Birim Deformasyon

GERİLİM ANALİZİ
Her biri matematiksel teoriler olan elastisite, viskozite veya plastisite teorileri kendi içlerinde bir düzene
sahip olup kuvvet, gerilim, deformasyon ve birim deformasyon davranışları gibi parametreler tarafından
kontrol edilmektedirler.
Bu bölümde, çeşitli fiziksel tanımlamalar ve matematiksel ilişkiler yoluyla formülize edilmiş, cisim kuvveti,
yüzey kuvveti, normal ve makaslama gerilimi gibi kavramlarından bahsedilecektir.
CİSİM KUVVETİ: cisim boyunca etki eder ve başka bir cisimle teması olmaksızın üretilir
(yerçekimsel, manyetik, eylemsizlik kuvveti gibi).
YÜZEY KUVVETİ: bir cismin dış yüzeyi boyunca etki eder ve başka bir cisimle teması sonucu
oluşur.
Bir cisim kuvvetinin yoğunluğu birim hacme düşen kuvvet olarak tanımlanır. Eğer DV
hacmindeki bir cisme etkiyen kuvvet bileşkeleri , DFx, DFy ve DFz ise
DFx
DV 0 Dv
x  lim
DFy
DV 0 DV
y  lim
DFz
DV 0 DV
z  lim
1
DF
Gerilim
Birim alana düşen kuvvet.
n
DF
 n  lim
DA0 DA
n
Koordinat sisteminde, DF :
P
DFx
DA0 DA
DA
 nx  lim
 ny
DFy
 lim
DA0 DA
DFz
DA0 DA
 nz  lim
stress at
a point
DF
P noktasını çevreleyen DA alanına etkiyen
bileşke kuvvet
n: alana normal (dik) yönde
 alt indisleri
z: gerilim yönünde
Gerilim
Tensör nicelik (düzlem, büyüklük, yön)
Kuvvet
Vektörel nicelik (büyüklük, yön)
2
BİR YÜZEYE ETKİYEN GERİLİM BİLEŞENLERİ
y
Yandaki şekilden;
ny
n
 n2   nx2   ny2   nz2
n
 nx   n  cos( n , x)
n
nx
x
 ny   n  cos( n , y)
 nz   n  cos( n , z)
nz
z
nt
n yönüyle z ekseni arasındaki açının kosinüsüdür.
3
DF kuvveti ayrıca iki bileşenine ayrılarak şu şekilde ifade edilebilir:
 nn
DFn
 lim
DA0 DA
 nn
DFt
 lim
DA0 DA
t; nn ve n tarafından oluşturulan düzlem ile DA alanının
teğet düzlemi arasındaki kesişimin yönü
Gerilim uygulanan alana dik ise
NORMAL GERİLİM
Gerilim uygulanan alana paralel ise
 2   nn   nt2
 nn   n  cos  n , n 
 nt   n  cos  n , t 
MAKASLAMA GERİLİMİ
DİKDÖRTGEN KOORDİNATTA GERİLİM BİLEŞENLERİ
y
yx
yz
Toplamda 9 adet gerilim bileşeni vardır:
x, y, z, xy, xz, yx, yz, zx, zy
x
z
zx
zy
xz
xz
P
xy
zy
z
zx
yx
xy
y
x
x
z
yz
y
4
Denge durumunda;
MX 
Yine de;
 yz  dx  dy  dz
2

 yz  dx  dy  dz  zy  dx  dy  dz  zy  dx  dy  dz

2
2

2
0
xy= yx
yz = zy
xz = zx
Bir düzlemdeki gerilim diyagramı:
x.A.cos
Bir Düzlemdeki Gerilim

A

A


x

xy
xy.A.sin
yx.A.sin
yx
y.A.sin
y
5
 yönündeki kuvvetin toplamı:
 F    A   xA cos 2    y A sin 2   2 xy A cos  sin   0
xy yönündeki kuvvetin toplamı:
 F    A   xy A sin 2    xy cos 2    xA sin  cos    yA sin  cos   0
Sadeleştirme sonucunda:
    x cos 2    y sin 2   2 xy sin  cos 
    xy cos 2  sin 2     x   y sin  cos 
 
1
 x   y   1  x   y cos 2   xy sin 2
2
2
    xy cos 2 
1
 x   y sin 2
2
6
Normal gerilimin  eşitliğinin türevi:
d 
  x   y sin 2 1  2 xy cos 2 1  0
d
2 xy
1
1
 1  tan
2
 x  y
1için iki farklı değeri olasıdır:
 1   max
 x  y
1
2
  x   y   
2
2

 3   min
 x  y
1
2
  x   y   
2
2

2

   xy2

2

   xy2

7
Maksimum ve Minimum Normal Gerilim
1
3
Asal Gerilmeler
Asal Düzlemler
Makaslama Gerilimi Yok
Makaslama Gerilim ()eşitliğinin türevi alınırsa :
d 
 2 xy sin 2 2   x   y cos 2 2  0
d
  x   y 
1
1
 2  tan
2
2 xy
8
2 ve 2 + 90 için:
 x  y 
 max/ min   

     90 
 max 
2
2
   xy2

 x  y
2
1  3
2
Makaslama düzlemi ile asal düzlemler arasındaki açının 450 olması koşulunda maksimum
makaslama gerilmesi oluşur.
 
1   3
2

1  3
2
cos 2
  
1  3
2
sin 2
9
MOHR DAİRESİ
Mohr dairesi her yöndeki gerilimler için geometrik bir çözümdür.
y
yx
xy

x
x
xy
xy
max

21
3
+90
y
x

yx
y
2
x + y
2

1
10
Mohr dairesi çizilirken aşağıdaki adımlar izlenir;
1) Ortogonal eksenler çizilerek dikey eksen  (makaslama gerilmesi) ve yatay eksen de
(normal gerilme) olarak isimlendirilir Bu iki eksenin eşit şekilde ölçeklendirilmesi önemlidir.

2) Normal gerilme eksenine x ve y ler eklenir
3) Cismin üzerine saat yönünde aşağı doğru etkiyen makaslama gerilmesi ya da normal eksen
üzerinde bir noktaya dik etki eden normal gerilme işaretlenir
4) Dikey eksendeki makaslama gerilim değerleri normal gerilim ekseni üzerinde ½(x+y)
noktalarıyla kesiştirilir ve kesişen bu noktalar bir doğru ile birleştirilir.
5) Normal gerilim ekseni üzerinde ½(x+y) noktası merkez olacak şekilde bir daire çizilir ve
makaslama ile normal gerilimlerin kesişim noktalarını birleştiren doğru be çemberin çapını ifade
eder
 bu çemberin yarı çapının makaslama düzlemini kestiği nokta maksimum makaslama gerilimidir
r   max
1

2

  y   4 xy2
2
x
 daire ile normal gerilim ekseninin kesişimi asal gerilmeleri verir.
 2: x ekseni ve asal gerilimlerin arasındaki açının iki katı
 Mohr Dairesinin merkezi:
 x  y
2

     90
2
2: 2xy/(x-y)
11
OKTAHEDRAL GERİLİMLER
n oct, n oct plastik akma için yenilme kriterinde önemli bir rol oynar.
oktahedron (sekizyüzlü) yüzeylerinin normalleri aşağıdaki doğrultu kosinüslerine sahiptir.
cosn, x   
1
cosn, y   
1
cosn, z   
1
3
3
3
Oktahedral gerilim için bileşke denklemleri:
n 
oct
1   2   3
3
n 
oct
1
3
 1   2 2   2   3 2   3   1 2
12
İKİNCİL ASAL GERİLİMLER
İkincil asal gerilme kavramı foto-elastisite ve deneysel gerilim analizlerinde yarar sağlar.
 ikincil asal gerilmeler aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  ,      x   y  1
 1 3 z
2
2

  y   4 xy2
2
x
 yeni xy ekseninin yönelimi ise:
 z
2 xy
1
1
 tan
2
 x  y
Burada dikkat edilmesi gereken unsur sadece bir set asal gerilme olup, ikincil asal
gerilmelerin ise sonsuz sayıda olduğudur. Ancak her bir i yönü için tek set ikincil asal
gerilme vardır.
13
BİRİM DEFORMASYON ANALİZİ
 Deformasyon: Bir cisimde yer değiştirmeden kaynaklı meydana gelen şekil ve büyüklük
değişimidir.
Rijit kütle hareketi ile sonuçlanan bir yer değiştirme ile deformasyon ile
sonuçlanan bir yer değiştirmeyi ayırt etmek burada önem taşır.
• rijit kütle hareketinde  büyüklük & şekil  değişmez
referans noktası değişir
İKİ ÇEŞİT DEFORMASYON
Çizgisel deformasyon
Açısal Deformasyon
 Birim Deformasyon: cismin orijinal boyundaki birim başına değişimdir.
  lim
DL 0
L
L
Boydaki değişim
Cismin boyu
Birim deformasyon
 Makaslama Deformasyonu : açısal bir deformasyondur
14
BİR DÜZLEMDEKİ BİRİM DEFORMASYON
Elastisite teorisindeki çoğu problem bir düzlemdeki birim deformasyon anlayışıyla
çözümlenebilir.
y
y
r
Dr

x
Dx
y
Du
Dy
x
Dx
r
xy
Dy
0

y
Dr
0
r
Dy
Dr
x
0
x
Dx
15
Birim deformasyonun altı bileşeni:
u
x 
x
v
y 
y
w
z 
z
 xy
u v


y x
 yz
v w
 
z y
 zx
w u


x z
16
ELASTİSİTE TEORİSİ
Klasik elastisite teorisinde katı maddelerin aşağıdaki ideal elastik özellikleri gösterdikleri
düşünülerek hareket edilir.
 Gerilim ve birim deformasyon arasındaki doğrusallık: Hooke yasasına göre bir cisme bir
birim gerilim uygulandığında bir birim deformasyon meydana gelir.
 Homojenlik: bir cismin her noktasındaki elastik özelliği ve tüm hacmi boyunca madde
özelliğinin aynı olması.
 İzotropi: maddenin tüm yönlerde elastik özelliğinin aynı olması.
 Mükemmel elastisite: etki eden gerilimler ortadan kalktığında cismin tekrar ilk haline
dönmesi durumu.
HİÇ BİR MADDE BU KOŞULLARI TAM OLARAK SAĞLAMAZ.
Yine de uygulamada çoğu yapısal malzeme ve kaya için bu elastik özellikler göz önünde
bulundurulur.
17
Gerilim- Birim Deformasyon İlişkisi:
Gerilim bileşenleri ve bunların sonucunda meydana gelen birim deformasyon ilişkisi Hooke
yasasıyla ifade edilir.
x ~ x 
x 
x
E
Elastisite modülü
Cisimde x yönünde uzamaya y ve z yönlerinde kısalma eşlik eder.
 y  
x
E
 z  
x
E
Poisson oranı
18
Üç boyutta ortaya çıkan normal birim deformasyonlar:


1
 x   x    y   z 
E




1
 y   y    x   z 
E
1
 z   z    x   y 
E
19
E&G arasındaki ilişki:
E
G
21   
Rijidite modülü
 xy 
 xy
G
 yz 
31  2 
P
e
p
E
K
 yz
G
 zx 
 zx
G
x = y = z hidrostatik gerilim alanı için)
Bulk modülü
Hacimsel birim deformasyon
E
K
31  2 
20
Bu altı adet gerilim-birim deformasyon ilişkisi gerilimleri ifade etmek için deformasyon
cinsinden yeniden yazılırsa:
x 
E
E
e
x
1     1  2 
1 
y 
E
E
e
 y
1     1  2 
1 
E
E
z 
e
z
1     1  2 
1 
 xy
E

  xy
21   
 yz
E

  yz
21   
 zx
E

  zx
21   
21
Lame Sabiti:
E

1     1  2 
 x    e  2G x
 xy  G   xy
 y   e  2G  y
 yx  G   yx
 z   e  2G z
 zx  G   zx
22
Düzlemsel Gerilim Koşulları:
Düzlemsel gerilim koşulu, z yönündeki gerilimlerin ihmal edildiği koşul; z, xz ve yz
x 
1
 x     y 
E
z  

E

x
y 
 y 
0
1
 y     x 
E
 xy 
 xy
G
Deforme olmuş bir cismin tüm noktalarındaki yer değiştirmeler cismin boyunun
normali yönündeki düzlem üzerinde ise, düzlemsel birim deformasyon meydana gelir.
Bu düzlemsel birim deformasyona kaya kütlesi içindeki uzun yatay tüneller iyi bir
örnektir.
Düzlemsel birim deformasyon için, xz=yz=0 & z=0 veya sabittir:
x 

1
1   2   x   1      y
E
 xy

y 


1
1   2   y   1      x
E
21   


  xy
G
E
 xy
23

Kutupsal koordinatlar için gerilim bileşenleri:
y
r

x
y

x  r  cos 
r
r
r
y  r  sin 
r r


r

x
Kutupsal koordinatta gerilim- birim deformasyon ilişkisi:
1
 r   r      
E
 r
1
         r 
E
21   

  r
E
24