İntegral 7 (Belirli)

İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
BELİRLİ İNTEGRAL KURALLARI
Örnek...4 :
0
b
1.
∫ ( x3 +5 x2−7 x+4 )dx =?
a
∫ f (x )dx =−∫ f ( x ) dx
a
−1
b
107
12
a
2.
∫ f (x )dx =0
a
b
3.
b
π
2
∫ k. f ( x ) dx=k. ∫ f (x ) dx
a
Örnek...5 :
∫ sinx dx=?
a
0
b
4.
b
a
a
b
5.
1
b
∫ ( f ( x )±g ( x )) dx=∫ f ( x ) dx±∫ g( x ) dx
a
c
b
∫ f (x )dx =∫ f (x ) dx +∫ f (x ) dx ,
a
a
c<b
c
www.matbaz.com
6 . ( b - a ) . m i n (f ( x ) ) < ∫ f ( x ) dx =0< ( b a).max(f(x))
a
7 . f : [ a , b ] →R s ü r e k l i b i r f o nk s i yo n v e
b
d ( ( )) ( )
F x =f x i s e ∫ f ( x )dx =F (b )−F ( a )
dx
a
o l u r.
Örnek...1 :
3
7
0
1
2
Örnek...7 :
x
∫(3x2 + 3 )dx=?
2
3
∫ sinx.cosx dx=?
2
∫ f (x )dx =4v e ∫ f (x )dx =9i s e ∫ f (x )dx =?
2
Örnek...6 :
π
2
b
0
7
23
3
-13
Örnek...2 :
5
U yg u n k o ş u l l a r d a
2
7
7
∫ f (x )dx =4v e ∫ f (x )dx =9 v e
4
5
∫ f (x )=21
2
i s e ∫ f ( x )=?
Örnek...8 :
4
-8
ln2
∫ (e2x +ex ) dx=?
ln1
5
2
Örnek...3 :
2
∫ xdx =?
1
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
3
2
1/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
UYARI
π
2
D e ğ i şk e n d e ğ i ş t i r m e ya p ı l d ı ğ ı n d a ye n i
d e ğ i şk e n e g ö r e s ı n ı r l a r t ek r a r
h e s a p l a n ı r s a e s k i d e ğ i ş k e n e d ö n ü lm e d e n
integral hesaplanabilir
Örnek...13 :
∫ x.cosx dx=?
0
π −1
2
Örnek...9 :
3
∫ ( x−2)2 dx=?
2
1
3
Örnek...14 :
e
∫ logx dx=?
1
loge
Örnek...10 :
∫
1
π
( lnx ) 2
dx =?
x
1
3
Örnek...11 :
Örnek...15 :
www.matbaz.com
e
2
∫ x 5+x 3 dx =?
−2
0
∫π sin2 x. cosx dx =?
2
-
1
3
π
2
Örnek...16 :
∫ √ sin x. cosx dx =?
0
2
3
Örnek...12 :
1
∫ ( x2 +5x+1)2 (2x +5) dx=?
0
342
3
Örnek...17 :
3
x 15
∫ 1+x 4 dx=?
−3
0
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
2/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
Örnek...18 :
Örnek...22 :
e2
( )
dx=3 ise
∫ f lnx
x
e
1
∫ x.ln (x 2 +1) dx=?
5
0
2
∫ x. f ( x2 +1 )dx =?
1
-3
2
ln
√e
( )
Örnek...23 :
4
∫ √ 16−x2 dx
Örnek...19 :
G r a f i ğ i v e r i l e n y= f ( x )
f on k s i yo n u n u n g r af i ğ i n e
y
ya p a r ak t e k r a r i n t e g r a l i ya z ın ı z
7
y=f(x)
5
göre
∫ ( f ( x )+x.f ' ( x )) dx=?
integralinde x=4sint dönüşümü
0
π
2
16. ∫ cos2 t dt
4
0
3
5
x
23
Örnek...20 :
3
3
∫ f (x )dx =5 ise ∫ (7−f ( x )) dx=?
2
www.matbaz.com
3
Örnek...24 :
ln2
ex
∫ 2+e2x dx i n t e g r a l i n d e
u = e x d ö n ü ş üm ü
0
ya p a r ak t e k r a r i n t e g r a l i ya z ın ı z
2
2
du
∫ 2 +u2
2
1
Örnek...25 :
256 6
x− 3 x
∫ √ 4 √ dx
1
√3 4
12. ∫ (u 10−u 12 ) du
8
∫ f (4x ) dx=60ise ∫ (1−f ( x )) dx=?
0
i n t e g r a l i n d e x= u 1 2 d ö n ü ş üm ü
ya p a r ak t e k r a r i n t e g r a l i ya z ın ı z ( u>0)
Örnek...21 :
2
√x
1
0
-176
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
3/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
Örnek...26 :
Örnek...29 :
A ( 3 , 2 ) n o k t a s ı n d a ye r e l m ak s i m u m , B ( - 2 , 3 )
n o k t a s ı n d a ye r e l m i n i m u m a s a h i p y= f ( x )
t
∫ ( x2−4x−5) dx
f on k s i yo n u i ç i n
∫ x.f '' (x ) dx d e ğ e r i n i
integralinin alacağı sonuç en
0
3
k ü ç ük d e ğ e r k aç t ır ?
−55
3
bulunuz
−2
1
Örnek...27 :
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
www.matbaz.com
y= f ( x ) f o n k i yo n u r e e l s a yı l a r d a t ü r e v l i v e x = 2
n o k t a s ı n d a k i t e ğ e t i x e k s e n i yl e p o zi t i f yö n d e
45 o l i k a ç ı ya p ı yo r s a v e x= 3 e k s t r em um
noktalarından birinnin apisisi ise
3
x.f ' ' ( x )−f ' ( x )
dx= ?
∫
x2
2
−1
2
İ n t e g r a n d ın d a p a r ç a l ı f on k s i yo n v e ya
m ut l a k d e ğ e r l i f o nk s i yo n i ç e r e n
i n t e g r a l l e r i n t e g r a l i n a l ın d ı ğ ı s ın ır l a r
i ç e r i s i n d e k r i t ik n ok t a i ç e r i yo r s a g ö r e
p a r ç a l a n a r a k i n t e g r a l l e r i a l ın ı r.
f : [ a , b ] →Rf o nk s i yo n u [ a , b ] a r a l ığ ın d a k i
b u l u n a n s o n l u s a yı d ak i a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n
s a yı l a r ı i ç i n s ü r ek s i z i s e b u n ok t a l a r a
g ö r e i n t e g r a l p a r ç a l a n ı r.
a1
b
Ya n i
a2
an =b
∫ f (x )dx =∫ f (x ) dx +∫ f (x ) dx +...+ ∫
a
a
a1
f ( x ) dx
an −1
B u p a r ç a l a m a yı g e n e l d e p a r ç a l ı
f on k s i yo n d a v e ya m u t l a k d e ğ e r i n k r i t ik
n o k t a s ın d a i h t i ya ç d u ya r s ak ya p a r ı z
Örnek...28 :
y= f ( x ) f o n k i yo n u n u n
g r a f i ğ i ş ek i l d ek i g i b i d i r
5
∫ f (x )+x.f ' (x ) dx =?
3
y
Örnek...30 :
4
3
{
y=f(x)
2
3
5
2
x
x⩾0 i s e
f ( x )= (e)
x x<0
x
−2
∫ f (x ) dx
−4
-6
9
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
4/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
Örnek...31 :
Örnek...35 :
{
4
5
x 2 x<2
(
)
f x = x 3 2<x<3 f on k s i yo n u i ç i n ∫ f ( x ) dx
0
x+1 x⩾3
∫|x+2|dx
0
16
9
Örnek...36 :
2
∫ x3|x−1|dx
0
2,5
Örnek...32 :
3
{
x⩾0 i s e
f ( x ) = 2x+1
3x 2
x<0
∫ f ( x ) dx
−1
www.matbaz.com
13
Örnek...33 :
{
x
ise
f ( x ) = 2 x⩾0
x+1
x<0
1
∫ f ( x+2) dx
Örnek...37 :
1
∫ (2 x−3 )|x|dx
−1
3
−3
1 7
+
2 ln 2
π
Örnek...38 :
∫∣cosx∣dx
0
2
Örnek...34 :
{
lnx
f ( x )= x
ex
x⩾e i s e
x<e
e2
∫ f (x )dx
1
3
e −e+
2
e
π
Örnek...39 :
∫∣cosx−sinx∣dx
0
2 √2
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
5/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
Örnek...40 :
2π
∫π
√
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ
1+cosx
dx
2
f : [ a , b ] →R s ü r ek l i b i r f on k s i yo n v e
x
x
d ( F (x ) ) d
=
f ( t ) dt =f ( x )
F ( x )=∫ f (t ) dti s e
∫
dx
dx a
a
ya n i s ü r e k l i h e r f o nk s i yo n b a ş k a b i r
f on k s i yo n u n t ü r e v i d i r. B a ş k a b i r d e yi ş l e
t ü r e v v e i n t e g r a l i ş l em l e r i b i r b i r l e r i n i n
t e r s i i ş l e m l e r d i r.
2
(
Örnek...41 :
)
Örnek...45 :
1
x2−4
∫ ∣x−2∣dx
0
d
dx
(
x
∫ sint dt
a
)
=?
−5
2
sinx
Örnek...46 :
d
dx
π
(∣sinx∣+cos ∣x∣) dx
∫
−π
2
4
π
2
1
−2
)
=?
1
x 2+1
Örnek...47 :
d
dx
(
x
)
∫ tant dt =?
√7
tanx
Örnek...43 :
∫ sinx− √22
0
www.matbaz.com
Örnek...42 :
(
x
∫ t 2+1 dt
∣
∣dx
GENELLEME (LEİBNİZ KURALI)
2 π−π √ 2
8
u( x )
F ( x ) = ∫ f (t ) dt o l a r ak v e r i l s i n
v (x)
d (F (x ) ) d
=
dx
dx
u (x )
(∫ )
f ( t ) dt =f ( u ( x ) ) .u ' (x )−f ( v ( x )) . v ' ( x )
v(x )
Örnek...48 :
d
dx
Örnek...44 :
R e e l s a yı l a r d a s ü r e k l i
o l a n f f on k s i yo n u n u n
t ü r e v i n i n g r a f i ğ i v e r i l i yo r.
f(3)-f(2)=?
cosx
(∫
sinx
)
t 2 +t dt =?
y
y=f(x)
sin 2 x
2
( sinx−cosx )
¿
2
x
-1
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
6/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
d
dx
(
Örnek...49 :
x2
∫ tant dt
x
DEĞERLENDİRME
)
=?
3
1)
2
2 x . tanx2−tanx
d
dx
3
∫ f (x )dx =10 ve ∫ g ( x ) dx=8 ise
2
3
(
)(
3
∫ ( 4.f ( x )+3g (x ) )dx . ∫ (5. f ( x )−4g ( x )) dx
2
2
)
Örnek...50
:
π
(∫ sintt )=?
e
0
2
2)
2
∫ f (x )dx =6 ve ∫ ( 5−3.f ( x ) )dx =?
Örnek...51 :
x 2 +1
F ( x ) = ∫ e t dt f o nk s i yo n u n x = 1 n ok t a s ı n d ak i
x+ 1
t e ğ e t d e nk l em i n i b u l u n u z
y= e 2 ( x - 1 )
www.matbaz.com
1
2
3)
1
2
( )=?
xn
∫ ∑ n!
1
n=0
Örnek...52 :
x2
F ( x ) = ∫ t2 dtf on k s i yo n u n x d ö n üm n o k t a s ın ı n
x+ 2
apsisini bulunuz
±
1
√6
1
4)
Örnek...53 :
4
∫ x2−4 dx=?
0
x
F ( x ) =∫ t.et dt i s e F ' ( 1 ) k a ç t ı r ?
0
e
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
7/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
π
4
5)
19
10)
∫ sin2xcosx dx=?
x+3
∫ √ x . √ x+6 dx=?
3
0
π
4
11)
2
6)
∫ x.sinx dx=?
0
∫ ( 3x2+3x ) dx=?
1
e
ln4
7)
∫ e−x dx=?
ln2
www.matbaz.com
12)
∫ lnx dx =?
1
2
13)
∫ ( x15 +x7.cosx +sin9 x ) dx=?
−2
−4
8)
1
∫ ( x+5)4 dx =?
−3
π
2
14)
(
2
1−sin
∫π cosx .√ sinx
x ) dx=?
6
2
9)
1
∫ x.ln2 x dx=?
1
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
8/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
12
15)
∫f
0
x
dx=36 ise
3
()
64
2
∫ ( x+3−4.f (2x ) )dx =?
19)
x−x
∫ √3
1
0
(
√x
)
dx integralinde x=u6 dönüşümü
yaparak tekrar integrali yazınız
dx
16) ∫ f (√ x ) =3 ise
√x
1
2
( )
3
17)
∫ ( √ 9−x 2 ) dx integralinde x=3sina dönüşümü
0
yaparak tekrar integrali yazınız
ln2
18)
ex
∫ 2+e2x dx
π
2
x2
∫ 5x.f 2 dx=?
√2
integralinde u=ex dönüşümü
0
yaparak tekrar integrali yazınız
20)
cot x+π dx=?
integralinde x=t+ π
∫ 1 +tan
(x−π )
2
(
)
0
dönüşümü yaparak tekrar integrali yazınız
www.matbaz.com
4
21) y=f(x) fonkiyonu reel sayılarda türevli ve x=1
noktasındaki teğeti x eksenine paralel ve x=5
deki teğeti y-3x+2=0 doğrusuna dikse =?
5
∫
1
1
f '' ( x )
f ' (x )
dx+∫ 2 dx
x
x
5
y
22) y=f(x) fonkiyonu n grafiği
şekildeki gibidir
2
135O
x
5
∫ f (x )+x.f ' (x ) dx integralinin
y=f(x)
3
değerini bulunuz
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
9/10
İNTEGRAL 6
BELİRLİ İNTEGRAL
a
23)
∫ ( 2x2−6x ) dx integralinin alacağı sayısal sonuç
3π
2
0
en az kaçtır?
28)
∫π ∣sinx∣dx
2
{
1+x
4
x<1
1⩽x⩽3 fonksiyonu için ∫ f ( x ) dx
0
x−1 x>3
24) f ( x )= x
4π
2
29)
∫π √ 1−cos2 xdx
{3x
25) f ( x )= 1+2x
3
x⩾4 fonksiyonu için f ( x+3 ) dx
∫
x<4
−1
www.matbaz.com
3
30) d
dx
x 2+ 1
∫
tant dt
a
x
31) f ( x )= ∫ ( t 2 +1 ) dt veriliyor. f fonksiyonunun
√3 −2
dönüm noktasının apsisi nedir?
4
26)
∫∣x−2∣dx
1
32) d
x2
∫ d (lnt )
dx
1
3
27)
∫ x.∣x−2∣dx
33) A( 1,2 ) noktasında teğeti y eksenine dik
,B(4,7) noktasında yerel ekstremuma sahip
4
−1
y=f(x) fonksiyonu için
∫ x.f ' ' ( x ) dx değerini
1
bulunuz
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
10/
10/10