maddesel noktaların dinamiği

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme
- Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket
- Düzlemde Eğrisel Hareket
- Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde)
- Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme
- İş ve Enerji
- İmpuls ve Momentum
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
3
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
KİNETİK
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
3.1
MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
Kuvvet, Kütle ve İvme
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 1
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Kinetik problemlerini
çözerken Newton prensiplerinden faydalanılır. Bunu yaparken 3 temel yaklaşım vardır:
Behcet DAĞHAN
1. Newton'un ikinci kanununun direk uygulanması (kuvvet, kütle ve ivme yöntemi),
2. İş ve enerji prensibi,
3. İmpuls ve momentum yöntemi.
Kuvvet, Kütle
Kütle ve
ve İvme
İvme
Kuvvet,
Newton'un ikinci
ikinci kanunu
kanunu
Newton'un
Bir maddesel noktanın ivmesi, ona etki eden bileşke kuvvet ile doğru orantılıdır ve aynı yöndedir.
→
→
ΣF = m a
n
→
→
Σ Fi = ΣF
i=1
→
→
Yön
:
Şiddet :
→ →
ΣF // a
ma
m
→ → →
→ →
→
F1 + F2 + F3 + ··· + Fn = ΣF = m a
Behcet DAĞHAN
a
→
| ΣF | = m a
→
ΣF
→
a
!
ΣF ≠ m a
→
F1 + F2 + F3 + ··· + Fn = ΣF ≠ | ΣF |= m a
Bütün kuvvetler birbirine paralel ise ancak o zaman ΣF = m a olur.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN
Doğrusal hareket
hareket
Doğrusal
nge
Behcet DAĞHAN
→
a
→
ΣF
Yörü
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 2
Behcet DAĞHAN
→
→
ΣF = m a
A
Bütün kuvvetlerin x-bileşenleri
birbirine paralel olduğu için
bu eşitlik skaler olarak da geçerlidir.
Doğrusal hareket incelenirken çoğunlukla kartezyen koordinatlar kullanılır.
→
→ →
ΣF = ΣFx + ΣFy
y
→
→
ΣF = m a
→
a
→
ΣF
A
F1x + F2x + F3x + ··· + Fnx = m ax
→
ΣFx = m a→
x
→
→
ΣFy = m ay
→ → →
a = ax + ay
nge
Yörü
ΣFx = m ax
x
ΣFy = m ay
F1y + F2y + F3y + ··· + Fny = m ay
↑
Eksenlerden birisi genellikle yörünge ile çakıştırılır.
→
→ →
ΣF = ΣFx + ΣFy
y
→
ΣF
!
→
0
x
→
a
→
0
→ → →
a = ax + ay
nge
Yörü
→ →
→
ΣF = ΣFx = m ax
↑
↑
↑
Bu işaretler daima + dır.
ΣFx = m ax
ΣFy = m ay = 0
A
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 3
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/1
Örnek
3/1
Behcet
DAĞHAN
Çelik bir bilya ivmelenmekte olan bir çerçeveye şekildeki gibi A ve B kabloları ile asılmıştır.
A kablosundaki çekme kuvvetinin B dekinin 2 katı olması için çerçevenin ivmesi a ne olmalıdır?
Çözüm
Çözüm
y
Verilenler:
Verilenler:
A
A=2B
B
Yörünge
o
60
→
→
ΣF = m a
→ →
ΣF = R
o
60
m
x
a
ΣF = A + B + W
W=mg
ΣFx = m ax
İstenenler:
İstenenler:
a=?
ΣF ≠ R
W
Bu işaretler daima + dır.
→
(A – B) cos60o = m a
ΣFy = m ay = 0
A=2B
Ay + B y + W y = 0
A sin60o + B sin60o – W = 0
Behcet DAĞHAN
→
}
R=ma
!
ΣF ≠ m a
!
Ax + B x + W x = m ax
A cos60o – B cos60o + 0 = m a
}
(A + B) sin60o = m g
www.makina.selcuk.edu.tr
}
g
a = –––––––
6 sin60o
a = 1.89 m/s2
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 4
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/2
Örnek
3/2
Behcet
DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
İnişe geçmiş olan şekildeki uçağın doğrusal olan yörüngesi üzerindeki A noktasında
300 km/h olan hızı, uçak B noktasına ulaştığında 200 km/h e düşmektedir.
Göz önüne alınan bu aralıkta, havanın 200 Mg lık uçağa uyguladığı kuvvetin
ortalama şiddeti R yi bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
y
vA = 300 km/h
m = 200 Mg
R nin ortalama değeri
istendiğine göre
R sabit alınacak demektir.
(sabit)
İstenenler:
İstenenler:
v dv = a ds
a
α
x
v
W=mg
düşey
ax = a
B
α = 7.13o
ΣFx = m ax
ΣFy = m ay = 0
Rx + W x = m ax
Ry + W y = 0
Rx + W sinα = m ax
Ry – W cosα = 0
Rx = m (– g sinα + ax)
Ry = m g cosα
Rx = – 434.76 kN
Ry = 1946.85 kN
}
yön belirtir
Δs
a = – 0.957 m/s2
m
s>0
v>0
a>0
m
vB
sB
∫ v dv = a ∫ ds
sA
vA
R=?
250
tanα = –––––
2000
2000 m
W
Kuvvetler sabit olduğu
için ivme de sabittir.
2015
α
Yörünge
α
yatay
Δs =
250 m
R
vB = 200 km/h
a
A
R 2 = R x2 + R y2
(sabit)
R = 1994.8 kN
Behcet DAĞHAN
yön belirtir
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 5
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/3
Örnek
3/3
Behcet
DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Birim boyunun kütlesi ρ olan ağır bir zincir, bir kısmı sürtünmeli ve bir kısmı da sürtünmesiz olan
yatay bir yüzey üzerinde sabit bir P kuvveti ile şekildeki gibi çekilmektedir. Sürtünmeli kısım ile zincir
arasındaki sürtünme katsayısı μk dır. x = 0 iken zincirin tamamı sürtünmesiz kısım üzerinde sükunette
durmaktadır. x = L olunca zincirin hızı v ne olur? Zincirin daima gergin kaldığını kabul ediniz.
L
x=0
ΣFx = m ax
x
WL-x
μ = μk
P − μ k Nx = m a
Wx
P
x = 0 iken v = 0
Yörünge
x
μk N x
NL-x
Nx
WL-x : Boyu L-x olan kısmın ağırlığı
NL-x = WL-x = ρ (L − x) g
Wx : Boyu x olan kısmın ağırlığı
Nx = W x = ρ x g
v dv
P − μk ρ x g = ρ L ––––
dx
v dv
a = ––––
dx
0
v
L
v2
x2
(P x − μk ρ –– g | = ρ L (––– |
2
2
0
0
√
2P −μ gL
v = –––
k
ρ
(W nin x-bileşeni değil)
(zaten W nin x-bileşeni yoktur)
Behcet DAĞHAN
v dv = a ds
0
ΣFy = m ay = 0
İstenenler:
İstenenler:
P − μ k Wx = m a
L
v
∫ (P − μk ρ x g) dx = ρ L ∫ v dv
v
a
P = Pmin = ?
Sürtünmeli
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
L
ρ = m/L
P (sabit)
x = L iken v = ?
Sürtünmesiz
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 6
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/4
Örnek
3/4
Behcet
DAĞHAN
Kütlesi m olan şekildeki halka, şiddeti sabit fakat yönü değişken olan bir F kuvvetinin etkisi altında düşey olan şaft
üzerinde kaymaktadır. θ = kt dir ve buradaki k bir sabittir. θ = 0 iken durgun halden harekete başlayan halkayı
θ = π/2 iken tekrar durduracak olan kuvvetin şiddeti F yi bulunuz. Halka ile şaft arasındaki kinetik sürtünme katsayısı μk dır.
Verilenler:
Verilenler:
m
θ = π/2
v=0
}
N
Çözüm
Çözüm
μk N
F
m
θ = kt
W
k = sb.
a
ΣFx = m ax = 0
ΣFy = m ay
F sinθ – N = 0
F cosθ – μk N – W = m a
N = F sinθ
θ = θ1 = 0 iken:
v1 = 0
Yörünge
y
θ = θ2 = π/2 iken:
v
μk
μk N θ
π/2
W
x
F
a
θ=0
v=0
Behcet DAĞHAN
}
θ = kt
dθ = k dt
←
dθ/k = dt
π/2
π/2
F (sinθ + μk cosθ | – W (π/2) = 0
0
İstenenler:
İstenenler:
F=?
dv
a = –––
←
dt
0
F ∫ (cosθ – μk sinθ) dθ – W ∫ dθ = k m ∫ dv
0
0
0
N
m
dv
F cosθ – μk (F sinθ) – W = m –––
dt
dv
F (cosθ – μk sinθ) – W = m ––––
dθ/k
F
v2 = 0
←
W=mg
πmg
F = –––––––––
2 (1 – μk )
m
W
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 7
Behcet DAĞHAN
Behcet
DüzlemdeDAĞHAN
eğrisel hareket
hareket
Düzlemde
eğrisel
Behcet DAĞHAN
Yörünge
→
ΣF
→
a
→
→
ΣF = m a
m
Kartezyen koordinatlar
Normal ve teğetsel eksenler
Polar koordinatlar
→
→ →
ΣF = ΣFx + ΣFy
→
→ →
ΣF = ΣFn + ΣFt
→
→ →
ΣF = ΣFr + ΣFθ
ΣFx = m ax
ΣFn = m an
ΣFr = m ar
ΣFy = m ay
ΣFt = m at
ΣFθ = m aθ
→ → →
a = ax + ay
→ → →
a = an + at
→ → →
a = ar + aθ
a2 = ax2 + ay2
a2 = an2 + at2
ax = vx = x
an = v β = ρ β 2 =
ay = vy = y
at = v
Behcet DAĞHAN
a2 = ar2 + aθ2
v
ρ
2
ar = r – r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 8
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/5
Örnek
3/5
Behcet
DAĞHAN
Şekilde görülen uçan sandalyelerin kollarının düşey doğrultu ile yaptığı açının θ = 60o olması için sistemin
devir sayısı N nin ne olması gerektiğini hesaplayınız. Sandalyelerin bağlı olduğu kolların kütlelerini ihmal
edip her bir sandalyeyi bir maddesel nokta olarak göz önüne alınız.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
z
θ = 60o
W=mg
P
θ
θ
Yörünge
a
an
ΣFz = m az
m
P cosθ − W = 0
W
P=2mg
R = 3 + 10 sinθ
t
R
İstenenler:
İstenenler:
N = ? (sabit)
P sinθ
a
Yörünge
n
N
ΣFn = m an
v
an
P sinθ = m an
P sinθ = m R ω2
m
→
R = 11.66 m
(2 m g) sinθ = m R ω2
ω
an = R ω2
ω = N (2π/60)
N = ω (60/2π)
ω = 1.207 rad/s
N = 11.53 rev/min
Üstten görünüş
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 9
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/6
Örnek
3/6
Behcet
DAĞHAN
B
Behcet
DAĞHAN
m kütleli bir cisim, A noktasından, eğik düzlemden yukarıya doğru u hızı ile harekete başlamıştır.
Cisme, B noktasını geçtikten hemen sonra etki eden normal kuvvet, B den öncekinin yarısına düşüyorsa
u yu hesaplayınız. Eğik düzlem ile cisim arasındaki sürtünme katsayısı 0.30 dur.
Verilenler:
Verilenler:
Maddesel nokta, B noktasına kadar doğrusal hareket yapmakta,
B den itibaren de çembersel hareket yapmaya başlamaktadır.
N1/N2 = 2
e
g
rün
μ = 0.3
AB 2 = 42 − 22
B
Yö
v
Δs = AB = 3.46 m
2m
Çözüm
Çözüm
4m
v dv = a ds
sB
vB
∫ v dv = a ∫ ds
u
sA
B den hemen sonraki durum:
W
e
g
rün
W=mg
İstenenler:
İstenenler:
u=?
30o
m
o
n
ΣFy = m ay
rün
30o
Behcet DAĞHAN
N2
N1 − W cos30 = 0
Yö
ge
− W sin30o − μ N1 = m a
a = − 7.45 m/s2
www.makina.selcuk.edu.tr
vB
B
m
o
N1 = m g cos30
ΣFn = m an
30o
μ N2
Yö
ΣFx = m ax
a
μ N1
N1
x
vB2 = u 2 + 2 a Δs
→
Δs
A ile B arasında N sabittir.
W
A
A
4m
y
u
B noktasındaki hızı:
u
30o
μ = 0.3
}
R= 2 m
2m
2m
an
at
vB 2
W cos30o − N2 = m –––
R
2 N2 = N1 = m g cos30o
u 2 + 2 a Δs
g cos30o (1 − 1/2) = –––––––––––
R
u = 7.75 m/s
(sabit)
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 10
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/7
Örnek
3/7
Behcet
DAĞHAN
R
Küçük bir A nesnesi, iç yarıçapı R olan dönen bir silindirik kabın düşey olan cidarına merkezkaç etkisi ile
dayanmaktadır. Eğer cisim ile kap arasındaki statik sürtünme katsayısı μs ise cismi aşağıya kaydırmadan
kabın açısal hızı ω nın alabileceği minimum değeri bulunuz. ω daki değişimin azar azar olduğunu farzediniz.
Verilenler:
Verilenler:
R
μs
at ≈ 0
ω
Çözüm
Çözüm
Yörünge
z
W=mg
W
ΣFz = m az
A
N
m
a
F−W=0
F=mg
(sabit)
F
Cisim tam kaymaya
başlamak üzere iken
sürtünme kuvveti
maksimum değerdedir ve
}
ω = ωmin iken cisim tam
kaymaya başlamak üzeredir.
Dolayısı ile: F = Fmax
}
t
R
a A
Yörünge
İstenenler:
İstenenler:
ΣFn = m an
n
ω
an
N
m
N = m an
N = m R ω2
dir.
F = μs Nmin
m g = μs m R ωmin2
(değişken)
g
ωmin = –––––
μs R
ωmin = ?
√
Üstten görünüş
Behcet DAĞHAN
N = Nmin = m R ωmin
an = R ω 2
2
Fmax = μs N
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 11
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/8
Örnek
3/8
Behcet
DAĞHAN
N
3 kg lık A kızağı, kendi merkezi O etrafında ve yatay bir düzlemde dönmekte olan diskin 45o lik sürtünmesiz
yarığı içerisinde serbestçe kayabilmektedir. Eğer kızak B noktasına bağlanmış bir ip ile A konumunda tutuluyorsa
N = 300 rev/min lik sabit bir devir sayısı için ipteki çekme kuvveti T yi bulunuz.
Diskin dönme yönünün T ye bir etkisi var mıdır?
Çözüm
Çözüm
m = 3 kg
ΣFt = m at
B
μ=0
N = 300 rev/min
R = 150 mm
y
R
at = 0
a = an
at = 0
t
(sabit)
T
o
45o 45o
45
Yörünge
O
N
n
an m
a
N
{
→
ΣFt = 0
ΣFt = 0 olabilmesi için
N bu yönde olmalıdır.
A
ω
ΣFy = m ay
T = m a cos45o
a = an
Üstten görünüş
an = R ω
İstenenler:
İstenenler:
2
{
Verilenler:
Verilenler:
T = m R ω 2 cos45o
{
ω = N (2π/60)
ω = 31.416 rad/s
T = 314 N
T=?
Dönme yönünün ivmeye etkisi
olmadığı için T ye de bir etkisi yoktur.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 12
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/9
Örnek
3/9
Behcet
DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Bir C kızağı, yatay düzlemde yer alan şekildeki kılavuzun A noktasını geçerken 3 m/s şiddette bir hıza
sahiptir. Kızak ile kılavuz arasındaki kinetik sürtünme katsayısı μk = 0.6 dır. Kızağın, A noktasını
geçtikten hemen sonraki teğetsel ivmesi at yi, kızağın ve kılavuzun kesit alanlarının (a) dairesel ve
(b) kare olduğu durum için hesaplayınız. (b) şıkkında karenin kenarları yatay ve düşeydir.
Kızak ile kılavuz arasında kaymayı kolaylaştıracak kadar bir boşluk olduğunu farzediniz.
R
n
v = 3 m/s
(a)
an
μk = 0.6
R = 0.6 m
Çözüm
Çözüm
z
Verilenler:
Verilenler:
m
t
F
W
z
düşey
(b)
düşey
W
Yörünge
A
at
(a) Nn
N1 (b)
an
m
yatay
N
an yatay
N2
n
m
n
N1
Üstten görünüş
ΣFt = m at
ΣFn = m an
ΣFz = m az
ΣFn = m an
ΣFz = m az
− F = m at
N n = m an
Nz − W = 0
N 1 = m an
N2 − W = 0
at = − F/m
İstenenler:
İstenenler:
at = ?
W=mg
N = m (17.92)
v2
an = –––
R
F = μk N
at = − μk N/m
an = 15 m/s2
Behcet DAĞHAN
F1 = μ k N 1
N 2 = Nn2 + Nz2
at = − μk (17.92)
F2 = μ k N 2
F = F1 + F2 = μk (N1 + N2)
at = − μk (N1 + N2)/m
→
at = − 10.75 m/s
www.makina.selcuk.edu.tr
2
at = − μk (24.81)
→
at = − 14.89 m/s2
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 13
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/10
Örnek
3/10
Behcet
DAĞHAN
Küçük bir araç çembersel bir yörüngenin tepe noktası A dan yatay bir v0 hızı ile geçtikten sonra
aşağıya doğru indikçe hız kazanmaktadır. Aracın yer ile temasının kesilip havada serbest hareket
etmeye başladığı β açısı için bir bağıntı elde ediniz. v0 = 0 için β nın değerini hesaplayınız.
Sürtünmeyi ihmal edip aracı bir maddesel nokta olarak göz önüne alınız.
Verilenler:
Verilenler:
vA = v 0
s=0
θ=0
v = v0
R
A
Çözüm
Çözüm
W
θ
at
m
μ=0
θ
R
N
n
R
ΣFn = m an
s = sB
t θ=β
B v = vB
N=0
an = v 2/R
}
v2
W cosθ − N = m –––
R
→
Yö
θ = β iken v = vB ve N = 0
W=mg
1 2
1
vB
m g cosβ − 0 = m –––
R
ge
rün
β
an
İstenenler:
İstenenler:
at = g sinθ
β=?
v
s
∫ v dv = ∫ at ds
v0
0
ds = R dθ
}
vB2 = v02 + 2 g R (1 − cosβ)
θ
v 2 = v02 + 2 g R ∫ sinθ dθ
0
v 2 = v02 + 2 g R (1 − cosθ)
→
W sinθ = m at
v dv = at ds
www.makina.selcuk.edu.tr
= g R cosβ
v02
2
cosβ = ––– + ––––––
3gR
3
v0 = 0
Behcet DAĞHAN
vB2 = g R cosβ
→
ΣFt = m at
→
→
β = 48.2o
Behcet DAĞHAN