Atatürk Üniversitesi Açık Erişim Sistemi

ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
B-MANİFOLDLARIN GEOMETRİSİ
Murat İŞCAN
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ERZURUM
2008
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
B-MANİFOLDLARIN GEOMETRİSİ
Murat İŞCAN
Atatürk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Abdullah MAĞDEN
Ortak-Danışman: Prof. Dr. Arif SALİMOV
Bu tezde, pür Riemannian metrik tensörlerinin uygulanabildiği Tachibana operatörler
teorisi kullanılmış ve paraholomorfik B-manifold incelenmiştir. Bu amaçla ilk olarak
hemen hemen B-manifoldun paraholomorfik B-manifold olması için gerek ve yeter şart
ispatlandı. Sonra paraholomorfik B-manifoldlar için eğrilik tensörüne bakıldı. İlk önce
eğrilik tensörünün pür olduğu gösterildi. Pür olan Riemannian eğrilik tensörüne Tachibana
operatörü uygulanarak Riemannian eğrilik tensör alanının paraholomorfik tensör alanı
olduğu ispatlandı. Ayrıca paraholomorfik B-manifoldun R skaler eğriliğinin lokal
holomorfik fonksiyon olduğu gösterildi. Son olarak tanjant demette (1,1) tipli I birim
tensör alanının D I diagonal liftinin ve S g Sasakian metriğinin vasıtasıyla (T (Vn ), D I , S g )
üçlüsünün bir hemen hemen B-manifold olduğu ve (T (Vn ), D I , S g ) hemen hemen Bmanifoldunun paraholomorfik olması için baz manifoldun lokal Euclidean olması gerektiği
ispatlandı.
2008, 63 sayfa
Anahtar Kelimeler: Pür tensör, Tachibana operatörü, diagonal lift, Sasakian metrik
i
ABSTRACT
Ph. D. Thesis
GEOMETRY OF B-MANIFOLDS
Murat İŞCAN
Atatürk University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Abdullah MAĞDEN
Co-Supervisor: Prof. Dr. Arif SALİMOV
In this thesis, The theory of Tachibana operators, which pure Riemannian metric tensors
can be implemented, has been used and paraholomorphic B-manifold has been investigated.
For this reason, firstly, it has been proved that almost B-manifold is paraholomorphic Bmanifold on which necessary and sufficient conditions. Then, curvature tensor for
paraholomorphic B-manifold has been investigated. As a first, it has been shown that
curvature tensor is pure. It has been proved that Riemannian curvature tensor field is
paraholomorphic tensor field by means of Tachibana operator by being implemented to
Riemannian curvature tensor which is pure. Moreover, it has been shown that R curvature
scalar of paraholomorphic B-manifold is locally holomorphic function. Finally, it has been
proved that (T (Vn ), D I , S g ) is almost B-manifold by means of diagonal lift of identity
tensor field with (1,1) type ,
D
D
I , in tangent bundle and
S
g Sasakian metric and that
S
(T (Vn ), I , g ) almost B-manifold is palaholomorphic if the manifold is locally euclidean.
2008, 63 pages
Keywords : Pure tensor, Tachibana operator, diagonal lift, Sasakian metric
ii
TEŞEKKÜR
Doktora tezi olarak sunduğum bu çalışma Atatürk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümünde yapılmıştır.
Bu tez konusunu çalışmamı sağlayan, her adımda bilgilerini esirgemeyen, Hocalarım Sayın
Doç. Dr. Abdullah MAĞDEN’e, Sayın Prof. Dr. Arif SALİMOV’a teşekkür eder
şükranlarımı ifade etmek isterim. Ayrıca çalışmalarımda ve tezin hazırlanışında yakın ilgi
ve yardımlarını esirgemeyen Hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Nejmi CENGİZ’e, Sayın Yrd.
Doç. Dr. Ömer TARAKÇI’ya şükranlarımı sunarım.
Çalışmalarım boyunca kendisinden görmüş olduğum destekten ve sonsuz güveninden
dolayı eşime teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
Murat İŞCAN
Ocak 2008
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET……………….………………………………………………………………………..i
ABSTRACT............................................................................................................................ii
TEŞEKKÜR….………………………..................................................................................iii
SİMGELER DİZİNİ……...…………………………………………………….................. vi
ŞEKİLLER DİZİNİ .............................................................................................................vii
1.GİRİŞ…...……………………………………….……………………….…….……...1
2. KURAMSAL TEMELLER…………..…........……………………………..………3
2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar……...………………………………………….. 3
2.2. Tensör Alanları…………….…………………..………………........…………....…5
2.3. Diferensiyellenebilir Manifold Üzerinde Afin (Levi-Civita) Konneksiyon…...……9
2.3.1. Afin konneksiyonlu uzaylar………………….…………..…………..……….....14
2.3.2. Eğrilik ve burulma tensörleri………………………….....………………..…….17
2.3.3. Konneksiyonların dönüşümü…………………….....………………………..….19
2.3.4. Burulması sıfır olan uzaylar……….………..………………..…………….........21
2.3.5. Riemannian manifoldu………….……………..……..……………….................26
3. MATERYAL ve YÖNTEM………….………..……...………………....................27
3.1. Tanjant Demet……………..………..………….………………………………….27
3.1 Diferensiyel Geometrik Cebirsel Yapılar.……..………..……………..……......…29
3.2.1. m-boyutlu cebir………………………………………….………….....……..…..29
3.2.2. Cebirsel yapılara göre holomorfluk …..………………………..……………..…34
3.3. Nijenhuis Tensörü………………...………………………..……………………....38
3.4. Skaler Eğrilik……………………………………………..………………………..40
3.5. Hermitian ve Kahlerian Manifoldlar…….…………….…………………………..41
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA………………..…......……….…...44
4.1. Parakompleks yapı ve φ -operatör..…………….....………..……………………...44
4.2. Holomorfik B-Manifold…...………………..……………..…………………….…46
4.3. Paraholomorfik B-manifoldlarında Eğrilik Tensörleri……..……...……..……......52
iv
4.4. Paraholomorfik B-manifoldlarında Skaler Eğrilikler………..…..………......…….55
5. SONUÇ………………………..…..…………….…………..………..……………..61
KAYNAKLAR.....................................................................................................................62
ÖZGEÇMİŞ………………....……………………………………………………………..64
v
SİMGELER DİZİNİ
T (M n )
M n Manifoldunun Tanjant Demeti
Tx ( M n )
x ∈ M n Noktasındaki Tanjant Uzay
Tqp ( M n )
M n Manifoldu Üzerinde (p,q) tipli Tensör Demeti
LX
X Vektör Alanına Göre Lie Türevi
∇X
X Vektör Alanına Göre Kovaryant Türev
Γij
h
Cristoffel Sembolü
Rijkh
Eğrilik Tensörü
S ijh
Burulma Tensörü
Tkmi
Afin deformasyon (gerilme) tensörü
Am
m − boyutlu cebir
γ
Cαβ
Cebirin yapı sabitleri
φ
Tachibana operatörü
D
Diagonal Lift
V
Dikey Lift
H
Yatay Lift
Nϕ
ϕ ’in Nijenhuis Tensörü
S
Sasakian metriği
g
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 4.1. Hemen hemen Hermitian manifold ve hemen hemen para B-manifold
arasındaki benzerlikler diagramı………………..………………………….49
vii
1
1. GİRİŞ
Manifoldlar üzerindeki yapılar teorisi, modern diferensiyel geometrinin çok ilginç bir
konusu olmuştur.
Hemen hemen product uzaylar Walker (1955) tarafından çalışılmaya başlanmıştır.
Fukami (1959) hemen hemen product manifoldlarda bazı yapılara göre afin
konneksiyonlarını araştırmış ve aynı yıl Yano hemen hemen product uzayda afin
konneksiyonlarını çalışmıştır.
Tachibana (1960) lokal product Riemannian manifoldları üzerine bazı teoremler ortaya
atmıştır.
Norden (1960) M n diferensiyellenebilir Riemannian manifoldunda ϕ hemen hemen
product yapısına göre g metrik tensörü
g (ϕ X , Y ) = g ( X , ϕY ) ,
X , Y ∈ ℑ10 ( M n ) , n = 2k ,
şartını sağladığında g ’yi B-tensör olarak adlandırmıştır. g Riemannian metrik tensörü
yukarıdaki şartı sağlarsa g ye pür tensör de denir. Vishnevskii (1970) hemen hemen
product yapıya göre pür olan g Riemannian metriğini, Norden’in (1960) çalışması
doğrultusunda, B-metrik olarak adlandırmıştır. ( M n , ϕ ) B-metriğine sahip hemen
hemen product manifold ise ( M n , ϕ , g ) ye hemen hemen B-manifold denir. ( M n , ϕ , g )
hemen hemen B-manifoldunda
(1,1)
tipli ϕ
tensör alanı integrallenebilirse
( M n , ϕ , g ) ’ye B-manifold denir.
Kruchkovich (1972) manifoldlar üzerinde hiperkompleks yapıları ve özel durum gibi
paracomplex yapıları incelerken, ( M n , ϕ , g ) B-manifoldu üzerinde
(φϕ g )( X , Y , Z ) = ( Lϕ X g − LX ( g ϕ ))(Y , Z ) + g (Y , ϕ LX Z ) − g (ϕY , LX Z )
şartını sağlayan g pür tensör alanına uygulanan
2
φϕ : g → ℑ30 ( M n )
operatörü için B-manifoldunda g B-metriğinin φϕ g = 0 şartını sağlarsa paraholomorfik
(analitik) olduğunu görmüştür.
Adati (1981) hemen hemen product Riemannian manifoldlarının alt manifoldlarını
incelerken Mihai ve Nicolau (1982) hemen hemen paracontact manifoldlarının tanjant
demeti üzerinde hemen hemen product yapılarını incelemiştir. Ivanavo (1989) hemen
hemen B-manifoldlar üzerine örnekler sunmuştur. Cruceanu, Fornuty ve Gadea (1996)
Parakompleks geometri üzerine bir derleme çalışması yapmışlardır.
Sunulan bu tezde holomorfik B-manifoldların üzerine çalışılmış, eğrilik tensörünün ve
skaler eğriliklerinin holomorfluğu incelenmiştir. Bu amaçla ikinci ve üçüncü
bölümlerde çalışmamızın anlaşılabilmesi için diferensiyellenebilir manifoldlar, cebirsel
yapılar ve yapıların özellikleri hakkında genel bilgiler verilmiştir.
Dördüncü bölümde ise sırasıyla paraholomorfik B-manifold ile Kahlerian manifoldları
arasındaki benzerlik incelenmiş, bununla ilgili bir diyagram verilmiştir. Daha sonra
eğrilik tensörünün pür ve holomorfik olma şartı araştırılmıştır. Ayrıca skaler eğriliğinin
de holomorfluğu araştırılmış ve son olarak B-manifoldlarla ilgili örnekler sunulmuştur.
3
2. KURAMSAL TEMELLER
2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar
2.1.1. Tanım: X Hausdorff uzay olmak üzere herhangi bir U ⊂ X açık kümesinden
V⊂
n
kümesine tanımlanan
ϕ :U → V
homeomorfizmine
X
de n
boyutlu koordinat sistemi veya harita, U
haritasının koordinat komşuluğu veya koordinat bölgesi denir ve
ya ise ϕ
(U , ϕ )
şeklinde
gösterilir. Eğer x ∈ U ise
ϕ ( x ) = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈
n
olur. Burada x1 ,..., x n reel sayılarına ϕ haritasında x noktasının koordinatları denir.
2.1.2. Tanım: Eğer X Hausdorff uzayının n-boyutlu ϕα haritalarının U α bölgeleri bu
uzayı örterse, yani
X =
∪ Uα
,
( A-indisler kümesi )
α ∈A
ise X ’e n-boyutlu topolojik manifold veya sadece n-boyutlu manifold denir.
2.1.3. Tanım: X Hausdorff uzay ve k ise 0 ≤ k şartını sağlayan tam sayı olsun.
Aşağıdaki şartları sağlayan
{(U α , ϕα ) : α ∈ A,U α
⊂ X } lokal koordinatlar ailesine X
üzerinde C k sınıfından n-boyutlu atlas adı verilir:
1. Lokal haritaların U α bölgesi X i örter, yani X , n-boyutlu topolojik manifolddur.
2. Keyfi α , β ∈ A için Uα ∩ U β ≠ ∅ ise
ϕ β ϕα −1 : ϕα (U α ∩ U β ) → ϕ β (U α ∩ U β )
dönüşümü C k sınıfındandır. Bu şarta bazen (U α , ϕα ) ve
uzlaşması şartı da denir.
(U
β
, ϕ β ) haritalarının C k
4
ϕ β ϕ α−1 dönüşümüne ise koordinatların dönüşümü
(u
i
β
( )
)
= u βi uαj , i, j = 1,..., n denir.
Burada u βi , (U β , ϕ β ) haritasındaki x ∈ U α ∩ U β noktasının koordinatları, uαj ise
(U α , ϕα ) haritasındaki
x noktasının koordinatlarıdır.
U α ∩ U β = ∅ ise bu durumda ϕ β ϕ α−1 dönüşümü tanımlanamaz. Ancak, bu durumda
ϕ β ϕ α−1 dönüşümünün C k sınıfından olduğu kabul edilecektir. 2. şart, ϕ β ϕ α−1
dönüşümlerinin C k sınıfından difeomorfizmler olmasına denktir. Bu ise, ϕ β ϕ α−1
koordinat dönüşümünün Jakobian matrisinin determinantının sıfırdan farklı olması
demektir.
2.1.4. Tanım:
{(U α , ϕα )}
ve
{(U
β
, ϕ β )}, C k sınıfından herhangi iki atlas olsun. Bu
atlasların keyfi (U α , ϕα ) ve (U β , ϕ β ) haritaları C k uzlaşmış ise yani,
{(U
β
{(U α , ϕα )}
ve
, ϕ β )} atlaslarının birleşimi C k sınıfından atlas ise verilen atlaslara denk atlaslar
denir.
2.1.5. Tanım: X
Hausdorff uzayı üzerinde C k atlaslarının denklik sınıfına C k -yapı
denir. C k -yapısının tüm C k atlaslarının birleşiminin oluşturduğu C k atlasına maksimal
C k atlas adı verilir.
X üzerindeki C k atlaslarının her bir denklik sınıfı, kendisinin bir elemanı ile ifade
edilir. Yani, C k -yapısı, onun keyfi C k atlası yardımıyla oluşturulabilir. Buradan da, X
üzerindeki her bir C k -yapısının bu yapıdan olan bir C k atlas ile verilebileceği sonucu
çıkar.
C 0 -yapıya topolojik yapı, C k (1 ≤ k ≤ ∞ ) yapıya ise düzgün (smooth) yapı denir.
Bundan sonra yalnız C ∞ -yapılara bakılacaktır.
5
2.1.6. Tanım: M, sayılabilir baza sahip Hausdorff uzay olsun. Eğer, M üzerinde n-
boyutlu C ∞ atlaslarının C ∞ yapısı verilmişse M uzayına n-boyutlu C ∞ sınıfından
diferensiyellenebilir manifold veya düzgün manifold denir ve M n ile gösterilir.
2.2.Tensör Alanları
2.2.1. Tanım: Bn , n − boyutlu reel vektör uzayı, Bn* ise onun dual uzayı olsun.
i
x j ∈ Bn , j = 1,..., q ve ξ ∈ Bn∗ , i = 1,..., p kovektör değişkenlerinin
1
p
2
ω = t ( x1 , x 2 ,..., x q , ξ , ξ , ..., ξ )
reel değerli fonksiyonunu göz önüne alalım. Eğer bu fonksiyon her bir değişkene göre
lineerlik şartını sağlarsa, fonksiyona multilineer fonksiyon denir.
Mesela birinci vektör değişkenine göre lineerlik şartı λ , μ ∈
1
2
p
1
2
olmak üzere
p
1
2
p
ω = t (λ x + μ y, x2 ,..., xq , ξ , ξ ,..., ξ ) = λt (x , x2 ,..., xq , ξ , ξ ,..., ξ ) + μ t ( y, x2 ,..., xq , ξ , ξ ,..., ξ )
biçiminde gösterilebilir. Bu multilineer fonksiyona karşılık gelen
p
∗
n
t : Bn × Bn × ... × Bn × B × ... × Bn∗ →
q
operatörüne Bn uzayında p dereceden kontravaryant, q dereceden kovaryant tensör adı
verilir ve bu şekildeki tüm tensörlerin uzayı Tqp (Bn ) ile gösterilir. p ≥ 0, q ≥ 0 olmak
üzere s = p+q sayısına ise tensörün valentliği, (p,q) sembolüne ise tensörün tipi denir.
(p,0) tipli tensöre kontravaryant tensörler, (0,q) tipli tensörlere ise kovaryant tensörler
denir.
S 2 (Bn ) ,
T20 (Bn ) uzayının bütün simetrik tensörlerinin alt uzayı olmak üzere herhangi
bir g ∈ S 2 (Bn ) tensörünü alalım;
g ( x , y ) = 0, ∀y ∈ Bn
şartında x = 0 olursa, bu taktirde g tensörüne regüler tensör denir.
(2.1)
6
(2.1) eşitliği koordinatlarla
g ij x i y j = 0
biçiminde yazılır. Bu eşitlik her y j için sağlandığından
gij xi = 0 , j = 1,..., n
bulunur. Bu denklem sisteminin x i = 0 çözümüne sahip olması için
Det (g ij ) ≠ 0
olması gerekir. Burada (g ij ), g tensörüne karşılık gelen matristir.
g ∈ S 2 (Bn ) tensörü regüler tensör ise g tensörüne Bn uzayında esas tensör adı verilir.
( )
Esas tensöre karşılık gelen (g ij ) matrisinin tersini g~ ij ile gösterelim. Bu taktirde
g~ kj g ji = δ ik
(2.2)
yazılır. Bn ve Bn∗ uzayları arasında
ξi = gik x k , (ηi = gik y k )
(2.3)
dönüşümü, (2.2) eşitliğine göre
x k = g kiξi , ( y k = g kiηi )
(2.4)
olur. g ∈ S 2 (Bn ) tensörüne karşılık gelen invaryant bilineer formu
ω = g (x , y ) = g ij x i y j
şeklinde yazalım. Burada (2.3) ve (2.4) eşitliklerini dikkate alırsak
ω = g (x , y ) = g x i y j = x iη = g~ ijη ξ
ij
i
i
j
olur. Yani, g esas tensörü verildiğinde biz kovektör değişkenlerinin ω = g~ ijη i ξ j
invaryant bilineer formunu buluruz. Buna göre de g~ ij ,
(2,0) tipli tensörün
koordinatlarıdır. Bu tensöre g tensörünün ters tensörü denir. Ayrıca
g~ (η , ξ ) =
g~ (ξ ,η ) =
g~ ijη i ξ j = η i x i = g ik y k x i ,
g~ ji ξ jη i = ξ j y j = g jk x k y j
= g ki x i y k = g ki y k x i = g~ (η , ξ )
olduğundan g~ ij tensörü simetriktir.
7
Böylece Bn uzayında g tensörü verildiğinde Bn ’den Bn∗ ’a bir izomorfizm bulunur.
Buna göre vektör ve kovektörler aynılaştırılır ve aynı x sembolü ile gösterilir. Yani,
xk = g ki x i , x i = g ik xk
yazılır. Bu işlemlere indisin indirilmesi
(x
i
→ xk
)
ve yükseltilmesi
(x
k
→ xi
)
işlemleri denir. Buna göre, S (x , y ) tensörü göz önüne alınırsa
S .pj = g pi Sij , Si .p = g pj Sij , S .pq. = g pi g pj Sij
ifadelerinin herbiri S ij tensöründen indislerin yükseltilmesi işlemi,
S .p j = g pi S ij , S ip. = g pj S ij , S .pq. = g pi g qj S ij
ifadelerinin herbiri ise verilmiş S ij tensöründen indislerin indirilmesi işlemidir.
Eğer g ( x , y ) , Bn uzayında (0,2) tipli tensör ise, her x , y ∈ Bn vektörlerinin skaler
çarpımı denildiğinde g tensörünün x ve y vektörleri üzerindeki izi anlaşılır ve xy
veya (x , y ) biçiminde gösterilir. Yani,
xy = g ( x , y ) = gij xi y j = x j y j
(2.5)
biçiminde tanımlanır.
Eğer Det (g ij ) ≠ 0 olursa bu taktirde (2.5) skaler çarpımına regüler çarpım denir.
2.2.2. Tanım: M n , C ∞ sınıfından bir manifold ve Tp , her p ∈ M n noktasındaki tanjant
uzayı olsun. M n manifoldunun her p ∈ M n noktasına T p uzayından bir X p vektörü
karşılık getiren X vektör değerli fonksiyonuna vektör alanı denir (Salimov ve Mağden
1999).
f , M n manifoldunda bir dönüşüm ise Xf de M n manifoldunda
( Xf )( p ) = X p f
ile tanımlanan bir dönüşümdür. U ⊂ M n
komşuluktaki bir vektör alanı
koordinat komşuluğunu alalım. Bu
8
X = ξ i∂i
olarak yazılır. ξ i ler U daki lokal koordinatlara bağlıdır. Yani,
ξ i = ξ i (x i ,..., x n ) , i = 1,..., n
olur.
M n , C ∞ sınıfından bir manifold olmak üzere her m ∈ M n noktasındaki her bir (p,q) tipli
tensör için uygun bir Tqp (m ) tensör uzayı vardır.
2.2.3. Tanım: M n , C ∞ sınıfından bir manifold ve Tqp ( m ) , her m ∈ M n noktasındaki
(p,q) tipli tensör uzayı olsun. M n manifoldunun her m ∈ M n noktasına Tqp (m ) tensör
uzayından bir t qp (m ) tensörü karşılık getiren T fonksiyonuna (p,q) tipli tensör alanı
denir (Bishop ve Goldberg 1968).
Eğer p = 1, q = 0 ise vektör alanı elde edilir. Yani, (1, 0) tipli tensör alanı bir vektör
alanıdır.
Eğer p = q = 0 ise her m ∈ M n noktasına bir skaler değer karşılık gelir. Bu yüzden
(0, 0) tipli tensör alanı reel değerli bir fonksiyondur.
Eğer U ⊂ M n bölgesinde f fonksiyonu C ∞ sınıfından ise her x ∈ U için df
x
∈ T10 (x )
olur. Böylece f fonksiyonunun diferensiyeli olan df operatörü (0,1) tipli bir tensör
alanıdır.
Herhangi bir m noktasındaki Tm tensörü simetrik tensör ise T tensör alanına simetrik
tensör alanı denir. Eğer herhangi bir m noktasındaki Tm tensörü antisimetrik tensör ise
T tensör alanına antisimetrik tensör alanı denir.
9
T, ( p,q ) tipli tensör alanı olsun. θ1 ,...,θ p (0,1) tipli tensör alanları ve X 1 ,..., X q vektör
alanları olmak üzere
T (θ1 ,...,θ p , X 1 ,..., X q )(m ) = Tm (θ1 (m ),...,θ p (m ), X 1 (m ),..., X q (m ))
ifadesi reel değerli fonksiyon tanımlar. Özelikle x i koordinatlarına göre T tensör
alanının bileşenleri
i ...i
(
i
T j11... jpq = T dxi1 ,..., dx q , ∂ j1 ,..., ∂ j p
)
biçiminde reel değerli fonksiyonlardır (Bishop ve Goldberg 1968).
T tensör alanının bileşenleri C ∞ sınıfından fonksiyonlar ise T tensör alanına C ∞
sınıfındandır denir. C ∞ sınıfından olan (0,1) tipli tensör alanına 1-form (Pfaffian form)
denir.
(p,q) tipli T tensör alanının C ∞ sınıfından olması için gerek ve yeter şart her bir
θ1 ,...,θ p
1-formları ve her bir
C ∞ sınıfından
X 1 ,..., X q vektör alanları için
T (θ1 ,..., θ p , X 1 ,..., X q ) fonksiyonunun C ∞ sınıfından olmasıdır.
2.2.4. Tanım: ω = (ωij ) ,
(0,2) tipli bir tensör olsun. ω = (ωij ) tensöründe i ve j
indislerine göre antisimetriklik varsa ω = (ωij ) tensörüne 2-form veya dış form denir.
Bir k-forma dış diferensiyel uygulanırsa sonuçta k+1-form elde edilir. Yani ω , k-form
ise dω ∈ Tk +1 ( M n ) olup k+1-form oluşur. Böyle k+1 formlara tam form denir.
d 2ω = d (d ω ) = 0
olması tam formların en önemli özelliğidir. Yani tam formlara dış diferensiyel
uygulanırsa sonuç sıfır olur.
2.3. Diferensiyellenebilir Manifold Üzerinde Afin (Levi-Civita) Konneksiyon
M n diferensiyellenebilir manifoldunun γ : u i = u i (t )
eğrisi boyunca konneksiyon
tanımlanması eğrinin noktalarına uygulanan vektörler arasında bağlantı oluşturma
10
kuralıdır. Eğer γ eğrisinin herhangi bir noktasındaki v i vektörü t parametresine bağlı
olarak değiştikçe verilen konneksiyona göre başlangıçtaki ile uygun kalırsa, bu durumda
bu vektör verilen konneksiyona göre γ
eğrisi boyunca paralel kaydırılmış olur. Eğer
konneksiyon diferensiyellenebilirse, o zaman paralel kaydırmayı ifade eden v i = v i (t )
fonksiyonları da diferensiyellenebilir fonksiyonlar olur. Eğer vektörlerin paralel
kaydırılması halinde lineer bağımlılık korunursa verilen konneksiyona afin veya lineer
konneksiyon adı verilir.
Afin konneksiyonun γ eğrisinin çeşitli noktalarına uygulanan vektörler arasında
uygunluğu ifade eden şartı, yani vektörün eğri boyunca verilmiş afin konneksiyona göre
paralel kaydırılması şartını bulalım. γ eğrisinin başlangıç noktasındaki a , k = 1,...n
i
k
lokal bazını alalım ve farz edelim ki a (t ) ’nin lineer bağımlılığı, baz vektörlerin verilen
i
k
eğri boyunca paralel kaydırılma kuralını ifade etmiş olsun. Keyfi v i = λk a vektörünün
i
k
verilen afin konneksiyona göre γ eğrisi boyunca paralel kaydırılması için gerek ve
yeter şart λk katsayılarının sabit olmasıdır. Bu nedenden istifade edilerek
dv i = λk d a
i
(2.6)
k
ifadesi yazılabilir. v i = λk a eşitliğinden
i
k
k
λk = a i v i
(2.7)
k
i
eşitliği yazılır. Burada a baz vektörü olduğundan buna karşılık gelen kobaz vektörü ai
k
s
ile gösterilir. Dolayısıyla a a i = δ ks olur. (2.7) ifadesi (2.6) eşitliğinde kullanılırsa,
i
k
dv i + ω ki v k = 0
(2.8)
eşitliği elde edilir. (2.8) denkleminde ωik ,
s
ω ik = − a i d a k
s
(2.9)
11
biçimindedir. (2.8) şartı
v i vektörünün verilen afin konneksiyona göre paralel
kaydırılması şartıdır. (2.9) biçiminde tanımlanan ω ik objelerine konneksiyon formları
(bağlantı objeleri) denir.
{a } ,
i
2.3.1. Teorem: 1. Konneksiyon formları
k
k = 1,..., n bazının seçilişinden
bağımsızdırlar.
2. Konneksiyon formları, eğrisel koordinatların dönüştürülmesi durumunda tensör
dönüşüm kuralına göre dönüşmezler.
İspat: 1. ω ik ve ω i k farklı iki baza karşılık gelen konneksiyon formları olsun. Paralel
kaydırılan v i vektörü için,
dv i + ω ki v k = 0 ,
(2.10)
dv i + ω ki v k = 0
(2.11)
şartlarını yazabiliriz. (2.10) ve (2.11) şartlarından ve v i vektörünün başlangıç değerinin
keyfiliği şartından ω ki = ω ki bulunur.
2. M n manifoldunda u i eğrisel koordinatların değişmesi halinde baz vektörlerinin ve
kovektörlerinin dönüşüm kuralı
k
k
i
i'
(2.12)
∂u i '
∂u i
biçimindedir. (2.12) deki ikinci
a i = Aii ' a i ' , a = Aii' a
k
Aii' =
şeklinde yazılabilir. Burada
∂u i
∂u i '
k
Aii ' =
,
eşitliğin diferensiyelini alırsak,
i
i'
da = dAii' a + Aii' d a
k
k
i'
(2.13)
k
elde edilir. (2.9) denkleminde (2.12) nin birinci eşitliği ve (2.13) eşitliği göz önüne
alınırsa,
k
k
(
ω ij = − a j d a i = − A jj ' a j ' dAii' a i ' + Aii' d a i '
k
k
k
)
12
ve gerekli işlemlerden sonra
ω ij = A jj ' Aii'ω ij'' − A jj ' dA ij '
(2.14)
bulunur. (2.14) eşitliği, ω ij konneksiyon formlarının, tensörün koordinatları olamadığını
gösterir.
Şimdi ise kovektörün
γ eğrisi boyunca verilen afin konneksiyona göre paralel
kaydırılması şartını inceleyelim.
2.3.1. Tanım: ω i kovektörünün γ eğrisi boyunca paralel kaydırılan keyfi v i vektörü
üzerindeki izi bu eğri boyunca sabit kalırsa, ω i kovektörüne γ eğrisi boyunca verilen
afin konneksiyonuna göre paralel kaydırılmıştır denir.
Bu tanıma göre
(
)
d v i ω i = dv i ω i + v i dω i = 0
(2.15)
eşitliği yazılabilir. v i vektörünün paralel kaydırılması şartından
dv i = −ω ki v k
(2.16)
yazılır. (2.16) eşitliğini (2.15) ifadesinde kullanılırsa,
(dω
i
)
− ω ik ω k v i = 0
eşitliği bulunur. v i vektörünün keyfiliğinden dolayı ω i kovektörün γ eğrisi boyunca
verilen afin konneksiyona göre paralel kaydırılma şartı
dω i − ω ik ω k = 0
(2.17)
biçiminde olur. Vektörün ve kovektörün (1-form) γ eğrisi boyunca paralel kaydırılması
şartını kullanarak, eğrinin çeşitli noktalarına uygulanmış keyfi tipli tensörün de paralel
kaydırılmasını verebiliriz. γ eğrisi boyunca
i ...i
( p, q ) tipli keyfi tensörün izi
1
p
Z = t j11 ... jpq v 1 ... v q ω i1 ...ω i p
j
1
j
q
şeklinde verilmiş olsun. Z fonksiyonunun vektör ve kovektör değişkenlerinin γ eğrisi
boyunca paralel kaydırılması şartları dahilinde diferensiyeli
13
i ...i
p
1
i ...i
p
1
dZ = dt j11 ... jpq v 1 ... v q ω i1 ...ω i p + t j11 ... jpq d v 1 ... v q ω i1 ...ω i p
j
j
1
i ...i
j
1
jq
q
p
1
ω i ...d ω i
1
q
i ...i
j
1
q
+ ... + t j11 ... jpq v 1 ... v
(
j
i ...i
(2.18)
p
i ...i
si ...i
)
i
1
p
= dt j11 ... jpq − ω sj1 t sj1 2 ...pjq − ... − ω sjq t sj1 2 ...ps + ω si1 t sj22... jpq + ω s p t ij11......sjq v 1 ... v q ω i1 ...ω i p
j
j
q
1
olarak yazılır. Bu eşitlikte
i1 ...i p
i1 ...i p
i1 ...i p
i1 ...i p
si2 ...i p
ip
δt j ... j = dt j ... j − ω sj t sj ... j − ... − ω sj t sj ...s + ω si t j ... j + ω s t ij ......sj
1
q
1
q
1
2
q
q
1
2
1
q
1
1
q
(2.19)
olarak alınırsa
i ...i
p
1
dZ = δt j11 ... jpq v 1 ... v q ω i1 ...ω i p
j
j
q
1
(2.20)
elde edilir. γ eğrisi boyunca verilen afin konneksiyona göre paralel kaydırılan vektör ve
kovektör değişkenlerinin multilineer fonksiyonunun diferensiyeli de değişkenlerin
multilineer fonksiyonu olur. O halde dZ multilineer fonksiyonuna belirli bir tensör
i ...i
karşılık gelecektir. Bu tensörün tipi t j11 ... jpq tensörünün tipi ile aynı olur. Koordinatları ise
i ...i
i ...i
(2.19) eşitliği ile verilmiştir. δt j11 ... jpq tensörüne t j11 ... jpq tensörünün mutlak diferensiyeli
denir.
Tensörün mutlak diferensiyelinin tanımından çıkartılan sonuçlar şöyle ifade edilebilir:
a. Vektörün ve kovektörün paralel kaydırılması şartları
δv i = 0 ,
δωi = 0
şeklinde olur. Dolayısıyla keyfi tipli bir tensörün paralel kaydırılması şartı
i1 ...i p
δt j ... j = 0
1
q
olarak verilir.
b. Birim tensörün mutlak diferensiyeli sıfıra eşittir, yani
δ (δ i j ) = 0
olur.
14
(2.19) eşitliğinden dolayı tensörlerin mutlak diferensiyelleri için aşağıdaki özellikleri
yazabiliriz:
1. δ (t1 + t 2 ) = δt1 + δt 2 , t1 ve t 2 aynı tipli tensörlerdir,
2. δ (λt ) = (dλ )t + λ (δt ) , λ -skalerdir,
3. δ ( A ⊗ B ) = (δA) ⊗ B + A ⊗ (δB ) , A ve B keyfi tipli tensörlerdir, ⊗ - tensör çarpımını
gösterir.
4. Tensörlerin simetrikleştirme, alterneleştirme ve kontraksiyon işlemleri mutlak
diferensiyelleme işlemi ile işlem öncelik sırası değişebilir.
2.3.1. Afin konneksiyonlu uzaylar
2.3.2. Tanım: X n diferensiyellenebilir manifoldunun her bir eğrisi boyunca afin
konneksiyonu verilmiş olsun. Lineerlik şartını sağlayan X n diferensiyellenebilir
manifolduna n- boyutlu afin konneksiyonlu uzay denir.
Bu tanımdaki lineerlik şartı şu şekilde ifade edilir:
X n manifoldunun keyfi M noktası ve bu noktanın komşuluğunda keyfi vektör alanları
verilmiş olsun. Keyfi v i vektör alanının M
noktasından geçen keyfi bir eğri için
hesaplanmış mutlak diferensiyeli, bu eğri boyunca elementer yer değişme du i
vektörünün lineer fonksiyonudur, yani
δv i = v ki du k
(2.21)
olarak yazılır. Burada v ki , v i ’ye ve noktaya bağlı fonksiyon, du k ise her bir vektöre
teğet vektörün koordinatlarıdır. Diğer taraftan dv i = ∂ k v i du k olduğundan
δv i = dv i + ω ki v k = ∂ k v i du k + ω ki v k
(2.22)
olur. (2.21) ve (2.22) eşitliklerinden
ω ki v k = (v si − ∂ s v i )du s
(2.23)
15
ifadesi bulunur. v k , ∂ s vi ’nin ve v si ’ler ise u i ’lerin fonksiyonlarıdır. ω ki formları v i
vektör alanlarının seçilişine bağlı olmadığından ω ki formları du k nın lineer fonksiyonu
olur, yani
ω ki = Γ isk du s
(2.24)
olarak yazılır. Burada Γ isk katsayıları afin uzayın bir noktasının fonksiyonlarıdır.
Bunlara afin konneksiyonun katsayıları denir. Katsayıların verilmesi
X n de afin
konneksiyonunu tayin eder.
Şimdi Γ isk afin konneksiyon katsayılarının dönüşüm kuralını verelim. (2.24) eşitliği
kullanılarak
ω ij'' = Γ ik' ' j ' du k ' = Γ ik' ' j ' Akk ' du k
eşitliği yazılabilir. Ayrıca
(
)
A jj ' dA ij ' = A jj ' ∂ k A ij ' du k
A jj ' A ij ' = δ ij
olduğundan ve diğer taraftan
(2.25)
eşitliğin her iki tarafının ∂ k kısmi
diferensiyeli alındığında
∂ k ( Ajj ' Aij ' ) = ∂ k (δ ij ) = 0
(∂
k
Ajj ' ) Aij ' + Ajj ' ( ∂ k Aij ' ) = 0
Ajj ' ( ∂ k Aij ' ) = − ( ∂ k Ajj ' ) Aij '
olur. Bu son eşitlik (2.25) denkleminde kullanılırsa
(
)
A jj ' dA ij ' = − A ij ' ∂ k A jj ' du k
(2.26)
elde edilir. (2.26) , (2.24) ve (2.14) eşitlikleri kullanılarak konneksiyon katsayılarının
dönüşüm kuralı
Γ ikj = Aii' A jj ' Akk ' Γ ik' ' j ' + Aii' Akji '
(2.27)
olarak verilir. Burada Akji ' = ∂ k A ij' biçimindedir.
(2.24) denklemini kullanarak afin konneksiyonlu uzayda verilen keyfi vektör alanı için
mutlak diferensiyel
16
δv i = ( ∂ k v i + Γ iks v s ) du k
(2.28)
du k vektör olduğundan
biçiminde olur. (2.28) denkleminin sol tarafı bir tensör ve
parantezin içindeki ifade bir tensörün koordinatları olur. Bu tensöre verilen
vi
tensörünün kovaryant türevi denir ve
∇ k v i = ∂ k v i + Γ iks v s
(2.29)
olarak gösterilir. Bu türevin sonucu (1,1) tipinde bir tensördür.
Benzer şekilde ω j kovektör alanının kovaryant türevi
∇ k ω j = ∂ k ω j − Γ kjs ω s
(2.30)
olur ve sonuç (0,2) tipli bir tensördür.
i ...i
(2.24) eşitliğinden, (p,q) tipli t j11 ... jpq tensörünün mutlak diferensiyeli
p
δt j ... j = (∂ k t j ... j + ∑ Γ iksλ t j ... j
q
− ∑ Γ kjs μ t j11 ...sp... jq )du k
i ...i
(2.31)
biçiminde olur. (2.31) denkleminin sol tarafı bir tensör ve
du k vektör olduğundan
i1 ...i p
i1 ...i p
1
q
1
q
i1 ... s ...i p
1
λ =1
q
μ =1
parantezin içindeki ifade bir tensörün koordinatlarıdır. Bu tensöre
verilen
i ...i
t j11 ... jpq
tensörünün kovaryant türevi denir ve
p
q
∇ k t j11 ... jpq = ∂ k t j11 ... jpq + ∑ Γ iksλ t j11 ... jq p − ∑ Γ kjs μ t j11 ...sp... jq
i ...i
i ...i
i ... s ...i
λ =1
i ...i
biçiminde gösterilir. Tensörün kovaryant türevi tanımından, (p,q) tipli
kovaryant türevi
(p,q+1) tipli
Kovaryant türevin tanımından yararlanılarak aşağıdaki özelikleri yazabiliriz:
i ...i
i ...i
i ...i
i ...i
1. ∇ k (t j11 ... jpq ∓ t j11 ... jpq ) = ∇ k t j11 ... pjq ∓ ∇ k t j11 ... pjq
2
1
2
2. ∇ k (λ t j11 ... jpq ) = ( ∂ k λ ) t j11 ... jpq ∓ λ∇ k t j11 ... jpq , λ ∈ F ( M n )
i ...i
i ...i
tensörün
bir tensör olduğu görülür. Yani kovaryant türev,
uygulanan tensörün kovaryantlık mertebesini bir artırır.
1
(2.32)
μ =1
i ...i
17
i ...i
l ...l
i ...i
l ...l
i ...i
l ...l
3. ∇ k (t j11 ... jpq ⊗ g s11 ...spq ) = ∇ k t j11 ... jpq ⊗ g s11 ...spq + t j11 ... jpq ⊗ ∇ k g s11 ...spq
4. Tensörlerin simetrikleştirme, alterneleştirme ve kontraksiyon işlemleri mutlak
diferensiyelleme işlemi ile işlem öncelik sırası değişebilir.
Afin (lineer) konneksiyonun invaryant tanımı aşağıdaki gibi verilir:
2.3.3. Tanım: M n manifoldu üzerinde T01 ( M n ) vektör alanlarının modülü olmak üzere
∇ X Y = ∇( X ,Y ) : T01 ( M n ) × T01 ( M n ) → T01 ( M n )
dönüşümü
i. ∇ fX + gY Z = f∇ X Z + g∇ Y Z ,
ii. ∇ Z ( fX + gY ) = (Zf )X + f∇ Z X + (Zg )Y + g∇ Z Y
şartlarını sağlıyorsa ∇ ’ya afin konneksiyon denir. Burada
∇ X : T01 ( M n ) → T01 ( M n )
dönüşümüne de X vektör alanı boyunca kovaryant diferensiyellenme denir (Bishop ve
Goldberg 1968).
2.3.2. Eğrilik ve burulma tensörleri
An afin konneksiyonlu uzayında
(
f = f u 1 ,..., u n
)
diferensiyellenebilir fonksiyonu
verilmiş olsun. Bu fonksiyonun tam diferensiyeli, yani
df = ∂ k fdu i
koordinatların dönüşümü halinde invaryant kalır ve df fonksiyonu
ifadesi,
du i vektörünün
lineer fonksiyonu olur. Bu lineer fonksiyona karşılık gelen kovektörün koordinatları
Vi = ∂ i f
(2.33)
ile gösterilir. Bu kovektöre f fonksiyonunun gradienti, f fonksiyonuna ise bu kovektör
alanın potansiyel fonksiyonu denir. Keyfi Vi kovektörünün herhangi bir skaler alanın
gradienti olması için gerek ve yeter şart
∂ [ jVi ] = 0
olmasıdır (Yano 1968).
(2.34)
18
Vi gradient kovektörünün kovaryant türevi
∇ jVi = ∂ jVi − Γ kji Vk
(2.35)
biçimindedir. (2.35) denkleminde j ve i indislerine göre alterneleştirme işlemi yapılır ve
(2.34) eşitliği kullanılırsa
∇ [ jVi ] = S ijk Vk
(2.36)
S ijk = Γ [kij ]
(2.37)
elde edilir. Burada
olarak verilmiştir. (2.36) denkleminin sol tarafındaki kovaryant türev (0,2) tipli tensör
olduğundan S ijk kemiyetleri aşağı indislerine göre antisimetrik olan (1,2) tipli tensörün
bileşenlerini ifade eder. Bu tensöre An uzayının burulma (torsion) tensörü denir. An
manifoldundan alınmış keyfi X, Y
vektör alanları için burulma tensörünün invariyant
formda yazılışı ise
S ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [X , Y ]
(2.38)
biçimindedir (Kobayashi and Nomizu 1963). Burada [X , Y ] , X ve Y vektör alanlarının
Lie parantezi olup
[X , Y ] f
= X (Yf ) − Y ( Xf )
şeklindedir.
Keyfi vi vektörünün ∇ s v i = ∂ s v i + Γ ism v m kovaryant türevi (1,1) tipli tensör belirtir.
Bu tensörün kovaryant türevi ise
∇ r ∇ s v i = ∂ r ∇ s v i + Γ irm ∇ s v m − Γ mrs ∇ m v i
= ∂ r (∂ s v i + Γ isk v k ) + Γ irm (∂ s v m + Γ msk v k ) − Γ mrs ∇ m v i
= ∂ rs2 v i + ∂ r Γ isk v k + Γ isk ∂ r v k + Γ irm ∂ s v m + Γ irm Γ msk v k − Γ mrs ∇ m v i
biçiminde bulunur. Bu eşitlikte r, s indislerine göre alterneleştirme işlemi uygulanırsa,
i
2∇ [r ∇ s ]v i = Rrsk
v k − 2 S rsk ∇ k v i
(2.39)
denklemi elde edilir. (2.39) denkleminde
i
Rrsk
= ∂ r Γ isk − ∂ s Γ irk + Γ irm Γ msk − Γ ism Γ mrk
(2.40)
19
= 2(∂ [r Γ is ]k + Γ i[r m Γ ms ]k )
olarak alınmıştır. (2.39) denkleminin sol tarafındaki terim ve sağ tarafındaki ikinci terim
i
tensör ve v i keyfi vektör olduğundan Rrsk
ifadesi (1,3) tipli tensördür. Bu tensöre An
uzayının Eğrilik tensörü veya Riemannian- Christoffel tensörü denir.
(2.39) formülüne benzer olarak aşağıdaki formüller yazılabilir:
m
2∇ [r ∇ s ]ω k = − Rrsk
ω m − 2S rsm ∇ mω k ,
(2.41)
j
m
2∇ [r ∇ s ]ϕ i j = Rrsm
ϕ im − Rrsi
ϕ mj − 2S rsk ∇ k ϕ i j ,
(2.42)
i ...i
mi ...i
i
i1
p
2∇ [r ∇ s ]t j11 ... jpq = Rrsm
t j1 ...2 jq p + ... + Rrsm
t ij11......mjq
i ...i
i ...i
(2.43)
i ...i
m
m
− Rrsj
t 1 p − ... − Rrsj
t 1 p − 2S rsk ∇ k t j11 ... jpq .
1 mj 2 ... j q
q j1 ... m
(2.42) formülüne ϕ i j afinorunun Ricci özdeşliği denir.
Keyfi X , Y , Z ∈ An vektör alanları için eğrilik tensörünün invaryant formda yazılışı ise
R( X , Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X ,Y ] Z
(2.44)
biçimindedir (Kobayashi and Nomizu 1963).
2.3.3. Konneksiyonların dönüşümü
Keyfi iki afin konneksiyonlu uzayların difeomorfizmine bakalım. Bu durumda, bu
uzayların karşılıklı noktalarının koordinatları aynı olacak şekilde uygun eğrisel
koordinat sistemi verilebilir. Bu tür karşılık getirme, aynı bir X n differensiyellenebilir
manifoldunda iki keyfi afin konneksiyonun verilmesiyle de oluşturulabilir. Bu duruma,
konneksiyonların birinden diğerine geçmeye, konneksiyonların dönüştürülmesi veya
paralel kaydırma kuralının dönüştürülmesi olarak bakılabilir. Aynı manifold üzerinde
çeşitli konneksiyonlar dahil etmek mümkündür. M n manifoldu üzerinde Γ ijk ve Γijk
konneksiyon katsayılarına sahip ∇ ve ∇ konneksiyonları verilmiş olsun. Keyfi
vektör alanının bu konneksiyonlara göre kovaryant türevleri
i
∇ k v i = ∂ k v i + Γkm
vm ,
i
∇ k v i = ∂ k v i + Γkm
vm
biçiminde olur. Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak
vi
20
∇ k v i − ∇ k v i = Tkmi v m
(2.45)
eşitliği elde edilir. Burada
i
i
Tkmi = Γkm
− Γkm
(2.46)
biçimindedir. (2.45) eşitliği ile verilen Tkmi , (1,2) tipli tensör meydana getirir. Bu
tensöre afin deformasyon (gerilme) tensörü denir.
i
2.3.2. Teorem: Tkmi , (1,2) tipli tensör ve Γkm
ise ∇ afin konneksiyonunun katsayıları
i
olmak üzere (2.46) eşitliği ile verilen Γkm
katsayıları da diğer bir afin konneksiyonun
katsayıları olur.
İspat: (2.46) eşitliğinden
Γijk = Γijk − Tijk
yazılır. Γijk için konneksiyon katsayılarının dönüştürülmesi halinde
(
)
Γijk − Tijk = Akk' Aii ' A jj ' Γi k' j'' − Ti 'kj'' + Akk' Aijk '
(2.47)
olur. Burada Tijk tensör olduğundan,
Tijk = Akk' Aii ' A jj 'Ti 'kj''
(2.48)
eşitliğini yazabiliriz. (2.48) eşitliği (2.47) eşitliğinde kullanılırsa
Γijk = Akk' Aii ' A jj ' Γi k' j'' + Akk' Aijk '
olduğu bulunur. Bu ise, Γijk katsayılarının, konneksiyonların dönüştürülmesi kuralına
göre dönüştüğünü ifade eder. Dolayısıyla bir afin konneksiyondur.
Bu teoremin bazı sonuçlarını ifade edelim;
1
Sonuç 1. Γ
k
ij
2
ve Γ
k
ij
afin konneksiyon katsayıları olmak üzere her λ skaleri için
1
Γ =
k
ij
2
Γ ijk + λ Γ ijk
1+ λ
değeri de bir afin konneksiyonun katsayılarıdır.
(2.49)
21
İspat: (2.49) eşitliği
λ
1
Γijk = Γ ijk +
2
1+ λ
1
(Γ ijk − Γ ijk )
(2.50)
biçiminde yazılabilir. (2.50) eşitliğinin sağ tarafındaki ikinci terim tensör olduğundan
2.3.2.Teoremine göre
Γ ijk
afin konneksiyon olur. Yani iki farklı konneksiyon
kullanılarak yeni bir konneksiyon oluşturulmuş olur.
Özel halde λ = 1 alırsak,
1
Γ ijk =
bulunur. Γ ijk
1
2
Γ ijk + Γ ijk
(2.51)
2
2
konneksiyonuna Γ ijk ve Γ ijk konneksiyonlarına göre orta konneksiyon
denir.
~
Sonuç 2. Γijk afin konneksiyonu verilmiş olsun. Bu taktirde, Γijk = Γijk katsayıları da
afin konneksiyon tayin eder.
İspat: Burulma tensörünün ifadesi
(
S ijk = Γ[kij ] =
1 k
Γij − Γ jik
2
~
Γ jik = Γ jik + 2S ijk ,
~
Γ jik = Γ jik
)
olduğundan
(2.52)
~
~
yazılır. 2.3.2. Teorem’den dolayı Γ jik katsayıları bir afin konneksiyon belirtir. Γ jik ve
Γ jik konneksiyonlarına karşılıklı konneksiyon denir.
2.3.4. Burulması sıfır olan uzaylar
Burulmasız afin konneksiyonlu uzayların burulma tensörü sıfıra eşit olduğundan bu
uzayların konneksiyon katsayıları alt indislerine göre simetriktir, yani
22
Γ kji = Γijk = Γijk
olur. Burulmasız afin konneksiyonlu uzayın herhangi eğrisel koordinat sistemine göre
koordinatları
u 1,..., u n olan O (u i ) noktasını alalım ve konneksiyon katsayılarının
verilmiş olduğu koordinat sistemine göre bu noktadaki değerlerinin Γ ijk katsayıları ile
verildiğini kabul edelim. δ ki ' kronecker sembolü olmak üzere
1
u i ' = δ ki ' {(u k − u k ) + Γ kpq (u p − u p )(u q − u q )}
2
(2.53)
biçiminde yeni koordinatları tanımlayalım. Bu ifade u i den u i′ ne bir dönüşümdür.
(2.53) dönüşümü difereniyellenebilirdir ve u i ' koordinatlarının u i koordinatlarına göre
kısmi türevleri
Aii ' = δ ii ' + δ ki ' Γ ipk (u p − u p ) ,
Aiji ' = δ ki ' Γ ijk
(2.54)
( )
biçiminde yazılır. (2.54) eşitliği O noktasında ve civarında det Aii ' ≠ 0 şartını sağlar.
Yani, (2.53) dönüşümü diferensiyellenebilir manifoldun tanımındaki mümkün olan
dönüşümler sınıfındandır. (2.54) türev fonksiyonları O noktasında yazılırsa,
Aii ' = δ ii ' ,
Aiji ' = δ ki ' Γ ijk
(2.55)
olur.
Şimdi ise konneksiyon katsayılarının yeni koordinat sistemine göre O noktasındaki
değerlerini hesaplayalım. Bunun için (2.55) ve (2.27) eşitlikleri kullanılarak
Γ ijk = δ jj 'δ kk 'δ ii' Γ ij' 'k ' + δ ii'δ li ' Γ lkj
veya
Γ ij' 'k ' = 0
bulunur. Böylece burulmasız afin uzayın her bir noktasında öyle bir koordinat sistemi
verilebilir ki, konneksiyon katsayıları bu sisteme göre bu noktadaki bütün değerleri sıfır
olur. (2.53) ile verilen koordinatlara normal koordinat sistemi denir.
Burulmasız afin konneksiyonlu uzaylarda
23
i
1. R(rs )k = 0,
i
2. R[rsk ] = 0,
i
3. ∇ [t Rrs ]k = 0 (Bianchi-Padov eşitliği), (Bianchi’nin 2. özdeşliği)
eşitlikleri geçerlidir.
Bu eşitliklerin her üçünün de invaryant (tensör) karakter taşıdığını dikkate alırsak,
bunların ispatını normal koordinat sisteminde incelemek yeterli ve daha kolaydır.
Burulmasız afin konneksiyonlu uzayda simetrik ve regüler aij tensörü verilmiş olsun.
Bu tensörün tersi a~ ij olmak üzere, aij tensörünün kovaryant türevi
∇ k aij = a kij
(2.56)
şeklinde olsun. (2.56) eşitliğinde indislerin yeri dairesel olarak değiştirilerek
∂ k aij − Γkim a mj − Γkjm a mi = ∇ k aij ,
∂ i a jk − Γijm a mk − Γikm a jm = ∇ i a jk ,
∂ j a ki − Γ jkm a mi − Γ jim a km = ∇ j a ki .
eşitlikleri yazılır.
Sonuncu iki eşitlikten birinci eşitlik çıkartılırsa,
2Γijm a mk = ∂ i a jk + ∂ j aik − ∂ k a ij − (aijk + a jik − a kij )
(2.57)
eşitliği bulunur. (2.57) eşitliğinin her iki tarafı a~ rk tensörü ile çarpılırsa
1
Γijr = {ijr }− a~ rk (aijk + a jik − a kij )
2
(2.58)
{ } = 12 a~ (∂ a
(2.59)
olur. Burada
r
ij
rk
i
biçimindedir. (2.59) ifadesine
Levi-Civita
konneksiyonu
aij
veya
jk
+ ∂ j aik − ∂ k aij )
tensörünün Riemannian konneksiyon katsayıları,
Christoffel
sembolü
denir.
Burulmasız
konneksiyonlu uzayın konneksiyon katsayıları regüler ve simetrik aij
Christoffel sembolü ve kovaryant türevleri yardımıyla ifade edilir.
afin
tensörünün
24
2.3.4. Tanım : Burulmasız afin konneksiyonlu
n-vektörü
olmak
üzere
v, v,..., v
1 2
An uzayında
⎧∓ 1
ei1i2 ...in = ⎨ , e = e12...n
⎩0
lineer bağımsız vektörleri üzerine kurulan
n
paralelyüzün hacmi
i
i
i
V = ei1i2 ...in v 1 v 2 ... v n
1
olsun. v, v,..., v vektörlerinin paralel taşınması sonucunda
1 2
(2.60)
n
2
n
V
hacmi korunursa,
burulmasız An uzayına eş afin (denk afin) uzay denir.
(2.60) denkleminden
δ ei ...i = 0 veya ∇ k ei ...i = 0
1
n
1
n
(2.61)
olur. Eş afin uzayın konneksiyonu (2.61) denklemiyle belirlenir. (2.61) şartı
∂ k ei1 ...in − Γ kis 1 esi2 ...in − ... − Γ kis n ei1 ...s = 0
biçiminde yazılabilir.
n-vektörün
(2.62)
antisimetrikliğine göre (2.62) sisteminin bütün
denklemleri
∂ k e12...n − Γks1es 2...n − ... − Γkns e12...s = 0
(2.63)
denklemine denk olur. e12...n = e olarak yazılırsa bu durumda (2.63) eşitliğinden
Γkss = ∂ k ln e
(2.64)
yazılır. Eş afin uzay bu şart ile de karakterize edilebilir. (2.64) eşitliğindeki eş afin
konneksiyonun katsayıları ile belirlenen
Γkss toplamı gradiyentdir. Bu gradiyentin
potansiyel fonksiyonu ise ln e olur.
k
Rij = Rkij = ∂ k Γijk − ∂ i Γkjk + Γklk Γijl − Γkil Γljk
(2.65)
tensörüne Ricci tensörü denir. Eş afin konneksiyonu
Rij = R ji
(2.66)
şartı ile de karakterize edilebilir.
i
Burulmasız afin konneksiyonlu uzaylarda eğrilik tensörünün R[rsk ]i = 0 ve R(rs )k = 0
şartlarını sağladığını göz önüne alırsak
25
k
Rrsk = Rrs − Rsr
(2.67)
eşitliğini yazabiliriz. (2.66) ve (2.67) eşitlikleri eş afin konneksiyonunun
k
Rrsk = 0
şartı ile de karakterize edilebileceğini gösterir.
2.3.5. Tanım: Burulmasız afin konneksiyonlu uzayın her bir noktasındaki tanjant
uzayında verilen simetrik, (0,2) tipli
g tensörü, tanjant uzayın paralel kaydırılması
durumunda korunuyorsa böyle uzaya metrik uzay denir. Burada simetrik, (0,2) tipli g ij
tensörüne metrik tensör denir.
2.3.6. Tanım: Metrik uzayın g metrik tensörü regüler ise yani det (g ij ) ≠ 0 ise uzaya
Weyl uzayı denir ve Wn ile gösterilir.
2.3.7. Tanım: Eğer Weyl uzayı eş-afin uzay olursa, bu uzaya Riemannian uzayı denir
ve Vn ile gösterilir.
Riemannian uzayı burulmasız konneksiyona sahip olan uzaydır ve bu uzayın
Riemannian konneksiyonu
∇ k g ij = 0
(2.68)
şartı ile karekterize edilir. Vn Riemannian uzayının konneksiyon katsayıları
Γijk = {ijk } =
1 kr
g (∂ i g rj + ∂ j g ir − ∂ r g ij )
2
(2.69)
biçiminde verilir. Yani, Vn uzayının konneksiyon katsayıları g tensörünün Christoffel
sembolleriyle
çakışır.
(2.69)
katsayılarıyla
verilen
konneksiyona
Riemannian
konneksiyonu veya Levi-Civita konneksiyonu denir. Diğer taraftan Riemannian
manifoldu üzerinde ∇g = 0 şartını sağlayan ama burulması olan konneksiyonlar da
vardır. Bu tür konneksiyonlara ise metrik konneksiyon denir.
26
s
Riemannian uzayında R jkl g si = Rijkl olmak üzere
1. R(ij )kl = 0
2. R[ijk ]l = 0
3. ∇ [s Rij ]kl = 0
4. Rij (kl ) = 0
5. Rijkl = Rklij
eşitlikleri geçerlidir.
2.3.5. Riemannian manifoldu
Her bir x ∈ M n noktasında her Y ∈ Tx ( M n ) ve (0,2) tipli simetrik g tensörü için
g ( X , Y ) = 0 eşitliğinde X = 0 olursa
g ’ye M n üzerinde Riemannian metriği denir.
Lokal koordinatlarda bu şart Det (g ij ) ≠ 0 şartına denktir. g ’nin bileşenleri g ij olmak
üzere g için
ds 2 = g ij du i du j
ifadesi de kullanılır (Kobayashi and Nomizu, 1963).
Eğer M n üzerinde Riemannian metriği verilmişse, o zaman (M n , g ) çiftine Riemannian
manifoldu denir.
Burulmasız
Γijk =
1 ks
g (∂ i g sj + ∂ j g is − ∂ s g ij )
2
konneksiyonuna ise Riemannian
manifoldunun Riemannian veya Levi-Civita konneksiyonu denir.
27
3. MATERYAL ve YÖNTEM
3.1. Tanjant Demet
M n , C ∞ sınıfından n- boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve M n manifoldunun
p noktasındaki tanjant uzay T p (M n ) olmak üzere
T (M n ) =
∪ T (M )
p
(3.1)
n
p∈M n
ile tanımlanan T (M n ) kümesine tanjant demet denir.
T (M n ) ’ nin herhangi bir ~
p noktası, yani ~
p ∈ T p (M n ) için M n manifoldu üzerindeki
T (M n ) tabii demet yapısını tanımlayan π : T (M n ) → M n demet projeksiyonu ~p
p
p ) = p olur. π −1 ( p ) = Tp ( M n ) kümesine M n baz uzayının p
karşılık getirir. Yani π ( ~
noktasındaki fibre denir.
M n baz uzayının {U ; x h } koordinat komşuluklar sistemiyle örtüldüğünü kabul edelim.
(x ), U
h
Burada
açık kümesi U ×
komşuluğunda tanımlı lokal koordinat sistemidir. π −1 (U ) ⊂ T (M n )
n
direk çarpımına diferensiyellenebilir homeomorfizmdir. n ,
reel sayılar alanı üzerindeki n- boyutlu vektör uzayı olur. ~
p ∈ T p (M n ) ( p ∈ U ) noktası
( p, X )
sıralı çifti ile gösterilir ve X ∈
uzayında
{∂ h }
(∂
h
=
∂
∂x h
)
n
T p (M n ) tanjant
vektörünün bileşenleri
doğal bazına göre ~
p nın
(y ) = (x )
h
h
h = n + 1,...,2n
p ) nin koordinatları
kartezyen koordinatları ile verilir. U komşuluğunda p = π ( ~
(
)
h
( ) ~p ∈ π (U ) ile verilmiş olur. Biz
(x , x ) lokal koordinatlar sistemini elde ederiz.
h = 1,.., n ile gösterilirse ~
p noktası uygun x h , x h
π −1 (U ) ⊂ T (M n ) açık kümesinde
(x )
h
−1
h
Burada x h , x h ’ye (x h ) ’dan indirgenmiş (elde edilmiş) π −1 (U ) da koordinatlar denir.
28
M n manifoldunun
{U , x } ise
'
h'
p = π (~
p ) noktasını ihtiva eden diğer bir koordinat komşuluğu
π −1 (U ' ) koordinat komşuluğu
(
~
p ’yı ihtiva eder ve π −1 (U ' ) ’ne göre
)
~
p ’nın indirgenmiş koordinatları x h ' , y h ' ile verilecektir. Burada
⎧ xh ' = xh ' ( x ) ,
⎪
⎨ h ' ∂x h ' h
⎪y = h y
∂x
⎩
(3.2)
olarak verilir. x h ' (x ) , p noktasındaki x 1 , x 2 ,..., x n değişkenlerinin C ∞ sınıfından olan
diferensiyellenebilir fonksiyonlarıdır. x h = y h , x h ' = y h ' ile gösterirsek (3.2) denklemi
x p ' = x p ' ( x ) , p ' = 1,..., 2n
(3.3)
olarak yazılır. (3.2) denkleminin Jacobian matrisi
⎛ ∂x h '
⎜
∂x
∂x h
⎜
=
∂x p ⎜ ∂ 2 x h ' i
⎜ h i y
⎝ ∂x ∂x
⎞
0 ⎟
⎟
∂x h ' ⎟
⎟
∂x h ⎠
p'
(3.4)
matrisi ile verilir. (3.2) denkleminin tersi ise
⎧ x h = x h ( x ') ,
⎪
⎨ h ∂x h h '
⎪ y = h' y
∂x
⎩
(3.5)
veya
x p = x p (x') , p = 1,..., 2n
(3.6)
olarak yazılır. (3.5) denkleminin Jacobian matrisi ise
⎛
∂x h
∂x p ⎜ ∂x h '
=⎜
∂x p ' ⎜ ∂ 2 x h i '
⎜ h' i' y
⎝ ∂x ∂x
⎞
0 ⎟
⎟
∂x h ⎟
⎟
∂x h ' ⎠
(3.7)
matrisi ile verilir. (3.4) ve (3.7) denklemleri T (M n ) tanjant demetin daima
yönlendirilebilir
şeklindedir.
olduğunu
gösterir,
çünkü,
⎛ ∂x p ' ⎞
Det ⎜ p ⎟ > 0
⎝ ∂x ⎠
⎛
⎞
⎛ ∂x p ⎞
⎜ Det ⎜ p ' ⎟ > 0 ⎟
⎝ ∂x ⎠
⎝
⎠
29
M n manifoldu üzerindeki C ∞ sınıfında ( r,s ) tipli tensör alanını Tsr ( M n ) ve M n deki
tüm tensör alanlarının direkt toplam kümesini ise
göstereceğiz. Benzer olarak
T (Mn ) =
∞
∑ T (M )
r ,s =0
r
s
n
ile
T (M n ) tanjant demetindeki tensör alanını ve tensör
alanlarının direkt toplam kümelerini ise sırasıyla Tsr (T ( M n ) ) ve T (T ( M n )) olarak
göstereceğiz .
3.2. Diferensiyel Geometrik Cebirsel Yapılar
M n n − boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun (n = 2m) . ϕ ∈ T11 ( M n ) olmak
üzere, ψ = {1, ϕ } , ϕ 2 = − I kümesine M n üzerinde bir kompleks yapı denir.
3.2.1. m-boyutlu cebir
Am , m − boyutlu cebirini alalım. Bu cebirin birleşimli ve birimli olduğunu kabul
edelim.
Her a, b, c ∈ Am için (ab)c = a (bc) şartını sağlarsa Am cebirine birleşimli cebir, her
a ∈ Am ve ∃e için
ea = ae = a şartını sağlarsa e elemanına Am cebirinin birim
elemanı, cebire ise birimli cebir denir.
Am cebir olduğundan aynı zamanda bir vektör uzayıdır. Dolayısıyla eα ∈ Am ,
α = 1,..., n, {eα } şeklindeki baza sahiptir ve
γ
eα eβ = Cαβ
eγ
şeklinde yazılır.
(3.8)
30
γ
Cαβ
ya cebirin yapı sabitleri denir. Yapı sabitlerinin en önemli özelliği (1,2) tipli
tensörün koordinatları olmasıdır.
γ
yapı sabitlerinin tensör olduğunu gösterelim:
Şimdi ise Cαβ
γ
γ
Cαβ
yapı sabitleri {eα } bazında, Cαγ ′′β ′ yapı sabitleri ise {eα ′ } bazında olsun. Cαβ
yapı
γ
sabitinin tensör olduğunu göstermek için eα ′ = Aαα′eα kuralı verildiğinde Cαβ
ve Cαγ ′′β ′
yapı sabitleri arasında
γ
şeklindeki bağıntının olduğunu ispat
Cαγ ′′β ′ = Aγγ Aαα Aββ Cαβ
etmemiz gerekir. Am cebirinin {eα ′ } bazının yardımıyla
eα ′eβ ′ = Cαγ ′′β ′eγ ′
(3.9)
eşitliğini yazabiliriz. Baz dönüşüm kuralından, eα ′ = Aαα′eα , eβ ′ = Aββ′eβ ve eγ ′ = Aγγ′eγ
eşitliklerini yazabileceğimizden bu eşitlikleri (3.9) eşitliğinde yerine yazarsak ve (3.8)
eşitliğini de kullanırsak
γ
Cαγ ′′β ′ = Aγγ Aαα Aββ Cαβ
γ
eşitliğini elde ederiz. Dolayısıyla Cαβ
yapı sabitleri (1,2) tipli tensörün koordinatları
olur.
∀a, b, c ∈ Am için (ab)c = a (bc) olduğundan, {eα } bazı için
(eα eβ )eγ = eα (eβ eγ ),
σ
σ
(Cαβ
eσ )eγ = eα (Cβγ
eσ ),
σ
σ
ε
Cαβ
Cσγε eε = Cβγ
Cασ
eε
eşitliğini yazabiliriz. Baza göre lineer terkibe ayrılma tek olduğundan dolayı son
eşitlikteki katsayılar eşittir. Yani birleşimli olma şartı
σ
σ
ε
Cαβ
Cσγε = Cβγ
Cασ
şeklindeki tensör eşitliğiyle ifade edilebilir. Bu kurala Am cebirinin birleşimli olma şartı
denir.
31
En az bir e = 1 elemanı ( (e.a = a.e = a) ve her a ∈ Am için benzer işlemlerle Am
cebirinin tensör ile yazılmış birimli olma şartı
γ
Cαβ
ε α = δ βγ
γ
ve Cαβ
ε β = δαγ
eşitlikleri ile verilir. Burada 1 = ε α eα şeklindedir.
Am cebirinin tensör ile yazılmış değişimli olma şartı ise
γ
γ
Cαβ
= Cβα
eşitliği ile verilir. Son eşitlikten yapı sabitlerinin aşağı indislere göre simetrik olduğunu
söyleyebiliriz.
Şimdi de kompleks ve parakompleks cebir için yapı sabitlerinin hangi formda olduğuna
bakalım.
Kompleks cebir (2-boyutlu cebir) boyutu 2 ve bazı {1,i} olan cebirdir. Kompleks cebir
birleşimli, değişimli ve birimli bir cebir olduğundan, 1.i = i.1 = i , i 2 = −1 ve 1.1 = 1
eşitliklerini sağlar.
Kompleks cebir, 1.i = i.1 = i olmasından
1
C121 = C21
= 0, C122 = C212 = 1 ,
i 2 = −1 olmasından
1
C22
= −1, C222 = 0
ve 1.1 = 1 olmasından ise
C111 = 1, C112 = 0
şeklindeki sekiz tane yapı sabitine sahiptir. Kompleks cebir değişmeli olduğundan aşağı
indislere göre simetriktir. Kompleks cebirin birimi ise {ε α } = {1, 0} şeklinde ifade edilir.
32
Parakompleks cebir (iki kat sayılar cebiri) ise boyutu 2 ve bazı {1, e} olan cebir
olduğundan, e2 = 1 , 1.1 = 1 ve 1.e = e.1 = e eşitliklerini sağlar.
Parakompleks cebir için, e 2 = 1 eşitliğinden
1
C22
= 1, C222 = 0 ,
1.1 = 1 eşitliğinden
C111 = 1, C112 = 0
ve 1.e = e.1 = e eşitliğinden ise
1
C121 = C21
= 0, C122 = C212 = 1
şeklindeki sekiz tane yapı sabitine sahip olmuş olur. Parakompleks cebirin birimi ise
{ε } = {1, 0} şeklinde ifade edilir.
α
Cebirimizin değişme özelliğinin olmadığını ve birimli olduğunu kabul edelim. Yapı
sabitlerinin matris dilinde yazılımı
γ
Cα = ( Cαβ
) ve Cβ = ( Cαβγ )
şeklindedir. BoyAm = m , γ = 1,..., m olmak üzere Cα , m × m tipinde bir kare matris
olur. m × m tipindeki tüm kare matrislerin kümesi (genelde) vektör uzayıdır. Kare
matrislerde değişme özelliği dışındaki diğer tüm özellikler vardır ve boyutu da m 2 dir.
a ∈ Am olmak üzere,
a = aα eα → aα Cα = C ( A)
a = aα eα → aα Cα′ = C ′( A)
aα ∈
şeklindeki birebir örten dönüşümlerine bakalım. Bu gösterimlerden Cα ( A) ’уa 1. regüler
tasvir veya regüler matris, Cα′ ( A) ’ya ise 2. regüler tasvir veya transpoz regüler matris
denir.
33
Bu aşamadan sonra cebiri değişmeli ( eα .eβ = eβ .eα ) olarak alacağız. Değişme özelliği
yapı sabitleri için,
γ
γ
Cαβ
= Cβα
şeklinde olur. Son eşitlik matris dilinde, Cα = Cα şeklinde yazılır ve Cα = Cα eşitliğine
cebirin değişmeli olma durumu denir.
Şimdi kompleks cebir için sırasıyla regüler ve transpoz regüler matrislere bakalım. Cα ,
⎛ Cα1 1 Cα1 2 ⎞
Cα = ⎜ 2
2 ⎟
⎝ Cα 1 Cα 2 ⎠
şeklinde olduğundan C1 ,
⎛ C1 C121 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
C1 = ⎜ 112
=⎜
⎟=I
2 ⎟
0
1
C
C
⎝
⎠
⎝ 11
12 ⎠
şeklindeki birim matris, C2 ise
1
1
⎛ C21
⎞ ⎛ 0 −1⎞
C22
=⎜
C2 = ⎜ 2
⎟
2 ⎟
⎝ C21 C22 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠
şeklindeki bir matris olacaktır. Kompleks cebir için regüler tasvir {C1 , C2 } şeklinde
gösterilir. 1. regüler matris bütün cebirlerde birim matristir. 2. regüler tasvirin
elemanları
⎛1 0⎞
C1T = C1 = ⎜
⎟=I
⎝0 1⎠
⎛ 0 1⎞
C2T = C2 = ⎜
⎟
⎝ −1 0 ⎠
şeklindedir ve 2. regüler tasvir (transpoz regüler matris) {C1T , C2T } şeklinde gösterilir.
Parakompleks cebir için regüler ve transpoz regüler matrislere bakalım. Cα matrisi
⎛ C1 Cα1 2 ⎞
Cα = ⎜ α21
2 ⎟
⎝ Cα 1 Cα 2 ⎠
şeklinde olduğundan, C1 ve C2 matrisleri de sırasıyla,
34
⎛ C1 C121 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
C1 = ⎜ 112
=⎜
⎟
2 ⎟
C
C
⎝0 1⎠
⎝ 11
12 ⎠
ve
1
1
⎛ C21
⎞ ⎛0 1⎞
C22
C2 = ⎜ 2
=⎜
⎟
2 ⎟
⎝ C21 C22 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠
{C1 , C2 } ,
şeklinde olacaktır. Parakompleks cebirin regüler tasviri
matrisi de C1T = C1 , C2T = C2
olduğundan dolayı
{C
T
1
transpoz regüler
, C2T } = {C1 , C2 }
şeklinde
yazılabilir. Dolayısı ile parakompleks cebir için 1. ve 2. regüler tasvirler birbirine denk
olur.
3.2.2. Cebirsel yapılara göre holomorfluk
Bundan sonra ki aşamalarda cebirimizin birimli, birleşimli ve değişmeli olduğunu kabul
edeceğiz.
Am , m − boyutlu cebir (hiperkompleks cebir) olsun. Cebirin bazını {e1 , e2 ,..., em } olarak
alalım. e1 = 1 , yani e1 adi birim ile özdeşleşsin. x = xα eα , α ∈
ifadesine cebirsel
değişken veya hiperkompleks değişken denir.
f α ( x1 , x 2 ,..., x m ), xα ∈ , α = 1, 2,..., m için cebirsel fonksiyonumuzu
F = f α eα
şeklinde tanımlayalım. Bu fonksiyonun dF = df α eα diferensiyeli en az bir g ( x) = F ′( x )
olacak şekilde dF = F ′( x)dx şeklinde yazılabilirse, F
fonksiyonuna x ’e göre
diferensiyellenebilir (holomorf) fonksiyon denir. 2-boyutlu kompleks cebir için
holomorfluk analitikliğe denktir. 2 den fazla boyutta analitiklik yerine holomorfluk
ifadesi kullanılır.
3.2.1. Teorem: F fonksiyonunun x ’e göre holomorf olması için gerek ve yeter şart
35
Cα D = DCα
(3.10)
olmasıdır.
İspat: F ′( x) = F α eα , df = df α eα , dx = dxα eα eşitliklerini
dF = F ′( x)dx
eşitliğinde yerine yazılırsa
dF = F α eα dx β eβ = df α eα
(3.11)
eşitliği elde edilir. df α = (∂ β f α )dx β olduğundan bu ifadeyi (3.11) eşitliğinde yerine
γ
yazarsak ve eα eβ = Cαβ
eγ eşitliğini de göz önünde bulundurursak,
γ
(∂ β f α )dx β eα = F α Cαβ
eγ dx β
(3.12)
eşitliğini elde ederiz. Burada toplama indisini keyfi harfle işaretlememiz mümkün
olduğundan (3.12) eşitliğinin sol tarafındaki α toplama indisi yerine γ harfini
kullanırsak,
γ
∂ β f γ = F α Cαβ
= F α Cα
(3.13)
eşitliğini yazabiliriz. Burada ∂ β f γ matrisi, Cα ’nın lineer terkibi olarak yazılmıştır.
(3.13) yazılımı holomorfluk şartının diğer denk yazılım şartıdır (Vishnevskii et al.
1985). Yani,
(∂ β f γ )Cα = Cα (∂ β f γ )
Cα D = DCα
şeklinde yazılmış olur.
Şimdi ise tersini ispat etmeye çalışalım. (3.10) şartının açık şekilde yazılmış hali,
σ
Cαγβ ∂ β f σ = ∂ γ f β Cαβ
(3.14)
şeklinde olduğundan, (3.14) eşitliğinin her iki tarafını ε γ ile işleme tabi tutarsak ∂ β f σ ,
Cα ’nın lineer terkibi olarak,
∂ β f σ = ε γ ∂ γ f β Cα = F α Cσ
∂ β f σ = F α Cσ
(3.15)
36
şeklinde yazılmış olur. Bu son eşitlik bizim için holomorfluk şartıdır.
γ
αβ
Cα = C
⎛ ∂f α ⎞
D
şeklindeki bir matrisler,
ise D = ⎜ β ⎟ şeklindeki bir Jacobian matrisi
⎝ ∂x ⎠
olduğundan, kompleks cebir için Cα regüler matrisleri (α = 1, 2) ve D Jacobian matrisi
sırasıyla
⎛ ∂f 1
⎜ 1
⎛1 0⎞
⎛ 0 −1⎞
⎜ ∂x
C1 = ⎜
,
C
ve
=
=
D
2
⎟
⎜
⎟
⎜ ∂f 2
⎝0 1⎠
⎝1 0 ⎠
⎜ 1
⎝ ∂x
∂f 1 ⎞
⎟
∂x 2 ⎟
şeklinde ifade edilir. Bu değerleri
∂f 2 ⎟
⎟
∂x 2 ⎠
(3.10) eşitliğinde yerine yazarsak
⎛ ∂f 1
⎜ 1
⎜ ∂x
⎜ ∂f 2
⎜ 1
⎝ ∂x
⎛ ∂f 1
∂f 1 ⎞
⎟
⎜
∂x 2 ⎟ ⎛ 0 −1⎞ ⎛ 0 −1⎞ ⎜ ∂x1
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
∂f 2 ⎟ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎜ ∂f 2
⎟
⎜ 1
∂x 2 ⎠
⎝ ∂x
∂f 1 ⎞
⎟
∂x 2 ⎟
∂f 2 ⎟
⎟
∂x 2 ⎠
eşitliğini elde ederiz. Kompleks cebirde ω = u ( x, y ) + i.v( x, y ) olduğundan, yukarıdaki
son ifadenin kompleks dilindeki eşitliği
⎛ ∂u
⎜ ∂x
⎜
⎜ ∂v
⎜ ∂x
⎝
∂u ⎞
∂y ⎟
⎟
∂v ⎟
∂y ⎟⎠
⎛ ∂u
⎜ ∂y
⎜
⎜ ∂v
⎜ ∂y
⎝
ve buradan da
⎛ ∂u
⎛ 0 −1⎞ ⎛ 0 −1⎞ ⎜⎜ ∂x
⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎜ ∂v
⎜ ∂x
⎝
∂u ⎞ ⎛ ∂v
−
∂x ⎟ ⎜ ∂x
⎟ =⎜
∂v ⎟ ⎜ ∂u
− ⎟ ⎜
∂x ⎠ ⎝ ∂x
−
∂u ∂v ∂u
∂v
= ,
=−
∂x ∂y
∂y
∂x
⇔
∂u ⎞
∂y ⎟
⎟
∂v ⎟
∂y ⎟⎠
∂v ⎞
∂y ⎟
⎟
∂u ⎟
∂y ⎟⎠
−
U x = Vy , U y = −Vx şartları elde edilir. Bu
ifadelere Cauchy-Riemannian şartları denir. Burada Cα D = DCα Cauchy-Riemannian
şartı, yani holomorfluk şartıdır. (3.10) ile verilen şarta Scheffers şartı da denir. Scheffers
şartının kompleks cebir için özelleştirilmesi yapılır ve sonuçta Cauchy-Riemannian şartı
elde edilir.
37
Paracompleks
cebir
için
Cauchy-Riemannian
şartını
bulalım.
⎛1 0⎞
C1 = ⎜
⎟,
⎝0 1⎠
⎛0 1⎞
C2 = ⎜
⎟ olduğundan, bu ifadeleri (3.10) eşitliğinde yerine yazarsak
⎝1 0⎠
⎛ ∂u
⎜ ∂x
⎜
⎜ ∂v
⎜ ∂x
⎝
∂u ⎞
∂y ⎟
⎟
∂v ⎟
∂y ⎟⎠
⎛ ∂u
⎜ ∂y
⎜
⎜ ∂v
⎜ ∂y
⎝
⎛ ∂u
⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎜⎜ ∂x
⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎜ ∂v
⎜ ∂x
⎝
∂u ⎞ ⎛ ∂v
∂x ⎟ ⎜ ∂x
⎟ =⎜
∂v ⎟ ⎜ ∂u
∂x ⎟⎠ ⎝⎜ ∂x
eşitliği elde edilir. Bu son eşitlikten de
∂u ⎞
∂y ⎟
⎟
∂v ⎟
∂y ⎟⎠
∂v ⎞
∂y ⎟
⎟
∂u ⎟
∂y ⎠⎟
∂u ∂v ∂u ∂v
eşitlikleri elde edilirki, bu
= ,
=
∂x ∂y ∂y ∂x
şarta ise, Parakompleks cebir için para-Cauchy –Riemannian şartı denir.
Şimdi de holomorf bir fonksiyonun keyfi mertebeden türevinin de holomorf fonksiyon
olduğunu göstermeye çalışalım. F ′( x) = ε γ ∂ γ f α eα eşitlini yazabildiğimizden, yani
F ′( x) ’i eα ’nın lineer terkibi olarak yazabildiğimizden, F ′( x) de bir fonksiyondur. Bu
F ′( x) fonksiyonunun “türev fonksiyonu var mı?”( Yani F ( x) fonksiyonunun 2. türevi
var mı?) “şartları nelerdir?”onları araştıralım.
F ( x) fonksiyonu için F ′( x) fonksiyonu var ise F ( x) fonksiyonuna holomorf
fonksiyon demiştik. Eğer F ′( x) fonksiyonu için F ′′( x) fonksiyonu varsa F ′( x)
fonksiyonu da holomorf fonksiyon olacaktır. ε β ∂ β f α nın Jacobian matrisini alalım.
(3.14), yani
γ
σ
Cαβ
∂ γ f σ = ∂ β f γ Cαγ
eşitliğinin her iki tarafını ∂θ =
∂
ile işleme tabi tutulursa,
∂xθ
γ
Cαβ
∂2 f σ
∂2 f γ σ
=
Cαγ
∂xθ ∂xγ ∂xθ ∂x β
38
eşitliği elde edilir. Burada
f ’ler reel fonksiyonlar, x ’ler ise reel değişkenler
olduğundan, ∂x türevlerinin yerleri değiştirilebilir. Ayrıca, son eşitliğin her iki tarafını
ε θ ile işleme tabi tutulursa,
γ
Cαβ
∂
∂xγ
⎛ θ ∂f σ ⎞
∂
= β
⎜ε
θ ⎟
⎝ ∂x ⎠ ∂x
⎛ θ ∂f γ ⎞ σ
C ,
⎜ε
θ ⎟ αγ
⎝ ∂x ⎠
γ
σ
Cαβ
∂ γ ( ε θ ∂θ f σ ) = ∂ β ( ε θ ∂θ f γ ) Cαγ
eşitliği, yani F ′( x) ’in ε θ ∂θ f σ ’nun Jacobian matrisinin Cα ile değişmeli olduğu
bulmuş olur. Dolayısıyla F ′( x) fonksiyonu holomorftur. O halde bir fonksiyonun
istenilen mertebeden diferensiyelleri (türevleri) vardır. Yani holomorf fonksiyonların
keyfi mertebeden türevi de holomorftur.
İki holomorf fonksiyonun toplamı, çarpımı ve çarpımının türevi holomorf fonksiyondur.
Holomorf fonksiyonun skaler ile çarpımı holomorftur. Holomorf fonksiyonların
bileşkelerinin neticesi de holomorftur.
3.3. Nijenhuis Tensörü
Nijenhuis tensörü yapıların integrallenebilme şartlarının incelenmesinde gerekli olan
tensördür. A ve B afinorlarının verildiğini kabul edelim ve X , Y ∈ T01 ( M n ) için
N AB ( X , Y ) Nijenhuis tensörünü
N AB ( X , Y ) = [ AX , BY ] + [ BX , AY ] + AB[ X , Y ] + BA[ X , Y ]
− A[ X , BY ] − A[ BX , Y ] − B[ X , AY ] − B[ AX , Y ]
(3.16)
şeklinde tanımlanır (Yano, 1965). N AB ∈ T21 ( M n ) olduğu açıktır, yani N AB (1,2)-tipli bir
tensör alanıdır.
Bazı kaynaklarda Nijenhuis tensörüne A, B afinorlarının torsion’u denir. A = B alınırsa
bir tek afinor için Nijenhuis tensörü ifadesi kullanılır. Bir afinor yapı için Nijenhuis
tensörü, A = B = ϕ olmak üzere
Nϕ ( X , Y ) = 2 N ( X , Y ) = [ϕ X , ϕY ] + [ϕ X , ϕY ] + ϕ 2 [ X , Y ] + ϕ 2 [ X , Y ]
39
−ϕ[ X , ϕY ] − ϕ[ϕ X , Y ] − ϕ[ X , ϕY ] − ϕ[ϕ X , Y ]
= 2([ϕ X , ϕY ] + ϕ 2 [ X , Y ] − ϕ[ X , ϕY ] − ϕ[ϕ X , Y ])
şeklinde olup,
Nϕ ( X , Y ) = N ( X , Y ) = [ϕ X , ϕY ] + ϕ 2 [ X , Y ] − ϕ[ X , ϕY ] − ϕ[ϕ X , Y ]
(3.17)
alarak alınır.
Eğer ϕ afinoru için ϕ 2 = − I ise yapıya hemen hemen kompleks yapı, ϕ 2 = I ise
hemen hemen product yapı, ϕ 2 = 0 ise dual yapı denir. Bu yapılar için N ( X , Y ) = 0
olması yapıların integrallenebilme şartıdır.
Şimdi de Nijenhuis tensörünü lokal koordinatlarda yazmaya çalışalım:
Bunun için Lie parantezinin
[ fX , gY ] = fg[ X , Y ] + f ( Xg )Y − g (Yf ) X
(3.18)
özelliğinden faydalanacağız. X = ∂ i , Y = ∂ j eşitliklerini (3.17) ve (3.18) eşitliklerinde
yerine yazalım. İlk önce (3.18) eşitliğinde yerine yazarsak,
[ f ∂ i , g ∂ j ] = fg[∂ i , ∂ j ] + f (∂ i g )∂ j − g (∂ j f )∂ i
eşitliği elde edilir. [∂ i , ∂ j ] = 0 olduğundan
[ f ∂ i , g ∂ j ] = f (∂ i g )∂ j − g (∂ j f )∂ i
olur. (3.17) eşitliğinde yerine yazarsak,
Nϕ (∂ i , ∂ j ) = N (kϕ )ij ∂ k = N ijk ∂ k
N ijk ∂ k = [ϕ∂ i , ϕ∂ j ] + ϕ 2 [∂ i , ∂ j ] − ϕ[∂ i , ϕ∂ j ] − ϕ[ϕ∂ i , ∂ j ]
= [ϕis ∂ s , ϕ lj ∂ l ] − ϕ[∂ i , ϕ lj ∂ l ] − ϕ[ϕis ∂ s , ∂ j ]
ve Lie parantezinin özelliğinden, yani (3.19) eşitliğinden
N ijk ∂ k = ϕisϕ lj [∂ s , ∂ l ] + ϕis (∂ sϕ lj )∂ l − ϕ lj (∂ lϕis )∂ s
−ϕ{ϕ lj [∂ i , ∂ l ] + (∂ iϕ lj )∂ l − ϕ lj (∂ l .1)∂ i }
−ϕ{ϕis [∂ s , ∂ j ] + ϕis (∂ s .1)∂ j − (∂ jϕis )∂ s }
(3.19)
40
N ijk ∂ k = ϕis ∂ sϕ lj ∂ l − ϕ lj ∂ lϕis ∂ s − ∂ iϕ ljϕlk ∂ k + ∂ jϕisϕ sk ∂ k
= (ϕis ∂ sϕ kj − ϕ lj ∂ lϕik − ∂ iϕ ljϕlk + ∂ jϕisϕ sk )∂ k
N ijk ∂ k = (ϕis ∂ sϕ kj − ϕ lj ∂ lϕik − ∂ iϕ ljϕlk + ∂ jϕisϕ sk )∂ k
(3.20)
eşitliği elde edilir. (3.20) eşitliği Nijenhuis tensörünün lokal koordinatlarla yazılımıdır.
3.4. Skaler Eğrilik
M n , n -boyutlu C ∞ -sınıfından olan Riemannian manifoldu olsun. gij metriğimiz
simetrik, regüler ve konneksiyonumuz da Levi-Civita konneksiyonu olsun.
Riemannian manifoldunda Rijks eğrilik tensöründeki s indisini k indisinden sonraki
yere indirdiğimizde
Rijkt = g st Rijks ⇔ R ( X , Y , Z ,W ) = g ( R ( X , Y ) Z ,W )
şeklinde (0,4) tipli tensör elde edilir.
Rij = Rsijs = g ts Rtijs = g ts Ritsj tensörüne Ricci tensörü denir (Yano, 1965). Ricci tensörü ve
g ij tensörü ile tam kontraksiyon yapalım ve
R = g ij Rij
olsun. Bu R eğriliğine skaler eğrilik denir. Genelde R eğriliği manifoldun noktasına
bağlı fonksiyondur.
Şimdi skaler eğriliğinin yüzeyde neye karşılık geldiğini bulalım:
Yüzeyin birinci esas formu (Riemannian metriği) I = g ij du i du j ve ikinci esas formu
II = hij du i du j şeklinde olmak üzere, κ Gauss (veya tam) eğriliği
κ = κ1.κ 2 =
Det (hij )
Det ( gij )
41
κ=
h11h22 − h12 2
g11 g 22 − g12 2
şeklindedir (Salimov ve Mağden, 1999). Yüzeyler için eğrilik tensörü,
κ =−
R1212
g11 g 22 − g12 2
şeklinde olup bu son eşitlik Gauss eğriliği için önemli bir teoremdir. Skaler eğrilik
yüzeyler için (n=2 için) Gauss eğriliğinin 2 katı olduğunu göstermeye çalışalım. Skaler
eğriliği yüzeyde,
R = g ij Rij = g ij Rsijs = g ij g ts Rsijt
⇒ R = g 21 g 21 R1212 + g 11 g 22 R2112 + g 22 g 11 R1221 + g 12 g 12 R2121
şeklindeki eşitliğe sahiptir. Burada, Riemannian uzayında Rijkl eğrilik tensörünün
özelliğinden, ilk iki indis ve son iki indis aynı olanlar sıfır olur.
R = g 12 g 12 R1212 − g 11 g 22 R1212 − g 11 g 22 R1221 + g 12 g 12 R1212
= (( g 12 ) 2 − g 11 g 22 − g 11 g 22 + ( g 12 ) 2 ) R1212
= (−2(−( g 12 ) 2 + g 11 g 22 )) R1212 ,
R = −2( Det ( g −1 )) R1212 ,
R = −2
R1212
,
g11 g 22 − g12 2
R = 2κ .
bulunmuş olur. Bu son eşitlik, yüzeyler için skaler eğriliğin, Gauss eğriliğinin 2 ile
çarpılmış hali olduğunu gösterir. Yüzeyler bilinen 2-boyutlu Riemannian manifoldudur.
3.5. Hermitian ve Kahlerian Manifoldlar
M 2 n diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M 2 n üzerinde (1,1) tipli ϕ tensör alanı
için ϕ 2 = − I olan tensör alanına hemen hemen kompleks yapı denir. ( M 2 n , ϕ ) ise
hemen hemen kompleks manifold olarak adlandırılır. M 2 n üzerindeki Hermitian metrik,
M 2 n üzerindeki her X , Y vektör alanları için
42
g (ϕ X , Y ) = − g ( X , ϕY )
(3.21)
şartını sağlayan g Riemannian metriğidir. Bazen (3.21) şartını sağlayan g metriğine
hybrid metrik de denir.
Hermitian metriğe sahip hemen hemen kompleks manifolda hemen hemen Hermitian
manifold, Hermitian metriğe sahip kompleks manifolda ise Hermitian manifold denir.
3.5.1. Teorem: M 2 n , ϕ hemen hemen kompleks yapısına sahip hemen hemen
kompleks manifold olsun. M 2 n nin kompleks manifold olması için gerek ve yeter şart
∇ϕ = 0 ve S = 0 olacak şekilde ∇ afin konneksiyonunun olmasıdır. Burada S , ∇ ’nın
burulma tensörüdür.
M 2 n , ϕ hemen hemen kompleks yapısına ve g Hermitian metriğe sahip hemen hemen
Hermitian manifold olsun. M 2 n üzerindeki Ω esas 2-formu
Ω( X , Y ) = g ( X , ϕY ) = ( g ϕ )( X , Y )
(3.22)
ile tanımlanır.
3.5.2. Teorem: M 2 n , ϕ hemen hemen kompleks yapısına ve g Hermitian metriğe
sahip hemen hemen kompleks manifold olsun. ∇ , g ile tanımlanan Riemannian
konneksiyonunun kovaryant türevlemesi olsun. Bu durumda aşağıdaki şartlar denktir:
a) ∇ϕ = 0
b) ϕ hemen hemen kompleks yapının Nijenhuis tensörünün sıfır olması ve Ω esas 2-
formunun kapalı olması, yani Nϕ = 0 ve dΩ = 0 .
M 2 n hemen hemen kompleks manifoldu üzerindeki g Hermitian metriği için Ω esas 2formu kapalı ise g ’ye Kahlerian metrik denir. Kahlerian metriğine sahip M 2 n hemen
hemen kompleks manifolduna hemen hemen Kahlerian manifold denir. Kahlerian
metriğine sahip M 2 n kompleks manifolduna da Kahlerian manifold denir. Teorem 3.5.2
43
den, M 2 n Hermitian manifoldunun Kahlerian manifoldu olması için gerek ve yeter şart
∇ϕ = 0 olması gerektiği açıktır.
44
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA
4.1. Parakompleks yapı ve φ -operatör
M n pozitif tanımlı olması gerekmeyen g metriğine sahip bir Riemannian manifoldu
olsun. M n üzerindeki
gösterilecektir.
( p, q )
tipli bütün tensör alanlarının kümesini ℑ qp ( M n ) ile
Manifoldlar,
tensör
alanları
ve
konneksiyonlar
her
zaman
diferensiyellenebilir ve C ∞ sınıfından olduğu kabul edilecektir.
M n diferensiyellenebilir manifoldu üzerindeki ϕ hemen hemen product yapı, ϕ 2 = I
olacak şekilde M n üzerinde (1,1) tipli tensör alanıdır. Burada ( M n , ϕ ) çiftine hemen
hemen product manifold denir. Hemen hemen parakompleks manifold, sırasıyla, ϕ nin
+I ve -I öz değerlerine karşılık gelen T + M n ve T − M n öz demetleri aynı rank’a sahip
olduğunda hemen hemen product manifolddur (Cruceanu et al. 1995). Burada hemen
hemen parakompleks manifoldun boyutu çifttir. ϕ parakompleks yapısı göz önünde
bulundurulursa aşağıdaki afinorlar kümesi elde edilir:
mertebesi
2
olan
cebiri
temsil
( j ) = {a0 + a1 j : j 2 = 1; a0 , a1 ∈
}
eden
bazlar
reel sayılar cismi üzerinde
{I , ϕ} , ϕ 2 = I
formundadır.
ile tanımlanan cebire parakompleks sayılar cebiri
(veya iki kat sayılar cebiri) denir. Bu cebir birleşimli, değişimli ve birimli bir cebirdir.
Ve cebir kanonik bazda {1, j} formuna sahiptir. Cebirin yapı sabitleri çarpım kuralıyla
ei e j = Cijk ek şeklinde tanımlanır. Cijk bileşenleri
( j ) nin kanonik bazına göre
1
C111 = C122 = C212 = C22
= 1 ve diğer bileşenleri sıfır şeklindedir.
( j ) nin
2
nin alışılmış topolojisine sahip olduğu düşünülür. U ⊂ ( j ) bölgesinde
bir değişken
X = x1 + jx 2
45
olsun. Burada x i ler i = 1, 2 için U nun tanım kümesindeki belli bir noktanın reel
koordinatlarıdır. İki tane reel değişkenli f i ( x1 , x 2 ), i = 1, 2 fonksiyonlarının vasıtasıyla
X değişkeninin parakompleks fonksiyonu
F = f 1 + jf 2
ile tanımlanır. dX = dx1 + jdx 2 , dF = df 1 + jdf 2 diferensiyelleri ve F ′( X ) türevi için
dF = F ′( X )dX
ifadesi yazılırsa fonksiyona paraholomorfik fonksiyon denir. X = x1 + jx 2 değişkenli
F = f 1 + jf 2 fonksiyonun paraholomorfik olması, D = (∂ k f i ) Jacobian matrisinin
⎛0 1⎞
C2 = (C2k j ) = ⎜
⎟ matrisiyle değişmeli olmasına denktir (Vishnevskii et al. 1985, s.
⎝1 0⎠
87). F nin paraholomorfik olması için gerek ve yeter şart f 1 ve f 2 nin
∂f 1 ∂f 2 ∂f 1 ∂f 2
,
=
=
∂x1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x1
para-Cauchy-Riemannian şartını sağlamasıdır. Aslında F nin paraholomorfik olması
için gerek ve yeter şart Cα D = DCα eşitliğinin sağlanmasıdır. Bu eşitliğe Sheffers şartı
denir. Paracompleks cebir için Sheffers şartının özelleştirilmesi yapılır ve sonuçta paraCauchy-Riemannian şartı oluşur.
Hemen hemen parakompleks yapının integrallenebilmesi için gerek ve yeter şart
N ϕ ( X , Y ) = [ϕX , ϕY ] − ϕ [ϕX , Y ] − ϕ [ X , ϕY ] + [ X , Y ]
Nijenhuis tensörünün sıfıra eşit olmasıdır. Hemen hemen parakompleks yapının
integrallenebilir olması için gerek ve yeter şartlardan biriside ∇ϕ = 0 olacak şekilde
burulmasız bir lineer konneksiyonun olmasıdır. Ayrıca ϕ afinor alanı ile tanımlanan Gyapısı
integrallenebilirse
( M 2 k ,ϕ )
parakompleks manifold denir.
k
hemen
hemen
parakompleks
manifolduna
( j ) = {( X 1 ,..., X k ) / X i ∈ ( j ), i = 1,...k } uzayındaki
lokal homeomorfizmlere göre de parakompleks manifoldunun benzer tanımı
verilebilir.((Cruceanu et al., 1996), (Gadea P.M. et al., 2003), (Vishnevskii et al.,
∗
1985)). t , M k ( ( j )) manifoldu üzerinde parakompleks tensör alanı olsun. Böyle bir
tensör alanı aynı zamanda M 2 k manifoldu üzerinde bir tensör alanıdır. Böyle tensör
46
alanların ϕ ye göre pür olduğu söylenilir.
Bu durumlar birçok yazar tarafından
çalışılmıştır ((Blažić and Bokan, 1996), (Borowiec et al. 2000), (Iscan and Salimov,
2005), (Kruchkovich, 1972), (Magden, 2004), (Salimov et al., 2007 ), (Vishnevskii et
al., 1985), (Yano and Ako, 1968)).
Her X 1 ,..., X q ∈ ℑ10 ( M 2 k ) için (0, q) tipli ω tensör alanının pürlük şartı,
ω (ϕ X 1 , X 2 ,..., X q ) = ω ( X 1 , ϕ X 2 ,..., X q ) = ... = ω ( X 1 , X 2 ,..., ϕ X q )
şeklinde ifade edilir. φϕ ω (Yano and Ako, 1968) ile ω pür tensör alanına uygulanabilen
φϕ : ℑ0q ( M 2 k ) → ℑ0q +1 ( M 2 k ) operatörü
(φϕ ω )( X , Y1 , Y2 ,..., Yq ) = (ϕ X )(ω (Y1 , Y2 ,..., Yq )) − X (ω (ϕY1 , Y2 ,..., Yq ))
+ω (( LY1ϕ ) X , Y2 ,..., Yq ) + ... + ω (Y1 , Y2 ,...,( LYqϕ ) X )
(4.1)
şeklinde tanımlanır. Burada LY , Y ’ye göre Lie türevini gösterir.
ϕ , M 2 k manifoldu üzerinde parakompleks yapı olsun. φϕ ω tensör alanı sıfıra eşit ise
∗
M k ( R ( j )) üzerindeki ω parakompleks tensör alanına paraholomorfik tensör alanı denir
∗
(Kruchkovich, 1972). Böylece M k ( R ( j )) üzerindeki ω paraholomorfik parakompleks
tensör alanı, her X , Y1 ,..., Yq ∈ ℑ10 ( M 2 k ) için
(φϕ ω )( X , Y1 , Y2 ,..., Yq ) = 0
olacak
şekilde
ω
pür
tensör
alanı
(4.2)
formunda,
M 2k
manifoldu
üzerinde
gerçekleştirilmiştir. Bu yüzden M 2 k manifoldu üzerindeki böyle ω tensör alanına
ayrıca paraholomorfik tensör alanıda denir.
4.2. Holomorfik B-Manifold
Hemen hemen parakompleks yapısına göre bir g pür metriği, her
için
X , Y ∈ ℑ10 ( M n )
47
g (ϕX , Y ) = g ( X , ϕY )
(4.3)
şartını sağlayan bir Riemannian metriğidir. Böyle Riemannian metrikler (Vishnevskii,
2002)’da çalışılmış ve böyle metriklere B-metrik denilmiştir. Çünkü ϕ yapısına göre
pür g metrik tensörü (Vishnevskii et al., 1985)’de kabul edilen terminolojiye göre Btensördür. Eğer ( M 2 k , ϕ ) , g B-metriğine sahip bir hemen hemen parakompleks
manifold ise ( M 2 k , ϕ , g ) ’ye hemen hemen B-manifold denir. ϕ integrallenebilir ise
( M 2 k , ϕ , g ) ’ye B-manifold denir.
Bir
B-manifoldunda
g
B-metriği
(φϕ g )( X , Y , Z ) = 0
şartını
sağlarsa
g ’ye
paraholomorfiktir denir. Eğer ( M 2 k , ϕ , g ) , g B-metriği paraholomorfiğe sahip bir Bmanifold ise ( M 2 k , ϕ , g ) ’ye paraholomorfik B-manifold denir.
Şimdi Hemen hemen para B-manifoldun g B-metriği için bir formül oluşturalım.
4.2.1. Teorem: g , hemen hemen para B-manifoldun B-metriği olsun. Bu durumda,
g ( Z , (∇Y ϕ )( X )) = g ((∇Y ϕ )( Z ), X ) ,
olur. Burada ∇ , g ye göre Riemannian kovaryant türev operatörünü gösterir.
İspat: (4.3) ve
Yg ( Z , X ) = g (∇ Y Z , X ) + g ( Z , ∇ Y X )
eşitliğinden dolayı Yg (ϕ Z , X ) = Yg ( Z , ϕ X ) olup,
g (∇Y ϕ Z , X ) + g (ϕ Z , ∇Y X ) = g (∇Y Z , ϕ X ) + g ( Z , ∇Y ϕ X )
veya
g (ϕ Z , ∇Y X ) − g ( Z , ∇Y ϕ X ) = g (∇Y Z , ϕ X ) − g (∇Y ϕ Z , X )
eşitliğini yazabiliriz. Sonuç olarak,
(∇ X K )( X 1 ,..., X s ) = (∇K )( X 1 ,..., X s , X ) = ∇ X ( K ( X 1 ,..., X s ))
s
−∑ K ( X 1 ,..., ∇ X X i ,..., X s ),
i =1
K ∈ Ts1 ( M n )
(4.4)
48
formülünden dolayı da
g ( Z , ϕ (∇Y X ) − ∇Y ϕ X ) = g (ϕ (∇Y Z ) − ∇Y ϕ Z , X )
eşitliği yazılır.
4.2.2. Teorem: Hemen hemen B-manifoldun paraholomorfik B-manifold olması için
gerek ve yeter şart
hemen hemen parakompleks yapının
∇
Levi-Civita
konneksiyonuna göre paralel olmasıdır.
İspat:
( L X g )(Y1 , Y2 ) = X ( g (Y1 , Y2 )) − g ([ X , Y1 ], Y2 ) − g (Y1 , [ X , Y2 ]) ,
LX Y = ∇ X Y − ∇ Y X − T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X
eşitliklerinden ve (4.1) eşitliğinden dolayı
(φϕ g )( X , Z1 , Z 2 ) = (ϕ X ) g ( Z1 , Z 2 ) − g (∇ϕ X Z1 − ∇ Z1ϕ X , Z 2 )
− g ( Z1 , ∇ϕ X Z 2 − ∇ Z2 ϕ X ) − Xg (ϕ Z1 , Z 2 )
+ ( g ϕ )(∇ X Z1 − ∇ Z1 X , Z 2 ) + ( g ϕ )( Z1 , ∇ X Z 2 − ∇ Z2 X )
+ g ( Z1 , ϕ (∇ X Z 2 − ∇ Z2 X )) − g (ϕ Z1 , ∇ X Z 2 − ∇ Z2 X )
= (ϕ X ) g ( Z1 , Z 2 ) − Xg (ϕ Z1 , Z 2 ) − g (∇ϕ X Z1 , Z 2 )
+ g (∇ Z1ϕ X , Z 2 ) − g ( Z1 , ∇ϕ X Z 2 ) + g ( Z1 , ∇ Z2 ϕ X )
+ g (ϕ (∇ X Z1 ), Z 2 ) − g (ϕ (∇ Z1 X ), Z 2 ) + g (ϕ Z1 , ∇ X Z 2 )
− g (ϕ Z1 , ∇ Z2 X ) + g ( Z1 , ϕ (∇ X Z 2 )) − g ( Z1 , ϕ (∇ Z2 X ))
− g (ϕ Z1 , ∇ X Z 2 ) + g (ϕ Z1 , ∇ Z2 X ),
(φϕ g )( X , Z1 , Z 2 ) = (ϕ X ) g ( Z1 , Z 2 ) − Xg (ϕ Z1 , Z 2 ) − g (∇ϕ X Z1 , Z 2 )
+ g (∇ Z1ϕ X , Z 2 ) − g ( Z1 , ∇ϕ X Z 2 ) + g ( Z1 , ∇ Z2 ϕ X )
+ g (ϕ (∇ X Z1 ), Z 2 ) − g (ϕ (∇ Z1 X ), Z 2 ) + g (ϕ Z1 , ∇ X Z 2 )
− g ( Z1 , ϕ (∇ Z2 X ))
eşitliğini yazabiliriz.
(4.5)
49
(4.4) eşitliği göz önüne alınırsa,
g (∇ Z1ϕ X , Z 2 ) − g (ϕ (∇ Z1 X ), Z 2 ) + g ( Z1 , ∇ Z2 ϕ X ) − g ( Z1 , ϕ (∇ Z2 X ))
= g ((∇ϕ )( X , Z1 ), Z 2 ) + g ( Z1 , (∇ϕ )( X , Z 2 ))
(4.6)
bulunur. (4.6) eşitliği (4.5) te yerine yazılırsa, (4.5) eşitliği
(φϕ g )( X , Z1 , Z 2 ) = (ϕ X ) g ( Z1 , Z 2 ) − Xg (ϕ Z1 , Z 2 )
+ g ((∇ϕ )( X , Z1 ), Z 2 ) + g ( Z1 , (∇ϕ )( X , Z 2 ))
− g (∇ϕ X Z1 , Z 2 ) − g ( Z1 , ∇ϕ X Z 2 )
(4.7)
+ g (ϕ (∇ X Z1 ), Z 2 ) + g (ϕ Z1 , ∇ X Z 2 )
olarak yazılabilir.
Diğer taraftan, ∇ Levi-Civita konneksiyonuna göre
(ϕ X ) g ( Z1 , Z 2 ) − g (∇ϕ X Z1 , Z 2 ) − g ( Z1 , ∇ϕ X Z 2 ) = (∇ϕ X g )( Z1 , Z 2 ) = 0
(4.8)
ve
− Xg (ϕ Z1 , Z 2 ) + g (ϕ (∇ X Z1 ), Z 2 ) + g (ϕ Z1 , ∇ X Z 2 )
= − Xg (ϕ Z1 , Z 2 ) + g ((∇ X ϕ Z1 ), Z 2 )
+ g (ϕ Z1 , ∇ X Z 2 ) − g ((∇ X ϕ ) Z1 , Z 2 )
(4.9)
= −(∇ X g )(ϕ Z1 , Z 2 ) − g ((∇ X ϕ ) Z1 , Z 2 )
= − g ((∇ X ϕ ) Z1 , Z 2 )
yazabiliriz. (4.8) ve (4.9) eşitliklerinden dolayı, (4.7) eşitliğini
(φϕ g )( X , Z1 , Z 2 ) = − g ((∇ X ϕ ) Z1 , Z 2 ) + g ((∇ Z1ϕ ) X , Z 2 ) + g ( Z1 , (∇ Z2 ϕ ) X )
(4.10)
olarak yazabiliriz.
Benzer şekilde,
(φϕ g )( Z 2 , Z1 , X ) = − g ((∇ Z2 ϕ ) Z1 , X ) + g ((∇ Z1ϕ ) Z 2 , X ) + g ( Z1 , (∇ X ϕ ) Z 2 )
(4.11)
eşitliğini yazabiliriz. (4.10) ve (4.11) eşitliğinden
(φϕ g )( X , Z1 , Z 2 ) + (φϕ g )( Z 2 , Z1 , X ) = 2 g ( X , (∇ Z1ϕ ) Z 2 )
(4.12)
50
eşitliği kolayca elde edilebilir. (4.12) eşitliğinde φϕ g = 0 yazılırsa, ∇ϕ = 0 eşitliği
bulunmuş olur. (4.10) veya (4.11) eşitliğinden ∇ϕ = 0 olduğunda
φϕ g = 0 olduğu
kolayca bulunur.
4.2.3. Sonuç: φϕ g = 0 ise hemen hemen para B-manifold üzerindeki ϕ hemen hemen
parakompleks yapı integrallenebilirdir.
Hemen hemen Hermitian manifold ve hemen hemen para B-manifold arasındaki bazı
benzerlikleri çift diagramlarla göstereceğiz. ( M 2 k , ϕ , g ) hemen hemen Hermitian
manifold olsun ve Ω ile esas 2-formu gösterelim. O halde yapıları aşağıdaki şematik
sıraya koyabiliriz.
Para B-manifold
Hermitian
Nϕ = 0
Nϕ = 0
φϕ g = 0
Paraholomorfik
B-manifold
dΩ = 0
Kahlerian
∇ϕ = 0 ⇔ φϕ g = 0
Nϕ = 0
Hemen hemen
Para B-manifold
Hemen hemen
Hermitian
∇ϕ = 0 ⇔ d Ω = 0, Nϕ = 0
dΩ = 0
Hemen hemen
Kahlerian
Şekil 4.1. Hemen hemen Hermitian manifold ve hemen hemen para B-manifold
arasındaki benzerlikler diagramı
( M 2 k , ϕ , g ) hemen hemen B-manifold olsun. Hemen hemen B-manifoldun birleşimli Bmetriği, M 2 k manifoldu üzerindeki her X ve Y vektör alanları için
G ( X , Y ) = ( g ϕ )( X , Y )
(4.13)
51
şeklinde tanımlanır. Pür olan G Riemannian metriğine Tachibana operatörünü
uyguladığımızda
(φϕ G )( X , Y , Z ) = ( LϕX G − LX (G ϕ ))(Y , Z ) + G (Y , ϕLX Z ) − G (ϕY , LX Z )
= ( Lϕ X ( g ϕ ) − LX (( g ϕ ) ϕ ))(Y , Z )
+ ( g ϕ )(Y , ϕ LX Z ) − ( g ϕ )(ϕY , LX Z )
= (( LϕX g ) ϕ + g LϕX ϕ − LX ( g ϕ ) ϕ − ( g ϕ ) LX ϕ )(Y , Z )
+ ( g ϕ )(Y , ϕLX Z ) − ( g ϕ )(ϕY , LX Z )
= ( LϕX g − LX ( g ϕ ))(ϕY , Z ) + g (ϕY , ϕLX Z )
− g (ϕ (ϕY ), LX Z ) + ( g LϕX ϕ − ( g ϕ ) LX ϕ )(Y , Z )
(4.14)
= (φϕ g )( X , ϕY , Z ) + g (( LϕX ϕ )Y , Z ) − g (ϕ (( LX ϕ )Y ), Z )
= (φϕ g )( X , ϕY , Z ) + g ([ϕ X , ϕY ] − ϕ[ϕ X , Y ], Z )
− g (ϕ[ X , ϕY ] − ϕ 2 [ X , Y ], Z )
= (φϕ g )( X , ϕY , Z ) + g ([ϕX , ϕY ] − ϕ [ϕX , Y ] − ϕ [ X , ϕY ] + ϕ 2 [ X , Y ], Z )
= (φϕ g )( X , ϕY , Z ) + g ( N ϕ ( X , Y ), Z )
eşitliğini elde etmiş oluruz. Böylece (4.14) ifadesinden aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
4.2.4. Teorem: Bir hemen hemen B-manifoldunda
φϕ G = (φϕ g ) ϕ + g ( N ϕ )
eşitliği doğru olur.
Teorem 4.2.2 ve Teorem 4.2.4’ den aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
4.2.5. Teorem: φϕ G = 0 , N ϕ ≠ 0 şartlarına sahip hemen hemen B-manifold, yani
hemen hemen Kahlerian manifoldların benzerleri yoktur.
4.2.6. Sonuç: Aşağıdaki şartlar denktir:
a) φϕ g = 0
52
b) φϕ G = 0
g B-metriğinin Levi-Civita konneksiyonunun kovaryant türevini ∇ g ile gösterelim. Bu
durumda Teorem 4.2.2’den dolayı ∇ g G = 0 ifadesini
∇ g G = (∇ g g ) ϕ + g (∇ gϕ ) = g (∇ gϕ )
şeklinde ifade edebiliriz. Bu yüzden aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
4.2.7. Teorem: ( M 2 k , ϕ , g ) paraholomorfik B-manifold olsun. Bu durumda g B-
metriğinin
Levi-Civita
koneksiyonu
birleşimli
G
B-metriğinin
Levi-civita
konneksiyonu ile çakışır.
4.3. Paraholomorfik B-manifoldlarında Eğrilik Tensörleri
R ve S sırasıyla g ve G ile oluşturulmuş eğrilik tensörleri olsunlar. Bu durumda
paraholomorfik B-manifold için Teorem 4.2.7’nin vasıtasıyla R = S yazılabilir. ϕ için
Ricci’nin özdeşliğini uygulayarak, ∇ϕ = 0 eşitliğinden dolayı
ϕ ( R( X , Y ) Z ) = R( X , Y )ϕZ
(4.15)
eşitliği yazılabilir. Bu yüzden R( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = g ( R( X 1 , X 2 ) X 3 , X 4 ) eşitliği ve
R( X 1 , X 2 , ϕX 3 , X 4 ) = g ( R( X 1 , X 2 )ϕX 3 , X 4 )
= g (ϕ ( R( X 1 , X 2 ) X 3 ), X 4 )
= g ( R( X 1 , X 2 ) X 3 , ϕX 4 )
= R( X 1 , X 2 , X 3 , ϕX 4 )
eşitliğinden dolayı R eğrilik tönsörü X 3 ve X 4 göre ve ayrıca X 1 ve X 2 göre pürdür.
Diğer taraftan S , birleşimli G B-metriği ile oluşturulmuş eğrilik tensörü olsun. Eğer
S ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = G ( S ( X 1 , X 2 ) X 3 , X 4 ) alınırsa o zaman
S( X1, X 2 , X 3 , X 4 ) = S( X 3, X 4 , X1, X 2 )
(4.16)
53
yazılabilir. (4.1), (4.13), (4.15) ve R = S ifadelerini göz önünde bulundurarak
S ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = G( S ( X 1 , X 2 ) X 3 , X 4 )
= g (ϕ ( S ( X 1 , X 2 ) X 3 ), X 4 )
= g ( S ( X 1 , X 2 ) X 3 , ϕX 4 )
= g ( R( X 1 , X 2 ) X 3 , ϕX 4 )
= R( X 1 , X 2 , X 3 , ϕX 4 )
ve
S ( X 3 , X 4 , X 1 , X 2 ) = G( S ( X 3 , X 4 ) X 1 , X 2 )
= g (ϕ ( S ( X 3 , X 4 ) X 1 ), X 2 )
= g ( S ( X 3 , X 4 ) X 1 , ϕX 2 )
= g ( R( X 3 , X 4 ) X 1 , ϕX 2 )
= R( X 3 , X 4 , X 1 , ϕX 2 )
= R( X 1 , ϕX 2 , X 3 , X 4 )
eşitliklerini yazabiliriz. Böylece (4.16) eşitliği
R( X 1 , X 2 , X 3 , ϕX 4 ) = R( X 1 , ϕX 2 , X 3 , X 4 )
olur. Bu ise R( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) ’nin X 2 ve X 4 ’e göre pür olduğunu gösterir. O halde
R( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) pürdür. Böylece aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
4.3.1. Teorem: Paraholomorfik B-manifoldunda B-metriğinin Riemannian eğrilik
tensörü pürdür.
R Riemannian eğrilik tensörü pür olduğundan R ’ye φ -operatörünü uygulayabiliriz.
Teorem 4.2.2’de kullandığımız yöntemlerin benzerleri ile
(φϕ R )( X , Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ) = (∇ϕX R )(Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ) − (∇ X R )(ϕY1 , Y2 , Y3 , Y4 )
(4.17)
olduğunu ispatlayabiliriz. (4.15)’i kullanarak ve (4.17)’ye Bianchi’nin 2. özdeşliğini
uygulayarak
(φϕ R )( X , Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ) = g ((∇ϕX R )(Y1 , Y2 , Y3 ) − (∇ X R )(ϕY1 , Y2 , Y3 ), Y4 )
= g ((∇ϕX R )(Y1 , Y2 , Y3 ) − ϕ ((∇ X R )(Y1 , Y2 , Y3 )), Y4 )
(4.18)
54
= g ( −(∇Y1 R )(Y2 , ϕX , Y3 ) − (∇Y2 R )(ϕX , Y1 , Y3 )
−ϕ ((∇ X R )(Y1 , Y2 , Y3 )), Y4 )
eşitliğini elde edebiliriz. Diğer taraftan, ∇ϕ = 0 eşitliğini kullanarak
(∇Y2 R )(ϕX , Y1 , Y3 ) = ∇Y2 ( R(ϕX , Y1 , Y3 )) − R(∇Y2 (ϕX ), Y1 , Y3 )
− R(ϕX , ∇Y2 Y1 , Y3 ) − R(ϕX , Y1 , ∇Y2 Y3 )
= (∇Y2 ϕ )( R( X , Y1 , Y3 )) + ϕ (∇Y2 R( X , Y1 , Y3 ))
− R((∇Y2 ϕ ) X + ϕ (∇Y2 X ), Y1 , Y3 )
(4.19)
− R(ϕX , ∇Y2 Y1 , Y3 ) − R(ϕX , Y1 , ∇Y2 Y3 )
= ϕ (∇Y2 R( X , Y1 , Y3 )) − ϕ ( R(∇Y2 X , Y1 , Y3 ))
− ϕ ( R( X , ∇Y2 Y1 , Y3 )) − ϕ ( R( X , Y1 , ∇Y2 Y3 ))
= ϕ ((∇Y2 R)( X , Y1 , Y3 ))
eşitliğini bulabiliriz. Benzer şekilde
(∇Y1 R )(Y2 , ϕX , Y3 ) = ϕ ((∇Y1 R )(Y2 , X , Y3 ))
(4.20)
eşitliğini bulabiliriz. (4.18) de (4.19) ve (4.20) eşitliklerini yerine yazarak ve tekrar
Bianchi’nin 2. özdeşliğini kullanarak
(φϕ R )( X , Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ) = g ( −ϕ ((∇Y1 R )(Y2 , X , Y3 )) − ϕ ((∇Y2 R )( X , Y1 , Y3 ))
− ϕ ((∇ X R )(Y1 , Y2 , Y3 )), Y4 )
= − g (ϕ (σ {( ∇ X R )(Y1 , Y2 } , Y3 )), Y4 )
= 0,
eşitliğini elde edebiliriz. Burada σ ,
X , Y1 ve Y2 ye göre dairesel toplamı gösterir.
Böylece aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
4.3.2 Teorem: Paraholomorfik B-manifoldunda Riemannian eğrilik tensör alanı
paraholomorfik tensör alanıdır.
55
4.4. Paraholomorfik B-manifoldlarında Skaler Eğrilikler
( M 2 n , ϕ ) parakompleks manifold olsun.
4.4.1. Yardımcı Teorem:
f ∈ ℑ00 ( M 2 n ) , df
tam 1-formunun holomorfik, yani
φϕ (df ) = 0 olması için gerek ve yeter şart df ϕ birleşimli 1-form’unun kapalı, yani
d (df ϕ ) = 0 olmasıdır.
İspat: Her X , Y ∈ ℑ10 ( M 2 n ), ω ∈ ℑ10 ( M 2 n ) ve (ω ϕ )( X ) = ω (ϕ ( X )) için
(dω )( X , Y ) =
1
{ X (ω (Y )) − Y (ω ( X )) − ω ([ X , Y ])}
2
eşitliğini kullanarak
(d ω )(Y , ϕ X ) =
1
{Y (ω (ϕ X )) − (ϕ X )(ω (Y )) − ω ([Y , ϕ X ])}
2
=
1
{Y (ω (ϕ X )) − (ϕ X )(ω (Y )) + ω ([ϕ X , Y ])}
2
=
1
{Y (ω (ϕ X )) − (ϕ X )(ω (Y )) + ω ([ϕ X , Y ]
2
(4.21)
−ϕ[ X , Y ]) + ω (ϕ[ X , Y ])}
yazabiliriz.
(4.1) eşitliğinden de,
(φϕ ω )( X , Y ) = (ϕ X )(ω (Y )) − X (ω (ϕY )) + ω (( LY ϕ )( X ))
= (ϕ X )(ω (Y )) − X (ω (ϕY )) − ω ([ϕ X , Y ] − ϕ[ X , Y ])
eşitliğini yazabiliriz.
(4.22) eşitliğini (4.21)’de yerine yazarsak,
(d ω )(Y , ϕ X ) =
1
{−(φϕω )( X , Y ) + Y (ω (ϕ X )) − X (ω (ϕY )) + ω (ϕ[ X , Y ])}
2
(4.22)
56
=−
1
{(φϕω )( X , Y ) + Y ((ω ϕ )( X )) − X ((ω ϕ )(Y )) − (ω ϕ )([Y , X ])}
2
1
= − (φϕ ω )( X , Y ) + (d (ω ϕ )(Y , X ))
2
eşitliğini elde edebiliriz.
Buradan da φϕ ω = 0 eşitliğinin
(d (ω ϕ ))(Y , X ) = (d ω )(Y , ϕ X )
(4.23)
eşitliğine denk olduğunu söyleyebiliriz. Bu durumda ω = df için (4.23) eşitliği
(d (df ϕ ))(Y , X ) = (d 2 f )(Y , ϕ X ) = 0 ,
yani
d (df ϕ ) = 0
(4.24)
şeklinde sade bir eşitliğe dönüşmüş olur.
Bir f fonksiyonu için df ϕ = dg olacak şekilde paraholomorfik B-manifoldunda g
fonksiyonu var ise f fonksiyonuna holomorfik (analitik) fonksiyon ve g ’ye de f ’nin
birleşimli fonksiyonu denir (Tachibana and Kotô, 1962). Böyle bir f fonksiyonu lokal
olarak tanımlanırsa, f fonksiyona lokal olarak holomorfik fonksiyon denir.
(4.24) eşitliği sadece lokal olarak df ϕ = dg eşitliğine denktir. Bu yüzden, f ’nin lokal
holomorfik (ϕim ∂ m f = ∂ i g ) olması şartı
(φϕ df )ij = ϕim ∂ m ∂ j f − ∂ i (ϕ mj ∂ m f ) + (∂ jϕim )∂ m f = 0
eşitliği ile verilir.
( M 2 n , ϕ , g ) , g pür metriğine sahip paraholomorfik B-manifold olsun. Teorem 4.3.1,
Teorem 4.3.2 ve (4.17) eşitliğinden, paraholomorfik B-manifoldlarında ∇R eğrilik
tensör alanının kovaryant türevinin pür olduğunu bulabiliriz. O halde R ji = Rsji s = g ts Rtjis
Ricci tensörünün kovaryant türevi tüm indislere göre pür olur ve bu durumda
ϕts ∇ s R ji = ϕ sj ∇t Rsi
eşitliğini yazabiliriz.
57
g ji kontravaryant B-metriği ile bu son eşitlikten
∗
ϕts ∇ s R = g jiϕ sj ∇t Rsi = ∇ t (G si Rsi ) = ∇t R
(4.25)
∗
eşitliğini bulabiliriz. Burada R = g ij Rij ve R = G ij Rij sırasıyla B-manifoldunun skaler
eğriliği ve onun birleşimli fonksiyonudur.
(4.25) eşitliğinden aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
4.4.2. Teorem: Paraholomorfik B-manifoldunda R skaler eğriliği lokal holomorfik
fonksiyondur.
4.4.3. Örnek: M 2 n manifoldunun, Vn Riemannian manifoldunun π : T (Vn ) → Vn
tanjant demeti olduğunu kabul edelim. Eğer x i , Vn üzerinde lokal koordinatlar ise bu
durumda x i , x i = y i , i = n + 1,..., 2n formundaki fibre koordinatlarla birlikte T (Vn )
üzerinde lokal koordinatlardır.
T (Vn ) üzerindeki (0, q) tipli bir tensör alanı
V
V
X = Xi
∂
,
∂x i
H
X = Xi
∂
∂
− y s Γis h X h i
i
∂x
∂x
X (dikey lift) veya H X (yatay lift) (Yano and Ishihara, 1973) şeklinde olan tüm
X i , i = 1, 2,..., q vektör alanları üzerindeki etkisiyle tanımlanır. Bu yüzden T (Vn )
üzerindeki
S
g Sasakian metriği, her X , Y ∈ ℑ10 (Vn ) için
⎧ S g ( H X , H Y ) = V ( g ( X , Y )),
⎪S V V
V
⎨ g ( X , Y ) = ( g ( X , Y )),
⎪ S g ( V X , H Y ) = 0,
⎩
eşitlikleriyle tanımlanır.
S
(4.26)
g Sasakian metriği, T (Vn ) tanjant demetindeki ( x i , x i )
indirgenmiş koordinatlara göre
58
S
⎛ g ji + gts y k y l Γtkj Γlis
g =⎜
⎜
y k Γ kis g js
⎝
lokal bileşenlerine sahiptir. Burada
y k Γ kjs g si ⎞
⎟
g ji ⎟⎠
Γ ijk , Vn
∇g
manifoldundaki
Levi-Civita
konneksiyonunun bileşenleridir.
T (Vn ) tanjant demetindeki Dϕ diagonal lifti her ϕ ∈ ℑ11 ( M n ) ve X ∈ ℑ10 (Vn ) için
⎧⎪ Dϕ H X = H (ϕ X ),
⎨D V
V
⎪⎩ ϕ X = − (ϕ X ),
(4.27)
eşitlikleri ile tanımlanır. I ∈ ℑ11 ( M n ) birim tensör alanının D I diagonal lifti indirgenmiş
koordinatlara göre
D
⎛ δi j
I =⎜
t j
⎝ −2 y Γ ti
0 ⎞
⎟
−δ i j ⎠
bileşenlerine sahiptir ve ( D I ) 2 = I T (Vn ) şartını sağlar. Bu yüzden
D
I hemen hemen
parakompleks yapıdır.
A( X , Y ) = S g ( D IX , Y ) − S g ( X , D IY )
eşitliğini alalım. Eğer V X , V Y veya
H
X,
H
Y şeklinde olan tüm X ve Y vektör alanları
için A( X , Y ) = 0 ise o zaman A = 0 olmuş olur. D I V X = − V X ,
(4.27) eşitlilerinden dolayı
A( V X , V Y ) = S g ( − V X , V Y ) − S g ( V X , − V Y ) = 0 ,
A( V X , H Y ) = S g ( − V X , H Y ) − S g ( V X , H Y ) = 0 ,
A( H X , V Y ) = S g ( H X , V Y ) − S g ( H X , − V Y ) = 0 ,
A( H X , H Y ) = S g ( H X , H Y ) − S g ( H X , H Y ) = 0
eşitliklerini yazabiliriz. Yani S g , D I ’ye göre B-metriktir.
Dolayısıyla aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
D
I H X = H X , (4.26) ve
59
4.4.4. Teorem: (T (Vn ), D I , S g ) bir hemen hemen B-manifolddur.
V
X , H X ve γ R ( X , Y ) = y s Rijs k X iY j
∂
(Cengiz and Saimov , 2002) ifadelerinin
∂x k
özelliklerini kullanarak
(φ D I S g )( V X , H Y , H Z ) = −2( S g V (∇Y X ), H Z + S g ( H Y , V (∇ Z X )) = 0,
(φ D I S g )( V X , H Y , V Z ) = −2 S g ( H Y ,[ V Z , V X ]) = 0,
(φ D I S g )( V X , V Y , H Z ) = −2 S g ([ V Y , V X ], H Z ) = 0,
(φ D I S g )( V X , V Y , V Z ) = 0,
(φ D I S g )( H X , H Y , H Z ) = 0,
(φ D I S g )( H X , V Y , V Z ) = 2 V ((∇ X g )(Y , Z )) = 0,
(φ D I S g )( H X , H Y , V Z ) = −2 S g (γ R (Y , X ), V Z ),
(φ D I S g )( H X , V Y , H Z ) = −2 S g ( V Y , γ R( Z , X ))
eşitliklerini yazabiliriz.
O halde aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
4.4.5. Teorem: Bir (T (Vn ), D I , S g ) hemen hemen B-manifoldunun paraholomorfik
olması için gerek ve yeter şart Vn ’ nin lokal Euclidean olmasıdır.
4.4.6.
Örnek:
Mn ,
⎛ δ ij
ϕ = ⎜⎜
⎝0
0 ⎞
⎟ , i, j = 1,..., k , i , j = k + 1,..., n ,
−δ ji ⎟⎠
n = 2k
integrallenebilir hemen hemen product yapısına sahip lokal product Riemannian
manifoldu olsun. O halde M 2 k parakompleks manifoldu
⎛ gij
g =⎜
⎝ 0
0 ⎞
t
t
t
t
⎟ , gij = gij ( x , x ), g i j = g i j ( x , x )
gi j ⎠
şeklindeki B-manifoldunun bir yapısını içerir.
60
M 2k lokal product Riemannian manifoldunun metriğinin
ds 2 = gij ( x t )dxi dx j + gi j ( x t )dx i dx j , i, j , t = 1,..., k ,
i, j, t=k+1,...,2k
formda olduğunu kabul edelim. Yani gij ( x ) sadece x t nin fonksiyonları, gi j = 0 ve
gi j ( x) de sadece x t nin fonksiyonlarıdır. Bu durumda manifolda lokal decomposable
(ayrıştırılabilir) Riemannian manifoldu denir. Lokal product Riemannian manifoldunun
lokal decomposable Riemannian manifoldu olması için gerek ve yeter şart ∇ gϕ = 0
olmasıdır (Yano and Kon, 1984). O halde Teorem 4.2.2 den aşağıdaki teoremi
yazabiliriz.
4.4.7. Teorem: M 2k lokal decomposable Riemannian manifoldu paraholomorfik B-
manifolddur.
61
5. SONUÇ
Sunulan bu tezde amaç B-manifoldlar geometrisinin problemiyle ilgili olarak pür
Riemannian metrik tensörlerinin uygulanabildiği Tachibana operatörler teorisini
kullanmak ve paraholomorfik B-manifoldu çalışmalara uygulamaktır.
Bu çalışmada ilk olarak hemen hemen B-manifoldun
paraholomorfik B-manifold
olması için gerek ve yeter şart ispatlandı. Ayrıca hemen hemen Hermitian manifold ve
hemen hemen para B-manifold arasındaki bazı benzerlikler çift diagramlarla gösterildi.
İkinci olarak, paraholomorfik B-manifoldlar için eğrilik tensörüne bakıldı. Bu amaçla
eğrilik tensörünün pür olduğu gösterildi. Pürlük şartını sağlayan Riemannian eğrilik
tensörüne, pür tensörlere uygulanabilen φ -Tachibana operatörünü uygulayarak
Riemannian eğrilik tensör alanının paraholomorfik tensör alanı olduğu ispatlandı.
Üçüncü olarak ise R = g ij Rij skaler eğriliğinin paraholomorfik B-manifoldunda lokal
holomorfik fonksiyon olduğu ispatlandı.
Son olarak Tanjant demette (1,1) tipli I birim tensör alanının
indirgenmiş koordinatlardaki bileşenleri ile
S
D
I diagonal liftinin
g Sasakian metriğinin indirgenmiş
koordinatlardaki bileşenlerinin vasıtasıyla (T (Vn ), D I , S g ) üçlüsünün bir hemen hemen
B-manifold ve (T (Vn ), D I , S g ) hemen hemen B-manifoldunun paraholomorfik olması
için gerek ve yeter şart baz manifoldun lokal Euclidean olması gerektiği ispatlandı.
62
KAYNAKLAR
Adati T., 1981. Submanifolds of an almost product Riemannian manifold. Kodai Math.
J., 4, 327-343.
Bishop R.L. and Goldberg S.I., 1968. Tensor Analysis on Manifolds. The Mcmillan
Company, New York, p.19-135.
Blažić N. and Bokan N., 1996. Invariance theory and affine differential geometry.
Differential geometry and applications (Brno, 1995), Masarky Univ., Brno, 249260.
Borowiec A., Francaviglia M. and Volovich I., 2000. Anti-Kählerian manifolds.
Differential Geom. Appl.,12 , no.3, 281-289.
Cengiz N. and Saimov A.A., 2002. Complete lifts of Derivations to Tensor Bundles.
Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) vol. 8, 75-82.
Cruceanu V., Fortuny P. and Gadea P.M., 1996. A survey on paracomplex Geometry.
Rocky Mountain J. Math., 26, 83-115.
Fukami T., 1959. Afine connections in almost product manifolds with some structure.
Tohoku Math. J., 11, 430-446.
Gadea P.M., Grifone J.and Munoz Masque J., 2003. Manifolds modelled over free
modules over the double numbers. Acta Math. Hungar., 100 (3).
Iscan M. and Salimov A. A., 2005. On a connection between the theory of Tachibana
operators and the theory of B-manifolds. Hacettepe Journal of Mathematics and
Statistics, 34 (2005), 47-53.
Kobayashi S., and Nomızu K., 1963. Foundations of Differential Geometry.
Interscience Publishers.
Kruchkovich G.I., 1972. Hypercomplex structure on a manifold. I, Tr. Sem. Vect. Tens.
Anal., Moscow Univ., 16, 174-201.
Magden A., 2004. On applications of the Tachibana operator. Apply. Math. and Comp.,
147, 45-55.
Mihai I. and Nicolau C., 1982. Almost product structures on the tangent bundle of an
almost paracontact manifold. Demonstratio Math., 15, 1045-1058.
Norden A. P., 1960. On a certain class of four-dimensional A-spaces. Izv. Vuzov. Mat.,
no.4, 145-157.
Salimov A.A., and Mağden A., 1999. Diferensiyel Geometriye Giriş. Atatürk
Üniversitesi.
Salimov A.A., Iscan M. and Etayo F., 2007. Paraholomorphic B-manifold and its
properties. Topology and its Application, 154, 925-933.
Tachibana S., 1960. Some theorems on locally product Riemannian spaces. Tohoku
Math. J., 12, 281-292.
Tachibana S. & Kotô S., 1962. On almost-analytic functions, tensors and invariant
subspaces. Tôhoku Math. J., (2) 14, 177-186.
Vishnevskii V.V., 1970. Affinor structures of affine connection spaces. Izv. Vuzov.
Math., No 1, 12-23.
Vishnevskii V.V., Shirokov A.P. and Shurygin V.V., 1985. Spaces over algebras. Kazan
Gos. University, Kazan, Russian.
63
Vishnevskii V.V., 2002. Integrable affinor structures and their plural interpretations. J.
of Math. Sciences, 108 , No.2, 151-187.
Yano K., 1959. Affine connections in an almost product space. Kodai Math. Sem. Rep.
11, 1-24.
Yano K., 1958. On Walker differentiation in almost product or almost complex spaces.
Indag. Math., 20, 573-580.
Yano K., 1965. Differential Geometry on Complex and Almost Complex Spaces,
Pergamon Press, N.Y..
Yano K. and Ako M., 1968. On certain operators associated with tensor fields. Kodai
Math. Sem. Rep., 20, 414-436.
Yano K. and Ishihara S., 1973. Tangent and Cotangent Bundles. Marcel Dekker Inc.,
New York.
Yano K. and Kon M., 1984. Structure on manifolds. World Scientific, Singapore.
64
ÖZGEÇMİŞ
1977 yılında Samsun’da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Erzurum’da tamamladı.
1996 yılında girdiği Ondokuz Mayıs Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik
Bölümü’nden 2000 yılında mezun oldu. Aynı yıl Atatürk Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi Matematik Bölümünde yülsek lisans öğrenimine başlayıp bunun yanında
Erzurum ilindeki Özel Güneş Dersanesinde matematik öğretmeni olarak görev yaptı.
2002 yılında Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne bağlı olarak Fen-Edebiyat
Fakültesi Matematik Bölümünde araştırma görevlisi olarak göreve başladı. Halen bu
görevine devam etmektedir.