ankara ünđversđtesđ fen bđlđmlerđ enstđtüsü yüksek lđsans tezđ

ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ
DUAL DÖNÜŞÜMLER VE GEOMETRĐK UYGULAMALARI
Gülsüm BĐÇER
MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI
ANKARA
2011
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek
Lisans
Tezi
DUAL DÖNܓÜMLER VE GEOMETRK UYGULAMALARI
Gülsüm BÇER
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal
Dan³man: Prof. Dr. Yusuf YAYLI
E³ Dan³man: Prof. Dr. Rafael LOPEZ
Bu tez dört bölümden olu³maktadr.
Birinci bölüm giri³ ksmna ayrlm³tr.
kinci bölümde, n boyutlu Lorentz-Minkowski uzaynda temel kavramlar verilmi³, iki
vektör arasndaki aç tanmlanm³ ve bu uzaya ait izometrilerden bahsedilmi³tir.
Üçüncü bölümde, izometrik uzaylar arasnda bir dual dönü³üm tanmlanm³tr. Bu
sayede Öklid uzayndaki bir ortogonal matristen Lorentz-Minkowski uzaynda bir yar
ortogonal matris ve Lorentz-Minkowski uzayndaki bir yar ortogonal matristen Öklid
uzaynda bir ortogonal matris elde edilmi³tir.
Dördüncü bölümde, dual dönü³ümlerin geometrik uygulamalar yer alr. Görü³ açs
kavram tanmlanarak örnekler verilmi³tir. Bu sayede Öklid uzayndaki ve LorentzMinkowski uzayndaki ortogonal eksenler incelenmi³tir.
Temmuz 2011, 58 sayfa
Anahtar Kelimeler :
Dual dönü³üm, Görü³ açs, Lorentz-Minkowski uzaynda or-
togonal eksenler.
i
ABSTRACT
Master
Thesis
DUAL TRANSFORMATIONS AND THEIR GEOMETRIC APPLICATIONS
Gülsüm BÇER
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI
Co Advisor: Prof. Dr. Rafael LOPEZ
This thesis consists of four chapters.
The rst chapter is devoted to the introduction.
In chapter two, the basic concepts of n dimensional Lorentz-Minkowski space are given,
the angle between two vectors is dened and isometries of this space are mentioned.
In chapter three, dual transformation between isometric spaces is dened. By this
means, a semi-orthogonal matrix in Minkowski space is obtained from an orthogonal
matrix in Euclidean space and an orthogonal matrix in Euclidean space is obtained
from a semi-orthogonal matrix in Minkowski space.
Finally in chapter four, geometric applications of dual transformations take place. Examples are given by dening the concept of visual angle. By this means, orthogonal
axes in Euclidean space and in Lorentz-Minkowski space are examined.
July 2011, 58 pages
Key Words: Dual transformation, Visual angle, Orthogonal axes in Lorentz-Minkowski
space.
ii
TE“EKKÜR
Öncelikle bu çal³ma konusu ile bana ara³trma olana§ sa§lad§, çal³mamn her noktasnda yakn ilgi ve önerileri ile beni yönlendirdi§i için, ayrca seçti§im bu yolda azim
ve kararllkla ilerlememi sa§lad§ ve beni aydnlatt§ için de§erli dan³man hocam,
Sayn Prof Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim
Dal)'ya, tez çal³mam srasnda önerileri ve deste§iyle hep yanmda olan ve spanya'da
bulundu§um süre içerisinde benden hiçbir konuda yardmn esirgemeyen de§erli e³
dan³man hocam Sayn Prof.Dr. Rafael LOPEZ (Universidad de Granada Department
of Geometry and Topology)'e en içten sayg ve te³ekkürlerimi sunarm.
Çal³malarm süresince ve hayatm boyunca bana ko³ulsuz güvenen, maddi manevi her
türlü fedakarl§ gösteren ailem; babam Hüseyin BÇER, annem Ay³e BÇER, karde³im
Yusuf BÇER'e ve ileri görü³lülü§ü ile bana her daim ³k tutmu³ dedem Sayn Yusuf
BÇER'e en derin duygularla te³ekkür ederim.
Gülsüm BÇER
Ankara, Temmuz 2011
iii
ÇNDEKLER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT
..........................................................
ii
TE“EKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
SMGELER DZN
“EKLLER DZN
1. GR“
2.
En1
.................................................. v
..................................................
vi
.............................................................. 1
LORENTZ-MINKOWSKI UZAYI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Temel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 ki Vektör Arasndaki Aç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
En1 in
zometrileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. ZOMETRK UZAYLAR ARASINDAK DUAL DÖNܓÜMLER . . 29
3.1
Dual Dönü³üm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. DUAL DÖNܓÜMLERN GEOMETRK UYGULAMALARI
. . . . . 38
4.1
E3
Öklid Uzaynda Görü³ Açs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2
E31
Minkowski Uzaynda Görü³ Açs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
ÖZGEÇM“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
iv
SMGELER DZN
En1
n boyutlu Lorentz-Minkowski uzay
En
n boyutlu Öklid uzay
C
Light koni
f , f −1
Dual dönü³ümler
O1 (n)
En1 in
∠o AP B
O
vektör izometrilerin kümesi
görü³ noktasndan
∠AP B
v
açsnn görü³ açs
“EKLLER DZN
“ekil 1.1
Kutu ve e§ik kutu
1
“ekil 2.1
E31 te causal karakter: u spacelike, v timelike ve w lightlike vektör
4
“ekil 2.2
E31 te w
“ekil 2.3
Öklid uzaynda iki birim vektör arasndaki aç
16
“ekil 2.4
Lorentz-Minkowski uzaynda iki birim timelike vektör arasndaki aç
19
“ekil 2.5
Timelike bir düzlemdeki iki spacelike vektör arasndaki aç
24
“ekil 4.1
Öklid uzaynda görü³ açs
38
“ekil 4.2
∠o A0 P A1 görü³ açs
39
“ekil 4.3
nin ortogonal vektörleri:
P − A0 A1 A2
çats ve
∠o A0 P A1
u(sol) spacelike ve v (sa§) timelike
görü³ açs
12
41
“ekil 4.4
Dik kutulara farkl noktalardan bakld§nda görülen yüzleri
43
“ekil 4.5
∠o B0 QB1
47
görü³ açs
vi
1.
GR“
“ekil 1.1 Kutu ve e§ik kutu
“ekil1.1deki iki resim, bir kutuyu ve e§ik bir kutuyu göstermektedir. Hangisi bir kutunun resmidir? Kutu kelimesinin zihinlerde olu³turdu§u resim soldaki gibidir. Aslnda,
Lorentz-Minkowski uzaynda ya³anyor olsayd sa§daki resmin bir kutu oldu§u ifade
edilirdi, di§er taraftan soldaki bir e§ik kutunun resmi olurdu. Bak³ noktasna ve içinde
bulunulan uzaya ba§l olarak görünümleri de§i³en bu kutular bu çal³mann ba³langç
noktas olmu³tur. Her iki uzaydaki ortogonal eksenler ve "görü³ açs" yardmyla bu
resimler incelenecektir. Çal³ma süresince "kutu" olarak ifade edilecek ³ekiller; özel hali
küp olan, bir yüzünün dört ayrta sahip oldu§u dik kutular olacaktr.
Öklid uzay ve Lorentz-Minkowski uzayndaki ortogonal eksenler ele alnacaktr. Seçilecek noktalarda kurulacak olan dik çatlar, bir kutunun bir kö³esine ait olan üç ayrttan
yola çklarak zihinlerde canlandrlabilir. Görü³ açs kavramnn daha iyi anla³lmasna
olanak sa§layacak bu ortogonal eksenlere bir noktadan bakld§nda elde edilen görü³
açlar incelenecektir. Öklid uzay ve Lorentz-Minkowski uzaynda ayr ayr incelenecek olan bu görü³ açlarnn ayn anda dar açl veya ayn anda geni³ açl olabilme
durumlarna göre “ekil 1.1 yorumlanacaktr.
1
En1
2.
2.1
LORENTZ-MINKOWSKI UZAYI
Temel Kavramlar
Rn , bilinen vektör yaps ile n boyutlu reel vektör uzay olsun. Rn uzaynda bir vektörün
bilinen koordinatlar
(x1 , . . . , xn ) olarak verilir. Burada, Rn
uzaynda iken
Rn
nin genel
yaps dü³ünülecektir ve bilinen anlamdaki "yatay" veya "dikey"ler ile ifade edilecektir.
Tanm 2.1.1.
Lorentz-Minkowski uzay
En1 = (Rn , ⟨, ⟩)
metrik uzaydr,
⟨, ⟩
metri§i
ile a³a§daki ³ekilde tanmlanr:
⟨u, v⟩ =
n−1
∑
ui v i − u n v n
u = (u1 , . . . , un ), v = (v1 , . . . , vn )
i=1
⟨, ⟩
metri§i, Lorentz metri§i olarak adlandrlr.
⟨, ⟩ metri§i, indeksi 1 olan non-dejenere metrik olarak yorumlanr. En1
ve
Minkowski uzay
⟨, ⟩ Minkowski metri§i olarak da adlandrlr. Burada, Rn uzaynda iken Öklid metri§i
dü³ünülecek ve Öklid uzayn kar³layan
En
ifadesi kullanlacaktr.
Lorentz-Minkowski uzaynn alt boyutlar a³a§daki gibi gösterilir:
• n = 1, E11 = (R, ⟨⟩),
with
• n = 2, E21 = (R2 , ⟨⟩),
Bu tez çal³masnda,
munda
E21 ,
⟨u, v⟩ = −uv .
with
En1
⟨u, v⟩ = u1 v1 − u2 v2 .
uzay yalnzca
n≥2
için dü³ünülecektir.
n=2
olmas duru-
Lorentz-Minkowski düzlemi olarak ifade edilecektir.
Tanm 2.1.2.
v ∈ En1
vektörü,
• ⟨v, v⟩ > 0
veya
• ⟨v, v⟩ < 0
ise timelike ve
• ⟨v, v⟩ = 0
ve
v=0
v ̸= 0
ise spacelike,
ise lightlike
olarak adlandrlr.
Burada,
v=0
olmas durumunda
⟨v, v⟩ = 0
sa§lanmasna ra§men vektörün spacelike
oldu§u belirtilir.
Bir vektörün normunun tanm ³u ³ekilde verilir.
2
Tanm 2.1.3. Verilen
|u|
adlandrlr ve
u
Sonuç olarak,
³eklinde yazlr.
En1
Tanm 2.1.4.
u
vektörünün normu
bir spacelike vektör ise
timelike vektör ise
√
|⟨u, u⟩| ifadesi u vektörünün normu olarak
u ∈ En1 vektörü için
√
|u| = −⟨u, u⟩
|u| =
√
1
ise bu vektöre birim denir.
⟨u, u⟩,
olur.
uzayna ait light-koni,
En1
uzaynn tüm lightlike vektörlerinin küme-
sidir ve a³a§daki ³ekilde tanmlanr:
C = {v ∈ En1 ; ⟨v, v⟩ = 0} − {(0, . . . , 0)}.
C
alt boyutlarda a³a§daki gibi hesaplanr:
• n = 2 için, C = { (x, y) ∈ E21 ; x2 − y 2 = 0 } − { (0, 0) } biri x − y = 0 di§eri x + y = 0
olan iki do§rudan olu³ur.
• n=3
C = { (x, y, z) ∈ E31 ; x2 + y 2 − z 2 = 0 } − { (0, 0, 0) }
için,
tepe noktas orijin
olan konidir.
T
Timelike vektörlerinin kümesi
ile gösterilir ve a³a§daki ³ekilde verilir:
T = {v ∈ En1 ; ⟨v, v⟩ < 0}.
T
timelike vektörlerinin kümesinin iki bile³eni
{v ∈ T ; vn > 0}
ve
{v ∈ T ; vn < 0},
birbiri ile tam olarak ba§lantl de§ildir. Spacelike vektörler kümesi daima ba§lantldr.
C
light-konisi,
n = 2 durumunda birbirleri ile ba§lantl dört bile³enden olu³urken n > 2
olmas durumunda iki bile³enlidir (“ekil 2.1).
Tanm 2.1.5.
tanml ise
U
U ⊂ En1
bir alt vektör uzay olsun.
spacelike, indeksi
U
daki indirgenmi³ metrik pozitif
1 olan non-dejenere ise timelike ve U ̸= {0} ise lightlike
olarak adlandrlr.
Bir vektörün veya bir alt uzayn spacelike, timelike veya lightlike bir causal karakter e
sahip olmas beklenir.
Bir alt uzay ve bu alt uzayn causal karakteri ile ilgili örnekler a³a§da verilmi³tir:
1.
(1, 0, 0)
(0, 1, 1)
ve
(0, 1, 0)
spacelike vektörlerdir.
lightlike vektörlerdir.
3
(0, 0, 1)
bir timelike vektördür.
(1, 0, 1)
ve
z
timelike
v
w
u
C
y
spacelike
spacelike
x
timelike
“ekil 2.1
2.
E31 te
causal karakter:
< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >
< (0, 1, 0), (0, 0, 1) >
u
spacelike,
spacelike bir düzlemdir.
timelike düzlemlerdir.
v
timelike ve
w
lightlike vektör
< (1, 0, 0), (0, 0, 1) >
< (1, 0, 0), (0, 1, 1) >
ve
lightlike bir düzlem-
dir. Yukarda verilen alt uzaylarn her birindeki metri§e ait matrisler, verilen bazlara
göre srasyla a³a§daki ³ekilde verilir:


 
1 0
,
0 1
3.
< (1, 0, 0), (1, 1, 1) >
 
1
0
0 −1
,
 
1
0
0 −1
lightlike bir düzlemdir fakat
,

1 0
.
0 0
{(1, 0, 0), (1, 1, 1)}
spacelike vek-
{(0, 1, 0), (0, 2, 1)}
spacelike vek-
törlerdir. Metri§e ait matris a³a§daki ³ekilde verilir:



1 1
.
1 1
4.
< (0, 1, 0), (0, 2, 1) >
timelike bir düzlemdir fakat
törlerdir. Metrik ³u ³ekilde verilir:



1 2
.
2 3
5.
(0, 1, 0) spacelike bir vektördür, (0, 1, 1) lightlike bir vektördür fakat < (0, 1, 0), (0, 1, 1) >
4
timelike bir düzlemdir. Metrik a³a§daki ³ekilde verilir:



1 1
.
1 0
Önerme 2.1.6.
En1
uzaynn her alt uzay spacelike, timelike veya lightlike olmak
zorundadr.
spat
n
n = 2
boyut üzerinde tümevarm uygulansn.
ise non-trivial alt uzaylar 1
boyutludur ve sonuç a³ikardr.
1.
U
non-dejenere ise
in ortonormal baz,
U⊥
En1
de non-dejenere olur. O halde
U
nun ortonormal baz ve
U
in ortonormal bazlarn verir. Dolaysyla
1 veya 1 den az olur. Böylece U
daki
U⊥
−1 lerin says,
daki metri§e ait matrisler a³a§daki gibidir,
U
timelike
veya pozitif tanml olur.











2.
U
dejenere ise
W ⊂U
U
 
+1 . . .
.
.
.
..
W
.
.
.
+1
. . . −1
+1 . . .
.
.
.
+1
ve
−1
..
.
.
.
.
+1





.




. . . +1
nun baznda bulunan saylar:
alt uzay, bazlarnda
Dolaysyla
.
 
 
 
 
 
,
 
 
 
 

+1, −1,
ve
0
dr.
saylar bulunan non-dejenere bir alt uzaydr.
Lorentzian veya pozitif tanmldr. Bu,
U
daki metri§e ait matrislerin
a³a§daki gibi olduklar anlamna gelir.














 

+1 . . .
.
.
.
..
.
+1
0
..
.
.
.
.
 
 
 
 
 
 
,
 
 
 
 
 
 
+1 . . .
.
.
.
..
.
−1
0
..
.
.
.
.
... 0
... 0
5






.






O halde
W
W⊥
nin ortonormal altuzay
ve
W ⊥ ⊂ En1
durumda a³a§daki gibi gösterilir. lk durum,
W⊥
W⊥
oldu§u dü³ünülerek,
W⊥
iki
spacelike oldu§unda; ikinci durum,
Lorenzian oldu§undadr.
lk durum için:
W⊥
U ⊂ W⊥
spacelike ise, bir ortonormal baz dü³ünülsün,
içinde bir
lightlike vektör vardr, ki bu da imkanszdr.
kinci durum için:
boy(W ⊥ ) = n − 1
W⊥
timelike ise boyutu
in boyutundan bir eksik olan
olur ve tümevarm hipotezi kullanlr. Bunun için
arakesiti dü³ünülür, bu da
W⊥
En1
W ⊂ U
nin ortogonali olan bir
içindedir, dolaysyla spacelike, timelike veya lightliketr.
W′
oldu§undan lightliketr. Böylelikle, ortonormal baza göre verilen
risi
+1, ..., +1, 0
W′
U
ile
W⊥
nin
olur. Bu alt uzay
deki metrik dejenere
W ′ deki metri§in mat-
dr.












+1 . . .
.
.
.
..
.
.
.
.
+1





.




... 0
Bu baz ve
W
nin bir baz birlikte,
(+1, ..., +1) + (+1, ..., +1, 0)
U
nun bir bazn olu³turur. Olu³turulan baz
dr ve bu baza göre verilen metri§e ait matris a³a§daki
gibidir:












+1 . . .
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
+1 . . .
.
.
.
..
.
+1
.
.
.





,




... 0
. . . +1
U


nun lightlike oldu§u anlamna gelir.
“imdi, causal karakterine ba§l olarak alt uzaylarn karakterizasyonlar verilecektir.
6
Önerme 2.1.7.
1.
v ∈ En1
olsun.
< v >⊥
timelike (srasyla spacelike, lightlike)
⇔v
spacelike (srasyla
timelike, lightlike) vektördür.
2.
U ⊂ En1
bir alt uzay olsun.
U⊥
timelike (srasyla spacelike, lightlike)
⇔U
spacelike
(srasyla timelike, lightlike) alt uzaydr.
spat
1.
v
spacelike veya timelike bir vektör olsun ve
varsaylsn.
En1
in ortonormal baz, bir eleman
v
ϵ = ±1
oldu§unda
⟨v, v⟩ = ϵ
oldu§u
olacak ³ekilde geni³letilirse,
⟨en , en ⟩ = −ϵ oldu§unda B = {v, e2 , . . . , en } olur. O halde < v >⊥ =< e2 , . . . , en > dir,
ki bu alt uzay
{e2 , . . . , en }
ϵ=1
baz,
ise timelike,
⟨en , en ⟩ = ±1
B = {v, e2 , . . . , en }
ϵ = −1
ise spacelike bir alt uzaydr. Di§er taraftan
oldu§unda







⟨v, v⟩ 0 . . . 0
Lorentz metri§inin indeksi
.
.
.
dir, o halde
⟨v, v⟩ = −ϵ
olur ve bu da sonucu gösterir.
bir lightlike vektör olsun. Önerme 2.1.6 kullanlarak ve yukardaki dü³ünce ile,
v ∈< v >⊥
dü³ünce ile,
U
alt uzay lightlike olmak zorundadr.
v
< v >⊥
vektörü spacelike veya timelike olamaz,
timelike iken
daki madde ile,
v∈U
< v >⊥
da spacelike oldu§u için
U
1



1 ... 0 
.

..
.


0 ... ϵ
0
0
2.
nin ortonormal bir baz olsun.
ye ba§l olarak verilen metri§e ait matris ³öyledir:

v
< v >⊥
spacelike ise ve
v
lightlike ise, yine yukardaki
lightlike olmak zorundadr.
bir timelike vektör olsun. O halde
U ⊥ ⊂< v >⊥
olur. Yukar-
spacelike oldu§u görülür ve spacelike alt uzayn her alt uzay
U⊥
spaceliketr.
En1 = U ⊕U ⊥ oldu§undan U ⊥ alt uzay spacelike olamaz. U ⊥ lightlike
ise Lorentz metri§i dejenere olmaldr. O halde, Önerme 2.1.6 ile
7
U⊥
timelike olur.
Sonuç olarak
U
lightlike ise, yukardaki yukardaki dü³ünce ile,
timelike olamaz. O halde
U⊥
U⊥
spacelike veya
lightlike olur.
Önerme 2.1.8.
1.
u, v ∈ En1
2.
u
ve
v
olsun.
u
ve
v
timelike vektörler
iki lightlike vektör olsun.
⇒ ⟨u, v⟩ ̸= 0
⟨u, v⟩ = 0 ⇔
dr.
lineer ba§mldrlar.
spat
B = {e1 , . . . , en }, u = en gibi,
∑
n
En1 in ortonormal bir baz oldu§u dü³ünülsün . v =
i=1 xi ei olsun. ⟨u, v⟩ = 0 ise
∑
xn ⟨u, u⟩ = 0 olur. O halde xn = 0 dr. Dolaysyla v = n−1
i=1 xi ei dir ve bu nedenle
∑n−1 2
⟨v, v⟩ = i=1 xi ≥ 0 olur, ki bu bir çeli³kidir.
1. Genel durumu bozmadan,
2.
u
ve
v
oldu§u varsaylsn.
lineer ba§ml ise ortogonaldirler. “imdi, bu vektörlerin ortogonal olduklar
dü³ünülsün.
ve
|u| = 1
en = (0, . . . , −1) olsun. En1 =< en >⊥ ⊕ < en > ifadesi içinde u = x + λen
v = y + µen
yazlsn.
⟨u, v⟩ = 0
iken ve bunlar lightlike vektörler olacak ³ekilde,
a³a§daki e³itlikler elde edilir.
⟨x, y⟩ − λµ = 0.
|x|2 − λ2 = 0.
|y|2 − µ2 = 0.
Üç e³itli§in toplam ile,
⟨x, y⟩2 = |x|2 |y|2
elde edilir.
x
ve
y
spacelike vektör olduklar için Cauchy-Schwarz e³itsizli§i
ve
y
nin
v
vektörleri için de ayn ³ey söz
boy(U ) ≥ 2
olsun. A³a§da verilen ifadeler
lineer ba§ml oldu§unu garanti eder. O halde
u
x
ve
konusudur.
“imdi, timelike alt uzaylarda çal³lacaktr.
Önerme 2.1.9.
U ⊂ En1
bir alt uzay ve
birbiri ile e³de§erdir:
1.
U
bir timelike alt uzaydr.
8
2.
U
lineer ba§msz iki lightlike vektör içerir.
3.
U
bir timelike vektör içerir.
spat
• 1 ⇒ 2
{e1 , . . . , em }
olsun. O halde
• 2⇒3
u
e1 + em
ve
v
em
baz,
e1 − em
ve
U
timelike vektörü ile,
nun bir ortonormal baz
lineer ba§msz lightlike vektörler olurlar.
lineer ba§msz iki lightlike vektör ise
u+v
veya
u−v
bir timelike
vektör olur, çünkü
⟨u ± v, u ± v⟩ = ±2⟨u, v⟩
ve
⟨u, v⟩ =
̸ 0
• 3⇒1
ve
< v >⊥
dr (Önerme 2.1.8).
v
vektörü
U
ya ait bir timelike vektör olsun. O halde
bir spacelike alt uzaydr. Sonuç olarak
U⊥
U ⊥ ⊂< v >⊥
dir
spaceliketr ve bu nedenle
U
timelike olur (Önerme 2.1.7).
Yukardaki sonuç, bir alt uzayn timelike olup olmad§n bilmek için, o alt uzayda
yalnz bir timelike vektör bulmann yeterli olaca§n söylemektedir. Bu durum di§er
alt uzaylar için geçerli de§ildir. Örne§in
vektörünü ve
(0, 1, 1)
E31
uzaynda
x=0
düzlemi
(0, 1, 0)
spacelike
lightlike vektörünü barndrr fakat düzlem ne spacelike ne de
lightlike bir düzlemdir. Buna ek olarak,
y−z = 0
bir lightlike düzlemdir ve lightlike
vektörler içermektedir. Fakat düzlemdeki tüm lightlike vektörler
(0, 1, 1)
vektörü ile
lineer ba§ml olan vektörlerdir.
Lightlike alt uzaylar ile devam edilecektir.
Önerme 2.1.10.
U , En1
de bir alt uzay olsun. A³a§da verilen ifadeler birbiri ile
e³de§erdir:
1.
U
bir lightlike alt uzaydr.
2.
U
bir lightlike vektör içerir fakat timelike vektör içermez.
3.
U ∩ C = L − {0}
ve boy
(L) = 1.
9
(U ∩ U ⊥ ) = 1
Boy
oldu§u durumdadr.
spat
• 1⇒2
U
daki metrik dejenere oldu§u için
U
da bir lightlike vektör vardr. Time-
like vektör yoktur (Önerme 2.1.9).
• 2 ⇒ 3
Lightlike vektörler bulundu§u için
U ∩C
arakesiti bo³ küme de§ildir.
Tekrar Önerme 2.1.9 ile, e§er iki lineer ba§msz lightlike vektör olsayd bir timelike
vektör var olurdu, ki bu imkanszdr. Dolaysyla,
U
daki tüm lightlike vektörler lineer
ba§mldr.
• 3 ⇒ 1
ile,
U
Lightlike vektörler var oldu§undan alt uzay spacelike de§ildir. Hipotez
daki tüm lightlike vektörler lineer ba§mldr ve Önerme 2.1.9
olmad§n belirtir. Sonuç itibariyle, Önerme 2.1.6
U
U
nun timelike
nun lightlike oldu§unu söyler.
Alt uzaylarn hiper düzlemler için olan daha yüksek boyutlu oldu§u hallerde,
Rn
deki
Öklid metri§ini kullanarak causal karakteri ayrt etmek mümkündür.
Önerme 2.1.11.
nal vektör olsun.
v
P , En1
in bir hiperdüzlemi olsun.
v
de Öklid metri§i ile bir ortogo-
bir timelike (srasyla spacelike, lightlike) vektör
⇔P
bir spacelike
(srasyla timelike, lightlike) düzlemdir.
spat
P , P = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; a1 x1 + . . . + an xn = 0}
(a1 , . . . , an )
vektörü ile lineer ba§ml olur.
P
olarak yazlrsa
v
vektörü
ayn zamanda ³u ³ekilde de yazlr:
P = {(x1 , . . . , xn ) ∈ En1 ; ⟨(x1 , . . . , xn ), (a1 , . . . , −an )⟩ = 0 =< (a1 , . . . , −an ) >⊥ .
(a1 , . . . , −an )
in causal karakteri
v
ninki ile ayndr, çünkü
⟨(a1 , . . . , −an ), (a1 , . . . , −an )⟩ = a21 + . . . − a2n = ⟨v, v⟩,
ki bu sonucu ispatlar.
10
En1
de hiperdüzlemler üzerine çal³lmaya devam edilecektir. Burada, hiperdüzleme ait
bir normal vektörü dü³ünülsün ve bu vektörün normu Lorentz ve Öklid metri§i ile ayr
ayr hesaplanarak bir kar³la³trma yaplsn.
P
Önerme 2.1.12.
spacelike veya timelike bir hiperdüzlem ve
P =< v >⊥
ise,
|v| = 1
iken,
|v|e ≥ 1
olur,
e
spat
altindeksi oldu§unda hesaplama
En
nin Öklid metri§i ile yapld§n gösterir.
P = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; a1 x1 + . . . + an xn = 0}
durumu bozmadan,
³eklinde yazlsn. Genel
v = (a1 , . . . , −an ) oldu§u varsaylsn. a21 + . . . − a2n = ϵ ve ⟨v, v⟩ = ϵ
oldu§unu bilinir. Burada,
ϵ = −1
Öklid metri§i ile hesaplansn.
ise
ϵ=1
P
timelike,
ϵ=1
ise
P
spaceliketr.
v
nin normu
ise sonuç,
|v|2e = a21 + . . . + a2n−1 + a2n ≥ a21 + . . . + a2n−1 − a2n = ϵ = 1.
ϵ = −1
³eklinde olur. E§er
halde
ise ve
a21 + . . . + a2n−1 = a2n − 1
⟨v, v⟩ = −1
den,
a2n = 1 + a21 + . . . + a2n−1 ≥ 1
olur. O
ve
|v|2e = a21 + . . . + a2n−1 + a2n = 2a2n − 1 ≥ 1
elde edilir.
Yansmalar (Öklid anlamndaki) ile
gibidir. Bu ili³kilendirme
E21
Önerme 2.1.13.
gonal bir vektörü
spat
C
u = (x, y)
E21
En1
deki ortogonalli§in ili³kilendirilmesi a³a§daki
de yaplacaktr.
Lorentz-Minkowski düzlemi dü³ünülsün.
light konisine göre
olsun.
ax − by = 0
göre yansmas
e
x.x1 − y.x2 = 0
olur. Sonuç olarak,
içindedir ve
(y, x)
u
ise
u
nun orto-
nun bir yansmasdr (“ekil 2.2).
ise
(a, b) ∈ u⊥
olur.
u
tir. Do§runun denklemi
(a, b)
u ∈ E21
nun
(y, x)
vektörü denklemi sa§lar.
11
x2 = x1
do§rusuna
noktasn sa§lar,
C
u
C
z
v
y
y
u
b
b
a
a
v
z
g
g
u’
v’
“ekil 2.2
E31 te w
nin ortogonal vektörleri:
Bu bölümde son olarak,
ts tanmlanacaktr.
En1
u(sol)
in timelike vektörlerinin
∀ u ∈ T
için,
u
spacelike ve
T
v (sa§)
timelike
kümesinde bir denklik ba§n-
nun a³a§daki küme ile verilen timelike konisi
tanmlanr.
C(u) = {v ∈ T ; ⟨u, v⟩ < 0}.
Bu küme
u ∈ C(u)
oldu§undan bo³ küme de§ildir. Buna ek olarak
nun ayrk birle³imidir:
dur. Bundan ba³ka,
v∈T
ise
T , C(u)
ve
C(−u)
⟨u, v⟩ ̸= 0 olur ve bu nedenle v ∈ C(u) veya v ∈ C(−u)
C(u) ∩ C(−u) = ∅ dr. Timelike konilerin baz özellikleri a³a§daki
gibidir.
Önerme 2.1.14.
1.
⟨u, v⟩ < 0 ⇔ u
2.
C(u) = C(v) ⇔ u ∈ C(v)dir.
ve
v
ayn timelike konide yatan iki timelike vektördür.
spat
1.
⟨u, v⟩ < 0
ise
dü³ünülebilir.
< w >⊥
u ∈ C(v)
dir.
x, y ∈< w >⊥
u, v ∈ C(w)
ve
(a, b) ∈ R
bir spacelike alt uzay oldu§undan,
oldu§u varsaylsn.
den,
u = x + aw
|⟨x, y⟩| ≤ |x||y|
ve
ve
⟨u, v⟩ = −ab + ⟨x, y⟩ ≤ −ab + |x||y|.(∗)
12
⟨w, w⟩ = −1
v = y + bw
oldu§u
olsun.
olur. Fakat
olarak
2.
⟨x, x⟩ < a2
⟨u, v⟩ < 0
u ∈ C(v)
2.2
ise
and
⟨y, y⟩ < b2
dir. O halde
|x| < |a|, |y| < |b|
ve
(∗)
n sonucu
olur.
⟨u, v⟩ < 0
olur, yani
v ∈ C(u)dir.
ki Vektör Arasndaki Aç
Bu bölümde, Lorentz-Minkowski uzaynda iki vektör arasndaki aç tanmlanacaktr.
Lightlike vektörlerin normu sfr oldu§u için sadece spacelike veya timelike iki vektör
arasndaki aç tanmlanacaktr. Buna ek olarak, aç kavramnn geometrik yorumu da
yaplacaktr.
Tanm verilmeden önce, Öklid uzayndaki aç kavram ele alnacaktr.
yndaki anahtar Cauchy-Schwarz e³itsizli§idir. Bu e³itsizlik
u, v ∈ En
En
Öklid uza-
ise ve
u, v ̸= 0
iken
⟨u, v⟩2 ≤ |u|2 |v|2
oldu§unu söyler ve ancak
u
ve
v
lineer ba§ml iseler e³itlik sa§lanaca§n belirtir. O
halde,
−1 ≤
olur. Bundan dolay bir tek
φ ∈ [0, π]
⟨u, v⟩
≤ 1.
|u||v|
says vardr ve a³a§daki ³ekilde verilir:
cos φ =
φ says u ve v
π
dir ve e§er
u
⟨u, v⟩
.
|u||v|
arasndaki aç olarak adlandrlr.
ve
v
ortogonal ise
φ
açs
π/2
u ve v
lineer ba§ml ise
φ açs 0 veya
olur.
ki vektör arasndaki açnn di§er özellikleri: E§er bir vektörün yeri, di§er lineer ba§ml
vektörler ile yönü ayn kalacak ³ekilde de§i³tirilirse aç de§i³mez ve izometriler açy
de§i³mez brakr. Bu durum beraberinde iki vektör arasndaki açnn sradaki yorumunu
getirir.
13
Önerme 2.2.1.
En
Öklid uzaynda iki birim vektör arasndaki aç, bu iki vektörün
uçlarn birle³tiren birim çemberdeki ksa yayn uzunlu§udur (“ekil 2.3).
spat
u
ve
Bu önermenin ispat iki ³ekilde yaplacaktr.
v , En
de iki birim vektör olsun.
u
ve
cos φ =
lk olarak,
⟨u, v⟩2 = 1
⟨u, v⟩2 = −1
çember olan
π
ise
arasndaki
φ
açs a³a§daki ³ekilde verilir:
⟨u, v⟩
= ⟨u, v⟩.
|u||v|
olan a³ikar durum bir kenara braklrsa
v = −u
olur.
v
ve
φ = π
⟨u, v⟩2 ̸= 1
u=v
ve
φ=0
olur.
dir. Böylelikle yay parçasnn uzunlu§u yarm-
oldu§u varsaylsn.
u
ve
v
vektörlerinin uç noktalarn
birle³tiren yay parças a³a§daki ³ekilde parametrize edilir. Bu parametrizasyonda
u
ya ortogonal birim vektördür ve
u
ile
v
w,
tarafndan gerilen düzlem içindedir.
α(s) = cos(s)u + sin(s)w, s ∈ R.
Aslnda,
w
vektörünün ifadesi ³u ³ekildedir:
w=√
α(s0 ) = v
1
1 − ⟨u, v⟩2
(−⟨u, v⟩u + v).
iken, yay parçasnn uzunlu§u
∫
s0
|α′ (s)|ds
0
olur.
∀s
için
|α′ (s)| = 1
oldu§undan uzunluk
α(s0 ) = v = cos(s0 )u + sin(s0 )w
dir,
u
s0
dr.
s0
n de§eri ³u ³ekilde hesaplanr:
ile çarplr ve
⟨u, v⟩ = cos(s0 )⟨u, u⟩ = cos(s0 )
elde edilir.
cos φ = ⟨u, v⟩
oldu§u için
s0 = φ
dir.
kinci ispat ³öyledir: Bir izometriden sonra, ³imdi de
iki birim vektör olsun. ki vektörün de normlar
1
E2
de çal³lacaktr.
oldu§undan,
u = (cos θ, sin θ), v = (cos β, sin β)
14
u
ve
v , E2
de
θ, β ∈ [0, 2π]
gibi
arasndaki
φ
φ ∈ [0, π]
dir.
k∈Z
ve
φ ∈ [0, π]
Birim çember
ve
veya
v
oldu§u varsaylsn.
u
ve
v
⟨u, v⟩
= cos θ cos β + sin θ sin β = cos(θ − β) = cos(β − θ).
|u||v|
olan baz
θ, β ∈ [0, 2π]
k
lar için
φ + (θ − β) = 2kπ
oldu§undan
veya
φ=θ−β
α(θ) = u
ve
veya
φ + (θ − β) ∈ [0, 3π]
oldu§u için ilk durumda
φ = 2π + β − θ
u
β ≤ θ
açs a³a§daki ³ekilde hesaplanr:
cos φ =
O halde,
açlarnn varl§ndan söz edilir.
k = 1
φ + (β − θ) = 2kπ
ve
φ + (β − θ) ∈ [−2π, π]
ve ikinci durumda
k = 0
olur. Bu da
oldu§una i³aret eder.
α(β) = v
ile
α(s) = (cos s, sin s)
olarak parametrize edilir.
vektörlerinin uçlarn birle³tiren birim çemberdeki ksa yayn uzunlu§u
α([θ − 2π, β])
dr.
|α′ (s)| = 1 oldu§u için bu yay parçasnn
∫ θ
∫ θ
′
|α (s)|ds =
1ds = θ − β
β
veya
∫
β
olur.
α([β, θ])
uzunlu§u:
β
′
∫
β
|α (s)|ds =
θ−2π
1ds = 2π + β − θ
θ−2π
olur. ki durum için de sonuç elde edilmi³ olur.
ki timelike vektör arasndaki açnn tanm ile devam edilecektir. Öklid uzaynda
oldu§undan bu tip vektörler için Cauchy-Schwarz e³itsizli§inin bir tipine ihtiyaç vardr.
Bu e³itsizlik iki timelike vektör arasndaki açnn tanmn yapmaya olanak sa§lar.
Teorem 2.2.2.
u
ve
v
iki timelike vektör olsun. O halde
|⟨u, v⟩| ≥ |u||v|
dir, ancak ve ancak
spat
u ve v
(2.1)
u
ile
v
lineer ba§ml oldu§unda e³itlik sa§lanr.
lineer ba§ml ise e³itlik sa§lanr. “imdi
oldu§u varsaylsn. Önerme 2.1.9 ile,
u ve v
iki lineer ba§msz vektör
u ve v bir timelike P =< u, v > düzlemini gererler.
15
a(b)
v
a(a)
u
j
“ekil 2.3 Öklid uzaynda iki birim vektör arasndaki aç
Tekrar Önerme 2.1.9 ile,
da,
a
ve
b
P
de iki lineer ba§msz lightlike vektör oldu§u söylenir. Bu
ye ba§l e³itli§in a³a§daki gibi verildi§i anlamna gelir:
⟨au + bv, au + bv⟩ = a2 ⟨u, u⟩ + b2 ⟨v, v⟩ + 2ab⟨u, v⟩ = 0
dr ve iki çözümü vardr. Ayrca
A³a§daki ³ekilde
a
a ̸= 0
dr (aksi halde,
bv
vektörü lightlike olurdu).
ya bölünürse:
⟨u, u⟩ + 2λ⟨u, v⟩ + λ2 ⟨v, v⟩ = 0
olur ve
λ
ya ba§l olarak iki farkl sonucu vardr. Özellikle, kuadratik denklemlerin
diskriminant ³u ³ekilde pozitif olmak zorundadr:
⟨u, v⟩2 > ⟨u, u⟩⟨v, v⟩.
Bu da, e³itsizli§in
u
(2.2)
ve
v
nin lineer ba§msz oldu§u durumda gerçekle³ti§ini gösterir.
Ayn timelike koni de yatan iki timelike vektör arasndaki aç, (2.1) e³itsizli§i kullanlarak tanmlanr.
e³itsizli§i
u
ve
v
ayn timelike konide yatyorsa,
−⟨u, v⟩
≥1
|u||v|
16
⟨u, v⟩ < 0
olur ve (2.1)
oldu§unu belirtir. Hiperbolik kosinüs fonksiyonu
1−1
dir ve tek bir
φ
cosh : [0, ∞) → [1, ∞)
says vardr:
cosh φ =
−⟨u, v⟩
.
|u||v|
Tanm 2.2.3. Ayn timelike konide yatan iki timelike vektör
açs,
cosh φ =
ile verilen
φ ∈ [0, ∞)
Baz textlerde
φ
oldu§undan
u
and
v
arasndaki
φ
−⟨u, v⟩
|u||v|
saysdr.
açs hiperbolik aç (O'Neill 1983, s. 144) veya timelike aç (Ratclie
2006, s. 59) olarak adlandrlr.
Örnek 2.2.4.
açs
π/2
Önerme 2.1.8, ortogonal timelike vektörlerin olmad§n söyler. Fakat
olan timelike vektörler vardr:
timelike vektörleri arasndaki aç
E21
φ = π/2
de
u = (0, 1)
ve
v = (sinh(π/2), cosh(π/2))
dir.
Öklid uzaynda verildi§i gibi (Önerme 2.2.1), iki timelike vektör arasndaki açnn yorumu da verilecektir. Vektörler pozitif bir say ile çarpld§nda açnn de§i³medi§i
a³ikardr. Bu nedenle, sadece birim timelike vektörler ele alnacaktr. Öncelikle,
En1
Lorentz-Minkowski uzaynda 'çember' tanmlanmaldr. Çemberin düzlemsel bir e§ri
olmas gerekti§inden, sadece
E21
Lorentz-Minkowski düzleminde çal³lacaktr.
E21 de iki 'farkl' birim çemberler vardr. Birim timelike vektörler kümesi ve birim spacelike vektörler srasyla:
{u = (x, y) ∈ E21 ; ⟨u, u⟩ = −1} = {(x, y) ∈ R2 ; x2 − y 2 = −1}
ve
{u = (x, y) ∈ E21 ; ⟨u, u⟩ = 1} = {(x, y) ∈ R2 ; x2 − y 2 = 1}
17
dir. Bu kümelerden her birinin birim çemberler olarak adlandrlan iki eleman vardr.
kisi ³u ³ekilde ayrt edilir:
H1 = {u ∈ E21 ; ⟨u, u⟩ = −1, y > 0} = {(x, y) ∈ R2 ; x2 − y 2 = −1, y > 0}
S11 = {u ∈ E21 ; ⟨u, u⟩ = 1, x > 0} = {(x, y) ∈ R2 ; x2 − y 2 = 1, x > 0}
H1
Bu durumda (timelike vektörler) çal³lrken
çemberi kullanlacaktr.
Teorem 2.2.5. Ayn timelike konide yatan iki birim timelike vektör arasndaki aç, bu
iki vektörün uçlarn birle³tiren birim çemberdeki ksa yayn uzunlu§udur (“ekil 2.4).
spat
u ve v
bozmadan,
ayn timelike konide yatan iki birim timelike vektör olsun. Genel durumu
u, v ∈ H1
³ekilde verilir:
θ≤β
H1
in tanmndan
u
oldu§u varsaylsn. Tanm yardmyla
oldu§u görülür.
Di§er taraftan,
ve
v
arasndaki aç
φ
hesapland§nda,
−⟨u, v⟩
= −⟨u, v⟩ = −(sinh θ sinh β − cosh θ cosh β) = cosh(θ − β)
|u||v|
φ
u
ve
β−θ
and
v
in parametrizayonu,
|α′ (s)| = 1
θ, β ∈ R açlar vardr ve ³u
u = (sinh θ, cosh θ) , v = (sinh β, cosh β).
cosh(φ) =
H1
oldu§u varsaylsn.
negatif olmad§ için
arasndaki
α(θ) = u
H1
ve
φ=β−θ
sonucuna varlr.
uzunlu§u a³a§daki ³u ³ekilde hesaplanr.
α(β) = v
α:
∫ β
∫
′
|α (s)|ds =
ile
α(s) = (sinh(s), cosh(s))
dir.
oldu§undan aranlan uzunluk
θ
olur ve sonuçtan görüldü§ü üzere
Uyar 2.2.6.
β
1.ds = β − θ
θ
φ
açsdr.
Bu teorem, iki timelike vektör arasndaki açnn tanmnda, uygu-
lamaya konulan durumda, iki timelike vektörün de ayn koniye ait olmak zorunda
oldu§unu do§rular: E§er vektörler farkl timelike konide iseler, birim timelike vektörlerin kümesinin iki farkl elemannda bulunmu³ olurlar ve bu durumda vektörlerin iki
ucunu birle³tiren bir çemberden söz edilemez.
18
1
H
a(b)
a(q)
“ekil 2.4 Lorentz-Minkowski uzaynda iki birim timelike vektör arasndaki aç
u = (sinh θ, cosh θ)
Uyar 2.2.7.
Aslnda
θ, u
ve
(0, 1)
olarak yazld§nda
θ
says 'aç' anlamndadr.
arasndaki açdr:
cosh(θ) =
−⟨u, (0, 1)⟩
.
|u||(0, 1)|
ki timelike vektör arasndaki açnn tanm yaplr yaplmaz iki spacelike vektör arasndaki aç ile devam edilecektir. Bundan dolay ve Tanm 2.2.3 in ardndan, CauchySchwarz e³itsizli§inin iki spacelike vektör için gerekli bir tipine ihtiyaç vardr. ki vektör
tarafndan gerilen düzleme ait causal karaktere ba§l olarak, Cauchy-Schwarz e³itsizli§inin üç farkl tipi elde edilecektir.
Teorem 2.2.8.
düzlemi
u
ve
v
u
ve
v En1
de lineer ba§msz iki spacelike vektör ve
vektörleri tarafndan gerilsin.
⇔ |⟨u, v⟩| < |u||v|.
1.
P
düzlemi spacelike olur
2.
P
düzlemi timelike olur
⇔ |⟨u, v⟩| > |u||v|.
3.
P
düzlemi lightlike olur
⇔ |⟨u, v⟩| = |u||v|.
19
P =< u, v >
spat
Teorem 2.2.2 ile devam edilecektir.
λ∈R
ve
P(λ) = ⟨u + λv, u + λv⟩ = λ2 |v|2 + 2λ⟨u, v⟩ + |u|2
olsun.
P(λ)
nn diskriminant
∆ = 4(⟨u, v⟩2 − |u|2 |v|2 )
olur.
1. Ancak ve ancak
lem olur,
P
P(λ) > 0
P
deki tüm vektörler spacelike oldu§unda,
ifadesi her
λ
içindir. Bu,
∆
spacelike bir düz-
negatif olmak zorundadr ifadesi ile
e³de§erdir.
2. Ancak ve ancak iki lineer ba§msz lightlike vektör var oldu§unda,
düzlem olur(Önerme 2.1.9). Bu da,
∆
P(λ) = 0
P
timelike bir
denkleminin en az iki çözümü oldu§u ve
nn pozitif olmak zorunda oldu§u anlamna gelir.
3. Ancak ve ancak
P
lunuyor ise,
P
de lightlike vektörlerin bir
1-boyutlu
düzlemi lightlike olur(Önerme 2.1.10). Bu da,
bir çözümü oldu§unu ve
∆
alt uzay kesinlikle bu-
P(λ) = 0 e³itli§ininin tek
nn sfr olmak zorunda oldu§unu söylemek ile e³de§erdir.
Devam edilmeden önce, (2.2) e³itsizli§i gibi Teorem 2.2.8 in de yeni bir ispat yaplacaktr. lk olarak hatrlanmas gereken ³udur:
E§er
(V n , g)
bir
n-boyutlu
vektör uzayn metri§i ve
B
ile
B′
de
V
nin iki baz ise
MB (g) = QMB ′ (g)Qt
olur, burada
terimleridir.
MB ′ (g)
MB (g)
Q
da
B
2.1.6 ile,
P
MB ′ (g) g
ile
B′
metri§inin srasyla
B
ve
B′
ne göre matris gös-
arasnda de§i³en bazlarn matrisidir. Özellikle,
matrislerinin determinantlarnn i³aretleri ayn olmak zorundadr.
Minkowski uzaynda
ve
ve
P
V
ve
u
ile
v
vektörlerinin gerdi§i bir
P
MB (g)
En1
Lorentz-
düzlemi olsun. Önerme
nin spacelike, timelike veya lightlike bir düzlem oldu§u söylenir. E§er
nin ortonormal baz seçilirse
MB ′ (⟨, ⟩)
nün determinant srasyla
20
ve
1, −1
ve
0
B′
olur.
E§er
B = {u, v}
alnrsa
MB (⟨, ⟩)
nin determinant srasyla pozitif, negatif veya sfr

olur. Fakat
MB (⟨, ⟩) = 
⟨u, u⟩ ⟨u, v⟩
⟨u, v⟩ ⟨v, v⟩


dir ve determinant
⟨u, u⟩⟨v, v⟩ − ⟨u, v⟩2
olur. Bu determinant hesab
olu³larndan ba§mszdr.
u
u
ve
v
ve
v
vektörlerinin spacelike, timelike veya lightlike
nin spacelike oldu§u durumda bu determinant
ile ayn i³aretli olur (Teorem 2.2.8).
u
ve
v
−∆
vektörlerinin her ikisi de timelike ise
P
düzlemi timelike olmak zorundadr (Önerme 2.1.9) ve determinant negatiftir. Bu, (2.2)
e³itsizli§ini ispatlar.
Spacelike bir düzlemi geren iki spacelike vektörün arasndaki açnn tanm a³a§daki
³ekilde verilir.
u
Tanm 2.2.9.
olsunlar.
u
v
ve
ve
v
spacelike bir düzlemi geren iki lineer ba§msz spacelike vektör
arasndaki aç, tek bir
φ ∈ [0, π]
cos φ =
saysdr ve
⟨u, v⟩
|u||v|
dir.
Aslnda bu durumda açy tanmlamaya gerek yoktur: ndirgenmi³ metrik ile verilen
P =< u, v >
düzlemi, pozitif tanml metrik ile verilen vektör uzaydr ve bu Öklid
vektör uzayndaki açnn tanm olarak bililir.
Örnek 2.2.10.
u ve v , E31 de ortogonal fakat E3 te ortogonal olmayan, (z ̸= 0) spacelike
düzlemini geren iki spacelike vektör olsun. Vektörler
³ekilde seçilsin. Bu iki vektör arasndaki aç
hesaplanrsa,
π/2
u = (0, 2, 1) ve v = (2, 1, 2) olacak
φ = π/2
dir.
den farkl bir sonuç elde edilecektir.
cos φ =
⟨u, v⟩
4
=
̸= 0.
|u||v|
45
21
u
ve
v
arasndaki aç
E3 te
En
Öklid uzaynda oldu§undan Önerme 2.2.1 de ayn sonuç elde edilmi³ti.
u ve v , spacelike bir düzlemi geren iki lineer ba§msz birim spacelike
Teorem 2.2.11.
vektör olsunlar.
P =< u, v >
P
u
ve
v
arasndaki aç
u
ve
v
vektörlerinin uçlarn birle³tiren,
düzlemindeki birim çembere ait ksa yayn uzunlu§udur.
deki birim çember,
P
deki normu
U P = {w ∈ P ; ⟨w, w⟩ = 1}.
1
olan vektörlerin kümesidir:
Bu teoremin ispat yaplmayacaktr çünkü daha sonra
Teorem 2.3.1de iki vektör arasndaki açnn izometriler ile de§i³mez kald§ görülecektir. Çal³lan bu durumda,
En1
< (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) >
in bir izometrisi
u
ve
v
vektörlerinin gerdi§i varsaylan
düzlemine uygulanabilir. O halde bu düzlem
E2
ye izo-
metrik olur ve ispat Önerme 2.2.1 deki ayn basamaklar izler.
Bu kümenin ba§lantl olmas, Öklid uzaynda oldu§u gibi
direkt bir sonucu de§ildir.
çemberi
E2
nin
z =0
UP
z=0
Örnek 2.2.12.
çemberinin tanmnn
düzlemi oldu§u özel bir durumda,
E31
UP
birim
de ve genel bir spacelike
P
Öklid anlamndaki bir çember de§ildir: aslnda bu durum sadece
P
deki standart (Öklid) çemberidir. Fakat
düzlemi için,
düzleminin
P
UP
oldu§u zaman gerçekle³ir.
u = (0, 2, −1)
ve
v = (1, 0, 0) E31
de spacelike bir düzlemi geren iki
spacelike vektör olsun.
P = {x(0, 2, −1) + y(1, 0, 0) ∈ E31 ; | . . . | = 1} =
= {(y, 2x, −x) ∈ E31 ; y 2 + 3x2 = 1}
= {(y, 2x, −x) ∈ E31 ;
olur ve
P
y2
x2
√
= 1}
+
1
(1/ 3)2
düzlemi içinde bir (an) elipstir.
Önerme 2.2.13.
En1
in bir spacelike düzlemindeki spacelike birim vektörlerin kümesi
ba§lantldr. Aslnda bu bir (an) elipstir.
22
spat
u, v ∈ En1 , P
ϕ : En1 → En1
spacelike düzlemi içinde iki birim spacelike vektör olsun. Bir
ϕ(u) = e1 = (1, 0, . . . , 0)
izometrisi ile
alnsn, o halde
ϕ(P ) = ⟨e1 , e2 ⟩
ϕ(P )
çemberine ta³nr. Fakat
dönü³üm oldu§undan,
UP
olur.
UP
birim çemberi
ve
ϕ(v) = e2 = (0, 1, . . . , 0)
ϕ(P )
üzerindeki
ϕ(U P )
deki çember Öklid anlamndaki çemberdir.
ϕ
birim
bir an
bir elips olmak zorundadr.
“imdi, bir timelike düzlem içinde bulunan iki spacelike vektör arasndaki açnn tanm
yaplacaktr.
u
Tanm 2.2.14.
ve
v
spacelike vektör olsun.
bir timelike düzlemi geren
u
ve
v
arasndaki aç tek bir
gibidir.
cosh φ =
u
Teorem 2.2.15.
ve
spacelike vektör olsun.
P =< u, v >
spat
P
v
u
v
gibi iki lineer ba§msz
φ ∈ [0, ∞)
saysdr ve a³a§daki
⟨u, v⟩
.
|u||v|
bir timelike düzlemi geren
ve
⟨u, v⟩ > 0
⟨u, v⟩ > 0
gibi iki lineer ba§msz
arasndaki aç, bu vektörlerin uçlarn birle³tiren
düzlemindeki birim çembere ait ksa yayn uzunlu§udur.
düzleminin sadece
E21
Minkowski düzlemi oldu§u dü³ünülsün.
E21
deki birim
spacelike vektörlerin kümesi ³öyledir:
U P = {(x, y) ∈ R2 ; x2 − y 2 = 1}.
Dolaysyla
UP
deki herhangi bir vektör
(± cosh(t), sinh(t))
³eklinde yazlr. O halde,
u = (± cosh θ, sinh θ), v = (± cosh β, sinh β)
de görüldü§ü üzere bir
ifadeyi bozmadan,
2.5).
θ≤β
u
θ
ve
ve
v
β
nn varl§ndan söz edilir.
⟨u, v⟩ > 0
oldu§undan, genel
nin ilk koordinatlarnn pozitif oldu§u varsaylabilir (“ekil
oldu§u varsaylsn.
u
ve
v
arasndaki aç a³a§daki gibi hesaplanr:
⟨u, u⟩ = 1, ⟨v, v⟩ = 1
⟨u, v⟩ = cosh θ cosh β − sinh θ sinh β = cosh(θ − β).
cosh φ =
⟨u, v⟩
= cosh(θ − β).
|u||v|
23
Açnn tanm kullanlarak ve
“imdi
u ve v
UP
arasndaki
(cosh(t), sinh(t))
dir.
a=θ
θ−β ≤0
uzunlu§u hesaplanabilir.
için,
φ=β−θ
oldu§undan,
α(a) = u
ve
b=β
UP
için
olur.
nin parametrizasyonu
α(b) = v
α(t) =
elde edilir.
α′ (t) = (sinh(t), cosh(t)),
′
|α (t)| =
√
|⟨α′ (t), α′ (t)⟩|
√
= − sinh2 (t) + cosh2 (t) = 1.
oldu§undan dolay hesaplanan uzunluk:
∫
Lba (α)
b
∫
′
|α (t)|dt =
=
a
β
1dt = β − θ
θ
olur.
UP
a(b)
a(a)
“ekil 2.5 Timelike bir düzlemdeki iki spacelike vektör arasndaki aç
2.3
Bu
En1
in zometrileri
bölümde
En1
f : En1 → En1 , En1
En1
e ait bir
oldu§unda
Lorentz-Minkowski
uzayna
in bir izometrisi olsun,
B = {e1 , . . . , en }
G = Mg (B, B)
ait
∀ u, v ∈ En1
ortonormal baza göre
olur.
izometriler
f
için
24
çal³lacaktr.
⟨f (u), f (v)⟩ = ⟨u, v⟩
nin matrisi
u = (x1 , x2 , . . . , xn ) ≡ x
ile
ve
A
olsun.
dir.
g = ⟨, ⟩
v = (y1 , y2 , . . . , yn ) ≡ y
olsun.
O halde,
f (u) = M (f, B, B)x, f (v) = M (f, B, B)y
ve
⟨f (u), f (v)⟩ = xT AT GA
⟨u, v⟩ = xT Gy
olur. Çünkü bu,
∀ x, y
için sa§lanr. Dolaysyla
At GA = G

1
..
du§unda.
için,
E21
−1
A
1
veya
−1
En1
in ortonormal bir
ya kar³lk gelen matris, esas kö³egende sadece
2 × 2-lik
1, −1
kutularn her biri bir vektör uzaynn izometrilerine kar³lk geldi§i
deki izometriler ile çal³mann problemleri ile devam edilecektir.
A, At GA = G
de bir izometri olsun.
B = {e1 , e2 }
A=

a b

,G = 
c d
At GA = 
a c
b d





ortonormal baz ise,
f
nin
yi sa§lar,

.
oldu§u için,
kutular (her biri kö³egenle³tirilebilir olmayan) olan kutular ile olu³turul-
f : E21 → E21 , E21
matrisi
.
yi sa§lar.
baz ³u durumda seçilebilir:
2 × 2-lik



.



1
Herhangi bir izometriye ait eigen de§erler
ve
matrisi,




G=



iken,
A
1
0
0 −1

a b

1
0 −1

=
c d
0
a −c
2
2
ab − cd
ab − cd b − d
a2 − c2 = 1
b2 − d2 = −1
ab − cd = 0
olur. lk iki denkleme göre durumlar ayrt edilecektir.
25

2
2

.
Dolaysyla,
1.
a
=
cosh θ,
b
=
sinh φ,
O halde üçüncü deklem ³öyledir:
c
=
sinh θ
− sinh(θ − φ) = 0
d
ve
Dolaysyla,
=
θ=φ
cosh φ.
olur.
A
matri-
sinin gösterimi de a³a§daki gibidir:

A=

cosh θ sinh θ
, det(A) = 1
sinh θ cosh θ
2.
a
=
− cosh θ,
b
=
sinh φ,
O halde üçüncü deklem ³öyledir:
c
=
sinh(θ + φ) = 0
sinh θ
d
=
φ = −θ
olur.
and
Dolaysyla,
cosh φ.
A
matrisi-
nin gösterimi de a³a§daki gibidir:

A=
− cosh θ − sinh θ
sinh θ
3.
a
=
cosh θ
cosh θ,
b

, det(A) = −1
=
sinh φ,
O halde üçüncü deklem ³öyledir:
c
=
sinh(θ + φ) = 0
sinh θ
and
Dolaysyla,
d
φ = −θ
− cosh φ.
=
olur.
A
matrisi-
nin gösterimi de a³a§daki gibidir:

A=
4.
a
cosh θ − sinh θ
sinh θ − cosh θ
=
− cosh θ,

, det(A) = −1
b
=
sinh φ,
O halde üçüncü deklem ³öyledir:
c
=
sinh θ
− sinh(θ − φ) = 0
and
Dolaysyla,
d
=
− cosh φ.
olur.
A
θ=φ
matri-
sinin gösterimi de a³a§daki gibidir:

A=

− cosh θ
sinh θ
sinh θ
− cosh θ
Teorem 2.3.1.
f , En1
, det(A) = 1
in bir izometrisi ise,
f (u)
ve
f (v)
arasndaki aç
A(u)
ve
A(v)
arasndaki aç ile ayndr.
spat
ise,
Sadece timelike vektörler için ispat yaplacaktr. E§er
u birim vektörü timelike
f (u) birim timelike vektör olur. Bundan ba³ka, u ve v ayn timelike konide yatyorsa,
⟨f (u), f (v)⟩ = ⟨u, v⟩ < 0
26
olur.
u
ve
v
arasndaki
φ
açs
φ ∈ [0, ∞)
iken ³öyledir:
cosh φ = −
f (u)
ve
f (v)
arasndaki aç
θ
dr,
cosh θ = −
Sonuç olarak,
Rn
B
in her
φ=θ
⟨u, v⟩
.
|u||v|
⟨f (u), f (v)⟩
⟨u, v⟩
=−
= cosh φ.
|f (u)||f (v)|
|u||v|
dr.
baz için pozitif yönlendirilme yapld§nda, bir
zminin yönü korudu§u hatrlanr, o halde
f (B)
+1
veya
−1
oldu§undan, determinant
izomor-
pozitif yönlendirilmi³tir. Bu,
determinantnn pozitif oldu§unu söylemek ile e³de§erdir.
minant
f : Rn → Rn
+1
En1
f
nin
in izometrilerinin deter-
olan izometriler yönü korurlar.
B = {e1 , . . . , en }, en timelike vektör iken, En1 in bir ortogonal baz olsun. en , (0, . . . , 0, 1)
vektörü ile ayn timelike konide yatyorsa,
B ye gelece§e yönlendirilmi³ (future-directed)
baz denir.
Tanm 2.3.2.
lendirilmi³
B
f : En1 → En1
baz için
bir izometri olsun. E§er her ortogonal gelece§e yön-
f (B) de gelece§e yönlendirilmi³ bir baz oluyor ise, f
nin timelike
yönlendirmeyi korur denir.
Önerme 2.3.3.
göre
f
spat
f : En1 → En1
bir izometri olsun ve
nin matris gösterimi olsun.
f
ann > 0 ⇔ f
A = (aij ), En1
timelike yönlendirmeyi korur.
dönü³ümü
⟨f (en ), en ⟩ = ⟨f (en ), (0, . . . , 0, 1)⟩ < 0
timelike yönlendirmesini korur. Çünkü
f (en ) =
n
∑
ain en ,
i=1
⟨f (en ), en ⟩ = −ann .
Then
⟨f (en ), en ⟩ < 0
if
ann > 0
27
in bir ola§an bazna
dr.
O1 (n), E31
in tüm vektör izometrilerin kümesini ifade etsin ve
O1 (3)
O1 (3) = {A ∈ Gl(3, R); At GA = G}.
Sradaki dört küme ³u ³ekilde olacaktr:
O1++ (n) = {A ∈=1 (n) : ann > 0, det(A) = 1}
O1+− (n) = {A ∈=1 (n) : ann > 0, det(A) = −1}
O1−+ (n) = {A ∈=1 (n) : ann < 0, det(A) = 1}
O1−− (n) = {A ∈=1 (n) : ann < 0, det(A) = −1}.
28
ile gösterilsin.
3.
3.1
ZOMETRK UZAYLAR ARASINDAK DUAL DÖNܓÜMLER
Dual Dönü³üm
n × n-lik
Bu bölümde önemli rol oynayacak
matrislerin iki kümesi a³a§daki gibidir.
SO(n) = {A ∈ GL(n, R)|At A = AAt = In , det(A) = 1},
buradaki
SO(n − 1, 1) = {A ∈ GL(n, R)|At GA = AGAt = G, det(A) = 1},


In−1 0
 dir. Buradaki In , n × n-lik birim matristir.
G matrisi, G = 
0 −1
Birinci küme,
En
Öklid uzayndaki izometriler ile olu³turulmu³tur ve bu izometriler
Rn deki yönlendirmeyi korurlar.kinci küme olarak ifade edilen SO(n−1, 1), En1 Minkowski
uzayndaki determinant
1
olan izometrilerdir (Bkz. 1.Bölüm).
n × n-lik
Bu ve bundan sonraki bölümde,
matrisler a³a§da verilen
A
matrisi gibi
kutulara bölünmü³ ³ekilde yazlacaktr,


A=
B
C

D ann
burada
ann ̸= 0dr.
(n − 1) × 1-lik
için,
Buradaki B,
(n − 1) × (n − 1)-lik
bir sütun matrisi ve
X = {A ∈ SO(n); ann ̸= 0}
D
ve
bir kare matris;
C,
bir satr matrisidir. Bu matriste,
ann ̸= 0
Y = {A ∈ SO(n − 1, 1); ann ̸= 0}
oldu§u
kümeleri kul-
lanlacaktr.
X = {A ∈ SO(n); ann ̸= 0}
f :X→Y
ve
Y = {A ∈ SO(n − 1, 1); ann ̸= 0}
olacak ³ekilde bir dönü³üm tanmlanr ve a³a§daki gibi ifade edilir:

f : A 7→ f (A) =
buradaki
t
kümeleri arasnda,
−1 t
1  ann (B )
ann
−D
üstindisi matristeki transpozdur.
29

C
1
,
“imdi,
f
nin iyi tanml oldu§u gösterilmelidir. Öncesinde, sradaki bir önerme ve iki
lemma ispat edilecektir.
Önerme 3.1.1.
spat
A∈X
ise,
f (A) ∈ Y
olur.
f (A)t Gf (A) = G ve f (A)Gf (A)t = G oldu§u ispatlanacaktr. A matrisi, SO(n)
kümesinin içindedir. Bundan dolay

AAt = 
A, At A = AAt = I

B
C

D ann

Bt
C
t
Dt
e³itli§ini sa§lar. Bu ifade,

=

BB t + CC t
t
ann
DB + ann C
BDt + ann C
t
t
DD + ann
=I
2
oldu§u anlamna gelir.
Bu çarpm sonucunda elde edilen e³itlikler a³a§daki gibi yazlr.
BB t + CC t = In−1
(3.1)
BDt + ann C = DB t + ann C t = 0
(3.2)
DDt + ann 2 = 1
(3.3)
t
C = − BD
ann
t
ve
C t = − DB
ann
(3.2)den elde edilir.
(3.1) kullanlarak,
BB t +
BDt DB t
Dt DB t
t
=
B(B
+
)
ann 2
ann 2
BB −1 = I ⇒ B −1 = B t +
elde edilir.
E³itli§in di§er taraf ele alnd§nda,
30
Dt DB t
ann 2

At A = 

Bt
C
Dt
t

B

ann
C


B t B + Dt D B t C + ann Dt
=
t
D ann
t
C B + ann D
C C + ann
=I
2
oldu§u görülür.
Bu çarpm sonucunda a³a§daki e³itlikler yazlr.
B t B + Dt D = In−1
(3.4)
B t C + ann Dt = C t B + ann D = 0
(3.5)
C t C + ann 2 = 1
(3.6)
t
Dt = − BannC
t
ve
D = − CannB
(3.5)ten elde edilir.
(3.4) kullanlarak,
BtB +
B t CC t B
B t CC t
t
=
(B
+
)B
ann 2
ann 2
B −1 B = I ⇒ B −1 = B t +
B t CC t
ann 2
elde edilir.
A
matrisinin,
At A = AAt = I
f (A)Gf (A)t = G
e³itli§ini sa§lad§ görülür. “imdi,
f (A)t Gf (A) = G
oldu§u ispatlanmaldr.

f (A)t Gf (A) = 

=
B
−1
−Dt
ann
Ct
1
ann
ann
B −1
−D t
ann
Ct
ann
1




ann
31

I
0
0 −1

(B −1 )t
C
ann
D
ann
− ann
1
−1 t
(B )
C
ann
−D
ann
1


ann


ve

=
B −1 (B −1 )t −
C t (B −1 )t
ann
+
Dt D
ann 2
B −1 C
ann
D
CtC
ann 2
ann 2
+
−
Dt
ann 2


1
ann 2
Bu çarpm sonucunda elde edilen e³itlikler ³u ³ekilde gösterilmelidir.
Dt D
= In−1
ann 2
(3.7)
Dt
C t (B −1 )t
D
B −1 C
+
=
+
=0
2
ann
ann
ann
ann 2
(3.8)
C tC
1
−
= −1
2
ann
ann 2
(3.9)
B −1 (B −1 )t −
(3.7)nin ispatnda,
B −1
kullanlmaldr.
Dt DB t
BDt D
Dt D
(B +
)(B +
)−
=
ann 2
ann 2
ann 2
t
=(
=(
ann 2 B t + Dt B t ann 2 B + BDt D
Dt D
)(
)
−
ann 2
ann 2
ann 2
ann 4 B t B + ann 2 B t BDt D + ann 2 Dt DB t B + Dt DB t BDt D
Dt D
)
−
ann 4
ann 2
(3.4) ve (3.3)ten
B t B = I − Dt D
=(
ve
DDt = 1 − ann 2
kullanlarak,
ann 4 I + Dt Dann 2
Dt D
)
−
=I
ann 4
ann 2
oldu§u görülür.
B −1 ,
(3.8)in ispatnda kullanlr.
t
t
CC
(B t + Bann
Dt
Dt
B −1 C
2 )C
+
=
+
ann
ann 2
ann
ann
=
B t C B t CC t C
Dt
BtC BtC BtC
Dt
+
+
=
+
−
+
ann
ann 3
ann
ann
ann 3
ann
ann 2
32
(3.6) ve (3.5)ten
t
C t C = 1 − ann 2
Dt = − BannC
ve
kullanlarak,
BtC BtC BtC BtC
=
+
−
+
=0
ann
ann 3
ann
ann 3
elde edilir.
(3.9)un, (3.6)dan elde edildi§i açktr.
CC t − 1
= −1.
ann 2
f (A)Gf (A)t
çarpm a³a§daki gibi yazlr.

−1 t
f (A)Gf (A)t = 

=

=
(B )
C
ann
−D
ann
1
ann
(B −1 )t
C
ann
−D
ann
1
−1 t
(B ) B
ann



ann
−1
−DB −1

−
−
CC t
(ann )2

I
0
0 −1

−Dt
ann
−C t
ann
− ann
ann 2
ann 2
−Dt
ann


1
ann

1
−1 t t
− (B ann) D
DDt
Ct
ann

B −1
Ct
B
−1
−
−
C
ann 2
1

.
ann 2
Bu çarpm sonucunda elde edilen e³itlikler ³u ³ekilde gösterilmelidir.
(B −1 )t B −1 −
−
CC t
= In−1
ann 2
(3.10)
(B −1 )t Dt
C
−DB −1
Ct
−
=
−
=0
ann
ann 2
ann
ann 2
1
DDt
−
= −1
2
ann
ann 2
(3.10) un ispatnda
B −1
(3.11)
(3.12)
kullanlr.
33
(B +
CC t B
B t CC t
CC t
t
)(B
+
)
−
=
ann 2
ann 2
ann 2
ann 2 B + C t CB ann 2 B t + B t CC t
CC t
=(
)(
)−
ann 2
ann 2
ann 2
=(
ann 4 BB t + ann 2 BB t CC t + ann 2 CC t BB t + CC t BB t CC t
CC t
)
−
ann 4
ann 2
(3.1) ve (3.6)dan,
BB t = I − CC t
ve
C t C = 1 − ann 2
kullanlarak,
ann 4 I + ann 2 CC t
CC t
=(
)−
=I
ann 4
ann 2
oldu§u görülür.
B −1 ,
(3.11)in ispatnda kullanlr.
t
t
DB
−D(B t + Dann
−DB −1
Ct
Ct
2 )
−
=
−
ann
ann 2
ann
ann 2
(3.4) ve (3.2)den,
B t B = I − Dt D
t
ve
C t = − DB
ann
kullanlarak
−ann 2 DB t − DDt DB t + DB t
=0
ann 3
elde edilir.
(3.12)nin, (3.3)ten geldi§i açktr.
DDt − 1
= −1.
ann 2
spatn tamamlanmas için,
f (A) nn determinantnn +1 oldu§u gösterilmelidir. Bunun
için a³a§daki iki lemmaya ihtiyaç vardr.
Lemma 3.1.2.
A
matrisi
SO(n)
kümesinde ise,
34
ann ̸= 0
olmak üzere
det(B)
ann
=1
dir.
spat
A
matrisi a³a§daki ³ekilde yazlr.


C
B
A=

=
D ann
Bu matris,
det(A)
B
−BD t
ann
D
ann
=

B 0

D 1
I
−Dt
ann
0
1
Sonuç olarak, bu durumda
spat
A
A
matrisi
det(A) = 1
,
1
ann
dir, o halde
SO(n − 1, 1)

ann
det(A) = det(B)
1
=1
det(B) ann

nn hesab için, iki matrisin çarpm ³eklinde de yazlabilir.

Lemma 3.1.3.

det(B) = ann
kümesinde ise,
ann ̸= 0
olarak elde edilir.
olmak üzere
dir.
matrisi a³a§daki ³ekilde yazlr.

A=

B
C

=
D ann
Bu matris,
det(A)
B
BD t
ann


D ann
nn hesab için, iki matrisin çarpm ³eklinde de yazlabilir.

=

B 0

D 1
I
Dt
ann
0
1

,
ann
O halde,
det(A) = det(B)
1
ann
oldu§u görülür.
Lemma 3.1.2 nin ispatnn devam için,
det(A) = 1,
det(f (A)) = det((B −1 )t )
1
1
ann
35
det(B)
ann
=
= 1 ve Lemma 3.1.3 kullanlr.
ann
=1
det(B)
f
nin iyi tanml oldu§unun ispatndan hemen sonra,
lidir. Bunun için
f −1 : Y → X,
f −1 

C
D ann
f, 1 − 1
Önerme 3.1.4.
spat
f
nin
f ◦ f −1 = IY
1−1
ve

= 1 
ann
ve örtendir;
ve örten olmas,
f −1 ◦ f = IX .
oldu§u gösterilme-
a³a§daki gibi tanmlanr.

B
1 − 1 ve örten
f −1 , f
f −1
O halde,
ann (B −1 )t C
−D


1
nin inversidir.
in iyi tanml oldu§u anlamna gelir. Çünkü,
f ◦ f −1 (A) = IY (A)
and
f −1 ◦ f (A) = IX (A).
(B ′−1 )t = B , B ′−1 = B t , B ′ = (B t )−1 = (B −1 )t ,
C′
x
1
x
= C,
−D′
x
=D
= ann , C ′ =
C
an n
D′ = −xD = − an1n D, x =
f (A)
ve
f −1 (A)
için örnek verilebilecek özel matrisler a³a§daki gibidir.
Örnek 3.1.5.

1.
A=
mas için

cos s
sin s
 olarak alnan A matrisi SO(2) kümesine aittir. A ∈ X
− sin s cos s
a22 = cos s ̸= 0 olmaldr. Yani, s ̸= ± π2 olur. f dual dönü³ümü ile ,


f (A) =
1
an n
1
cos s

1
sin s
sin s
1


=
sec(s) tan(s)
ba§l olarak

elde edilir.
tan(s) sec(s)
Dual dönü³üm ile elde edilen bu matris
lanacak olursa,
ol-
SO(1, 1)
SO(1, 1) = O1++ (2) ∪ O1−+ (2)
f (A),
36
kümesine aittir, 1.Bölümden hatr-
olarak ifade edilir. O halde
θ∈R
açsna



cosh(θ) sinh(θ)


veya

− cosh(θ)
sinh(θ)
sinh(θ)
− cosh(θ)
sinh(θ) cosh(θ)
θ
açsnn seçimi,
açs
1


olarak yazlr.
cos(s) de§erinin pozitif veya negatif olu³una ba§ldr. lk durumda, θ
cosh(θ) = sec(s) ve sinh(θ) = tan(s) e³itliklerini sa§lamaldr. sec(s)2 − tan(s)2 =
oldu§undan, tek bir
θ
açsnn varl§ndan söz edilir.

2.
B=
olarak alnan
B
matrisi
SO(1, 1)

± cosh t
sinh t
sinh t
± cosh t
kümesine aittir.
f
dual dönü³ümü ile,


f (B) =
elde edilir,
SO(2)
Uyar 3.1.6.
f

1
sinh t
1

 (t ∈ R)
± cosh t
− sinh t
1
kümesine aittir.
dönü³ümü lineer de§ildir.
f (A + B) ̸= f (A) + f (B)
37
4.
4.1
DUAL DÖNܓÜMLERN GEOMETRK UYGULAMALARI
E3
∠AP B
Öklid Uzaynda Görü³ Açs
sabit açs,
E3
üç boyutlu Öklid uzaynda
P, A
ve
B
noktalar ile verilsin. Bu
açya bakld§nda açnn görünümü görü³ noktasna göre de§i³mektedir.
Tanm 4.1.1.
∠o AP B
açs,
∠AP B
OP AB
açs,
E3 te
bir sabit aç olsun. Görü³ noktas
bozulmu³ dört yüzlüsünün
iki duzlemli aç olarak ifade edilsin.
∠o AP B
OP A ve OP B
açsna,
O
O
olmak üzere,
yüzleri arasnda kalan
görü³ noktasndan
∠AP B
açsnn görü³ açs denir.
“ekil 4.1'de Öklid uzayndaki bir görü³ açs incelenebilir.
Uyar 4.1.2.
En de (n ≥ 4)
görü³ açs tanm, Tanm 4.1.1'deki gibidir.
Z
A’
A
B
B’
O
P
y
P’
X
“ekil 4.1 Öklid uzaynda görü³ açs
Aslnda,
−→
∠o AP B görü³ açs ∠AP B nin P den geçen ve normali OP olan hiperdüzleme
dik izdü³ümüdür, “ekil 4.1'deki
∠A′ P ′ B ′
açsna e³ittir.
38
Görü³ açs tanm yardmyla “ekil 1.1'deki kutu ve e§ik kutu resimleri incelenecektir.
Dik eksenlerin görüs açlar bu konuda yardmc olacaktr. Bunun için, P noktasnda
bir dik çat seçilsin.
x
OP
A1
A0
A2
E
A1’
A 0’
P(1,0,0)
O
y
“ekil 4.2
Z
∠o A0 P A1
görü³ açs
Sekil 4.2'de görüldü§ü üzere, P- A0 A1 A2 dik eksenlerine O görü³ noktasndan baklsn.
3
O görü³ noktas orijin olacak ³ekilde E te O - x0 x1 x2 dik koordinat sistemi olu³turulsun.
P = (1, 0, 0)
olsun.
−−→
P A0 = (a00 , a01 , a02 )
−−→
P A1 = (a10 , a11 , a12 )
−−→
P A2 = (a20 , a21 , a22 ),
(aij
) ∈ SO(3)
−
→
uj = (aj1 , aj2 )
olacak ³ekilde,
∠o Ai P Aj
(i,j=0,1,2) görü³ açs;
vektörleri arasndaki aç olarak verilir.
39
−
→
ui = (ai1 , ai2 )
ve
Burada, P - A0 A1 A2 dik eksenlerine O görü³ noktasndan bakld§nda, matristen de
görülece§i gibi, üç görü³ açs elde edilir.
tanmndan yola çklarak
yaplacaktr. Bu düzlemin
ve
∠o A1 P A2
−→
OP
P = (1, 0, 0)
noktas seçildi§i için görü³ açs
do§rusunu normal kabul eden düzleme dik izdü³üm
x=1
düzlemi oldu§u görülmektedir.
∠o A0 P A1 , ∠o A0 P A2
dik izdü³ümler sonrasnda elde edilen üç görü³ açs olacaktr. Sekil 4.2'de
x = 1 düzlemine dik izdü³ümü ile A0 ' ve
−−→′
−−→
→
→
P A0 = (0, −
u0 ) ve P A′1 = (0, −
u1 ) vektörleri arasndaki aç,
görüldü§ü üzere, A0 ve A1 noktalarnn
A1 ' noktalar elde edilir.
∠o A0 P A1
görü³ açsdr. Tanm gere§i bu görü³ açsn olusturan iki vektör matristen
de görülece§i gibi
ve
−
→
u1 = (a11 , a12 )
E§er
P
−
→
u0 = (a01 , a02 )
vektörleridir.
(0, 0, 1) seçilmi³ olsayd, z = 1 düzlemine izdü³üm yaplm³ olacakt. Bu
→
) ∈ SO(3) olacak ³ekilde, ∠ A P A (i,j=0,1,2) görü³ açs, −
u = (a , a )
noktas
durumda, (aij
o
i
j
i
i0
i1
−
→
ve uj = (aj0 , aj1 ) vektörleri arasndaki aç olarak verilirdi. Yani, ∠o A0 P A1 görü³ açsn
−
→
→
−
olu³turan iki vektör, matristen de görülece§i gibi, u = (a , a ) ve u = (a , a ) vektörleri olurdu. Burada
P = (1, 0, 0)
Örnek 4.1.3.
A1 = (1 +
−−→′
−−→
P A0 = (u0 , 0)
√1 , √1 , √2 ),
6
6
6
0
ve
noktas ve
A2 = (1 −
−−→′
→
P A1 = (−
u1 , 0)
A0 = (1 +
00
01
1
10
11
olur.
−1
√1 , √
, 0),
2
2
−1 √1
√1 , √
, 3 ) noktalar yardmyla
3
3
P
noktasnda bir
çat olu³turulsun.
−−→
−1
, 0)
P A0 = ( √12 , √
2
−−→
P A1 = ( √16 , √16 , √26 )
−−→
−1 √
P A2 = ( √
, −13 , √13 ),
3
“ekil 4.3'te de görülebilen bu ortonormal çatya
O
noktasndan bakld§nda görülebi-
lecek üç görü³ açs a³a§daki gibidir.
−1
−1 √1
A′0 = (1, √
, 0), A′1 = (1, √16 , √26 ), A′2 = (1, √
, 3 ),
2
3
−
→
→
→
−1
−1 √1
u = (√
, 0), −
u = ( √1 , √2 ) ve −
u = (√
, ) oldu§undan;
0
2
1
6
6
2
3
3
40
x
OP
A2
E
P(1,0,0)
A 0’
A1’
y
A0
O
A1
z
“ekil 4.3
P − A0 A1 A2
çats ve
∠o A0 P A1
−−→
→
−1
∠o A0 P A1 görü³ açsn, P A′0 = (0, −
, 0) ile
u0 ) = (0, √
2
−−→′
→
P A1 = (0, −
u1 ) = (0, √16 , √26 ) vektörleri olusturmaktadr
cos θ =
−1
√
5
⇒ θ = 116, 56
√1
2
⇒ θ = 45
ve açnn de§eri
olur.
−−→
→
−1
∠o A0 P A2 görü³ açsn, P A′0 = (0, −
, 0) ile
u0 ) = (0, √
2
−−→′
→
−1 √1
P A2 = (0, −
u2 ) = (0, √
, 3 ) vektörleri olusturmaktadr
3
cos θ =
ve açnn de§eri
olur.
−−→
→
u1 ) = (0, √16 , √26 ) ile
∠o A1 P A2 görü³ açsn, P A′1 = (0, −
−−→′
→
−1 √1
u2 ) = (0, √
P A2 = (0, −
, 3 ) vektörleri olusturmaktadr ve
3
cos θ =
√1
10
görü³ açs
⇒ θ = 71, 56
açnn de§eri
olur.
zdü³üm yaplacak olan düzlem de§i³tirilerek ba³ka bir örnek verilsin.
Örnek 4.1.4.
−2
A1 = ( √
,2 −
6
P = (0, 2, 0)
√1 , √1 ),
6
6
noktas ve
A2 = ( √111 , 2 −
A0 = ( √466 , 2 −
√1 , √7 ),
66
66
−1
√3 , √
)noktalar yardmyla
11
11
41
P
noktasnda bir
çat olu³turulsun.
−→
P = (0, 2, 0) noktas seçildi§i için, görü³ açs tanmndan yola çklarak OP do§rusunu
normal kabul eden düzleme dik izdü³üm yaplacaktr. Bu düzlemin
oldu§u görülmektedir. A0 ve A1 noktalarnn
y=2
y = 2
düzlemi
düzlemine dik izdü³ümü ile A0 ' ve
A1 ' noktalar elde edilir.
−−→
P A0 = ( √466 , √−1
, √766 )
66
−−→
−2 √
P A1 = ( √
, −16 , √16 )
6
−−→
P A2 = ( √111 , √−3
, √−1
),
11
11
Bu ortanormal çatya
O
noktasndan bakld§nda görülebilecek üç görü³ açs a³a§-
daki gibidir.
−2
A′0 = ( √466 , 2, √766 ), A′1 = ( √
, 2, √16 ), A′2 = ( √111 , 2, √−1
),
6
11
−
→
→
→
−2 √1
u = ( √4 , √7 ), −
u = (√
, ) ve −
u = ( √1 , √−1 ) oldu§undan;
0
66
∠o A0 P A1
66
1
görü³ açsn,
6
görü³ açsn,
görü³ açsn,
11
11
cos θ =
−1
√
5 13
cos θ =
√−3
130
cos θ =
−3
√
10
−−→′
−2
P A1 = ( √
, 0, √16 )
6
ile
ile
−−→′
P A2 = ( √111 , 0, √−1
)
11
vektörleri olu³tur-
olur.
−−→′
P A2 = ( √111 , 0, √−1
)
11
⇒ θ = 161, 56
vektörleri olu³tur-
olur.
⇒ θ = 105, 25
−−→′
−2
P A1 = ( √
, 0, √16 )
6
maktadr ve açnn de§eri
ile
⇒ θ = 93, 17
−−→′
P A0 = ( √466 , 0, √766 )
maktadr ve açnn de§eri
∠o A1 P A2
2
−−→′
P A0 = ( √466 , 0, √766 )
maktadr ve açnn de§eri
∠o A0 P A2
6
vektörleri olu³tur-
olur.
Dolaysyla, seçilen herhangi bir noktada kurulan bir dik çatya ba³ka bir noktadan
bakld§nda, bu çatya ait üç görü³ açs elde edilir. Bu durum, bir kutuya bakld§ndaki durumla benzerdir. Kutunun herhangi bir kö³esi ve o kö³eye ait üç ayrt dü³ünülürse, kutunun o noktasnda kurulmu³ bir dik çat görülebilir. Bu dü³ünce ile
kutuya belli bir mesafeden bakld§nda, görü³ noktasna göre, o kutunun en fazla üç
42
yüzünün görülebildi§i fark edilir. Yani, görü³ noktas de§i³tirildikçe, kutunun ³eklininin
de farkl algland§ ortaya çkacaktr. Böylelikle, hayattaki birçok ³eyin bakld§ noktaya göre olan de§i³imi ve bunun geometriye bu ³ekilde yansd§ hissedilebilir. Ayrca,
“ekil 4.4'ün de yardmyla, kutunun bir yüzüne, izdü³üm yaplan düzleme paralel olarak
bakld§nda yalnzca tek yüzü görülebilirken; görü³ noktas de§i³tirilerek kutunun iki
hatta üç yüzü görülebilir. Di§er taraftan bu durum, gündelik ya³amdaki alglarn bu
yolla de§i³tirilebilece§inin bir kantdr.
“ekil 4.4 Dik kutulara farkl noktalardan bakld§nda görülen yüzleri
Teorem 4.1.5.
Öklid uzaynda bir kutuya bakld§nda görülen üç görü³ açs da ayn anda geni³ açl
yaplabilir fakat üç görü³ açs da ayn anda dar açl yaplamaz.
spat
−
→
→
ui . −
uj = −ai0 aj0
törleri ele alnsn.
oldu§una dikkat edilsin.
⟨u, v⟩ = 0
u2 v2 + u3 v3 = −u1 v1
−−→
P Ai
−
→
u = (u1 , u2 , u3 )
oldu§undan,
ve
−
→
v = (v1 , v2 , v3 )
u1 v 1 + u2 v 2 + u3 v 3 = 0
vek-
olur. Buradan,
oldu§u görülür.
≥ 0 yapa−−→
→ −
−
→
bilmek mümkündür. Dolaysyla, ui . uj ≤ 0 oldu§u a³ikardr. Di§er taraftan, P Ai vek−
→ −
→
−
→ −
→
törünün gerekti§inde zt vektörü alnarak u . u çarpmnn tüm de§erlerinin u . u > 0
vektörünün gerekti§inde zt vektörü alnarak, ai0 n tüm de§erlerini ai0
i
yapabilece§imizi varsaylsn. O halde,
j
a00 a10 , a10 a20
i
ve
a20 a00
de§erleri negatiftir. Bu
bir çeli³kidir çünkü bu üç çarpmn sonucu ayn anda negatif olamaz.
43
j
Bu teorem a³a§daki ³ekilde de ispatlanabilir. Kabul edilsin ki;
−
→
→
u = (u1 , u2 , u3 ), −
v = (v1 , v2 , v3 )
⟨v, w⟩ > 0
ve
⟨u, w⟩ > 0
ve
−
→
w = (w1 , w2 , w3 )
vektörleri için,
⟨u, v⟩ > 0,
olsun. Yani üç aç da dar aç olsun.
⟨u, v⟩ > 0 ⇒ u2 v2 + u3 v3 = −u1 v1 > 0 ⇒ u1 v1 < 0,
⟨v, w⟩ > 0 ⇒ v2 w2 + v3 w3 = −v1 w1 > 0 ⇒ v1 w1 < 0,
⟨u, w⟩ > 0 ⇒ u2 w2 + u3 w3 = −u1 w1 > 0 ⇒ u1 w1 < 0
Halbuki,
olmaldr.
u1 > 0, v1 < 0, v1 < 0, w1 > 0 ⇒ u1 w1 > 0
w 1 < 0 ⇒ u1 w 1 > 0
olur. Yani,
u1 v1 < 0
ve
v1 w1 < 0
ya da
iken,
u1 < 0, v1 > 0, v1 > 0,
u1 w 1 > 0
olmaktadr. Di§er
bir ifadeyle, üç görü³ açs da dar açl olamaz.
Bir örnek yardmyla Teorem 4.1.5'in ispat gözden geçirilecektir.
Örnek 4.1.6. Örnek4.1.3te kurulan çat tekrar ele alnarak
−
→
→
ui . −
uj = −ai0 aj0
oldu§una dikkat edilsin.
−−→
−1
, 0)
P A0 = ( √12 , √
2
−−→
P A1 = ( √16 , √16 , √26 )
−−→
−1 √
P A2 = ( √
, −13 , √13 ),
3
−
→
−1
u0 = ( √
, 0)
2
−
→
u = ( √1 , √2 )
1
6
6
−
→
−1 √1
u2 = ( √
, 3)
3
olacaktr.
Görü³ açlarn olu³turan üç vektörün iç çarpm sonuçlarnn ayn anda pozitif olabilece§i yani üç görü³ açsnn da ayn anda dar açl yaplabilece§i kabul edilsin.
−
→
→
u0 .−
u1 =
−1
√
12
= −a00 a10 .
Fakat
bir sonuç elde edilmesi için
−−→
P A0
−
→
→
u0 .−
u1
çarpmnn sonucu negatif oldu§undan, pozitif
vektörünün zt vektörü olan
törü i³leme alnarak devam edilir.
→
→
−−
u0 .−
u1 =
44
+1
√
12
= −a00 a10 .
−−→
−1 √1
−P A0 = ( √
, 2 , 0)
2
Buradan
a00 a10 < 0
vek-
olur.
→
→
−−
u0 . −
u2 =
−1
√
6
= −a00 a20
Bir önceki i³lemde bulunan sonucun pozitif yapabilmesi için
−−→
P A0
vektörünün zt vek-
törü alnm³t. Dolaysyla buradaki iç çarpm sonucu negatif olmak zorunda oldu.
a10 a20 > 0
−
→
→
u1 .−
u2 =
oldu.
√1
18
= −a10 a20
Teorem 4.1.5'te görüldü§ü gibi
olarak elde edilir. Buradan
a20 a00 < 0
olur.
a00 , a10 , a20 saylar ayn anda negatif yaplamaz. Dolay-
syla, görü³ açlarn olu³turan vektörlerin iç çarpm sonuçlar ayn anda pozitif olamaz,
üç görü³ açsnn da ayn anda dar açl yaplamayaca§ anlamna gelir.
Örnek 4.1.7.
Örnek 4.1.4'de kurulan çat tekrar ele alnarak,
−
→
−
ui . →
uj = −ai0 aj0
oldu§una dikkat edilsin.
−−→
P A0 = ( √466 , √−1
, √766 )
66
−−→
−2 √
, −16 , √16 )
P A1 = ( √
6
−−→
P A2 = ( √111 , √−3
, √−1
),
11
11
−
→
u0 = ( √466 , √766 ),
−
→
−2 √1
u = (√
, ) ve
1
6
6
−
→
u2 = ( √111 , √−1
)
11
olacaktr.
Örnek 4.1.6'da oldu§u gibi, görü³ açlarn olu³turan üç vektörün iç çarpm sonuçlarnn
ayn anda pozitif olabilece§i yani üç görü³ açsnn da ayn anda dar açl yaplabilece§i kabul edilsin.
−
→
→
u0 .−
u1 =
−1
√
6 11
= −a00 a10 .
Buradan
a00 a10 > 0
çarpmnn sonucu negatif oldu§undan, pozitif bir sonuç elde edilebilmesi
vektörünün zt vektörü olan
−−→
−P A0 = ( √−4
, √166 , √−7
)
66
66
−
→
→
u0 . −
u1
−−→
için P A0
olur. Fakat
vektörü i³leme alnarak devam
→
→
→
→
+1
−−
u0 .−
u1 = 6 √
= −a00 a10 . Buradan a00 a10 < 0 olur. −
u0 .−
u2 = 1111√6 = −a00 a20 .
11
→
→
< 0 olur. −
u1 .−
u2 = √−3
= −a10 a20 olarak elde edilir. Buradan a10 a20 > 0 olur.
66
edilsin.
a00 a20
Teorem 4.1.5'te görüldü§ü gibi
a00 , a10 , a20 saylar ayn anda negatif yaplamaz. Dolay-
syla, görü³ açlarn olu³turan vektörlerin iç çarpm sonuçlar ayn anda pozitif olamaz,
45
üç görü³ açsnn ayn anda dar açl yaplamayaca§ anlamna gelir.
“u ³ekilde ifade edilecek olursa,
E3
teki dik eksenlerin yönleri gerekti§inde zt alnarak
üç görü³ açs da geni³ açl yaplabilir, fakat üç görü³ açsn da dar açl yaplamaz.
“ekil 1 de, sa§daki kutunun Öklid uzaynda kutu gibi görünmemesinin nedeni budur.
E3
Bu yolla,
Öklid uzayndaki dik eksenlerin görü³ açlarnn önemli özellikleri ortaya
çkarlm³ oldu.
Bu durum benzer ifadelerle Minkowski uzaynda ele alnd§nda, Teorem 4.1.5'teki sonucun tersine götürdü§ü görülür.
tanm da
E3
ds2 = dy02 + dy12 − dy22
metrikli
E31
uzayndaki görü³ açs
uzayndaki görü³ açs tanm ile neredeyse ayndr. Fakat Minkowski uza-
ynda çal³lrken baz kstlamalara gidilecektir.
4.2
E31
Minkowski Uzaynda Görü³ Açs
Tanm 4.2.1.
∠AQB
vektör olmak uzere,
E31 te
açs,
∠o AQB
bir sabit aç olsun. Görü³ noktas
açs,
OQAB
∠AQB
Uyar 4.2.2.
−→
OQ
∠o AQB
ve
−→
OQ
timelike
OQA
ve
OQB
açsna,
O
görü³
bozulmu³ dört yüzlüsünün
yüzleri arasnda kalan iki duzlemli aç olarak ifade edilsin.
noktasndan
O
açsnn görü³ açs denir.
En1 de (n ≥ 4)
görü³ açs tanm, Tanm 4.2.1'deki gibidir.
için yaplan kstlama, her görü³ açsn iki boyutlu Öklid düzleminde oldu§u gibi
reel de§erli yapmak içindir.
Q - B0 B1 B2 dik eksenlerine O görü³ noktasndan baklsn. O görü³ noktas orijin olacak
3
³ekilde E1 te O - y0 y1 y2 dik koordinat sistemi olu³turulsun.
−−→
QB0 = (b00 , b01 , b02 )
−−→
QB1 = (b10 , b11 , b12 )
−−→
QB2 = (b20 , b21 , b22 ),
46
Q = (0, 0, 1)
olsun.
z
OQ
B1
B0
E
B2
B1’
B0’
Q(0,0,1)
O
y
x
“ekil 4.5
(bij
) ∈ SO(2, 1)
−
→
vj = (bj0 , bj1 )
olacak ³ekilde,
∠o B0 QB1
görü³ açs
∠o Bi QBj (i,j=0,1,2)
görü³ açs;
−
→
vi = (bi0 , bi1 )
ve
vektörleri arasndaki aç olarak verilir.
Burada, Q - B0 B1 B2 dik eksenlerine O görü³ noktasndan bakld§nda, matristen de
görülebilece§i üzere, üç görü³ açs elde edilir.
açs tanmndan yola
−→
çklarak OQ
ve
∠o B1 QB2
noktas seçildi§i için, görü³
timelike vektörünü normal kabul eden düzleme dik
izdü³üm yaplacaktr. Bu düzlemin
∠o B0 QB2
Q = (0, 0, 1)
z = 1
düzlemi oldu§u görülmektedir.
∠o B0 QB1 ,
dik izdü³ümler sonrasnda elde edilecek üç görü³ açs olacak-
z = 1 düzlemine dik izdü³ümü ile B0 ' ve B1 ' noktalar
−−→′
−
→
ve QB1 = ( v1 , 0) vektörleri arasndaki aç, ∠o B0 QB1 görü³
tr. B0 ve B1 noktalarnn
elde edilir.
−−→′
−
v0 , 0)
QB0 = (→
açsdr. Tanm gere§i, bu görü³ açsn olusturan iki vektör, matristen de görülece§i
gibi,
−
→
v0 = (b00 , b01 )
ve
−
→
v1 = (b10 , b11 )
vektörleridir.
Bu görü³ açlar hesaplanmadan önce Tanm 2.2.9 hatrlanrsa: Buradaki görü³ açlarn olu³turan vektörler lineer ba§msz spacelike vektörler olduklarndan, spacelike
47
bir düzlemi gererler. ndirgenmi³ metrik ile verilen bu düzlem pozitif tanml metrik ile
verilen vektör uzaydr ve bu da Öklid uzayndaki açnn tanm olarak bilinir.
√
√
−1
, 1), B1 = ( √32 , √32 , 1 +
Q = (0, 0, 1) noktasn ve B0 = ( √12 , √
2
√
B2 = (1, 1, 1 + 3) noktalar yardmyla Q noktasnda bir çat olu³turulsun.
Örnek 4.2.3.
√2 ),
2
−→
Q = (0, 0, 1) noktas seçildi§i için, görü³ açs tanmndan yola çklarak OQ do§rusunu
normal kabul eden düzleme dik izdü³üm yaplacaktr. Bu düzlemin
oldu§u görülmektedir. B0 ve B1 noktalarnn
z=1
z = 1
düzlemi
düzlemine dik izdü³ümü ile B0 ' ve
B1 ' noktalar elde edilir.
−−→
−1
, 0)
QB0 = ( √12 , √
2
√
√
−−→
QB1 = ( √32 , √32 , √22 )
√
−−→
QB2 = (1, 1, 3)
Bu ortanormal çatya
O
noktasndan bakld§nda görülebilecek üç görü³ açs a³a§-
daki gibidir.
√
√
−1
B0′ = ( √12 , √
, 1), B1′ = ( √32 , √32 , 1), B2′ = (1, 1, 1),
2
√ √
−
→
→
→
−1
v = ( √1 , √
), −
v = ( √3 , √3 ) ve −
v = (1, 1) oldu§undan;
0
2
∠o B0 QB1
2
1
2
görü³ açsn,
2
2
−−→′
→
−1
QB0 = (−
, 0)
v0 , 0) = ( √12 , √
2
vektörleri olu³turmaktadr ve açnn de§eri
∠o B0 QB2
görü³ açsn,
∠o B1 QB2
görü³ açsn,
ile
ile
vek-
olur.
−−→′
→
v2 , 0) = (1, 1, 0)
QB2 = (−
cos θ = 1 ⇒ θ = 0
48
olur.
−−→′
→
v2 , 0) = (1, 1, 0)
QB2 = (−
cos θ = 0 ⇒ θ = 90
√ √
−−→′
→
v1 , 0) = ( √32 , √32 , 0)
QB1 = (−
törleri olu³turmaktadr ve açnn de§eri
√ √
−−→′
→
QB1 = (−
v1 , 0) = ( √32 , √32 , 0)
cos θ = 0 ⇒ θ = 90
−−→′
→
−1
v0 , 0) = ( √12 , √
QB0 = (−
, 0)
2
törleri olu³turmaktadr ve açnn de§eri
ile
olur.
vek-
Ba³ka bir örnek ile devam edilecektir.
√
√
B0 = ( √11
, −2√611 , −2 − √76 ),
6
√
√
−1 √
−4
√11 ), B2 = (1, −3, −2 −
B1 = ( √
,
,
−2
−
11)noktalar yardmyla Q
6
6
6
Örnek 4.2.4.
Q = (0, 0, −2)
noktas ve
noktasnda
bir çat olu³turulsun.
−→
Q = (0, 0, −2) noktas seçildi§i için, görü³ açs tanmndan yola çklarak OQ do§rusunu
z = −2
normal kabul eden düzleme dik izdü³üm yaplacaktr. Bu düzlemin
oldu§u görülmektedir. B0 ve B1 noktalarnn
z = −2
düzlemi
düzlemine dik izdü³ümü ile B0 '
ve B1 ' noktalar elde edilir.
√
√
−−→
−2√ 11 √
,
, −76 )
QB0 = ( √11
6
6
√
−−→
−1 √
QB1 = ( √
, −46 , √−11
)
6
6
√
−−→
QB2 = (1, −3, − 11)
Bu ortanormal çatya
O
noktasndan bakld§nda görülebilecek üç görü³ açs a³a§-
daki gibidir.
√
√
√
√
→
−1 √
B0′ = ( √11
, −2√611 , −2), B1′ = ( √
, −46 , −2), B2′ = (1, −3, −2), −
, −2√611 ),
v0 = ( √11
6
6
6
−
→
→
−1 √
v = (√
, −4 ) ve −
v = (1, −3) oldu§undan;
1
6
∠o B0 QB1
6
2
görü³ açsn,
√
√
−−→′
−−→
→
→
−2√ 11
−1 √
QB0 = (−
,
, 0) ile QB1′ = (−
, −46 , 0)
v0 , 0) = ( √11
v1 , 0) = ( √
6
6
6
vektörleri olu³turmaktadr ve açnn de§eri
∠o B0 QB2
görü³ açsn,
görü³ açsn,
⇒ θ = 40, 60
√7
85
√
√
−−→′
−
−2√ 11
v0 , 0) = ( √11
QB0 = (→
,
, 0)
6
6
vektörleri olu³turmaktadr ve açnn de§eri
∠o B1 QB2
cos θ =
cos θ =
vektörleri olu³turmaktadr ve açnn de§eri
cos θ =
49
−−→′
−
v2 , 0) = (1, −3, 0)
QB2 = (→
⇒ θ = 8, 13
√7
50
−−→′
→
−1 √
v1 , 0) = ( √
QB1 = (−
, −46 , 0)
6
ile
ile
√11
170
olur.
olur.
−−→′
→
v2 , 0) = (1, −3, 0)
QB2 = (−
⇒ θ = 32, 47
olur.
Dolaysyla, seçilen herhangi bir noktada kurulan bir dik çatya, ba³ka bir noktadan
bakld§nda, bu çatya ait üç görü³ açs elde edilir. Bu durumun, bir kutuya bakld§ndaki durumla benzer oldu§u daha önce belirtilmi³ti.
Teorem 4.2.5. Minkowski uzaynda bir kutuya bakld§nda görülen üç görü³ açs da
ayn anda dar açl yaplabilir, fakat üç görü³ açs da ayn anda geni³ açl yaplamaz.
spat
−
→
→
vi . −
vj = +bi2 bj2
oldu§una dikkat edilsin.
törlerini ele alnsn.
u1 v1 + u2 v2 = u3 v3
⟨u, v⟩ = 0
−
→
u = (u1 , u2 , u3 )
oldu§undan,
oldu§u görülür.
−−→
QBi
ve
−
→
v = (v1 , v2 , v3 )
u 1 v 1 + u 2 v 2 − u3 v 3 = 0
vek-
olur. Buradan,
vektörünün gerekti§inde zt vektörü alnarak,
→
→
≥ 0 yapabilmek mümkündür. Dolaysyla, −
vi . −
vj ≥ 0 oldu§u
−−→
−
→ −
→
a³ikardr. Di§er taraftan, QBi vektörünün gerekti§inde zt vektörü alnarak vi . vj
−
→ −
→
çarpmnn tüm de§erlerinin v . v < 0 yaplabilece§i varsaylsn. O halde, b b , b b
bi2 nin tüm de§erlerini bi2
i
ve
b22 a02
j
02 12
12 22
de§erleri negatiftir. Bu bir çeli³kidir çünkü bu iç çarpm sonuçlar ayn anda
negatif olamaz.
Ba³ka bir ³ekilde ifade edilsin. Kabul edilsin ki;
−
→
→
u = (u1 , u2 , u3 ), −
v = (v1 , v2 , v3 )
⟨v, w⟩ < 0
ve
⟨u, w⟩ < 0
−
→
w = (w1 , w2 , w3 )
ve
vektörleri için,
⟨u, v⟩ < 0,
olsun. Yani üç aç da geni³ aç olsun.
⟨u, v⟩ < 0 ⇒ u1 v1 + u2 v2 = u3 v3 < 0,
⟨v, w⟩ < 0 ⇒ v1 w1 + v2 w2 = v3 w3 < 0,
⟨u, w⟩ < 0 ⇒ u1 w1 + u2 w2 = u3 w3 < 0
Halbuki,
olmaldr.
u3 > 0, v3 < 0, v3 < 0, w3 > 0 ⇒ u3 w3 > 0
w 3 < 0 ⇒ u3 w 3 > 0
olur. Yani,
u3 v3 < 0
ve
v3 w3 < 0
ya da
iken,
u3 < 0, v3 > 0, v3 > 0,
u3 w 3 > 0
bir ifadeyle, üç aç da geni³ aç olamaz.
Bir örnek yardmyla Teorem 4.2.5'in ispat gözden gecirilecektir.
50
olmaktadr. Di§er
Örnek 4.2.6. Örnek 4.2.3'te kurulan çat tekrar ele alnarak,
−
→
→
vi .−
vj = +bi2 bj2 oldu§una
dikkat edilsin.
−−→
−1
QB0 = ( √12 , √
, 0)
2
√ √
−−→
QB1 = ( √32 , √32 , √22 )
√
−−→
QB2 = (1, 1, 3)
−
→
−1
v0 = ( √12 , √
)
2
√ √
−
→
v = ( √3 , √3 )
1
2
−
→
v2 = (1, 1)
2
olur.
−
→
→
v0 .−
v1 = 0 = +b02 b12
−
→
→
v .−
v = 0 = +b b
0
2
−
→
→
v1 .−
v2 =
02 22
√
2√ 3
2
= +b12 b22
olarak elde edilir.
Yukarda görüldü§ü üzere, gerekti§inde
dahi
−
→
→
vi . −
vj
−
→
→
vi ve −
vj vektörlerinin zt vektörleri alnd§nda
çarpmnn tüm de§erleri negatif yaplamaz, yani üç görüs açs da geni³
açl olamaz.
Di§er bir örnek ile devam edilsin.
Örnek 4.2.7. Örnek 4.2.4'te kurulan çat tekrar ele alnarak,
dikkat edilsin.
√
√
−−→
−2√ 11 √
QB0 = ( √11
,
, −76 )
6
6
√
−−→
−11
−1 √
−4
√
QB1 = ( √
,
,
)
6
6
6
√
−−→
QB2 = (1, −3, − 11)
√
√
−
→
v0 = ( √11
, −2√611 )
6
−
→
−1 √
v = (√
, −4 )
1
6
6
−
→
v2 = (1, −3)
olur.
51
−
→
→
vi .−
vj = +bi2 bj2 oldu§una
Örnek 4.2.6'da oldu§u gibi, görü³ açlarn olu³turan üç vektörün iç çarpm sonuçlarnn
ayn anda negatif olabilece§i yani üç görü³ açsnn da geni³ açl yaplabilece§i kabul
√
7 11
6
−
→
→
v0 .−
v1 çarpmnn sonucu pozitif oldu§undan,
−−→
−−→
negatif bir sonuç elde edebilmesi için QB0 vektörünün zt vektörü olan −QB0 =
√
√
√
→
→
( √−11 , 2√11 , √7 ) vektörü i³leme alnarak devam edilsin. −
v .−
v = −7 11 = +b b b b <
edilsin.
6
0
−
→
→
v0 .−
v1 =
6
Fakat
0
6
−−→
QB0
olur. Yine
edilir.
= +b02 b12 .
b02 b22 < 0
vektörünün zt vektörü i³leme alnarak
olur.
−
→
→
v1 .−
v2 =
11
√
6
1
6
−
→
→
v0 . −
v2 =
√
−7√ 11
6
02 12
02 12
= +b02 b22
elde
= +b12 b22
lk iki iç çarpm sonucu negatif elde edildi§i için ve
negatif olmas imkansz oldu§undan
b02 , b12 , b22
saylarnn ayn anda
b12 b22 > 0 olarak elde edilir ve bu çarpmn negatif
olmasna imkan yoktur.
Yukarda görüldü§ü üzere, gerekti§inde
dahi
−
→
→
vi . −
vj
−
→
→
vi ve −
vj vektörlerinin zt vektörleri alnd§nda
çarpmnn tüm de§erleri negatif yaplamaz, yani üç görüs açs da geni³
açl olamaz.
“u ³ekilde ifade edilecek olursa,
E31
deki dik eksenlerin yönleri gerekti§inde zt alnarak
üç görü³ açs ayn anda dar açl yaplabilir, fakat üç görü³ açs da geni³ açl yaplamaz. “ekil 1.1'de, soldaki kutunun Minkowski uzaynda kutu gibi görünmemesinin nedeni budur. Bu yolla,
E31
Minkowski uzayndaki dik eksenlerin görü³ açlarnn önemli
özellikleri ortaya çkarlm³ oldu.
Teorem 4.2.8.
E3
ve
E31
uzaylarndaki dik eksenlerin görü³ açlar arasnda bir dualite
vardr.
spat
kinci bölümde verilen dual dönü³üm hatrlanrsa:
arasnda 1-1 kar³lk vardr.
Öncelikle
f
dual dönü³ümü hatrlanacak olursa,
52
SO(3)\{ann = 0} ve SO(2, 1)
f : A → f (A)


−1 t
B C
a
(B
)
C
 7→ f (A) = 1  nn
.
A=
a
nn
D ann
−D
1


∀A = (aij ) ∈ SO(3) \ {ann = 0}
−−→
P A0 = (a00 , a01 , a02 )
−−→
P A1 = (a10 , a11 , a12 )
−−→
P A2 = (a20 , a21 , a22 ),
matrisi için,
oldu§u hatrlanrsa, görü³ açlar arasndaki dual dönü³ümü ifade eden bu matris:

1
f (A) =
a22
a
−a10 a02
 11

 −a01 a00 a12

−a20 −a21 1



,

olur.
Bu matriste,
törü,
−
→
u1 = (a00 , a01 )
−
→
u2 = (a10 , a11 )
vektörü
vektörü
π/2
−π/2
kadar döndürülerek
kadar döndürülerek
−
→
v2 = (−a01 , a00 )
−
→
v1 = (a11 , −a10 )
vek-
vektörünün elde
edildi§i görülür.
Bu teorem daha önce verilen örnekler yardmyla incelenebilir. Görü³ açlar arasndaki dualite, örneklerde kurulan çaty olu³turan matrisler yardmyla gözlemlenebilir.
Ayrca daha önce tanmlanan
f
dual dönü³ümü sayesinde, Öklid uzaynda verilen
örnekte kurulan bir çat ile Minkowski uzaynda verilen örnekteki çat arasnda bir
geçi³ söz konusu oldu§una dikkat edilsin.
−−→
−1
P A0 = ( √12 , √
, 0)
2
−−→
P A1 = ( √16 , √16 , √26 )
−−→
−1 √
P A2 = ( √
, −13 , √13 )
3
olmak üzere,
53



A=


√1
2
√1
6
−1
√
2
√1
6
√2
6
−1
√
3
−1
√
3
√1
3
0


√ 


⇔
f
(A)
=
3



√1
6
√1
2
−1
√
6
√1
2
√1
3
√1
3

0
√2
6




1
elde edilir.
Görüldü§ü gibi, Minkowski uzaynda kurulan ilk çat elde edilmi³ oldu.
−−→
−1
QB0 = ( √12 , √
, 0)
2
√
√
−−→
QB1 = ( √32 , √32 , √22 )
√
−−→
QB2 = (1, 1, 3)
Di§er örnek ile a³a§daki ³ekilde devam edilsin.
−−→
, √766 )
P A0 = ( √466 , √−1
66
−−→
−2 √
P A1 = ( √
, −16 , √16 )
6
−−→
, √−1
),
P A2 = ( √111 , √−3
11
11
Öklid uzaynda kurulan bu çat i³leme alnsn.



A=

√4
66
−2
√
6
−1
√
66
−1
√
6
√7
66
1
√
6
√1
11
−3
√
11
−1
√
11



√ 


 ⇔ f (A) = − 11 


−1
√
6
1
√
66
√2
6
4
√
66
√7
66
1
√
6
−1
√
11
√3
11
1
Görüldü§ü üzere, Minkowski uzaynda kurulan ikinci çat
elde edilmi³ oldu.
√
√
−−→
−2√ 11 √
QB0 = ( √11
,
, −76 )
6
6
√
−−→
−1 √
−4 −√ 11
QB1 = ( √
,
,
)
6
6
6
√
−−→
QB2 = (1, −3, − 11)
54
f





dual dönümü sayesinde
Böylelikle görü³ açs kavram ve her iki uzaydaki ortogonal eksenler üzerinde çal³larak,
bu tez çal³masnn ba³langç noktasn olu³turan kutu ve e§ik kutu resimleri incelenmi³ oldu. Ayn zamanda, verilen dual dönü³üm vastasyla iki uzay arasnda bir geçi³
sa§lanm³ oldu.
55
KAYNAKLAR
Dohi, R., Maeda, Y., Mori, M., Yoshida, H. 2010. "A dual transformation between
(n + 1)
SO
(n, 1)
and SO
and its geometric applications". Linear Algebra Appl., vol.
432; pp. 770-776.
Greub, W.H. 1967. "Linear Algebra". Springer-Verlag, 451, New York.
Jennings, G. 1994. "Modern Geometry with Applications". Springer-Verlag, 187, New
York.
Maeda, Y., Maehara, H. 2003. "Observing an angle from various viewpoints". JCDCG
2002, LNCS 2866; pp. 200-203 Springer-Verlag, Berlin.
Maeda, Y., Mori, M. 2005. "Three visual angles of three dimensional orthogonal axes
and their visualization, Proceedings of the 10th Asian Technology Conference in Mathematics". ATCM, LNC; pp. 315-321.
Maeda, Y., Yoshida, H. 2008. "Hyperbolic geometry as a view screen in Minkowski
space". Proceedings of the 13th Asian Technology Conference in Mathematics, Mathematics and Technology, LLC; pp. 143-152.
O'Neill, B. 1983. "Semi-Riemennnian Geometry with applications to Relativity". Academic Press, 468, London.
Ratclie, J.G. 2006. "Foundations of hyperbolic manifolds. Graduate Texts in
Mathematics, Second edition". Springer, 149, New York.
56
Ryan, P.J. 1986. "Euclidean and non-Euclidean Geometry". Cambridge University
Press, 232, Cambridge.
Weinstein, T. 1996. "An Introduction to Lorentz surfaces". de Gruyter, 213, New York.
57
ÖZGEÇM“
Ad Soyad: Gülsüm Biçer
Do§um Yeri: Balkesir
Do§um Tarihi: 26.06.1985
Medeni Hali: Bekar
Yabanc Dil: ngilizce, Almanca, spanyolca
E§itim Durumu (Kurum ve Yl)
Lise: Giresun Hamdi Bozba§ Anadolu Lisesi-2001
Erzurum Anadolu Lisesi-2003
Lisans: Ba³kent Üniversitesi E§itim Fak. lk. Matematik Ö§retmenli§i(Burslu)-2008
Ba³kent Üniversitesi E§itim Fak. Bilgisayar ve Ö§retim Teknolojileri Ö§retmenli§i Çift
Anadal Program-2009
Yüksek Lisans:
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim
Dal (2009-2011)
58