman 2 farklı şekilde sıralanabilir demektir.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesindeki elemanların 5’li permütasyonlarının kaç
tanesinde 1 ve 3 yan yana bulunur?
A) 180
B) 240
286
10. SINIF MATEMATİK
C) 360
D) 480
E) 540
Şimdi bu kümenin elemanlarını bir çember etrafına sırayla
yerleştirelim.
İlk yerleştireceğimiz a elemanı için yerin önemi yoktur.
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
DNA 20
3 matematikçi, 3 fizikçi ve 2 astronom yuvarlak bir
İkinci yerleştireceğimiz b elemanı için bir farklı yer vardır.
Aşağıdaki dizilişlerin birbirinden farkı yoktur.
masa etrafında,
I.
Kaç değişik şekilde oturabilirler?
II.
Aynı meslekten olanlar yanyana olmak üzere kaç
değişik şekilde oturabilirler?
III. Astronomlar yanyana gelmemek koşuluyla kaç
değişik şekilde oturabilirler?
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerÜçüncü olarak yerleştireceğimiz c elemanı için iki farklı
den hangisinde verilmiştir?
yer vardır. Aşağıdaki iki diziliş birbirinden farklıdır.
O halde, a, b ve c elemanları çember etrafına,
I
II
III
A) 2520
36
7200
B) 2520
72
7200
C) 5040
72
3600
D) 5040
144
3600
E) 5040
144
1800
1⋅2=2
Çözüm
farklı şekilde sıralanırlar. Yani, bir elemanı çember üzerinde herhangi bir yere yerleştirdikten sonra, geriye kalan
iki elemanı bir sıraya yanyana dizmekten başka bir şey
I.
3 + 3 +2 = 8 kişi yuvarlak bir masa etrafında
(8 – 1)! = 7! = 5040 (Hazine 1)
yapmadık. Daha genel olarak n elemanlı sonlu bir kümenin dairesel permütasyonlarının sayısını bulmak için, kümenin herhangi bir elemanının çember üzerinde sabit bir
noktaya konulduğu düşünülür (İlk eleman için yerin önemi
farklı şekilde oturabilir.
II.
3 matematikçiyi bir iple, 3 fizikçiyi bir iple ve 2 astro-
nomu bir iple bağlayalım. Elimizde artık üç kişi var. Bu üç
kişi yuvarlak masa etrafında
yoktur). Geriye kalan (n – 1) tane eleman bir sıraya yan-
(3 – 1)! = 2! = 2
yana (n – 1)! şekilde dizilebileceğinden, farklı n nesnenin
farklı şekilde oturabilir.
dairesel permütasyonlarının sayısı (n – 1)! dir.
3 matematikçi yanyana 3! farklı şekilde,
3 fizikçi yanyana 3! farklı şekilde,
2 astronom yanyana 2! farklı şekilde
Hazine 2
Farklı n nesne bir çember etrafına (n – 1)! farklı şekilde sıralanabilir.
oturabilirler.
O halde aynı meslekten olanlar yanyana olmak üzere
2 ⋅ 3! ⋅ 3! ⋅ 2! = 144
farklı şekilde oturabilirler.
10. SINIF MATEMATİK
287
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
III. Tüm diziliş sayısından, 2 astronomun yanyana oturduğu dizilişlerin sayısı çıkarılırsa, astronomların yanyana
gelmeme koşuluyla diziliş sayısı bulunabilir.
2 astronomu iple bağlayalım. Şimdi elimizde 3 matematikçi, 3 fizikçi ve 1 astronom var.
3 + 3 + 1 = 7 kişi yuvarlak masa etrafında
6 futbolcu, 4 voleybolcu ve 2 basketbolcu yuvarlak bir
masa etrafında oturacaklardır.
I.
Sporcular kaç farklı şekilde oturabilirler?
II.
Aynı branştaki oyuncular yan yana olmak üzere kaç
(7 – 1)! = 6!
farklı şekilde oturabilirler?
farklı şekilde oturabilirler. Astronomlarda kendi aralarında
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerin
2! farklı dizilişe sahiptir.
hangisinde verilmiştir?
O halde astronomlar yanyana olmak şartıyla 2! ⋅ 6! farklı
şekilde otururlar.
Tüm durumları I. madde de 7! olarak bulmuştuk.
7! – 2! ⋅ 6! = 7 ⋅ 6! – 2 ⋅ 6!
= 6! (7 – 2)
= 6! ⋅ 5
= 3600
I
II
A) 11!
2! ⋅ 2! ⋅ 6! ⋅ 4!
B) 11!
3! ⋅ 2! ⋅ 6! ⋅ 4!
C) 11!
3! ⋅ 3! ⋅ 6! ⋅ 4!
D) 12!
2! ⋅ 3! ⋅ 6! ⋅ 4!
E) 12!
2! ⋅ 2! ⋅ 6! ⋅ 4!
olur.
Doğru Seçenek D
DNA 21
Anne, baba ve dört çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa
etrafında yemek yiyecektir.
I.
yete sahip iki kişi yanyana olmayacak biçimde kaç
Anne ve babanın yanyana olması şartı ile kaç deği-
şik şekilde oturabilirler?
II.
5 erkek ve 5 kadın yuvarlak bir masada aynı cinsi-
Anne ve babanın yanyana olmaması şartı ile kaç de-
ğişik şekilde oturabilirler?
farklı şekilde oturabilirler?
A) 720
B) 1080
D) 1800
C) 1440
E) 2880
III. Anne ve babanın arasında en küçük çocuk olması
şartı ile kaç değişik şekilde oturabilirler?
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerden
hangisinde verilmiştir?
I
II
III
Çözüm
Yuvarlak masa etrafına önce kadınları yerleştirelim. 5 ka-
A) 48
72
24
B) 48
72
12
C) 48
36
24
D) 48
36
12
farklı şekilde oturur. 5 kadın oturduğunda, aralarda 5 kişi-
E) 48
36
36
lik boş yer kaldı.
288
10. SINIF MATEMATİK
dın yuvarlak bir masaya
(5 – 1)! = 4! = 24
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
��
�
Permütasyon
YUVARLAK ANAHTARLIK SORULARI
��
�
�
��
Hazine Avı
��
�
��
�
Masa etrafında oturma sorularında sıralama masaya yu-
Bu yerlere de 5 erkek oturur. Artık masanın yuvarlak olmasının bir önemi kalmadığından bu 5 erkek
karıdan bakılarak yapılır. Ancak yuvarlak ve maskotsuz
bir anahtarlığa ters çevirerekte bakılabilir. Dolayısıyla yu-
5! = 120
farklı şekilde oturur.
varlak ve maskosuz bir anahtarlığa anahtarları dönel per�
�
�
mütasyonda yaptığımız gibi dizeriz. Ancak iki yönden de
�
�
�
�
bakılabildiği için yarısını alırız.
�
�
Yani, n farklı anahtar (n > 2) yuvarlak ve maskotsuz bir
�
O halde 5 erkek ve 5 bayan yuvarlak bir masa etrafında
anahtarlığa
(n − 1)!
2
24 ⋅ 120 = 2880
farklı şekilde oturabilir.
farklı şekilde takılabilir.
Doğru Seçenek E
Eğer anahtarlık maskotlu olursa, maskot yuvarlak masaya
ilk yerleştirilen eleman görevi göreceğinden n’den 1 çıkarmamıza gerek yok. Fakat, iki yönden bakılabildiği için yarısını almalıyız. Yani n farklı anahtar yuvarlak ve maskotlu
4 öğretmen ve 4 öğrenci yuvarlak bir masada herhan-
bir anahtarlığa
n!
2
gi iki öğretmen arasına bir öğrenci gelecek biçimde
kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 18
B) 36
C) 72
D) 144
E) 288
farklı şekilde takılabilir.
Hazine 3
10 tane evli çift yuvarlak masa etrafında her çift birlikte olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 9!
B) 2 ⋅ 9!
D) 210 ⋅ 9!
C) 28 ⋅ 9!
E) 310 ⋅ 9!
n > 2 olmak üzere, farklı n tane anahtar yuvarlak ve
maskotsuz bir anahtarlığa
kotlu bir anahtarlığa
(n − 1)!
yuvarlak ve mas2
n!
farklı şekilde takılabilir.
2
10. SINIF MATEMATİK
289
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Şu ana kadar birbirinden farklı nesnelerin sıralanmasıyla
DNA 22
ilgilendik. Şimdi de bazıları birbirinin aynısı olarak kabul
edilen (özdeş) nesnelerin sıralamasıyla ilgileneceğiz.
6 farklı anahtar yuvarlak bir anahtarlığa kaç farklı
şekilde takılabilir?
A) 120
B) 100 C) 80
D) 60
TEKRARLI PERMÜTASYON
TANIM
E) 30
Bazıları birbirinden farklı olmayan nesnelerin bir sıradaki
farklı dizilişlerinin her birine bu nesnelerin bir tekrarlı permütasyonu denir.
Çözüm
Hazine 4
n = 6 olduğundan
n1 + n2 + n3 + ....... + nr = n olmak üzere
(n − 1)! 5!
= = 60 (Hazine 2)
2
2
n1 tanesi özdeş, 1. çeşit,
farklı şekilde takılabilir.
n2 tanesi özdeş, 2. çeşit,
Doğru Seçenek D
n3 tanesi özdeş, 3. çeşit,
. .
.
.
. .
.
.
. .
.
.
nr tanesi özdeş, r. çeşit
olan n tane nesnenin bir sıraya yanyana dizilişlerinin
sayısı
n!
n1!⋅ n2 !⋅ n3 !⋅ ... ⋅ nr !
ile hesaplanır.
DNA 23
6 farklı anahtar, belli iki anahtar yanyana olmak üzere
yuvarlak bir anahtarlığa kaç farklı biçimde takılabilir?
A) 12
B) 24
C) 36
D) 48
E) 60
MATEMATİK
kelimesinin harfleri kullanılarak 9 harfli,
I.
Kaç harfli sözcük oluşturulabilir?
II.
E harfi ile başlayan kaç farklı sözcük oluşturulabilir?
III. M harfi ile başlayıp K harfi ile biten kaç farklı sözcük oluşturulabilir?
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerden hangisidir?
A) I
II
III
5040
5040
2520
B) 9 ⋅ 7!
5040
1260
6 farklı anahtar yuvarlak ve maskotlu bir anahtarlığa
C) 5760
360
360
kaç farklı şekilde takılabilir?
D) 9 ⋅ 6!
1260
5040
E) 9 ⋅ 7!
2520
120
A) 60
290
B) 90
10. SINIF MATEMATİK
C) 180
D) 360
E) 720
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
Çözüm
I.
MATEMATİK
MATEMATİK kelimesindeki harflerin hepsi birbirin-
den farklı olsaydı 9! farklı sözcük oluşturabilirdik. Ancak 2
kelimesinin harfleri kullanılarak 9 harfli,
tane M, 2 tane A, 2 tane T olduğundan
I.
E ile başlamayan kaç farklı sözcük oluşturulabilir?
II.
İki M harfi yanyana olmak üzere kaç farklı sözcük
9!
9 ⋅ 8 ⋅ 7!
=
= 9 ⋅ 7!
2!⋅ 2!⋅ 2! 2 ⋅ 2 ⋅ 2
oluşturulabilir?
farklı sözcük oluşturulabilir.
II.
Yukarıda soruların doğru cevapları aşağıdakilerden
İstenen kelime E ile başlayacağından E harfini başa
yerleştirelim.
E
hangisidir?
14444244443
M, A, T, M, A, T, İ, K
E harfini başa yerleştirdiğimize göre geriye kalan 8 harfle
kaç değişik sözcük yazılabilirse E harfiyle başlayan o kadar sözcük yazılabilir demektir.
I
II
A) 9 ⋅ 7!
2 ⋅ 7!
B) 9 ⋅ 7!
8 ⋅ 7!
C) 8 ⋅ 7!
2 ⋅ 7!
D) 8 ⋅ 7!
6 ⋅ 7!
E) 6 ⋅ 7!
8 ⋅ 7!
O halde, M, A, T, M, A, T, İ, K harfleriyle
8!
8 ⋅ 7!
=
= 7! = 5040
2!⋅ 2!⋅ 2! 2 ⋅ 2 ⋅ 2
farklı sözcük oluşturulabilir.
III. İstenen kelime M harfi ile başlayıp K harfi ile biteceğinden bu iki harfi yerlerine yerleştirelim.
M
14444244443
K
A, T, E, M, A, T, İ
6445577777
sayısının rakamları yer değiştirilerek 10 basamaklı,
M harfini başa, K harfini sona yerleştirdiğimize göre geriye
I.
7 ile başlayıp 6 ile biten kaç farklı sayı yazılabilir?
kalan 7 harfle kaç değişik sözcük yazılabilirse, M harfi ile
II.
467 ile başlayan kaç farklı çift sayı yazılabilir?
başlayıp K harfi ile biten o kadar sözcük yazılabilir.
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerden
hangisidir?
O halde A, T, E, M, A, T, İ harfleriyle
7!
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
=
= 1260
2!⋅ 2!
2⋅2
farklı sözcük oluşturulabilir.
Doğru Seçenek B
I
II
A) 420
15
B) 420
30
C) 210
30
D) 210
15
E) 210
60
10. SINIF MATEMATİK
291
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
C den B ye giden yollardan sadece ikisini yukarıda görü-
DNA 24
yoruz. Birinci yol DKDKDD, ikinci yol ise DDKDKD dir. Bu
sefer elimizde 4 D ve 2 K var.
Şekildeki
çizgiler
bir
O halde C den B ye
6!
6 ⋅ 5 ⋅ 4!
=
= 15
4 ! ⋅ 2!
4! ⋅ 2
kentin birbirini dik kesen sokaklarını göster-
farklı yoldan gidebiliriz.
mektedir.
Buna göre A dan B ye, C den geçmek şartıyla,
C noktasından geçmek şartıyla A dan B ye en kısa
yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir?
A) 60
B) 120
C) 180
D) 360
E) 480
4 ⋅ 15 = 60
farklı yoldan gidebiliriz.
Doğru Seçenek A
Çözüm
Önce A dan C ye, daha sonra C den B’ye gideceğiz. Bu
olaylardan ilki olmadan diğeri olamayacağı için bulduğuŞekildeki çizgiler bir kentin
muz iki değeri de çarpacağız.
birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir.
C noktasından geçmek şartıyla A dan B ye en kısa yolA dan C ye giden yollardan sadece ikisini yukarıda görüyoruz.
dan kaç farklı şekilde gidilebilir?
A) 60
B) 120
C) 180
D) 360
E) 480
Birinci yolu kısaca DDKD,
İkinci yolu kısaca DKDD ile gösterelim.
Bu yollardan hangisini kullanırsak kullanalım en kısa yol
için her zaman 3 birim doğuya, 1 birim kuzeye gitmemiz
gerekecek. Yani 3 tane D ve 1 tane K harfi ile 4 harfli kaç
farklı sözcük yazabileceğimizi arıyoruz.
O halde A dan C ye
4! 4 ⋅ 3!
=
=4
3!
3!
İ
M
İ
M
A
harfleri
L
ŞİMAL kelimesi kaç fark-
farklı yoldan gidebiliriz.
Şimdi C den B ye gidelim.
M
A
A) 6!
292
10. SINIF MATEMATİK
Yandaki şekilde Ş har-
Ş
D)
B)
4!
2!⋅ 2!
finden başlayıp, ardışık
takip
ederek
lı şekilde okunabilir?
6!
2!⋅ 3!
E)
C)
3!
2!⋅ 1!
5!
2!⋅ 2!
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
TEST - 1
5.
kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulmak
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
istenen rakamları tekrarsız dört basamaklı bir sayının onlar basamağına kaç farklı rakam yazılabilir?
1.
A ülkesinden B ülkesine 5 farklı karayolu, 4 farklı de-
A) 8
miryolu ve 3 farklı hava yolu ile gidilebilmektedir.
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
Buna göre, A ülkesinden B ülkesine kaç farklı
yolla gidilebilir?
A) 3
B) 6
C) 12
D) 36
E) 60
6.
Üç farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya
kitabı bir rafa dizilecektir.
2.
16 erkek ve 10 kız bulunan bir sınıftan bir başkan
sırasına gelebilecek kaç farklı kitap vardır?
seçmek isteyen öğretmenin kaç farklı seçeneği
A) 3
vardır?
A) 6
B) 10
C) 16
D) 26
Bir torbada 4 beyaz 6 kırmızı bilye vardır.
Torbadan 1 beyaz veya 1 kırmızı bilye kaç deği-
C) 6
D) 10
olan biri, giydiği ceketi bir gün daha giymemek
üzere arka arkaya en fazla kaç gün ceket giyebilir?
B) 25
C) 18
D) 12
E) 36
A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C
E) 7
A kentinden C kentine gitmek isteyen biri kaç
A) 2
E) 24
5 farklı siyah, 5 farklı gri ve 2 farklı mavi ceketi
A) 50
D) 12
farklı yoldan gidebilir?
şik yolla alınabilir?
B) 4
C) 10
kentine 4 farklı yol vardır.
3.
A) 2
B) 7
E) 32
7.
4.
Tüm farklı sıralanışlar için, rafın sağ baştan ikinci
8.
B) 3
C) 4
D) 6
E) 12
A kentinden B kentine 4 farklı yol, B kentinden C
kentine 2 farklı yol vardır.
Buna göre, A kentinden C kentine kaç farklı yolla
gidilip dönülebilir?
A) 64
B) 32
C) 16
D) 8
10. SINIF MATEMATİK
E) 6
293
Permütasyon
9.
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
A kentinden B kentine 5 farklı yol, B kentinden C
13. 8 kişilik bir gruptan bir başkan, bir başkan yardımcısı, bir sekreter ve bir çaycı kaç değişik şe-
kentine 3 farklı yol vardır.
kilde seçilir?
Buna göre, dönüşte gidilen yollar kullanılmamak
üzere, A dan C ye kaç farklı yoldan gidilip dönü-
A) 1680 B) 1344
C) 1008
D) 672
E) 336
lebilir?
A) 225
B) 180
C) 120
D) 60
E) 30
14. 10 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç
farklı şekilde sonuçlanabilir?
10. A
kentinden B kentine 5 farklı yol, B kentinden C
B) 2 ⋅ 10!
A) 10!
C) 210
kentine 3 farklı yol vardır.
Buna göre, A kentinden C kentine gidilen yoldan
D) 10 ⋅ 10!
E) 210 ⋅ 10!
aynen dönmemek şartı ile kaç farklı yoldan gidilip dönülebilir?
A) 225
B) 210
C) 120
D) 60
E) 30
15. Hergün gömlek giyen birinin 4 farklı gömleği vardır.
Ard arda iki gün aynı gömleği giymeyen bu kişi
hafta içi kaç farklı şekilde gömlek giyebilir?
11. 4 farklı gömleği ve 6 farklı pantolonu olan Gök-
B) 5 ⋅ 35
A) 35
han her gün gömlek ve pantolon giymek koşu-
C) 45
D) 4 ⋅ 34
E) 5 ⋅ 45
luyla ard arda kaç gün farklı giyinebilir?
A) 10
B) 12
C) 18
D) 20
E) 24
16. 5 soruluk bir sınavda her sorunun 4 yanlış ve 1 doğru olmak üzere beş seçeneği vardır.
12. 12 atletin katıldığı bir koşuda birinciye altın, ikinciye
gelen iki sorunun doğru cevabı aynı seçenek olmayacak biçimde kaç farklı cevap anahtarı hazır-
gümüş, üçüncüye bronz madalya verilecektir.
lanabilir?
Buna göre madalyalar kaç farklı şekilde dağıtıla-
bilir?
A) 3
1.C
294
2.D
B) 120
3.D
C) 360
4.D
10. SINIF MATEMATİK
5.A
D) 792
6.C
E) 1320
7.E
Bu sınavın cevap anahtarı hazırlanırken ard arda
8.A
A) 55
D) 5 ⋅ 44
9.C
B) 56
10.B
11.E
12.E
C) 4 ⋅ 55
E) 5 ⋅ 55
13.A
14.C
15.D
16.D
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
5.
TEST - 2
A = {1, 2, 4, 6, 7}
kümesinin elemanları kullanılarak dört basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir?
1.
5 mektup 6 farklı posta kutusundan postalanacaktır.
Her mektup farklı posta kutusundan postalana-
A) 125
B) 250
C) 375
D) 500
E) 625
cağına göre, postalama işlemi kaç farklı şekilde
gerçekleştirilebilir?
A) 1440 B) 720
C) 360
D) 180
E) 120
6.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı
500 den büyük kaç tek doğal sayı yazılabilir?
2.
A) 60
5 mektup 6 farklı posta kutusundan kaç farklı şe-
B)72 C) 76
D) 84
E) 96
kilde postalanabilir?
A) 6 ⋅ 66 B) 5 ⋅ 65
C) 5 ⋅ 64
D) 56
E) 65
7.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı,
rakamları farklı ve 400 den küçük kaç doğal sayı
3.
yazılabilir?
4 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı bir kümeye
kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
A) 20
B) 4 ⋅ 52
C) 5 ⋅ 44
D) 54
A) 12
3 elemanlı bir kümeden 7 elemanlı bir kümeye
kaç farklı bire bir fonksiyon tanımlanabilir?
A) 120
B) 210
C) 4 ⋅ 35
D) 54
C) 24
D) 36
E) 48
E) 45
8.
4.
B) 18
E) 45
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanları kullanılarak 3000 ile 5000
arasında rakamları farklı kaç tek doğal sayı yazılabilir?
A) 140
B) 120
C) 80
D) 60
10. SINIF MATEMATİK
E) 48
295
Permütasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
9.
13.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları fark-
lı, üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
A) 120
B) 105
C) 75
D) 60
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, üç basamaklı 5 ile bölünemeyen kaç sayı yazılabilir?
E) 45
A) 24
10.
14.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları fark-
C) 64
D) 72
D) 64
E) 72
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı
lir?
labilir?
B) 48
C) 48
ve sadece iki rakamı aynı olan kaç sayı yazılabi-
lı, üç basamaklı 400 den büyük kaç çift sayı yazı-
A) 36
B) 36
A) 120
E) 84
B) 60 15.
C) 40
D) 20
E) 10
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak en az iki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
11. Onlar basamağı tek sayı, birler basamağı çift sayı
A) 65
B) 50
C) 45
D) 25
E) 20
olan iki basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
16.
3
1
14243
Harf
14243
Rakam
Alfabenin belirli 20 harfi ve {1, 2, 3, 4} kümesinin
elemanları kullanılarak yukarıdaki şartlara uygun
kaç tane Hatay plakası oluşturulabilir?
12. Onlar basamağı çift, birler basamağı tek olan iki
basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 10
1.B
296
2.E
B) 15
3.D
C) 20
4.B
10. SINIF MATEMATİK
5.C
D) 25
6.D
E) 30
7.D
8.A
A) 12800
9.B
B) 16000
D) 20800
10.E
11.D
12.C
C) 19200
E) 25600
13.D
14.B
15.A
16.E
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
TEST - 3
B) 4
C) 5
D) 6
5
6
B)
8
11
C)
9
11
D)
5
18
E)
7
19
E) 7
6.
toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
olduğuna göre n kaçtır?
A) 3
3.
B) 4
C) 5
D) 6
4.
C) 2
D) 3
toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
C) 2
D) 3
E) 4
olduğuna göre, P(n – 1, 2) kaçtır?
A) 56
P(n + 1, 2) = 72
B) 42
C) 30
D) 20
E) 12
D) 24
E) 30
E) 4
0! + 1! + 2! + ... + 60!
A) 2
B) 1
7.
toplamının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
B) 1
2! + 4! + 6! + ... + 2010!
E) 8
0! + 5! + 10! + ...+ 100!
A) 0
işleminin sonucu kaçtır?
A)
(2n + 1)! 18 ⋅ (n + 1)!
=
(2n − 1)! 5 ⋅ (n − 1)!
2.
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
(n + 2)!
= 20
n!
1.
10! − 9!
10! + 9!
5.
E) 6
8.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
P(3, 3) + P(4, 4)
B) 7
C) 12
10. SINIF MATEMATİK
297
Permütasyon
9.
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
5 kişi yan yana duran 3 sandalyeye ikisi ayakta
13. 5 farklı tarih, 4 farklı coğrafya ve 3 farklı Türkçe
kalmak üzere kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
kitabı, her iki uçta da Türkçe kitabı olması koşuluyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
E) 75
A) 3 ⋅ 10!
B) 6 ⋅ 9!
D) 12 ⋅ 10!
C) 6 ⋅ 10!
E) 1210 ⋅ 10!
14. 3 farklı matematik, 5 farklı fizik ve 4 farklı kimya
kitabı belli iki kitap yan yana gelmek şartıyla kaç
10. 4 kişi yan yana duran 5 sandalyeye kaç farklı şe-
farklı şekilde dizilirler?
kilde oturabilir?
A) 120
B) 80
C) 60
D) 40
A) 2 ⋅ 12! B) 2 ⋅ 11! C) 720
E) 20
15.
11. 5 farklı matematik, 3 farklı fizik ve 2 farklı kimya
D) 1440
E) 120
“GÜLİZAR”
kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek sesli
lir?
re bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
C) 5040
A) 180
12. 3 farklı matematik, 2 farklı fizik ve 3 farklı kimya
kitabı 2 fizik kitabı yanyana gelmemek şartıyla bir
rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
A) 5 ⋅ 6!
D) 6 ⋅ 7!
1.A
298
2.B
3.C
10. SINIF MATEMATİK
5.C
C) 6 ⋅ 6!
6.B
D) 1440
E) 2160
Aynı statüde olanların isimleri alt alta gelmek
şartıyla kaç değişik isim listesi yapılabilir?
A) 72
7.C
C) 720
ekibinin isim listesi yapılacaktır.
E) 7 ⋅ 7!
4.E
B) 360
16. 4 doktor ve 3 hemşireden oluşan 7 kişilik bir sağlık
B) 5 ⋅ 7!
E) 120
harfle başlayan kaç farklı sözcük oluşturulabi-
kitabı, aynı branşın kitapları yan yana olmak üze-
A) 9600 B) 8640
D) 360
8.E
9.D
10.A
B) 144
11.B
12.D
C) 216
13.B
D) 288
14.B
15.E
E) 360
16.D
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Permütasyon
5.
TEST - 4
6 mühendis ve 5 teknisyen arasından, 2 mühendis ve 3 teknisyenden oluşan 5 kişilik bir teknik
komisyon kaç değişik şekilde oluşturulabilir?
A) 150
1.
B) 4
C) 5
D) 6
P(2n, 2) = 3 ⋅ P(n – 1, 2) + 54
E) 1800
B) 5
C) 7
D) 9
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan
üçlü permütasyonların kaç tanesinde 5 bulun-
olduğuna göre n doğal sayısı kaçtır?
A) 4
maz 6 bulunur?
E) 12
A) 12
B) 24
C) 36
D) 48
E) 60
x > y olmak üzere x ve y doğal sayıları için,
P(x – y, 2) = 6
7.
P(x + y, 2) = 42
olduğuna göre (x, y) ikilisi aşağıdakilerden han-
kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan üçlü
A) 24
A) (5, 2)
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
permütasyonların kaç tanesinde 1 veya 6 bulunur?
gisidir?
D) 1440
E) 7
6.
2.
3.
C) 720
olduğuna göre, n doğal sayısı kaçtır?
A) 3
B) 180
P(n, 2) + P(n, 1) = P(5, 2) + 5
B) (5, 3)
D) (7, 2)
B) 48
C) 60
D) 96
E) 120
C) (6, 3)
E) (7, 3)
8.
Aralarında bir teknik direktör ve bir masörün de bulunduğu 7 kişilik bir atletizm takımı yan yana fotoğraf çektirecektir.
4.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Teknik direktör ve masörün yan yana gelmeme-
kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan 4 lü
si koşuluyla bu takım kaç farklı şekilde fotoğraf
permütasyonların kaç tanesinde 6 rakamı bulunur?
çektirebilir?
A) 120
A) 720
B) 180
C) 210
D) 240
E) 360
B) 1440
C) 2880
D) 3600 E) 5040
10. SINIF MATEMATİK
299
Permütasyon
9.
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
5 Avrupalı, 3 Asyalı, 2 Afrikalı yuvarlak bir masa
13. 5 farklı anahtar yuvarlak ve maskotlu bir anahtar-
etrafında 5 Avrupalı yan yana olmak koşuluyla
lığa kaç farklı şekilde takılabilir?
kaç farklı şekilde oturabilirler?
A) 5! ⋅ 5!
A) 180
B) 6! ⋅ 5!
D) 6! – 5!
B) 120
C) 60
D) 24
E) 12
C) 10! – 5!
E) 5! – 5
14.
CİMBOMBOM
kelimesinin harfleri kullanılarak yazılacak 9 harften oluşan sözcüklerin kaçında B, O, M harfleri
“BOM” biçiminde bulunur?
10. 2 futbolcu, 3 voleybolcu ve 5 basketbolcu yuvarlak bir masa etrafında 3 voleybolcunun üçü birden
A) 30
B) 60
C) 90
D) 120
E) 150
yan yana olmamak koşuluyla kaç farklı şekilde
oturabilirler?
B) 3! ⋅ 7!
A) 7!
D) 10! – 3! ⋅ 7!
C) 9! – 7! ⋅ 3!
E) 10! – 3!
15.
Şekildeki çizgiler bir
kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir.
11. 4 erkek ve 4 kız yuvarlak bir masa etrafına iki kız
kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir?
arasına bir erkek oturmak şartıyla, kaç farklı şe-
A) 6
kilde oturabilirler?
A) 36
B) 72
C) 144
D) 288
12. 5 evli çift yuvarlak bir masa etrafına her çift birlikte olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler?
1.C
300
2.B
B) 384
3.A
C) 600
4.D
10. SINIF MATEMATİK
5.A
D) 768
6.C
B) 12
C) 18
D) 24
E) 32
E) 576
16.
A) 192
[CD] yolunu kullanmak şartıyla, A dan B ye en
E) 1536
7.D
8.D
O
K
T
K
T
A
T
A
Y
A) 4
9.A
10.C
B) 6
11.C
Yandaki şekilde O harfinden başlayıp ardışık
harfleri takip ederek OKTAY kelimesi kaç farklı
şekilde okunabilir?
C) 12
12.D
13.E
D) 16
14.B
15.D
E) 24
16.B
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON
BİNOM - BÖLÜM 06
KOMBİNASYON
KOMBİNASYON
Hazine Avı
TANIM
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı
C(n, r) olsun. Her bir alt kümenin r! kadar farklı dizilişi var-
n, r ∈ N ve 0 ≤ r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinden her birine A kümesinin
dır. O halde, tüm dizilişlerin sayısı r! ⋅ C(n, r) olur. Diğer
yandan, tüm dizilişlerin sayısı P(n, r) idi.
O halde
r li bir kombinasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r
n
elemanlı kombinasyonlarının sayısı C(n, r) veya  r  bi 
r! ⋅ C(n, r) = P(n, r)
C(n,r ) =
olur.
çiminde gösterilir.
P(n,r ) =
Kombinasyon ve permütasyon arasındaki farkı görebilmek için A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları ile rakamları
yazalım.
C(n,r ) =
olur.
{1, 2, 3}
{1, 2, 4}
{1, 3, 4}
{2, 3, 4}
n!
(n − r )!
olduğundan
tekrarsız 3 basamaklı sayıları ve 3 elemanlı alt kümelerini
3 elemanlı kombinasyonları
P(n,r )
r!
n!
r !⋅ (n − r )!
Hazine 5
Permütasyonları
123
132
213
231
312
321
n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonlarının,
124
142
214
(r elemanlı alt kümelerinin) sayısı,
241
412
421
134
143
314
341
413
431
234
243 324
342
423
n
n!
C(n, r ) =   =
r
r
!
(
n
− r )!
 
dir.
432
Uyarı
A kümesinin 3 elemanlı alt kümeleri, başka bir ifadeyle 3
Bir kümenin bir kombinasyonu, o kümenin bir alt
elemanlı kombinasyonlarının sayısı 4 iken 3’lü permütas-
kümesi olduğundan, kombinasyonda sıra kavramı
yonları 24 tanedir.
yoktur (Herhangi bir kümede elemanların yerlerinin
Sağ taraftaki alt kümelerin her birinin farklı dizilişi sol ta-
lanış önemlidir. Kombinasyonda ise sıralanış önemli
rafta verilmiştir.
değişmesi kümeyi değiştirmez). Permütasyonda sıradeğildir.
Bu yüzden, seçim yapma ve gruplama işlemleri kombi-
Aşağıdaki Hazine Avı, kombinasyon hesabının nasıl yapılacağını göstermektedir.
nasyonla, sıralama ve dizme işlemleri permütasyonla
hesaplanır.
10. SINIF MATEMATİK
301
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DNA 25
Işık 3
8 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır?
A) 70
B) 110
C) 150
D) 180
E) 210
n
n!
1!
= =1
 =
 n  n!⋅ (n − n)! 0!
olduğundan C (n, n) = 1 dir.
P(n,r )
n!
=
r!
r !⋅ (n − r )!
olduğundan soruyu her iki formülü de kullanarak bulalım.
C(8, 4) =
n
n!
n!
= =1
 =
 0  0!⋅ (n − 0)! n!
olduğundan C (n, 0) = 1 dir.
•
Çözüm
C(n,r ) =
•
P(8, 4) 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5
=
= 70
4!
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
•
n
n!
 =
ve
 r  r ! ⋅ (n − r )!
 n 
n!
n!
=

=
 n − r  (n − r )! ⋅ (n − n + r )! (n − r )! ⋅ r !
olur. Veya,
C(8, 4) =
8!
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4!
=
= 70
4!⋅ (8 − 4)! 4!⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
n  n 
olduğundan   = 

 r  n − r 
n n
•   =   ise x + y = n ya da x = y dir.
x y
olur.
Doğru Seçenek A
n  n 
•   = 
 = n dir.
 1   n − 1
 n − 1  n − 1  n 
• 
+
 =   dir.
 r − 1  r   r 
7 elemanlı bir kümenin 5 elemanlı kombinasyonlarının
sayısı kaçtır?
A) 18
B) 21
IŞIK 3’e alışmak için aşağıdaki örneklere bakalım.
C) 28
D) 35
E) 42
 10   10 
 =  ,
7 3
 20   20 
  =   =1
 0   20 
7 + 3 = 10
 10   10   11
 + = 
8 9 9
6 kişilik bir topluluktan 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
A) 32
302
B) 28
10. SINIF MATEMATİK
C) 24
D) 20
E) 16
 11  11  12   12   12   13 
 + + = + = 
5
 6  7   6   7   7 
 12 
 
6
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Kombinasyon
DNA 26
DNA 27
8  8 
 =

 x   3x − 4 
olduğuna göre x in alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 8
5 erkek ve 3 kız öğrenci arasından 3 kişilik bir komisyon seçilecektir.
I.
Kaç farklı komisyon kurulabilir?
II.
2 erkek ve 1 kız öğrenciden oluşan kaç farklı komisyon kurulabilir?
III. En az bir erkek öğrencinin bulunduğu kaç farklı
Çözüm
komisyon kurulabilir?
İki durum mümkün ya x ve 3x – 4 değerlerinin toplamı 8
dir, ya da x ve 3x – 4 birbirine eşittir. (IŞIK 3)
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerden hangisidir?
x + 3x – 4 = 8 ise 4x = 12
I
II
III
A) 56
30
45
B) 56
30
55
x = 3x – 4 ise 2x = 4
C) 112
60
10
D) 112
90
45
E) 336
60
15
x = 3 tür.
x = 2 dir.
Alabileceği değerlerin toplamı 2 + 3 = 5 olur.
Doğru Seçenek D
Çözüm
I.
 n   n   n + 1  10 
 + +
= 
 2 3  4   4 
8 8 ⋅ 7 ⋅ 6 8 ⋅ 7 ⋅ 6
=
= 56
 =
3!
3 ⋅ 2 ⋅1
3
olduğuna göre n kaçtır?
A) 5
B) 6
8 öğrenci arasından 3 öğrenci seçeceğimizden,
farklı komisyon kurulabilir.
C) 7
D) 8
E) 9
II.
5 erkek arasından 2 erkek ve 3 kız arasından 1 kız
seçeceğimizden,
5 3 5 ⋅ 4 3
⋅ = 10 ⋅ 3 = 30
 ⋅  =
2! 1!
 2   1
farklı komisyon kurulabilir.
III. En az 1 erkek öğrencinin bulunması birden fazla erkek öğrencinin de bulunabileceği anlamına gelir.
O halde,
C(3n, 2) = 7 ⋅ C(3n, 3n – 1)
1 erkek öğrencinin bulunduğu 3 kişilik bir komisyon
olduğuna göre n kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
5 3 5 3 ⋅ 2
= 15
 ⋅  = ⋅
 1   2  1! 2!
10. SINIF MATEMATİK
303
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
farklı şekilde,
2 erkek öğrencinin bulunduğu 3 kişilik bir komisyon
5 3 5 ⋅ 4 3
⋅ = 30
 ⋅  =
2! 1!
 2   1
6 mühendis ve 5 teknisyen arasından 3 mühendis ve 2
teknisyenden oluşan bir ekip oluşturulacaktır.
farklı şekilde,
Mühendis Ceyhun ve teknisyen Uğur’un bu ekipte bu-
3 erkek öğrencinin bulunduğu 3 kişilik bir komisyon
5 3 5 ⋅ 4 ⋅ 3
⋅ 1 = 10
 ⋅  =
3!
3 0
lunması şartıyla kaç farklı ekip oluşturulabilir?
A) 40
B) 60
C) 80 D) 100
E) 120
farklı şekilde kurulabildiğinden en az bir erkek öğrencinin
bulunduğu komisyon
15 + 30 + 10 = 55
farklı şekilde kurulabilir.
DNA 28
“En az bir” koşulunun sorulduğu soruları
Tüm Durumlar – İstenmeyen Durumlar
6 kişilik bir topluluktan seçilen 3 kişi bir sıra halin-
formülü ile çözmek daha kolaydır.
de kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Tüm Durumlar = Koşulsuz olarak kurulabilecek 3 kişilik
A) 40
B) 60
C) 80
D) 100
E) 120
8 8 ⋅ 7 ⋅ 6
= 56
komisyon sayısı =   =
3⋅2
3
İstenmeyen Durumlar = Hiçbir erkeğin olmadığı komisyon sayısı = Sadece kızlardan oluşan komisyon sayısı
3
=   =1
3
En az bir erkeğin bulunduğu 3 kişilik komisyon sayısı
= 56 – 1 = 55
Doğru Seçenek B
Çözüm
Önce 6 kişiden 3 kişiyi seçeceğiz. Daha sonra bu 3 kişiyi
sıralayacağız.
6
6 kişiden 3 kişi   farklı şekilde seçilir.
3
3 kişi 3! farklı şekilde sıralanabilir.
O halde 6 kişi içinden seçilen 3 kişi
6
6⋅5⋅4
⋅ 3! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
  ⋅ 3! =
3!
3
farklı şekilde sıralanabilir.
6 bay ve 6 bayan arasından 4 kişi seçilecektir.
Bu 4 kişiden en az üçünün bay olması şartı ile kaç
farklı seçim yapılabilir?
A) 55
304
B) 80
10. SINIF MATEMATİK
C) 100
D) 115
E) 135
Doğru Seçenek E
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Kombinasyon
O halde,
 4 6 4 ⋅ 3 ⋅ 2 6 ⋅ 5 ⋅ 4
⋅
 ⋅  =
3!
3!
3 3
5 basketbolcudan 3 kişi ve 4 voleybolcudan 2 kişi seçilerek bir hatıra fotoğrafı çekilecektir.
= 4 ⋅ 5 ⋅ 4 = 80
3 basketbolcu arkada ve 2 voleybolcu önde olmak
üzere kaç farklı poz verilebilir?
A) 180
C) 720
B) 360
D) 960
E) 1440
olur.
II. durum: İlk 4 sorunun 4 ünü cevaplarsa, kalan 2 soruyu
6 soru içinden seçecektir.
O halde
 4   6  4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 6 ⋅ 5
⋅
 ⋅  =
4!
2!
 4  2
= 1⋅ 15 = 15
olur.
Bir başkan, bir başkan yardımcısı ve 5 üyeden oluşan bir yö-
Toplam seçim sayısı
netim kurulu sıra halinde dizilerek fotoğraf çektireceklerdir.
Başkan ile yardımcısı arasında 3 üye olmak üzere kaç
değişik şekilde fotoğraf çektirebilirler?
A) 120
B) 180
C) 360
D) 720
80 + 15 = 95
olur.
Doğru Seçenek C
E) 1440
10 sorudan oluşan ve soruların seçmeli olduğu bir sınavda bir
öğrenciden 8 soru seçerek cevaplandırması istenmektedir.
DNA 29
İlk 4 soruyu cevaplamak zorunda olan bu öğrenci kaç
10 sorudan oluşan ve soruların seçmeli olduğu bir sı-
farklı seçim yapabilir?
navda bir öğrenciden 6 soru seçerek cevaplandırması
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 120
istenmektedir.
İlk 4 sorudan en az üçünü cevaplamak zorunda
olan bu öğrenci kaç farklı seçim yapabilir?
A) 60
B) 80
C) 95
D) 115
E) 135
Çözüm
10 sorudan oluşan ve soruların seçmeli olduğu bir sınavda bir
İlk 4 sorudan en az üçünü cevaplamak zorunda olduğun-
öğrenciden 7 soru seçerek cevaplandırması istenmektedir.
dan iki durum söz konusudur.
İlk 4 sorudan en az üçünü cevaplamak zorunda olan
I. durum: ilk 4 sorunun 3 ünü cevaplarsa kalan 3 soruyu 6
bu öğrenci kaç farklı seçim yapabilir?
soru içinden seçecektir.
A) 60
B) 80
C) 100
D) 120
10. SINIF MATEMATİK
E) 180
305
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DNA 30
Aynı renkteki boncuklar özdeş olmak üzere 4 kırmızı ve 5 beyaz boncuk, kırmızı boncuklardan herhangi ikisi yan yana olmamak şartıyla bir sırada
kaç farklı şekilde dizilebilirler?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
Aynı renkteki boncuklar özdeş olmak üzere 4 kırmızı ve 6 beyaz boncuk, kırmızı boncuklardan herhangi
ikisi yan yana olmamak şartıyla bir sırada kaç farklı
şekilde dizilebilir?
A) 15
C) 35
B) 25
D) 45
E) 75
Çözüm
Kırmızı boncukların yan yana olmaması istendiğinden
önce beyaz boncukları aralarına bir boşluk bırakarak yerleştirelim. Beyaz boncukları B ile kırmızı boncukları K ile
gösterelim.
B
B
B
B
B
8 kişilik bir kafileden 4 kişi Ankara’ya, 4 kişi İstanbul’a gidecektir.
Bu iki grup kaç değişik biçimde oluşturulabilir?
B) 70
A) 35
C) 140
D) 210
E) 280
Kırmızı boncukların
yerleştirileceği yerler
DNA 31
Beyaz boncuklar özdeş olduğundan yalnız bir şekilde
sıralanabilirler. Bu durumda 4 kırmızı boncuğun yerle-
Bir okulda okutulan 8 seçmeli dersten belli 3’ü aynı
şebileceği 6 boş yer vardır. Kırmızı boncuklar da özdeş
saatte okutulmaktadır.
olduğundan kendi aralarında farklı sıralama söz konusu
3 ders seçmek isteyen bir öğrenci kaç farklı şekil-
değildir.
de seçim yapabilir?
O halde 6 boş yerden 4 ü seçilerek kırmızı boncukları yer-
A) 32
B) 40
C) 48
D) 60
E) 80
leştireceğiz. 6 boş yerden 4 ü,
6 6 6 ⋅ 5
= 15
 = =
2!
 4  2
biçiminde seçileceğinden 9 boncuk herhangi iki kırmızı
yan yana gelmeyecek şekilde 15 farklı biçimde dizilebilir.
Doğru Seçenek A
Çözüm
A, B, C, D, E dersleri farklı saatlerde okutulan dersler ve
X, Y, Z dersleri aynı saatte okutulan 3 ders olsun.
A, B, C, D, E X, Y, Z
 


5 ders
3 ders
X, Y, Z dersleri aynı saatte okutulduğundan bu derslerden
en fazla birini seçebilir.
306
10. SINIF MATEMATİK
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Kombinasyon
O halde iki durum vardır.
DNA 32
İlk durum, seçilecek 3 dersin tamamı A, B, C, D, E derslerinden seçilebilir.
Bir toplantıya katılan kişilerin herbiri bir diğeriyle to-
5 3 5 ⋅ 4 ⋅ 3
⋅ 1 = 10
 ⋅  =
3!
3 0
kalaşmıştır.
120 tokalaşma gerçekleştiğine göre bu toplantıya
olur.
kaç kişi katılmıştır?
İkinci durum, seçilecek 3 dersin ikisi A, B, C, D, E dersle-
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
rinden biri X, Y, Z derslerinden seçilebilir.
5 3 5 ⋅ 4 3
⋅ = 30
 ⋅  =
2! 1!
 2   1
Çözüm
olur.
Buna göre, bu üç ders 10 + 30 = 40 farklı şekilde seçilebilir.
Doğru Seçenek B
Toplantıya n kişi katılmış olsun. Tokalaşma 2 kişi arasında
olduğundan aslında 2 kişilik kaç farklı grup olduğu verilmiş
bize.
O halde,
n
  = 120
 2
n ⋅ (n − 1)
= 120
2!
n(n − 1) = 240
Bir okulda okutulan 6 seçmeli dersten belli 3’ü aynı saatte
okutulmaktadır.
n(n − 1) = 16 ⋅ 15
2 ders seçmek isteyen bir öğrenci kaç farklı şekilde
seçim yapabilir?
A) 12
B) 18
olduğundan n = 16 dır. Yani toplantıya 16 kişi katılmıştır.
C) 24
D) 36
E) 48
6 erkek ve 2 kızdan 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır.
Ekipte en az 1 kız olmak zorunda olduğuna göre bu
B) 48
C) 56
10 futbol takımının katıldığı bir turnuvada her takım diğer
takımlarla bir maç yapacaktır.
Buna göre bu turnuvada toplam kaç maç yapılır?
ekip kaç farklı biçimde kurulabilir?
A) 36
Doğru Seçenek C
D) 64
E) 72
A) 15
B) 25
C) 35
D) 45
10. SINIF MATEMATİK
E) 65
307
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Bunu,
 4  2  2 4 ⋅ 3
⋅ 2 ⋅ 2 = 24
      =
2!
 2   1  1
Bir çalıştaya katılan bilim insanlarının her biri bir diğeriyle
tokalaşmıştır.
4 çiftten
Toplam 66 tokalaşma gerçekleştiğine göre bu toplan-
Bir çiftten Diğer çiftten
2 sini seç bir kişi seç
1 kişi seç
tıya kaç kişi katılmıştır?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
farklı şekilde yapabiliriz.
O halde 5 evli çift arasından içinde sadece 1 evli çift bulunan 4 kişilik ekip
5 ⋅ 24 = 120
farklı biçimde seçilebilir.
Doğru Seçenek C
DNA 33
5 evli çift arasından içinde sadece 1 evli çift bulunan 4 kişilik bir ekip kaç değişik biçimde seçilebilir?
A) 60
B) 90
C) 120
D) 180
E) 240
4 evli çift arasından içinde evli çift bulunmayan 3 kişilik bir ekip kaç değişik biçimde seçilebilir?
A) 12
B) 16
C) 24
D) 32
E) 36
Çözüm
Sadece bir evli çift olacağından bu bir evli çifti, 5 evli çift
arasından seçelim. Bu seçimi,
5
 =5
 1
farklı şekilde yapabiliriz. Böylece ekip için 2 kişi seçmiş
olduk. Ekip 4 kişi olacağına göre, iki kişi daha seçmeliyiz
ve bu iki kişinin birbiriyle evli olmama koşulunu sağlamalıyız.
5 evli çift arasından içinde en az bir evli çift bulunan 4
Geriye kalan 4 evli çiftten 2 çift seçip, bu çiftlerden de birer
kişilik bir ekip kaç değişik biçimde seçilebilir?
kişi seçersek, birbiriyle evli olmayan 2 kişi seçmiş oluruz.
A) 120
308
10. SINIF MATEMATİK
B) 130
C) 140
D) 160
E) 170
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Kombinasyon
9. sınıfta işlediğiniz Kümeler konusundan bir Hatırlatma
Uyarı
yapalım:
n, r ∈ N ve 0 ≤ r ≤ n olmak üzer, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinden her birine A kümesinin r li
kombinasyonu dendiğinden bahsetmiştik.
DNA 34’ teki soru “ 6 elemanlı bir kümenin en az 2
elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır” biçiminde de sorulabilirdi. En az dendiği için 2 den fazla elemanlı alt
O halde n elemanlı bir kümenin,
kümelerini de hesaba katarak çözümümüz
6 6 6 6 6
 + + + + 
 2 3  4 5  6
n
0 elemanlı alt kümelerinin sayısı   ,
0
biçiminde olmalıydı. Bu işlemi biraz daha pratik yapa-
n
1 elemanlı alt kümelerinin sayısı   ,
 1
bilmek için
6 6 6 6 6 6 6
6
 + + + + + + =2
 0   1  2   3   4   5   6 
n
2 elemanlı alt kümelerinin sayısı   ,
 2
.
..
.
.
..
.
olduğunu hatırlayın. Bu şartlarda
n
n elemanlı alt kümelerinin sayısı  
n
olur. n elemanlı bir kümenin 2n tane alt kümesi olduğun-
olur ki eşitliğin sağ tarafını hesaplamanın daha kolay
6 6 6 6 6
6 6 6
 + + + +  = 2 − − 
2
3
4
5
6
         
 0   1
olduğuna dikkat etmişsinizdir.
dan,
n n n
n
n
  +   +   + ... +   = 2
0
1
2
     
n
dir.
DNA 34
6 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 12
B) 14
5 elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümeleC) 18
D) 20
E) 22
rinin sayısı kaçtır?
A) 18
B) 22
C) 26
D) 28
E) 32
Çözüm
En çok iki elemanlı alt kümeleri sorulduğundan 2 den az
elemanlı alt kümelerini de saymalıyız.
O halde en çok iki elemanlı alt kümelerinin sayısı,
6 6 6
  +   +   = 1 + 6 + 15 = 22
 0   1  2 
dir.
Doğru Seçenek E
7 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 128
B) 121
C) 112
D) 107
10. SINIF MATEMATİK
E) 99
309
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
III. İstenen 4 elemanlı alt kümelerin iki elemanı a ve b
DNA 35
olduğundan, biz diğer iki elemanı {c, d, e, f} kümesinden
seçersek içinde a ve b nin bulunduğu 4 elemanlı alt küme
A = {a, b, c, d, e, f}
sayısını buluruz.
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde,
I.
a bulunur?
II.
b bulunmaz?
IV. a veya b nin bulunduğu alt kümelerde a veya b den
en az biri bulunacak demektir. Buna göre, tüm 4 eleman-
IV. a veya b bulunur?
Yukarıdaki soruların doğru cevapları aşağıdakilerin hangisinde verilmiştir?
I
 4 4 ⋅ 3
=6
 =
2!
 2
olur.
III. a ve b birlikte bulunur?
O halde
II
lı alt kümelerin sayısından a ve b elemanlarının dışında
kalan elemanların oluşturduğu {c, d, e, f} kümesinin 4
elemanlı alt kümelerinin sayısı çıkarılırsa, a veya b nin
III
IV
A) 10
10
5
12
B) 10
5
6
14
C) 10
10
6
12
D) 20
5
12
14
E) 20
5
12
12
eleman olarak bulunduğu 4 elemanlı alt kümelerin sayısı
bulunmuş olur.
O halde
6  4 6
6⋅5
= 14
  −   =   −1=
4
4
2
2!
     
olur.
Doğru Seçenek B
Çözüm
I.
a nın kesinlikle olması istendiğinden a yı dışarı ata-
lım. Artık {b, c, d, e, f} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerini
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
arıyoruz.
O halde,
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1
5 5 ⋅ 4 ⋅ 3 5 ⋅ 4 ⋅ 3
=
= 10
 =
3!
3 ⋅ 2 ⋅1
3
farklı küme yazılabilir. Bu 3 elemanlı 10 kümenin her biri-
elemanı bulunur, 2 elemanı bulunmaz?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 32
ne dışarı attığımız a elemanını eklediğimizde, artık içinde
a nın bulunduğu 4 elemanlı kümeleri elde etmiş oluruz.
Yani yanıtımız 10.
II.
b nin olmadığı 4 elemanlı alt kümeler istendiğinden
b yi atalım. Geriye {a, c, d, e, f} kümesi kalır. Buna göre
bu 5 elemanlı kümenin 4 elemanlı alt kümelerini yazarsak
içinde b olmayan alt kümeler elde ederiz.
O halde,
5 5 5
 = = =5
 4   1  1!
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en
çok bir çift sayı bulunur?
A) 30
olur.
310
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
10. SINIF MATEMATİK
B) 35
C) 40
D) 45
E) 60
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Kombinasyon
DNA 36
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
a, b, c birer rakam ve
kümesinin elemanları ile abc biçiminde üç basamaklı do-
0≤c<b<a<8
ğal sayılar yazılacaktır.
olmak üzere, kaç farklı üç basamaklı sayı yazılabilir?
A) 14
B) 20
C) 28
D) 42
E) 56
a > b > c koşulu ile kaç farklı sayı yazılabilir?
A) 60
B) 100
C) 120
D) 160
E) 180
Çözüm
a, b ve c rakamı için verilen sınırlar,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanlarını kullanmamız gerektiğini söylüyor.
Bu kümenin elemanlarını kullanarak elde edeceğimiz 3
kümesinin elemanları ile abcd biçiminde dört basamaklı
doğal sayılar yazılacaktır.
a < b < c < d koşulunu sağlayan ve rakamları tek olan
elemanlı alt kümelerin bazılarına bakalım.
kaç farklı sayı yazılabilir?
{0, 1, 2} kümesini seçersek verilen şartı sağlayan bir tek
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
üç basamaklı sayı yazabiliyoruz o da 210.
{0, 2, 5} kümesi ile sadece 520,
{1, 5, 7} kümesi ile sadece 751.
Görüldüğü gibi elimizdeki kümeden seçilen 3 rakam ile istenen koşullarda sadece 1 sayı yazılabiliyor.
O halde istenen koşullardaki üç basamaklı sayıların sayısı
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin
sayısı kadardır.
Düzlemde Verilen Bazı Noktalardan Doğrulardan Bazılarını Seçme Problemleri
Başlıktan da tahmin edeceğiniz gibi burada,
“Şu kadar noktadan kaç doğru geçer?”,
“Bu kadar noktayı köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir?”
Yani,
gibi soruları inceleyeceğiz.
8 8 ⋅ 7 ⋅ 6 8 ⋅ 7 ⋅ 6
=
= 56
 =
3!
3 ⋅ 2 ⋅1
3
olur.
Bildiğiniz gibi, düzlemde farklı iki noktadan yalnız bir doğru geçer. İki nokta değil de daha fazla sayıda nokta olsaydı ne olurdu? Biraz somut konuşabilmek için aşağıdaki iki
Doğru Seçenek E
soruyu ele alalım. Düzlemde farklı dört nokta,
(i)
En az kaç doğru belirtir?
(ii) En çok kaç doğru belirtir?
10. SINIF MATEMATİK
311
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
İlk sorunun cevabı açıktır, zira dört noktayı doğrusal dü-
DNA 37
şünürsek:
Bir çember üzerindeki 6 nokta en çok kaç doğru
Farklı dört nokta en az bir doğru belirtir.
İkinci soruya cevap verebilmek için noktaların herhangi
geçer?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
üçünü doğrusal olmayacak şekilde düşünmeliyiz.
Çözüm
��
��
��
��
��
��
Farklı dört nokta en çok altı doğru belirtir. Bu soruları çiz-
Bu altı nokta çember üzerinde olduğundan herhangi üçü
mek yerine öyle bir yol geliştirmeliyiz ki hiç çizim yapmaya
doğrusal değildir.
ihtiyacımız kalmasın. Ayrıca, bu yolu sadece “doğru” be-
Cevap Hazine 6’dan,
lirleme sorularında değil, “üçgen, dörtgen” vb. belirleme
6 6 ⋅ 5
= 15
 =
2!
 2
sorularında da kullanabilmeliyiz.
olur.
Hazine Avı
Doğru Seçenek C
Düzlemde birbirinden farklı iki noktadan yalnız bir doğru
geçer. Buna göre, birbirinden farklı iki nokta yalnız bir
doğru belirtir.
Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan farklı n noktan
dan herhangi ikisini   farklı şekilde seçebileceğimize
 2
Bir çember üzerindeki 5 nokta en çok kaç doğru be-
n
göre, bu n nokta en çok   doğru belirtir.
 2
A) 5
lirtir?
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
Hazine 6
Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan farklı n
n
nokta en çok   doğru belirtir.
 2
312
10. SINIF MATEMATİK
8 farklı nokta en çok kaç doğru belirtir?
A) 18
B) 22
C) 28
D) 32
E) 44
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Kombinasyon
Önceki DNA’mızda verilen noktaların herhangi üçü doğrusal değildi. Bazen üç ya da daha fazla noktası doğrusal
olan bir noktalar kümesinin en çok kaç doğru belirtebile-
��
�
ceği sorulur.
�
�
Hazine Avı
�
�
�
�
�
��
Aşağıdaki örneği inceleyelim.
O, E, F, G noktaları 6 doğru belirtmiyor, fakat bir tane doğ-
�
�
ru (d1) belirtiyor. Aynı şekilde O, A, B, C, D noktaları 10
�
�
doğru belirtmiyor, fakat bir tane doğru (d2) belirtiyor. Bu
�
�
�
�
Yukarıdaki 8 nokta en çok kaç doğru belirtir?
yüzden 2. adımda bulduğumuz 12 sayısına 2 eklememiz
gerekir.
Bu tür, en az üç noktası doğrusal olan noktalar kümesi ile
12 + 2 = 14
karşılaştığımızda üç adımlık bir strateji izleyeceğiz.
Bu 3 adımda yaptığımız işlemleri bir seferde yazacak olursak,
Noktalardan herhangi üçü doğrusal değilmiş gibi düşü-
8  4 5
  −   −   + 2 = 14
 2  2  2
nüp, belirtilebilecek doğru sayısını bulalım.
Hazine 6’dan, bu sayı
8 8 ⋅ 7
= 28
 =
2!
 2
Demek ki söz konusu 8 nokta 14 doğru belirtirmiş.
Burada yazılanları anladıysanız, güzel bir Hazine’ye daha
sahipsiniz. Tam olarak anlamadıysanız bir daha okumanızı tavsiye ederiz, zira buradaki stratejiyi birçok soruda
olur.
kullanmanız gerekecek.
1. Adıma göre O, E, F, G ve O, A, B, C, D noktalarından
herhangi üçünü doğrusal kabul etmedik ve 28 doğru bulduk. Daha açık söylemek gerekirse, 28 sayısını bulurken,
 4  4 .3
= 6 doğru,
O, E, F, G noktalarının   =
 2  2!
Hazine 7
Düzlemde farklı n nokta verilsin ve bu noktalardan en
 5  5 .4
= 10 doğru
O, A, B, C, D noktalarının   =
 2  2!
az üçü doğrusal olsun.
belirttiğini kabul ettik. Halbuki, bu noktalar kendi araların-
Doğrusalların belirttiği
Doğrusalların
n
  – varsayılan doğruların + oluşturduğu doğruların
 2
da doğrusal olduklarından yukarıda hesapladığımız 16
doğruyu belirtemezler. Bu yüzden 28 den 16 yı çıkarma-
Bu noktalar en çok,
sayısı
sayısı
mız gerekir.
28 – 16 = 12
kadar doğru belirtir.
10. SINIF MATEMATİK
313
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DNA 38
Şekildeki ABC üçgeni-
Şekildeki yarım çem-
nin kenarları üzerindeki
ber üzerindeki 8 nokta
9 nokta ile en çok kaç
en çok kaç doğru be-
doğru belirlenebilir?
lirtir?
A) 15
B) 18
C) 21
D) 23
E) 27
A) 14
B) 16
C) 17
D) 18
E) 20
Çözüm
Hazine 6 ve Hazine 7’de gösterdiğimiz stratejiyi kullanarak aşağıdaki IŞIK’ın doğruluğunu kendiniz görmeye ça4 tane doğrusal nokta
lışın.
Hazine 7’den,
8  4
8⋅7 4⋅3
−
+1
  −   +1=
2!
2!
 2  2
Işık 4
= 28 − 6 + 1 = 23
Doğru Seçenek D
n
Düzlemde paralel olmayan n tane doğru en çok  
 2
tane noktada, en az 1 noktada kesişir.
n tane doğrudan x tanesi bir A noktasından, y tanesi
başka bir B noktasından geçiyor ve z tanesi paralelse,
bu n tane doğrunun oluşturduğu nokta sayısı en çok,
n  x  y  z
 − − − +2
 2  2  2  2
Şekilde d1 ve d2 doğruları A
ile bulunur. En sona eklediğimiz 2, A ve B noktalarıdır.
noktasında kesişmektedir.
DNA 39
Bu doğrular üzerindeki 8 nokta en çok kaç doğru belirtir?
A) 14
314
B) 16
10. SINIF MATEMATİK
C) 17
D) 18
E) 20
Düzlemde paralel olmayan 8 doğru en çok kaç
noktada kesişir?
A) 14
B) 18
C) 24
D) 28
E) 32
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Kombinasyon
Çözüm
IŞIK 4’ten,
DNA 40
Şekildeki çember üze-
8 8 ⋅ 7
= 28
 =
2
 2
rindeki 7 noktayı köşe
kabul eden kaç tane
noktada kesişir.
üçgen çizilebilir?
Doğru Seçenek D
A) 18
B) 24
C) 27
D) 35
E) 48
3 tanesi A noktasından, diğer 4 tanesi farklı bir B noktasından geçen ve paralel olmayan 7 doğru en çok kaç
Çözüm
noktada kesişir?
A) 14
B) 18
C) 24
D) 28
E) 32
Noktalar çembersel olduğundan, herhangi üçü doğrusal
olmayan noktalardır.
O halde bu noktaları köşe kabul eden
7 7 ⋅ 6 ⋅ 5 7 ⋅ 6 ⋅ 5
=
= 35
 =
3!
3 ⋅ 2 ⋅1
3
4 ü A noktasından geçen, diğer üçü kendi aralarında
(IŞIK 5)
tane üçgen çizilebilir.
paralel olan 7 doğru en çok kaç noktada kesişir?
A) 12
B) 13
C) 15
D) 16
Doğru Seçenek D
E) 18
Hazine 6 ve Hazine 7’deki stratejiyi kullanarak aşağıdaki
IŞIK’ın doğruluğunu görmeye çalışın.
Şekildeki yarım çember üzerindeki 9 noktayı köşe kabul eden kaç tane üçgen çizilebilir?
Işık 5
A) 62
B) 68
C) 74
D) 78
E) 84
Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n tane nokn
tayı köşe kabul eden en çok  3  tane üçgen çizilebilir.
 
Eğer bu n tane noktadan,
ABC üçgeni üzerindeki
x tanesi d1 doğrusu üzerinde, y tanesi d2 doğrusu üze-
eden kaç üçgen çizile-
10 noktayı köşe kabul
rinde, z tanesi d3 doğrusu üzerinde ise bu n tane nok-
bilir?
tayı köşe kabul eden üçgen sayısı,
n  x  y  z
 − − − 
3 3 3 3
olur.
A) 88
B) 92
C) 98
D) 102
10. SINIF MATEMATİK
E) 108
315
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DNA 41
ABCD bir dörtgen ve
�
ABC bir üçgen oldu-
BD ∩ AC = {E} olduğuna
ğuna göre şekilde kaç
göre, şekilde kaç tane
üçgen vardır?
�
�
üçgen vardır?
�
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 28
B) 63
A) 62
C) 64
D) 107
E) 108
Çözüm
Çözüm yöntemimizde bir değişiklik yok. Şekilde toplam 7
DNA 42
nokta vardır.
Bu 7 noktanın kaç üçgen
belirttiğini arıyoruz. [AD]
üzerindeki nokta sayısı 5,
[BC] üzerindeki nokta sayısı 3 tane.
Farklı 4 noktası belirlenmiş bir d doğrusu ve farklı 5
noktası belirlenmiş bir k doğrusu birbirine paraleldir.
Bu 9 nokta en çok kaç üçgen belirtebilir?
O halde tüm üçgenler
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 70
7 5 3 7 ⋅ 6 ⋅ 5 5 ⋅ 4 ⋅ 3
−
− 1 (IŞIK 5)
 − −  =
3!
3!
3 3 3
Çözüm
= 35 − 10 − 1
= 24
9 noktadan, d doğrusundaki 4 tanesi ve k doğrusundaki 5
tanedir.
Doğru Seçenek D
tanesi kendi aralarında doğrusaldır.
IŞIK 5’ten belirtilebilecek üçgen sayısı,
9  4 5 9 ⋅ 8 ⋅ 7 4 5 ⋅ 4
− −
 − −  =
3!
1!
2!
3 3 3
ABC bir üçgen olduğuna
�
göre şekilde kaç tane üç-
= 84 − 4 − 10 = 70
gen vardır?
bulunur.
�
A) 18
316
�
Doğru Seçenek E
�
B) 24
10. SINIF MATEMATİK
C) 32
D) 48
E) 54
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Kombinasyon
Çözüm
Üzerinde 2 nokta belirlenen d doğrusu ile d doğrusuna paralel olan ve üzerinde 4 nokta belirlenen k
doğrusu veriliyor.
Bu 6 nokta ile en çok kaç üçgen oluşturulabilir?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
Şekildeki tüm üçgenlerin bir köşesi A noktasındadır. Yani
köşelerinden biri A noktası olmayan hiçbir üçgen yoktur.
Sadece A noktası ve d1 doğrusunun oluşturduğu üçgenleri hesaplayalım. Sonra da bulduğumuz sayıyı, 4 paralel
doğru olduğu için 4 le çarpalım.
d1 doğrusunun üzerinde 5 nokta ve A noktası ile birlikte 6
noktamız var.
Üzerinde 3 nokta bulunan
d doğrusu ile d doğrusuna
IŞIK 5’ten, bu 6 nokta en çok,
paralel olan ve üzerinde 5
6 5 6 ⋅ 5 ⋅ 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3
−
 −  =
3!
3!
3 3
nokta bulunan k doğrusu
veriliyor.
= 20 − 10 = 10
Bu 8 nokta kaç farklı doğru belirtir?
A) 15
B) 17
C) 19
D) 21
E) 28
üçgen belirtir.
Birbirine paralel 4 doğrumuz olduğundan, 8 doğru toplam,
4 ⋅ 10= 40
üçgen belirtir.
DNA 43
Şekilde birbirine paralel
4 doğru ve A noktasında
kesişen 5 doğru veril-
Bir üçgen elde edebilmek için A noktasında kesişen 5
doğrudan herhangi ikisine ve paralel 4 doğrudan herhangi
birine ihtiyacımız var.
O halde bu 9 doğru,
miştir.
5  4 5 ⋅ 4
⋅ 4 = 40
 ⋅  =
2!
 2  1
Buna göre, 9 doğru en çok kaç üçgen belirtir?
A) 20
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
üçgen belirtir.
Doğru Seçenek D
10. SINIF MATEMATİK
317
Kombinasyon
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DNA 44
Şekilde, düzlemde bir noktadan geçen 6 doğru ile
birbirine paralel 3 doğru
verilmiştir.
Buna göre, şekilde kaç tane üçgen vardır?
A) 20
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
Şekilde yatay olan 5 doğru paralel, düşey olan 8 doğru
paraleldir.
Buna göre, şekilde kaç farklı paralelkenar vardır?
A) 120
D) 280 E) 360
IŞIK 6’dan,
5 8 5 ⋅ 4 8 ⋅ 7
⋅
= 280
 ⋅  =
2
2
 2  2
yı köşe kabul eden,
n
  tane üçgen,
3
C) 240
Çözüm
Uyarı
Düzlemde, en az üçü doğrusal olmayan n tane nokta-
B) 180
paralelkenar vardır.
Doğru Seçenek D
n
  tane dörtgen,
 4
n
  tane beşgen
5
.
.
.
oluşur.
Şekide yatay olan 4 doğru
paralel, düşey olan 5 doğru paraleldir.
Buna göre, şekilde kaç
Işık 6
Düzlemde bir paralelkenarın oluşması için 2 paralel
paralelkenar vardır?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
doğru ile bunlara paralel olmayan 2 paralel doğru gerekir.
Şekilde yatay olan 4 doğru
paralel, düşey olan 5 doğru paraleldir.
Buna göre şekildeki pa-
O halde x tane paralel doğru ile bunlara paralel olma-
ralelkenarların kaç tane-
yan y tane paralel doğru
x y
 ⋅ 
 2  2
tane paralelkenar oluşturur.
318
10. SINIF MATEMATİK
sinin bir kenarı d doğrusu üzerindedir?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON
BİNOM - BÖLÜM 06
BİNOM AÇILIMI
BİNOM AÇILIMI
Aynı zamanda,
Polinomlar konusunda iki terimli bir polinoma binom den-
(x + y)5 = (x + y) ⋅ (x + y) ⋅ (x + y) ⋅ (x + y) ⋅ (x + y)
diğinden bahsetmiştik. Şimdi oradaki bilgilerin üstünden
olduğunu biliyoruz. x5 i elde edebilmek için (x + y) ifa-
geçelim.
desinin beşini de birbiriyle çarpmak gerekir, yani bu beş
x + y ≠ 0 olmak üzere,
çarpımdan beşini de seçmeliyiz. Buna göre, x5 li ifadenin
(x + y)0 = 1
5
katsayısı   olmalı. Benzer şekilde x3 ü elde etmek için
5
(x + y)1 = x + y
(x + y) ifadelerinden üçünü çarpmalıyız, yani bu beş çar-
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Bu açılımları üs kaç olursa olsun böyle devam ettirebiliyorduk. Ancak büyük kuvvetlerde paskal üçgeninden yardım
almıştık.
Paskal üçgenini de hatırlayalım.
pımdan üçünü seçmeliyiz. Buna göre x3 lü terimin katsa5
yısı  3  olmalı. Benzer yorumlarla diğer bütün katsayıları
 
bulmak mümkündür.
O halde aradığımız katsayılar kombinasyon ile,
1
5
10
10
5
1
5
 
5
5
 
 4
5
 
3
5
 
 2
5
 
 1
5
 
0
şeklinde ifade edilebilir. Biraz daha düzgün olması açısından katsayıları
5
 
0
5
 
 1
5
 
 2
5
 
3
5
 
 4
5
 
5
biçiminde dizelim.
Buna göre paskal üçgenini kombinasyon kullanarak aşağıdaki biçimde gösterebiliriz.
Paskal üçgeninde her satırın ilk ve son sayıları 1 di. Bir
0
 
0
satırdaki ardışık iki sayının toplamı, bir alt satırda bu iki
sayının arasına yazılan sayıyı veriyordu.
 1
 
0
Görüldüğü gibi Paskal üçgeni de belirli bir üs değerine
 2
 
0
kadar problemimize çözüm oluyordu. Ancak çok büyük
üslerde, örneğin (x + y)1978 ifadesinin açılımında, paskal
3
 
0
üçgeninde 1979 . satırı yazabilirsek katsayıları bulabiliriz.
 4
 
0
O halde daha pratik bir yola ihtiyacımız var. Bunun için
paskal üçgeninden 6. satırı seçip inceleyelim.
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
5
 
0
 2
 
 1
3
 
 1
 4
 
 1
5
 
 1
 1
 
 1
 2
 
 2
3
 
 2
 4
 
 2
5
 
 2
3
 
3
 4
 
3
5
 
3
 4
 
 4
5
 
 4
10. SINIF MATEMATİK
5
 
5
319
Binom Açılımı
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
O halde artık açılımları,
Hazine 8
0
(x + y) =  
0
0
 1
 1
(x + y) =   x +   y
0
 1
•
(x ± y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
•
(x – y)n açılımında y nin tek kuvvetlerinden işa-
1
ret negatif olacağından katsayıların işaretleri
+, –, +, –, + , – ... sırasıyla gider.
 2
 2
 2
( x + y )2 =   x 2 +   xy +   y 2
0
 1
 2
3
3
3
3
( x + y )3 =   x3 +   x 2 y +   xy 2 +   y3
0
 1
 2
3
•
x in üsleri n den sıfıra kadar her terim de 1 azalırken, y nin üsleri sıfırdan n ye kadar her terimde 1
artar.
•
Her bir terimdeki x ve y nin üslerinin toplamı n
•
Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat-
dir.
sayıları eşittir. Yani
 4
 4
 4
 4
 4
( x + y )4 =   x 4 +   x3 y +   x 2 y 2 +   xy3 +   y 4
0
 1
 2
3
 4
n  n 
 =

 r  n − r 
dir.
biçiminde ifade edebiliriz. Artık binom açılımını en genel
Şimdi de binom açılımı ile ilgili sorularda en çok kullanaca-
haliyle yazabiliriz.
ğımız Hazine’yi elde edelim. Bunun için (x + y)4 açılımını
x, y ∈ R ve n ∈ N olmak üzere,
n
n
n
n
(x + y)n =   xn +   xn−1y + ... +   xn−r yr + ... +   yn
0
 1
r 
n
 
 
 
 

(x − y)n = 


n
n
n  n  n  n−1
y + ... + (−1)r   xn−r yr + ... + (−1)n   yn
x − x
 1
r 
n
0 
 
 
 
incelemeye devam ediyoruz.
 4
 4
 4
 4
 4
( x + y )4 =   x 4 +   x3 y +   x 2 y 2 +   xy3 +   y 4
0
 1
 2
3
 4
 4 
 4 
Baştan 2. terim =   ⋅ x3 ⋅ y 1 =   x 4 −1 ⋅ y 1
 1
 1
dir.
2 nin bir eksiği
Binom açılımının özelliklerini keşfetmek için (x + y)4 ifadesinin açılımını inceleyelim.
Katsayılar simetrik
 4 
 4
Baştan 3. terim =   ⋅ x 2 ⋅ y 2 = 
 2 
 2
 4
 4
 4
 4
 4
( x + y )4 =   x 4 +   x3 y +   x 2 y 2 +   xy3 +   y 4
0
1
2
3
 
 
 
 
 4
Katsayılar simetrik
•
Açılımda 5 terim vardır.
•
x in kuvveti her terimde, bir öncekine göre 1 azalır-
3 ün bir eksiği
Hazine 9
(x + y)n ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan (r + 1). terim,
 n  n −r r
 ⋅x ⋅y
r 
ken, y nin kuvveti 1 artmaktadır.
•
Her bir terimde x ve y nin kuvvetleri toplamı 4 tür.
320
10. SINIF MATEMATİK
 4−2 2
⋅y
x

olur. Bu terim, aynı zamanda sondan (n – r +1) inci
terimdir.
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Binom Açılımı
DNA 45
(2x – y)8
(3x – 2y)6
ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sı-
ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala-
ralanırsa baştan 4. terimin katsayısı aşağıdakiler-
nırsa baştan 2. terimin katsayısı kaç olur?
den hangisi olur?
A) –4320
A) –512
B) –3240
D) –2160
C) –2700
E) –1620
B) –640
C) –768
E) –1024
D) –896
DNA 46
Çözüm
Hazine 9’dan,
(x – 2y)8
ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sı-
Baştan 4. terim,
ralanırsa sondan 3. terimin katsayısı kaç olur?
6
6⋅5⋅4 3 3
6 −3
⋅ ( −2y )3 =
⋅ 3 ⋅ x ⋅ ( −2)3 ⋅ y3
  ⋅ (3 x )
3!
3
A) 1792
B) 1680
D) 1512
C) 1568
E) 1344
= 20 ⋅ 27 ⋅ x3 ( −8) ⋅ y3
= −4320 x3 y3
Çözüm
olur.
O halde baştan 4. terimin katsayısı – 4320 dir.
Doğru Seçenek A
Sondan 3. terimin baştan kaçıncı terim olduğunu bulalım.
r + 1 = 3 ise r = 2 olduğundan sondan 3. terim, baştan
(n + 1 – r) = 8 + 1 – 2 = 7. terimdir.
8
Baştan 7. terim   katsayısıyla başlayacağından
6
 8  8−6
8
⋅ ( −2y )6 =   ⋅ x 2 ⋅ 64 ⋅ y 6
 ⋅x
6
 
 2
=
(x + 3y)5
= 1792 ⋅ x 2 ⋅ y 6
ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 3. terimin katsayısı kaç olur?
A) 72
B) 84
C) 90
D) 102
8⋅7
⋅ 64 ⋅ x 2 ⋅ y 6
2
olur.
E) 114
O halde sondan 3. terimin katsayısı 1792 dir.
10. SINIF MATEMATİK
321
Binom Açılımı
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
DNA 47
(x – 2y)8 ifadesini (–2y + x)8 biçiminde yazarsak sondan
üçüncü terim baştan üçüncü terim olur. Yani (–2y + x)8
8
ifadesinde baştan 3. terimi arıyoruz. Baştan 3. terim  
 2
(x – 2y)6
ifadesinin açılımında ortanca terimin katsayısı
kaçtır?
A) –80
katsayısıyla başlayacağından,
B) –100
C) –120
D) –140 E) –160
8
8−2 2 8 ⋅ 7
⋅x =
⋅ ( −2)6 ⋅ y 6 ⋅ x 2
  ⋅ ( −2y )
2
 2
Çözüm
= 28 ⋅ 64 ⋅ y 6 ⋅ x 2
= 1792 ⋅ x 2 ⋅ y 6
Üs 6 olduğundan açılım 7 terimlidir. Buna göre ortanca
olur.
terim hem baştan hem sondan 4. terimdir.
Doğru Seçenek A
6
Baştan 4. terim   katsayısıyla başlayacağından,
3
 6  6 −3
6⋅5⋅4 3
⋅ ( −2y )3 =
⋅ x ⋅ ( −8) ⋅ y3
 ⋅x
3!
3
= −160 ⋅ x3 ⋅ y3
olur.
Doğru Seçenek E
(2x – y)8
ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa sondan 2. terimin katsayısı kaç olur?
A) –64
B) –48
C) –24
D) –16
E) –8
(x – y)8
ifadesinin açılımında ortanca terimin katsayısı kaçtır?
A) 60
B) 70
C) 80
D) 92
E) 110
(2x – 3y)6
ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala(x – y)10
nırsa sondan 2. terimin katsayısı kaç olur?
A) –3402
322
B) –2916
D) –2187
10. SINIF MATEMATİK
C) –2430
E) –1458
ifadesinin açılımında ortanca terimin katsayısı kaçtır?
A) –126
B) –168
C) –210
D) –252
E) –294
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Binom Açılımı
Işık 7
(x – 2y)4
n ∈ Z+ olmak üzere, (x ± y)2n açılımı x in azalan kuv-
ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır?
vetlerine göre yazıldığında ortadaki terim,
A) –6
 2n  n n
 ⋅x ⋅y
n
B) –2
C) –1
D) 1 E) 6
olur.
DNA 47 ve Genetik Kopya’larının çözümünü bu yolla da
bulabilirsiniz.
x ve y değişkenlerine bağlı
(ax – y)5
Işık 8
ifadesinin açılımında katsayılar toplamı 1 olduğuna
göre a kaçtır?
x ve y bilinmeyenler, a ve b sabit gerçek sayılar ve
n ∈ N+ olmak üzere, (ax + by)n açılımının katsayılar
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
toplamını bulmak için x ve y yerine 1 yazılır.
Buna göre, (ax + by)n açılımının katsayılar toplamı
(a + b)n dir.
Işık 9
a ve b gerçek sayılar, x bilinmeyen ve n ∈ N+ olmak
DNA 48
üzere, (ax + b)n ifadesinin sabit terimini bulmak için x
yerine 0 yazılır. Buna göre, (ax + b)n ifadesi bir poli-
(2x – 3)3
nom olduğundan, sabit terimini bulmak için x yerine
ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır?
A) –6
B) –2
C) –1
D) 1
E) 6
sıfır yazabiliriz. Polinom olmayan bir ifadenin (varsa)
sabit terimini bulmak için bilinmeyenin yerine sıfır yazmak her zaman doğru sonuç vermeyebilir.
10
1 

Örneğin,  x3 +

x2 

Çözüm
ifadesinin sabit terimini bulmak
için x yerine sıfır yazamayız.
Tek değişken olan x yerine 1 yazalım.
Katsayıları toplamı,
(2x –
3)3
= (2 ⋅ 1 –
3)3
=
(–1)3
DNA 49
= –1
olur.
Doğru Seçenek C
(2x – 3)3
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
A) –27
B) –8
C) 8
D) 24
10. SINIF MATEMATİK
E) 27
323
Binom Açılımı
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Çözüm
Çözüm
n
  katsayısıyla başlayan bir terimde x in derecesi n – r
r 
oluyordu.
Tek değişken olan x in yerine sıfır yazalım.
Sabit terim,
8
O halde x5 li terim için katsayı   olmalıdır. Bu durumda
3
x5 li terimin katsayısı,
(2x – 3)3 = (2 ⋅ 0 – 3)3 = (–3)3 = –27
olur.
8
8⋅7⋅6 5 5
8 −3
⋅ ( − y )3 =
⋅ 2 ⋅ x ⋅ ( − y3 )
  ⋅ (2x )
3!
3
Doğru Seçenek A
= 56 ⋅ 32 ⋅ x5 ⋅ ( − y3 )
= −1792 ⋅ x5 ⋅ y3
olur.
Doğru Seçenek E
(8x – 1)11
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
A) –8
C) –1
B) –7
D) 1
E) 11
(x – 3)8
ifadesinin açılımında x5 li terimin katsayısı kaçtır?
(3x – 5y – 2)5
A) –1792
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
A) 32
B) 10
C) –8
D) –10
E) –32
B) –1680
D) –1458
C) –1512
E) –1344
DNA 50
(2x – y)8
ifadesinin açılımında x5 li terimin katsayısı kaçtır?
A) –1344
324
B) –1512
D) –1680
10. SINIF MATEMATİK
C) –1568
E) –1792
(x – 2y)8
ifadesinin açılımında y6 lı terimin katsayısı 256 ⋅ k olduğuna göre, k kaçtır?
A) –28
B) 4
C) 7
D) 28
E) 64
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Binom Açılımı
DNA 51
7
1
2
x −x 


10
 3 1 
x + 2 

x 
ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre yazıldığında x15 li terim baştan kaçıncı terim olur?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
ifadesinin açılımında x8 li terimin katsayısı kaçtır?
B) –21
A) –42
C) –7
D) 21
E) 42
E) 7
Çözüm
x15 li terim baştan (r + 1). terim olsun. Buna göre,
DNA 52
r
 10  3 10 −r  1   10  30 −3r −2r
⋅  =  ⋅ x
⋅x
  ⋅ (x )
 x2   r 
 r 
15 olmasını istiyoruz.
10
 3 1 
x + 2 

x 
 10 
=   ⋅ x30 −5r
 r 
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
olur.
A) 45
B) 120
C) 180
D) 210
E) 252
x15 li terimi aradığımızdan,
30 – 5r = 15
5r = 15
r=3
Çözüm
10
 3 1 
x + 2 
x 

olur.
ifadesi polinom olmadığından, x yerine sıfır
yazma hakkımız yoktur. Sabit terim x0 lı terim olduğundan,
O halde x15 li terim baştan 4. terimdir.
yapmamız gereken tek şey x0 lı terimin katsayısını bulmak
Doğru Seçenek B
olacaktır.
Sabit terim (r + 1). terim olsun. Buna göre,
0 olmasını istiyoruz.
r
 10  3 10 −r  1   10  30 −3r −2r
⋅  =  ⋅ x
⋅x
  ⋅ (x )
 x2   r 
 r 
 10 
=   ⋅ x30 −5r
 r 
11
 3 1
x − x 


ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre yazıldı-
olur.
30 – 5r = 0 ⇒ r = 6
ğında x5 li terim baştan kaçıncı terim olur?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
olur.
10. SINIF MATEMATİK
325
Binom Açılımı
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
O halde sabit terim
Çözüm
 10  30 −5⋅6  10   10  10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
= = =
 ⋅x
4!
6
6 4
1
1
( 3 3 + 2 )7 = (3 2 + 2 2 )7
= 210
ifadesinin açılımındaki her terimin,
bulunur.
1
1
 7  3 7 −r
7
r
  ⋅ (3 ) ⋅ ( 2 2 ) =   ⋅ 3
r 
3
Doğru Seçenek D
7 −r
3
r
⋅ 22
biçiminde olduğunu biliyoruz. Rasyonel olan terimi aradığımıza göre, üssü doğal sayı olan terimleri belirlemeliyiz.
7−r
r
Buna göre, 3 ün üssü olan
ile 2 nin üssü olan
3
2
doğal sayı olmalıdır. r nin hangi değerleri için bu koşulların
sağlandığına bakalım.
8
 3 1
x − x 


r
doğal sayı olacağına göre, r çift sayı olmalıdır. Bura2
dan, r için uygun adayların 0, 2, 4, 6 olabileceğini anlıyo-
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
B) 28
A) 14
C) 42
ruz. (r ≤ 7 olduğu için değer verme işlemini 6 da kestik.)
D) 56
E) 70
Bu değerlerden sadece 4 için
7−r
ifadesi bir doğal sayı
3
olur. O halde, rasyonel terimi bulmak için r yerine 4 yazmalıyız.
r = 4 için,
1
1
 7  3 7−4
7⋅6⋅5
⋅ (2 2 )4 =
⋅ 3 ⋅ 22
  ⋅ (3 )
4
3!
 
9
1
2
 −x 
x

= 35 ⋅ 12 = 420
Doğru Seçenek E
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
A) –84
B) –56
C) –42
D) –28
E) –21
( 5 − 3 3 )8
ifadesinin açılımında kaç terim rasyoneldir?
A) 1
DNA 53
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
( 3 3 + 2 )7 ifadesinin açılımındaki rasyonel terim nedir?
A) 240
B) 320
D) 400
E) 420
C) 360
ifadesinin açılımında kaç terim irrasyoneldir?
A) 7
326
10. SINIF MATEMATİK
( 4 7 + 5 3 )10
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Binom Açılımı
5.
TEST - 5
6 kız ve 3 erkek öğrenci arasından 2 kız ve 1 erkek öğrenciden oluşan 3 kişilik bir grup kaç farklı
şekilde kurulabilir?
1.
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır?
A) 14
B) 21
C) 28
D) 35
E) 48
6.
5 kız ve 4 erkek öğrenci arasından içinde en az
2 kız öğrencinin bulunduğu 4 kişilik bir grup kaç
farklı şekilde kurulabilir?
A) 45
2.
B) 60
C) 85
D) 90
E) 105
8 kişilik bir topluluktan 4 kişilik bir grup kaç farklı
şekilde oluşturulabilir?
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
7.
7 matematikçi ve 5 fizikçinin arasından 3 matematikçi
ve 3 fizikçiden oluşan bir bilim kurulu oluşturulacaktır.
 9   9 

=

 2x − 5   x + 2 
olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı
3.
ekipte bulunması şartıyla kaç farklı ekip oluşturulabilir?
kaçtır?
A) 12
Matematikçi Nazım ve fizikçi Zekeriya’nın bu
A) 80
B) 11
C) 7
D) 6
B) 90
C) 100
D) 120
E) 144
E) 4
8.
Bir koç, bir kondisyoner ve 5 as oyuncudan oluşan
bir basketbol takımı sıra halinde dizilerek fotoğraf
çektireceklerdir.
4.
4 erkek ve 3 kız arasından 3 kişilik bir grup kaç
farklı şekilde seçilebilir?
A) 20
B) 24
C) 35
Koç ve kondisyoner arasında 2 oyuncu olmak
üzere kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler?
D) 48
E) 75
A) 120
B) 240
C) 480
D) 720
10. SINIF MATEMATİK
E) 960
327
Binom Açılımı
9.
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
4 farklı televizyondan 2 si ve 6 farklı cep telefonun-
13. Bir okulda okutulan 7 seçmeli dersten belli üçü aynı
dan 3¨ü seçilerek bir masada sergilenecektir.,
saatte okutulmaktadır.
2 televizyon arkada ve 3 cep telefonu önde olmak
üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?
A) 360
10. 10
B) 480
C) 720
D) 960
kilde seçim yapabilir?
E) 1440
A) 12
ması istenmektedir.
İlk 5 sorudan en az üçünü cevaplamak zorunda
A) 110
11. Aynı
D) 22
B) 100
C) 90
D) 70
renkteki boncuklar özdeş olmak üzere 5
B) 18
C) 21
D) 24
B) 13
C) 14
D) 15
az bir elektrikçinin bulunduğu 4 kişilik bir ekip
kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
A) 90
B) 107
C) 167
D) 193
farklı 6 matematik kitabı ve birbirinden
farklı 7 türkçe kitabı arasından 5 kitap seçilecektir.
kişilik bir ekipten 3 kişi Ankara’ya, 2 kişi İzmir’e
gidecektir.
Seçilecek kitaplardan ikisi matematik kitabı ol-
Bu iki grup kaç değişik biçimde oluşturulabilir?
mak şartıyla kaç farklı seçim yapılabilir?
A) 8
A) 210
328
2.D
3.B
C) 12
4.C
10. SINIF MATEMATİK
5.E
D) 15
6.E
E) 209
E) 30
16. Birbirinden
B) 10
E) 16
15. 6 elektrikçi ve 4 tesisatçı arasından içlerinde en
da kaç farklı şekilde dizilebilirler?
A) 15
Toplam 91 tokalaşma gerçekleştiğine göre, bu
A) 12
E) 60
herhangi ikisi yanyana olmamak şartıyla bir sıra-
1.D
E) 26
toplantıya kaç kişi katılmıştır?
kırmızı ve 6 beyaz boncuk, kırmızı boncuklardan
C) 18
14. Bir toplantıda kişilerin her biri bir diğeriyle tokalaşmıştır.
olan bu öğrenci kaç farklı seçim yapabilir?
12. 5
B) 15
sorudan oluşan ve soruların seçmeli olduğu bir
sınavda bir öğrenciden 7 soru seçerek cevaplandır-
3 ders seçmek isteyen bir öğrenci kaç farklı şe-
E) 18
7.B
8.E
9.E
10.A
B) 405
11.A
12.B
C) 480
13.D
D) 525
14.C
15.E
E) 600
16.D
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
Binom Açılımı
6.
TEST - 6
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 elemanı bulunur?
1.
A) 4
10 kişiden 6 kişilik bir grup ve grup içinden de bir
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
lider seçilecektir.
Buna göre kaç farklı seçim yapılabilir?
A) 840
B) 1050
C) 1260
D) 1470 E) 1680
7.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 elemanı bulunmaz?
2.
Bir pansiyonda biri 4 kişilik, ikisi 3 kişilik 3 boş oda
A) 4
vardır.
B) 6
D) 9
E) 10
10 kişi bu pansiyona kaç farklı şekilde yerleşebilir?
A) 4200 B) 3800
C) 3600 D) 2800
E) 2400
8.
3.
C) 8
ABC üçgeni üzerindeki
12
noktadan
5 yönetici, 4 satış müdürü ve 6 personelden se-
herhangi üçünü köşe
çilecek 2 yönetici, 2 satış müdürü ve 1 personel
kabul eden kaç deği-
yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde otu-
şik üçgen çizilebilir?
rabilir?
A) 7200 B) 7920
C) 8280
D) 8640 E) 9360
A) 220
4.
B) 190
C) 160
D) 130
E) 100
Bir sınıftaki kızların sayısı, erkeklerin sayısının 2
katıdır. Bu sınıftaki kız öğrencilerle yapılacak 2 şerli
grupların sayısı, erkek öğrencilerle yapılacak 2 şerli
9.
grupların sayısının 6 katıdır.
Buna göre, bu sınıftaki toplam öğrenci sayısı
kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 9
D) 15
E) 18
Şekilde, çember üzerinde 6 nokta ve çemberin dışındaki doğru üzerinde 4 nokta işaretlenmiştir.
5.
5 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 16
B) 18
C) 24
Köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en
çok kaç tane üçgen çizilebilir?
D) 32
E) 36
A) 96
B) 108
C) 116
D) 128
10. SINIF MATEMATİK
E) 144
329
Binom Açılımı
Permütasyon - Kombinasyon - Binom - Bölüm 06
13.
10.
(2x2 – y2)6
açılımında ortanca terimin katsayısı kaçtır?
A) –180 B) –160
Yukarıdaki şekilde 10 farklı nokta verilmiştir.
Bu noktaları köşe kabul eden en çok kaç tane
C) –80
D) 80
E) 320
üçgen çizilebilir?
A) 140
B) 120
C) 110
D) 90
E) 70
 3 2 
x − 2 

x 
14.
ifadesinin açılımında x3 lü terimin katsayısı kaçtır?
A) 320
11.
6
B) 160
C) 80
D) –80
E) –160
Üzerinde 5 nokta işaretlenen bir d doğrusu ile d doğrusuna paralel olan ve üzerinde 6 nokta işaretlenen
k doğrusu veriliyor.
Bu 11 nokta ile kaç farklı üçgen oluşturulabilir?
A) 60
B) 75
C) 90
D) 120
E) 135
8
 3 2 
x + 5 

x 
15.
ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
A) –448 B) –224
C) –112
D) 224
E) 448
12.
9 küçük kareden oluşan I. şeklin her satır ve her sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalanarak II.
şekildeki desenler elde ediliyor.
Bu kurala göre en çok kaç farklı desen elde edile-
16.
bilir?
A) 4
1.C
330
2.A
B) 6
3.D
C) 8
4.B
10. SINIF MATEMATİK
D) 10
5.A
6.B
E) 12
7.A
8.B
(3 3 − 2 )5
ifadesinin açılımındaki rasyonel sayı kaçtır?
A) –60
9.C
10.D
B) –40
11.E
12.B
C) 40
13.B
D) 60
14.E
15.E
E) 80
16.D
OLASILIK - BÖLÜM 07
OLASILIK
GİRİŞ
TANIM
Bir madeni para havaya atıldığında yazı ya da tura gelme-
Bir deneyin mümkün olan tüm çıktılarının kümesine ör-
si beklenir. Olasılık teorisi için paranın yazı gelme ihtimali
neklem uzay denir ve E ile gösterilir. Örneklem uzayın
de tura gelme ihtimali de % 50 dir. Oysa bu parayı 5 kez
havaya atsak, bu 5 atışın sonucu da tura gelebilir. Yani
her bir elemanına ise örneklem nokta adı verilir.
olasılık, sonucun ne olduğuyla değil ne olabileceği ile il-
Bir zarın atılması deneyinde zarın üst kısmına gelebilecek
gilenir.
sayıların kümesi {1, 2, 3, 4, 5, 6} olup bu küme örneklem
Matematikçiler olasılık değerlerini % 50, % 30, % 10 gibi
uzaydır.
değerlerle vermezler. Olasılık değerleri için [0, 1] aralığını
kullanırlar.
iki madeni paranın atılması deneyinde (Yazı:Y, Tura: T
Şöyle ki;
%50 =
50 1
=
100 2
%40 =
40 2
=
100 5
diyelim) örneklem uzay {(Y, Y), (Y, T), (T, T), (T, Y)} ve
örneklem noktalar (Y, Y), (Y, T), (T, T), (T, Y) dir.
DNA 1
100
%100 =
=1
100
%0 =
Bir madeni para ard arda 3 kez atıldığında elde edi-
0
=0
100
dır. Yani % 50 olasılıkla ifadesini artık
sılıkla ifadesini
Örneklem noktalar ise 1, 2, 3, 4, 5, 6 dır. Benzer biçimde
lecek örneklem noktalardan biri aşağıdakilerden
hangisidir?
1
diye, % 40 ola2
2
diye, % 100 olasılıkla ifadesini 1 diye,
5
% 0 olasılıkla ifadesini 0 diye ... vb. ifade edeceğiz.
(Yazı Y harfi ile tura T harfi ile gösterilmiştir.)
A) (Y)
B) (T)
D) (Y, Y)
C) (Y, T)
E) (Y, T, T)
Olasılık fonksiyonuna başlamadan önce, bu konuda kullanacağımız temel kavramların tanımlarını verelim.
TANIM
Herhangi bir olayın gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere deney denir.
Bir deneyin mümkün olan tüm sonuçlarına da çıktı adı
verilir.
Bir zarın atılması işi bir deney, 3 gelmesi bir çıktıdır.
Bir madeni paranın atılması bir deney, tura gelmesi bir
çıktıdır.
Çözüm
Madeni paranın yazı yüzünü Y harfi ile, tura yüzünü T harfi ile gösterelim. Bir madeni parayı ard arda 3 kez attığımızda elde edeceğimiz örneklem uzayı yazalım.
E = {(Y, Y, Y), (Y, Y, T), (Y, T, Y), (Y, T, T,), (T, Y, Y,),
(T, Y, T), (T, T, Y), (T, T, T)}
Kümenin her bir elemanı bir örneklem nokta olduğundan
aradığımız seçenek E dir.
Doğru Seçenek E
Bir basketbol maçının yapılması bir deney, maçın berabere bitmesi bir çıktıdır.
10. SINIF MATEMATİK
331
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
Hazine 1
Uyarı
n tane madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayı
•
ile bir madeni paranın arka arkaya n kez atılması de-
lem uzayın eleman sayısı çarpma yöntemi ile sayma
neyinin örnek uzayı birbirinin aynısıdır.
kullanılarak bulunur. Her madeni para için 2 seçenek
Bunun gibi, n tane zarın atılması deneyinin örnek uza-
n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek-
olduğundan n tane madeni para için,
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 2n
yı ile bir zarın arka arkaya n kez atılması deneyinin
1442443
n tane
örnek uzayı birbirinin aynısıdır.
dir. Yani n tane madeni paranın atılması deneyinde
örneklem uzayın eleman sayısı 2n ile bulunur.
Benzer biçimde, n tane zarın atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 6n ile bulunur.
Örneğin, 4 madeni paranın atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 24 = 16, 3 zarın atılması deneyinde örneklem uzaın eleman sayısı
63 = 216 dır.
Bir madeni para ard arda 2 kez atıldığında elde edile-
•
cek örneklem noktalardan biri aşağıdakilerden hangi-
kombinasyonla yaptığımızı hatırlayınız) örneklem
sidir?
n
uzayın eleman sayısı   ile bulunur.
r 
(Yazı Y harfi ile tura T harfi ile gösterilmiştir.)
A) (Y)
B) (T)
D) (Y, Y, T)
n tane elemandan r tanesi seçilecekse (seçimi
C) (Y, T)
E) (Y, T, T)
DNA 2
Bir torbada 3 beyaz 2 siyah bilye vardır.
Torbadan 3 bilye seçileceğine göre, örneklem
uzay kaç elemanlıdır?
A) 60
Bir zarın masaya atılması deneyinde zarın üst yüzüne
gelen sayılar için elde edilecek örneklem uzay aşağıdakilerden hangisidir?
A) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
D) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
E) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
332
10. SINIF MATEMATİK
C) 20
D) 10
E) 5
Çözüm
Torbadaki toplam 5 bilyeden 3 bilye seçileceğine göre ör5
neklem uzayın eleman sayısı   ile bulunur.
3
O halde;
5 5 ⋅ 4 ⋅ 3
= 10
 =
3!
3
B) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
B) 40
olur.
Doğru Seçenek D
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
DNA 3
Bir kutuda 5 mavi 4 kırmızı gömlek vardır.
Bir çift zar atıldığında zarın üst yüzüne gelen sayı-
Bu kutudan 3 gömlek seçileceğine göre örneklem
uzay kaç elemanlıdır?
A) 36
B) 48
ların aynı gelme olayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
C) 64
D) 72
E) 84
B) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C) {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)}
D) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
E) {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
Çözüm
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen rakamları farklı tüm 3 basamaklı sayıların kümesinden bir
Bir çift zar atıldığında zarlardan birinin üst yüzüne 1 gel-
sayı seçme deneyinin örneklem uzayının eleman sa-
diyse diğeri de 1, 2 geldiyse diğeri de 2 gelmeli ve böyle
yısı kaçtır?
devam etmeli.
A) 240
B) 180
C) 120
D) 64
E) 36
O halde olayımız,
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
dır.
Doğru Seçenek D
TANIM
Bir örneklem uzayın her bir alt kümesine olay denir.
Örneğin, bir zar atma deneyinde örneklem uzayımız
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
idi.
Buna göre zarın üst yüzüne gelen sayılarla ilgili bazı olaylar,
•
Çift sayı gelme olayı {2, 4, 6} dır.
•
Tek sayı gelme olayı {1, 3, 5} tir.
•
Asal sayı gelme olayı {2, 3, 5} tir.
•
3 ten küçük sayı gelme olayı {1, 2} dir.
•
5 gelmemesi olayı {1, 2, 3, 4, 6} dır.
Bir çift zar atıldığında zarın üst yüzüne gelen sayıların
toplamının 9 dan büyük olma olayı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B) {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
C) {(4, 6), (5, 6), (6, 5)}
D) {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6)}
E) {(4, 6), (5, 6), (6, 4), (6, 5)}
10. SINIF MATEMATİK
333
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
İki madeni para atıldığında ikisinin aynı gelme olayı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(Y, T)}
Buna göre, bu torbadan 3 bilye seçme deneyinde bil-
B) {(T, Y)} C) {(Y, T), (T, Y)}
D) {(Y, Y), (T, T)}
Bir torbada 2 siyah, 3 beyaz, 3 mavi bilye vardır.
yelerden en az birinin mavi olma olayının eleman sayısı kaçtır?
E) {(Y, Y)}
A) 32
B) 38
C) 42
D) 46
E) 54
TANIM
DNA 4
Örneklem uzayın alt kümelerinden boş kümeye imkansız
Bir torbada 2 beyaz, 3 siyah bilye vardır.
olay, E örneklem uzayına da kesin olay denir.
Bu torbadan seçilecek 3 bilyeden birinin beyaz iki-
Bir zarın atılması deneyinde zarın üst yüzüne 7 gelmesi
sinin siyah olma olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
E) 24
olayı imkansız olay, 0 dan büyük 7 den küçük bir sayı gelmesi olayı ise kesin olaydır.
TANIM
A ve B, E örneklem uzayına ait iki olay olsun. A ∩ B = ∅
ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.
Çözüm
Örneğin bir zarın atılması deneyinde A olayı zarın tek sayı
2 beyaz bilyeden bir beyaz bilye ve 3 siyah bilyeden 2
gelmesi, B olayı zarın çift sayı gelmesi olsun.
siyah bilye seçileceğinden bu olayın eleman sayısı,
O halde,
 2 3
 ⋅  = 2⋅3 = 6
 1  2 
olur.
A = {1, 3, 5} ve
B = {2, 4, 6} olup
A ∩ B = ∅ olacağından A ve B ayrık olaylardır.
Doğru Seçenek A
Şimdiye kadar verdiğimiz temel tanımların üzerinden bir
örnekle geçelim.
İki zarın atılması deneyinde zarların üst yüzüne gelen sayılar için aşağıdaki tabloyu oluşturalım.
Bir torbada 3 beyaz, 2 kırmızı, 2 mavi bilye vardır.
Buna göre, bu torbadan 3 bilye seçme deneyinde bilyelerin üçünün de farklı renkte gelme olayının eleman
sayısı kaçtır?
A) 6
334
B) 8
10. SINIF MATEMATİK
C) 12
D) 16
E) 24
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
Şimdi maddeler halinde çeşitli sorulara yanıtlar arayalım.
•
62 = 36 dır. Aynı sonucu tablodaki elemanları sayarak da bulabiliriz.
•
Çarpımların 36 dan büyük olması olayı boş küme
olup imkansız olaydır.
•
Toplamların 1 den büyük 12 den küçük olması olayı
kesin olaydır.
•
A ∩ ∅ = ∅ olduğundan üçüncü aksiyomdan hareketle ve
A ∪ ∅ = A olduğunu dikkate alarak,
Toplamların 11 olması olayının eleman sayısı 2 olup
bu olay {(6, 5), (5, 6)} kümesidir.
•
Not
Örneklem uzayın eleman sayısı iki zar atıldığı için
Toplamların 2 olması olayı A, toplamların 5 olması
P(A ∪ ∅) = P(A) + P(∅)
P(A) = P(A) + P(∅)
P(A) – P(A) = P(∅)
0 = P(∅)
olur. P(∅) = 0 olduğundan imkansız olayın (boş kümenin)
olasılığı sıfırdır.
olayı B olsun.
A = {(1, 1)} ve
B = {(1,4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} olup
A ∩ B = ∅ olduğundan A ve B ayrık olaylardır.
DNA 5
TANIM
örneklem uzay, P olasılık fonksiyonu olmak üzere,
I.
1
P(1) = ,
3
1
P(2) = ,
2
II.
1
P(1) = ,
5
P(2) =
III.
P(1) =
Olasılık fonksiyonu P ile A olayının olma olasılığı P(A) ile
E örneklem uzayının tüm alt kümelerinin kümesi EA ile
gösterilmek üzere, örneklem uzayın alt kümelerinin kümesinden [0, 1] aralığına tanımlan ve
E = {1, 2, 3}
1
,
4
1
,
10
1
P(2) = ,
5
P(3) =
1
6
P(3) =
3
4
P(3) =
11
20
•
0 ≤ P(A) ≤ 1
Yukarıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu
•
P(E) = 1 (kesin olay)
belirtir?
•
A, B ∈ EA için A ∩ B = ∅ ise
A) I, II
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
B) I, III
D) I, II, III
C) II, III
E) Yalnız I
aksiyomlarını sağlayan fonksiyona olasılık fonksiyonu
denir.
Bu tanımı biraz açalım. İlk aksiyom bir olayın olasılığının
0 dan küçük, 1 den büyük olamayacağını ifade ediyor.
İkinci aksiyom örneklem uzayın olasılığının her zaman 1
olduğunu belirtiyor. Yani kesin olayın olasılığı 1 dir.
Üçüncü aksiyom ise kesişimleri boş küme olan (başka bir
ifadeyle ayrık iki olay için) iki olayın birleşiminin olasılığının her iki olayın olasılıkları toplamı olduğunu ifade eder.
Uyarı
Yazımda kısalık amacıyla P({1}) yerine P(1) yazılmıştır. Bundan sonraki bölümlerde de aynı kısaltma kullanılacaktır.
10. SINIF MATEMATİK
335
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
Çözüm
Herhangi bir örneklem uzayın alt kümesi olan bir A olayının
olasılığı [0,1] aralığında ve P(E) = 1 olmak zorunda idi.
E = {x, y, z}
örneklem uzay, P olasılık fonksiyonu olmak üzere,
P(E) = 1 olmak zorunda olduğundan E = {1, 2, 3} örnek-
P( x ) =
1
5
P( y ) =
2
9
lem uzayında
P(1) + P(2) + P(3) = 1
olduğuna göre, P(z) kaçtır?
olmalı. Seçenekleri tek tek inceleyelim.
P(1) + P(2) + P(3) =
I.
1 1 1 2 3 1
+ + = + +
3 2 6 6 6 6
=
22
45
A)
6
=1
6
P(1) + P(2) + P(3) =
1 1 3
4
2 15
+
+ =
+
+
5 10 4 20 20 20
=
21
≠1
20
P(1) + P(2) + P(3) =
C)
26
45
D)
2
3
E)
7
9
A ve B bir E örneklem uzayında iki olay ve A nın tümleyeni A′ olsun. E örneklem uzayında tanımlı P olasılık
fonksiyonu için,
olduğundan bir olasılık fonksiyonu belirtmez.
III.
5
9
Hazine 2
olduğundan bir olasılık fonksiyonu belirtir.
II.
B)
1 1 11 5
4 11
+ +
=
+
+
4 5 20 20 20 20
20
=
=1
20
•
A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B) dir. Yani A olayı B olayı-
nın alt kümesi ise A olayının olma olasılığı, B olayının
olma olasılığından küçük veya eşittir.
A ∪ A′ = E ve A ∩ A′ = ∅
•
olduğundan bir olasılık fonksiyonu belirtir.
olduğundan,
P(A ∪ A′) = P(A) + P(A′)
P(E) = P(A) + P(A′)
Doğru Seçenek B
123
1
P(A) + P(A′) = 1 bulunur.
P(A), A olayının olma olasılığı,
P(A′), A olayının olmama olasılığıdır.
•
A veya B olayının olma olasılığı,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
E = {a, b, c}
örneklem uzay, P olasılık fonksiyonu olmak üzere,
I.
1
P(a) = ,
8
II.
P(a) =
III.
1
P(a) = ,
7
1
,
12
P(b) =
3
,
4
P(c ) =
1
8
P(b) =
4
,
5
P(c ) =
7
60
P(b) =
1
,
4
P(c ) =
9
14
ile hesaplanır.
DNA 6
E örneklem uzayı ve A ⊂ E olmak üzere,
Yukarıdakilerden hangileri bir olasılık fonksiyonu belirtir?
336
7
3
olduğuna göre, P(A′) kaçtır?
A) I, II
P(A) + 3⋅ P(A′) =
B) I, III
D) I, II, III
10. SINIF MATEMATİK
C) II, III
E) Yalnız II
A)
7
24
B)
1
3
C)
5
12
D)
3
5
E)
2
3
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
Çözüm
DNA 7
P(A) + P(A′) = 1 olduğundan,
A ve B, E örneklem uzayında iki olay olmak üzere,
7
P( A ) + 3 ⋅ P( A′) =
3
7
P
A4
)2
+P
( A3
′) + 2 ⋅ P( A′) =
1( 4
44
3
1
1 + 2 ⋅ P( A′) =
2 ⋅ P( A′) =
7
−1
3
4
3
P( A′) =
2
3
3
7
P(B) =
1
7
1
P( A ∪ B) =
2
olduğuna göre, P(A ∩ B′) kaçtır?
7
3
2 ⋅ P( A′) =
P( A ) =
A)
1
14
B)
2
7
C)
5
14
D)
7
18
E)
5
12
olur.
Doğru Seçenek E
Çözüm
Önce bizden ne istendiğine bakalım.
E örneklem uzayında A ⊂ E olmak üzere,
4 ⋅ P( A ) + 5 ⋅ P( A′) =
23
5
P(A) değerini bildiğimize göre P(A ∩ B′) değerini bulabilmek için P(A ∩ B) değerini bulmamız gerekecek.
olduğuna göre, P(A) kaçtır?
A)
7
24
B)
1
3
C)
2
5
D)
3
5
E)
P( A ∪ B) = P( A ) + P(B) − P( A ∩ B)
2
3
1 3 1
= + − P( A ∩ B)
2 7 7
1 4
= − P( A ∩ B)
2 7
E örneklem uzayında A ⊂ E olmak üzere
2 ⋅ P( A ) − P( A′) =
1
4
P( A ∩ B) =
4 1
−
7 2
P( A ∩ B) =
8−7 1
=
14
14
bulunur.
olduğuna göre, P(A′) kaçtır?
3
A) 4
7
B)
12
5
C)
12
1
D) 4
1
E)
6
P(A) = P(A ∩ B′) + P(A ∩ B)
olacağından
10. SINIF MATEMATİK
337
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
3
1
= P( A ∩ B′) +
7
14
P( A ∩ B′) =
TANIM
3 1
−
7 14
Bir deneyin sonlu elemanlı örneklem uzayı,
E = {e1, e2, e3, e4, ... , en}
5
P( A ∩ B′) =
14
olsun.
P({e1}) = P({e2}) = P({e3}) = ... = P({en})
olur.
Doğru Seçenek C
ise E örneklem uzayına eş olumlu veya eş olumlu örneklem uzay denir.
Örneğin,
Bir para atma deneyinde
E = {Y, T}
ve
P(Y) = P(T)
A ve B, E örnek uzayında iki olay olmak üzere,
P( A′) =
2
5
P(B′) =
6
7
P( A ∪ B) =
olduğundan E eş olumlu örneklem uzaydır. Benzer biçimde bir zar atma deneyinde
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ve
3
5
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6)
olduğundan E eş olumlu örneklem uzaydır.
olduğuna göre, P(A ∩ B) kaçtır?
A)
2
21
B)
4
35
C)
1
7
D)
2
5
E)
3
5
A ve B, E örnek uzayında iki olay olmak üzere,
P( A ∩ B′) =
1
6
P( A ∩ B) =
1
3
P(B) =
Uyarı
3
5
Tanıma göre, aksi belirtilmedikçe bir deney için çıktıla-
olduğuna göre, P(A ∪ B) kaçtır?
5
A)
14
7
B)
16
338
10. SINIF MATEMATİK
41
C)
81
18
D)
35
23
E)
30
rın olasılıklarının eş olasılı, yani oluşan örneklem uzayın eş olumlu örneklem uzay olduğu anlaşılacaktır.
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
Çözüm
Hazine 3
E, eş olumlu örneklem uzay ve A ⊂ E olsun.
Örneklem uzayın eleman sayısını bulalım.
2 zar atıldığında örneklem uzayın eleman sayısı 62 = 36
P(A) : A olayının olasılığı
s(A) : A kümesinin eleman sayısı
s(E) : E örneklem uzayının eleman sayısı
olur.
I.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 10 dan
büyük, yani 11 veya 12 olması olayının kümesi A olsun.
olmak üzere A olayının olasılığı,
s( A )
P( A ) =
s(E)
A kümesi,
ile bulunur.
dır. Buna göre s(A) = 3 olur.
A = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}
O halde zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 10
dan büyük olma olasılığı
P( A ) =
s( A ) 3
1
=
=
s(E) 36 12
olur.
II.
DNA 8
ması olayının kümesi B olsun. B kümesi,
B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
2 zar bir masanın üzerine atılıyor. Buna göre,
I.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının
10 dan büyük olma olasılığı kaçtır?
II.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların birbirinin aynı ol-
Zarların üst yüzüne gelen sayıların birbirinin aynı
dır. Buna göre s(B) = 6 olur.
O halde zarların üst yüzüne gelen sayıların birbirinin aynı
olma olasılığı,
olma olasılığı kaçtır?
P(B) =
III. Zarların üst yüzüne gelen sayıların birinin diğerinden 1 fazla olma olasılığı kaçtır?
Yukarıdaki soruların cevapları hangi seçenekte
doğru verilmiştir?
I
II
III
A)
1
12
1
6
5
12
B)
1
3
1
36
1
9
C)
4
9
1
18
2
9
D)
2
3
2
9
1
6
E)
1
3
2
3
1
3
s(B) 6
1
=
=
s(E) 36 6
olur.
III. Zarların üst yüzüne gelen sayıların birinin diğerinden
1 fazla olması olayının kümesi C olsun. C kümesi,
C = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (2, 1), (3, 2), (4, 3),
(5, 4), (6, 5)} dir.
Buna göre s(C) = 10 olur.
O halde zarların üst yüzüne gelen sayıların birinin diğerinden 1 fazla olma olayının olasılığı
P(C) =
s(C) 10 5
=
=
s(E) 36 12
olur.
Doğru Seçenek A
10. SINIF MATEMATİK
339
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
DNA 9
İki zar bir masanın üzerine atılıyor. Buna göre,
I.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların birbirinin aynı
gelme olasılığı kaçtır?
II.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların birinin 5, diğerinin
3 olma olasılığı kaçtır?
III. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının en az
2 olma olasılığı kaçtır?
Yukarıdaki soruların cevapları hangi seçenekte doğru
olarak verilmiştir?
I
II
Üç madeni para havaya atılıyor.
I.
İkisinin yazı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
II.
En çok birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
III. En az birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
Yukarıdaki soruların cevapları hangi seçenekte
doğru olarak verilmiştir?
I
II
III
A)
1
8
5
8
2
7
B)
1
4
2
7
3
4
C)
1
2
7
16
7
16
D)
5
8
1
4
1
4
E)
3
8
1
2
7
8
III
A)
2
9
1
6
1
18
B)
1
6
1
18
1
C)
4
15
5
12
1
6
D)
1
3
1
3
1
2
E)
2
3
1
9
1
İki zar bir masanın üzerine atılıyor. Buna göre,
I.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 olma
olasılığı kaçtır?
II.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının tek
sayı olma olasılığı kaçtır?
III. Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının
36 dan büyük olma olasılığı kaçtır?
Yukarıdaki soruların cevapları hangi seçenekte doğru
Çözüm
olarak verilmiştir?
I
II
III
A)
5
12
1
9
1
B)
2
9
1
18
0
C)
1
3
2
9
1
D)
5
36
1
4
0
E)
1
6
1
2
5
12
340
10. SINIF MATEMATİK
Madeni 3 para havaya atıldığından örneklem uzayın eleman sayısı,
s(E) = 23 = 8
dir.
I.
Paraların ikisinin yazı, birinin tura gelme olayının kü-
mesi A olsun. A kümesi
A = {(Y, Y, T), (Y, T, Y), (T, Y, Y)}
olup s(A) = 3 olur.
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
O halde
P( A ) =
s( A ) 3
=
s(E) 8
Madeni 3 para havaya atılıyor.
dir.
I.
II.
Paraların en çok birinin tura gelme olayı, yani üçü-
nün yazı veya birinin tura gelme olayının kümesi B olsun.
Birinci paranın tura, diğer paraların yazı gelme olasılığı kaçtır?
II.
B kümesi,
Paralardan birinin yazı, diğerlerinin tura gelme olasılığı kaçtır?
III. Birinci paranın tura, ikinci paranın yazı, üçüncü para-
B = {(Y, Y, Y), (T, Y, Y), (Y, T, Y), (Y, Y, T)}
nın tura gelme olasılığı kaçtır?
olup s(B) = 4 olur.
Yukarıdaki soruların cevapları hangi seçenekte doğru
olarak verilmiştir?
O halde,
s(B) 4 1
P(B) =
= =
s(E) 8 2
dir.
III. Paraların en az birinin tura gelme olayı, yani birinin
tura, ikisinin tura veya üçünün tura gelme olayının kümesi
C olsun. C kümesi,
I
II
III
A)
1
4
1
4
3
8
B)
1
8
3
8
1
8
C)
3
8
1
2
1
4
D)
1
8
3
8
1
2
E)
1
4
1
8
1
3
C = {(T, Y, Y), (Y, T, Y), (Y, Y, T), (T, T, Y), (T, Y, T),
(Y, T, T), (T, T, T)}
olup s(C) = 7 olur.
O halde,
P(C) =
s(C) 7
=
s(E) 8
dir.
Doğru Seçenek E
DNA 10
Bir torbada 3 kırmızı, 5 sarı bilye vardır. Bu torbadan
aynı anda iki bilye çekiliyor.
Bir madeni para ard arda 4 kez atılıyor.
Bilyelerden birinin sarı, diğerinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Ardışık sonuçların farklı gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
8
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
7
A)
3
28
B)
5
8
C)
15
28
D)
4
7
10. SINIF MATEMATİK
E)
3
4
341
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
Çözüm
Bir kalem kutusunda 4 kırmızı, 5 siyah ve 6 mavi kalem
3 + 5 = 8 bilye arasından 2 bilye
vardır.
8 8 ⋅ 7 8 ⋅ 7
=
= 28
 =
2!
2 ⋅1
 2
Bu kutudan aynı anda alınan üç kalemin üçünün de
farklı şekilde seçileceğinden örneklem uzayın eleman sa-
mavi olma olasılığı kaçtır?
A)
yısı s(E) = 28 dir.
5
18
B)
3
32
C)
6
85
D)
5
72
E)
4
91
3
3 kırmızı bilye arasından 1 bilye   = 3 farklı şekilde se 1
çilebilir.
5
5 sarı bilye arasından 1 bilye   = 5 farklı şekilde seçi 1
DNA 11
lebilir.
Çarpma yoluyla sayma kuralına göre, 1 kırmızı ve 1 sarı
Bir torbada 5 beyaz, 6 kırmızı bilye vardır. Bu torba-
bilye,
dan aynı anda 3 bilye çekiliyor.
Bu bilyelerden en az birinin beyaz olma olasılığı
3 ⋅ 5 = 15
kaçtır?
farklı şekilde seçilebilir. Bilyelerden birinin sarı, diğerinin
kırmızı olma olayı A olsun. Bu durumda s (A) = 15 olur.
A)
29
33
B)
27
37
C)
23
35
D)
41
73
E)
19
41
O halde 3 kırmızı, 5 sarı bilye arasından çekilen iki bilyeden birinin sarı diğerinin kırmızı olma olasılığı
Çözüm
s( A ) 15
P( A ) =
=
s(E) 28
5 + 6 = 11 bilyeden üçü,
olur.
Doğru Seçenek C
 11 11⋅ 10 ⋅ 9 11⋅ 10 ⋅ 9
=
= 165
 =
3!
3 ⋅ 2 ⋅1
3
farklı şekilde seçileceğinden s(E) = 165 olur.
Torbadan çekilen 3 bilyeden en az birinin beyaz olması,
biri beyaz olabilir
ikisi beyaz olabilir
üçü beyaz olabilir
Bir kutuda 4 mavi, 3 sarı bilye vardır. Bu kutudan aynı
anda iki bilye çekiliyor.
ğını bulmak yerine hiçbirinin beyaz olmadığı durumu bu-
Bilyelerden birinin mavi, diğerinin sarı olma olasılığı
kaçtır?
A)
3
28
342
B)
5
8
10. SINIF MATEMATİK
anlamına geleceğinden, en az birinin beyaz olma olasılı-
C)
15
28
D)
4
7
E)
3
4
lup 1 den çıkaralım.
Seçilen üç toptan en az birinin beyaz olma olayına A dersek, üçünün de kırmızı olma olayı A′ olur.
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
bağımlı ve bağımsız olaylar
6 kırmızı toptan 3 ü,
TANIM
6 6 ⋅ 5 ⋅ 4
s( A′) =   =
= 20
 3  3 ⋅ 2 ⋅1
İki veya daha fazla olayın herhangi birinin gerçekleşmesi
farklı şekilde seçilebilir.
ya da gerçekleşmemesi diğerlerini etkilemiyorsa bu olay-
P( A ) + P( A′) = 1
lara bağımsız olaylar denir. Bağımsız olmayan olaylar
s( A′)
P( A ) +
=1
s(E)
P( A ) +
20
=1
165
P( A ) = 1 −
P( A ) =
ise bağımlı olaylar olarak adlandırılır.
Işık 1
20
165
Eğer A ile B olayları bağımsız olaylar ise A ve B nin
olasılığı,
14
45
165
P(A ve B) = P(A) ⋅ P(B)
29
P( A ) =
33
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
ile bulunur.
bulunur.
Doğru Seçenek A
DNA 12
Bir torbada 4 kırmızı, 7 siyah top vardır. Bu torbadan aynı
İki zar masaya atılıyor. Birinci zarın üst yüzüne çift
anda üç bilye çekiliyor.
sayı ve ikinci zarın üst yüzüne asal sayı gelme olasığı kaçtır?
Bu bilyelerden en az birinin kırmızı olma olasılığı kaç-
A)
tır?
A)
7
33
B)
17
41
C)
25
41
D)
44
57
E)
26
33
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
3
4
Çözüm
Birinci zarın çift sayı gelme olayı A, ikinci zarın asal sayı
gelme olayı B olsun. A olayı ve B olayı bağımsız olaylar
olduğundan P(A) ve P(B) olasılıklarının ayrı ayrı bulunup
Bir kalem kutusunda 3 kırmızı, 4 siyah kalem vardır. Bu
çarpılması gerekir.
kutudan aynı anda üç kalem alınıyor.
A olayı için,
Bu kalemlerden en az birinin siyah olma olasılığı kaç-
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6 ve
tır?
A = {2, 4, 6}, s(A) = 3
219
A)
220
117
B)
125
67
C)
125
33
D)
35
34
E)
35
tür.
10. SINIF MATEMATİK
343
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
O halde
P( A ) =
Işık 2
3 1
=
6 2
olur.
Eğer A ile B olayları bağımsız olaylar değilse, A ve B
B olayı için,
nin olasılığı
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6 ve
P(A ∩ B) ≠ P(A) ⋅ P(B)
B = {2, 3, 5}, s(B) = 3
dir.
tür.
Bu durumda A ve B nin olasılığı,
O halde
P(B) =
3 1
=
6 2
P( A ∩ B) =
s( A ∩ B)
s(E)
ise hesaplanır.
olur.
A ve B nin olasılığı,
P( A ∩ B) = P( A ) ⋅ P(B)
=
DNA 13
1 1
⋅
2 2
Bir zar masaya atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sa-
1
=
4
yının asal ve tek sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
olur.
1
3
B)
1
6
C)
1
9
D)
1
18
E)
1
36
Doğru Seçenek A
Çözüm
Zarın asal sayı gelme olayına A, tek sayı gelme olayına
İki zar masaya atılıyor.
B diyelim.
Birinci zarın üst yüzüne 3, ikinci zarın üst yüzüne 4
gelme olasılığı kaçtır?
1
A) 3
1
B) 6
1
C) 9
1
D)
18
1
E)
36
A = {2, 3, 5}, B = {1, 3, 5} ve (A ∩ B) = {3, 5} olup A ve B
bağımlı olaylar olacağından,
P( A ∩ B) =
s( A ∩ B)
s(E)
dir.
Bir zar atma deneyinde,
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6 ve (A ∩ B) = {3, 5} olduğundan zarın asal ve tek sayı olma olasılığı
P( A ∩ B) =
İki zar masaya atılıyor.
Zarlardan birinin üst yüzüne 3, diğerinin üst yüzüne 4
gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
3
344
B)
1
6
10. SINIF MATEMATİK
C)
1
9
D)
1
18
E)
1
36
s( A ∩ B) 2 1
= =
s(E)
6 3
olur.
Doğru Seçenek A
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
Çözüm
Bir zar masaya atılıyor.
Önce soruda dikkat etmemiz gereken noktaları gözden
Zarın üst yüzüne gelen sayının asal ve çift sayı olma
geçirelim.
olasılığı kaçtır?
•
A)
1
3
B)
1
6
C)
1
9
D)
1
18
E)
1
36
Çekilen topları yeniden torbaya koyduğumuzdan her
çekilişte torbada 7 + 3 = 10 top olacaktır.
•
Torbadan yapılan top alımları birbirinden bağımsızdır.
Şimdi ilk maddenin çözümüne geçelim.
I.
Toplardan biri mavi (M), diğeri kırmızı (K) olacağın-
dan iki durum söz konusudur.
MK ya da KM
O halde
Bir zar masaya atılıyor.
Zarın üst yüzüne gelen sayının asal veya çift sayı olma
4
9
B)
1
2
C)
3
5
D)
2
3
E)
5
6
K
K M
↓
↓
↓
olur.
II.
Toplardan, birincinin mavi ikincinin kırmızı olması is-
teniyor.
DNA 14
O halde,
M K
Bir torbada 7 mavi, 3 kırmızı top vardır. Çekilen top
↓
yeniden torbaya konmak koşulu ile ardarda iki top çe-
Toplardan birinin mavi, diğerinin kırmızı olma
↓
7 3
21
⋅
=
10 10 100
kiliyor.
I.
↓
7 3
3 7
21
21
42 21
⋅
+
⋅
=
+
=
=
10 10 10 10 100 100 100 50
olasılığı kaçtır?
A)
M
olur.
olasılığı kaçtır?
II.
Doğru Seçenek D
Toplardan birincisinin mavi ikincisinin kırmızı
olma olasılığı kaçtır?
Yukarıdaki soruların cevapları hangi seçenekte
doğru olarak verilmiştir?
II
A)
21
100
21
100
B)
3
10
7
10
C)
7
10
3
10
D)
21
50
21
100
E)
7
10
1
��
Bu nedir?
Cevap :Telef olmuş bir on yani TELEFON
I
10. SINIF MATEMATİK
345
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
DNA 15
Bir torbada 3 siyah, 4 mavi top vardır. Çekilen top yeniden torbaya konmak koşulu ile ardarda iki top çekiliyor.
Bir torbada 6 mavi 4 siyah top vardır. Torbadan
çekilen top yeniden torbaya konmadan ardarda iki
I.
Birincinin siyah, ikincinin mavi olma olasılığı kaçtır?
top çekiliyor.
II.
Çekilen toplardan birinin siyah, diğerinin mavi olma
I.
Çekilen toplardan birincinin siyah ikincinin mavi
olma olasılığı kaçtır?
II.
Çekilen toplardan birinin siyah diğerinin mavi
olasılığı kaçtır?
I
II
3
7
4
49
12
49
24
49
B)
C)
3
49
4
7
C)
D)
12
49
12
49
E)
24
49
12
49
A)
B)
olma olasılığı kaçtır?
A)
D)
E)
I
II
2
15
2
5
7
15
8
15
4
15
7
15
8
15
2
15
4
15
8
15
Bir torbada 2 beyaz 3 siyah top vardır. Çekilen top yeniden torbaya konulmak koşuluyla torbadan ardarda
3 top çekiliyor.
I.
Çekilen toplardan birincinin siyah, ikinci ve üçüncünün beyaz olma olasılığı kaçtır?
II.
Çekilen toplardan birinin siyah, diğerlerinin beyaz
olma olasılığı kaçtır?
I
II
A)
6
125
18
125
B)
18
125
6
125
C)
12
125
36
125
D)
24
125
18
125
36
125
12
125
E)
346
10. SINIF MATEMATİK
Çözüm
4
dur. Torbadan bir
10
6
siyah top eksildiğinden ikincinin mavi olma olasılığı dur.
9
I.
Birincinin siyah olma olasılığı
O halde birincinin siyah, ikincinin mavi olma olasılığı,
4 6 24 4
⋅ =
=
10 9 90 15
tir.
II.
Toplardan biri siyah (S), diğeri mavi (M) olacağından
iki durum söz konusudur.
S M ya da M S.
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
O halde
S M
M S
↓
↓
↓
↓
4 6 6 4 24 24
⋅ +
⋅ =
+
10 9 10 9 90 90
=
48
90
=
8
15
Bir torbada 6 yeşil 4 beyaz top vardır. Torbadan çekilen top yeniden torbaya konmadan ard arda iki top
çekiliyor.
I.
Çekilen toplardan birinin yeşil diğerinin beyaz olma
olasılığı kaçtır?
II.
Çekilen toplardan ikisinin de beyaz olma olasılığı
kaçtır?
olur.
I
II
A)
4
15
8
15
B)
8
15
2
15
C)
1
15
1
5
D)
2
15
1
3
E)
1
3
4
15
Doğru Seçenek E
Bir torbada 3 kırmızı 7 beyaz top vardır. Torbadan çekilen top yeniden torbaya konmadan ardarda iki top
çekiliyor.
I.
Çekilen toplardan birincinin kırmızı ikincinin beyaz
olma olasılığı kaçtır?
Çekilen toplardan birinin kırmızı diğerinin beyaz olma
olasılığı kaçtır?
I
II
A)
1
10
7
10
B)
7
30
7
15
C)
2
15
21
100
D)
7
15
2
15
E)
7
10
3
10
��
Bu ilimiz hangisidir?
Cevap :Kırklareli
II.
10. SINIF MATEMATİK
347
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
O halde mavi torbadan mavi bilye çekme olasılığı,
DNA 16
1 3 3
⋅ =
2 8 16
olur.
b)
Beyaz torbadan mavi bilye çekmek:
1
dir. Beyaz
2
torba seçildikten sonra içinden alınan bilyenin mavi olma
İki torbadan beyaz olanının seçilme olasılığı
olasılığı
6
6
=
dir.
6+2 8
Şekildeki mavi torbanın içinde 3 mavi, 5 beyaz
bilye, beyaz torbanın içinde 6 mavi, 2 beyaz bilye
vardır.
I.
O halde beyaz torbadan mavi bilye çekme olasılığı,
1 6 6
⋅ =
2 8 16
Rastgele bir torba seçilip, seçilen torbadan bir
bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin renginin mavi
olma olasılığı kaçtır?
II.
olur.
Herhangi bir torbadan mavi bilye çekme olasılığı,
Rastgele bir torba seçilip, seçilen torbadan bir
3
6
9
+
=
16 16 16
bilye seçiliyor. Çekilen bilyenin renginin torbanın
rengi ile aynı olma olasılığı kaçtır?
olur.
II.
Yine iki durum vardır. Mavi torbadan mavi bilye çek-
I
II
A)
1
8
3
16
mek ve beyaz torbadan beyaz bilye çekmek. Bu iki duru-
B)
9
16
5
16
a)
C)
3
8
1
8
D)
3
4
3
8
E)
5
16
9
16
mu inceleyelim:
Mavi torbadan mavi bilye çekme olasılığı,
1
3
3
⋅
=
2
8
16
↓
olur.
b)
Beyaz torbadan beyaz bilye çekme olasılığı,
1
2
2
⋅
=
2
8
16
↓
↓
Torba Bilye
seçildi seçildi
Çözüm
I.
↓
Torba Bilye
seçildi seçildi
olur.
İki durum vardır. İlki mavi torbadan mavi bilye çek-
mek, ikincisi beyaz torbadan mavi bilye çekmek. Bu iki
O halde çekilen bilyenin, çekildiği torba ile aynı renkte
olma olasılığı,
durumu inceleyelim:
a)
3
2
5
+
=
16 16 16
Mavi torbadan mavi bilye çekmek:
1
dir. Mavi
2
torba seçildikten sonra içinden alınan bilyenin mavi olma
İki torbadan mavi olanının seçilme olasılığı
olasılığı
3
3
= dir.
5+3 8
348
10. SINIF MATEMATİK
olur.
Doğru Seçenek B
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
“YYTT harfleriyle dört harfli kaç değişik şifre oluşturulabilir?” sorusuna yanıt arayalım.
4!
4 ⋅ 3 ⋅ 2!
=
=6
2!⋅ 2! 2! ⋅ 2 ⋅ 1
farklı şifre yazılabilir.
O halde YYTT gelme olasılığını hesaplayıp 6 ile çarparŞekildeki kırmızı torbanın içinde 7 kırmızı 3 beyaz top, be-
sak sonuca ulaşırız.
yaz torbanın içinde 2 kırmızı 8 beyaz top vardır. Rastgele
bir torba seçilip, seçilen torbadan bir top çekiliyor.
olma olasılığı kaçtır?
1
4
B)
7
20
C)
2
5
D)
11
20
E)
3
4
Y
T
T
↓
↓
↓
↓
1 1 1 1 1
⋅
⋅
⋅ =
2 2 2 2 16
Çekilen topun renginin, alındığı torbanın rengi ile aynı
A)
Y
İstenen olasılık
6⋅
1 3
=
16 8
olur.
Doğru Seçenek D
DNA 17
4 madeni para birlikte atıldığında ikisinin tura, ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
16
B)
1
8
C)
1
4
D)
3
8
E)
1
2
4 madeni para atıldığında üçünün tura, birinin yazı
Çözüm
gelme olasılığı kaçtır?
4 madeni para birlikte atıldığında ikisinin tura (T), ikisinin
A)
1
16
B)
1
8
C)
3
16
D)
1
4
E)
3
8
yazı (Y) gelme durumlarını inceleyelim.
YYTT
YTYT
TYYT
TTYY
TYTY
YTTY
Görüldüğü gibi 6 farklı durum söz konusu. Peki 4 değil 6
madeni para atılsaydı bu durumların hepsini tek tek yazmamız gerekecek miydi? Elbette hayır. Tekrarlı permütasyon konusuna küçük bir dönüş yapalım.
6 madeni para atıldığında ikisinin yazı, dördünün tura
gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
16
B)
3
32
C)
7
64
D)
1
8
10. SINIF MATEMATİK
E)
15
64
349
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
DNA 18
İçinde 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 sarı bilye bulunan bir
torbadan rastgele seçilen üç bilyenin her birinin
farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
A)
1
22
B)
3
22
C)
2
11
D)
3
11
E)
6
11
İçinde 2 kırmızı, 4 sarı, 5 mavi bilye bulunan bir torbadan rastgele seçilen üç bilyenin her birinin farklı renkte olmama olasılığı kaçtır?
A)
6
55
B)
5
44
C)
7
55
D)
8
33
E)
25
33
Çözüm
DNA 19
Kırmızıyı K, maviyi M, sarıyı S ile gösterelim. İstenen durumlar KMS, KSM, MKS, MSK, SMK, SKM olup 6 durum
söz konusudur. Bu durum aslında KMS harflerinin farklı
dizilişlerinin sayısıdır. Yani KMS harfleriyle
sırasıyla %4, % 3, %2 dir.
farklı diziliş elde edileceğinden KMS nin olasılığını bulup 6
ile çarparsak sonuca ulaşırız.
M
S
↓
↓
↓
üretiminin sırasıyla % 60, % 30 ve % 10 unu karşılamaktadır. Bu makinelerin bozuk mal üretme yüzdeleri
3! = 6
K
Bir fabrikada A, B ve C makineleri fabrikanın toplam
Bu fabrikada üretilmiş rastgele bir mal seçildiğinde, bu malın A makinesi ile bozuk üretilmiş olma
olasılığı kaçtır?
A)
3
4
5
1
⋅
⋅
=
12 11 10 22
3
125
B)
1
36
C)
7
250
D)
2
125
E)
6
125
İstenen olasılık
6⋅
1
3
=
22 11
Çözüm
olur.
Doğru Seçenek D
Bu fabrikada 1000 tane mal üretildiğini düşünelim. Bu
malların 600 ü A makinesi ile, 300 ü B makinesi ile, 100 ü
C makinesi ile üretilmiştir.
600 malın %4 ü bozuk olduğundan A makinesi ile
600 ⋅
İçinde 4 mavi, 4 yeşil, 4 sarı bilye bulunan bir torbadan
4
= 24 bozuk mal, 300 malın % 3 ü bozuk oldu100
ğundan B makinesi ile 300 ⋅
rastgele seçilen üç bilyenin her birinin farklı renkte
olma olasılığı kaçtır?
A)
16
55
350
B)
12
55
10. SINIF MATEMATİK
C)
4
25
D)
8
55
E)
3
25
3
= 9 bozuk mal, 100 ma100
lın % 2 si bozuk olduğundan C makinesi ile 100 ⋅
bozuk mal üretilmiştir.
2
=2
100
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
Rastgele seçilen bir malın A makinesi ile bozuk üretilmiş
DNA 20
olma olasılığı
A makinesi ile bozuk üretilmiş mal sayısı
Toplam üretim miktarı
5 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin evli
olma olasılığı kaçtır?
olacağından
A)
24
3
=
1000 125
1
9
B)
2
9
C)
1
3
D)
4
9
E)
5
9
olur.
Doğru Seçenek A
Çözüm
5 evli çift, yani 10 kişi içinden seçilen ilk kişi kim olursa olsun, seçilen kişinin eşi geriye kalan 9 kişiden biridir. İkinci
Bir fabrikada A, B, C makineleri fabrikanın toplam üreti-
seçimde doğru kişiyi seçme olasılığı
1
olur.
9
minin sırasıyla % 60, % 30 ve % 10 unu karşılamaktadır.
Doğru Seçenek A
Bu makinelerin bozuk mal üretme yüzdeleri sırasıyla % 4,
% 3 ve % 2 dir.
Bu fabrikada üretilmiş rastgele bir mal seçildiğinde bu
malın bozuk olma olasılığı kaçtır?
A)
1
40
B)
7
200
C)
11
250
D)
9
200
E)
9
100
4 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin birbiriyle evli olma olasılığı kaçtır?
A)
1
16
B)
1
7
C)
1
5
D)
1
4
E)
1
3
Bir fabrikada, A, B, C makineleri fabrikanın toplam üretiminin sırasıyla % 60, % 30 ve % 10 unu karşılamaktadır.
Bu makinelerin bozuk mal üretme yüzdeleri sırasıyla % 4,
% 3 ve % 2 dir.
Bu fabrikada üretilmiş rastgele bir mal seçildiğinde,
bu malın B makinesi ile bozuk üretilmiş olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
200
D)
B)
1
125
3
500
E)
C)
9
1000
7
1000
5 evli çift, erkekler bir arada, kadınlar bir arada olmak üzere iki ayrı grup halinde bulunmaktadır.
Her iki gruptan da rastgele bir kişi seçilirse, seçilenlerin birbiri ile evli olma olasılığı kaç olur?
A)
1
10
B)
1
9
C)
1
7
D)
1
5
10. SINIF MATEMATİK
E)
1
4
351
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
koşullu olasılık
DNA 21
TANIM
Bir sınıfta 25 erkek ve 15 kız öğrenci vardır. Kızların 4
ü, erkeklerin 6 sı sarışın diğerleri ise kumraldır.
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya
sarışın olma olasılığı kaçtır?
A)
3
20
B)
7
40
C)
13
40
19
40
D)
E)
21
40
Eş olumlu E örneklem uzayının herhangi iki olayı A ve
B olsun. P(B) > 0 olmak üzere B olayının gerçekleşmesi halinde, A olayının gerçekleşme olasılığına A olayının
B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde
gösterilir.
Çözüm
Koşullu olasılık,
erkek
Kız
Sarışın
6
4
Kumral
19
11
P( A / B) =
ile hesaplanır.
Koşullu olasılık için verdiğimiz ifade de içler - dışlar çar-
Kız (K) veya sarışın (S) olma olasılığı,
pımı yaparsak,
Tablodaki taralı bölge
Toplam sınıf mevcudu
olacağından
P( A ∩ B)
P(B)
P(A ∩ B) = P(B) ⋅ P(A / B)
6 + 4 + 11 21
=
olur.
40
40
elde edilir ki bu eşitliğe olasılıkta çarpma kuralı denir.
Doğru Seçenek E
Işık 3
Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci vardır. Kızların 3 ü,
erkeklerin 5 i gözlüklüdür.
A ve B eş olumlu E örneklem uzayında iki olay olsun.
Koşullu olasılık tanımına göre,
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü veya
P( A / B) =
kız olma olasılığı kaçtır?
A)
1
10
B)
1
7
C)
7
15
D)
17
30
E)
7
10
P( A ∩ B)
, (P(B) > 0)
P(B)
P( A ∩ B) =
s( A ∩ B)
s(B)
ve P(B) =
s(E)
s(E)
olduğundan
5 i gözlüklüdür.
s( A ∩ B)
s(E)
P( A / B) =
s(B)
s(E)
Sınıf rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü ya da kız
P( A / B) =
32 kişilik bir sınıfın 20 si erkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
8
352
B)
5
32
10. SINIF MATEMATİK
C)
7
32
D)
1
2
E)
11
32
dir.
s( A ∩ B)
,
s(B)
(s(B) ≠ 0)
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
DNA 22
Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 4 ten küçük olduğu bilindiğine göre, bu sayının asal sayı
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
4
C)
1
3
D)
4
7
E)
2
3
Bir zar atıldığında, zarın üst yüzüne gelen sayının çift
geldiği bilindiğine göre, bu sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
4
C)
3
7
D)
3
7
E)
1
3
Çözüm
4 bayan, 3 erkek yüzücü ve 5 bayan, 12 erkek paraşütçü
arasından rastgele bir kişi seçilecektir.
Seçilen kişinin bayan olduğu bilindiğine göre, yüzücü
Bir zar atıldığında,
olma olasılığı kaçtır?
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
olur. Zarın üst yüzüne gelen sayının 4’ten küçük bir sayı
geldiği bilindiğine göre,
A)
1
6
B)
5
24
C)
3
8
D)
4
9
E)
5
9
B = {1, 2, 3}
olur. Asal sayı gelme olayı ise A olsun.
DNA 23
Buna göre,
A = {2, 3, 5} tir.
Bir kapıyı içinde 6 anahtar bulunan bir anahtarlıktan
A ∩ B = {2, 3}
olacağından
P( A ∩ B) =
sadece ikisi açabilmektedir.
s( A ∩ B) 2
=
ve
s(E)
6
P(B) =
Bu kapıyı açmayı deneyen birinin ikinci denemesinde kapıyı açma olasılığı kaçtır?
A)
s(B) 3
=
s(E) 6
1
5
B)
4
15
C)
3
10
D)
2
5
E)
9
10
olur.
2
P( A ∩ B) 6 2
P( A / B) =
= =
tür.
3 3
P(B)
6
s(A ∩ B) = 2 ve s(B) = 3
olduğundan
Çözüm
Kapı ikinci denemede açıldığına göre ilk denemede açıl2
madı demektir. İlk denemede kapının açılma olasılığı ,
6
4
açılmama olasılığı dır. Açılmadığına göre yanlış anah6
tarlardan biri elendi demektir. Geriye 3 yanlış 2 doğru
anahtar kaldı.
P( A / B) =
s( A ∩ B) 2
=
s(B)
3
olur.
Doğru Seçenek E
O halde aradığımız cevap,
4 2 8
4
⋅ =
=
tir.
6 5 30 15
Doğru Seçenek B
10. SINIF MATEMATİK
353
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
Çözüm
Bir kapıyı içinde 5 anahtar bulunan bir anahtarlıktan sadece ikisi açabilmektedir.
üçgenlerin sayısını bulalım.
Bu kapıyı açmayı deneyen birinin ikinci denemesinde
kapıyı açma olasılığı kaçtır?
1
A) 5
d1 ve d2 doğrusu üzerindeki noktalarla oluşturulacak tüm
4
B)
15
3
C)
10
2
D) 5
9
E)
10
d1 doğrusu üzerinde bir nokta seçersek d2 doğrusu üzerinde iki nokta seçmeliyiz. Ya da d2 doğrusu üzerinde bir
nokta seçersek d1 doğrusu üzerinde iki nokta seçmeliyiz.
O halde oluşacak tüm üçgenlerin sayısı
 4 6  4 6
6⋅5 4⋅3
+
⋅6
 ⋅  +  ⋅  = 4⋅
2
2
 1  2   2   1
= 60 + 36
= 96
dır.
Bir kapıyı içinde 6 anahtar bulunan bir anahtarlıktan sade-
Sadece bir köşesi d1 doğrusu üzerinde olan üçgen sayısı,
 4 6
6⋅5
= 60
 ⋅  = 4⋅
2
 1  2
ce ikisi açabilmektedir.
Bu kapıyı açmayı deneyen birinin en çok ikinci denemesinde kapının açılma olasılığı kaçtır?
A)
1
5
B)
4
15
C)
3
10
D)
3
5
E)
9
10
olur.
Buradan, istenen cevap,
İstenen durum sayısı
60 5
=
=
Tüm durumların sayısı
96 8
bulunur.
Doğru Seçenek C
DNA 24
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularından, d1 doğrusu üzerindeki 4 nokta ve d2 doğrusu üzerindeki 6
nokta ile mümkün olan bütün üçgenler oluşturuluyor.
Oluşan üçgenlerden rastgele seçilen birinin yalnızca bir köşesinin d1 doğrusu üzerinde olma olasılığı kaçtır?
A)
3
8
354
B)
1
2
C)
10. SINIF MATEMATİK
5
8
D)
3
4
E)
7
8
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularından, d1 doğrusu
üzerindeki 5 nokta ve d2 doğrusu üzerindeki 4 nokta ile
mümkün olan bütün üçgenler oluşturuluyor.
Oluşan üçgenlerden rastgele seçilen birinin yalnızca
bir köşesinin d1 doğrusu üzerinde olma olasılığı kaçtır?
A)
1
7
B)
3
8
C)
3
7
D)
5
8
E)
3
4
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
5.
TEST - 1
Bir zar atıldığında zarın üst yüzüne gelen sayının
3 olmama olasılığı kaçtır?
A)
1.
Bir torbada 3 tane mavi 7 tane kırmızı top vardır.
Torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma
1
6
B)
1
2
C)
2
3
D)
5
6
E) 1
olasılığı kaçtır?
A)
1
10
B)
1
5
C)
3
10
D)
2
5
E)
3
5
6.
İrfan’ın öğrenci seçme sınavını kazanma olasılığı
0,63 olduğuna göre, kazanmama olasılığı kaçtır?
A) 0,27
2.
Bir torbada 4 yeşil, 5 kırmızı top vardır.
Torbadan rastgele seçilen bir topun yeşil veya
B) 0,37 C) 0,45
D) 0,47
E) 0,57
kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A) 0
B)
4
9
C)
5
9
D)
2
3
E) 1
7.
Bir sınıftaki 22 erkek öğrenciden 6 sı, 28 kız öğrenciden 12 si kumraldır.
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kumral
bir kız olma olasılığı kaçtır?
3.
Bir torbada 4 kırmızı, 5 turuncu top vardır.
Torbadan rastgele seçilen bir topun kırmızı ve
A)
4
5
B)
3
5
C)
2
5
D)
8
25
E)
6
25
turuncu olma olasılığı kaçtır?
A) 0
B)
4
9
C)
5
9
D)
2
3
E) 1
8.
Üzerine 1 den 9 a kadar numaralar yazılmış 9 top bir
torbaya konuyor.
4.
Bir zar atıldığında zarın üst yüzüne gelen sayının
5 olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
2
C)
Torbadan bir top çekildiğinde bu topun üzerindeki sayının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
2
3
D)
5
6
E) 1
A)
2
9
B)
1
3
C)
4
9
D)
2
3
10. SINIF MATEMATİK
E)
8
9
355
Olasılık
9.
Olasılık - Bölüm 07
Bir zar arka arkaya iki kez atıldığında zarın üst
13. A ve B bağımsız olaylar olmak üzere,
yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olma olasılı-
P( A ) =
ğı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
P( A ∩ B) =
1
4
1
6
olduğuna göre, P(A ∪ B) kaçtır?
A)
3
8
B)
1
2
C)
5
8
D)
3
4
E)
7
8
10. Bir sınıfta 4 öğretmen, 6 öğrenci vardır. Sınıftan rastgele iki kişi dışarı çıkıyor.
Çıkan iki kişinin ikisinin de öğretmen olma olasılığı kaçtır?
A)
1
15
14. Üzerinde 1 den 9 a kadar numaralar yazılmış 9 kart
bir torbaya konuyor.
B)
2
15
C)
1
5
D)
4
15
E)
1
3
Torbadan bir kart çekildiğinde çekilen kartın üzerindeki sayının çift veya 3 ile bölünebilen bir sayı
gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
11. İki madeni para havaya atılıyor.
Paraların ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
8
B)
1
4
C)
3
8
D)
1
2
E)
3
4
15. Bir zar ard arda iki kez atıldığında zarın üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının 12 olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
10
B)
1
9
C)
1
7
D)
1
5
E)
1
4
12. Bir torbada 4 beyaz, 3 kırmızı bilye vardır. Zuhal torbadan bir bilye çekerken Fikret hilesiz bir zarı atı-
yor.
16. İki zar birlikte bir masaya atılıyor.
Bilyenin beyaz ve zarın 3 ten büyük bir sayı gel-
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamlarının
me olasılığı kaçtır?
1
A) 7
1.C
356
2.E
3
B)
14
3.A
7 ve çarpımlarının 12 olma olasılığı kaçtır?
2
C) 7
4.A
10. SINIF MATEMATİK
5.D
5
D)
14
6.B
4
E)
7
7.E
A)
8.C
9.A
1
3
10.B
B)
11.B
1
6
12.C
C)
1
9
13.D
D)
14.D
1
18
15.B
E)
1
36
16.D
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
5, 6, 7 ve 8 numaralı soruları aşağıdaki metne göre
TEST - 2
1.
cevaplayınız.
“Bir torbada 5 kırmızı, 4 beyaz top vardır.”
İçinde 6 sarı ve 4 mavi top bulunan bir torbadan bir
top çekiliyor. Bu top rengine bakıldıktan sonra yeniden torbaya atılıyor. Torbadan yeniden bir top çekili-
5.
yor.
Sırayla çekilen bu iki toptan birincinin sarı ikinci-
koşuluyla arka arkaya çekilen iki toptan birinci-
nin mavi olma olasılığı kaçtır?
nin kırmızı, ikincinin beyaz olma olasılığı kaçtır?
A)
2.
Bu torbadan, alınan top torbaya geri konulmak
3
25
B)
1
5
C)
6
25
D)
2
5
E)
3
5
A)
20
81
B)
10
27
C)
4
9
D)
40
81
E)
5
18
İçinde 5 beyaz, 6 sarı bilye bulunan bir torbadan bir
bilye çekiliyor. Bu bilye geriye konmadan ikinci bir bilye daha çekiliyor.
Çekilen bilyelerden birincinin sarı, ikincinin beyaz
6.
koşuluyla arka arkaya çekilen iki toptan birinin
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
22
B)
3
22
C)
kırmızı diğerinin beyaz olma olasılığı kaçtır?
2
11
D)
3
11
E)
6
11
3.
Bir madeni para ard arda 3 kez atılıyor.
Birinci atışın yazı geldiği bilindiğine göre, ikinci
ve üçüncü atışın tura gelme olasılığı kaçtır?
1
A) 4
1
B) 5
Bu torbadan, alınan top torbaya geri konulmak
1
C) 6
1
D) 8
1
E)
10
A)
7.
B)
10
27
C)
4
9
D)
40
81
E)
5
9
Bu torbadan aynı anda alınan iki topun aynı renkli olma olasılığı kaçtır?
A)
4.
20
81
20
81
B)
10
27
C)
4
9
D)
40
81
E)
5
9
Bir sınıfta 12 kız, 18 erkek öğrenci vardır. Kızların
3 ü, erkeklerin 6 sı İngilizce dersinden başarısızdır.
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce dersinden başarısız olduğu bilindiğine göre,
bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
8.
Bu torbadan aynı anda alınan iki topun farklı
renkli olma olasılığı kaçtır?
A)
20
81
B)
10
27
C)
4
9
D)
40
81
10. SINIF MATEMATİK
E)
5
9
357
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
13. 3 erkek 4 kız yuvarlak bir masa etrafında oturacaklar-
1
dır.
6
9.
Bir atıcının bir hedefi vurma olasılığı
Bu atıcının hedefi ilk iki atışta vuramayıp, 3. atış-
dır.
ta vurma olasılığı kaçtır?
25
13
A)
B)
216
108
7
C)
54
4
D)
27
Erkeklerin yanyana oturma olasılığı kaçtır?
A)
1
E)
6
1
20
B)
1
5
C)
2
5
D)
1
2
E)
3
5
14. 1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak yazılabilecek iki
basamaklı bütün doğal sayıların arasından rastgele biri seçildiğinde, bu sayının 40 tan küçük
olma olasılığı kaçtır?
10. Bir kapıyı açan bir anahtarın da içlerinde bulunduğu
8 anahtar kapıyı açmak için denenecektir.
A)
Kapının dördüncü denemede açılma olasılığı
2
5
B)
3
5
C)
3
4
D)
4
5
E)
5
6
kaçtır?
A)
7
20
B)
5
24
C)
1
6
D)
5
32
E)
1
8
15.
11.
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularından, d1 doğrusu üzerindeki 5 nokta ve d2 doğrusu üzerindeki 7
Şekildeki ABC üçgeninde |AB| = 10 birim,
 = m (DAC)
 dir.
|AC| = 6 birim, m (BAD)
Atılan bir okun ABC üçgensel bölgesine isabet
nokta ile mümkün olan bütün üçgenler oluşturulu-
ettiği bilindiğine göre, okun ADC üçgensel böl-
yor.
gesine isabet etmiş olma olasılığı kaçtır?
Oluşan üçgenlerden rastgele seçilen birinin sa-
A)
dece bir köşesinin d1 doğrusu üzerinde olma ola-
1
3
B)
3
8
C)
3
5
D)
5
8
E)
4
5
sılığı kaçtır?
A)
2
7
B)
1
4
C)
1
2
D)
3
5
E)
3
4
16.
Altı basamaklı bir merdivenin başında duran
bir kurbağa her seferinde eşit olasılıkla ya bir
basamak ya da iki ba-
12. (x + 1)6 açılımındaki terimlerin katsayıları kartlara ya-
samak sıçrıyor.
zılıp bir torbaya konuyor.
Torbadan aynı anda iki kart çekildiğinde kartların
bu kurbağanın kırık basamağa düşmeden beşin-
üzerindeki sayıların aynı olma olasılığı kaçtır?
3
A) 7
1.C
358
2.D
4
B) 7
3.A
5
C) 7
4.B
10. SINIF MATEMATİK
5.A
6
D) 7
6.D
ci basamağa sıçrama olasılığı kaçtır?
1
E)
7
7.C
Merdivenin ikinci basamağı kırık olduğuna göre,
A)
8.E
9.A
1
8
10.E
B)
11.D
1
16
12.E
C)
3
16
13.B
D)
14.B
3
32
15.B
E)
5
32
16.C
Olasılık - Bölüm 07
Olasılık
TEST - 3
5.
Bir madeni para 4 defa atılıyor.
En az iki kez yazı geldiği bilindiğine göre, üç kez
yazı bir kez tura gelmiş olma olasılığı kaçtır?
1.
A)
İki zar atıldığında üst yüze gelen sayıların çarpı-
5
11
B)
4
11
C)
2
8
D)
5
16
E)
1
4
mının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
4
B)
1
2
C)
3
4
D)
7
36
E)
5
36
6.
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor.
Paranın tura veya zarın 4 ten büyük gelme olasılığı kaçtır?
2.
Üç madeni para havaya atıldığında 2 yazı, 1 tura
A)
gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
4
B)
1
3
C)
3
8
D)
2
3
E)
Bir zar ile bir madeni para birlikte atılıyor.
Paranın tura ve zarın çift sayı gelme olasılığı kaç1
3
C)
1
4
D)
1
5
C)
3
4
D)
1
3
E)
1
4
Üç zar birlikte bir masaya atılıyor.
farklı gelme olasılığı kaçtır?
A)
tır?
B)
2
3
Zarların üst yüzüne gelen sayıların üçünün de
3.
1
2
B)
3
4
7.
A)
5
6
E)
125
25
B)
216
36
C)
1
6
D)
5
9
E)
5
54
1
6
8.
Yüzleri 1 den 6 ya kadar numaralandırılmış bir hileli
zarda her sayının gelme olasılığı bu sayı ile doğru
4.
Bir madeni para 4 defa atılıyor.
Bu atışlardan en az birinin yazı gelme olasılığı
orantılıdır.
kaçtır?
A)
1
16
Bu zar peşpeşe 2 kez atıldığında, ikisinin de 6
gelme olasılığı kaçtır?
B)
5
16
C)
7
16
D)
11
16
E)
15
16
A)
8
49
B)
1
7
C)
6
49
D)
4
49
10. SINIF MATEMATİK
E)
3
49
359
Olasılık
Olasılık - Bölüm 07
9.
Bir zar ard arda 3 kez atılıyor.
13. Bir zarın 3 yüzü beyaz, 2 yüzü siyah, 1 yüzü de mavi
Bu atışların ikisinde 4, birinde 6 gelme olasılığı
kaçtır?
A)
1
6
renklidir.
B)
1
18
C)
1
36
D)
1
72
E)
Bu zar 3 kez atıldığında üst yüzüne gelen renklerin üçünün de farklı olma olasılığı kaçtır?
1
108
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
6
D)
1
9
E)
1
12
14. Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve bir sarı top bulunmaktadır. Torbadan çekilen top geri bırakılmaksızın
10. İki zar bir masaya atılıyor.
ardarda 2 tane top çekiliyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların farklı olduğu
İkinci çekilen topun sarı olma olasılığı kaçtır?
bilindiğine göre, bu sayıların toplamının 8 olma
A)
olasılığı kaçtır?
A)
1
10
B)
4
15
C)
1
9
D)
1
6
E)
1
2
B)
1
4
C)
3
5
D)
2
5
E)
1
5
2
15
1
olan hileli bir madeni para
3
ile hilesiz bir madeni para düzgün bir zemine birlikte
15. Tura
gelme olasılığı
atılıyor. 11. İki zar bir masaya atılıyor.
İkisinin de yazı gelme olasılığı kaçtır?
A)
Zarların üst yüzüne gelen sayıların farklı olma
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
8
olasılığı kaçtır?
A)
6
7
B)
5
6
C)
5
7
D)
2
3
E)
4
7
16. Hileli bir zar üst yüzünde 1 sayısı varken atıldığında
1
olmaktadır. Üst yüzünde 1 sayı3
sı yokken atıldığında bütün sayıların gelme olasılık6 gelme olasılığı
ları eşittir.
12. Bir zar ve iki madeni para birlikte atılıyor.
peşpeşe atan ve hileyi bilen birinin her iki seferde de 6 atma olasılığı kaçtır?
Zarın üst yüzüne gelen sayının asal ve paralardan en az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
A)
1.C
360
1
4
2.C
B)
3
8
3.C
C)
4.E
10. SINIF MATEMATİK
1
2
5.B
D)
5
8
6.B
Bu zarı, bir kez zara bakarak bir kez de bakmadan
E)
7.D
3
4
(Zarı atan kişi, zarın 6 gelmesini istemektedir.)
A)
8.D
9.D
1
36
10.E
B)
11.B
1
18
12.B
1
9
D)
13.C
14.E
C)
19
36
15.B
E)
7
216
16.E
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
TEMEL KAVRAMLAR
Uyarı
GİRİŞ
Bu bölümümüzde bazı temel kavramlara değindikten sonra, üçgenleri metrik olarak inceleyeceğiz. Trigonometri’nin
kelime anlamının üç kenarlı şekillerin metrik incelenmesi
anlamına geldiğini söyleyelim ve bölümümüze başlaya-
Açı ile bölge arasında gösterim farkı olarak parantez
vardır. Gündelik hayatta açı ile açısal bölge arasındaki
fark, tel ve levha arasındaki farktır.
lım.
TANIM
Açıyı oluşturan iki ışından biri başlangıç kenarı diğeri bi-
TANIM
tiş kenarı olarak alındığında elde edilen açıya yönlü açı
Bir ışını başlangıç noktası etrafında döndürdüğümüzde,
ışının taradığı noktalar kümesinden, oluşan açının çıkar-
denir. Açılar adlandırılırken önce başlangıç kenarı sonra
bitiş kenarı yazılır.
tılmasıyla elde edilen kümeye o açının iç bölgesi denir.
Bir açının bulunduğu düzlemden, o açının kendisi ve iç
bölgenin çıkarılmasıyla elde edilen kümeye o açının dış
bölgesi denir.
Bir açı bulunduğu düzlemi açının iç bölgesi ve dış bölgesi
olmak üzere iki bölgeye ayırır. Açı ile iç bölgesinin birleşimine açısal bölge denir.
Başlangıç kenarından bitiş kenarına ilerlerken saatin yelkovanının tersi yönünde ilerleniyorsa açıya pozitif yönlü
açı (sol şekil), yelkovanla aynı yönde ilerleniyorsa negatif
yönlü açı (sağ şekil) denir.
TANIM
Bir açının köşesini merkez kabul eden bir çemberin, açıSiyah
sal bölge ile kesişen parçasına o bölgenin gördüğü yay
→ Açı
denir.
Kırmızı → İç bölge
Mavi
→ Dış bölge
Siyah + Kırmızı = Açısal bölge
)
 ∪ İç bölge = (BAC
BAC
↓
↓
açı
açısal bölge
↓
↓
Şekildeki gibi O merkezli bir çember ve pozitif yönlü BOA
tel
levha
açısını çizdiğimizde, BOA açısal bölgesi ile O merkezli
 biçiminde
çemberin kesişimi bize MN yayını verir ( MN
 nın yönü BOA açısının yönüdür. Yani MN

gösterilir). MN
pozitif yönlü bir yay olup başlangıç noktası M, bitiş noktası
N dir.
10. SINIF MATEMATİK
361
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
Aşağıdaki tabloda verilen boşlukları örnekleri dikkate alarak uygun biçimde doldurunuz.
Şekil
Sembolle Başlangıç
Bitiş
Gösterim
kenarı
kenarı

BOA
[OB
[OA
Yönü
POZİTİF
Birbirine dik doğrulardan yatay olanına apsis ekseni (x
ekseni) düşey olanına ordinat ekseni (y ekseni) adı verilir. Bu eksenlerin kesişim noktası ise koordinat sisteminin
başlangıç noktası veya orijin olarak adlandırılır.
Sıralı her gerçek sayı ikilisine koordinat düzleminde bir
nokta karşılık gelir. Karşıt olarak, koordinat düzleminde
alınacak olan her hangi bir noktaya da karşılık gelen bir
Şekil
Sembolle Başlangıç
Gösterim
noktası
Bitiş
noktası
gerçek sayı ikilisi vardır. Bu ikiliye noktanın koordinatları
Yönü
denir.
A(m, n) gibi bir noktanın koordinat düzleminde yeri belir-

BOA
B
A
POZİTİF
lenirken, x ekseni üzerindeki m noktasından ve y ekseni
üzerindeki n noktasından eksenlere dik olacak biçimde
birer doğru çizilir. İki doğrunun kesişim noktası A(m, n)
noktasıdır. Şimdi bu durumu bir örnekte görelim.
ANALİTİK DÜZLEM
İki reel sayı doğrusunun, “0” gerçek sayısının bulunduğu nokta birbiriyle çakışacak ve bu noktada birbirine dik
olacak şekilde kesiştirilmesiyle oluşan sisteme koordinat
sistemi, bu sistemin üzerinde bulunduğu düzleme analitik düzlem veya koordinat düzlemi denir.
362
10. SINIF MATEMATİK
x ekseni üzerinde alınan her noktanın ordinatı sıfır, y ekseni üzerinde alınan her noktanın apsisi sıfırdır.
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırır.
bulunur.
Bu bölgeler aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi I., II., III. ve
(x1 – x2)2 = (x2 – x1)2 ve (y1 – y2)2 = (y2 – y1)2
IV. bölge olarak adlandırılır.
olduğundan
| AB | =
( x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2
olarak da yazılabilir.
ÇEMBER DENKLEMİ
Düzlemde, sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir.
y ekseninin sağında apsis pozitif, solunda negatifitir. x eksenin üst kısmında ordinat pozitif, altında negatiftir. Buna
göre,
I. bölgede apsis pozitif, ordinat pozitiftir.
II. bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir.
III. bölgede apsis negatif, ordinat negatiftir.
IV. bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir.
Düzlemdeki sabit noktamız M(a,b) olsun. M noktasından
r birim uzaklıktaki noktaları temsilen de P(x,y) noktasını
alalım. M ve P noktaları arasındaki uzaklık yarıçapı vereceğinden iki nokta arasındaki uzaklığı bulalım:
|MP|2 = (x – a)2 + (y – b)2
İkİ Nokta arası uzaklık
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Koordinat düzleminde A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları arası
uzaklık bulunurken Pisagor Teoremi’nden yararlanılır. A
ve B noktaları I. bölgede iki nokta olsun.
olacağından merkezinin koordinatı M(a,b) ve yarıçapı r
olan çemberin denklemi
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
olur.
Şimdi temel kavramların en önemlilerinden biri olan birim
çembere geçebiliriz.
TANIM
Analitik düzlemde, merkezi orijinde ve yarıçap uzunluğu
1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember deA ve B noktaları arasındaki uzaklık |AB| dir. Şekilde görüldüğü gibi ACB dik üçgenini oluşturduğumuzda Pisagor
Teoremi’nden
nir.
Merkez koordinatları O(0,0) ve yarıçapı r=1 birim olduğundan birim çemberin denklemi
|AB|=(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
| AB | =
( x1 − x2 )
2
+ ( y1 − y 2 )
x2 + y2 = 1
2
olur.
10. SINIF MATEMATİK
363
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
Çözüm
Nokta birim çember üzerinde olduğundan, birim çemberin
denklemi olan x2 + y2 = 1 denklemini sağlar. Buna göre
noktanın koordinatlarını denklemde yerine yazalım:
x2 + y2 = 1
2
2
 m 
 m 
−
 +
 =1
2

 2
m2 m2
+
=1
2
2
Birim çemberin x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulalım.
2m2
=1
2
x eksenini kestiği noktalar (a,0) biçiminde olacağından
y=0 için denklemi çözelim:
m2 =1 ise m = 1 olur.
x2 + y2 = 1
Aradığımız değer +1 veya –1 dir.
x2 + 02 = 1
Doğru Seçenek B
x2 = 1 ise x =  1 olur.
Yani birim çember x eksenini A(1,0) ve C(–1,0) noktalarında keser.
y eksenini kestiği noktalar (0,b) biçiminde olacağından
x=0 için denklemi çözelim:
x2 + y2 = 1
02
+
y2


2
Koordinatları  − 2 , m  olan nokta birim çember üze

rinde olduğuna göre m aşağıdakilerden hangisi ola-
=1
y2 = 1 ise y=  1 olur.
Yani birim çember y eksenini B(0,1) ve D(0,–1) noktalarında keser.
bilir?
A) −
6
2
B) −
3
2
C) −
2
3
D)
2
2
E)
6
2
DNA 1
 m m 
,
Koordinatları  −
 olan nokta birim çember
2 2

üzerinde olduğuna göre m aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) −2 2 364
D)
B) –1 2 10. SINIF MATEMATİK
E)
C) − 2
3
(a + 2) ⋅ x2 + (b – 3) ⋅ y2 = a – b + c
denklemi birim çember belirttiğine göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) –3
B) 1
C) 3
D) 7
E) 9
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
AÇI ÖLÇÜSÜ VE ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Açının kolları arasındaki açıklığı belirtmek için kollar arasındaki bu büyüklük bir sayıya karşılık gelir ki bu değere
açının ölçüsü denir. Açının kolları arasındaki açıklık art-
yay 1 radyanlık merkez açı görür. Yarıçapı r olan çemberin çevresi 2pr olduğundan, yani çember 2p tane r uzunluğunda yaydan oluştuğundan çemberin tamamını gören
merkez açının ölçüsü 2p radyan olur.
tıkça açının ölçüsü büyür, azaldıkça açının ölçüsü küçülür.
 biçiminde ifade edilir.
Bir ABC açısının ölçüsü m ABC
(
)
Hazine 1
Açı ölçümü için üç birim kullanılır. Bunlar; derece (D), radyan (R) ve gradtır (G). Biz sadece derece ve radyan ile
Çemberde bir tam açının ölçüsü
ilgileneceğiz.
360°=2p rad
I. DERECE
idi.
Bir tam çember yayı 360 eş parçaya bölündüğünde, bu
O halde derece (D) ve radyan (R) arasında
eş yaylardan birini gören merkez açının (köşesi çemberin
D
R
=
360° 2π
merkezinde olan açı) ölçüsü 1 derece olarak adlandırılır.
eşitliği geçerlidir. Paydalar 2 ile sadeleştirilirse
D
R
=
180° π
elde edilir.
DNA 2
Yani bir tam açının (360° nin) 360 ta birine 1 derecelik açı
denir ve 1° ile gösterilir.
1° lik açının 60 da birine 1 dakika denir ve 1′ ile gösterilir.
I. 210°
Benzer biçimde 1′ lık açının 60 ta birine 1 saniye denir ve
IV.
1′′ ile gösterilir.
1° = 60′
ve
1′ = 60′′
1° = 60′ = 3600′′
dir. Buna göre saniye 60 a bölünürse dakika, dakika 60 a
bölünürse derece elde edilir.
II. RADYAN
π
6
1 rad ile gösterilir.
V.
III. 120°
3π
4
VI.
2π
3
Yukarıda derece ve radyan birimlerinde açı ölçüleri verilmiştir. Bu açılardan derece biriminde verilenlerin radyan biriminde eşiti, radyan biriminde
verilenlerin derece biriminde eşiti aşağıdakilerden
hangisinde doğru olarak verilmiştir?
I
II
III
IV
V
VI
A)
3π
2
π
9
2π
3
30°
120°
150°
B)
7π
6
π
3
3π
2
60°
150°
135°
C)
2π
9
π
2
3π
2
120°
135°
150°
D)
7π
6
2π
9
2π
3
30°
135°
120°
E)
3π
2
2π
3
π
9
60°
135°
150°
Bir çemberde, yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki yayı
gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir ve 1R veya
II. 40°
Tanıma göre, r yarıçaplı bir çemberde uzunluğu r olan her
10. SINIF MATEMATİK
365
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
VI. için,
Çözüm
D
R
=
180 π
2π
D
D
2
= 3 ise
=
180
π
180 3
I. için,
D
R
=
180 π
210 R
210 ⋅ π
=
ise R =
180 π
180
R=
7π
6
D=
180° ⋅ 2
= 120°
3
Doğru Seçenek D
II. için,
D
R
=
180 π
40 R
40 ⋅ π
=
ise R =
180 π
180
R=
2π
9
III. için,
D
R
=
180 π
I. 180°
120 R
120 ⋅ π
=
ise R =
180 π
180
R=
2π
3
IV.
II. 300°
4π
3
V.
III. 240°
5π
3
VI.
7π
12
Yukarıda derece ve radyan birimlerinde açı ölçüleri verilmiştir.
Bu açılardan derece biriminde verilenlerin radyan biriminde eşiti, radyan biriminde verilenlerin derece bi-
IV. için,
verilmiştir?
π
D
D
1
6
=
ise
=
180 π
180 6
I
II
III
IV
V
VI
A)
π
2
5π
2
6π
5
280°
310°
340°
B)
p
5π
3
4π
3
240°
300°
105°
D
R
=
180 π
C)
π
2
3π
4
5π
3
135°
240°
175°
3π
D
D
3
= 4 ise
=
180
π
180 4
D)
π
2
4π
3
5π
3
300°
240°
280°
E)
p
4π
3
5π
2
300°
240°
150°
V. için,
riminde eşiti aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak
D
R
=
180 π
366
D=
D=
180°
= 30°
6
180° ⋅ 3
= 135°
4
10. SINIF MATEMATİK
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
Bir ABC üçgeninde
 ) = π rad
m (B
12
 ) = 5°
 ) − m (C
m (A
 kaç radyandır?
olduğuna göre, m(C)
A)
4π
9
B)
3π
5
C)
2π
3
D)
7π
12
E)
4π
5
Görüldüğü gibi x ekseninden itibaren pozitif yönde ölçtüğümüz 380° lik açının birim çemberi kestiği nokta ile 20°
lik açının birim çemberi kestiği P noktası aynı noktadır. Bu
işlemi bu biçimde (yani 360° ekleyerek) istediğimiz kadar
devam ettirebiliriz. Örneğin 740°, 1100°, 1460° ölçülerine
sahip açılarda birim çemberi P(a,b) noktasında kesecektir. İşte bu 20° lik ölçüye 380°, 740°, 1100° ve 1460° ölçülerine sahip açının esas ölçüsü denir. O halde bir açının
ölçüsünün esas ölçüsü bulunurken bu açının içinden 360°
nin tam katlarının atılması yeterli olur.
Esas ölçü, açının birimi ne olursa olsun her zaman pozitif
yönlüdür.
ESAS ÖLÇÜ
Esas ölçüyü daha rahat kavranabilmesi için örnek vererek
Buna göre negatif yönlü bir açının esas ölçüsünün ne
olması gerektiğine de incelememiz gerekecek. Bu sefer
ölçüsü –20° olan negatif yönlü bir açı alalım.
açıklayalım:
Ölçüsü 20° olan bir açıyı birim çember üzerinde gösterelim.
Şekildeki gibi ölçüsü –20° olan açı negatif yönlü olduğundan [OK birim çemberi P(a,b) noktasında keser. Ancak bir
açıya ait esas ölçünün pozitif olması gerektiğini söyledik.
Şekilde görüldüğü gibi ölçüsü 20° olan açı pozitif yönlü
olduğundan [OK birim çemberi P(a,b) noktasında keser.
Şimdi 20° lik bu açıya 360° ekleyelim. Yani 380° lik açıyı
birim çember üzerinde gösterelim.
O halde birim çemberi P(a,b) noktasından kesen pozitif
yönlü açıyı bulduğumuzda aslında –20° lik açı ölçüsünün
de esas ölçüsünü bulmuş olacağız. Bu ölçü de –20° lik
ölçüyü 360° ye tamamlayan 340° lik açıdır.
10. SINIF MATEMATİK
367
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
III. için,
Işık 1
–550°= (–2) ⋅ 360° +170°
k ∈ Z ve a ∈ [0°, 360°) olmak üzere, birim çember
olduğundan esas ölçü 170° dir.
üzerinde a açısı ile a + k . 360° açısı aynı noktaya
IV. için,
denk gelmektedir. Bu nedenle ölçüsü
–1680° = (–5) ⋅ 360 + 120°
a + k . 360°
olduğundan esas ölçü 120° dir.
olan açının esas ölçüsü a derecedir.
Derece cinsinden bir açının esas ölçüsü bulunurken,
bu açının ölçüsü 360 a bölünür. Elde edilen kalan o
I. için,
açının esas ölçüsüdür.
Eğer açı ölçüsü negatif verilmiş ise pozitifmiş gibi işlem yapılır, bulunan kalan 360° dan çıkarılır.
490
360
360
1
Kalan 130° olduğundan esas ölçü 130°
1680 360
1440 4
Kalan 240° olduğundan esas ölçü 240°
dir.
130
II. için,
DNA 3
I. 490°
dir.
0240
II. 1680° III. –550° IV. –1680°
Yukarıda ölçüleri verilmiş açıların esas ölçüleri
aşağıdakilerden hangisidir?
III. için,
I
II
III
IV
A)
130°
240°
170°
120°
B)
130°
210°
150°
220°
C)
120°
150°
210°
130°
D)
170°
150°
210°
120°
E)
130°
210°
150°
135°
–550° pozitifmiş gibi işlem yapacağız.
550
360
360
1
Açı negatif yönlü olduğundan elde ettiğimiz kalanı 360° den çıkaracağız.
190
O halde esas ölçü 360° – 190° = 170° dir.
IV. için
Çözüm
–1680° pozitifmiş gibi işlem yapıp, elde ettiğimiz kalanı
360° den çıkaracağız.
1680 360
1440 4
0240
I. için,
490°=1 ⋅ 360° + 130°
olduğundan esas ölçü 130° dir.
II. için,
1680°= 4 ⋅ 360° + 240°
olduğundan esas ölçü 240° dir.
368
10. SINIF MATEMATİK
240° yi 360° den çıkaralım.
360° – 240° = 120° esas ölçü bulunmuş
olur.
Doğru Seçenek A
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
Işık 2
I. 5380° II. 127° III. –127° IV. –4835°
k ∈ Z, a ∈ R ve a ∈ [0, 2p) olmak üzere birim çember
Yukarıda ölçüleri verilmiş açıların esas ölçüleri aşağı-
üzerinde a gerçek sayısı ile a + k . 2p sayısı aynı nok-
dakilerden hangisidir?
taya denk gelmektedir. Bu nedenle ölçüsü
I
II
III
IV
A)
240°
127°
333°
105°
B)
240°
127°
333°
205°
C)
140°
127°
133°
105°
D)
340°
127°
233°
155°
E)
340°
127°
233°
205°
a + k ⋅ 2p
olan açının esas ölçüsü a radyandır. O halde radyan
cinsinden bir açının esas ölçüsü bulunurken bu açının
içinden 2p nin tam katları atılır. a ∈ [0, 2p) olan açı
ölçüsü o açının esas ölçüsüdür.
Pratik olarak, verilen radyan cinsinden açı ölçüsü,
paydasının iki katına bölündüğünde elde edilen kalanın p ile çarpımının paydaya oranı o açının esas ölçüsüdür.
Eğer açı ölçüsü negatif verilmiş ise pozitifmiş gibi işlem yapılır, bulunan değer 2p den çıkarılır.
DNA 4
I.
19π
3
II. −
19π
3
Yukarıda ölçüleri verilmiş açıların esas ölçüleri
aşağıdakilerden hangisidir?
I. 360°
II. –360°
I
II
A)
2π
3
4π
3
B)
3π
2
π
2
C)
π
3
5π
3
D)
2π
5
8π
5
E)
5π
3
π
3
Yukarıda ölçüleri verilmiş açıların esas ölçüleri aşağıdakilerden hangisidir?
I
II
A) 360°
0°
B) 360°
360°
C) 180°
180°
D) 0°
360°
E) 0°
0°
10. SINIF MATEMATİK
369
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
Çözüm
17π
2
I.
13π
5
II.
III. −
9π
2
Yukarıda ölçüleri verilmiş açıların esas ölçüleri aşağı-
I. için,
19π π + 18π π
π
=
= + 6 π = + 3 ⋅ 2π
3
3
3
3
olduğundan esas ölçü
π
radyandır.
3
19π 5π − 24π 5π
5π
=
=
− 8π =
+ ( −4 ) ⋅ 2π
3
3
3
3
olduğundan esas ölçü
I
5π
radyandır .
3
19π
Veya −
pozitifmiş gibi düşünülüp bulunan değer 2p
3
den çıkarılabilir.
II
III
π
2
3π
5 3π
2
B)
π
2
2π
5 π
2
C)
3π
2 π
5
3π
5
D)
3π
2 3π
5 3π
2
E)
3π
5 π
2
3π
2
A)
II. için,
−
dakilerden hangisidir?
I. için,
19π
için 19 sayısı paydanın iki katı olan 6 ya bölünür.
3
19
18
1
6
3
Elde edilen kalan 1. Kalanı p ile çarpıp
paydaya bölersek esas ölçüyü elde etmiş oluruz.
O halde esas ölçü
1⋅ π π
=
tür.
3
3
II. için,
19π
pozitifmiş gibi düşünüp, pay paydanın iki katına
3
bölünür (I. için yaptığımız çözümün aynısı). Buradan elde
−
edeceğimiz radyan cinsinden açı ölçüsü 2p den çıkarılır.
19π
π
ün esas ölçüsünün
olduğunu bulmuştuk. 2p den
3
3
π 5π
çıkaralım. 2π − =
olur.
3 3
I.
Doğru Seçenek C
10. SINIF MATEMATİK
19π
8
III. −
7π
2
IV. –5p
dakilerden hangisidir?
I
II
III
IV
A)
4π
7 5π
8 3π
2 p
B)
2π
7 3π
8 π
2
π
2
4π
7 3π
8 π
2
p
D)
2π
7
5π
8 3π
2 p
E)
4π
7 3π
8 3π
2 0
C)
370
II.
Yukarıda ölçüleri verilmiş açıların esas ölçüleri aşağı-
19π
5π
O halde −
radyanlık açının esas ölçüsü
tür.
3
3
18π
7
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK
TANIM
ORANLARIN TANIMLARI
Kotanjant (cot veya cotg)
TANIM
Sinüs (sin)
Bir dik üçgende, bir açının komşu dik kenarının uzunluğunun, karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına o açının
kotanjantı denir.
Bir dik üçgende, bir açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun, hipotenüs uzunluğuna oranına o açının sinüsü
Komşu dik kenar
 ) = cot α =
cot m( ACB

Karşı dik kenar
=
a
c
denir.
 ) = sin α =
sin m( ACB

Karşı dik kenar
Hipotenüs
=
c
b
TANIM
Sekant (sec)
TANIM
Kosinüs (cos)
Bir dik üçgende, hipotenüs uzunluğunun açının komşu dik
kenar uzunluğuna oranına o açının sekantı denir.
Bir dik üçgende, bir açının komşu dik kenar uzunluğunun,
 ) = sec α =
sec m( ACB

Hipotenüs
b
=
Komşu dik kenar a
hipotenüs uzunluğuna oranına o açının kosinüsü denir.
 ) = cos α =
cos m ( ACB

Komşu dik kenar
Hipotenüs
=
a
b
TANIM
TANIM
Kosekant (csc veya cosec)
Tanjant (tan veya tg)
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun, açının karşısındaki dik kenar uzunluğuna oranına o açının kosekantı
Bir dik üçgende, bir açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun, komşu dik kenarın uzunluğuna oranına o açının
tanjantı denir.
 ) = tan α = Karşı dik kenar = c
tan m( ACB

Komşu dik kenar
a
denir.
Hipotenüs
b
=
c
Karşı dik kenar
Dik üçgen özelliklerini kullanarak tanımını yaptığımız bu
 ) = csc α =
csc m( ACB

altı trigonometrik oran ve dik üçgen yardımıyla trigonometrinin temel bağıntılardan bazılarını elde edeceğiz.
10. SINIF MATEMATİK
371
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
Çözüm
Hazine Avı
8 + cos2 x
− 3 ifadesinde sinx ile ilgili yapılacak birşey
3 + sin x
yok, ancak
sin2x + cos2x = 1
eşitliğinden,
cos2x = 1 – sin2x
Şekildeki üçgen için Pisagor Teoremi
yazılabilir.
8 + cos2 x
8 + 1 − sin2 x
−3 =
−3
3 + sin x
3 + sin x
a2 + c2 = b2
dir.
=
9 − sin2 x
−3
3 + sin x
=
32 − sin2 x
−3
3 + sin x
 ) = α için
olur. Şimdi şekildeki üçgende verilen m( ACB
=
sinüs ve kosinüs oranlarını yazalım.
c
a
sin α = ve cos α =
b
b
olduğundan
= 3 – sinx – 3
= – sin x Eşitliğin her iki tarafını b2 ye bölelim.
a2
b
2
2
+
c2
b
2
=1
2
a
c
b +b =1
 
 
2
(3 − sin x ).(3 + sin x )
(3 + sin x )
−3
olur.
2
a
c
b +b =1
 
 
Doğru Seçenek C
cos2a + sin2a = 1
bulunur. Bu ifadenin her a ∈ R değeri için sağlandığını
birim çemberde trigonometrik oranların tanımlarını verdiğimizde göreceğiz.
Hazine 2
3 + sin2 x
−2
2 + cos x
x ∈ R olmak üzere,
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
cos2x + sin2x = 1
A) –sinx
dir.
B) –cos x C) –tanx
D) sinx
E) cosx
DNA 5
8 + cos2 x
−3
3 + sin x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) tan x
372
B) cot x D) sin x
10. SINIF MATEMATİK
C) –sin x
E) –cos x
sin2 x
cos2 x
−
+ cos x
1 + cos x 1 + sin x
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –sinx
B) –cosx
C) –tanx
D) sinx
E) cosx
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
DNA 6
sin x + cos x =
3 +1
2
bulunur.
sin x ⋅ cos x =
2 3
8
sin x ⋅ cos x =
3
4
olduğuna göre sinx ⋅ cosx çarpımı kaçtır?
A)
1
4
D)
B)
3
2 3
4
C)
Doğru Seçenek B
1
2
3 +1
3
E)
Çözüm
3 +1
Soruda verildiği üzere sin x + cos x =
değerinden
2
sinx ⋅ cosx çarpımını elde edebileceğimiz bir yol görünmüyor gibi. Ancak çarpanlara ayırma konusunu hatırlarsak
1
sin x − cos x =
2
olduğuna göre sinx ⋅ cosx çarpımı kaçtır?
A) −
3
4
B) −
3
8
C)
1
4
D)
3
8
E)
3
4
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
idi. Buna göre bir iki terimlinin karesini alırsak bu iki terimin
çarpımıyla ilgili de bilgi sahibi olabiliyoruz.
O halde
sin x + cos x =
3 +1
2
eşitliğinin her iki tarafının karesini alalım:
 3 + 1
(sin x + cos x )2 = 
 2 


sin2 x + 2 ⋅ sin x ⋅ cos x + cos2 x =
sin2 x + cos2 x + 2 ⋅ sin x ⋅ cos x =

1
1 + 2 ⋅ sin x ⋅ cos x =
2
3 + 2 3 +1
4
3 + 2 3 +1
4
4+2 3
4
4+2 3
2 ⋅ sin x ⋅ cos x =
−1
4
2 ⋅ sin x ⋅ cos x =
2 ⋅ sin x ⋅ cos x =
4+2 3 −4
4
2 3
4
x = sinq ve y = cosq olduğuna göre,
x4 – y4 – 2x2 – 1
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –2sin2q
D) sinq – cosq
C) –2cos2q
E) 2
10. SINIF MATEMATİK
373
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
Çözüm
Hazine Avı
2 ⋅ sin x − 3 ⋅ cos x 2
=
sin x + cos x
5
içler – dışlar çarpımı yapalım:
5(2 ⋅ sinx – 3 ⋅cosx) = 2(sinx + cosx)
10 ⋅ sinx – 15 ⋅ cosx = 2 ⋅ sinx + 2 ⋅ cosx
10 ⋅ sinx – 2 ⋅ sinx = 2 ⋅ cosx + 15 ⋅ cosx
 ) = α için sinüs, kosinüs, tanŞekildeki üçgenden, m( ACB
8 ⋅ sinx = 17 ⋅ cosx
jant ve kotanjant oranlarını yazalım.
c
a
ve cos α = ,
b
b
c
a
tan α =
ve cot α =
a
c
tan x =
sin α =
sin x
olduğundan eşitliğin iki tarafını cosx e böcos x
lelim.
8 ⋅ sin x
17 ⋅ cos x
=
cos x
cos x
dir. Dikkat ederseniz a için yazdığımız tanjant oranı, sinüs
değerinin kosinüs değerine oranına eşittir. Benzer biçim-
tanx
de kotanjant oranı, kosinüs değerinin sinüs değerine ora-
8 ⋅ tan x = 17
17
tan x =
8
nına eşit. Matematikçesini yazalım.
c
sin α b c b c
= = ⋅ = = tan α
cos α a b a a
b
a
cos α b a b a
= = ⋅ = = cot α
sin α c b c c
b
bulunur.
Doğru Seçenek E
O halde tanımlı olduğu yerlerde
sin α
cos α
tan α =
ve cot α =
cos α
sin α
dır.
Hazine 3
olduğuna göre, tanx değeri kaçtır?
x ∈ R ve cosx ≠ 0, sin x ≠ 0 olmak üzere,
tan x =
3 ⋅ cos x − sin x 1
=
cos x − sin x
5
A)
sin x
cos x
ve cot x =
cos x
sin x
2
7
B)
2
5
C)
1
2
D)
5
2
E)
7
2
D)
5
13
E)
5
17
tir.
DNA 7
5 ⋅ sin x − cos x 2
=
cos x − sin x
3
2 ⋅ sin x − 3 ⋅ cos x 2
=
sin x + cos x
5
olduğuna göre, cotx değeri kaçtır?
olduğuna göre, tanx değeri kaçtır?
A)
13
12
374
B)
17
12
C)
10. SINIF MATEMATİK
3
2
D)
13
8
E)
17
8
A)
17
5
B)
13
5
C)
11
5
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
DNA 8
tan x − cot x
+ cos2 x
tan x + cot x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos2x
D)
B) sin2x
tan2x
cot x
tan x
+
1 + cot x 1 + tan x
A) tanx
C) tanx
E)
C) 1
B) cotx
D) sinx
E) cosx
Hazine Avı
cot2x
Çözüm
tanx yerine
sin x
cos x
, cotx yerine
yazalım.
cos x
sin x
sin x cos x
−
tan x − cot x
2
cos
x sin x + cos2 x
+ cos x =
sin x cos x
tan x + cot x
+
cos x sin x
=
=
sin2 x − cos2 x
sin x ⋅ cos x
sin2 x + cos2 x
sin x ⋅ cos x
sin2 x − cos2 x
2
2
sin
x
+ cos

x
 ) = α için tanjant ve kotanjant
Şekildeki üçgenden m( ACB
değerlerini yazalım.
c
a
ve cot α =
a
c
dir. Tanjant ve kotanjant değerlerinin çarpımına bakalım.
tan α =
tan α ⋅ cot α =
2
+ cos x
c a
⋅
a c
tan α ⋅ cot α = 1
olur.
+ cos2 x
O halde tanımlı olduğu değerler için,
tana ⋅ cota = 1
1
= sin2 x − cos2 x + cos2 x
dir.
= sin2 x
Hazine 4
Doğru Seçenek B
x ∈ R olmak üzere, tanımlı olduğu değerler için,
tanx ⋅ cotx = 1
dir.
1
cot x +
sin x ⋅ (1 − cos x )
sin x
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) sinx
B) cosx
D) cos2x
E) 1
C) sin2x
DNA 9
tanx + cotx = 2
olduğuna göre, tan2x + cot2x toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
10. SINIF MATEMATİK
E) 6
375
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
sekant ve kosekant değerlerini yazalım:
Çözüm
tan2x
ve
cot2x
sin α =
c
b
ve csc α =
b
c
cos α =
a
b
ve sec α =
b
a
i elde edebilmek için eşitliğin her iki tarafı-
nın karesini alalım:
2
2
(tanx+cotx) =2
dır.
2
tan2 x + 2 ⋅ tan
⋅ cot
x
x + cot x = 4
1
csc α =
tan2 x+2+cot 2 x=4
tan2 x+cot2 x=2
sec α =
Doğru Seçenek B
b 1
1
= =
c c sin α
b
b 1
1
= =
a a cos α
b
olur. O halde tanımlı olduğu yerlerde
csc α =
1
1
ve sec α =
sin α
cos α
olup, eşitliklerde içler - dışlar çarpımı yapılırsa
csca ⋅ sina = 1 ve seca ⋅ cos a = 1
olur.
tanx – cotx = 2
olduğuna göre, tan2x + cot2x toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
Hazine 5
x ∈ R olmak üzere, tanımlı olduğu yerlerde,
cscx ⋅ sinx = 1 ve secx ⋅ cosx = 1
tanx – cotx = 2
dir.
olduğuna göre, tanx + cotx toplamının pozitif değeri
kaçtır?
A)
3
B) 2
C)
6
D) 2 2 E) 2 3
DNA 10
Hazine Avı
1
 1 + sin x

 1 − sin x ⋅ sec x + tan x  − tan x


ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) sinx
 ) = α için sinüs, kosinüs,
Şekildeki üçgenden m( ACB
376
10. SINIF MATEMATİK
B) cosx
D) cscx
E) tanx
C) secx
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
Çözüm
1
 1 + sin x

 1 − sin x ⋅ sec x + tan x  − tan x




 1 + sin x

1
=
⋅
 − tan x
1
sin
x
1
−
sin
x


+
cos x cos x 

ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 ⋅ tanx


 1 + sin x

1
=
⋅
 − tan x
1
+
sin
x
 1 − sin x

cos x 

 1 + sin x
cos x
= 
⋅
1
−
sin
x
1
+ sin x

cot x
1
−
csc x − 1 sec x(sin x + 1)
B) 2 ⋅ cotx
E) 2 ⋅ cscx
D) secx
Hazine Avı
 sin x
 −
 cos x
2
 1 + tan x = 1 +
cos x
sin x
=
−
1 − sin x
cos x
2
sin x
cos2 x
(1− sin x )
(cos x )
1
= sec x
cos x
1
cos2 x
1 + tan2x = sec2x
tir.

1 

2
cos x + sin2 x − sin x
=
cos x(1 − sin x )
=
cos2 x
olduğundan
cos2 x − sin x + sin2 x
=
cos x(1 − sin x )
( 1 − sin x )
cos x( 1 − sin x )
1 

2
cos x + sin2 x
= sec 2 x
cos2 x − sin x(1 − sin x )
cos x(1 − sin x )
=
=
=
cos2 x
sin x(1 − sin x )
=
−
cos x(1 − sin x ) cos x(1 − sin x )
=
C) 2 ⋅ cosx
1 + cot 2 x = 1 +
cos2 x
sin2 x
=
=
1 

sin2 x + cos2 x
sin2 x
1
sin2 x
= csc 2 x
olduğundan
1 + cot2x = csc2x
tir.
bulunur.
Doğru Seçenek C
Elde ettiğimiz bu iki ifade ile bir Işık elde etmiş olduk.
Işık 3
1−
2
sec x ⋅ sin x
1 + sec x
x ∈ R olmak üzere,
1 + tan2x = sec2x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) –cosx
B) cosx
D) –cscx
C) secx
E) tanx
1 + cot2x = csc2x
tir.
10. SINIF MATEMATİK
377
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
Hazine Avı
Hazine 6
Tümler iki açı için (ölçüle-
a + q = 90° ise
π
ri toplamı 90° =
olan iki
2
sina = cosq ve cosa = sinq
tana = cotq ve cota = tanq
açı) sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve
kosekant oranlarını ABC
seca = cscq ve csca = secq
dır.
dik üçgeninde yazalım.
•
sina = cos(90° – a) = cosq =
c
b
•
cosa = sin (90° – a) = sinq =
a
b
•
tana = cot (90° – a) = cotq =
c
a
•
cota = tan (90° – a) = tanq =
a
c
•
seca = csc (90° – a) = cscq =
b
a
•
csca = sec (90° – a) = secq =
b
c
DNA 11
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin15°

tanjant ve kotanjant değerleri birbirine eşittir.

sekant ve kosekant değerleri birbirine eşittir.
Bu duruma bir kaç örnek verelim:
•
sin 48° = cos 42° (42° + 48° = 90°)
•
cos 27° = sin 63° (27° + 63° = 90°)
•
tan 32° = cot 58° (32° + 58° = 90°)
•
cot 89° = tan 1° (89° + 1° = 90°)
•
sec 72° = csc 18° (72° + 18° = 90°)
•
csc 10° = sec 80° (10° + 80° = 90°)
•
sin2
π
π
π
π
π π π
+ sin2 = sin2 + cos2 = 1  + = 
6
3
6
6
6 3 2
sin15° sin15°
=
= tan15° = cot 75°
sin 75° cos15°
10. SINIF MATEMATİK
E) 2
tan22° = cot68° ve
tan45° = cot45° olduğundan sin15° tan 22° cot 45° cos 75° tan 22° cot 45°
⋅
⋅
=
⋅
⋅
cot 68° tan 45° cos 75° cot 68° tan 45° cos 75°
=
1
cot 68° cot 45°
⋅
⋅
1
cot 68° cot 45°
=1
Doğru Seçenek D
sin 31° cos 38°
+
cos 59° sin 52°
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
378
D) 1
1
2
C)
sin15° = cos75°,
 sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
•
B) cos75°
Çözüm
Bulduğumuz eşitliklerden de görüldüğü üzere,
a + q = 90° ise bu iki açının,
sin15° tan 22° cot 45°
⋅
⋅
cot 68° tan 45° cos 75°
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
|AB| = k
olur.
x pozitif bir gerçek sayı olmak üzere,
[DK] ^ [AK] olacak biçimde [DC] uzatılırsa,
sin(2x – 13)° = cos(3x – 2)°
|BC| = |AK| = 4k
eşitliğini sağlayan en küçük x değeri kaçtır?
A) 21
B) 23
C) 27
D) 31
|AB| = |KC| = k
E) 33
olur. AKD dik üçgeninde |KD| = 3k ve |AK| = 4k olduğundan, Pisagor Teoremi kullanılarak
DNA 12
|AD| = 5k
bulunur.
 ) + tan m(CDA
 ) = sin α + tan α
sin m(BAD



Şekilde
[AB] ^ [BC]
sina ve tana oranlarını AKD dik üçgeninde yazalım:
[BC] ^ [CD]
sin α + tan α =
4|AB|=2|DC|=|BC|
=
4k 4k
+
5k 3k
=
4 4
+
5 3
=
32
15
  + tan m(CDA)
  topolduğuna göre sin m(BAD)



lamı kaçtır? A)
9
5
B)
32
15
C)
11
5
D)
7
13
E)
3
5
| AK | | AK |
+
| AD | | KD |
bulunur.
Doğru Seçenek B
Çözüm
Yandaki şekil bir küpün
açılımıdır.


[AB] ^ [BC] ve [BC] ^ [CD] olduğundan [AB] // [CD] dir.
 ) = m(CDA
 ) = α dır.
Yani m(BAD
Buna göre tanq + cota toplamı kaçtır?
4 ⋅ |AB| = 2 ⋅ |DC| = |BC| = 4k dersek,
A)
|BC| = 4k
|DC| = 2k
7
12
D)
B)
11
3
7
3
E)
C)
13
4
13
3
10. SINIF MATEMATİK
379
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
|DE| = 15 birim
olur.
ABC bir ikizkenar üçgen
DAE dik üçgeninde sina oranını yazalım:
|AB| = |AC|
sin α =
) = α
m ( ABC
) = θ
m (BAC
| AD | 9 3
=
=
| DE | 15 5
bulunur.
Doğru Seçenek D
4
Yukarıda şekilde tana =
olduğuna göre, tanq nın
3
değeri kaçtır?
A)
24
7
B) 4
C)
14
3
D) 7
E)
32
3
DNA 13
ABCD dikdörtgen ve E
[DC] üzerinde bir nokta
ABCD dikdörtgen ve E
[AE] ^ [EB]
[AB] üzerinde bir nokta
[DE] ^ [EC]
5 ⋅ |DE| = 12 ⋅ |AD|
|AD| = 9 birim
) = α
m(CBE
|AE| = 12 birim
) = α
m(ECB
olduğuna göre cosa kaçtır?
olduğuna göre sina kaçtır?
A)
5
3
B)
5
4
C)
4
5
D)
3
5
E)
2
5
A)
5
13
B)
6
13
C)
8
13
D)
9
13
E)
12
13
Çözüm
ABCD dikdörtgen ve E
[AB] üzerinde bir nokta
 ) = θ dersek a + q = 90° olacağından m (DEA
) = α
m(CEB
 ) = m (ECB
) = α
m (DEA
olur.
|DC| = 10 birim
DAE dik üçgenin Pisagor Teoremi’ni uygulayarak |DE|
|BC| = 4 birim
uzunluğunu bulalım:
|DE|2 = 92 + 122
|DE|2 = 81 + 144
|DE|2 = 225
380
10. SINIF MATEMATİK
olduğuna göre, tana nın değerlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
4
B)
2
5
C) 1
D)
9
5
E) 2
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
5.
TEST - 1
cedir?
1.
Ölçüsü –3580° olan açının esas ölçüsü kaç dere-
 3

, m  olan nokta birim çember
Koordinatları 
 2

A) 20
B) 160
D) 280
C) 220
E) 340
üzerinde olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) −
3
2
D)
B) −
2
2
2
2
C)
E)
1
2
3
2
6.
2.
radyandır?
Ölçüsü 320° olan açı kaç radyandır?
A)
5π
3
B)
16π
9
C)
7π
5
D)
4π
3
E)
3.
3p
Ölçüsü
radyan olan açı kaç derecedir?
5
A) 108
B) 120
D) 144
73p
radyan olan açının esas ölçüsü kaç
4
Ölçüsü
A)
2π
5
7.
B)
Ölçüsü −
3π
4
C)
2π
3
D)
π
2
E)
π
4
61p
radyan olan açının esas ölçüsü
6
kaç radyandır?
C) 135
E) 150
5π
4
A)
π
6
8.
D)
B)
2π
3
5π
3
C)
E)
5π
6
11π
6
Bir ABC üçgeninde,
 ) = 2π
m(B
5
4.
Ölçüsü 4580° olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 240
B) 250
D) 280
C) 260
E) 320
 ) − m(C
 ) = 44°
m( A
 kaç radyandır?
olduğuna göre, m(C)
A)
π
15
B)
π
9
C)
8π
45
D)
π
5
10. SINIF MATEMATİK
E)
2π
9
381
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
sin x
cos x
+
1 − cot x 1 − tan x
9.
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
13.
(csc x − cot x ) ⋅
1 + cos x
sin x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) sinx + cosx
B) sinx – cosx
C) cosx – sinx
D) tanx
A) –1
C) sin2x
B) sinx
D) cosx
E) 1
E) cotx
tan x ⋅ cos x − sin2 x
1 − sin x
10.
dir?
A) cosx
B) sinx
D) –cosx
11. C) tanx
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
1 + cos x

 1 − cos x : (csc + cot x ) − cot x


14. A) sinx
E) –sinx
B) cosx
D) secx
C) cotx
E) cscx
15. s = sinx ve c = cosx olmak üzere
tanx + cotx
s3 + c 3 s3 − c 3
+
1− s ⋅ c 1+ s ⋅ c
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) secx + cscx
B) sinx + cosx
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
C) sinx ⋅ cosx
D) secx ⋅ csc x
dir?
E) cscx
A) 2sinx
1 − sin x
cos x
+
cos x
1 − sin x
12. dir?
D) –2sinx
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisi-
B) 2⋅cosx
D) 2⋅secx
C) tanx
A) –2 ⋅ sinx
E) 2⋅cscx
2.B
3.A
4.C
10. SINIF MATEMATİK
5.A
6.E
7.E
8.C
9.A
B) –2 ⋅ cotx D) –4 ⋅ cotx
382
E) –2cosx
dir?
A) 2⋅sinx
1.C
C) 2tanx
 1 − sin x 1 + sin x 
1 + sin x − 1 − sin x  .cos x


16.
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
B) 2cosx
10.B
11.D
12.D
C) –4 ⋅ tanx
E) –4 ⋅ sinx
13.E
14.E
15.A
16.C
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
6.
TEST - 2
3
B) 4
ifadesinin m türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, tanx kaçtır?
2
A) 5
sin3x + cos3x
2 ⋅ cos x − sin x 1
=
sin x + cos x
3
1.
sinx + cosx = m olduğuna göre,
4
C) 5
5
D) 4
5
E)
2
A)
3m − m3
2
B)
m3 − 2m
2
C)
m3 + 2m
2
D)
m3 + 3m
2
E)
2.
olduğuna göre, sinx ⋅ cosx çarpımı kaçtır?
A)
sin x + cos x = 2
1
4
D)
2
4
B)
2
2
C)
E)
1
2
3
2 7.
3.
olduğuna göre, tan2x + cot2x toplamı kaçtır?
B) 5
C) 7
D) 9
olduğuna göre, tanx – cotx farkının pozitif değeri
tanx + cotx = 4
kaçtır?
A)
2 B)
D) 2 3 5.
1–csc2x + cot2x
3 C) 2 2
A) cotx
B) –1
D) 1
8.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
C) 0
E) secx
x ∈ R+ olmak üzere,
9.
B) 19
C) 23
D) 28
E) 33
0° < x < 90° olmak üzere,
sin(3x – 19°) = cos(x + 33°)
eşitliğini sağlayan en küçük x sayısı kaçtır?
A) 17
E) 4 3 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
E) 11
4.
sin 48° cos 43°
+
cos 42° sin 47°
işleminin sonucu kaçtır?
tanx + cotx = 3
A) 3
m3 − 2m2
2
tan(3x – 25°) ⋅ tan(x + 15°) = 1
olduğuna göre, x kaç derecedir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
10. SINIF MATEMATİK
E) 35
383
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
10.
13.
Şekilde ABCD
dikdörtgen
|AE| > |EB|
[DE] ^ [EC]
|DC| = 25 birim
|AD| = 12 birim
) = x
m(ECB
Yukarıdaki şekil yedi tane özdeş kareden oluş = a olduğuna göre, tana kaçmuştur. m(CAD)
olduğuna göre, tanx kaçtır?
tır?
A)
A)
5
3
B)
4
3
C)
3
4
3
5
D)
E)
A)
2
3
B)
C)
6
5
4
3
 α
m(ABC)=
|AE| = 2 ⋅ |ED|
5
2
C) 4
3
D)
3
5
E)
3
2
E)
1
3
ABCD kare
[CF] ^ [EB]
) = x
m(FCB
olduğuna göre, cotx kaçtır?
E)
A)
5
2
3
2
B) 1
C)
3
4
D)
2
3
Şekilde ABC
12.
üçgeninde
15.
[BA] ^ [AC]
ABCD dikdörtgen
 ) = m(DEA
) = θ
m(ECB
[AH] ^ [BC]
D)
|AD| = |BD| = |DC|
  kaçtır?
olduğuna göre sin m(ACB)

3
4
14.
5
tanα=
2
B)
1
2
Şekilde ABC üçgeninde
11.
2
3
) = α
m( ABC
|AD| = 6 birim
) = θ
m( ACB
|DC| = 15 birim
|BH| = 4 birim, |HC| = 9 birim olduğuna göre,
tana – tanq kaçtır?
A)
1.D
384
2
3
2.C
B)
biri aşağıdakilerden hangisidir?
4
5
C)
3.C
4.D
10. SINIF MATEMATİK
Yukarıda verilenlere göre, tanq nın değerlerinden
5
6
D)
5.C
6
5
6.A
E)
7.E
3
2
A)
8.B
9.C
9
5
10.D
B) 1
11.C
C)
3
5
12.C
D)
13.B
1
2
14.A
E)
2
5
15.D
Trigonometri - Bölüm 08
Temel Kavramlar
5.
TEST - 3
1.
ABC eşkenar üçgen
1
1
cot x 

:
−
1
−
cos
x
sin x 
sin x 
2
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sinx
B) cosx
C) 1
D) tanx
E) cscx
|AB| = 6 ⋅ |BD|
) = θ
m( ADC
olduğuna göre, tanq kaçtır?
A)
2 3
3
D)
B)
3 3
4
3 3
2
C)
4 3
3


 tan x
sin x 
2
−

:
6.
1
1
+
cos
x
sec
x


−1
 cos x

ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
E) 3 3 2.
A) sinx
ABCD bir yamuk
B) cosx
C) 1
D) secx E) cscx
[AD] ^ [DC]
[BC] ^ [DC]
|BC| = 4 birim
|AD| = |AB| = 10 birim
) = θ
m(DAB
olduğuna göre, cosq kaçtır?
A)
4
5
B)
3
4
C)
3
5
D)
3
8
E)
5
8
A) –2
p
derecelik açının ölçüsü kaç radyandır?
2
3.
A)
π2
360
B)
360
π2
C)
360
π
D)
 cos 50° 2 − cos2 50°  sec 40°

⋅
−
 tan 50°
sin 50° 
2

ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
7.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
π
E) 6,28
360
cos x
sin x
+
1 + cot x 1 + cos x
sin x
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cosx
4.
B) sinx
D) 1 + sinx
C) 1 + cosx
E) sinx + cosx
8.
1  cos x
1 + sin x 
⋅
+
sec x  1 + sin x
cos x 
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 2
C) 2sinx
D) 2cosx E) secx
10. SINIF MATEMATİK
385
Temel Kavramlar
Trigonometri - Bölüm 08
13.
2 − tan 33° ⋅ tan 57°
9.
2
2
cos 57° + cos 33
ABCD bir kare

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
4 ⋅ A( ABED) = 5 ⋅ A(BCE)
dir?
) = x
m(EBC
A) 0
B) 1
C) 2
D) 2sin33°
E) 2cos33°
10.
x = tan θ
Yukarıda verilenlere göre, cotx değeri kaçtır?
A)
1
3
B)
4
9
C)
8
9
D)
9
8
E)
9
4
y = sec θ
olduğuna göre, x in y türünden eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
A)
y − 1 B)
y + 1 C) y – 1
D) y
E) y + 1
14.
x = 5 ⋅ cosa – 7 ⋅ sina
y = 5 ⋅ sina + 7 ⋅ cosa
11.
olduğuna göre, x2 + y2 toplamının değeri kaçtır?
ABC bir üçgen
A) 12
[AH] ^ [BC]
B) 24
C) 25
D) 49
E) 74
|AC| = |BC| = 13 birim
|BD| = 10 birim
) = x
m(BAH
Yukarıda verilenlere göre, sinx değeri kaçtır?
A)
2
15
B)
7
24
C)
4
13
D)
5
13
E)
12
13
sin6 α + cos6 α
15.
sin4 α + cos4 α − sin2 α ⋅ cos2 α
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
12.
B) sinx
C) cosx
D) tanx E) cotx
ABC bir dik üçgen
[AB] ^ [BC]
|BD| = 1 birim
|DC| = 3 birim
Yukarıda verilenlere göre, sinx değeri kaçtır?
A)
1.D
386
2
4
2.C
B)
3
4
3.A
C)
4.B
10. SINIF MATEMATİK
3
3
5.C
D)
6.E
2
2
E)
7.B
2 ⋅ cos2 x + 3 ⋅ sin2 x
3 ⋅ sec x − cos x
16.
 ) = m(DAC
) = x
m(BAD
dir?
3
2
8.B
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
A) –1
9.B
10.C
B) 1
11.D
C) sinx
12.C
13.D
D) cosx
14.E
15.A
E) tanx
16.D
BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK
ORANLARIN TANIMLARI
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK
x = cosq
ORANLARIN TANIMLARI
olur.
Yarıçapı r birim olan çemberin uzunluğu (çevresi) 2pr
O halde birim çember üzerindeki P noktasının apsisine
birim olduğundan, birim çemberin uzunluğu 2p birimdir.
q açısının kosinüsü denir ve cosq ile gösterilir. q gerçek
sayısını, cosq gerçek sayısına eşleyen fonksiyona ise kosinüs fonksiyonu adı verilir.
q açısının kosinüsü, P noktasının apsisine eşit olduğundan x eksenini kosinüs ekseni olarak adlandıracağız.
P noktasının apsisi olan x, en büyük değerini A(1,0) noktasında alır ki bu değer 1 dir. En küçük değerini ise C(–1,0)
noktasında alır ve bu değer –1 dir.
AB yayının uzunluğu, çemberin dörtte biri olduğundan
O halde x için
 |= 2π ⋅ 1 = π birimdir.
| AB
4 2
ABC yayının uzunluğu, çemberin yarısı olduğundan
 |= 2π ⋅
| ABC
1
= π birimdir.
2
ABD yayının uzunluğu, çemberin dörtte üçü olduğundan
 |= 2π ⋅
| ABD
3 3π
=
birimdir.
4 2
ABA yayının uzunluğu, çemberin tamamı olduğundan
 |= 2π birimdir.
| ABA
–1 ≤ x ≤ 1
yazılabilir. x = cosq olduğundan
–1 ≤ cosq ≤ 1
olur. Yani herhangi bir q gerçek sayısının kosinüs değeri
–1 ve 1 dahil olmak üzere bu aralıkta değerler alır. Matematikçesini de yazalım:
x∈R iken
cosx: R → [–1,1]
f(x) = cosx
O halde kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü
KOSİNÜS FONKSİYONU
kümesi [–1,1] aralığıdır. P noktasını hareketli bir nokta gibi
düşünelim.
P ile A(1,0) noktalarını üst üste getirdiğimizde elde edeceğimiz q açısı 0° olacağından cos0° = 1 olacaktır.
P ile B(0,1) noktalarını üst üste getirdiğimizde elde edeceğimiz q açısı 90° olacağından cos90° = 0 olacaktır.
P ile C(–1,0) noktalarını üst üste getirdiğimizde elde edeceğimiz q açısı 180° olacağından cos180° = –1 olacaktır.
Birim çember üzerinde bir P(x,y) noktası alalım. Çemberimiz birim çember olduğundan |OP| = 1 birim olur.
OMP dik üçgeninde q açısı için kosinüs oranını yazalım:
| OM | x
cos θ =
=
| OP | 1
olacağından
P ile D(0,–1) noktalarını üst üste getirdiğimizde elde edeceğimiz q açısı 270° olacağından cos270° = 0 olacaktır.
P ile A(1,0) noktalarını üst üste getirdiğimizde elde edeceğimiz q açısı 360° olacağından cos360° = 1 olacaktır.
Bu bilgileri tabloda görelim.
10. SINIF MATEMATİK
387
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
q
cosq
Trigonometri - Bölüm 08
0°
90°
180°
270°
360°
0
π
2
p
3π
2
2p
1
0
–1
0
1
cosq değerinin artış ve azalışlarını birim çember üzerinde
cos x
+3
2
olduğuna göre, A nın en büyük değeri kaçtır?
A=
A)
de görelim.
3
2
B) 2
C)
5
2
7
2
2cosx = m
E)
D) 3
olduğuna göre, m aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur?
B) [–2, 2]
A) [–1, 1]
D) [–4, 4]
DNA 14
E) [–5, 5]
DNA 15
A=3 ⋅ cosx +5
C) [–3, 3]
A = 3 ⋅ cos5x + 2
olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır?
A) –3
olduğuna göre, A nın en büyük değeri kaçtır?
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
A) –3
Çözüm
C) 2
D) 3
Bu soru DNA 14’te anlattığımız soru tipinden farklı gö-
–1 ≤ cosx ≤ 1
rünmesine rağmen aslında aynı soru. Çünkü kosinüsün
dir.
görüntü kümesi [–1,1] dir. Yani,
Eşitsizliği 3 ile çarpalım:
–3 ≤ 3 ⋅ cosx ≤ 3
Eşitsizliğe 5 ekleyelim:
−3 + 5 ≤ 3
cos
5≤3+5
1⋅4
2x4+3
A
–1 ≤ cosx ≤ 1
–1 ≤ cos5x ≤ 1
–1 ≤ cos27x ≤ 1
dir.
O halde
2≤A≤8
olduğundan A nın en küçük değeri 2 dir.
Doğru Seçenek D
–1 ≤ cos5x ≤ 1
dir. Eşitsizliği 3 ile çarpalım:
–3 ≤ 3 ⋅ cos5x ≤ 3
388
E) 5
Çözüm
Kosinüs fonksiyonun görüntü kümesi [–1,1] olduğundan,
B) –1
10. SINIF MATEMATİK
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
OMP dik üçgeninde q açısı için sinüs oranını yazalım:
| OM | y
sin θ =
=
| OP | 1
Eşitisizliğe 2 ekleyelim:
−3 + 2 ≤ 3
cos
x +32 ≤ 3 + 2
1⋅4
42544
A
–1 ≤ A ≤ 5
olacağından
olduğundan A nın en büyük değeri 5 tir.
Doğru Seçenek E
y = sinq
olur.
O halde birim çember üzerindeki P noktasının ordinatına
q açısının sinüsü denir ve sinq ile gösterilir.
q gerçek sayısını, sinq gerçek sayısına eşleyen fonksiyona ise sinüs fonksiyonu adı verilir.
q açısının sinüsü, P noktasının ordinatına eşit olduğundan
y eksenini sinüs ekseni olarak adlandıracağız.
5 ⋅ cos5x = m – 1
olduğuna göre, m aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur?
noktasında alır ki bu değer 1 dir. En küçük değerini ise
D(0,–1) noktasında alır ve bu değer –1 dir.
A) [–6,2]
P noktasının ordinatı olan y, en büyük değerini B(0,1)
B) [–6,4]
D) [–2,8]
C) [–4,6]
O halde y için
E) [2,8]
–1 ≤ y ≤ 1
yazılabilir. y = sinq olduğundan
–1 ≤ sinq ≤ 1
a + cos 3 x
=5
3 ⋅ cos 3 x
olur. Yani herhangi bir q gerçek sayısının sinüs değeri –1
ve 1 dahil olmak üzere bu aralıkta değerler alır. Matematikçesi
eşitliğini sağlayan kaç a tam sayısı vardır?
A) 30
B) 29
C) 28
D) 27
E) 26
SİNÜS FONKSİYONU
x ∈ R iken
cosx : R →[–1,1]
f(x) = sinx
O halde sinüs fonksiyonun tanım kümesi R, görüntü kümesi [–1,1] aralığıdır.
P noktasını hareketli bir nokta gibi düşünelim.
P ile A(1,0) noktalarını üst üste getirdiğimizde elde edeceğimiz q açısı 0° olacağından sin0° = 0 olacaktır.
P ile B(0,1) noktalarını üst üste getirdiğimizde elde edeceğimiz q açısı 90° olacağından sin90° = 1 olacaktır.
P ile C(–1,0) noktalarını üst üste getirdiğimizde elde ede-
Birim çember üzerinde P(x,y) noktasını alalım.
ceğimiz q açısı 180° olacağından sin180° = 0 olacaktır.
Çemberimiz birim çember olduğundan |OP| = 1 birimdir.
P noktası ile D(0,–1) noktalarını üst üste getirdiğimizde
 ) = θ ve [MP] // [OA olduğundan m(MPO
 ) = θ olur.
m( AOP
olacaktır.
elde edeceğimiz q açısı 270° olacağından sin270° = –1
10. SINIF MATEMATİK
389
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
–1 ≤ cos3a ≤ 1
P noktası ile A(1,0) noktalarını üst üste getirdiğimizde
elde edeceğimiz q açısı 360° olacağından sin360° = 0
olacaktır.
eşitsizliğini 5 ile çarpalım:
–5 ≤ 5 ⋅ cos3a ≤ 5
Bu bilgileri tabloda görelim.
q
sinq
0°
90°
180°
270°
360°
0
π
2
p
3π
2
2p
0
1
0
–1
0
olur.
Bulduğumuz iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım:
–3 ≤ 3 ⋅ sin2q ≤ 3
–5 ≤ 5 ⋅ cos3a ≤ 5
+
–8 ≤ 3 ⋅ sin2q + 5 ⋅ cos3a ≤ 8
144424443
sinq değerinin artış ve azalışlarını birim çember üzerinde
A
görelim.
–8 ≤ A ≤ 8
olacağından A nın bulunduğu en geniş aralık [–8,8] olur.
Doğru Seçenek E
DNA 14 ve DNA 15 te çözdüğümüz sorular sinüs fonksiyonu için de aynı şekilde çözülür. Çünkü sinüs ve kosinüs
fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümeleri aynıdır.
DNA 16
A = 2 ⋅ cosq + 3 ⋅ sin2a
olduğuna göre A nın bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A = 3 ⋅ sin2q + 5 ⋅ cos3a
A) [–1,1]
olduğuna göre A nın bulunduğu en geniş aralık
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–1,1]
B) [–2,2]
D) [–5,5]
B) [–2,2]
D) [–4,4]
C) [–3,3]
E) [–5,5]
C) [–3,3]
E) [–8,8]
Çözüm
–1 ≤ sin2q ≤ 1
eşitsizliğini 3 ile çarpalım:
–3 ≤ 3 ⋅ sin2q ≤ 3
10. SINIF MATEMATİK
A = 3 ⋅ cosx + siny
olduğuna göre A nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 2
olur.
390
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
TANJANT FONKSİYONU
Birim çember üzerinde K noktası ile eşlenen açı değeri
 ) = θ olsun.
m(KOA
[OK nın x = 1 doğrusunu kestiği P noktasının ordinatına
q açısının tanjantı denir ve tanq ile gösterilir. q gerçek sayısını tanq gerçek sayısına eşleyen fonksiyona ise tanjant
fonksiyonu adı verilir.
Yukarıda, q açısının ölçüsü farklı değerler alırken P noktasının değişimi görülüyor. II. ve III. bölgelerde bulunan
açıların uzantılarının tanjant ekseniyle kesiştiğine dikkat
edin.
P noktasının ordinatı olan y, q açısının tanjantına eşit olduğundan x=1 doğrusuna tanjant ekseni denir.
KOTANJANT FONKSİYONU
k ∈ Z olmak üzere kp gerçek sayıları birim çember üzerinde A(1,0) ve C(–1,0) noktalarıyla eşlenir.
π
+ kπ gerçek
2
sayıları ise birim çember üzerinde B(0,1) ve D(0,–1) noktalarıyla eşlenir. Bu durumda
π
+ kπ radyanlık açıların bi2
tim kenarları veya bu kenarın uzantıları A noktasından geçen tanjant eksenine paraleldir. Yani bu ekseni kesmez.
π

Buna göre tan  + kπ  ifadesi tanımsızdır.
2


O halde tanjant fonksiyonu k ∈ Z ve x gerçek sayı olmak
üzere,
Birim çember üzerinde K noktası ile eşlenen açı değeri
 ) = θ olsun.
m(KOA
[OK nın y=1 doğrusunu kestiği P noktasının apsisine q
açısının kotanjantı denir ve cotq ile gösterilir. q gerçek sayısını cotq gerçek sayısına eşleyen fonksiyona ise kotan-
π

tan x : R −  + kπ  → ( −∞, ∞ )
2

f(x) = tanx
olarak tanımlanır. Yani tanjant fonksiyonun tanım kümesi
π

R −  + kπ  , görüntü kümesi (–∞, ∞) dur.
2

jant fonksiyonu adı verilir.
P noktasının apsisi olan x, q açısının kotanjantına eşit olduğundan y=1 doğrusuna kotanjant ekseni denir.
k∈Z olmak üzere kp gerçek sayıları birim çember üzerinde
A(1,0) ve C(–1,0) noktalarıyla eşlenir. Bu durumda kp radyanlık açıların bitim kenarları veya bu kenarların uzantıları
B noktasından geçen kotanjant eksenini kesmeyecektir.
Buna göre cot(kp) ifadesi tanımsızdır.
10. SINIF MATEMATİK
391
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
O halde kotanjant fonksiyonu k∈Z ve x gerçek sayı olmak
Sekant ve kosekant fonksiyonları
üzere,
cotx : R – {kp} → (–∞,∞)
f(x) = cotx
olarak tanımlanır. Yani kotanjant fonksiyonunun tanım kümesi R – {kp}, görüntü kümesi (–∞, ∞) dur.
 ) = θ ise m(PSO
 ) = θ olur.
m(POR
 ) = θ olmak üzere bir P
Birim çember üzerinde m(POR
noktası alalım. P noktasından birim çembere çizilen teğet,
x eksenini R noktasında, y eksenini S noktasında kessin.
OPR dik üçgeninde secq oranını yazalım.
sec θ =
| OR | | OR |
=
| OP |
1
olduğundan
|OR| = secq
olur.
Yukarıda, q açısının ölçüsü farklı değerler alırken P nok-
O halde R noktasının apsisine q açısının sekantı denir ve
tasının değişimi görülüyor. III. ve IV. bölgelerde bulunan
secq ile gösterilir. q gerçek sayısını secq gerçek sayısına
açıların uzantılarının kotanjant ekseniyle kesiştiğine dik-
eşleyen fonksiyona sekant fonksiyonu denir. P noktası
kat ediniz.
B ve D noktalarıyla çakıştığında çizilen teğet doğrusu x
0°, 90°, 180°, 270° ve 360° lik ölçülere sahip açıların tan-
π

nımsızdır. Yani k ∈ Z olmak üzere sec  + kπ  ifadesi ta2

nımsızdır. Aynı zamanda P noktası birim çember üzerinde
eksenine paralel olacağından oluşacak açının sekantı ta-
jant ve kotanjant değerlerini bulalım:
Bunun için HAZİNE 3 ü hatırlayalım:
tan θ =
alamaz. Buna göre k ∈ Z ve x gerçek sayı olmak üzere
sin θ
cos θ
ve cot θ =
idi.
cos θ
sin θ
0°
q
olduğundan sekant fonksiyonu (–1,1) aralığında değerler
0
90°
π
2
180°
p
270°
3π
2
sekant fonksiyonunu,
360°
2p
Birim çember
de eşlendiği
A
B
C
D
A
0
tanımsız
0
tanımsız
0
tanımsız
0
tanımsız
0
tanımsız
nokta
tan θ =
cot θ =
392
sin θ
cos θ
cos θ
sin θ
10. SINIF MATEMATİK
π

sec x : R −  + kπ  → R − ( −11
, )
2

f(x) = secx
olarak tanımlayabiliriz. Yani, k ∈ Z olmak üzere sekant
π

fonksiyonunun tanım kümesi R −  + kπ  , görüntü kü2

mesi R – (–1,1) dir.
 ) = θ ise m(PSO
 ) = θ olacağını söylemiştik. Şimdi
m(POR
SPO dik üçgeninde cscq oranını yazalım.
| OS | | OS |
csc θ =
=
| OP |
1
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
olduğundan
DNA 17
|OS| = cscq
olur.
O halde S noktasının ordinatına q açısının kosekantı denir ve cscq ile gösterilir. q gerçek sayısını cscq gerçek
sayısına eşleyen fonksiyona kosekant fonksiyonu denir.
P noktası A ve C noktalarıyla çakıştığında çizilen teğet
doğrusu y eksenine paralel olacağından oluşacak açının
kosekantı tanımsızdır. Yani k∈Z olmak üzere csc (kp) tanımsızdır. Aynı zamanda P noktası birim çember üzerinde
olduğundan kosekant fonksiyonu (–1,1) aralığında değer-
Şekilde O merkezli birim çember verilmiştir.
ler alamaz. Buna göre k ∈ Z ve x gerçek sayı olmak üzere
 = q olduğuna göre |PR| aşa[PH] ^ CA ve m(POA)
ğıdakilerden hangisidir?
kosekant fonksiyonunu
cscx : R –{kp} → R – (–1,1)
A) sinq – cosq – 1
B) sinq – cosq + 1
f(x) = cscx
C) sinq + cosq – 1
D) 1 – sinq + cosq
E) sinq + cosq + 1
olarak tanımlayabiliriz. Yani k ∈ Z olmak üzere kosekant
fonksiyonunun tanım kümesi R – {kp}, görüntü kümesi
R –(–1,1) dir.
0°, 90°, 180°, 270° ve 360° lik ölçülere sahip açıların se-
Çözüm
kant ve kosekant değerlerini bulalım:
Bunun için IŞIK 6 yı hatırlayalım.
Tanımlı olduğu yerlerde
csc x =
1
1
ve sec x =
idi.
sin x
cos x
q
Birim
çemberde
eşlendiği
nokta
sec θ =
csc θ =
1
cos θ
1
sin θ
0°
90°
180°
270°
360°
0
π
2
p
3π
2
2p
A
B
C
D
A
1
tanımsız
–1
tanımsız
1
tanımsız
1
tanımsız
–1
tanımsız
|OB| = |OA| = 1 birim olduğundan BOA dik üçgeni ikizke ) = m(BAO
 ) = 45° dir.
nar olup m(OBA
 ) = 45° olduğundan m(HRA
 ) = 45° dir. Buna göre
m(BOA
RHA dik üçgeni ikizkenar olup |AH| = |RH| dir.
|OH| = cosq olacağından |AH| = |RH| = 1 – cosq olur.
|OM| = sinq olacağından |PH| = sinq dır.
O halde |PR| uzunluğu,
|PR| = |PH| – |RH|
|PR| = sinq – (1 – cosq)
10. SINIF MATEMATİK
393
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
|PR| = sinq + cosq – 1
Hazine Avı
olur.
Doğru Seçenek C
Tüm bölgeler için sadece sinüs ve kosinüs oranlarının
işaretini bilmeniz yeterli olur. Diğer trigonometrik oranları
sinüs ve kosinüsten elde edebileceğimizi unutmayınız.
Şekilde O merkezli birim çember verilmiştir.
 = θ olduğuna göre, |AH| aşağı[PH] ^ CA ve m(PCA)
dakilerden hangisidir?
A) cos2q
B) 2cosq
C) cos2q – 1
E) 1 – cos2q
D) 1 – 2cosq
Trigonometrik fonksiyonların analitik düzlemde işaretlerini
incelemeye geldi sıra. Analitik düzlemle ilgili bilgi verirken,
eksenlerin analitik düzlemi dört bölgeye ayırdığından bahsetmiştik.
I. bölgede birinci ve ikinci bileşen pozitif olacağından sinüs ve kosinüs pozitiftir.
II. bölgede birinci bileşen negatif, ikinci bileşen pozitif olduğundan kosinüs negatif, sinüs pozitiftir.
III. bölgede her iki bileşende negatif olduğundan kosinüs
ve sinüs negatiftir.
IV. bölgede birinci bileşen pozitif, ikinci bileşen negatif olduğundan kosinüs pozitif sinüs negatiftir.
Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekantın işaretlerini bulalım:
Bunun için,
Şekilde O merkezli birim
çember verilmiştir.
[KA] ^ [CA
[BF] // [CA ve
) = θ
m (KOA
tan θ =
sin θ
cos θ
cot θ =
cos θ
sin θ
sec θ =
1
cos θ
csc θ =
1
sin θ
olduğunu hatırlayalım.
olduğuna göre, |KF| aşağıdakilerden hangisidir?
A) secq + cscq
B) secq – cscq
C) cscq – secq
D) 2secq – cscq
E) 1 + secq
Aşağıdaki tablo, bölgelere göre işaretleri kolayca aklınızda tutabilmeniz için verilmiştir.
Bütün
Sınıf
Kara Tahtada
Coşar
1. Bölge
2. Bölge
3. Bölge
4. Bölge
Adı geçenler (+), geçmeyenler (–)
394
10. SINIF MATEMATİK
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
işareti – dir.
Işık 4
242°, III. bölgede bir açı olduğundan cot242° > 0 olup işareti + dır.
I. bölge
II. bölge
III. bölge
IV. bölge
sin
+
+
–
–
cos
+
–
–
+
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
–
+
+
+
–
–
tan =
cot =
sec =
sin
cos
cos
sin
1
cos
csc =
1
sin
DNA 18
a = sin 65°
b = tan 140°
c = cos 220°
d = cot 242°
O halde aradığımız cevap +, –, –, + dır.
Doğru Seçenek C
a = sin90°
b = cos180°
c = sin270°
d = sec0°
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri sırasıyla
aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, –, –, +
B) –, +, –, +
D) –, –, +, +
C) +, +, –, –
E) +, –, +, –
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, –, +, –
B) –, + , +, –
C) +, –, – ,+
D) –, –, +, +
E) +, +, –, –
a = tan 170°
b = cot 190°
c = sec 280°
65°, I. bölgede bir açı olduğundan sin65° > 0 olup işareti
d = sin 310°
+ dır.
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri sırasıyla
140°, II. bölgede bir açı olduğundan tan140° < 0 olup işa-
aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
reti – dir.
220°, III. bölgede bir açı olduğundan cos220° < 0 olup
A) –, +, –, +
B) +, +, –, –
D) –, +, +, –
C) –, –, +, +
E) +, –, –, +
10. SINIF MATEMATİK
395
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
DNA 19
a = –cos 50°
a = – sin 50°
b = cos (–150°)
b = sin(–150°)
c = tan (–40°)
c = – tan(–20°)
d = – cot (–20°)
d = – sec (–10°)
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, +, +, –
aşağıdakilerden hangisidir?
B) –, –, +, +
D) –, +, –, –
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri sırasıyla
C) –, –, –, +
E) –, –, +, –
A) –,–, +, +
B) –, –, +, –
D) +, +, –, –
C) +, +, –, +
E) –, +, –, +
Çözüm
a = – 123
cos 50° < 0 dır.
+
–150°, –40° ve –20° lik açıların esas ölçülerini bularak işlem yapalım.
b = cos(–150°) = cos (360°–150°) = cos210° < 0 dır.
Trigonometrik fonksiyonları her bölge için ayrı ayrı sıralayalım:
c = tan(–40°) = tan(360 – 40°) = tan320° < 0 dır.
d = –cot(–20°) = –cot(360° – 20°) = – cot 340° > 0 dır.
123
–
I. bölge için :
O halde işaretleri sırasıyla –, –, –, + dır.
Doğru Seçenek C
a = –sin170°
b = –cos (–190°)
c = –tan(–250°)
d = –cot (–200°)
Şekildeki gibi birim çember çizip a<b olacak şekilde iki açı
seçelim. Açıların sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini uygun eksenler üzerinde işaretleyelim. Şimdi hangi oranın
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri sırasıyla
sin a < sin b
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –, +, +, +
396
B) +, +, –, –
D) –, –, –, +
10. SINIF MATEMATİK
hangisinden küçük ya da büyük olduğunu yazabiliriz.
C) –, –,+, +
E) +, –, –, –
cos a > cos b
tan a < tan b
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
olduğunu şekilde de açıkça görüyoruz. O halde açıkça gö-
III. bölge için:
rülmeyenleri bulalım:
sina < sin b olduğundan csc a > csc b dir.
cos a > cos b olduğundan sec a < sec b dir.
tan a < tan b olduğundan cot a > cot b dir.
Bununla birlikte I. bölgede aynı açı değerleri için her zaman
tan a > sin a ve cot a > cos a dır.
Şekildeki gibi bir birim çember çizip III. bölgede a < b olarak şekilde iki açı seçelim. Açıların sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini uygun eksenler üzerinde işaretleyelim.
sin a > sin b
cos a < cos b
II. bölge için :
tan a < tan b
olduğu şekilden de açıkça görülüyor.
Görülmeyenleri bulalım:
sin a > sin b olduğundan csc a < csc b dir.
cos a < cos b olduğundan sec a > sec b dir.
tan a < tan b olduğundan cot a > cot b dir.
IV. bölge için:
Şekildeki gibi bir birim çember çizip II. bölgede a<b olacak
şekilde iki açı seçelim. Açıların sinüs, kosinüs ve tanjant
değerlerini uygun eksenler üzerinde işaretleyelim.
sin a > sin b
cos a > cos b
tan a < tan b
olduğu şekilden de açıkça görülüyor.
Görülmeyenleri bulalım:
sin a > sin b olduğundan csc a < csc b dir.
cos a > cos b olduğundan sec a < sec b dir.
tan a < tan b olduğundan cot a > cot b dir.
Şekildeki gibi bir birim çember çizip, IV. bölgede a < b
olacak şekilde iki açı seçelim. Açıların sinüs, kosinüs ve
tanjant değerlerini uygun eksenler üzerinde işaretleyelim.
sin a < sin b
Bununla birlikte II. bölgede aynı açı değerleri için her za-
cos a < cos b
man cos a > cot a dır.
tan a < tan b
10. SINIF MATEMATİK
397
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
olduğu şekilden görülüyor. Görülmeyenleri bulalım:
sin a < sin b olduğundan csc a > csc b dir.
cos a < cos b olduğundan sec a > sec b dir.
tan a < tan b olduğundan cot a > cot b dir.
Bununla birlikte IV. bölgede aynı açı değerleri için
tan a < sin a dır.
Görüldüğü gibi cot150° verilen trigonometrik değerlerin en
küçüğüdür.
DNA 20
Doğru Seçenek A
Aşağıdaki trigonometrik değerlerden hangisi en
küçüktür?
A) cot150°
B) tan350°
D) sin(–520°)
C) cos710°
E) tan40°
Çözüm
Aşağıdaki trigonometrik değerlerin en büyüğü hangisidir?
360° den büyük açıların ve negatif açıların esas ölçülerini
A) sin70°
bulalım.
B) cos520°
D) tan250°
C) cot130°
E) tan130°
710° = 350° + 1 ⋅ 360°
olduğundan
cos710° = cos350°
dir.
–520° = 200° + 2⋅360°
olduğundan
sin(–520°) = sin200°
dir.
Aşağıdaki trigonometrik değerlerden hangisi en kü-
Esas ölçüleri daha önce gösterdiğimiz yöntemle de bula-
çüktür?
bilirsiniz.
A) tan 60°
Şimdi bu değerleri birim çember üzerinde gösterelim.
398
10. SINIF MATEMATİK
B) cot 170°
D) cos 300°
C) sin 20°
E) sin 400°
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
DNA 21
a = sin140°
b = sin 70°
c = sin 220°
d = sin 340°
Yukarıdaki trigonometrik değerlerin küçükten bü-
a = cot (–130°)
b = cot 520°
c = cot150°
d = cot 450°
Yukarıdaki trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe
yüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) d < c < b < a
B) d < c < a < b
A) b < c < d < a B) a < b < c < d
C) c < d< b < a
D) c < d < a < b
C) b < a < c < d D) a < c < d < b
E) c < a < d < b
E) d < c < b < a
a = cos 140°
b = cos 240°
c = cos 440°
d = cos 1040°
Yukarıdaki trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe
sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
A) a < b < d < c
B) a < c < b < d
D) b < a < d < c
C) a < b < c < d
E) d < c < b < a
BAZI ÖZEL AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI
30°, 45° ve 60° lik ölçülere sahip açıların trigonometrik
oranlarını bulacağız.
30° ve 60° lik ölçülere sahip açıların trigonometrik oranlarını bulmak için bir kenarı 2 birim olan bir eşkenar üçgen
Birim çember üzerindeki yerleştirmeden görüldüğü gibi,
alalım.
sin220° < sin340° < sin140° < sin70°
c<d<a<b
Doğru Seçenek D
10. SINIF MATEMATİK
399
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
ABC üçgeni eşkenar olduğundan
Trigonometri - Bölüm 08
Bulduğumuz değerleri tabloda gösterelim.
 ) = m(HAC
 ) = 30° ve
[AH] ^ [BC] çizilirse m(BAH
Hazine 7
|BH| = |HC| = 1 birim olur. Pisagor Teoremi’nden
| AH |= 3 birim bulunur.
30°
45°
60°
π
6
π
4
π
3
sinq
1
2
2
2
3
2
cosq
3
2
2
2
1
2
tanq
1
3
3
3
3
3
cotq
3
1
3
3
3
= 3
1
secq
2 3
3
2
2
cscq
2
2
2 3
3
q
a + q = 90° ise sina = cosq, tana = cotq ve seca = cscq
olduğunu da hatırlarsak işimiz daha da kolaylaşacaktır.
AHB dik üçgeninden trigonometrik oranları yazalım.
sin 30° = cos 60° =
1
2
sin 60° = cos 30° =
tan 30° = cot 60° =
tan 60° = cot 30° =
sec 30° = csc 60° =
sec 60° = csc 30° =
3
2
1
3
=
2
3
=
2 3
3
2
=2
1
olur.
DNA 22
45° lik ölçüye sahip bir açının trigonometrik oranlarını bulmak için ise dik kenarlarından biri 1 birim olan bir ikizkenar
sin21°+sin22°+sin23°+ ... +sin2 88°+sin289°+sin290°
dik üçgen alalım.
toplamının değeri kaçtır?
A) 44
B)
D)
89
2
91
2
E)
C) 45
93
2
|AB| = |BC| = 1 birim olduğundan Pisagor Teoremi ile
Çözüm
| AC | = 2 birim bulunur.
sin 45° = cos 45° =
1
2
=
2
2
1
tan 45° = cot 45° = = 1
1
2
sec 45° = csc 45° =
= 2
1
400
10. SINIF MATEMATİK
Bu soruda üç bilgiyi kullanacağız. Bu bilgileri sıralayalım:
•
sin2x + cos2x = 1
•
x + y = 90° ise sinx = cosy ve cosx = siny
•
sin 45° =
2
ve sin90° = 1
2
x + y = 90° iken sinx = cosy ve cosx = siny olduğundan,
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
sin289° = cos21°
TRİGONOMETRİK ORANLARDAN BİRİ
sin288° = cos22°
BELLİ İKEN DİĞERLERİNİN BULUNMASI
sin287° = cos23°
Bir açının ölçüsünün herhangi bir trigonometrik değeri bi-

liniyorsa, diğer trigonometrik değerleri de bulanabilir. Bu

değerler dik üçgen ve temel trigonometrik özdeşlikler yar-
sin246° = cos244° olur.
dımıyla elde edilir.
Verilen ifadeyi yeniden düzenleyelim.
=sin21°+sin22°+sin23°+.....+sin244°+sin245°+cos244°+...+cos22°+cos21°+sin290°
1
1
1
DNA 23
Toplam 44 tane 1 değeri elde edeceğimizden,
 π
x ∈  0,  olmak üzere
 2
= 44 ⋅ 1 + sin2 45° + sin2 90°
2
 2
= 44+ 
+ 12
 2 


2
= 44 +
+1
4
ğeri kaçtır?
sin x =
3
5
olduğuna göre, cosx ⋅ (tanx + cotx) ifadesinin de-
A)
91
=
2
3
4
B)
4
5
C)
5
4
D)
4
3
E)
5
3
bulunur.
Doğru Seçenek D
Çözüm
3
olacak biçimde açılarından biri
5
x olan bir dik üçgen çizilir.
Bu tip sorularda sin x =
sin22° + sin24° + sin26° + ... + sin2 88°
toplamının değeri kaçtır?
A) 11
B) 22
C) 44
D) 45
E) 88
ABC dik üçgeni için sin x =
3
olduğundan
5
|AB| = 3 birim
|AC| = 5 birim olur.
Pisagor Teoremi’nden |BC| = 4 birim bulunur.
 π
 0, 2 


tan 1° ⋅ tan 2° ⋅ tan 3° ⋅ ... ⋅ tan 88° ⋅ tan 89°
çarpımının değeri kaçtır?
2
A)
2
B) 1
C)
aralığında
bütün
trigonometrik
fonksiyonlar
pozitiftir.
2
D)
3
E) 2
O, halde
10. SINIF MATEMATİK
401
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
cos x =
4
5
tan x =
3
4
cot x =
Trigonometri - Bölüm 08
DNA 24
4
3
olur. Bizden istenen değeri bulalım.
π 
x ∈  , π  olmak üzere
2 
tan x = −
12
5
olduğuna göre,
43 4
cos x ⋅ (tan x + cot x ) =  + 
54 3
=
sinx + cosx
ifadesinin değeri kaçcotx
tır?
4 25
⋅
5 12
A) −
5
=
3
35
156
B) −
D) −
7
13
84
65
E) −
C) −
13
12
12
5
bulunur.
Doğru Seçenek E
Çözüm
Bu tip soruların çözümü de aslında DNA 23’te anlattığı-
mız gibi. Ancak DNA 23’ten küçük bir farkı var. Burada x
π 
açısı  , π  aralığında, yani II. bölgede verilmiş. Bu so2 
 π
x ∈  0,  olmak üzere
 2
ruda x bir geniş açı olmasına rağmen, dar açıymış gibi
2
tan x =
3
olduğuna göre cotx ⋅ (cos2x – sin2x) ifadesinin değeri
kaçtır?
A)
10
39
B)
5
13
C)
15
26
D)
3
2
E)
25
13
düşünülerek işlem yapılabilir. Daha sonra trigonometrik
fonksiyonların işaretleri bulundukları bölgeye göre belir12
olacak biçimde bir ABC dik
5
üçgeni çizelim. Pisagor Teoremi’nden, |AC| = 13 bulunur.
lenir. Buna göre tan x =
Aradığımız trigonometrik oranları tek tek bulalım:
 π
x ∈  0,  olmak üzere
 2
cos x =
1
3
olduğuna göre,
A)
72
7
402
B)
sin x =
sin2 x − cos2 x
cot 2 x
56
9
10. SINIF MATEMATİK
C)
ifadesinin değeri kaçtır?
8
9
D)
7
9
E)
7
72
12
5
5
, cos x =
ve cot x =
13
13
12
dir.
Şimdi işaretleri belirleyelim:
Açı ikinci bölgede olduğundan,
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
sin x =
12
13
cos x = −
cot x = −
DNA 25
5
ve
13
π 
x ∈  , π  olmak üzere
2 
5
dir.
12
sin x =
Buna göre
12  5 
7
+ −
sin x + cos x 13  13 
7  12 
84
13
=
=
=
⋅ −
=−
5
5 13  5 
cot x
65
−
−
12
12
3
5
x
olduğuna göre, tan   kaçtır?
2
A)
1
3
B)
2
3
C) 1
D)
4
3
E)
5
3
bulunur.
Doğru Seçenek D
Çözüm
Bu tip sorular için farklı bir teknik kullanacağız. Bu çözüm
π 
x ∈  , π  olmak üzere
2 
tan x = −
yolu, bir açının herhangi bir trigonometrik değeri verildi-
ğinde, o açının yarısının trigonometrik değerini hesaplamak için kullanılır. Çözüm yolunun başlangıcı DNA 23 ve
DNA 24’ten farklı değil.
1
3
3
olacak biçimde bir ABC
5
dik üçgeni çizelim. |BC|, Pisagor Teoremi’nden 4 birim
x bir dar açıymış gibi, sin x =
olduğuna göre, sinx ⋅ cosx çarpımı kaçtır?
A) −
3 10
10
D)
B) −
3
10
10
10
E)
C) −
3
10
bulunur.
3 10
10
[BC] nı C yönünde |AC| kadar uzatalım.
|AC| = |CD| = 5 birim olacağından
 3π 
x ∈  π,
olmak üzere
2 

cotx = 2
olduğuna göre, sinx ⋅ cosx + tanx ifadesinin değeri
kaçtır?
A)
9
10
B)
2
5
C)
1
10
D) −
1
10
E) −
9
10
 ) = m(CDA
 ) = x olur.
m(CAD
2
x
ABD dik üçgeninin bir iç açısı
olduğundan artık aradı2
ğımız oranı yazabiliriz.
 x  | AB | 3 1
tan   =
= =
 2  | BD | 9 3
bulunur. Ancak işimiz henüz bitmedi. Tanjantın işaretine
de bakmamız lazım.
10. SINIF MATEMATİK
403
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
x
π 
x
π π
x ∈  , π  olduğundan ∈  ,  olur. Yani
açısı I.
2
2
2 4 2


90° DEN BÜYÜK AÇILARIN
TRİGONOMETRİK ORANLARI
x
bölgede olduğundan tan   pozitifitir.
2
O halde aradığımız cevap
1
tür.
3
Doğru Seçenek A
Birim çemberde A noktasının 0 ve 2p radyana,
B noktasının
π
radyana,
2
C noktasının p radyana,
D noktasının
3π
radyana denk geldiğini biliyoruz.
2
x ∈ (90°, 180°) olmak üzere,
cos x = −
I. Kosinüs eksenine (x eksenine) göre açılım:
7
25
Kosinüs ekseni üzerindeki p ve 2p radyanlık değerlere
π
göre ve 0 < x <
olmak üzere,
2
x
olduğuna göre, cot   kaçtır?
2
A)
4
3
B)
25
24
C)
3
4
D) −
3
4
E) −
4
3
2p + x I. bölgeye,
p–x
II. bölgeye,
p+x
III. bölgeye,
2p – x IV. bölgeye denk gelir.
p
2p
Burada yapacağımız iş sin(2p – x), cos(2p + x), tan(p + x),
cot(p – x) gibi trigonometrik değerleri x açısının trigonometrik
değerleri cinsinden yazmak. Kolaylık olması açısından mad
cot 15°
deler halinde yazalım:
•
Bu eksen üzerinde işlem yapıyorsak kosinüs kosinü-
değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 3 + 3 404
Kosinüs eksenine isim değiştirmeyen eksen diyelim.
D)
B) 2 + 3 3 −1
10. SINIF MATEMATİK
se, sinüs sinüse ⋅⋅⋅ dönüşür.
C) 1 + 3
E) 2 − 3
•
Aradığımız açının hangi bölgede olduğunu belirleyip
bu bölgede aradığımız trigonometrik fonksiyonun
işaretini belirleyelim.
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
Şimdi anlattıklarımızı örnekler üzerinde görelim. sin(p + x)
Çözüm
açısını ele alalım. (p + x) açısı III. bölgeye denk geldiğinden
bu açının sinüs değerinin işareti negatiftir. sinüs değeri sinüs
cot 315° = cot(360° − 45°) = − cot
12
4 45
4
3° = −1
1
değerine dönüşeceğinden,
tan135° = tan(180° − 45°) = − tan
12
4 45
4
3° = −1
sin(
π +43
x ) = − sin
x
142
negatif
1
pozitif
cot225° = cot (180° + 45°) = cot45° = 1
sonucun negatif olması
için başına – koyduk
olduğundan
cot315° – tan135° – cot225° = – 1 – (–1) – 1 = – 1
Bir kaç örnek daha verelim.
cos(
π4
−3
x ) = − cos
x
142
olur.
pozitif
negatif
Doğru Seçenek C
sonucun negatif olması
için başına – koyduk
cos(
−3
x ) = cos
x
142π
24
pozitif
pozitif
Şimdi bütün trigonometrik oranları verelim.
Bir de örnekler üzerinde görelim.
Işık 5
sin(p – x) = sinx
cos(p – x) = –cosx
sin(p + x) = –sinx
cos(p + x) = –cosx
sin(2p – x) = –sinx
cos(2p – x) = cosx
tan135°
sin120° ⋅ cos 210°
sin(2p + x) = sinx
cos(2p + x) = cosx
tan(p – x) = –tanx
cot(p – x) = –cotx
işleminin sonucu kaçtır?
tan(p + x) = tanx
cot(p + x) = cotx
A) −
4
3
tan(2p – x) = –tanx
cot(2p – x) = –cotx
tan(2p + x) = tanx
cot(2p + x) = cotx
tan 315° + sin 300°
cos 300° + tan 210°
π
π

sin  π −  = sin
9
9

cos(180° – 50°) = –cos50°
tan(180° + 20°) = tan20°
cot(360°–42°) = –cot42°
B) −
3
4
C)
3
4
D)
3
4
E)
4
3
DNA 26
cot 315° – tan 135° – cot 225°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1 işleminin sonucu kaçtır?
D) 1
E) 2
A) –1
B) −
3
2
C) − 3 D)
1
2
10. SINIF MATEMATİK
E) 1
405
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
II. sinüs eksenine (y eksenine) göre açılım:
π
3π
Sinüs ekseni üzerinde
ve
radyanlık değerlere
2
2
π
göre ve 0 < x <
olmak üzere
2
π
−x 2
I. bölgeye
π
+x
2
II. bölgeye
3π
−x
2
III. bölgeye
3π
+x 2
IV. bölgeye denk gelir.
 3π

cos 
+ x  = sin
x
2
 244
14
4
3 pozitif
pozitif
 3π

Benzer şekilde sin 
+ x  i inceleyelim.
2


 3π

sin 
+ x  = − cos
x
2

pozitif
14
4244
3
negatif
sonucun negatif olması
için başına – koyduk
π

tan  + x  = − cot
x
2

pozitif
14243
negatif
sonucun negatif olması
için başına – koyduk
Şimdi bütün trigonometrik oranları yazalım.
Işık 6
Dönüşümü yaparken nelere dikkat edeceğimize bakalım:
•
Sinüs eksenine isim değiştiren eksen diyelim. Bu eksen üzerinde işlem yapıyorsak,
sinüs → kosinüse
kosinüs → sinüse
tanjant → kotanjanta
kotanjant → tanjanta
sekant → kosekanta
kosekant → sekanta
dönüşür.
•
Aradığımız açının hangi bölgede olduğunu belirleyip
bu bölgede trigonometrik fonksiyonun işaretini belirleriz.
Şimdi anlattıklarımız örnekler üzerinde görelim.
 3π

 3π

cos 
+ x  i inceleyelim. 
+ x  açısı IV. bölgeye
2
2




π

sin  − x  = cos x
2

π

cos  − x  = sin x
2

π

sin  + x  = cos x
2

π

cos  + x  = − sin x
2

 3π

sin 
− x  = − cos x
 2

 3π

cos 
− x  = − sin x
 2

 3π

sin 
+ x  = − cos x
 2

 3π

cos 
+ x  = sin x
 2

π

tan  − x  = cot x
2

π

cot  − x  = tan x
2

π

tan  + x  = − cot x
2

π

cot  + x  = − tan x
2

 3π

tan 
− x  = cot x
 2

 3π

cot 
− x  = tan x
 2

 3π

tan 
+ x  = − cot x
 2

 3π

cot 
+ x  = − tan x
 2

denk gelir ve bu bölgede kosinüs fonksiyonu pozitiftir.
O halde,
Bir de örnekler üzerinde görelim:
406
10. SINIF MATEMATİK
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
π

sin  − 40°  = cos 40°
2

Çözüm
π

cos  + 40°  = − sin 40°
2

Şıkları tek tek inceleyelim:
tan ( 90° + 20° ) = − cot 20°
B) sin125° = sin(90° + 35°) = cos35°
 3π

sin 
− 35°  = − cos 35°
 2

C) cos325° = cos(360° – 35°) = cos35
 3π

cot 
+ 15°  = − tan15°
 2

E) cos(–35°) = cos35°
A) cos215° = cos(180° + 35°) = –cos35°
D) sin55° = sin(90° – 35°) = cos35°
Doğru Seçenek A
III. (–x) açısının indirgenmesi :
–x açısını indirgerken yaptığımız işleme dikkat edin, aslında bildiğimiz bir durum olduğunu göreceksiniz.
•
cos(–x) = cos(0° – x) = cos(360° – x) = cosx
•
sin(–x) = sin(0° – x) = sin(360° – x) = –sinx
•
tan(–x) = tan(0° – x) = tan(360° – x) = –tanx
•
cot(–x) = cot(0° – x) = cot(360° – x) = –cotx
tir.
Aklınızda tutabilmek için sık kullanılan şu hafıza çivisini
kullanabilirsiniz:
Aşağıdakilerden hangisi sin140° ye eşittir?
“Kosinüs – yi yutar diğerleri kusar.” 
A) cos130°
Ama biz nasıl yapıldığını öğrenmenizden yanayız.
B) –sin40°
D) –sin(–140°)
C) –sin80°
E) cos40°
DNA 27
Aşağıdakilerden hangisi cos35° ye eşit değildir?
A) cos215°
B) sin125°
D) sin55°
C) cos325°
E) cos(–35°)
p

Aşağıdakilerden hangisi sin  − x  e eşit değildir?
2

A) cos(2p – x)
B) cos(–x)
C) cos x
D) sin(–x)
π

E) sin  + x 
2

10. SINIF MATEMATİK
407
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
1 − tan 80° ⋅ tan 260°
1 − cot 10° ⋅ cot 10°
=
1 − tan170° ⋅ tan 350° 1 − ( − tan10°) ⋅ ( − tan10°)
DNA 28
1 1
⋅
x x
=
1− x ⋅ x
1−
x = tan10° olduğuna göre,
1 − tan 80° ⋅ tan 260°
1 − tan170° ⋅ tan 350°
1
1− 2
x
=
1 − x2
ifadesinin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x2 + 1
x2 − 1
B)
D) –x2
1 + x2
x2
C)
1 − x2
x2 − 1
x2
=
1
E) − 2
x
=
=
x2
1 − x2
x2 − 1
x
2
⋅
1
1 − x2
− (1 − x 2 )
x2
⋅
1
2
(1 − x )
=−
1
x2
olur.
Doğru Seçenek E
olduğuna göre, tan200° nin x cinsinden eşiti aşağıda-
Çözüm
Verilen trigonometrik oranları tan10° veya cot10° ye çevirmeye çalışalım.
tan80° = tan(90° – 10°) = cot10°
tan260° = tan(270° – 10°) = cot10°
tan170° = tan(180° – 10°) = –tan10°
tan350° = tan(360° – 10°) = –tan10°
kilerden hangisidir?
1
1
1
A) − 2 B) − C)
x
x
x
1
D) 2 E) x2
x
x = cos 15° olduğuna göre,
olur.
1
x = tan10° ise x =
cot 10°
1
cot 10° =
x
olur.
cos195° − sin105°
sin 345°
ifadesinin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 − x2
2x
Şimdi bizden istenen orana dönebiliriz:
408
x = tan70°
10. SINIF MATEMATİK
D)
B)
2x
1 − x2
x
1+ x
2
E)
C)
2x
1 + x2
x
1 − x2
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
DNA 29
12a = p olduğuna göre,
a + 2b =
cos a tan 9a
+
sin 5a tan 3a
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) cosa
sin(a + b)
tan b
−
sin(a + 3b) cot(a + b)
B) sina D) 0
π
olduğuna göre,
2
C) –1
E) 1
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
C) 0
B) –1
D) 1
E) 2
Çözüm
a + 5a =
12a π
=
olduğundan
2
2
cosa = sin5a
15° - 75° - 90° üçgeni:
dır.
Bir açısı 15° olan dik üçgendir. Bu üçgene ait özellikleri ve
tan3a = tan(12a – 9a) = tan(p – 9 ⋅ a)
15° ile 75° nin trigonometrik oranlarını bulalım.
= – tan 9a
olur.
cos a tan 9a sin 5a tan 9a
+
=
+
sin 5a tan 3a sin 5a − tan 9a
= 1− 1
=0
bulunur.
ABC dik üçgeninde [AH] ^ [BC] ve |BD| = |DC| olacak şeDoğru Seçenek D
kilde [AD] nı çizelim. [AD] kenarortay olduğundan
|AD| = |BD| = |DC|
dir.
ADB
ikizkenar
üçgen
olduğundan
| AD | =
a
2
ve
 ) = 15° dir. Buna göre açılar yerleştirilirse AHD dik
m(DAB
üçgeninin 30° – 60° – 90° üçgeni olduğu görülür.
20x = p olduğuna göre,
AHD dik üçgeninde | AD | =
cos12x sin 7 x
+
cos 8 x sin 3 x
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 + cot7x
B) 1 – tan7x
D) –1 + tan3x
| DH | =
C) –1 + tan7x
E) 1 + tan3x
a 3
dir.
2
a
a
olduğundan | AH | =
ve
2
4
O halde 15° – 75° – 90° dik üçgeninde yükseklik hipotenüsün dörtte biridir.
Şimdi sadece AHB dik üçgenini ele alalım.
10. SINIF MATEMATİK
409
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
ADB
ikizkenar
üçgen
olduğundan
| AD | =
a
2
ve
 ) = 22, 5° dir. Buna göre açılar yerleştirilirse AHD
m (DAB
dik üçgeninin 45° – 45° – 90° üçgeni olduğu görülür.
AHD dik üçgeninde |AH| = |DH| = h dersek | AD |= h 2
olur. | AD | =
 ) = 75°, | BH | = | BD | + | DH | =
m(BAH
ve | AH |=
a(2 + 3 )
4
a
olduğundan uzun dik kenar kısa dik kenarın
4
a
a
olduğundan,
= h 2 olur ki buradan
2
2
a = 2 2 ⋅ h bulunur.
O halde 22,5° – 67,5° – 90° dik üçgeninde hipotenüs yüksekliğin 2 2 katıdır.
2 + 3 katı olur.
Şimdi sadece AHB dik üçgenini ele alalım:
Trigonometrik oranları yazalım:
a
| AH |
1
4
tan15° =
=
=
= 2 − 3 = cot 75°
| BH | a(2 + 3 ) 2 + 3
4
| BH |
tan 75° =
=
| AH |
a((2 + 3 )
4
= 2 + 3 = cot 15°
a
4
 ) = 67, 5°, | BH | = | BD | + | DH | = h( 2 + 1) ve
m(BAH
|AH| = h olduğundan uzun dik kenar kısa dik kenarın
olur.
2 + 1 katıdır.
Trigonometrik oranları yazalım:
tan 22, 5° =
| AH |
h
1
=
=
= 2 − 1 = cot 67, 5°
| BH | h( 2 + 1)
2 +1
( 2 −1)
22,5° - 67,5° - 90° üçgeni:
tan 67, 5° =
Bir iç açısı 22,5° olan dik üçgendir. Bu üçgene ait özellik-
olur.
| BH | h( 2 + 1)
=
= 2 + 1 = cot 22, 5°
| AH |
h
leri ve 22,5° ile 67,5° nin trigonometrik oranlarını bulalım:
Aşağıdaki üçgeni kullanarak sin 18° ve cos 36° değerlerini
bulma işini size bırakıyoruz.
ABC dik üçgeninde [AH] ^ [BC] ve |BD| = |DC| olacak şekilde [AD] nı çizelim. [AD] kenarortay olduğundan
|AD| = |BD| = |DC|
dir.
410
10. SINIF MATEMATİK
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
TEST - 4
5.
olduğuna göre, A nın bulunduğu en geniş aralık
A = 5 ⋅ sin3a + 2 ⋅ cos2q
aşağıdakilerden hangisidir?
1.
cos2q = 3m – 5
olduğuna göre, m nin en büyük değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
A) [–2, 2]
B) [–3, 3]
D) [–5, 5]
C) [–4, 4]
E) [–7, 7]
E) 4
Şekilde O merkezli
6.
birim çember verilmiştir.
[PH] ^ [CA
3 ⋅ cos 2x + 2
+m
4
2.
olduğuna göre, m nin en küçük tam sayı değeri
2 ⋅ cos 2x =
 ) = 40°
m(PCA
kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Yukarıdaki verilere göre, |AH| aşağıdakilerden
hangisidir?
A) cos80°
3.
olduğuna göre, A nın en büyük değeri kaçtır?
B) 2 ⋅ cos40°
D) 1 – 2 ⋅ cos40°
C) cos80° – 1
E) 1 – cos80°
A = 2 ⋅ cos2x + 5
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Şekilde O merkezli
7.
birim çember verilmiştir.
PA ^ [OA
 ) = 20°
m(POA
4.
olduğuna göre, m aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur?
A) [–1, 1]
1 + 2 ⋅ sin3x = m
B) [–1, 3]
D) [–3, 3]
C) [–2, 3]
E) [–3, 4]
Yukarıda verilenlere göre, |PN| aşağıdakilerden
hangisidir?
A) sec40°
B) sec40° – 1
D) csc 20°
C) sec20° – 1
E) csc 20° – 1
10. SINIF MATEMATİK
411
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
8.
Trigonometri - Bölüm 08
a = cos50°
13. a = sin130°
b = sin105°
b = sin30°
c = tan305°
c = sin230°
d = cot330°
d = sin330°
Yukarıda verilenlere göre, a, b, c, d sayılarının
işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, +, –, –
B) –, –, +, +
D) –, +, –, +
Yukarıdaki trigonometrik değerlerin küçükten
büyüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
C) +, –, +, –
E) –, +, +, +
A) c < b < d < a
B) c < a < d < b
C) c < d < b < a
D) b < c < d < a
E) b < d < c < a
9.
a = sin327°
b = cos510°
c = tan1020°
d = cot(–240°)
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri sı-
rasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) –, +, –, –
B) –, +, –, +
D) –, –, –, –
10. a = cos220°
b = sin (–140°)
c = tan (–160°)
d = cot200°
C) +, –, –, +
E) –, +, +, –
A) –, –, +, +
B) +, +, –, –
D) +, –, +, –
b = cos300°
c = tan250°
Yukarıda trigonometrik değerlerin küçükten bü-
A) a < b < c
rasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
a = sin125°
yüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri sı-
14. B) c < b < a
D) a < c < b
15.
a = sin50°
b = cos310°
c = tan70°
d = cot160°
C) b < c < a
E) b < a < c
Yukarıdaki trigonometrik değerlerin büyükten
küçüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
C) –, +, –, +
E) +, –, –, +
A) c > b > a > d
B) c > a > b > d
C) a > c > b > d
D) a > b > c > d
E) a > b > d > c
11. Aşağıdaki trigonometrik değerlerden hangisi en
küçüktür?
A) cot170°
B) tan320°
D) sin(–550°)
C) cos830°
E) tan80°
16.
12. Aşağıdaki trigonometrik değerlerden hangisi en
büyüktür?
A) tan480°
1.C
412
B) tan620°
D) sin90°
2.B
3.D
C) cot130°
0< x <
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) secx ⋅ cscy > 0
B) cosx ⋅ siny > 0
C) cosx ⋅ coty > 0
D) tanx + siny > 0
E) cos860°
4.B
10. SINIF MATEMATİK
5.E
6.E
7.C
π
<y<π
2
E) sinx ⋅ tany < 0
8.A
9.D
10.A
11.A
12.B
13.C
14.E
15.B
16.C
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
5.
TEST - 5
1.
toplamının değeri kaçtır?
B) 22
D) 44
3
5
olduğuna göre, cotx ⋅ cosx çarpımının değeri
A) −
C) 23
sin x = −
kaçtır?
cos22 + cos24 + cos26 + ⋅⋅⋅ +cos288 + cos290
A) 11
0 < cosx < 1 olmak üzere,
5
3
B) −
9
8
C) −
16
15
3
D) −
E) −
15
16
5
E) 45
Şekilde O merkezli
6.
birim çember verilmiştir.
2.
3p
< x < 2p olmak üzere,
2
cos x =
[OK] ^ [EF]
) = θ
m(EOA
5
13
olduğuna göre,
cscx − cotx
ifadesinin değeri
tanx
kaçtır?
A)
4
5
B)
3
4
C)
5
13
D)
4
13
E)
5
18
Yukarıda verilenlere göre, FEO üçgeninin alanı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) sinq + cosq
3.
 3p 
x ∈  0,
olmak üzere,
2 

C) secq ⋅ cscq
B) tanq + cotq
D) sinq ⋅ cosq
E) secq + cscq
Şekilde O merkezli
7.
birim çember veril-
1
tan x = −
2
miştir.
) = θ
m(EAC
olduğuna göre, sinx ⋅ cosx + cotx ifadesinin değeri kaçtır?
A) −
2
5
B) −
D) −
5
5
12
5
C) −
E) −
9
10
12 5
5
olduğuna göre |AE|2 – 2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
 p p
4. q ∈  − 2 , 2  olmak üzere,


1
sinθ = −
3
olduğuna göre, cosq ⋅ cotq + cscq ifadesinin değeri kaçtır
A) −
17
3
D)
B) –5
5 2
6
A) sin2q
E)
C) −
4 2
3
13
5
8.
B) 2cosq
D) cos2q
C) 2sin2q
E) 2cos2q
x ∈ (90°, 180°) olmak üzere,
cos x = −
5
13
x
olduğuna göre, tan   kaçtır?
2
A) −
3
2
B) −
2
3
C)
2
3
D)
3
2
10. SINIF MATEMATİK
E)
13
12
413
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
9.
Trigonometri - Bölüm 08
tan(22,5°)
π
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
2 + 1
B)
2 3 − 1 D)
13. 0 < x < 2
2 −1
3
olduğuna göre,
4
p

tan(2p − x) − cos  + x 
2

3p 

cot(p − x) + sin  x −
2 

C) 1
E)
ve tan x =
işleminin sonucu kaçtır?
A)
7
25
B)
9
32
C)
3
7
D)
4
9
E)
7
12
14. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
10.
A) sin(–50°) = –sin50°
cos 330° − tan 210°
sin150° − cot 120°
B) sin(–220°) = sin40°
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3 −2 B) 2 − 3 C) sin130° = sin50°
D) cos(–140°) = –cos40°
C) 2 3 − 1
E) cos(–130°) = sin60°
D) 2 3 E) 2 + 3
15. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) cos(p – x) = –cosx
B) sin(2p + x) = sinx
11.
 5π

− x  = cos x
C) cos 
 2

cot 315° − cos 300°
sin 300° + tan120°
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
3
B)
D) −
1
2
1
3
C)
E) −
 7π

+ x  = sin x
D) cos 
 2

E) sin(x – 2p) = sinx
1
3
3
3
Şekilde O merkezli bi-
16.
rim çember verilmiştir.
[BA] ^ [OA
[PH] ^ [OA
) = α
m(BOA
12.
π

 3π

tan  − x  + cot 
− x
2

 2

tan x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sec2x
B) csc2x
C) tanx – cotx
D) cscx – secx
nı aşağıdakilerden hangisidir?
414
2.E
3.D
4.A
10. SINIF MATEMATİK
5.C
A)
sin3 α
2 ⋅ cos α
E) secx – cscx
1.B
Yukarıda verilenlere göre, HABP dörtgeninin ala-
6.D
7.E
8.C
9.E
D)
10.B
B)
cos3 α
sin α 11.A
12.B
sin2 α ⋅ cot α
2 ⋅ sin3 α
C)
2
cos α
13.B
E)
sin α
2 ⋅ cos3 α
14.E
15.C
16.A
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
5.
TEST - 6
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
π
5
< − x < π ve cos x = −
olduğuna göre
2
13
csc(− x) + cot(− x)
tan(x − p)
1.
B) –1
C) 0
2
13
B)
3
13
C)
1
9
D)
5
18
E)
5
27
6.
 3π

 5π

sin 
− x  − sin 
− x
2
2




π

cos( x − π) + sin  x − 
2

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
B) 0
D) tanx
π
olduğuna göre,
2
cos b
cot(3b)
−
sin(a + b) tan(a − b)
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 0
7.
 p
x ∈  0,  olmak üzere,
 2
tanx = 3 olduğuna göre
1+ sinx
1 − sinx
+
1 − sinx
1+ sinx
A) sin207°
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B) cos(–27°)
D) sin(–27°)
C) cos157°
E) cos297°
4.
a = –tan(–10°) olduğuna göre,
sin( −10°) − cos 80°
cot( −10°)
8.
gisidir?
A)
a2 + 1
D)
B)
a
2
a +1
2a
a2 + 1
E)
C)
a +1
3 10
2
5 10
2
C) 2 10
E) 4 5
tan 315° + cot 255°
tan105° + tan195°
ifadesinin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden han-
A)
2
2
D)
B)
gisidir?
a2
a2 + 1
10 − 2 x = tan15° olduğuna göre,
ifadesinin a cinsinden eşiti aşağıdakilerden han2a2
E) 2
E) cotx
D) 1
C) 1
sin27° nin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
E) 2
a + 2b =
3.
D) 1
işleminin sonucu kaçtır?
A)
2.
sin 7 x
cos 5 x
+
sin14 x cos16 x
21x = p olduğuna göre,
x2
x +1
D)
B)
1− x
x
x
x +1
E)
C)
2x
x −1
1 + x2
x
10. SINIF MATEMATİK
415
Birim Çemberde Trigonometrik Oranların Tanımları
Trigonometri - Bölüm 08
13. π

 3π

f ( x ) = sin  + x  + sin 
− x  + cos(15π + x )
2
2




9.
 5p 
olduğuna göre, f 
 kaçtır?
 6 
A) −
3
2
D)
B) −
1
2
1
2
denkleminin köklerinden biri diğerinin 2 katıdır.
E)
tanq ⋅ cos b = 2 ⋅ sinq
eşitliğini sağlayan q ve b dar açıları için q + b top-
C) –1
x2 – 3x + tanq = 0
lamı aşağıdakilerden hangisidir?
3
2
A)
π
2
B)
2π
3
D) p
C)
E)
5π
6
14π
9
 3p

, 2p  olmak üzere,
 2

10. x ∈ 
1 + cos x
1 − cos x
+
1 − cos x
1 + cos x
14.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2sinx
B) –2cosx
D) –2secx
Şekildeki O merkezli birim çember
üzerinde bulunan
P ve P′ noktaları
C) –2tanx
Oy eksenine göre
E) –2cscx
birbirinin simetriğidir.
) = θ
m( AOP
11.
Yukarıda verilenlere göre, P′ noktası aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilemez?
 ) = 2α
Şekildeki ABC üçgeninde |AB| = |AD|, m(BAD
 ) = x ve tan α = 5 olduğuna göre, tanx
m( ADC
12
kaçtır?
12
A)
5
12. 5
B) 3
D) −
5
12
3
C) −
4
E) −
12
5
1.D
416
2.C
3.E
10. SINIF MATEMATİK
5
C) 4
4.A
B) (–cosq, sin(p– q))
  3π


C)  sin  2 + θ  , − sin( −θ) 

 

 π


D)  sin  + θ  , − sin( −θ) 
2





π

E)  − cos( 2π − θ), cos  − θ  
2



ifadesinin değeri kaçtır?
5
B) − 2
2
denkleminin kökleri tanx ve tany olduğuna göre,
tan x + tany
1 + cot x ⋅ cot y
5
A) − 4
A) (cos(p – q), sinq)
15. 0 < x < p ve k tek bir tam sayı olduğuna göre,
2a2 – 5a – 4 = 0
5
D) 2
5.C
6.C
E) 5
7.C
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) cosx
8.B

1
π

sin  k +  π + ( −1)k ⋅  + x  
2
2





9.E
B) –cosx
D) –sinx
10.E
11.E
C) sinx
E)–1
12.E
13.A
14.D
15.C
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
PERİYOT – GRAFİK
Benzer biçimde
GİRİŞ
tan(x + kp) = tanx
Haftanın günlerinin 7 günde bir tekrar etmesi, dünyanın
ve
güneş etrafındaki 1 tam turunu tamamlaması, olimpiyat
cot(x + kp) = cotx
oyunlarının 4 yılda bir düzenlenmesi periyodik olarak
meydana gelen olaylardır.
Matematikte bazı fonksiyonlar, belli aralıklarla tekrar tek-
olduğundan tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyotları T = kp dir.
rar aynı değerleri alırlar. Kendini tekrarlama özelliğine sa-
Esas periyot en küçük pozitif değer olduğundan k = 1 için
hip bu tür fonksiyonlara periyodik fonksiyonlar denir.
bu fonksiyonların periyodu,
T=p
dir.
TANIM
A ⊂ R olmak üzere
f:A→B
bir fonksiyon olsun.
Her x gerçek sayısı için
f(x + T) = f(x)
Hazine 8
eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, bulunan T değerine fonksiyonun
periyodu, bu T değerlerinden en küçüğüne de f fonksiyo-
n sıfırdan farklı bir tam sayı ve a, b, c, d birer gerçek
nunun esas periyodu denir.
sayı olmak üzere,
Örneğin her x değeri için,
I.
f(x) = a + b ⋅ cosn (cx + d)
f(x) = a + b ⋅ sinn (cx + d)
sinx = sin (x + 2p) = sin(x + 4p) = sin(x + 6p)= ...
eşitliği doğru olacağından sinüs fonksiyonun periyodu 2p
dir.
Genel olarak k bir tam sayı olmak üzere,
sin(x + k ⋅ 2p) = sinx
ve
fonksiyonlarının esas periyotları
2π
,
•
n tek tam sayı ise
|c|
•
n çift tam sayı ise
π
|c|
dir.
cos(x + k ⋅ 2p) = cosx
olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu
II.
f(x) = a + b ⋅ tann (cx + d)
f(x) = a + b ⋅ cotn (cx + d)
T = k ⋅ 2p dir. Esas periyot en küçük pozitif değer olacağından k = 1 için bu fonksiyonların periyodu,
fonksiyonlarının esas periyodu
π
dir.
|c|
T = 2p
dir.
Bu kuralları uyguladığımız tabloyu dikkatle inceleyiniz.
10. SINIF MATEMATİK
417
Periyot – Graf ik
Trigonometri - Bölüm 08
FONKSİYON
PERİYODU
5 + 2 ⋅ sin3(5x – 4)
2π
5
4 – 5 ⋅ cos (3x + 1)
2π
3
cos6(6x – 1)
π
6
–5 –3 ⋅ tan (2 – 3x)
π
π
=
| −3 | 3
5 ⋅ cot42x
π
2
5
Çözüm
f(x) = –8 + 7 ⋅ sin4 (7x + 5)
ifadesinde sinüs fonksiyonunun çift kuvveti alındığından
periyodu (T1 olsun),
T1 =
π
π
=
|7| 7
dir.
f(x) = –5 + 3 ⋅ cot4(6 – 2x)
fonksiyonun periyodu ise (T2 olsun),
T2 =
π
π
=
| −2 | 2
dir.
Uyarı
Doğru Seçenek D
1
f fonksiyonunun periyodu T ise, fonksiyonun periyof
du da T dir. O halde sekant ve kosekant fonksiyonları
için sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında verdiğimiz kural
aynen geçerlidir.
DNA 30
f(x) = cos(3 – 5x) ve
fonksiyonlarının periyotları aşağıdakilerden han-
 5x 
g( x ) = tan4  1 −
3 

gisidir?
fonksiyonlarının periyotları aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = –8 + 7 ⋅ sin4 (7x + 5) ve
g(x) = –5 + 3 ⋅ cot4 (6 – 2x)
f(x)
g(x)
A)
2π
7
p
B)
2π
7
C)
f(x)
g(x)
A)
π
5
2π
5
π
2
B)
2π
5
5π
3
π
7
p
C)
2π
3
5π
3
D)
π
7
π
2
D)
2π
5
3π
5
E)
π
2
π
7
E)
2π
3
5π
3
418
10. SINIF MATEMATİK
Trigonometri - Bölüm 08
Periyot – Graf ik
2.
Periyodu 2p olduğundan grafiği 2p uzunluğunda bir
aralıkta çizmeliyiz. Bu aralığı keyfi seçebiliriz. Önemli olan tek şey bu aralığın uzunluğudur. Bu aralığı
f(x) = –5 + 7 ⋅ cos4(2 – a⋅x)
3p
olduğuna göre, a aşağı2
dakilerden hangisi olabilir?
fonksiyonunun periyodu
A) −
3
2
B) −
1
3
C)
2
7
D)
2
3
E)
3
2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
GRAFİKLERİ
Trigonometrik fonksiyonlar periyodik fonksiyonlardır. Bu
[0, 2p) seçelim.
π
3π
, π,
ve 2π değerleri için sinx in alacağı
2
2
değerleri bulalım.
x in 0,
3.
x
0
π
2
p
3π
2
2p
sinx
0
1
0
–1
0
Bu değerleri analitik düzleme yerleştirelim.
nedenle grafiklerini çizerken periyotlarının bulunması çizimi kolaylaştıracaktır.
Işık 7
Bir trigonometrik fonksiyonun grafiğini çizerken aşağıdaki yolu izleyeceğiz:
1.
Fonksiyonun periyodu bulunur.
2.
Bulduğumuz periyoda uygun bir aralık seçilir.
3.
Seçtiğimiz aralıkta fonksiyonun değişimi incelenir.
Bunun için, fonksiyonun bazı özel gerçek sayılar3π
 π π π

gibi  alacağı değerler buluda  0, , , , π,
2
 6 3 2

nur. Bu değerler analitik düzlemde noktalanır.
4.
Analitik düzlemdeki noktalar birleştirilerek fonksiyonun grafiği elde edilir.
5.
Oluşan grafik diğer periyodik aralıklarda da tekrar-
Analitik düzlemde elde ettiğimiz bu noktaları birleştirerek
y = sinx fonksiyonunun grafiğini elde ederiz.
Fonksiyonun periyodu 2p olduğundan her 2p lik aralıkta
aynı biçimde davranır. Bu durumu şöyle de ifade edebiliriz: Fonksiyon 2p den büyük ve sıfırdan küçük değerlerde
esas ölçü gereği aynı davranır. Buna göre fonksiyonun
[0, 2p) aralığında biçimi her 2p lik aralıkta çizildiğinde
fonksiyonun grafiği elde edilir.
O halde y = sinx fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi
olur.
lanarak fonksiyonun en genel grafiği elde edilir.
Şimdi trigonometrik fonksiyonların grafiklerine geçebiliriz.
A. Sinüs fonksiyonunun grafiği:
y = sinx fonksiyonun grafiğini çizebilmek için IŞIK 7’de
verdiğimiz maddeleri tek tek inceleyelim.
1.
y = sinx fonksiyonunun periyodu 2p dir. O halde seçeceğimiz 2p uzunluğundaki bir aralıkta fonksiyonu
çizmemiz yeterli olacaktır.
B. Kosinüs fonksiyonunun grafiği:
y = cosx fonksiyonun grafiği için de, y = sinx fonksiyonun
grafiğini çizerken kullandığımız yöntemi kullanalım:
10. SINIF MATEMATİK
419
Periyot – Graf ik
Trigonometri - Bölüm 08
1.
y = cosx fonksiyonun periyodu 2p dir.
2.
Periyodu 2p olduğundan fonksiyonun grafiğini çiz-
π
π
π
π π
π
ve
x in − , − , − , 0, ,
değerleri için
3
4
6
6 4
3
tanx in alacağı değerleri bulalım:
3.
mek için [0, 2p) aralığını seçelim.
π
3π
, π,
ve 2π değerleri için cosx in alaca2
2
ğı değerleri bulalım:
3. x in 0,
3π
2
2p
cosx
1
0
–1
0
1
Bu değerleri analitik düzleme yerleştirelim.
tanx
π
3
− 3
−
π
4
−
–1 −
π
6
0
π
6
π
4
π
3
3
3
0
3
3
1
3
π
2
ız
p
−
tan
ım
s
π
2
ız
0
π
2
tan
ım
s
x
−
x
Bu değerleri analitik düzleme yerleştirelim:
Analitik düzlemde elde ettiğimiz bu noktaları birleştirerek
y = cosx fonksiyonunun grafiğini elde ederiz.
Fonksiyonun periyodu 2p olduğundan, her 2p lik aralıkta
aynı biçimde davranır. Buna göre fonksiyonun [0, 2p) aralığındaki biçimi her 2p lik aralıkta çizildiğinde fonksiyonun
grafiği elde edilir.
O halde y = cosx fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur.
Tanjant
fonksiyonu
grafikte ve tabloda görüleceği
üzere
π
π
π
− ve
değerinde tanımsızdır. Aslında
nin tüm tek
2
2
2
katlarında tanımsızdır.
 π π
 − 2 , 2  aralığındaki grafik, fonksiyonun periyodu p ol

duğundan, x ekseni üzerinde p periyotluk aralıklarla sağa
ve sola ötelenirse y = tanx fonksiyonunun grafiği elde edilir.
y = cosx fonksiyonunun grafiği, y = sinx fonksiyonunun
grafiğinin x ekseninde sola doğru
π
birim kaydırılmış ha2
lidir.
C. Tanjant fonksiyonunun grafiği:
D. Kotanjant fonksiyonunun grafiği:
y = tanx fonksiyonunun grafiği için,
y = cotx fonksiyonunun grafiği için,
1.
2.
y = tanx fonksiyonun periyodu p dir.
 π π
Periyodu p olduğundan grafiği  − ,  aralığında
 2 2
çizelim.
420
10. SINIF MATEMATİK
1.
y = cotx fonksiyonunun periyodu p dir.
2.
Periyodu p olduğundan grafiği (0, p) aralığında çizelim.
Trigonometri - Bölüm 08
Periyot – Graf ik
π π π π 2π 3 π
5π
, , , ,
,
ve
değerleri için cotx
6 4 3 2 3
4
6
in alacağı değerleri bulalım.
3.
I. y = –f(x) in grafiği:
x in
π
4
π
3
1
3
3
tan
ım
s
cotx
3
π
2
2π
3
0
3
−
3
3π
4
5π
6
gi x değerleri için hangi
p
y
–1 − 3
değerlerini
alıyorsa,
y = –f(x) için de onların
ız
π
6
iken fonksiyon herhan-
ters işaretlisini alır.
tan
ım
s
0
ız
x
y = f(x) in grafiği belli
Bu noktaları analitik düzleme yerleştirelim.
Yani y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği y = –f(x) fonksiyonunun grafiğidir.
II. y = c ⋅ f(x) in grafiği :
A(a, b) noktası y = f(x) fonksiyonunun grafiğine ait bir nokta ise B(a, b ⋅ c) noktası da y = c ⋅ f(x) grafiğine ait bir
noktadır. O halde y = c ⋅ f(x) in grafiğinin çizilebilmesi için
y = f(x) e ait her noktanın ordinatının c ile çarpılması gerekir. Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalarda değişiklik
olmaz.
Kotanjant fonksiyonu grafikten ve tablodan da görüleceği
üzere 0 ve p değerlerinde tanımsızdır. Aslında p nin tüm
tam katlarında tanımsızdır.
(0, p) aralığındaki grafik, fonksiyonun periyodu p olduğundan, x ekseni üzerinde p periyotluk aralıklarla sağa ve
sola ötelenirse y = cotx fonksiyonunun grafiği elde edilir.
Yukarıdaki y = f(x) ve y = 2 ⋅ f(x) fonksiyonlarının grafikleri
incelendiğinde, grafiğin x eksenini kestiği noktaların değişmediği, y değerlerinin ise 2 katına çıktığı görülecektir.
III. y = f(x) ± k nın grafiği :
Bu bölümde y = f(x) in grafiği belli iken y = –f(x),
y = c ⋅ f(x) ve y = f(x) ± k grafiklerini nasıl elde edeceğimizden bahsedeceğiz.
y =f(x) ± k grafiklerinde tanım kümesi değişmez ancak görüntü kümesinin değerleri her x noktası için eskisine göre
k kadar eksik yada fazla olur.
10. SINIF MATEMATİK
421
Periyot – Graf ik
Trigonometri - Bölüm 08
Fonksiyon sadece 2 ile çarpılmış olsaydı üstteki 3 değeri
2, alttaki –1 değeri –2 olmalıydı. Buna göre fonksiyon 1
birim yukarı ötelenmiş demektir.
O halde aradığımız fonksiyon,
y = 1 + 2 ⋅ cosx
tir.
y = f(x) + k fonksiyonunun grafiği y = f(x) in grafiğinin k
birim yukarı kaymış hali, y =f(x) – k fonksiyonunun grafiği
y = f(x) in grafiğinin k birim aşağı kaymış halidir.
Bu yol test tekniğinde kullanılacak en ideal yoldur. Grafik
üzerindeki değer ya da değerleri şıklarda deneyeceğiz. p
DNA 31
değerini deneyelim. (p, –1) değerini veren seçenek aradığımız seçenek olacaktır. Eğer aynı değeri veren iki seçenek olursa bu iki seçenekle grafik üzerinde olan başka bir
nokta daha kullanılır.
A) 2 – 2 ⋅ cosp = 2 – 2 ⋅ (–1) = 4 
B) 1 + 2 cosp = 1 + 2 ⋅ (–1) = –1 
C) 2 – cos 2p = 2 – 1 = 1 
D) 3 ⋅ cosp = 3 ⋅ 1 = 3 
E) 4 – cosp = 4 – (–1) = 5 
Doğru Seçenek B
Şekilde [0, 2p] aralığında grafiği verilmiş olan
y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 – 2cosx
B) 1 + 2cosx
D) 3cosx
C) 2 – cos2x
E) 4 – cosx
Çözüm
Fonksiyon y ekseni üzerinde üstte 3 alta ise –1 değerini alıyor. Yani toplam genliği 4 birim. O halde aradığımız
fonksiyon bu toplam genliğin yarısı, yani 2 ile çarpılmış
olmalı.
Şekilde [0, p] aralığında grafiği verilmiş olan y = f(x)
Grafik çanak biçiminde olduğundan cosx e ait bir fonksiyondur. Buna göre aradığımız fonksiyon 2 ⋅ cosx ifadesini
içinde barındırmalı.
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 ⋅ sinx
422
10. SINIF MATEMATİK
B) sin3x
D) 3cos2x
C) 3cosx
E) 2 + cos2x
Trigonometri - Bölüm 08
Periyot – Graf ik
5.
TEST - 7
 3x 
f ( x ) = cos5  
 2 
1.
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
2π
3
B)
3π
4
C)
4π
5
D)
4π
3
E)
3π
2
Yukarıda
[–p, p] aralığında grafiği verilen f(x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 ⋅ cosx
 3x π 
f ( x ) = 3 + 5 ⋅ sin2 
+ 
 2 3
2.
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden
B) 3 – cosx
D) 2 ⋅ sinx
C) sin2x
E) 2 – sinx
6.
hangisidir?
A)
10π
5π
B)
3
3
C)
4π
3
D)
6π
5
E)
2π
3
Yukarıda
[–p, p] aralığında grafiği verilen f(x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
3.
f(x) = 3 + 8 ⋅ tan5(3x + 20°)
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden
A) 1 + cosx
B) 1 – cosx
D) –cosx
C) cosx
E) cos(–x)
hangisidir?
A)
8π
3
B)
8π
5
C)
3π
2
D)
3π
5
E)
π
3
7.
4.
m, n ∈ Z+ olmak üzere
n⋅x π
f ( x ) = 2 + 3 ⋅ cosm 
+ 
3
 m
Yukarıda
8p
fonksiyonunun esas periyodu
olduğuna göre,
5
m + n toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 8
B) 11
C) 13
D) 17
E) 19
[0, 2p] aralığında grafiği verilen f(x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 + cosx
B) 2 – cosx
D) cos2x
C) 2 ⋅ cosx
E) 2 ⋅ cos2x
10. SINIF MATEMATİK
423
Periyot – Graf ik
Trigonometri - Bölüm 08
8.
11.
Yukarıda
[0, 2p] aralığında grafiği verilen f(x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 + cosx
B) 2 ⋅ cos3x
D) 2 ⋅ sinx
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
C) 2 + sinx
E) 3 + sin2x
C) 3 ⋅ cosx
B) 3 – cosx
D) 4 ⋅ sinx
E) 4 + sinx
12.
Yukarıda [0, p] aralığında grafiği verilen f(x) fonk-
siyonu aşağıdakilerden hangisidir?
x
A) cot   2
B) 2cotx
x
E) tan  
2
D) 2tanx
Yukarıda [0, p] aralığında grafiği verilen f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
x
C) 2 tan  
2
A) 2 ⋅ sinx
10.
A) 3 + cosx
9.
Yukarıda [0, 2p] aralığında grafiği verilen f(x)
D)
B)
sin x
2
sin2x
2
E)
C) sin2x
sin 4 x
2
13.
p
Şekilde  0,  aralığında grafiği verilmiş olan
2


y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 + cot2x
1.D
424
B) 2 + cotx
D) 2 + tanx
2.E
3.E
10. SINIF MATEMATİK
C) cot2x
5.E
A) –2 + sinx
E) 1 – tanx
4.C
 2p 
Yukarıda 0,
aralığında grafiği verilen f(x)
3 

fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
6.D
7.C
8.C
B) 2 – sin3x
D) 2 + cosx
9.D
10.A
C) –2 ⋅ cos3x
E) –2 + cosx
11.B
12.C
13.C
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
Bir trigonometrik fonksiyonun tanımlı olduğu tüm ara-
Şimdi ters trigonometrik fonksiyonları incelemeye başlayabiliriz.
Hazine 9
lıklarda tersi alınabilir. Ancak bulunan ters her zaman
fonksiyon olmayabilir, sadece bağıntı olarak kalabilir. Bir
fonksiyonun tersinin de bir fonksiyon olabilmesi için ise
fonksiyonun bire bir ve örten olması gerek ve yeterlidir.
Trigonometrik fonksiyonlar bire bir ve örten değildirler.
Ancak bire bir ve örten oldukları bazı gerçek sayı aralıkları
arkkosinüs(arccos) fonksiyonu:
Kosinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu aralıklardan [0, p] esas aralığını seçelim. Bu aralıkta
f(x) = cosx fonksiyonunun tersi de bir fonksiyondur. Bu
vardır.
Bir trigonometrik fonksiyonun tersini ifade edebilmek için
önüne arc eki getirilir. cosx in tersi için arccosx, sinx in
ters fonksiyon
f–1(x) = cos–1x
tersi için arcsinx, tanx in tersi için arctanx, cotx in tersi için
veya
arccotx gösterimleri kullanılır.
Ters trigonometrik fonksiyonları incelemeye başlamadan
biçiminde ifade edilir.
önce fonksiyonlar konusundan bir hatırlatma verelim.
f–1(x) = arccosx
O halde
f : [0, p] →[–1, 1]
olduğundan
f–1 : [–1, 1] → [0, p]
Hatırlatma
olur.
f: A → B fonksiyonu bire bir ve örten ise f fonksiyonu-
Bu durumda
y = cos x ⇔ arccos y = x
nun tersi vardır ve B den A ya tanımlıdır.
Yani,
tir.
f: A → B
x → f(x) = y
ise
f–1 : B → A
DNA 32
y → f–1(y) = x
tir.
Buradan anlaşılması gereken ise f–1, f fonksiyonu ne
x, y, z ∈ [0, p] olmak üzere,
x = arc cos
yaparsa tersini yapmaktadır. Yani, f fonksiyonu x i
y ye götürüyorsa f–1 fonksiyonu da y yi x e götürür. f–1
fonksiyonu y yi x e götürüyorsa (f–1)–1 fonksiyonu da
x i y ye götürür. O halde
(f–1)–1 = f
eşitliğini yazabiliriz.
Ayrıca bire bir ve örten f(x) fonksiyonu için,
y = arc cos
3
2
1
2
 1
z = arc cos  − 
 2
olduğuna göre, sin (x + y + z) ifadesinin değeri
kaçtır?
f(x) = y ise f (y) = x
–1
tir.
A) −
3
1
B) − 2
2
C) 1
D)
1
2
E)
10. SINIF MATEMATİK
3
2 425
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri - Bölüm 08
Çözüm
x = arccos
Işık 8
3
3
ise cos x =
dir.
2
2
O halde x =
cos(arccosx) = m olsun.
arccosx = a ise cosa = x tir.
π
= 30° ∈ [0, π] olur.
6
cos(arc
cos


x ) = m
a
1
1
y = arccos ise cos y = dir.
2
2
O halde y =
cos
a=m

x
π
= 60° ∈ [0, π] olur.
3
O halde
cos(arccosx) = x
1
 1
z = arccos  −  ise cos z = − dir.
2
 2
O halde z =
x = m olur.
tir.
2π
= 120° ∈ [0, π] olur
3
 π π 2π 
sin( x + y + z) = sin  + +

6 3 3 
x, y ∈ [0, p] olmak üzere,
π

= sin  + π 
6

= − sin
cos(arccos(–1)) + sin (arccos(–1))
işleminin sonucu kaçtır?
π
6
B) −
A) –1
1
=−
2
olur.
3
2
C) −
1
2
D)
3
2
E) 1
Hazine 10
Doğru Seçenek B
arksinüs(arcsin) fonksiyonu:
Sinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu aralıklar π π
dan  − ,  esas aralığı seçelim. Bu aralıkta
 2 2
f(x) = sinx fonksiyonunun tersi de bir fonksiyondur. Bu
ters fonksiyon
f–1(x) = sin–1x
veya
biçiminde ifade edilir.
x, y ∈ [0, p] olmak üzere,
x = arccos1

3
y = arc cos  −
 2 


O halde
olduğundan
Bu durumda
A)
3
426
10. SINIF MATEMATİK
1
C) 2
3
D) −
E) − 3
3
 π π
f :  − ,  → [ −1, 1]
 2 2
 π π
f–1:[–1, 1] →  − ,  olur.
 2 2
olduğuna göre cot(x + y) ifadesinin değeri kaçtır?
3
B)
3
f–1(x) = arcsinx
tir.
y = sin x ⇔ arcsiny = x
Trigonometri - Bölüm 08
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Hazine 11
DNA 33
arcsin
tir?
A)
1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit2
π
6
B)
π
4
π
D) 2
C)
π
3
arktanjant (arctan) fonksiyonu:
Tanjant fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu aralık π π
lardan  − ,  esas aralığını seçelim.
 2 2
Bu aralıkta f(x) = tanx fonksiyonunun tersi de bir fonk-
3π
E)
2
siyondur. Bu ters fonksiyon,
f–1(x) = tan–1x
veya
f–1(x) = arctanx
biçiminde ifade edilir.
Çözüm
O halde
1
1
arc sin = x ise sin x = dir.
2
2
olduğundan
O halde
x=
 π π
f :− ,  → R
 2 2
 π π
f −1 : R →  − ,  olur.
 2 2
Bu durumda
π
 π π
= 30° ∈  − , 
6
 2 2
y = tanx ⇔ arctany = x tir.
olur.
Doğru Seçenek A
Hazine 12
arkkotanjant (arccot) fonksiyonu:
Kotanjant fonksiyonu bire bir ve örten olduğu aralıklararc sin
dan (0, p) esas aralığını seçelim.
2
3
+ arc cos
2
2
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
7π
A)
12
5π
B)
12
π
C) 3
π
D) 4
π
E)
6
Bu aralıkta f(x) = cotx fonksiyonunun tersi de bir fonksiyondur. Bu ters fonksiyon,
f–1(x) = cot–1x
veya
f–1(x) = arccotx
biçiminde ifade edilir.
O halde
f : (0, p)→R
csc(arcsinx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
A) B) 2 C)
x
x
D)
x
1 + x2
x2 + 1
E)
x
olduğundan
x
1 − x2
f–1 : R → (0, p)
olur.
Bu durumda
y = cotx ⇔ arccoty = x
tir.
10. SINIF MATEMATİK
427
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri - Bölüm 08
O halde,
Işık 9
b=
Fonksiyonlar konusundan
π  π π
∈− , 
3  2 2
olur.
fof =I
–1
arc tan( −1) + arc tan 3 = a + b = −
olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla tanımlı olduğu aralıkta
=
tüm ters trigonometrik fonksiyonlar için,
cos(arccosx) = x
sin(arcsinx) = x
tan(arctanx) = x
cot(arccotx) = x
π π
+
4 3
π
12
olur.
Doğru Seçenek E
eşitlikleri geçerlidir.
arc tan1 + arc tan( − 3 )
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
DNA 34
A) −
π
12

 3 
cos(arc cot( − 3 )) + tan  arc cot 

 3  




B) −
π
3
C) −
π
6
D)
π
6
π
12
E)
arc tan( −1) + arc tan 3
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
π
2
B)
D)
π
6
π
3
E)
C)
π
12
π
4
toplamının değeri kaçtır?
A) −
3
2
B) −
1
2
C)
1
2
D)
3
2
E)
3 3
2
DNA 35
Çözüm
1
2


cos  arcsin  + sin  arc cos 
4
3


arctan(–1) = a ise tana = –1
dir.
toplamının değeri kaçtır?
O halde
A)
4 15 − 3 5
12
B)
4 3 −3 5
12
C)
4 15 + 3 5
12
D)
4 5 + 3 15
12
π  π π
a = − ∈− , 
4  2 2
olur.
arc tan 3 = b ise tan b = 3
tür.
428
10. SINIF MATEMATİK
E)
4 5 +5 3
12
Trigonometri - Bölüm 08
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Çözüm
1
2
15
5


cos  arc sin  + sin  arc cos  =
+
4
3
4
3


1

cos  arc sin  ifadesini ele alalım.
4

arc sin
1
= x dersek aradığımız ifade cosx e dönüşür.
4
arc sin
1
1
1
= x ise sin x =
olacağından sin x = olan bir
4
4
4
=
3 15 + 4 5
12
Doğru Seçenek D
dik üçgen çizelim.
ABC dik üçgeninde
PisagorTeoremi’nden
| BC | = 15 birim bulunur.
Aradığımız değer cosx idi.
O halde,
cos x =
3
24 


cos  arc sin  + sin  arc cos 
5
25 


toplamının değeri kaçtır?
15
4
A)
bulunur.
27
7
D)
2

sin  arc cos  ifadesini ele alalım.
3


arc cos
2
= y dersek aradığımız ifade siny ye dönüşür.
3
arc cos
2
2
= y ise cos y =
olacağından,
3
3
cos y =
2
olan bir dik üçgen çizelim.
3
ABC dik üçgeninde
Pisagor Teoremi’nden
25
7
B)
4
5
E)
C)
27
25
C)
33
17
7
25
12 
8 


cot  arccos  + tan  arcsin 
13 
17 


toplamının değeri kaçtır?
A)
8
15
D)
| AB | = 5 birim bulunur.
B)
15
8
12
5
E)
44
15 DNA 36
Aradığımız ifade siny idi.
O halde,
sin y =
bulunur.
5
3
f(x) = arccos(3 + x)
fonksiyonunun tanım kümesinin kaç elemanı tam
sayıdır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
10. SINIF MATEMATİK
E) 5
429
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri - Bölüm 08
Çözüm
DNA 37
y = arccos(3 + x) ise cosy = x + 3 olur.
Kosinüs fonksiyonu [–1, 1] aralığında değerler aldığından,
arc cot x = arccos
–1 ≤ x + 3 ≤ 1
4
5
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
–1 –3 ≤ x + 3 – 3 ≤ 1 – 3
A)
–4 ≤ x ≤ –2
3
5
B)
9
16
C)
3
4
D)
4
5
E)
4
3
olur.
–4, –3 ve –2 olmak üzere 3 elemanı tam sayıdır.
Çözüm
Doğru Seçenek C
arccotx = u olsun.
Buna göre arccos
arc cos
4
= u ve cotu = x olur.
5
4
4
4
= u ise cos u =
olacağından cosu =
olan
5
5
5
bir dik üçgen çizelim:
ABC dik üçgeninde Pisagor
Teoremi’nden
 2x

f ( x ) = arcsin 
+ 1
5


|AB| = 3 birim bulunur.
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–5, 0]
İstenen: x = cot u =
B) [–5, 5]
D) [–1, 1]
C) [–2, 0]
4
olur.
3
Doğru Seçenek E
E) [0, 2]
 1 3x 
f ( x ) = arccos  −

2 4 
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2

A)  −2,  3


3

B)  −2,  2

2

D)  −1,  3

430
10. SINIF MATEMATİK
 3 
C)  − , 1
 2 
 2 
E)  − , 2
 3 
arcsinx = arctan3
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A)
10
10
D)
B)
3 10
10
1
3
E)
C)
10
3
10
5
Trigonometri - Bölüm 08
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
TEST - 8

2
 1
arcsin   + arcsin  −


2
2
 


1.
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
5π
12
D)
B) −
5π
12
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
B)
1
2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
B)
1
2
2
2
C)
D)
3
2
ifadesinin değeri kaçtır?
3
13
B)
5
13
C)
A)
11
12
D)
B)
D)
3
2
5
12
D)
8
13
3 13
12
13 + 5
12
E)
C)
2
3
1
4
1
2


sin  arc cos  + cos  arcsin 
3
3


6.
toplamının değeri kaçtır?
A)
2 5+ 3
3
B)
2 5+ 2
3
C)
2 3+ 5
3
D)
2 2+ 5
3
3+ 5
3
E) 1
E) 1
5 

sin  arc cos 
13 

4.
17π
12

 1 
cos  arcsin  −  
 2 

3.
toplamının değeri kaçtır?
E)
2
2
C)
π
12

 3 
sin  ar c cos 

 2  




A)
C)
E)
2.
π
12
2
1


sin  arcsin  + cos  arc cos 
3
4




5.
E)
12
13

 4 
cot  arcsin  −  
 5 

7.
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
4
3
D) −
B)
3
4
3
4
E) −
C) −
3
5
4
3
8.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
sin(arccosx)
1 + x2 D)
B)
x
1− x
2
1 − x 2 E)
C)
1 − x2
x
x
1 + x2
10. SINIF MATEMATİK
431
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri - Bölüm 08
9.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
cos(arcsinx)
2
1+ x D)
B)
x
1− x
2
2
1 − x E)
13. 1 − x2
x
C)
x
arctan x = arcsin
denklemini sağlayan x kaçtır?
A)
2 5
5
1 + x2
2
3
5
3
B)
3 5
5
D)
E)
C)
5
5
C)
5
4
5
2
10. Tanımlı olduğu aralıkta
14.
tan(arcsinx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 + x2 D)
B)
x
1 − x2
1 − x 2 E)
1 − x2
x
C)
x
A)
1 + x2 D)
B)
x
1− x
2
denklemini sağlayan x kaçtır?
A)
1 − x 2 E)
C)
x
1 + x2
432
B) [–4, 4]
D) [–1, 4]
2.B
3.D
C) [–2, 4]
10. SINIF MATEMATİK
B) {–7, –2}
D) {–5, –2}
2
5
C) {–5, 2}
E) {–2, 7}
21
31  7π

⋅ arccos  x 2 − 10 x +  −
=0
8
2 4

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
A) {–9, –1}
E) [–1, 1]
4.E
E)
gisidir?
kilerden hangisidir?
1.B
5
3
D)
A) {–7, 2}
16. 5
gisidir?
1 − x2
x
 1− x 
f ( x ) = arc cos 

 3 
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıda-
A) [–4, 3]
1
B)
4
⋅ arctan( x 2 − 5 x − 15) − π = 0
3
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
12.
5
6
15. tan(arccosx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1 + x2
11. Tanımlı olduğu aralıkta
arccosx = arccot2
5.A
6.D
7.D
8.B
9.B
B) {–6, –4}
D) {2, 8}
10.D
11.C
12.C
C) {–8, –2}
E) {4, 6}
13.A
14.E
15.E
16.D
ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK
BAĞINITILAR
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR
Hazine 13
Hazine Avı
Kosinüs Teoremi:
Kenar uzunlukları a, b ve c
olan bir ABC üçgeninde

a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A

b2 = a2 + c2 – 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cosB

c2 = a2 + b2 – 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cosC
ABC üçgeninde [AH] ^ [BC] çizelim.
eşitlikleri vardır.
 = | AH | olduğundan |AH| = c ⋅ sinB
 dir.
sin B
c
=
cos B
| BH |
 dir.
olduğundan |BH| = c ⋅ cosB
c
 olur.
Buna göre |HC| = a – c ⋅ cosB
DNA 38
AHC dik üçgeninde Pisagor Teoremi’ni yazalım:
| AC |2 = | AH |2 + | HC |2
Şekildeki ABC üçgeninde
|AB| = 4 birim
 )2 + (a − c ⋅ cos B
 )2
b2 = (c ⋅ sin B
|AC| = 8 birim
 ) = 120°
m(BAC
 + c 2 ⋅ cos2 B

 + a2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
b2 = c 2 sin2 B
olduğuna göre, |BC| = x kaç birimdir?
2

 + c 2 ⋅ cos2 B

b2 = c2
sin2 B

 + a − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
c2 ortak
A) 2 14 parantezine alalım
2
2

b2 = c 2 (sin
B
+ cos
B) + a2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B




B) 3 7 D) 5 14 C) 4 7
E) 6 7
1

b2 = a2 + c 2 − 2a ⋅ c ⋅ cos B
bulunur.
Benzer işlemler A ve C açıları için de uygulanırsa
Çözüm

a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A

c2 = a2 + b2 – 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cosC
elde edilir.
O halde bir üçgende iki kenar ve bu iki kenar arasındaki
açı biliniyorsa üçüncü kenar kosinüs teoremi ile elde edilebilir.
ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi’ni yazalım:

|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 – 2 ⋅ |AB| ⋅ |AC| ⋅ cos A
x2 = 42 + 82 – 2 ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ cos120°
10. SINIF MATEMATİK
433
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
 1
x 2 = 16 + 64 − 64 ⋅  − 
 2
x 2 = 80 + 64 ⋅
Şekilde [BE] ∩ [AD] = {C}
1
2
|AC| = |CD| = 5 birim
2
x = 80 + 32
|ED| = 6 birim
x 2 = 112
|EC| = 4 birim
x = 4 7 birim
|BC| = 8 birim
olduğuna göre, |AB| = x kaç birimdir?
bulunur.
A)
69 B) 6 2 C)
77 D)
79 E) 9
ABCD eşkenar dörtgen
|AB| = 5 birim
|AE| = |CF| = 2 birim
 ) = 120°
m( ADC
olduğuna göre, |EF| uzunluğu kaç birimdir?
A) 2 7 B)
31 C) 4 2 D)
35 E) 6
ABC üçgeninde [BD] ^ AC olacak şekilde BD yi çizelim.
BDA
dik
üçgeni
30°-60°-90°
üçgeni
olacağından
|AD| = 2 birim ve | BD | = 2 3 birim olur. BDC dik üçgeninde Pisagor Teoremi’nden
|BC|2 = |BD|2 + |DC|2
x 2 = (2 3 )2 + 102
x 2 = 12 + 100
x 2 = 112
Kirişler dörtgeni karşılıklı
x = 4 7 birim
180° olan dörtgen olup, kö-
açılarının ölçüleri toplamı
şelerinden çember geçer.
bulunur.
Doğru Seçenek C
434
Hatırlatma
10. SINIF MATEMATİK
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
40 – 25 = 24 ⋅ cosq + 24 ⋅ cosq
DNA 39
15 = 48 ⋅ cosq
15
= cos θ
48
Şekildeki ABCD dörtgeninin köşeleri çemberin üzerindedir.
|AD| = 6 birim
5
= cos θ
16
|AB| = 2 birim
olur.
|BC| = 3 birim
Doğru Seçenek E
|DC| = 4 birim
 kaçtır?
Yukarıda verilenlere göre, cos(BAD)
A) −
5
16
D)
B) −
1
16
1
4
E)
1
6
C)
5
16
Şekildeki ABCD dörtgeninin
köşeleri çemberin üzerindedir.
Çözüm
|AB| = 5 birim
|BC| = 3 birim
) = θ
m(BAD
ABCD
|CD| = 2 birim
kirişler dörtgeni olduğundan
 ) = 180° − θ olur.
m(BCD
|AD| = 4 birim
BAD
olsun.
üçgeninde
Kosinüs
Teoremi’ni yazalım:
) = θ
m(DCB
Yukarıda verilenlere göre, cosq kaçtır?
A)
|BD|2 = 62 + 22 – 2 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ cosq
BCD üçgeninde Kosinüs Teoremi’ni yazalım:
7
11
B)
D) −
5
12
7
13
E) −
C)
7
13
5
12
|BD|2 = 32 + 42 – 2⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ cos(180° – q)
ve
cos(180° – q) = – cosq olduğundan
DBC bir üçgen
|BD|2 = 32 + 42 + 2⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ cosq
[AB] ^ [BC]
olur.
| BD | = 6 birim
|BD|2 için bulduğumuz iki eşitliği birbirine eşitleyelim.
| BC | = 15 birim
62 + 22 – 2 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ cosq = 32 + 42 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ cosq
36 + 4 – 24 ⋅ cosq = 9 + 16 + 24 ⋅ cosq
40 – 24 ⋅ cosq = 25 + 24 ⋅ cosq
|AB| = 1 birim
Yukarıda verilenlere göre, |AD| = x kaç birimdir?
A)
2
2
B)
3
2
C)
3
D) 2
10. SINIF MATEMATİK
E)
5
2
435
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
DNA 40
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b ve c dir.
Kenar uzunlukları arasında,
Kenar uzunlukları arasında,
b3 + c3 = a2 ⋅ b + a2 ⋅ c
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b ve c dir.
a−c b+c
=
b
a+c
bağıntısı vardır.
 kaç derecedir?
bağıntısı olduğuna göre, m(A)
 = θ olduğuna göre, tanq kaçtır?
m(A)
A) 30
A)
3
B)
3
2
2
2
C)
D)
3
2
E)
B) 60
C) 120
D) 135
E) 150
1
2
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b ve c dir. Ke açısı arasında
nar uzunlukları ve C
Çözüm
Verilen bağıntıyı biraz düzenleyelim. b3 + c3 toplamını
açalım.
b − bc + c = a
2
C) ABC üçgeni çeşitkenar üçgendir.
 ) = 60° dir.
D) m( A
olur.
ABC
sinlikle doğrudur?
B) ABC üçgeni ikizkenar üçgendir.
(b + c ) (b2 − bc + c 2 ) = a2 (b + c )
2
bağıntısı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ke-
A) ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
b3 + c 3 = a2 ⋅ b + a2 ⋅ c
2

a = 2 ⋅ b ⋅ cos C
üçgeninde
Kosinüs
 ) = 90° dir.
E) m(B
Teoremi’ni yazalım.
a2 = b2 + c2 –2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cosq olur.
a2 yerine b2 – bc + c2 yazalım.
b2 − bc + c 2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos θ
−bc = −2bc ⋅ cos θ
İkinci teoremimiz olan Sinüs Teoremi’ne geçmeden önce
çemberlerle ilgili önemli birkaç hatırlatma yapalım:
Hatırlatma
1
cos θ = olur.
2
Köşesi çember üzerinde olan
açıya çevre açı denir. Çevre
Buna göre q = 60° dir.
açının ölçüsü, gördüğü yayın
O halde,
ölçüsünün yarısına eşittir.
tan θ = tan 60° = 3
 ) = 2θ ise
m( AC
olur.
 ) = m( ADC
 ) = θ dır.
m( ABC
Doğru Seçenek A
O halde aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşitir.
436
10. SINIF MATEMATİK
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
ACD dik üçgeninde
Hatırlatma
[AB] çap olmak üzere
 ) = 180°
m( AEB
ğundan
oldu-
ACB ve ADB
çevre açılarının ölçüleri
180°
= 90° olur. O hal2
de çapı gören çevre açı
=
sin D
| AC |
| AD |
=
sin D
b
2R
olur.
 ) = m (D
 ) olduğundan,
m (B
=
sin B
b
90° dir.

sin B
b
2R
= 2R
bulunur.
Diğer eşitliklerde benzer yolla kanıtlanarak
c

sin C
Hatırlatma
ve
a
ABC üçgeninin köşelerin-

den geçen çembere ABC

sin A
bulunur.
= 2R
= 2R
nin çevrel çemberi denir.
Her üçgenin bir çevrel çemberi vardır.
Hazine 14
Sinüs Teoremi:
Kenar uzunlukları a, b, c ve
çevrel çemberinin yarıçapı
R olan bir ABC üçgeninde
a

sin A
=
b

sin B
=
c

sin C
= 2R
bağıntısı vardır.
Hazine Avı
DNA 41
ABC
üçgeninde
| AC | = 8 6
birim,


m(B) = 60° ve m(A) = 45° olduğuna göre |BC| kaç
Bir
AO doğrusu O merkezli çemberi D noktasında kessin. Aynı
 ) = m(D
 ) dir.
yayı gören çevre açılar eşit olacağından m(B
 ) = 90° dir.
Çapı göre çevre açı 90° olacağından m( ACD
birimdir?
A) 6 6 B) 8 3 D) 9 2 C) 16
E) 24
10. SINIF MATEMATİK
437
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Çözüm
ABC
üçgeninde
Sinüs
Teoremi’ni yazalım:
Bir ABC üçgeninde |AB| = 10 birim, |AC| = 8 birim,
 = 60° ve m(ABC)
 = θ olduğuna göre sinq
m(BAC)
kaçtır?
A)
| BC | | AC |
=
 sin B

sin A
a
8 6
=
sin 45° sin 60°
a
2
2
a
2
=
=
2
B)
2
3
C) 1
D)
2
5
E)
2
7
DNA 42
8 6
3
2
Bir ABC üçgeninde |AB| = 3 birim, |AC| = 5 birim,
|BC| = 7 birim olduğuna göre ABC üçgeninin çev-
8 6
rel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?
5
7
B) 2 3 A)
C)
3
3
8
D)
E) 3 3
3
3
a = 16 birim
bulunur.
Çözüm
[CD] ^ [AB] olacak biçimde
[CD] yi çizelim. ADC ikizke-
Çevrel çemberinin yarıçapını
nar dik üçgen olduğundan
bulabilmemiz için üçgene ait
| AD | = | DC | = 8 3 birim olur.
bir iç açının ölçüsünü bulma-
BDC üçgeni 30° - 60° - 90° üç-
mız gerekir.
geni olduğundan
Bu nedenle ABC üçgeninde
|BD| = 8 birim,
Kosinüs Teoremi’ni uygulaya-
|BC| = 16 birim olur.
lım.

72 = 32 + 52 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ cos A
Doğru Seçenek C

49 = 9 + 25 − 30 cos A

15 = −30 ⋅ cosA
olduğundan
 = 75° ve
Bir ABC üçgeninde | AB |= 6 birim, m(A)

m(B) = 45° olduğuna göre |AC| uzunluğu kaç birimdir?
A)
1
2
438
D)
B)
5 10. SINIF MATEMATİK
3 C) 2
E) 2 3
 =−
cos A
1
2
 =−
cos A
1
2
olur.
 ) = 120° dir.
olduğundan m( A
Şimdi Sinüs Teoremi’ni uygulayalım:
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
ÜÇGENSEL BÖLGElerde ALAN HESABI
| BC |
7
= 2R ise
= 2R

sin120°
sin A
7
3
2
Bir üçgenin alanı, üçgenin kenarlarından biri ile bu kenara
ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşitir.
= 2R
Buna göre şekildeki ABC üçge-
R=
ninin alanı

7
A( ABC) =
3
a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc
=
=
2
2
2
dir.
bulunur.
Doğru Seçenek C
Bu başlıkta yukarıda bahsettiğimiz alan bulma ifadesinin
dışında başka bağıntılardan bahsedeceğiz.
1. Üç kenarı bilinen üçgenin alanı (Heron
formülü):
ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c olmak üzere, üçgenin çevresine 2u diyelim.
2u = a + b + c ise u =
Bir ABC üçgeninde | AB | = 4 3 birim, |AC| = 6 birim
olur.
ve | BC | = 2 39 birim olduğuna göre, ABC üçgeninin
a+b+c
2
çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?
A) 4 3 B) 2 13 D) 2 39 C) 3 13
Üçgenin alanı,

A( ABC) = u ⋅ (u − a) ⋅ (u − b) ⋅ (u − c )
E) 4 13
ile bulunur.
DNA 43
Bir ABC üçgeninde |AB| = 6 birim, |AC| = 8 birim ve
| BC |= 2 13 birim olduğuna göre ABC üçgeninin çevrel çemberinin çapı kaç birimdir?
A)
2 13
3
B)
4 39
D)
3
2 39
3
C)
E) 4 13
4 13
3
Bir ABC üçgeninde |AB| = 13 birim, |BC| = 14 birim,
|AC| = 15 birimdir.
Üçgenin A köşesinden [BC] na çizilen dikme [BC]
nı D noktasında kestiğine göre, |AD| kaç birimdir?
A) 8
B) 8 2 D) 12 2 C) 12
E) 12 3
10. SINIF MATEMATİK
439
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Çözüm
İstenen, ABC üçgeninin
Bir ABC üçgeninde |AB| = 5 birim, |AC| = 6 birim,
yüksekliği olan |AD| dir.
|BC| = 7 birimdir.
Üçgenin alanını bulalım.
Üçgenin B köşesinden [AC] na çizilen dikme [AC] nı D
2u = 13 + 15 + 14
noktasında kestiğine göre, |AD| kaç birimdir?
A) 1
2u = 42
u = 21 olur.
B) 2 3 D) 2 6 C)
3 6
2
E) 3 3

A( ABC) = u ⋅ (u − a) ⋅ (u − b) ⋅ (u − c )
= 21⋅ (21 − 13) ⋅ (21 − 14) ⋅ (21 − 15)
BAC dik üçgeninde
= 21⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
[BA] ^ [AC]
= 3⋅7⋅8⋅7⋅6
|AD| = 9 birim
= 72 ⋅ 144
|DC| = 3 birim
= 7 ⋅ 12
|BD| = 13 birim
olduğuna göre, ADC üçgeninin alanı kaç birim kare-
= 84 birim kare olur.
dir?
Üçgenin alanı aynı zamanda,

A( ABC) =
| BC | ⋅ | AD |
2
olduğundan,

A( ABC) =
14 ⋅ | AD |
2
A) 9 11 D)
B) 6 11 14 11
5
E)
8 11
3
daki açının ölçüsü bilinen üçgenin alanı:
ABC üçgeninde a kenarına ait
| AD | = 12 birim
ha yüksekliğini çizelim. ABC
 ha olacasinB=
c
 dir.
ğından ha = c ⋅ sin B
olur.
üçgeninde
Doğru Seçenek C

A( ABC) =
idi.
10. SINIF MATEMATİK
18 11
5
2. İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasın-
14⋅ | AD |
84 =
2
440
C)
| BC | ⋅ | AH |
2
=
a ⋅ ha
2
=
1
⋅ a ⋅ ha
2
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Çözüm
 ifadesini alan formülünde yerine yazalım.
ha = c ⋅ sin B

1

A( ABC) = ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B
2
Çözüme başlamadan önce üçgende alanla ilgili küçük bir
bulunur.
hatırlatma yapalım.
Diğer ifadelerde benzer biçimde bulunabilir.

A( ABD)

=
| BD | ⋅ | AH |
2
| DC | ⋅ | AH |
2
=
| BD |
| DC |
A( ADC)
Hazine 15
Bir üçgende, iki kenarın
uzunluğu ve bu kenarlar
arasındaki açının ölçüsü
dir.
bilinen üçgenin alanı,

A( ABC) =

A( ABC) =

A( ABC) =
1

⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
1

⋅ a ⋅ c ⋅ sin B
2

| BD |
A( ABD)
oranının
 oranına eşit olduğunu gördük.
| DC |
A( ADC)
1

⋅ a ⋅ b ⋅ sin C
2
O halde alanları yazalım.
ifadelerinden biri ile bulunur.

| BD | A( ABD)
=

| DC |
A( ADC)
1
⋅ | AB | ⋅ | AD | ⋅ sin 45°
2
=
1
⋅ | AC | ⋅ | AD | ⋅ sin 30°
2
DNA 44
ABC bir üçgen
=
 ) = 45°
m(BAD
 ) = 30°
m(DAC
=
|AB| = 4 birim
|AC| = 6 birim
| BD |
olduğuna göre
oranı kaçtır?
| DC |
A) 2 2 D)
B)
2 3
3
3 3
2
E)
C)
4 ⋅ sin 45°
6 ⋅ sin 30°
2
2 =2 2
1
3
6⋅
2
4⋅
olur.
3 2
2
Doğru Seçenek E
2 2
3
10. SINIF MATEMATİK
441
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Işık 11
ABC bir üçgen
ABC üçgen ve A, E, D
|AB| = 6 birim
noktaları doğrusaldır.
|AC| = 4 birim
|AE| ve |BC| ile
 ) = α biliniyorsa
m( ADC
|BC| = 3 ⋅ |DC|
taralı konkav (iç bükey)
 ) = 30°
m(DAC
dörtgenin alanı
) = θ
m(BAD
A( ABEC) =
olduğuna göre sinθ kaçtır?
A)
2
3
B)
1
2
C)
2
5
D)
1
3
E)
1
4
1
⋅ | AE | ⋅ | BC | ⋅ sin α
2
dır.
DNA 45
ABCD konveks dörtgen
ABC bir üçgen
| AC | = 16 2 birim
 ) = 45°
m(BAD
| BD | = 8 3 birim
) = θ
m(DAC
 ) = 45°
m(BEC
|AB| = 4 birim
| AC | = 3 2 birim
olduğuna göre, ABCD dörtgeninin alanı kaç birim
|BD| = |DC|
karedir?
olduğuna göre cosq kaçtır?
2
A)
3
3
B)
3
2
C) 3
5
D)
3
3
E)
2
A) 128 3 A( ABCD) =
sina = sin(180° – a) idi.
ABCD konveks dörtgeninde
=
[AC] ve [BD] köşegenlerinin
uzunlukları
ve
köşegenler
E) 32 3
niyorsa dörtgenin alanı,
1
⋅ | AC | ⋅ | BD | ⋅ sin α
2
dır.
10. SINIF MATEMATİK
1
⋅ | AC | ⋅ | BD | ⋅ sin α
2
1
⋅ 16 2 ⋅ 8 3 ⋅ sin 45°
2
= 8 2 ⋅8 3 ⋅
arasındaki açının ölçüsü bili-
442
D) 64 2 C) 64 3
Çözüm
Işık 10
A( ABCD) =
B) 128 2 2
2
= 64 3 biriim kare
olur.
Doğru Seçenek C
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Çözüm
ABC bir üçgen

A( AFE) = A(ECD) = S diyelim.
|AD| = 8 birim
Ortadaki dörtgenin de alanı A
olsun.
|BC| = 12 birim
olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 32
Şekilden de göreceğiniz gibi,


A( ABC) = A(FBD) = S + A oldu.
E) 48

A( ABC) =
=
ABCD konveks bir dörtgen,
1

⋅ | AB | ⋅ | BC | ⋅ sin B
2
1

⋅ 20 ⋅ 6 ⋅ sinB
2
olur.
E, F ve K noktaları üzerinde

A(FBD) =
bulundukları kenarların orta
noktalarıdır.
=
| FK |= 6 3 birim
| EK | = 8 birim
1
 = 1 ⋅ 20 ⋅ 6 ⋅ sin B

⋅ 12 ⋅ ( x + 6) ⋅ sin B
2
2
redir?
C) 132
1

⋅ 12 ⋅ ( x + 6) ⋅ sin B
2
Bulduğumuz alanları birbirine eşitleyelim:
olduğuna göre, ABCD dörtgenin alanı kaç birim ka-
B) 128
1

⋅ | BF | ⋅ | BD | ⋅ sin B
2
olur.
 ) = 60°
m(FKE
A) 96

 ) = 150°
m( AEB
D) 144
E) 196
12( x + 6) = 20 ⋅ 6
x + 6 = 10
DNA 46
x = 4 birim
olur.
Şekilde
[AC] ∩ [FD] = {E}

Doğru Seçenek B

A( AFE) = A(ECD)
|AF| = 8 birim
|BF| = 12 birim
|BC| = 6 birim
Yukarıda verilenlere göre, |CD| = x kaç birimdir?
A) 2
B) 4
C) 5 D) 6
E) 8
10. SINIF MATEMATİK
443
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Hazine 16
Şekilde
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ve çevrel
çemberinin yarıçapı R olmak üzere, ABC üçgeninin
alanı

a ⋅b ⋅c
A( ABC) =
4R
ile bulunur.
[AB] ∩ [FD] = {E}


A( AED) = A(EFB)
|AD| = 4 birim
|DC| = 8 birim
|BC| = 6 birim
DNA 47
olduğuna göre |BF| kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Şekildeki ABC üçgeninin çevrel çemberinin
yarıçapının
Şekilde
[BC] ∩ [DF] = {E}
|AB| = 12 birim
|AD| = 2 birim
|AH| = 5 birim
|BD| = 4 birim
|FC| = 8 birim

Yukarıda verilenlere göre, |AC| kaç birimdir?

olduğuna göre |AC| kaç birimdir?
C) 4
B) 3
D) 5
nın uzunluğu bilinen üçgenin alanı:

Bir ABC üçgeninde

sin A
⇒
= 2R ve

A( ABC) =
1

⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
20
3
C) 7
D)
bulunur.
A( ABC) =
a
=
= 2R ise sin A
E)
25
3

A( ABC) =
a ⋅ b ⋅ c | BC | ⋅ | AC | ⋅12
=
4R
4⋅8
| BC | ⋅ | AC | | BC | ⋅5
=
2
2
| BC | ⋅ | AC | ⋅12
=
4⋅8
12⋅ | AC | 5
=
4⋅8
2
20
| AC | =
birim
3
| BC | ⋅ 5
2
Doğru Seçenek B
olduğunu biliyoruz.

sin A
22
3
Çözüm
E) 6
3. Üç kenarının ve çevrel çemberinin yarıçapı-
a
B)
A) 6
A(DEB) = A(CEF)
A) 2
uzunluğu
8 birimdir.
a
dir.
2R
Bu ifadeyi alan formülünde yerine yazalım.

A( ABC) =
=
1

⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
a
1
⋅b ⋅c ⋅
2
2R
a ⋅b ⋅c
=
4R
A)
9 3
4
bulunur.
444
Bir ABC üçgeninde |AB| = 5 birim, |AC| = 6 birim ve
|BC| = 7 birim olduğuna göre ABC üçgeninin çevrel
çemberinin yarıçapı kaç birimdir?
10. SINIF MATEMATİK
D)
B)
28 3
25
35 6
24
E)
C)
25 3
24
32 6
25
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
5.
TEST - 9
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları 3 birim, 5 birim
ve 7 birimdir.
Buna göre, bu üçgenin en küçük dış açısının ölçüsü kaç derecedir?
1.
Bir
ABC
üçgeninde
| AB | = 3 2
birim,
 = 45° olduğuna göre,
|BC| = 12 birim ve m(ABC)
A) 30
B) 60
C) 45
D) 120
E) 150
|AC| kaç birimdir?
A) 4 13 B) 5 5 D) 2 19 C) 3 10
6.
E) 2 15
İkizkenar bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b
ve c dir.
|AB| = |AC| ve kenar uzunlukları arasında,
 aşağıdakilerden
bağıntısı olduğuna göre, cosA
(2a + b – c)(2a + b – 2c) = a ⋅ b
hangisidir?
2.
A)
Bir ABC üçgeninde, |AB| = 4 birim, |BC| = 4 3 birim
 = 150° olduğuna göre |AC| kaç birimve m(ABC)
17
21
B)
23
32
C)
11
19
D)
13
25
E)
19
41
dir?
A) 4 7 B) 10
D) 3 5 7.
C) 5 2
[AD] ∩ [BC] = {E}
|ED| = |DC| = 8 birim
E) 3 3
|EC| = 6 birim
|EB| = 5 birim
|AE| = 4 birim
3.
Yukarıda verilenlere göre, |AB| = x kaç birimdir?
Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 birim, |AC| = 3 birim
 kaç deve |BC| = 7 birim olduğuna göre, m(BAC)
A)
recedir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 90
19 B)
23 26 D)
C) 5
E) 2 7
E) 120
8.
ABCD kirişler dörtgeni
|AB| = 2 birim
|BC| = 3 birim
4.
|AD| = 4 birim
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları mümkün olan
|DC| = 5 birim
en küçük ardışık tam sayılardır.
Buna göre, bu üçgenin ölçüsü en büyük açısının
kosinüsü kaçtır?
A) −
1
2
B) −
1
3
C) −
1
4
D)
1
3
E)
1
2
) = θ
m( ADC
Yukarıda verilenlere göre, cosq kaçtır?
A)
11
40
B)
4
13
C)
13
40
D)
7
13
10. SINIF MATEMATİK
E)
11
13
445
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
9.
ABC bir üçgen
 = 60° ve |BC| = 12 birim
12. Bir ABC üçgeninde m(BAC)
olduğuna göre, ABC üçgeninin çevrel çemberi-
[DB] ^ [BC]
nin yarıçapı kaç birimdir?
| AD | = 2 3 birim
| BC | = 3 2 birim
Yukarıda verilenlere göre, |AB| = x kaç birimdir?
A)
35 D)
B)
33 23 E)
10.
A) 3 3 | BD | = 3 birim
B) 4 3 D) 8 3 C) 6 3
E) 12 3
C) 3 3
19
ABC bir üçgen
|AD| = 4 birim
 = x, m(BAC)
 = 90° + x
13. Bir ABC üçgeninde m(ABC)
|BD| = 5 birim
|BC| = 6 birim ve |AC| = 4 birim olduğuna göre,
|AE| = 3 birim
tanx kaçtır?
|EC| = 2 birim
A)
|BC| = 11 birim
Yukarıda verilenlere göre, |DE| = x kaç birimdir?
A)
41 D)
B)
39 31 E)
C)
2
3
B)
4
5
C)
5
6
D)
6
5
E)
3
2
35
29
14.
ABC bir üçgen
|AB| = 6 birim
 + sin B
 = 3 ⋅ sin C

sin A
11. Bir
 = 135°, m(B)
 = 30°
ABC üçgeninde m(BAC)
ve |AC| = 8 birim olduğuna göre |BC| kaç birimdir?
A) 6 2 1.C
446
B) 5 3 D) 8 3 2.A
3.C
10. SINIF MATEMATİK
C) 8 2
si kaç birimdir?
E) 16 2
4.C
5.B
6.B
Yukarıda verilenlere göre, ABC üçgeninin çevre-
A) 18
7.D
8.D
9.B
B) 20
10.E
C) 22
11.C
D) 24
12.B
13.A
E) 28
14.D
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
4.
TEST - 10
Bir ABC üçgeninde |AB| = 4 birim, |AC| = 6 birim ve
|BC| = 8 birimdir.
B köşesinden [AC] kenarına çizilen dikme [AC] yi
D noktasında kestiğine göre, |BD| kaç birimdir?
1.
Bir ABC üçgeninde |AB| = 4 birim, |BC| = 6 birim,
 = 150° ve m(ACB)
 = x olduğuna göre,
m(BAC)
A) 3
B)
13 C) 15 D) 2 13 E) 2 15
cotx kaçtır?
A)
10 D)
B) 3
10
2
C) 2 2
E)
2 2
3
5.
ABC dik üçgen
[AB] ^ [BC]
2.
Şekilde
|AD| = 8 birim
[AD] ∩ [BC] = {E}
|DC| = 2 birim
 ) = 60°
m(BAD
|BD| = 6 birim
 ) = 45°
m( ADC
kaç birim karedir?
| EC | = 3 2 birim
olup ABE ve ECD üçgenlerinin çevrel çemberlerinin
yarıçapları eşittir.
Yukarıda verilenlere göre, BDC üçgeninin alanı
A)
Buna göre, |EB| kaç birimdir?
A) 2 3 B) 3 2 C) 2 5 3 13
4
D)
B)
2 17
3
4 14
3
E)
 ) = 60°
m(BAD
ABC bir üçgen
[DE] ^ [BC]
 ) = 30°
m(DAC
|ED| = 2 birim
|AB| = 6 birim
|EB| = 4 birim
|AC| = 12 birim
|AC| = 6 5 birim
Yukarıda verilenlere göre, |EC| kaç birimdir?
A) 11
B) 12
C) 13
5 13
3
ABC bir üçgen
 ) = 150°
m(BAC
6 14
5
D) 3 3 E) 3 5
6.
3.
C)
D) 14
E) 15
Yukarıda verilenlere göre,
A)
2 6
6
B)
3
2
C)
| BD |
oranı kaçtır?
| DC |
3
2
D)
6
3
10. SINIF MATEMATİK
E)
2
2
447
Trigonometri - Bölüm 08
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
7.
10.
ABC bir üçgen
 ) = 30°
m(BAD
[BD] ∩ [EC] = {F}
|AE| = 6 birim
|AB| = 4 birim
|AD| = 8 birim
|AC| = 8 birim
|CD| = 4 birim
|BD| = |DC|

A)
8.
Yukarıda verilenlere göre, sinq kaçtır?
1
5
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2

A(BEF) = A(FDC)
) = θ
m(DAC
E)
2
3
Yukarıda verilenlere göre, |BE| kaç birimdir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
11.
E) 2
ABC üçgeninin çevrel
Bir ABCD konveks dörtgeninde | AC | = 4 2 birim,
çemberinin
| BD | = 6 3 birimdir.
6 birimdir.
Köşegenler arasındaki geniş açının ölçüsü 120°
[AD] ^ [BC]
olduğuna göre ABCD dörtgeninin alanı kaç birim
|AD| = 6 birim
karedir?
|AC| = 8 birim
A) 12 3 B) 18 2 D) 18 3 9.
C) 12 6
Yukarıda verilenlere göre, |AB| kaç birimdir?
A) 14
E) 24 6
yarıçapı
B) 13
C) 12
D) 10
E) 9
ABCD konveks dörtgen
E, F, K noktaları üzerinde bulundukları kenarların orta noktaları
12.
Şekildeki 6 birim yarıçaplı O merkezli çem-
| FK | = 4 3 birim
ber,
ABC
üçgeninin
çevrel çemberidir.
| EF | = 6 birim
|AB| = 5 birim
 ) = 120°
m(EFK
|AC| = 3 birim
Yukarıda verilenlere göre, ABCD dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 36 2 1.C
448
2.D
B) 72
3.A
10. SINIF MATEMATİK
A)
C) 48 3 D) 72 3 E) 144
4.C
5.D
6.C
Yukarıda verilenlere göre, |AD| kaç birimdir?
7.B
6
5
8.B
B)
5
4
9.B
C)
7
4
10.D
D)
8
3
11.E
E)
11
3
12.B
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
TOPLAM – FARK FORMÜLLERİ
sin(x – y) = sin(x + (–y)) yazabileceğimiz için sin (x + y)
Hazine Avı
açılımını kullanarak sin (x – y) açılımını elde edelim:
sin(x – y) = sin (x + (–y)) = sinx ⋅ cos(–y) + cosx ⋅ sin(–y)
sin( x ± y) nin açılımı:
cos(–y) = cosy ve sin(–y) = –siny idi.
ABC üçgeninde
sin(x – y) = sinx ⋅ cosy + cosx ⋅ (–siny)
[AH] ^ [BC] çizelim.
|AH| = h
) = x
m(BAH
sin(x – y) = sinx ⋅ cosy – cosx ⋅ siny
bulunur.
Hazine 17
) = y
m(HAC
olsun.
sin (x + y) = sinx ⋅ cosy + cosx ⋅ siny
AHB üçgeninde cos x =
h
ve
c
AHC üçgeninde cos y =
h
olur.
b

A( ABC) =

A( AHB) =

A( AHC) =

sin(x – y) = sinx ⋅ cosy – cosx ⋅ siny
dir.
1
⋅ b ⋅ c ⋅ sin( x + y )
2
Toplam formülünün akılda kalıcılığını sağlamak için
1
⋅ c ⋅ h ⋅ sin x
2
toplamda da farkta da sıra,
1
⋅ b ⋅ h ⋅ sin y dir.
2
biçiminde gidiyor. İşarette ise bir değişiklik yok.

sıralamaya dikkat etmeniz yeterli olur. Görüldüğü gibi

sin cos
cos
sin
(x + y) de +, (x – y) de –
A( ABC) = A( AHB) + A( AHC)
1
1
1
⋅ b ⋅ c ⋅ sin( x + y ) = ⋅ c ⋅ h ⋅ sin x + ⋅ b ⋅ h ⋅ sin y
2
2
2
b ⋅ c ⋅ sin( x + y ) = c ⋅ h ⋅ sin x + b ⋅ h ⋅ sin y
sin(x + y) ifadesini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını b ⋅ c çarpımına bölelim.
c ⋅ h ⋅ sin x b ⋅ h ⋅ sin y
sin( x + y ) =
+
b⋅c
b⋅c
sin( x + y ) =
maya çalışınız.
sin23°⋅cos37° + cos23°⋅sin37°
sin(23°+37°)
sin54°⋅cos23° + cos54°⋅sin23°
sin65°⋅cos31° – cos65°⋅sin31°
DNA 48
sin165°
sin(x + y) = cosy ⋅ sinx + cosx ⋅ siny
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
sin (x + y) = sinx ⋅ cosy + cosx ⋅ siny
A)
bulunur.
sin(x + y) açılımını bildiğimize göre sin(x – y) açılımını da
sin60°
sin47°⋅cos33° – cos47°⋅sin33°
h
h
⋅ sin x + ⋅ sin y
b
c
h
h
= cos y ve = cos x idi.
c
b
bulabiliriz.
Aşağıdaki tabloyu ilk örneğe göre uygun biçimde doldur-
6+ 2
4
D)
B)
6− 2
4
3− 2
4
C)
E)
3+ 2
4
3 −1
4
10. SINIF MATEMATİK
449
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
Çözüm
DNA 49
165° = 120° + 45° olarak yazılabilir.
5a + 3b = p olmak üzere
sin(165°) = sin(120° + 45°)
= sin120° ⋅ cos 45° + cos120° ⋅ sin 45°
6
2
−
4
4
=
6− 2
4
sin 3a ⋅ cos 2b + cos 3a ⋅ sin 2b
sin 2a ⋅ cos b + cos 2a ⋅ sin b
ifadesinin değeri kaçtır?
3 2  1 2
=
⋅
+ − ⋅
2 2  2  2
=
B) −
A) –1
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
Çözüm
bulunur.
sin3a ⋅ cos2b + cos3a ⋅ sin2b = sin(3a + 2b)
Doğru Seçenek D
ve
sin2a ⋅ cosb + cos2a ⋅ sinb = sin(2a + b)
dir.
3a + 2b + 2a + b = 5a + 3b = p
olduğundan
sin(3a + 2b) = sin(2a + b)
sin105°
dir.
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
6+ 2
4
D)
B)
3− 2
4
6− 2
4
E)
C)
3+ 2
4
3 −1
4
O halde
sin 3a ⋅ cos 2b + cos 3a ⋅ sin 2b sin(3a + 2b)
=
=1
sin 2a ⋅ cos b + cos 2a ⋅ sin b
sin(2a + b)
olur.
Doğru Seçenek E
3x + 7y = p olmak üzere
sin 2x ⋅ cos 3 y + cos 2x ⋅ sin 3 y
sin x ⋅ cos 4 y + cos x ⋅ sin 4 y
sin195°
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
6− 2
4
450
D)
2− 6
B)
4
1− 3
4
10. SINIF MATEMATİK
E)
C)
2− 6
4
2− 3
4
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B)
1
2
C) 0
D) −
1
2
E) –1
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
Bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
2
sin137° ⋅ cos 88° + cos137° ⋅ sin 88°
sin117° ⋅ cos 27° − cos117° ⋅ sin 27°
2
B) −
2
1
D) 2
1
C) − 2
2
2
2
E)
2
2 − 2 sin x cos y + 2 sin y cos x =
−2 sin x cos y + 2 sin y cos x =
2
2
5
−2
6
8
9
B)
5
6
7
12
sin( x − y ) =
7
12
3
3
C)
7
12
D)
5
13
E)
4
15
7
6
sin x cos y − cos x sin y =
olduğuna göre, sin(x – y) kaçtır?
A)
olur.
Doğru Seçenek C
Çözüm
sin x − cos y =
2
2
Eşitliğin iki yanının karesini alalım:
 2
(sin x − cos y )2 = 
 2 


sin a − cos b =
1
2
sin b + cos a =
1
3
2
2
sin2 x − 2 sin x ⋅ cos y + cos2 y =
4
1
sin x − 2 sin x cos y + cos y =
2
2
2
olduğuna göre, sin(a – b) kaçtır?
A)
45
48
B)
31
36
C)
53
64
D)
59
72
E)
25
36
D)
1
2
E) 1
olur.
sin y + cos x =
3
3
Eşitliğin iki yanının karesini alalım:
sin2 y + 2 sin y cos x + cos2 x =
sin2 y + 2 sin y cos x + cos2 x =
olur.
1
2
5
6
−2(sin x cos y − cos x sin y ) = −
sin y + cos x =
+
olduğundan
DNA 50
sin x − cos y =
1
3
sin2 x + cos2 x = 1 ve sin2 y + cos2 y = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
3
A) −
2
2
sin x − 2 sin x cos y + cos y + sin y + 2 sin y cos x + cos x =
3
9
1
3
a−b =
5p
olmak üzere
6
(sina – cosb)2 + (cosa + sinb)2
toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
10. SINIF MATEMATİK
451
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
DNA 51
AGE üçgeninde Sinüs Teoremi uygulayarak da sonuca
Yandaki şekilde ABCD
ulaşabiliriz.
ve BEFG birer karedir.
| AE |
|AB| = 3|BE|

sin AGE
) = θ
m( AGE
⇒
Yukarıda verilenlere göre, sinq kaçtır?
2 5
A)
5
3 2
B)
5
D)
5
5
| AG |

sin AEG
⇒
4k
k 10
=
sin( x + 45°) sin 45°
10
4
2 10
4
=
⇒
=
sin θ
sin( x + 45°)
2
2
2
⇒ si nθ =
2 2
C)
5
E)
=
4 2
⇒ sin θ =
2 10
2
5
=
2 5
5
Doğru Seçenek A
2
5
ABC bir dik üçgen
[AB] ^ [BC]
Çözüm
|AB| = 4 birim
|DC| = 1 birim
|BE| = k dersek
|BD| = 2 birim
|AB| = 3k olur.
) = x
m(DAC
ABG dik üçgeninde Pisagor
Teoremi’nden | AG |= k 10
Yukarıda verilenlere göre, sinx kaçtır?
bulunur. BEFG karesinde
A)
[GE] köşegen olduğundan
 ) = 45° dir.
m(BEG
11 5
25
D)
 ) = x dersek aradığımız sinq değeri, q = 45° + x
m( AGB
B)
7 5
25
3 5
25
E)
C)
5
5
2 5
25
olduğundan sin(x + 45°) e dönüşür.
sin θ = sin( x + 45°)
= sin x ⋅ cos 45° + cos x ⋅ sin 45°
=
=
3k
k 10
3 2
2 10
⋅
+
2
2 10
=
) = x
m(CAE
2 10
5
=
olduğuna göre, sinx kaçtır?
2 5
5
A)
2 5
5
olur.
10. SINIF MATEMATİK
dikdörtgeni
lerine ayrılmıştır.
4 2
2
ABCD
[EF] ile AFED ve FBCE kare-
2
k
2
+
⋅
2 k 10 2
=
452
Şekilde
D)
B)
10
10
3 5
10
E)
C)
5
10
10
5
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
Aşağıdaki tabloyu ilk örneğe uygun biçimde doldurmaya
Hazine Avı
çalışınız.
cos( x ± y) nin açılımı:
Sinüs açılımlarından yararlanarak bu açılımları gösterebiliriz:
cos(x + y) = sin(90° – (x + y))
cos23°⋅cos37°–sin23°⋅sin37° cos(23°+37°)
cos60°
cos44°⋅cos36°+sin44°⋅sin36°
cos83°⋅cos27°–sin83°⋅sin27°
cos74°⋅cos36°+sin74°⋅sin36°
cos(x + y) = sin(90°–x –y)
cos(x + y) = sin((90° – x) –y)
cos( x + y ) = sin(
90
−
x ) ⋅ cos y − cos(
−
x ) ⋅ sin y


°

90
°
cos x
sin x
cos(x + y) = cosx ⋅ cosy – sinx ⋅ siny
bulunur.
cos(x – y) = cos (x + (–y))
= cosx ⋅ cos (–y) – sinx ⋅ sin(–y)
= cosx ⋅ cosy + sinx ⋅ siny
DNA 52
cos10° ⋅ cos70° + cos80° ⋅ cos20°
işleminin sonucu kaçtır?
A) −
1
2
B)
1
2
D) sin10°
C) 1
E) 2⋅cos10°
Çözüm
cos80° = sin10° ve cos20° = sin70°
olduğundan
Hazine 18
cos10°⋅cos70°+cos80°⋅cos20°=cos10°⋅cos70°+sin10°⋅sin70°
cos(x + y) = cosx ⋅ cosy – sinx ⋅ siny
cos(x – y) = cosx ⋅ cosy + sinx ⋅ siny
Yine sıralamaya dikkat edelim. Toplamda da farkta da
sıra,
coscos
sin
sin
biçiminde gidiyor. İşaretler ise değişiklik gösteriyor.
= cos(70° – 10°)
= cos60°
=
1
2
Doğru Seçenek B
(x + y) de –, (x – y) de +
10. SINIF MATEMATİK
453
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
Çözüm
cos 2x − sin 2x ⋅ tan 5 y = tan 5 y
cos36° ⋅ cos34° – sin36° ⋅ sin34° + cos110°
cos 2x
sin 5 y
sin 5 y
− sin 2x ⋅
=
1
cos 5 y cos 5 y
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
C) 0
B) –1
D) 1
E) 2
(cos 5 y )
cos 2x ⋅ cos 5 y − sin 2x ⋅ sin 5 y
sin 5 y
=
cos 5 y
cos 5 y
cos( 2x + 5 y ) = sin5y
olur.
π
ise sin α = cos θ
2
α+θ=
olduğundan
2x + 5 y + 5 y =
π
2
2x + 10 y =
π
2
x + 5y =
π
4
sin( x + 45°)
cos( x − 45°)
olur.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) tanx
B) cotx
C) secx
D) –1
E) 1
Doğru Seçenek D
DNA 53
x−y=
2x + 5y ile 5y birer dar açıdır.
cos2x – sin2x ⋅ tan5y = tan5y
olduğuna göre, x + 5y toplamı aşağıdakilerden
2π
3
454
B)
(cosx + cosy)2 + (sinx +siny)2
toplamının sonucu kaçtır?
A) 2 + 2 hangisidir?
A)
p
olmak üzere
3
π
2
C)
10. SINIF MATEMATİK
π
3
D)
π
4
E)
π
6
D)
B) 3
3
2
E) 1
C)
3
+2
2
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
3 ⋅ sin10° − cos10° tan 60° ⋅ sin10° − cos10°
=
sin 20°
sin 20°
sin 60°
⋅ sin10° − cos10°
60°
= cos6
sin 20°
5p
olmak üzere
6
x−y=
sin y ⋅ cos x − cos y ⋅ sin x
cos y ⋅ cos x + sin y ⋅ sin x
sin 60° ⋅ sin10° − cos10° ⋅ cos 60°
cos 60°
=
sin 20°
ifadesinin değeri kaçtır?
A) − 3 B) −
1
3
C) 1
D)
1
3
E)
−(cos10° ⋅ cos 60° − sin10° ⋅ sin 60°)
cos 60°
=
sin 20°
3
− cos( 60° + 10°)
cos 60°
=
sin 20°
DNA 54
=−
sin20° = cos70° olduğundan
3 ⋅ sin10° − cos10°
sin 20°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
B) − 3 C) −
cos 70°
1
⋅
cos 60° sin 20°
−
3
2
D)
3
cos 70°
cos 70°
1
1
⋅
=−
⋅
cos 60° sin 20°
cos 60° cos 70°
E) 2
=−
1
= −2
1
2
olur.
Doğru Seçenek A
Çözüm
Bu sorunun çözümü için ilerleyen konularda yeniden göreceğimiz küçük bir dönüşüm yapacağız.
sin10° nin katsayısı olan
için tan60° yazacağız.
3 yerine tan60° = 3 olduğu
3 ⋅ sin 40° − cos 40°
cos 80°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
B) − 3 C) −
3
D)
2
3
10. SINIF MATEMATİK
E) 2
455
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
Pisagor Teoremi’nden
| AC |= a2 + b2
AB ^ BC
|AB| = |BD| = |DC| = 1
cos θ =
) = x
m(DAC
a
2
a + b2
olur.
Bu ifadeyi yerine yazalım:
T sin( x + θ)
=
a
cos θ
Yukarıda verilenlere göre, cosx kaçtır?
A)
10
10
B)
10
5
C)
3 10
2 10
D)
E)
10
5
10
2
T sin( x + θ)
=
a
a
a2 + b2
T
a2 + b2 ⋅ sin( x + θ)
=
a
a
T = a2 + b2 ⋅ sin( x + θ)
olur.
Hazine Avı
a ve b sabit olduğundan
a2 + b2
değeri sabittir.
O halde T nin en büyük ya da en küçük olmasını sağlayan
a ⋅ sinx + b ⋅ cosx
sin(x + q) çarpanıdır. sin(x + q) değeri ne kadar büyükse T
ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bul-
o kadar büyük, ne kadar küçükse T o kadar küçüktür.
maya çalışalım.
sin(x + q), [–1, 1] aralığında değerler alacağından,
a ⋅ sinx + b ⋅ cosx = T
olsun.
Eşitliğin her iki tarafını a ya bölelim.
sin x +
b
T
olur.
⋅ cos x =
a
a
T nin en büyük değeri sin(x + q) = 1 için,
a2 + b2 , T nin
en küçük değeri sin(x + q) = –1 için − a2 + b2 dir.
Tam olarak bir hazine olmasa da bir IŞIK elde ettik.
Burada da DNA 55’te yaptığımız gibi bir dönüşüm yapacağız.
tanθ =
b
diyelim.
a
T
= sin x + tan θ ⋅ cos x
a
T
sin θ
= sin x +
⋅ cos x
a
cos θ
T sin x ⋅ cos θ + cos x ⋅ sin θ
=
a
cos θ
T sin( x + θ)
=
a
cos θ
a ⋅ sinx + b ⋅ cosx ifadesinin alabileceği en küçük de-
olur.
tanθ =
456
Işık 12
b
değerine uygun bir dik üçgen çizelim.
a
10. SINIF MATEMATİK
ğer − a2 + b2 , en büyük değer
a2 + b2 dir.
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
DNA 55
3 ⋅ sinx + cosx
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)
2 D)
B)
3
7 C)
E)
3 ⋅ sinx + 4 ⋅ cosx
A) –5
5
B) –4
C) –3
D) 4
E) 5
10
Çözüm
Hazine Avı
sinx in katsayısı 3, cosx in katsayısı 1 olduğundan toplamın alabileceği en büyük değer,
32 + 12 = 9 + 1 = 10
tan( x ± y) nin açılımı:
dur.
tan(x ± y) nin açılımını bulmak için
Doğru Seçenek E
Uyarı
tan θ =
sin θ
ifadesini kullanacağız.
cos θ
tan( x + y ) =
sin( x + y )
cos( x + y )
tan( x + y ) =
sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y
cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y
Pay ve paydayı cosx ⋅ cosy ile bölelim.
sin x ⋅ cos y
“3 ⋅ sinx + cosx toplamının en büyük değeri kaçtır?”
tan( x + y ) =
sorusu ile
“3 ⋅ sinx + cosy toplamının en büyük değeri kaçtır?”
cos x ⋅ cos y
+
cos x ⋅ cos y
cos x ⋅ cos y
soruları birbirinden tamamen farklıdır.
−
cos x ⋅ sin y
cos x ⋅ cos y
sin x ⋅ sin y
cos x ⋅ cos y
sin x sin y
+
cos x cos y
tan( x + y ) =
sin x sin y
1−
⋅
cos x cos y
3 ⋅ sinx + cosx ifadesinde sinüs ve kosinüsü alınan
açılar aynı açılar, 3 ⋅ sinx + cosy ifadesinde ise sinüs
ve kosinüsü alınan açılar x ve y olup farklı açılardır.
tan( x + y ) =
tan x + tan y
1 − tan x ⋅ tan y
buluruz.
− tan y




tan x + tan( − y )
tan( x − y ) = tan( x + ( − y )) =
1 − tan x ⋅ tan( − y )

 

− tan y
2 ⋅ sinx + 3 ⋅ cosx
tan( x − y ) =
ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
A)
7
B) 3
C)
11 D)
13 E)
15
tan x − tan y
1 + tan x ⋅ tan y
olur.
10. SINIF MATEMATİK
457
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
Hazine 19
Bir 30°-60°-90° üçgeni çizelim.
tan x + tan y
tan( x + y ) =
1 − tan x ⋅ tan y
tan( x − y ) =
tan x − tan y
1 + tan x ⋅ tan y
dir.
[BC] nı C noktasından itibaren |AC| kadar uzatıp A noktasını bu nokta ile birleştirelim. Oluşan ACD üçgeni ikizke ) = m(CDA
 ) = 15° olur.
nar üçgen olup m(CAD
ABD dik üçgeninden,
DNA 56
tan15° =
| AB |
1
2− 3
=
=
=2− 3
| BD | 2 + 3
4−3
(2− 3 )
tan15°
bulunur.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2 + 3 B)
D)
1+ 3
2
3 −1
2
C)
2+ 2
2
Doğru Seçenek E
E) 2 − 3
Çözüm
tan 32° + tan 28°
1 − tan 32° ⋅ tan 28°
ifadesinin değeri kaçtır?
15° = 45° – 30° olduğundan,
tan15° = tan( 45° − 30°)
=
B) 1
C)
3
D) 2
E) 3
3 −1
3 = 3 −1
3 +1
3 +1
( 3 −1)
3
1
3 =
=
1
1 + 1⋅
3
( 3 − 1)2
( 3 )2 − 12
=2− 3
olur.
458
3
3
tan 45° − tan 30°
1 + tan 45° ⋅ tan 30°
1−
=
A)
10. SINIF MATEMATİK
=
3 − 2 3 +1 4 − 2 3
=
3 −1
2
tan x =
1
3
ve tan y =
3
4
olduğuna göre tan(x + y) kaçtır?
A)
1
4
B)
4
9
C)
9
13
D)
13
9
E)
9
4
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
DNA 57
Bir ABC üçgeninde
x ve y dar açılar olmak üzere,
sin x =
2
5
1
cos y =
olduğuna göre, x + y toplamı kaç derecedir?
B) 60
D) 135°
sin x =
2
5
A) 45
B) 60
C) 120
tan x = 3 ve tan( x − y ) =
2
olan bir dik üçgen
5
olan başka bir dik üçgen çizelim.
10
1
3
D) 135°
E) 150
E) 150
x ve y dar açılar olduğundan sin x =
1
=
tan B
C) 120
Çözüm
ve cos y =
1
2
olduğuna göre, C açısının ölçsü kaç derecedir?
10
A) 45
=
tan A
cos y =
için
1
10
5
6
olduğuna göre, tany kaçtır?
A)
11
19
B)
13
21
C)
5
2
D)
10
3
18
5
E)
için
Not
cot a =
tany = 3 olur.
tanx = 2 olur.
1
olduğundan, cot(x  y) açılım formülünü vertan a
meye gerek görmüyoruz.
tan(x + y) yi yazalım:
tan x + tan y
1 − tan x ⋅ tan y
Verdiğimiz tüm toplam-fark formüllerini toparlayalım:
=
2+3
1− 2 ⋅ 3
•
sin(x + y) = sinx ⋅ cosy + cosx ⋅ siny
5
= −1
−5
•
sin(x – y) = sinx ⋅ cosy – cosx ⋅ siny
=
•
cos(x + y) = cosx ⋅ cosy – sinx ⋅ siny
bulunur.
•
cos(x – y) = cosx ⋅ cosy + sinx ⋅ siny
tan(x + y) = –1 ise x + y = 135° dir.
•
tan( x + y ) =
tan x + tan y
1 − tan x ⋅ tan y
•
tan( x − y ) =
tan x − tan y
1 + tan x ⋅ tan y
tan( x + y ) =
Doğru Seçenek D
10. SINIF MATEMATİK
459
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
DNA 58
ABCD bir dikdörtgen
ABCD ve BEFG kare
|DC| = 2|BC|
|AE| = 4 ⋅ |BE|
|AE| = |EB|
) = θ
m( AGE
) = x
m( ACE
Yukarıda verilenlere göre, cotx kaçtır?
Yukarıda verilenlere göre, cotq kaçtır?
A) –2
1
C) 2
1
B) − 2
D) 1
A)
E) 2
1
3
B)
1
2
C) 1
Çözüm
D) 2
E) 3
Yandaki şekil sekiz tane
özdeş kareden oluşmuş-
|BE| = k dersek
tur.
|AE| = 4k ve
) = x
m(EAF
|AB| = 3k olur.
[GE],
BEFG
karesinin
bir
köşegeni olduğundan
 ) = 45° dir.
m(BGE
olduğuna göre, tanx kaçtır?
A)
7
8
B)
2
3
C)
7
15
D)
5
14
E)
5
21
 ) = α dersek istenen q açısı q = a + 45° olur.
m( AGB
tan θ = tan(α + 45°)
=
tan α + tan 45°
1 − tan α ⋅ tan 45°
3k
+1
= k
3k
⋅1
1−
k
=
cot θ =
Işık 13
4
= −2
−2
1
1
1
=
=−
tan θ −2
2
dir.
 ) + m(B
 ) + m(C
 ) = 180°
Bir ABC üçgeninde (veya m( A
ise)
Doğru Seçenek B
 ⋅ tan B
 ⋅ tan C
 = tan A
 + tan B
 + tan C

tan A
eşitliği vardır.
460
10. SINIF MATEMATİK
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
 ) = a ve m(CEF
 ) = b = 45° olur.
m(DEA
İspat
 ⋅ tan B
 ⋅ tan C
 = tan A
 + tan B
 + tan C
 idi.
tan A
Bu eşitliğin nasıl sağlandığını da gösterelim.
a + x + b = 180° olduğundan,
tan a ⋅ tan x ⋅ tan b = tan a + tanx + tan b


 +C
 ) = tan B + tan C
tan(B


1 − tan B ⋅ tan C
4
4
⋅ tan x ⋅ tan 45° = + tan x + tan 45°
3
3
 ) + m(C
 ) = 180° − m( A
)
m(B
4
4
⋅ tan x ⋅ 1 = + tan x + 1
3
3
olduğundan
4 ⋅ tan x 7
= + tan x
3
3


 ) = tan B + tan C
tan(180° − A
 ⋅ tan C

1 − tan B
4 ⋅ tan x
7
− tan x =
3
3

 + tan C

− tan A
tan B
=
 ⋅ tan C

1
1 − tan B
tan x 7
=
3
3
İçler - dışlar çarpımı yapalım:
bulunur.
 + tan A
 ⋅ tan B
 ⋅ tan C
 = tan B
 + tan C

− tan A
tan x = 7
 ⋅ tan B
 ⋅ tan A
 = tan A
 + tan B
 + tan C

tan A
Doğru Seçenek E
elde edilir.
DNA 59
ABCD bir kare
ABCD bir dikdörtgen
|AF| = 5 ⋅ |BF|
2 ⋅ |AB| = 3 ⋅ |AD|
|EC| = 2 ⋅|EB|
|DE| = |EC|
) = x
m(DEF
|BC| = 4 ⋅ |BF|
) = x
m( AEF
Yukarıda verilenlere göre, tanx kaçtır?
A) –4
Yukarıda verilenlere göre, tanx kaçtır?
A)
1
7
B)
3
4
C)
4
3
D)
7
3
B) –5
C) –6
D) –8
E) –9
E) 7
ABCD bir dik yamuk
[AD] ^ [DC]
Çözüm
[DA] ^ [AB]
|AB| = 6 birim
2 ⋅ |AB| = 3 ⋅ |AD| olduğun-
|EA| = 1 birim
dan |AB| = 6k dersek
|ED| = 2 birim
|AD| = 4k,
|DC| = 4 birim
) = x
m(CBE
|DE| = |EC| = 3k ve
|BC| = 4 ⋅ |BF| olduğundan
|BF| = k
|CF| = 3k olur.
Yukarıda verilenlere göre, tanx kaçtır?
A)
9
4
B)
3
2
C)
8
11
D)
7
15
10. SINIF MATEMATİK
E)
5
24
461
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
Gerekli oranları dik üçgenlerden yazalım:
DNA 60
sin( x − y ) = sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y

1
2
sin  arccos − arctan


3
4 

ifadesinin değeri kaçtır?
7
A) 9
8
B)
11
4
D) 9
9
C)
14
5
E)
12
=
2 2 4
1
2
⋅
− ⋅
3 3 2 3 3 2
=
8 1
−
9 9
=
7
9
olur.
Doğru Seçenek A
Çözüm
arccos
1
1
= x i se c osx = tür.
3
3
Bu orana uygun bir dik üçgen çizelim:
Pisagor
Teoremi’nden
| AB | = 2 2 birim olur.
12
4

cos  arcsin + arccos 
13
5

ifadesinin değeri kaçtır?
A)
arctan
2
2
tür.
= y ise tan y =
4
4
16
65
D) −
Bu orana uygun bir dik üçgen çizelim:
Pisagor
B)
13
56
13
56
C) −
E) −
11
48
16
65
Teoremi’nden
| AC | = 3 2 birim olur.
arccos
1
2
= x ve arctan
=y
3
4
olduğundan

1
2
sin  arccos − arctan
 = sin( x − y )

3
4


olur.
sin(x – y) = sinx ⋅ cosy – cosx ⋅ siny
idi.
462
10. SINIF MATEMATİK
1
3
arctan + arccos
=x
2
10
eşitliğinde x in değeri kaç radyandır?
A)
π
6
B)
π
4
C)
π
3
D)
2π
3
E)
3π
4
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
5.
TEST - 11
1.
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
sin75°
2 −1
4
B)
D)
6+ 2
4
C)
E)
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2 3 + 3 6− 2
4
sin x − cos y =
sin y + cos x =
işleminin sonucu aşağıdakileden hangisidir?
A)
3
2
D) 2⋅sin20°
C)
C)
3 +2
E) 2 − 3
2
2
E) cos40°
3
2
1
2
olduğuna göre, sin(x – y) kaçtır?
A) −
B)
3 − 1 6.
sin50° ⋅ cos20° – sin20° ⋅ cos50°
1
2
D)
B) 2 3 − 1 2+ 3
4
2.
(sinx – siny)2 + (cosx – cosy)2
2− 3
4
p
olduğuna göre,
6
x−y=
1
2
B) −
5
12
C)
5
12
7.
1
2
D)
E)
7
13
Birbirine eş dört kareden
oluşmuş yandaki şekilde
) = θ
m(BAC
3.
3x + 2y =
p
olduğuna göre,
2
sin 4 x ⋅ cos 3 y + sin 3 y ⋅ cos 4 x
cos x ⋅ sin y + sin x ⋅ cos y
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
B) 1
D) cot(x + y)
C)
olduğuna göre, sinq nın değeri kaçtır?
A)
2
10
D)
B)
5
10
3
10
E)
4
C)
10
6
10
1
2
8.
E) tan(x + y)
BAC bir dik üçgen
[BA] ^ [AC]
|AC| = 3 birim
|AD| = 4 birim
3
5
4.
sin x ⋅ cos y =
2
sin y ⋅ cos x =
5
olduğuna göre
A)
1
5
B)
1
4
|DB| = 2 birim
) = x
m(DCB
sin(x + y)
oranı kaçtır?
sin(x − y)
C)
2
3
D) 3
E) 5
Yukarıda verilenlere göre, sinx değeri kaçtır?
A)
5
10
D)
B)
3 5
25
2 5
15
E)
C)
2 5
25
4 5
35
10. SINIF MATEMATİK
463
Trigonometri - Bölüm 08
Toplam – Fark Formülleri
9.
13. ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
sin(x + 45°) + cos(x + 45°)
2 ⋅ sin x D)
B)
2 ⋅ cos x 2 C)
olduğuna göre, x + y toplamı kaç derece olabilir?
2 ⋅ tan x
E) 1
tanx = 2 ve tany = 3
A) 45
D) 270
14. tan x =
olduğuna göre 6x + 4y toplamı aşağıdakilerden
C) 225
E) 315
2
4
ve tan( x − y ) =
3
9
olduğuna göre, tany değeri kaçtır?
A)
10. y ve 3x + y birer dar açıdır.
B) 195
3
26
B)
5
32
C)
6
35
D)
4
21
E)
7
30
cos3x – sin3x ⋅ tany = tany
hangisidir?
A)
π
6
B)
π
4
C)
π
2
D)
5π
6
15.
E) p
ABCD bir kare
|EC| = 3 ⋅ |EB|
) = x
m(BDE
Yukarıda verilenlere göre, tanx değeri kaçtır?
A)
11. 3
4
B)
3
5
C)
2
5
D)
2
7
E)
1
7
2 ⋅ cosx + 3 ⋅ sinx
toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 5
B)
15 C)
13 D)
11 E)
7
16.
ABC eşkenar üçgen
|AC| = 4 ⋅ |AD|
) = x
m( ABD
12. 5 ⋅ sinx + 12 ⋅ cosx – 6
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 1
1.D
464
2.A
B) 7
3.D
C) 11
4.E
10. SINIF MATEMATİK
5.E
D) 13
6.D
E) 19
7.B
8.C
Yukarıda verilenlere göre, tanx değeri kaçtır?
A)
3
7
9.B
B)
D)
10.E
5
8
5
7
11.C
12.B
E)
13.E
14.C
C)
2
5
3
7
15.E
16.E
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
sin20° = k oranına uygun ABC
GİRİŞ
dik üçgeninde, |BC| Pisagor
Teoremi’nden | BC |= 1 − k 2
Yarım açı formülleri, toplam formüllerinde y = x alınarak
olur.
elde edilirler. Bu formüller, bir gerçek sayının trigonometrik oranlarını, bu sayının yarısının trigonometrik oranları
cinsinden ifade etmekte kullanılır.
Hazine Avı
O halde
cos 20° =
Sinüsle ilgili yarım açı formülünü bulabilmek için sinüs toplam formülünü kullanacağız.
sin(x + y) = sinx ⋅ cosy + cosx ⋅ siny
y = x alalım.
olur.
cos20° değerini
sin220° + cos220° = 1
özdeşliğini kullanarak da bulabilirdik.
sin(x + x) = sinx ⋅ cosx + cosx ⋅ sinx
sin2x = 2 ⋅ sinx ⋅ cosx
| BC |
1 − k2
=
= 1 − k2
| AC |
1
sin40° = 2 ⋅ sin20° ⋅ cos20°
= 2 ⋅ k ⋅ 1 − k2
olur.
elde edilir.
Doğru Seçenek A
Hazine 20
sin2x = 2sinx cosx
DNA 61
sin20° = k
olduğuna göre, sin40° nin k cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2k 1 − k 2 B) 2k 1 + k 2 D) k 1 + k 2 E)
C) k 1 − k 2
1 − k2
Çözüm
sin40° = sin(2 ⋅ 20°) = 2 ⋅ sin20° ⋅ cos20°
dir. sin20° nin k olduğunu biliyoruz. Eksik olan cos20° nin
değeri. Bu değeri elde edebilmek için dik üçgenden yararlanabiliriz.
cos54° = k
olduğuna göre, cos18° nin k cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 − k 2 B) k 1 + k 2 D) 2k 1 + k 2 C) k 1 − k 2
E) 2k 1 − k 2
10. SINIF MATEMATİK
465
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
2
2
sin
+ cos
cosx =
x

x − 2
sin

x⋅ 
1
9
1 − sin 2x =
1
9
1
sin 2 x
π
0 < x < olmak üzere
2
tanx = k
sin 2x = 1 −
olduğuna göre, sin2x in k cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2k
1 − k2
D)
B)
2k
1− k
2
2k 2
C)
1 + k2
E)
1 + k2
8
9
olur.
k
1− k
sin 2x =
2k
1
9
2
Doğru Seçenek D
DNA 62
sin x − cos x = −
1
3
olduğuna göre, sin2x değeri kaçtır?
1
2
A)
B) 10
5
8
D) 9
E)
sin α + cos α = −
C)
3
5
3
2
3
olduğuna göre, sin2a değeri kaçtır?
A) −
7
9
B) −
sin
x
x
3
− cos = −
2
2
5
10
3
5
C) −
1
3
D)
1
3
E)
Çözüm
Verilen eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:
 1
(sin x − cos x )2 =  − 
 3
2
1
sin x − 2 sin x ⋅ cos x + cos x =
9
2
2
sin2x + cos2x = 1 olduğundan,
466
10. SINIF MATEMATİK
olduğuna göre, sinx değeri kaçtır?
A)
16
25
D) −
B)
6
25
8
25
E) −
C) −
16
25
8
25
9
11
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
DNA 63
DNA 64
sin7,5° ⋅ cos7,5° ⋅ cos15°
çarpımının değeri kaçtır?
A)
1
2
1
4
B)
1
D)
16
cos 48° sin 48°
−
cos16° sin16°
C)
ifadesinin değeri kaçtır?
1
8
A) –2
1
E)
32
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Çözüm
Çözüm
Verilen ifadeyi 2 ile çarpıp - bölersek ifadenin değerinde
hiç bir değişiklik yapmamış oluruz.
Verilen ifadenin paydalarını eşitleyelim:
sin( 2⋅7,5°)
sin 7, 5° ⋅ cos 7, 5° ⋅ cos15° =
=


2 ⋅ sin 7, 5° ⋅ cos 7, 5° ⋅ cos15°
2
sin(16°− 48°)


cos 48° sin 48° sin16° ⋅ cos 48° − cos16° ⋅ sin 48°
−
=
cos16° sin16°
sin16° ⋅ cos16°
(sin 16°)
sin15° ⋅ cos15°
2
sin( 2⋅15°)



2 ⋅ sin15° ⋅ cos15°
=
4
=
sin 30° 1
=
4
8
(cos 16°)
=
sin(16° − 48°)
sin16° ⋅ cos16°
=
sin( −32°)
sin16° ⋅ cos16°
=
2 ⋅ ( − sin 32°)
2
sin16
° ⋅
cos16
⋅

°
sin 32°
Doğru Seçenek C
=
−2 ⋅ sin 32°
= −2
sin 32°
bulunur.
Doğru Seçenek A
cos20° ⋅ cos40° ⋅ cos80°
çarpımının değeri kaçtır?
A)
1
2
B)
1
4
C)
1
8
D)
1
16
E)
1
32
cos70° = k olduğuna göre,
cos36° ⋅ cos72°
ifadesinin k cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
çarpımının değeri kaçtır?
A)
1
2
B)
1
4
C)
cos 35° sin 35°
+
cos10° sin10°
1
8
D)
1
16
E)
1
32
A) 2k
B) k 2 C)
k 2
2
D)
1
k
10. SINIF MATEMATİK
E)
2
k
467
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
2
cos 70°
= −2 cos 70° ⋅
0° < a < 45° olmak üzere,
= −4
sin 48° cos 48°
−
= csc 2x
sin x
cos x
olur.
Doğru Seçenek A
denklemini sağlayan x açısı kaç derecedir?
A) 12
C) 18
B) 16
D) 24
E) 32
DNA 65
1
3
+
sin15° cos15°
3
1
−
cos10° sin10°
toplamının değeri kaçtır?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –4
B) 2
D) csc10°
C) sec10°
A) 2 3 Verilen ifadenin paydalarını eşitleyelim:
3
1
3 ⋅ sin10° − cos10°
−
==
cos10° sin10°
sin10° ⋅ cos10°
(cos 10°)
3 ⋅ sin10° − cos10° tan 60° ⋅ sin10° − cos10°
=
sin10° ⋅ cos10°
sin10° ⋅ coss10°
farkının değeri kaçtır?
A)
4
sin 60° ⋅ sin10° − cos10° ⋅ cos 60°
cos 60°
sin10° ⋅ cos10°
cos( 60°+10°)


−(cos 60° ⋅ cos10° − sin 60° ⋅ sin10°)
cos 60°
=
sin10° ⋅ cos10°
A)
10. SINIF MATEMATİK
3
E) −
1
3
4
3
2 

sin  2 ⋅ arccos

5

5
5
B)
5
4
C)
3
5
D)
5
3
E)
Çözüm
arccos
1
cos 70°
=−
⋅
cos 60° sin10° ⋅ cos10°
468
2
D) −
3
C) −
ifadesinin değeri kaçtır?
cos(60° + 10°)
cos 60°
=
sin10° ⋅ cos10°
2
B)
DNA 66
−
2
cos 70°
⋅
1
2
° ⋅
sin10
cos10
⋅

°
sin 20°=cos 70°
2
3
sin 60°
⋅ sin10° − cos10°
cos
60°
=
sin10° ⋅ cos10°
=−
E) 4 3
1
1
−
sin 80°
3 ⋅ cos 80°
tan60° = 3 olduğundan,
=
D) 4 2 C) 3 3
E) 4
Çözüm
(sin 10°)
B) 3 2 2
5
= x dersek cos x =
2 

sin  2 ⋅ arccos
 = sin 2x
5

olur.
2
5
ve
4
5
Trigonometri - Bölüm 08
cos x =
2
5
Yarım Açı Formülleri
DNA 67
oranına uygun bir dik üçgen çizelim:
ABC dik üçgeninde Pisagor
Teoremi’nden |AB| = 1 birim
olur.
0<x<
π
olmak üzere
4
sin2x =
7
25
olduğuna göre, tanx kaçtır?
İstenen sin2x olduğundan,
A)
sin 2x = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x
= 2⋅
1
5
⋅
1
7
B)
7
25
C)
7
24
D)
24
7
E) 7
2
5
4
5
=
bulunur.
Doğru Seçenek E
Çözüm
0<x<
1

sin  2 ⋅ arc cos 
3

Buna göre sin2x =
zebiliriz.
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
4 3
9
D)
π
π
ise 0 < 2x < dir.
4
2
5
3
B)
2 3
9
E)
C)
7
oranına uygun bir dik üçgen çi25
4 2
9
2 2
9
Pisagor Teoremi’nden |BC| = 24 birim olur. [BC] yi C
noktasından itibaren doğrusal olarak |AC| kadar uzatalım.
|AC| = |CD| olduğundan ACD ikizkenar üçgen olur. Dola ) = m( ADB
 ) = x tir.
yısıyla m(CAD
O halde,
1 

sin  2 ⋅ arcsin

3

tan x =
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
4 5
9
D)
B)
3
3
2 2
3
E)
C)
3
2
7
7
1
| AB |
=
=
=
| BD | 24 + 25 49 7
olur.
Doğru Seçenek A
2 3
9
10. SINIF MATEMATİK
469
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
0<x<
π
olmak üzere
4
tan2x =
= cos2x – (1 – cos2x)
= cos2x – 1 + cos2x
= 2 ⋅ cos2x – 1
olur.
3
4
cos2x için üç tane yarım açı formülü elde ettik.
olduğuna göre, sinx kaçtır?
1
3
A)
B) 10
5
4
D) 5
E)
C)
2
10
3
cos2x = cos2x – sin2x
cos2x = 1 – 2 ⋅ sin2x
cos2x = 2 ⋅ cos2x – 1
10
Hazine 21
cos2x = cos2x – sin2x
0<x<
π
olmak üzere
2
tan
cos2x = 1 – 2 ⋅ sin2x
cos2x = 2 ⋅ cos2x – 1
x 1
=
2 2
olduğuna göre, sinx kaçtır?
3
4
2
A)
B) C) 10
5
3
D)
10
5
E)
3
5
DNA 68
Hazine Avı
cos82° = x
olduğuna göre, sin74° nin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Kosinüs ile ilgili yarım açı formülünü elde edebilmek için
A) 1 + x2
kosinüs toplam formülünü kullanacağız.
cos(x + y) = cosx ⋅ cosy – sinx ⋅ siny
B) 1 – x2
D) 1 – 2x2
C) 1 + 2x2
E)
y=x alalım.
1 + 2x 2
x
cos(x + x) = cosx ⋅ cosx – sinx ⋅ sinx
cos2x = cos2x – sin2x
Çözüm
olur.
sin2x + cos2x = 1 olduğundan
sin74° = cos16° ve
sin x = 1 – cos x
2
2
ve
cos2x = 1 – sin2x
cos82° = sin8° = x tir.
O halde
sin74° = cos16° = 1 – 2 ⋅ sin28°
yazılabilir.
cos2x = cos2x – sin2x
= 1 – sin2x – sin2x
= 1 – 2 ⋅ sin2x
ve
cos2x = cos2x – sin2x
470
10. SINIF MATEMATİK
= 1 – 2 ⋅ x2
olur.
Doğru Seçenek D
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
Çözüm
sin 4θ
sin78° = x
cos4 θ − sin4 θ
olduğuna göre, cos24° nin x cinsinden eşiti aşağıda-
=
cos 2θ
kilerden hangisidir?
A) x2 + 1
B) x2 – 1
D) 2x2 + 1
E)
2 ⋅ sin 2θ ⋅ cos 2θ
2
+
−
o
s2 θ
sin2θ)
(cos
θ
sin2θ) ⋅ (c

=
C) 2x2 –1
x2 − 1
x
1
2 ⋅ sin 2θ ⋅ cos 2θ
cos 2θ
= 2 ⋅ sin 2θ
olur.
Doğru Seçenek B
cos12° = x
olduğuna göre, cos6° nin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)
A) 2x2 – 1
D)
2x − 1 x +1
2
C)
x −1
2
B)
1
4
C)
1
2
D) 2
E) 4
π
2
cosx = b olmak üzere,
cos θ − sin θ
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
1
8
sinx = a
4
A) sin2q
A)
0<x<
sin 4θ
4
sinx ⋅ cos3 x − cos x ⋅ sin3 x
sin 4 x
ifadesinin değeri kaçtır?
E) 2x + 1
DNA 69
B) 2 ⋅ sin2q
D) 2 ⋅ cos2q
C) cos2q
E) tan2q
M = 2a2 + cos2x + sin2x
olduğuna göre,
A) a + b
D)
M aşağıdakilerden hangisidir?
B) a – b
a+b E)
C) 2a – b
a ⋅b
10. SINIF MATEMATİK
471
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
π
olduğundan açılar I. bölgede ve tüm trigono4
metrik oranlar pozitiftir.
DNA 70
0<x<
0<x<
O halde,
π
olmak üzere,
4
2 ⋅ cos x + 2 ⋅ sin x
2 (sin x + cos x )
=
sin x + cos x
sin x + cos x
1 − cos 2x + 1 + cos 2x
1 + sin 2x
işleminin sonucu kaçtır?
A)
1
4
D)
B)
= 2
2
4
2
2
C)
E)
1
2
olur.
Doğru Seçenek E
2
Çözüm
Bu tip sorularda, yani sinüs ve kosinüs oranlarının yanında toplam ve fark biçiminde 1 değeri olduğunda genellikle
bu değerden kurtulmaya çalışırız.
1 – cos2x ifadesinde 1 den kurtulabilmek için
cos2x = 1 – 2 ⋅ cos2x formülünü,
1 + cos 2x
1 − cos 2x
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1 + cos2x ifadesinde 1 den kurtulabilmek için
A) – tan2x
cos2x = 2 ⋅ sin2x – 1 formülünü kullanacağız.
Gelelim paydaya sin2x in bildiğimiz hiçbir açılımı 1 i yok
B) – cot2x
D) tan2x
C) cot2x
E) csc2x
etmemizi sağlamıyor. Yok edemezsek biz de görüntüsünü biraz değiştiririz. Toplamları 1 olan hangi kareli ifadeyi
hatırlıyorsunuz.
sin2x + cos2x = 1. O halde 1 yerine sin2x + cos2x yazabiliriz.
1 − cos 2 x + 1 + cos 2 x
1 + sin 2 x
=
=
2
2
1 − (1 − 2 cos x ) + 1 + 2 sin x − 1
2
2
sin x + cos x + sin 2 x
2
2
2 ⋅ cos x + 2 sin x
2
2
sin
x
2 ⋅ sin x ⋅ cos
+ cos 
+ 
x
x
(sin x + cos x )2
=
=
472
10. SINIF MATEMATİK
2 ⋅ | cos x | + 2 ⋅ | sin x |
2
(sin x + cos x )
2 ⋅ | cos x | + 2 ⋅ | sin x |
| sin x + cos x |
0<x<
π
olmak üzere
4
1 + sin 2x + cos 2x
1 + sin 2x − cos 2x
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) tanx
B) cotx
D) cot2x
E) tan
C) tan2x
x
2
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
Çözüm
Hazine Avı
tan( x + y ) =
tan x + tan y
idi.
1 − tan x ⋅ tan y
cot 50° = tan 40° =
y = x alalım.
tan( x + x ) =
tan 2x =
2x
=
tan x + tan x
1 − tan x ⋅ tan x
2 ⋅ tan 20°
1 − tan2 20°
1 − x2
olur.
2 ⋅ tan x
Doğru Seçenek D
1 − tan2 x
olur.
Benzer biçimde, cot2x ifadesini de elde edebiliriz.
tan35° = x
olduğuna göre cot20° nin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2x
A)
1 + x2
Hazine 22
tan 2x =
cot 2x =
D)
2 tan x
B)
2x
1 − x2
x2
1− x 2
E)
C)
x
1 − x2
x2 + 1
x2
1 − tan2 x
cot 2 x − 1
2 cot x
tan x =
1
2
olduğuna göre tan2x in değeri kaçtır?
A)
2
2
DNA 71
dakilerden hangisidir?
x
x
A)
B)
1 + x2
1 − x2
2x
1− x
2
E) 4 2
DNA 72
olduğuna göre, cot50° nin x cinsinden eşiti aşağı-
D)
C) 2 2
2 D) 3 2 tan20° = x
B)
E)
C)
2x
1 + x2
0<x<
π
olmak üzere
2
cos x =
4
5
olduğuna göre, tan
x2
1− x 2
A) 3
B)
9
5
x
nin değeri kaçtır?
2
C)
5
4
D)
5
9
10. SINIF MATEMATİK
E)
1
3
473
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
Çözüm
cos x =
4
oranına uygun bir dik üçgen çizelim.
5
ABC dik üçgeninde
|AB| = 3 birim olur.
tan x =
x
2 ⋅ tan
3
2
=
4 1 − tan2 x
2
8 ⋅ tan
nini elde edelim. |AC| = |CD| olduğundan
 ) = m(CAD
) = x
m(CDA
2
3
tür.
4
dir.
x
2 ⋅ tan
2
tan x =
x
1 − tan2
2
[BC] yi C yönünde |AC| kadar uzatıp ACD ikizkenar üçge-
ABD dik üçgeninden,
tan
x | AB | 3 1
=
= =
2 | BD | 9 3
olur.
(içler - dışlar çarpımı yapalım.)
Doğru Seçenek E
x
x
= 3 − 3 tan2
2
2
x
x
3 ⋅ tan2   + 8 ⋅ tan − 3 = 0
2
2
tan
x
=t
2
0<x<
olsun.
3t2 + 8t – 3 = 0
(3t – 1) (t + 3) = 0
3t – 1 = 0 veya t + 3 = 0
t=
1
veya t = –3
3
tan
x 1
x
=
veya tan = −3
2 3
2
π
olmak üzere
2
sinx =
1
3
olduğuna göre, tan
A) 3 − 2 2 x
değeri kaçtır?
2
B) 2 − 3 D) 2 + 3 C) 5 − 3 2
E) 3 + 2 2
olur.
x bir dar açı olduğundan tan
x 1
= tür.
2 3
cotx = 2
olduğuna göre, cos2x değeri kaçtır?
cos x =
474
4
oranına uygun dik üçgenimizi yine çizelim:
5
10. SINIF MATEMATİK
A)
2
5
B)
3
5
C)
1
5
D)
2
5
E)
1
5
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
TEST - 12
1.
olduğuna göre, cos54° nin a cinsinden eşiti aşa-
sin18° = a
5.
çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 16⋅sec10°
cos10° ⋅ cos20° ⋅ cos40° ⋅ cos80°
D)
B) cos10°
cos10°
8
E)
C) 8⋅sin10°
1
8
ğıdakilerden hangisidir?
A) 2a 1 − a2 D) a 1 + a2 2.
0<x<
B) 2a 1 + a2 C) a 1 − a2
1 − a2
E)
π
olmak üzere,
2
cotx = m
olduğuna göre, sin2x in m cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2 1 − m2
m
3.
2
D)
1 − m2
m
B)
1 − m2
C)
E)
sin x − cos x = −
2
5
B)
1
2
A) –2
3
5
0<x<
3
5
olduğuna göre,
tır?
A)
1
7
B)
3
7
D)
3
4
E)
4
5
1 − sin2x
ifadesinin değeri kaçcos2x
C)
7
5
E) –2
2m
π
olmak üzere
2
sin x =
D) 2 ⋅ cos12°
1 + m2
7.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 + 2x2
4.
C) 2 ⋅ cot12°
B) 2 ⋅ tan12°
1 + m2
1
2
C)
m
olduğuna göre, sin2x in değeri kaçtır?
A)
cos18° sin18°
+
sin 6°
cos 6°
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
6.
D)
7
3
E) 7
cos(2 ⋅ arcsinx)
B) 1 – 2x2
D) 1 – x2
E)
C) 1 + x2
1 − x2
2x
8.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x2 – 1
cos(2 ⋅ arccosx)
B) 2x2 + 1
D) x2 – 1
E)
C) x2 + 1
x2 − 1
2x
10. SINIF MATEMATİK
475
Trigonometri - Bölüm 08
Yarım Açı Formülleri
9.
0<x<
13. π
olmak üzere,
4
cos 2x
olduğuna göre, sin38° nin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1 − sin 2x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sinx – cosx
cos64° = x
B) cosx – sinx
D) 1 + sinx
C) sinx + cosx
A) x2 – 1
B) 1 – x2
D) 1 + 2x2
2
10. 0 < x < π olmak üzere,
2
tan
x 1
=
2 2
olduğuna göre, sinx in değeri kaçtır?
A)
2
5
B)
1
2
C)
3
5
D)
3
4
E)
1 + sin 2x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) – sinx – cosx
B) sinx + cosx
C) sinx – cosx
D) cosx – sinx
E) sinx + tanx
15. 0 < x < π
2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
D) cscx
12. 0 < x < π
2
B) tanx
C) cotx
E) secx
476
2.E
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
8
B)
1
6
C)
1
4
D)
2
5
E)
1
2
olmak üzere,
16.
kaçtır?
1.A
2 + 2 ⋅ cos 2x
A)
tanx = 2
1
5
olmak üzere ,
cos x
olduğuna göre, sin2x + cos2x toplamının değeri
A)
olmak üzere,
4
5
cos x − sin x ⋅ sin 2x
sin x ⋅ cos 2x
11.
E) 1 – 2x2
E) 1 + cosx
14. π < x < 3π
C) 1 + x2
sin20° + cos20° = x
olduğuna göre, sin40° nin x türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)
2
5
3.D
C)
4.A
10. SINIF MATEMATİK
3
5
5.D
D)
4
5
6.C
E) 1
7.B
A) x2 + 1 B) x2 – 1 C) x + 1
8.A
9.C
10.E
11.C
12.A
13.E
D) x – 1 E) 1 – x
14.A
15.E
16.B
DÖNÜŞÜM – TERS DÖNÜŞÜM
FORMÜLLERİ
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
Toplam durumunda verilmiş trigonometrik oranları çarpım
sin(a + b) ifadesinden sin(a – b) ifadesini çıkaralım:
durumuna getirmek için kullanılan formüller dönüşüm forsin(
a + b) − sin(
a
−
b) = 2 ⋅ cos a ⋅ sin b
mülleridir. Bu formüller toplam - fark formüllerinden elde
x
edilir.
Toplam - fark formüllerini hatırlatalım.
y
sin x − sin y = 2 ⋅ cos
x−y
x+y
⋅ sin
2
2
olur.
cos(a + b) ve cos(a – b) ifadelerini toplayalım:
Hatırlatma
cos(
a + b) + cos(
a
−
b) = 2 ⋅ cos a ⋅ cos b
x
sin(a + b) = sina ⋅ cosb + cosa ⋅ sinb
cos x + cos y = 2.cos
sin(a – b) = sina ⋅ cosb – cosa ⋅ sinb
cos(a + b) = cosa ⋅ cosb – sina ⋅ sinb
cos(a – b) = cosa ⋅ cosb + sina ⋅ sinb
y
x−y
x+y
⋅ co s
2
2
olur.
cos (a + b) ifadesinden cos(a – b) ifadesini çıkaralım:
cos(a
+ b) − cos(a
− b) = −2 ⋅ sin a ⋅ sin b


x
y
cos x − cos y = −2 sin
x+y
x−y
⋅ sin
2
2
olur.
Hazine Avı
Toplam - fark formüllerinde a + b = x ve a – b = y diyelim.
a+b=x
+a – b = y
2a=x + y
ise a =
x+y
2
Hazine 23
x+y
x−y
a=
ise b =
2
2
sin x + sin y = 2 ⋅ sin
bulunur.
sin x − sin y = 2 ⋅ cos
sin(a + b) ve sin(a – b) ifadelerini taraf tarafa toplayalım:
sin(a
+ b) + sin(a
− b) = 2 ⋅ sin a ⋅ cos b


x
olur.
x+y
x−y
⋅ sin
2
2
cos x + cos y = 2 ⋅ cos
y
sin x + sin y = 2 ⋅ sin
x+y
x−y
⋅ cos
2
2
x+y
x−y
⋅ cos
2
2
x+y
x−y
⋅ cos
2
2
cos x − cos y = −2 ⋅ sin
x+y
x−y
⋅ sin
2
2
dir.
10. SINIF MATEMATİK
477
Trigonometri - Bölüm 08
Dönüşüm - Ters Dönüşüm Formülleri
Çözüm
Işık 14
Bu formülleri akılda tutabilmek için bir hafıza çivisi verelim. Önce formülleri yazalım.
sin x + sin y = 2 ⋅ sin
70° + 10°
70° − 10°
= 40° ve
= 30° olduğundan dönü2
2
şüm formüllerini kullanabiliriz.
x+y
x−y
⋅ cos
2
2
cos x + cos y = 2 ⋅ cos
sin 70° + sin10° = 2 ⋅ sin
x+y
x−y
⋅ cos
2
2
= 2 ⋅ sin 40° ⋅ cos 30°
T A C
Toplamda
Aynısı
70° + 10°
70° − 10°
⋅ cos
2
2
= 2 ⋅ sin 40° ⋅
3
2
= 3 ⋅ sin 40°
cos
Eğer iki trigonometrik değerin toplamını arıyorsak,
= 3⋅x
sinüs toplamı ise ilk trigonometrik değer sinüstür (Aynısı), ikincisi kosinüstür.
Kosinüs toplamı ise, ilk trigonometrik değer kosinüs
olur.
(Aynısı), ikincisi kosinüstür.
Doğru Seçenek B
x+y
x−y
sin x − sin y = 2 ⋅ cos
⋅ sin
2
2
cos x − cos y = −2 ⋅ sin
x+y
x−y
⋅ sin
2
2
F F S
Farkta
Farklısı
sinüs
Eğer iki trigonometrik değerin farkını arıyorsak,
sinüslerin farkı ise, ilk trigonometrik değer kosinüs
(farklısı), ikincisi sinüstür.
Kosinüslerin farkını arıyorsak, ilk trigonometrik değer
olduğuna göre, cos20° + sin50° ifadesinin x cinsinden
sinüs(farklısı), ikincisi sinüstür.
Tüm dönüşüm formüllerinin başında
2 katsayısı var, yalnız kosinüslerin farkında –2 katsayısı var.
sin80° = x
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x 2
2
B)
x 3
3
D) 2x
C) x 3
E) 2x 3
DNA 73
sin40° = x
olduğuna göre, sin70° + sin10° ifadesinin x cinsin-
den eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, cos10° – cos50° ifadesinin x cinsin-
A)
x 3
2
478
B) x 3 D) 2x
10. SINIF MATEMATİK
C) x
E) 2x 3
cos70° = x
den eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2x
B) –x
C) x
D) x 3 E) 2x
Trigonometri - Bölüm 08
Dönüşüm - Ters Dönüşüm Formülleri
DNA 74
olduğuna göre,
cos4x − cos8x
ifadesinin değeri
cos4x ⋅ cos8x
kaçtır?
1
C) 2
B) –1
A) –2
11x =
20x = p
olduğuna göre
A) –2
D) 1
π
2
cos5x + cos3x
ifadesinin değeri kaçtır?
sin8x + sin6x
B) –1
C)
E) 2
1
2
D) 1
E) 2
DNA 75
Çözüm
Verilen kesrin pay kısmında dönüşüm formülü uygulayalım.
sin(a + b) + sin(a − b)
cos(a + b) − cos(a − b)
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
cos 4 x − cos 8 x −2 sin 6 x ⋅ sin( −2x )
=
cos 4 x ⋅ cos 8 x
cos 4 x ⋅ cos 8 x
A) –tana
sin(–2x) = –sin2x olduğundan
B) –cota
D) tana
C) –cotb
E) tanb
−2 sin 6 x ⋅ sin( −2x ) 2 ⋅ sin 6 x ⋅ sin 2x
=
cos 4 x ⋅ cos 8 x
cos 4 x ⋅ cos 8 x
6 x + 4 x = 10 x =
π
π
ve 2x + 8 x = 10 x =
2
2
Çözüm
olduğundan
sin6x = cos4x
Kesrin pay ve paydasında dönüşüm formüllerini uygula-
sin2x = cos8x
yalım.
tir.
a +b +a −b
a +b −a +b
 ⋅ cos 

2
2




sin(a + b) + sin(a − b ) = 2 ⋅ sin 
2 ⋅ sin 6 x ⋅ sin 2x 2 ⋅ cos 4 x ⋅ cos 8 x
=
=2
cos 4 x ⋅ cos 8 x
cos 4 x ⋅ cos 8 x
= 2 ⋅ sin a ⋅ cos b
olur.
Doğru Seçenek E
a +b +a −b
a +b −a +b

 ⋅ sin 
2
2




cos(a + b ) − cos(a − b ) = −2 ⋅ sin 
= −2 ⋅ sin a ⋅ sin b
O halde,
sin(a + b) + sin(a − b)
2 ⋅ sin a ⋅ cos b
=
cos(a + b) − cos(a − b) − 2 ⋅ sin a ⋅ sin b
13 x =
= −cot b
π
2
olur.
olduğuna göre
A) –2
sin5x − sin9x
ifadesinin değeri kaçtır?
sin6x ⋅ cos11x
B) –1
C)
1
2
D) 1
Doğru Seçenek C
E) 2
10. SINIF MATEMATİK
479
Trigonometri - Bölüm 08
Dönüşüm - Ters Dönüşüm Formülleri
DNA 76
sin(a + b) − sin(a − b)
cos(a + b) + cos(a − b)
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) – tana
B) – tanb
C) cotb
E) tanb
D) tana
cos x + cos 5 x + cos 9 x
sin x + sin 5 x + sin 9 x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) tan5x
B) cot5x
D) 0
C) cot10x
E) 1
cos(a + b) − cos(a − b)
sin 2a
ifadesinin en sade eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) – sinb ⋅ seca
B) – sina ⋅ cscb
C) cosa ⋅ secb
D) cosb ⋅ csca
E) sina ⋅ secb
Işık 15
x + x + ny
2
=
2x + n ⋅ y
2
cos x + cos( x + y ) + cos( x + 2 y ) + ... + cos( x + n ⋅ y )
sin x + sin( x + y ) + sin( x + 2 y ) + ... + sin( x + n ⋅ y )
x + x + ny
2
=
= cot
2x + n ⋅ y
2
Çözüm
2x + n ⋅ y
2
Yukarıda olduğu gibi, pay ve paydadaki ardışık iki te-
Çözümü iki şekilde yapalım. İlki dönüşüm formüllerini kullanarak, ikincisi IŞIK 15’te verdiğimiz yolu kullanarak.
rimin açı ölçülerinin artış miktarlarının sabit olduğu durumlarda dönüşüm formülü kullanmak yerine bu pratik
bilgiyi kullanabilirsiniz.
Pay ve paydadaki terimler yer değiştirirse sonuç
2x + ny
tan
olur.
2
Kesrin payında verilen cosx + cos9x toplamını çarpım durumuna getirelim.
cos x + cos 9 x = 2 ⋅ cos
= 2 ⋅ cos 5 x ⋅ cos(
−
x)
4

Bu Işık’ın daha iyi anlaşılması için bir örnek verelim.
x + 5x
= 3x
2
cos x + cos 3 x + cos 5 x cos 3 x
=
= cot 3 x
sin x + sin 3 x + sin 5 x
sin 3 x
x + 5x
= 3x
2
sin x + sin 3 x + sin 5 x
sin 3 x
=
= tan 3 x
cos x + cos 3 x + cos 5 x cos 3 x
480
10. SINIF MATEMATİK
x + 9x
x − 9x
⋅ cos
2
2
cos 4 x
= 2 ⋅ cos 5 x ⋅ cos 4 x
Kesrin paydasında verilen sinx + sin9x toplamını çarpım
durumuna getirelim.
sin x + sin 9 x = 2 ⋅ sin
x + 9x
x − 9x
⋅ cos
2
2
= 2 ⋅ sin 5 x ⋅ cos(
−
x)
4

cos 4 x
= 2 ⋅ sin 5 x ⋅ cos 4 x
Trigonometri - Bölüm 08
Dönüşüm - Ters Dönüşüm Formülleri
cos x + cos 9 x + cos 5 x 2 ⋅ cos 5 x ⋅ cos 4 x + cos 5 x
=
sin x + sin 9 x + sin 5 x
2 ⋅ sin 5xx ⋅ cos 4 x + sin 5 x
=
TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ
Hazine Avı
cos 5 x( 2 ⋅ cos 4 x + 1 )
sin 5 x( 2 ⋅ cos 4 x + 1 )
= cot 5 x
Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri toplam du-
olur.
rumuna çevirmeye yarayan ifadelerdir. Ters dönüşüm
formülünü bulmak içinde toplam - fark formüllerini kullanacağız.
Toplam - fark formüllerini yeniden yazalım.
IŞIK15’te verdiğimiz yol
x + 9x
= 5x
2
cos x + cos 5 x + cos 9 x cos 5 x
=
= cot 5 x
sin x + sin 5 x + sin 9 x
sin 5 x
x + 9x
= 5x
2
olur.
Doğru Seçenek B
sin(a + b) = sina ⋅ cosb + cosa ⋅ cosb
sin(a – b) = sina ⋅ cosb – cosa ⋅ sinb
cos(a + b) = cosa ⋅ cosb – sina ⋅ sinb
cos(a – b) = cosa ⋅ cosb + sina ⋅ sinb
sin(a + b) ve sin(a – b) ifadelerini toplayalım.
sin(a + b) + sin(a – b) = 2 ⋅ sina ⋅ cosb olur.
sin(a + b) ifadesinden sin(a – b) ifadesini çıkaralım.
sin(a + b) – sin(a – b) = 2 ⋅ cosa ⋅ sinb olur.
cos(a + b) ve cos(a – b) ifadelerini toplayalım.
cos x + cos 4 x + cos 7 x
sin x + sin 4 x + sin 7 x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) tan4x
B) cot4x
C) cos8x D) 0
E) 1
cos(a + b) + cos(a – b) = 2 ⋅ cosa ⋅ cosb olur.
cos(a + b) ifadesinden cos(a – b) ifadesini çıkaralım.
cos(a + b) – cos(a – b) = –2 ⋅ sina ⋅ sinb olur.
p
olduğuna göre
x=
12
2 ⋅ sina ⋅ cosb = sin (a + b) + sin(a – b)
2 ⋅ cosa ⋅sinb = sin(a + b) – sin(a – b)
2 ⋅ cosa ⋅ cosb = cos(a + b) + cos(a – b)
–2 ⋅ sina ⋅ sinb = cos(a + b) – cos(a – b)
sin x + sin 3 x + sin 5 x
cos x + cos 3 x + cos 5 x
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
3
3
B)
D) –1
3 C) 1
E) − 3
10. SINIF MATEMATİK
481
Trigonometri - Bölüm 08
Dönüşüm - Ters Dönüşüm Formülleri
Hazine 24
cos 25° ⋅ cos 35° =
1
[cos(25° + 35°) + cos(25° − 35°)]
2
1
−10
°)]
[cos 60° + cos(


2
1
sin a ⋅ cos b = [ sin(a + b) + sin(a − b)]
2
=
cos a ⋅ sin b =
1
[sin(a + b) − sin(a − b)]
2
=
1 1

+ cos10°
2  2

cos a ⋅ cos b =
1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2
=
1 1 + 2 cos10°
⋅
2
2
sin a ⋅ sin b = −
1
[cos(a + b) − cos(a − b)]
2
=
1 + 2 cos10°
4
=
1 + 2x
4
cos 10°
olur.
Doğru Seçenek E
DNA 77
cos10° = x olduğuna göre,
cos25° ⋅ cos35°
4 ⋅ sin 70° −
1
sin10°
çarpımının x cinsinden eşiti aşağıdakilerden han-
gisidir?
ifadesinin değeri kaçtır?
2x − 1
A)
4
D)
2x − 1
B)
2
2x + 1
2
E)
x −1
C)
4
35° – 25° = 10° olduğundan ters dönüşüm formülünü uy-
482
10. SINIF MATEMATİK
B) –1
C) −
2x + 1
4
Çözüm
gulayarak 10° lik açıyı yakalayabiliriz.
A) –2
3
D) 1
2
E) 2
2 ⋅ sin80° ⋅ cos20° – cos10°
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) −
3
3
D)
2
2
E) 1
Trigonometri - Bölüm 08
Dönüşüm - Ters Dönüşüm Formülleri
TEST - 13
5.
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
cos230° – cos170° – cos70°
A) –2
1.
olduğuna göre, sin40° + sin20° toplamının x tü-
B) –1
C) 0
D) 1
E)
3
sin80° = x
ründen eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 1 B) x – 1
C) x
D) x2 + 1
E) x + 1
sin 75° + cos 75°
sin15° − cos15°
6.
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) − 3 2.
olduğuna göre, cos80° nin x türünden eşiti aşa-
sin5° + sin85° = x
B) −
1
3
C) −
D) –1
1
2
1
E)
3
ğıdakilerden hangisidir?
A) 2x2 – 1
B) 2x2 + 1
D) x2 – 1
E)
C) x2 + 1
x −1
x2 + 1
7.
sin x + sin 3 x
1 − cos 4 x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
3.
toplamının değeri kaçtır?
A)
sin105° + sin15°
3
4
B)
1
2
D) 1
C)
E)
sin 20° + sin 60°
cos110° − cos 30°
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C) 1
1
⋅ tan x 2
1
⋅ csc x 2
C)
E)
1
⋅ cot x
2
1
⋅ sec x
2
D)
8.
4
1
ve sin y = olduğuna göre,
5
3
sin x =
D)
B)
6
2
B) –1
1
⋅ sin x 2
2
2
4.
A) –2
A)
2
E)
3
x−y
x+y
sin 
 ⋅ cos  2 
 2 


ifadesinin değeri kaçtır?
A)
17
15
B)
17
30
C)
7
15
D)
1
3
10. SINIF MATEMATİK
E)
7
30
483
Trigonometri - Bölüm 08
Dönüşüm - Ters Dönüşüm Formülleri
9.
x+y=
π
olduğuna göre,
2
cos x − cos y
sin x − sin y
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B)
3
2
C)
2
2
3
4
D)
E) –1
toplamının değeri kaçtır?
A)
3 π

π

cos  + x  ⋅ cos  − x 
4


4

B)
A)
1
6
B)
3
6
C)
1
3
1
2
E)
B)
A)
1
6
B)
3
2
C)
1
2
D)
2
2
cos10°
sin 40° + sin 80° + sin 20°
1
A) 6
1.C
484
2.D
1
C) 2
3
B)
2
3.E
4.B
10. SINIF MATEMATİK
D)
1
4
E)
1
6
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
A) cot5x
E) 1
5.C
B) tan5x
D) cos5x
C) sin5x
E) sec5x
cos 20° + cos 50° + cos 80°
cos10° + cos 40° + cos 70°
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1
3
sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x
cos 3 x + cos 5 x + cos 7 x
16. 12.
C)
dir?
cos255° – cos165°
farkının değeri kaçtır?
1
2
2
2
15. 11. E) 2 6
ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 1
D)
C) 2 2
cos 80° ⋅ cos 20° ⋅ cos10°
cos 50°
çarpımının sonucu kaçtır?
6 D) 2 3 14.
3
olduğuna göre,
3
10. sin x =
1
1
+
sin15° cos15°
13.
2
D)
2
6.A
E) 1
7.D
A) tan50°
8.E
9.E
B) cot40°
D) cos40°
10.A
11.D
12.C
C) cot50°
E) sec40°
13.E
14.D
15.B
16.C
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 08
TANIM
İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan
ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere
trigonometrik denklem denir.
Örneğin sin2x + cos2x = 1 eşitliği her x gerçek değeri için
sağlandığından bir trigonometrik özdeşliktir.
Buna göre, cosx = a denklemini sağlayan [0, 2p) aralığındaki en küçük pozitif değer q ise k∈ Z olmak üzere bu
denklemin kökleri
x = q + k⋅2p
veya
x = –q + k⋅2p
olup çözüm kümesi,
Ancak sinx = 1 veya cot2x = –1 eşitlikleri bazı x gerçek
değerleri için sağlanacağından birer trigonometrik denklemdir.
Ç = {x : x = q + k ⋅ 2p veya x = –q + k ⋅ 2p, k ∈ Z}
olur.
Trigonometrik denklemi sağlayan gerçek değerlere denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm
kümesi denir.
Hazine 25
cosx = a denkleminin çözümü:
Her x gerçek değeri için –1 ≤ cosx ≤ 1 olduğundan
a > 1 ve a < –1 için cosx = a denkleminin çözüm kümesi
k ∈ Z olmak üzere cosx = a denklemini sağlayan
[0, 2p) aralığındaki en küçük pozitif değer q ise bu
denklemin kökleri
x1 = q + k ⋅ 2p
boş kümedir.
x2 = –q + k ⋅ 2p
olup, çözüm kümesi
Ç = {x : x1 = q + k ⋅ 2p veya x2 = –q + k ⋅ 2p, k ∈ Z}
dir.
Yukarıdaki O merkezli birim çemberi inceleyelim. Biliyoruz
ki, I. bölgede seçilen q gerçek sayısının kosinüs değeri ile
IV. bölgeden seçilen (–q) gerçek sayısının kosinüs değe-
DNA 78
rine eşittir.
O halde cosx = a denklemini sağlayan değerlerden biri q
ise diğeri (–q) dır. Esas ölçü gereği q değerine k bir tam
sayı olmak üzere k ⋅ 2p eklediğimizde birim çemberde
yine P noktasına geleceğimizi biliyoruz. Aynı durum (–q)
değeri için de geçerli olduğundan genel çözümü elde etmiş olduk.
cos x =
1
2
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
7π
4
B)
3π
4
C)
3π
5
D)
π
6
10. SINIF MATEMATİK
E)
π
3
485
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
Çözüm
cos x =
1
2
Işık 16
ise cos x = cos
π
 π
= cos  − 
4
 4
olacağından
denklemi sağlayan x değerleri k ∈ Z olmak üzere,
cosx = –1, cosx = 0 ve cosx = 1
denklemlerinin çözümlerini pratik olarak bilmekte fay-
π
π
x = + k ⋅ 2π veya x = − + k ⋅ 2π dir. k nın her bir tam
4
4
sayı değeri için bulacağımız bütün x değerleri bu denkle-
da var.
me ait köklerdir.
•
cosx = –1 ise x = p + k ⋅ 2p dir.
•
cosx = 0 ise x =
•
cosx = 1 ise x = k ⋅ 2p dir.
π
π
7π
x = − + k ⋅ 2π ifadesinde k = 1 için x = − + 2π =
4
4
4
olur.
Doğru Seçenek A
k ∈ Z olmak üzere,
π
+ k ⋅ 2π dir.
2
Ayrıca, cosx = a denkleminin [0, 2p) aralığında m tane
kökü varsa n ∈ Z+ olmak üzere cos(n ⋅ x) = a denkleminin m⋅n tane kökü vardır.
DNA 79
cos x = −
3
2
aşağıdakilerden hangisidir?
π
6
B)
π
3
1
2
denkleminin [0, 2p) aralığındaki köklerinden biri
denklemin kökleri [0, 2p) aralığındaki köklerinden biri
A)
cos2x =
C)
7π
6
D)
5π
3
E)
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
11π
6
5π
6
B)
2π
3
C)
3π
4
D)
π
4
E)
π
3
Çözüm
cos 2x =
π

cos  x +  = −1
6

1
π
 π
ise cos 2x = cos = cos  − 
2
3
 3
olur.
denkleminin [0, 2p) aralığındaki kökü aşağıdakilerden
Bu noktadan itibaren çok sık yapılan bir hata var. Önce
hangisidir?
yanlış çözümü yapalım.
π
 π
cos 2x = cos = cos  −  olduğundan
3
 3
11π
A)
6
7π
B)
6
486
10. SINIF MATEMATİK
5π
C)
6
π
D) 6
π
E)
3
Trigonometri - Bölüm 08
2x =
x=
Trigonometrik Denklemler
π
π
veya 2x = −
3
3
DNA 80
π
π
dır.
veya x = −
6
6
O halde kökler
x=
π

cos  2x −  = sin x
4

denkleminin [0, 2p) aralığındaki köklerinden biri
π
π
+ k ⋅ 2π ve x = − + k ⋅ 2π olur.
6
6
aşağıdakilerden hangisidir?
11π
12
Hata yaptığımız yer umarım dikkatinizden kaçmamıştır.
A)
Şimdi doğru çözümü yapalım.
π
 π
cos 2x = cos = cos  −  olduğundan k ∈ Z olmak üzere,
3
 3
2x =
x=
B)
D)
7π
8
3π
4
C)
E)
5π
6
2π
3
π
π
+ k ⋅ 2π veya 2x = − + k ⋅ 2π
3
3
π
π
+ k ⋅ π veya x = − + k ⋅ π olur.
6
6
x=−
π
+ k ⋅ π ifade sin de k = 1 için
6
x=−
π
5π
+π=
6
6
Çözüm
olur.
Doğru Seçenek A
π

sin x = cos  − x  olduğundan
2


 π
π
π



cos  2x −  = cos  − x  = cos  −  − x  
4
2
2





 
olur.
Denklemi sağlayan değerler,
k ∈ Z olmak üzere,
cos3x = –1
2x −
π π
π
π
= − x + k ⋅ 2π veya 2x − = − + x + k ⋅ 2π
4 2
4
2
3x =
π π
π π
+ + k ⋅ 2π veya x = − + k ⋅ 2π
2 4
4 2
3x =
3π
π
+ k ⋅ 2π veya x = − + k ⋅ 2π
4
4
denkleminin [0, 2p) aralığındaki köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
π
6
B)
π
2
C)
2π
3
D)
3π
4
E) p
x=
2π
π
π
+k⋅
veya x = − + k ⋅ 2π
4
3
4
olur.
k = 1 için x =
cos5x = 1
olur.
denkleminin [0, 2p) aralığında kaç tane kökü vardır?
A) 1
B) 2
π
2π 11π
+ 1⋅
=
4
3
12
C) 3
D) 4
Doğru Seçenek A
E) 5
10. SINIF MATEMATİK
487
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
DNA 81
π

π

cos  3 x −  = sin  − x 
5

3

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
cos2x – cosx – 2 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
11π
11π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z 
A)  x : x =
60
120


gisidir?
11π
π
π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ , k ∈ Z
B)  x : x =
60
120
2


π


B)  x : x = + k ⋅ π, k ∈ Z 
2


11π
11π
π


+ k ⋅ π veya x = −
+ k ⋅ , k ∈ Z
C)  x : x =
60
60
2


C)
11π
11π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z 
D)  x : x =
30
60


A)
{x :
{x :
x = π + k ⋅ 2π, k ∈ Z}
x = −π + k ⋅ π, k ∈ Z}
π


D)  x : x = − + k ⋅ π, k ∈ Z 
2


E)
{x :
x = k ⋅ 2π, k ∈ Z}
11π
11π
π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ , k ∈ Z
E)  x : x =
10
30
2


Çözüm
Bu sefer ikinci dereceden denklem çözümü yapacağız.
cosx = t olsun
cos2x – cosx – 2 = 0
t2 – t – 2 = 0
123
–2 çarpımları –2
+1 toplamları –1
(t – 2) ⋅ (t + 1) = 0
t – 2 = 0 veya t + 1 = 0
t = 2 veya t = –1
3π 

π

cos  2x +
= sin  − x 
4 

2

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3π
π


+ k ⋅ π veya x = + k ⋅ 2π, k ∈ Z 
A)  x : x =
4
4


3π
π
π


+k⋅
veya x = + k ⋅ π, k ∈ Z 
B)  x : x =
4
3
4


3π
π
2π


+ k ⋅ 2π veya x = − + k ⋅ , k ∈ Z 
C)  x : x = −
4
4
3


3π
2π
π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ , k ∈ Z
D)  x : x = −
4
3
4


2π
3π


+ k ⋅ 2π veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z 
E)  x : x = −
3
8


488
10. SINIF MATEMATİK
cosx = 2 veya cosx = –1
olur.
–1 ≤ cosx ≤ 1 olduğundan cosx = 2 denkleminin çözüm
kümesi boş kümedir.
k ∈ Z olmak üzere
cosx = –1 ise x = p + k⋅ 2p idi.
O halde çözüm kümesi
{x: x = p + k ⋅ 2p, k ∈ Z} dir.
Doğru Seçenek A
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
Buna göre sinx = a denklemini sağlayan [0, 2p) aralığındaki en küçük pozitif değer q ise k ∈ Z olmak üzere bu
denklemin kökleri,
4 ⋅ cos2x + 4 ⋅ cosx – 3 = 0
ğıdakilerden hangisidir?
A)
π
6
B)
5π
6
C)
4π
3
x = q + k⋅ 2p
denkleminin [0, 2p) aralığındaki köklerinden biri aşa-
D)
5π
3
E)
7π
4
veya
x = (p – q) + k ⋅ 2p
olup çözüm kümesi,
Ç = {x: x = q + k ⋅ 2p veya x = (p – q) + k ⋅ 2p, k ∈ Z}
olur.
Hazine 26
k ∈ Z olmak üzere sinx = a denklemini sağlayan
cos2x – 4cosx – 5 = 0
[0, 2p) aralığındaki en küçük pozitif değer q ise bu
denkleminin [0, 2p) aralığındaki kökü aşağıdakilerden
hangisidir?
π
A) 6
denklemin kökleri,
π
B) 4
π
C) 3
π
D) 2
E) p
x1 = q + k ⋅ 2p
x2 = (p – q) + k ⋅ 2p
olup, çözüm kümesi
Ç = {x : x1 = q + k ⋅ 2p veya x2 = (p – q) + k ⋅ 2p, k ∈ Z}
dir.
sinx = a denkleminin çözümü:
Her x gerçek değeri için –1 ≤ sinx ≤ 1 oldğundan a > 1 ve
a < –1 için sinx = a denkleminin çözüm kümesi boş kü-
DNA 82
medir.
π

sin  3 x +  = cos x
3

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han
gisidir?
π
π
π


+ k ⋅ , k ∈ Z
A)  x : x = + kπ veya x =
6
12
2


Yukarıdaki O merkezli birim çemberi inceleyelim.
π
π
π


+ k ⋅ veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z 
B)  x : x =
24
2
12


I. bölgeden seçilen bir q gerçek sayısının sinüs değeri ile
II. bölgeden seçilen (p – q) gerçek sayısının sinüs değeri
eşittir.
π
π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z 
C)  x : x =
12
18


O halde sinx = a denklemini sağlayan değerlerden biri q
ise diğeri (p – q) dır.
Bu değerlerden her birine k ∈ Z olmak üzere k ⋅ 2p eklersek genel çözümü elde etmiş oluruz.
π
π
π


+ k ⋅ veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z 
D)  x : x =
12
2
16


π
π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ 2π, k ∈ Z 
E)  x : x =
24
12


10. SINIF MATEMATİK
489
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
Çözüm
π

cos x = sin  − x  idi.
2

Buna göre,
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

π

π

π

sin  3 x +  = sin  − x  = sin  π −  − x  
3

2

2


olduğundan, k ∈ Z olmak üzere,
π π
π
π
3 x + = − x + k ⋅ 2π veya 3 x + = π − + x + k ⋅ 2π
3 2
3
2
π π
π π
4 x = − + k ⋅ 2π veya 2x = − + k ⋅ 2π
2 3
2 3
π
π
4 x = + k ⋅ 2π veya 2x = + k ⋅ 2π
6
6
x=
π
π
π
+ k ⋅ veya x =
+k⋅π
24
2
12
4 ⋅ sin2x + 8 ⋅ sinx – 5 = 0
π
2π


+ k ⋅ 2π, k ∈ Z 
A)  x : x = + k ⋅ 2π veya x =
3
3


π
π


B)  x : x = + k ⋅ 2π veya x = − + k ⋅ 2π, k ∈ Z 
3
3


π
5π


+ k ⋅ 2π, k ∈ Z 
C)  x : x = + k ⋅ 2π veya x =
6
6


π
3π


+ k ⋅ π, k ∈ Z 
D)  x : x = + k ⋅ 2π veya x =
6
4


π
π


+ k ⋅ π veya x = − + k ⋅ π, k ∈ Z 
E)  x : x =
12
6


bulunur.
Çözüm kümesi ise
π
π
π


+ k ⋅ veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z 
x : x =
24
2
12


olur.
Doğru Seçenek B
sin x =
Işık 17
1
2
sinx = –1, sinx = 0 ve sinx = 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3π
5π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ 2π, k ∈ Z 
A)  x : x =
2
6


2π
π


+ k ⋅ 2π veya x = + k ⋅ π, k ∈ Z 
B)  x : x =
3
6


π
5π


+ k ⋅ 2π, k ∈ Z 
C)  x : x = + k ⋅ 2π veya x =
6
6


π
π


D)  x : x = + k ⋅ 2π veya x = + k ⋅ 2π, k ∈ Z 
3
6


π
5π


+ k ⋅ π, k ∈ Z 
E)  x : x = + k ⋅ π veya x =
6
6


490
10. SINIF MATEMATİK
denklemlerinin çözümlerini yazalım:
k ∈ Z olmak üzere,
3π
+ k ⋅ 2π dir.
2
•
sinx = –1 ise x =
•
sinx = 0
ise x = k⋅p dir.
•
sinx = 1
ise x =
π
+ k ⋅ 2π dir.
2
Ayrıca sinx = a denkleminin [0, 2p) aralığında m tane
kökü varsa n ∈ Z+ olmak üzere sin(n ⋅ x) = a denkleminin [0, 2p) aralığında m ⋅ n tane kökü vardır.
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
tanx = a ve cotx = a denklemlerinin çözümü
DNA 83
tan 4 x = 3
denkleminin [0, 2p) aralığında kaç tane kökü vardır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
O merkezli birim çemberi inceleyelim.
I. bölgede bir q gerçek sayısının tanjantının, III. bölgedeki
(p + q) gerçek sayısının tanjantına eşit olduğu görülüyor.
q gerçek sayısının ve (p + q) gerçek sayısının görüntüsü tanjant ekseni üzerindeki T noktasıdır. Benzer durum
kotanjant fonksiyonu için de geçerlidir. q ve (p + q) gerçek sayılarının kotanjant ekseni üzerindeki görüntüleri C
noktasıdır.
Çözüm
tan 4 x = 3 ise tan 4 x = tan
π
tür.
3
O halde k ∈ Z olmak üzere,
4x =
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu sinüs ve
x=
kosinüs fonksiyonlarından farklı olarak p dir. Buna göre,
k ∈ Z olmak üzere q gerçek sayısına k⋅p eklersek genel
π
+k⋅π
3
π
π
+k⋅
12
4
π
π
+ k ⋅ , k ∈ Z}
12
4
çözümü elde etmiş oluruz.
olur. Yani çözüm kümesi Ç = { x : x =
O halde [0, 2p) aralığında, tanx = a denklemini sağlayan
dir. Denklemin [0, 2p) aralığında kaç kökü olduğu soru-
en küçük pozitif değer q ise çözüm kümesi
Ç = {x: x = q + k ⋅ p, k ∈ Z} ve
cotx = a denklemini sağlayan en küçük pozitif değer q ise
luyor. Bu noktada iki yol tercih edilebilir. İlki k yerine tam
sayı değerleri verip bu aralıktaki kökleri bulup saymak ki
bu yolu tavsiye etmiyoruz. Kök sayısı çok fazla olabilir.
çözüm kümesi
Ç = {x: x = q + k ⋅ p, k ∈ Z} dir.
Hazine 27
k ∈ Z olmak üzere [0, 2p) aralığında tanx = a denklemini sağlayan en küçük pozitif değer q ise bu denklemin çözüm kümesi,
{x : x = q + k ⋅ p, k ∈ Z}
dir.
k ∈ Z olmak üzere [0, 2p) aralığında cotx = a denkle-
İkincisi, aradığımız kökler [0, 2p) aralığında olduğundan
0≤
eşitsizliğini çözüp k nın kaç tane tam sayı değeri alabileceğini bulmak. Elbette ikinci yolu tercih edeceğiz.
0≤
π
π
π
π
π
≤−
+
+ k ⋅ < 2π −
12
12 12
4
12
−
π
π 23π
≤k⋅ <
12
4 12
−
π 4 23π 4
π 4
⋅
⋅ ≤k⋅ ⋅ <
4 π 12 π
12 π
−
1
23
≤k <
3
3
{x : x = q + k ⋅ p, k ∈ Z}
dir.
π
π
+ k ⋅ < 2π
12
4
−
mini sağlayan en küçük pozitif değer q ise bu denklemin çözüm kümesi
π
π
+ k ⋅ < 2π
12
4
10. SINIF MATEMATİK
491
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
k ∈ Z olacağından aralığı,
Çözüm
0≤k≤ 7
biçiminde yazabiliriz. Bu aralıkta 8 tane tam sayı vardır.
Eşitliğin sol tarafında toplam biçiminde verilmiş ifadeyi
çarpım durumuna getirmek için dönüşüm formüllerini kul-
Doğru Seçenek E
lanalım.
sin 5 x + sin 3 x = 2 ⋅ sin
5x + 3x
5x − 3x
⋅ cos
2
2
= 2 ⋅ sin 4 x ⋅ cos x
cot 3 x = − 3
denkleminin [0, 2p) aralığında kaç kökü vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
sin5x + sin3x = cosx
2 ⋅ sin4x ⋅ cosx = cosx
2 ⋅ sin4x ⋅ cosx – cosx = 0
cosx(2 ⋅ sin4x – 1) = 0
cosx = 0 veya 2⋅ sin4x – 1 = 0 olur.
cosx = 0 ise x =
π
+ k ⋅ 2π dir.
2
2⋅sin4x–1=0 ise sin 4 x =
1
2
sin 4 x = sin
π
π
= sin( π − )
6
6
olacağından k∈Z olmak üzere,
tan3x ⋅ tan15x = 1
4x =
 π
denkleminin 0,  aralığında kaç tane kökü vardır?
 2
A) 4
C) 9
B) 6
D) 12
x=
E) 15
π
π
+ k ⋅ 2π veya 4 x = π − + k ⋅ 2π
6
6
π
π
π
5π
+k⋅
veya x =
+k⋅
24
2
24
2
olur.
Doğru Seçenek B
DNA 84
sin5x + sin3x = cosx
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
π
A)
36
492
D)
π
B)
24
5π
72
10. SINIF MATEMATİK
E)
π
C)
18
π
12
cos4x + cos2x = cos3x
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
π
4
B)
π
6
C)
π
2
D)
2π
3
E)
3π
2
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
olur.
b
oranına uygun bir dik üçgen çizelim.
a
tanα =
cos2x + sin2x = 1
ABC dik üçgeninde
denkleminin [0, 2p) aralığında kaç kökü vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Pisagor Teoremi’nden
E) 5
KOSİNÜS VE SİNÜSE GÖRE LİNEER
DENKLEMLER
| AC | = a2 + b2 olur.
cos α =
a
2
a + b2
a, b, c sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere,
a ⋅ cosx + b ⋅ sinx = c
ifadesini denklemde yerine yazalım.
cos( x − α ) =
c
⋅ cos α
a
cos( x − α ) =
c
a
⋅
a a2 + b2
tipindeki denklemlere sinx ve cosx e göre lineer (doğrusal) denklemler denir.
b
Bu tip denklemler çözülürken tanα =
dönüşümü yapıa
lır.
Hazine Avı
cos( x − α ) =
c
olur.
2
a + b2
Buradan itibaren normal denklem çözümü yapılır.
Ayrıca bir hazine vermemize gerek yok.
a, b, c sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere
a ⋅ cosx + b ⋅ sinx = c
eşitliğini a ya bölelim.
a ⋅ cosx+b ⋅ sinx c
=
a
a
a ⋅ cos x b ⋅ sin x c
+
=
a
a
a
cos x +
tanα =
b
c
⋅ sin x =
a
a
b
dönüşümü yapalım.
a
cos x + tan α ⋅ sin x =
cos x +
c
a
sin α
c
⋅ sin x =
cos α
a
cos( x − α )


cos x ⋅ cos α + sin α ⋅ sin x c
=
cos α
a
DNA 85
3p
< x < 2p olmak üzere
2
cos x − 3 ⋅ sin x = 3
denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir?
5π
3
cos( x − α ) c
=
cos α
a
A)
c
cos( x − α ) = ⋅ cos α
a
D)
B)
9π
5
7π
4
E)
C)
13π
8
11π
6
10. SINIF MATEMATİK
493
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
Çözüm
cos x − 3 ⋅ sin x = 3 denkleminde tan 60° = tan
olduğundan eşitliğin solundaki
3 yerine tan
π
= 3
3
π
yazalım.
3
π
cos x − tan ⋅ sin x = 3
3
π
3
⋅ sin x = 3
cos x −
π
cos
3
3 ⋅ cos x + 3 ⋅ sin x = 3
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) { x : x =
π
+ k ⋅ 2π veya x = k ⋅ π, k ∈ Z}
6
B) { x : x =
5π
π
2π
+k⋅
veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z}
3
3
3
C) { x : x =
2π
+ k ⋅ π veya x = π + k ⋅ π, k ∈ Z}
3
D) { x : x =
π
+ k ⋅ 2π veya x = k ⋅ 2π, k ∈ Z}
3
sin
π
π
cos x ⋅ cos − sin ⋅ sin x
3
3
= 3
π
cos
3
E) { x : x = −
π
π
+ k ⋅ 2π veya x = + k ⋅ 2π, k ∈ Z}
3
3
π
π
π
cos x ⋅ cos − sin ⋅ sin x = 3 ⋅ cos
3
3
3

1
2
3
1
2
 π
cos x + 
 3
π
3

cos  x +  =
3 2

TANIM
a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere
a ⋅ cosx + b ⋅ sinx = 0
olur.
π
3
π
π

 π

cos  x +  =
ise cos  x +  = cos = cos  − 
3 2
3
6


 6
biçimindeki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler denir.
olacağından kökler,
x+
π π
π
π
= + k ⋅ 2π veya x + = − + k ⋅ 2π
3 6
3
6
x=
π π
π π
− + k ⋅ 2π veya x = − − + k ⋅ 2π
6 3
3 6
x=−
π
π
+ k ⋅ 2π veya x = − + k ⋅ 2π
6
2
 3π

bulunur. Aradığımız kökler  , 2π  aralığında olduğun 2

π
dan x = − + k ⋅ 2π ifadesinde k = 1 alalım.
6
x=−
Genel olarak, a ⋅ cosx + b ⋅ sinx = 0 denklemi düzenlenerek tanjanta bağlı bir denklem haline getirilir ve
çözüm yapılır.
a ⋅ cosx + b ⋅ sinx = 0
Terimleri cosx e bölelim. (cosx ≠ 0)
a+b⋅
b ⋅ tan x = −a
π
11π
+ 2π =
6
6
tan x = −
olur.
Doğru Seçenek E
10. SINIF MATEMATİK
b
a
olur. Bu denklemin çözümü yapılarak sonuca ulaşılır. Bu tür homojen denklemler lineer denklemlerin
özel durumlarıdır.
494
sin x
=0
cos x
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
DNA 86
sin x +
1
3
cos x = 0
sin x + 3 ⋅ cos x = 0
denkleminin [0, 2p) aralığındaki köklerinden biri aşa-
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
ğıdakilerden hangisidir?
gisidir?
A)
A) { x : x =
π
+ k ⋅ π, k ∈ Z}
6
B) { x : x =
2π
+ k ⋅ π, k ∈ Z}
3
C) { x : x =
5π
+ k ⋅ π, k ∈ Z}
4
D) { x : x =
5π
+ k ⋅ π, k ∈ Z}
6
π
3
B)
π
6
C)
3π
4
D)
7π
6
E)
5π
3
sinx + cosx = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
7π
E) { x : x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z}
6
A)
7π
4
B)
5π
3
C)
5π
4
D)
7π
6
E)
π
4
TANIM
a, b, c sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere
Çözüm
a ⋅ cos2x + b ⋅ sinx ⋅ cosx + c ⋅ sin2x = 0
sin x +
1
3
biçimindeki denklemlere ikinci dereceden homojen tri-
cos x = 0
gonometrik denklemler denir.
Terimleri cosx e bölelim.
sin x
1
+
=0
cos x
3
tan x = −
1
3
5π
tan x = tan
6
a ⋅ cos2x + b ⋅ sinx ⋅ cosx + c ⋅ sin2x = 0
denklemi düzenlenerek tanjanta bağlı bir denklem
haline getirilir ve çözümü yapılır.
a ⋅ cos2x + b ⋅ sinx ⋅ cosx + c ⋅ sin2x = 0
olduğundan çözüm kümesi
{x : x =
Genel olarak,
5π
+ k ⋅ π, k ∈ Z}
6
Terimleri cos2x e bölelim, (cosx ≠ 0)
a+b⋅
olur.
Doğru Seçenek D
sin x ⋅ cos x
2
cos x
+c⋅
sin2 x
cos2 x
=0
a + b ⋅ tanx + c ⋅ tan2x = 0
olur. Elde ettiğimiz bu ikinci dereceden denklemin
çözümü yapılarak sonuca ulaşılır.
10. SINIF MATEMATİK
495
Trigonometri - Bölüm 08
Trigonometrik Denklemler
TEST - 14
1.
denklemlenin çözüm kümesi aşağıdakilerden
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
sin2x = –2
hangisidir?
{
{
{
}
π
5π


+ k ⋅ 2π veya x =
+ k ⋅ π, k ∈ Z 
A)  x : x =
12
18


π
5π
π


+ k ⋅ π veya x =
+ k ⋅ , k ∈ Z
B)  x : x =
12
36
3


π
+ kπ, k ∈ Z
3
2π
+ kπ, k ∈ Z
3
2π
π
+ kπ, k ∈ Z ∨
+ kπ, k ∈ Z
3
3
A)
B)
C)
D) {kp, k ∈ Z}
E) ∅
}
π
5π


+ k ⋅ π, k ∈ Z 
C)  x : x = − + k ⋅ π veya x =
6
12


}
π
5π
2π


+ k ⋅ 2π veya x = −
+ k ⋅ , k ∈ Z
D)  x : x = −
12
36
3


3π
5π
2π


+ k ⋅ 2π veya x = −
+ k ⋅ , k ∈ Z
E)  x : x = −
8
18
3


3
sin x =
4
2.
7.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
kökü vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
3.
denklemini sağlayan en küçük pozitif x açısı kaç
3 ⋅ sin x + cos x = 1
gisidir?
denkleminin [0, 2p) aralığında kaç tane gerçek
3π 
π


sin  2x +
 = cos  x + 6 
4




6.
sinx = cosx
A) { x : x =
π
+ k ⋅ π veya x = k ⋅ π, k ∈ Z}
3
B) { x : x =
π
3π
+ k ⋅ 2π veya x =
+ k ⋅ 2π, k ∈ Z}
6
2
C) { x : x =
2π
+ k ⋅ 2π veya x = k ⋅ 2π, k ∈ Z}
3
D) { x : x =
π
π
+ k ⋅ 2π veya x = − + k ⋅ 2π, k ∈ Z}
6
3
E) { x : x =
5π
+ k ⋅ π veya x = π + k ⋅ 2π, k ∈ Z}
6
derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
4.
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
cos3x + cosx = cos2x
hangisidir?
5π
A)
3
3π
B)
2
π
C) 2
3π
D)
8
denkleminin [0, 2p) aralığında kaç kökü vardır?
C) 8
1.E
496
10. SINIF MATEMATİK
D) 10
2.A
3.C
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
A)
9π
4
5π
6
C)
5π
8
D)
2π
3
E)
3π
2
denkleminin [0, 2p) aralığında kaç kökü vardır?
sin3x + cos4x – cos2x = 0
A) 3
5.E
B)
9.
E) 12
4.A
sin2x – 3 ⋅ sinx ⋅ cosx + 2cos2x = 0
hangisidir?
cos43x – sin43x = 0
B) 6
π
E)
6
5.
A) 4
8.
6.D
B) 4
7.C
8.A
C) 6
9.D
D) 8
E) 10

GK_10_sinif_matematik

Related documents

Products

Support

GK_10_sinif_matematik

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib