DÜZCE ÜN· IVERS· ITES· I · FEN-EDEBIYAT FAKÜLTES· I MATEMAT· IK BÖLÜMÜ 2015-2016 BAHAR YARIYILI · DIFERANS· IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 8 Nisan 2016 Süre: 75 dakika CEVAP ANAHTARI 1. (25p) Belirsiz katsay¬lar yöntemini kullanarak d2 y dx2 2 dy + y = xex dx diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm: Karakteristik denklem ve kökleri m2 2m + 1 = 0 ) (m 1)2 = 0 () m1;2 = 1 dir. O halde, yc = (c1 + c2 x) ex = c1 ex + c2 xex olur. Burada, S = fxex ; ex g dir. Bu kümenin elemanlar¬ayn¬zamanda homojen denklemin iki özel çözümü oldu¼ gundan, kümenin her eleman¬x2 ile çarp¬lmak zorundad¬r. Böylece, S = fx3 ex ; x2 ex g olur. Buna göre, yp = Ax3 ex + Bx2 ex olur. Buradan, yp0 = Ax3 ex + (3A + B) x2 ex + 2Bxex ve yp00 = Ax3 ex + (6A + B) x2 ex + (6A + 4B) xex + 2Bex elde edilir. Sonuçlar verilen denklemde yerine yaz¬l¬rsa, Ax3 ex + (6A + B) x2 ex + (6A + 4B) xex + 2Bex 2 Ax3 ex + (3A + B) x2 ex + 2Bxex + Ax3 ex + Bx2 ex = xex bulunur. Polimom eşitli¼ gi yap¬larak, elde edilir. Böylece, 8 x3 ex : A 2A + A = 0 1 > < A= 2 x x e : 6A + B 6A 2B + B = 0 6 ) xex : 6A + 4B 4B = 1 > : B=0 ex : 2B = 0 1 yp = xex 6 olur. Dolay¬s¬yla, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü 1 y = yc + yp = (c1 + c2 x) ex + xex 6 dir. 2. (25p) Parametrelerin de¼ gişimi yöntemini kullanarak d2 y dy 60 + 900y = 5e10x 2 dx dx diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm: Karakteristik denklem ve kökleri m2 30)2 = 0 () m1;2 = 30 60m + 900 = 0 ) (m dir. O halde, yc = (c1 + c2 x) e30x = c1 e30x + c2 xe30x olur. Parametrelerin de¼ gişimi yöntemine göre, yp = v1 (x) e30x + v2 (x) xe30x yaz¬l¬r. Buradan, yp0 = v10 (x) e30x + v20 (x) xe30x + 30v1 (x) e30x + v2 (x) (1 + 30x) e30x | {z } 0 ve yp00 = 30v10 (x) e30x + v20 (x) (1 + 30x) e30x + 900v1 (x) e30x + v2 (x) (31 + 30x) e30x {z } | 5e10x bulunur. Böylece, 8 0 < v1 (x) e30x + v20 (x) xe30x = 0 : 30v10 (x) e30x + v20 (x) (1 + 30x) e30x = 5e10x denklem sistemi elde edilir. Bu sistemi çözmek içi Crammer Kural¬n¬kullanal¬m. Katsay¬lar determinant¬, e30x xe30x = (1 + 30x) e60x 30xe60x = e60x = 30x 30e (1 + 30x) e30x dir. Böylece, v10 0 xe30x 10x 5e (1 + 30x) e30x (x) = ve e30x 0 30e30x 5e10x v20 (x) = = = 0 5xe40x = e60x 5e40x 0 = 5e e60x 5xe 20x 20x elde edilir. Buradan, Z v1 (x) = 5 = 1 xe 20 5 1 = xe 4 xe 20x 20x dx = 1 + 20 20x + 1 e 80 Z e 20x ve v2 (x) = 5 Z e e 20x dx = 20x 20x x = u ) dx = du dx = dv ) v = ( 1=20) e dx 1 = xe 4 1 + c3 = e 4 5 e 20 20x 20x 20x x+ + c4 = 1 4 1 20 1 20 + c3 1 e 4 20x + c4 20x + c3 bulunur. Sonuç olarak, 1 yp = v1 (x) e30x + v2 (x) xe30x = e 4 = e10x 4 x+ 20x 1 20 x+ xe10x xe10x e10x = + 4 4 80 1 20 1 e 4 e30x + 20x xe30x xe10x e10x = 4 80 elde edilir. Dolay¬s¬yla, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü y = yc + yp = (c1 + c2 x) e30x + e10x 80 dir. 3. (25p) Cauchy-Euler yöntemini kullanarak d2 y dy 4x + 6y = 0; y (2) = 0; y 0 (2) = 4 2 dx dx başlang¬ç-de¼ ger problemini çözünüz. Çözüm: Cauchy-Euler denklemi x = et dönüşümü ile sabit katsay¬l¬lineer diferansiyel denkleme indirgenir. Buradan, x = et ) t = ln x; (x > 0) x2 oldu¼ gundan, 1 dy dy = dx x dt ve d2 y 1 = dx2 x2 d2 y dt2 dy dt elde edilir. Yukar¬daki sonuçlar verilen denklemde yerine konulursa, x2 1 x2 d2 y dt2 dy dt d2 y 1 dy + 6y = 0 ) 2 x dt dt 4x 5 dy + 6y = 0 dt denklemi bulunur. Bu denklem için karakteristik denklem ve kökleri, m2 5m + 6 = 0 ) (m 3) = 0 ) m1 = 2; m2 = 3 2) (m d¬r. O halde, y = c1 e2t + c2 e3t olur. Dolay¬s¬yla, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü y = c1 x2 + c2 x3 olarak bulunur. y (2) = 0 ve y 0 (2) = 4 başlang¬ç-koşullar¬kullan¬larak, 4c1 + 8c2 = 0 ) 4c1 + 12c2 = 4 c1 = 2 c2 = 1 elde edilir. O halde, verilen başlang¬ç-de¼ ger probleminin çözümü y = x3 dir. 4. (25p) Kuvvet serileri yöntemini kullanarak 2x2 d2 y dy +y =0 + (x + 2) 2 dx dx diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm: Verilen diferansiyel denklem (x + 3) d2 y x + 2 dy y + =0 + 2 dx x + 3 dx x + 3 normalleştirilmiş formda yaz¬ld¬g¼¬nda, x = 0 noktas¬nda analitik oldu¼ gu görülür. O halde, x = 0 verilen diferansiyel denklemin bir adi noktas¬d¬r. Yani, verilen denklemi çözümleri, y= 1 X cn xn n=0 formundad¬r. Buradan, dy X = ncn xn dx n=1 1 1 d2 y X = n (n dx2 n=2 1 ve 1) cn xn 2 bulunur. Yukar¬daki sonuçlar verilen diferansiyel denklemde yerine yaz¬l¬rsa, 1 X n (n 1) cn x n 1 +3 n=2 1 X n (n 1) cn x n 2 + n=2 +2 1 X ncn xn n=1 1 1 X ncn xn n=1 + 1 X cn xn = 0 n=0 elde edilir. Burada, beş toplam sembolünü tek bir toplam alt¬nda ifade etmek için gerekli işlemler, 1 X n n (n + 1) cn+1 x + 3 1 X (n + 1) (n + 2) cn+2 x + +2 1 X (n + 1) cn+1 xn + n=0 1 X n=1 1 X ncn xn n=1 n=0 n=1 6c2 + 2c1 + c0 + n 1 X cn xn = 0 n=0 f(n + 1) (n + 2) cn+1 + 3 (n + 1) (n + 2) cn+2 + (n + 1) cn g xn = 0 yap¬l¬r ve aşa¼ g¬daki sonuçlar elde edilir: i) 6c2 + 2c1 + c0 = 0 ) c2 = 1 c0 6 1 c1 3 ii) (n + 1) (n + 2) cn+1 + 3 (n + 1) (n + 2) cn+2 + (n + 1) cn = 0; n Buradan, n ye bir kaç de¼ ger verip, di¼ ger katsay¬lar¬c0 ve c1 cinsinden, cn+2 = (n + 2) cn+1 + cn ;n 3 (n + 2) n = 1 ) c3 = ifade edebliriz. Öyleyse, y= 1 X n=0 2c2 + c1 1 = c0 9 27 cn xn = c0 + c1 x + c2 x2 + 1 1 c1 27 1 = c0 + c1 x + 1 c0 6 = c0 1 x2 x3 + + 6 27 1 c1 x2 + 3 1 c0 27 + c1 x 1 c1 x2 + 27 x2 3 x3 + 27 yaz¬l¬r. Dolay¬s¬yla, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü y = C1 1 x2 x3 + + 6 27 dir. Yrd. Doç. Dr. Y¬ld¬r¬m ÖZDEMI·R + C2 x x2 3 x3 + 27