45/57 Tek Serbestlik Dereceli Sistemlerin Zorlanmış Titreşimleri

Tek Serbestlik Dereceli Sistemlerin Zorlanmış Titreşimleri:
Mühendislik sistemlerine etki eden kuvvetler genellikle harmonik formdadır. Şekilde
harmonik bir kuvvet görülmektedir.
15
10
f ( t ) = F0 sin ωt
Genlik (N)
5
0
-5
Burada F0 zorlama genliği, ω ise
zorlama frekansıdır.
-10
-15
0
0.1
0.2
0.3
Zaman (sn)
0.4
0.5
Bununla birlikte mühendislik sistemleri üzerinde sıklıkla etkili olan diğer bir zorlama tipi de
periyodik zorlamalardır. Fourier serileri ve dönüşümleri kullanılarak, periyodik fonksiyonları
bir dizi harmonik fonksiyonun toplamı şeklinde ifade etmek mümkündür. Zorlamanın bir dizi
harmonik fonksiyonun toplamı olduğu bilgisi kullanılarak, doğrusal (lineer) sistemlerin
periyodik zorlamalara verdiği cevabın, sistemin periyodik zorlamayı oluşturan her bir
harmonik zorlamaya verdiği cevapların toplamı olduğu söylenebilir.
10
Periyodik zorlama
0
-10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
10
n
f ( t ) = a 0 + ∑ (a i sin ωt + b i cos ωt )
i =1
0
-10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
10
0
-10
Periyodik zorlamayı
oluşturan harmonik
bileşenler
10
0
-10
Zaman (sn)
Şekil. Periyodik zorlama ve harmonik bileşenleri.
Fourier serileri ve tek serbestlik dereceli sistemlerin periyodik zorlamalara cevabına bölüm
sonunda değinilecektir.
Kaynaklar: Theory of Vibrations-W.T.Thomson, Elements of Vibration Analysis-L. Meirovitch, Vibrations of Continuous SystemsS. Rao, Fundamentals of Mechanical Vibrations-S.G. Kelly, Vibration Problems in Engineerin-W.Weaver, S.P. Timoshenko,
D.H. Young, Engineering Vibrations-D.J. Inman, Mühendislik Sistemlerinin Modellenmesi ve Dinamiği-Yücel Ercan, Dynamics
and Vibration-M.A.Wahab.
45/57
Sönümsüz Zorlanmış Titreşimler (Harmonik Zorlama):
Yandaki tek serbestlik dereceli sistem
üzerine ω zorlama frekansında harmonik
bir kuvvet etki etmektedir. Newton’un 2.
yasası kullanılarak hareket denklemi
aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
f(t)=F0sinωt
m
x(t)
− kx + F0 sin ωt = m&x&
k
buradan
m&x& + kx = F0 sin ωt
F
&x& + ω2n x = 0 sin ωt
m
Yukarıdaki 2. mertebeden diferansiyel denklem için genel çözüm homojen ve özel çözümlerin
toplamı şeklinde ifade edilebilir.
x(t) = x h (t) + x ö (t)
Homojen çözüm ilk şartlar etkisi ile elde edilen çözümdür ve başlangıç şartlarına bağlı olarak
x h ( t ) = A1 cos ωn t + A 2 sin ωn t olarak ifade edilmişti. Özel çözümü elde etmek için zorlama
tipinde bir çözüm kabul edilebilir.
x ö ( t ) = X sin ωt olduğu kabul edilerek, kabul edilen çözümün türevleri diferansiyel
denklemde yerine konulur ise
x& ( t ) = ωX cos ωt , &x&( t ) = −ω2 X sin ωt
− ω 2 X sin ωt + ω 2n X sin ωt =
1
ω 2n
[
]
F0
F
sin ωt Î − ω 2 + ω 2n X = 0
m
m
denklemin her iki tarafı
ile çarpılır ise
F0
F0 m
k burada r = ω dir ve frekans oranı olarak adlandırılır.
1− r X =
Î X=
m k
ωn
1− r2
(
2
)
(
)
Başlangıç şartları sıfırdan farklı bir sistem harmonik zorlama altındaki genel çözüm;
46/57
F0
k
sin ωt ’dir.
⎡ ⎛ ω ⎞2 ⎤
⎢1 − ⎜⎜
⎟ ⎥
⎢ ⎝ ωn ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
Genel çözümdeki A1 ve A2 katsayıları başlangıç şartlarından elde edilebilir.
F0
k sin ω0 Î A1=x0
x 0 = A1 cos ωn 0 + A 2 sin ωn 0 +
1 − r2
F0
x&
F k
x& 0 = −ωn A1 sin ωn 0 + ωn A 2 cos 0 + ω k2 cos ω0 Î A 2 = 0 − r 0 2
ωn
1− r
1− r
F0
⎡ x& 0
F0 k ⎤
k sin ωt
x ( t ) = x 0 cos ωn t + ⎢
sin ωn t +
−r
2⎥
ω
1− r ⎦
1 − r2
⎣ n
x ( t ) = A1 cos ωn t + A 2 sin ωn t +
0.5
x h (t )
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.3
x ö (t)
0
-0.3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
0
-1
m=20 kg
k=2000 N/m
ω=15 rad/sn
x0=0.05 m
v0=0.2 m/sn
x(t)
0
0.5
1
1.5
Zaman (sn)
2
2.5
3
Şekil. Tek serbestlik dereceli sistem için genel çözüm.
Başlangıç şartları sıfır ise çözüm xö(t) formunda harmonik bir cevap olacaktır. Frekans
oranına bağlı olarak yer değiştirme genlikleri çizilir ise
X0
1
=
F0
1− r2
k
47/57
10
5
X 1
0
F0 / k
-5
-10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
10
X
F0 / k
5
1
0
ω
ωn
Frekans oranına bağlı olarak aşağıdaki durumlar geçerlidir.
0<
ω
<1
ωn
durumunda yer değiştirme zorlama ile aynı yöndedir. (in-phase)
F(t) [N]
500
ω=5 rad/sn
ωn=10 rad/sn
0
-500
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
Zaman (sn)
2
2.5
3
0.4
x(t) [m]
0.2
0
-0.2
-0.4
ω
= 1 cevap sonsuza gider.
ωn
ω
> 1 durumunda yer değiştirme zorlama ile zıt yöndedir. (anti-phase)
ωn
48/57
In-Phase cevap
f(t) [N]
500
0
-500
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
Zaman (sn)
1.5
2
Anti-Phase cevap
x(t) [m]
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
Örnek:
Şekilde verilen kiriş üzerinde bulunan bir elektrik motorundan dolayı kirişe etki eden kuvvet
f ( t ) = 300 sin 40t (N) şeklindedir.
Çelik malzeme E=200 GPa
Motor kütlesi m=250 kg.
F0
ωt
m
20 mm
3m
400 mm
Bu kuvvet etkisi altında motorun bulunduğu noktadaki yer değiştirme genliklerini
hesaplayınız. Motor kirişin ortasındadır. Kiriş kütlesi ihmal edilebilir değerdedir.
Kiriş orta noktasındaki direngenlik
k=
192EI
0.4 * 0.023
,
Kiriş
alan
atalet
momenti
I
=
= 2.666x10− 7 (m 4 )
3
12
L
k=
192 * 200 x109 * 2.666 x10−7
= 379259 ( N / m).
33
Motor kiriş sisteminin doğal frekansı (kiriş kütlesi ihmal ediliyor)
ωn =
k
379259
=
= 38.95 (rad / sn )
m
250
49/57
Zorlama frekansı 40 rad/sn’dir. Bu durumda zorlama ile yer değiştirme anti-phase
durumundadır.
Yer değiştirme genliği
X=
F0
300 379259
k
=
= −0.01446 (m) = −14.46 (mm)
2
2
⎛ 40 ⎞
⎛ ω⎞
1− ⎜
⎟⎟
⎟
1 − ⎜⎜
⎝ 38.95 ⎠
⎝ ωn ⎠
Sönümlü Zorlanmış Titreşimler (Harmonik Zorlama):
f(t)=F0sinωt
Şekilde verilen tek serbestlik dereceli harmonik
zorlama etkisindeki sönümlü bir sistem için
hareket denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.
x(t)
m&x& + cx& + kx = F0 sin ωt
Sönüm oranı için ζ =
m
c
ifadesi kullanılarak
2mωn
k
c
hareket denklemi şu şekilde de yazılabilir.
&x& + 2ζωn x& + ω2n x =
F0
sin ωt
m
Diferansiyel denklemin çözümü homojen çözüm ile özel çözümün toplamı şeklinde ifade
edilebilir. Homojen çözüm başlangıç şartlarına bağlıdır, özel çözüm ise dış zorlam ile oluşur.
Başlangıç şartlarına bağlı çözüm, sönümlü durum için zaman ilerledikçe kaybolacaktır ve
sistem cevabı sadece zorlama ile elde edilen çözüm olacaktır. Bu nedenle özel çözüme
(zorlamaya bağlı çözüm) düzgün rejim cevabı da denir. Özel çözümün formu zorlam
formunda kabule dilerek.
x ö ( t ) = x ( t ) = X sin (ωt − ϕ) kabul edilerek, çözümün türevleri diferansiyel denklemde yerine
konur ise.
x& ( t ) = ωX cos(ωt − ϕ) , &x&( t ) = −ω2 X sin (ωt − ϕ)
− ω2X sin (ωt − ϕ) + 2ζωn (ωX cos(ωt − ϕ)) + ω2n X sin (ωt − ϕ) =
Trigonometrik açılımlardan yararlanılarak
sin (ωt − ϕ) = sin ωt cos ϕ − sin ϕ cos ωt
cos(ωt − ϕ) = cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ
50/57
F0
sin (ωt )
m
− ω2 X sin ωt cos ϕ + ω2 X sin ϕ cos ωt + 2ζωn ωX cos ωt cos ϕ + 2ζωn ωX sin ωt sin ϕ + ω2n X sin ωt cos ϕ
− ω2n X sin ϕ cos ωt =
F0
sin ωt
m
[ − ω cos ϕ + 2ζω ωsin ϕ + ω
2
n
2
n
]
cos ϕ X sin ωt =
F0
sin ωt
m
[ω sin ϕ + 2ζω ωcos ϕ − ω sin ϕ]X cos ωt = 0
2
2
n
n
[2ζω ωsin ϕ + (ω
]
)
− ω2 cos ϕ X =
2
n
n
[
) ]
(
F0
, 2ζωn ω cos ϕ + ω2 − ω2n sin ϕ X = 0
m
⎡ ω
⎤
⎛ ω2 ⎞
F
sin ϕ + ⎜1 − 2 ⎟ cos ϕ⎥ X = 0
⎢2ζ
⎜ ω ⎟
k
⎢⎣ ωn
⎥⎦
n⎠
⎝
[2ζω ω cos ϕ + (ω
n
2
[
) ]
[
) ]
(
− ω2n sin ϕ X = 0 Î 2ζωn ω cos ϕ − ω2n − ω2 sin ϕ X = 0
) ]
(
⎛ ω2 ⎞
ω
1
1
2
2
cos ϕ = ⎜1 − 2 ⎟ sin ϕ
2ζωn ω cos ϕ − ωn − ω sin ϕ X = 0 2 Î 2ζ
⎜ ω ⎟
ωn
ω2n
ωn
n⎠
⎝
tan ϕ =
2ζ r
1 − r2
(2ζ r )2 + (1 − r 2 )
2
2ζ r
1− r 2
2ζ r
sin ϕ =
(
(2ζr )
2
⎡
⎢ 2ζ r
⎢
⎢⎣
+ 1− r
2ζ r
(2ζr )
X
=
F0
k
2
(
+ 1− r
)
)
2 2
2 2
, cos ϕ =
(
+ 1− r
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
=
2
)
1 − r2
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
⎤
⎥ X = F0
2⎥
k
(2ζr )2 + 1 − r 2 ⎥⎦
1 − r2
(
)
1
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
⎛ 2ζr ⎞
, ϕ = tan −1⎜
⎟
⎝1 − r2 ⎠
51/57
6
ζ=0
5
ζ=0.1
X/F0/k
4
ζ=0.2
3
Artan sönüm
2
ζ=0.5
1
0
ζ=0.707
0
0.5
1
1.5
2
r
2.5
3
3.5
4
φ
r
Rezonans durumu incelenir ise;
Rezonans durumunda genlik en büyük değere sahiptir. En büyük genliğin elde edildiği
frekans değerine REZONANS FREKANSI adı verilir. Bu frekans değerinde cevap genliği
eğrisinin türevi sıfıra eşittir.
⎛
⎜ X
d⎜
⎜ F0
⎝ k
dr
⎞
⎟
⎟ 0*
⎟
⎠=
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
− 0.5
8ζ 2r − 4r + 4r 3
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
52/57
=0
ω
= 1 − 2ζ 2 Î Rezonans Frekansı ωR = ωn 1 − 2ζ 2 ζ = 0.707 ve
ωn
daha sonrası için rezonans tepesi gözlenmez.
r 2 + 2ζ 2 − 1 = 0 Î r =
Rezonansdaki genlik değerini hesaplamak için bulunan r değeri genlik oranı ifadesinde yerine
konulur ise
⎛
⎜ X
⎜F
⎜ 0
⎝ k
⎛
⎜ X
⎜F
⎜ 0
⎝ k
⎞
⎟
1
elde edilir. Küçük sonüm oranları için Rezonans Genliği
⎟ =
⎟
2ζ 1 − ζ 2
⎠R
⎞
⎟
1
⎟ = 2ζ olarak elde edilir.
⎟
⎠R
Tek serbestlik dereceli bir sistemin frekansa bağlı cevap genliklerini hesaplamak için
aşağıdaki program notepad programında yazılarak txt formatında kaydedilir. ANSYS’de
çalıştırılır. Farklı model parametreleri için (kütle, direngenlik, sönüm) cevap genlikleri
incelebilir.
dof1_harm.txt
/prep7
et,1,mass21
et,2,combin14
r,1,0,40
r,2,200000,200
f(t)=F0sinωt
n,1,0,0,0
n,2,0,1,0
m
type,1
real,1
e,2
type,2
real,2
e,1,2
eplot
x(t)
k
/solu
antype,3
d,all,ux,0
d,all,uz,0
d,1,uy,0
f,2,fy,-100
harfrq,0,60
nsubst,60
kbc,1
solve
/post26
nsol,2,2,uy
plvar,2
53/57
c
Kütle Dengesizliğinden Kaynaklanan Kuvvetler İle Oluşan Titreşimler:
Kütle dengesizliği hemen hemen tüm dönel makinalarda karşılaşılan temel bir problemdir.
Şekilde kütle dengesizliği ile uyarılan tek serbestlik dereceli bir sistem görülmektedir.
F(t) (N)
mdeω
md
e
2
ωt
ωt
m
ωt (rad)
x(t)
k
c
F( t ) = m d eω2 sin ωt
m&x& + cx& + kx = m d eω2 sin ωt = F0 sin ωt
x ( t ) = X sin (ωt − ϕ) , x& ( t ) = ωX cos(ωt − ϕ) , &x&( t ) = −ω2 X sin (ωt − ϕ)
k
m d eω2
c
&x& + x& + x =
sin ωt
m
m
m
&x& + 2ζω n x& + ω 2n x =
m d eω 2
sin ω t
m
− ω2 X sin (ωt − ϕ) + 2ζωn ωX cos(ωt − ϕ) + ω2n X sin (ωt − ϕ) =
m d eω2
sin ωt
m
Trigonometrik eşitliklerden kullanılarak
− ω2 X sin ωt cos ϕ + ω2 X sin ϕ cos ωt + 2ζωn ωX cos ωt cos ϕ + 2ζω n ωX sin ωt sin ϕ + ω2n X sin ωt cos ϕ
− ω2n X sin ϕ cos ωt =
mde 2
ω sin ωt
m
sinωt ve cosωt terimlerinin katsayıları oluşturularak
[
]
m d eω2
− ω cos ϕ + 2ζωn ω sin ϕ + ω cos ϕ X sin ωt =
sin ωt
m
ω2 sin ϕ + 2ζωn ω cos ϕ − ω2n sin ϕ X cos ωt = 0
2
2
n
[
]
⎡ ω
⎤
⎛ ω2 ⎞
m d e ω2
m d eω2
⎜
⎟
2
ζ
sin
ϕ
+
1
−
cos
ϕ
X
=
Î
⎢
⎥
n
⎜ ω2 ⎟
m
m ω2n
n ⎠
⎝
⎣ ωn
⎦
⎛ ω2 ⎞
2ζr
ω
2ζωn ω cos ϕ − ω2n − ω2 sin ϕ X = 0 Î 2ζ cos ϕ = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ sin ϕ Î tan ϕ =
1 − r2
ωn
⎝ ωn ⎠
sin ϕ ve cos ϕ için değerler yerine konur ise
[2ζω ωsin ϕ + (ω
2
n
[
(
]
− ω2 )cos ϕ X =
) ]
54/57
2ζ r
sin ϕ =
⎡
⎢
⎢
⎣
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
(2ζr )2
(2ζr )2 + (1 − r 2 )2
X
mde
r2
=
m
+
, cos ϕ =
1 − r2
(2ζr )2 + (1 − r 2 )
2
(1 − r )
(2ζr ) + (1 − r )
2 2
2
(2ζr )2 + (1 − r 2 )2
(2ζr )2 + (1 − r 2 )2
2
⎤
⎥ X = mde r 2
2
m
⎥
⎦
r2
=
(2ζr )2 + (1 − r 2 )2
5
ζ=0
4
ζ=0.1
Artan
Sönüm
3
X
mde m
ζ=0.3
2
ζ=0.5
1
0
ζ=0.707
ζ=1
0
1
2
r
3
4
5
Rezonans durumundaki r oranını bulmak için genlik ifadesinin r’ye göre türevi alınıp sonuç
sıfıra eşitlenir ise,
⎛ X ⎞
⎟⎟
d⎜⎜
m
e
m
r
1 r 2 (8ζ 2 r − 4r + 4r 3 )
⎝ d
⎠ =2
−
=0
dr
(2ζr )2 + (1 − r 2 )2 2 3 (2ζr )2 + (1 − r 2 )2
İşlemler yapılır ise REZONANS durumu için r oranı
⎛ ⎞
(r )rez = ⎜⎜ ω ⎟⎟ = 1 2 Î Buradan ωR = ωn 2 , Bu frekans genlik ifadesinde yerine
1 − 2ζ
1 − 2ζ
⎝ ωn ⎠ rez
konulur ise REZONANS genliği için
⎛ X ⎞
1
⎟⎟ =
⎜⎜
dir. Küçük sönüm oranları için
2
⎝ m d e m ⎠ rez 2ζ 1 − ζ
55/57
⎛ X ⎞
1
⎟⎟ =
⎜⎜
dir.
⎝ m d e m ⎠ rez 2ζ
Zemine İletilen Kuvvet:
Harmonik kuvvet etkisi altındaki bir mekanik sistem, hareket sırasında yay ve amortisörde
oluşan reaksiyon kuvvetlerini bağlantı noktalarından zemine iletir. Zorlama kuvveti genliği ve
zemine iletilen kuvvet arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde elde edilebilir.
f(t)=F0sinωt
f(t)=F0sinωt
m
m
x(t)
k
x(t)
k
c
c
Fc
Fk
Ftr=Fk+Fc
Harmonik zorlama etksindeki düzenli rejim titreşimleri dikkate alınarak harmonik yer
değiştirme ve buna ait hız ifadesi ile;
x ( t ) = X sin (ωt − ϕ) , x& ( t ) = ωX cos(ωt − ϕ)
Ftr = kX sin (ωt − ϕ) + cωX cos(ωt − ϕ)
Aşağıdaki trigonometrik ilişki kullanılarak
⎛B⎞
z( t ) = A sin ωt + B cos ωt = A 2 + B2 sin (ωt + β ) , β = tan −1 ⎜ ⎟
⎝A⎠
A=3
B=4
ω=18.85
5
0
z( t ) = A sin ωt + B cos ωt
-5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Zaman (sn)
0.7
0.8
0.9
1
5
⎛
⎛ B ⎞⎞
z ( t ) = A 2 + B2 sin ⎜⎜ ωt + tan −1 ⎜ ⎟ ⎟⎟
⎝ Z ⎠⎠
⎝
0
-5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Zaman (sn)
0.7
0.8
56/57
0.9
1
Dolayısı ile zemine iletilen kuvvet aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
Ftr ( t ) = FTR sin (ωt + φ')
Zemine iletilen kuvvet genliği üzerinde durulduğu için FTR genliği
FTR =
(kX )2 + (cXω)2
FTR = kX 1 +
=
c 2ω2
2
⎣
k X
2
2
⎤
⎥
⎦
( k = mω2n )
( )
m ω
2
⎡
(kX )2 ⎢1 + c ω2 X2
2 2
n
2
FTR
2
2
⎛c⎞ r
2 r
= kX 1 + ⎜ ⎟ 2 = kX 1 + (2ζωn ) 2
ωn
⎝ m ⎠ ωn
FTR = kX 1 + (2ζr )
2
FTR
=
F
Fk
(2ζr )2 + (1 − r 2 )2
1 + (2ζr )
2
(2ζr )
2
(
+ 1− r
)
2 2
= T (Kuvvet iletim Oranı, Transmissibility)
5
4.5
4
3.5
3
FTR/F
X=
2.5
Artan Sönüm
2
1.5
1
Artan Sönüm
0.5
0
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
r
57/57
3
3.5
4
4.5
5