U kx Esneklik Potansiyel Enerjisi

Fiz 1011
Ders 5
Hareket Kanunları
Newton’un Hareket
Kanunları
Eylemsizlik - Newton’un I. Yasası
Temel - Newton’un II. Yasası
Etki-Tepki - Newton’un III. Yasası
http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/
DİNAMİK
Madde, kuvvet ve hareket arasındaki ilişkileri inceleyen mekanik bölümüne
dinamik denir. Dinamiğin temel ilkeleri İngiliz Fizikçi Sir Isaac NEWTON
tarafından ortaya konmuştur.
Kuvvet : Cisimlerin şeklinde veya hareket halinde yada hem şekil hem de hareket
halinde değişiklik yapan nedene kuvvet denir. Vektörel bir büyüklüktür.
Temas Kuvvetleri : İki cisim arasında fiziksel bir temas sonucunda ortaya çıkan
kuvvetlerdir.
Alan Kuvvetleri : Cisimler arasında fiziksel bir temas yoktur. İki cisim boş uzay içinde
etkileşir.
Bir Kuvvetin Şiddetinin Ölçülmesi
Kuvvet ile şekil değişiminin orantılı (Hook sınırları veya esneklik sınırları) olmasından
dolayı bir yayda meydana gelen şekil değişimini, kuvveti ölçmek için kullanabiliriz.
Kuvveti ölçmek için kullanılan araçlara Dinamometre denir.
𝑭 =𝑭=
𝑭𝟏 𝟐 + 𝑭𝟐 𝟐
Eylemsizlik Prensibi - Newton’un I. Yasası
Şekildeki gibi sürtünmesiz yatay düzlemde, üzerine etki eden kuvvetlerin
bileşkesinin (net kuvvetin) sıfır olduğu bir cismi inceleyelim. (FNet = 0)
“Bir cismin üzerine etki eden kuvvetlerin toplamı sıfırsa, cismin hareket durumunda bir
değişme olmaz”
Başka bir ifade ile, bir cisme etki eden net kuvvet (bileşke kuvvet) sıfır ise cismin ivmesi de
sıfırdır.
𝑭=𝟎 ⇒ 𝒂=𝟎
𝒅𝒗
=0
𝒅𝒕
⇒ 𝒗 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡
Kütle
Bovling topuyla, basket (veya futbol) oynayabilir misiniz?
Şekildeki gibi yatay sürtünmesiz düzlemde, iki topu aynı kuvvetle itelim.
Görüldüğü gibi, aynı kuvvet uygulanmasına karşın bowling topu daha yavaş hareketlenmiştir.
Bowling topunun harekete karşı direnci fazladır. Basket topunun harekete karşı direnci
oldukça azdır.
Bovling topunun kütlesi (eylemsizliği) basket topunun kütlesinden (eylemsizliğinden)
oldukça büyüktür. Bu nedenle bovlin topunu , basket topu kadar hızlandıramayız,
veya hızını azaltamayız.
Kütle
Kütle, bir cismin sahip olduğu eylemsizliğin bir ölçüsüdür. SI birim sisteminde birimi
kilogramdır (kg). Cismin kütlesi ne kadar büyük ise uygulanan bir kuvvetin etkisi altında o
kadar az ivme kazanır. Yani ivme (hızlanma) ile kuvvet ters orantılıdır.
Yapılan deneylerden, her iki topun kütlesinin oranı,
F kuvveti ile kazandıkları ivmelerin oranının
tersine eşit olduğu gözlenmiştir.
Buna göre,
𝒎𝟏 𝒂𝟐
=
𝒎𝟐 𝒂𝟏
Kütle, cismin değişmeyen bir özelliğidir. Cismin çevresinden ve kütleyi ölçmek için
kullanılan yöntemlerden bağımsızdır. Skaler bir büyüklük olup basit aritmetik kurallara uyar.
Temel Yasa - Newton’un İkinci Yasası
m kütleli bir cisme farklı F1, F2, F3, ... kuvvetleri
uygulandığında cisim a1, a2, a3, ... ivmelerini kazananır.
Her bir kuvvetin, cisme kazandırdığı ivmeye oranlarsak;
𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑
𝑭
=
=
= ⋯ = 𝒔𝒂𝒃𝒊𝒕
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑
𝒂
𝒎
𝑭 ~ 𝒂
İvme uygulanan kuvvet ile doğru orantılıdır.
Farklı kütlelere sabit bir F kuvveti uyguladığımızda a1,
a2, a3, ... ivmelerini kazandığını varsayalım.
Her bir cismin, kütlesinin kazandığı ivmeyle çarpımı;
𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 = 𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = ⋯ = 𝒔𝒂𝒃𝒊𝒕
𝒂 ~
İvme cismin kütlesiyle ters orantılıdır.
𝟏
𝒎
Temel Yasa - Newton’un İkinci Yasası
𝟏
𝒂~ 𝑭∙
𝒎
𝑭~𝒎∙𝒂
𝑭=𝛂𝒎∙𝒂
1,00 kg’lık kütleye 1,00 m/s2 lik bir hız kazandıran kuvveti 1.00 Newton olarak tanımlarsak,
a = 1 olur.
Kuvvet
𝑭=𝒎∙𝒂
SI Birim Sistemi
cgs Birim Sistemi
Boyutu
Newton (kg m/s2)
dyn (g cm/s2)
MLT-2
Newton’un II. veya Dinamiğin temel yasası denir.
Genel olarak; (birden çok kuvvet için)
𝑭𝟏 + 𝑭𝟏 + ⋯ + 𝑭𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒂
𝑭𝑵𝒆𝒕 =
𝑭𝒊 = 𝒎 ∙ 𝒂
𝟐
𝑭𝑵𝒆𝒕 =
𝒅 𝒓
𝑭𝒊 = 𝒎 ∙ 𝟐
𝒅𝒕
𝑭𝒙 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒙
𝑭 𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒚
𝑭 𝒛 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒛
Örnek 5.1
0,30 kg kütleli bir hokey diski yatay, sürtünmesiz bir buz zemin üzerinde kaymaktadır. Diske
şekilde görüldüğü gibi iki kuvvet etki eder. Diskin kazandığı ivmeyi (şiddetini ve yönünü)
bulunuz? 𝑭𝟏 = 𝟓, 𝟎𝟎 𝑵 ; 𝑭𝟐 = 𝟖, 𝟎𝟎 𝑵
Sonuç
𝒂 = 29,0 i + 17,0 j 𝒎/𝒔𝟐
Örnek 5.2
4,00 kg kütleli bir cisim herhangi bir anda 𝒗𝒊 = 𝟑, 𝟎𝟎 i 𝒎/𝒔’lik hıza sahiptir. 8,00 s sonra hızı
𝒗𝒔 = 𝟖, 𝟎𝟎 i + 𝟏𝟎, 𝟎 j 𝒎/𝒔’lik oluyor. Cisme uygulanan kuvvetin sabit olduğunu varsayarak
kuvvetin büyüklüğünü (yön ve şiddetini) bulunuz.
Sonuç
𝒂 = 0,625 i + 1,25 j 𝒎/𝒔𝟐
𝑭𝒐𝒓𝒕. = 2,50 i + 5,00 j 𝑵
𝑭𝒐𝒓𝒕. = 5,59 𝑵
Kütle Çekim Kuvveti ve Ağırlık
Bir cisme dünyanın uyguladığı kuvvete çekim kuvveti veya o cismin ağırlığı denir.
Bu kuvvet dünyanın merkezine doğru yönelmiştir.
𝐹g = G = 𝑚 ∙ g
𝑚𝐷
𝐹g = 𝛾 2 m 𝑟 = m ∙ g
𝑟
𝐷
𝑚𝐷
g=𝛾 2
𝑟𝐷
Örnek 5.3
Dünyada ağırlığı 600 N olan ve 450 N’luk yük taşıyabilen bir insan Ay üzerindeki ağırlığı ve
taşıyabileceği yükün kütlesini hesaplayınız?
g 𝐃ü𝐧𝐲𝐚 = 9,81 𝑚/𝑠 2
g 𝐀𝐲 = 1,62 𝑚/𝑠 2
MA = 7,35 ⋅ 1022 kg
rA = 1,74 ⋅ 106 m
γ = 6,67 ⋅ 10−11 Nm2/kg2
Sonuç :
𝒎 = 61,2 kg
𝑮𝑨𝒚 = 99,1 N
m′ = 277 kg
Etki – Tepki Prensibi - Newton’un III. Yasası
İki cisim etkileşiyorsa, birinci cismin ikinciye uyguladığı kuvvet, ikinci cismin
birinciye uyguladığı kuvvete doğrultu ve büyüklükçe eşit fakat ters yöndedir.
𝑭𝟏𝟐 = − 𝑭𝟐𝟏
𝑭𝟏𝟐 = − 𝑭𝟐𝟏
Etki kuvveti büyüklükçe tepki kuvvetine eşit ve onunla zıt yönlüdür.
Etki-tepki çiftindeki iki kuvvet daima farklı cisimler üzerine uygulanır.
Örnek 5.4
Şekilde masanın üzerinde duran bir televizyonu dikkate alalım.
𝑭g = − 𝑭′g ve 𝑵 = −𝑵′ etki-tepki kuvvet çiftleridir.
Burada Fg ve N etki-tepki çifti değildir. Aynı cisim
üzerine uygulanıyorlar.
N normal kuvvetinin tepki kuvveti N' dür ve N
kuvvetine karşı TV tarafından masaya uygulanan
kuvvettir.
TV üzerine etki eden kuvvetler :
Normal kuvvet (N) bir temas kuvvetidir ve
Masanın TV ye uyguladığı kuvvettir.
TV’nin masayı delip geçmesini önler ve
aşağı yönelen Fg’yi dengelemek için
gereken büyüklüğe sahip olur ki masa
kırılıncaya kadarki değerleri alır.
𝐹 = 𝐹g − 𝑁 = 0 ⟹
𝐹g = 𝑁
TV dengede olacağı için a = 0 dır.
Serbest Cisim Diyagramları
Newton’un üç hareket yasası, oldukça çeşitlilik gösteren mekanik problemlerini
çözmek için gereksinim duyduğumuz bütün temel ilkeleri içerir.
Cismin üzerine etki eden kuvvetler belirlenir.
Cismin üzerine etki eden kuvvetlerin yönleriyle birlikte diyagram olarak çizilir.
Statik durum 𝒂 = 𝟎
Statik durum 𝒂 ≠ 𝟎
Newton’un birinci ve ikinci yasaları belirli bir durumdaki cisme uygulanır.
Statik durum : 𝒂 = 𝟎
𝑭𝑵𝒆𝒕 =
𝑭𝒊 = 𝟎
𝑭𝒙 = 0 , 𝑭𝒚 = 0 , 𝑭𝒛 = 0
Statik durum 𝒂 ≠ 𝟎
𝑭𝑵𝒆𝒕 =
𝑭𝒊 = 𝒎 ∙ 𝒂
𝑭𝒙 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒙 , 𝑭𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒚 , 𝑭𝒛 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒛
Örnek 5.5
Bir trafik lambası şekilde görüldüğü gibi iplerle asılmıştır. Lambanın ağırlığı 125 N
olduğu bilindiğine göre her üç ipteki gerilmeleri bununuz.
Sonuç :
𝑻𝟏 = −60,0 i + 45,2 j N
𝑻𝟏 = 75,1 N
𝑻𝟐 = 57,3 i + 81,8 j N
𝑻𝟐 = 99,9 N
𝑻𝟑 = −125 j N
𝑻𝟑 = 125 N
Örnek 5.6
𝒎𝟏 = 𝟔, 𝟎𝟎 kg’lık kütle ile 𝒎𝟐 = 𝟏𝟎, 𝟎 kg’lık kütle uzamaz bir iple şekildeki gibi
bağlanmıştır. Sürtünmesiz bir düzlemde 𝑭 = 𝟒𝟎, 𝟎 𝑵’luk bir kuvvetle çekilmektedir.
a) Cisimlere ilişkin serbest cisim diyagramlarını çiziniz,
b) Cisimlere ilişkin hareket denklemlerini ve
c) Cisimlerin ivmelerini ve ipteki gerilme kuvvetini bulunuz.
Sonuç :
𝒂 = 2,50 m/𝑠 2
𝑻 = 15,0 N
Örnek 5.7 (Sürtünmesiz eğik düzlem üzerindeki sandık)
Şekilde görülen sürtünmesiz, q eğim açılı eğik düzlem üzerinde m kütleli bir sandık
konulmuştur. Sandık serbest bırakıldıktan sonra yatay düzleme ne kadar zamanda
varır ve hızı nedir? 𝑚, 𝜃, g cinsinden bulun.
Sonuç :
𝒂 = g ⋅ sin 𝜽
𝒕=
𝟐𝒅
g ⋅ sin 𝜽
𝒗=
𝟐gd sin 𝜽
Örnek 5.8 (Asansör içinde tartılan balık)
Şekilde görüldüğü gibi, bir asansörün tavanına asılan yaylı kantar ile bir balık
tartılıyor. Asansör hızlanırken ve yavaşlarken yaylı kantarın balığın gerçek ağırlığını
ölçmediğini gösteriniz.
Örneğin, balığın ağırlığı 40,0 N ve asansör
yukarı 𝒂 = 𝟐, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔𝟐 ve 𝒂 = −𝟐, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔𝟐
ise kantarda okunan balığın ağırlığı nedir.
Sonuç :
𝑻 = 𝟒𝟖, 𝟐 𝑵
𝑻 = 𝟑𝟏, 𝟖 𝑵
Örnek 5.9 (Sürtünmesiz eğik düzlem üzerindeki sandık)
m1 ve m2 kütleli iki cisim, bir iple birbirine bağlandıktan sonra şekildeki gibi
sürtünmesiz bir makaradan geçirilerek eğik düzlem üzerine bırakılmıştır. Eğik
düzlem üzerinde kayma hareketi yaptığı görüldüğüne göre,
a) Cisimlerin ivmesini ve ipteki gerilme kuvvetini 𝑚1 , 𝑚2 , 𝜃, g cinsinden bulun.
b) 𝑚1 = 15,0 kg, 𝑚2 = 5,00 kg, θ = 40,0° ise cisimlerinin ivme ve ipteki
gerilmeler nedir?
Örnek 5.10 (Serway 38/s.143)
Şekilde görüldüğü gibi, sürtünmesiz yatay masa üzerindeki bir m1 kütlesi oldukça
hafif bir P1 makarasından geçen bir iple bağlanmış, sonrada P2 makarası oldukça
hafif bir iple geçirilerek m2 kütlesine bağlanmıştır.
a) Cisimlerin ivmesini ve ipteki gerilme kuvvetlerin 𝑚1 , 𝑚2 , g cinsinden,
b) 𝑚1 = 15,0 kg, 𝑚2 = 5,00 kg, ise cisimlerin ivmeleri ve iplerdeki gerilmeler
nedir?