Matematik Bülteni / Ocak 2013 Sayfa 2

Yıl 3 , Sayı 10
9’la 10 sayı başlamış.
Nedense gene 1’le daha çok
Pozitif bir tamsayı 1’den 9’a
kadar olan bir rakamla başlar, ya 1’le sayı başlamış. Bir rastlantı mı acaba?
Kitaplığımda 1951 basımlı bir Ameya 2’yle ya 3’le .... ya da 9’la...
rikan atlası var. Atlasta ülkelerin,
Rastgele bir sayının 5’le başlama
belli başlı kent ve adaların ve Ameriolasılığıyla 6’yla başlama olasılığı
kan eyaletlerinin yüzölçümleri (metaynıdır. Her ikisi de 1/9’dur.
rekare olarak değil milkare olarak) ve
Elbet, rastgele bir sayının 1’le
nüfusları verilmiş.Bu sayılar da rastbaşlama olasılığı da 1/9’dur.
gele değilse, artık ne rastgeledir
Bakalım gerçek böyle mi?
bilemiyorum. Önce yüzölçümlere
baktım:
1’le 88 sayı başlamış
2’yle 52 sayı başlamış
3’le 45 sayı başlamış
4’le 41 sayı başlamış
5’le 36 sayı başlamış
6’yla 24 sayı başlamış
7’yle 21 sayı başlamış
Elimin altındaki gazeteyi aç- 8’le 23 sayı başlamış
tım. 5 Mart 1997 borsasının kapanış 9’la 25 sayı başlamış.
Sonra nüfuslara baktım (bu
fiyatlarına baktım. Bu sayılar aşağı
arada,
sayıları
bana “sen deli misin”
yukarı rastgele olmalı. Üşenmeden
diyerek
güle
güle
okuyan anneme
kaç tane sayının 1’le, 2’yle, ..., 9’la
teşekkür
ederim):
başladığını hesapladım. İşte
1’le 101 sayı başlamış
hesabımın sonuçları:
2’yle 67 sayı başlamış
1’le 76 sayı başlamış
3’le 45 sayı başlamış
2’yle 29 sayı başlamış
4’le 42 sayı başlamış
3’le 36 sayı başlamış
5’le 31 sayı başlamış
4’le 17 sayı başlamış
6’yla 24 sayı başlamış
5’le 17 sayı başlamış
7’yle 20 sayı başlamış
6’yla 18 sayı başlamış
8’le 20 sayı başlamış
7’yle 10 sayı başlamış
9’la 8 sayı başlamış.
8’le 10 sayı başlamış
Nedense sayılar 1’le başlama9’la 12 sayı başlamış.
yı
yeğliyorlar.
2’yi de seviyorlar ama
Tuhaf... 1’le başlayan sayılar
en
çok
1’i
seviyorlar.
çoğunlukta. Oysa bir sayının 1’le
Sonra, aynı atlasta Amerikan
daha çok başlaması için bir neden
eyaletlerinin en yüksek noktasının
yoktur.
Sonra aynı günün borsasının yüksekliğine baktım (feet olarak.)
1’le 19 sayı başlamış
işlem hacimlerine (ne demekse!)
2’yle 5 sayı başlamış
baktım:
3’le 6 sayı başlamış
1’le 66 sayı başlamış
4’le 8 sayı başlamış
2’yle 33 sayı başlamış
5’le 5 sayı başlamış
3’le 32 sayı başlamış
6’yla 3 sayı başlamış
4’le 21 sayı başlamış
7’yle 1 sayı başlamış
5’le 13 sayı başlamış
8’le 3 sayı başlamış
6’yla 20 sayı başlamış
9’la 0 sayı başlamış.
7’yle 17 sayı başlamış
İnanılır gibi değil! Birin nesi
8’le 9 sayı başlamış
SAYILAR BİRİ SEVER!
Mart 2015
var?
Ne yazık ki ırmak uzunluklarını içeren bir dizelge bulamadım.
Bulursanız sonuçları bana bildirin.
Galiba uygulamada rastgele
bir sayının 1’le başlama olasılığı 1/9
değil, 1/9’dan daha büyük...
Bu yargım doğru mu ve
doğruysa neden doğru?
Yukardaki sayılar aslında
rastgele sayılar değil. Biz insanlar,
gerçekten rastgele bir sayı seçemeyiz.
Ayrıca, doğadan da gerçekten rastgele bir sayı seçilmez. Çünkü, ne bizim
sayılarımız ne de doğanın sayıları
sonsuzdur. Örneğin, bir insanın başındaki saç sayısı, 0’dan (atıyorum) 2
milyara kadar değişebilir ancak. Bir
insanda daha fazla saç olamaz. Öyle
olunca, bir insanın saç sayısı rastgele
bir sayı olarak kabul edilemez.
Rastgele seçilmiş 2 milyardan
küçük bir sayının 1’le başlama olasılığı yüzde elliden fazladır! Rastgele
seçilmiş 5 milyardan küçük bir sayının 1’le başlama olasılığı 1/5’ten
fazladır. Bu olasılıklar da 1/9’dan
büyük!
İşte bu yüzden yukardaki sayılar daha çok 1’le başlıyorlar. Bir
ırmağın uzunluğu, olsun olsun da 20
bin km. olsun. Bir dağın yüksekliği
en fazla, ne bileyim ben, 8000 metre
olabilir...
Bir başka neden daha olabilir
sayıların daha çok 1’le başlamasının.
Diyelim bir ölçüm 1000’lerde seyir
ediyor (dolayısıyla 1’le başlıyor) ve
artıyor. Bu ölçümün 2000’e ulaşması
için aşağı yukarı iki kat artması gerekir. Oysa 4000’den 5000’e çıkmak
için, aynı ölçümün 1/4 kadar artması
gerekmektedir (çünkü 1000, 4000’in
1/4’üdür.)
Tahmin edileceği gibi, iki kat
büyümek, 1/4 büyümekten daha zordur, dolayısıyla ölçümler 1’le başlayan sayılarda daha uzun süre kalırlar.
Prof.Dr.Ali NESİN
Matematik Bülteni / Mart 2015
Sayfa 2
MUTLAK DEĞER
2a  a
Örnek2. a  0 için
ifadesi
Bir reel sayının eşlendiği noktanın
a
başlangıç noktasına olan uzaklığına mutlak
aşağıdakilerden hangisidir?
değeri denir.x’in mutlak değeri x ile
A)1 B)-1 C)2 D)-2 E)3
gösterilir.
2a  a
8  8
a

Cevap A’dır.
Mutlak değere ait özellikler:
1) x   x ya da
Çözüm:
a  b  b  a ’dir.Mesela;
3x  3x
x2  2 x
5  x  5  x
x  3  x  3
2)Bu özelliğimiz pek çok öğrenci
tarafından zor olarak
değerlendirilmekte.Lütfen dikkatle okuyun:
Mutlak değerin içindeki ifade pozitif ise
mutlak değerin dışına aynen çıkar,eğer
negatif ise -1 ile çarpılarak dışarı çıkar.Sıfır
ise zaten değeri de sıfırdır:
 x, x  0

x   0, x  0
  x, x  0

Mesela;
8 8
2    2   2
0 0
5 3  
5 2  5 2


5 3  3 5
Örnek1: a  0  b olmak üzere
a  b  a  b ifadesinin eşitini bulunuz.
Örnek3.
4  x  5 olmak üzere
A  x8  x5
x2n  x
Tek kuvvetler için ise şu doğrudur:
2n
b  b ( Pozitif )
a  b  a  b ( Negatif )
Özelliğimize göre içi negatif olanları -1 ile
çarpacağız,pozitif olanları ise aynen
yazacağız:
a  b  a  b  a  b  (a  b)
 a  b  a  b
 2a  2b
 x2 n 1   x
Örnek4. x  y  0 olmak üzere
x2  3 x3  4 y 4  5 y5 işleminin sonucu
nedir?
A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2
Çözüm:
2
4
x 2 n  x ve 2 n 1 x 2 n 1  x olduğuna göre
x  x  x
3
x x
y  y  y
5
y y
2
4
3
5
Sonuç olarak  x  x  y  x  0 elde edilir.
Cevap C’dir.
Örnek5.
2  5 
2
3

 5 3
5 3

3


5 3  5  2 5 3 1

a
,b 0
b
Öte yandan;
x 2 n 1  x
x2n  x
*
3)Mutlak değerin köklü ifadelerle ilgilisini
açıklayalım:
2
3
2 n 1
2n
' dir.
* 4a  6b  2   2a  3b   2   2a  3b   2  2a  3b
B  x  4   x  6   x  4  x  6  10
Buna göre A  B  130 olup Cevap B’dir.
2 n 1
 2  5  5  2 ve
Mesela;
*  a  b    a  b    a  b    a  b   a 2  b2
Şimdi bu değerleri mutlak değerden
çıkararak A ve B değerlerini bulalım:
A  x  8   x  5  x  8  x  5  13
2n
Çözüm:
Verilen mutlak değerli ifadelerin içlerini
inceleyeceğiz: pozitif mi negatif mi?
a  a ( Negatif )
a
x  8  0
x  5  0

4  x  5  
x  4  0
 x  6  0
x2n 1  x
2
4)Mutlak değerli ifadelerin çarpımını veya
bölümünü tek bir mutlak değer içerisinde
yazabiliriz:
a  b  a b
b
B  x4  x6
olduğuna göre A  B değeri kaçtır?
A)120 B)130 C)140 D)100 E)-130
2 n 1
3
2  5 
 5  3
5 2
2a  a  a

1
a
a
2  2 7  7
0 0
Sıfır sayısının mutlak değeri sfırdır.
Yukarıdaki örneklerden de gördüğünüz
üzere mutlak değerlerin sıfır hariç tüm
sonuçları pozitiftir.Yani mutlak değere
negatif sayıya eşit olamaz.Mutlak değerin
en küçük değeri sıfırdır.Bu sorularda sıkça
karşılaşacağımız bir özelliktir.Şimdi diğer
özellikleri inceleyelim:
2
Bu iki ifade çıkarılırsa;
Çözüm:
a  0  2a  0 ' dır.
Örneğin;
5  5 7  7
Çözüm:
işleminin sonucu
kaçtır?
A)5 B) 5 C)-1 D)0 E)1
a b
a b
a b


2
2
2
* x3  x
3
* x2   x2  x2
2x  2
 1 olduğuna
3
göre x değerlerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A)1/5 B)2/5 C)3/5 D)4/5 E)8/3
Çözüm:
2  x  1
2x  2
3  3x 
 3 1  x  
3
3
Örnek6. 3  3x 
Mutlak değerin içerisi + olan da – olan da
eşit olduğundan; (Yani 1  x  x  1 )
2
2
5
 x 1  x 1   x 1   x 1
3
3
3
Bu ifadeyi 1’e eşitleyip x değerlerini
bulabiliriz.
1 x 
5
3
8
2
 x  1  1   x  1   x1  , x2 
3
5
5
5
Cevap B olur.
Mutlak değerli denklemler
İçerisinde mutlak değer ifadesi geçen
denklemleri çözerken bazı püf noktalarına
dikkat etmeliyiz.Mesela ilk olarak mutlak
değer ifadesi herhangi bir tamsayıya eşit
ise mutlak değerin içi o tamsayıya ve onun
eksilisine eşittir:
1) f ( x)  a  f ( x)  a  f ( x)  a
Tabi burada a’nın pozitif olacağını
hatılarlatalım.Mutlak değer ifadesi negatif
olamıyordu!
Matematik Bülteni / Mart 2015
Sayfa 3
Denklemin iki tarafı da mutlak değerliydi
ve bulduğumuz değerlerin ikisi de
denklemi sağladı!Cevap B’dir.
Örnek7. 2 x  3  15 olduğuna göre x
değerlerinin çarpımı kaçtır?
A)-50 B)-52 C)-54 D)-60 E)-62
Çözüm:
2 x  3  15  2 x  3  15  2 x  3  15
İlk eşitlikten x  9 ve ikinci eşitlikten
x  6 bulunur.O halde bu x’lerin çarpımı
-54 elde edilir.Cevap C‘dir.
Örnek7. x  3  5 olduğuna göre x
2
değerlerinin çarpımı kaçtır?
A)-90 B)-91 C)-92 D)-93 E)-94
Çözüm:
x 3
x 3
x 3


 5  x  3  10
2
2
2
Bu denklemde önceki örnektekine benzer
+10 ve -10 eşitlenerek çözülür.
x  3  10  x  3  10  x  13
x  3  10  x  7
Bu değerlerin çarpımı -91 ve Cevap B’dir.
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x  4  x  6
B) x  4  x  6
C) x  4  x  6
D) x  4  x  6
Örnek10. x  10  y  1  0 olduğuna göre
E) 
x  y çarpımının değeri kaçtır?
Çözüm:
A)10 B)9 C)-9 D)11 E)-10
 x 1  5  x  4
x 1  5 
 x  1  5  x  6
Çözüm:
Yani aradığımız değerler 4’ten büyük veya
Mutlak değerin alacağı en küçük değer 0
-6’dan küçük değerlerdir. Cevap A’dır.
idi.İki veya daha fazla mutlak değerli
6
ifadenin toplamı 0 olabilir mi?Evet.Tüm
Örnek14.
 3 eşitsizliğini sağlayan
mutlak değerlerin değeri sıfır ise toplamı
x 1
da sıfırdır.
kaç farklı tamsayı değeri vardır?
x  10  y  1  0  x  10  0 ve y  1  0
A)6 B)5 C)4 D)3 E)2
 x  10, y  1bulunur.x  y 10   1  10 Çözüm:
6
6
Cevap E’dir.
3
 3  x 1  2
x 1
x 1
Örnek11. x  3  x  1 ifadesinin en küçük
Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
değeri kaçtır?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
x  1  2  2  x  1  2  1  x  3
Çözüm:
{0,1,2} tamsayılarından 1
x  3  x  1 ifadesi iki mutlak değerden
olamayacağından (neden!) Cevap E’dir.
oluşuyor.Bu mutlak değerleri sıfır yapan
Peki eşitliğin iki tarafında da bilinmeyenler
değerler için ifademizi hesaplayalım:
olursa?Hemen hemen aynı yöntemi
x  3  0  x  3  3  3  3 1  4
uygulayacağız.Farklı olarak bulunan
değerlerin denklemi sağlayıp sağlamadığını x  1  0  x  1  1  3  1  1  4
kontrol etmemiz gerekir.Yani;
Bu iki değerden küçük olanı seçeceğiz.İki
değer de tesadüf (!) aynı çıktığından
f  x  g  x  f  x  g  x  f  x   g  x 
değerimiz 4 olur.
çözümünde x değeri için g  x   0 olmalı. Cevap A’dır.
Örnek8. 2 x  1  x  3 denkleminin çözüm
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
4
 4

A) 2 B)   C) 2,   D)3 E)1
3
3

 
Çözüm:
 2 x  1    x  3  x  
4
3
Ancak bulunan bu x değerleri her zaman
denklemi sağlamayabilir.Kontrol edilmeli!
Biz sizin için kontrol ettik.No problem...
Cevap C’dir.
Örnek9. x  1  10  2 x denkleminin
çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)11
Çözüm:
x  1  10  2 x  x  1   10  2 x  önce
pozitif olan eşitliği çözersek;
x  1   10  2 x   x  1  10  2 x
3x  9  x  3
Negatif olanı çözersek;
x  1   10  2 x   x  1  10  2 x
x  11
Dikkatinizi çekti mi?
Örnek15. 1  x  3  5 eşitsizliğini
sağlayan kaç farklı tamsayı değeri vardır?
A)7 B)8 C)9 D)10 E)11
Çözüm:
x  3 ifadesini + ve – olduğu durumlar
için inceleyelim:
x  3    x  3  1   x  3  5 
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Yukardaki cümleden anlaşıldığı üzere
mutlak değerli eşitsizlik üretelim. f  x 
2   x  2  2  x  2 yani  2, 2 
{-2,-1,0,1} değerleridir.
x  3    x  3  1  x  3  5 
mutlak değeri , , ,  ile birleştirelim:
4  x  8 yani  4,8 5, 6, 7,8 ' dir.
Tüm değerimiz ise {-2,-1,0,1,5,6,7,8}
değerleridir.Cevap B’dir.
Mutlak Değerli Denklemlerin Genel
Çözümü
f  x  g  x   h  x  Mutlak değerin içini
a) f  x   a  a  f  x   a
Reel sayılarda şöyle bir aralıktır:
2 x  1  x  3  2 x  1   x  3  x  2
Örnek13. x  1  5 eşitsizliğinin çözüm
b) f  x   a  f  x   a ve f  x   a
Reel sayılarda şöyle bir aralıktır:
Tabi burada a değerinin sıfırdan küçük
olması halinde birinci eşitsizliğin çözüm
kümesi olmaz!Fakat ikinci denklemin
çözüm kümesi tüm reel sayılar olur!
(Neden?)
Örnek12. x  5  6 eşitsizliğini sağlayan
kaç farklı asal sayı vardır?
A)4 B)5 C)7 D)9 E)11
Çözüm:
x  5  6  6  x  5  6  1  x  11
Bu aralıktaki asallar:{2,3,5,7,11} olup
Cevap B’dir.
sıfır yapan f(x)=0 ve g(x)=0 denklemlerini
sağlayan x değerleri arasında ayrı ayrı
çözüm yapılır.Bulunan bu çözüm kümelerinin birleşimi denklemin çözüm kümesidir.
Örneğin; x  2  x  3  11 eşitliğinde
x  2  0  x  2 ve x  3  0  x  3
köklerine göre inceleriz:
3' tenküçükler
 3 ile 2 arasındaki
2' denbüyük


x  2  x  3  11
x  2  x  3  11
x  2  x  3  11
 x  2  x  3  11
 x  2  x  3  11
x  2  x  3  11
2 x  12
5  11
2 x  10
x  6

x5
Ç.K.{-6,5} olur.2’den büyük aralıkta
bulunan sayının çözüm kümesinde
olabilmesi için bu aralıkta olması
gerekliliğidir.
Matematik Bülteni / Mart 2015
Sayfa 4
TÜBİTAK BİLİM FUARLARI
MEB ile Tübitak
arasında imzalanan
“Eğitimde İşbirliği
Protokolü”
kapsamında
ülkemizde
Tübitak Bilim
Fuarları
açılıyor.Başvuruda
bulunan pek
çok
okuldan belirli
sayıda kontenjan ayrıldığından
bazıları seçiliyor.Bu yıl 1 Mart
ile 12 Haziran arasında
gerçekleşecek fuarlara
başvurular 30 Ocak’ta
bitti.Sorgun ilçemizden de ilgi
büyüktü.Sorgun merkezden 10 okul, köy
ve kasabalarımızdan 7 okul ve toplamda 17
okul 355 proje üreterek başvuruda
bulundu.
Fuar başvurusunu okul içinden
(okul müdürü hariç) bir öğretmen başvuru
yapabiliyor. “TÜBİTAK Bilim Fuarları”,
5-12. sınıfta okumakta olan öğrencilerin
öğretim programı çerçevesinde ve
kendi ilgi alanları doğrultusunda
belirledikleri konular üzerine araştırma
yaparak, araştırmalarının sonuçlarını
sergileyebilecekleri, öğrenciler ve
izleyiciler için eğlenerek
öğrenebilecekleri bir ortam
oluşturmayı amaçlıyor.Başvuran
okullara TÜBİTAK yetkilisince
inceleme yapılırken fuar ihtiyaçları için
başvuruda
bulunan
öğretmen
(proje
yürütücüsü)
hesabına 5.000
TL
MATEMATİK KULÜBÜ PANOSU
Kantin girişinin yanındaki
Matematik Kulübü panomuzda matematik
ile ilgili çalışmalarınızı paylaşabilirsiniz.
Kulüp başkanımız Tuğçe İLERİER veya
kulüp rehber öğretmenleri Orhan
GÖKÇE,Melike SİPAHİ ile görüşerek
panoya destek olabilirsiniz.
yatırılıyor.Fuarlar tamamlandıktan sonra
okullara kargo yoluyla katılım sertifikaları
gönderiliyor.Türk Telekom Lisesi olarak
biz de bu yıl ilk defa bu fuarlarda yer
alacağız.Okulumuzdaki fuarımız 9-10
Haziran Salı ve Çarşamba
günleridir. Fuarda görev almak
isteyenlerin proje yürütücüsü
Orhan GÖKÇE ile iletişime
geçmesi yeterlidir.Fuarımız 9-10
Haziran’da okulumuzda
yapılacaktır.
Fuar hakkında daha
geniş bilgi için
http://bilimiz.tubitak.gov.tr/ adresini
ziyaret edebilirsiniz.
uzatalım.Dikkat edin çünkü uzattığınız
çizginin tam köşe noktasını bulması
gerekli.Sürpriz!L3 çizgisi şu anda tam
olarak A/3 açısını veriyor.
İyi ama neden?Bu soruyu yine şekil
üzerinde yanıtlamak da
yarar var.Görüldüğü
gibi şeklimize birkaç
çizgi daha eklendiğinde
artık AOB,BOC,COD
üçgenlerinin benzer
üçgenler olduğunu
görmek oldukça kolay
hale geliyor.Böylelikle
AOB,BOC ve COD açıları birbirine eşit
olduğundan elimizde A/3 açısı kalıyor.
AÇI NASIL ÜÇE BÖLÜNÜR?
İşte böyle…1970’lerde
Hisashi Abe’nin geliştirdiği
yöntem:
1.Üçe böleceğimiz
açı,kağıdımızın alt sol
köşesinde bulunsun.Bu
açıya A
diyelim.Unutmayalım
ki,burada A’nın bir dar açı olduğunu
varsayıyoruz.Fakat bu yöntemi geniş
açılara uyarlamak da son derece
kolaydır.Şimdi de alt kısımda,birbirine
paralel ve eşit uzaklıkta katlama çizgileri
oluşturalım.
2.Sırada A köşesini katlamaya geldi.P1
noktasını L1 noktasına ve P2 noktasını L2
noktasına
katlayalım.Bunu
yapmak kolay
olmayabilir.
3.L1 doğrusunun
katlanmış kısımda
kalan (yani kağıdın
arka yüzünde)
kısmını uzatalım ve
elde ettiğimiz yeni çizgiye L3
diyelim.Şimdi ikinci adımda yaptığımız
katlamayı açalım ve L3’ü alt sol köşeye
OKUL KÜTÜPHANEMİZE
BEKLERİZ.
Yenilenen yüzü ve 8binin üzerindeki
kitapları ile kütüphanemiz
açıldı.Okulumuzun çehresini değiştirecek
kütüphanemize sizleri de bekleriz.
MATEMATİK DERSİNE NASIL
ÇALIŞILIR?
İhtiyaç duyduğunuzda
öğretmeninizden ya da bilen bir kişiden
yardım isteyin. Yapamadığınız soruların
yanına bir işaret koyun. Ev ödevlerinde
yapamadığınız soruları atlamayın. En kısa
zamanda bu soruların çözümlerini bilen
birinden öğrenin.
Sadece öğretmeni izleyerek konuyu
anlayamayacağınızı unutmayın. Mümkün
olduğunca çok örnek çözün.
Kuralları, formülleri, işlem
basamaklarını küçük kartlara yazın. Bu
kartlardan birini rastgele çekerek kural
veya formül hakkında neler bildiğinizi
kontrol edin. Bunu arkadaşlarınızla ya da
aile fertlerinizle bir oyun haline
getirebilirsiniz
Bir arkadaşınızla birlikte çalışın.
Araştırmalar, grupla çalışan kişilerin yalnız
çalışanlara göre daha iyi performans
gösterdiklerini ispatlamıştır. Zaman zaman
birbirinizin işlemlerini kontrol edin.
Konunun başlığını muhakkak
yazın. Eve geldiğiniz zaman ödev yapmaya
başlamadan önce defterinizdeki başlığı
renkli bir kalemle çizin. Bu sizin ne
yaptığınızı görmenize yardımcı olacaktır.
İşlem yaparken her basamağın
yanına ne yaptığınızı kendi kelimelerinizle
tekrar not edin.
Editörler: Orhan GÖKÇE (Mat.Öğrt.),
Melike SİPAHİ (Mat.Öğrt.), Gökhan
KOCA (Mat.Öğrt.),Tuğçe İLERİER
(Mat.Klb.Bşk.) Bu çalışma Türk Telekom
Anadolu Lisesi Matematik Kulübünün bir
eseridir. Çalışmaya her türlü katkınızı ve
görüşlerinizi belirtmek için kulüp
üyelerimizle görüşmeniz gerekir. İletişim
için (0 354 ) 415 71 12 telefon numarasını
arayabilirsiniz. Email adresimiz:
[email protected]
Çalışmamızdaki her türlü bilgiyi kaynak
belirtmek şartıyla kullanabilirsiniz.