üç boyutlu cisimler-1

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1
PRİZMA
1. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları
3,5,7 ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı
568 cm2 olduğuna göre hacmi kaç cm3 dür?
A) 440
B) 540
C) 840
D) 740
E) 640
2. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 1,
3, 5 sayıları ile orantılıdır. Bu dikdörtgenler
prizmasının cisim köşegeni 70 cm olduğuna göre hacmi kaç cm3 tür?
A) 120
B) 92
C) 30 2
E) 15 6
D) 15
3. 10 cm boyunda 1 cm çapında silindir biçimindeki 10 kalem beşerli iki sıra halinde,
dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya
konulacaktır. Bu kutunun hacmi en az kaç
cm3 olmalıdır?
A) 300
B) 200
C) 150
D) 100
E) 50
4. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları x,
x, h cm dir. Bu prizmanın hacmi 75 cm3 olduğuna göre yüzlerinin toplam alanının x
cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
300
A) 2x 
B) x2+4x
x
x2
x2
 4x
E)
 300x
D)
2
2
2
2
C) x +75
B) 96
C) 64
D) 32
A) 1100
D) 1400
B) 1200
E) 1500
C) 1300
7. Kare tabanlı kapalı bir dik prizmanın hacmi
30 cm3 tür. Karenin bir kenarı x cm olduğuna
göre, prizmanın tüm alanını veren y=f(x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) y 
2x  60
x 2  30
x
B) y 
x2
C) y 
x 2  120
x
E) y 
2x 3  120
x
D) y 
x 2  60
x2
KÜP
8. Bir küpün alanı b cm2 dir. İkinci bir küpün
hacmi bu küpün hacminin c katıdır. İkinci küpün alanı kaç cm2 dir?
3
B) c b 2
b2c
E)
c 3b
B) 2 3
C)
A) b c 2
D)
3
C) b2c
9.
5. Boyu eninin iki katı uzunluğunda olan
dikdörtgen şeklindeki bir kartonun tümü
kullanılarak 16 cm3 hacminde, kare prizma
şeklinde kapaksız bir kutu yapıyorlar. Kare
prizmanın taban kenarı, verilen kartonun
enine eşit olduğuna göre kullanılan kartonun alanı kaç cm2 dir?
A) 128
6. Bir dikdörtgenler prizmasının x, y, z boyutları 2, 3, 4 sayıları ile doğru orantılıdır. Bu
prizmanın hacmi 3000 cm3 olduğuna göre,
alanı kaç cm2 dir?
E) 16
A) 3 3
3
D)
3
2
E)
3
4
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1
10.
14.
Küp biçimindeki tahta bir bloktan küçük bir
küp alınmıştır. Kalan tahtanın hacmi 208
cm3 olduğuna göre BC kaç cm dir?
Bir kenarı a cm olan içi dolu tahta bir küpün
a
cm olan bir küp kesiköşesinden, bir kenarı
3
lerek çıkartılıyor. Geriye kalan büyük küp parçasının alanının, küçük küpün alanına oranı
kaçtır?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
A) 9
B) 12
C) 18
D) 27
E) 36
11.
PRAMİD
15. Hacmi 28 cm3 olan bir kesik piramidin alt
tabanının alanı 12 cm2, üst tabanının alanı 3
cm2 olduğuna göre yüksekliğe kaç cm dir?
A) 2
Şekildeki ABCD ve ADEF kareleri birbirine
dik ve eşittir. AB=4 birim olduğuna göre,
FC=x kaç birimdir?
A) 2 3
B) 4 2
D) 4 3
E) 2 5
C) 3 5
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
C) 4
D) 5
B) 144 cm2
E) 64 cm2
A)
115
96
B)
113
94
C)
111
92
D)
109
90
E)
103
90
C) 112 cm2
17. Tabanı 12 cm2, yüksekliği 6 cm olan bir
piramit tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.
Düzlem tepeden 2 cm uzaklıktadır. Kesit alanı
aşağıdakilerden hangisidir (cm2 boyutunda)
A) 4 cm2
B) 3/2 cm2
2
E) 3 cm2
cm
13. Tabanının boyutları 6 cm ve 8 cm olan
dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kapta
bir miktar su vardır. Bir ayrıtının uzunluğu 5
cm olan kapalı bir küp, tabanı kabın tabanına değecek biçimde suya batırılınca su seviyesi küpün yarısına kadar yükseliyor. Buna göre, suyun ilk yüksekliği kaç cm dir?
E) 6
16. Tabanın bir kenarı 8 cm, yüksekliği 3 cm
olan düzgün kare piramidin bütün alanı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 224 cm2
D) 80 cm2
12. Kenarları 3 cm, 6 cm ve 12 cm olan bir
dikdörtgenler prizmasının hacmine eşit hacimde olan küpün bir kenarı kaç cm dir?
A) 2
B) 3
C) 2/3 cm2
D) 4/3
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1
18.
21.
üzerindedir. Üstte kalan küçük piramidin
yüksekliği 3 cm, hacmi 9 cm3 olduğuna göre, büyük piramidin taban kenarlarından biri
kaç cm dir?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
ABCD kare tabanlı ABCDA'B'C'D' dikdörtgenler
prizmasında D' noktası A ve B ile D noktasın
da B ile birleştirilirse, hacmi 300 cm3 olan
(D',ABD) piramidi elde ediliyor. ABCDA'B'C'D'
prizmasının yüksekliği 15 cm olduğuna göre,
tabanının bir kenarı kaç cm dir?
15
A)
19.
B) 2 15
D) 2 30
C) 3 15
E) 3 30
22.
Taban kenarı 10 cm olan bir düzgün kare
piramidinin bütün alanı 360 cm2 dir. Buna
göre piramidin yüksekliği kaç cm dir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
20.
Yukarıda, ABCDEF üçgen tabanlı dik prizması
ile, köşeleri bu prizmanın ayrıtları üzerinde
olan MLEK piramidi verilmiştir. [ML]//[DF],
ME
1 EK
1
olduğuna göre,
 ,

3 EB
3
DE
Hacim(MLEK)
oranı kaçtır?
Hacim(ABCDEF)
A)
A) 10
B) 12
C) 13
D) 14
E) 16
1
81
B)
1
64
C)
1
49
D)
1
36
E)
1
27
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1
DÖRTYÜZLÜ
gendir. AD ayrıtı BDC düzlemine dik olduğuna
göre, bu dörtyüzlünün hacmi ne kadardır?
23.
A)
a3
24
a3 6
D)
24
a3 2
24
3
a 3
E)
48
B)
C)
a3 3
24
24. Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alanı
256 3 birim karedir? Bu dörtyüzlünün yanal
yüksekliği kaç birimdir?
Şekildeki ABCD dörtyüzlüsünün ABC yüzü
bir kenarının uzunluğu a olan bir eşkenar
üçgen, BDC yüzü ise D açısı dik olan bir üç1-C 1979 ÜSS
6-C 1996 ÖSS
11-D 1994 ÖYS
16-B 1969 ÜSS
21-D 1998 ÖSS
2-C 1981 ÖYS
7-E 1998 ÖYS
12-E 1995 ÖSS
17-D 1970 ÜSS
22-A 2001 ÖSS
A) 6 3 B) 7 3 C) 8 3 D) 9 3
3-D 1984 ÖSS
8-A 1981 ÖSS
13-A 1997 ÖSS
18-D 1986 ÖSS
23-B 1980 ÜSS
4-A 1985 ÖYS
9-D 1987 ÖYS
14-A 2002 ÖSS
19-C 1987 ÖYS
24-C 1995 ÖYS
E) 10 3
5-D 1988 ÖYS
10-D 1989 ÖYS
15-C 1967 ÜSS
20-B 1996 ÖYS
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2
SİLİNDİR
1. Hacimleri eşit iki silindirin yan alanları
arasındaki oran aşağıdakilerden hangisidir?
A)
h
h
B)
r
r
C)
r
D)
r
r 2
r
E)
h2
h
Şekildeki dik silindirde AB anadoğru, BD doğru
parçası taban çapıdır. C taban çevresi üzerinde bir nokta,
AB=8 cm
BD=10 cm
CD=8 cm olduğuna göre ACD üçgeninin
alanı kaç cm2 dir?
A) 32
2. Bir silindirin yanal alanı 20 ve yüksekliği
10 birim olduğuna göre hacmi kaç birim
küptür?
A) 2
B) 20
C) 10
D) 40
B) 36
C) 40
D) 44
E) 48
5.
E) 200
3.
Yukarıdaki I. şekil taban çapı 4 cm, yüksekliği
10 cm olan bir silindir. Bu silindirdeki suyun
yüksekliği h dır. Bu kap 450 lik açı yapacak biçimde eğildiğinde su düzeyi şekildeki gibi kabın ağzına dayanmaktadır. Buna göre h kaç
cm dir?
Taban çapı 2R=20 cm olan silindir biçimindeki bir kapta, başlangıçta 200  cm3 su
vardır. Bu kaba yeniden su konmakta ve
kaptaki suyun h yüksekliği, t zamanına göre
h=at+b
bağıntısı ile değişmektedir. Bu kaba su
konmaya başladıktan 2 sn sonra suyun
yüksekliği 8 cm olduğuna göre, 3 sn daha
sonra (beşinci saniye sonunda) suyun yüksekliği kaç cm olur?
A)32
4.
B) 23
C) 19
D) 17
A) 9
B) 8
C) 7
D) 8
E) 5
6.
E) 14
İç içe girilmiş ve yükseklikleri eşit, dik silindir
biçimindeki iki kaptan dıştakinin çapı içtekinin
çapının iki katıdır. İçteki kap ağzına kadar su
ile dolu iken tabanına çok yakın bir delik açılırsa , ikisi arasındaki boşlukta su hangi yüksekliğe çıkar? (İçteki kabın kalınlığı önemsenmeyecektir.)
A)
h
2
B)
h
4
C)
h
3
D)
2h
3
E)
3h
4
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2
7.
Yukarıdaki düzenekte, dikey doğrultudaki
kalın silindirik boruların kesitleri s, sağ kola
eklenmiş olan ince silindirik borunun kesiti
s
ise
tür. Piston 20 cm aşağı indirildiğinde,
4
öteki kolda su yüzeyi kaç cm yükselir?
A) 52
B) 50
C) 46
D) 42
E) 38
8.
Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 24 olan dik silindir
biçimindeki bir kutunun alt tabanı üzerindeki A
noktası ile üst tabanı üzerindeki B noktası aynı
düşey doğru üzerindedir. Şeklideki gibi, A dan
hareket edip kutunun yalnızca yanal yüzeyi
tek bir dolanım yaparak en kısa yoldan B ye
giden bir karıncanın aldığı yol kaç cm dir?
C) 24 2
A) 26
B) 25
D) 25 3
E) 25 2
KONİ
12. Taban yarıçapı 1 ve 2, yüksekliği 3 olan
kesik koninin hacmi nedir?
A) 5
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
B) 20
C) 18
C) 7
D) 8
E) 9
E) 3
9. Yüksekliği 60 cm ve taban kenar uzunluğu a cm olan kare prizma su ile doludur.
Yarıçapı a cm olan bir silindirin prizmadaki
suyun tamamını alabilmesi için yüksekliği
en az kaç cm olmalıdır? (=3 alınız)
A) 22
B) 6
D) 16
13. Bir dönel koni, tabana paralel üç düzlemle
kesilerek, yükseklikleri eşit olan dört parçaya
ayrılıyor? Tepeden birinci parçanın hacminin
ikinci parçanın hacmine oranı nedir?
A)
1
7
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
E) 15
14.
10. Kenarları, 60 cm ve 80 cm olan dikdörtgen biçimindeki karton, bükülerek dik
silindir biçiminde bir boru haline getirilecektir. Bükme işlemi uzun kenar ve kısa kenar
üzerine yapıldığında elde edilecek iki farklı
boru silindirin yan alanları oranı kaçtır?
A) 1
11.
B)
1
2
C)
2
3
D)
3
4
E)
4
5
Taban alanı S olan yandaki dik konide, alanları
S1 , S2 olan tabana paralel iki kesit ve bu kesitlerin merkezleri verilmiştir. TC=2 cm,
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2
KÜRE
TA=1 cm ve S=S1+S2 olduğuna göre,
AB kaç cm dir?
A)
5
D)
2 1
2
B)
E)
C)
19. Çapı d olan kürenin hacmi çap cinsinden
yazılsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
3 1
3 2
4 3
d
3
1
C) v  d3
6
1 3
E) v  d
2
2 3
d
3
1
D) v  d3
3
A) v 
15. Taban yarıçapı 8 cm, yanal yüzeyinin
alanı 96 cm2 olan bir dönel koninin, yüksekliğinin bir ana doğrusuna oranı kaçtır?
6
4
A)
5
3
B)
C)
3
4
D)
2
3
E)
1
2
16. Yanal alanı 135 cm2 olan bir dik koninin taban yarıçapı 9 cm dir. Bu koninin
20. Ayrıtlarından biri s uzunluğunda olan bir
küpün içine, teğet bir küre çiziliyor. Küpün bir
köşesinin, kürenin yüzüne olan uzaklığı aşağıdakilerden hangisidir?
3
hacmi kaç cm tür?
A) 282
D) 312
B) 292
E) 324
B) v 
A)
s( 3  1)
2
D)
s 2
2
C) 302
B)
E)
s( 3  3)
3
C) 3 s  1
s 3
2
17.
21. Bir kürenin, merkezinden 4 cm uzaklıktaki
kesitlerin çevresi 6 olduğuna göre bu kürenin
yarıçapı kaç cm dir?
A) 5
B)
22
C) 6
D)
52
E) 8
Yukarıdaki şekil, ana doğrusunun uzunluğu
a cm olan bir dik koninin açılımıdır. Dik koninin hacmi 96 cm3 ve m(AÔB)  216 0 olduğuna göre, OA=OB=a kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
22.
E) 12
18.
Yukarıdaki şekil, dik koni biçiminde idealleştirilmiş bir dağı; A ve B noktaları ise bu dağ
eteğindeki iki köyü temsil etmektedir. Bu iki
köyü birleştiren, dağ yüzeyi üzerindeki en
kısa yol kaç km dir?
A)

3
B)
2
3
C) 
D)
3
E) 3
Yukarıdaki şekilde P düzlemi üzerine konmuş
kürenin çapı 10 cm, tabanı P üzerinde bulunan
dik dönel koninin taban çapı da 16 cm dir. P
düzleminden 8 cm uzaklıktaki bir Q düzleminin
küre ve koni ile arakesit dairelerinin alanları
eşit olduğuna göre, koninin yüksekliği kaç cm
dir?
A) 32
B) 24
C) 20
D) 16
E) 12
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2
23. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden
R
uzaklıkta bir düzlemde kesiliyor. Elde
3
edilen kesitin alanı kaç R2 dir?
A)
8
9
B) 2
C)
4
3
D)
4
9
E)
8
3
Şekilde, taban yarıçapı 6 cm olan dik koninin
tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli kürenin yüzeyindedir. Dik koninin hacmi 216
cm3 olduğuna göre, kürenin yarıçapı kaç cm
dir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
24.
1-B 1967 ÜSS
6-B 1983 ÖSS
11-A 2000 ÖSS
16-E 1998 ÖSS
21-A 1977 ÜSS
2-C 1976 ÜSS
7-B 1982 ÖSS
12-C 1966 ÜSS
17-D 1998 ÖYS
22-D 1984 ÖYS
3-D 1981 ÖSS
8-C 1983 ÖYS
13-A 1978 ÜSS
18-E 2002 ÖSS
23-A 1982 ÖYS
4-C 1982 ÖYS
9-B 1987 ÖSS
14-C 1990 ÖYS
19-C 1968 ÜSS
24-B 1999ÖSS1
5-B 1982 ÖYS
10-A 1995 ÖSS
15-B 1995 ÖSS
20-A 1974 ÜSS
UZAY GEOMETRİ
Başlıktan korkmayın. Oturduğumuz yerden Dünya ile Mars
arasındaki uzaklığı filan ölçecek değiliz. İstersek ölçeriz ama
konumuz bu değil. Çünkü bu uzay, o uzay değil. O uzaysa bile, işimiz gücümüz gezegenlerle değil, noktalar, doğrular ve
düzlemlerle olacak.
P
Geometride tüm noktalar kümesine uzay denir.
Uzayın bir alt kümesi olan düzlem de yine bir noktalar kümesi gibi düşünülebilir. Masanın yüzeyi, duvarın yüzeyi, kitabın
yüzü gibi. Düzlem genel olarak bir paralelkenar çizerek ve P,
E, F gibi büyük harflerle gösterilir. Yalnız çizime aldanıp
düzlemin sonlu olduğu zannedilmesin, düzlem sınırlı olmayıp, burada sadece çizim olarak gösterilmiştir. P düzlemi ile
notlarımızın bu sayfası aynı düzlemi göstermektedir.
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
d
A
P
Bir doğru ile bir düzlemin sadece bir ortak noktası varsa doğru düzlemi kesiyordur.
Şeklimizde d doğrusu ile P düzleminin ara kesiti şekilde gösterildiği üzere A noktasıdır. Zaten bir doğru ile bir düzlem
arasında üç ilişki olabilir, ya doğru düzlemin içindedir ya kesiyordur ya da dışındadır.
2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
P
A
Mustafa YAĞCI
B
Eğer bir doğru ile bir düzlemin ortak iki noktası varsa, doğru
düzlemin içindedir.
Doğru düzlemi kesseydi eğer, tek noktada keserdi. İki ortak
noktaları varsa, kesmiyor da olamaz. Dolayısıyla ortak iki
nokta varsa, tek bir şans kalıyor, doğrunun o düzlemde olması. Sonuç olarak, ortak iki nokta varsa, aslında ortak sonsuz
nokta vardır.
3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
E
P
arakesit
doğrusu
İki düzlem eğer kesişiyorlarsa bir doğru boyunca kesişirler.
Bu doğruya arakesit doğrusu denir.
Gazetelikleri ve Kur’an-ı Kerim rahlelerini hayal edebilirsiniz. Fakat, bu örnekler sınırlı olduğundan arakesit doğru parçası gibi olur. Buna aldanmayın. Gerçek düzlemler sınırsız
olduğundan kesişim de sınırsızdır.
4
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
d
P
l
Aynı düzlem içinde bulunmayan ve birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir.
Şeklimizde d ∩ l = ∅ olup d ile l aykırı doğrulardır. Küpün
ayrıtlarından kaç çiftin aykırı olduğunu hesaplamaya çalışınız.
5
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
P A
B
Mustafa YAĞCI
C
Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem (sadece tek bir düzlem)
belirtir.
Aynen tek bir üçgen belirttikleri gibi… Bunları şöyle düşünmekte fayda olabilir: Bir kağıda doğrusal olmayan üç farklı
nokta çizin. O noktaları köşe kabul eden üçgeni kim gelirse
gelsin aynı çiziyorsa, demek ki o noktalar tek bir üçgen belirtir.
Ayrıca bir kağıda kondurulmuş 3 nokta, o kağıdın yüzeyi dışında bir düzlem belirtemez. Her üç noktayı içeren bir başka
düzlemi gösteremeyeceğinize ikna oluncaya kadar çizmeye çalışınız. Zira bir aksiyom olduğundan kanıtı yoktur.
6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
d
P
Mustafa YAĞCI
k
Kesişen iki doğru bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.
Doğruların üzerindeki tüm noktaları içeren başka bir düzlem
olmadığına ikna olana kadar araştırmaya devam ediniz. Sonunda hidayete ereceksiniz.
7
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
P
A
Mustafa YAĞCI
d
Bir doğru ile dışındaki bir nokta, bir düzlem (sadece tek bir
düzlem) belirtir.
Hem bu noktayı hem de doğrunun üzerinde bulunan tüm noktaları içeren başka bir düzlem çizmeye veya hayal etmeye çalışınız, başaramayacaksınız.
8
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
k
P
Mustafa YAĞCI
d
Paralel iki doğru da diğerleri gibi sadece tek bir düzlem belirtir.
Aslında bu üstteki kuralın bir versiyonudur. Üst şekildeki A
noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstünde farzederseniz,
bahsi geçen şartları sağlayan P düzleminden başka düzlem
olmadığını göreceksiniz.
9
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
T
C
A
B
Dördü aynı düzlemde olmayan birbirinden farklı en az dört
nokta uzay belirtir.
Uzay belirtmeyi aklınızda şöyle canlandırabilirsiniz. Verilen
tüm noktaları ya da doğruları içeren bir düzlem bulamayınca,
yani bu verileri bir düzleme sığdıramayınca anlıyoruz ki, hepsini içine alan bir şey ancak üç boyutlu olabilir. Örneğin, yandaki şekilde ABC düzlemi T’yi içermiyor, BCT düzlemi A’yı
içermiyor, ACT düzlemi B’yi içermiyor, ABT düzlemi de C’yi
içermiyor.
10
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
A
P
Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir.
Zaten kanıt teoremin içinde gibi. A noktası P düzleminin
içinde olmadığından, hem düzlemdeki sonsuz noktayı hem de
A noktasını içeren bir düzlem çizmenin mümkünatı yoktur.
Var diyorsanız gösterin.
11
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
d
P
Bir düzlem ile dışındaki bir doğru uzay belirtir.
Bu da üstteki kuralın bir başka versiyonudur. Üst şekildeki A
noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstündeymiş gibi düşününüz. Aynı çıkarım kurallarını burada da uygularsınız.
12
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
E
P
Kesişen ya da paralel olan iki düzlem uzay belirtir.
Her ikisinin de sebebi aşikar sanırım. Hem P’deki, hem de
E’deki tüm noktaları içine alan tek bir düzlem olmasına imkan olmaması.
13
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
E
S
A
P
Bir noktadan birden fazla düzlem geçer.
Geçer dediysek geçebilir manasında dedik. Mesela şekildeki
E, P ve S düzlemlerinin ortak noktası A noktasıdır. Bu noktadan geçen başka bir düzlemi de siz gösteriniz.
14
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
TS
E
P
Bir doğruyu barındıran 1’den çok düzlem vardır.
Yani, bu doğruyu içeren sonsuz farklı düzlemin varlığından
sözediliyor. Şekilden de açıkça görüldüğü üzere doğrunun
noktalarının tümü T, S, E ve P düzlemlerinin hepsinde de bulunuyor. Düzlem sayısını istediğimiz kadar arttırabileceğimizi
çoktan anlamış olmalısınız.
15
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
E
d
A
B
P
Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa, bu noktalardan
geçen doğru, her iki düzlemin arakesit doğrusudur.
Zaten o olmayacaktı da ben mi olacaktım? Arakesit doğrusu
iki düzlemin tüm ortak noktalarını barındırdığından A ve B
noktalarını da mecburen içerir.
16
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
A
B
C
Mustafa YAĞCI
E
P
İki düzlemin doğrusal olmayan, ortak üç noktası varsa bu iki
düzlem çakışıktır.
Doğrusal olmayan üç değişik noktanın sadece tek bir düzlem
belirteceğini sezgisel de olsa kanıtlamıştık. O halde bu P ve E
düzlemleri aynı düzlemdir aslında, biz de böyle aslında aynı
olan şeylere matematikte çakışık deriz.
17
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
d
l
P
E
Bir d doğrusu P ve E düzlemlerinin arakesit doğrusuna paralel ise her iki düzleme de paraleldir.
Şeklimizden bakınız: d // l ise d // (P) ve d // (E) olur. Hatta
bu arakesit doğrusunu içeren başka düzlemler de çizersek, o
düzlemlere de paralel olur. Birinin de içinde olur.
18
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
d
P
Bir doğru ile bir düzlemin ortak noktası yoksa, doğru düzleme
paraleldir.
Bunu zaten daha önce olabilecek üç şıktan biri olarak açıklamıştık. Yineleyelim: Tek bir ortak nokta doğru düzlemi kesiyordur, en az iki ortak nokta varsa, doğru düzlemin içindedir.
19
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
k
P
Mustafa YAĞCI
d
Aynı düzlemde bulunan iki doğrunun ortak noktaları yoksa,
bu iki doğru paraleldir.
Bu zaten direkt olarak düzlem geometrinin tanımlarından biridir. Kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir.
20
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
E
Mustafa YAĞCI
A
P
Bir düzleme, dışında alınan bir noktadan yalnız bir paralel
düzlem çizilebilir.
Açıklayalım: Düzlemimiz her zamanki gibi P, noktamız da A
olsun. A noktasından, P düzleminde kaç farklı paralel doğru
çizebiliriz? Sonsuz değil mi? İşte o sonsuz doğrunun oluşturduğu tek düzlem olan E düzlemi istenen düzlemdir. Başka
böyle bir düzlem yoktur.
21
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
S
E
P
Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de
paraleldir.
Düzlemlerde paralellik bağıntısının geçişken olduğunu söylüyor. (P) // (E) ve (E) // (S) ise (P) // (S) dir. Haklı da. Aksi düşünülebilir mi? E düzlemi ile P düzlemi arasındaki uzaklık
sabittir. E ile S düzleminin de. O halde sonuç olarak P ile S
düzlemleri arasındaki uzaklık da sabit çıktı. Bu da istediğimize kavuştuk demek!
22
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
S
P
E
İki düzlem ya paraleldir ya da kesişir.
Bir de çakışık olabilirlerdi hani? E, çakışıklarsa paralellerdir
zaten. Unutma, her şey kendine paraleldir.
Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem, diğerini de keser.
P ile S düzlemleri paralel olsun. E düzlemi P düzlemini kesiyormuş, o halde P’ye paralel değil, o halde mecburen S’ye de
paralel değil. Paralel değilse keseceğini söylemiştik zaten.
23
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
d
A
E
P
B
Paralel iki düzlemden birini kesen doğru, diğer düzlemi de
keser.
Yukardaki çıkarım kurallarının hepsi burada da geçerlidir.
Uğraşın, yapamazsanız gelin.
24
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
d
Mustafa YAĞCI
A
P
Düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme yalnız bir dik doğru
çizilebilir.
Bunu da tersten kanıtlayalım. A noktasından P düzlemine bir
dik indirin. Dikme ayağına B deyin. Başka bir dik daha indirin (yok ama siz yine de indirin), onun ayağına da C deyin.
ABC üçgeninin iç açılar toplamı 180o’den büyük çıktığı için
başka bir dikin indirilemeyeceğini anlamış olmalısınız.
25
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
d
Mustafa YAĞCI
A
P
Düzlem dışındaki bir noktadan, düzleme dik çizilen bir doğru,
düzlemi kestiği noktadan geçen doğruların tümüne dik olur.
Düzlemdeki doğruları bir kalemmiş gibi düşünün ve ufak
ufak kalemi çevirmeye başlayın. Her zaman d doğrusuna dik
olduğuna ikna olursunuz. Bir parşömen kağıdını hayal edin,
kaç derece döndürürseniz döndürün, köşe açılarının dikliği
bozulmuyor, değil mi?
26
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
A
P
Düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan
birden fazla düzlem vardır.
Şeklimizdeki A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dikme ayağından geçen ve P üzerinde olan sonsuz doğru olduğunu söylemiştik. İnen dikme ile o sonsuz doğrunun her birinin oluşturduğu düzlemler istenen düzlemlerdir.
27
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
d
Mustafa YAĞCI
A
P
Paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerini ya dik
keser ya da dik durumlu olur.
Yeni bir kavram var: Dik durumlu olmak. Bu, tam üstünde olsaydım, seni dik keserdim demek. Ama değilim. Dik durumlu
doğrular, aykırıdır.
28
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
A
d
Bir doğrunun üzerindeki bir noktadan, bu doğruya birden fazla dik doğru çizilebilir.
Bulunduğunuz odada üç duvarın kesiştiği yeri inceleyin. Sigara paketi, kibrit kutusu gibi cisimlerin herhangi bir köşesini
göz önüne getirin.
n tane doğru bir düzlemi
en az n + 1 bölgeye,
en çok
n2 + n + 2
bölgeye
2
ayırır. Bunun kanıtını permutasyon-kombinasyon notlarında
yapmıştık. Unutan tekrar oradan öğrenebilir.
29
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
UZAYDA BAZI GEOMETRİK YERLER
A
d l
k
B
İki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların kümesi, orta dikme
düzlemidir.
Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz farklı doğru çizebileceğimizi söylemiştik. O halde bir doğru parçasının tam orta noktasından, doğruyu dik kesen sonsuz doğru çizilebilir.
Bu doğruların hepsini taşıyan öyle bir düzlem vardır ki ona
orta dikme düzlemi deriz. Şekilden görebilirsiniz.
30
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
T
C
A
P
B
A, B, C gibi üçü aynı doğru üzerinde olmayan sabit üç noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bu üç
noktadan geçen çemberin merkezinden çember düzlemine çıkılan dik doğrudur. A, B, C noktaları doğrusal değilse, üçgen
belirtirler. Her üçgenin çevrel çemberi olduğu gibi bu üçgenin
de vardır. Bu çember, noktaların bulunduğu P düzlemindedir.
Çemberin merkezinden P düzlemine çıkılan dikme OT olsun.
TOA, TOB ve TOC birer eş dik üçgen olduklarından hipotenüsleri eşit boyda olmalıdır. O halde |TA| = |TB| = |TC|.
31
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
S
T
E
Kesişen düzleme eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu
iki düzlemin oluşturduğu iki düzlemli açının açıortay düzlemidir.
S düzlemi üzerinde hangi noktayı alırsanız alın, o noktanın P
ve E düzlemlerine olan uzaklıkları eşittir.
32
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
A
R
O
R
B
C
Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların kümesine
düzlemde çember, uzayda küre denir.
Üst şekildeki küre, R yarıçaplı olup, O merkezlidir. C küre
üzerinde bir nokta ve [AB] çap ise m(ACB) = 90° dir. Bunu
zaten çember derslerimizde etraflıca görmüştük.
33
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
O
Mustafa YAĞCI
r
Kürenin bir düzlemle arakesiti bir çemberdir.
Küre kesitinin yüzeyi merkezi O ve yarıçapı r olan bir dairedir.
34
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
DİK İZDÜŞÜM
f
A
P
P
f'
A'
A
B
A'
B'
Bir A noktasından bir P düzlemine çizilen dik doğrunun düzlemi kestiği A′ noktasına, A noktasının P düzlemindeki dik
izdüşümü denir.
Bir noktalar kümesinin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü,
bütün noktaların bu düzlem üzerindeki dik izdüşümlerin kümesidir. Yani bir doğru parçası ya da bir şeklin bir düzlem
üzerindeki izdüşümünü bulmak için şeklin tüm noktalarının
izdüşümünü almak gerekir.
35
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
D
C
E
A
α
B
E'
A'
D'
B'
C'
Q
Yandaki izdüşüm şekillerini inceleyiniz. A noktasını dik izdüşümü A′ noktası f eğrisinin dik izdüşümü f ′ eğrisi, [AB] doğru
parçasının izdüşümü [A′B′] doğru parçasıdır.
İki düzlem arasındaki açıya ölçek denir.
(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α’dır.
36
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
(P) düzlemindeki ABCD dörtgeninin (Q) düzlemindeki izdüşümü A′B′C′D′ dörtgenidir.
ABCD ve A′B′C′D′ dörtgenleri eş zannedilmesin, değildir!
Yani (P) düzlemindeki bir çemberin izdüşümü, (Q) düzleminde bir çember olmayabilir. Olmayabilir dedik, çünkü bazen olur.
Örneğin, (P) ve (Q) düzlemleri paralel olursa, (P) düzlemindeki bir şeklin izdüşümü, (Q) düzleminde yine kendisi olur.
37
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
İzdüşüm Uzunluğunun ve Alanının Bulunması
P
B
α
A
A'
B' Q
(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemi içindeki
[AB]’nin (Q) düzlemindeki dik izdüşümü [A′B′] ise |A′B′| =
|AB|·cos α olur.
Aslında sebebi çok basit. A noktasından A’B’ doğrusuna bir
paralel çizin. BB’ doğrusunu kestiği nokta K olsun. AA’B’K
bir dikdörtgen olacağından |A’B’| = |AK| olur. BAK dik üçgeninde kosinüs tanımı gereği |AK| = |A′B′| = |AB|·cos α.
38
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
S
α
S'
Q
(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemindeki
bir bölgenin alanı S, bu bölgenin (Q) düzlemindeki izdüşümünün alanı S′ ise S′ = S·cos α olur.
Bunu da şöyle açıklayalım: Bir an için P ve Q düzlemlerinin
şekilde paralelkenarlarla gösterildiği gibi sınırlı olduklarını
farzedelim. Q düzlem parçası da P düzlem parçasının izdüşümü olsun. S şekli o paralelkenarın kaçta kaçıysa, S’ şekli de
aşağıdaki sınırlı Q paralelkenarının da o kadar da o kadarıdır.
39
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
Q düzlem parçasının alanının P düzlem parçasının alanının
cosα katı olduğunu biliyoruz. Kısa kenar uzunluklarının değişmediğine, uzun kenarların da cosα katına çıktığına dikkat
ediniz. O halde istenen kanıtlanmıştır.
PARALELLİK AKSİYOMLARI
1.
Uzayda paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir.
2.
Uzayda bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde verilen noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir
tek doğru vardır.
3.
Paralel iki doğrudan birini bir tek noktada kesen bir düzlem, diğer doğruyu da keser.
4.
Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru paraleldir.
40
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
5.
Bir düzlemin içindeki bir doğruya paralel olan ve bu düzlemin dışında bulunan bir doğru bu düzleme paraleldir.
6.
Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A noktasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düzlemin içindedir.
7.
Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A noktasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düzlemin içindedir.
8.
Kesişen iki düzlemin her birine paralel olan bir doğru, bu
düzlemlerin arakesit doğrusuna paraleldir.
9.
Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirttiği düzlem ilk düzleme paraleldir.
41
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
10. Uzayda bir düzlem ve bu düzlemin dışında bir nokta verildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.
11. Paralel iki düzlemin birinin içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir.
12. Paralel iki düzlemden birine paralel olan bir düzlem diğerine de paraleldir.
13. Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem diğerini de
keser ve arakesit doğruları paraleldir.
14. Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de
keser.
42
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
UZAYDA DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN DİKLİĞİ
1.
Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna kesişme noktasında
dik olan bir doğru, bu düzleme diktir.
2.
Paralel iki düzlemden birine dik olan bir doğru diğer düzleme de diktir.
3.
Aynı doğruya farklı noktalardan dik olan iki düzlem birbirine paraleldir.
4.
Bir noktadan geçen ve bir doğruya dik olan bir tek düzlem vardır.
Uzayda bir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi, bu doğru parçasının orta
dikme düzlemidir.
Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de
diktir.
5.
6.
7.
43
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
8.
Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme
dik olan bir tek doğru vardır.
9.
Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme
dik olan bir tek doğru vardır.
10. (Üç Dikme Teoremi): Bir düzlemin dışında bulunan bir
noktadan bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse iki dikme ayağını birleştiren doğru
düzlem içindeki doğruya diktir.
11. Bir düzleme dik olan bir doğruyu içinde bulunduran düzlemler bu düzleme diktir.
12. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir düzlem diğerine
de diktir.
13. Bir doğru iki düzlemden birine paralel, diğerine dik ise
bu iki düzlem birbirine diktir.
44
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
UZAY KAVRAMI VE KONUM AKSİYOMLARI
1.
Uzayda farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır.
2.
Uzayda bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir
nokta bir düzlem belirtir.
3.
Uzayda kesişen farklı iki doğru bir düzlem belirtir.
4.
Bir doğru, üzerinde bulunmadığı bir düzlemi keserse arakesiti bir noktadır.
5.
Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bu nokta ortak
doğru üzerindedir.
6.
7.
Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır.
Farklı iki düzlem kesişirse, bu düzlemlerin arakesiti bir
tek doğrudur.
45
CEVAPLI TESTLER
1.
Aşağıdakilerden hangisi kesin olarak bir düzlem belirtmez?
A) Üç nokta
C) İki doğru
E) Bir nokta ile bir doğru
B) İki nokta
D) Kesişen iki doğru
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
2.
Beş farklı nokta en çok kaç doğru belirtir?
A) 12
B) 11
C) 10
47
D) 8
E) 6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
3.
Beş farklı nokta en çok kaç düzlem belirtir?
A) 12
B) 11
C) 10
48
D) 8
E) 6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
4.
\3’de herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta kaç düzlem oluşturur?
A) 25
B) 24
C) 20
49
D) 18
E) 16
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
5.
Aynı düzlemde bulunan 7 farklı doğru düzlemi en az kaç
düzlemsel bölgeye ayırır?
A) 4
B) 5
C) 6
50
D) 7
E) 8
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
6.
Aynı düzlemde bulunan 10 doğru düzlemi en çok kaç bölgeye ayırır?
A) 56
B) 54
C) 52
51
D) 50
E) 48
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
7.
Uzayda birbirine paralel 3 doğru ile herhangi üçü doğrusal
olmayan 4 nokta en çok kaç düzlem belirtir?
A) 16
B) 18
C) 19
52
D) 24
E) 32
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
8.
Adedi sabit bir miktar doğru düzlemi en az 9 bölgeye ayırıyorsa en çok kaç bölgeye ayırır?
A) 35
B) 36
C) 37
53
D) 38
E) 39
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
9.
Adedi sabit bir miktar doğru bir düzlemi en çok 46 bölgeye
ayırıyorsa, bu doğrular bu düzlemi en az kaç bölgeye ayırır?
A) 6
B) 7
C) 8
54
D) 9
E) 10
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
10.
Bir doğru parçasının bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) Bir nokta
B) Doğru
D) Işın
55
C) İki nokta
E) Üçgen
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
11.
Bir doğru ile bu doğru üzerinde bulunmayan dört farklı nokta
en çok kaç düzlem belirtebilir?
A) 8
B) 9
C) 10
56
D) 12
E) 15
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
12.
Uzayda aykırı iki doğru ve bunların dışında bir nokta veriliyor.
Verilen noktadan geçen ve aykırı iki doğrunun her birini
de kesen kaç doğru çizilir?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
57
E) Sonsuz çoklukta
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
13.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Bir doğru üzerinde sonsuz nokta vardır.
B) Bir düzlem üzerinde sonsuz nokta vardır.
C) Paralel iki düzleme dik sonsuz doğru vardır.
D) Bir noktadan geçen sonlu sayıda doğru vardır.
E) Bir düzlem üzerinde sosuz doğru vardır.
58
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
14.
Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A) Bir düzleme içindeki bir P noktasından sadece bir dik doğru çizilebilir.
B) Bir doğruya üzerindeki noktadan 3 dik düzlem çizilebilir.
C) Paralel iki doğrunun ikisini de kesen bir doğru varsa üç
doğru da aynı düzlemdedir.
D) Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir dikme inilir.
E) Bir doğru bir düzleme dik ise, doğruyu içine alan her düzlemde bu düzleme diktir.
59
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
15.
Aşağıdaki koşullardan hangisi, farklı iki doğrunun paralel
olmasına yeter?
A) Birbirine paralel farklı iki düzlemin içinde bulunması.
B) Birbirine dik iki düzlemin içinde bulunmaları.
C) Aynı doğruya dik olmaları.
D) Arakesitlerinin boş küme olması
E) Aynı doğruya paralel olan iki doğru olması.
60
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
16.
Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?
A) Bir düzlemin içinde alınan bir noktadan geçen ve düzleme
dik olan bir tek doğru vardır.
B) Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik
olan bir tek doğru vardır.
C) Aynı düzleme dik olan doğrular birbirine paraleldir.
D) Uzayda bir doğru parçasının, uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi orta dikme doğrusudur.
E) Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de
diktir.
61
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
17.
Uzay ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Herhangi bir doğru üzerinde sınırlı sayıda nokta vardır.
B) Düzlemde bir noktadan sınırlı sayıda doğru geçer.
C) Uzayda bir doğrudan sınırlı sayıda düzlem geçer.
D) Uzayda bir noktadan sınırlı sayıda düzlem belirlenir.
E) Düzlemde bir doğruya paralel sınırsız doğru vardır.
62
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
18.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tane paralel doğru çizilebilir.
B) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek dikme çizilebilir.
C) Düzlemde aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
D) Düzlemde birbirine paralel olan doğrulardan birbirine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.
E) Düzlemde kesişen iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir.
63
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
19.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan yalnız bir dikme çıkılır.
B) Paralel iki doğru bir düzlem belirtir.
C) Farklı iki noktadan bir doğru geçer.
D) Kesişen farklı iki düzlemin bir ortak doğrusu vardır.
E) Yalnız bir ortak noktası olan doğrular kesişen doğrulardır.
64
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
20.
\3’de aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paraleldir.
B) Paralel iki doğrudan birini kesen bir düzlem diğerine paralel olur.
C) Aynı düzlemde olup birbirini kesmeyen doğrulara aykırı
doğrular denir.
D) İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar aynı düzlem üzerindedir.
E) Bir doğru bir düzleme dik değilse doğrunun bu düzlem
üzerindeki dik izdüşümü bir noktadır.
65
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
21.
Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I. Paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de
paraleldir.
II. Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de
diktir.
III. Aynı doğruya dik olan düzlemler birbirine paraleldir.
IV. Uzayda paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerine ya dik, ya da dik durumludur.
A) 0
B) 1
C) 2
66
D) 3
E) 4
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
22.
\3’de aşağıdakilerden hangileri yanlıştır?
I. Üç düzlemin arakesit doğruları en fazla 2 tanedir.
II. Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bir düzlem belirtir.
III. Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz tane dikme
çıkılır.
IV. Düzlem üzerinde olmayan bir doğru düzlem içindeki bir
doğruya dik ise düzlemle arakesiti bir noktadır.
A) I, II, IV
B) I, III, IV
C) I, IV
67
D) I, II E) II, IV
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
23.
\3’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan herhangi bir doğru diğerine de paraleldir.
B) Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine paraleldir.
C) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir.
D) Paralel iki düzlemi üçüncü bir düzlem kesiyor ise oluşan
arakesitler birbirine paraleldir.
E) Paralel iki doğrudan geçerek kesişen iki düzlemin arakesiti, bu doğrulara dik doğrudur.
68
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
24.
Düzlemde bir d doğrusu ve bu doğrudan 5 cm uzaklıkta bir A
noktası veriliyor.
A noktasına 8 cm, d doğrusuna 3 cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) Doğru parçası
B) Çember yayı
C) Üç nokta
D) İki nokta
E) Dört nokta
69
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
25.
\2’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
B) Paralel iki doğruya paralel olmayan üçüncü doğru mutlaka
diğer doğruları keser.
C) Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya
dik olan bir tek doğru vardır.
D) Paralel iki doğrudan birine paralel olan bir doğru diğerine
de paraleldir.
E) Doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya birden fazla
dik doğru çizilebilir.
70
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
26.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Paralel iki doğrudan birini dik kesen düzlem diğerine diktir.
B) Çakışık doğruların ortak en az iki noktası vardır.
C) Paralel iki doğru yalnız bir düzlem belirtir.
D) İki doğrunun ortak bir noktası var ise bu doğruları üzerinde bulunduran bir düzlem vardır.
E) Birbirini kesmeyen iki doğrunun içinde bulundukları düzlemler birbirine daima paraleldir.
71
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
27.
\3’de aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir?
A) Bir doğrunun iki düzlem üzerindeki izdüşümü aynı ise bu
doğru iki düzlemin açıortay düzlemi içindedir.
B) İki noktanın ortak doğruları çakışıktır.
C) Bir şeklin verilen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü kendisiyle aynı ise şekil düzleme paraleldir.
D) iki doğrunun bir düzlemdeki dik izdüşümleri kesişiyorsa
doğrularda kesişiyordur.
E) Bir doğru kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik ise
düzlemlerin içinde olmayabilir.
72
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
28.
A, B, C uzayda verilen doğrular ise aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) A ⊥ B ve B ⊥ C ise A // C’ dir.
B) A ⊥ B ve B ⊥ C ise A ⊥ C’dir.
C) A // B ve B ⊥ C ise A ⊥ C’dir.
D) A // B ve A ⊥ C ise B ∩ C = ∅
E) A // C ve A ⊥ B ise C ∩ B ≠ ∅
73
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
29.
\2’de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A) Aynı doğruya paralel olan iki doğru, birbirine paraleldir.
B) Aynı doğruya dik olan iki doğru, birbirine paraleldir.
C) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru, diğerine de diktir.
D) Aynı düzlemde kesişen iki doğrunun iki tane ortak noktası
vardır.
E) Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, bunlara dik olan doğru parçasının uzunluğudur.
74
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
30.
\3’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sadece 1 tane paralel
düzlem çizilir.
B) İki paralel doğrudan biri kesen doğru diğerini kesmeyebilir.
C) Dört düzlem uzayı en çok 14 bölgeye ayırır.
D) Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir.
E) Farklı iki düzlem kesişirse bu düzlemlerin arakesiti bir
noktadır.
75
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
31.
Bir E düzlemine teğet ve yarıçap uzunlukları 4 cm olan
kürelerin merkezlerinin geometrik yeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) E’ye dik bir düzlem.
B) E’ye paralel bir düzlem.
C) E’ye 4 cm uzaklıkta paralel iki düzlem.
D) E’ye 4 cm uzaklıkta paralel iki doğru.
E) E’ye dik bir doğru.
76
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
32.
\2’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Bir noktadan sonsuz doğru geçer.
B) Düzlemde farklı üç doğru farklı üç noktada kesişebilir.
C) Düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir ya da kesişir.
D) Bir düzlemde üç doğru düzlemi en az 4, en çok 8 bölgeye
ayırır.
E) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir.
77
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
33.
\3’de iki doğru aynı düzlemin elemanı iseler aşağıdakilerden hangisi söylenemez?
A) İki doğru tek noktada kesişebilir.
B) İki doğru dik olabilir.
C) İki doğru aykırı olabilir.
D) İki doğru paralel olabilir.
E) İki doğru düzlemi 4 bölgeye ayırabilir.
78
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
34.
\3’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Paralel iki düzlem uzay belirtir.
B) Kesişen iki düzlem uzay belirtir.
C) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel
doğru çizilebiir.
D) Kesişen iki düzlemin bir ortak noktası varsa, düzlemler
çakışıktır.
E) Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem, diğerine
de paraleldir.
79
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
35.
\3’de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir.
B) Bir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.
C) İki düzlem bir noktada kesişir.
D) Bir doğru düzleme paralel ise düzlemdeki bütün doğrulara
da paraleldir.
E) Aykırı iki doğru bir düzlem içindedir.
80
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
36.
I. Farklı iki düzlemin arakesiti varsa bu bir doğrudur.
II. Bir doğrudan sonsuz tane düzlem geçer.
III. Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa bu iki düz
lem çakışıktır.
Yukarıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D)Yalnız III
E) I ve III
81
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
37.
\3’de verilen üç düzlem için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Üç düzlemin arakesiti yalnız iki nokta olabilir.
B) İki düzlem dikse üçüncüsü her ikisine de dik olabilir.
C) Düzlemlerin arakesiti bir doğru olabilir.
D) Düzlemler üç paralel doğru boyunca kesişebilir.
E) Düzlemlerin arakesiti yalnız bir nokta olabilir.
82
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
38.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem diğerini de keser.
B) Paralel iki düzlemden birin kesen doğru diğerini de keser.
C) Paralel iki düzlemden birinin içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir.
D) Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirttiği düzlem bu düzlemi keser.
E) Uzayda bir noktadan geçen ve verilen bir düzleme paralel
olan bir tek düzlem vardır.
83
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
39.
\3’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru vardır.
B) Doğru ile düzlemin bir ortak noktası varsa doğru düzlem
içindedir.
C) Her doğru üzerinde olmayan en az bir nokta vardır.
D) Düzlemde farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır.
E) Farklı iki doğrunun, ortak noktası bu doğruların kesişme
noktasıdır?
84
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
40.
Bir düzlemdeki farklı doğrularla ilgili ifadelerden hangisi
her zaman yanlıştır?
A) Bir düzlemdeki beş doğru bir noktada kesişebilir.
B) Bir düzlemdeki dört doğru ikişer ikişer kesişebilir.
C) Bir düzlem içindeki dört doğrudan üçü kesişirse, dördüncü
doğru bunlara paralel olabilir.
D) Bir düzlemdeki dört doğru birbirine paralel olabilir.
E) Bir düzlem içindeki doğruların ortak ikişer noktaları varsa
bu doğrular çakışıktır.
85
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
41.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine de
diktir.
B) Bir düzleme paralel olan bir doğru düzlemin içindeki bir
doğruya paraleldir.
C) Paralel düzlemlerin üçüncü bir düzlemle arakesitleri birbirine paraleldir.
D) Bir düzleme paralel bir doğrunun düzlem üzerindeki izdüşümü noktadır.
E) Bir düzleme dik bir doğrunun düzlem üzerindeki izdüşümü
bir noktadır.
86
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
42.
I. Paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir.
II. Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir.
III. 4 paralel doğru ikişer ikişer seçilirse 5 farklı düzlem oluşur.
Yukarıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
87
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
43.
\3’de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A) Bir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar silindirik bir yüzey
oluşturur.
B) Uzayda iki aykırı doğruya bir ortak dikme çizilebilir.
C) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine paraleldir.
D) Aynı düzleme dik olan paralel iki düzlemin üçüncü düzlemle arakesitleri paraleldir.
E) Bir düzleme dik olmayan bir doğrunun bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü yine bir doğrudur.
88
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
44.
\3’de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna paralel olan bir
doğru düzlemlere de ayrı ayrı paraleldir.
B) Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser.
C) Bir düzleme dik olan düzlemler birbirine paraleldir.
D) Bir doğru bir düzlem içindeki bir doğruya dikse düzleme
de diktir.
E) Bir düzleme dik olan d doğrusundan geçen düzlemler diğer
düzleme paraleldirler.
89
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
45.
\3’de aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?
I.
Dik düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine diktir.
II. Paralel iki doğrudan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem belirtir.
III. İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem belirtir.
IV. Bir düzlem bir doğruya dik ise bu doğrudan geçen sonsuz düzleme de diktir.
A) 0
B) 1
C) 2
90
D) 3
E) 4
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
46.
Bir düzlem içindeki farklı üç doğrunun birbirine göre durumu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Üç doğru bir noktada kesişebilir.
B) Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir.
C) İkisi paralel olup, üçüncü doğru bunlardan birine dik ve
diğerine paralel olabilir.
D) Üç doğru birbirine paralel olabilir.
E) Bu üç doğrunun kesim noktaları iki tane olabilir.
91
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
47.
\3’de aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur?
I. Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paralel ise üçüncü
düzlemle arakesitleri de paraleldir.
II. Bir doğru paralel iki doğrudan birini kesiyor ise diğerini
de keser.
III. İki düzlem bir düzleme dik ise birbirlerine paraleldir.
IV. Bir düzlem içindeki bir şeklin başka bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aynı ise iki düzlem birbirine paraleldir.
V. Kesişen iki düzlem aynı düzleme dik ise bunların arakesiti de aynı düzleme diktir.
A) I, II, IV B) I, IV, V C) I,V D) I, II, III
92
E) I, III, V
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
48.
Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I. Dördü aynı düzlemde olmayan dört nokta uzay belirtir.
II. Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir.
III.Bir düzlemle dışındaki bir doğru uzay belirtir.
IV. Farklı iki düzlem uzay belirtir.
V. Paralel iki düzlem uzay belirtir.
A) 1
B) 2
C) 3
93
D) 4
E) 5
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
49.
\3’de aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?
I.
Paralel iki düzlemden birine paralel olan doğru diğerine
de paraleldir.
II. Birbirine dik olan iki düzlemden birini kesen doğru diğer
düzleme diktir.
III. Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser.
A) I
B) II
C) I − III
94
D) III
E) II − III
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
50.
\3’deki Q ve P düzlemleri için hangisi yanlıştır?
A) Q ve P’nin en az bir ortak noktaları varsa bu iki düzlemin
arakesiti bir doğrudur?
B) Q ve P’nin doğrusal olmayan üç tane ortak noktaları varsa
bu iki düzlemin başka ortak noktaları yoktur.
C) Q ⊂ P ise ancak ve ancak Q = P ’dir.
D) Q ve P farklı düzlemler ise (Q ∩ P) kümesinin sonsuz çoklukta elemanı olabilir.
E) Q ve P’nin doğrusal üç tane ortak noktaları varsa bu iki
düzlem eşit olmayabilir.
95
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
51.
Ölçek açısı 45o olan iki düzlemden birinin içinde bir nokta
alınıp, diğer düzleme dikme çiziliyor.
Noktanın düzleme uzaklığı 4 birim olduğuna göre noktanın arakesit doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 7 2
B) 6 2
C) 5 2
96
D) 4 2
E) 3 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
52.
Ölçek açısı 45o olan iki düzlemden birinde 6 br yarıçaplı dairenin diğer düzlem üzerindeki izdüşümünün alanı kaç π
birimkaredir?
A) 14 2
B) 16 2
C) 18 2
97
D) 20 2
E) 22 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
53.
P ve E düzlemleri arasındaki ölçek açı 30o dir.
P düzlemi içinde alınan 8 cm çaplı bir dairenin E düzlemi
üzerindeki izdüşümünün alanı kaç cm2’dir?
A) 4π
B) 8π
C) 12π
D) 8 3π
98
E) 16 3π
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
54.
Bir düzlemle 30o’lik açı yapan 10 birim uzunluğundaki bir
doğru parçasının bu düzlem üzerindeki dik izdüşümünün
uzunluğu kaç birimdir?
A) 5 3
B) 4 3
C) 3 3
99
D) 2 3
E)
3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
55.
P ve E düzlemleri arasındaki açı 30o’dir.
P düzleminde bulunan ABCD dikdörtgeninin E düzlemi
üzerindeki izdüşüm alanı 30 birimkare olduğuna göre
Alan(ABCD) kaç birimkaredir?
A) 20
B) 20 3
C) 30
100
D) 30 3
E) 60
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
56.
Dik kenarı 3 2 br olan ABC ikizkenar dik üçgeninde A dik
köşesinden ABC düzlemine çizilen dikme üzerinde |AP| = 4 br
olan P noktası alınıyor.
PBC üçgeninin alanı kaç cm2’dir?
A) 15
B) 18
C) 28
101
D)30
E) 36
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
57.
ABCD dikdörtgeninin AB’den geçen bir düzlem üzerindeki
dik izdüşümü ABC′D′ karesidir.
2
·A(ABC′D′)
A(ABCD) =
3
ise iki düzlem arasındaki açı kaç derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
102
D) 60
E) 75
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
58.
Kenar uzunluğu 6 3 br olan ABC eşkenar üçgeni ve üçgen
düzlemi dışında bir O noktası alınıyor.
G üçgenin ağırlık merkezi olup, [OG] ⊥ (ABC) ve |OG| = 8
br ise |OA| kaç birimdir?
A) 8
B) 9
C) 10
103
D) 12
E) 13
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
59.
Dik köşesi A ve dik kenarları 3 2 cm olan ABC ikiz kenar
dik üçgeninin düzlemine aynı tarafta B ve C köşelerine dikler
çiziliyor.
|BB′| = |CC′| = a alındığında AB′C′ üçgeni eşkenar ise a
kaç cm olur?
A) 9
B) 8
C) 6 2
104
D) 6
E) 3 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
60.
Bir ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin O merkezinden
üçgen düzlemine bir OK dikmesi çiziliyor.
Üçgenin bir kenarı 10 3 cm ve |OK| = 69 cm olduğuna
göre |KA| kaç cm’dir?
A) 18
B) 16
C) 15
105
D) 13
E) 12
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
61.
Bir E düzlemi ve E düzlemine 15 cm uzakta bir P noktası alınıyor. P noktasının dikme ayağı O merkez olmak üzere düzlemde O merkezli 9 cm yarıçaplı bir çember çiziliyor.
Çemberin üzerindeki bir A noktasına |AB| = 3 2 br olan
[AB] teğeti çizilirse |PB| kaç br olur?
A) 15
B) 16
C) 18
106
D) 20
E) 24
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
62.
|AB| = |AC| = 6 br olan ABC ikizkenar üçgeninde m(ABC) =
120° dir. A noktasında ABC düzlemine çıkılan dikme üzerinde
|AP| = x olmak üzere P noktası alınıyor.
m(CPB) = 90° ise x kaçtır?
A) 3
B) 3 2
C) 4
107
D) 4 2
E) 6
Uzay Geometri
63.
Yandaki şekilde
(E) // (F) ve
d1 ∈ (E)
d2 ∈ (F)
olmak üzere aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
TMOZ-OZEL
d1
E
F
d2
A) d1 doğrusu (F)’ye paraleldir.
B) d2 doğrusu (E)’ye paraleldir.
C) (E) ve (F)’nin ortak noktası yoktur.
D) d1 ve d2 doğruları paralel olabilir.
E) d1 ve d2 doğruları daima aykırıdır.
108
Mustafa YAĞCI
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
64.
[AB] doğru parçası (E) düzlemi tarafından |AC| : |BC| = 3 : 5 olacak şekilde C noktasında kesilmektedir. Doğru
ile düzlem arasındaki açı 45o’dir.
[AC]’nin düzlem üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu 3 2 br ise
[BC] kaç birimdir?
A) 6
B) 8
C) 10
109
Mustafa YAĞCI
A
C
E
B
D) 12
E) 16
Uzay Geometri
65.
Yandaki şekilde
[BC]’nin (E) üzerindeki izdüşüm uzunluğu 5 br’dir.
|CB| = |BL| = 10 br
ise |AC| kaç br’dir?
A) 20
B) 30
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C
B
K
L
A
d
E
C) 35
110
D) 40
E) 45
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
P
66.
Şekilde ABCD kare,
[PA] ⊥ (ABCD)
olduğuna göre bu şekilde kaç
tane dik üçgen vardır?
B
A) 1
B) 2
C) 3
111
D
A
C
D) 4
E) 5
Uzay Geometri
P
67.
Yanda verilen üç boyutlu
şekilde kaç tane iki düzlemli
açı vardır?
A) 20
B) 16
D) 12
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 14
E) 10
112
D
A
B
C
Uzay Geometri
68.
Şekilde (ABC) ⊂ E
[OA] ⊥ E
|AB| = |AC|
|BC|= 6 2 br.
PBC üçgeninin eşkenar olması için |PA|
kaç br olmalıdır?
A) 3
B) 3 2
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
C
A
E
C) 3 3
113
6 2
B
D) 3 5
E) 6
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
69.
Şekilde [AB] ⊥ F
[CD] ⊥ E
|AB| = 3 cm
|BC| = 6 cm
|CD| = 5 cm
olduğuna göre düzlemler üzerinde
hareket eden bir karınca A’dan
D’ye en az kaç cm yol alır?
A) 10
B) 11
C) 12
114
F
E
C
5
D
6
A
3
D) 13
B
E) 14
Uzay Geometri
70.
Şekilde, [AB] ⊥ F ve [DC] ⊥ E
|AB| = 2 cm
|BC| = 5 cm
|CD| = 3 cm
olduğuna göre E ve F düzlemleri
çakışık değilse, düzlemler üzerinde
hareket etmek koşuluyla A ile B
arası en kısa kaç cm’dir?
A) 13
B) 15
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 17
115
F
E
C
3
D
5
A
2
D) 18
B
E) 20
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
71.
d doğrusu E ve F düzlemlerinin arakesit doğrusudur. Düzlemlerin ölçek
açısı 120o’dir.
[AB] ⊥ d,
[BC] ⊥ d,
|AB| = 3 cm,
|BC| = 5 cm
Yukarıda verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi |AB|’nin değeridir?
A) 3
B) 4
C) 5
116
Mustafa YAĞCI
E
A
F
120o
C
3
B
5
d
D) 6
E) 7
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
P
72.
[PA] ⊥ (E)
[CB] ⊥ [AB]
B
|CB| = 3 cm
|PC| = 6 cm
E C
|PA| = 3 2 cm
Yukarıda verilenlere göre |AB| kaç cm dir?
A) 2
B) 3
C) 3 2
117
D) 3 3
A
E) 4 2
Uzay Geometri
73.
Şekildeki düzlemde;
[AB] ⊥ (E)
[DC] ⊥ (E)
|AB| = 6 br
|CD| = 9 br
|BC| = 8 br
olduğuna göre
|AD| kaç br’dir?
A) 13
B) 15
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
A
C
P
B
E
D
C) 17
118
D) 19
E) 21
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
74.
Şekilde [PA] ⊥ (E)
n ) = 29o
m( PBA
P
n ) = 31o
m( PCA
n ) = 58o
m( PDA
|PB|, |PC| ve |PD| için
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
o
31
29o
B
E
A) |PB| > |PC| > |PD|
C) |PD| > |PC| > |PB|
E) |PC| > |PB| > |PD|
58o
A
D
C
B) |PB| > |PD| > |PC|
D) |PD| > |PB| > |PC|
119
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
75.
Şekilde; [PA] ⊥ (E),
|PD| < |PC| < |PB|
olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan
hangisi doğrudur?
A) |AC| < |AB| < |AD|
B) |AB| < |AC| < |AD|
C) |AD| < |AB| < |AC|
D) |AB| < |AD| < |AC|
E) |AD| < |AC| < |AB|
P
A
B
E
120
C
D
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
76.
P
Şekildeki üç farklı pa13
x
ralelkenar düzlem parM
L
çasının PA kenarları
ortaktır.
A
|PM| = 13 cm
B
|PK| = 6 cm
C
E
olduğuna göre
|PL| = x değerinin
alabileceği tamsayı değerleri toplamı kaçtır?
A) 76
B) 70
C) 60
121
D) 57
6
K
D
E) 51
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
77.
Şekilde [PA] ⊥ (E)
[CA] ⊥ d
|PB| = 13 br
|PA| = 12 br
|PC| = 200 br
olduğuna göre |BC|
kaç birimdir?
A) 14
B) 13
P
200
13
12
d
B
E
C) 12
122
C
A
D) 11
E) 9
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
78.
Şekilde
[PA] ⊥ (E)
d
P
C
[BA] ⊥ [AC]
Aşağıdakilerden kaç
tanesi doğrudur?
IV. [PA] ⊥ [BA]
B) 2
A
B
k
E
II. PB = 3 BA
I. |PB| = |AB|
A) 1
Mustafa YAĞCI
III. [AP] ⊥ [PC]
V. |BA| = 2|PB|
C) 3
123
D) 4
E) 5
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
79.
Şekilde
[AB] ⊥ (E)
[BD] ⊥ [DC]
n ) = 30o
m( BAC
P
30o
n ) = 60o
m( DBC
|DC| = 2 3 br
olduğuna göre
|AD| kaç br’dir?
A) 8
B) 6
A
E
C) 3 13
124
C
60o
B
D) 2 13
E) 13
Uzay Geometri
80.
Şekildeki (E) düzlemi [AB]’nin orta
dikme düzlemidir.
[BP] ∩ (E) = D ve
|AD| = 4 br
|DP| = 6 br
olduğuna göre
[BP] kaç br’dir?
A) 10
B) 12
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
A
C
P
D
E
B
C) 13
125
D) 14
E) 17
Uzay Geometri
81.
ABC üçgeninde
E düzlemi [AB]’nin
orta dikme düzlemidir.
[DB] ⊥ [AB]
|AD| = 34 br,
|AB| = 30 br
olduğuna göre
|PC| kaç br’dir?
A) 8
B) 9
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
A
P
C
E
D
B
C) 10
D) 12
126
E) 15
Uzay Geometri
82.
[AP] ⊥ E, d ∈ E ve
[PH] ⊥ d
|CH| = 5 cm
|PA| = 10 cm
|PH| = 2 61 cm
Yukarıda verilenlere göre |AC| kaç cm
dir?
A) 18
B) 16
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
d
A
E
C) 15
127
D) 14
H
C
E) 13
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
83.
Şekilde bir kenarı
N
K P
4 2 m olan kare
1
şeklindeki bahçeD
A 5
nin tam ortasına 5
G
m uzunluğunda bir
4 2
M
L
direk ve köşelerine
de 1 m uzunluğunB
C
da dört direk dikiliyor.
Direklere şekildeki gibi gerilen elektrik kablosu kaç metredir?
A) 20
B) 24
C) 28
128
D) 32
E) 36
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
84.
P
ABC eşkenar üçgeninin G
ağırlık merkezinden üçgen
A
düzlemine dik PG dikmesi çiziliyor.
G
|PG| = 8 br
B
|AB| = 6 3 br
olduğuna göre |PC| + |PB| + |PA| toplamı kaçtır?
A) 10
B) 20
C) 30
129
D) 40
C
E) 60
Uzay Geometri
85.
Şekildeki ABC eşkenar
üçgeninde
CD ⊥ AB
|CD| = 2 3 cm
|BD| = 3 cm ve
[PA] ⊥ (ABC)
olduğuna göre
|CH| kaç cm dir?
A) 10
B) 5
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
D
E
B
C) 5 3
130
A
C
D) 4
E) 3 3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
86.
A
Şekilde ABCD bir
karedir.
P
[PQ] ⊥ (ABCD)
4
|BQ| = |QC|
E
B
C
|AB| = 4 2 birim
Q
|PQ| = 4 birim
olduğuna göre Alan(APD) kaç birimkaredir?
A) 4 6
B) 16
C) 32
131
D) 8 6
D
4 2
E) 36
Uzay Geometri
87.
Şekilde;
|AB| = |AC| = 10 br
|BC| = 12 br
DBEC kare
ise A noktasının
E köşesine uzaklığı kaç cm’dir?
A)
3
2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
3
A
10
D
C
10
12
60 o
E
B
C)
3 3
2
132
D) 2 3
E)
5 3
2
Uzay Geometri
88.
Şekilde ABC eşkenar üçgeninin (E)
düzlemi üzerindeki
dik izdüşümü KBC
üçgenidir.
|BL| = |LC|,
|AL| = 2 3 cm
m( n
ALK ) = 30o
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
A
C
30o
K
L
E
F
B
olduğuna göre KBC üçgeninin alanı kaç cm2’dir?
A) 4 3
B) 4 2
C) 3 2
133
D) 3 3
E) 2 3
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
A
89.
ABC ikizkenar üçgeninde
10
K
|AB| = |AC| = 10 cm
|BC| = 12 cm
E
|AK| = 6 cm
F
[AK] ⊥ E
olduğuna göre Çevre(KBC) kaç cm’dir?
A) 20
B) 24
C) 28
134
10
D) 32
C
12
B
E) 36
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
90.
A
ABC eşkenar üçD
geninin A köşesinin E düzlemi
üzerindeki dik izK
düşümü K’dir.
E
[BK] ⊥ [KC]
F
|AC| = 6 2 br
olduğuna göre |AK| kaç birimdir?
A) 3
B) 2 3
C) 6
135
6 2
C
B
D) 6 2
E) 6 3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
91.
A
Şekildeki ABC
üçgeni bir kenarı
D
C
12 cm olan bir eşkenar üçgendir.
K
12
ABC üçgen düzlemiyle (E) düz60 o
E
lemi arasındaki
F
B
açı 60o’dir.
ABC üçgeninin dik izdüşümü KBC üçgeni olduğuna göre
KBC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 12 + 6 13
B) 18
C) 12 + 2 13
136
D) 20 13 E) 38
Uzay Geometri
92.
ABC eşkenar üçgeninin E düzlemi
üzerindeki dik izdüşümü bir dik üçgendir.
|AK| = 12 cm olduğuna göre |KB|
kaç cm dir?
F
A) 12
C) 13 2
B) 12 2
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
A
D
C
K
E
B
137
D) 16 2
E) 18 2
Uzay Geometri
93.
[PO], ABCD eşkenar dörtgen düzlemine diktir.
|PB| = |AB| = 4 cm
n ) = 30o
m( DBA
P
A
B) 8
D
O
olduğuna göre
|PA| kaç cm’dir?
A) 12
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
B
C) 4 3
138
C
D) 4 2
E) 2 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
94.
ABCD dikdörtgen
düzlemi ile DEA
A
ikizkenar üçgen
düzlemi birbirine
diktir.
|AD| = 10 cm
E
B
|AB| = 39 cm
A(DEA) = 30 cm2
olduğuna göre |EC| kaç cm dir?
A) 16
B) 12
C) 10
139
E
D
C
D) 8
E) 4
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
95.
Şekilde tepe noktası P olan
PBC ikizkenar üçgen düzlemi,
ABC eşkenar üçgen düzlemi ile
30o’lik açı yapmaktadır.
|PC| = 6 2 cm ve P noktasından inilen dikme eşkenar üçgenin yüksekliğinin ortasından
geçmektedir.
Buna göre eşkenar üçgenin
çevresi kaç cm dir?
A) 30
B) 32
C) 36
140
Mustafa YAĞCI
P
C
A
B
D) 4
E) 48
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
96.
Şekildeki kare düzA
D
lem parçaları kesişiyorlar.
P
K
P : orta nokta
G L
3
4 2
G : ağırlık merkezi
E
|BC| = 4 2 cm
B
C
|PG| = 3 cm
olduğuna göre K ile B arasındaki uzaklık kaç cm’dir?
A) 1
B)
2
C)
3
141
D) 2
E)
5
Uzay Geometri
97.
ABCD dikdörtgen düzlemi, CBE
ikizkenar dik üçgen düzlemine diktir.
|BE| = |CB| = 6 br
|EF| = |FB|
Alan(AFD) = 15 br2
olduğuna göre |DC| kaçtır?
A) 3
D) 6
B) 4
E) 8
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 5
142
A
B
D
E
F
C
Uzay Geometri
98.
ABC dik üçgeni E
düzlemi ile 60o’lik açı
yapmaktadır.
|BC| = 6 cm,
m( lA) = 30o
A
B
ise ABC üçgeninin
dik izdüşümünün
alanı nedir?
E C
B) 9 3
C) 12 3
A) 8 3
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
143
D) 16 3
K
E) 18 3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
99.
|PA| = |PB| olan PAB
A
P
ikizkenar üçgeninin E
T
düzlemi üzerine dik
K
izdüşümü KAB eşkeB
nar üçgenidir.
E
[PT] ⊥ [AB], |PK| = 4
cm, |PT| = 8 cm ise KAB üçgeninin çevresi kaç cm’dir?
A) 12
B) 15
C) 18
144
D) 21
E) 24
Uzay Geometri
100.
Şekilde ABCD
bir kenarı 12 cm
olan bir kare,
(BEC) üçgeninin
taban düzlemi
ile ölçek açısı
60o olan bir eşkenar üçgendir.
G noktası EBC
B
üçgeninin ağırlık merkezi ise
Alan(ADG) kaç cm2’dir?
A) 3 21
B) 6 21
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
A
D
G
12
60 o
C
C) 12 21
145
D) 5 10
E) 6 10
Uzay Geometri
101.
Şekildeki ABCD
düzlemi bir karedir. ACE düzlemi
ile ABCD düzlemi 60o’lik açı
yapmaktadır.
|EC| = |AE| =
B
|BC| = 6 2 br
ise |ED| kaç br’dir?
A) 2 5
B) 3 2
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
E
6 2
A
D
6 2
6 2
C
C) 4 2
146
D) 5
E) 6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
A
102.
E ve F düzlemleri
F
arasındaki ölçek açı K
L
30o’dir.
F düzlemindeki yaE
rıçapı 6 cm olan
B
C
dairenin E düzlemine dik izdüşümünün alanı kaç π cm2’dir?
A) 18 3
B)
18 3
2
C) 18 2
147
D)
18 3
5
D
o
30
E)
18 2
5
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
103.
Şekildeki ABCD dikd
dörtgeni P düzlemi
D
üzerinde ve [AB] //
A
C
d’dir.
B
ABCD dikdörtgenin
(E) üzerindeki izdüα
şümü bir karedir.
|AD| = 2|AB| = 8 br
ise düzlemler arasındaki açı kaç derecedir?
A) 75
B) 60
C) 45
148
D) 30
F
E
E) 15
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
104.
Şekildeki (F) ve (E)
düzlemleri arasında
d
45o’lik açı vardır. (F)
A
üzerindeki ABCD eşC
kenar dörtgeninin (E)
B
üzerindeki dik izdüşümü A′B′C′D′ kare45ο
sidir. Karenin bir
kenarı 6 cm ise eşkenar dörtgenin bir kenarı kaç cm’dir?
A) 2 6
B) 3 6
C) 4 6
149
D) 5 6
F
D
E
E) 8
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
105.
d⊥E
|PA| = 15 cm
|AB| = 9 cm
|PC| = 153 cm
Yukarıda verilenlere
göre Alan(PBC) kaç
cm2 dir?
A) 18
B) 20
Mustafa YAĞCI
P
C
A
E
B
d
C) 24
150
D) 26
E) 28
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
106.
P
[PA] ⊥ (E)
Şekilde, O merkezli
[AB] çaplı çember E
B
A
düzlemindedir.
Dairenin alanı 25π
C
cm2 |CD| = 6 cm
E
|PA| = 6 cm
Yukarıda verilenlere göre Alan(PCD) kaç cm2’dir?
A) 42
B) 36
C) 32
151
D) 30
E) 28
Uzay Geometri
107.
(E) düzlemine [AB]
çaplı çember çizilmiştir.
[PA] ⊥ E
|AB| = 2 26 cm
|PA| = |AC| = 5 cm
olduğuna göre
Alan(PCB) kaç cm2 dir?
A) 24 2
B) 20 2
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
5
A
B
5
E
C) 19 2
152
D) 16 2
C
E) 12 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
108.
P düzleminin içinde bulunan O merkezli çember, d doğrusu
ile A ve B’de kesişmektedir.
[DO] ⊥ P,
P
[OC] ⊥ d,
|AB| = 8 br,
|BD| = 5 br
d
B
|OC| = 5 br
O
olduğuna göre
A
|OD| kaç br’dir?
E
A) 2
B)
5
C)
7
153
D) 2 2
E) 3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
P
109.
P düzlemi içinde O
merkezli bir çemberin
merkezinden düzleme
B
O
A
çıkılan dikme üzerinde
|OP| = 8 br olan bir P
E
noktası alınıyor.
AB çembere teğet,
|AB| = 3 br, |PB| = 10 br
olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir?
A) 3 2
B) 4
C) 3 3
154
D) 2 3
E) 5
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
110.
B
E düzleminde;
O merkezli çemberin
A
yarıçapı 3,5 br dir.
O
[AB] ⊥ [OA]
[OA] = 12,5 br
E
|AB| = 12 br
olduğuna göre B noktasını çember üzerindeki noktalara birleştiren doğru parçalarından en uzun ve en kısa olanlarının toplamı kaçtır?
A) 20
B) 35
C) 40
155
D) 45
E) 50
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
111.
A
Şekilde
A ∉ (E)
9
B ∈ (E)
P ∈ (E)
B
C
[AB] ⊥ (E)
5
13
P
AC ⊥ d
E
|BP| = 13 birim
|PC| = 5 birim
|AC| = 15 birim
olduğuna göre Alan(ABC) kaç birimkaredir?
A) 60
B) 56
C) 54
156
D) 52
d
E) 50
Uzay Geometri
112.
Şekilde
[PH] ⊥ (E)
[HK] ⊥ [BK]
|PB| = 13 br
n ) = 30o
m( HPK
|HK| = 6 br
olduğuna göre
A(PBK) kaç br2’dir?
A) 20
B) 25
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
13
B
H
E
C) 30
157
6
K
D) 35
E) 39
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
113.
Şekildeki E düzlemiB
nin içinde bir A noktası dışında bir B nokX
tası veriliyor.
K
Düzlem içinde A’dan
B'
geçen doğrulardan biA
ri AX olsun.
E
B’den AX’e çizilen
dik doğrunun AX’i kestiği nokta K, B’nin izdüşüm noktası
B′ olduğuna göre K noktalarının geometrik yeri nedir?
A) [AB] çaplı çember
C) [AB′] çaplı çember
E) [BB′] çaplı çember
B) [AK] çaplı çember
D) AX doğrusu
158
DİKDÖRTGENLER PRİZMASI
114.
Eni 3!, boyu 5!, yüksekliği 7! cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm3 tür?
A) 105
B) 8!
C) 9!
D) 10!
E) 105!
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
115.
Bir dikdörtgenleri prizmasında bulunan köşe adedi a, ayrıt
adedi b, yüzey adedi c olsun.
Buna göre a + b + c toplamı kaça eşittir?
A) 22
B) 24
C) 26
160
D) 27
E) 28
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
116.
Bir dikdörtgenler prizmasının yüzey köşegenlerinin adedi, cisim köşegenlerinin adedinden kaç fazladır?
A) 10
B) 8
C) 6
161
D) 4
E) 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
117.
Eni ile boyunun uzunlukları 3 ve 4 br olan bir dikdörtgenler
prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu yüksekliğin uzunluğundan 1 birim fazlaysa, bu prizmanın hacmi kaç br3 tür?
A) 144
B) 121
C) 108
162
D) 96
E) 72
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
118.
Aşağıdakilerden hangisi farklı ayrıtlarının uzunlukları a, b, ve
c birim olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanıyla özdeştir?
A) (a + b + c)2 − a2 − b2 − c2
C) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
E) (a + b + c)2 − a2 + b2 + c2
B) (a + b + c)2 − a2b2c2
D) (a + b + c)2 + a2b2c2
163
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
119.
Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 2, 1 ve 3 sayılarıyla
orantılıdır.
Bu prizmanın tüm alanı 88 br2 olduğuna göre cisim köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?
A) 2 14
B) 2 15
C) 2 17
164
D) 2 19
E) 2 21
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
120.
Farklı ayrıtlarının toplamı 6 cm, cisim köşegeni 3 cm olan bir
dikdörtgenler prizmasının toplam alanı kaç cm2 dir?
A) 54
B) 45
C) 36
165
D) 30
E) 27
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
121.
36 cm uzunluğunda bir telden yüzeyleri olmayan ve içi boş
bir dikdörtgenler prizması yapılıyor.
Bu prizmanın içi dolu olsaydı hacmi en çok kaç cm3 olabilirdi?
A) 216
B) 125
C) 64
166
D) 27
E) 8
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
122.
Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları 12
br2, 15 br2, 20 br2 ise bu prizmanın hacmi kaç br3 tür?
A) 36
B) 45
C) 50
167
D) 60
E) 64
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
123.
Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a, b ve c birimdir.
1 1 1 3
+ + =
a b c 4
ve prizmanın tüm alanı 864 br2 olduğuna göre prizmanın
hacmi kaç br3 tür?
A) 576
B) 570
C) 564
168
D) 558
E) 552
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
124.
Eni 3 cm, boyu 4 cm ve hacmi 60 cm3 olan bir dikdörtgenler
prizmasının iç bölgesinde alınan herhangi bir noktanın alt ve
üst yüzeylere olan uzaklıklarının toplamı kaç cm dir?
A) 3
B) 4
C) 5
169
D) 6
E) 8
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
125.
Farklı ayrıtları 10, 15, 20 br olan dikdörtgenler prizması şeklinde içi dolu bir cisim hiç parça artmayacak şekilde en çok
kaç eş kübe ayrılabilir?
A) 64
B) 24
C) 20
170
D) 12
E) 6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
126.
Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 kat arttırılırsa
toplam alanı kaç kat artar?
A) 2
B) 3
C) 4
171
D) 8
E) 9
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
127.
Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 kat arttırılırsa
hacmi kaç katına çıkar?
A) 3
B) 8
C) 9
172
D) 26
E) 27
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
128.
Bir dikdörtgenler prizmasının tüm köşeleri kaç farklı dikdörtgen belirtirler?
A) 6
B) 8
C) 10
173
D) 12
E) 16
Uzay Geometri
129.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
|AB| = 9 birim
|BF| = 12 birim
|FK| = 16 birim
|AP| = |PD|
olduğuna göre |FP| uzunluğu kaç birimdir?
A) 13
B) 14
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
9
B
P
D
C
12
E
F
16
C) 15
174
A
D) 16
L
K
E) 17
Uzay Geometri
130.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
|LK| = 2 birim
|KF| = 4 birim
|FB| = 3 birim
|BP| = |PA|
olduğuna göre |PK| kaç birimdir?
A) 5
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
26
P
B
3
F
C) 3 3
175
A
D
C
E
4
D) 2 7
L
K
2
E) 6
Uzay Geometri
131.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
|AP| = |PD| = 4 birim
|DL| = 3 birim
|LK| = 4 birim
|FQ| =6 birim
olduğuna göre |PQ| kaç birimdir?
A) 5
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
26
C) 3 3
176
A
4
B
P
4
C
3
E
F
6
D) 2 7
D
L
Q
K
E)
4
29
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
132.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
|BF| = 10 birim
|FK| = 11 birim
|KL| = 23 birim
|LP| = |PD|
olduğuna göre |FP| kaç birimdir?
A) 12
B) 13
C) 15
177
Mustafa YAĞCI
A
D
B
C
10
E
F
11
D) 17
P
L
K
23
E) 21
Uzay Geometri
133.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
|AB| = 3 birim
|BF| = 4 birim
|FK| = 12 birim
7·|EP| = 5·|PL|
olduğuna göre |CP| kaç birimdir?
A)
74
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
61
3
D
B
C
4
E
F
12
C) 5 2
178
A
L
P
D) 7
K
E) 6
Uzay Geometri
134.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
|AB| = 4 birim
|BF| = 5 birim
|FK| = 6 birim
|FP| = |PE|
olduğuna göre |CP| kaç birimdir?
A)
65
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
61
4
D
B
5
F
C) 5 2
179
A
C
P
L
E
6
K
D) 7
E) 6
Uzay Geometri
135.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
FP ⊥ BL
|BF| = 5 birim
|FK| = 8 birim
|KL| = 6 birim
olduğuna göre |FP| kaç birimdir?
A)
5
B) 10
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 4
180
A
D
B
5
C
P
E
F
L
K
D) 2 5
E)
6
21
Uzay Geometri
136.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası prizmanın
ağırlık merkezidir.
Buna göre |PE| = a, |PK| = b
ve |PB| = c değerleri hangi
şıkta doğru sıralanmıştır?
A) a < b < c
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
A
B
D
P
C
E
F
L
K
B) a < c < b
C) a < b = c
D) a = b < c
E) a = b = c
181
Uzay Geometri
137.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası [AD] üzerindedir.
|AB| = 3 cm
|BF| = 4 cm
|FK| = 6 cm
olduğuna göre Alan(KPF)
kaç cm2 dir?
A) 15
B) 18
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 24
182
3
A
P
B
D
C
4
E
F
6
D) 30
L
K
E) 36
Uzay Geometri
138.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası [KL] üzerinde
hareketli bir noktadır.
|AB| = 2 cm
|BF| = 3 cm
|FK| = 4 cm
olduğuna göre Alan(ABP)
kaç cm2 dir?
A) 4
B) 5
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 6
183
B
3
2
A
D
C
E
P
F
4
D) 8
L
K
E) 10
Uzay Geometri
139.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası EFKL dikdörtgeninin ağırlık merkezidir.
|AP| = 5 br ve |AD| = 6 br ise
taralı APD üçgensel bölgesinin alanı kaç br2 dir?
A) 36
B) 30
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 24
184
A
D
C
B
E
L
P
F
K
D) 12
E) 11
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
140.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında taralı üçgenin bir köşesi
EK ve FL köşegenlerinin kesim noktasıdır.
|DL| = |LK| = 6 cm
|FK| = 8 cm
olduğuna göre taralı üçgensel
bölgenin alanı kaç cm2 dir?
A) 15
B) 18
C) 24
185
Mustafa YAĞCI
A
B
D
C
6
E
F
8
D) 30
L
K
6
E) 48
Uzay Geometri
141.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında P ve Q alt ve üst yüzeylerin ağırlık merkezleridir.
|BF| = 18 cm
|BA| = 10 cm
|AD| = 24 cm
olduğuna göre taralı üçgenin alanı kaç cm2 dir?
A) 112
B) 117
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 121
186
10
P
B
18
24
A
E
F
D
C
L
Q
K
D) 124
E) 130
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
142.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası ABFE, Q noktası da ABCD dörtgeninin ağırlık merkezleridir.
Eğer prizmanın tüm ayrıtları
eşit uzunluktaysa PQB üçgeni aşağıdakilerden hangisidir?
A
B
C
P
F
D
Q
E
L
K
A) Dik üçgen
B) Eşkenar üçgen
C) Geniş açılı üçgen
D) 30º-60º-90º üçgeni E) 3-4-5 üçgeni
187
Uzay Geometri
143.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
|AB| = 3 birim
|BF| = 4 birim
|FK| = 6 birim
|DP| = |PL|
olduğuna göre Alan(PAF)
kaç birimkaredir?
A) 14
B) 3 26
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 15
188
3
A
B
4
F
D
C
P
E
L
6
D) 4 21
K
E) 5 5
Uzay Geometri
A
144.
Yandaki dikdörtgenler prizmasının içinde bulunan taralı
dikdörtgen piramidin hacmi,
dikdörtgenler prizmasının
hacminin kaçta kaçıdır?
A)
1
2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
1
3
C)
D
B
C
E
F
1
4
189
L
K
D)
2
3
E)
3
5
Uzay Geometri
145.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası ABCD yüzeyi
üzerindedir.
Buna göre taralı üçgen piramidin hacmi dikdörtgenler
prizmasının hacminin kaçta
kaçıdır?
A)
1
2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
1
3
C)
1
4
190
A
B
P
D
C
E
F
L
K
D)
1
5
E)
1
6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
146.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında P, Q, R, S noktaları bulundukları ayrıtların orta noktaları olup, T noktası ABCD
yüzeyindedir.
Buna göre taralı piramidin
hacmi prizmanın hacminin
kaçta kaçıdır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
B
Mustafa YAĞCI
A
T
R
S
P
Q
E
F
1
4
191
D
C
L
K
D)
1
6
E)
1
8
Uzay Geometri
147.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında
|DL| = 9 birim
|LK| = 12 birim
|KF| = 16 birim
olduğuna göre cos LFA kaça
eşittir?
A)
3
5
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
4
5
C)
7
25
192
A
D
B
C
9
E
F
16
D)
12
15
L
K
12
E)
13
25
Uzay Geometri
148.
Boyutları a, b, c birim olan
yandaki dikdörtgenler prizmasının içinde rastgele bir P noktası alınıyor.
Bu P noktasının küpün tüm
yüzeylerine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir?
A) a·b·c
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
A
a
B
b
F
D
C
P
E
c
L
K
B) a + b + c
C) 2a + 2b + 2c
E) ab + ac + bc
D) a2 + b2 + c2
193
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
149.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında, P noktası [AD] üzerinde
hareketli bir noktadır.
|BF| = 6 birim
|FK| = 12 birim
|KL| = 2 7 birim
olduğuna göre |FP| + |PK|
toplamı en az kaç olabilir?
A) 16
B) 18
C) 20
194
Mustafa YAĞCI
A
P
B
6
F
D
C
E
12
D) 22
L
K
2 7
E) 24
Uzay Geometri
150.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında, P noktası [CK] üzerinde
hareketli bir noktadır.
|FK| = 8 birim
|KL| = 4 birim
|LD| = 5 birim
olduğuna göre |FP| + |PD|
toplamı en az kaç olabilir?
A) 10
B) 11
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 12
195
A
B
C
E
F
D
8
D) 13
5
P
K
L
4
E) 17
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
151.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında Pε[CK] ve Qε[DL]
veriliyor.
|BF| = 11 birim
|FK| = 21 birim
|KL| = 18 birim
ise |FP| + |PQ| + |QA| toplamı en az kaç olabilir?
A) 60
B) 61
C) 62
196
Mustafa YAĞCI
A
D
B
11
F
C
E
21
D) 63
Q
L
P
K
18
E) 64
Uzay Geometri
152.
Yandaki dikdörtgenler prizmasında Pε[BC], Qε[AD] ve
Rε[EL] veriliyor.
|AB| = 4 birim
|BF| = 6 birim
|FK| = 15 birim
olduğuna göre |FP| + |PQ| +
|QR| + |RK| toplamı en az kaç
olabilir?
A) 21
B) 22
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 23
197
A
4
B
Q
D
C
P
6
E
F
15
D) 24
R
L
K
E) 25
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
KÜP
153.
Aşağıdakilerden hangisi bir ayrıtının uzunluğu tamsayı
olan bir küpün hacmi olamaz?
A) 1331
B) 1000
C) 729
198
D) 512
E) 432
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
154.
Bir küpün yüzey köşegenin boyu bir ayrıtının boyunun kaç
katıdır?
A)
2
B)
3
C) 2
199
D)
5
E) 3
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
155.
Bir küpün herhangi bir cisim köşegeninin boyunun bir ayrıtının boyuna oranı aşağıdakilerden hangisinin tanjantıdır?
A)
π
2
B)
π
3
C)
π
4
200
D)
π
6
E)
π
12
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
156.
Bir ayrıtı 4 birim olan bir küpün yüzey köşegeninin cisim
köşegeni üzerindeki dik izdüşümü kaç birim olur?
A)
6 3
5
B)
8 3
3
C)
9 3
4
201
D)
10 3
3
E)
12 3
5
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
157.
Hacmiyle alanı sayısal olarak birbirlerine eşit olan bir küpün
cisim köşegeni kaç birimdir?
A) 6
B) 6 2
C) 6 3
202
D) 12
E) 12 3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
158.
48 cm uzunluğunda bir tel bükülerek bir küp yapılırsa, oluşan
kübün hacmi kaç cm2 olur?
A) 27
B) 64
C) 125
203
D) 216
E) 343
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
159.
Farklı ayrıtları 2, 3, 4 br olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir
küp meydana getirilebilir?
A) 12
B) 24
C) 72
204
D) 288
E) 576
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
160.
Yandaki küpte BD ve DK köşegenlerinin belirttiği BDK açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 30°
A
B
D
C
E
C) 60°
B) 45°
D) 75°
E) 90°
F
205
Mustafa YAĞCI
L
K
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
161.
Yandaki küpte BE ve BD köşegenlerinin belirttiği DBE açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 30°
A
B
C) 60°
B) 45°
D) 75°
E) 90°
D
C
L
E
F
206
Mustafa YAĞCI
K
Uzay Geometri
162.
Yandaki küpte P, Q, R noktaları
üzerinde bulundukları karelerin
ağırlık merkezleridir.
Buna göre PQR açısının ölçüsü
kaç derecedir?
A) 45°
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
B) 60°
C) 75°
E) 120°
D) 90°
207
A
D
B
C
R
P
E
F
L
Q
K
Uzay Geometri
163.
Yandaki küpte P ve Q üzerinde
bulundukları karelerin ağırlık
merkezleridir.
Buna göre PQ uzunluğu küpün
bir ayrıt uzunluğunun kaç katıdır?
A)
1
2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
2
2
C)
1
3
208
A
D
Q
B
C
P
E
F
L
K
D)
2
3
E)
2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
164.
Yandaki küpün içinde rastgele
bir P noktası alınıyor.
P’nin küpün tüm yüzlerine
olan uzaklıkları toplamı kaç
ayrıt uzunluğunun toplamına
eşittir?
A) 2
B) 3
C) 4
209
Mustafa YAĞCI
A
D
B
C
E
L
P
F
K
D) 5
E) 6
Uzay Geometri
165.
Yandaki küpte P noktası AD ayrıtı üzerindedir.
|BA| = 6 birim
|AP| = 3 birim
olduğuna göre |FP| kaç birimdir?
A) 7
B) 8
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 9
210
6
3
A
B
P
D
C
E
F
L
K
D) 10
E) 11
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
166.
Yandaki küpte P noktası KL ayrıtının üzerindedir.
|FK| = 4 birim
|KP| = 2 birim
olduğuna göre |AP| kaç birimdir?
A) 5
B) 6
C) 7
211
Mustafa YAĞCI
A
D
B
C
E
F
4
D) 8
L
K
2
P
E) 9
Uzay Geometri
167.
Yandaki küpte P noktası FK
ayrıtı üzerindedir.
|FP| = 4 birim
|PK| = 2 birim
olduğuna göre |AP| kaç birimdir?
A)
66
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
77
C)
88
212
A
D
B
C
E
F
4
D)
L
P 2 K
99
E) 10
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
168.
Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte
AK cisim köşegenidir.
F köşesinden AK doğrusuna
indirilen dikme ayağı P ise |FP|
kaç br dir?
A) 4
B) 2 6
C) 5
213
Mustafa YAĞCI
A
D
B
6
C
E
F
P
L
K
D) 4 2
E) 6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
169.
Yandaki küpün toplam alanı, taranmış bölge alanının kaç katıdır?
A) 3
A
B
C) 3 2
B) 2 3
D) 4
E) 4 3
D
C
E
F
214
Mustafa YAĞCI
L
K
Uzay Geometri
170.
Yandaki küpte P noktası [BA]
ayrıtının orta noktasıdır.
Taralı bölgenin alanı 2 br2
olduğuna göre küpün alanının
kaç br2 dir?
A) 12
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 24
B) 18
D) 36
E) 72
215
P
A
B
D
C
E
F
L
K
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
171.
Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte
P noktası [AD] üzerinde hareketli
bir noktadır.
Mustafa YAĞCI
A
P
B
D
C
E
Buna göre taralı bölgenin alanı
kaç br2 dir?
A) 9
B) 9 2
C) 18
216
F
D) 18 2
6
L
K
E) 36 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
172.
P noktası kübün taban yüzeyinin
ağırlık merkezidir.
|DL| = 6 cm olduğuna göre
APD üçgensel bölgesinin alanı
kaç cm2 dir?
A) 9
B) 9 5
C) 18
217
Mustafa YAĞCI
A
D
B
C
E
6
L
P
F
K
D) 18 5
E) 45
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
173.
Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte P ve Q noktaları sırasıyla AD
ve FK ayrıtları üzerindedir.
|FQ| = |QK|
|PD| = 2·|PA|
olduğuna göre taralı bölgenin
alanı kaç br2 dir?
A) 15
B) 15 2
C) 18
218
Mustafa YAĞCI
A
B
P
D
C
E
F
Q
D) 15 3
L
K
E) 30 2
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
174.
Yandaki küpte P noktası kübün
ağırlık merkezidir.
A
B
C
P
Buna göre cos LPF kaçtır?
1
2
B) –
2
2
L
E
F
A) –
D
C) –
1
3
219
D) –
K
2
3
E) −
3
2
Uzay Geometri
175.
Bir ayrıtının uzunluğu 8 br olan
yandaki küpte,
CKLD yüzeyinin ağırlık merkezi olan P’nin ABKL düzlemine en kısa uzaklığı kaçtır?
A)
2
B) 2
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 2 2
220
A
B
D
C
P
E
F
L
K
D) 4
E) 4 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
176.
Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte
P noktası kübün ağırlık merkezidir.
Buna göre taranmış kare piramidin hacmi kaç br3 tür?
A) 6
B) 18
C) 36
221
Mustafa YAĞCI
A
D
B
C
P
6
L
E
F
K
D) 54
E) 72
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
177.
Yandaki küpte P ve R bulundukları ayrıtların orta noktalarıdır.
Küpün hacmi 12 br3 olduğuna göre taralı cismin hacmi
kaç br3 tür?
A) 2
B) 3
C) 4
222
Mustafa YAĞCI
A
D
B
C
E
R
F
P
D) 6
L
K
E) 8
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
178.
Yandaki küpte P, R, S bulundukları ayrıtların orta noktalarıdır.
Mustafa YAĞCI
A
B
C
S
Kübün hacmi taralı piramidin
hacminin kaç katıdır?
E
B) 36
C) 32
223
L
P
F
A) 48
D
R
D) 24
K
E) 16
Uzay Geometri
179.
Yandaki küpte
|KP| = |PL|
|RK| = 2·|FR|
olarak veriliyor.
Buna göre küpün hacmi taralı
piramidin hacminin kaç katıdır?
A) 24
B) 18
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 15
224
A
B
D
C
E
L
P
F
R
D) 12
K
E) 9
Uzay Geometri
A
180.
Yandaki küpte P noktası [KL]
üzerindedir.
B
|AP| + |PB| toplamının en küçük değeri küpün bir ayrıtının
kaç katıdır?
A) 2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
5
C)
6
225
D
C
E
L
P
F
K
D) 3
E) 2 3
Uzay Geometri
A
181.
Yandaki küpte P noktası [KC]
ayrıtının üzerindedir.
B
|FP| + |PD| toplamının en küçük değeri küpün bir ayrıtının kaç katıdır?
A) 2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
5
C)
6
226
D
C
E
F
P
L
K
D) 3
E) 2 3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
182.
Bir ayrıtı 2 cm olan yandaki küpte Qε [KC] ve Pε[LD] olarak veriliyor.
Mustafa YAĞCI
A
D
B
C
E
Buna göre |FQ| + |QP| + |PA|
toplamı en az kaç cm olabilir?
A) 4 2
B) 6
C) 2 10
227
L
Q
F
K
D) 4 3
P
E) 7
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
183.
Bir ayrıtı a br olan yandaki küpte
Pε[BC], Rε[AD] ve Qε[EL] olarak veriliyor.
R
A
B
P
C
Q
E
Buna göre
|FP| + |PR| + |RQ| + |QK|
toplamı en az kaç a’dır?
A) 15
B) 4
F
C) 17
228
D
L
K
D) 3 2
E) 5
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
184.
Bir ayrıtının uzunluğu 15 br olan
yandaki küpün A köşesinden C
köşesine P ve Q noktalarına uğrayarak gitmek zorunda olan bir
karıncanın yolunu en kısa yapan P ve Q noktaları için |QZ| =
x kaç br dir?
A) 3
B) 4
C) 5
229
Mustafa YAĞCI
Q x
Z
T
X
Y
P
D
A
15
D) 6
C
B
E) 10
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
DİĞER DİK PRİZMALAR
185.
Bir kare dik prizmanın yüksekliği, taban kenarının 2 katına
eşittir.
Bu prizmanın alanı sayısal olarak hacmine eşit olduğuna
göre hacmi kaç birim küptür?
A) 244
B) 246
C) 248
230
D) 250
E) 252
Uzay Geometri
186.
Yandaki kare dik prizmada P noktası [BC] ayrıtı üzerindedir.
|BF| = 7 birim
|FK| = |KL| = 5 birim
olduğuna göre |FP| + |PD| toplamı
en az kaç olabilir?
A) 17
B) 5 2 + 7
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C)
74 + 5
231
A
D
B
P
7
E
F
5
D) 13
C
L
K
5
E) 149
Uzay Geometri
187.
Yandaki kare dik prizmada P noktası [BF] ayrıtı üzerindedir.
|AO| = |OE|
|DL| = 10 birim
|FK| = |KL| = 6 birim
olduğuna göre |KP| + |PO| toplamı en az kaç olabilir?
A) 17
B) 3 5 + 6
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C)
41 + 10
232
A
B
P
D
O
C
10
E
F
L
K
D) 136
6
E) 13
Uzay Geometri
188.
Bir taban ayrıtı 4 birim, yüksekliği
8 birim olan yandaki kare dik prizmanın içi bir miktar sıvı ile doludur.
Sıvının yüksekliği 6 birim olup,
prizma uzun ayrıtı üzerine devrildiğinde suyun yüksekliği kaç
birim olur?
A) 4
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
7
2
C) 3
233
A
B
D
2
H
C
6
E
F
D)
4
8
3
K
L
4
E)
5
2
Uzay Geometri
189.
İki kare dik prizma şekildeki
gibi birbirlerine yapıştırılmışlardır.
Prizmaların yüzeylerinden
ayrılmamak üzere A’dan
B’ye en kısa mesafenin
uzunluğu şekildeki verilere
göre kaç birimdir?
A) 25
B) 26
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
B
7
9
C) 27
234
A
4
4
D) 30
9
7
E) 36
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
190.
Şekildeki eşkenar üçgen tabanlı üçgen
prizmada
|AB| = 4 birim
|AD| = 8 birim
olduğuna göre prizmanın hacmi kaç
br3 tür?
A) 36 3
B) 34 3
C) 32 3
235
C'
B'
A'
C
A
D) 30 3
B
E) 28 3
Uzay Geometri
191.
Şekildeki dik üçgen tabanlı üçgen
prizmada
|AB| = 3 birim
|BC| = 4 birim
olup prizmanın hacmi 42 br3 olduğuna göre alanı kaç br2 dir?
A) 54
B) 66
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 78
236
A'
C'
B'
A
C
B
D) 82
E) 96
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
192.
Şekildeki üçgen dik prizmanın alt ve üst
yüzeylerinin kenar orta noktaları alınarak taralı olan üçgen dik prizma elde
edilmiştir.
Buna göre ABC tabanlı üçgen prizmanın hacmi taralı prizmanın hacminin kaç katıdır?
A) 4
B)
7
2
C) 3
237
D)
C'
B'
A'
C
A
8
3
B
E)
5
2
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
193.
Şekildeki üçgen dik prizmanın taban ayrıtlarının uzunlukları şekildeki gibi 13,
14 ve 15 br olarak verilmiştir.
Bu üçgen prizmanın içine sığabilecek
en büyük hacimli daire tabanlı prizmanın (silindirin) taban yarıçapı kaç
birim olur?
A) 5
B) 4
C) 3
D)
238
14
C'
13
B'
A'
C
A
5
2
15
E) 2
B
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
194.
5
5
2
8
20
Dikdörtgenler prizması şeklindeki içi boş bir tahta kasaya
ikizkenar yamuk tabanlı bir dik prizma eklenerek bir tabut elde edilmiştir.
Uzunluklar şekildeki gibiyse tabutun hacmi kaç br3 tür?
A) 580
B) 570
C) 560
239
D) 540
E) 480
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
SİLİNDİR
195.
Bir silindirin yüksekliğini 2 katına, taban yarıçapını 3 katına
çıkarırsak, hacmi kaç kat artar?
A) 6
B) 9
C) 12
240
D) 17
E) 18
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
196.
O ve O′ dik silindirin taban merkezleridir.
|DB| = 6 birim
|OB| = 4 birim
olduğuna göre silindirin hacmi kaç br3
tür?
A) 78π
B) 84π
C) 90π
241
D) 96π
C
D
O'
6
A
O
4
B
E) 102π
Uzay Geometri
197.
Yan şekilde görülen büyük silindirin
taban yarıçapı küçük silindirin taban
çapıdır.
Buna göre silindirlerin hacimleri
oranı kaçtır?
A)
1
2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
1
3
C)
1
4
242
C
P
D
A
O
B
D)
1
6
E)
1
8
Uzay Geometri
198.
Bir silindirin içine yan şekildeki gibi
konulabilecek en büyük kare dik
prizma konulmuştur.
Silindirin hacmi, kare prizmanın
hacminin kaçta kaçıdır?
A)
2
π
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
1
π
C)
π
4
243
C
D
A
B
D)
5
6
E)
5
8
Uzay Geometri
199.
Yüksekliği 16 br olan şekildeki silindirin içinde h
yüksekliğinde bir miktar
16
su vardır.
Aynı silindir eğilip şekildeki konuma getirildiğinde su miktarı değişmediğine göre h kaç birimdir?
A) 8
B) 9
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 10
244
4
h
D) 12
E) 14
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
200.
Yandaki şekilde O ve O′ dik silindirin taban merkezleridir.
|BC| = 6 birim
olup şekildeki silindirin yanal alanı 36π
br2 ise hacmi kaç br3 tür?
A) 84π
B) 72π
C) 66π
245
C
O'
D
6
A
D) 60π
O
B
E) 54π
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
201.
Yandaki dik silindirin taban yarıçapı r,
yüksekliği h’dir.
Bu silindirin yanal alanının taban alanları toplamının 3 katı olması için h ile r
arasında hangi bağıntı olmalıdır?
A) h = r
B) h = 2r
C) h = 3r
246
Mustafa YAĞCI
D
C
h
A
O
r
D) h = 4r E) h = 5r
B
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
202.
Taban yarıçapı 6 br, yüksekliği 4π br olan
yandaki silindirde P noktası silindirin taban çevresi üzerindedir.
Buna göre |AP| + |PB| toplamı en az
kaç olabilir?
A) 5π
B) 5
C) 10π
247
D) 10
C
A
P
D
B
E) 20π
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
203.
Taban yarıçapı 3 br ve yüksekliği 8π br
olan yandaki silindirde A köşesinden C
köşesine silindir yüzeyi üzerinden (şekildeki gibi) en kısa mesafe kaç br dir?
A) 10π
B) 12π
C) 15π
248
C
D
P
A
D) 20π
B
E) 25π
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
204.
Taban yarıçapı 3 br ve yüksekliği 16π br
olan yandaki silindirde Q noktası [DB]’nin
orta noktasıdır.
B köşesinden Q noktasına silindir yüzeyi
üzerinden şekildeki gibi en kısa mesafe
kaç br dir?
A) 5π
B) 6π
C) 9π
249
D) 10π
C
D
Q
P
A
B
E) 12π
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
205.
6
br ve yanal alanı 96 br2
π
olan şekildeki silindir üzerindeki bir hareketli A noktasından D noktasına ulaşıyor.
A ve D noktaları arasında hareketlinin
alacağı en kısa yolun uzunluğu kaç cm
dir?
Taban yarıçapı
A) 10
B) 13
C) 15
250
D) 17
D
C
A
O
B
E) 8 5
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
206.
Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 2
cm, yüksekliği 4π cm dir.
A köşesinden yola çıkan bir hareketlinin
silindirin yan yüzeyi üzerinden bir tur
atarak D noktasına ulaşacağı en kısa yol
kaç π cm dir?
A) 3 2
B) 4 2
C) 5 2
251
D
C
4π
A
D) 6 2
O
2
B
E) 7 2
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
207.
Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 8
cm, yüksekliği 7π cm dir.
A köşesinden yola çıkan bir hareketlinin silindirin yan yüzeyi üzerinden D
noktasına ulaşacağı en kısa yol kaç π
cm dir?
A) 34
B) 32
C) 30
252
D) 26
D
C
7π
A
O
8
B
E) 25
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
208.
Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 12
cm, yüksekliği 20π cm dir.
|CE|= |EA|
A köşesinden E noktasına yüzey üzerinden şekildeki yolu izleyerek gitmek
isteyen bir hareketlinin alacağı en kısa
yol kaç π cm dir?
A) 26
B) 30
C) 34
253
C
D
E
20π
A
D) 40
O
12
B
E) 50
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
209.
O, dik silindirin taban merkezi ve
[AB] çaptır.
|AE| = 3 birim
|EB| = 4 birim
|BD| = 4 birim
Şekle göre CEB üçgensel bölgesinin
alanı kaç br2 dir?
A) 4
B) 6
C) 7,5
254
D
C
4
A
D) 10
O
E
B
E) 12,5
Uzay Geometri
210.
E noktası yandaki dik silindirin taban
çemberi üzerindedir.
Buna göre BED açısının ölçüsü kaç
derecedir?
A) 60o
B) 75o
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 90o
255
D
A
B
D) 105o
α
E
C
E) 120o
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
211.
D
C
C
D
8h
A
O
r
B A
C
D
9h
O
r
B A
10h
O
r
B
Yukardaki üç silindirin taban yarıçapları aynı olup taban ve
tavanları aynı hizadadır.
Anadoğrusu 8h olan silindirin hacmi V1, 9h olanın V2, 10h
olanın V3 ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
B) V1 > V2 > V3
C) V1 = V2 < V3
A) V1 < V2 < V3
E) V1 = V2 = V3
D) V1 = V2 > V3
256
Uzay Geometri
212.
Yandaki eğik silindirin taban düzlemiyle yaptığı açının ölçüsü 75º’dir.
Bu silindirin taban alanı 3 − 1 cm2
ve anadoğrusu 2 2 cm olduğuna
göre hacmi kaç cm3 tür?
A) 2
B) 2π
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 2 2
D) 2 2π
257
C
D
2 2
75o
A
B
E) 2 6 − 2 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
213.
Eni 2 cm buyu 5 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir levha kendisine 2 cm uzaklıktaki d doğrusu etrafında 360º döndürülüyor.
Dikdörtgenin dönme esnasında taradığı
bölgenin hacmi kaç cm3 tür?
A) 20π
B) 40π
C) 60π
258
D) 70π
d
5
2
2
E) 80π
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
214.
Boyutları yanda verilen iki dikdörtgen d
doğrusu etrafında 360º döndürülüyor.
Taranan bölgenin hacmi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 24π
B) 40π
C) 48π
259
D) 56π
d
5
4
3
2
E) 60π
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
PİRAMİTLER
215.
Yanda (P, ABC) dik üçgen
piramidi görülmektedir.
P
α
P ⊥ AC
P ⊥ AB
olup, m(PBA) = 45o ve
m(ABC) = 60o olduğuna
göre m(APC) kaç derecedir?
A) 15o
B) 30o
A
45o
60o
C
B
C) 45o
260
D) 60o
E) 75o
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
216.
Çevresi 18 birim olan ABC eşkenar üçgeninin ağırlık merkezi
G’den üçgen düzlemine çıkılan dikme çıkılıp bu dikme üzerinde |KG| = 2 birim olacak şekilde bir K noktası alınıyor.
Buna göre |AK| kaç birimdir?
A) 2 2
B) 2 3
C) 4 2
261
D) 4
E) 5
Uzay Geometri
217.
Şekildeki piramit tabandan
itibaren yüksekliğin 2/3’ü
oranında tabana paralel bir
düzlemle kesiliyor.
Oluşan kesik piramidin
hacmi 208 br3 ise piramidin hacmi kaç br3 tür?
A) 208
B) 216
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
H
E
G
F
C
D
A
C) 218
262
B
D) 224
E) 226
Uzay Geometri
218.
Yanda dikdörtgen tabanlı bir piramit görülmektedir.
|PA| = 2 br
|PB| = 5 br
|PC| = 11 br
|PD| = x br
olduğuna göre x kaçtır?
A) 6
B) 7
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
P
5
x
2
A
B
C) 8
263
D
11
C
D) 9
E) 10
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
219.
Şekildeki kare tabanlı düzgün
piramidin yüksekliği 8 birim ve
taban çevresi 48 birimdir.
Buna göre piramidin tüm alanı kaç br2 dir?
A) 384
B) 386
C) 390
264
Mustafa YAĞCI
T
8
C
D
A
B
D) 400
E) 412
Uzay Geometri
220.
Yandaki (P, ABCD) kare
dik piramidinin tüm ayrıtları birbirine eşit uzunlukta olduğuna göre yan yüzlerin tabanla yaptığı açı
ölçüsünün tanjantı kaçtır?
A) 1
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
2
P
A
B
C)
3
265
D
C
D) 2
E) 2 2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
221.
Şekilde bütün ayrıtlarının
uzunlukları birbirine eşit olan
düzgün kare piramit çizilmiştir.
|AB| = 4 3 cm
Buna göre A’dan C’ye şekildeki yüzeyler üzerinden alınan en kısa yol kaç cm dir?
A) 21
B) 20
C) 18
266
Mustafa YAĞCI
T
D
A
4 3
D) 15
C
P
B
E) 12
Uzay Geometri
222.
Yanda görülen (P, ABCD) kare
dik piramidi için |BC| = 12 br
ve |PD| = 10 br olarak verilmiştir.
Q∈(ABCD) olmak üzere |PQ|
kaç farklı tamsayı değeri
alabilir?
A) 1
B) 2
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 3
267
P
10
D
A
Q
B
12
D) 4
12
C
E) 5
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ
223.
Tüm ayrıtları toplamı 12 birim olan
düzgün dörtyüzlünün alanı kaç birim karedir?
B) 4 3
C) 6 2
A) 2 3
E) 10 3
D) 8 3
268
T
C
A
12
B
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
224.
Bir ayrıtı 6 birim olan düzgün
dörtyüzlünün yüksekliği kaç birimdir?
A) 2 6
B) 3 6
C) 4 6
E) 6 6
D) 5 6
269
T
C
A
6
B
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
225.
Şekildeki piramit bir düzgün dörtyüzlüdür. G, tabanın ağırlık merkezidir.
[TG] ⊥ [AH]
|GH| = 3 birim
Buna göre dörtyüzlünün hacmi kaç
birim küptür?
A) 48 6
B) 54 6
C) 60 6
270
T
C
G
A
D) 72 6
3
H
B
E) 84 6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
226.
Yanda (P, ABC) düzgün dörtyüzlüsü verilmiştir. X ve Y
noktaları sırasıyla PA ve AC
ayrıtlarının orta noktalarıdır.
|BC| = 4 br olduğuna göre
BXY üçgensel bölgesinin alanı kaç br2 dir?
A) 2
B) 3
C) 11
271
Mustafa YAĞCI
P
X
A
B
4
D) 4
Y
C
E) 3 3
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
227.
Bir düzgün dörtyüzlüde yan yüzlerin taban düzlemiyle yaptığı açı
ölçüsünün tanjantı kaçtır?
A) 2
B) 2 2
D) 2 3
C)
E) 4
T
C
P
6
272
A
B
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
DÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ
228.
Bir düzgün sekizyüzlünün kaç köşegeni vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
273
D) 4
E) 5
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
229.
Tüm ayrıtları toplamı 24 birim olan
düzgün sekizyüzlünün yüksekliği
kaç birimdir?
A) 2 2
B) 3 2
C) 4 2
E) 6 2
D) 5 2
274
T
A
D
B
C
P
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
230.
Alanı 16 3 birim kare olan bir düzgün sekizyüzlünün bir ayrıtı kaç birimdir?
T
A
D
B
A) 5 2
B) 4 2
C) 3 2
D) 2 2
E) 2
275
C
P
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
231.
Uzun köşegeni 4 2 birim olan düzgün sekizyüzlünün bir
kenarı kaç birimdir?
A) 2 6
B) 2 5
C) 4
276
D) 2 2
E) 6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
232.
Bir düzgün sekizyüzlünün köşeleri kaç kare belirtir?
A) 1
B) 2
C) 3
277
D) 4
E) 5
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
233.
Bir ayrıtı a birim olan düzgün sekizyüzlünün hacmini aşağıdaki ifadelerden hangisi verir?
A)
2 3
a
2
B)
2 3
a
3
C)
2 3
a
4
278
D)
2 3
a
6
E)
2 3
a
8
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
KONİ
234.
Yanda görülen dik koni için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) |PA| = |PB| < |PC| = |PD|
B) |PD| < |PA| < |PB| < |PC|
C) |PD| < |PB| < |PA| < |PC|
D) |PA| = |PB| = |PC| = |PD|
E) |PD| < |PB| = |PA| < |PC|
P
D
A
279
C
B
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
235.
Yandaki dik koninin anadoğrusu taban çapına eşittir.
Buna göre |PC| + |PB| + |PD| toplamı silindir yüksekliğinin kaç katıdır?
A)
3
B) 2
C) 2 2
280
A
D) 3
C
O
D
E) 2 3
B
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
236.
Şekildeki dik konide O noktası taban çemberinin merkezidir.
|PB| = 10 birim,
|AO| = 8 birim
Verilenlere göre koninin hacmi
kaç br3 tür?
A
A) 120π
D) 126π
B) 122π
C) 124π
281
P
10
8
O
B
E) 128π
Uzay Geometri
237.
Şekildeki dik konide O noktası taban
çemberinin merkezidir.
OC ⊥ PB
|PC| = 16 birim
|CB| = 9 birim
olduğuna göre koninin hacmi kaç π
br3 tür?
A) 900
B) 1200
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 1500
282
P
C
A
D) 1800
O
B
E) 2100
Uzay Geometri
238.
Yandaki dik koninin taban merkezi
O olsun.
PAO üçgensel bölgesinin alanı 12
br2 olup, yüksekliği 8 br ise koninin hacmi kaç br3 tür?
A) 72π
B) 64π
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 48π
283
P
A
D) 36π
O
B
E) 24π
Uzay Geometri
239.
Yandaki dik konide Q noktası PO
yüksekliğinin orta noktasıdır.
Buna göre taralı dik koninin
hacmi, büyük dik koninin hacminin kaçta kaçıdır?
A)
1
2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
1
3
C)
1
4
284
P
Q
A
O
D)
2
3
B
E)
3
4
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
240.
O noktası dik koninin taban çemberinin merkezidir.
Buna göre dik koninin hacmi eğik
koninin hacminin kaç katıdır?
A) 2
B) 3
C) 4
285
A
O
D) 5
B
E) 6
Uzay Geometri
241.
Yandaki dik konide C ve D orta
noktalardır. Taralı olan kısım su ile
doludur.
10 cm3 daha su konunca koni doluyorsa, içindeki su kaç cm3 tür?
A) 10
B) 20
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 30
286
P
D
C
A
D) 70
O
B
E) 80
Uzay Geometri
242.
Bir silindirin üstüne taban yarıçapı
aynı fakat yüksekliği 2 katı olan bir
koni yerleştirilmiştir.
Oluşan cismin hacmi silindirin
hacminin kaç katıdır?
A)
3
2
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
4
3
C)
5
3
287
P
D
C
A
B
D) 2
E) 3
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
P
243.
Yandaki dik konide D ve E noktaları
orta noktalardır.
Koninin hacmi silindirin kaç katıdır?
A)
4
3
B)
3
2
C) 2
288
D
C
A
D)
B
8
3
E) 3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
244.
Yan şekilde görülen dik koninin taban
çapı, silindirin taban yarıçapına eşittir.
Tepe noktası da silindirin üst yüzeyi
üstündedir.
Buna göre silindirin hacmi koninin
hacminin kaç katıdır?
A) 4
B) 6
C) 8
289
Mustafa YAĞCI
C
A
D) 12
D
P
O
B
E) 18
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
245.
Yan şekilde görülen dik koninin taban
çapı, silindirin taban yarıçapına eşittir.
Koninin yüksekliği silindirin yüksekliğinin yarısı ise hacimlerinin oranı
kaçtır?
A) 8
B) 12
C) 16
290
Mustafa YAĞCI
C
D
P
A
D) 18
O
B
E) 24
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
246.
Şekilde silindir içine yerleştirilmiş bir piramit görülmektedir. Piramidin tepe noktası olan P silindirin üst taban merkezidir.
Tabanı da silindirin tabanı olan dairenin
yarısıdır.
Buna göre silindirin hacmi, taralı piramidin hacminin kaç katıdır?
A) 6
B) 5
C) 4
291
C
A
D) 3
P
D
B
E) 2
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
247.
Şekildeki dik konide
r 2
=
l 3
olduğuna göre koninin açılımında
beliren daire diliminin merkez açısı
kaç derecedir?
A
A) 165
D) 210
B) 172
C) 180
292
P
A
r
O
B
E) 240
Uzay Geometri
248.
Şekildeki dik konide
|AP| = 10 birim
|AO| = 5 birim
Şekildeki koninin açılımından
oluşacak daire diliminin merkez
açısı kaç derecedir?
A) 105
B) 112
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 120
293
P
10
A
5
D) 136
O
B
E) 180
Uzay Geometri
249.
Yandaki dik konide m(OPA) = 30o
ise koninin açık halindeki daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?
A) 165
B) 172
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 180
294
P
A
D) 210
O
B
E) 240
Uzay Geometri
250.
Ana doğrusu 6 cm olan dik koninin
tabanındaki A noktasından B noktasına ulaşan bir karıncanın izlediği yol
çizilmiştir.
|OB| = 1 cm
Buna göre karıncanın alacağı en
kısa yol kaç cm dir?
A) 3 2
B) 4 2
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 5 2
295
P
C
D
A
D) 6 2
O
B
E) 7 2
Uzay Geometri
251.
Ana doğrusu 8 cm olan dik koninin
tabanındaki A noktasından şekildeki
yolu izleyerek C noktasına ulaşan bir
karıncanın aldığı yol 48 cm dir.
|PD| = |DB|
Verilenlere göre koninin taban yarıçapı kaç cm dir?
A)
11
3
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
8
3
C)
7
3
296
P
C
A
D)
O
5
3
B
E)
4
3
Uzay Geometri
252.
Şekildeki dik koninin tabanındaki A
noktasından şekildeki yolu izleyen bir
karınca C noktasına uğramak şartıyla
D noktasına ulaşıyor.
|PD| = 1 cm
|DA| = 7 cm
|OB| = 2 cm
Buna göre karıncanın alacağı en
kısa yol kaç cm dir?
A)
57
B)
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
59
C)
61
297
1
P
D
C
7
A
D) 65
O
2
E)
B
67
Uzay Geometri
253.
Şekildeki dönel koninin ana doğrusu
18 cm ve taban yarıçapı 3 cm dir.
|PF| = 6 cm
Koninin tabanındaki A noktasından koninin ana doğrusu üzerindeki F noktasına şekildeki gibi gitmek
isteyen karıncanın alacağı en kısa
yol kaç cm dir?
A) 2 14
B) 14
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 2 11
298
P
6
D
A
D) 6 7
C
O
B
E) 6 5
Uzay Geometri
254.
Şekildeki koni tabandan itibaren
yüksekliğin 2/3’ü oranında tabana
bir paralel bir düzlemle kesiliyor.
Oluşan kesik koninin hacmi 104
br3 ise tüm koninin hacmi kaç br3
tür?
A) 104
B) 108
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C)109
299
P
D
C
A
D) 112
O
B
E) 113
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
255.
Şekildeki dik konide
|PD| = 2|DB|
P
Verilenlere göre üstteki koninin
hacminin alttaki kesik koninin
hacmine oranı kaçtır?
A)
3
17
B)
4
27
C)
8
19
300
D
C
A
D)
O
9
64
B
E)
27
242
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
256.
O ve P taban merkezleri
|PC| = 2 birim
|PO| = 4 birim
|OB| = 6 birim
Şekildeki kesik koninin yanal
alanı kaç br2 dir?
D
P
C
2
4
A
O
6
B
A) 24 2π B) 28 2π C) 32 2π D) 36 2π E) 40 2π
301
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
257.
5 birim
8π birim
10π birim
Şekilde açık hali ile verilen kesik koninin yüksekliği kaç
birimdir?
A) 3
B) 4
C) 3 2
302
D) 2 5
E) 2 6
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
258.
Tabanı 4 br yüksekliği 6 br olan bir dik üçgen kendisine uzaklığı 2 br olan bir d doğrusu etrafında 180o döndürülüyor.
Dik üçgenin taradığı bölgenin hacmi kaç
birimküptür?
A) 17π
B) 51π
C) 102π
303
D) 204π
d
2
6
2
4
E) 408π
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
KÜRE
259.
Yarıçapı
A) 4π
3
3π birim olan kürenin hacmi kaç br3 tür?
B) 4π 2
C) 12π
304
D) 12π2
E) 4π4
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
260.
Çapı 6 birim olan kürenin alanı kaç birim karedir?
A) 144π
B) 72π
C) 36π
305
D) 24π
E) 20π
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
261.
Hacmi 12π10 br3 olan kürenin alanı kaç br2 dir?
A) 144π5
B) 72π6
C) 36π7
306
D) 24π8
E) 20π9
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
262.
Alanı 100π birim kare olan kürenin hacmi kaç birimküptür?
A)
500π
3
B)
511π
3
C)
610π
3
307
D)
670π
3
E)
700π
3
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
263.
İçi dolu bir kürenin bir düzlemle arakesiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) Kare
B) Dikdörtgen
E) Daire
D) Çember
308
C) Elips
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
264.
Çapı 10 birim olan küre, merkezinden 3 birim uzaklıkta bir
düzlemle kesildiğinde oluşan kesit alanı kaç br2 olur?
A) 2π
B) 4π
C) 8π
309
D) 16π
E) 32π
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
265.
Yarıçapı 10 birim olan kürenin, merkezinden 6 birim uzaklıktaki kesitinin alanı kaç birim karedir?
A) 32π
B) 36π
C) 40π
310
D) 56π
E) 64π
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
266.
Yarıçapı 5 birim olan kürenin, merkezinden 3 birim uzaklıktaki kesitini taban kabul eden 6 birim yükseklikteki koninin
hacmi kaç birimküptür?
A) 24π
B) 26π
C) 28π
311
D) 30π
E) 32π
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
Mustafa YAĞCI
267.
Yarıçapı 10 birim olan kürenin, merkezinden a birim uzak
lıktaki kesitinin alanı 36π birimkare ise a kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
312
D) 10
E) 12
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
268.
Şekildeki taban çapı 12 birim ve
yüksekliği 8 birim olan koninin
içindeki kürenin koni tabanına ve
yüzeylere teğet olduğu bilinmektedir.
Buna göre kürenin yarıçapı
kaç birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
313
Mustafa YAĞCI
B
A
C
D) 4
E) 5
Uzay Geometri
269.
Yüksekliği 8 birim olan yandaki dik
koninin içine, tabanına ve koni yüzeyine teğet olacak şekilde bir küre yerleştirilmiştir.
Koninin taban alanı 36π br2 ise kürenin yüzey alanı kaç birim karedir?
A) 27π
B) 30π
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 36π
314
P
M
A
D) 40π
O
E) 45π
B
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
270.
Şekilde taban yarıçapı 6 cm olan dik
koninin tepe noktası ve taban çemberi, kürenin yüzeyindedir.
Dik koninin hacmi 216π cm3 olduğuna göre kürenin yarıçapı kaç
cm dir?
A) 9
B) 10
C) 12
315
P
A
6
D) 13
O
B
E) 15
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
271.
Şekildeki ana doğrusu 10 birim
olan koninin içine atılan 36π br3
hacimli kürenin koni tabanına
teğet olduğu bilinmektedir.
Mustafa YAĞCI
B
A
Buna göre koninin taban yarıçapı kaç birimdir?
A) 3
B) 6
C) 8
316
C
D) 10
E) 12
Uzay Geometri
272.
Şekildeki 36π br3 hacimli küre
kesik koninin tabanlarına teğet
olduğuna göre kesik koninin
yüksekliği kaç birimdir?
A) 3
B) 6
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 9
317
D
A
C
B
D) 12
E) 15
Uzay Geometri
273.
Şekildeki koni ve kürenin
yarıçapları eşit olup 3 birimdir.
Koni ağzına kadar su ile
doldurulup küreye boşaltıldığında kürenin yüzde
kaçı dolar?
A) 75
B) 60
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
A
B
3
A
O 3 B
C
C) 55
318
D) 50
E) 40
Uzay Geometri
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
274.
Şekildeki silindirin içine, birbirine ve silindirin yüzeyine teğet olacak şekilde
yüzey alanı 16π br2 olan iki eş küre yerleştirilmiştir.
|AB| = 4 + 2 3 birim
olduğuna göre silindirin çapı kaç birimdir?
A) 6
B)
9
2
C) 4
319
C
D
A
B
D) 2 3
E)
5
2
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
275.
Bir ayrıtının uzunluğu 2π br olan
bir küpün üst yüzeyinin ağırlık
merkezine yarıçapı 10 br olan
O merkezli bir küre konulmuştur.
Küpün A köşesinde bulunan
bir karınca küp ve küre yüzeyini kullanarak A’dan kürenin
en üst noktasına gidecektir.
Alacağı yol en az kaç br dir?
A)
10π B) 2 10π C) 3 10π
320
Mustafa YAĞCI
10
O
2π
A
D) 4 10π E) 5 10π
Uzay Geometri
TMOZ-OZEL
276.
4 br yarıçaplı yarımküre şeklindeki kapalı cismin merkezi olan
A noktasından küpün en alt
noktası olan B’ye cisim yüzeyi
üzerinden en kısa mesafe kaç
br dir?
A) 2π + 4
B) 4π + 4 C) 8π + 4
321
Mustafa YAĞCI
4
A
B
D) 2π + 8 E) 4π + 8
Uzay Geometri
277.
Bir küreye D ve E noktalarından batırılan şişler küreden B ve C noktalarından çıkmaktadır.
|CE| = 5, |EA| = 4, |AD| = 3 ve
|DB| = x birim olduğuna göre x
kaçtır?
A) 5
B) 6
Mustafa YAĞCI
TMOZ-OZEL
C) 7
322
3
A
4
D
E
D) 8
x
5
B
C
E) 9
UZAY GEOMETRİ
Düzlemin kesişen iki doğrusuna kesim
noktalarında dik olan doğru, düzlemin o
noktadan geçen her doğrusuna diktir.
(Düzleme diktir.)
Paralel iki düzlemin üçüncü bir
düzlemle arakesit doğruları paraleldir.
Kesişen iki düzlemin arakesitine
düzlemler
içinde
çizilen
diklerin
oluşturduğu açıya
İki düzlemli açının ölçek açısı denir.
d1  E , d2  E , d  d1 , d  d2 ise d  E
Aynı noktada kesişen üç doğruya
kesim noktasında dik bir doğru varsa,
bu üç doğru düzlemseldir.
Aynı düzleme dik olan iki doğru
birbirine paraleldir.
E  F=d , d1  E , d1  d , d2  F , d2  d
iken d1Ad2 açısı ölçek açıdır.
Ölçek açısı 90o olan düzlemler
birbirine diktir denir.
ÖRNEK:
Paralel iki doğrudan biri düzleme
dik ise, diğeri de diktir.
Dışındaki bir noktadan düzleme ve
düzlem içindeki bir doğruya dikmeler
çizildiğinde dikme ayaklarını birleştiren
doğru, düzlem içindeki doğruya diktir.
(Üç dikme teo.)
[A(ABC)]2=[A(AOB)]2+[A(AOC)]2+[A(BOC)]2
ÖRNEK:
Bir
kübün
yüzlerinin
belirlediği
düzlemler, uzayı kaç parçaya ayırır?
PA  E , d  E , PB  d ise AB  d dir.
Paralel iki düzlem, uzayı üç bölgeye ayırır.
Üç çift paralel düzlem,
uzayı 3.3.3=27 bölgeye ayırır.
PRİZMA:
DİKDÖRTGENLER PRİZMASI:
EĞİK PRİZMA:
Y=2(a+b)c
A=2(ab+ac+bc)
V=abc
Ç’:dik kesit çevresi
K:dik kesit alanı
l :yanal ayrıt
 :yanal ayrıtın taban düzlemiyle yaptığı
açı
Y=Ç’. l
(yanal alan)
A=Y+2T (alan)
T: taban alanı
V=T.h=K. l =T. l .sin 
(hacim)
Cisim köşegeni= a 2  b 2  c 2
ÖRNEK:
Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanları
64, 80 ve 20 cm2 ise hacmi kaç cm3 tür?
ÇÖZÜM:
a.b=64 , a.c=80 ,
a2.b2.c2=64.80.20=3202
b.c=20
, a.b.c=320
|AA’|= l , DEF dik kesit
ÖRNEK:
DİK PRİZMA:
Y=Ç.h
A=Y+2T
V=T.h
Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları
3, 5, 7 sayıları ile orantılıdır.
Bu prizmanın tüm alanı 568 cm2 olduğuna
göre hacmi kaç cm3 tür?
ÇÖZÜM:
a b c
  k
3 5 7
a=3k ,
b=5k
,
c=7k
2(ab+ac+bc) = 2(15k2+21k2+35k2)
= 142k2 = 568 ,
k=2
abc=6.10.14=840
KÜP:
A = 6a
ÖRNEK:
2
;
V=a
3
Yüz köşegeni = a 2
Cisim köşegeni = a 3
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
AB’B dik üçgeninde:
|AB|2 = 12+(
|AB|=
2
2
2
|PQ|= 1  2  3  14
|PQ|=|PR|=|QR|
3 2 13
) =
2
4
A(PQR)=
13
2
a 2 3 14 3 7 3


4
4
2
ÖRNEK:
Yatay bir
masa üzerinde
duran
dikdörtgenler prizması şeklindeki bir
akvaryumun genişliği 25 cm , yüksekliği
20 cm dir. Masa eğildiği zaman içindeki
su 20x25 lik yüzü tamamen örttüğü
anda, tabanın ancak dörtte üçünü
kapatıyor. Buna göre masa yatay
durumda iken suyun yüksekliği kaç cm.
dir?
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
|AB|=|BC|=|CD|=|DA|
5 2 125
) =
,
2
4
5 5
Ç(ABCD)=4.
5 5
4
|AB|2=52+(
|AB|=
5 5
2
su=4x.25.h
eğildiğinde=(20.3x:2)25
100xh=750x
h=7,5 cm.
KESİK PİRAMİT:
PİRAMİT:
Y=
1
Ç.h’
2
T '  h' 
    k2
T h
,
,
3
V '  h' 
    k3
V h
A=Y+T
V=
2
h'
k
h
1
T.h
3
Vk 
ÖRNEK:



h
T .h
T  TT '  T ' 
1 k  k 2
3
3

DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ:
Yüzler eşkenar üçgen
a 6
h
3
a3 2
V 
12
;
DÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ:
Yüzler eşkenar üçgen
ÇÖZÜM:
a 2
2
3
a 2
V 
3
OP 
;
A  2a 2 3
DÜZGÜN ONİKİYÜZLÜ:
|AB| en kısa yol.
ACB dik üçgeninde:
2
 3
7
  12 
|AB| = 
 2 
4


7
|AB|=
2
2
Yüzler düzgün beşgen
DÜZGÜN YİRMİYÜZLÜ:
Yüzler eşkenar üçgen
!!! yüz sayısı+köşe sayısı-ayrıt sayısı=2
;
SİLİNDİR:
KONİ:
T=πr2 ;
Y=2πrh ;
Y=πra
V=
2
A=2πr(r+h) ;
V=πr h
;
A=πr(r+a)
;
1 2
πr h
3
a2=h2+r2
 =360
;
r
a
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Yanal alanı 10  cm2, yüksekliği 10 cm.
olan silindirin hacmi kaç cm3 olur?
ÇÖZÜM:
Y= 2 .r.h  2 .r.10  10
1
2
V=  .r 2 .h   .( ) 2 .10 
,
r
5
2
1
2
Eşit yükseklikleri olan bir koni
silindirin hacimleri de eşittir.
Taban yarıçaplarının oranı kaçtır?
ÇÖZÜM:
1
3
Vk=  .r 2 .h
Vs=  .R 2 .h
,
1
 .r 2 .h   .R 2 .h
3
,
r
 3
R
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Boyutları a ve b olan bir dik dörtgenin
uzun ve kısa kenarları etrafında
döndürülmesi ile oluşan dönel silindirlerin
yanal alanları ve hacimleri oranı nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
2 .3
 2
3
Taban çevresi = 2 .r  2 , r=1
a2=h2+r2 , 32=h2+12
, h= 2 2
1
1
2 2
V=  .r 2 .h   .12.2 2 

3
3
3
AB yayının uzunluğu =
Y1=2πba
V1=πb2a
Y2=2πab
V2=πa2b
Y1
1
Y2
V1 b

V2 a
ile
KESİK KONİ:
KÜRE:
h' r '
 k
h r
A=4Πr2
2
2
3
3
;
V=
4
Πr3
3
T '  h' 
 r' 
      =k2
T h
r
V '  h' 
 r' 
       k3
V h
r
KÜRE
a2=h2+(r-r’)2
Y=π(r+r’)a
A=π(r+r’)a+π(r2+r’2)
Vk 
h
r
3
2
KUŞAĞI ve KÜRE
KAPAĞI
ALANI:
2πrh

 rr' r ' 2 

h
T  TT '  T '
3

KÜRE PARÇASI HACMİ:
Πh2(r-
h
)
3
KÜRE TABAKASININ HACMİ:
h
 .h 3

 .r12   .r22  
2
6
ÖRNEK:
Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden
R/2 uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.
Elde edilen kesitin alanı kaç ΠR2 dir.
ÇÖZÜM:
2
R2=d2+r2
r2=
3R 2
4
,
R
2
 r
2
3R 2
A=  .r 2  
4
R2= 
ÖRNEK:
Yarıçapları 30 cm. ve 40 cm. olan
kürelerin merkezleri arasındaki uzaklık
50 cm. ise bu kürelerin arakesit
çemberlerinin yarıçapı kaç cm. dir?
PAPPUS-GULDİN TEOREMİ:
l uzunluğundaki bir düzlem eğrisinin
kendisini kesmeyen bir eksen etrafında
dönmesinden oluşan
cismin alanı= 2  .r.l
ÇÖZÜM:
Alanı S olan bir düzlem parçasının kendi
düzlemi içinde bulunan ve kendini
kesmeyen
bir
eksen
etrafında
dönmesinden oluşan
cismin hacmi= 2 .r.S
302+402=502 olduğundan
küreler dik kesişiyor.
R12+R22=d2 ve R1.R2=d.r dir.
30.40=50.r ,
r=24
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Bir kürenin , birbirine dik iki düzlemle
ara kesit çemberlerinin yarıçapları 18
cm. ve 25 cm. dir. Çemberlerin arakesit
noktaları arasındaki uzaklık 14 cm.
olduğuna göre, küreni yarıçapı kaç
cm.dir?
ÇÖZÜM:
4x4x4 birim küpten oluşan küpte kaç
farklı küp vardır?
ÇÖZÜM:
1x1x1 küplerden : 4x4x4=43=64 tane
2x2x2 küplerden : 3x3x3=33=27 tane
3x3x3 küplerden : 2x2x2=23=8 tane
4X4x4 küplerden :1x1x1=13=1 tane
252=72+|OO2|2
,
2
2
2
R =24 +18
,
|OO2|=24
R=30
0lmak üzere : 13+23+33+43= 100 tane